: FISICA III Departamento de Física y Química Escuela de Formación Básica GUÍA DE PROBLEMAS 4 - INTERACCIÓN MAGNÉTICA Temas: • • • • • • • Movimiento de cargas en un campo magnético. Fuerzas sobre conductores. Torque sobre una espira. Ley de Biot y Savart. Momento dipolar magnético. Ley de Ampère. Flujo Magnético. Problemas 4.1. Un electrón con una velocidad de 106 m s-1 entra en una región donde hay un campo magnético. Encontrar la intensidad del campo magnético si el electrón describe una trayectoria de radio 0.1 m. Encontrar también la velocidad angular del electrón. 4.2. Un protón se mueve en un campo magnético con un ángulo de 30º respecto al campo. La velocidad es 107 m s-1 y la intensidad del campo es 1.5 T. Calcular a) el radio de la hélice descripta. b) la distancia que avanza por revolución, o paso de la hélice, y c) la frecuencia de rotación en el campo. 4.3. Usted desea tener un selector de velocidad que sea sintonizable, con capacidad de selección para electrones que se hayan acelerado desde el reposo mediante un potencial que puede ser de 1200 V a 12000 V. Si el campo magnético B, se mantiene fijo en 0.1 T ¿Qué límites de intensidades de campo eléctrico deben tenerse disponibles? Si la intensidad del campo eléctrico estuviera fija en 100 V/cm, ¿qué límites de intensidades de campo magnético deben estar disponibles? 4.4. El espectrómetro de masas de Bainbridge (Figura 1) es un dispositivo que separa iones que tienen la misma velocidad. Después de atravesar las rendijas, los iones pasan por un selector de velocidades compuesto de un campo eléctrico E producido por las placas cargadas P y P´ y de un campo magnético B perpendicular al campo eléctrico. Los iones que pasan a través de los campos cruzados sin desviarse, entran en una región donde hay un segundo campo magnético B´, describiendo órbitas semicirculares. Si un haz de iones de neón con carga + e se mueve en una trayectoria circular de 7.4 cm de radio en el campo magnético, determinar la masa del isótopo de neón. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades es de 1.2 x 105 Vm-1 y ambos campos magnéticos son de 0.60T. 4.5. La Figura 2 es un diagrama de un ciclotrón. Una partícula cargada parte de un punto central y, para determinado campo magnético perpendicular al plano del movimiento, sigue una trayectoria circular. El ciclotrón aprovecha la ventaja de que el tiempo que tarda la partícula en recorrer medio círculo es independiente de la velocidad de ésta. Se aplica un voltaje alterno a través del hueco entre las dos ¨des¨ (las partes semicirculares) de modo que, cuando la partícula cruza el hueco de nuevo, después de haber terminado medio círculo, el voltaje ha cambiado de signo y la partícula acelera nuevamente. La frecuencia del voltaje oscilante debe coincidir con la frecuencia ciclotrónica. De este modo, la partícula siempre acelera, describiendo círculos cada vez mayores en el mismo tiempo, hasta que el haz sale en el radio máximo. Si el campo magnético tiene una intensidad de 1 T y la partícula que circula es un protón (q= +e y m = 1.7 x 10-27 kg), a) ¿Cuál es la frecuencia ciclotrónica? b) ¿Cuál es la velocidad máxima del protón cuando el radio máximo es de 50cm? c) ¿Cuál es la energía cinética correspondiente al radio máximo? d) Si el voltaje a través del hueco es de 50 kV, ¿Cuántos circunferencias completas recorre el protón para llegar a su energía cinética máxima? e) ¿Cuánto tiempo pasa el protón en el acelerador? 4.6. Una tira delgada de cobre de 1.50 m de ancho y 1.25 mm de espesor se coloca perpendicularmente a un campo magnético de 1.75 T. A lo largo de la tira hay una corriente de 100 A. Suponiendo que cada átomo de cobre contribuye con un electrón, es decir, n = 8 x 1028 1/m3 (electrones por m3), calcular: a) la velocidad de arrastre de los electrones. b) el campo eléctrico transversal debido al efecto Hall c) la d.d.p. o VHall. Recopilación, revisión y edición: G. Colombo, M. Matar, B. Milicic 2 Coordinación J. Hisano Año 2010 4.7.a) Demostrar que el campo magnético producido por una corriente rectilínea I de longitud finita es µ0 I /4π πR (senα α1 -senα α2). Donde R es la distancia perpendicular del punto al alambre, y α1 y α2 son los ángulos entre la perpendicular a la corriente y los segmentos que unen al punto con los extremos de la misma (ver Figura 3). b) Aplicar este resultado para obtener el campo magnético en el centro de un circuito cuadrado de lado L. [Fijarse en los signos de los ángulos]. Figura 3 c) Calcular el valor del campo magnético si el conductor es de longitud infinita. 4.8. Dos largos alambres rectos y paralelos están a 100 cm uno del otro, como se muestra en la Figura 4. Por el alambre superior circula una corriente I1, de 6 A, hacia el plano de papel. a) ¿Cuál debe ser la intensidad y el sentido de la corriente I2, para que el campo resultante en P sea nulo? b) ¿Cuál es entonces el campo resultante en Q? c) ¿Y en S? Figura 4 4.9. Usando la figura del problema 4.8 calcular: a) La fuerza que ejerce un conductor sobre el otro por unidad de longitud. b) Definir la unidad de corriente eléctrica. 4.10. La Figura 5 muestra un dispositivo que se puede emplear para medir campos magnéticos. Por una espira que está colgada de un resorte de constante k circula una corriente. Al sumergirse en un campo B, el resorte se estira. ¿Cuál es la magnitud del campo B si el estiramiento es de 0.5 cm en una espira de 1cm de ancho, cuando la corriente es de 1 mA y k=4 x 10-4 N/m? Figura 5 3 FIII Guía de Problemas 4: Interacción Magnética 4.11. Una espira de radio a = 0.01m es coaxial con otra de radio b = 0.02m y están separadas una distancia l = 0.05m. Si la corriente que circula por la espira de radio a es Ia = 5 A, hallar la intensidad y el sentido de la corriente Ib que circula por la espira de radio b, para que el campo magnético resultante en el centro de esta espira sea nulo. 4.12. Estudiar el campo magnético de una corriente solenoidal. Una corriente solenoidal, es una corriente compuesta de varias espiras circulares coaxiales y del mismo radio, todas con la misma corriente I (Figura 6). Obtenemos su campo magnético sumando los de cada una de las corrientes circulares correspondientes. En la figura se muestran las líneas de campo magnético, suprimiendo algunas fluctuaciones en el espacio entre espiras. Calcular el campo magnético de esta configuración de corriente sólo en puntos que están sobre su eje. Este dispositivo también se lo denomina solenoide o bobina solenoidal. En la figura se muestra un corte longitudinal del mismo. Radio del solenoide = a - N°de vueltas = N - Longitud = l Figura 6 4.13. Una espira cuadrada de 5 cm de lado se encuentra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 0,2 T. La espira transporta una corriente de 10 A y puede rotar alrededor de un eje paralelo a uno de sus lados que pasa por su centro. En un instante particular la espira está orientada de forma que el vector momento magnético forma un ángulo de 25º con el campo. a) Calcular el momento magnético de la espira e indicar su dirección y sentido. b) Determinar el valor y la dirección del torque sobre la espira en dicho instante. c) Calcular la fuerza magnética sobre cada lado de la espira en el mismo instante. 4.14. Un motor eléctrico está formado por un devanado de alambre por el que circula una corriente, dentro de un campo magnético uniforme B (Figura 7). Se produce un torque magnético que tiende a hacer girar la bobina de tal modo que queden alineados B y el momento dipolar magnético m. Cuando esto sucede un mecanismo apropiado (conmutador de anillo bipartido) invierte la dirección de la corriente y m cambia 180º su orientación con respecto al campo; el torque trata de continuar Figura 7 Recopilación, revisión y edición: G. Colombo, M. Matar, B. Milicic 4 Coordinación J. Hisano Año 2010 la rotación en el mismo sentido. Este proceso se repite. Suponga que m y B, al inicio están casi antiparalelos. a) Haga una gráfica del torque en función del ángulo entre m y B, al variar entre 180º y 0º. b) Haga una gráfica del torque magnético cuando la espira da una vuelta completa. c) ¿Cuál es el valor medio del torque durante una vuelta completa si la corriente es de 2.2 A, la magnitud de B es 0.1 T y el área de la bobina 80 cm2? 4.15. Considere un dipolo magnético de momento dipolar magnético m en un campo magnético uniforme B, externo. Si el ángulo entre m y B es α: a) Calcular el torque ejercido sobre el dipolo. b) Calcular la energía del dipolo para esa configuración. c) Describa la situación de equilibrio. d) ¿Qué ocurriría si el campo B deja de ser uniforme? 4.16. En un alambre grueso y recto de radio R, que lleva una corriente I uniformemente distribuida en su sección transversal. Calcular: a) ¿Dónde es máximo el campo magnético? b) ¿Cuál es el valor del campo magnético máximo? c) ¿Cuál es el campo magnético mínimo y donde se ubica? Tenga en cuenta regiones tanto dentro como fuera del alambre. d) Representar gráficamente el campo en función de la distancia del punto al eje del conductor. 4.17. Un cable coaxial consta de un alambre central de radio a que lleva una corriente I, hacia la derecha, y un tubo de radios b y c centrado con el alambre, que conduce la misma corriente, hacia la izquierda. Ambas corrientes uniformemente distribuidas en las correspondientes secciones transversales. a) Calcular el campo magnético en todo el espacio. b) Representar el campo en función de la distancia al eje. 4.18. Un solenoide de 20 cm de longitud y 2 cm de radio tiene un arrollamiento apretado, de 200 vueltas de cable. La corriente en el bobinado es de 5 A. a) Calcular el campo magnético en un punto próximo al centro del solenoide. b) Analizar para el caso de un solenoide muy largo en todo punto del eje. c) Calcular el flujo a través de la superficie de un anillo de radio r = 4 cm cuyo plano es perpendicular al eje del solenoide y está centrado en él. 4.19. Sobre un anillo de madera de 10 cm de diámetro medio se ha enrollado un devanado toroidal muy apretado de 500 vueltas. a) Calcular el campo magnético en un punto de la circunferencia media del anillo cuando la corriente en el bobinado es de 0.3 A. b) Analizar para el caso de sección rectangular. 5 FIII Guía de Problemas 4: Interacción Magnética c) Calcular, en el inciso b, el flujo magnético total a través de las N espiras. El toroide tiene un radio interior a = 4.5 cm y exterior b = 5.5 cm y cada espira tiene una altura h = 1.5 cm. 4.20. Dos largos alambres rectos y paralelos están separados 8 cm uno del otro. Por uno circula una corriente I1 =2 A y por el otro una corriente I2= 4 A, el sentido de circulación de I1 es contrario al de I2. a) Calcular el campo magnético resultante en el punto medio M entre los conductores. b) Se coloca una espira de radio a = 1 cm con su centro en el punto M, de manera que el momento magnético de la espira forme un ángulo de 30º con el campo magnético B hallado en el ítems a). Calcular la corriente que circula por la espira si el torque magnético en esa posición es 2.35 x 10-8 Nm Hacer un dibujo que muestre el sentido de la corriente que circula por la espira. Recopilación, revisión y edición: G. Colombo, M. Matar, B. Milicic 6 Coordinación J. Hisano Año 2010