matematicas 2º eso________primer ciclo

6.
Circunferencia
y polígonos
Matemáticas 2º ESO
192
1.
Lugares geométricos
2.
Polígonos en la
circunferencia
3.
Simetrías en los polígonos
4.
Longitud de la
circunferencia y superficie
del círculo
Circunferencia y polígonos
1. Lugares geométricos

DOS PUNTOS
a)
Observa los puntos A y B. Dibuja el conjunto de puntos del plano que están situados a 3 cm de A.
Dibuja el conjunto de puntos del plano que están situados a 2 cm de B. ¿Cuántos puntos del
plano están situados al mismo tiempo a 3 cm de A y a 2 cm de B?.
b)
Cambia la posición de los puntos A y B en el plano y repite el mismo ejercicio. ¿Qué ocurre si los
puntos A y B están muy separados?.

POR UN PUNTO
Imagina un punto. Imagina una circunferencia que pase por él. Imagina otras que pasen por él. Haz un
dibujo en el papel. ¿Cuántas circunferencias pasan por un punto del plano?. ¿Dónde están situados
sus centros?.

POR DOS PUNTOS
Dibuja en un papel dos puntos A y B no demasiado separados (pongamos 8 cm). Dibuja una
circunferencia que pase por esos dos puntos.
Dibuja otras circunferencias que también pasen por ellos. ¿Cuántas hay?. ¿Dónde están situados los
centros de todas ellas?.
¿Son posibles circunferencias de cualquier tamaño?. ¿Cuál es el tamaño mínimo?.
193
Matemáticas 2º ESO
Los centros de todas las circunferencias que pasan por A y B están situados en
una recta. ¿Cómo son las distancias de cualquier punto de esta recta a los puntos
A y B?. La recta obtenida se llama mediatriz del segmento AB.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Observa la figura siguiente formada por un segmento y dos circunferencias iguales que se cortan
trazadas desde ambos extremos del segmento.
Dibuja la línea por la que doblarías el papel para que las dos circunferencias coincidiesen. Comprueba
que estás en lo cierto. Esa línea se llama mediatriz del segmento AB. ¿En qué punto corta la mediatriz
al segmento?. ¿Qué ángulo forma con éste?.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su
punto medio.
194
Circunferencia y polígonos

PLEGANDO PAPEL
¿Cómo se puede obtener la mediatriz de un segmento doblando papel?.
Dibuja un segmento AB y dobla el papel de modo que A coincida con B. Traza la mediatriz que indica
el doblez. Marca un punto P en la mediatriz y únelo con los extremos A y B. Dobla de nuevo por la
mediatriz. ¿Cómo son los segmentos PA y PB?.

TRIÁNGULO ISOSCELES
Dibuja el triángulo isósceles ABC en un papel y traza mediante plegado la mediatriz del lado BC.
¿Coincide la mediatriz del lado BC con la altura correspondiente a este lado?.

MEDIATRIZ DE UNA CUERDA
Dibuja una circunferencia. Señala en ella una cuerda, su arco y su ángulo central correspondiente.
Traza, doblando papel, la mediatriz de la cuerda. ¿Pasa el doblez por el centro de la circunferencia?.
195
Matemáticas 2º ESO

MÍNIMA CUERDA
Dado un punto P de un círculo, traza la mayor cuerda que pase por ese punto. Traza también la
cuerda de menor longitud que pase por dicho punto. ¿Qué relación tiene esa cuerda mínima con el
diámetro de la circunferencia?.

FAROLA
Tres amigos desean colocar una farola justo a la misma distancia de sus tres casas situadas en los
puntos A, B y C. Halla el punto donde deben colocarla.
NOTA.- El punto debe ser el centro de una circunferencia que pase por los tres puntos A, B y C.

POR TRES PUNTOS
¿Existe una circunferencia que pase por tres puntos A, B y C?. Imagina la circunferencia más
pequeña posible que pase por A y B. ¿Forma parte de ella el punto C?. Imagina una circunferencia de
mayor diámetro que pase por A y B. ¿Forma parte de ella ahora el punto C?
196
Circunferencia y polígonos

CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Halla, usando únicamente la regla y el compás, el centro de la siguiente circunferencia.
¿Cómo puedes determinar el centro de esta circunferencia si solo está permitido doblar el papel?.

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA I
Dibuja un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Observa que es acutángulo. Traza, plegando papel,
las mediatrices de los tres lados y comprueba que se cortan en un punto. Tomando dicho punto como
centro, traza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.
Se dice que el triángulo está inscrito en la circunferencia y a esta se le llama
circunferencia circunscrita.

PUNTOS ALINEADOS
Dibuja dos segmentos AB y BC con A, B y C alineados y traza sus mediatrices usando regla y
compás. ¿Se cortan estas mediatrices?. ¿Se puede trazar una circunferencia que pase por tres
puntos alineados?.
197
Matemáticas 2º ESO

PUNTO DE TANGENCIA
Imagina dos circunferencias que se tocan en un punto (¡sólo en un punto!). Considera ahora el centro
de cada una y el punto donde se tocan ambas. ¿Cómo crees que están situados esos tres puntos?.
Haz un dibujo y comprueba tu conjetura.

CUATRO PUNTOS
Los cuatro puntos marcados son los vértices de un rectángulo. Traza sus diagonales. ¿Puedes dibujar
una circunferencia que pase por los cuatro puntos?. ¿Hay más de una?.

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA II
a) Intenta trazar una circunferencia circunscrita a este rombo, es decir, una circunferencia que
contenga sus cuatro vértices.
b) Circunscribe, si puedes, circunferencias a estos cuadriláteros.
c) Mide, con la mayor precisión posible, un par de ángulos opuestos en cada uno de los cuadriláteros.
Escribe la conclusión a que has llegado.
198
Circunferencia y polígonos

RECTAS Y CIRCUNFERENCIA
a) Dada la recta r y un punto P de ella, construye la circunferencia tangente a la recta r que pasa por
el punto P. ¿En qué línea se encuentran los centros de las circunferencias tangentes a r que pasan
por el punto P?.
b) Construye la circunferencia tangente a la recta r en el punto A y que pase por el punto B.
c) Dados los dos puntos del plano A y B, traza una recta r que no sea perpendicular a la recta AB.
Después traza una circunferencia que pase por los puntos A y B y cuyo centro esté en la recta r.

TRABAJO CON CABRI-GEOMETRE
El profesor organizará un par de sesiones en el aula de Informática con el programa CABRIGEOMETRE. En la primera se introducirán cuestiones básicas sobre el manejo del programa. En la
segunda sesión el trabajo se centrará en el estudio de círculos y circunferencias analizando, entre
otras cosas, aspectos como:
 Generación de la mediatriz de un segmento
 Estudio dinámico de lugares geométricos sencillos.
Una propuesta de ejemplo:
Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y llama a su centro C. Elige un
punto interior P que no coincida con C. Traza varias cuerdas que pasen por P y
marca en cada una de ellas el punto medio. ¿Cuál es el lugar geométrico formado
por todos esos puntos medios?.
199
Matemáticas 2º ESO

GIRO DE UN CUADRADO
Material: un cuadrado de cartón grueso.
Imagina que el cuadrado de la figura gira, sin deslizarse, apoyando sus lados sobre la recta.
Fíjate en el movimiento del vértice A mientras va girando el cuadrado. ¿Qué curva está describiendo?.
Haz un dibujo.
Fíjate ahora en el centro B del cuadrado y piensa en la curva que etá describiendo. Haz un dibujo.

GIRO DE UN CÍRCULO
Material: un triángulo equilátero, un cuadrado y dos círculos de distinto diámetro construidos en cartón
grueso.
Imagina que un círculo gira sin deslizarse sobre las siguientes figuras geométricas: un segmento, un
triángulo equilátero, un cuadrado y un círculo.
¿Qué línea describe el centro del círculo al rodar sobre cada figura?. Compruébalo con el material y
después haz un dibujo.
Construye las figuras obtenidas con la máxima precisión, utilizando regla y compás.
200
Circunferencia y polígonos

GIRANDO POR EL INTERIOR
Toma una cartulina gruesa (o chapa de madera) y recorta un triángulo y círculos de diversos tamaños.
Agujerea los centros de los círculos.
1) Imagina que el círculo gira por el interior del triángulo, sin deslizarse, apoyándose en él. ¿Qué
figura describirá el centro del círculo?. Compruébalo.
2) Haz lo mismo en el caso de que el círculo gire sobre el interior del círculo grande.

CUARENTA GRADOS
Dibuja un segmento MN de 5 cm de longitud. Por el punto M traza una recta que forme un ángulo de
40º con MN. Traza la perpendicular t a MS en el punto M. Traza la mediatriz m del segmento MN.
Observa que las rectas t y m se cortan en un punto O. Tomando como centro O y como radio OM
traza el arco de la figura.
Señala varios puntos sobre este arco y une cada uno con los extremos del segmento MN. Mide,
despues, con el transportador los ángulos formados con vértice en los puntos señalados. ¿Qué
ocurre?.
Repite la experiencia tomando otros puntos diferentes sobre la circunferencia. Comprueba que desde
todos los puntos de este arco de circunferencia se ve el segmento MN bajo un ángulo de 40º.
201
Matemáticas 2º ESO
2. Polígonos en la circunferencia

LIBRO DE ESPEJOS I
Material: libro de espejos, una plantilla para la actividad como la del dibujo.
Sitúa el eje del libro de espejos sobre el punto dibujado en la plantilla. Coloca las hojas sobre el
segmento para obtener:




un cuadrado
un pentágono regular
un triángulo equilátero
un hexágono regular
¿Puedes conseguir una circunferencia?.
Describe con detalle cómo colocas el libro de espejos para conseguir cada una de esas figuras
incluyendo el ángulo que forman las hojas del libro en cada caso.
Si te fijas (al formarlos) podrás observar que los polígonos regulares pueden inscribirse en una
circunferencia. ¿Por qué?.

ANGULOS DE LOS POLÍGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
En este ejercicio consideraremos polígonos que pueden inscribirse en una circunferencia.
Este poligono está inscrito en la circunferencia Este polígono no está inscrito en la circunferencia
202
Circunferencia y polígonos
a) Mide con tu transportador, lo mejor que puedas, los ángulos A, B, C, D, E, F. Anota su valor. Estos
ángulos se llaman ángulos del polígono.
Los ángulos P, Q, R, S, T, U se llaman ángulos centrales, porque tienen su vértice en el centro de la
circunferencia.
b) Mide con tu transportador cada uno de esos ángulos centrales. Averigua la suma de todos esos
ángulos centrales: P+Q+R+S+T+U=

POLÍGONOS REGULARES EN UNA CIRCUNFERENCIA
A veces se dice que un polígono regular es aquel que tiene sus lados iguales.
Entonces tendríamos que admitir como regular el siguiente polígono, que tiene
todos sus lados iguales, pero sus ángulos no son iguales.
En un polígono regular no sólo los lados han de ser iguales, los ángulos también
han de serlo.
Este polígono sí que es regular. Los lados son iguales y los ángulos A, B, C, D, E, F
son también todos iguales.
203
Matemáticas 2º ESO
a) Intenta inscribir en una circunferencia un polígono regular de 8 lados.
Si te fijas en el hexágono de la figura anterior, verás que todos los ángulos
centrales son iguales. Cada uno de esos ángulos centrales mide...¿cuántos
grados?. Con esto tienes una idea de cómo dibujar cualquier polígono regular
inscrito en una circunferencia: la idea es calcular primero el ángulo central.
b) Inscribe un polígono regular de 10 lados en una circunferencia.

TRIÁNGULO Y HEXÁGONO
a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro e inscribe en ella un triángulo equilátero. Averigua
primero cuánto mide el ángulo central y ayúdate del transportador de ángulos.
b) Traza la mediatriz de un lado del triángulo. ¿Pasa por el vértice opuesto?. Observa que el lado del
triángulo es perpendicular al radio de la circunferencia y lo divide en dos partes. ¿Cómo son esas
partes?.
b) Traza la mediatriz de cada lado del triángulo equilátero y halla los puntos de corte de estas
mediatrices con la circunferencia. ¿Qué figura obtienes al unir esos puntos con los vértices del
triángulo?. Comprueba tu conjetura midiendo con el compás y usando el transportador.

CUADRADO Y OCTÓGONO
a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y traza dos diámetros perpendiculares. ¿Puedes
construir un cuadrado inscrito en dicha circunferencia?.
b) Traza las mediatrices de cada lado del cuadrado y obtén los puntos de corte de estas mediatrices
con la circunferencia. Si unes dichos puntos con los vértices del cuadrado, ¿qué figura resulta?.
Comprueba tu conjetura usando instrumentos de medida como el compás y el transportador de
ángulos.
204
Circunferencia y polígonos

LIBRO DE ESPEJOS II
a) Visualiza con ayuda del libro de espejos polígonos regulares de 8, 10, 12 y 15 lados.
b) Calcula el ángulo que deben formar las hojas del libro de espejo para poder ver polígonos con 8,
10, 12 y 15 lados.
c) También se puede visualizar un polígono regular poniendo uno de los lados del espejo
perpendicularmente al segmento. El ángulo de los espejos es, en este caso, la mitad que en el
anterior.
Compruébalo para el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono y el hexágono regulares.

ESPEJOS Y CERILLAS
¿Cómo tienes que poner las cerillas y los espejos para visualizar un triángulo equilátero?
¿Y un cuadrado? ¿Y un pentágono regular?...

POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Material: Plantilla con circunferencias divididas en diez arcos iguales en las que se han numerado los
puntos de división (ver final del tema).
Une los puntos en la circunferencia con segmentos empezando en el número uno.
205
Matemáticas 2º ESO
Primero hazlo saltando de uno en uno; es decir, une el 1 con el 2, el 2 con el 3, el 3 con el 4 y así
sucesivamente...
Luego hazlo saltando de dos en dos; es decir, une el 1 con el 3, el 3 con el 5, el 5 con el 7 y asi
sucesivamente...
A continuación saltando de tres en tres, de cuatro en cuatro,...
Haz una figura distinta en cada circunferencia. ¿Hay algo que llame tu atención?.

POLÍGONOS REGULARES Y ESTRELLADOS
¿Para qué valores del salto obtenemos polígonos regulares y para qué valores estrellas?. ¿Por qué
crees que ocurre esto?.
Cuando sabemos, sin dibujar, que se va a obtener un polígono regular no estrellado, ¿podemos
anticipar también el número de lados que tendrá?. ¿Cómo?.
¿Puedes dibujar en esta circunferencia (dividida en 10 sectores) un triángulo equilátero?. ¿Por qué?.
¿Qué número de divisiones necesitarías?. ¿Se puede con otro número de divisiones?.
Anotemos en una tabla para qué valores del salto se obtienen los mismos polígonos:
CIRCUNFERENCIA DIVIDIDA
EN 10 ARCOS IGUALES
de 1 en 1 - de 9 en 9
de 2 en 2 - de 8 en 8
de 3 en 3 - de 7 en 7
de 4 en 4 - de 6 en 6
...............................
¿Qué regularidad se observa en la tabla?. ¿Por qué se obtienen los mismos polígonos en estos
casos?.
206
Circunferencia y polígonos

ESTRELLAS Y ESPEJOS
Con los espejos formando ángulo de 45º y uno de los lados perpendicular al segmento, se forma,
como pùedes comprobar, un cuadrado. Pero si colocamos el segmento como aparece en estas
figuras, podrás visualizar estrellas de cuatro puntas.
Compruébalo. Consigue también visualizar estrellas de tres, cinco, seis,... puntas con los ángulos y
posiciones adecuados.

USANDO EL GEOPLANO CIRCULAR
Observa el geoplano circular de la figura. En él, los clavos están distribuídos sobre una circunferencia
o sobre circunferencias concéntricas.
Utiliza el geoplano circular y gomas elásticas para visualizar polígonos regulares. ¿Cuántos clavos
necesitas en cada caso?.
Visualiza diversos polígonos estrellados de distintos tipos en el geoplano circular. ¿Cuántos clavos
necesitas en cada caso?.
¿Cuántos polígonos se pueden obtener en un geoplano de 12 clavos?. ¿Y en uno de 17 clavos?
207
Matemáticas 2º ESO

PENTÁGONOS Y OCTÓGONOS
a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro. Utiliza un transportador de ángulos para dividir la
circunferencia en cinco partes iguales. Después une las divisiones de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3,
etc y observa los resultados.
b) Dibuja otra circunferencia de 10 cm de diámetro y divídela en 10 partes iguales con el
transportador. Une después las divisiones de 2 en 2, de 4 en 4, de 6 en 6, etc y compara los
resultados con los obtenidos en el apartado (a).
c) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y divídela en 8 partes iguales con ayuda del
transportador de ángulos. ¿Qué polígonos puedes obtener al unir las divisiones de todas las
formas posibles?.

SIN DIBUJAR
Investiga (sin dibujar) qué polígonos puedes obtener en una circunferencia dividida en 12 arcos
iguales.

DIBUJANDO
Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y señala su centro. Con ayuda del transportador de
ángulos, divide la circunferencia en 12 arcos iguales.
208
Circunferencia y polígonos
Si unes los puntos consecutivamente, el 1 con el 2, el 2 con el 3, etc, tendrás un dodecágono regular.
Si los unieses salteados de dos en dos, el 1 con el 3, el 3 con el 5, etc, ¿qué obtendrías?.
¿Cómo conseguirás un triángulo equilátero?.
¿Puedes obtener algún otro polígono regular no estrellado?.

POLÍGONOS REGULARES Y DIVISIBILIDAD
Comprueba si es o no cierto lo que se afirma en la siguiente tabla:
Dividida la circunferencia en
Se obtienen polígonos regulares
uniendo los puntos
de 1 en 1
10 partes iguales
de 2 en 2
de 5 en 5
de 1 en 1
de 2 en 2
12 partes iguales
de 3 en 3
de 4 en 4
de 6 en 6
Mientras que de otra forma se obtienen polígonos estrellados. Fíjate otra vez:
Estos números tienen una propiedad muy importante. A ver si la descubres. Investiga otros casos e
intenta dar un resultado general.

NUEVE LADOS
Dibuja un polígono regular estrellado de 9 lados.
209
Matemáticas 2º ESO

SIETE PARTES
Material: plantilla de circunferencia dividida en 7 partes iguales.
a) ¿Cuántos grados mide cada uno de los arcos que se forman?.
b) Si se unen cada dos puntos de división consecutivos, ¿qué polígono regular se forma?.
c) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos centrales de un heptágono regular?.
3. Simetrías en los polígonos

SIMETRÍAS
a) Utiliza un espejo para encontrar los ejes de simetría de las siguientes figuras:
b) Utiliza el libro de espejos para hallar el centro de simetría, si existe, en cada una de las figuras
anteriores.
210
Circunferencia y polígonos

SIMETRÍAS EN EL TRIÁNGULO
a) ¿Puedes dibujar un triángulo que sólo tenga un eje de simetría?. ¿Cómo son sus angulos?.
b) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isósceles?. ¿Y un triángulo equilátero?.
c) Aprovechando la simetría de los triángulos isósceles puedes obtener uno de ellos dando dos cortes
en un papel plegado. Uno de los cortes ha de ser perpendicular al doblez.
d) Repite la experiencia procurando que el segundo corte sea el doble de largo que el primero.
Obtendrás así un triángulo equilátero.
e) ¿Tiene centro de simetría un triángulo equilátero?.

SIMETRÍAS EN LOS CUADRILÁTEROS
a) Dibuja un cuadrado de 6 cm de lado. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?. Dibújalos. ¿Tiene centro de
simetría?. Comprueba tus afirmaciones recortando el cuadrado y plegando el papel.
b) Dibuja un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm. Con ayuda de un espejo localiza sus ejes de simetría.
¿Cuál es su centro de simetría?. Comprueba tus respuestas recortando y plegando papel.
211
Matemáticas 2º ESO
c) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rombo? ¿Y un romboide?.
d) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cometa?. ¿Y un trapecio isósceles?
e) ¿Tienen centro de simetría los paralelogramos?.
f) Dibuja un trapecio con un eje de simetría. Compruébalo recortándolo y plegándolo.
g) Construye un cuadrilátero no trapecio que tenga un eje de simetría. Puedes conseguirlo dando dos
cortes a un papel plegado. Hazlo de distintas formas.
h) ¿Puedes dibujar un cuadrilátero que tenga tres ejes de simetría, pero no cuatro?.
i) ¿Se puede dibujar un cuadrilátero con sólo dos ejes de simetría que no sean perpendiculares?.

SIMETRÍAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES
a) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular?.
Dibuja los tres polígonos utilizando plantillas si es preciso y señala en cada uno sus ejes de
simetría.
b) ¿Cuántos ejes de simetría tedrá un hexágono regular? ¿Y un octógono regular?. ¿Y un polígono
regular de 12 lados?.
212
Circunferencia y polígonos
c) Construye con regla y compás un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Recórtalo y, plegando,
señala sus ejes de simetría. Haz el mismo ejercicio con un hexágono regular de 6 cm de lado.
d) Dibuja una figura con 6 ejes de simetría que no sea un hexágono regular. Para ello utiliza el libro
de espejos y una plantilla, si es preciso.

a)
DODECÁGONO REGULAR
El dodecágono regular es un polígono regular de 12 lados. ¿Cuál es el ángulo central de este
polígono?. Construye un dodecágono regular de 2 cm de lado.
Para ello hay que construir, en primer lugar, un dodecágono regular cualquiera, lo
que podrás conseguir si trazas una circunferencia de cualquier radio y, con ayuda
del transportador de ángulos la divides en 12 partes iguales.
Después, basta ampliar los lados del dodecágono obtenido hasta que midan 2 cm.
¡Observa la figura!.
b)
¿Cuántos ejes de simetría tiene el polígono que has construido en el apartado anterior?. ¿Tiene
centro de simetría?.
213
Matemáticas 2º ESO

SIMETRÍAS EN POLÍGONOS ESTRELLADOS
a) Usando una plantilla, dibuja un pentágono regular y construye luego otro cuyo lado sea el doble.
Traza el correspondiente pentágono estrellado uniendo los vértices de 2 en 2. Investiga con un
espejo cuántos ejes de simetría tiene la figura obtenida. ¿Tiene centro de simetría?.
b) Dibuja un octógono regular de 3 cm de lado. Si es preciso, usa el método visto en el problema
anterior. A continuación dibuja el correspondiente octógono estrellado uniendo los vértices de 3 en
3. Utilizando un espejo investiga cuántos ejes de simetría tiene la figura obtenida. ¿Tiene centro de
simetría?.

ADOSADOS
Esta figura es el resultado de adosar un hexágono regular y un cuadrado. ¿Cuántos ejes de simetría
tiene?. Dibújala y señala los ejes de simetría. Indica si tiene o no centro de simetría.

SOBRE SIMETRÍAS
Si una figura tiene dos ejes de simetría perpendiculares, ¿el punto de corte de estos ejes es centro de
simetría?. Investiga buscando figuras con dos ejes de simetría perpendiculares. Redacta tus
conclusiones.
214
Circunferencia y polígonos
4. Longitud de la circunferencia y superficie del círculo

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
¿Cómo podemos medir la longitud de una circunferencia?. Mide las circunferencias que puedas hallar
en los siguientes objetos y completa la tabla siguiente:
d
L
L/d
CD
botella
plato
rueda
aro
A la vista de la tabla, ¿sabrías decir cuál es la longitud aproximada de una circunferencia de 10 cm de
diámetro sin medirla?. ¿Y de otra de 3 cm de radio?.
¿Tienes una fórmula para calcular la longitud de cualquier circunferencia?.
Observa que para cualquier circunferencia, el cociente L / d se mantiene constante
y es un poquito más de 3. Este número se llama número  y tiene infinitas cifras
decimales que no forman periodo:
 = 3'141592653589...
En la práctica se toman aproximaciones de este número. Por ejemplo,  = 3’14,  =
3’142,  = 3’1416.
La longitud de la circunferencia es:
L=d
O bien, teniendo en cuenta que el diámetro es el doble del radio:

L=2r
BOTE DE TENIS
Material: un bote cilíndrico de tres pelotas de tenis.
Contesta sin medir: ¿qué mide más, la altura del bote o la circunferencia de la base?.
Compruébalo y da una explicación de lo que ocurre.
215
Matemáticas 2º ESO

TRIPLICAR EL RADIO
a) Calcula la longitud de una circunferencia de 2 cm de radio y la longitud de otra circunferencia de
triple radio que la anterior.
b) ¿En cuanto aumenta la longitud de una circunferencia cuando su radio se triplica?.

RADIO DE LA TIERRA
Averigua la longitud del radio de la Tierra, suponiendo que el ecuador terrestre es circular y mide
cuarenta mil kilómetros.

COCHE
¿Qué distancia recorre un coche cuyas ruedas miden 68 cm de diámetro y giran sin patinar 2500
vueltas?.

CIRCUNFERENCIA INSCRITA
Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula la longitud de la circunferencia inscrita.
216
Circunferencia y polígonos

POLEAS
Averigua la longitud de la correa que une dos poleas de 35 cm de diámetro cuyos centros distan 2’35
metros.

SUPERFICIE DEL CÍRCULO
Material: círculos dibujados sobre papel milimetrado.
Calcula la superficie aproximada de los siguientes círculos.
Completa usando tus datos la siguiente tabla:
217
Matemáticas 2º ESO
2
RADIO (r) SUPERFICIE ESTIMADA (S) S / r
¿Qué fórmula utilizarías para hallas la superficie de cualquier círculo conociendo su radio?.
2
En la tabla anterior has observado que el cociente S / r se mantiene constante y es
un poquito mayor que 3, es decir, se trata del número .
2
S=r
Por lo tanto, la superficie del círculo es:
En efecto, si dividimos el círculo en un número cada vez mayor de sectores iguales
como se indica en las siguientes figuras, el círculo es equivalente (tiene la misma
superficie) que un paralelogramo de base  r y altura r. Usando la fórmula que
da el área de un paralelogramo obtenemos
2
S=rr=r
218
Circunferencia y polígonos

CALCULA ÁREAS
En cada figura, calcula el área de la zona coloreada.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
En la última figura los arcos AB y CD son semicircunferencias.
219
Matemáticas 2º ESO

MESAS
a) Una mesa está formada por una parte central cuadrada de un metro de lado y dos semicírculos
adosados en dos lados opuestos. ¿Cuál es el área de la mesa?.
b) Calcula el radio de una mesa circular para doce personas, sabiendo que cada una de ellas ocupa
un arco de 75 cm.

PISTA DE ATLETISMO
En la siguiene figura tienes las dimensiones de una pista de atletismo. ¿Cuál es la longitud total de la
pista?. ¿Cuál es la superficie total del terreno que ocupa?.

FLORES
a) Calcula el perímetro y el área de la zona coloreada
220
Circunferencia y polígonos
b) ¿Cuál es la superficie de la flor?

CUATRO CABRAS
En un prado cuadrado de 100 m de lado hay cuatro cabras, cada una atada a una esquina con una
cuerda de 50 m. ¿Cuál es la superficie a la que no alcanzan las cabras?.

MÁXIMA ÁREA
A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia.
¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?.
221
Matemáticas 2º ESO

VACAS PASTANDO
Las vacas son animales bastante pacíficos, pero las de esta historia se han vuelto violentas y
agresivas. Tienes un campo donde has de dejarlas pastando, atada cada una a un poste. ¿Cómo
colocarías los postes para que no se peleen por el pasto y se aproveche el campo lo más posible?.

JARRÓN
¿Cuánto vale el área de la figura sombreada?. Los cuatro círculos son iguales y sus centros ocupan
los vértices de un cuadrado.
222