1o Grado en Ingenierı́a Mecánica Matemáticas I - Grupo T2 Tema 6: Funciones de varias variables En estas notas explico el final del Tema 6 que no he tenido tiempo de explicar en clase. Casi todos los grupos medianos habéis avanzado hasta el mismo punto, pero siempre hay pequeñas diferencias. Por tanto, puede ser que alguno ya haya visto en clase parte de lo que aquı́ explico. La primera semana después de navidades corregiremos la relación de problemas correspondiente al Tema 6 en las sesiones prácticas. Si es necesario, en esa misma sesión explicaré lo que no se entienda de este documento. IMPORTANTE: He actualizado la relación de problemas eliminando algunos ejercicios que con los contenidos teóricos explicados no se pueden realizar. Derivadas sucesivas Todos habéis visto en clase la definición de derivada sucesiva y el cálculo de éstas. Hay una propiedad muy importante de simetrı́a que verifican las derivadas sucesivas: el teorema de Schwarz, que aunque lo he nombrado en todos los grupos, no en todos lo he escrito con detalle, ası́ que paso a hacerlo: Teorema de simetrı́a de Schwarz. Sea f : A ⊆ R2 → R una función de dos variables. Si las derivadas parciales de 2o orden cruzadas ∂2f (x, y) (fxy ) ∂x∂y ∂2f (x, y) (fyx ) ∂y∂x y son continuas, entonces coinciden. Ejemplo Sea f (x, y) = xex 2 +y 2 . Es inmediato comprobar que ∂f 2 2 (x, y) = (1 + 2x2 )ex +y ∂x y ∂f 2 2 (x, y) = 2xyex +y . ∂y A partir de aquı́, podemos calcular las derivadas parciales de 2o orden de la función f , y comprobar que efectivamente el teorema de Schwarz se verifica: ∂2f 2 2 (x, y) = 2x(3 + 2x2 )ex +y , 2 ∂x ∂2f 2 2 (x, y) = 2y(1 + 2x2 )ex +y , ∂x∂y 1 ∂2f 2 2 (x, y) = 2y(1 + 2x2 )ex +y , ∂y∂x ∂2f 2 2 (x, y) = 2x(1 + 2y 2 )ex +y . 2 ∂y Es importante tener en cuenta que, como todo lo que se ha estudiado en este tema, el teorema de Schwarz también es cierto para funciones de más de dos variables. Ası́, siempre que consideremos derivadas parciales de 2o orden cruzadas, y que sean continuas, el orden de derivación no va a importar. Por ejemplo, si f es una función de tres variables con todas sus derivadas parciales de 2o orden cruzadas continuas: ∂2f ∂2f (x, y, z) = (x, y, z), ∂x∂y ∂y∂x y ∂2f ∂2f (x, y, z) = (x, y, z) ∂x∂z ∂z∂x ∂2f ∂2f (x, y, z) = (x, y, z). ∂y∂z ∂z∂y El teorema también es válido cuando realizamos derivadas parciales de orden mayor que 2: si las derivadas correspondientes son continuas, entonces lo único que importa es el número de veces que derivamos con respecto a cada variable, pero no el orden. Por ejemplo, si f es una función de dos 3 ∂3f ∂3f variables y ∂x∂ 2 f∂y (x, y), ∂x∂y∂x (x, y) y ∂y∂x 2 (x, y) son funciones continuas, entonces coinciden. NOTA: Aunque en los ejemplos que utilizamos y en los ejercicios las derivadas parciales de cualquier orden serán casi siempre continuas, hay que tener presente que la continuidad es fundamental, si fallase esta condición las derivadas no tendrı́an porque coincidir. Relación entre el gradiente y las derivadas direccionales El cálculo de una derivada de una función en un punto con respecto a un vector (o de una derivada direccional) mediante la definición como lı́mite puede ser largo y complicado. Por ello, es útil tener un método alternativo de cálculo mucho más práctico: Sea f : A ⊆ R2 → R. Si existen las derivadas parciales y son continuas, entonces ∀a = (x0 , y0 ) ∈ A y ∀v ∈ R2 se tiene que: f 0 (a; v) = ∇f (a) · v. 2 NOTA: Recordemos que v · w representa el producto escalar de dos vectores v y w. Ası́, si v = (x, y) y w = (z, t) su producto escalar se calcula como v · w = xz + yt. 2 2 Ejemplo. Sea la función del ejemplo anterior f (x, y) = xex +y . En el ejemplo observamos que las derivadas parciales de f son continuas, por tanto, la derivada de f en el punto a = (1, 0) con respecto al vector v = (2, 3) viene dada por f 0 (a, v) = f 0 ((1, 0); (2, 3)) = ∇f (a) · v. Ahora bien, dado cualquier punto (x, y) ∈ R2 ∂f ∂f 2 2 2 2 ∇f (x, y) = (x, y), (x, y) = (1 + 2x2 )ex +y , 2xyex +y , ∂x ∂y y por tanto ∇f (a) = ∇f (1, 0) = (3e, 0). Luego finalmente, f 0 (a, v) = f 0 ((1, 0); (2, 3)) = (3e, 0) · (2, 3) = 6e. Ya os he explicado en clase que el gradiente a una función en un punto es perpendicular a la curva de nivel de la función que pase por dicho punto. Como ya os he contado también, esto está relacionado con el hecho de que la dirección del vector gradiente nos indica la dirección de ascenso más rápido, es decir, la dirección para la cual la derivada direccional es mayor. Por otro lado, si consideramos como vector el opuesto al vector gradiente, obtendremos la menor derivada direccional posible. Por último, si tomamos un vector tangente a la curva de nivel la derivada direccional correspondiente se anula (ya que “nos mantenemos en la misma altura”). Esto se traduce en las siguientes propiedades: Sea f : A ⊆ R2 → R y sea a ∈ A. Si existen las derivadas parciales de f en a y coinciden, entonces: a) {max f 0 (a; v) : v ∈ R2 , |v| = 1} = |∇f (a)| y se alcanza cuando ∇f (a) v = |∇f (a)| . b) {min f 0 (a; v) : v ∈ R2 , |v| = 1} = −|∇f (a)| y se alcanza cuando ∇f (a) v = − |∇f (a)| . 3 c) Si v es perpendicular a ∇f (a), es decir, si v es tangente a la curva de nivel de f que pasa por a, entonces f 0 (a, v) = 0. 4