Teoría Tema 2

Tema 2
Redes de dos puertas:
Cuadripolos
2.1. Introducción
„
„
„
En el capítulo anterior hemos analizado el funcionamiento
“interno” del circuito; ahora, vamos a caracterizar el circuito desde
el punto de vista “externo”, es decir, con respecto a su relación
con elementos ajenos al propio circuito.
Trataremos ahora el circuito a modo de “caja negra”, que se
inserta entre un generador (entrada) y una carga (salida).
Si denominamos “puertas” a la entrada y salida, estaremos
tratando con circuitos de dos puertas, también denominados
cuadripolos.
i1(t)
i2(t)
a
c
v1(t)
v2(t)
b
i1’(t)
d
i2’(t)
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T2.2
2.1. Introducción
„
„
„
Toda la información relevante del cuadripolo está referida a las
tensiones y corrientes en las puertas: v1, v2, i1 e i2.
No nos interesará, por consiguiente, calcular tensiones y
corrientes dentro del circuito.
En este capítulo, analizaremos los cuadripolos que cumplen las
siguientes restricciones:
1) En ausencia de generador de entrada, no hay energía alamacenada
en el circuito: condiciones iniciales nulas en L y C.
2) No existen fuentes independientes en el circuito.
3) La corriente que sale por una puerta es igual a la que entra en la
misma, esto es:
i1(t ) = i1' (t )
y
i 2 (t ) = i 2' (t )
4) No pueden existir conexiones entre puertas; esto es, no puede estar
conectado “a” con “c”, “a” con “d”, “b” con “c” ó “b” con “d”.
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T2.3
2.2. Caracterización de un cuadripolo
„
2.2.1. Parámetros Característicos:
I1
V1
„
„
„
I2
Circuito en el
dominio “s”
V2
En el análisis de cuadripolos, nos interesará conocer las cuatro
variables terminales: V1, V2, I1 e I2 .
En general, dicho análisis se realiza en el dominio de Laplace: el
caso resistivo (s=0), o el régimen permanente sinusoidal (s=jω)
serán casos particulares.
De estas cuatro variables, sólo dos son independientes: el
cuadripolo se describe tan sólo con dos ecuaciones simultáneas
que relacionan V1, V2, I1 e I2 .
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T2.4
2.2. Caracterización de un cuadripolo
Existen varias formas distintas de combinar estas variables en dos
ecuaciones simultáneas, a saber:
„
‰
Parámetros de Inmitancia:
V1 = z11 ⋅ I1 + z12 ⋅ I 2 ⎫
⎬ Parámetros impedancia [Z ]
V2 = z21 ⋅ I1 + z22 ⋅ I 2 ⎭
I1 = y 11 ⋅ V1 + y 12 ⋅ V2 ⎫
⎬ Parámetros admitancia [Y ]
I 2 = y 21 ⋅ V1 + y 22 ⋅ V2 ⎭
Téngase en cuenta que cualquiera de estos conjuntos de parámetros se
pueden expresar de forma matricial. A modo de ejemplo, tendríamos
que:
⎡V1 ⎤ ⎡ z11 z12 ⎤ ⎡I1 ⎤
⋅⎢ ⎥
⎢ ⎥ = ⎢z
⎥
⎣V2 ⎦ ⎣ 21 z22 ⎦ ⎣I 2 ⎦
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T2.5
2.2. Caracterización de un cuadripolo
‰
Parámetros Híbridos:
V1 = h11 ⋅ I1 + h12 ⋅ V2 ⎫
⎬ Parámetros híbridos [H ]
I 2 = h21 ⋅ I1 + h22 ⋅ V2 ⎭
I1 = g11 ⋅V1 + g12 ⋅ I 2 ⎫
⎬ Parámetros híbridos inversos [G ]
V2 = g 21 ⋅ V1 + g 22 ⋅ I 2 ⎭
‰
Parámetros de Transmisión:
V1 = A ⋅ V2 − B ⋅ I 2 ⎫
⎬ Parámetros de transmisió n [T ]
I1 = C ⋅V2 − D ⋅ I 2 ⎭
Junto con los parámetros anteriores, existen también los parámetros
inversos a los de transmisión, si bien no son muy utilizados.
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T2.6
2.2. Caracterización de un cuadripolo
2.2.2. Relación entre parámetros.
„
A partir de un conjunto de parámetros, es posible calcular el
resto. Para ello, existen unas reglas o tablas de conversión de
parámetros, a saber:
‰
[Z] y [Y] son inversos:
⎡ z11 z12 ⎤ ⎡ y 11 y 12 ⎤
=⎢
⎢z
⎥
⎥
z
y
y
21
22
21
22
⎣
⎦ ⎣
⎦
‰
−1
[H] y [G] son inversos:
⎡h11 h12 ⎤ ⎡g11 g12 ⎤
=⎢
⎥
⎢h
⎥
h
g
g
22 ⎦
⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 21
−1
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T2.7
2.2. Caracterización de un cuadripolo
2.2.3. Significado circuital de los parámetros característicos
„
‰
Parámetros de impedancia:
V1 = z11 ⋅ I1 + z12 ⋅ I 2
(1)
V2 = z21 ⋅ I1 + z22 ⋅ I 2
( 2)
z11 =
z22 =
z12 =
z21 =
V1
I1
V2
I2
V1
I2
V2
I1
I1
I2
V1
V2
entrada
salida
(Ω ) ⇒ Impedancia de entrada con salida en circuito abierto
I 2 =0
(Ω ) ⇒ Impedancia de salida con entrada en circuito abierto
I1 =0
(Ω ) ⇒ Impedancia de transferencia inversa con entrada en cto. abierto
I1 =0
(Ω ) ⇒ Impedancia de transferencia directa con salida en cto. abierto
I 2 =0
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T2.8
2.2. Caracterización de un cuadripolo
‰
Parámetros híbridos:
I1
V1 = h11 ⋅ I1 + h12 ⋅ V2
(1 )
I 2 = h21 ⋅ I1 + h22 ⋅ V2
( 2)
h11 =
V1
I1
h22 =
h12 =
h21 =
I2
V2
V1
V2
I2
I1
I2
V1
V2
entrada
salida
(Ω) ⇒ Impedancia de entrada con salida en cortocircuito
V2 =0
(S ) ⇒ Admitancia de salida con entrada en circuito abierto
I1 =0
(s. d .) ⇒ Ganancia de tensión inversa con entrada en cto. abierto
I1 =0
(s. d .) ⇒ Ganancia de corriente directa con salida en cortocircuito
V2 =0
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T2.9
2.2. Caracterización de un cuadripolo
„
Ejemplo: Calcular los parámetros [Y] y [Z] del siguiente
cuadripolo:
I1
V1
I2
zb
za
• za = 20 Ω
zc
V2
• zb = 5 Ω
• zc = 15 Ω
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T2.10
2.2. Caracterización de un cuadripolo
2.2.4. Cuadripolos Recíprocos y Simétricos.
„
‰
a) Cuadripolos Recíprocos:
Un cuadripolo es recíproco si cumple las siguientes relaciones
entre parámetros:
z12 = z21
y 12 = y 21
T = 1 = A ⋅ D − B ⋅C
h12 = −h21
g12 = −g 21
Sólo es necesario determinar tres parámetros
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T2.11
2.2. Caracterización de un cuadripolo
‰
b) Cuadripolos Simétricos:
Un cuadripolo recíproco es simétrico cuando el intercambio de sus
puertas de entrada y salida no produce alteración en las tensiones
y corrientes de las mismas. Es decir, resulta indiferente conectar el
generador y la carga en cualquiera de sus puertas.
Sus parámetros verifican, además de las relaciones anteriores, las
siguientes:
z11 = z22
y 11 = y 22
A=D
H = h11 ⋅ h22 − h12 ⋅ h21 = 1
G = g11 ⋅ g 22 − g12 ⋅ g 21 = 1
Sólo es necesario determinar dos parámetros
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T2.12
2.3. Conexión de cuadripolos
„
Existen cinco modos de conexión básicos entre
cuadripolos:
• CASCADA
1
2
[T] = [T]1
[T]2
1
• SERIE
[Z] = [Z]1 + [Z]2
2
1
• PARALELO
[Y] = [Y]1 + [Y]2
2
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T2.13
2.3. Conexión de cuadripolos
1
• SERIE - PARALELO
[H] = [H]1 + [H]2
2
1
• PARALELO - SERIE
[G] = [G]1 + [G]2
2
Estas reglas sólo son estrictamente aplicables en el caso de la conexión
en cascada. En cualquier otra situación, sólo son válidas si los
cuadripolos satisfacen ciertas premisas cuando son conectados entre sí.
Sin embargo, nosotros supondremos que la conexión es factible.
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T2.14
2.3. Conexión de cuadripolos
„
Ejemplo: Dados dos cuadripolos A y B, conectados en cascada y
caracterizados por sus parámetros [H] respectivos, calcular los
parámetros [H] del cuadripolo resultante.
[H ] A
−3 ⎤
⎡s
=⎢
⎥
⎢⎣− s s + 3⎥⎦
[H ] B
1 ⎤
⎡4
=⎢
⎥
⎢⎣− 1 s + 1⎥⎦
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T2.15
2.4. Cuadripolos cargados
Zg
Vg(s)
I1
V1
I2
Circuito en el
dominio “s”
V2
ZL
Vg(s)≡ tensión interna del generador
Zg ≡ impedancia interna del generador
ZL ≡ impedancia de carga
Figuras de Mérito
„
‰
‰
V1(s )
I1(s )
I (s )
1’) Admitancia de entrada: Yin = 1
V1(s )
1) Impedancia de entrada: Zin =
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T2.16
2.4. Cuadripolos cargados
‰
2) Corriente de salida: I 2
‰
3) Tensión de Thévenin en la puerta de salida: VTH (s ) = V2 (s )
I
‰
4) Impedancia de Thévenin en la puerta de salida: ZTH
2 ( s )=0
V2 (s )
=
I 2 (s ) V
g ( s )=0
‰
‰
‰
I 2 (s )
I1(s )
V (s )
6) Ganancia de tensión 1: GV = 2
1
V1(s )
V (s )
7) Ganancia de tensión 2: GV2 = 2
Vg (s )
5) Ganancia de corriente: GI =
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T2.17
2.4. Cuadripolos cargados
‰
Todas estas medidas pueden calcularse utilizando las siguientes
ecuaciones
V1(s ) = Z11 ⋅ I1(s ) + Z12 ⋅ I 2 (s )
V2 (s ) = Z21 ⋅ I1(s ) + Z22 ⋅ I 2 (s )
V1(s ) = Vg (s ) − I1(s ) ⋅ Zg
V2 (s ) = −I 2 (s ) ⋅ ZL
O cualquier otro par de ecuaciones
simultáneas de parámetros del
cuadripolo
Ecuaciones adicionales
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T2.18