Introducción a la Relatividad General

Las ideas fı́sicas de la Relatividad General
100,5 años de Relatividad General
Bert Janssen
Dpto. de Fı́sica Teórica y del Cosmos - UGR
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
1/50
0. Aclaración
Existen dos teorı́as de la Relatividad:
1. La Relatividad Especial (o restringida) (Einstein, 1905)
• Movimiento y reposo relativo
• Espacio y tiempo relativo
• E = mc2
−→ No es el tema de hoy...
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2/50
2. La Relatividad General (Einstein, 1915)
= teorı́a moderna de la gravedad
= “gravedad newtoniana + relatividad especial“
→
+
(1687)
B. Janssen (UGR)
(1905)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
(1915)
3/50
2. La Relatividad General (Einstein, 1915)
= teorı́a moderna de la gravedad
= “gravedad newtoniana + relatividad especial“
→
+
(1687)
(1905)
(1915)
• Espaciotiempo curvo
• Agujeros negros
• Ondas gravitatorias
−→ Sı́ es el tema de hoy...
• Cosmologı́a
B. Janssen (UGR)
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3/50
Relatividad General es más complicada que Relatividad Especial
Cfr: Cuadrado como caso especial de un paralelogramo
d1
α
d2
a=b
b
a
α = π /2
a
B. Janssen (UGR)
d
a
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4/50
Relatividad General es más complicada que Relatividad Especial
Cfr: Cuadrado como caso especial de un paralelogramo
d1
d2
α
a=b
b
a
α = π /2
a
a
C = 2 (a + b)
−→
C = 4a
A = a b sin α
−→
A = a2
√
d1 = a2 + b2 − 2ab cos α
√
d2 = a2 + b2 + 2ab cos α
B. Janssen (UGR)
d
−→
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
√
d = 2a
4/50
Relatividad General es más complicada que Relatividad Especial
Cfr: Cuadrado como caso especial de un paralelogramo
d1
d2
α
a=b
b
d
a
α = π /2
a
a
C = 2 (a + b)
−→
C = 4a
A = a b sin α
−→
A = a2
√
d1 = a2 + b2 − 2ab cos α
√
d2 = a2 + b2 + 2ab cos α
−→
√
d = 2a
Relatividad Especial: caso especial donde la velocidad es constante
Relatividad General: movimiento general =⇒ más complicado
B. Janssen (UGR)
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4/50
Plan de la conferencia
1. Breve repaso de Relatividad Especial
B. Janssen (UGR)
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5/50
Plan de la conferencia
1. Breve repaso de Relatividad Especial
2. La gravedad
−→ Conflicto!
B. Janssen (UGR)
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5/50
3. El Principio de Equivalencia
~
F=mg
F=0
4. Relatividad General
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6/50
5. Consecuencias y aplicaciones
6. Resumen y preguntas abiertas
B. Janssen (UGR)
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7/50
1. Repaso de Relatividad Especial
• Izquierda y derecha, delante y detras, arriba y abajo son conceptos
relativos
B. Janssen (UGR)
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8/50
1. Repaso de Relatividad Especial
• Izquierda y derecha, delante y detras, arriba y abajo son conceptos
relativos
• Reposo y movimiento uniforme rectilı́neo también lo son
?
←
B. Janssen (UGR)
?
→
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8/50
• La fı́sica es la misma en reposo y en movimiento uniforme rectilı́neo
B. Janssen (UGR)
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• La fı́sica es la misma en reposo y en movimiento uniforme rectilı́neo
• El tiempo y las longitudes también se vuelven relativos
t, L
t’, L’
v
t, L
t’, L’
B. Janssen (UGR)
L > L’
t < t’
v
L < L’
t > t’
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9/50
• Velocidad de la luz es la velocidad máxima permitida
C
300 000 km/s
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10/50
• Velocidad de la luz es la velocidad máxima permitida
C
300 000 km/s
−→ Luz de lejos ha tardado mucho en llegar...
B. Janssen (UGR)
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10/50
• Velocidad de la luz es la velocidad máxima permitida
C
300 000 km/s
−→ Luz de lejos ha tardado mucho en llegar...
−→ Pero ¿cuánto tarde su gravedad?
B. Janssen (UGR)
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10/50
2. La gravedad
Hace que las cosas se caigan...
B. Janssen (UGR)
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11/50
2. La gravedad
Hace que las cosas se caigan...
Hace que las cosas tengan peso...
B. Janssen (UGR)
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11/50
Define lo que llamamos arriba y abajo...
B. Janssen (UGR)
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12/50
Mantiene la luna y los planetas en órbita...
B. Janssen (UGR)
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13/50
Mantiene la luna y los planetas en órbita...
Es la fuerza que domina el universo...
B. Janssen (UGR)
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13/50
Investigada por Galilei en la Tierra alrededor de 1600
B. Janssen (UGR)
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14/50
Investigada por Galilei en la Tierra alrededor de 1600
−→ Todos los objetos caen con la misma velocidad,
independientemente de su masa... en el vacio
Caı́da libre:
x(t) = x0 + v0 t −
2
1
g
t
2
v(t) = −g t
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14/50
Mejor entendida por Newton en 1687
Cualesquiera dos masas en el universo se atraen por una fuerza...
B. Janssen (UGR)
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15/50
Mejor entendida por Newton en 1687
Cualesquiera dos masas en el universo se atraen por una fuerza...
B. Janssen (UGR)
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15/50
Una teorı́a muy exitosa! Predice las efemérides planetarias
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16/50
Una teorı́a muy exitosa! Predice las efemérides planetarias
Hasta predijo la existencia de Neptuno por perturbaciones en órbita de Urano
Couch-Adams & Le Verrier, 1845
B. Janssen (UGR)
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16/50
Pero ¿Cómo se propaga la gravedad? ¿A qué velocidad?
puff
???
Newton: “Hipotheses non fingo”
B. Janssen (UGR)
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17/50
Pero ¿Cómo se propaga la gravedad? ¿A qué velocidad?
puff
???
Newton: “Hipotheses non fingo”
Einstein:
C
300 000 km/s
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
17/50
Pero ¿Cómo se propaga la gravedad? ¿A qué velocidad?
puff
???
Newton: “Hipotheses non fingo”
Einstein:
C
300 000 km/s
−→
B. Janssen (UGR)
Clara contradicción!!!
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17/50
La gravedad newtoniana es incompatible con la Relatividad Especial
• Acción a distancia
• Velocidad de propagación infinita
¿Cómo compatibilizarlo?
B. Janssen (UGR)
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18/50
La gravedad newtoniana es incompatible con la Relatividad Especial
• Acción a distancia
• Velocidad de propagación infinita
¿Cómo compatibilizarlo?
Con una nueva teorı́a de la gravedad...
Relatividad General
B. Janssen (UGR)
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18/50
Problema: Relatividad especial sólo valida para observadores en M.U.R.
B. Janssen (UGR)
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19/50
Problema: Relatividad especial sólo valida para observadores en M.U.R.
Pero no para observadores acelerados
¿Cómo compatibilizar observadores acelerados y Relatividad Especial?
B. Janssen (UGR)
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19/50
3. El Principio de Equivalencia
La fuerza gravitatoria se puede aumentar o disminuir con aceleraciones...
B. Janssen (UGR)
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20/50
3. El Principio de Equivalencia
La fuerza gravitatoria se puede aumentar o disminuir con aceleraciones...
hasta tal punto que...
~
F=mg
B. Janssen (UGR)
F=0
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20/50
En realidad no hay tanta diferencia entre...
Principio de Equivalencia:
Un observador en caı́da libre es localmente indistinguible de un
observador inercial
~
F=mg
B. Janssen (UGR)
F=0
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21/50
Se puede “apagar” la gravedad...
~
F=mg
F=0
... y considerar observadores acelerados como inerciales
B. Janssen (UGR)
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22/50
Se puede “apagar” la gravedad...
~
F=mg
F=0
... y considerar observadores acelerados como inerciales
... pero sólo localmente...
−→ Espacio localmente plano = espacio curvo!
B. Janssen (UGR)
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22/50
4. Relatividad General
Gravedad = espacio curvo
La materia indica cómo se curva el espacio.
El espacio indica cómo se mueve la materia.
B. Janssen (UGR)
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23/50
La materia sigue la trayectoria más recta posible
B. Janssen (UGR)
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24/50
La materia sigue la trayectoria más recta posible
No hay fuerza gravitatoria à la Newton, sino trayectorias en espacio curvo
NO
B. Janssen (UGR)
SÍ
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24/50
No sólo la materia, sino también la luz
Efecto medido en eclipse solar de 1919 por Eddington & Co
B. Janssen (UGR)
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25/50
−→ Objetos masivos actúan como lentes gravitatorias
B. Janssen (UGR)
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26/50
En general la curvatura puede llegar a ser muy, muy complicada
B. Janssen (UGR)
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27/50
En general la curvatura puede llegar a ser muy, muy complicada
Matemáticas muy complejas: geometrı́a diferencial
Rµνρ λ = ∂µ Γλνρ − ∂ν Γλµρ + Γλµσ Γσνρ − Γλνσ Γσµρ
σ
1 σλ
∂µ gλν + ∂ν gµλ − ∂λ gµν
Γµν = 2 g
ẍµ + Γµνρ ẋν ẋρ = 0
A Einstein le costó 8 años aprenderlo...
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27/50
Campo gravitatorio descrito por la ecuación de Einstein
8πGN
1
Rµν − 2 gµν R = − c4 Tµν
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Cementerio de trenes, Uyuni, Bolivia
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5. Consecuencias
A. Dilatación temporal
La luz pierde energı́a al salir del pozo potencial
−→ Efecto Doppler gravitacional
−→ Tiempo corre más lento abajo que arriba!
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30/50
Dilatación temporal gravitatorio:
Abajo en un pozo gravitatorio el tiempo corre más lento!
• 1 hora en planeta de agua cerca de Gargantúa equivale a 7 años en la Tierra
• En la vida real: efecto importante en GPS
B. Janssen (UGR)
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31/50
−→ Corrección en GPS
Contacto con satélites a 20 000 km
Imprecisión permitida: < 0, 03 µs/d
B. Janssen (UGR)
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32/50
−→ Corrección en GPS
Contacto con satélites a 20 000 km
Imprecisión permitida: < 0, 03 µs/d
Relatividad especial: retraso de 7 µs/d
Relatividad general: adelanto de 45 µs/d
Efecto total: 38 µs/d
−→ error acumulativo de 10 km/d!!!
−→ Corrección en relojes de satélites
B. Janssen (UGR)
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32/50
B. Ondas gravitacionales
El espaciotiempo no es un escenario estático
Es una parte dinámica de la fı́sica
NO
B. Janssen (UGR)
más o menos...
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33/50
B. Ondas gravitacionales
El espaciotiempo no es un escenario estático
Es una parte dinámica de la fı́sica
NO
más o menos...
Existen perturbaciones del espacio que se propagan: ondas gravitacionales
B. Janssen (UGR)
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33/50
Solución a problema de Newton:
puff
La gravedad se propaga a la velocidad de la luz:
• La Tierra sigue teniendo 8 minutos de luz
• La Tierra sigue 8 minutos más en su órbita
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Púlsar binario PSR B1913+16 de taylor y Hulse
Prueba indirecta de la existencia de ondas gravitacionales
M1 ≈ M2 ≈ 1, 4M⊙
1, 1R⊙ < L < 4, 8R⊙
T = 7, 75 h
∆L = 3, 5 m/y
∆T = −76, 5 µs/y
Prad = 7, 35 · 1024 W = 1, 9% P⊙
∆Lobs /∆Ltheor = 0, 997 ± 0, 002
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35/50
Detección directa en LIGO: 14 sept 2015
Hanford (WA)
Livingston (LA)
Señal tı́pica de colisión de dos objetos masivos:
• 6,9 ms de retraso entre las dos
señales
• Aumento de frecuencia y amplitiud de 35 Hz a 150 Hz en
0,2 s
• Oscilaciones amortiguadas después de máximo
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36/50
Datos indican (90% confidence level):
• M ≈ 30M⊙ =⇒ dos objetos de m1 = (36 ± 5)M⊙ y m1 = (29 ± 4)M⊙
• f = 75 Hz =⇒ separación de ∼ 350 km
Fusión de dos agujeros negros!
B. Janssen (UGR)
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37/50
Datos indican (90% confidence level):
• M ≈ 30M⊙ =⇒ dos objetos de m1 = (36 ± 5)M⊙ y m1 = (29 ± 4)M⊙
• f = 75 Hz =⇒ separación de ∼ 350 km
Fusión de dos agujeros negros!
• Agujero negro resultante con mf ≈ 62M⊙ y a = 0, 67
Energı́a emitida en forma de ondas gravitacionales: Erad ≈ 3 M⊙ c2
(comparación: ENagasaki /c2 ≈ 1 g; M⊙ ≈ 2 · 1030 kg)
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
37/50
Datos indican (90% confidence level):
• M ≈ 30M⊙ =⇒ dos objetos de m1 = (36 ± 5)M⊙ y m1 = (29 ± 4)M⊙
• f = 75 Hz =⇒ separación de ∼ 350 km
Fusión de dos agujeros negros!
• Agujero negro resultante con mf ≈ 62M⊙ y a = 0, 67
Energı́a emitida en forma de ondas gravitacionales: Erad ≈ 3 M⊙ c2
(comparación: ENagasaki /c2 ≈ 1 g; M⊙ ≈ 2 · 1030 kg)
P
Potencia emitida en máximo: ∼ 200 M⊙ c2 /s ∼ 50 × ⋆ P⋆
• A distancia de 1, 3 · 109 años-luz (z ≈ 0, 09)
B. Janssen (UGR)
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37/50
C. Agujeros negros
Objetos con velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz
Objeto con masa M y radio R0
Mecánica newtoniana:
Fuerza gravitaroria en superficie:
v
F = GN
m
R
M
Velocidad de escape:
r
2GN M
ve =
R0
Objeto invisible cuando:
ve ≥ c
B. Janssen (UGR)
Mm
R02
⇐⇒
2GN M
R0 ≤
c2
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38/50
C. Agujeros negros
Objetos con velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz
Objeto con masa M y radio R0
M
Relatividad general:
Curvatura del espacio :
M
Rµνρλ R
µνρλ
48G2N M 2
=
c4 R02
Tiempo que tardan señales desde la superficie:
t0
t ∼ q
NM
1 − 2G
2
c R0
M
NB: t → ∞ cuando R0 →
2GN M
c2
−→ No hay señales desde R0 ≤
−→ Horizonte en R0 =
B. Janssen (UGR)
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2GN M
c2
2GN M
c2
39/50
Espacio plano: La luz sigue lineas rectas
t
4015
3015
x
2015
A
B
C
−→ influencias causales alcanzan el espacio entero (tarde o temprano)
B. Janssen (UGR)
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40/50
Cerca de objetos masivos: La luz le cuesta escapar
t
r
0
RS
Objetos muy masivos: se forma un radio crı́tico = Radio de Schwarzschild
−→ la luz se queda atrapada dentro del radio de Schwarzschild
−→ Se forma un horizonte: no salen señales desde el interior
−→ Se forma un agujero negro
B. Janssen (UGR)
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41/50
Observación importante:
La formación de un agujero negro:
depende de la densidad del objeto
NO depende de la masa
Radio de Schwarzschild = radio crı́tico para formar un agujero negro
RS =
Objeto
Sol
Rs
2 · 1030 kg = 1 M⊙
3 km
100 kg = 5 · 10−29 M⊙
Ser humano:
Agujero negro supermasivo
B. Janssen (UGR)
Masa
6 · 1024 kg = 3 · 10−6 M⊙
Tierra
Agujero negro primordial
2GN M
c2
∼ 109 M⊙
∼ 1012 kg = 10−18 M⊙
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9 mm
1, 5 · 10−22 mm
∼ órbita de Saturno
∼ núcleo de átomo
42/50
D. Cosmologı́a
Gravedad determina la geometrı́a del espaciotiempo
Gravedad determina la geometrı́a del universo entero
Cosmologı́a: estudio de la forma y la evolución del universo entero
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
43/50
D. Cosmologı́a
Gravedad determina la geometrı́a del espaciotiempo
Gravedad determina la geometrı́a del universo entero
Cosmologı́a: estudio de la forma y la evolución del universo entero
−→ el universo expande, porque el espacio expande
Todas las galaxias se alejan de nosotros, pero no somos el centro...
B. Janssen (UGR)
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43/50
¡Ojo! Expansión 6= movimiento de galaxias por el espacio...
B. Janssen (UGR)
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44/50
¡Ojo! Expansión 6= movimiento de galaxias por el espacio...
Es la creación continua de espacio nuevo...
Recuérdase: el espacio no es un escenario estático, sino una parte dinámica!
B. Janssen (UGR)
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44/50
Modelos cosmológicos:
B. Janssen (UGR)
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45/50
Modelos cosmológicos:
Nuestro universo: expansión acelerada!
Observaciones: supernova 1998
−→ ¿Qué causa la aceleración?
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
45/50
Contenido del universo:
Materia ordinaria: átomos, estrellas, planetas, ...
Materia oscura: Forma desconocida de materia...
Energı́a oscura: Fuerza desconocida repulsiva...
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
46/50
Contenido del universo:
Materia ordinaria: átomos, estrellas, planetas, ...
Materia oscura: Forma desconocida de materia...
Energı́a oscura: Fuerza desconocida repulsiva...
Sólo entendemos un 5% del contenido del universo!
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
46/50
6. Resumen
• Gravedad no es la fuerza a distancia de Newton
Gravedad es la curvatura del espaciotiempo
NO
B. Janssen (UGR)
SÍ
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47/50
6. Resumen
• Gravedad no es la fuerza a distancia de Newton
Gravedad es la curvatura del espaciotiempo
NO
SÍ
• El espaciotiempo es dinámico
NO
B. Janssen (UGR)
SÍ
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
47/50
• Hay muchas preguntas abiertas...
Ondas gravitacionales:
la nueva ventana al Universo
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
48/50
• Hay muchas preguntas abiertas...
Ondas gravitacionales:
la nueva ventana al Universo
¿Cúal es el contenido del Universo?
g
B. Janssen
(UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
48/50
• Hay muchas preguntas abiertas...
Agujeros negros:
clásico?
¿Laboratorio semi-
g
B. Janssen (UGR)
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49/50
• Hay muchas preguntas abiertas...
Agujeros negros:
clásico?
¿Laboratorio semi-
g
Descripción cuántica de gravedad?
B. Janssen (UGR)
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49/50
La aventura sigue...
¡Gracias por vuestra atención!
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
50/50
Láser recorre brazos ∼ 75 veces
Onda gravitacional cambia longitud de brazos
⇒ cambia número de longitud de ondas en brazo
⇒ cambia la intensidad de la señal medida
Sensibilidad: ∆L/L = 10−21
∆L ∼ 10−18 m
NB: radio de carga del protón Rp = 0, 8 · 10−15 m
B. Janssen (UGR)
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51/50
Planes de futuro:
• Aumentar sensibilidad en consecutivas rondas observacionales
• Se esperan entre 3 y 90 fusiones de agujeros negros en esta ronda
A finales de 2016: estimar frecuencia y distribución de fusiones
B. Janssen (UGR)
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52/50
• Otros detectores terrestres:
−→ Coordinar búsquedas: aumentar la precisión y localización de eventos
VIRGO: 2007-2011 y a partir de finales de 2016
KAGRA: operacional en 2018?
LIGO India: acuerdo de principios
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
53/50
• Detectores espaciales: Evolved Laser Interferometer Space Antenna
−→ 3 satelites a 1 000 000 000 km en de Sol-Tierra-Luna
−→ eLISA Pathfinder (versión prueba) lanzado el 3 dic 2015.
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
54/50
• Relatividad Especial + Mecánica Cuántica
= Teorı́a cuántica de campos
– Describe 3 de las 4 fuerzas fundamentales
– Modelo estándar, fı́sica nuclear, fı́sica de plasma,...
B. Janssen (UGR)
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
55/50
• Relatividad Especial + Mecánica Cuántica
= Teorı́a cuántica de campos
– Describe 3 de las 4 fuerzas fundamentales
– Modelo estándar, fı́sica nuclear, fı́sica de plasma,...
• Teorı́a cuántica de campos + Relatividad General
= Gravedad cuántica
– Fuerza gravitatoria entre partı́culas elementales
– Teorı́a de cuerdas? Loop Quantum Gravity?
– Problema teórico, experimentalmente inaccesible
E ∼ 1019 GeV
B. Janssen (UGR)
∼ 1015 × ELHC
Facultad de Ciencias, 8 de marzo 2016
55/50
• Relatividad Especial + Mecánica Cuántica
= Teorı́a cuántica de campos
– Describe 3 de las 4 fuerzas fundamentales
– Modelo estándar, fı́sica nuclear, fı́sica de plasma,...
• Teorı́a cuántica de campos + Relatividad General
= Gravedad cuántica
– Fuerza gravitatoria entre partı́culas elementales
– Teorı́a de cuerdas? Loop Quantum Gravity?
– Problema teórico, experimentalmente inaccesible
E ∼ 1019 GeV
∼ 1015 × ELHC
– Santo Grial de la Fı́sica: problema fundamental!
B. Janssen (UGR)
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Formación de agujeros negros
Objeto
Enano blanco:
Estrella de neutrones:
Agujero negro:
B. Janssen (UGR)
Masa
radio
M < 1, 4 M⊙
5000 km
1, 4 M⊙ < M < 2, 3M⊙
50 km
M > 2, 3M⊙
RS
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B. Janssen (UGR)
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t
Parece imposible cruzar el horizonte
S
R
el observador lejano
... desde donde se mira:
r
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B. Janssen (UGR)
t
R
S
Se llega al horizonte y la singularidad
en un tiempo finito
... desde donde se mira:
el observador cayendo
r
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B. Janssen (UGR)
1
3
2
B. Janssen (UGR)
4
O1
O2
O3
O4
Peso
No
Sı́
No
Sı́
Curvatura
No
No
Sı́
Sı́
Métrica
ηµν
∂xµ ∂xν
∂y α ∂y β ηµν
gµν
Γρµν
ηαβ + O(x2 )
=0
Rµνρ λ
6= 0
= 0 + O(x)
6= 0
=0
=0
6= 0
6= 0
gαβ =
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C. Agujeros negros
Objetos con velocidad de escape mayor que la velocidad de la luz
Velocidad de escape = velocidad necesario para
una masa m no vuelva a caer en la Tierra
r
2GN M
ve =
R
v
m
Tierra:
ve = 11, 1 km/s = 39 960 km/h
Luna:
ve = 2, 38 km/s = 8 568 km/h
Sol:
ve = 600 km/s = 2 160 000 km/h
...
R
M
B. Janssen (UGR)
ve es independiente de la masa m del objeto
ve aumenta si aumenta la masa M del planeta
ve aumenta si disminuye el radio R del planeta
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ve ≡
r
2GN M
=c
R
⇐⇒
2GN M
R=
c2
Pierre Simon Laplace (1795):
“Una estrella [del mismo material] que la Tierra y [...] 250
veces el tamaño del Sol, no emitirı́a por su propia gravedad
nada de luz hacia nosotros. De esta manera serı́a posible que
los objetos más masivos fueran completamente invisibles.”
−→ Estrella negra!!!
B. Janssen (UGR)
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ve ≡
r
2GN M
=c
R
⇐⇒
2GN M
R=
c2
Pierre Simon Laplace (1795):
“Una estrella [del mismo material] que la Tierra y [...] 250
veces el tamaño del Sol, no emitirı́a por su propia gravedad
nada de luz hacia nosotros. De esta manera serı́a posible que
los objetos más masivos fueran completamente invisibles.”
−→ Estrella negra!!!
Albert Einstein (1905):
Nada puede moverse más rápido que la luz
−→ Agujero negro: Imposible escapar!
B. Janssen (UGR)
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