Proyecto: DISEÑO DE UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA QUE

Proyecto:
DISEÑO DE UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA QUE PERMITA A LOS
ESTUDIANTES DE NIVEL MEDIO SUPERIOR CONSTRUIR CONCEPTOS BÁSICOS
DE GEOMETRÍA.
Registro SIP: 20082451
Resumen
El proyecto tuvo como meta principal el generar una Ingeniería Didáctica basada en el
Método de Van Hiele y la Visualización que mediante el uso de un programa de geometría
dinámica (CABRI) ayude a los estudiantes a construir conceptos de geometría básica.
Como parte de la metodología del proyecto se elaboró un cuestionario exploratorio
mediante el cual se logró detectar el nivel de razonamiento geométrico de los estudiantes.
Posteriormente se diseñó y aplicó una ingeniería didáctica que fue aplicada a estudiantes de
nivel medio (bachillerato).
Como parte final del proyecto se realizaron los procedimientos de validación de la
ingeniería didáctica.
Como subproducto importante se logró la escritura de la tesis de grado de maestría de la
alumna Carla Kerlegand Bañales, cuyo examen de grado fue el día 16 de diciembre de
2008. Obteniendo el grado de Maestra en Ciencias con especialidad en Matemática
Educativa.
Introducción
La geometría plana es una de las materias que los estudiantes empiezan a cursar desde la
escuela primaria, de hecho, desde antes de ingresar al jardín de niños los alumnos ya han
tenido un amplio contacto con la geometría; algunas formas geométricas empiezan a ser
familiares para ellos. En el jardín de niños los educandos realizan actividades como
colorear un rectángulo, pegar algodón, hojas u otros objetos a un círculo, un triángulo, etc.,
de esta manera lentamente van conociendo las principales figuras geométricas.
En la escuela primaria se inicia el estudia de las figuras geométricas de manera más formal
y se empieza a tener algunos conceptos adicionales como son “perímetro” y “área” y se
realizan ejercicios en los que se le proporciona una figura geométrica al niño y éste debe
calcular el perímetro y el área. En la escuela secundaria y en el bachillerato se utilizan
muchos de los conceptos relacionados a las formas geométricas básicas puesto que muchas
definiciones de funciones dependen de la geometría ya estudiada. Así por ejemplo, las
funciones trigonométricas de ángulos agudos se definen con base en el triángulo rectángulo
y los alumnos resuelven problemas donde deben encontrar alturas de edificios, longitudes
de cables de soporte, longitudes de sombras utilizando el seno, el coseno y la tangente.
También se debe utilizar la circunferencia para definir las mismas funciones
trigonométricas pero ahora teniendo como dominio el conjunto de los números reales
representados en el “eje x”.
La importancia de la geometría plana aumenta conforme los estudiantes avanzan en sus
estudios pues cada vez más definiciones van a depender de formas geométricas. Ni qué
decir de la geometría analítica que será la unión de dos grandes áreas de la matemática:
Geometría y Álgebra. El cálculo hará uso de muchas de las técnicas y métodos
desarrollados en la geometría, el álgebra y la geometría analítica por lo que se verá
profundamente afectado en su aprendizaje.
Problemática detectada
Hasta el momento la experiencia docente nos permite decir que muchos alumnos:
1. Confunden conceptos tales como circunferencia y círculo pues los manejan como si
fueran sinónimos.
2. No conocen conceptos como cuerda de circunferencia.
3. No identifican que el diámetro es la máxima cuerda de una circunferencia.
4. No diferencian entre radio y diámetro.
5. Desconocen los conceptos de mediatriz, tangente, segmento de recta.
6. No pueden definir lo que es una circunferencia.
7. No pueden definir lo que es un círculo.
Cabe decir que no todos los estudiantes presentan los siete puntos antes listados, sin
embargo sí son más de lo que un profesor desearía.
Estado del Arte
Por ser una materia que se estudia desde el nivel básico se han realizado investigaciones en
todo el mundo para poder encontrar metodologías que permitan que los estudiantes
desarrollen los conceptos geométricos más importantes, muchas de esas investigaciones
han tenido éxito y muchas no.
Una teoría muy importante fue desarrollada por los esposos Dina y Pierre van Hiele en sus
tesis de doctorado en la Universidad de Utirecht, Holanda en 1957. Su obra original
llamada Structure and insight: A theory of mathematics education, en donde describen sus
premisas básicas:
• El aprendizaje de la geometría se realiza al pasar a través de diferentes niveles de
pensamiento.
• Cada nivel alcanzado es requisito indispensable para lograr pasar al nivel siguiente.
• Lo que se tiene como implícito en un nivel se vuelve explícito en el nivel siguiente.
• En cada nivel hay un lenguaje y significado propio.
• Dos estudiantes que se encuentran en diferentes niveles no logran comprenderse.
En los años 60’s un grupo de investigadores rusos hicieron una investigación para ver por
qué los alumnos avanzaban poco en la geometría aunque tenían buen progreso en otras
materias. Utilizando la metodología de van Hiele pudieron diseñar un currículo
experimental de geometría muy exitoso, esto después de descubrir que la secuencia y el
desarrollo continuo de conceptos desde el primer año, en (Wirzup, 1976, p. 75-96) se cita el
resultado de que “el alumno promedio de Grado 8 del currículo experimental mostró igual
o mejor comprensión geométrica que los de grado 11 y 12 del currículo previo a las
modificaciones”
Por otra parte, el gran desarrollo de las computadoras y del software ha permitido que
surjan nuevas visiones con respecto a la enseñanza de la geometría. Una de esas nuevas
visiones es la de la geometría dinámica, es decir una geometría en la que el alumno puede
manipular los objetos geométricos y jugar con sus características y propiedades a modo de
experimentación.
Uno de los programas más utilizados en esta área es el Cabri Géomètre. Este programa
tiene sus orígenes en el Cabri-Graph en los años 80’s desarrollado por el Laboratorio
Leibniz en Francia. Lo innovador de este programa es que permite crear, modificar y
manipular figuras geométricas en tiempo real. Posteriormente, Jean-Marie Laborde y Frank
Bellemain desarrollaron Cabri-Géomètre bajo esta filosofía y fue la compañía Texas
Instrument que incluyó este programa en su calculadora modelo TI-92 que se convirtió en
la primera calculadora geométrica.
En Cabri los estudiantes tienen la oportunidad de experimentar con la materialización de
los objetos geométricos, sus representaciones y sus relaciones de un modo tal que antes no
era posible. Los alumnos pueden hacer una construcción geométrica y después repetirla
inmediatamente en la pantalla cuantas veces les sea necesario, característica imposible en el
trabajo con lápiz y papel.
Hasta el momento se han realizado diversas investigaciones en varios países uniendo la
metodología de van Hiele con el uso de Cabri.
En 1996, Michael de Villiers realiza un estudio acerca de la geometría dinámica y la
escuela y dice
“Probablemente la característica más apreciada de la geometría dinámica es su potencial
para estimular (re-introducir) la experimentación”
Y agrega
“En un enfoque de tipo investigación, se introduce tempranamente a los alumnos en el arte
de proponer problemas y se les dan suficientes oportunidades para explorar, conjeturar,
refutar, reformular y explicar…”
En su trabajo, De Villiers propone actividades a realizar utilizando geometría dinámica.
En Argentina (Beltrami, Esquivel y Ferrari, 2006), de la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales y Agrimensura de la Universidad Nacional del Nordeste, realizaron una
investigación titulada “Teoría de van Hiele y Cabri-Géomètre en la construcción del
concepto de transformaciones rígidas en el plano” en la que se proponen diseñar
actividades que mediante Cabri-Géomètre y basadas en la teoría de van Hiele los
estudiantes puedan aprender las transformaciones rígidas en el plano: traslaciones,
rotaciones y simetrías central y axial.
En México ha habido trabajos al respecto, por ejemplo en la Revista Electrónica Ponencias
de la Universidad Autónoma de Nayarit aparece el trabajo de (Velarde, 2007) en el que se
realiza un estudio para validar una propuesta didáctica que permita a los estudiantes
aprender el tema de Puntos y Rectas notables de un triángulo rectángulo con el empleo de
Cabri-Géomètre II, de hecho el motivo principal de la propuesta es “que los alumnos
descubran los teoremas a partir de las construcciones que realicen y encuentren las
relaciones entre los diferentes elementos que se distinguen en el triángulo”. Esta
investigación se realizó con estudiantes aspirantes a ingresar al CECyTEJ No. 5 El Salto, en
el estado de Jalisco.
También se han escrito tesis de nivel maestría utilizando la metodología de van Hiele y el
uso de Cabri-Géomètre.
Planteamiento del Problema
Como podemos observar, la geometría juega un papel importante en la construcción de
conceptos que posteriormente serán fundamentales en otras materias que son cursadas
generalmente por estudiantes de las carreras de ingeniería (geometría analítica, cáculo,
ecuaciones diferenciales) y en ocasiones de carreras como economía, administración de
empresas, etc.
Como primer paso se realizó una entrevista inicial que nos permitió ubicar a cada
estudiante en uno de los niveles establecidos por van Hiele, a partir de esta clasificación de
los estudiantes pudimos iniciar el diseño de las actividades que dieron origen a la ingeniería
didáctica que nos propusimos construir y que es el producto final de este proyecto.
Se realizó la validación a priori de las actividades lo que nos permitió tener una imagen
inicial del estado de conocimientos de los estudiantes.
Al final se estableció una ingeniería didáctica validada y que por lo tanto pueda ser usada
como guía para profesores de niveles medio, medio superior y hasta de los primeros
semestres de nivel superior en aquellos cursos que incluyan temas de la circunferencia.
Hipótesis:
El uso de la geometría dinámica, diseñando cuidadosamente las tareas de asignar al
estudiante y con una adecuada intervención por parte del profesor facilitando la elaboración
y prueba de conjeturas, permite a los estudiantes alcanzar niveles más altos en la
adquisición de nociones de geometría.
Objetivos cumplidos
1. Establecer un cuestionario que permita determinar el nivel inicial de razonamiento
geométrico de los estudiantes.
2. Diseñar y validar una ingeniería didáctica para que los alumnos desarrollen algunas
nociones básicas de la geometría plana utilizando Cabri-Géomètre.
Resultados
I. Una ingeniería didáctica que ayuda a la construcción de conceptos básicos de
geometría relacionados con la circunferencia y dos propiedades de ésta.
II. Tesis de grado de maestría de la alumna Carla Kerlegand Bañales.
III. Obtención del grado de Maestra en Ciencias de alumna Carla Kerlegand Bañales.
IV. Artículo de divulgación en Congreso Internacional “Resultados de una investigación
utilizando el modelo de Van Hiele en el estudio de dos propiedades de la
circunferencia aplicando Cabri.
V. Conferencia de Divulgación en Congreso Internacional.
VI. Conferencia de Divulgación en Congreso Nacional.
Impacto
La Ingeniería Didáctica generada por el proyecto puede ser aplicada en escuelas de nivel
medio y medio superior en los cursos que incluyan el tema de circunferencia, lo que puede
ayudar a los estudiantes a mejorar su comprensión de las aplicaciones que involucran la
circunferencia. Especialmente en el cálculo diferencial e integral puesto que al estudiar esta
materia se aplican propiedades geométricas para resolver problemas de aplicación de la
derivada y la integral.
El grado de maestra en ciencias obtenido por la alumna Carla Kerlegand coadyuvará a
mejorar la educación de sus estudiantes.
Participantes
Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza
M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta
M.C. Karina Viveros Vela
M.C. Jorge Luis Rosas Mendoza
Dr. Apolo Castañeda Alonso