1 Cálculo de áreas planas

Cálculo Matemático. (Tema 9) Hoja
1
Escuela Universitaria de Arquitectura Técnica
Cálculo Matemático.
Tema 9: Aplicaciones de la integral definida
1
Curso 2008-09
Cálculo de áreas planas
1.1
Área de una región entre las gráficas de dos funciones
Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b], entonces el área de la región acotada por las
gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es
Z
A=
b
[f (x) − g(x)] dx
a
Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por las gráficas de y = x2 + 2, y = −x, x = 0, y x = 1.
Z
A=
0
1
¸1
x3
x2
17
[(x + 2) − (−x)] dx =
+
+ 2x =
u.a.
3
2
6
0
·
2
Nota: En caso de que no sepamos qué función es mayor, podemos restar en el orden que queramos, siempre
que tomemos el valor absoluto de la integral, es decir, si no sabemos cuál de las dos situaciones, g(x) ≤ f (x) o
f (x) ≤ g(x), se nos presenta, basta escribir
¯Z
¯ ¯Z
¯
¯ b
¯ ¯ b
¯
¯
¯ ¯
¯
A=¯
[f (x) − g(x)] dx¯ = ¯
[g(x) − f (x)] dx¯
¯ a
¯ ¯ a
¯
1.2
Área de una región entre gráficas que se intersectan
• Las gráficas se cortan en un sólo punto, x0 , dentro de la región a la que le queremos calcular el área.
¯
¯Z x 0
¯ ¯¯Z b
¯
¯
¯ ¯
¯
A = ¯¯
[f (x) − g(x)] dx¯¯ + ¯
[f (x) − g(x)] dx¯
¯ x0
¯
a
Ejemplo: Encontrar el área de la región acotada por las gráficas de f (x) = x, g(x) = −x, x = −1, y
x = 1. Es fácil comprobar que las gráficas de las dos funciones sólo se cortan en el punto (0, 0), luego
x0 = 0
¯ ¯Z 1
¯
¯Z 0
¯ ¯
¯
¯
A = ¯¯
[x − (−x)] dx¯¯ + ¯¯
[x − (−x)] dx¯¯ = 2 u.a.
−1
0
¯Z
¯
Nótese que si hubiésemos calculado directamente ¯¯
1
−1
¯
¯
[x − (−x)] dx¯¯, el resultado darı́a A = 0.
• Las gráficas se cortan en dos puntos, x0 y x1 , y la región queda determinada por éstas.
¯Z x1
¯
¯
¯
¯
A=¯
[f (x) − g(x)] dx¯¯
x0
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2
Ejemplo: Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f (x) = 2 − x2 y g(x) = x.
En primer lugar, e igualando las expresiones de f y g, obtenemos los puntos de corte
2 − x2 = x ⇒ x2 + x − 2 = 0 ⇒ (x + 2)(x − 1) = 0 ⇒ x0 = −2, x1 = 1
Por lo tanto,
¯Z
¯
A = ¯¯
¯
¯ 9
[2 − x − x] dx¯¯ = u.a.
2
−2
1
2
• Las gráficas se cortan en más de dos puntos y la región queda determinada por éstas. En este caso hemos
de dividir en tantas partes como nos permita el número de intersecciones. Por ejemplo, si tenemos tres
puntos de corte x0 , x1 , x2 dividiremos el área en dos partes: la que se encuentra entre los puntos x0 , x1
y la que se encuentra entre x1 , x2 . Si tuviésemos cuatro puntos de corte, dividirı́amos la región en tres
partes, y ası́ sucesivamente.
Ejemplo: Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f (x) = 3x3 − x2 − 10x y
g(x) = −x2 + 2x. Nuevamente, igualando las expresiones de f y g obtenemos los puntos de corte
3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x ⇒ 3x3 − 12x = 0 ⇒ 3x(x + 2)(x − 2) = 0 ⇒ x0 = −2, x1 = 0, x2 = 2
por lo tanto
¯Z
¯
A = ¯¯
0
¯ ¯Z
¯ ¯
[3x − x − 10x − (−x + 2x)] dx¯¯ + ¯¯
3
−2
2
2
0
2
¯
¯
[3x − x − 10x − (−x + 2x)] dx¯¯ = 24 u.a.
3
2
2
• Todo lo anteriormente dicho ha sido expresado tomando siempre la variable x como la independiente y la
variable y = f (x) como la dependiente. En algunas ocasiones es mejor intercambiar el carácter de estas
variables.
Ejemplo: Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de y 2 = 3 − x y y = x − 1.
En esta ocasión es preferible despejar x en función de y para obtener f (y) y g(y) y poder aplicar todo lo
anterior intercambiando los papeles de las variables. f (y) = 3 − y 2 y g(y) = y + 1.
3 − y 2 = y + 1 ⇒ y 2 + y − 2 = 0 ⇒ (y + 2)(y − 1) = 0 ⇒ y0 = −2, y1 = 1
por lo tanto
2
¯Z
¯
A = ¯¯
¯
¯ 9
[3 − y − (y + 1)] dy ¯¯ = u.a.
2
−2
1
2
Volúmenes de sólidos de revolución
Si una región del plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución, y la recta
se denomina eje de revolución. En esta sección presentaremos la formulación necesaria para el cálculo del
volumen de estos cuerpos.
2.1
El método de los discos
Este método se utiliza cuando la región que gira está completamente apoyada sobre el eje de giro y éste es
paralelo al eje de la variable independiente o coincide con éste. Distiguiremos dos casos:
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3
(a) Si el eje de giro es una recta horizontal, es decir paralela al eje OX, y = k, o bien es este mismo, y el
borde de la región lo marca la gráfica de una función y = f (x) y las rectas verticales x = a y x = b.
Z b
V =π
[R(x)]2 dx
a
donde R(x) = f (x) si el eje de giro es OX, y R(x) = f (x) − k si el eje de giro es la recta y = k.
Ejemplos:
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de f (x) =
y el eje OX (0 ≤ x ≤ π) alrededor del eje OX.
Z π
Z π
√
π
2
V =π
[R(x)] dx = π
[ sen x]2 dx = π [−cos x]0 = 2π u.v.
0
√
sen x
0
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de f (x) = 2 − x2
y g(x) = 1 alrededor de la recta y = 1. En este caso R(x) = f (x) − 1 = 2 − x2 − 1 = 1 − x2 . Los
puntos de corte entre f (x) y g(x) determinarán los lı́mites de integración. En este caso x = −1 y
x = 1.
·
¸1
Z 1
Z 1
2x3
x5
16π
V =π
[R(x)]2 dx = π
[1 − x2 ]2 dx = π x −
+
=
u.v.
3
5 −1
15
−1
−1
(b) Si el eje de giro es una recta vertical, es decir paralela al eje OY , x = k, o bien es éste mismo, y el borde
de la región lo marca la gráfica de una función x = f (y) y las rectas horizontales y = a y y = b.
Z b
V =π
[R(y)]2 dy
a
donde R(y) = f (y) si el eje de giro es OY , y R(y) = f (y) − k si el eje de giro es la recta x = k.
Como puede apreciarse, este caso es igual al anterior salvo el hecho de que los papeles jugados por las
variables x e y han sido intercambiados.
Ejemplos:
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de f (y) =
eje OY ( (0 ≤ y ≤ 4) alrededor del eje OY .
· 2 ¸4
Z 4
Z 4
y
√ 2
2
V =π
[R(y)] dy = π
[ y] dy = π
= 8π u.v.
2 0
0
0
2.2
√
y, el
El método de las arandelas o del anillo
Este método consiste en una adapatación del de los discos para el caso en que la región que gira no esté completamente apoyada en el eje de giro, es decir se generen sólidos de revolución huecos. La situación vendrá dada
por una región que está delimitada por la gráfica de dos funciones entre dos valores de la variable independiente.
La fórmula para el cálculo del volumen es
Z b³
´
2
2
V =π
[f (x)] − [g(x)] dx (eje de giro horizontal)
a
Z
V =π
b
³
2
2
[f (y)] − [g(y)]
´
dx
(eje de giro vertical)
a
siendo g(x) ≤ f (x) (a ≤ x ≤ b). En caso de que no sepamos qué función es mayor, bastará con tomar el
valor absoluto de la integral señalada.
Ejemplos:
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4
√
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de f (x) = x,
y g(x) = x2 alrededor√del eje OX.
En este caso f (x) = x y g(x) = x2 , los puntos de cortes de las dos gráficas son el (0, 0) y el (1, 1).
· 2
¸1
Z 1
Z 1
¡√ 2
¢
3π
x
x5
V =π
[ x] − [x2 ]2 dx = π
(x − x4 ) dx = π
−
=
u.v.
2
5 0
10
0
0
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = x2 + 1, y = 0,
x = 0 y x = 1 alrededor del eje OY .
Al ser el eje de giro vertical, debemos tomar a la variable y como la variable independiente. Esto nos lleva
a tener que dividir la región de giro en dos zonas, cuando 0 ≤ y ≤ 1 nuestra región está delimitada por
las rectas x = 1 = f√
(y) y x = 0 = g(y). Mientras que para 1 ≤ y ≤ 2 la región la acotan las gráficas de
x = 1 = f (y) y x = y − 1 = g(y). Por lo tanto
·
¸2
Z 1
Z 2
p
y2
3π
1
2
2
2
2
V =π
(1 − 0 ) dy + π
(1 − [ y − 1] ) dy = π [y]0 + π 2y −
=
u.v.
2
2
0
1
1
• Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El
orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?
Podemos imaginar el objeto como el sólido generado al girar la región delimitada√por las gráficas de
x2 + y 2 = 25 y la recta y = 3 alrededor del eje OX. Esto nos llevarı́a a tomar f (x) = 25 − x2 y g(x) = 3,
siendo los puntos de cortes, entre las correpondientes gráficas, (−4, 3) y (4, 3). Por lo tanto
¸
·
¸4
Z 4 · ³p
Z 4
´2
x3
256π
2
2
2
V =π
25 − x
− (3) dx = π
(16 − x ) dx = π 16x −
=
pulgadas cúbicas
3 −4
3
−4
−4
2.3
El método de las capas
Este método presenta una alternativa, en ocasiones ventajosa, a los métodos anteriores. Lo más significativo
en este caso es que el eje de giro es perpendicular al eje de la variable independiente. La región de giro vendrá
delimitada, en general, por la gráfica de una función y = f (x) y lı́neas verticales x = c, x = d cuando el eje de
giro es vertical o bien x = g(y), y = a, y = b, cuando el eje de giro es horizontal. Las fórmulas a emplear en
cada caso son
Z
b
V = 2π
p(y)h(y) dy
(eje de giro horizontal)
a
Z
d
V = 2π
p(x)h(x) dx
(eje de giro vertical)
c
donde la función h será h(y) = g(y) o bien h(x) = f (x), según cada caso, y la función p nos da la distancia
de cada punto de la gráfica de h al eje de giro.
Ejemplos:
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = x − x3 , y el eje
OX (0 ≤ x ≤ 1) alrededor del eje OY .
En este caso f (x) = x − x3 , c = 0, d = 1. Como el eje de giro es vertical la fórmula a emplear es
Z 1
Z 1
V = 2π
p(x)f (x) dx = 2π
p(x)(x − x3 ) dx
0
0
Para determinar la expresión de p(x), basta notar que al ser el eje de giro el eje OY la distancia de
cualquier punto a éste vendrá dada por la primera coordenada del punto, luego p(x) = x. Por lo tanto
¸1
· 5
Z 1
Z 1
x3
4π
x
3
3
=
u.v.
V = 2π
p(x)(x − x ) dx = 2π
x(x − x ) dx = 2π − +
5
3 0
15
0
0
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5
• Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por la gráfica de x = e−y
y el eje OY (0 ≤ y ≤ 1) alrededor del eje OX.
2
x = e−y , a = 0, b = 1. Como el eje de giro es horizontal
Z 1
Z 1
2
V = 2π
p(y)g(y) dy = 2π
p(y)e−y dy
0
2
0
Nuevamente es fácil comprobar que p(y) = y, con lo que
Z
Z
1
V = 2π
p(y)e
−y 2
1
dy = 2π
0
ye
h
−y 2
−y 2
dy = −π e
i1
0
0
µ
¶
1
=π 1−
u.v.
e
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = x2 + 1, y = 0,
x = 0 y x = 1 alrededor del eje OY .
Z
Z
1
V = 2π
1
p(x) h(x) dx = 2π
0
·
x(x2 + 1) dx = 2π
0
x2
x4
+
4
2
¸1
=
0
3π
u.v.
2
Obsérvese que este volumen fue calculado por el método de las arandelas, y nos vimos obligados a dividir
la región de giro en dos partes.
• Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = x3 + x, y = 0,
x = 1 alrededor de la recta x = 2.
Este problema es un buen ejemplo de cómo en ocasiones es necesario, sin posibilidad de elección, el uso
del método de las capas. En la ecuación y = x3 + x, no se puede despejar fácilmente la variable x en
función de la variable y, con lo que hemos de mantenet la variable x como independiente y el eje de giro
es vertical
Z
d
V = 2π
p(x)h(x) dx,
c
siendo c = 0, d = 1, h(x) = x3 + x, p(x) = 2 − x. Luego,
Z
Z
d
V = 2π
c
3
1
p(x)h(x) dx = V = 2π
(2 − x)(x3 + x) dx =
0
29π
u.v.
15
Volumen de un cuerpo del que se conocen las secciones perpendiculares a un eje
Con el método de los discos, se puede encontrar el volumen de un sólido teniendo una sección transversal circular
cuya área es A = πR2 . Este método puede generalizarse para los sólidos cuyas secciones sean de área conocida.
1. Para secciones transversales, de área A(x), perpendiculares al eje OX
Z
b
Volumen =
A(x) dx
a
2. m Para secciones transversales, de área A(y), perpendiculares al eje OY
Z
Volumen =
b
A(y) dy
a
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6
Ejemplo
Demostrar que el volumen de una pirámide con una base cuadrada es V = 13 hB, donde h es la altura de la
pirámide y B es el área de la bese.
Si orientamos la pirámide de forma que su base se apoye sobre el plano XZ con centro en el origen de
coordenadas y su vértice sobre el eje OY , es claro que cualquier sección perpendicular al eje OY (paralela a la
base)es un cuadrado de lado b0 . Por semejanza de triángulos se puede obtener
b0
h−y
b
=
o b0 = (h − y)
b
h
h
donde b es la longitud de los lados de la base de la pirámide e y el punto de corte de la sección con el eje OY .
De esta relación podemos inferir que
b2
A(y) = (b0 )2 = 2 (h − y)2
h
Integrando entre o y h tenemos
Z
Z
h
A(y) dy =
0
4
0
h
·
¸h
b2 (h − y)3
1
b2
2
(h
−
y)
dy
=
= hB
h2
h2
3
3
0
Longitud de arco y superficies de revolución
Definición.- Sea la función dada por y = f (x) cuya gráfica represente una curva suave en el intervalo [a, b], es
decir, f es continuamente derivable en dicho intervalo. La longitud de arco de f entre a y b es
Z
b
p
1 + [f 0 (x)]2 dx
s=
a
Análogamente, para una curva suave dada por x = g(y), la longitud de arco de g entre c y d es
Z
s=
d
p
1 + [g 0 (y)]2 dy
c
Ejemplos:
x3
1
1
+
en el intervalo [ , 2].
6
2x
2µ
¶
x3
1
3x2
1
1
1
0
2
Tomando f (x) =
+ , tenemos que f (x) =
− 2 =
x − 2 . Por lo que la longitud pedida
6 2x
6
2x
2
x
es
s
· µ
¶¸2
¶
Z bp
Z 2
Z 2 µ
1
1
1
1
33
2
0
2
2
s=
1 + [f (x)] dx =
1+
x − 2
dx =
x + 2 dx =
u.l.
1
1
2
x
2
x
16
a
2
2
• Encontrar la longitud de arco de y =
• Un cable eléctrico cuelga entre dos torres¡ que están a ¢200 metros de distancia. El cable toma la forma
x
x
de una catenaria cuya ecuación es y = 75 e 150 + e− 150 . Encontrar la longitud de arco de cable entre las
dos torres.
x ¢
x ¢
x ¢
1¡ x
1¡ x
1¡ x
e 150 − e− 150 , luego (y 0 )2 =
e 75 − 2 + e− 75 y por tanto 1 + (y 0 )2 =
e 75 + 2 + e− 75 =
y0 =
2
4
4
·
¸2
x ¢
1¡ x
− 150
150
+e
. Por consiguiente
e
2
Z
100
s=
p
1+
−100
[y 0 (x)]2
1
dx =
2
Z
100
−100
´
³ 2
£ x
¡ x
x ¢
x ¤100
2
e 150 + e− 150 dx = 75 e 150 − e− 150 −100 = 150 e 3 − e− 3 metros
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7
Definición.- Si la gráfica de una función continua gira alrededor de una recta, la superficie resultante es una
superficie de revolución.
Definición.- Sea y = f (x) con la derivada continua en el intervalo [a, b]. El área S de la superficie de revolución
formada al girar la gráfica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es
Z
b
S = 2π
r(x)
p
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
donde r(x) es la función que mide, en cada punto de la gráfica de f , la distancia al eje de revolución. Si x = g(y)
en el intervalo [c, d], entonces el área de la superficie es
Z
d
S = 2π
r(y)
p
1 + [g 0 (y)]2 dy
c
donde r(y) es la función que mide, en cada punto de la gráfica de g, la distancia al eje de revolución.
Ejemplos:
• Encontrar el área de la superficie formada al girar la gráfica de f (x) = x3 en el intervalo [0, 1] alrededor
del eje OX.
La distancia entre el eje OX y la gráfica de f es r(x) = f (x), y dado que f 0 (x) = 3x2 , se tiene que
Z
S = 2π
1
r(x)
Z
p
1+
[f 0 (x)]2
0
1
dx = 2π
x3
p
1 + 9x4 dx =
0
´
π ³ 3
10 2 − 1 u.a.
27
√
• Encontrar el área de la superficie formada al girar la gráfica de f (x) = x2 en el intervalo [0, 2] alrededor
del eje OY .
La distancia entre el eje OY y la gráfica de f es r(x) = x, y dado que f 0 (x) = 2x, se tiene que
Z
S = 2π
√
2
r(x)
0
Z
p
1 + [f 0 (x)]2 dx = 2π
0
√
2
p
13π
x 1 + 4x2 dx =
u.a.
3