Capítulo 10: Condensadores

Capítulo 10: Condensadores
El campo eléctrico es representado por líneas de flujo eléctrico que son
dibujadas para indicar la intensidad del campo eléctrico en cualquier
punto en la vecindad de la carga. Mientras más densas sean las líneas de
carga, más fuerte será el campo eléctrico. Las líneas de flujo eléctrico
emanan de las cargas positivas y mueren en las cargas negativas.
FIG. 10.1 Flux distribution from an isolated positive charge.
En la figura podemos observar que en la región a hay una mayor
densidad de flujo que en la región b. Esto se debe a que el mismo
número de líneas de flujo pasa por ambas regiones, pero el área de la
región a es menor que el área de la región b.
Las cargas se miden en coulombs.
La densidad de flujo eléctrico, o flujo eléctrico por unidad de área, está
dada por la siguiente ecuación.

D=
A
donde
 = flujo eléctrico (medido en coulombs)
A = área en metros cuadrados
2
La intensidad de campo eléctrico E está definida como fuerza por unidad
de carga.
E=
F
Newtons/coulomb
Q
Cargas opuestas en polaridad se atraen. Cargas de igual polaridad se
repelen. La fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas está
definida por la Ley de Coulomb.
F=k
Q1 Q2
Newtons
r2
donde
F = fuerza de atracción o repulsión en Newtons
Q1 = carga número uno
Q2 = carga número dos
R = distancia en metros entre las dos cargas
La fuerza de atracción o repulsión entre las dos cargas varía
inversamente con el cuadrado de la distancia. Esto es, mientras más
lejos, menor será la fuerza.
Las líneas de flujo eléctrico entre dos cargas siempre ocupan el espacio
más corto entre dichas cargas.
FIG. 10.3 Electric flux distributions: (a) opposite charges; (b) like charges.
3
Sección 10.3: Capacitancia
Consideremos ahora dos placas de material conductor en paralelo
conectadas como muestra la siguiente figura.
FIG. 10.4 Fundamental charging circuit.
Inicialmente el interruptor está abierto y no hay corriente en el circuito,
ni cargas eléctricas acumuladas en las placas en paralelo. En cambio, al
cerrarse el interruptor, el terminal positivo atrae electrones de la placa
superior, creando un vacío o falta de cargas negativas en la placa
superior, dejando una carga neta positiva en la placa superior. Al
cerrarse el interruptor inicialmente hay un pico de corriente el cual es
limitado por la resistencia del circuito, pero luego la corriente va
disminuyendo.
El terminal negativo de la batería repele electrones y esto hace que los
electrones se acumulen en la placa inferior.
La corriente continuará fluyendo hasta que la acumulación de cargas
positivas en la placa superior y la acumulación de cargas negativas en la
placa inferior sea de tal magnitud que se cree una diferencia en potencial
igual al de la batería. En dicho caso, la corriente se vuelve cero.
Es importante señalar que la transferencia de electrones es a través del
alambre, la batería y la resistencia. Hay acumulación de cargas en las
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placas paralelas de material conductor, pero no hay electrones presentes
en el espacio entre las dos placas. Estas dos placas están en circuito
abierto.
Capacitancia es una medida de la habilidad de un condensador para
almacenar cargas. Mientras más alta sea la capacitancia, mayor será la
cantidad de cargas eléctricas que puede almacenar. La capacitancia se
mide en faradios (F).
Un condensador tiene una capacitancia de 1 faradios si 1 coulomb de
carga (6.242 x 1018 electrones) ha sido depositado en las placas por una
diferencia de potencial de 1 V. Es bueno recordar que la carga de un
electrón es 1.602 x 10-19 C y que 1/(1.602 x 10-19) = 6.242 x 1018.
La siguiente ecuación define la relación entre capacitancia, carga y
voltaje.
C=
Q
V
Ejemplo:
a) Si 82.4 x 1014 electrones han sido depositados en la placa negativa
de un condensador por un voltaje aplicado de 60 V, calcule la
capacitancia del condensador.
1.602x 1019 C
14
(82.4 x 10 electrones) x
1electrón
Q
C=
=
60V
V
C = 22 F
5
b) Si 40 V son aplicados a través de un condensador de 470 F,
calcule la carga en las placas.
C=
Q
V
Q = V C = (40) (470 x 10-6) = 0.0188 coulombs
La intensidad de campo eléctrico E se mide en voltios/metro. Para
el caso de dos placas de material conductor en paralelo como la
mostrada en la siguiente figura la intensidad del campo eléctrico es
función del voltaje entre las placas y de la separación o distancia
entre las placas.
FIG. 10.6 Electric flux distribution
between the plates of a capacitor: (a)
including fringing; (b) ideal.
E=
V
d
donde
V = voltaje entre las placas
d = distancia en metros entre las placas
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Tal y como muestra la anterior figura, está el caso ideal en donde
las líneas de flujo eléctrico son perpendiculares a las placas, y el
caso real en donde también tenemos el liqueo o fringing en donde
las líneas curvean en los extremos de las placas.
Distintos valores de capacitancias pueden ser obtenidos para unas
mismas placas paralelas variando el material aislante entre las
placas.
Como el material entre las placas es un aislador, los electrones de
dicho material no pueden abandonar su átomo, pero sí pueden,
como muestra la siguiente figura, alinear el componente positivo
(i.e. los protones) y los electrones. Este alineamiento produce lo
que se conoce como dipolos.
FIG. 10.7 Effect of a dielectric on the field distribution between the plates of a
capacitor: (a) alignment of dipoles in the dielectric; (b) electric field components
between the plates of a capacitor with a dielectric present.
Los componentes positivos y negativos de los dipolos adyacentes
cancelan los efectos de cada uno de ellos, excepto por la capa de
cargas positivas en una de las placas y las cargas negativas en la
otra placa. Esto es, dentro del aislador se crea un campo eléctrico
Edieléctrico.
En la próxima figura, parte a, dos placas a una distancia d están
separadas por aire y entre dichas placas se crea un campo eléctrico
E1.
7
FIG. 10.8 Demonstrating the effect of inserting a dielectric between the plates of a
capacitor: (a) air capacitor; (b) dielectric being inserted.
En la parte b de la figura un dieléctrico (de mica) es introducido en
el espacio entre las dos placas paralelas. El dieléctrico, al
polarizarse, crea una acumulación neta de cargas que produce el
campo eléctrico E2 en la dirección opuesta a E1. Como resultado se
reduce el campo eléctrico entre las placas. Como ya vimos
V
anteriormente, E =
, esto es, el campo eléctrico tan solo es
d
función del voltaje entre las placas y la separación entre las placas.
Por lo tanto, para compensar, se depositan más cargas en las placas
para así neutralizar el efecto de E2. El resultado neto es que gracias
al dieléctrico entre las placas la acumulación de cargas en las
placas aumenta. Esto corresponde a un aumento en la capacitancia
obtenida.
Distintos materiales usados como dieléctricos entre las placas
producen distintas acumulaciones de carga. Entre ellos podemos
mencionar papel, goma, mica, porcelana, cerámica. La misma
palabra dieléctrico significa que se opone a un campo eléctrico.
A la métrica que se usa para caracterizar los materiales en términos
de su efectividad oponiéndose al campo eléctrico generado por el
voltaje entre las dos placas se le conoce como la permitividad
8
relativa r. La permitividad nos dice cuán dispuesto esté el material
a permitir la creación de un campo eléctrico en el material. La
permitividad relativa compara la permitividad del material con la
permitividad del aire. Por ejemplo, si mica tiene una permitividad
relativa de 5 eso quiere decir que es 5 veces mejor que el aire
permitiendo la creación de un campo eléctrico dentro de dicho
material. La permitividad relativa del aire es uno.
La siguiente ecuación relaciona la permitividad relativa con la
permitividad de un material.

r = 
o
A r se le conoce como la permitividad relativa o constante
dieléctrica y no tiene dimensiones. La permitividad  tiene
unidades de faradios/metro (F/m).
Todo dieléctrico tiene una diferencia de potencial o voltaje que si
es excedido y aplicado a través del dieléctrico, es capaz de romper
los enlaces atómicos dentro del dieléctrico y lograr la conducción.
A dicho voltaje se le conoce como el breakdown voltage. Por
ejemplo, cuando la diferencia en potencial entre dos nubes o entre
una nube y la tierra excede el breakdown voltage, el aire que
separa estos dos cuerpos se ioniza y se logra la conducción
produciendo un rayo o descarga eléctrica.
Cuando el voltaje a través de un condensador excede su breakdown
voltage el condensador se comporta como conductor.
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Sección 10.4: Construcción de condensadores
Hemos visto los componentes básicos que forman un condensador:
placas paralelas, separación entre placas y dieléctrico. Veamos
ahora cómo estos tres factores se combinan para definir la
capacitancia. La fórmula es la siguiente.
C= 
A
A
= r o
d
d
Mientras más grande sea el área de las placas y mientras más
pequeña sea la separación entre las placas, mayor será la
capacitancia. Por supuesto, hay límites en cuanto a cuán grande se
puedan fabricar económicamente las placas paralelas. De igual
forma, si la separación entre placas es demasiado pequeña, el
breakdown voltage sería demasiado pequeño limitando así el uso
que se le pueda dar a dicho condensador.
Ejemplo: Para el siguiente condensador que usa aire como
dieléctrico
FIG. 10.10 Air capacitor for Example 10.3.
a) Calcule la capacitancia
El área está en unidades de metros cuadrados y la separación o
distancia entre las placas está en metros.
10
d=(
A = (2 in) (
1m
1
in) (
) = 7.938 x 10-4 m
39.37in
32
1m
1m
) (2 in) (
) = 2.581 x 10-3 m2
39.37in
39.37in
 = 8.85 x 10-12 F/m para el aire
C= 
C = 8.85 x 10
-12
A
A
= r o
d
d
2.581x 103
-11
x
= 28.78 x 10-12
4 = 2.878 x 10
7.938x 10
C = 28.78 pF
b) Calcule la intensidad de campo eléctrico entre las placas si se
aplican 49 V entre ellas.
48
V
E=
= 7.938x 104 = 6.047 x 104 V/m = 60.47 kV/m
d
c) Calcule la carga depositada en las placas.
Q = C V = (28.78 x 10-12) (48) = 1.38 x 10-9 coulombs
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Tipos de condensadores
Los condensadores pueden ser de valor fijo o de valor variable. La
siguiente figura muestra los símbolos para los condensadores de
valor fijo y los condensadores de valor variable.
FIG. 10.11 Symbols for the
capacitor: (a) fixed; (b) variable.
Aunque los condensadores vienen en toda gama de formas y
tamaños, en general, para el mismo tipo de construcción y el
mismo tipo de dieléctrico, mientras más grande en tamaño, mayor
es la capacitancia.
El aumento en capacitancia es logrado principalmente aumentando
el área de las placas en paralelo y el grosor del dieléctrico. Por
ejemplo, es posible enrollar placas separadas por dieléctrico, o
armar placas en paralelo separadas por dieléctrico. También es
posible construir un cilindro usando el dieléctrico e insertar una
barra como terminal positivo y la superficie del cilindro
convertirse en el terminal negativo del condensador.
FIG. 10.13 Three ways to increase the area of a capacitor: (a) rolling; (b) stacking; (c)
insertion.
12
Los condensadores electrolíticos tienen uno de los terminales
marcado como positivo o como negativo. Por ejemplo, en la
siguiente figura el terminal negativo está marcado.
De no haber indicador de polaridad alguno, generalmente el
alambre más largo corresponde a la polaridad positiva.
Es importante que a la hora de conectar los condensadores
electrolíticos el terminal negativo esté conectado a un voltaje
menor que el voltaje en el terminal positivo. De lo contrario, al
energizarlo el condensador explota.
Los condensadores variables generalmente están construidos bajo
el principio de que el usuario pueda rotar un botón o tornillo en
donde se varía el porcentaje del área total, y por ende, la
capacitancia.
FIG. 10.20 Variable capacitors: (a) air; (b) air trimmer; (c) ceramic dielectric
compression trimmer. [(a) courtesy of James Millen Manufacturing Co.]
Para efectos del curso tan sólo consideraremos condensadores
ideales. En la práctica los condensadores tienen leakage. Los
13
terminales también presentan una resistencia interna que queda en
serie con el condensador. Un modelo es mostrado en la siguiente
figura.
FIG. 10.21 Leakage current: (a) including the leakage resistance in the equivalent
model for a capacitor; (b) internal discharge of a capacitor due to the leakage current.
14
Sección 10.5: Transients in capacitive networks: the charging
phase
La acumulación de cargas en las placas de un condensador no
ocurre en forma instantánea. Consideremos el siguiente circuito en
donde el voltaje inicial del condensador es cero.
FIG. 10.26 Basic R-C charging network.
Una vez se cierra el circuito comienza la acumulación de cargas en
las placas del condensador. Según se acumulan las cargas aumenta
el voltaje a través del condensador y disminuye la rapidez con la
que se acumulan las cargas hasta que eventualmente, cuando el
voltaje a través del condensador sea igual al voltaje de la batería,
ya no se acumularán más cargas adicionales. La siguiente gráfica
describe el comportamiento.
FIG. 10.27 vC during the charging phase.
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Aunque no lo vamos a hacer en este curso, es posible escribir la
ecuación diferencial que describe el comportamiento de vC(t). Si
resolvemos dicha ecuación obtendríamos que
vC(t) = E (1 – e-t/)
donde  = R C es la constante de tiempo y nos dice cuán rápido o
cuán lento se carga el condensador.
Si  es pequeño, en poco tiempo se carga el condensador. En
cambio, si  es grande entonces al condensador le tomará mucho
tiempo cargarse al voltaje máximo de la batería.
Aunque desde el punto de vista matemático al condensador le
tomaría tiempo infinito cargarse al voltaje máximo de la batería,
para efectos prácticos, una vez transcurridos 4 segundos podemos
asumir que el condensador se cargó al máximo.
Aunque no lo vamos a derivar en clase, la corriente a través del
condensador a partir del instante en que se cierra el interruptor,
asumiendo que el voltaje inicial a través del condensador era cero,
está dada por la siguiente ecuación.
IC(t) =
E -t/
e
R
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Esto es, cuando se cierra el interruptor se produce una corriente
inicial igual a E/R la cual va decayendo hasta eventualmente llegar
a cero. En el instante en que se cierra el interruptor el condensador
se comporta como un corto circuito.
FIG. 10.32 Revealing the short-circuit equivalent for the
capacitor that occurs when the switch is first closed.
Cuando el condensador se carga a su voltaje máximo ya no hay
corriente en el circuito y el condensador se comporta como circuito
abierto.
FIG. 10.31 Demonstrating that a capacitor has the
characteristics of an open circuit after the charging phase
has passed.
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Sección 10.6: Transients in capacitive networks: the
discharging phase
Consideremos el siguiente circuito en donde el condensador se
cargó a un voltaje E. En t = 0 segundos el interruptor cambia del
punto 1 al 2 haciendo que el condensador se descargue.
FIG. 10.39 (a) Charging network; (b)
discharging configuration.
Aunque en este curso no lo vamos a demostrar, las siguientes
ecuaciones definen el comportamiento del voltaje y de la corriente
a través del condensador para t > 0 segundos.
vC(t) = E e-t/

E -t/
e
R
iC(t) =

donde  = RC
18
vC(0) = E voltios, y para t suficientemente grande, vC(t) = 0. Esto
es, eventualmente el condensador se va a descargar por completo.
Para efectos prácticos podemos asumir que para t > 4 ya el
condensador está completamente descargado.
Ejemplo: Consideremos el siguiente circuito.
FIG. 10.44 Network to be analyzed in Example 10.8.
a) Si inicialmente el condensador está completamente descargado
y a t = 0 el interruptor se conecta al punto 1, escriba la expresión
que define vC(t) y la que define iC(t) para t > 0.
R C = (20 x 103) (0.05 x 10-6) = 0.001 segundos
vC(t) = 12 ( 1 – e-t/0.001) = 12 ( 1 – e-1000 t) voltios
iC(t) =
12
e-1000 t A = 0.6 e-1000 t mA
20000
19
b) Escriba la expresión matemática que define vC(t) y la que define
iC(t) si el interruptor se mueve a la posición 2 cuando t = 10 m
sec. Asuma que no hay corriente de leakage.
Como 10 m sec corresponde a 10 constantes de tiempo,
podemos asumir que el condensador mientras estuvo conectado
al punto 1 logró cargarse a su voltaje máximo posible, esto es, el
voltaje de la batería o 12 voltios y la corriente es cero.
vC(10 m sec) = 12 V, iC(t) = 0 A
c) Escriba la expression matemática que define vC(t) y la que
define iC(t) si cuando t = 20 m sec el interruptor se mueve a la
posición 3.
Hay una nueva constante de tiempo. También asumiremos que a
los 20 m sec el tiempo se reinicializa a cero.
 = (20,000+10,000)(0.05 x 10-6) = 0.0015 segundos = 1.5 m sec
vC(t) = 12 e-t/0.0015 voltios
12
iC(t) = - 30,000 e-t/0.0015 A = - 0.4 e-t/0.0015 mA
iC(t) es negativo pues al descargarse el condensador la corriente
viaja en la dirección contraria a la indicada en el circuito.
20
Sección 10.11: Condensadores en serie y en paralelo
Consideremos el siguiente circuito con tres condensadores en serie.
FIG. 10.66 Series capacitors.
Ya que los condensadores están en serie y que a través de ellos pasa la
misma corriente, todos los condensadores acumulan la misma carga QT.
QT = Q1 = Q2 = Q3
Si hacemos un KVL obtenemos
E = V1 + V2 + V3
Sabemos que V =
Q
C
QT
Q1
Q2
Q3
=
+
+
CT
C1
C2
C3
1
1
1
1
=
+
+
CT
C1
C2
C3
21
Esto es, condensadores en serie se combinan de la misma forma que las
resistencias en paralelo. Por lo tanto, si tuviéramos dos condensadores,
C1 y C2 en serie, se combinarían de la siguiente forma.
C1 C2
CT = C  C
1
2
Consideremos ahora el siguiente circuito con tres condensadores en
paralelo.
FIG. 10.67 Parallel capacitors.
Como la corriente total es igual a la suma de las corrientes a través de
cada condensador, la carga total es igual a la suma de las cargas en cada
uno de los condensadores.
QT = Q1 + Q2 + Q3
Sabemos que V C = Q.
E CT = V1 C1 + V2 C2 + V3 C3
En un circuito en paralelo los voltajes son iguales, esto es, E = V1 = V2 =
V3. Por lo tanto,
C T = C1 + C 2 + C3
22
Capacitancias en paralelo se suman. Esto es, condensadores en paralelo
se comportan como resistencias en serie.
Ejemplo: Dado el siguiente circuito
FIG. 10.68 Example 10.15.
a) Calcule la capacitancia total.
1
1
1
1
=
+
+
CT
C1
C2
C3
1
1
1
1
=
6 +
6 +
CT
200 x 10
50 x 10
10 x 106
1
CT = 5,000 + 20,000 + 100,000 = 125,000
CT = 8 x 10-6 = 8  F
b) Calcule la carga en cada placa de cada condensador.
QT = Q1 = Q2 = Q3 = E CT = (60) (8 x 10-6) = 480 x 10-6 C
c) Calcule el voltaje a través de cada condensador.
23
Q1
480 x 106
48
12
V1 =
=
=
= 2.4 V
6 =
C1
20
200 x 10
5
Q2
480 x 106
48
V2 =
=
=
= 9.6 V
6
C2
50 x 10
5
Q3
480 x 106
V3 =
=
= 48.0 V
C3
10 x 106
“Sanity check”: V1 + V2 + V3 = 2.4 + 9.6 + 48.0 = 60 V = E => OK
Ejemplo: Dado el siguiente circuito
FIG. 10.69 Example 10.16.
a) Calcule la capacitancia total
C T = C1 + C 2 + C3
CT = 800 + 60 + 1200 = 2060  F
b) Calcule la carga en cada placa de cada condensador
Q1 = C1 E = (800 x 10-6) (48) = 0.0384 C
24
Q2 = C2 E = (60 x 10-6) (48) = 0.00288 C
Q3 = C3 E = (1200 x 10-6) (48) = 0.0576 C
c) Calcule la carga total.
QT = Q1 + Q2 + Q3
QT = 0.0384 + 0.00288 + 0.0576 = 0.09888 C
Sección 10.12: Energía almacenada en un condensador
Un condensador ideal no disipa ninguna de la energía que le suple.
Sencillamente almacena dicha energía en la forma de un campo
eléctrico entre sus placas.
Si potencia es trabajo o energía por unidad de tiempo, entonces la
energía total se puede obtener sumando el área bajo la curva de una
gráfica de potencia vs tiempo.
La siguiente gráfica muestra las curvas de voltaje, corriente y
potencia correspondiente al periodo de carga de un condensador.
FIG. 10.75 Plotting the power to a capacitive element
during the transient phase.
25
Si usamos métodos de integración (cálculo II) obtenemos la siguiente
ecuación que define la energía almacenada en el condensador,
WC =
1
C V2
2
donde V es el voltaje DC a través del condensador.
Ejemplo: Para el siguiente circuito calcule la energía almacenada en
cada condensador.
FIG. 10.74 Example 10.19.
Sabemos que una vez un condensador se carga a su voltaje máximo
su circuito equivalente es, tal y como muestra la parte b de la anterior
figura, un circuito abierto.
Usando divisor de voltaje podemos calcular VC1 y VC2.
VC1 =
(72 ) ( 2)
(72 ) ( 2)
=
= 16 V
9
27
VC2 =
(72 ) (7)
(72 ) (7)
=
= 56 V
27
9
26
WC1 =
WC2 =
1
1
C1 VC21 =
(2 x 10-6) (162) = 2.56 x 10-4 J
2
2
1
1
C2 VC22 =
(3 x 10-6) (562) = 4.704 x 10-3 J
2
2