Movimiento Armónico Simple (MAS)

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.): Es un movimiento vibratorio bajo la acción de
una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de
todo razonamiento, que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante
son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Por ejemplo, el desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud
de una circunferencia.
Movimiento Vibratorio Armónico Simple: es un movimiento vibratorio con
aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se
separa de su posición de equilibrio. Como por ejemplo:
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o
comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza
recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese
movimiento de vaivén.
PARAMETROS:
Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta
regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de
equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la
posición de equilibrio.
Período: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa, se
designa con la letra “t”.
Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la
partícula oscilante.
La ecuación que determina la posición es una función matemática seno o coseno y por
ello se les denomina armónicas. No se consideran las atenuaciones del medio por lo
que al movimiento así simplificado se le llama simple.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la
relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier
movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el
tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello
vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es
proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen
en una fuerza. Esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del
movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
Donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con
respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor
de la posición en función del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el
desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde
empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la
ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL M.A.S.
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de
arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en
el M.A.S.:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en
función de x, la elongación:
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la
aceleración en el M.A.S.:
a = - A w2 sen(wt + q)
Podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente
los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos
valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud
Ecuación
Condición máximo
Se da en
X=0
El punto de equilibrio
X = A (X es máximo)
En los puntos extremos
Velocidad
Aceleración
a = - A w2
Como ejemplo de esto podemos ver:
Un applet sencillo dónde vas a ver la variación de la posición o elongación. Verás, en la
parte izquierda, que es la que nos interesa, el movimiento del muelle y la
representación gráfica de la elongación, hasta alcanzar la amplitud o máximo valor.
Puedes cambiar el valor de la elongación en la casilla correspondiente.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme:
La relación entre el movimiento vibratorio armónico simple y el movimiento circular
uniforme, nos va a permitir dos cosas:
1.- Hallar la ecuación del M.A.S. sin tener que recurrir a cálculos matemáticos
complejos.
2.- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos que usamos en el M.A.S. , como
frecuencia angular o el desfase.
CONCLUSIONES:

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la
posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de
la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
movimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es
proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor
máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.
Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular
Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial

Cinemática del movimiento armónico simple
Elongación
En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es
directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia
a la que se encuentra ésta
respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el
origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que
constante positiva y
donde
es una
es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza
que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en sentido
contrario a su elongación (la “atrae” hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una
dimensión mediante la ecuación diferencial
Siendo
la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo
ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma
donde:
se obtiene la siguiente
es la elongación de la partícula.
es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
es la frecuencia angular
es el tiempo.
es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t =
0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como
, y por lo tanto el periodo como
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la
expresión
.
Velocidad
La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior
respecto al tiempo:
Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por
lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
Amplitud y fase inicial
La amplitud A y la fase inicial
se pueden calcular a a partir de las condiciones iniciales del
movimiento, esto es de los valores de la elongación x0 y de la velocidad v0 iniciales.