Apuntes de Algebra y Trigonometría.

Universidad Autónoma del Estado de México
Plantel “Ignacio Ramírez Calzada”
Academia de Matemáticas.
Núcleo de formación: Matemáticas.
Apuntes de Álgebra y Trigonometría
para la asesoría en el área de matemáticas.
M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.
JUNIO 2009
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
INDICE.
PRESENTACIÒN…………………………………………………………………………………….4
MODULO I TRIÀNGULOS Y CUADRILATEROS………………………………………………..5
Tema 1 Elementos de Geometría………………………………………………………………..….5
1.1 Punto, recta y plano……………………………………………………………………………..6
1.2 Ángulo, ángulos congruentes y bisectriz………………………………………………………6
1.3 Clasificación de los ángulos…………………………………………………………………..…6
1.4 Definición de triángulo……………………………………………………………………………8
1.5 Clasificación de triángulos………………………………………………………….……………9
1.6 Puntos y rectas notables de un triángulo………………………………………………………9
Tema 2. Semejanza…………………………………………………………………………………10
2.1 Razones y proporciones……………………………………………………………………..…11
MÒDULO II RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS……………………………..…12
Tema 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo…………………………….……12
1.1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo…………………………………………….…12
1.2 Ángulos positivos y negativos………………………………………………………………..…12
1.3 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal…………………………...……13
1.4 Razones trigonométricas de ángulos reducidos…………………………………….…...……15
1.5 Signos de las funciones trigonométricas…………………………………………………….…15
Tema 2 Resolución de triángulos……………………………………………………………………23
2.1 Triángulo rectángulo…………………………………….……………………………………...…23
2.2 Triángulo Oblicuángulo………………………………………………………………………...…25
MÒDULO III SECTOR CIRCULAR Y GRÀFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS……..30
Tema 1. Sector circular…………………………………………………………………………..……30
1.1 Definición de sector circular………………………………………………………………………30
Tema 2. Funciones trigonométrica de arcos………………………………………………………..32
Tema 3. Gráficas de funciones trigonométricas………….…………………………………...……33
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
MÒDULO IV ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS…………………………………………………34
Tema 1. Identidades trigonométricas………………………………………………………………..…34
Tema 2. Ecuaciones trigonométricas………………………………………………………………..…36
GLOSARIO……………………………………………………………………………………….……… 37
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………...41
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
PRESENTACION
Los presentes Apuntes de Álgebra y Trigonometría pretenden apoyar los objetivos
de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y
definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por
resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.
El alumno al hacer uso frecuente de estos
apuntes encuentra un apoyo
académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirán hacer más
comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a
los diferentes tipos de problemas. Los conceptos y definiciones que contiene y los
ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Álgebra y
Trigonometría, comprendiendo la materia de un modo más completo. Los apuntes
contienen conceptos y ejemplos de triángulos y cuadriláteros, razones y funciones
trigonométricas, sector circular y gráficas de las funciones trigonométricas y
ecuaciones
trigonométricas,
así
como
ejercicios
de
aplicación
de
los
conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.
De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir
consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de Formación de
Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del
semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase o en el
cubículo como asesoría disciplinaría.
Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca
desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y ampliar la
comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el
propósito del programa de esta asignatura.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
MODULO I TRIÀNGULOS Y CUADRILÀTEROS.
Tema 1 Elementos de Geometría.
Antecedentes históricos.
La geometría fue considerada ciencia a partir de los griegos quienes reemplazaron la observación
y la experiencia por deducciones racionales.
En Babilonia se hicieron estudios de geometría y aproximadamente hace 6000 años se invento la
rueda y se observo la relación entre su diámetro y su longitud. Estudiaron la astronomía y
observando que el año tiene aproximadamente 360 días dividieron la circunferencia en 360 partes
iguales obteniendo el grado sexagesimal.
En Egipto se aplicaron conocimientos geométricos para intentar medir la tierra, además se aplica la
geometría a la construcción, hace más de 20 siglos fue construida la gran pirámide, además
realizaron estudios de triángulos y de cuadrados.
Los griegos perfeccionaron los estudios de los egipcios, algunos personajes fueron: Tales de
Mileto, Herodoto, Pitágoras, etc.
Tales de Mileto. Siglo VII AC Fundador de la escuela jònica a la que pertenecieron estudiosos de
la geometría, estudio la determinación de distancias inaccesibles, la igualdad de los ángulos de la
base en el triángulo isósceles, etc.
Pitágoras. Siglo VI AC discípulo de Tales de Mileto y autor de un teorema que lleva su nombre,
estudio la suma de los ángulos internos de un triángulo, etc.
Euclides. Siglo IV AC estudio triángulos, rectas paralelas, circunferencias y volúmenes de
prismas y pirámides
Platón. Siglo IV AC dividía a la geometrías en elemental y superior, la elemental era la que podía
resolver problemas con regla y compás, la superior estudiaba problemas donde se aplicaban
conocimientos superiores.
Arquímedes 287- 212 AC obtuvo el valor más aproximado de  , el área de la elipse, el
volumen del cono y de la esfera, etc.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
1.1 Punto, recta y plano.
Punto Geométrico.- es imaginado tan pequeño que carece de dimensión, los puntos se suelen
designar por letras mayúsculas.
Línea recta.- es un conjunto de puntos de tal manera que conservan una misma pendiente. Sólo
puede haber una recta que pase por dos puntos. Además dos rectas no pueden tener más que un
sólo punto común.
Semirrecta.- si sobre una recta señalamos un punto A se llama semirrecta al conjunto de puntos
formada por A y todos los que le siguen o preceden. El punto A es el origen de la semirrecta.
Segmento.- si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de
puntos comprendidos entre A y B considerándolos además como los extremos del segmento,
generalmente al que se nombre en primer lugar se le llama origen y al otro extremo.
Se considera que la distancia más corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une.
Plano.- es un conjunto infinito de puntos, para determinar a un plano se requieren al menos tres
puntos.
1.2 Ángulo, ángulos congruentes y bisectriz.
Ángulo.- es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice, las
semirrectas se llaman lados y el ángulo se designa por una letra mayúscula o griega dentro del
ángulo. Se mide al contrario del sentido del reloj.
Y
X
Àngulos congruentes.- se dice que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma forma
y tamaño.
Bisectriz es la semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos
iguales.
1.3 Clasificación de los ángulos.
De acuerdo a su magnitud se clasifican en:
Agudo.- si su magnitud es menor de 90º.
Recto.- si su magnitud es de 90º.
Obtuso.- si su magnitud es mayor de 90º y menor de 180º.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Entrante.- si su magnitud es mayor de 180º y menor de 360º.
También se pueden clasificar de acuerdo a la posición que tienen con respecto a otro ángulo:
Consecutivos: son aquellos que comparten el vértice y un lado.
Complementarios: son los ángulos cuya suma es de 90º.
Suplementarios: son aquellos cuya suma es de 180º.
Coterminales: son aquellos con los mismos lados inicial y terminal.
Según la posición de los ángulos al interceptarse dos líneas paralelas con una oblicua:
B
A
C
D
F
I
E
H
Ángulos opuestos por el vértice (son iguales) A=C, B=D, E=G y F=H.
Ángulos correspondientes (son iguales) A=E, B=F, C=G y D=H.
Ángulos alternos externos (son iguales) B=H y G=A.
Ángulos alternos internos (son iguales) C=E y D=F.
Sistemas de medidas.
Los ángulos pueden medirse en el sistema sexagesimal en:
Grados: es la trescientosesentava parte de la circunferencia (
1
), a su vez el grado se divide en
360
60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
Existe el sistema centesimal que considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales
llamadas grados centesimales, cada grado tiene 100 minutos centesimales y cada minuto 100
segundos centesimales.
Existe otra forma de medir los ángulos y es el sistema circular en donde la unidad es el radián, el
cual es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
1 radián =
180 ª

= 57.29 = 57º 17’ 44’’
 Radián = 180º
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 ràdian
180 º
= 1º = 0.01745 radianes.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplo: Transformar los siguientes ángulos de grados a radianes o viceversa.
a) 60º a radianes.
60 (1º) = 60 (0.017 radianes) = 1.04 radianes.
O también:
  radianes
60º = 60 
 = 1.04 radianes.
 180º 
b) 90º a radianes.
  radianes
90º = 90 
 = 1.57 radianes
180


c)
0.438 radianes a grados.
Si  radianes = 180º entonces 1 radian =
180 º

 180º 
0.438 Rad. = 0.438 

  
0.438 Rad. = 25º 5’ 43’’
d)
2
 Rad. a grados
3
2
2
 Rad. = 180 º  120 º
3
3
1.4 Definición de triángulo
.
Triángulo.- figura geométrica formada por tres segmentos de recta de las que cada uno comparte
los extremos con los otros dos, también se considera un polígono de tres lados cerrado y tres
ángulos.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
1.5 Clasificación de triángulos.
De acuerdo con la medida de sus lados.
A) Equiláteros: todos sus lados son de la misma magnitud y todos sus ángulos son de
la misma medida.
B) Isósceles: sólo dos de sus lados son de la misma magnitud y también sólo dos
ángulos son iguales.
C) Escaleno: sus tres lados son diferentes y por lo tanto sus ángulos también son
diferentes.
De acuerdo con la medida de sus ángulos.
A) Acutángulos: si todos su ángulos son agudos (menores de 90º).
B) Rectángulo: si uno de sus ángulos es recto (igual a 90º)
C) Obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor a 90º).
D) Oblicuángulo: son los que no tienen ningún ángulo recto.
1.6 Puntos y rectas notables de un triángulo.
Altura.- es cada uno de los segmentos perpendiculares a los lados y que parte de los vértices de
un triángulo.
Ortocentro.- es el punto donde se interceptan las tres alturas en un triángulo.
Mediatrices.- son las rectas perpendiculares a los lados de un triángulo por su punto medio.
Circuncentro.- es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo, así como el centro
de una circunferencia que circunscribe al triángulo.
Medianas.- los segmentos que desde un vértice alcanzan la mitad del lado opuesto.
Baricentro.- es el punto que resulta de la intersección de las medianas.
Bisectriz.- es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
Incentro.- es el punto de intersección de las bisectrices y el centro de una circunferencia
inscrita al triángulo.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Trazos con regla y compas.
Es posible realizar algunos trazos utilizando únicamente la regla y el compás.
Bisectriz de un ángulo: Con centro en A y con un radio cualquiera se construye con el compás
un arco que corte los lados del ángulo en B y C como lo muestra la figura.
Con B y C como centros y con el mismo radio se trazan arcos que se cortaran en el punto D. Con
la regla se traza la recta AD que resulta ser la bisectriz del ángulo A.
Tema 2. Semejanza.
Congruencia.- dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, el símbolo
para denotarla es  , es una combinación del signo = que denota semejanza en tamaño y
la
misma forma, por lo que congruencia es igual forma y medida.
Postulados de congruencia para ángulos.
a) Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma forma y medida.
b) Todo ángulo es congruente a sí mismo.
c) Si un primer ángulo es congruente a un segundo, entonces el segundo es
congruente al primero.
d) Si un primer ángulo es congruente a un segundo y este a su vez a un
tercero, entonces el primero es congruente al tercero.
e) Dos rectas perpendiculares determinan cuatro ángulos congruentes.
Congruencia de triángulos.
Dos triángulos son congruentes si sus tres ángulos y sus tres lados coinciden.
a) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.(L.L.L.)
b) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno y el ángulo comprendido entre
ellos son congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido del otro.(L.A.L.)
c) Dos triángulos son congruentes si dos de los ángulos del triángulo y el lado
comprendido entre ellos son congruentes con los del otro.(A.L.A.)
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
2.1 Razones y proporciones.
Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos
números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos:
12
3
4
15
3
5
5 1

15 3
Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, ejemplo:
A
C
R1 
R2 
la proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee:
B
D
A es a B como C es a D.
Se considera que A y D son extremos y B y C son medios.
Proporcionalidad geométrica.
Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y
una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la
misma constante de proporcionalidad.
Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el largo crece a 10 m ¿cuanto debe de
medir el ancho para conservar la razón que existe entre ellos?
3
x

5 10
Entonces
x
3(10)
5
x6m
Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno de mayor dimensión.
Se puede resolver multiplicando por dos cada uno de los lados quedando las nuevas
medidas de 6, 8 y 10 unidades.
6
10
5
3
8
4
Ángulo en posición normal.
Se dice que un ángulo se encuentra en posición normal cuando su lado inicial coincide con el
semieje positivo de las abscisas en un sistema rectangular de ejes coordenados (plano cartesiano)
y cuyo vértice esta en el origen de coordenadas (el punto donde se interceptan los ejes).
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
MÒDULO II RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS.
Tema 1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
1.1 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Las funciones o razones trigonométricas son relaciones entre medidas o cantidades
relacionadas con el ángulo.
Consideremos el ángulo agudo de un triángulo rectángulo, las llamadas funciones o razones
trigonométricas de los ángulos agudos son las siguientes:
Seno. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Coseno. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Cotangente. Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Secante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Cosecante. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Las funciones o razones trigonométricas son relaciones entre medidas o cantidades relacionadas
con el ángulo.
1.2 Ángulos positivos y negativos.
Un ángulo se considera positivo cuando se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, y se
considera negativo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
1.3 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.
Considérese un ángulo en posición normal que pasa por el punto P (x,y) como se muestra
en la siguiente figura:
P(x, y)
Las funciones trigonométricas están dadas con la regla de correspondencia:
FUNCIÒN
REGLA DE CORRESPONDENCIA.
Seno
y
ordenadade P
=
radio vector de P r
Coseno
x
abscisa de P
=
radio vector de P r
Tangente..
Cotangente
ordenadade P y
=
x
abscisa de P
abscisa de P
x
=
ordenadade P y
Secante
radio vector de P r
=
x
abscisa de P
Cosecante
radio vector de P r
=
ordenadade P
y
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Página 13
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplos: dibujar el ángulo en posición normal cuyo lado terminal pase por el punto que se indica.
a) A (3,4)
c) C (-3/5, -6/5)
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
b) B (-1/2, 5)
d) D (3.2, -6.8)
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
1.4 Razones trigonométricas de ángulos reducidos.
Se llama ángulo reducido de un ángulo dado, al ángulo agudo tomado con valor positivo que forma
el lado terminal del ángulo dado con el eje “x”, el signo algebraico de las funciones trigonométricas
del ángulo dado esta determinado por el cuadrante en que queda su lado terminal.
Ejemplos: obtener el ángulo reducido para los siguientes ángulos.
a) A=120º
b) B= 135º 30’
ang. reducido= 180º-120º=60º
ang. reducido=180º-135º30’=44º30’
c) C= -210º 38’
d) D= 237º 52’
ang. reducido 210º38’-180º=30º38’
ang. reducido= 237º52’-180º=57º52
1.5 Signos de las funciones trigonométricas.
Considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas
siempre es positivo, vemos que los signos de las funciones en los distintos cuadrantes
son:
Razón
Trigonométrica
Cuadrante
I
II
III
IV
sen A 
y
r
+
+
-
-
cos A 
x
r
+
-
-
+
tan A 
y
x
+
-
+
-
cot A 
x
y
+
-
+
-
sec A 
r
x
+
-
-
+
csc A 
r
y
+
+
-
-
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplos: obtener las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado terminal
pasa por el punto que se indica.
a) P (-5,12)
se obtiene el valor de r aplicando el teorema de Pitágoras.
r  (5)2  (12)2  25  144  13 y se considera que: x=-5, y=12.
12
13
5
cos A 
13
12
5
5
cot A 
12
sen A 
tan A 
b) P (- 3, 2 )
13
5
13
csc A 
12
sec A 
se obtiene el valor de r aplicando el teorema de Pitágoras.
y se considera x   3 , y   2
r  3 2  5
sen A 
 2
5
tan A 
 2
 3
sec A 
5
 3
cos A 
 3
5
cot A 
 3
 2
csc A 
5
 2
En cada uno de los siguientes incisos, determine las demás razones trigonométricas del ángulo
dado, si se sabe que:
a) sen A =
3
, A en C.I.
4
obtener el valor de x:
funciones:
Considerando y=3, r=4
x  r 2  y2
y aplicando el teorema de Pitágoras para
substituyendo
x  16 9 = 7
sen A 
3
4
cot A 
7
3
cos A 
7
4
sec A 
4
7
t an A 
3
7
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
csc A 
se obtienen las demás
4
3
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
b)
cos A =
 12
, A en C. II. Considerando x=-12, r= 13 y aplicando el teorema de Pitágoras
13
y  r 2  x2 substituyendo y  (13)2  (12)2
y=5
Se obtienen las demás funciones:
para obtener el valor de “y”:
5
5
13
, tan  
, sec  
13
 12
 12
 12
 12
13
cos  
, cot  
, csc  
13
5
5
sen  
3
su solución se encuentra en el segundo cuadrante, ya que se observa que los
7
valores de x= -3, y=7 corresponden a este cuadrante, obteniendo el valor del radio vector:
c) cot  =
r = (3)2  (7)2  9  49  58 por lo que las demás funciones trigonométricas son:
7
58
sen  
cos  
tan  
3
58
7
3
cot  
3
7
sec  
58
3
csc  
58
7
5
su solución se encuentra en el primer cuadrante y en el cuarto cuadrante
3
ya que se obtiene que los valores de r=5, x=3 corresponden a estos cuadrantes, obteniendo el
d) sec  
valor de “y”: y  r 2  x2  25  9  4 , considerando “y” como positiva en el primer cuadrante
entonces las funciones trigonométricas son :
sen  
4
5
cot  
3
4
cos  
3
5
sec  
5
3
tan  
4
3
csc  
5
4
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 17
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Considerando a la “y” como negativa y localizando el ángulo en el cuarto cuadrante, las funciones
trigonométricas serán:
sen  
4
5
3
5
sec  
5
3
4
3
csc  
5
4
cos  
tan  
3
4
cot  
Valores exactos de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
La palabra exacto se emplea en el siguiente sentido, el valor exacto de la raíz cuadrada de 3 se
expresa como 3 en tanto que un valor aproximado con tres cifras decimales es 1.732, también el
signo  representa un valor exacto y su valor aproximado es de 3.1416.
Para obtener un ángulo de 30º utilizamos un triángulo cuyos tres lados midan dos unidades por
cada uno de sus lados y trazamos una línea vertical que corte al ángulo superior de 60º en dos de
30º, y obtenemos el valor de la altura vertical utilizando el teorema de Pitágoras de la siguiente
manera:
r 2  x 2  y 2 Despejando y  r 2  x2 substituyendo se obtiene 3 por lo tanto
las razones trigonométricas son:
sen 30 º 
cos 30º 
1
2
cot 30º 
3
 3
1
3
2
sec 30º 
2
2 3

3
3
tan 30º 
1
3
csc 30 º 
2
2
1
Las razones trigonométricas de un ángulo de 60º son:
sen 60º 
cos 60 º 
tan 60º 
3
2
1
2
3
 3
1
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cot 60º 
sec 60 º 
csc 60º 
3
3
2
2
1
2
2 3

3
3
Página 18
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Para encontrar las funciones trigonométricas de 45º se hace a partir de un cuadrado de lados
unitarios en donde x=1, y=1, r= 2 , las funciones son entonces:
sen 45º 
cos 45º 
tan 45 º 
1
2

2
2
cot 45 º 
1
2

2
2
1
1
1
1
1
1
sec 45º 
2
 2
1
csc 45º 
2
 2
1
Para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º
y 360º, se determinan considerando un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el
punto indicado.
a) Para 0º un ángulo que pase por (3,0). Se considera x=3, y=0 y r=3, las funciones son:
sen 0º 
cos 0º 
0
0
3
cot 0º 
3
1
3
tan 0º 
sec 0º 
0
0
3
3

0
Indeterminada.
3
1
3
csc 0º 
3

0
Indeterminada.
b) Para 90º un ángulo que pase por (0,5). Se considera x=0, y=5 y r=5, las funciones son:
sen 90 º 
5
1
5
cot 90 º 
0
0
5
cos 90 º 
0
0
5
sec 90 º 
5

0
tan 90 º 
5

0
csc 90 º 
5
1
5
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 19
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
c) Para un ángulo de 180º que pase por (-4,0). Se considera x=-4, y=0 y r=4, las funciones son:
sen 180 º 
cos 180 º 
0
0
4
cot 180 º 
4
0
4
 1
4
sec 180 º 
4
 1
4
0
0
4
csc 180 º 
4

0
tan 180 º 
d) Para un ángulo de 270º que pase por (0,-6).Se considera x=0, y=-6 y r=6, las funciones son:
sen 270 º 
6
 1
6
cot 270 º 
0
0
6
cos 270 º 
0
0
6
sec 270 ª 
6

0
tan 270 º 
6

0
csc 270 º 
6
=-1
6
e) Para un ángulo de 360º que pase por (1,0). Se considera x=1, y=0 y r=1, las funciones son:
0
0
1
cot 360 º 
1

0
cos 360 º 
1
1
1
sec 360 º 
1
1
1
tan 360 º 
0
0
1
csc 360 º 
1

0
sen 360 º 
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 20
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplos de aplicación de los valores exactos de las funciones trigonométricas, utilizando los
valores exactos realizar las siguientes operaciones:
a)
2
3 3 22 3


2
3
6
sen 45º + tan 30º =
 3   3  2 3


b) sen 120º cos210º - sec 30º = 
 2   3 
2



-
3 2 3  98 3

4
3
12
 3 3


c) sen 60º cos 30º - tan 45º = 
  2  1
2



3
= 1
4
=-
1
4
2
 1 1 1 1
3
  

2
3
cos 120º  sen 150º  2  2 4 2
d)

 4 

1
1
1
4
cot 135º
2
 1   2 3 
3 2
e) sen 210º  sec 30º3 csc 225º      
 2   3 
2
2
2
2


2

1 12
59
 6 
4 9
12
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 21
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
f) sen 330º csc 300º - cot 315º=
2 3
2 36
 1  2 3 
 1=
1 =
   

3 
6
6
 2 
Razón trigonométrica.
Sen A
0º
0
Cos A
1
Tan A
0
Cot A

Sec A
1
Csc A

ANGULOS
30º
45º
60º
1
2
3
2
2
2
1
3
2
2
2
2
1
3
3
3
3
1
2 3
3
2
3
3
90º
1
180º 270º 360º
0
-1
0
0
-1
0
1

0

0
0

0

2
2

-1

1
2
2 3
3
1

-1

Razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Para obtener las funciones trigonométricas cotangente, secante y cosecante de cualquier ángulo
se utilizan las siguientes identidades y se despeja:
sen  csc   1
csc  =

1
sen 
cos  sec  1

sec  
1
cos 
tan  cot   1

cot  
1
tan 
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 22
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplos:
a) Obtener la cosecante de 30º:
csc 30º 
1
sen 30º
csc 30 º 
1
2
0.5
sec 50º 
1
cos 50º
b) Obtener la secante de 50º:
sec 50 º 
1
=1.55
0.642
c) Obtener la cotangente de 75º:
cot 75º 
cot 75 º 
1
tan 75º
1
 0.267
3.73
Tema 2 Resolución de triángulos.
2.1 Triángulo rectángulo.
Un triángulo rectángulo es en el cual se presenta un ángulo interior de 90º. Resolver un triángulo
rectángulo consiste en obtener los ángulos y lados faltantes a partir de los ángulos y lados
conocidos.
Ejemplos: a) Resolver el triángulo rectángulo con A= 40º, a= 2.4:
Solución:
Para obtener el ángulo B:
A+B+C= 180º
 B= 180º - A –C
B= 180º - 40º - 90º
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
 B= 50º
Página 23
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
tan A 
Para hallar b:
b
a
b

a
tan A
2 .4
2.4
=
= 2.86
tan 40º 0.839
2.42  2.862
c  a2  b2 =
Para hallar c:
b
= 3.73
b) Resolver el triángulo rectángulo si a=12 y b=5:
Para hallar c:
c
12 2  52
 144  25  169  13
c=13
sen A 
Para hallar A:
12
 0.9230
13
 A= áng. Sen 0.9230
A= 67º
Para hallar B:
tan B 
5
 0.4166
12
 B= àng. Tan 0.4166= 23º
Problemas de aplicación.
Son problemas prácticos que pueden resolverse aplicando un triángulo rectángulo.
Ejemplos:
a) Determinar el punto más alto de un edificio sabiendo que proyecta una sombra de 50
m. cuando el ángulo de elevación del sol es de 33º 12’.
Aplicando la función tangente:
tan 33º 12 ' 
x
50
 x  50 m tan 33º12'
= 50 m 0.6543 32.71 m.
Se concluye que la altura del punto más alto es de 32.71 m.
b) Una escalera de 9.0 m. se encuentra recargada en una pared ¿que ángulo forma con
el piso si la distancia de la pared al pie de la escalera es de 3.2 m?
Utilizando la función coseno:
cos A 
3.2
 0.3555
9
A = àng. Cos 0.3555= 69º10’
Se concluye que el ángulo que forma es de: 69º 10’
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 24
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
2.2 Triángulo Oblicuángulo.
Es un triángulo que carece de ángulo recto, cuando se conocen tres elementos de un triángulo,
uno de ellos necesariamente un lado es posible por medio el uso de ciertas fórmulas determinar los
otros tres elementos. Dos de las fórmulas más usuales son las llamadas ley de los senos y ley de
los cosenos.
En la solución de estos triángulos se pueden distinguir cuatro casos:
1.- Cuando se conocen dos ángulos y un lado
2-. Cuando se conocen dos lados y el ángulo.
3.- Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido.
4.- Cuando se conocen los tres lados.
Ley de los senos: en todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
a
b
c


sen A sen B sen C
Por ejemplo:
a) De un triángulo oblicuángulo se conocen A=60º, B=45
a
b

sen A sen B

b
º, a= 4, hallar b:
4
b

sen 60º sen 45º
40.7071 
0.866

b
4 sen 45º
sen 60º
b  3.26
b) De un triángulo oblicuángulo se conocen A=46º, C= 72º, a=12.7 obtener los demás elementos:
Para obtener B: A+B+C=180º  B = 180º-A-C
 B = 180º - 46º-72º = 62º
B= 62º
Para obtener b:
b
a

sen B sen A
b

12 .7 0.8829 
= 15 .58
0.7193
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
b
a sen B
sen A
b  15.58
Página 25
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Para obtener c:
a
c

sen A sen C
 c
12 .7 0.951
= 16.79
0.7193
c  16.79
a sen C
sen A

c
c) De un triángulo oblicuángulo se conocen A= 63º18’, B= 39º50’, a = 17.2
Para hallar el valor de C:

A+B+C=180º
C = 180º-63º18’-39º50’
C = 76º 52’
Para hallar el valor de b:
b
a

sen B sen A
 b
a sen B
sen A
b
17.2 0.64 
0.8933
b  12.32
Para hallar el valor de c:
b
c

sen B sen C
 c
b sen C
sen B
c
12.32 0.9738 
0.64
c  18.74
Ley de los cosenos: en todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de los mismos lados por el coseno
del ángulo que forman. Y se denota:
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
de igual forma para encontrar los ángulos A, B y C:
b 2 c 2 a
cos A 
2bc
2
a 2 c 2 b
cos B 
2ac
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
2
a 2 b 2 c
cos C 
2ab
2
Página 26
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplos:
a) De un triángulo se conocen los siguientes datos, a = 15, b = 12, C = 50º, hallar los demás
elementos:
Para hallar c:
15 2  12 2  2(15)(12) cos 50 º
 c
c  a 2  b2  2ab cos C
c  225 144 2(180)(0.6427) =
225 144 2(115.7) =
c  369 231.4 = 137.6 = 11.73 
Para hallar A:
cos A 
b2  c2  a 2
2bc
cos A 
cos A 
144  137.6  225
2(140.76)
225 144  231.4
c = 11.73
(12)2  (11.73)2  (15)2
2(12)(11.73)
56.6
281 .52
cos A =
cos A = 0.201
A = áng. Cos (0.201) = 78º 24’
Para hallar B:
A+B+C= 180º
B = 180º -A-C
B = 180º - 78º 24’- 50º
B = 51º 36’
b) De un triángulo se conocen los siguientes datos, A = 98º, b = 6, c = 10, hallar los demás
elementos.
Para hallar a:
a2  b2  c2  2bc cos A
 a  (6)2  (10)2  2(6)(10) cos98º
a  36  100 2(60)(0.1391)
a  36  100 16.7
Para hallar B:
cos B 
cos B 
a  36  100 2(8.3503)
a  12.35
a  152.7
a 2  c2  b2
2ac
cos B 
152.7  100  36
2(123.5)
(12.35)2  (10)2  (6)2
2(12.35)(10)
cos B 
216 .7
 0.8773
247
B = àng. Cos (0.8773) = 28º 40’
Para hallar C:
A+B+C= 180º
 B = 28º 40’
 C = 180º - A – B
C = 180º - 98º - 28º 40’ = 53º 20’ 
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
C = 53º 20’
Página 27
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Aplicación de triángulos oblicuángulos.
Son problemas prácticos que se resuelven utilizando las leyes de senos y cosenos para obtener
los elementos faltantes.
Ejemplos:
a) Calcular las longitudes del siguiente paralelogramo si el ángulo BAD = 125º.
A
8
B
5
5
D
Para hallar B y D:
8
C
A + B + C + D = 360º
B + D = 110º

Para hallar
d:
Para hallar c:
B = 55º
 B + D = 360º- 250º
además;
Y
B=D
D = 55º
d 2  a2  c2  2ac cos D
d  (8)2  (5)2  2(8)(5) cos55º
d  64  25  80(0.5735)
d  89 4.88
c2  b2  d 2  2bd cosC
c  (8)2  (5)2  2(8)(5) cos125º
d  6.56
c  64  25  80(0.5735)  89  45.88  134.88  11.61
c  11.61
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 28
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
b) Los ángulos de elevación de un helicóptero con respecto a dos puntos A y B sobre el nivel
del suelo son 25º 15’ y 56º43’ determinar la altura a la cual se encuentra el helicóptero si la
distancia AB es de 6.0 Km.
C
A
B
Para hallar B:
B = 180º - 56º43’ = 123º 17’
Para hallar C:
C = 180º - A – B

C = 180º - 25º15’ – 123º 17’
C = 31º 28’
Para hallar a: por ley de senos
a
6 (0.4265 )
0.5220
a
c

senA senC

a
c senA
senC
a  4.9 km.
Para encontrar la altura del helicóptero:
sen 56º 43' 
y
4.9 km.

y  sen 56º 43' (4.9 km.)
=0.8359 (4.9) = 4.096 Km.
La altura del helicóptero es de 4.096 Km.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 29
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
MÒDULO III SECTOR CIRCULAR Y GRÀFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS.
Tema 1. Sector circular.
1.1 Definición de sector circular.
Circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo en el
mismo plano, el punto fijo se denomina centro y la distancia de este a los puntos se denomina
radio. La circunferencia es una línea cerrada cuya longitud es llamada perímetro. La región
interior de la circunferencia es el círculo que es un área o superficie plana.
La longitud de una circunferencia se obtiene de la siguiente expresión:
P  2 r   D
El círculo se mide en unidades de área:
Relación entre grados y radianes:
A= r
2
1 radian = 57.3º
1º = 0.0175 Rad.
1’ = 0.0002916 Rad.
Sector circular. En un círculo de radio r, un ángulo central medido en radianes, intercepta un
arco cuya longitud esta dada por la siguiente expresión.
Longitud de sector circular: S  r  (  en radianes)
Área de sector circular:
A
1 2
r 
2
Elementos notables de la circunferencia.
Centro: es un punto fijo del plano del cual equidistan los puntos que pertenecen a la
circunferencia.
Radio: es la magnitud constante que existe entre el centro y cualquier punto de la
circunferencia.
Recta secante: línea recta que interfecta a la circunferencia en dos de sus puntos.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 30
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Cuerda: segmento de recta secante cuyos extremos son los dos puntos de intersección con la
circunferencia, la cuerda es una línea perpendicular al radio y este pasa por su punto medio.
Diámetro: máxima cuerda de una circunferencia que pasa por el centro y su magnitud es igual
a dos radios.
Recta tangente: línea recta que intercepta a la circunferencia en uno de sus puntos y que es
perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Longitud de una circunferencia o perímetro: es la magnitud del arco total que resulta de
multiplicar dos veces la constante  por la magnitud de su radio.
Arco de circunferencia: la parte comprendida entre los puntos de una circunferencia AB.
Radio
A
Tangente
Diámetro
B
Recta Secante
Cuerda
Ejemplos de sector circular:
Para cada circunferencia cuyo radio esta dado, calcular la longitud del arco que intercepta el
ángulo central:
a) se conoce que r = 8 m. y  = 47º16’.
Pasando de grados a radianes:
47º16’ = 47 (0.0175) + 16 (0.00029) Rad.
= (0.8225 + 0.0046) Rad.
47º 16’= 0.8271 Rad.
El arco es:
S=r
S = (8.0 m) (0.8271) = 6.62 m.
b) se conoce que r = 21.5 m. y   112º 31' .
Pasando de grados a radianes:
112º 31’ = 112(0.0175 Rad.) + 31(0.00029 Rad.)
= (1.96 + 0.00899) Rad.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 31
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
112º 31’ = 1.9689 Rad.
El arco es:
S = r  = (21.5 m.) (1.9689) = 42.3332 m.
Calcular el área y el perímetro del sector circular de los siguientes datos:
a) se conoce que r = 60 m. y   80º
Pasando los grados a radianes: 80º = 80 (0.0175) = 1.4 rad.
El área es:
A
1 2
r 
2
La longitud del arco es:
A
1
(60 m) 2 (1.4) = 2,520 m 2
2
S = r  = (60 m) (1.4) = 204 m.
Circunferencia unitaria.
2 = 6.28
Tiene como radio a la unidad, es decir su radio mide uno y como longitud tiene
el cual sería su perímetro. Se puede establecer una correspondencia entre los números reales
que miden la longitud del arco y los radianes del ángulo que se genera.
Arco reducido: es el que se forma entre el final del arco dado y el eje X, debiendo ser menor
que 1.57 en número real.
Tema 2. Funciones trigonométrica de arcos.
Un arco de circunferencia representa un número del cual se pueden obtener las seis funciones
trigonométricas. Debe tenerse cuidado que la calculadora se encuentre en radianes y
comprobar los signos de las funciones trigonométricas para los cuadrantes que correspondan.
Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas del arco U = 1.3:
sen 1.3  0.9635
cot 1.3  0.2776
cos 1.3  0.2674
sec 1.3  3.7397
tan 1.3  3.602
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
csc 1.3  1.0378
Página 32
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Obtención del arco dado el valor de su razón trigonométrica.
Conocido el valor de una razón trigonométrica es posible obtener el valor del arco con número
real U, ejemplo obtener el arco U cuyo coseno es 0.25
U = arc cos 0.25
U = 1.3181
Tema 3. Gráficas de funciones trigonométricas.
Función: es un conjunto de pares ordenados donde no se repite el mismo primer elemento.
Una función trigonométrica tiene su gráfica cuando se le dan valores a la variable
independiente “x” y se obtienen los valores de la variable dependiente “y” usando las
funciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Gráfica de y = sen x proporciona una representación de la función sen x. El argumento x
es un número real que va a ser la abscisa de un punto cualquiera de la gráfica. Si se usa un
circulo unitario, la ordenada de cualquier punto de la circunferencia será f(x) = sen x.
La gráfica de y = a sen x, en donde “a” es una constante positiva se puede trazar fácilmente
por comparación con la curva sen x, la constante “a” se denomina amplitud de la función.
2
.
b
Entendiéndose por periodo la distancia horizontal en el eje x en que la figura desarrolla un
ciclo; y por ciclo la trayectoria de la gráfica.
La gráfica de
y = sen bx, donde “b” es una constante positiva, tiene como periodo
La gráfica de y = a sen ( bx   ) es similar a la gráfica de y = sen bx,  recibe el nombre de
ángulo de fase y desplaza (desfasa) la gráfica a la izquierda o a la derecha según que sea

positiva o negativa. La magnitud del defasamiento esta dado por
.
b
La gráfica de y = cos x es parecida a la de y = sen x.
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 33
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
MÒDULO IV ECUACIONES TRIGONOMÈTRICAS.
Tema 1. Identidades Trigonométricas.
Se considera que una ecuación solo se cumple para ciertos valores que tome la incógnita, y se
le llama ecuación condicional.
Si una expresión se cumple para todos los valores de la variable se le llama identidad.
Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales que pueden
ordenarse en tres grupos que son: identidades de recíprocos, de división y de cuadrados.
Las identidades de recíprocos son:
sen u csc u  1
cos u sec u  1
tan u cot u  1
Las identidades de división son:
tan u 
sen u
cos u
cot u 
cos u
sen u
sen 2u  cos 2u  1
Las identidades de cuadrados son:
1 + tan 2u  sec 2u
1 + cot 2 csc 2u
M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo
Página 34
Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ejemplo: utilizando las identidades trigonométricas fundamentales, reducir las siguientes
expresiones a una sola razón trigonométrica:
a) cos A tan A =
b) sen A – sen A cos 2 A 
cos A senA
 senA
1 cos A
sen A (1  cos 2 A) 
sen A(sen 2 A)  sen 3 A
Verifique las siguientes identidades trigonométricas, utilizando las ocho identidades
fundamentales:
cos A
cos A

 2 sec A
1  senA 1  sen A
a)
Solución:
cos A(1  senA)  cos A(1  senA)
 2 sec A
(1  senA)(1  senA)
cos A  senAcos A  cos A  senAcos A
 2 sec A
(1  senA)(1  senA)
2 cos A
 2 sec A
1  sen 2 A
2 cos A
 2 sec A
cos 2 A
2
 2 sec A
cos A
2 sec A  2 sec A
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
cos A
1  senA

1  senA
cos A
b)
Solución:
Multiplicando por el conjugado del denominador:
1  senA
 1  senA  cos A



cos A
 1  senA  1  senA
(1  senA) cos A 1  senA

1  sen 2 A
cos A
(1  senA) cos A 1  senA

cos 2 A
cos A
1  senA 1  senA

cos A
cos A
Tema 2. Ecuaciones trigonométricas.
Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos o de
números reales. A diferencia de la identidad trigonométrica, la ecuación trigonométrica no se
satisface para todos los valores del ángulo o del número real. Resolver una ecuación
trigonométrica es encontrar todos los ángulos o todos los números reales que la satisfacen.
Como los ángulos coterminales poseen idénticos valores de sus funciones trigonométricas,
resulta que si 𝜃 es una solución, también lo es su coterminal. Por comodidad las soluciones se
restringen a ángulos no negativos y menores que 360º. Para números reales, u, las soluciones
se restringirán a valores menores a 2𝜋.
Los métodos de resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos.
Ejemplo. Resuelva la ecuación
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 1 = 0
Solución: Pase -1 al segundo termino y pase al 2 dividiendo
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
2
Por tanto,
𝜃 = 30º
Lo cual puede comprobarse por sustitución.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
GLOSARIO.
Acutángulo. Triángulo cuyos tres ángulos son agudos. Los triángulos equiláteros son
acutángulos.
Adyacente. Contiguo. Ángulos adyacentes son los que tienen el mismo vértice y un lado
común que los separa.
Agudo. En geometría, ángulo que mide menos de 90º.
Ángulo. Abertura formada por dos rectas o dos planos que se cortan.
Ángulo central. En un círculo, es el ángulo cuyos lados son radios y su vértice está en el
centro.
Ángulo complementario. Es el que sumado con otro da 90º.
Ángulo lineal o llano. Es aquel que mide 180º exactamente.
Ángulo negativo. Es el que se forma rotando en el sentido de las manecillas de un reloj.
Ángulo obtuso. Es el
que mide más de 90º y menos de 180º.
Ángulo positivo. Es el que se forma rotando en contra de las manecillas de un reloj.
Ángulo recto. Es el que mide 90º exactamente.
Ángulos coliniales. Que tienen una línea en común.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Ángulos, medida de. Los babilonios suponían que el año tenia 360 días, de ahí la idea de
dividir el ángulo completo en 360 partes iguales que llamaron grados (º). Para tener medidas
más exactas dividieron éstos en 60 partes que nombraron minutos (‘) y éstos, a su vez, en 60
partes que llamaron segundos (``).
Ángulos adyacentes. Son aquellos que tienen un mismo vértice y comparten uno de sus
lados.
Ángulos opuestos por el vértice. Cuando dos rectas se cortan formando 4 ángulos; éstos,
dos a dos, son opuestos por el vértice formado por las rectas. Los ángulos formados por la
oposición del vértice son iguales.
Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que sumados dan como resultado 180º.
Arco. Sección geométrica de una curva cualquiera.
Bisectriz. Plano o línea que divide un espacio o un plano en dos partes iguales. Línea que
corta a un ángulo en dos iguales.
Círculo. Superficie cerrada en la cual todos los puntos equidistan de otro llamado centro. Los
elementos del círculo son: arco, radio, diámetro, cuerda, secante y tangente.
Circunferencia. Línea curva y cerrada que limita a una superficie circular. La recta que va del
centro a cualquiera de sus puntos se llama radio. La recta que une dos puntos de la
circunferencia y pasa por el centro se llama diámetro. El diámetro es igual a dos radios
alineados. Una recta que une dos puntos y no pasa por el centro es una cuerda. Un diámetro o
cuerda que al prolongarse corta a la circunferencia, se llama secante. Una recta que toca a la
circunferencia en un solo punto se llama tangente. Si dos circunferencias tienen el mismo
centro, se dice que son concéntricas.
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Hipotenusa. En un triángulo rectángulo, es el lado que queda enfrente u opuesto al ángulo
recto en relación con los lados del triángulo. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos, que son los otros dos lados del triángulo.
Identidad. Se da cuando dos miembros de una igualdad tienen el mismo valor numérico
independientemente de los valores asignados.
Isósceles, triángulo. Que tiene dos lados o dos ángulos iguales.
Mediana. En un triángulo, línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Si se
prolongan las tres medianas, se cortan en un solo punto.
Mediatriz. Línea que parte del punto medio de un lado de un triángulo o de un segmento de
recta de forma perpendicular, no necesariamente cortando el vértice opuesto.
Oblicuo. Línea o plano que al cortar otra línea o plano no forma ángulo recto.
Obtuso. Ángulo que mide más de 90º y menos de 180º.
Proporción. Es la igualdad de dos razones.
Radián. Diferente manera de medir un ángulo, que equivale a la longitud del arco comprendido
en la circunferencia que sustenta el ángulo en cuestión.
Sector. Superficie limitada por dos rectas y arco de curva cualquiera.
Sector circular. Parte de un círculo comprendido entre dos radios y el arco comprendido entre
ambos.
Sinusoide. Curva plana que en coordenadas cartesianas representa los valores sucesivos del
seno de un arco a partir de 0º, siendo las abscisas los valores crecientes del arco y las
ordenadas los valores de los senos.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
Triángulo. Polígono de tres lados.
Triángulo acutángulo. Cuando sus tres ángulos son agudos.
Triángulo equilátero. Cuando sus tres lados y sus tres ángulos son iguales.
Triángulo escaleno. Cuando sus tres lados son desiguales.
Triángulo isósceles. Con dos lados y dos ángulos iguales.
Triángulo obtusángulo. Cuando uno de sus ángulos es obtuso, o sea, que mide màs de 90º y
menos de 180º.
Triángulo rectángulo. Dícese del triángulo que tiene un ángulo recto o de 90º. Sobre este tipo
de triángulo se estudia el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas.
Trigonometría. Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos de un triángulo. Éste
puede ser a través del teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas, que son
seno, coseno y tangente.
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Apuntes de Algebra y Trigonometría.
BIBLIOGRAFIA.
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Cultural.
COURTANT, R., Robbins, H. (2002) (edición en español), ¿Qué son las matemáticas? México:
Editorial Fondo de Cultura Económica.
LAKATOS, I. (1978), Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático, México:
Alianza Universidad.
SESTIER, A. (1981). Diccionario Enciclopédico de las Matemáticas (tres tomos), México:
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GUZMÀN, José, et al, (2004), Álgebra y trigonometría, México. UAEMèx.
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