Vectores y Cinemática

Ejercicios de Vectores
1.
Dados los vectores a (-1,4,3) y b(2,0,5), halla:
a) mod a, mod b, a+b, a-2b, a.b y a x b
b) ángulo que forman
c) cosenos directores de a
d) proyección de a sobre b
R.: a)
26u, 29u, (1, 4, 8 ) , ( -5, 4, -7 ) , 13, (20,11, -8 )
b)
; c)
2.
13
= 61, 74º
754
-1
4
3
cosα =
, cosβ =
, cosγ =
26
26
26
θ= arccos
; d)
13
29
u
Halla el área del triángulo que definen los dos vectores del ejercicio anterior.
R.:
3
65u2
2
3.
Un vector tiene de módulo 4 y sus cosenos directores son proporcionales a
los números 3,1,-2. Halla las componentes cartesianas de dicho vector.
4
8 
 12
R.: ±
,
,
14 
 14 14
4.
Si el producto vectorial de dos vectores es a x b = 3i -6j + 2k y sus
módulos son 4 y
R.:
5.
7 , respectivamente, calcular su producto escalar.
3 7
Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1 =
5 N. y F2 = 7 N., que forman respectivamente los siguientes ángulos con el
eje OX: 60º y 30º. Calcular:
a) La fuerza resultante. b) Su módulo. c)
(
)
(
Ángulo que forma con el eje OX.
)
1
1
5+7 3 i + 7+5 3 j N b) F = 74+35 3N ≃
2
2
≃ 11, 6N c) 42, 44º
R. : a) F =
6.
Demuestra el teorema del coseno utilizando las propiedades del producto
escalar de dos vectores
7.
Dados los vectores a (1,2,-3), b (0,4,-2) y c (8,-1,4), aplicados en el punto
P = (3,1,2), obtén el momento de cada uno de ellos respecto del origen así
como el de la resultante de los tres (Varignon).
R.:
M0 (a)= ( -7,11,5 ) ; M0 (b)= ( -10, 6,12 ) ; M0 (c)= ( -7,11,5 ) ;
M0 (R)= ( -11,21, 6 )
8.
Dados los vectores a= 2i - j + k y b= i + j - 2k, calcula un vector unitario
perpendicular al plano que definen a y b
5
3 
 1
,
,
R.: ±

 35 35 35 
9.
¿Existe algún caso en el que el producto de dos vectores de módulos 10 y
25 sea nulo?. Razona la respuesta.
10.
Demostrar que si los vectores L, M y N son coplanarios se cumple que:
L.(M x N) = 0
Ejercicios de Cinemática
1.
Dos trenes A y B se desplazan en rieles paralelos a 70 km/h y 90 km/h,
respectivamente. Calcula la velocidad relativa de B con respecto a A en los
siguientes casos: a) si se mueven en el mismo sentido; b) si se mueven en
sentidos opuestos; c) si los rieles forman entre sí un ángulo de 60º
R. : a) 20 km/h; b)160 km/h; c) 10 67km / h .
2.
Una partícula se mueve con una aceleración constante a = 4 i + 6 j (SI). Si
en el instante inicial la velocidad es nula y su posición es r0 = 10i (m),
calcula:
a) el vector velocidad en cualquier instante.
b) el vector posición en función del tiempo.
c) ecuación de la trayectoria del móvil
R. : a) v = 4t i + 6tj (m/s); b) r=(10+2t2 ) i + 3t2 j (m); c) y=
3.
3
( x-10 )
2
Un objeto se está moviendo en el plano XY. Cuando t=1 s su posición es el
punto (2,3) m y cuando t=4 s está en el punto (4,5) m. Calcula el vector
velocidad media y su módulo. R.:vx=vy=2/3 m/s; vM =
2
2m / s
3
4.
Un ciclista marcha por una región en la que hay muchas subidas y bajadas.
En las cuestas arriba lleva una velocidad de 5 km/h y en las cuestas abajo
de 20 km/h. ¿Cuál es la velocidad media si las subidas y bajadas tienen la
misma longitud?. R.: 8 km/h
5.
Dos cuerpos, A y B, separados 2 km, salen simultáneamente y se mueven
en la misma dirección y sentido, ambos con MRUV, siendo la aceleración de
B, el más lento, de 0,32 m/s2. El encuentro se realiza a 3,025 km del punto
de partida de B. Se pide: a) tiempo invertido por ambos móviles; b)
aceleración de A; c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro.
R.: a) 137,5 s; b) 0,53 ms-2; c) vA=73,1 m/s, vB=44 m/s
6.
Un avión, que parte del reposo, recorre 547,2 m de pista con aceleración
constante en 12 s antes de despegar. Calcula: a) la aceleración; b) la
velocidad de despegue en km/h. R.: a) 7,6 m/s2; b) 328,32 km/h.
7.
Un automóvil circula a 54 km/h cuando acelera para efectuar un
adelantamiento. Si la aceleración es igual a 4,5 ms-2 y completa el
adelantamiento en una distancia de 250 m. Calcula: ) velocidad del automóvil
al finalizar el adelantamiento; b) es tiempo durante el cual ha estado
adelantando. R.: a) 49,7 m/s; b) 7,7 s
8.
Un coche circula a 110 km/h cuando el conductor ve un obstáculo sobre la
carretera y frena con aceleración constante de 6,2 m/s2. Determina la
distancia que recorre hasta parar, el tiempo empleado en ello así como el
espacio recorrido en el último segundo. R.: 75,3 m; 4,928 s; 3,1 m.
9.
Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con
un intervalo de 3s. Se mantendrá cte la distancia entre ellas durante la
caída?.
R.: No; la distancia entre ellas aumenta con el tiempo según la relación
siguiente: d =14,7 (2t - 3 ) m [ t ≥ 3s ]
10.
Una grúa eleva un objeto pesado a velocidad constante de 10 ms-1. cuando
el objeto se encuentra a 5 m sobre el suelo, rompe el cable quedando aquél
en libertad. Se pregunta:
a) ¿Hasta que altura seguirá subiendo el objeto? y
b) ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo desde que se rompió la cuerda?
Dato: g = 10 ms-2.
(
)
R. : a) 10m; b) 1 + 2 s ≃ 2, 414s
11.
Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con 2 s de intervalo. La
velocidad inicial del primero es de 50 m/s y la del segundo de 80 m/s. a)
¿qué tiempo transcurre hasta que los dos se encuentran?; b) ¿qué velocidad
tendrá cada uno en ese momento?.Dato: g = 10 ms-2
R.: a) 3,6s desde el lanzamiento del primero; b) 14 m/s y 64 m/s,
respectivamente.
12.
Desde una ventana, a 15 m de altura del suelo, se deja caer un objeto A. Al
mismo tiempo, desde el suelo se lanza verticalmente hacia arriba otro objeto,
B, con velocidad inicial de 12 m/s. Halla, en el instante en el que se produce
el encuentro, lo que sigue: a) posición de ambos; b) tiempo que tardan en
encontrarse; c) velocidad de cada uno de ellos
R.: a) 7,34 m; b)1,25s; c) -12,25 m/s y -0,25 m/s, respectivamente.
13.
Un vehículo describe un movimiento
rectilíneo descrito por la siguiente gráfica
velocidad-tiempo:
Indica para cada uno de los cuatro
tramos:
a) el tipo de movimiento
b) la aceleración
c) la distancia recorrida
R.: 1:MRUA , 1,5 m/s2, 75 m; 2:MRU, 0,
225m;
3: MRUA, 2m/s2, 100m;
4:MRUA, -2,5 m/s2, 125 m.
14.
Ejercicio 13
Un globo se eleva verticalmente con velocidad de 4,9 m/s y abandona un
objeto en el instante en que el globo está a 19,2 m del suelo. Calcular: a) la
posición y la velocidad del peso al cabo de 2 s; b) el tiempo que tarda en
llegar al suelo; c) la velocidad del cuerpo en ese punto.
R.: a)9,4 m, -14,7 m/s b) 2,54 s c)-20 m/s
15.
Mientras permanecemos en el interior de un ascensor, vemos caer un objeto
desde el techo. La altura del ascensor es de 3 m. a) Si el ascensor se está
moviendo hacia arriba con una velocidad constante de 2,2 m/s, calcula el
tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. b) Calcula el tiempo que
tarda en caer el objeto si el ascensor parte del reposo y sube con una
aceleración constante de 4 m/s2. R.: a) 0,78 s; b) 0,66 s
16.
CAT-J03 Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo,
y sube con una aceleración constante de 14,7 m/s2 durante 8 s. En ese
momento se le acaba el combustible, y el cohete continúa su movimiento de
manera que la única fuerza a la que está sujeto es la gravedad.
a) Calcule la altura máxima a la que llega el cohete
b) Calcule el tiempo transcurrido desde la salida hasta el regreso del cohete
a la superficie de la Tierra.
c) Haga un gráfico velocidad/ tiempo de ese movimiento.
Considere g = 9,81 m/s2
R.: a) 1175,58m, b) 35,47 s,c)....
17.
Un cuerpo que se mueve en caída libre recorre en el último segundo de caída
la mitad del camino total. Calcula: a) la altura desde la que cayó; b) la
duración de la caída.
(
)
(
)
R. : y0 =9, 8 3+2 2 m ≃ 57,12 m; t = 2+ 2 s ≃ 3, 4s
18.
Determina las ctes de un movimiento uniformemente variado, sabiendo que
el móvil tiene una velocidad de 20 m/s a los 4s de haber comenzado a contar
el tiempo y que a los 2s y 4s dista del origen de coordenadas 16 m y 50 m
respectivamente. Representa gráficamente las líneas e-t, v-t y a-t.
R.: a=3 m/s2, vo=8 m/s, x0=-6 m
19.
Para medir la velocidad del perdigón
disparado por una carabina de aire
comprimido puede emplearse el
método de la figura: un motor hace
girar a 10 revoluciones por segundo
una varilla con dos discos de papel,
graduados angularmente y separados
una distancia d = 2,5 m.
Al disparar en paralelo a la varilla, el
perdigón perfora los dos discos en
puntos situados a ángulos "1 = 74º y
"2 = 110º respecto a una dirección de
referencia, común para ambos discos.
Calcula la velocidad v del perdigón.
R.: 250 m/s
20.
La velocidad angular de una rueda es de 600 rpm. En un momento
determinado, se le aplica una aceleración negativa de 10B rad/s2. Calcula: a)
tiempo en pararse; b) nº de vueltas hasta parar; c) tiempo hasta que la
velocidad se reduce a la mitad.
R.: a) 2s; b) 10; c) 1s
21.
Un disco de 10 cm de radio gira alrededor de un eje con aceleración angular
de 20 rad/s2. Si parte del reposo, ¿cuánto valen, transcurridos 10 s, la
velocidad angular, aceleración tangencial y aceleración centrípeta de un
punto del borde del disco?.
R.: 200 rad/s, 2 m/s2, 4000 m/s2
22.
Un automotor parte del reposo y en una vía circular de 400 m de radio va
moviéndose con movimiento acelerado hasta que a los 50s de iniciada la
marcha, alcanza la velocidad de 72 km/h, desde cuyo momento conserva la
velocidad. calcula: a) el módulo de la at en la primera etapa del movimiento;
b) el módulo de la aN , y de la aTOTAL así como la longitud de la vía recorrida
al cabo de ese tiempo ( de los 50 s); c) velocidad angular a los 50s; d)
tiempo en dar 100 vueltas al circuito.
R. : a) 0, 4ms-2 ; b) 1ms-2 , 1,16 ≃ 1, 08 ms-2 , 500m
c) 0, 05 rad/s; d) 12591, 4s
23.
Considera un disco, de radio 0,1 m, que puede rotar libremente alrededor de
un eje horizontal y una cuerda está envolviéndolo. De la cuerda cuelga un
cuerpo que cae bajo la acción de la gravedad siendo su movimiento
uniformemente acelerado con una aceleración menor que la de la gravedad.
Si en el tiempo t=0 la velocidad del cuerpo es 0,04 m/s y 2 s después ha
bajado 0,2 m determina la aceleración tangencial y la aceleración normal en
cualquier instante de cualquier punto sobre el anillo del disco. R.:at=0,06
mAAs-2; an=(0,016+0,048t+0,036t2) m.s 2
-
24.
Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con velocidad
constante de 2 ms-1. En un instante dado frena, con una aceleración
constante de 0,5 m/s2 hasta pararse. Calcula: a) la aceleración de la partícula
antes de empezar a frenar; b) la aceleración 2 s después de empezar a frenar;
c) la aceleración angular mientras frena; d) tiempo que tarda en parar; e)
número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se para.
R.: a) 0,8 m/s2; b) 0,53 m/s2; c) 0,1 rad/s2; d) 4 s; e) 0,12
25.
Un avión vuela horizontalmente a una altura de 6000 m a una velocidad de
900 km/h. Al pasar por la vertical de un punto P deja caer una bomba,
calcula: a) a qué distancia del punto P cae la bomba; b) qué velocidad tiene
la bomba en ese momento; c) en qué instante el módulo de la velocidad
vertical de la bomba coincide con el de la horizontal; d) a qué altura debe
volar el avión para que la bomba llegue al suelo con un ángulo de 45º. Dato:
g=10 m/s2.
R. : a) 5000 3m; b) v =250 i - 200 3 j; c) 25s; d) 3125 m
26.
CAT-J09 Un objeto de masa m 10 kg se desplaza horizontalmente a una
velocidad v ,como se ve en la figura, donde h = 4 m.
a) Calcule a qué velocidad debe moverse
para llegar al suelo justamente en el punto
A, situado a una distancia d = 6 m de la
vertical desde donde salta.
b) ¿Cuál es el módulo de la velocidad
cuando llega al punto A?
c ) Determine el ángulo que forma la
velocidad con el suelo en el punto A.
d) ¿A qué velocidad llegaría al punto A si la masa del objeto fuese la mitad?
a) v = 6,64 i m/s, b) 11,07 m/s, c) arctg( −4 )=-36,87º d) La masa no
3
influye.
27.
Se dispara un cañón con una elevación de 30º, saliendo la bala con v = 200
m/s, calcula: a) alcance teórico; b) velocidad con la que llegará a tierra en
valor absoluto y dirección; c) ¿tropezará con una colina que estuviese a la
mitad de su alcance, de 550 m de altura?; d) en caso afirmativo, ¿ qué
solución se puede dar si se quiere hacer blanco con el mismo cañón en el
mismo objetivo?. Dato: g=10 m/s2
R. : a) 2000 3m; b) 100
c) sí; d)
28.
(
)
3 i - j m/s →
v = 200m/s
α =-30º
v 0 =200m/s
α =60º
En un terreno horizontal se lanza una pelota 8 con velocidad inicial de 10
m/s. El viento produce una fuerza horizontal cte sobre la pelota que es igual
a 1/5 de su peso, calcula: a) distancia, X, entre el impacto y el punto de
lanzamiento; b) velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria;
c) altura máxima que alcanza la pelota; d) velocidad de la pelota en el
momento del impacto; e) ángulo que forma la velocidad en el impacto con la
horizontal. Dato: g=10 m/s2
R. : a) 4m; b) v =2jm/s; c) 5m; d) v = 4 i - 10j m/s
e) α = arctg(-2,5)= -(68º11'55'')