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Unidad 4 Geometría euclidiana Propósitos: Identificar los diferentes tipos de ángulos (positivos y negativos) y su representación. Diferenciar los ángulos según sus grados (agudo, recto, obtuso y perígono). Diferenciar los ángulos complementarios, suplementarios y conjugados. Identificar los triángulos por la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Señalar las rectas notables del triángulo (mediana, altura, bisectriz y mediatriz). Identificar los ángulos interiores y exteriores de un polígono. Diferenciar los polígonos irregulares y regulares. Calcular el área del círculo. Conocer la diferenciar entre el ángulo central y el ángulo inscrito. Qué debes saber de la cuarta unidad Dibujar ángulos positivos y negativos Diferenciar los ángulos según su medida: agudo, recto, obtuso, y perígono. Determinar ángulos complementarios, suplementarios y conjugados. Identificar los triángulos por la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. Identificar las rectas notables de un triángulo (mediana, altura, bisectriz y mediatriz). Identificar los ángulos interiores y exteriores de un polígono. Diferenciar los polígonos regulares de los irregulares. Calcular el área del círculo. Conocer la diferenciar entre el ángulo central y el ángulo inscrito. ¿Qué debo saber de la cuarta unidad? Sobre los ángulos. Que existen ángulos positivos y negativos, el signo depende de la forma en que se tracen o midan. Cuando observamos un reloj común y corriente, nos damos cuenta que las manecillas se mueven en un “sentido”, avanzan de la 1 a las 2, de las 2 a las tres etc. cuando medimos un ángulos en este sentido (igual al de las manecillas del reloj), decimos que es negativo, en el sentido opuesto los ángulos tendrán signo positivo. El eje de inicio en una circunferencia es el eje positivo de las “equis” de un plano cartesiano. Así por ejemplo un ángulo de 30° será como el del inciso a), uno de -45° se muestra en el inciso b), un ángulo de 190° se puede ver en el inciso c), uno de -90° lo puedes observar en el inciso d). Observa a) b) c) d) Debes recordar que los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida en agudos, rectos colineal ó llano, perígono y obtuso. Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta. 1.-Ángulos según su medida: Miden exactamente 90° Miden entre 0° y 90° Miden exactamente 360° Son mayores de 90°, pero menores de 180° Miden exactamente 180° Compara tus respuestas: Miden exactamente 90° Rectos Miden entre 0° y 90° Agudos Miden exactamente 360° Perígono Son mayores de 90°, pero menores de 180° Colineales Miden exactamente 180° Obtusos. También debes recordar que existen ángulos que se llaman complementarios, suplementarios y conjugados. 2. Instrucciones: Escribe una “V” si el enunciado es verdadero ó una “F”, si es falso. Dos ángulos adyacentes son suplementarios si suman 90° ______ Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman 90°,______y conjugados si suman 360°_____ Compara tus respuestas: Dos ángulos adyacentes son suplementarios si suman 90° Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman 90°, V y conjugados si suman 360° V Debes recordar que dos ángulos se llaman complementarios si suman 90°, suplementarios si suman 180° y conjugados cuando la suma es de 360°. 3. Instrucciones: Completa la tabla. Determina los complementos, suplementos y conjugados de los siguientes ángulos. Ángulo Complemento Suplemento Conjugado Complemento Suplemento Conjugado 17° 34.7° 143.17° 315° 127.15° Compara tus respuestas: Ángulo 17° 34.7° 143.17° 73° 55.3° 163° 343° 145.3° 325.3° 36.83° 216.83° 315° 127.15° 45° 52.85° 232.85° Sobre los triángulos. También los triángulos se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados y a sus ángulos interiores. 1.-Instrucciones: Selecciona la respuesta que mejor complete los siguientes enunciados. Las opciones serían: isósceles, escalenos, iguales, rectángulos, agudos, obtusángulos. Recuerda que los triángulos que tienen lados ______________se llaman equiláteros, si solamente tienen dos lados iguales se les llama____________, y se llaman___________cuando sus tres lados son distintos. Cuando se consideran sus ángulos interiores, entonces los triángulos se llaman _____________ si tienen un ángulo recto, o acutángulos si tienen sus tres ángulos _____________ ó si tienen un ángulo obtuso se les llama _____________. Compara tus respuestas: Recuerda que los triángulos que tienen lados iguales se llaman equiláteros, si solamente tienen dos lados iguales se les llama isósceles , y se llaman escalenos cuando sus tres lados son distintos. rectángulos Cuando se consideran sus ángulos interiores, entonces los triángulos se llaman si tienen un ángulo recto, o acutángulos si tienen sus tres ángulos ó si tienen un ángulo agudos obtuso se les llama obtusángulos 2.-Recuerda que las rectas notables que estudiaste de un triángulo, son la mediana, altura, bisectriz y mediatriz. Mediana: es una recta que pasa por el punto medio de cada lado y el vértice opuesto. Altura: recta que va del vértice al lado opuesto y es perpendicular a éste. Bisectriz, es una recta que divide en dos partes iguales a cada ángulo del triángulo Mediatriz, recta que pasa por el punto medio de cada lado y es perpendicular al mismo. En todos los casos, como el triángulo tiene 3 lados, 3 vértices y 3 ángulos, es razonable que tenga también 3 medianas, 3 alturas, 3 bisectrices y 3 mediatrices. Instrucciones: En cada caso, identifica las rectas notables en los siguientes triángulos. Las opciones son: mediatrices, bisectrices, medianas, alturas. Las rectas en rojo se llaman mediatrices del triángulo Las rectas que aparecen en azul son las bisectrices Las rectas que se muestran en color rosa, son las alturas del triángulo Las rectas que se muestran en color verde, son medianas las del triángulo También debes recordar que los polígonos se clasifican en regulares si tienen todos sus lados iguales, e irregulares si no es así. Los polígonos reciben su nombre de acuerdo al número de lados, así los de 3 lados se llaman triángulos, los de 4 cuadriláteros, ¿recuerdas cómo se llaman los demás? Instrucciones: Completa la siguiente tabla con los nombres de cada uno de los polígonos de acuerdo al número de lados. OPCIONES: triángulo octágono pentágono dodecágono heptágono Cuadrilátero decágono hexágono No. De lados 3 4 5 6 7 Nombre 8 9 10 12 Compara tus respuestas No. De lados Nombre 3 triángulo 4 Cuadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 9 10 12 octágono eneágono decágono dodecágono Problemas de aplicación 1. En el diseño de los mosaicos para piso, se requiere que el centro sea de otro color y textura. Calcula el área central de dicho mosaico (la sombreada), si las piezas son cuadrados de 40 cm. cada una. Observa la figura. Compara tus respuestas Respuestas correctas: 20 cm 20 cm Observa que el área total del cuadrado es: A = 40 x 40 = 1600 cm2 De esta área habrá que restar el área que no está sombreada para encontrar el área requerida, por lo que podemos obtener por partes el área no sombreada, observa: 1 El triángulo superior que se muestra en diferentes colores, está dividido en 5 triángulos iguales. El área de ese triángulo es igual a: A = (bxh)/2; A = (40 x 20)/2 = 800/2 = 400 cm2 Triángulos laterales Esos 400 cm2, se pueden dividir en 5 partes que equivalen a las áreas de cada uno de los triángulos de color, es decir cada triángulo pequeño tiene un área igual a 400/5 = 80 cm2, por lo que el área del centro será de: 1600 – 2(400) – 6(80) = 1600 – 800 – 480 = 320 cm2 Área del cuadrado mayor Triángulos laterales Triángulos centrales, arriba y abajo en colores rojo, verde y blanco 2. Un pastel en forma circular, se divide en ocho rebanadas. ¿Qué ángulo α debe tener cada rebanada para que sean exactamente iguales?, ¿Cuánto mide el ángulo β? β α ángulo α______________ ángulo β_______________ Compara tus respuestas α__45°____________ y ángulo β___22.5°____________ Recuerda que la circunferencia tiene 360°, al dividir entre 8 partes iguales, el ángulo central será de 360/8 = 45°, es decir α = 45°. Por otro lado, sabemos que el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central, por lo que β = 45/2 = 22.5° 3. Determina qué altura debe tener un tinaco cilíndrico de radio igual a 60 cm. si la capacidad debe ser de 1200 litros. Compara tus respuestas La altura del tinaco: h = 106.103 cm, ó bien 1.06 m Debes recordar que el volumen de un cilindro recto circular, se obtiene mediante la siguiente expresión: V = π r2 h, donde r es el radio y h la altura. También es necesario recordar que 1 litro = 1000 cm3, por lo que 1200 lts. = 1200(1000) = 1 200 000 cm3, ya que debemos calcular todo en las mismas unidades, para este caso en cm. Si sustituimos, los valores que conocemos tendremos lo siguiente: 1200 litros = 1200 000 cm3 (3.1415926)(60)2 h, ó bien 1200 000 = 11309.733552923 h, de donde al despejar a h, obtenemos que h = 1200 000/11309.733552923, es decir h = 106.103 cm, ó bien 1.06 m 4. Una corona navideña se construye cortando un círculo pequeño a uno más grande (observa la figura). Si el radio del círculo más grande mide 25 cm, y el del pequeño 14 cm, ¿Cuál es el área efectiva de la corona? Arrastra tu respuesta y colócala en la opción correcta: 1 2 Compara tus respuestas Área efectiva de la corona:1 Recuerda que el área de una circunferencia se obtiene mediante la fórmula A = π r2 Si observas, el área de la corona se obtiene al restar el área pequeña de la mayor, es decir: A corona = π (25)2 – π (14)2 A corona = 3.14159 (625) – 3.14159 (196) A corona = 1963.49540 – 615.75216 A corona = 1347.74324 cm2 5. Calcula el largo “X” que debe tener un tanque estacionario de gas, con capacidad de 300 litros, si el radio de los casquetes de los extremos es de 25 cm. radio = 25 cm X Compara tus respuestas El largo del tanque es = 169.45 cm Recuerda que 1 litro equivale a 1000 cm3, y el volumen de una esfera se obtiene mediante la fórmula V 4 r3 . 3 Primero calculamos el volumen de la esfera que se forma con los extremos del tanque. 4 4 V r 3 (3.14159265 3)(25 3 ) 3 3 V 65449.8469 49 cm3 65.449846949litros La diferencia en litros para 300, es de 300 – 65.4499 = 234.55 litros, misma capacidad que deberá estar contenida en el cilindro central. Recordemos que 234.55 litros = 234550 cm3, y que el volumen del cilindro, se obtiene mediante la fórmula V r 2 h , donde en este caso la h que es la altura de un cilindro es precisamente la longitud, que sumada con los dos radios de los casquetes nos da el valor de X, sustituyendo los datos tenemos lo siguiente: 234550 (3.1415926)(25)2 h 234550 (1963.49540 )h , despejando a h tenemos que h 234550 119.45 cm 1963 .49540 Es decir el largo del tanque será 2r + h, ó bien X = 2(25) + 119.45 = 50 + 119.45 = 169.45 cm Calcula el área de un cuadrado inscrito en un círculo de radio = 12 cm. Compara tus respuestas 288cm2 Recuerda que el área de una circunferencia se obtiene mediante la fórmula A = π r2 Si observas, el área de un cuadrado inscrito se puede obtener si conocemos uno de sus lados. En la figura puedes observar que el diámetro del círculo es una de las diagonales del cuadrado, entonces por medio del Teorema de Pitágoras podemos hallar uno de sus lados y así encontrar su área. Recuerda que el diámetro es 2r ó 2 x12=24, observa: L (Lado del cuadrado). Observa que por el teorema de Pitágoras podemos hallar uno de los lados del cuadrado. d 2 L2 L2 , ya que los catetos son iguales por tratarse de un cuadrado, entonces d 2 2L2 , sustituyendo los datos, 24 2 2 L2 , despejando a L tenemos que: d 242 24 242 2 . Por lo que el área del cuadrado es: L , o bien L 2 2 2 2 24 576 A L 288cm2 2 2 2 6. Calcula la longitud de las medianas, si el lado del triángulo equilátero mide 6 cm. 6 cm Compara tus respuestas h 27 Recuerda que una mediana es un segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto, por lo tanto si hacemos un pequeño dibujo te puedes dar cuenta que podemos determinar la longitud de la mediana, con el Teorema de Pitágoras, observa. 6 3 3 Observa que como la mediana parte a cada lado exactamente a la mitad, entonces se forman dos triángulos rectángulos, donde uno de los lados mide 3 y la hipotenusa 6 cm respectivamente, el problema consiste en hallar el otro cateto (el más largo). Entonces usando el Teorema de Pitágoras, tenemos lo siguiente: 62 = 32 + h2, donde h es precisamente la mediana buscada. Realizando operaciones y despejando h, tenemos que: 36 = 9 + h2 36 – 9 = h2 27 = h2, por lo que h 27