2. Enseñanza 10_56-96 - Revista Colombiana de Física

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 1. 2004
PENDULO FISICO SUJETO POR RESORTES
G. Gómez, J. Díaz y F. Fajardo ♦.
Departamento de Física
Universidad Nacional de Colombia. Bogotá – Colombia.
RESUMEN
En este trabajo se presenta un interesante problema de aplicación del péndulo físico, que involucra el momento de inercia y los ejes fijos de rotación. El problema consiste en considerar un
péndulo físico pivotado del extremo inferior, y que está sujeto de cada lado por resortes que tiran en direcciones opuestas. Uno de los resortes se deja fijo y el otro se va desplazando para estudiar su efecto en la frecuencia de oscilación alrededor de su posición de equilibrio. El periodo
de las oscilaciones fue medido con la ayuda de un foto sensor. Al estudiar la dependencia del
período de la oscilación del péndulo con la posición del resorte que se varía, encontramos una
excelente concordancia entre la predicción teórica y las medidas experimentales, con discrepancias cercanas al dos por ciento. Este trabajo es producto del interés que despierta en los estudiantes de los cursos de laboratorio, el incentivarlos a resolver problemas propuestos en los
libros de teoría, motivarlos a que los modifiquen y a que realicen el montaje experimental para
corroborar la predicción teórica. Por último, es un experimento que puede ser implementado fácilmente con los equipos que normalmente se encuentran en los laboratorios de mecánica.
INTRODUCCIÓN
En los textos de mecánica y los cursos generales de laboratorio de física es usual estudiar el
movimiento del péndulo físico. Para ello normalmente se considera una barra oscilante [1] o
el péndulo de Kater [2]. La idea del presente trabajo surgió de un problema propuesto en el
libro de mecánica de Kleppner y Kolenkow, relacionado con el tema del momentum angular
y los ejes fijos de rotación [3]. El ejercicio pide encontrar la frecuencia de oscilación de una
varilla de longitud L y masa m, pivoteada de uno de sus extremos. La cual esta sujeta por dos
resortes ubicados uno en el punto medio y el otro en el extremo más alejado, como se mue stra en la Figura 1. Se puede observar que la fuerza restauradora proviene de los dos resortes,
los cuales empujan en diferentes direcciones.
El ejercicio anterior se planteo como proyecto final de un laboratorio de mecánica, y se extendió para el caso más general en que uno de los resortes se deja fijo en un punto del péndulo y el otro se va desplazando sobre este. Los estudiantes debían encontrar la solución teórica
del problema y experimentalmente determinar el cambio en el período de oscilación del
péndulo físico alrededor de su posición de equilibrio, cuando se variaba la posición de uno
de los resortes.
♦
e-mail: ffajardo@ciencias.unal.edu.co
56
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 1, 2004
Figura 1: Péndulo físico sujeto por dos resortes. A la derecha se observa el diagrama de cuerpo libre de
las fuerzas que actúan sobre el péndulo.
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
La Figura 1 (a la derecha) muestra el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan
sobre el péndulo físico. En el análisis que sigue el resorte de la izquierda (R2) permanecerá
fijo a una distancia d; mientras que el resorte de la derecha (R1) se puede desplazar a lo largo
de la longitud del péndulo, a esta distancia la llamaremos y. Las distancias y y d se miden
desde el pivote. También se supone que los dos resortes tienen la misma constante k. Se
considera que el péndulo físico tiene una masa m (peso W=mg) y una longitud L.
Aplicando el equivalente a la segunda ley de Newton para el caso rotacional, dada por:
∑τ = I α
(1)
y de acuerdo con el diagrama de la Figura 1, se obtiene la expresión:
− F1 y cos θ − F2 d cosθ + W L2 sin θ = Iα
(2)
donde F1 y F2 es la fuerza restauradora del resorte R1 y R2 respectivamente, y θ es el ángulo
que se desplaza el péndulo de su posición de equilibrio.
Según la ley de Hooke, la fuerza hecha por los resortes es proporcional al desplazamiento,
con lo cual (2) queda:
−k y sin? ycos? −k d sin? dcos? + mg L2 sin? = 13 mL 2 ?&&
(3)
donde I = 13 m L 2 , es el momento de inercia de la varilla que gira con respecto a uno de sus
extremos.
Haciendo la aproximación para ángulos pequeños se tiene que sen θ ≈ θ y cos θ ≈ 1. Aplicando esto a la ecuación (3) se llega a la ecuación diferencial de segundo orden, lineal:
2
3k
θ&& +  mL
+ y 2 ) − 32 gL  θ = 0
2 (d
(4)
57
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 1. 2004
Esta última ecuación tiene la forma de la correspondiente al oscilador armónico dada por
θ&& + ω 2θ = 0 , de donde se obtiene que:
2
3k
ω 2 =  mL
+ y 2 ) − 32 gL 
2 (d
(5)
Por consiguiente el período de oscilación es:
T=
2π
ω
2
3k
= 2π  mL
+ y 2 ) − 32 gL 
2 (d
−1 / 2
(6)
EXPERIMENTO
Como péndulo físico se utilizo una varilla de longitud L = 1.118 ± 0.001 m y de masa m =
1.295 ± 0.001 Kg. Esta se sujetó de su extremo inferior a un soporte, mediante una balinera
para disminuir la fricción en el momento que se pusiese a oscilar, tal como se observa en la
Figura 2. La fuerza restauradora fue ejercida por dos resortes de constante k = 169 ± 3 N/m
ubicados a cada lado de la varilla. Se debe tener especial cuidado en que los resortes tengan
una constante k lo mas parecida posible entre sí. A continuación se midió el período de la
oscilación utilizando una foto compuerta PASCO, que permitía medir tiempos con una precisión de 0.0001 s. La varilla siempre se hizo oscilar con un ángulo θ ≤ 5º.
Foto sensor
Resorte móvil
R1
y
d
Resorte fijo
R2
Balinera
Cronómetro
(a)
(b)
Figura 2: Vista frontal (a) y lateral (b) del montaje utilizado en el laboratorio para estudiar el problema
del péndulo físico sujeto por dos resortes.
RESULTADOS
La Figura 3 muestra el período de oscilación del péndulo en función de la posición y del
resorte que se mueve (R1), tomando como parámetro tres diferentes posiciones (d) del resorte que se encuentra fijo (R2). Se observa que el período aumenta a medida que el resorte fijo
o el variable se acercan al pivote, lo que esta de acuerdo con el modelo teórico.
58
REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 1, 2004
Para verificar la validez del modelo se reemplazaron los valores experimentales (d, m, L, g y
k) en la expresión (6).
Tal como lo muestran las curvas continuas en la Figura 3, los datos experimentales concue rdan bastante bien con la solución teórica del problema, para cualquier distancia y del resorte
móvil. Esto es debido principalmente a la exactitud con que se midió el período de las oscilaciones y a que los dos resortes que sujetan el péndulo físico se escogieron con un valor de
constante k muy parecido.
0.8
d=0.379 m
Período (s)
0.7
0.6
0.5
d=0.549 m
d=0.719 m
0.4
0.3
0.2
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Posición Resorte R 1 ( m )
Figura 3: Período de oscilación del péndulo en función de la posición del resorte (R1) que se desplaza,
tomando como parámetro el resorte que se deja en una posición fija (R2). Las curvas corresponden al
modelo propuesto en la ecuación (6).
CONCLUSIONES
El presente trabajo es una ilustración de un laboratorio no tradicional en el campo de la mecánica que produce un excelente acuerdo entre teoría y medida. La construcción del montaje
para el estudio del péndulo físico sujeto por resortes es simple y los materiales usados son de
fácil consecución en nuestro medio. También se ha mostrado un ejemplo práctico de la importancia de incentivar a los estudiantes a resolver problemas propuestos en los libros de
teoría, motivarlos a que los modifiquen y a que realicen el montaje experimental para corroborar la predicción teórica.
REFERENCIAS
[1] R.A. Serway, “Física I”, Tomo I. 4ta Edición. Ed. MC. Graw-Hill (1996).
[2] R.D. Peters, “Student-friendly precision pendulum”. The Phys. Teach. 37, 390 (1999).
[3] D. Kleppner , R. Kolenkow, “An Introduction to mechanics”. Ed. MC. Graw-Hill (1978).
59