Curiosidades de la física, parte V. - UAM-I

Curiosidades de la fı́sica, parte V
José Marı́a Filardo Bassalo,
Fundación Minerva, Prof. retirado de la Universidad de Pará
www.bassalo.com.br
culpas a sus compañeros explicándoles que sólo él
habrı́a de morir. Slotin recibió una gran dosis de radiación, casi 2100 rem, los demás cientı́ficos recibieron dosis menores: 360, 250, 160, 110, 65, 47 y 37
rem. Slotin, murió nueve dı́as después del accidente, esto es, el 30 de mayo; se equivocó, con todo, en la
predicción acerca de sus colaboradores: dos de ellos
murieron años más tarde como resultado de la radiación recibida.
Recibido: 23 mayo 2007
Aceptado: 23 noviembre 2007
Slotin y el experimento con plutonio que lo
llevó a la muerte
El proyecto Manhattan desarrollado por ls cientı́ficos que trabajaban en Los Alamos culminó con la
explosión de las tres primeras bombas atómicas en
1945. La primera, de plutonio (Pu), explotó el 6 de
julio en el desierto de Alamogordo, Nuevo México. Las dos últimas, de uranio (U) y de plutonio,
explotaron respectivamente en las ciudades japonesas de Hiroshima (6 de agosto) y de Nagasaki (9 de
agosto). A pesar de que la Segunda Guerra Mundial concluyó ese mismo año de 1945, los cientı́ficos de Los Alamos continuaron desarrollando proyectos bélicos atómicos, entre los investigadores se
encontraba el fı́sico canadense Louis Alexander Slotin (1910–1946).
Es oportuno precisar que “rem” significa “roentgen
equivalent man” y que:
1
Sv
donde Sv es el sı́mbolo de “Sievert”, que representa hoy la unidad de dosis equivalente en el Sistema Internacional de Medidas. Para tener una idea
de estas medidas nótese que una placa de rayos X de
tórax equivale a 0.007 rem y que una dosis de 6 Sv es
mortal.2
El matemático polaco Jacob Bronowski (1908–1979)
en su libro Un sentido de futuro1 narra que el 21
de mayo de 1946, Slotin hacı́a un experimento en
el laboratorio de Los Alamos con siete colaboradores. Él estaba reuniendo pequeños trozos de Pu con
un desarmador manteniéndose a distancia. Él sabı́a
que, para iniciar una reacción en cadena, como observó con la bomba explotada en Alamogordo, se necesitaba una cierta masa crı́tica. Ocurrió pues que,
en aquel dı́a fatı́dico, se le resbaló el desarmador haciendo que los pedazos de plutonio se juntaran produciendo un poderoso flujo de neutrones registrado por los aparatos; la sala comenzó a llenarse de
radiactividad.
Planck, su tesis de doctorado y la constante de Boltzmann
El fı́sico alemán Max Karl Ernst Planck (1858–1947,
premio nobel de fı́sica en 1918), figura 1, defendió su
tesis de doctorado en Munich en 1879 con el tema de
la reversibilidad termodinámica. Dos de sus profesores, el fı́sico y fisiólogo Hermann Ludwig Ferdinand
von Helmholtz (1821–1894) y el fı́sico alemán Gustav Robert Kirchoff (1824–1887) no la aprobaron. Es
más, el primero no quiso siquiera leer la tesis y el segundo la rechazó abiertamente. Debido a lo anterior Planck tuvo recelode enviarla al otro especialista
en termodinámica de esa época, Rudolf Julius Emmanuel Clausius (1822–1888), famoso por haber formulad en 1835 el concepto de entropı́a3 (del griego, “transformación”).
Slotin reaccionó inmediatamente alejando los trozos
de plutonio con las manos desnudas, y pidió con toda calma a sus colegas que registrasen su posición
exacta al momento del accidente a fin de determinar la dosis de radiación que cada quien habı́a recibido. Después de llamar al servicio médico, pidió dis1 Editora
rem = 0,01
2 Para más detalles sobre ese accidente puede consultar:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Louis Slotin; http://www.cnssnc.ca/history/pioneers/slotin/slotin.html.
3 Annalen der Physik und Chemie 125, p. 353.
da Universidade de Brasilia, s/f.
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Newton (1642–1727), en su libro Optics, publicado en 1704, al atribuir a fenómenos de interferencia, principalmente, el color azul del cielo. Con todo,
esa explicación fue refutada por el fisiólogo alemán
Ernst Wilhelm Brücke (1819–1892), responsable del
uso de métodos fı́sicos y quı́micos en la investigación
médica, al observar que la coloración azul en los coloides solubles en agua no podı́a explicarse por interferencia, ya que ésta ocurre en sustancias no saturadas.
Figura 1. Max Planck (1858–1947)
Nótese que los resultados obtenidos por Planck en
su tesis, ya habı́a sido obtenidos algunos años antes, en 1876, por el fı́sico y quı́mico norteamerican
Jsiah Williard Gibbs (1839–1903) en el trabajo intitulado On the Equilibrium of Heterogeneus Substances4 Cuando Planck tuvo conocimiento del trabajo de Gibbs, por medio de la traducción alemana que el quı́mico alemán Friedrich Wilhelm Ostwald (1853–1932, premio nobel de quı́mica en 1909)
hizo en 1892 se sintió bastante desconcertado.
Anotemos que fue Planck quien llamó “constante de
Boltzmann” k, a la conocida relación entre la constante universal de los gases R y el número de Avogadro N . Es oportuno destacar que, en sus trabajos, el fı́sico austriaco Ludwig Edward Boltzmann
(1844–1906) apenas utilizó la relación R/N cuando era necesario.
El color del cielo: Einstein vs.
Smoluchowski
Posiblemente uno de los más antiguos temas que
han intrigado a la humanidad fue la razón por la
que el cielo es azul y porqué es rojo al salir o al
ponerse el Sol. Muchos cientı́ficos intentaron explicar. El artista, inventor y cientı́fico italiano Leonardo da Vinci (1452–1519), alrededor de 1500, y el poeta y filósofo alemán Johann Wolfgang von Goethe
(1749–1832), cerca de 1810, llegaron a observar cierto color azul en el humo.
Una primera explicación para esta percepción fue
elaborada por el fı́sico y matemático inglés Sir Isaac
El primer paso importante para explicar esta cuestión fue dado por el fı́sico inglés John Tyndall (1820–
1893), en 18695 y 18706 al estudiar la dispersión de
un haz de luz en un medio con pequeñas partı́culas suspendidas. Tyndall observó que en una sala llena de humo éste podrı́a hacerse visible por un haz
de luz que lo penetrara. Notó un color azul en un
haz de luz que atravesó la niebla formada por una
reacción fotoquı́mica, por lo que escribió en su cuaderno de notas: “Asocio este azul con el color del
cielo”. A partir de ahı́ sus investigaciones buscaban asocia el color azul de la niebla con el del cielo. Hoy esa observación es conocida como efecto Tyndall, sin embargo era una explicación apenas cualitativa. Por ello otros fı́sicos buscaron una explicación cuantitativa del fenómeno, lo cual fue logrado
por el fı́sico inglés John William Strutt, Lord Rayleigh (1842–1919, premio nobel de fı́sica en 1904), en
1871.7
En su explicación, el descubridor del argón (Ar), demostró que la intensidad de la luz dispersada (I)
por los gases és proporcional a la cuarta potencia
de la frecuencia (ν) de la luz (o inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda, λ, pues λν = c, donde c es la velocidad de la
luz en el vacı́o), y ası́ explicó los colores azul y rojo del cielo. En efecto, el azul tiene una de las mayores frecuencias del espectro luminoso, la atmósfera terrestra dispersa más el azul que los demás colores. Aquı́ cabe una observación, el color de mayor frecuencia del espectro es el violeta, pero nuestros ojos son más sensibles al azul. Cuando amanece el Sol tiene un color rojizo porque los rayos luminosos inciden tangencialmente la superficie de nuestro planeta; los colores de mayor frecuencia son dispersador por encima del horizonte haciendo visible
sólo al color rojo, el de menor frecuencia del espectro luminoso.
5 Philosophical
4 Transactions
of the Connecticut Academy of Arts and
Sciences 3, pág. 108; 343.
Magazine 37(250); 38(253), pp.384; 156.
Transactions of Royal Society 160.
7 Philosophical Magazine 41(4), p. 107.
6 Philosophical
Curiosidades de la fı́sica, V. José Marı́a Filardo Bassalo
43
Rayleigh llegó al resultado indicado usando el análisis dimensional. Partió de la hipótesis de que la amplitud E de la luz dispersaa por una molécula a una
distancia r es proporcional a la amplitud E0 de la
luz incidente, al inverso de r, a la longitud de onda λ, a c y al volumen esférico 4πr3 /3 de las partı́culas de radio R, esto es:
1
4πR3
α β
E ∝ E0 λ c
r
3
Ahora bien, como E y E0 no dependen del tiempo
t, entonces, el análisis dimensional indica que β = 0.
Por otro lado, haciendo el balance de los exponentes
de la dimensión de la longitud (r, R, λ), hallamos
α = −2. Para terminar, como la intensidad (I) de
la luz es proporcional al cuadrado de su amplitud,
llegamos a:
I ∝ λ−4 ∝ ν −4
Es oportuno decir que el fı́sico sino–norteamericano
Tsung–Dao Lee (1926–, premio nobel de fı́sica en
1957) en su libro Particle Physics and Introduction
to Field Theory (World Scientific, 1981) empleó argumentos de análisis dimensional para estimar la
magnitud de diversos parámetros fı́sicos tales como:
radio del átomo, tamaño de los hadrones y las secciones de choque de las interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas.
Pero veamos algunos hechos relacionados con la explicación del color azul del cielo. En 1874 (Annalaen der Physik und Chemie 151, p. 306), M. Avenarius demostró que cuando la luz blanca pasa por un
vapor cercano a su punto crı́tico presenta una opalescencia azulada. A su vez, el fı́sico y quı́mico escocés Sir James Dewar (1842–1923, premio nobel de
quı́mica en 1904),figura 2, 8 al descubrir el color azul
del oxı́geno lı́quido, afirmó que el azul del cielo se
debı́a a la presencia de ese elemento quı́mico en la
atmósfera. En 1908 (Annalen der Physik 25, p. 205),
el fı́sico polaco Marian von Smolan–Smoluchowski
(1872–1917), explicó la observación de Avenarius como resultado de las fluctuaciones de la densidad
del medio.
En 1910 (Annalen der Physil 33, p. 1275), el fı́sico germano–norteamericano Albert Einstein (1879–
1955, premio nobel de fı́sica en 1921) estudió la dispersión de la luz de longitud de onda λ en un me8 Inventor del frasco térmico, el 20 de enero de 1893 y primero en lograr la licuefacción y solidificación del hidrógeno en
1898 y 1899, respectivamente.
Figura 2. Equipo con el que Dewar logró la licuefacción
del hidrógeno.
dio gaseoso (de volumen V , presión P y temperatura absoluta T ), y demostró que:
r
KT
KT
T4 1 ∂V
= −
V ∂P T
∝
donde r representa la razón entre las intensidades
dispersada e incidente de la luz considerada y KT
es la compresibilidad isotérmica del medio. Ahora
bien, KT obtiene el valor infinito en el punto crı́tico, pues según demostró el quı́mico irlandés Thomas Andrews (1813–1885) en 1869:
∂P
=0
∂V
resultado consistente con el obtenido por Rayleigh
en 1871; lo anterior llevó a Einstein a considerarlo como una explicación satisfactoria para la opalescencia crı́tica por lo que concluyó: el azul del cielo se debe a la opalescencia crı́tica.
En 1911 (Bulletin International de l’Académie de
Sciences et Lettres de Cracovie, p. 493), Smoluchowski retomó su trabajo de 1908 y afirmó que
el azul del cielo es consecuencia de dos factores: la
dispersión de la luz por la moléculas y la dispersión debido a las fluctuaciones de la densidad del
aire. Einstein escribió el 27 de noviembre una carta a Smoluchowski diciéndole que sólo habı́a una
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causa para el azul del cielo: la opalescencia crı́tica. En su argumentación afirmó que la coincidencia entre el resultado obtenido por Rayleigh, en 1871,
y el obtenido por él mismo en 1910 no era un mero
accidente.
El 12 de diciembre de 1911, Smoluchowski respondió a la carta de Einstein diciéndole: “Usted está en
lo correcto por completo”. En 1916 (Bulletin International de l’Académie de Sciences et Lettres de Cracovie, p. 218), Smoluchowski presentó el resultado
de un experimento donde intentó reproducir el azul
del cielo basado en la opalescencia crı́tica. Aunque
los primeros resultados fueron promisorios, su muerte en 1917 le impidió concluir su proyecto.
Creemos oportuno registrar que el cosmonauta soviético Yuri Alekseyevich Gagarin (1934–1968),
además de ser el primer hombre colocado en órbita alrededor de la Tierra el 12 de abril de 1961, fue
también el primer hombre en ver el azul del cielo fuera de la Tierra. En aquella ocasión pronunció la célebre frase: ¡La Tierra es azul!.
Nuestros sentidos, la realidad
y los termómetros
Aparentemente es fácil saber si un cuerpo está caliente o frı́o: basta tocarlo. Sin embargo, en ciertos
casos nos podemos engañar, como lo mostró el filósofo John Locke (1632–1704) en un experimento hecho en 1690. Si una persona sumerge una mano en
agua caliente y la otra en agua frı́a, y en seguida pone ambas manos en un recipiente con agua tibia, le
parecerá más frı́a a la primera mano y más caliente a la segunda.
Hoy disponemos de aparatos para determinar con precisión la temperatura de los cuerpos, los termómetros; el primero de los cuales fue inventado por el fı́sico y astrónomo italiano Galileo Galileo (1564–1642), en 1592.
El termómetro de Galileo era un tubo de vidrio con
una extremidad esférica en la cual colocó, hasta su
mitad, agua colorida. En seguida colocó el mismo tubo, con el bulbo hacia arriba en un recipiente conteniendo otra cantidad de la misma agua colorida. La
columna de agua en el tubo se moverı́a como consecuencia del cambio de temperatura que dilataba o
comprimı́a el aire contenido en el tubo. Sin embargo, el dispositivo no tenı́a una escala de temperatura, razón por la que es conocido como termoscopio, figura 3.
Figura 3. Termoscopio de Galileo.
Fue en 1640 que los cientı́ficos de la Academia del
Cimento de Italia construyeron un prototipo de
termómetro moderno usando mercurio; sin embargo, carecı́a de una escala termométrica definida ya
que se usaban patrones arbitrarios tales como la temperatura del cuerpo humano o el ounto de fusión de
la mantequilla. No fue sino hasta 1701 queel fı́sico y matemático inglés Sir Isaac Newton propuso
que las temperaturas de fusión del hielo y del cuerpo humano se tomaran como patrones fijos de la escala termométrica.
Es interesante observar que la famosa escala Celsius
fue introducida por el astrónomo sueco Anders Celsius (1701–1744) en 1742. Inicialmente adoptó como puntos fijos la temperatura de fusión del hielo considerado por él como 100, y el punto de ebullición del agua como 0. Fue el botánico sueco Carl
von Linné (1707–1778) quien invirtió en 1743 la escala termométrica propuesta por Celsius.
Curiosidades de la fı́sica, V. José Marı́a Filardo Bassalo
Figura 4. Micrografı́a electrónica de diversos granos de
polen.
El movimiento browniano, Einstein
y Bachelier
En 1828 (Philosophical Magazine 4, p. 161; Annalen der Physik und Chemie 14, p. 294) el botánico escocés Robert Brown (1773–1858) observó con
un microscopio que una suspensión de granos de polen (de Clarckia pulchella) en agua, cada grano se
movı́a irregularmente Como ese fenómeno se repetı́a
con todas las especies, Brown pensó haber encontrado la molécula primita de la materia viva. Sin
embargo, al proseguir sus experimentos, Brown observó que el mismo fenómeno ocurrı́a con sustancias inorgánicas al poner un colorante en agua. Más
tarde ese fenómeno pasó a ser conocido como movimiento browniano.
Después de las observaciones de Brown, figura 5, muchos cientı́ficos realizaron más investigaciones sobre
el movimiento browniano9
como puede leerse en El año milagroso de Einstein:
cinco artı́culos que cambiaron el rostro de la fı́sica10
y en las notas que el fı́sico alemán Reinhold Fürth
acerca de los trabajos de Einstein acerca del movimiento browniano (Einstein, A. Investigations on
the Theory of the Brownian Movement Dover Publications, Inc. 1956). A continuación las presentaremos brevemente.
En 1848, el quı́mico y fı́sico franco–alemán Henri
Victor Regnault (1810–1878) pensaba que ese movimiento era debido al aumento irregular de la temperatura al recibir la luz. A su vez, en 1863, el matemático y fı́sico alemán Christian Wiener (1826–
9 www.searadaciencia.ufc.br
10 John
Stachel, EDUFRJ, 2001
45
1896) atribuyó el movimiento a los movimientos internos propios del estado lı́quido. La idea de que la
agitación desordenada de las moléculas de agua, producida por el calor, fue defendida por algunos fı́sicos,
como el italiano Giovanni Cantoni (1818–1897), en
1867 (Nuovo cimento 27, p. 156), y por los jesuı́tas
belgas Joseph Delsaulx (1828–1891), en 1877, e Ignace J. J. Carbonnelle (1828–1889), en 1877/1880.
Con esa misma base, el fı́sico francés Louis–George
Gouy (854–1926) hizo las primeras mediciones precisas de ese fenómeno fı́sico, llegando inclusive, en 1888
(Journal de Physique 7, p. 561) a medir la velocidad de las diferentes partı́culas en suspensión; la encontró del orden de una cienmillonésima de la velocidad molecular. Con todo, ese resultado fue cuestionado por el citólogo suizo Karl Wilhelm von Naegele (1817–1891), en 1870, al mostrar, usando el teorema de equipartición de la energı́a, que la velocidad del movimiento browniano, debido a las masas comparativamente grandes, serı́a extraordinariamente pequeña.
Por otro lado, William Stanley Jevons (1835–1882)
propuso, en 1870, un origen eléctrico para el movimiento browniano, lo cual fue rechazado por Dancer, cerca de 1870, y por el quı́mico escocés Sir William Ramsay (1852–1916, premio nobel de quı́mica
en 1904), en 1877. Este último, utilizó la hipótesis de
colisiones moleculares y llegó, en 1892, a afirmar que
algunos aspectos de la presión osmótica podrı́an explicarse con ese movimiento. En 1881, Bodoszewski observó ese movimiento en gases y, en 1900 (Annalen de Physik 2, p. 483) el meteorólogo alemán Felix Maria Exner (1876–1930) estableció que la velocidad de ese movimiento disminuye al aumentar el
tamaño de las partı́culas y aumenta con la elevación de la temperatura.
Fue Einstein quien comenzó a estudiar matemáticamente el movimiento browniano en una serie de
artı́culos escritos a partir de 1905.11 En efecto, en
la publicación de 1905, al aplicar la teorı́a cinética de los gases (ley de Stokes, 1845, y ley de van’t
Hoff, 1886) a los choques entre las moléculas de lı́quido y las del coloide en suspensión, y la teorı́a de difusión (considerada como proceso markoviano, según
los estudios acerca de procesos estocásticos de 1906
del matemático ruso Andrey Markox (1856–1922),
dedujo una expresión para el valor medio de desplazamiento (λx ) de las partı́culas (pequeñas esfe11 Annalen der Physik 17, p. 549 (1905); 19, p. 371 (1906);
22, p. 569 (1907); Zeitschrift für Elektrochemie 13, p. 41
(1907); 14,p. 235 (1908).
46
ContactoS 67, 41–51 (2008)
ras de radio P ) en la dirección del eje x en el tiempo t:
r
√ RT 1
λx = t
N 3πkP
donde R es la constante universal de los gases, T
la temperatura absoluta, N el número de Avogadro y k la viscosidad del lı́quido. Esta fórmula de
Einstein del movimiento browniano muestra que N
puede determinarse experimentalmente toda vez que
los demás parámetros fueran determinados. En este sentido, constituye una fuerte evidencia de la
constitución atómica de la materia. Nótese, además,
que en el trabajo de 1905, Einstein llegó a calcular que una partı́cula en suspensión en medio acuoso (k = 0,0135, T = 17o C) deberı́a avanzar, en promedio, 0.006 mm/min supuesto el valor N = 6×1023
obtenido de la teorı́a cinética de los gases.
Es oportuno observar que la misma fórmula también
fue obtenida por el fı́sico polaco Marian von Smolan–
Smoluchowski (1872–1917), en 1906 (Annalen der
Physik 21, p. 756) y por el fı́sico francés Paul Langevin (1876–1946) en 1908 (Comptes Rendus Hebdomadaires de Séances de l’Academie de Sciences
de Paris 146, p. 530) empleando modelos completamente diferentes a los usados Einstein. Smoluchowski, por ejemplo, usó la teorı́a de fluctuaciones, y Langevin, supuso que el movimiento browniano cumplı́a
con la hoy famosa ecuación de Langevin:
dv
= −ηv + X + F (t)
dt
donde ηv representa la fuerza de fricción, X es la
fuerza externa y F (t) es la fuerza de fluctuación,
fuerzas que actúan en una partı́cula microscópica
(por ejemplo una partı́cula coloidal) de masa m, desplazándose en un lı́quido de viscodidad η, con velocidad v. Nótese que F (t) representa a la fuerza ejercida por las moléculas del lı́quido sobre la partı́cula.
m
La confirmación experimental de la fórmula de Einstein–Moluchowski–Langevin fue lograda en varios trabajos. Ası́, en 1908, el fı́sico
francés Louis–César–Victor Maurice, duque de Broglie (1875–1960), la demostró en su tesis de doctorado, empleando partı́culas de hierro suspendidas en gases. El también fı́sico francés Jean Baptiste Perrin (1870–1942, premio nobel de fı́sica en 1926), en 1909 (Annales de Chimie et Physique 18, p. 1), la usó para determinar N y obtener el siguiente valor:
N = 68,2 × 1022
moléculas/mol
Los trabajos más elaborados acerca del movimiento browniano fueron realizados por el quı́mico sueco Theodor Svedberg (1884–1971, premio nobel de
quı́mica en 1926), quien los reunió en el libro Die
Existenz der Moleküle, publicado en Leipzig, en
1912. A su vez, en 1923 (Journal of Mathematical Physics 2, p. 131), el matemático norteamericano Norbert Wiener (1894–1964) presentó una formulación matemática más precisa para la trayectoria aleatoria al considerar la posición de una partı́cula browniana como una variable importante en el
proceso estocástico.
Es oportuno mencionar que, en la década de 1960, se
descubrió que la ley del movimiento browniano, cuya caracterı́stica fundamental es la trayectoria aleatoria, ya habı́a sido propuesto (en un contexto muy
distinto) por el matemático francés Louis Bachelier (1870–1946) en su tesis de doctorado intitulada Théorie de la Spéculation, defendida el 29 de
marzo de 1900 en la Academia de Parı́s, siendo su
director de tesis el matemático francés Jules Henri Poincaré (1854–1912). Esta tesis fue publicada en
1900 en los Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Supérieure 17, p. 21 y analizar los precios en los
mercados financieros especulativos, recibió los peores comentarios de sus examinadores y fue rechazada por profesores y contemporáneos. Consecuencia de ese rechazo, Bachelier terminó su vida como un oscuro profesor en Besançon, en la región este de Francia.12
Según los fı́sicos, el italiano Rosario Nuncio Mantegna (n. 1960) y el norteamericano Harry Eugene Stanley (n. 1941) en su libro An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance (Cambridge University Press, 2001), el trabajo de
Bachelier y su desarrollo, principalmente el modelo de opciones de precio de Black & Scholes (Journal of Political Economics 81, p. 637, 1973) representan un papel sumamente importante en el mercado financiero. Obsérvese que el término econofı́sica fue propuesto por Stanley, en 1996 (Nature 379,
p. 804).13
Stokes, Maxwell y la ley de distribución de velocidades
Cuando el fı́sico y matemático inglés Sir George Gabriel Stokes (1819–1903) enseñaba matemáticas como profesor lucasiano en la Universidad de Cambrid12 http://cepa.newschool.edu/het/profiles/bachelier.htm
13 Este apartado es un homenaje al fı́sico y economista cearense Carlos Lenz César (n. 1955) que dirigió mi atención al
trabajo de Bachelier.
Curiosidades de la fı́sica, V. José Marı́a Filardo Bassalo
ge, recibió la visita de un joven alumno que fue a pedir un examen de posgrado. Puesto que esa época era
difı́cil (fines del siglo XIX), conseguir una beca para estudios de posgrado era sumamente difı́cil, Stokes acostumbraba proponer 10 problemas para que
el candidato escogiese uno de ellos para su resolución. Con el objetivo de seleccionar grandes talentos, algunas veces seleccionaba cuestiones aún no resueltas en ese tiempo. Y ası́ lo hizo con el joven
alumno que acababa de solicitarle alguno de sus famosos exámenes. Entre los problemas se encontraba la célebre cuestión de la distribución de velocidades de las moléculas de un gas, entonces no resuelto,
a pesar de que grandes cientı́ficos lo habı́an abordado; tal fue el caso del matemático suizo Daniel Bernoulli (1700–1782) quien, aunque no lo habı́a resuelto, proponı́a que las velocidades eran aproximadamente iguales.
El joven estudiante de quien hablamos se llamaba James Clerk Maxwell (1831–1879), figura 7, y lo resolvió brillantemente usando la ley de distribución
de errores (método de mı́nimos cuadrados) deducida por el matemático y fı́sico alemán John Karl Friedrich Gauss (1777–1855), en 1795, con lo que encontró la mundialmente conocida ley de distribución
de velocidades de N moléculas de una gas. Esto ocurrió en 1859. Al siguiente año Maxwell presentó en
Philosophical Magazine 19 p. 19, la siguiente expresión de dicha ley (en notación actual):
m 32
mv 2
v 2 exp −
N (v)dv = 4πN
2πkT
2kT
DONDE N (v)dv representa el número de moléculas de masa m a la temperatura absoluta T con velocidades (en módulo) entre v y v + dv, k es la constante de Boltzmann.
Hamilton, Maxwell, Heaviside, Gibbs y el
análisis vectorial
El operador nabla (∇), sumamente utilizado en el
cálculo vectorial, fue empleado por primera vez por
el matemático irlandés William Rowan Hamilton
(1805–1865) en su célebre libro Lectures on Quaternions, publicado en 1853. Ese sı́mbolo, una delta griega invertida, fue nombrado nabla por su semejanza con un antiguo instrumento musical hebreo
del mismo nombre 6. Tal operador, hoy llamado gradiente, tiene la siguiente representación en un sistema de coordenadas cartesianas:
∇ ≡ I~
∂
∂
~ ∂
+ J~
+K
∂x
∂y
∂z
47
~ J,
~ K
~ representan, respectivamente, los vecdonde I,
tores de los ejes coordenados cartesianos.
Mediante la aplicación de ese operador diferencial sobre una función del punto vectorial [F~ (~r)], Hamilton
obtuvo su cuaternión constituido por una parte escalar S y otra vectorial V definido en notación actual como:
∂Fy
∂Fz
∂Fx
~
+
+
+
∇F = −
∂x
∂y
∂z
∂Fz
∂Fy ~
∂Fx
∂Fz ~
−
I+
−
J+
∂y
∂z
∂z
∂x
∂Fy
∂Fx ~
−
K
∂x
∂y
El fı́sico y matemático escocés James Clerk Maxwell (1831–1879), en su famoso libro A Treatise on
Electricity & Magnetism, publicado en 1873, utilizó los cuaternios hamiltonianos en sus formas separadas, para las cuales dio las siguientes notaciones:
S∇F~
V ∇F~
∇F~ y
la parte vectorial de ∇F~
la parte escalar de
Por otro lado, Maxwell llamó convergencia a la parte escalar la cual ya habı́a aparecido muchas veces
en los estudios de hidrodinámica pues, cuando la velocidad de un fluido es F~ , el producto S∇F~ representa el flujo de lı́quido por unidad de volumen y
de tiempo a través de una sección. La parte vectorial (V ∇F~ ) recibió de Maxwell el nombre de rotación o rotacional pues representa dos veces la tasa de rotación de un fluido en un punto cuando F~ representa la velocidad del flujo en un desagüe.
Más tarde, el matemático y filósofo inglés William
Kingdon Clifford (1845–1879), inventor de la teorı́a
de los bicuaternios, llamó a S∇F~ divergencia.
La repetición del operador ∇, esto es, ∇2 recibió de
Maxwell el nombre de operador de Laplace. Cuando éste es aplicado a una función escalar (p.ej. q) representa el exceso de valor de esa función en un punto respecto al valor medio en la vecindad de dicho punto. Por lo anterior Maxwell llamó concentración a esa nueva función ∇2 q. Nótese que el matemático inglés Robert Murphy (1806–1843) introdujo en 1833 la notación ∆ para representar ∇2 ,
según cuenta el matemático norteamericano Morris
Kline (1908–1992) en su libro Mathematical Thought
from Ancient to Modern Times.14
14 Oxford
University Press, 1972.
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Maxwell hizo, en 1871, tres grandes demostraciones
presentadas en notación actual:
∇ × ∇V = 0
∇ · ∇ × F~ = 0
∇2 F~ ≡ ∆F~ = ∇(∇ · F~ ) − ∇ × (∇ × F~ ) = 0
donde ∇V representa el gradiente de la función escalar V , y ∇ · F~ , ∇ × F~ , ∆F~ representan, respectivamente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano de la función vectorial F~ .
Es oportuno señalar que en el libro de Maxwell ya
mencionado, sintetiza las leyes experimentales del
electromagnetismo en cuatro ecuaciones diferenciales, las famosas ecuaciones de Maxwell, que unificaron la óptica, la electricidad y el magnetismo al demostrar que la luz es una onda electromagnética.
Además, parece que fue el fı́sico inglés Michael Faraday (1791–1862) quien dirigiió la atenció de Maxwell acerca de una relación entre los fenómenos electromagnéticos y los ópticos.
A pesar de la gran divulgación de la teorı́a de los cuaternios, principalmente por el fı́sico y matemático
inglés Peter Guthrie Tait (1831–19901) quien alentaba a los fı́sicos a usar este instrumento matemático hamiltoniano, continuaban escribiendo sus ecuaciones en componentes cartesianas, hasta que el fı́sico y quı́mico norteamericano Josiah Williard Gibbs
(1839–1903) e, independientemente, el fı́sico e ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside (1850–
1925), en las dos últimas décadas del siglo XIX, desarrollaron el Análisis Vectorial incluyendo las nuevas
entidades matemáticas, los vectores, no como constituyentes de un cuaternio, sino como una magnitud matemática independiente, en notación actual:
~
F~ = Fx I~ + Fy J~ + Fz K
y con las operaciones de álgebra (productos escalar
y vectorial) y el análisis (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) vectorial.
Gibbs, por ejemplo, entre 1881 y 1884, distribuyó privadamente entre sus estudiantes un pequeño panfleto intitulado Elements of Vector Analysis. A su vez, Heaviside, en la década de 1880, escribió varios artı́culos en la revista Electrian donde usaba el análisis vectorial. En uno de ellos, escrito en 1855, demostró, usando ese análisis, el teorema de conservación de energı́a electromagnética ya demostrado por el fı́sico inglés John Henry Poyn-
ting (1852–1914) en 1883. En 1893, Heaviside escribió su famoso libro Electromagnetic Theory donde presentó la formulación matemática del electromagnetismo, inclusive las célebres ecuaciones de Maxwell en el lenguaje de los operadores diferenciales vectoriales.
La primera formulación matemática del electromagnetismo
El fı́sico y matemático alemán Franz Maria Ulrich
Theodor Hoch Aepinus (1724–1802) fue el primero en intentar una aplicación sistemática de la matemática a la teorı́a de la electricidad y del magnetismo en su libro An Attempt at a Theory of Electricity and Magnetism editado en 1759. También era un
fı́sico experimental, fue el primero en hacer experimentos sistemáticos sobre el fenómeno de influencia
eléctrica y de electrización por influencia. Sus experimentos sobre el almacenamiento de la carga eléctrica los desarrolló con condensadores de placas planas paralelas de su propia fabricación.
Los taquiones
Según la teorı́a de la relatividad restringida, formulada por el fı́sico Albert Einstein, en 1905 (Annalen de Physik 17, p. 891), la máxima velocidad posible en el universo es la de la luz en el vacı́o (c) cuyo valor es 300,000 km/s. Este postulado permaneció por más de 50 años incuestionado hasta que el
fı́sico norteamericano Gerald Feinberg (1933–1992)
propuso, en 1967 (Physical Review 159, p. 1089),
la existencia de taquiones (del griego “rápido”), con
mayor velocidad que la de la luz en el vacı́o. Con todo, la existencia de esa partı́cula ya habı́a sido discutida en 1962 (American Journal of Physics 30,
p. 718) por los fı́sicos O. M. Bilaniuk, V. K. Deshpand y Ennackel Chandy George Sudarshan.
Propuesta teóricamente la existencia de esa partı́cula
surgió la cuestión de cómo detectarla. Una de las primeras ideas fue usar la radiación Cherenkov–Vavilov,
descubierta independientemente por los fı́sicos rusos Pavel Alekseyevich Cherenkov (1904–1990, premio nobel de fı́sica en 1958) y Sergey Ivanovich Vavilov (1891–1951) en 1934 (Doklady Akademii Nauk
USSR 11 pp. 451; 457) al percibir una luminiscencia cuando las partı́culas cargadas (por ejemplo, electrones) pasan a través de un medio transparente,
de ı́ndice de refracción n, con velocidad v mayor
que la velocidad de la luz en ese medio (c/n), esto es v > c/n. Nótese que esta radiación fue confirmada por el mismo Cherenkov en 1937 (Physical Review 52, p. 378). De esta manera, como el ta-
Curiosidades de la fı́sica, V. José Marı́a Filardo Bassalo
quión se desplaza con una velocidad superior a la velocidad de fase de la luz en el vacı́o emitirá una radiación tipo “Cherenkov–Vavilov”.
Según Feinberg, en su libro What is the World Made Of ? Atoms, Leptons, Quarks and Other Tantalizing Particles,15 si existen los taquiones su interacción con la materia ordinaria es extraordinariamente débil. Hasta diciembre de 2005 no habı́a evidencia experimental de esa partı́cula.
Otro aspecto del taquión se relaciona con su masa de reposo m0 . Según la teorı́a de la relatividad restringida, la masa inercial m de un cuerpo que se desplaza con una velocidad v está dada por:
m= r
m0
v
1− 2
c
Expresión que muestra que, para el taquión con v >
c, la masa m se vuelve imaginaria. Para superar esa
dificultad se postuló que la m0 es imaginaria y que m
resulta real haciendo, por tanto, posible su medición.
De esta suerte, el taquión nunca podrı́a adquirir una
velocidad igual o menor que c.
Una dificultad semejante surgió cuando Einstein empleó esa ecuación para el quantum de luz, para el
cual v = c y, por tanto m → 0. Ası́, para el quantum de luz, la expresión anterior lleva a m = 0/0.
La salida a esa indeterminación se logra con la electrodinámica clásica que permite calcular m mediante el momentum linear de la luz: p = mc
Los sistemas de unidades
Fue el matemático alemán Johann Karl Friedrich
Gauss (1777–1855),figura 9, quien, en 1832, demostró que algunas magnitudes fı́sicas, por ejemplo, la longitud (centı́metro), la masa (gramo) y
el tiempo (segundo), podrı́an ser seleccionadas como fundamentales ya que podrı́an ser preservadas y
reproducidas fácilmente. Las dos primeras podrı́an
ser preservadas mediante patrones en tanto que el
tiempo podrı́a ser definido a partir de experimentos con péndulos u observaciones astronómicas. Estas magnitudes fundamentales permitirı́an reproducir a otras, por ejemplo, la velocidad (L/T) y la aceleración (L/T2 ). A estas últimas, Gauss las llamó derivadas, y a las primeras, absolutas. Con ello, en
1832, fue Gauss el primero en formular un sistema
de unidades magnéticas a partir de unidades mecánicas.
15 Ancher
Press, 1978.
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Hacia finales del siglo XIX, los sistemas de unidades fı́sicas eran descritas o por unidades absolutas
(en el sentido gaussiano ya descrito) o por unidades
prácticas. Los sistemas absolutos usados en mecánica (centı́metro, gramo, segundo) podı́an representar
grandezas eléctrica y magnéticas en tanto se escogiera una magnitud fı́sica como unitaria y adimensional. Ası́, para las magnitudes eléctricas, se selecccionó la permisividad eléctrica del vacı́o ε0 como unitaria, dando lugar al sistema CGSES (CGS
electrostático), y para las magnitudes magnéticas se
adoptó la permisividad magnética del vacı́o (µ0 ) como unidad, originando el CGSEM (CGS electromagnético). Para pasar de un sistema al otro se empleaba la relación
1
V = (ε0 µ0 )− 2
obtenida por Maxwell en 1895 (Philosophical Magazine 29, p. 152) donde V representa la velocidad de
propagación de las perturbaciones electromagnéticas en un medio no conductor. El conjunto de estos dos sistemas formaba el Sistema Electromagnético Absoluto (SEMA) de unidades.
Con todo, este sistema se volvı́a impráctico cuando se intentaban representar unidades de resistencia eléctrica, potencial eléctrico, corriente eléctrica,
etc. pues llevaba a valores numéricos muy pequeños.
Por ello se desarrolló el Sistema Práctico de unidades que presentaba las mismas dimensiones que el
SEMA pero diferı́a por potencias de 10; como este sistema se definı́a con factores arbitrarios y múltiplos de magnitudes absolutas, no era absoluto. Este problema fue superado por el ingeniero eléctrico italiano Giovanni Giorgi (1871–1950), el 13 de
octubre de 1901, en una reunión de la Asociación
Italiana de Ingenierı́a Eléctrica. En efecto, a partir de una idea de Maxwell, él propuso que el sistema práctico electromagnético se transformarı́a en un
sistema absoluto en tanto se escogieran como unidades fundamentales, el metro, el kilogramo y el segundo; propuso también al ampere como unidad eléctrica. Con ello se creó el sistema MKSA donde no aparecı́a el factor 4π de los CGSES CGSEM.
Es interesante anotar que, en 1948, durante la 9a.
Conferencia General de Pesos y Medidas, el newton
fue adoptado como unidad de fuerza en el sistema
MKSA; antes se denominaban simplemente unidades
MKS de fuerza. También en esa conferencia se dio el
nombre de joule a la unidad de energı́a en ese mismo
sistema. En 1960, en la 11a. Conferencia General de
Pesos y Medidas, en la resolución 12, se adoptó el
50
ContactoS 67, 41–51 (2008)
Figura 10. Mural egipcio, 1000 a.n.e., que muestra la importancia cotidiana de las mediciones.
nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI)
en sustitución del sistema MKSA.
Es pertinente decir que, en honor del fı́sico, matemático y astrónomo italiano Galileo Galilei (1564–
1642), primero en medir la aceleración de un cuerpo,
en el sistema CGS (también conocido como “sistema gaussiano”), se nombró galileo a la unidad de aceleración.16 Con todo, el uso de esta unidad ya era opcional entre 1873 y 1886, según cuenta Charles Sanders Peirce (1839–1914), pues el CGS, adoptado oficialmente por Estados Unidos e Inglaterra, proponı́a
como unidad de aceleración el cm/s2 .
Terminamos estas notas refiriendo que, para homenajear a Gauss, la unidad de inducción magnética se denominó gauss en el sistema CGS (propuesto por Gauss). Para más información sobre sistemas
de unidades se recomienda el libro de Mach referido en el pie de página, ası́ como el libro de Paul G.
Hewitt Conceptual Physics, Harper Collins, 1992.
cs
16 Erns Mach (1838–1916) The Science of Mechanics. The
Open Court Publishing Company, 1974.
Figura 5. Microscopio de lente sencilla usado por Robert
Brown (fabricado por John Dollond).
Curiosidades de la fı́sica, V. José Marı́a Filardo Bassalo
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Figura 8. Laboratorio de Einstein a principios de 1900
Figura 6. Instrumentos antiguos del Medio Oriente.
Figura 9. Carl Friedrich Gauss (1777–1855).
Figura 7. James Clerk Maxwell (1831–1879)