SOF TWARE 2015

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE FÍSICA
SOFTWARE
0
PhysicsSensor –Mobile EditionMódulo # 9: Regresiones
M. Sc. Diego Luis Aristizábal Ramírez
2015
LABORATORIO MÓVIL
DE
CIENCIAS NATURALES
Medellín, Colombia
Regresiones
E
ste módulo trata sobre el uso de las aplicaciones REGRESIÓN LINEAL y REGRESIÓN
CUADRÁTICA de PhysicsSensor en su versión para dispositivos móviles ANDROID. Teniendo
en cuenta que el objetivo principal de esta plataforma es ser usada en los laboratorios de
enseñanza de las ciencias exactas y naturales, se analizará además de su manejo los principios de su
funcionamiento. Para esto se dividirá el módulo en los siguientes temas:



Principios de funcionamiento
La regresión lineal de PhysicsSensor
La regresión cuadrática de PhysicsSensor
1. Principios de funcionamiento
1.1. La regression lineal
Se conocen n datos
 xi ,yi  y se quiere obtener la recta que mejor se ajusta a ellos.
Suponiendo
que esta cumple la ecuación,
y = a x+ b
Para encontrar los valores correspondientes a y b se asume el denominado criterios de los mínimos
cuadrados en los cuales el error total ε sea un mínimo, Figura 1,
Figura 1: Representación del error i-ésimo
1
n
n
i=1
i=1
n
ε =  εi2 =   y - yi  =   b + a x i  - yi 
2
2
i=1
Y por lo tanto,
ε
=0
a
ε
=0
b
2
obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas,
n
n
i=1
i=1
n b + a  x i =  yi
n
n
n
i=1
i=1
i=1
b x i + a  x i2 =  x i yi
cuya solución es,
n
n
n
i=1
i=1
2
n  x i yi -  x i  yi
i=1
a=
Ecuación 1


n x -   xi 
i=1
 i=1 
n
n
2
i
n
n
i=1
i=1
 yi - a  x i
b=
Ecuación 2
n
1.2. La regresión cuadrática
Se conocen n datos
 xi ,yi  y se quiere obtener la parábola que mejor se ajusta a ellos.
Suponiendo
que esta cumple la ecuación,
y = a x2 + b x + c
Para encontrar los valores correspondientes
mínimos cuadrados en los cuales el error total
a , b y c se asume el denominado
ε sea un mínimo, Figura 2,
criterios de los
3
Figura 2: Representación del i-ésimo error
2
ε =  εi2 =   y - yi  =   c + b x i + a x i2  - yi 
n
n
n
i=1
i=1
i=1
2
Y por lo tanto,
ε
=0
a
ε
=0
b
ε
=0
c
obteniéndose el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas,
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
i=1
a  x i2 + b  x i + n c =  yi
a  x 3i + b x i2 + c  x i =  x i yi
a  x i4 + b  x 3i + c  x i2 =  x i2 yi
cuya solución es,
y
x y
x y
x
x
x
i
a=
b=
i i
2
i i
2
i
3
i
4
i
x
x
x
x
x
x
 x  y
i
i
2
i
3
i
i
2
i
3
i
i
n
 xi
 x i2
n
 xi
 xi2
- a  x i2  - n  x i yi - a  x i3
 x 
2
i
c=
y
i
- n  x i2
- a  x i2 - b  x i
n
Ecuación 3
4
Ecuación 4
Ecuación 5
1.3. Sobre la linealización
Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal (es decir, su
gráfica no es una línea recta). Sin embargo como los modelos lineales son más fáciles de analizar, se
puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A
este procedimiento se le denomina linealización. Métodos que permiten linealizar algunos modelos
son:
 La logaritmación
 Cambio de variables
Por logaritmación
Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están:


La función potencial.
La función exponencial.
La función potencial
Esta función es,
y = b xa
se linealiza a través de los logaritmos,
log  y = a log  x  + log  b 
Cambiando variables,
y'  log  y 
x'  log  x 
b'  log  b 
se obtiene una línea recta,
y' = a x' + b'
es decir, si en la función potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuación de una línea
recta.
La función exponencial
La función,
y = b eax
se linealiza a través de los logaritmos,
Ln  y = ax + Ln  b
Cambiando variables,
y'  Ln  y 
b'  Ln  b 
se obtiene una línea recta,
y' = a x + b'
es decir, si en la función exponencial se grafica Ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea
recta.
5
Por cambio de variables
Un ejemplo
Supóngase que se tiene un sistema masa-resorte oscilando. El modelo teórico afirma que, suponiendo que el alargamiento del resorte es proporcional a la carga aplicada (peso de la masa, m,
acoplada al resorte), el período de oscilación, P, de la masa oscilante es:
P = 2π
m
k
siendo k, la constante elástica del resorte. Esta ecuación se puede transformar en,
4π 2
P =
m
k
2
y al graficar P 2 vs m se obtiene una línea recta con pendiente,
a=
4π 2
k
2. La regresión lineal de PhysicsSensor
Para acceder a la aplicación se siguen los siguientes pasos:




Se hace clic en el icono para ejecutar PhysicsSensor en el dispositivo móvil. Se despliega la
ventana de la Figura 3 izquierda.
Se hace clic en el botón Aceptar y se despliega la ventana de la Figura 3 centro.
Se hace clic en el botón REGRESION LINEAL y se despliega la ventana Figura 3 derecha.
Si los datos son nuevos se hace clic en el botón SI y se despliega la ventana de la Figura 4
izquierda en donde hay 3 botones activos: Adicionar, Remover y Guardar. Si es para importar
datos de un archivo ya existente se hace clic en el botón NO y se despliega la ventana de la
Figura 4 derecha en donde sólo hay un botón activo: Escoger.
Para el caso de SI:



Proceder a entrar los datos correspondientes. Para aumentar las filas hacer clic en el botón
Adicionar. Para eliminar filas hacer clic en el botón Eliminar.
Los datos deben guardarse haciendo clic en el botón Guardar: estos se guardarán en la carpeta
Mis
Archivos/physicssensor/regresiones
del
dispositivo
móvil
con
el
nombre
datos_fecha_hora.txt, por ejemplo, para un archivo guardado en noviembre 15 de 2014 a las
12:01:04 el nombre del archivo es: datos_14-11-15 12:01:04.txt
Luego se pasa al TAB Gráfica para graficar y al TAB Resultados para obtener los resultados de
los coeficientes de la regresión con sus respectivas incertidumbres.
6
7
Figura 3: GUI de PhysicsSensor
Figura 4: Las dos opciones para la regresión lineal
Para el caso de NO:

Se procede a hacer clic en el botón Escoger desplegándose una ventana similar a la de la Figura 5
derecha: aquí están ubicados los archivos de datos guardados en la carpeta del dispositivo móvil
Mis Archivos/physicssensor/regresiones. Observar que el botón activo cambió a la etiqueta
Cargar.
8
Figura 5: Ventanas de la opción NO


Se procede a hacer cli en el botón Cargar y se despliega la ventana de la Figura 6 izquierda.
Haciendo clic en los TABS Gráfica y Resultados se pueden obtener la gráfica y los coeficientes
de la regresión con sus respectivas incertidumbres, Figura 6 centro y derecha.
9
Figura 6: Gráfica de un regresión lineal
Como ejemplo supóngase que para medir la aceleración de la gravedad en la ciudad de Medellín se
procedió a variar la longitud L de un péndulo simple y se midió para cada una el periodo P respectivo
de oscilación (pequeñas oscilaciones). Los resultados se encuentran en la Tabla 1.
Tabla 1: Datos experimento péndulo simple
Longitud
L en m
Periodo
P en s
P2 (s2)
0,40
0,54
0,74
0,93
1,05
1,08
1,266
1,470
1,725
1,925
2,051
2,085
1,602756
2,1609
2,975625
3,705625
4,206601
4,347225
El modelo teórico afirma que el periodo cumple la siguiente expresión,
P = 2π
L
g
Linealizando se obtiene,
P2 =
4π2
L
g
Ecuación 6
Por lo tanto la gráfica de P2 vs L debe dar una recta cuya pendiente b es,
b=
4π 2
g
Ecuación 7
Con base en esto se hizo la regresión lineal empleando los datos de P2 vs L de la Tabla 1. En la Figura
7 se ilustran os resultados
10
Figura 7: Experimento del péndulo simple
Empleando la ecuación 7 y el resultado de la pendiente b=4,048 m.s-2 se obtiene para el valor de la
gravedad en la ciudad de Medellín 9,75 m.s-2. Considerando como valor convencionalmente verdadero
9,78 m.s-2 se obtiene un porcentaje de erro de 0,31 %.
3. La regresión cuadrática de PhysicsSensor
Para acceder a la aplicación se procede de la misma forma que para la regresión lineal.
Como ejemplo suponer que para medir la aceleración de la gravedad se dejó caer un cuerpo
obteniéndose la posición ( y ) para diferentes instantes de tiempo (t), Tabla 2.
Tabla 2: Datos de la “caída libre” de un cuerpo.
Posición
y (m)
t (s)
Posición 1
0
0
Posición 2
0.01
0,010844
Posición 3
0.02
0,020314
Posición 4
0.03
0,029249
Posición 5
0.04
0,03742
Posición 6
0.05
0,045286
Posición 7
0.06
0,052693
Posición 8
0.07
0,059643
Posición 9
0.08
0,066363
Posición 10
0.09
0,072625
Posición 11
0.10
0,078964
Posición 12
0.11
0,08484
Posición 13
0.12
0,09042
Posición 14
0.13
0,09607
Posición 15
0.14
0,101568
11

Se usa PhysicsSensor para hacer una regresión cuadrática de y vs t (empleando los datos de la
Tabla 4) y se obtiene la gráfica y los resultados de la Figura 8.

Con base en estos resultados se concluye que la medida aceleración de la gravedad en la ciudad
de Medellín con su respectiva incertidumbre ( a =
g = 9,78
1
g ) es,
2
m
m
± 0,08 2
2
s
s
Tomando como valor convencionalmente verdadero de la gravedad en la ciudad de Medellín 9,78
m.s-2, se tiene un error de 0 %.
12
Figura 8: Experimento de “caída libre”