Problemas de Bases Físicas del Medio Ambiente

Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
Boletín 0. Introducción
0.1.- Expresad 1 km en cm, micrómetros (µm), nanómetros y en las unidades del SI.
0.2.- Sabiendo que 1 atm es la presión ejercida por una columna de mercurio (ρ=13,6 g/cm3) de 76 cm
de altura, hallad su valor en el S.I.
0.3.- Escribe en el S.I. : a) 10cc ; b) 3atm.; c) 7.2 km/h, d) 30ºC; e) 300g.
Problemas de Bases Físicas
del Medio Ambiente
Ciencias Ambientales (Curso 2003/2004)
0.4.- Calculad las dimensiones de la constante universal de la gravitación, G, y sus unidades en el
Gm1m 2
sistema internacional (S.I.) sabiendo que: F=
2
r
L
, donde L es la longitud del
g
péndulo y g la aceleración de la gravedad, es dimensionalmente correcta.
0.5.- Demostrad que la fórmula del periodo del péndulo simple T=2π
0.6.- Suponiendo que la velocidad de propagación del sonido, c, en un gas depende de la presión, p,y
de la densidad, ρ, encontrad una expresión para c utilizando el análisis dimensional..
G
G G
G G
y calcular ( a · b ) y ( a x b ).
G
0.7.- Dados los vectores a (2,2,0) y b (3,-1,2), escribirlos con los vectores unitarios correspondientes
0.1.2.3.4.5.-
Introducción
Propiedades de los sólidos
Fluidos. Estática y dinámica
Termodinámica
Ondas
Campo eléctrico. Corriente continua
G
G
G
0.8.- Hallar la derivada del vector v = x i + y j , sabiendo que x = acosωt; y = asenωt. Comprobar que
G
resulta un vector perpendicular a v , y hallar la relación entre sus módulos.
0.9.- Diferenciar las funciones:
1
a) U=2 k(x2+y2+z2).
b) U = xy + 3z + zyx
0.10.- Calcular la altura de una tubería de 10m de larga, inclinada 30º sobre la horizontal.
J.A. Martinez-Lozano y Pilar Utrillas
Departamento de Termodinámica. Facultat de Física. Bloque C (3er piso)
Despachos: 3307/3310
http://www.uv.es/~utrillas/docencia
http://www.uv.es/~jmartine/docencia
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Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
Boletín 1. Propiedades de los sólidos
Resumen Teoría
• Ley de Hooke:
∆L 1 F
• Tracción: L = E s
∆r
σ F
r = -E s
∆V
p
V = -Q
4 l3
• Flexión:
s1 = E 3 F
bd
1.5.-
En un tubo rígido de 1.2 m de longitud y 3.6 cm2 de sección, se introduce agua. Si se aplica
una fuerza de 47 kp mediante un émbolo que actúa por un extremo del líquido ¿Qué cambio
de altura experimentará la columna líquida? ¿Cuál será la variación relativa de la densidad del
agua, expresada en %?.
Datos: Módulo de compresibilidad del agua: 2.2 104 kp/cm2.
Solución: ∆h=-0.71 mm; (ρ'-ρ)/ρ = 0.059%.
1.6.-
Un bloque ortoédrico de cierto material sufre una variación relativa de volumen de 5.266 10-4
cuando es sometido a una presión de 135.8 atm. Se desea saber:
a) El coeficiente de Poisson de dicho material
b) El valor de la fuerza tangencial que debe actuar sobre una de sus caras de dimensiones
2.8x3.5 m para que le produzca un ángulo de cizalla de 0.22°.
Datos: Módulos de Young: 1600 kp/mm2.
Solución: a) σ=0.40; b) F=2.11 108 N.
E: Módulo de Young, s: superficie
σ: Coeficiente de Poison
E
Q: Coeficiente de Compresibilidad
3 (1 -2σ)
3
1 l
s2 = 4E 3 F b,d : dimensiones, s: flecha
bd
Q=
µ=
E
2 (1+ σ)
• Energía elástica(Tracción):
π r4
1
β = R M R = 2L µ
1
W = 2 k (∆L)2
• Energía elástica(Cizalla):
1
1
W = 2 k α2 = 2 µ s L α2
• Ángulo de Torsión:
Un péndulo de torsión está formado por un alambre de 40 cm de longitud y 1 mm de
diámetro, que lleva en su extremo inferior un disco metálico homogéneo de 500 g de masa y 8
cm de radio. Se aplica al disco un par de fuerzas de momento 3 Nm que le hace girar un
ángulo de 10°. Calcular el módulo de rigidez del alambre.
Solución: µ=7 1013 N/m2; T=0.06 s.
Deformación = constante . esfuerzo
1 F
α=µ s
• Ángulo de cizalla:
1.4.-
• Oscilaciones (Tracción):
d2x
+ ω2x = 0;
x(t) = A cos( wt + f);
dt2
d2β
• Oscilaciones (Torsión):
+ ω2β = 0
dt2
µ : módulo de rigidez
R : cte de torsión , M: momento.
k
ω=m ;
R
ω= I
Es
k= L ;
k=
T=2π
mL
Es
2L I
πr4 µ
Problemas: Propiedades de los sólidos
1.1.-
Con qué fuerza tendremos que tirar de los extremos de un hilo de aluminio de 3.75 m de largo
y 0.32 mm de espesor para que pueda pasar exactamente por un agujero de diámetro 0.30
mm.
Datos: Módulo de Young: 7.0 1010 N/m2. Coeficiente de Poison: 0.13. Solución: 2.7 103 N.
1.2.-
Un bloque de mármol de 12 Tm se apoya sobre un tubo de acero vertical de 25 cm de largo,
12 cm de radio exterior y 4 cm de radio interior.
a) Calcular el acortamiento producido en el soporte.
Datos: Módulo de Young: 2.1 104 kp/mm2.Solución: a) 3.55 10-6 m.
1.3.-
Del techo de una habitación se cuelga un alambre de acero de 0.8 mm de diámetro en cuyo
extremo inferior va soldado otro alambre de aluminio de 1.2 mm de diámetro, lastrado por su
otro extremo con un peso de 15 kp. La longitud total de los dos alambres es de 4 m. Sabiendo
que el peso provoca alargamientos iguales en los dos alambres, se piden las longitudes
originales de estos, así como la energía elástica almacenada en cada uno.
Datos: Módulos de Young: acero, 2.1 104 kp/mm2; aluminio, 0.7 104 kp/mm2.
Solución: l1=2.3 m; l2 = 1.7 m; ∆l = 3.3 10-3 m; E = 0.243 J.
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-4-
Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
Determinar la tensión superficial del líquido y el radio de una gota. Solución:: Tensión
superficial 6.13 N/m; r = 5.4 mm.
Boletín 2. Fluidos
Resumen Teoría
• Ecuación hidróstatica:
• P. Arquímedes:
• Tensión superficial:
• Ecuación de Laplace:
Gota esférica:
Burbuja esférica:
• Ley de Tate:
• Ecuación de continuidad:
• Teorema Bernoulli:
• Teorema Torricelli:
• Viscosidad:
• Número de Reynolds:
• Fórmula de Stokes:
p = p0 - ρgh
E=Vρg
dW ∆W
σ = ds =
∆s
1 1
pL - p0 = σ  r + r 
 1 2
2σ
pL - p0 = r
4σ
pL - p0 = r
mg = k σ
s v = s' v' = cte
1
p + ρgh + 2 ρ v2 = cte
v = 2gh
∆v
F=ηs
∆h
d
R=vρ
η
F =6π r η v
2.5.-
En el fondo de un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro se realiza un orificio circular de
5 cm de diámetro. Si dicho depósito se llena de agua, determinar la velocidad con que fluirá
ésta por el orificio en el instante en que la altura del líquido en el depósito es de 60 cm. ¿Qué
error, en %, se introduce en el resultado si se desprecia la velocidad propia de la superficie
libre del líquido en el depósito?.Solución: a) 3.43 m/s; b) 0.00241 %.
2.6.-
Una fuente lanza un chorro de agua de 10 m de altura. La boca del chorro, que está a nivel del
suelo, tiene un diámetro de 1.25cm. La bomba que impulsa el agua está 3 m por debajo de la
boca, en la vertical de la misma. La tubería que conduce el agua desde la bomba hasta la boca
de la fuente tiene un diámetro de 1.5 cm. Determinar la presión que ejerce la bomba.
Solución: 1.79 atm.
2.7.-
En la conducción de la figura circula agua cuya viscosidad podemos considerar despreciable.
a) Determinar la presión en A, PA.
Cerrando la llave T, el agua queda en reposo. Suponiendo que la presión en B no ha variado:
b) Calcular la nueva presión en A, PA' .
E: empuje
W: Trabajo
A
v: velocidad
v
A
SA
h
S
Problemas: Fluidos
2.1.-
Un barco que en el mar desplaza 4000 toneladas, tiene una sección por la línea de flotación de
1000 m2. Al navegar por un río se hunde 12 cm más que en el mar. Determinar la densidad
del agua del mar. Solución:1031 kg/m3.
2.2.-
En un recipiente se tiene aceite flotando sobre agua. Un corcho, de sección transversal
cilíndrica de radio r y longitud L, está situado verticalmente entre las dos capas, de modo que
su parte superior está en el aceite y su base en el agua. Determinar la porción de corcho que
está bajo el agua, en función de las densidades del corcho (ρ), del aceite (ρa) y del agua (ρo).
Solución: Lo/L = (ρ-ρa)/(ρo-ρa).
2.3.-
Desde un punto situado a una altura de 10 m sobre la superficie de un estanque lleno de agua
y de profundidad 5 m se deja caer una esferita de 0.2 cm de radio.
a) Si la esferita es de hierro de densidad 7.5 (relativa al agua), calcular lo que tarda en llegar
al fondo del estanque.
b) Si la esferita es de madera de densidad 0.3. calcular: la profundidad hasta la que llega a
hundirse en el estanque.
Se prescinde en todo el problema de las fuerzas de rozamiento.
Solución: a) 0.32 s; b) 4.29 m
2.4.-
Con un cuentagotas de 0.5 mm de radio se dejan caer gotas de un líquido de densidad 1.5
g/cm3 sobre un recipiente cilíndrico cuya base tiene 5 cm de radio, a razón de 40
gotas/minuto. En una hora, la altura alcanzada por el líquido en el recipiente es de 20 cm.
-5-
B
C
v
B
B
S
C
v
C
Datos de la conducción: Secciones: SA = 1.5 m2; SB = SC = 0.5 m2 Desnivel: h = 10 m.
Características del fluido en B: vB = 6 m/s; PB = 5 atm.
Solución: a) 4.18 atm. ; b) 4.03 atm
2
2.8.-
Mediante un sifón se saca agua de un
depósito cilíndrico de 1000m de
diámetro, lleno de agua salada de
60 cm
1
densidad 1050kg/m3.El tubo que
forma el sifón tiene una sección de 6
cm2 y su punto más alto se encuentra
36 cm
a 60 cm de la superficie libre del
agua, mientras que la salida del
3
desagüe se halla 36 cm por debajo.
Calcular la velocidad en 1, 2, y 3 y la presión en el punto 2. Solución: v1=0; v2= v 3=2.7m/s;
P2=0.9atm.
2.9.-
El esquema adjunto representa la salida de agua desde un depósito de gran sección, cuyo
nivel permanece constante., que al final desemboca a la presión atmosférica. Esta salida está
formada por dos tubos, uno de 2 m de longitud y 100 cm2 de sección, y otro, acoplado a éste,
que tiene 50 cm de longitud y 25 cm2 de sección. Los puntos medios de ambos tubos están
conectados con un manómetro que indica la diferencia de presión entre éstos. Calcular:
a) Velocidad del agua en cada tubo.
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Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
b) Lectura del manómetro.
Boletín 3. Termodinámica
Resumen Teoría
h= 3 m
L 1= 2 m
M
L = 0.5 cm
2
α = 20°
Solución: a) v1 = 8.69 m/s; v2 = 2.17 m/s; b) 0.31 atm.
α=
• Coeficiente de compresibilidad isoterma:
χ =-
• Ecuación de estado del gas ideal:
• Calor:
• Trabajo:
pV=nRT R=0.082 atm l/mol K =8.314 J/mol K= 1.98 cal/mol K
Q= mc ∆T
• Primer principio de la Termodinámica:
• Energía interna:
2.10.-
2.11.-
2.12.-
Calcular la máxima diferencia de presión que puede haber entre los extremos de una
conducción cilíndrica de 20 cm de longitud y de 3 cm de diámetro, para que por su interior
circule un líquido de viscosidad 2.1 mPa s y cuya densidad es de 0.9g/cm3, sin que su régimen
llege a turbulento, en el caso de que dicha conducción sea vertical y que el líquido ascienda.
Solución: ∆P= 1766.8 N/m2
Un líquido viscoso de densidad 0.90 circula por una conducción cilíndrica horizontal de 180
cm2 de sección. Si el NR es 900 y la disminución de presión por unidad de longitud (pérdida
de carga) es de 420 Pa/m, calcular:
a) Velocidad media del fluído
b) Viscosidad del líquido
c) Gasto cúbico
Solución: a) 1.4 m//s, b) 0.214 Pa s, c) 0.0.252 m3/s
Se quiere conocer el radio de las partículas más pequeñas de una sal insoluble. Si se echa en
agua y dos horas después de agitar el producto, el agua estaba turbia a partir de 2 cm por
debajo de la superficie libre, ¿ cual es el radio de dichas partículas mas pequeñas?.
(Viscosidad del agua 1,2 mPa s. Densidad de la sal 2,5 g/cm3)Solución: : 10-4 cm.
1  ∂V 


V  ∂T  p
• Coeficiente de dilatación cúbica:
• Entalpía
:
• Entropía
:
1  ∂V 


V  ∂p T
δW=p dV
dU + δW=δQ
dU =nc v dT
dH =nc p dT
∆S = ∫
δQ
T
Problemas: Termodinámica
3.1.- Una magnitud termométrica de cierto material varía de acuerdo con la expresión X=A+Bt donde
t es la temperatura en °C y A y B son constantes. Un termómetro ha sido construido usando este
material y se ha calibrado con el punto de fusión del hielo X=50 y el punto de vaporización
X=550. a) ¿Cúal es la temperatura cuando X=13550?. b) ¿Cúal será la lectura del termómetro en
el punto triple del ácido benzoico (122.36°C)?
Solución: a) 2700 °C, b) x = 661.8.
3.2.- En un lugar en el que la presión atmosférica es de 760 mmHg se introduce un termómetro
centígrado en hielo fundente, y posteriormente, en vapor de agua hirviendo. El termómetro, mal
graduado, marca 2.0 °C en el primer caso, y 102.5 °C en el segundo.
a) Determinar la fórmula de corrección que deberá emplearse para determinar la temperatura
real.
b) Determinar la temperatura real cuando el termómetro marca 50.0 °C.
c) Determinar si existe alguna temperatura para la que sería correcta la temperatura del
termómetro.
x-2
Solución: a) t = 1.005 , b) t = 47.7 °C, c) No existe.
3.3.- La densidad del mercurio a 0 °C es 13.60 g/cm3 , su coeficiente de dilatación es 18,2.10-6 °C-1.
3
Calcular la densidad del mercurio a 500°C. Solución: 13.48 g/cm .
3.4.- Un metal cuyo coeficiente de dilatación cúbica es 5.0 10-5 K-1, y su coeficiente de
compresibilidad isotermo es 1.2 10-6 atm-1, está a una presión de 1atm y a una temperatura de
20º C. Se dispone , muy ajustada a él, de una ubierta de coeficiente de compresibilidad y de
dilatación despreciables.
a) Calcular la presión final si la temperatura se eleva a 32ºC
-7-
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Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
b) Si la cubierta envolvente puede resistir una presión máxima de 1200 atm. ¿Cuál es la
temperatura más alta que puede alcanzar el sistema? Solución: a)P=501 atm; b) 48.8ºC.
3.5.- La compresibilidad isotérmica kT y el coeficiente de dilatación cúbica a para una sustancia
hipotética vienen dados por las expresiones:
kT =
3(V-a)
4PV
α=
(V-a)
TV
a=cte
3/4
Deducir la ecuación de estado de esta sustancia?. Solución: (V-a)P =TK
3.6.- Se tienen 5 g de hidrógeno a la presión atmosférica normal. Se aumenta la temperatura en 10
grados y se pregunta qué aumento debe haber experimentado el volumen para que la presión no
haya variado. Solución: ∆V = 2.05 l.
3.7.- ¿Cúantas moléculas hay en 1 cm3 de gas a 0°C y a una presión de 700 mm de Hg?
Solución: 2.47 x 10
19
moléculas.
3.8.- Una vasija de 1 litro contiene 0.05 moles de hidrógeno a 20 °C.
a) Calcular la presión a que se encuentra el gas.
Se abre la llave y parte del gas sale a la atmósfera:
b) Calcular la masa de hidrógeno que queda en la vasija siendo la presión exterior exactamente
1 atm.
c) ¿A qué temperatura se debe calentar el gas que ha quedado, cerrada la llave, para que la
presión en la vasija recobre el valor inicial?.
Solución: a) p=1.202 atm, b) m= 0.0832 g, c) t= 79.19 °C.
3.9.- Dos balones de vidrio, cuyos volúmenes interiores son 500 cm3 y 200 cm3 respectivamente,
están conectados entre sí por un tubo de volumen despreciable. El aparato se llena de aire y se
cierra, siendo la temperatura de 17°C y la presión de 750 mmHg. El balón más pequeño se
sumerge en hielo fundente y el otro en agua hirviendo.
Calcular la presión final del aire en los balones, despreciando la dilatación del vidrio.
Solución: p = 873.2 mm Hg.
3.10.- Calcular la temperatura final de una mezcla de 10 y 80 litros de agua cuyas temperaturas
respectivas son 70.0 y 20.0°C. Solución: t = 25.5°C.
3.11.- Calcular el trabajo, expresado en Joules y calorías, que realizan 2 moles de un gas ideal en los
siguientes procesos:
a) Expansión isobara (V = 2 l, V = 5 l, p = 3 atm)
1
2
b) Expansión isoterma (V = 2 l, V = 5 l, t = 27°C)
1
2
c) Transformación isócora.
d) Transformación adiabática (T = 300 K, T = 400 K, c = 5/2 R)
1
2
v
Solución: Wa=217.8 cal; Wb= 1092.4 cal; Wc=0; Wd= 993 cal.
3.12.- Tenemos tres moles de un gas monoatómico a 300 K. Calcular el incremento de energía interna,
el trabajo, el incremento de entalpía y el calor puestos en juego en los siguientes procesos:
a) Proceso a presión constante.
b) Proceso a volumen constante.
-9-
Dpto Termodinámica
Suponemos que la temperatura final para ambos procesos es de 270 K.
Solución: Wa=-747.9J cal; Wb= 0; ∆U=-1121.8J; ∆H = -1869.7.
3.13.- Demostrar que en un diagrama P-V la pendiente de una adiabática (en valor absoluto) es mayor
que la de una isoterma.
3.14.- Calcular el índice adiabático de un gas ideal cuyo calor molar a volumen constante sea 4 cal/mol
K. Solución: γ = 1.5
3.15.- Un gas, que presenta un comportamiento ideal, sufre una expansión adiabática y reversible,
desde 25º y 200 atm hasta –185º y 10 atm. Calcular:
a) Variación de energía interna por mol
b) Trabajo realizado por mol
Si 1 mol de dicho gas experimenta un proceso reversible en dos etapas, primero isóbaro y
después isotermo, que lo lleva desde 1atm y 20ºC hasta 0.5 atm y 40ºC, calular
c) energía intercambiada en forma de calor.
Solución: ∆U=-609 cal/mol; W=609 cal/mol; Q=531.9 cal.
3.16.- Se tienen 0.5 moles de un gas diatómico que ocupan un volumen de 2l a 6atm. Mediante un
proceso isóbaro se duplica el volumen. Seguidamente se comprime de forma isócora hasta
reducir su presión a la mitad. Finalmente se vuelve al estado inicial mediante otro proceso.
a) Valor de P,V y T en todos los estados
b) Calor y trabajo en cada proceso
3.17.- Una máquina con el 20% de rendimiento realiza un trabajo de 100 J en cada ciclo.
a) ¿Cuánto calor absorbe en cada ciclo?
b) ¿Cuánto calor devuelve?
Solución: a) Q= 500 J ; b) Q= 400 J.
3.18.- Un mol de un gas idel diatómico describe un ciclo de carnot de rendimiento 0.5. Sabiendo que
durante la expansión adiabática realiza un trabajo de 834 J, determinar:
a) Temperatura de los focos
b) Relación entre los volúmenes ocupados por el gas el comenzar y finalizar la expansión
adiabática
Solución: T1=78.9K, T2=39.9K; b) 0.18
3.19.- Calcular la diferencia entre la entropía de 1 mol de H2 en condiciones normales y la entropía de
1 mol de H2 a 50°C y 3 atm, sabiendo que su calor molar a presión constante cumple:
cp = 6.62 + 8.1x10-4T cal/mol.K
Solución: ∆S = - 4.31 J/K.
3.20.- Un gas ideal diatómico describe el ciclo
de la figura. La temperatura en el punto
1 es 200 K. Calcular:
a) El calor absorbido y cedido por el gas
en cada proceso.
b) El trabajo realizado por el gas en cada
proceso.
c) La variación de entropía en cada
proceso y en el ciclo total
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Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
3.21.- Tenemos siete gramos de un gas de peso molecular 70 g/mol que inicialmente ocupan un
volumen de 2 litros a una presión de 2 atm. Mediante una expansión adiabática se alcanza un
estado cuya temperatura es 27° C y volumen 6.74 litros. Después, mediante un proceso
isotermo, se reduce su volumen hasta 0.75 litros. A continuación se expande isobáricamente
hasta un volumen de 1.5 litros, cerrándose el ciclo a través de un proceso cuya representación en
un diagrama PV es una línea recta.
a) Calcular P, V y T en todos los puntos de discontinuidad del ciclo (TABLA-RESUMEN).
Dibujar el ciclo en un diagrama PV.
b) Calcular ∆U, W , Q y ∆S en cada proceso y en todo el ciclo.
Solución: a)
ESTADOS:
1
2
3
4
P(atm)
2
0.36
3.28
3.28
V(litros)
2
6.74
0.75
1.5
T(K)
487.8
300
300
600
b)
ESTADOS:
1-2
2-3
3-4
4-1
-390.6
0
624
-234.4
∆U(J)
Q(J)
0
-547.3
873.2
101.7
W(J)
390.6
-547.3
249.2
133.7
0
-1.82
2.01
-0.19
∆S(J/K)
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
3.24.- Calcular la variación de entropía del universo si se introducen 2 kg de plomo a 100°C en un lago
a 10°C (Calor específico del plomo = 128 J/kg K). Solución:10.7 J/K
3.25.- Un mol de un gas ideal sufre una compresión isoterma a 27ºC desde 1 atm a 10atm. Calccular el
cambio de entropía del sistema y alrededores si el proceso se realiza de forma: a) reversible b)
irreversiblemente contra un presión exterior P=10 atm. Solución: a) ∆Ss=-19.1J/K = ∆Salr b)
∆Ss=-19.1J/K ,∆Salr =74.8 J/K.
3.22.- Una máquina que utiliza un mol de un gas ideal diatómico, inicialmente a 24.6 l y 400K trabaja
en un ciclo consistente en 4 etapas:
i) Expansión isoterma hasta 2 veces su volumen
ii) Enfriamiento isócoro hasta 300K
iii) Compresión isotérmica hasta su volumen original, y
iv) Calentamiento a volumen constante hasta su temperatura original
Calcular:
a) Valores de las variables termodinámicas P,V y T en cada punto del ciclo (hacer una tabla
resumen, una vez calculadas todas)
b) Dibujar el ciclo en un diagrama P-V
c) Calcular las variaciones de energía interna, entropía y el calor y trabajo intercambiados en
cada etapa y en todo el ciclo.
Solución: a)
ESTADOS:
1
2
3
4
P(atm)
1.3
0.67
0.5
1
V(litros)
24.6
49.2
49.2
24.6
T(K)
400
400
300
300
b)
ESTADOS:
1-2
2-3
3-4
4-1
0
-2080
0
2080
∆U(J)
Q(J)
2304
-2080
-1728
2080
W(J)
2304
0
-1728
0
-5.76
-5.98
-5.76
5.98
∆S(J/K)
3.23.
-
Se pone en contacto 1kg de agua a 273K con un foco calorífico a 373K. Cuando el agua ha
alcanzado los 373K.¿ Cual ha sido la variación de entropía del sistema, alrededores y universo?
Solución: ∆Ss=312J/K; ∆Salr=268J/K
-11-
-12-
Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
a) La velocidad de la onda.
b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de
tiempo transcurrido es de 1 segundo.
c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 210 cm.
d) Si el desplazamiento (y) de una determinada partícula en un instante determinado es de 3
cm, determinar cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde.
Solución: a) 0.4 m/s; b) 60°; c) 315°; d) -3.79 cm.
Boletín 4. Ondas
Resumen Teoría
• Movimiento armónico simple (MAS): Ψ(x,t) = A cos [2π (
2π
2π
λ
ω= T k=
v=T
λ
Demostrar que las funciones:
a) y = y0 sen(kx-ωt)
b) y = A eik(x-vt) i=(-1)1/2
satisfacen la ecuación de ondas.
µ ∂Ψ(x,t) 2
ρec = 2  ∂t 
4.5.-
ρE = 2ρec = 2ρep
|v| - (vo -vm)
ν' =|v| - (v -v ) ν
F m
Dos ondas que se mueven en una cuerda en la misma dirección tienen una frecuencia de
100Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0.02 m. Sus fases difieren en 60º.
¿Cuál es la amplitud de la onda resultante?. ¿Y si la diferencia de fase es de 0º o 180º?.
Solución: 0.035 m
4.6.-
A qué velocidad debería ir una nave espacial para ver verde el planeta Marte (planeta rojo) .
Datos: λ del rojo 750 nm; λ del verde 600 nm. Solución: 2.7 108 km/h
4.7.-
Un coche se desplaza con un movimiento uniforme y rectilíneo a una velocidad de 30 m/s. En
sentido contrario va un camión a una velocidad de 21 m/s con una superficie reflectora en su
parte posterior. Si el coche emite un sonido de 1000 Hz, calcular:
a) La frecuencia percibida por un observador fijo situado entre ambos.
b) Frecuencia de las ondas que llegan a la superficie reflectora cuando ambos vehículos se
han cruzado.
c) Frecuencia que percibirá el observador después de que las ondas se reflejen en el camión.
Solución:: 1079 Hz; 862´2 Hz ; 812 Hz.
4.8.-
Un foco emite un sonido de 310 hertz y se desplaza hacia un observador a una velocidad de
79 km/h. A su vez, el observador se mueve hacia el foco a una velocidad de 35 km/h y
percibe el sonido con una frecuencia de 340 hertz. ¿ Cúal es la velocidad del sonido en el
aire?. ¿ Qué frecuencia percibirá cuando se hayan sobrepasado y se alejen uno del otro?.
Solución: : 349 m/s ; 284 Hz.
4.9.-
Un avión se desplaza a velocidad v= 720 km/h constante a una altura h= 1000m sobre el
suelo. Lleva una sirena a bordo que emite un sonido de frecuencia ν = 435 Hz.
a) Determinar la frecuencia que percibirá un observador en reposo situado en el suelo,
cuando el avión haya recorrido 1000 m después de pasar por su vertical.
b) Supongamos ahora, que la sirena esta fija sobre el suelo a una altura h' = 200 m. Un
observador se desplaza sobre el suelo con una velocidad horizontal v' = 36 km/h, de forma
que su trayectoria define con el punto donde se encuentra la sirena un plano vertical. Calcular
la frecuencia percibida por el observador 30 s después de haber pasado por la vertical de la
sirena.
Solución: a) 307.2 Hz; b) 424.3 Hz.
2
v
• Densidad de energía cinética:
• Densidad de energía potencial:
• Efecto Doppler:
4.4.-
µ: densidad lineal
G
2Ψ( r ,t) = 1 ∂ ψ (x, t)
F
µ
• Densidad de energía total:
Ψ(x,t) = A cos [kx ± ωt + φ)
∂2Ψ(x,t) µ ∂2Ψ(x,t)
=F
∂t2
∂x2
• Ecuación de ondas:
v=±
x t
± ) + φ]
λ T
2
2
∂t


µ ∂Ψ(x,t) 2
ρep = 2  ∂x 


Problemas: Ondas Mecánicas
4.1. La posición de una partícula que vibra, en función del tiempo, viene dada por la gráfica a), y la de
todas las partículas en función de la distancia en la gráfica b).¿Cual es la ecuación de la onda y su
velocidad de propagación?.
4.2.-
La función de onda de una onda transversal en una cuerda tensa viene dada por la ecuación
y = 0.03 sen(2 t - 3x).
donde x e y se expresan en cm y t en segundos. Determinar:
a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda.
b) El desplazamiento respecto de la posición de equilibrio en x = 0.2, para t = 0.2s y t = 0.4s.
c) Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de oscilación de las partículas de la
cuerda.
Solución: a) A= 0.03 cm ; T = π s ; v = (2/3) m/s ; b) y (x=0.2; t=0.2) = -0.006 , y (x=0.2;
t=0.4) = 0.006 ; c) vy = 0.06 cos (2t -3x) , ay = -0.12sen (2t -3x)
4.3.-
Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación
t
x
y (cm) = 4 cos 2π (6 + 240 ).
Determinar:
-13-
-14-
Dpto Termodinámica
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
Boletín 5. Campo eléctrico. Corriente continua
Resumen Teoría
• Ley de Coulomb:
• Campo eléctrico:
• Flujo: Superficie plana
JG G
• Teorema Gauss: φ = ∫ E.S = 4πk qint
• Potencial electrostático:
• Asociación resistencias:
• Ley de Ohm:
• Energía:
• Potencia:
Sobre un sistema de referencia O(x,y,z) se disponen cuatro cargas q puntuales y positivas
situadas en los puntos de coordenadas (a,0,0), (-a,0,0), (0,a,0) y (0,-a,0).
a) Determinar el campo y el potencial creados por esa distribución de carga en un punto de
coordenadas (0,0,z).
b) En el punto (0,0,0) se coloca una carga q de masa m. Seguidamente se desplaza
ligeramente en la dirección del eje OZ ( a2+z2 ≈ a2 ) y se deja en libertad. Determina el
periodo de oscilación si dicha carga es negativa. Si la carga es positiva ¿Que tipo de
movimiento realizará?. Justifícalo.
qz
q
2πa
Solución: a) E =
;V=
b) T = q
πmε0a .
πε0(a2 + z2)3/2
πε0(a2+z2)1/2
5.5.-
Sea el modelo simple del átomo, constituido por una carga puntual +q rodeada de una
distribución esférica de carga de radio a con densidad de carga constante ρ y carga total -q. Se
pide:
JG
a) calcular E en puntos interiores (r<a) y exteriores (r>a) a la distribución.
b) calcular el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio.
JG G
φ = ∫ E.S
JG
∂V G ∂V G ∂V G
E = −∇V =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
JG G
∆V = − ∫ Edr
dq
I = dt
• Corriente:
• Resistencia:
G
qq G
F = k 12 2 u r
r
G
JG F
q G
E=
= k 2 ur
q
r
JG 0G
Superficie no plana
φ = E.S
5.4.-
L
R=ρ s
Serie
q 1
r G
− 3  ur =

2
4πε0  r
a 
2
q 1 r
3 
V=
−  , r<a; V = 0 , r > a
 −
4πε0  r 2a 3 2a 
Solución:
ρ: resistividad s: sección
R = R1 + R2
1
1
1
Paralelo R = R + R
1
2
V=IR
dEp = dq (VA - VB)
dEp
V2
P = dt = I V = I2R = R
5.2.-
Consideremos un modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón gravita alrededor de
un protón describiendo una trayectoria circular de radio r = 5 nm bajo el efecto de la fuerza de
Coulomb. a) ¿Cuál es la energía total del electrón? b) ¿Cuál es la velocidad del electrón? me=
9.1 10-31 Kg, qe=-1.6 10-19 C
Solución: a) ET = -2.3 10-20 J ; b) v = 2.25 105 m/s
5.3.-
Dos esferas muy pequeñas de dos gramos de masa, cargadas positivamente con la misma
carga, se encuentran en los extremos de dos hilos de seda de un metro de longitud,
suspendidos en el mismo punto. Si en la posición de equilibrio, el ángulo que forma cada hilo
con la vertical es de 30°, se pide:
a) Calcular el valor de la tensión de los hilos en posición de equilibrio
b) Calcular la carga de cada esfera
c) Si desaparece una carga, calcular el campo eléctrico que sería necesario aplicar para que
la otra permaneciera en la misma posición.
Solución: a) 0.023N; b) 1.12 10-6 C; c) 104 N/C
-15-
r<
a;
JG
E=
0
r
>
a;
b)
Suponiendo que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de
R=10 cm, siendo la densidad de carga por unidad de volumen (3/4π) 10-5 C/m3, calcular el
potencial y el campo creados en los siguientes puntos:
a) En un punto situado a 5 cm del centro de la esfera
b) En un punto situado a 20 cm del centro de la esfera
c) En un punto de la superficie de la esfera
Solución: a) E = 4500N/C; V = 1237.5V; b) E = 2250N/C; V = 450V; c) E = 9000N/C; V =
900V.
Nota: Se recomienda resolver el problema en general para un volumen esférico de radio a y
con densidad de carga ρ, y posteriormente hacer la aplicación numérica.
5.7.-
Para cargar una batería de 24 V y resistencia interna 2 Ω se utiliza un generador de 30 V y 1
Ω de resistencia interna en serie con una resistencia de 3 Ω. Calcular: a) La potencia
suministrada por el generador, b) las pérdidas de potencia por efecto Joule, y c) la energía
almacenada durante 30 horas de carga. Solución: a) Pg = 29 W, b) ∆P = 6 W, c) E = 0.72
kWh
Sea una pila cuya fuerza electromotriz es ε y su resistencia interna r. Si se conecta a una
resistencia R, demostrar que la potencia consumida por la resistencia es máxima para R=r.
¿Cuánto vale esa potencia máxima?.
JG
G
Sea E = (a+bx) u x el campo eléctrico en cierta región del espacio. ¿Cuánto valen el potencial
eléctrico y la densidad de carga correspondiente?.
1
Solución: V = -ax - 2 bx2 + C; ρ = εob
;
5.6.-
Problemas: Campo eléctrico. Corriente continua
5.1.-
JG
E=
5.8.-
ε2
Solución: Pmax = 4r
-16-
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
5.9.-
En el circuito de la figura: a) Calcular la resistencia equivalente a la asociación de R3 y R4.
Hacer lo mismo con R1 y R2. Dibujar el circuito resultante equivalente al de la figura,
señalando los puntos A y B.
b) Calcular la corriente que pasa por la
R1
pila.
c) Calcular la tensión en el punto A,
en el punto B, y la diferencia de
R2
tensión entre A y B.
B
A
d) Calcular la corriente que pasa por
cada resistencia y decir qué tensión
hay entre los extremos de cada
V = 10
resistencia.
Datos: R1 = R2 = 4 Ω,R3=R4= 16Ω.
R3
R4
Solución: a) R12 = 2Ω, R34 = 8Ω; b)
I= 1A; c) VA = 8V, VB = 10V, VB VA = 2V;
d) I1 = I2 = I3 = I4 = 0.5 A, V1 = V2
=2 V, V3 =V4 = 8 V
5.10.- Dados los dos circuitos de la figura
a) Determinar el valor de RT para que los dos circuitos sean equivalentes, suponiendo que
R1 = R2 = R3 = R4 =R
b) Determinar el valor de R para que por el circuito circule una intensidad de 1 A,
suponiendo que ε = 6 V y r =1 Ω.
ε
+
5
Solución: a) 3 R; b) 3Ω
ε
R1
r
+
-
R2
R3
r
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
5.12.-Dado el circuito de la figura, calcular la corriente que pasa por cada una de las ramas.
Solución:
rama abcd: I = 5/3 A;
rama da : I= 35/9 A;
rama afed : I = 20/9 A ;
10 V
2Ω
b
5V
3Ω
a
1Ω
15 V
f
4Ω
100 Ω
R
50 Ω
300 Ω
1.5 V
+ -
Solución: Req = 1 Ω
a
1Ω
b
5Ω
1Ω
d
1Ω
-18-17-
e
A
RT
c
d
5.13.-En el circuito de la figura, el amperímetro A registra la misma intensidad cuando los
interruptores están abiertos que cuando están cerrados. Determinar el valor de la resistencia R.
Solución: R = 600 Ω.
5.11.-Considerar las cinco resistencias conectadas como muestra la figura. Calcular la resistencia
equivalente de la combinación entre los puntos a y b.
1Ω
5V
1Ω
-
R4
c
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
Dpto Termodinámica
Bases Físicas del Medio Ambiente
UNIDADES
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-20-
Dpto Termodinámica
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Bases Físicas del Medio Ambiente
Bases Físicas del Medio Ambiente
-21-
-22-
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Bases Físicas del Medio Ambiente
Dpto Termodinámica
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DERIVADAS
En las formulas siguientes u, v y w representan funciones de x, mientras que a, c ,n son constantes.
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Bases Físicas del Medio Ambiente
Dpto Termodinámica
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INTEGRALES
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