Capitulo 6

Física II: Termodinámica, ondas y fluidos
Índice
6 - ONDAS MECÁNICAS......................................................................................................................................2
6.1 TIPOS DE ONDAS MECÁNICAS......................................................................................................................... 2
6.2 ONDAS PERIÓDICAS ......................................................................................................................................... 3
Ej. 6.1 ondas sonoras........................................................................................................................................ 4
6.3 DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA ONDA..................................................................................................... 5
Ej. 6.2 Onda periódica en una cuerda infinita.................................................................................................... 7
Velocidades y aceleraciones transversales de partículas en una onda senoidal........................................8
6.4 VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL ................................................................................................... 9
Primer método...................................................................................................................................................9
Segundo método..............................................................................................................................................10
Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I....................................................................................................................... 11
Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II...................................................................................................................... 11
6.5 VELOCIDAD DE UNA ONDA LONGITUDINAL................................................................................................ 12
Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR........................................................................................................... 14
Ej. 6.6 Sonido en varilla de plomo ................................................................................................................... 14
6.6 ONDAS SONORAS EN GASES .......................................................................................................................... 15
Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire.............................................................................................................. 16
6.7 ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ONDULATORIO ........................................................................................... 17
Ej. 6.8 Energía en una cuerda ......................................................................................................................... 18
Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo............................................................................................................. 19
PROBLEMAS.........................................................................................................................................................21
1
6 - Ondas mecánicas
6.1 Tipos de ondas mecánicas
Ondas mecánicas son perturbaciones que viajan por un material o sustancia que es el
medio de la onda.
Al viajar la onda, las partículas que forman el medio sufren un desplazamiento.
a) Desplazamiento perpendicular = ondas transversales.
b) Desplazamiento adelante = ondas longitudinales.
c) Desplazamiento perpendicular y adelante = suma de ondas transversales y
longitudinales.
El movimiento ondulatorio puede ser visto con una alteración (momentáneo) del estado del
equilibrio (perturbación) de las partículas que forman el medio.
⇒ Hay una fuerza restauradora que restablece el estado de equilibrio.
En general la perturbación se propaga a una rapidez definida: rapidez de la onda.
La velocidad de propagación es determinada por las propiedades mecánica del medio.
Nota que la rapidez de la onda no es la rapidez del movimiento de las partículas del
medio, pero la velocidad de propagación de la perturbación.
Para producir la perturbación y poner el sistema en movimiento necesita aportar energía,
la fuerza aplicada hace un trabajo.
2
6.2 Ondas periódicas
Una onda transversal en una cuerda es un ejemplo de un pulso de onda.
Si el pulso se repite de manera periódica el producirá una onda periódica.
Un movimiento armónico simple (MAS), de amplitud A y frecuencia angular
1 2π
ω = 2π f y periodo T = =
, producirá una onda senoidal.
f
ω
Cualquier onda periódica puede ser representada con una combinación de ondas senoidales
(principio de Fourier).
Cuando una onda senoidal pasa en un medio, todas las partículas experimentan un MAS
con la misma frecuencia.
Longitud configuración completa = distancia entre un creta y la siguiente = longitud de
onda λ .
La Onda viaja con la velocidad v = cte , y viaja una longitud λ en un tiempo T , o
λ
1
entonces v = . Dado que f = :
T
T
(6.1)
v=λf
3
Ej. 6.1 ondas sonoras
Las ondas sonoras son ondas longitudinales. La velocidad de propagación de la onda
m
depende de la temperatura del aire. A 20o C , v = 344
s
Si f = 262Hz , la frecuencia del Do central sobre un piano
⇒λ =
v 344m s
=
= 1.31m
f
262s -1
El Do alto (soprano) esta a 2 octavas arriba. Cada octava corresponde a un factor de 2 en
frecuencia.
Así para Do alto: f = 4 ( 262Hz ) = 1048Hz
⇒λ =
1.31m
= 0.328m
4
4
6.3 descripción matemática de la onda
Introducimos la función de onda = función matemática que describe la posición de
cualquier partícula en el medio en cualquier instante.
Para un hilo: y = y (x ,t )
Movimiento cíclico de diversos puntos del hilo están
desfasados uno respeto a otro en diversas fracciones de un
ciclo.
= diferencia de fase
La fase del movimiento difiere para puntos distintos.
El desplazamiento en x = 0 :
(6.2)
y ( 0, t) = Asenωt = Asen2π ft
En t = 0 , y = 0 , y el punto se mueve en dirección + y
La perturbación viaja desde x = 0 hacia algún otro punto
x
x , a la derecha en un tiempo t = .
v
Así el movimiento del punto y en un instante t es el
mismo que el movimiento del punto x = 0 en el instante
x
t− .
v
  x 

 x 
(6.3) y ( x, t ) = Asen ω  t −   = Asen  2π f  t −  
 v 
  v 

En términos de T y λ :
(6.4)
  t x 
y ( x, t ) = Asen  2π  −  
  T λ 
5
Definimos el número de onda:
(6.5)
k=
Como λ =
2π
λ
2π
ω
, f =
y v=λf
k
2π
(6.6)
ω = vk
(6.7)
y ( x, t ) = Asen (ωt − kx )
Donde [ω ] =
rad
rad
y [ k] =
s
m
Si la onda viaja en la dirección x < 0 :
(6.8)

x 
y ( x, t ) = Asen  2π f  t +  
 v 

  t x 
y ( x, t ) = Asen  2π  +  
  T λ 
La cantidad ω t ± kx es la fase.
La rapidez de la onda es la rapidez en que tenemos que movernos para mantenernos
junto a un punto con una fase dada.
Para una onda viajando hacia x > 0 , ω t − kx = cte .
Derivando respeto a t : ω = k
dx dx ω
o
=
es la velocidad de la fase.
dt
dt k
6
Ej. 6.2 Onda periódica en una cuerda infinita
La extremidad de la cuerda se mueve como un MAS:
Con f = 2.0Hz , A = 0.075m y v = 12.0
m
.
s
En t = 0 , la posición inicial y = x = 0 .
Las partículas de la cuerda describe un MAS:
Con amplitud A = 0.075m
Frecuencia angular:
ω = 2π f = 2π (2.0Hz)=4π
Periodo: T =
rad
rad
≈ 12.6
s
s
1
= 0.50s
f
Longitud de onda: λ =
v 12.0m s
=
= 6m
f
2.0s −1
El número de onda es:
k=
2π 2π rad
rad
ω 4π rad s
rad
=
= 1.05
ok= =
= 1.05
λ
6.0m
m
v 12.0m s
m
t x
t
x 
La función de onda: y ( x, t ) = Asen2π  −  = ( 0.075m ) sen2π 
−

T λ 
 0.50s 6.0m 
Por ejemplo, en x = 3m
rad


y ( 3m, t ) = ( 0.075m ) sen  12.6
t − π rad 
s


7
Velocidades y aceleraciones transversales de partículas en una onda senoidal
Derivando la función de onda en función de t y guardando x = cte , deducimos la
velocidad transversal de cualquier partícula:
 ∂y 
v y =   = ω A cos ( ωt − kx )
 ∂t  x
(6.9)
Esto implica que la velocidad máxima: v y max = ω A
Derivando una segunda vez deducimos la aceleración transversal:
ay ( x,t ) =
(6.10)
∂ y (x ,t )
2
∂t
2
= −ω 2 Asen (ω t − kx ) = −ω 2 y (x ,t )
Este resultado es el mismo que el MAS.
También podemos derivar en función de x , guardando
t = cte
∂y
= pendiente del hilo
∂x
Primera derivada
∂2 y
= curvatura del hilo
∂x 2
Segunda derivada
∂ y (x ,t )
2
(6.11)
∂x
2
= −k 2 Asen (ωt − kx ) = − k 2 y (x ,t )
De (6.10) y (6.11) y de la relación ω = vk deducimos
que:
∂2 y (x , t ) ∂t 2 ω 2
= 2 = v2
2
2
∂ y (x , t ) ∂x
k
De esta relación, deducimos la ecuación de onda:
∂ y (x , t )
2
(6.12)
∂x
2
1 ∂ y (x , t )
= 2
2
v
∂t
2
8
6.4 Velocidad de una onda transversal
Primer método
La densidad de masa lineal = µ , con unidad [ µ ] =
kg
m
En equilibrio, la tensión en la cuerda es F .
Aplicamos una fuerza constante Fy al extremo (izquierda). Una onda se forma que viaja a
la velocidad v (en el sentido x > 0 ).
Según el teorema impulso-cantidad de movimiento:
Fy t = mv y
En el instante t , el punto izquierdo ha subido de v y t , y el frente de la perturbación (punto
P) a avanzado de vt .
La fuerza total que estira el hilo (la tensión aumenta un poco) tiene las componentes F y
Fy , y amplitud ( F 2 + Fy2 ) . Por tanto:
Fy
F
El impulso transversal es: Fy t = F
vy
v
=
vyt
vt
⇒ Fy = F
vy
v
t
La masa desplazada es m = µ vt de modo que la cantidad de movimiento transversal es
mv y = µ vtvy .
9
Igualando esta expresión al impulso transversal: F
Deducimos la velocidad de la onda: (6.13)
vy
v
v=
t = µ vtv y
F
µ
La velocidad de la onda (propagación de la perturbación) aumenta con la tensión (la fuerza
que restablece el equilibrio) y disminuya con la masa (la inercia).
Segundo método
Aplicamos la segunda ley de Newton,
r
r
∑ F = ma , a un pequeño segmento del
hilo, cuya la longitud al equilibrio es ∆x .
La masa del segmento es: m = µ∆x
Sea F1 y F el pendiente en el punto 1
y F2 y F el pendiente en el punto 2.
Por definición:
(6.14)
F
 ∂y 
 ∂y 
= −  y 2y =  
F
F  ∂x  x + ∆x
 ∂x  x
F1y
 δ y 
(6.15) Fy = F1y + F2 y = F 

 δ x  x + ∆x
(6.16)
 δ y 
F 

 δ x  x + ∆x
δy  
−
 
 δ x x 
 δ y 
δy 
− 



 
∂ y
δy  
 δ x  x+ ∆x  δ x  x  µ ∂ 2 y

−
=
  = µ∆x ∂t 2 o
∆x
F ∂t 2
 δ x x 
2
 δ y 
δ y 
− 
 δ x 
 

 x + ∆x  δ x  x  ∂ 2 y µ ∂ 2 y

(6.17) lim
= 2 =
∆x →0
∆x
∂x
F ∂t 2
Comparando con la ecuación de onda (6.12) deducimos que: (6.18)
v=
F
µ
Nota que en esta deducción no se hace ninguno supuesto sobre la forma de la onda. La
ecuación de onda es válida cual sea su forma.
10
Ej. 6.3 Tensión en una cuerda I
En el ejemplo 6.2, la densidad de masa es: µ = 0.250
Para producir una velocidad v = 12.0
kg
m
m
, necesitamos una tensión (Ec. 6.13):
s
2
kg 
m
m
F = µ v = 0.250 ⋅  12.0  = 36.0kg ⋅ 2 = 36.0N
m 
s 
s
2
Ej. 6.4 Tensión en una cuerda II
Cuerda tensada por peso de 20.0kg
El pozo tiene 80.0m de profundidad.
La masa de la cuerda es 6.0kg
El geólogo abajo manda señales por la cuerda hacia
1
su colega arriba a la frecuencia f = 2.00 .
s
Ignoremos la variación de tensión a lo largo de la
cuerda.
La tensión es: F = 20.0kg ⋅ 9.8
m
= 196N
2
s
La masa por unidad de longitud: µ =
El señale viaja a la velocidad: v =
La longitud de onda (Ec. 6.1): λ =
6.00kg
kg
= 0.0750
80.0m
m
F
=
µ
196N
m
= 51.1
kg
s
0.0750
m
v 51.1m s
=
= 25.6m
f
2.00s −1
Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez aumentara ( F aumenta) y la longitud de
onda aumentara (si no cambia la frecuencia). Podemos comprobar que la velocidad de la
m
onda arriba es de v = 58.3 .
s
11
6.5 Velocidad de una onda longitudinal
Consideramos un fluido de densidad ρ en un tubo
con área transversal A .
En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a
una presión uniforme p
Cuando el pistón se mueve a la velocidad v y , se
inicia un movimiento ondulatorio (onda de
compresión) que se propaga a la velocidad v .
En el tiempo t , el pistón se hay movido de v y t y la
frontera entre la masa en movimiento y la masa en
reposo a avanzado de vt .
La cantidad de fluido en movimiento es: ρ vtA
La cantidad de movimiento longitudinal: ρ vtAvy .
Para determinar el aumento de presión en el fluido en movimiento, consideramos el
módulo de volumen (Capitulo 11 física 1):
(6.19) B = −
∆p
∆V / V0
El módulo de volumen permite determinar de cuantos aumenta la presión para un cambio
de volumen (es negativo porque una disminución de volumen = una aumentación de la
presión. Dicho de otro modo, si ∆V < 0 , ∆p > 0 ).
El volumen original del fluido en movimiento, V0 = vtA , a disminuido de la cantidad
∆V = −vy tA
⇒B=
−∆p
− Av y t Avt
⇒ ∆p = B
vy
v
La presión en el fluido en movimiento a aumentado a p + ∆p . La fuerza ejercida sobre
v
esta parte del fluido es: ( p + ∆p ) A . La fuerza neta es por tanto: A∆p = B y A .
v
12
Segundo el teorema de impulso cantidad de movimiento:
(6.20) B
vy
v
At = ρvtAv y
De (6.20) deducimos la velocidad de la onda de compresión:
(6.21) v =
B
ρ
La velocidad aumenta con el módulo de volumen (la fuerza de regreso al equilibrio) y
disminuya con la densidad (inercia).
Esto se aplica también para sólido y liquido.
Para una onda en una barra sólida, por ejemplo, hay una expansión lateral. Esto cambia un
poco la rapidez de la onda:
(6.22) v =
Y
ρ
Donde Y es el módulo de Young.
En todas estas ecuaciones, el numerador es una propiedad elástica del medio y el
denominador es una propiedad proporcional al la inercia del medio.
13
Ej. 6.5 Longitud de onda de un SONAR
SONAR: sistema para detectar
objetos submarinas
El sistema emite ondas sonoras y
mide el tiempo que tarda la onda
reflejada (eco) al volver al
detector.
La compresidad del agua
(recíproco del módulo de
volumen): k = 45.8 × 10−11 Pa −1
Nota que [ Pa ] = fuerza/área =
m
s 2 = kg . Así que: B = 1 ×1011 Pa
2
m
m ⋅s
45.8
kg ⋅
La densidad del agua a 20o C : ρ = 1.00 ×103 kg m 3
La velocidad de una onda sonora en el agua: v =
 1 
×1011Pa


B
m
45.8 
= 
= 1480
3
3
ρ
1.00 ×10 kg m
s
Esto es 4 veces la rapidez del sonido en el aire (a temperatura ordinaria).
m
v 1480 s
Para una frecuencia f = 262Hz , la longitud de onda es λ = =
= 5.65m .
f
262s−1
En el aire, la longitud de onda será: λ = 1.31m
Los delfines emiten ondas de alta frecuencias f = 0.1MHz = 100000Hz , que da una
longitud de onda de λ = 1.48cm . Con este sonar, los delfines pueden detectar objetos de
tamaño de λ (pero no mucho menores).
En la visualización ultrasónica, las ondas sonoras usadas tienen una frecuencia de
f = 5MHz = 5 ×106 Hz esto permite distinguir rasgos de tamaño λ = 0.3mm .
Ej. 6.6 Sonido en varilla de plomo
Módulo de Young: Y = 1.6 ×1010 Pa y densidad: ρ = 11.3 ×103
La velocidad del sónido: v =
kg
3
m
Y
1.6 ×1010 Pa
m
=
= 1.2 × 103
3
3
ρ
11.3 ×10 kg m
s
14
6.6 Ondas sonoras en gases
Podemos usar la definición del módulo de volumen para deducir la velocidad del sonido en
un gas ideal.
Para presión y volumen infinitesimal: B = −V
dp
.
dV
Si la temperatura es constante, pV = cte.
Sin embargo, cuando un gas se comprime adiabáticamente, no hay flujo de calor de
modo que su temperatura aumenta cuando se comprima y disminuya cuando el se
expande.
Para un gas ideal:
(6.23)
pV γ = cte
Donde γ =
Cp
CV
= es el cociente adimensional de las capacidades caloríficas.
¿Cuando una onda sonora viaja en un gas las compresiones son adiabáticas?
Dado que las conductividades térmicas de los gases son muy pequeñas, resulta que para
frecuencias de sonido ordinarias (20 a 20000Hz) la propagación del sonido es casi
adiabática. Esto legitima usar el módulo de volumen adiabático Bad .
pV γ = cte ⇒
(6.24) Bad = −V
dp γ
V + γ pV γ −1 = 0
dV
dp
=γ p
dV
Para un proceso isotérmico pV = cte ⇒ γ = 1
(6.25) Biso = p
Combinando 6.21 y 6.24:
(6.26) v =
γp
ρ
Para un gas ideal, tenemos que ρ =
pM
RT
Donde M es la masa molecular, R es la constante del gas ideal y T la temperatura
absoluta.
15
(6.27) v =
γ RT
M
Para un gas dado, γ , R y M son constantes de modo que: v ∝ T
La Ec. (6.27) es similar a la rapidez eficaz de las moléculas en un gas ideal: vrms =
3RT
.
M
Esto indica que la velocidad del sonido en un gas es íntimamente relacionada con la
velocidad de las moléculas.
Ej 6.7 Velocidad del sonido en el aire
Para T = 20o C = 293K , M = 28.8 ×10−3
v=
γ RT
=
M
kg
J
, R = 8.315
y γ = 1.40
mol
mol ⋅ K
(1.40)( 8.315J mol ⋅ K )( 293K )
−3
28.8 ×10 kg mol
= 344
m
s
Esto es consistente con la velocidad medida con error de 0.3%
El oído es sensible a gama de frecuencias sonora de 20 a 20000Hz.
⇒ λ = 17m a λ = 1.7cm
Los murciélagos pueden escuchar frecuencias más altas, típicamente 1000kHz
⇒ λ = 3.4mm
Usado como sonar, está ondas son suficientes para detectar insectos.
Nota que están explicaciones, ignoran la naturaleza molecular de un gas. Un gas real se
compone de moléculas en movimiento aleatorio separados por distancias grandes en
comparación con sus diámetros. Las vibraciones de las ondas se superponen al
movimiento térmico aleatorio. A 1atm, una molécula viaja una distancia medio de 10-7 m
entre 2 choques, mientras que la amplitud de desplazamiento producida por un sonido
tenue es 10-9 m.
16
6.7 Energía en el movimiento ondulatorio
Una onda puede transportar energía ¿pero, como se
transporte la energía?
Recuerdamos que Fy F = el pendiente del hilo en
el punto a.
(6.28)
Fy ( x , t ) = − F
∂y (x ,t )
∂x
El signo menos es necesario, porque cuando el pendiente es positivo, la componente y de
la fuerza debe ser negativa.
Cuando el punto a se mueve en dirección y, Fy efectúa un trabajo sobre este punto y por
tanto transfiere energía hacia la derecha.
La potencia P (razón a la que se hace el trabajo) en el punto a es igual a la fuerza
transversal Fy ( x, t ) multiplicada por la velocidad transversal v y ( x, t ) = ∂y (x , t ) ∂t .
(6.29)
P (x , t ) = Fy ( x , t) v y ( x , t ) = − F
∂y ∂y
∂x ∂t
Esta potencia es la razón instantánea con que se transfiere la energía a lo largo del hilo.
Solo se transfiere energía en los puntos en los que el hilo tiene pendiente distinto de 0
δy
(
≠ 0 ), de modo que hay una componente transversal de la tensión, y en los puntos que
δx
δy
el hilo tiene una velocidad transversal distinta de 0 (
≠ 0 ) de modo que la fuerza
δt
transversal puede efectuar un trabajo.
La ecuación 6.29 es valida para cualquier onda.
Para una onda senoidal: y ( x, t ) = A sen (ω t − kx ) ⇒
∂y
∂y
= − kA cos ( ωt − kx ) y
= ω A cos (ω t − kx )
∂x
∂t
(6.30) P (x , t ) = Fkω A2 cos 2 (ω t − kx )
Usando las relaciones: ω = vk y v 2 =
F
µ
(6.31) P (x , t ) = µ F ω 2 A2 cos 2 (ω t − kx )
17
Como la función cos 2 es siempre positiva, la potencia instantánea es siempre positiva o 0
(no hay transferencia de energía).
Nunca se transfiere energía en la dirección opuesta a la de la propagación de la onda.
El valor máximo ( cos 2 = 1 ):
(6.32) Pmax = µ F ω 2 A2
La potencia media:
∫
(6.33) Pmed =
P (x , t ) = µ F ω 2 A 2
periodo
∫
cos 2 =
periodo
1
µ F ω 2 A2
2
La razón de la transferencia de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al
cuadrado de la frecuencia.
Para una onda longitudinal, la potencia media por unidad transversal es I = intensidad.
En un fluido en un tubo:
(6.34) I = 12 ρ Bω 2 A2
En una varilla sólida:
(6.35) I =
ρ Y ω 2 A2
1
2
El echo que P ∝ A2 es general para ondas de todos tipos. Para ondas mecánicas, P ∝ ω 2 ,
pero para ondas EM la potencia no depende de la frecuencia.
Ej. 6.8 Energía en una cuerda
En el Ej. 6.2 y 6.3
2
Pmax
rad 
2

= µ F ω A = ( 0.250kg m )( 36.0N )  4π
 ( 0.075m ) = 2.66W
s 

2
2
Pmed = 12 Pmax = 1.33W
Cuando A = 7.5mm , o
A
1
, Pmed = 2 (1.3W ) = 13.3mW
10
10
18
Ej. 6.9 Ondas sonoras en oído externo
Las ondas que entran en el oído pasan por el canal auditivo antes de llegar al tímpano. En
un adulto, el canal auditivo es un tubo que mido: 2.5cm de largo por 7.0mm de diámetro.
W
Una conversación ordinaria tiene una intensidad: I = 3.2 × 10−6 2
m
La potencia media: Pmed = I × π r 2 = 3.2 ×10−6
W
3.8 ×10 −5 m 2 = 1.2 ×10−10 W
2
m
Esta potencia es absorbida por el tímpano cuyas oscilaciones se transforman dentro del
oído interno en señales eléctricos que se envíen al cerebro.
Un oído sano puede detectar hasta intensidad I = 10 −12
W
o Pmed = 3.8 ×10−17 W
2
m
Para una onda que se propaga en un fluido en un tubo: I = 12 ρ Bω 2 A2
⇒ A=
1
2I
14
ω ( ρB)
Si el fluido es el aire, B = γ p . Para γ = 1.40 y p = 1atm = 1.013 ×10 5 Pa
B = 1.40 ×1.013 × 105 Pa = 1.42 ×10 5 Pa
(1.013 ×10 Pa )(28.8 × 10
5
ρ = pM RT a 20o ⇒ ρ =
−13
kg mol
J 

 8.315
 293K
mol ⋅ K 

19
) = 1.20 kg
m3
Para una onda de frecuencia f = 100Hz
(
)
2 3.2 ×10−6 W m 2
1
⇒ A=
= 2.0 ×10−7 m
1
4
2π 100s −1 
kg 

5
 1.2 m 3  1.42 ×10 Pa 



(
)
(
)
Una persona con oído normal puede detectar desplazamiento muy diminuto de las
moléculas del aire. De hecho un sonido con esta intensidad aún sería audible a una
frecuencia más alta f = 10000Hz . La amplitud sería 0.01veces la anterior o 2.0 ×10 −9 m .
El oído puede detectar el movimiento de moléculas de aire sobre distancia que apenas es
unas cuantas veces mayor que el tamaño de las moléculas.
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Problemas
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