Universidad Carlos III de Madrid Economıa de la Información

Universidad Carlos III de Madrid
Economı́a de la Información
Ejercicios del Tema 2
Problema 1. (Versión alterada del ejemplo en la Sección 3.1.A de Gibbons) Considere un duopolio de Cournot que
opera en un mercado con la función inversa de demanda p(q) = 10 − q, donde q = q1 + q2 es la cantidad agregada
en el mercado. Los costes de la Empresa 1 son c1 (q1 ) = 2q1 con probabilidad 1/3 y c1 (q1 ) = 0 con probabilidad 2/3.
Los costes de la empresa 2 son c2 (q2 ) = (q2 )2 . La empresa 1 conoce sus propios costos, pero no ası́ la Empresa 2
que, sin embargo si sabe los tipos de coste que la Empresa 1 puede tener y sus probabilidades. Todo lo anterior es de
conocimiento común.
(a) Represente esta situación como un juego bayesiano. Es decir, indique el conjunto de jugadores, el conjunto de
sus tipos, las creencias, estrategias y utilidades.
(b) Calcule el equilibrio de Nash Bayesiano del juego anterior. Calcule también los beneficios en el equilibrio.
(c) Considere el tipo de Empresa 1 con costes bajos (c1 (q1 ) = 0), ¿ganarı́a algo si puede informar de manera creı́ble
a la Empresa 2 de cuál es su tipo? ¿Y el tipo con costes altos? ¿Cómo afecta esta posibilidad al equilibrio?
Nota: Es decir, cuando la Empresa 1 informa de su tipo, lo hace con pruebas.
(d) Suponga que la Empresa 1 sólo tiene su palabra (sin pruebas) para convencer a la Empresa 2 de cuál es su
tipo. ¿Tiene algún tipo de incentivo a mentir a la Empresa 2?
Problema 2.(Versión simplificada del ejercicio 3.2 de Gibbons) Considere un duopolio de Cournot que opera en un
mercado con la función inversa de demanda p(q) = a − q, donde q = q1 + q2 es la cantidad agregada en el mercado.
Ambas empresas tienen costes nulos. La demanda es incierta: puede ser alta (a = 12) o baja (a = 6) con idénticas
probabilidades. La información es asimétrica: la Empresa 1 sabe si la demanda es alta o baja, pero no ası́ la Empresa 2.
Todo lo anterior es de conocimiento común. Ambas empresas eligen cantidad de manera simultánea.
(a) Represente esta situación como un juego bayesiano.
(b) Calcule el equilibrio bayesiano y los beneficios en el equilibrio.
Problema 3. (Versión simplificada del ejercicio 3.3 de Gibbons) Considere el siguiente modelo de duopolio de Bertrand
con productos diferenciados e información asimétrica. La demanda de la Empresa i = 1, 2 es qi (pi , pj ) = 10 − pi − bi pj ,
donde j ∈ {1, 2} \ {i}. Ambas empresas tienen costes nulos. El efecto del precio del bien producido por la Empresa 2
en la demanda del bien de la Empresa 1 puede ser grande o pequeño. En concreto, b1 puede tomar los valores 0 y 1
con probabilidades 2/3 y 1/3, respectivamente. Además, b2 = 0. Cada empresa conoce su propio parámetro bi , pero
no el de la competidora. Todo lo anterior es de conocimiento común.
(a) ¿Cuáles son las estrategias de cada empresa?
(b) Calcule el equilibrio bayesiano
Problema 4. Una empresa (Jugadora 1) está establecida en un mercado y debe decidir si construir o no una nueva
planta. Los potenciales beneficios de esta acción dependen de si otra empresa (Jugadora 2) entra o no en el mercado.
La Jugadora 2 tiene incertidumbre acerca de los costes de construir la planta que enfrenta la Jugadora 1, que pueden
ser altos o bajos con probabilidades estimadas en 1/3 y 2/3, respectivamente. La Jugadora 1 conoce sus costes.
Las decisiones de construir o no construir y entrar o no entrar se toman simultáneamente. Los pagos se muestran a
continuación.
Pagos con costes bajos (2/3)
Entrar No Entrar
Construir
1.5,-1
3.5,0
No construir
2,1
3,0
Pagos con costes altos (1/3)
Entrar No Entrar
Construir
0,-1
2,0
No construir
2,1
3,0
(a) Justifique los pagos que aparecen en las tablas.
(b) Encuentre los equilibrios bayesianos de este juego (conviene hacer la representación de la forma extensiva)
Problema 5. Dos agentes pujan en una subasta a sobre cerrado. El Agente 2 valora el objeto en 5 euros, mientras
que el Agente 1 puede ser de dos tipos, A o B, cuya valoración del objeto es de 7 y 4 euros, respectivamente. La
probabilidad de cada tipo es idéntica. Si ambos agentes pujan la misma cantidad, el objeto se asigna a uno de ellos
con probabilidad 0, 5. Las pujas no pueden ser cantidades que contengan fracciones de céntimos de euro.
(a) Encuentre al menos dos equilibrios bayesianos en estrategias puras.
(b) En los equilibrios anteriores muestre que al menos un agente está usando una estrategia débilmente dominada.
1
Problema 6. (Ejercicio 3.6 Gibbons) Considere una subasta al primer precio en sobre cerrado en la que las valoraciones
de los compradores están uniforme e independientemente distribuidas en el intervalo [0, 1]. Muestre que, si hay n
compradores, la estrategia que consiste en pujar (n − 1)/n veces la valoración propia es un equilibrio bayesiano
simétrico.
Nota 1: Estamos de nuevo en el caso de valoraciones privadas con vi = ti , donde la variable aleatoria ti satisface las
condiciones del problema visto en clase.
Nota 2: Busque equilibrios entre las estrategias lineales, es decir, entre l que cumplen bi = αi + βi vi .
Nota 3: Como buscamos un equilibrio simétrico, facilitará los cálculos el suponer que αj = αk y βj = βk para todos
j y k distintos de i a la hora de maximizar la utilidad de i, cuando se calcule su mejor puja. Si, efectivamente,
encontramos un equilibrio simétrico, no habrá habido contradicción.
Problema 7. Suponga que dos sospechosos se enfrentan en un dilema del prisionero, con la complicación añadida de
que un sospechoso no sabe si el otro es un hombre de honor. Se sabe que el sospechoso 1 es un hombre sin honor, pero
no está claro si el sospechoso 2 lo es. Si el sospechoso 2 es un hombre sin honor, los pagos (en años de cárcel) tienen
la forma habitual de este tipo de juegos:
Sospechoso 1
Confesar
No Confesar
Sospechoso 2
Confesar No Confesar
1,1
15,0
0,15
10,10
Por el contrario, si el sospechoso 2 es un hombre de honor preferirı́a pasar 20 años en la cárcel antes que delatar a su
colega. Más aún, incluso el sospechoso 1 no querrı́a delatar a alguien tan honrado. Por tanto, si el sospechoso 2 es un
hombre de honor, los nuevos pagos (que incluyen estas consideraciones y que se suman o restan a los años de cárcel
según las preferencias de cada uno) son:
Sospechoso 1
Confesar
No Confesar
Sospechoso 2
Confesar No Confesar
1,1
5,20
0,15
10,30
La probabilidad de que el sospechoso 2 sea un hombre de honor es p, con 0 < p < 1.
(a) Represente este juego bayesiano como un juego en forma extensiva y encuentre su forma normal.
(b) Identifique los equilibrios de Nash del juego para cada valor de p. Nota: Fı́jese si hay estrategias dominadas.
√
Problema 8. Dos individuos aversos al riesgo con funciones de utilidad u(x) = x, donde x representa el bien
dinero, se enfrentan en una subasta al primer precio. El individuo i (i = 1, 2) valora el bien en vi unidades monetarias.
Esta valoración es información privada, pero es de conocimiento común el que las valoraciones vi se distribuyen
independiente y uniformemente en el intervalo [0, 1].
(a) Encuentre el equilibrio de Nash bayesiano. Nota: busque equilibrios entre las estrategias de la forma bi (vi ) =
αi vi .
(b) ¿Cuál es la utilidad esperada de cada individuo en el equilibrio?
Problema 9. Dos ciudadanos eligen a su presidente entre dos candidatos. Los ciudadanos desean elegir al candidato
más capaz. Pero esto depende de cuál es la situación económica. El candidato 1 es mejor en la situación A y el
candidato 2 es mejor en la situación B. Las utilidades de cada ciudadano son 1 si sale elegido el candidato eficiente, 0
si sale elegido el candidato no adecuado y 1/2 en caso de empate. El ciudadano 1 sabe cuál es el verdadero estado de
la economı́a. Pero el ciudadano 2 sólo sabe que con probabilidad 00 9 el estado es A y con probabilidad 00 1 el estado
es B.
(a) Describir el problema como un juego Bayesiano.
(b) Probar que existen dos equilibrios Bayesianos. En uno de ellos el ciudadano 2 vota por el candidato 1 y en el
otro equilibrio se abstiene.
(c) Probar que uno de los equilibrios es en estrategias débilmente dominadas.