Axioma C.1

Notas de clase 2012
3. Axiomas de congruencia
Es posible establecer la comparación entre segmentos, ángulos y polígonos para definir conceptos
más generales como longitud de segmentos, medida angular, perímetro de polígonos y áreas de
figuras planas. Inicialmente plantearemos los axiomas de congruencia de segmentos y de ángulos.
Axioma C.1: Dados dos puntos A y B, contenidos en una recta 𝓵. Si 𝑨′ es un punto de 𝓵 o de otra
recta 𝓵′ , siempre es posible encontrar un punto 𝑩′ en 𝓵 o en 𝓵′ , de tal forma que ̅̅̅̅
𝐀𝐁 sea
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
congruente con 𝐀′𝐁′. Se simboliza por: 𝐀𝐁 ≅ 𝐀′𝐁′.
Axioma C.2: Dos segmentos congruentes con un tercero, son congruentes entre sí. Es decir, si
̅̅̅̅̅
A′B′ ≅ ̅̅̅̅
AB 𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅
A′′B′′ ≅ ̅̅̅̅
AB entonces ̅̅̅̅̅
A′B′ ≅ ̅̅̅̅̅̅
A′′B′′.
Axioma C.3: Sean ̅̅̅̅
AB y ̅̅̅̅
BC segmentos de una recta ℓ tal que A − B − C y ̅̅̅̅̅
A′B′ y ̅̅̅̅̅
B′C′ segmentos
′
′
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
de la misma recta ℓ o de otra recta ℓ , tal que A − B′ − C′. Si: AB ≅ A′B′.y BC ≅ ̅̅̅̅̅
B′C′.entonces
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
AC ≅ A′C′.
3.1 Implicaciones de los axiomas de congruencia de segmentos
Para cualquier segmento ̅̅̅̅
AB se satisface la congruencia, ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅
BA, pues la definición de
segmento no hace diferencia en la posición o el orden de los puntos de la recta.
Teorema C.1: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia.
Hipótesis: Sea R la relación de congruencia entre segmentos.
Tesis: R es una relación de equivalencia.
Demostración:
Se debe probar que la relación, R, es de congruencia es reflexiva, simétrica y transitiva.

R es reflexiva:
Sea ̅̅̅̅
AB un segmento en una recta 𝓵 y sea C un punto en 𝓵 o en otra recta. Por el axioma C.1,
existe un punto D en una de las semirrectas determinadas por C en ℓ tal que ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐷
̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷
̅̅̅̅ y AB
̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷
̅̅̅̅ , entonces por el axioma C.2 se tiene que AB
̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐵
̅̅̅̅
Si AB

R es simétrica:
Sean ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅̅
A′B′.


Por la propiedad reflexiva se tiene que ̅̅̅̅̅
A′B′ ≅ ̅̅̅̅̅
A′B′.
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
Si A′B′ ≅ A′B′ y AB ≅ A′B′, entonces por el axioma C.2 se tiene que ̅̅̅̅̅̅
A′ B′ ≅ ̅̅̅̅
AB.
1
Notas de clase 2012
R es transitiva:
̅̅̅̅ .
Sean ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅
CD y ̅̅̅̅
CD ≅ EF


̅̅̅̅ ≅ EF
̅̅̅̅,
̅̅̅̅, entonces por la propiedad simétrica se cumple que Si EF
̅̅̅̅ ≅ CD
Si CD
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅
̅
̅̅
̅̅
̅
̅
Si AB ≅ CD y EF ≅ CD, entonces por el axioma C.2 AB ≅ EF.
3.2 Longitud de Segmentos
Las propiedades de la congruencia de segmentos (reflexiva, simétrica y transitiva) permiten
definir una característica común a todos los segmentos congruentes, denominada longitud de un
segmento.
Definición C.1: Se llama longitud de un segmento ̅̅̅̅
𝐀𝐁 a la propiedad común que satisfacen todos
̅̅̅̅
los segmentos congruentes con 𝐀𝐁
̅̅̅̅,EF
̅̅̅̅, … son congruentes entre sí, entonces satisfacen la
Es decir, si los segmentos ̅̅̅̅
AB,CD
̅̅̅̅, CD
̅̅̅̅, EF
̅̅̅̅, … tienen la
propiedad “tener la misma longitud” y recíprocamente si los segmentos AB
misma longitud, son congruentes entre sí. Se establece una equivalencia entre la relación “ser
̅̅̅̅, CD
̅̅̅̅,̅̅̅̅
congruente” y “ tener la misma longitud” entre segmentos. Es decir , AB
EF, son congruentes
si y solo si tienen la misma longitud.
Lo anterior hace necesario establecer la siguiente definición:
Definición C.2: Dada una recta ℓ, existe una correspondencia entre los números reales y los
puntos de ℓ de manera que:
1. A cada punto de ℓ le corresponde exactamente un número real.
2. A cada número real le corresponde exactamente un punto de ℓ. El número asociado con
un punto se llama coordenada del punto. A la recta ℓ se le llama Recta Numérica1.
Definición C.3: Si A y B son puntos de una recta ℓ, con coordenadas 𝑥 y 𝑦 respectivamente; la
distancia entre A y B, simbolizada por d(A, B) o AB, se define como 𝑑(𝐴𝐵) = 𝐴𝐵 = |𝑥 − y| .
Nota: El valor absoluto de un número real n, se designa por |𝑛| y se define como: |𝑛| = 𝑛, para
todo 𝑛≥0 y |𝑛| =−𝑛 para todo 𝑛 < 0. |𝑥 − y| = |𝑦 − x|.
1
Para construir la recta numérica se eligen, arbitrariamente, dos puntos de una recta ℓ: uno correspondiente al origen
y el otro correspondiente al número uno llamado punto unitario. Si consideramos la distancia entre el origen y el
punto unitario como unidad de distancia, es posible localizar el punto que representa cualquier número entero dado.
2
Notas de clase 2012
̅̅̅̅ se define como la distancia entre A y B.
Definición C.4: La longitud de un segmento AB
Definición C.5: Dados los puntos O, N, M, cualesquiera de una recta ℓ. El punto N, está entre O
y M si y sólo si 𝑑(𝑂, 𝑁) + 𝑑(𝑁, 𝑀) = 𝑑(𝑂, 𝑀).
Definición C.6: Si dos segmentos tienen la misma longitud se dice que son congruentes.
Las propiedades de la longitud de segmentos se infieren directamente de las propiedades de la
congruencia de segmentos.




Por la propiedad reflexiva: AB = BA
Por la propiedad simétrica: Si AB = CD, entonces CD = AB.
Por la transitividad: Si AB = CD y CD= EF, entonces AB = EF.
Si A – C – B, E – D – F, AC = ED y CB = DF, entonces AB = EF.
Una vez definida la longitud de segmentos se puede precisar que la suma de las longitudes de los
segmentos, dado que segmentos congruentes tienen la misma longitud y segmentos que tienen la
misma longitud, son congruentes.
Definición C.7: Sean los puntos A, B y C tales que A – C – B, la suma de las longitudes de los
̅̅̅̅ y CB
̅̅̅̅ se define como: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 o 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑑(𝐴, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐵).
segmentos AC
Definición C.8: El punto M biseca a ̅̅̅̅
AB si y sólo si M está entre A y B y 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵. M se llama
̅̅̅̅
punto bisector o punto medio de AB.
A
M
B
Figura 1
Teorema C.2: Si los puntos extremos del segmento ̅̅̅̅
AB tienen las coordenadas 𝑥 y 𝑦, entonces
𝑥+𝑦
existe un punto medio único que tiene la coordenada 2
Demostración (Ejercicio).
Se debe probar que la coordenada del punto medio es
medio y que además es único.
𝑥+𝑦
2
, que efectivamente es ese el punto
Teorema C.3. Dados dos segmentos arbitrarios ̅̅̅̅
AB y ̅̅̅̅
CD, una y sólo una de las tres relaciones
siguientes se satisface: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 > 𝐶𝐷, 𝐴𝐵 < 𝐶𝐷,
3
Notas de clase 2012
3.2Axiomas de congruencia de ángulos
Axioma C.4: Dados un ángulo ∡𝐶𝐴𝐵 en un plano 𝛼 y una recta ℓ en un plano 𝛼′ o en el mismo
plano 𝛼. Si ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐵′ es una semirrecta de ℓ, existe en uno de los semiplanos determinados por ℓ una y
sólo una semirrecta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐶′ en 𝛼 o 𝛼′, tal que ∡𝐶′𝐴′𝐵′ ≅ ∡𝐶𝐴𝐵 y a la vez todos los puntos interiores
de ∡𝐶′𝐴′𝐵′ se encuentran en el semiplano prefijado respecto a la recta ℓ.
Figura 2
Axioma C.5: Si los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐴′𝐵′𝐶′ verifican las congruencias ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵 ′ , ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅
′
′
̅̅̅̅̅̅
𝐴 𝐶 , y ∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐵′𝐴′𝐶′, entonces ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴′𝐵′𝐶′.
Figura 3
4
Notas de clase 2012
El axioma C.4 hace posible que dos ángulos adyacentes sean congruentes y esta posibilidad
determina los ángulos rectos.
Definición C.9. Un ángulo congruente con su adyacente se denomina ángulo recto.
Figura 4. Angulo recto
Definición C.10: Si dos rectas se cortan formando ángulos adyacentes congruentes, se llaman
perpendiculares. Si una recta ℓ es perpendicular a una recta 𝑟, lo denotamos por ℓ ⊥ 𝑟 . La
definición de perpendicularidad se extiende, de manera natural, a segmentos y semirrectas.
Definición C.11: Sea P un punto exterior a una recta ℓ. Si la perpendicular a ℓ que pasa por P
corta a ésta en Q, se dice que PQ es la distancia de P a ℓ. Si P no es exterior a ℓ, entonces PQ =
0.
NOTA: En los axiomas de congruencia de ángulos no está contemplada la suma de ángulos
congruentes, tampoco se puede deducir de ellos la transitividad de la congruencia de ángulos.
Para establecer estas propiedades se requiere de los tres primeros casos de congruencia de
triángulos.
3.3 Clasificación de polígonos
La congruencia de segmentos y la congruencia de ángulos permiten clasificar los polígonos según
las congruencias que satisfagan sus elementos. Así, según la relación de congruencia, entre sus
lados y sus ángulos, los polígonos se clasifican en:
Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados congruentes.
Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados congruentes.
Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos congruentes entre sí.
5
Notas de clase 2012
Definición C12: Una línea poligonal se llama convexa cuando toda ella queda en uno de los
semiplanos que determina la recta de cualquiera de los segmentos que la forman. Y es cóncava en
caso contrario. (ESTA DEFINICIÓN INVOLUCRA EL INTERIOR DEL POLÍGONO)
Polígono regular: Es aquel que es convexo y tiene todos sus lados congruentes entre sí
(equilátero) y todos sus ángulos interiores congruentes entre sí (equiángulo).
Los principales polígonos regulares son: El triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono
regular y el hexágono regular. Otros polígonos aunque no son regulares pueden ser equiláteros
(El rombo) o equiángulos (el rectángulo)
D
G
C
C
E
F
H
A
A
B
E
Q
E
F
P
D
R
G
O
M
B
C
N
A
B
Figura 5
La comparación de los ángulos con el ángulo recto determina una clasificación de los ángulos del
plano. Partiendo de la base que todos los ángulos rectos son congruentes entre sí, tenemos las
siguientes definiciones:
Definición C.13:


Un ángulo menor que su adyacente se llama ángulo agudo.
Un ángulo mayor que su adyacente se llama ángulo obtuso.
Definición C.14: El triángulo que tiene un ángulo recto se llama triángulo rectángulo. Los lados
que forman el ángulo recto se llaman catetos del triángulo y el lado opuesto al ángulo recto se
llama hipotenusa.
Definición C.15: Si un triángulo tiene un ángulo obtuso se dice que el triángulo es obtusángulo.
Definición C.16: Si un triángulo tiene sus tres ángulos agudos, se dice que es acutángulo.
Teorema C.4: Un triángulo obtusángulo tiene al menos un ángulo exterior agudo.
6
Notas de clase 2012
Teorema C.5: Los ángulos exteriores de un triángulo acutángulo son obtusos.
7
Notas de clase 2012
3.4 Criterios de congruencia de triángulos
A partir de la congruencia de segmentos y de ángulos se puede establecer la congruencia de
polígonos. Dado que el polígono más simple es el triángulo, basta establecer la congruencia de
triángulos para llegar a la congruencia de polígonos en general.
Dos triángulos son congruentes si sus respectivos lados y ángulos son congruentes, los ángulos
congruentes y los lados congruentes de triángulos congruentes se llaman elementos homólogos
de triángulos congruentes.
Teorema C.6 (criterio LAL): Si dos triángulos tienen, respectivamente, congruentes dos lados y
el ángulo que forman, entonces son congruentes.
Hipótesis: Sean los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆A′B′C′ con ̅̅̅̅
AC ≅ ̅̅̅̅̅
A′C′, ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅̅
A′B′ y ∡CAB ≅ ∡C′A′B′.
Tesis: ∆ABC ≅ ∆A′B′C′.
Demostración:
Figura 6








Por hipótesis, se tiene que ̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅̅
A′B′, ̅̅̅̅
AC ≅ ̅̅̅̅̅
A′C′, y ∡CAB ≅ ∡C′A′B′
Por el axioma C.5, se tiene que ∢𝐴𝐶𝐵 ≅ ∢𝐴´𝐶´𝐵´ y
∡𝐴𝐶𝐵 ≅ ∡𝐴′ 𝐶 ′ 𝐵 ′
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Para que los triángulos sean congruentes basta probar que BC ≅ B′C′.
̅̅̅̅̅ ,
̅̅̅̅ no es congruente con B′C′
Vamos a demostrar por reducción al absurdo, suponiendo que BC
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ o viceversa
entonces la longitud de B′C′ es mayor que la longitud de BC
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅,
Si la longitud de B′C′´es mayor que la longitud de BC
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Entonces existe un punto D tal que: 𝐵´ 𝐷 𝐶´ y BC ≅ DC′
− −
Entonces los triángulos ∆ABC y ∆A′DC′ satisfacen las condiciones del axioma C.3
̅̅̅̅
AB ≅ ̅̅̅̅̅̅
A′ B′ , ̅̅̅̅
BC ≅ ̅̅̅̅̅
DC′ y ∡CAB ≅ ∡C′A′D
Luego ∡CAB ≅ ∡C′A′D pero por hipótesis ∡CAB ≅ ∡C′A′B′
8
Notas de clase 2012
Puesto que el punto D está en el interior del segmento ̅̅̅̅̅
B′C′, se tiene que desde el mismo
vértice A´ y sobre el mismo lado de la semirrecta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴´𝐶´ existen dos semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴´𝐵´ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴´𝐷´,



que forman con ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴´𝐶´ ángulos congruentes con el ∢𝐶𝐴𝐵 Contradiciendo el axioma C.1.
Por lo tanto la longitud de ̅̅̅̅̅
B′C′´ no es mayor que la longitud de ̅̅̅̅
BC.
De igual manera se puede probar que la tampoco longitud de ̅̅̅̅̅
B′C′´es menor que la longitud de
̅̅̅̅
BC,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
Luego 𝐵𝐶 ≅ 𝐵´𝐶´ Por el teorema C.3
Es decir los triángulos tienen todos sus elementos, lados y ángulos respectivamente
congruentes,
Por tanto, ∆ABC ≅ ∆A′B′C′.
El segundo caso de congruencia se tiene cuando dos ángulos de los triángulos y el lado común a
ellos son congruentes.
Teorema C.7 (criterio ALA): Si dos triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆A′B′C′ satisfacen las siguientes
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
congruencias: ∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐵′𝐴′𝐶′, 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′, ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ , entonces son congruentes.
Hipótesis: Sean los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆A′B′C′, tales que:
∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐵′𝐴′𝐶′, ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′, ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴′𝐵′𝐶′.
Tesis:∆ABC ≅ ∆A′B′C′.
Demostración (Por reducción al absurdo):
Figura 7
Si los triángulos ∆𝐴𝐵𝐶 y ∆A′B′C′ satisfacen las congruencias:
9
Notas de clase 2012
̅̅̅̅̅̅, ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ . Por el criterio LAL, para que los triángulos
̅̅̅̅ ≅ 𝐴′𝐵′
∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐵′𝐴′𝐶′, 𝐴𝐵
̅̅̅̅̅.
̅̅̅̅ ≅ 𝐴′𝐶′
∆𝐴𝐵𝐶 y ∆A′B′C′ sean congruentes, se debe probar que: 𝐴𝐶

̅̅̅̅̅, entonces, 𝐴𝐶 > 𝐴´𝐶´ o 𝐴𝐶 < 𝐴´𝐶´.
̅̅̅̅ no es congruente con 𝐴′𝐶′
Supongamos que 𝐴𝐶

̅̅̅̅̅.
̅̅̅̅ tal que 𝐴𝐷
̅̅̅̅ ≅ 𝐴′𝐶′
Si 𝐴𝐶 > 𝐴´𝐶´, entonces existe un punto D en el segmento 𝐴𝐶
Luego por el criterio LAL, se cumple que ∆ABD ≅ ∆A′B′C′.



Si ∆ABD ≅ ∆A′B′C′. entonces ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ ∡𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ por ser ángulos homólogos de triángulos
congruentes.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y
Por hipótesis tenemos que ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ . Luego existen dos semirrectas diferentes, 𝐵𝐷
′
′
′
′
′
′
⃗⃗⃗⃗⃗ , tales que ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴 𝐵 𝐶 y ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ ∡𝐴 𝐵 𝐶 . Contradiciendo el axioma C.4. En
𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ son coincidentes, lo que implica que 𝐴𝐷
̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐶
̅̅̅̅ .
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝐵𝐶
consecuencia 𝐵𝐷
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ≅ 𝐴𝐶
̅̅̅̅ y 𝐴𝐷
̅̅̅̅ ≅ 𝐴′𝐶′, entonces 𝐴𝐶
̅̅̅̅ ≅ 𝐴′𝐶′. Por propiedad simétrica y axioma C.2.
Si 𝐴𝐷
Así mismo, si suponemos que 𝐴𝐶 < 𝐴´𝐶´ llegamos a una contradicción. Por lo tanto, se concluye
que ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′ y en consecuencia, por criterio LAL, se cumple que ∆ABC ≅ ∆A′B′C′.
NOTA: Más adelante probaremos que si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces
tienen los tres ángulos congruentes, con lo que el criterio anterior cubrirá cualquier caso en que
dos triángulos tengan congruentes dos ángulos y un lado.
Existe el criterio lado-lado-lado, para el cual se requieren un par de resultados que abordaremos
a continuación.
Teorema C.8: Sean A, O, B puntos no colineales en un plano 𝛼. Una semirrecta de origen O y
̅̅̅̅ .
contenida en 𝛼 está contenida en el interior del ∡𝐴𝑂𝐵 sí y sólo si corta al segmento 𝐴𝐵
Demostración (Ejercicio).
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ semirrectas de origen O y tales que las semirrectas 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Teorema C.9: Sean ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴, 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ . El ángulo ∡𝐴𝑂𝐵 está
están contenidas en un mismo semiplano determinado por la recta 𝑂𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ está contenida en el interior del ángulo
contenido en el ángulo ∡𝐴𝑂𝐶 si y sólo si la semirrecta 𝑂𝐵
∡𝐴𝑂𝐶.
Demostración (Ejercicio).
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ semirrectas de origen O tales que las dos últimas están
Teorema C.10: Sean ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴, 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂′𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ semirrectas de
⃡⃗⃗⃗⃗ Sean ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
contenidas en un mismo semiplano determinado por 𝑂𝐴
𝑂′𝐴′, 𝑂′𝐵′
origen O’ en las mismas condiciones y ∡𝐴𝑂𝐵 contenido en ∡𝐴𝑂𝐶. Si ∡𝐴𝑂𝐵 ≅ ∡𝐴′𝑂′𝐵′ y
∡𝐵𝑂𝐶 ≅ ∡𝐵′𝑂′𝐶′, entonces ∡𝐴′𝑂′𝐵′ está contenido en ∡𝐴′𝑂′𝐶′ y ∡𝐴𝑂𝐶 ≅ ∡𝐴′𝑂′𝐶′.
Demostración:
10
Notas de clase 2012
O
A
A'
O'
D
D'
C
B
C''
C'
B'
Figura 8
Supongamos que ∡𝐴𝑂𝐶 y ∡𝐴′𝑂′𝐶′ no son congruentes. Por el axioma C.4 existe una semirrecta
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de origen 𝑂′ y contenida en el mismo semiplano determinado por ⃡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂′𝐶′′
𝑂′𝐴′ tal que:
∡𝐴𝑂𝐶 ≅ ∡𝐴′𝑂′𝐶′′.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂′𝐶′′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son coincidentes.
Debemos probar que 𝑂′𝐶′






̅̅̅̅̅̅ ≅ 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ corta a 𝐴𝐶
̅̅̅̅ . Sean ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ y 𝑂′𝐶′′
̅̅̅̅ .
Sean D el punto donde la semirrecta 𝑂𝐵
𝑂′𝐴′ ≅ 𝑂𝐴
′
Por el criterio LAL de congruencia de triángulos tenemos que ∆𝐴𝑂𝐶 ≅ ∆𝐴 𝑂′𝐶′′ luego ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅
̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′′.
Sea 𝐷′ el punto de ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′′ que cumple que ̅̅̅̅
𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐷′. Como ̅̅̅̅
𝐴𝐷 < ̅̅̅̅
𝐴𝐶 resulta que 𝐷′está entre
𝐴′y 𝐶′′.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Esto se debe a que ∆𝐴𝑂𝐷 ≅ ∆𝐴′ 𝑂′𝐷′, dado que ∡𝑂𝐴𝐷 ≅
Por otro lado 𝐷′ está en 𝑂′𝐵′
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅̅̅
∡𝑂′𝐴′𝐷′, 𝑂𝐴
𝑂′𝐴′ y 𝐴𝐷
𝐴′𝐷′.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂′𝐷′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son
Por tanto ∡𝐴O𝐷 ≅ ∡𝐴′O′𝐷′, y por axioma C.4, en consecuencia 𝑂′𝐵′
coincidentes. Esto implica que ∡𝐴′O′𝐷′, está contenido en ∡𝐴′O′C′′, y ∡𝐴′O′B′, está
contenido en ∡𝐴′O′C′′ .
Finalmente observamos que los triángulos ∆COB y ∆C′′O′B′ tienen ∡OCA ≅ ∡O′C′′A′ y sus
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
lados adyacentes congruentes, luego ∡𝐵 ′ 𝑂′𝐶 ′ ′ ≅ ∡𝐵𝑂𝐶 ≅ ∡𝐵 ′ 𝑂′𝐶 ′ y por consiguiente 𝑂′𝐶′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son coincidentes.
y 𝑂′𝐶′′
En consecuencia ∡𝐴OC ≅ ∡𝐴′O′C′, y ∡𝐴′O′𝐵′ está contenido en el ángulo ∡𝐴′O′C′,
Teorema C.11: En un triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
̅̅̅̅ ≅ BC
̅̅̅̅ y ∡𝐶𝐴𝐵 opuesto al lado CB
̅̅̅̅ y ∡𝐶𝐵A
Hipótesis: Sea ∆ABC un triángulo isósceles con AC
̅̅̅̅
opuesto al lado CA.
11
Notas de clase 2012
Tesis: ∡𝐶𝐴𝐵 ≅ ∡𝐶𝐵A
Demostración:
C
B
A
Figura 9



Consideramos el triángulo dado de dos formas, como el ∆𝐴𝐶𝐵 y. ∆BCA
Por hipótesis y por el axioma C.4 se satisfacen las siguientes congruencias: ̅̅̅̅
AC ≅ ̅̅̅̅
BC, ̅̅̅̅
CB ≅
̅̅̅̅
CA y ∡𝐴𝐶𝐵 ≅ ∡𝐵𝐶𝐴.
Luego por el axioma C.5 se cumple que ∡𝐶𝐴𝐵 ≅ ∡𝐶𝐵𝐴.
NOTA: El lado común a los ángulos congruentes de un triángulo isósceles se llama base del
triángulo isósceles y los ángulos opuestos a los lados congruentes se llaman ángulos de la base
del triángulo.
Teorema C.12 (criterio LLL): Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente,
congruentes, entonces son congruentes.
Tesis:∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶′.
Demostración:
D
A
A'
B
B'
C
C'
Figura 10
12
Notas de clase 2012


⃡⃗⃗⃗⃗ , 𝐵)
Por hipótesis ̅̅̅̅
𝐴𝐶 ≅ ̅̅̅̅̅
𝐴′𝐶′. Por el axioma C.4, en el semiplano opuesto al semiplano (𝐴𝐶
existe una y sólo una semirrecta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 tal que ∡𝐶𝐴𝐷 ≅ ∡𝐶 ′ 𝐴′ 𝐵′.
̅̅̅̅̅̅.
̅̅̅̅ congruente con 𝐴′𝐵′
Por el axioma C.1 existe 𝐴𝐷
Por el criterio LAL, ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′
Como ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ y ̅̅̅̅̅̅
𝐴′𝐵′ ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐷, entonces ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅
𝐴𝐷. Por lo tanto ∆𝐴𝐵𝐷 es un triángulo
isósceles. En consecuencia ∡𝐴𝐵𝐷 ≅ ∡𝐴𝐷𝐵.
En forma análoga se prueba que ∡𝐷𝐵𝐶 ≅ ∡𝐵𝐷𝐶.
Por teorema C11, se cumple que ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐴𝐷𝐶. Luego ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐶. Por criterio LAL.

Como ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴𝐷𝐶 y ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′, entonces ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′.




Teorema C.13: La relación de congruencia de ángulos es una relación de equivalencia.
Demostración (Ejercicio).
13
Notas de clase 2012
3.5 Amplitud de un Ángulo
Definición C.17: Llamaremos amplitud de un ángulo ∡𝐴𝐵𝐶 a la propiedad común de todos los
ángulos congruentes con él.
La definición de amplitud implica que ángulos congruentes entre sí tienen la misma amplitud y
ángulos que tienen la misma amplitud son congruentes. La amplitud del ∡𝐴𝐵𝐶, la simbolizamos
por amp ∡𝐴𝐵𝐶.
Propiedades de la amplitud de ángulos
Las propiedades de la congruencia de ángulos se pueden extender a propiedades de la amplitud
de los ángulos así:




Por axioma C.4 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐶𝐵𝐴.
Por la simetría de la congruencia de ángulos, 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑂𝑃𝑄, entonces
𝑎𝑚𝑝 ∡𝑂𝑃𝑄 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝐵𝐶.
Por la transitividad de la congruencia de ángulos, si 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑂𝑃𝑄 y
𝑎𝑚𝑝 ∡𝑂𝑃𝑄 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑅𝑆𝑇, entonces 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑅𝑆𝑇.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ semirrectas en el interior del
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂′𝐶′
Dados los ángulos ∡𝐴𝑂𝐵 𝑦 ∡𝐴′𝑂′𝐵′ y 𝑂𝐶
∡𝐴𝑂𝐵 𝑦 ∡𝐴′𝑂′𝐵′ respectivamente, tales que 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴′𝑂′𝐶′ y 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐶𝑂𝐵 =
𝑎𝑚𝑝 ∡𝐶′𝑂′𝐵′, entonces 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴′𝑂′𝐵′.
⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ tales que 𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ esté en el interior del ∡𝐴𝑂𝐶,
Definición C.18: Dadas tres semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴, 𝑂𝐵
definimos la suma de las amplitudes por: 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐵 + 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐵𝑂𝐶 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐶,de otra
forma: ∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝐵𝑂𝐶 = ∡𝐴𝑂𝐶.
Para ángulos no consecutivos la suma tiene sentido cuando sumamos la amplitud de los ángulos.
⃗⃗⃗⃗⃗ en
Si ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝑃𝑄𝑅, son dos ángulos en el plano, por el axioma C.4, existe una semirrecta 𝑂𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ opuesto a (𝑂𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴), tal que ∡𝐵𝑂𝐶 ≅ ∡𝑃𝑄𝑅.
el semiplano determinado por la semirrecta 𝑂𝐵
Por tanto podemos definir la suma de ángulos ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝑃𝑄𝑅 y como: 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐵 +
𝑎𝑚𝑝 ∡𝑃𝑄𝑅 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐵 + 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐵𝑂𝐶, con ∡𝐵𝑂𝐶 ≅ ∡𝑃𝑄𝑅 y ∡𝐵𝑂𝐶 consecutivo al ∡𝐴𝑂𝐵.
En forma simplificada: ∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝑃𝑄𝑅 = ∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝐵𝑂𝐶 = ∡𝐴𝑂𝐶.
Definición C.19: Dados los ángulos ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝑃𝑄𝑅 tales que ∡𝐴𝑂𝐵 < ∡𝑃𝑄𝑅, existe un ángulo
∡𝑀𝑁𝑆 tal que, 𝑎𝑚𝑝 ∡𝐴𝑂𝐵 + 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑀𝑁𝑆= 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑃𝑄𝑅.
.
14
Notas de clase 2012
3.6 Ángulos suplementarios y complementarios
Definición C.20: Dos ángulos se dice que son suplementarios si la suma de sus amplitudes es
igual a la amplitud de un ángulo llano.
DefiniciónC.21: Dos ángulos se dice que son complementarios si la suma de sus amplitudes es
igual a la amplitud de un ángulo recto.
Teorema C.14: Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes son congruentes.
Demostración (Ejercicio).
Teorema C.15: Los ángulos complementarios de ángulos congruentes son congruentes.
Demostración (Ejercicio).
Corolario: La suma de dos ángulos rectos es un ángulo llano.
Teorema C.16: Si dos rectas que se intersecan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro
ángulos rectos.
Demostración (Ejercicio).
Definición C.22: Si dos ángulos consecutivos ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡BOC son congruentes decimos que la
⃗⃗⃗⃗⃗ es la bisectriz del ángulo ∡𝐴𝑂𝐵.
semirrecta 𝑂𝐵
A
B
bisectriz
O
C
Figura 11
Teorema C.17: Si dos ángulos son congruentes, los ángulos adyacentes a esos ángulos son
congruentes.
Demostración (Ejercicio).
Teorema C.18: Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes, entonces los lados opuestos a esos
ángulos son congruentes.
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Notas de clase 2012
Demostración (Ejercicio).
Definición C.23: Dos polígonos son congruentes si tienen respectivamente sus lados y sus
ángulos congruentes. Es decir, para que dos polígonos sean congruentes ellos deben tener el
mismo número de lados y de ángulos.
Teorema C.19: En un plano, en un punto dado de una recta, existe exactamente una recta que es
perpendicular a la recta dada.
⃡⃗⃗⃗⃗ y 𝑃𝐷
⃡⃗⃗⃗⃗ en P tal que 𝐴𝐵
⃡⃗⃗⃗⃗ ⊥
⃡⃗⃗⃗⃗ una recta que interseca a 𝐴𝐵
Hipótesis: Sea P un punto de la recta 𝐴𝐵
⃡⃗⃗⃗⃗ .
𝑃𝐷
⃡⃗⃗⃗⃗ es única.
Tesis: 𝑃𝐷
Demostración (Por reducción al absurdo):
D
A
P
T
B
Figura 12

Sea P un punto de la recta ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 y ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷 una recta que interseca a ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 en P tal que ⃡⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ⊥ ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷.

Supongamos que ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷 no es única.

⃡⃗⃗⃗ ⊥ ⃡⃗⃗⃗⃗
Si ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷 no es única, entonces existe otra recta ⃡⃗⃗⃗
𝑃𝑇 tal que𝑃𝑇
𝐴𝐵 .

⃡⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑃𝐷
⃡⃗⃗⃗⃗ . y si el ángulo ∡𝑀𝑂𝑁 es un ángulo recto cualquiera, entonces
Puesto que 𝐴𝐵
𝑎𝑚𝑝 ∡𝐷𝑃𝐵 = 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑀𝑂𝑁.

Puesto que ⃡⃗⃗⃗
𝑃𝑇 ≠ ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷, entonces 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑇𝑃𝐵 ≠ 𝑎𝑚𝑝 ∡𝑀𝑂𝑁 y por tanto ⃡⃗⃗⃗
𝑃𝑇no es
⃡⃗⃗⃗⃗ .
perpendicular a la recta 𝐴𝐵
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Notas de clase 2012
En consecuencia ⃡⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐷 es única y el teorema queda demostrado.
Definición C 24: Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si es perpendicular a toda
recta que esté en el plano, y que pase por la intersección de la recta dada y el plano.
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