Prof. Sánchez - FQBF

UNSL
MATEMÁTICAS
NOCIONES ELEMENTALES DE LÓGICA Y TEORÍA
DE CONJUNTOS
Prof. Roberto Sánchez
2015
Proposiciones simples. Conectivos: proposiciones compuestas
Proposición (enunciado, sentencia) es una cierta combinación de palabras a la cual el concepto
habitual de verdad (V) o falsedad (F) le puede ser aplicado. Naturalmente, esta calificación debe ser
objetiva.
Esta definición matemática para los términos subrayados no se aparta, en esencia, del significado que
da el diccionario de la lengua española. Así en el Manual Sopena, tomos I y II de Editoriales Reunidas
S.A., Bs.As. l965, se lee (entre otras acepciones); Proposición: “expresión de un juicio entre dos términos,
sujeto y predicado, que afirma éste de aquel”, “enunciación de una verdad ya demostrada o que se ha de
demostrar”; Enunciado: “lo que se enuncia”; Sentencia: “dictamen, parecer, juicio”.
Las proposiciones que nosotros consideraremos serán solo aquellas llamadas proposiciones simples y
cerradas, que constan de un único predicado y un sujeto (explícito o no) del cual se dice algo.
Nota: Obviamente, si hablamos de proposiciones SIMPLES y CERRADAS, es porque habrá otras que no
son simples y no son cerradas, a las cuales no referiremos más adelante.
Una proposición simple y cerrada es, por ejemplo:
Hoy es Domingo
que será V o F según el día de la semana en que nos encontremos. En cambio no es proposición:
Cierre la puerta
aunque es simple porque consta en efecto de un único predicado y un sujeto, pero a la cual no le podemos
aplicar el concepto habitual de V o F. Distinto sería si ponemos:
Cerró la puerta
que si es proposición simple como es fácil ver.
Mañana lloverá
es también una frase simple pero hoy no podemos asignarle un valor de verdad o falsedad.
Las cosas no son siempre tan sencillas como en los ejemplos anteriores. Si decimos, por ejemplo, que
una persona expresa:
Yo estoy mintiendo
y suponemos que esto es verdad, entonces ella está mintiendo y su proposición es falsa; si en cambio
suponemos que es falso, ella está mintiendo y su proposición es verdadera. En este caso la V o F está
subordinada a una opinión o creencia, esto es, es subjetiva y no trataremos estos casos.
Otras veces la dificultad es de diferente carácter. Si aceptamos que un peluquero de pueblo, el señor
X, afeita solamente a aquellos pobladores que no se afeitan ellos mismos y decimos:
1
El señor X se afeita el mismo (o su negación)
El señor X no se afeita el mismo
se nos platea un dilema sobre la verdad o falsedad de estas afirmaciones. Si nos quedamos con la primera,
estamos aceptando que el señor X afeita a un poblador que se afeita a si mismo, con lo cual negamos la
hipótesis inicial; si en cambio nos quedamos con la segunda afirmación, el señor X no afeitaría a un
poblador que no se afeita a si mismo, contrariando también la hipótesis inicial..
No trataremos tampoco en esta elemental Introducción, casos como este último.
Afortunadamente la lógica clásica margina estas controvertidas cuestiones al apoyarse en los tres
pilares que son las leyes de la lógica Aristotélica:
1ª.- Ley de identidad. Una cosa es ella misma;
2ª.- Ley del término medio excluido. Una proposición o es V o es F. Este es el principio
que habitualmente se designa como del “tercero excluido” (tertio excluso);
3ª.- Ley de no contradicción. Una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa.
En la lógica simbólica las proposiciones a que hacemos referencia son habitualmente denotadas por
las letras p, q, r, ..., y sus respectivas negaciones por
p,
q,
r...., y donde el símbolo de negación ( )
es usado en el sentido de que si p es un enunciado verdadero, entonces
p es falso, e inversamente.
1.2- Cuando dos o más proposiciones simples y cerradas se combinan para formar otra proposición,
ésta se llama compuesta y cerrada.
Los lazos o nexos de unión entre las proposiciones simples consideradas, pueden ser de diferente tipo y
son llamados conectivos lógicos (o simplemente conectivos); y entre los más usados se destacan:
Conjunción: “y”, cuyo símbolo es
. Se usa de la siguiente
manera, “…..y……” donde en
lugar de los puntos se colocan los enunciados simples. Si p y q representan a dichos enunciados,
simbólicamente se escribe p
q.
Disjunción incluyente: “o”, cuyo símbolo es
. Se usa de la siguiente manera, “…..o……” donde en
lugar de los puntos se colocan los enunciados simples. Si p y q representan a dichos enunciados
simbólicamente se escribe p
q . Esta disjunción tiene sentido incluyente, esto es, con el alcance de “y/o”
Disjunción excluyente: “ o-o” , cuyo símbolo es
. Se usa de la siguiente manera, “o……o……” donde
en lugar de los puntos se colocan los enunciados simples. Si p y q representan a dichos enunciados,
simbólicamente se escribe p
q . Esta disjunción tiene sentido excluyente, esto es, sólo uno de los dos.
2
Condicional: “si-entonces”,cuyo símbolo es
. Se usa de la siguiente manera, “si...entonces…” donde en
lugar de los puntos se colocan los enunciados simples. Si p y q representan a dichos enunciados
simbólicamente se escribe p
q. Y se lee “si p entonces q”.
Con respecto a la relación gramatical así construida, se dice que p es el antecedente o primer término y q
el consecuente o segundo término de esa relación.
Equivalencia: “si y solo si”, cuyo símbolo es
. Se usa de la siguiente manera, “..…..si y sólo si……”
donde en lugar de los puntos se colocan los enunciados simples. Si p y q representan a dichos enunciados
simbólicamente se escribe p
q.
Y se lee “ p si y sólo si q”.
Este conectivo es llamado también bicondicional. Esta última denominación se refiere a que en la
construcción aparecen dos condicionales: el directo,
p
q
,
precisamente es la conjunción de los condicionales mencionados [( p
y el recíproco q
q)
(q
p. Más
p ) ]. El símbolo
usado reproduce esta circunstancia, basta para recordarlo con “tapar” primero la punta izquierda del
símbolo
y ( ) luego la derecha para obtener así la conjunción mencionada.
Cuando se trabaja con proposiciones compuestas es costumbre recurrir a paréntesis, corchetes y llaves
para agruparlas, como se hace en el lenguaje común por medio de los signos de puntuación y,
naturalmente como en este caso, la distinta ubicación del símbolo usado conduce a proposiciones
diferentes.
Ejemplos:
1) Las leyes Aristotélicas, se expresan en lenguaje simbólico:
1ª.- Ley de identidad. Una cosa es ella misma.
Simbólicamente p, obviamente
2ª.- Ley del término medio excluido. Una proposición o es V o es F.
Simbólicamente p
( p)
3ª.- Ley de no contradicción. Una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa.
Simbólicamente
(p
p)
2) Las proposiciones simples p: un triángulo es equilátero, q: un triángulo es isósceles, conducen a la
proposición compuesta:
p
q , que leemos, un triángulo es equilátero y un triángulo es isósceles (conjunción).
3
Nota: La conjunción anterior, en nuestro lenguaje cotidiano, es equivalente a decir
un triángulo es equilátero e isósceles , pero en cierta manera, en esta expresión, se diluyen cada uno de
los enunciados simples y el conectivo usado que, por ahora, queremos destacar.
3) Sea, p: un entero es par, q: un entero es impar, resulta la proposición compuesta:
p
q, que leemos un entero es par o un entero es impar (disjunción).
4) Para p: dos rectas se cortan, q: los ángulos opuestos (por el vértice) son congruentes, conducen a la
proposición compuesta:
p
q, que leemos,
si dos rectas se cortan, entonces los ángulos opuestos son congruentes
(condicional)
5) Las proposiciones simples p: un triángulo es equilátero, q: un triángulo es equiángulo, permiten la
proposición compuesta:
p
q , que leemos, un triángulo es equilátero si y sólo si un triángulo es equiángulo (equivalencia)
o (bicondicional).
Debemos observar que en ninguno de los ejemplos propuestos hemos abierto juicio sobre la verdad o
falsedad de las proposiciones intervinientes y/o resultantes; nos hemos limitado a enunciarlas.
1.- Ejercicios
1.- Sean las proposiciones simples, p : tengo un perro ; q : tengo un gato. Escribir en forma simbólica las
siguientes expresiones:
a) Tengo un perro y tengo un gato.
b) O tengo un perro o tengo un gato.
c) Tengo un gato o no tengo un perro.
d) Si tengo un gato entonces tengo un perro.
e) Tengo un perro si y sólo si tengo un gato.
f) No es cierto que, tengo un perro y tengo un gato.
g) Si no tengo un perro entonces no tengo un gato.
h) Si no tengo un perro y no tengo un gato, entonces, tengo un perro o tengo un gato.
4
2.- Sean las proposiciones simples, p : a es paralela a b ( a // b) ; q : a es paralela a c ;
r : t corta a a ; s : b es paralela a c . Escribir las siguientes proposiciones dadas en forma simbólica.
a)
q
b)
r
c) p
q
d) p
r
e) q
r
f) ( p
s)
g) ( p
s)
h)
q
p
q
q
i) [ ( r )
p
q)]
s
3.- Escribir cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica, identificar en las mismas
cada uno de los enunciados simples y decir si se trata de: (a) una conjunción, (b) una disjunción y (c) un
condicional.
a) Un número complejo es real o no real.
b) La recta l es paralela a la recta m y perpendicular a la recta n.
c) Un triángulo es isósceles o equilátero.
0e) Un entero x es par o impar.
f) Un triángulo ABC es equilátero, es isósceles y equiángulo.
4.- Poner en palabras cada una de las siguientes proposiciones, considerando p, q y r del ejercicio 2.
a) p
(q
r)
b) ( p
q)
r
c) (
p)
d) {[ p
(q
(
r)
q)]
[q
(
p ) ]}
(p
q)
Nota. En ninguno de los ejercicios se pide decisión sobre la verdad o falsedad de las proposiciones
simples y/o compuestas.
5
Tablas de verdad
Una proposición compuesta es una nueva proposición y, como tal, tiene sólo un valor de verdad (V)
o falsedad (F).
Nota: Todas las proposiciones o enunciados con las que trabajaremos a continuación son cerrados.
Como es natural, el valor de verdad (V) o falsedad (F) de una proposición compuesta depende del
valor de verdad o falsedad de las proposiciones componentes y del significado del (de los) conectivo (s)
empleado (s).
Con estos elementos se confeccionan, para mejor visualizarlas, tablas con los valores de verdad o
falsedad para las proposiciones compuestas en función de las distintas maneras de combinar los valores
de verdad o falsedad de las proposiciones simples componentes y de la interpretación que le demos al
conectivo usado; a estas tablas se les denominan tablas de verdad.
Conjunción: Como es de sentido común, una conjunción será verdadera si son verdaderas las dos
proposiciones componentes; y será falsa en todo otro caso.
Por ejemplo sean los enunciados simples : p : tengo un perro , q: tengo un gato , como ya hemos visto
la proposición p
q dirá “ tengo un perro y tengo un gato” y es natural pensar que la nueva proposición
será verdadera únicamente si tengo los dos animales. Por lo tanto la tabla de verdad correspondiente a la
conjunción es la siguiente.
CONJUNCIÓN
Nota:
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Varias cosas por decir. La tabla de verdad de la conjunción es la anterior no por el ejemplo del
perro y el gato sino porque así la define la lógica, independientemente de cuales sean los enunciados
simples. De todas maneras, en este caso, la definición lógica de la tabla coincide con nuestro sentido
6
común, no en todos los casos, para otras tablas, será así. Además, para memorizar la tabla basta con tener
en cuenta que una conjunción es verdadera sólo si son verdaderas cada una de las proposiciones simples
que la forman (fila resaltada en la tabla).
Disyunción incluyente: En cambio una disyunción incluyente y atendiendo al sentido asignado al símbolo
(y/o), es verdadera si lo es al menos una de sus componentes y falsa solamente cuando las dos son
falsas.
Trataremos mediante un ejemplo de aclarar este concepto, esperamos que así sea.
Supongamos que una empresa solicita por el diario un operario mediante el siguiente anuncio. “...para
cubrir un cargo en importante empresa se solicita un ingeniero y/o técnico en electricidad ...” . Esto quiere
decir que si la persona que se presenta es ingeniero sirve, si es técnico también y si además es ingeniero y
técnico también puede ocupar el cargo. Este es el sentido del conectivo
. Si las dos proposiciones
simples son verdaderas la disjunción incluyente también lo es.
Por lo tanto la tabla de verdad de la disjunción incluyente es:
DISJUNCIÓN INCLUYENTE
p
q
p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Disyunción excluyente: A diferencia de la disyunción incluyente la excluyente se denomina así porque
excluye el caso de ser verdadera cuando los dos enunciados que la componen sean verdaderos.
Veamos si podemos aclarar mediante un ejemplo. Supongamos que una mamá va de compras al
supermercado con su hijo Pablito, como muchos niños Pablito comienza a pedirle a su mamá que le
compre un dulce y la mamá le dice “ Pablito, te voy a comprar helados o te voy a comprar caramelos, que
quieres” (usa una disyunción incluyente
). Si bien Pablito no conoce nada de lógica, si conoce lo que le
gusta y rápidamente contesta “las dos cosas”. Su mamá, que no está dispuesta a comprarle las dos
golosinas, cambia inmediatamente la proposición
por “ah no,
o te compro helados o te compro
caramelos” . Está usando aquí una disyunción excluyente ( ) y el pobre Pablito tendrá que elegir una de
las dos golosinas.
7
La tabla de verdad de la disyunción excluyente es:
DISJUNCIÓN EXCLUYENTE
Una disyunción
p
q
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
excluyente es verdadera cuando lo es sólo uno de los enunciados simples que la
componen.
Condicional: Quizás sea este conectivo uno de los más importantes en el quehacer matemático ya que,
todo teorema o lema o propiedad se puede expresar mediante un condicional o mediante la conjunción de
dos condicionales.
Habíamos anticipado que las tablas de verdad no siempre se llevarían muy bien con nuestro sentido
común y la correspondiente al condicional es un ejemplo de ello.
En el condicional, el uso corriente es solamente una guía parcial. En efecto, la costumbre lo asocia a la
relación “causa-efecto” interpretando que el condicional p
q equivale, en el lenguaje ordinario, a “si
se produce la causa p, entonces resulta el efecto q”; pero el alcance matemático de esta relación entre el
antecedente p y el consecuente q se aparta algo del lenguaje habitual por lo siguiente. Cuando decimos:
Si llueve, entonces Juan estudia
con antecedente p: llueve, y consecuente q: Juan estudia, nadie duda que la proposición es falsa si hay un
día lluvioso en el cual Juan no estudia, esto es, si p es verdad (V) y q es falso (F). Pero si p es falso (F), el
enunciado nada dice sobre el hábito de Juan de estudiar o nó en los días soleados, de modo que la
proposición es siempre verdadera tanto si Juan estudia como si Juan no estudia. Esto lleva a decir que
“todo condicional de antecedente falso es trivialmente verdadero”. Y como es obvio, la proposición es
verdadera si son verdaderos antecedente y consecuente.
Todavía insistimos más en el hecho de que en el condicional, p y q no necesitan estar relacionados apartándonos de su aparente analogía con causa-efecto-; y es en este sentido un condicional (matemático)
la proposición
Si el sol no brilla hoy entonces 1+1=3
8
Asignar un valor de verdad a tal enunciado puede parecer antinatural, a pesar de lo cual lo posee; y
por lo dicho antes , la proposición es falsa (porque es falso el consecuente) si el sol brilla, y es verdadera
(porque es falso el antecedente) si el sol no brilla. Esto es, la proposición es verdadera si es verdad que el
sol no brilla; o, en otras palabras, el día que el sol no brille (no brille por si mismo no porque lo tapan las
nubes), 1+1 podrá ser 3, 25 o cualquier cosa.
Puede ser que con esto ya sea suficiente y que el lector haya asimilado, en toda su extensión, lo que
hemos querido transmitirle respecto a este conectivo; puede ser también que, suponer que no es así y que
debemos insistir un poco más sea sólo un prurito de quienes exponemos el tema. En función de esto
último y, abusando de la paciencia del lector, es que decidimos dar otro ejemplo.
Sean los siguientes enunciados simples: p : Ud. se llama Juan ; q : yo le regalo $10 .
El condicional p
q se leerá si Ud. se llama Juan entonces yo le regalo $10.
Supongamos ahora que le decimos esta proposición a una persona y analicemos cada uno de los
posibles casos.
1° Si la persona se llama Juan ( p es V ) y yo le regalo los $10 ( q es V) , es evidente que cumplí y por lo
tanto la proposición es verdadera (V).
2° Si la persona se llama Juan ( p es V ) y yo NO le regalo los $10 ( q es F) , evidentemente no cumplí y
la proposición es falsa (F).
Ahora viene lo complicado y es, que pasa si la persona NO se llama Juan.
Si la persona NO se llama Juan ( p es F) , le regale (q es V) o no le regale los $10 ( q es F) yo no mentí,
ya que lo que me comprometía a regalarle los $10 es que el se llamara Juan, en mi proposición yo nada
dije sobre que haría si el NO se llamaba Juan.
Por último, yo habría mentido al regalarle los $10 a una persona que NO se llama Juan si hubiera dicho, “
si Ud. se llama Juan entonces yo le regalo $10 y si no se llama Juan entonces no se los regalo” pero esta
no fue la proposición.
Por todo lo largamente expuesto la tabla de verdad correspondiente al condicional es la siguiente:
9
CONDICIONAL
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Para memorizarla basta recordar que, un condicional es falso únicamente si el antecedente ( p ) es
verdadero (V) y el consecuente ( q ) es falso (F).
Las dos últimas filas de la tabla son las que corresponden a los que ya llamamos condicionales
trivialmente verdaderos.
Por chocante que nos resulte el condicional “ si el sol es verde entonces la luna es de queso” es la
más pura verdad.
Cabe hacer notar que las tablas de verdad correspondientes a las conjunciones p q y q p son
iguales, como también lo son las de las disyunciones incluyentes p q y q p y las de las disyunciones
excluyentes p q y q p .
Si dos proposiciones tienen la misma tabla de verdad diremos que son equivalentes (  ) .
O sea: p
q  q
p; p
q  q
q  q
p ; p
p . Lo que nos permite decir que la conjunción y
las disyunciones cumplen con la propiedad conmutativa. Este hecho es importante y luego se refleja en las
operaciones entre conjuntos y entre números.(probar estas equivalencias lo dejamos como un ejercicio
para el lector).
En cambio, el condicional no es conmutativo, o sea, la tabla del condicional p
q no es la misma
que la del condicional q
p . Si bien ambas tablas tienen el mismo número de verdades y falsedades las
mismas no se encuentran en el mismo orden.
p
q
p
q
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
10
q
p
La no conmutatividad del condicional genera tres nuevos condicionales los cuales son importantes
considerar, tanto por su uso en el lenguaje habitual como en el matemático.
Si llamamos directo (por ser nuestro punto de partida) al condicional p
al condicional: q
q , llamaremos recíproco
p . Estos dos condicionales no son equivalentes ya que , como hemos visto, no tienen
la misma tabla de verdad. Además, la no conmutatividad de estos dos condicionales, queda manifiesta en
los siguientes ejemplos:
p
q (directo)
“Si un cuadrilátero es un rombo entonces las rectas que contienen a sus diagonales son perpendiculares”
este condicional es verdadero, así lo demuestra un teorema de la geometría plana.
En cambio el condicional
q
p (recíproco)
“Si las rectas que contienen a las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entonces el
cuadrilátero es un rombo” es falso si el cuadrilátero es un romboide, ya que este tiene su diagonales
incluidas en rectas perpendiculares y no es un rombo (no tiene sus cuatro lados congruentes).
p
q (directo)
“Si x = 2 entonces x2 = 4” es verdadero por la definición de potenciación.
En cambio el condicional
q
p (recíproco)
“ Si x2 = 4 entonces x = 2 ” es falso ya que x podría ser -2
Otro ejemplo no matemático.
p
q (directo)
“Si tengo un tomate entonces tengo un vegetal” , este condicional es verdadero por una clasificación de las
ciencias naturales, que dice que los tomates son vegetales.
En cambio el condicional
q
p (recíproco)
“Si tengo un vegetal entonces tengo un tomate” es falso si lo que tengo es un zapallo o cualquier otro
vegetal que no sea un tomate.
Nota: En función de los ejemplos anteriores, cabe hacer notar algo que consideramos importante. Cuando
en matemática decimos que algo es verdadero o que algo se cumple lo que queremos decir es que
siempre es verdadero o que siempre se cumple.
11
En cambio cuando decimos que algo es falso o que no se cumple lo que queremos decir es que al menos
una vez es falso o que al menos una vez no se cumple. O dicho de otra manera que alguna vez es falso
o alguna vez no se cumple
Pero en párrafos anteriores hablamos de tres nuevos condicionales, el recíproco es uno de ellos
¿cuáles son los otros dos?.
Consideremos ahora los condicionales
(∼ ) ⟹ (∼ ) que llamaremos contrarrecíproco y
(∼ ) ⟹ (∼ ) que llamaremos inverso.
La importancia de estos dos nuevos condicionales surge de la comparación de las tablas de verdad de los
cuatro condicionales.
V
⟹
V
⟹
V
(∼ ) ⟹ (∼ )
V
(∼ ) ⟹ (∼ )
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
p
q
V
La tabla de verdad de p
q es igual a la tabla de verdad de ( q)
p es igual a la tabla de verdad de ( p)
q  ( q)
( p)
y q
p  ( p)
V
( p) y la tabla de verdad de q
( q) . En consecuencia valen las siguientes equivalencias: p
( q). Como la segunda equivalencia surge de la primera, ya
que el inverso no es otra cosa que el contrarrecíproco del recíproco, tendremos que tener en cuenta sólo
que:
“Todo condicional es equivalente a su contrarrecíproco”
esta propiedad es frecuentemente usada en la demostración de teoremas, lemas u otras propiedades.
Como ya sabemos “todo triángulo equilátero es isósceles” por lo tanto el condicional
p
q (directo)
“Si ABC es un triángulo equilátero entonces ABC es isósceles” es verdadero, ya que por ser equilátero
tiene sus tres lados congruentes y si tiene tres congruentes, obviamente, tiene dos congruentes, entonces
es isósceles.
El condicional
( q)
( p) (contrarrecíproco) será
12
“Si ABC no es un triángulo isósceles entonces ABC no es equilátero” también es verdadero ya que, si
ABC no es isósceles, no tiene dos lados congruentes y si no tiene dos congruentes no puede tener los tres
congruentes y en consecuencia no es equilátero.
Nota: Proponemos al lector expresar formalmente y en palabras los contrarrecíprocos de los condicionales
directos que aparecen en la página anterior y tratar de justificar la verdad de los mismos.
Por último, hay condicionales directos verdaderos que sus recíprocos también lo son. Para ver un
ejemplo de ello consideremos la siguiente figura:
Sea ABC
B
un triángulo donde A, B y C son sus vértices,
 ,  y  son las medidas de sus ángulos interiores y
a
a, b y c las medidas de los lados.
El condicional
p
C
c
b
A
q (directo)
“Si en un triángulo ABC  =  entonces
c = b” es verdadero ya que se demuestra que en todo
triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes.
Además, el condicional
( p)
( q) (inverso)
“Si en un triángulo ABC
c  b entonces    ” se puede demostrar que también es verdadero. En
consecuencia si el inverso es verdadero también lo es el recíproco. Luego estamos ante un condicional que
es verdadero tanto su directo como su recíproco, en consecuencia, en este caso, es equivalente decir que
“a lados congruentes se oponen ángulos congruentes” que decir que “a ángulos congruentes se oponen
lados congruentes” esto da lugar a la equivalencia o bicondicional
Equivalencia (bicondicional): La tabla de verdad para la equivalencia (bicondicional) resulta de la del
condicional, teniendo en cuenta que se trata de los condicionales simultáneos, p
qyq
p , cuya tabla
de verdad surge justamente de la conjunción de los dos condicionales anteriores como se muestra a
continuación:
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p
q
q
p
(p
q
p)  p
p
q
q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
q
La interpretación que se da al símbolo ⟺ de equivalencia es la de la conjunción de los dos condicionales
que se obtienen “tapando” cada una de las puntas de la flecha. Por esta razón la equivalencia es llamada
también (como dijimos) bicondicional, y además de poner ⟺ se suele también escribir  (equivalente a).
Naturalmente que una equivalencia no exige el mismo tipo de enunciado: esto es, el hecho de que al
mencionar la equivalencia (p
q) ⟺ (( q)
( p)) hayamos tratado con dos condicionales es solo
fortuito; y a modo de ilustración citemos otra proposición –esta vez una disyunción- equivalente a los dos
condicionales mencionados. Se trata de la disyunción:
p
q cuya equivalencia con: p
q queda en evidencia comparando las tablas correspondientes
p
q
p
p
q
p
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
q
Además, y de lo dicho anteriormente, resulta también que la disyunción:
condicional q
p
q es equivalente al
p, lo que pone de manifiesto el carácter transitivo de la equivalencia.
Como es de suponer, las equivalencias citadas son solo ejemplos ilustrativos que de ningún modo
agotan las posibles equivalencias.
2.- Ejercicios
1.- Escribir en forma simbólica el contrarrecíproco del recíproco de: p
2.- Establecer la negación de:
14
q.
(a) la conjunción “1+1=2 y 2x3=6”
(b) la disjunción “ 1  1  2 o 2 x3  6" .
3.- (a) Establecer el recíproco y el contrarrecíproco del teorema:”Si un cuadrilátero es un
paralelogramo, sus diagonales se cortan en un punto medio”
(b) Establecer la negación del teorema recíproco.
4.- Demostrar que
p)  p
(
5.- Proponemos a continuación, para ser demostradas por el lector, las equivalencias más usuales
(usamos el signo alternativo) y que pueden establecerse fácilmente usando las tablas de verdad y el
carácter transitivo de la equivalencia.
(p
q)  (
p)
(
q )
1ra ley de De Morgan
(p
q ) (
p)
(
q)
2da ley de De Morgan
(p
q ) p
(
q )
6.- Una proposición compuesta que es siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de
sus componentes, es llamada una tautología. Mostrar que p
(
p
q ) es una tautología. (Exposición
inútil de un mismo pensamiento expresado de otras maneras)
7.- Determinar por medio de las tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son
tautologías:
a)
(p
b) [ ( p
c) ( p
d) [ ( p
(
p))
q)
p]
q)
[(
q)
q
p)
p]
(
q)]
q
8.- Si p y q son las proposiciones:
p: l1 es paralela a l2;
q: l2 es perpendicular a l3
establecer en palabras los enunciados equivalentes:
15
a) p
q
b)
q
c)
p
p
q
9.- Elegir un teorema de la geometría elemental de la forma p
equivalentes
q
p ;
p
q y enunciarlo en las formas
q.
10.- Por medio de una tabla de verdad mostrar que:
[p
(q
r)]
[(p
q)
r ] ( no asociatividad del condicional)
a) ¿Es el enunciado del primer miembro el recíproco del enunciado del segundo?
b) Escribir un recíproco de cada enunciado
c) Determinar por medio de una tabla de verdad si esos recíprocos son equivalentes.
11.- Si una proposición involucra tres componentes, p, q, r, ¿cuántas filas contiene su tabla de
verdad?. Preparar una tabla de verdad para el condicional:
[( p
q)
(q
r )]
12.- Verificar que un intercambio de los símbolos
(p
y
r)
en la primera Ley de De Morgan da la
segunda. Cuando esto ocurre, las dos equivalencias son llamadas duales una de la otra.
13.- Expresar con palabras la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Un número natural es par o impar.
b) Si ABC es un triángulo equilátero, es isósceles y equiángulo.



c) En el triángulo ABC , A  B y C  60 o .
d) Un triángulo ABC tiene dos ángulos congruentes, o el triángulo es isósceles
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Constantes y variables - Enunciados abiertos – Ecuaciones
En matemática usamos una innumerable cantidad de símbolos, entre ellos los siguientes:
2 , -4 , ⅔ , -⅞ ,
2 ,  ,……. los usamos convencionalmente con el carácter de constantes determinadas.
Nadie, en su sano juicio, cuando vea el símbolo 2 puede suponer que representa a un conejo, un color
primario o al número siete.
a, b, c, d, .... (las primeras “letras” de nuestro abecedario ) los usamos como constantes indeterminadas.
x, y, z, u, t, ... (las últimas “letras” de nuestro abecedario ) los usamos como VARIABLES
Los dos primeros grupos de símbolos los usamos, convencionalmente, como CONSTANTES y
difieren conceptual y sustancialmente del tercer grupo, de las VARIABLES.
A diferencia de las constantes (ya sean determinadas o no) las variables no tienen un valor
(determinado o no), o sea, las variables varían, las variable pueden tomar cualquier valor, con una sola
limitación, de a un valor por vez. O sea, no podemos asignar a la variable dos o más valores distintos
simultáneamente.
En la expresión a + 7 = 19, a es una constante indeterminada, cuando hacemos
a = 19 – 7 y efectuamos la resta nos queda a = 12, a vale 12, o sea, a era una constante indeterminada y lo
que acabamos de hacer es determinar el valor de la constante.
La expresión x + 3 = 7, es conceptualmente distinta a la del párrafo anterior, en ella, x no vale 4,
ya que x es una variable y, por lo tanto, valdrá el valor que a nosotros se nos haya ocurrido asignarle y,
como consecuencia de ello, la expresión x + 3 = 7, se transformará en una expresión o falsa o verdadera
en función de dicho valor .
Hasta ahora hemos estudiado proposiciones o enunciados, simples o compuestos cerrados, que tienen
un valor determinado de verdad o falsedad, en el caso de los enunciados compuestos determinado por el
valor de verdad o falsedad de cada uno de los enunciados simples que lo componen y por la interpretación
que la lógica hace, mediante las tablas de verdad, de los conectivos lógicos que los unen. A estos
enunciados se los denomina enunciados cerrados. Así, “5 + 7 = 12”, se un enunciado simple cerrado
verdadero, “Si, 5 .7 = 35 y un triángulo tiene cinco lados, entonces, la luna es de queso” es un enunciado
cerrado también verdadero.
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En cambio una expresión del tipo “ x es un color primario” (consideramos a x como una variable ) es
una frase de la cual no podemos decir si es verdadera o falsa pero, tiene la particularidad, que se
transforma en una proposición cerrada en el momento que le asignemos un determinado valor a la variable
x.
Veamos algunos ejemplos:
si asignamos a la variable x el valor conejo y lo reemplazamos en la expresión nos quedará
conejo es un color primario (enunciado cerrado falso)
si asignamos a la variable x el valor verde y lo reemplazamos en la expresión nos quedará
verde es un color primario (enunciado cerrado falso)
si asignamos a la variable x el valor azul y lo reemplazamos en la expresión nos quedará
azul es un color primario (enunciado cerrado verdadero)
si así seguimos, veremos que sólo tres valores ( amarillo, rojo y azul) asignados a la variable transforma a
la expresión “ x es un color primario” en un enunciado cerrado y verdadero. Pero insistimos, la variable x
no “vale” amarillo, rojo o azul , estos son los colores que asignados a la misma transforma a la expresión
en un enunciado cerrado y verdadero, que es otra cosa.
A expresiones coma la expuesta, en la que interviene una variable y que, al otorgar a la variable un
“valor” cualquiera, se transforman en un enunciado cerrado, ya sea verdadero o falso, se les denominan
enunciados abiertos . Como el valor de verdad o falsedad de estas expresiones está en “función” de los
valores por los cuales transite la variable también suele llamárseles funciones proposicionales. Cabe hacer
notar que un enunciado abierto puede tener más de una variable, lo que no puede es prescindir de ellas.
Nota: No cualquier expresión en la que aparece una variable es un enunciado abierto, por ejemplo en “
x + 3 = x + 7 ” , basta hacer 3 = x + 7 – x y cancelando las x nos queda 3 = 7 que evidentemente es un
enunciado cerrado falso, en este caso. Además, si en una expresión, al reemplazar la variable por un
valor determinado, no podemos determinar si lo que nos queda es verdadero o falso; la expresión que
teníamos no es una función proposicional.
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Es muy importante, en matemática, el campo de acción que tienen estos enunciados abiertos, veamos
algunos ejemplos:
1.- En la teoría de conjuntos se acuerda que, un conjunto puede definirse de dos maneras, por:
Extensión o enumeración cuando encerrado entre llaves y separados por comas aparecen escritos todos
los elementos del conjunto. Por ejemplo:
A   0 ,1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9  ; B   a , e , i , o , u  ; C   perro , ropero , tiza ,17 , canario 
Comprensión cuando se da una propiedad que sólo cumplen los elementos del conjunto que se quiere
definir. Esta es la forma de definir un conjunto que nos interesa, además de ser algunas veces la más
cómoda y en otras imprescindible. Veamos algunos ejemplos para familiarizarnos con la notación.
A   x x es un color primario

que leemos: A es igual al conjunto de todos los valores de x, tal que, x es un color primario.
tal
c
va
laes
riable
ueun
adocolor
r
Aonjunto
x
=qsific
primario
Como lo indicamos en el diagrama anterior, la expresión que aparece entre la barra vertical (tal que) y la
llave de la derecha se denomina clasificador, es siempre un enunciado abierto y, como lo indica su
nombre, se encarga de clasificar, de entre todos los elementos, cuales pertenecen al conjunto y cuales no.
¿Cómo funciona el clasificador? , muy sencillo, sólo pertenecen al conjunto A, aquellos elementos que
reemplazados por la variable transformen al enunciado abierto en un enunciado cerrado y verdadero.
Le asignaremos ahora distintos valores a la variable: si a x la reemplazamos por conejo nos queda
conejo es un color primario
enunciado cerrado falso (F), entonces conejo no pertenece al conjunto A; si a x la reemplazamos por verde
nos queda
verde es un color primario
enunciado cerrado falso (F), entonces verde no pertenece al conjunto A, si a x la reemplazamos por azul
nos queda
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azul es un color primario
enunciado cerrado verdadero (V), entonces azul pertenece al conjunto A.
Así siguiendo, podremos definir ahora al conjunto A por extensión
A   amarillo , rojo , azul 
y tendrá sólo estos tres elementos ya que son los únicos que reemplazados por la variable transforman al
clasificador en un enunciado cerrado y verdadero.
B  x x N  x  6 
que leemos: B es igual al conjunto de todos los valores de x, tal que, x pertenece al conjunto de los
números naturales y x es menor que 6. Dejamos para el lector definir el conjunto B por extensión, en este
caso se debe tener cuidado, ya que el clasificador es un enunciado abierto compuesto en el que aparece
una conjunción.
2.- En la teoría de conjuntos, también se definen operaciones entre conjuntos, siendo las más destacables
la unión y la intersección de conjuntos.
Tanto la unión como la intersección de dos conjuntos es un nuevo conjunto, cuya definición se hace,
necesariamente, por comprensión de la siguiente manera:
Unión: Definición A  B   x x  A  x  B

El clasificador es una disyunción incluyente, si recordamos la tabla de verdad de la misma, ésta es
únicamente falsa cuando los dos enunciados que la componen son falsos (F). En consecuencia, pertenecen
a la unión de los conjuntos, todos los elementos que pertenecen al conjunto A, ya que hacen verdadero el
primer enunciado abierto de la definición, además, todos los elementos del conjunto B hacen verdadero el
segundo enunciado abierto de la conjunción y, por lo tanto también son elementos de la unión. Cabe
destacar que, por tratarse de una disyunción incluyente, los elementos que se encuentren simultáneamente
en los dos conjuntos harán verdaderos los dos enunciados abiertos de la conjunción y también
pertenecerán a la unión de los mismos.
Ejemplo: Sean A   a , e , i , o , u  y B   a , b , c , d , e , f , g
A B  x x  A  x  B

=
 entonces
a ,b , c , d , e , f , g , i , o ,u 
Intersección: Definición A  B   x x  A  x  B
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
El clasificador es una conjunción, si recordamos la tabla de verdad de la misma, ésta es únicamente
verdadera cuando los dos enunciados que la componen son verdaderos (V). En consecuencia, pertenecen a
la intersección de los conjuntos, todos los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos,
ya que son los únicos que transforman a los dos enunciados abiertos en cerrados y verdaderos
Ejemplo: Sean A   a , e , i , o , u  y B   a , b , c , d , e , f , g
A  B  x x  A  x  B
 entonces
 = a , e 
Ecuaciones
Denominamos ecuación a un enunciado abierto, numérico, en el que aparece una relación de igualdad.
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a las operaciones en que se vean involucradas la o las variables,
en primer término, nos referiremos a las ecuaciones polinómicas o polinomiales en las cuales las variables
están afectadas por exponentes enteros no negativos.
Ejemplos: a) 3x – 6 = 9
b) -x + 2y – 6z + 1 = 0
c) - 4 x3 y2 + 3 x y z5 - 6x + 3y + 9 = 2x + 1
d) ax2 + bx + c = 0 (a , b y c se han usado como constantes indeterminadas).
Estas ecuaciones, a su vez, se clasifican según la cantidad de variables y su grado.
La cantidad de variables de una ecuación, es el número de variables distintas que tiene la ecuación. En el
ejemplo c) tenemos una ecuación en tres variables (x , y , z ).
Se denomina grado de un término de una ecuación a la cantidad de factores variables que posee. El
grado de la ecuación es el correspondiente al término de mayor grado.
En el ejemplo c) tenemos:
- 4 x3 y2 + 3 x y z5 - 6x + 3y + 9 = 2x + 1 que es igual a
- 4 x3 y2 + 3 x y z5 - 8x + 3y + 8 = 0 , que podemos escribir así
- 4 x x x y y + 3 x y z z z z z – 8x + 3y + 8 = 0 , donde, el primer término tiene grado 5, el segundo tiene
grado 7, el tercero 1, el cuarto 1 y el quinto 0 . Por lo tanto la ecuación es de 3 variables y de grado 7.
En los ejemplos anteriores es a) una ecuación de primer grado en una variable, b) una ecuación de
primer grado en tres variables y d) una ecuación de segundo grado en una variable si a es distinto de cero
a  0 .
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