Funciones de Green – Aplicaciones y herramientas matemáticas Autor: Carlos Lopesino Jiménez de Zadava Lissón Correo: litros64@hotmail.com Universidad de Murcia Funciones de Green Introducción. Definiciones y ejemplos de F. de Green. Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel. Funciones Hankel. Método de aceleración de Kummer. Transformada de Fourier. Fórmula de sumación de Poisson. Fórmula de Euler. Identidad de Sommerfeld. Conclusión. Introducción. Def. y ejs. de F. de Green. Son soluciones de EDPs de la forma: 2 u ( x, y ) f ( x, y ) r 2u ( ) 4 (r r0 ) r0 La solución de la segunda ecuación es: K u (r ) | r r0 | Introducción. Def. y ejs. de F. de Green. Otros ejemplos de funciones de Green son: ( x w) 2 G(x,w,t) = exp( ) 2 4 t 2 t 1 cos s senx, x s G ( x, s ) sens cos x, s x Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel. Las funciones de Bessel son soluciones de ecuaciones diferenciales: 2 d y dy x2 2 x ( x2 2 ) y 0 , dx dx donde indica el orden de la función. Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel. Primer tipo: finitas en el origen. (1) 2 m 1 J ( x) 2 x m 0 m !( m 1) m Funciones de Bessel. Tipos de funciones de Bessel. Segundo tipo: divergen en el origen. J ( x) cos( ) J ( x) Y ( x) sen( ) Funciones Hankel. Son funciones de la forma: H(1) ( x) J ( x) iY ( x) H(2) ( x) J ( x) iY ( x) Método de aceleración de Kummer. Sean dos series convergentes: Supongamos además que: a , b | b n n n0 n an lim p0 n b n Entonces podemos escribir la serie a n n como: bn an p bn (1 p )an an n 0 n 0 n 0 Transformada de Fourier. Se define la transformada de Fourier como la aplicación: F: f f f (x) f ( ) f ( ) f ( x)ei x dx 1 ( f ) ( x) 2 1 f ( )e i x d Fórmula de sumación de Poisson. Se tiene la siguiente fórmula: f ( n) n f (k ) k En nuestro caso usaríamos la siguiente fórmula: k 2 f ( x kT ) T n 2 f (n ), con x = 0 y T = 2b T Fórmula de Euler. En nuestro caso: 1 jnTy sen(nTy) sign(n) e , siendo T = 2 j n b n 1 Identidad de Sommerfeld. Usamos la versión para línea infinita de la identidad de Sommerfeld para relacionar la función de Hankel con la transf. de Fourier : H 0 ( p k0 k x ) (2) siendo p = 2 2 y z 2 2 2 j exp( k0 k x k y ) 2 0 2 2 j k0 k x k y 2 2 2 cos( yk y ) dk y Conclusión. Al final obtendremos la función de Green del potencial escalar eléctrico de un hilo infinito: G ppw ( z z´, y , y´) 2 b 0 sen(k y´)sen(k y ) y n 1 y e jk z ( z z ´) jk z ¡¡Muchas gracias!!