Ejercicios 2

matemática iii - ciu geometría
Ejercicios adicionales de geometría 2
Ángulos
1. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 40 grados. ¿Podrías
hallarlos?
2. Dos ángulos son complementarios y uno es cuatro veces mayor
que el otro. ¿Podrías hallarlos?
3. Dos ángulos son suplementarios y uno es tres veces mayor que el
otro. ¿Podrías hallarlos?
4. Dos ángulos son suplementarios y uno es tres séptimos del otro.
¿Podrías hallarlos?
5. Doña Rogelia, vecina de Orejilla de Abajo, tiene un prado sin cercar en forma triangular y una cabra. Sabido es que las cabras son
muy comedoras y doña Rogelia, que no quiere tener problemas
con la vecina, decide atar la cabra con una cuerda a una estaca.
Según el lugar donde clava la estaca acorta o alarga la cuerda de
modo que la cabra pueda ir lo más lejos posible pero sin llegar
a pacer la hierba de la vecina. Los primeros días coloca la estaca
de modo que alcanza solamente a dos lados de cada uno de los
ángulos.
a) Haz un esquema aproximado de la situación
b) ¿Dónde colocar la estaca?
c) ¿Cómo se llama geométricamente la figura que tiene esta propiedad de que todos sus puntos equidistan de los dos lados de
un ángulo?
d) Haz la construcción geométrica correspondiente.
6. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos de:
a) 8 lados
b) 10 lados
c) 15 lados
d) 40 lados
Semejanza, teorema de Thales
1. De las siguientes parejas de triángulos, se listan las longitudes de
los lados, di cuáles son semejantes y cuáles no, indicando cuál es,
en caso afirmativo, la proporción de la semejanza:
0
matemática iii - ciu geometría
a)
3, 4, 5
6, 8, 10
b)
6, 6, 6
6, 6, 6
c)
6, 7, 8
7, 8, 9
2. Te dan el triángulo de lados 3 cm., 4 cm. y 5 cm. Escribe los lados
de otros cinco triángulos semejantes al dado.
3. Halla el triágulo de lados enteros más pequeño semejante a cada
uno de los casos siguientes:
a) 6cm., 8cm., 10cm.
b) 9cm., 12cm., 15cm.
c) 12cm., 16cm., 20cm.
d) 15cm., 20cm., 25cm.
4. Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la
proporción de la semejanza y los valores de los lados desconocidos:
a)
3, 4, 5
6, x, y
b)
6, 6, 6
x, y, 24
c)
x, 5, 8
12, y, 16
5. Las medidas de un terreno triangular son 300 m., 400 m. y 500 m.
En un triángulo a escala, es decir, semejante al del terreno, el lado
más pequeño tiene por homólogo un lado que mide 6 cm. Halla
los restantes lados.
6. En un mapa, la distancia entre dos ciudades es 3 cm. Halla la escala del mapa sabiendo que ambas ciudades están a una distancia de
66 km.
7. En un mapa con escala 1:25000, dos lugares están separados 4 cm.
Determina la distancia real entre ambos lugares.
8. Un pino en un momento del día arroja una sombra de 12 m. En
ese mismo momento, otro pino de 1,60 m. arroja una sombra de 80
cm. Calcula su altura.
9. Una torre de una iglesia en un momento del día arroja una sombra de 15 m. En ese mismo momento, la sombra de una vara vertical de 1 m. arroja una sombra de 1,2 cm. Calcula su altura.
10. A continuación se muestran las medidas de los lados de los
triángulos rectángulos que aparecen en monumentos, esculturas...
egipcios. En algunos triángulos los lados no se pueden leer.
1
matemática iii - ciu geometría
a) Comprueba si las ternas que aparecen son correctas.
b) Calcula el dato que falta en las ternas incompletas. Se señala
con X:
12-35-X
20-X-29
X-28-35
28-45-X
45-60-X
X-12-13
X-36-39
21-72-75
33-X-65
X-55-73
24-X-145
X-52-65
65-72-73
X-15-17
20-X-101
27-36-X
X-75-85
X-135-153
11. Calcula la altura sobre el lado distinto de los siguientes triángulos isósceles cuyos lados miden:
a) a = 21 b = 21 c = 16
b) a = 14 b = 14 c = 18
c) a = 12 b = 12 c = 8
d) a = 16 b = 16 c = 10
12. Calcula la diagonal de los ortoedros cuyas aristas miden:
a) a = 3 b = 6 c = 8
b) a = 2 b = 4 c = 9
c) a = 12 b = 14 c = 18
d) a = 16 b = 20 c = 30
13. Calcula los lados de los cuadrados sabiendo que las diagonales
miden:
a) 20 cm.
b) 64 cm.
c) 24 cm.
d) 12 cm.
14. Calcula los lados de los cuadrados sabiendo que están inscritos
en una circunferencia de radio:
a) 20 cm.
b) 64 cm.
c) 24 cm.
d) 12 cm.
2
matemática iii - ciu geometría
15. Calcula los lados de los cubos sabiendo que las diagonales miden:
a) 20 cm.
b) 64 cm.
c) 24 cm.
d) 12 cm.
16. Calcula los lados de los cubos sabiendo que están inscritos en
una superficie esférica de radio:
a) 8 cm.
b) 125 cm.
c) 36 cm.
d) 16 cm.
17. Los siguientes datos corresponden a la medida de los lados de
triángulos. ¿Cuáles son rectágulos?
a) b = 3 c = 4 a = 5
b) b = 3 c = 6 a = 8
c) b = 6 c = 8 a = 10
d) b = 12 c = 16 a = 20
e) b = 12 c = 20 a = 30
18. Un carpintero construye marcos de madera rectangulares para
ventanas. Para que no se deformen clava un travesaño en diagonal.
Indica cuáles de los marcos están bien hechos sabiendo que la
longitud del interior de los lados y del travesaño miden:
a) b = 30 c = 40 a = 50
b) b = 20 c = 20 a = 30
c) b = 60 c = 80 a = 100
d) b = 120 c = 160 a = 200
e) b = 120 c = 200 a = 300
19. Problema del bambú (texto indio del siglo IX)
Un bambú que mide 30 codos y que se eleva sobre un terreno
plano se rompe en un punto por la fuerza del viento. Su extremidad toca el suelo a 16 codos de su pie. ¿A que altura se ha roto?
3
matemática iii - ciu geometría
20. Problema de las fuentes (Leonardo de Pisa)
Dos torres, una de 30 pasos de altura y otra de 40, están separadas
50 pasos. Entre las dos se encuentra una fuente hacia la que descienden dos pájaros que están en las almenas de las torres. Yendo
con igual velocidad llegan al mismo tiempo. ¿A que distancia de
las torres se encuentra la fuente?
21. Un albañil apoya una escalera de 5 m. contra un muro vertical.
El pie de la escalera está a 2 m. del muro. Calcula un valor aproximado de la altura a la que se encuentra la parte superior de la
escalera.
22. Un emisor de televisión tiene 40 m. de altura hasta el inicio de la
antena. Se quiere sujetar al suelo con tres cables. Si las fijaciones
del suelo están a 30 m. de la base del emisor, ¿cuál es la longitud
de estos cables?
23. La nave de una fábrica mide 12 m. de ancho, 16 m. de largo y 4,5
m. de alto. Halla la máxima distancia posible entre dos puntos de
su interior.
24. En un octoedro sus dimensiones son proporcionales a los núemros 3, 4 y 12 y la diferencia entre la mayor y la menor es 18 m.
Halla las dimensiones y la medida de la diagonal.
25. Un marmolista tiene en su taller una columna de 1,5 m. de largo.
Si su sección es circular y mide 20 cm de radio, ¿cuáles son las dimensiones aproximadas de la mayor columna de sección cuadrada
que puede tallar de dicha columna?
26. Un trapecio isósceles tiene por lados 14 cm., 5 cm., 6 cm. y 5 cm..
Calcula la distancia entre los lados paralelos.
27. Un triágulo isósceles tiene 160 cm. de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 40 cm. Calcula los lados del
triángulo y el área.
28. Problema del junco (de un texto indio del siglo XI)
Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90
cm. de la orilla y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la
fuerza del viento se ha inclinado desde su raíz de modo que su
cabeza toca la orilla a ras del agua. ¿Cuál es la profundidad del
estanque y la altura del junco?
29. Los ángulos de un triángulo miden 18, 16 y 9 cm. Determina
qué cantidad igual se debe restar a cada uno para que resulte un
triángulo rectángulo.
4
matemática iii - ciu geometría
30. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en
centímetros, tres números pares consecutivos. Halla los valores de
dichos lados.
31. En un círculo de diámetro 25 m. se inscribe un rectángulo cuyos
lados difieren en 17 m. Halla la medida de estos lados.
32. Ya sabes que el tamaño de los televisores se mide en pulgadas.
Así, cuando decimos que un televisor tiene 20 pulgadas, queremos decir que la pantalla, que es rectángular tiene 20 pulgadas
de diagonal. Además, las dimensiones de la pantalla no son cualesquiera, sino que están en la relación de 3 a 4, es decir, que el
3
cociente de los lados es . Calcula, en centímetros, las dimensiones
4
de un televisor de 30 pulgadas (la pulgada equivale a 2.54 cm.).
33. Hacer el ejercicio anterior pero suponiendo una relación 9 a 16
más común actualmente entre los televisores pantalla plana y de
alta definición.
5