Descripción general de la institución

Titulo: FUNCIÓN EXPONENCIAL. PROCESO DE MODELIZACION MATEMÁTICA
Autores: Vera Natalia , Villagra Constanza.
Profesoras de MOPE: Esteley Cristina, Delgado Piñol Érika, Villarreal Mónica, Viola Fernanda.
Carrera: Profesorado en Matemática.
Fecha: Diciembre 2012.
Clasificación:
97 Mathematical Education
Palabras Claves:
Proceso de Modelización Matemática
Simulación
Función Exponencial
Experiencia
Graphmatica
Ajuste de curva
Representación gráfica
Resumen:
El presente informe habla sobre las practicas docentes llevadas a cabo por las autoras en el
curso 5to año de una institución privada. El tema trabajado en dichas prácticas fue Función
Exponencial. Para abordar dicho tema se trabajó con Proceso de Modelización Matemática.
En el trayecto del informe se describe la planificación de las clases en torno al tema
mencionado, que incluye objetivos, contenidos y actividades a desarrollar, las evaluaciones y
sus respectivos resultados, y por último el análisis de un problema desde un punto de vista
teórico.
1
ÍNDICE:
 INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………………
3
 PLANIFICACIÓN………………………………………………………………………………………
6

Planificación Anual de la profesora…………………………………………………
6

Nuestra planificación………………………………………………………………………
7
 Objetivos……………………………………………………………………………………
9
 Contenidos…………………………………………………………………………………
10
 Organización y secuenciación de los contenidos………………………
10
 Tareas y actividades……………………………………………………………………
10
 Participación de los alumnos……………………………………………………
36
 Organización de los escenarios…………………………………………………
36
 Evaluación…………………………………………………………………………………
37
 ANÁLISIS DE UN PROBLEMA DESDE EL PUNTO DE VISTA TEÓRICO…………
45
 CONCLUSIÓN………………………………………………………………………………………..
51
 ANEXO……………………………………………………………………………………………………..
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2
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo pretende dar cuenta de las actividades llevadas a cabo durante nuestra
práctica profesional, cuya realización se requiere como instancia obligatoria para la finalización
de la carrera de Profesorado en Matemática. Dicha práctica tuvo lugar en un curso de 5to año,
específicamente en la sección “A” correspondiente a la orientación en Ciencias Naturales,
integrado por 20 alumnas. La misma se realizó los días lunes (de 8: 50 hs a 10:30 hs y de 12:05
hs a 12:45 hs) y viernes (de 12:50 hs a 14:15 hs) durante el período comprendido entre el 6 de
agosto hasta el 10 de septiembre del corriente año. En este punto, cabe señalar que
previamente se procedió a observar al grupo desde el 25 de mayo hasta el 18 de junio del
2012 en los horarios mencionados con anterioridad y que corresponden a los módulos de
matemática. Por otra parte, el día 3 de agosto se realizó una observación de jornada completa.
Particularmente en lo atinente a la institución seleccionada para la realización de la práctica
profesional, podemos decir en primer lugar que la misma está ubicada en el centro de la
ciudad de Córdoba Capital, en la calle Rivera Indarte. Es una institución pública y de gestión
privada, a la que asisten solo mujeres. Posee 3 niveles de enseñanza: inicial, primario y
secundario.
En cuanto a su infraestructura edilicia, cuenta con 3 pisos dispuestos con vista a un patio
interno. En planta baja se encuentran la cantina, el jardín de infantes, la capilla, la
fotocopiadora, el despacho de la directora y las oficinas correspondientes a las actividades
administrativas. En el primer piso, se localiza la sala de profesores, la cual es amplia y
espaciosa lo que les permite disponer de una larga y ancha mesa, haciendo posible el uso
simultáneo de la misma por parte de todos los docentes; además se encuentran la dirección
de primario, la oficina de la vicedirectora, el gimnasio, la biblioteca y la sala de lectura. En el
segundo piso, se distribuyen 2 gabinetes de computación, uno que cuenta con 20
computadoras del cual hace uso el nivel Primario y otro con solo 6 computadoras
correspondiente al nivel Secundario, además se encuentran la Preceptoría del Ciclo Básico, el
laboratorio de Química y la sala de Biología. Por último, en el tercer piso encontramos la sala
de Música, la sala de Plástica y la Preceptoría del Ciclo de Especialización. Cabe destacar que
las aulas están distribuidas entre el 1er, 2do y 3er piso, contando en total, incluidos todos los
niveles, con 28 aulas. Varias de estas aulas tienen ventanas que dan a la calle lo que los hace
muy ruidosos si se abren las ventanas.
En cuanto al nivel secundario, los horarios de cursado son por la mañana con algunos contra
turnos. El Ciclo de Especialización cuenta con dos orientaciones: Ciencias Naturales y Ciencias
Sociales y Humanidades
Por otra parte, un hecho a destacar, es que la institución logra mantener una gran limpieza
general, tanto dentro de los cursos como en los pasillos y el patio, lo cual es posible gracias a
las encargadas de la limpieza como así también a la colaboración de todos los integrantes de la
institución.
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En la Figura N° 1 se puede observar el patio interno de la institución.
Figura N° 1: patio interno del colegio.
Por otra parte, en cuanto a las características del aula, podemos decir que era amplia, lo cual
permitía una distribución espaciada de los bancos; estos no eran fijos, y sus sillas estaban
separadas de las mesas. Las alumnas estaban dispuestas en tres filas dobles con espacio
suficiente para permitir la circulación de la docente. Además contaba con amplios ventanales
que permitían una buena iluminación, un televisor, un reproductor de video, y un armario
donde las alumnas podían guardar sus materiales.
En lo que respecta al trabajo áulico, podemos decir que fue realizado en forma simultánea y
colaborativa, dividendo previamente a cada clase, las tareas a realizar por cada una de
nosotras1. En el periodo de observación, el material de trabajo utilizado era una guía teóricapractica elaborada por la profesora. Debido a que la misma era entregada impresa y contenía
información detallada, la docente hacia poco uso del pizarrón. En general cedía el mismo a las
alumnas para la resolución de ejercicios o la toma de notas.
Por otra parte tenían acceso a los gabinetes de computación para lo cual debían reservar con
anterioridad; las computadoras estaban bien equipadas y todas tenían acceso a internet.
Durante el desarrollo de nuestras observaciones no se hizo uso de los mismos.
En cuanto a la relación docente-alumno puede decirse que era buena e interactiva, tanto del
docente hacia el alumno como viceversa; si bien la docente tomaba el mando de la clase,
teniendo un rol de guía muy fuerte, dejaba lugar a las alumnas para su libre opinión y
participación. No existían tiempos especificados para el desarrollo de distintas actividades sino
que la mayoría de las clases se desarrollaba en torno a la guía, haciéndose un seguimiento
lineal de la misma.
Si bien se trataba de un curso desordenado y “charlatán” la profesora lograba llevar un ritmo
de clase adecuado, por lo que no era necesario llamarles la atención de manera seguida para
que se concentraran.
1
Las actividades de cada clase las dividimos según la seguridad de cada una de nosotras ante ellas. Por
ello, en todas las clases, el mando de las mismas estaba dividido según quien llevara a cabo la actividad.
4
Con respecto a la modalidad de trabajo en otras asignaturas, como pudimos observar en
Geografía, Música e Ingles, el material de trabajo en el caso de Geografía consistía también en
un apunte elaborado por la docente y algunas fotocopias extras, mientras que en Ingles era un
libro de texto. En las 3 asignaturas las docentes hicieron uso del pizarrón, destacando que en el
caso de Ingles también se cedió a las alumnas el uso del mismo. No observamos el uso de otros
recursos tecnológicos. La relación e interacción docente-alumno era en general igual de buena
con cada una de las distintas profesoras.
A continuación presentamos el análisis de la planificación de toda la práctica y la puesta en
aula, y posteriormente planteamos el análisis de un problema desde un punto de vista teórico.
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PLANIFICACIÓN
LA PLANIFICACIÓN ANUAL DE LA PROFESORA:
El programa anual de la profesora se dividía en:
 Competencias fundamentales;
 Dos ejes I y II subdivididos en unidades: el eje I incluye cuatro unidades y el eje II dos
unidades;
 Bibliografía para el alumno;
 Bibliografía de consulta;
 Criterios de evaluación.
Las competencias fundamentales establecidas por la profesora fueron:
 Usar adecuadamente el lenguaje oral, gráfico, escrito y simbólico utilizando el
vocabulario matemático para expresar ideas, comunicar conceptos y explicar
procedimientos.
 Distinguir distintos tipos de funciones en contextos matemáticos y no
matemáticos.
 Distinguir
los conjuntos numéricos: Naturales, Enteros, Racionales,
Irracionales y Reales; reconociendo sus propiedades y utilizándolas para operar.
 Usar el razonamiento lógico para relacionar, explorar resultados y validarlos a
través de ejemplos y contraejemplos.
 Hacer generalizaciones y realizar demostraciones formales.
 Utilizar la calculadora de manera pertinente y algunos programas
computacionales para graficar, aproximar funciones y presentar conclusiones.
 Consolidar y profundizar los contenidos de estadística descriptiva.
 Construir tablas de frecuencias y porcentajes y representar gráficamente.
 Interpretar conjuntamente en gráficos, parámetros estadísticos de posición y
dispersión.
 Calcular probabilidades en distribuciones Normales.
Los ejes y unidades a desarrollar por la docente durante el año fueron:
Eje I: Las relaciones funcionales con dominio en los números reales como
modelos matemáticos de situaciones de la vida cotidiana y como objeto
matemático.
Unidad N° 1: De las Sucesiones Numéricas a los Números Reales (R), como
extensión de los conjuntos numéricos. Propiedades y operaciones en R.
Relaciones y aplicaciones intra y extra matemáticas de números irracionales
especiales como ϕ y π.
Unidad N° 2: Modelización matemática como estrategia pedagógica y como
instrumento útil para resolver un problema real. Las funciones de primer grado
6
con dominio continuo y su relación con las sucesiones aritméticas con dominio
discreto. Funciones definidas por partes.
Unidad N° 3: Los modelos exponenciales vinculados a una situación real. Las
sucesiones geométricas
Unidad N° 4: Las estrategias de factorización de polinomios como instrumento
útil y las funciones polinómicas como objeto matemático.
Eje II: La estadística como herramienta para introducir el estudio de la realidad
estocástica
Unidad N° 5: La estadística como herramienta descriptiva y predictiva de
problemáticas no matemáticas
Unidad N° 6: La probabilidad como herramienta de análisis de problemas
matemáticos y no matemáticos de naturaleza no determinística
Nuestro tema de práctica corresponde a temáticas de la Unidad N° 3, la cual se detalla a
continuación:
Resolución de una situación real. La sucesión geométrica y la función
exponencial como modelos apropiados para resolver la problemática estudiada.
Término general. Cálculo de la suma de una sucesión geométrica. Resolución de
situaciones problemáticas
Previamente a ello se trabajó con la Unidad N°2 y posteriormente estaba planificado
continuar con la Unidad N°4.
Cabe destacar que la profesora tenía 5 horas cátedra de clase, de las cuales 4 horas eran
destinadas a trabajar con los contenidos del Eje I, mientras que paralelamente, en la hora
restante se trabajaba con el Eje II.
Si bien para el desarrollo de nuestras prácticas estaba previsto solo el uso de esas 4 horas,
debido a ciertos imprevistos sobre la marcha de las mismas y ajenos a nosotras, la profesora a
cargo del curso nos cedió la hora dedicada al Eje II.
A continuación se presenta nuestra planificación en donde detallamos los objetivos, los
contenidos, la secuenciación y organización de los mismos, las tareas y actividades, la
participación de los alumnos, y la organización de los escenarios y la evaluación.
NUESTRA PLANIFICACIÓN
La planificación que se presenta se pensó para alumnos de 5° año con orientación en Ciencias
Naturales y tuvo por finalidad montar en aula un escenario de Modelización Matemática
poniendo en juego actividades de experimentación y simulación. La temática del mundo real
que inspiró éste escenario fue el fenómeno de “Desintegración Radiactiva”. En este escenario
se favoreció el uso de tecnologías y a la vez, las mismas, fueron necesarias para poder llevar a
cabo todo el proceso. En todos los casos se buscó que las alumnas experimenten o pongan en
juego el proceso de modelización completo según lo define Bassanezi (2002),definiéndose
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escenario de modelización 2 como “el conjunto de situaciones, hechos, materiales, acciones y
relaciones involucradas en el proceso de estudio, creación, implementación y evaluación de
proyectos de modelización matemática desarrollados en contextos educativos”.(Esteley
2010,Tesis Doctoral: Desarrollo Profesional en Escenarios de Modelización Matemática: Voces
y Sentidos).
El modelo matemático al que se arribó fue un Modelo Exponencial, el cual, posteriormente,
dio lugar al estudio de la Función Exponencial, haciendo un análisis de su expresión general, de
la variación de sus parámetros y su influencia en la representación gráfica.
Dicha planificación fue pensada a partir del trabajo previo observado, donde pudimos ver el
desarrollo de la Unidad N°2, cuyo objetivo era el estudio del proceso de Modelización
Matemática. Para tal estudio, se comenzó definiendo “modelo” y “modelo matemático” y se
presentó, posteriormente, cada una de las etapas de tal proceso las cuales fueron definidas de
la siguiente manera:
Etapa1: Formular un problema dentro de un tema o problemática que interese ser estudiada.
Etapa2: A partir de los datos obtenidos, construir un modelo matemático que represente el
sistema en estudio.
Etapa3: Deducir una solución para el modelo.
Etapa4:Testear el modelo y la solución deducida para él con el problema real.
Para llevar a cabo este proceso de Modelización, en lo que corresponde a la primera etapa, el
tema escogido por la docente fue “La Dinámica Poblacional de una colmena de abejas”.Para
abordar la segunda etapa se recurrió a la ayuda de una estudiante de Agronomía, la cual
brindó toda la información necesaria acerca de tal temática. En las Figuras N°2 y N°3
presentamos a la especialista que brindó la información.
Figura N°2: Estudiante de Agronomía
2
Figura N°3: Charla sobre la dinámica poblacional de las abejas con
las alumnas.
Cuando se hable de Modelización se estará haciendo referencia a Modelización Matemática.
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A partir de esta información se planteó una problemática, que haciendo uso de los datos
brindados les permitió arribar a un modelo, el cual consistió en una función definida por
partes. En la tercera etapa, se busco una generalización de dicho modelo. Y para finalizar, en
la cuarta etapa, para testear el modelo se recurrió nuevamente a un especialista que en este
caso era el padre de una de las alumnas (para más detalles, en anexo 1 Pág. 51, se puede
observar la primera parte de la guía utilizada por la profesora a cargo).
Todo este ambiente de trabajo previo, fue clave y favorable para el posterior desarrollo de
nuestra práctica, puesto que las alumnas ya manejaban las nociones de modelización y lo
podían vincular con hechos experimentales de fenómenos extra matemáticos.
Cabe destacar, además, que la docente del curso, previo al desarrollo de la Unidad N°2, trabajó
el tema Sucesiones Numéricas y Búsqueda de Regularidades lo cual también fue clave al
momento de obtener el modelo exponencial.
 OBJETIVOS
Objetivos generales. Se esperaba que las alumnas:
 Valoraran el trabajo en grupo como fuente de construcción de conocimientos a través
del intercambio de ideas.
 Reconocieran la presencia de la matemática en situaciones y fenómenos de la vida real.
 Valorizaran los aportes de la matemática al mundo real extra-matemático.
Objetivos específicos. Se esperaba que las alumnas
 Fortalecieran su capacidad de recolección de datos a través de tablas.
 Utilizaran
programas graficadores (Graphmatica) para graficar, analizar datos,
aproximar funciones y observar la variación de parámetros de la función en estudio.
 Identificaran e interpretaran la función más adecuada polinómicas , exponenciales como
modelo matemático para interpretar problemas de la realidad, incluyendo la selección y
comparación de modelos de acuerdo con la necesidad que impone el problema.
 Abordaran el estudio de la función exponencial a través del proceso de modelización.
 Reconocieran la Simulación como herramienta para abordar un modelo matemático.
 Identificaran e ilustraran las nociones de probabilidad
 Analizaran el comportamiento de las funciones exponenciales, desde las diferentes
formas de representación, interpretando sus parámetros
 Usaran y analizaran variaciones funcionales (exponenciales) como herramientas para
resolver problemas recurriendo cuando sea posible al uso reflexivo de recursos
tecnológicos.
 Utilizaran e interpretaran funciones exponenciales como modelo matemático para
resolver problemas, seleccionando el modelo más adecuado en función del problema.
 Aplicaran el conocimiento del modelo matemático para la resolución de problemas intra
y extra matemáticos y enriquecieran tal conocimiento a través del análisis de los
problemas.
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 CONTENIDOS
Modelización matemática. Simulación. Función exponencial: análisis de la variación de sus
parámetros, resolución de problemas intra y extra matemáticos. Reconocimiento de
situaciones extra matemáticas en las que se haga evidente un comportamiento exponencial.
Probabilidad (experimento aleatorio, suceso, espacio muestral, probabilidad). Uso
de Graphmatica (ingreso de datos, ajuste de curvas, ingreso de funciones, ajuste del rango de
la cuadricula). Relación matemática con el mundo real.
 LA ORGANIZACIÓN Y SECUENCIACION DE LOS CONTENIDOS.
Para llevar a cabo el proceso de modelización se comenzó, en una primera instancia, con la
realización de una experiencia a partir de la cual se buscó simular el fenómeno de
Desintegración Radiactiva. Sin entrar en el estudio del Fenómeno, se hizo un análisis de los
datos obtenidos de dicha experiencia, haciendo uso del Software Graphmatica, (apelando a la
herramienta “ajuste de curva”) obteniendo como modelo gráfico una curva exponencial.
En una segunda instancia se abordó el estudio teórico del Fenómeno en cuestión para,
finalmente, establecer la relación entre la teoría estudiada y la experiencia realizada, y a partir
de ello derivar en el modelo matemático (Función Exponencial) que representa el problema en
estudio.
Posteriormente se abordó en el estudio de tal función, para ello, primeramente, se comenzó
ilustrando la expresión general de la misma e identificando sus parámetros, luego se adentró
en el análisis de la variación de sus parámetros (recurriendo nuevamente al uso de
Graphmatica) y su representación grafica. Para finalizar se trabajó con distintos ejercicios y
problemas intra y extra matemáticos.
 LAS TAREAS Y ACTIVIDADES
A continuación se presenta el cronograma de clases en el cual se detalla por día los objetivos,
actividades y recursos de cada una, y en páginas posteriores se muestra la guía de actividades
con la cual se trabajó durante todo el periodo de práctica, la misma fue previamente corregida
y aprobada por la profesora del curso. Sobre cada actividad se detallan en color los
comentarios sobre el desarrollo de la misma:
CRONOGRAMA DE CLASES:
Inicio de actividad: Lunes 6-08-12
Tiempo estimado de prácticas: 5 semanas (hasta lunes 10-09-12)
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 6-08 lunes:
Objetivo: lograr a través del repaso, el uso correcto del Graphmatica para su posterior
utilización. Llevar a cabo la experiencia en grupos.
Actividades:
 Presentación en Power Point sobre la organización de las prácticas.
 Trabajo en laboratorio. Repaso del uso del Graphmatica: ingreso de datos, ajuste de
curvas, ingreso de funciones, ajuste del rango de la cuadricula haciendo uso del Power
Point.
 Experiencia con caja y corchos. Recolección de datos en tablas.
Recursos: 6 computadoras en las cuales se hará uso del programa nombrado.
Proyector.
Fotocopia: tutorial de uso del Graphmatica (uno por grupo).
Guía de actividades.
6 cajas de cartón y 1200 fichas de corchos las cuales llevamos nosotras.
 10-08 viernes: paro docente provincial.
 13/08 lunes:
Objetivos: Hacer el análisis adecuado de los datos obtenidos en la experiencia.
Comprender el fenómeno de Desintegración Radiactiva, como así también, la noción e
importancia de la simulación.
Actividades:
 Continuación de la experiencia con cajas y corchos.
 Trabajo en laboratorio: Ingreso de datos obtenidos. Exploración y ajuste con distintas
curvas (lineal, cuadrática, exponencial).
 Análisis, reflexión y selección de la curva adecuada. Aparición de la curva exponencial.
 Teoría de desintegración radiactiva y definición de Simulación.
Recursos: 6 computadoras.
Guía de actividades.
Fotocopia con esquema de trabajo.
Tabla periódica.
 17-08 viernes:
Objetivos: Lograr establecer una relación de la experiencia realizada con el fenómeno
estudiado. Formular el modelo matemático subyacente.
Actividades:
 Presentación en Power Point de lo realizado hasta el momento en cada una de las
etapas del proceso de modelización tomando como temática central la Desintegración
Radiactiva.
 Simulación modelo físico. Ejemplo de simulación: papas. Nuestra simulación
 Relación con la experiencia. Modelo matemático para un fenómeno químico.
 Tabla con datos reales para la obtención de la formula analítica. Verificación de los
datos obtenidos en la experimentación a través de la presentación en Power Point en la
que figurara la tabla promedio obtenida a partir de todas las tablas de las alumnas.
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Recursos: Guía de actividades.
Fotocopia de las etapas de modelización.
Proyector.
 20 -08 lunes: feriado
 24/08 viernes: actividad especial en el colegio, sin clases
 27/08 lunes:
Objetivos: Hacer notar la presencia del modelo exponencial en otras situaciones extra
matemáticas. Lograr a través del software un análisis individual de las características de la
función exponencial.
Actividades:
 Exploración de otros modelos exponenciales.
 Formula general de la función exponencial
 Trabajo en el laboratorio: análisis de la función exponencial. Utilización del
Graphmatica para el análisis del dominio, imagen, crecimiento y decrecimiento, asíntotas
y puntos de corte a través de la variación de sus parámetros.
Recursos: Computadoras una por alumna.
Guía de actividades.
 31/08Viernes :
Objetivos: Rescatar a partir de la tabla resumen propuesta en la guía las nociones más
importantes sobre el análisis de la función exponencial, lo cual será de utilidad para el
desarrollo de las actividades. Lograr a partir de las actividades la transferencia de las
nociones aprendidas.
Actividades:
 Repaso de la variación de los parámetros de la función para completar la tabla
resumen.
 Resolución de problemas de la guía.
Recursos: Guía de actividades
Fotocopia con gráficos para la visualización de la variación de los parámetros.
 03/09 lunes:
Objetivos: Lograr a partir de las actividades la transferencia de las nociones aprendidas.
Actividades:
 Resolución y corrección de problemas de la guía.
Recursos: Guía de actividades.
 07-09 viernes:
Objetivos: analizar el grado de conocimientos obtenidos y la capacidad de transferencia
de los mismos.
Actividades:
 evaluación.
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 10/09 lunes:
Objetivos: Lograr descubrir, a partir del juego “Las torres de Hanoi”, la presencia de la
función exponencial en otro contexto y poder, a través de la búsqueda de regularidades,
encontrar su formula.
Actividades:
 Devolución de la evaluación
 Juego-actividad: la torres de Hanoi
Recursos: 5 círculos de distintos radios por grupo y un tablero de cartulina.
GUÍA DE ACTIVIDADES:
MODELIZACION MATEMATICA- GUÍA DE ACTIVIDADES
Para continuar trabajando con el proceso de Modelización Matemática se propondrá un
conjunto de actividades relacionadas con tal proceso que nos permitirá abordar el estudio de
un fenómeno extra matemático relacionado con la química: “desintegración Radiactiva” y un
modelo matemático que nos permite explicar este fenómeno y muy importante para la
matemática como es la función exponencial.
Dos recursos de mucha utilidad para todo el proceso son el software Graphmatica y la
simulación.
Previo al desarrollo de la primera actividad se presentó a las alumnas, haciendo uso de Power
Point, un esquema sobre la organización de las prácticas haciendo hincapié en que se
trabajaría nuevamente con proceso de modelización. A continuación se presenta dicho
esquema:
A demás se hizo una introducción sobre el uso del Graphmatica teniendo en cuenta sus
principales funciones y las de utilidad en el desarrollo de las prácticas. En anexo 2 (ver pág.
59), se puede ver un “tutorial” que se les entregó al momento de dicha explicación.
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA- PRIMERA PARTE
Actividad 1: Experiencia con cajas y corchos
Actividad a realizar en grupos de 3 o 4.
Materiales a utilizar por grupo:
 Una caja de cartón.
 200 “fichas” de corcho con una de sus caras pintadas.
 Guía de actividad para completar las tablas con los datos obtenidos.
 Software :Graphmatica
Procedimiento:
Distribuir las 200 fichas en la caja de cartón con la cara pintada hacia abajo, taparla y
agitarla durante varios segundos. Posteriormente abrirla, y retirar todas aquellas fichas que
se hayan dado vuelta (es decir las que tengan el lado de la cara pintada hacia arriba). Luego
contar la cantidad de fichas que quedaron dentro de la caja en ese intento y anotar el número
de fichas en la Tabla 1.
No volver a introducir las fichas sacadas.
Repetir el procedimiento hasta que quede una sola ficha o ninguna e ir anotando siempre en la
Tabla 1 cuántas quedan en cada intento, es decir, en la Tabla 1 deberán figurar el número de
intentos con sus correspondientes números de fichas.
Volver a colocarlas dentro de la caja con la cara pintada hacia abajo y repite el procedimiento
anterior utilizando la Tabla 2, y del mismo modo para la tabla 3
TABLA 1: Primer Experimento
CANTIDAD DE
INTENTO
FICHAS EN LA
CAJA
TABLA2: Segundo experimento
CANTIDAD DE
INTENTO
FICHAS EN LA
CAJA
TABLA 3: Tercer Experimento
CANTIDAD
DE
INTENTO
FICHAS EN LA
CAJA
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Actividad en laboratorio 1:
Programa: Graphmatica.
a) Ingresa los datos anotados en la Tabla 1 en el editor de datos, (ajusta la cuadricula).
b) Prueba ajustar los datos ingresados con las curvas que conoces (lineal, cuadrática) y
responde:
i) Teniendo en cuenta la experiencia realizada, ¿consideras dicho ajuste adecuado?
¿Por qué?
ii) Prueba con otras curvas (polinómicas de grado n>2) que figuran en el editor,
¿consideras que alguna de ellas se ajusta de manera mas aproximada a los
puntos?
c) Intenta ajustar con una “exponencial”. ¿Consideras este ajuste adecuado?, ¿Por qué?
d) Utilizando Graphmatica y tomando como referencia el ajuste de los datos de la Tabla
1, entra los datos de las Tabla 2 y ajústalos con la curva que mejor se aproxima. Realiza
lo mismo con los datos de la Tabla 3.
La experiencia fue llevada a cabo en la sala de computación, donde además de las 6
computadoras se disponía de espacio y bancos suficientes que permitían la distribución de
las alumnas en grupos, y trabajar cómodamente (ver Figura N°4 y N°5)
El material necesario para realizar esta experiencia fue proporcionado por nosotras, el
mismo consistió en 1200 “fichas” de corchos con una de sus caras pintada y 6 cajas de
cartón tamaño grande, además se les proporcionó una fotocopia que contenía las mismas 3
tablas a completar de la guía, la cual debían entregarnos completa con los datos obtenidos
al finalizar la experiencia.
La realización de dicha actividad fue pensaba para desarrollarse en una clase, pero debido a
contratiempos fue necesario el uso de 2 clases.
En cuanto a la participación de las alumnas puede decirse que demostraron entusiasmo a la
hora de trabajar y, a la vez, se mostraban ansiosas por saber cuál sería el fin de tal actividad.
Por otra parte, la actividad en laboratorio1 también fue llevada a cabo en grupos.
Figura N°4: Alumnas trabajando en grupo con la experiencia
en la sala de computación.
Figura N°5: Alumnas realizando la experiencia.
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MODELIZACIÓN MATEMÁTICA – SEGUNDA PARTE
DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA
Isótopos: dícese de los átomos que ocupan el mismo lugar en la tabla periódica. Tienen el
mismo número atómico, es decir, el mismo número de protones en el núcleo (y, para
mantener la neutralidad, el mismo número de electrones en la periferia). Se diferencian en el
número de neutrones.
Entre los isótopos, existen algunos que permanecen estables a través del tiempo, en cambio,
otros son inestables y emiten radiaciones. Estos últimos se conocen con el nombre de
nucleidos o radioisótopos.
La pregunta que surge es: ¿Por qué algunos átomos (más precisamente sus núcleos) son
estables y otros no lo son?
Sabemos que en los elementos químicos las cargas de igual signo se repelen. Sin embargo, en
el núcleo, los protones pueden permanecer unidos debido a una fuerza de atracción muy
intensa, llamada fuerza nuclear; los neutrones actuarían como “ganchos” que mantienen
unidos a los protones, atrapándolos en una especie de red. Cuando la cantidad de protones
resulta muy alta (más de 83), o hay exceso de protones o de neutrones en el núcleo, éste es
inestable y se desintegra emitiendo radiaciones. La emisión espontánea de radiaciones se
conoce como Radiactividad natural. Este fenómeno es una de las pruebas fundamentales para
apoyar la idea de que los átomos son divisibles. Las radiaciones emitidas pueden ser:
Radiaciones alfa: son partículas materiales, con la masa de un núcleo de Helio, es decir están
formadas por dos protones y dos neutrones. Tienen carga positiva +2.
Cuando un núcleo emite una partícula alfa, su número másico se reduce en cuatro unidades y
su número atómico en dos unidades. Este proceso se da en átomos con un número atómico
elevado.
Ejemplo:
Radiaciones beta: son partículas materiales, con masa y cargas iguales a la de los electrones.
Tienen carga negativa -1.
Cuando un núcleo emite una partícula beta (un electrón) su número másico permanece
invariable y su número atómico aumenta en una unidad. Este proceso se da en núcleos que
presentan un exceso de neutrones, por lo que un neutrón se transforma en un protón y en un
electrón que es emitido.
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Ejemplo:
Radiaciones Gamma: no son partículas sino que consisten en radiaciones electromagnéticas
de elevada energía y velocidad igual a la de la luz. Sirven para equilibrar energías. Tienen carga
nula y se consideran sin masa, es decir, no producen modificación en el número atómico ni en
el número másico.
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La desintegración natural es espontánea y ocurre en forma aleatoria, es decir, no podemos
saber cuándo se desintegrara un núcleo pero si podemos calcular la probabilidad de que un
núcleo se desintegre en un tiempo determinado. A cada sustancia radioactiva se le asigna un
período de semidesintegracion o tiempo de vida media. Dicho periodo es el tiempo necesario
para que se desintegre la mitad de los núcleos presentes en una muestra de radioisótopo.
Puede variar desde millones de años hasta una fracción de segundos.
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Ejemplos de periodos de semidesintegracion:
ISOTOPO
Hidrogeno-3
Carbono-14
Sodio-22
Fósforo-32
Potasio-40
Cobalto-60
Yodo-125
Mercurio-206
Plomo-210
Plomo-211
Radón-219
Radio-223
Radio-226
Uranio-225
Uranio-238
Plutonio-241
PERIODO
12,5 años
5,7. 10 3 años
6,6. 10 2 días
9,9 días
1,3. 10 9 años
5,7 años
58 días
7,7 minutos
15,2 años
25 segundos
2,7 segundos
7,8 días
1,6. 10 3 años
2,5 . 10 5 años
4,5 . 10 9 años
1,7 . 10 9 años
Para el estudio de éste tema una de las alumnas paso al pizarrón y fue escribiendo las ideas
generales sobre el mismo a medida que se realizaba su lectura. En la figura N° 6 se puede
observar las anotaciones de la alumna.
Figura N°6: Toma de notas sobre la Teoría de la Desintegración Radiactiva.
19
Teniendo en cuenta que el tema de la Desintegración Radiactiva no era de nuestro
conocimiento, debimos hacer previamente un estudio del mismo pero aun así, resultó
dificultoso al momento de explicarlo. Fueron notables las dudas por parte de las alumnas,
ya que no comprendían el objetivo del estudio de tal tema y su relación con la experiencia
previamente realizada. Ante esto se presentó, en la clase siguiente, un Power Point cuyo
objetivo era ubicar a las alumnas en las etapas del proceso de modelización que se estaba
llevando a cabo. Para ello se retomaron las etapas definidas anteriormente por la docente y
se comparó el trabajo realizado, en cada una de ellas, con el trabajo llevado a cabo hasta el
momento en nuestra práctica. Para clarificar las ideas sobre el Fenómeno de
Desintegración Radiactiva se tomó el ejemplo del Uranio presentado en la guía y a partir de
éste se retomaron todos los conceptos pertinentes.
SIMULACIÓN: LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA Y LA EXPERIENCIA.
Simulación: "Simular es imitar un sistema real, utilizando recursos ajenos a esa realidad; es
decir implica simplificar la realidad y parecerse lo más posible a ella. No necesariamente se
necesitan computadores y complejas fórmulas matemáticas para imitar a un sistema real"
según Medardo G.
Una definición más formal formulada por R.E. Shannon (1976) es: "La simulación es el proceso
de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad
de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los
límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del
sistema". (Systems simulation: the art and science. IEEE Transactions on Systems, Man and
Cybernetics 6(10). pp. 723-724)
Ejemplo: Papas Leis
Los productores de las papitas “Leis” ofrecen, como una oferta especial, seis stickers de
diferentes colores en el interior de sus bolsitas, de tal modo que quienes logren juntar los seis
colores pueden obtener interesantes premios. Si se asume que los seis colores tienen la misma
probabilidad de ser obtenidos en cada bolsita que compres, ¿cuántas bolsitas de Leis habrá
que comprar para poder obtener los seis stickers?
Para hacer una simulación debes:
1) Seleccionar un problema de interés (el anterior)
2) Seleccionar un medio material o físico que contenga las principales características
matemáticas del problema (el dado) y la experimentación que realizará.
3) Determine la cantidad de veces que repetirá el experimento.
Entonces si consideramos:
a) Cada compra de un paquete de papas Leis equivalente a una tirada de dado;
20
b) Cada color de sticker le asignamos un numero del dado como se ve en la siguiente
tabla
COLORES
NUMERO DEL
DADO
Azul
1
Verde
2
Amarillo
3
Violeta
4
Naranja
5
Rojo
6
A partir de esto, para analizar cuantas bolsas debo comprar para obtener los 6 stickers,
puedo construir la siguiente tabla:
Tirada
1
2
3
…..
…..
Compra
1
2
3
..
…
N° de dado
3
5
1
..
..
Sticker
Amarillo
Naranja
Azul
..
..
La experiencia consiste en tirar el dado e ir completando la tabla. La misma finalizara una vez
obtenido los 6 números distintos (n° del dado), con ello podre ver cuántas compras (tiradas)
fueron necesarias para obtener todos los stickers (N° de dado).
Para obtener un resultado más real debo realizar la experiencia varias veces y sacar un
promedio de los resultados obtenidos.
El valor esperado en el caso de las papitas es entre 14 y 15.
21
NUESTRA SIMULACIÓN
¿Cómo relacionarían la experiencia realizada con el fenómeno de desintegración radiactiva?
Si consideramos


Las fichas de corchos como los núcleos de los elementos
radioactivos, siendo aquellos que se dieron vuelta los
núcleos desintegrados y aquellos que no lo hicieron, los
no desintegrados.

Experimento aleatorio: Son
aquellos en los que no se
puede predecir el resultado,
ya que éste depende del azar.
(ej: lanzar un dado).

Suceso: Es cada uno de los
resultados posibles de una
experiencia aleatoria.

Espacio muestral: Es el
conjunto de todos los posibles
resultados de una experiencia
aleatoria.
Cada intento como un periodo de tiempo transcurrido.
Entonces con este experimento puedo llegar a analizar el
comportamiento de núcleos inestables a medida que transcurre el
tiempo, pues éste último es un hecho probabilístico que parece
comportarse de la misma manera que las fichas en el experimento
realizado.
Responde:

Probabilidad: La probabilidad
de un suceso es un número,
comprendido entre 0 y 1, que
indica las posibilidades que
tiene de verificarse cuando se
realiza un experimento
aleatorio.
Casos favorables
P= -------------------------Casos posibles
a) -¿Por qué puedo decir que ambos fenómenos parecen comportarse de la misma
manera?
b) -¿Que probabilidad puedo asignarle en ambos casos?
c) -¿Con qué aspecto de la desintegración radiactiva está relacionado cada intento?
Esta etapa fue fundamental en el proceso, ya que aquí es donde se estableció la relación
entre la experiencia realizada y el estudio teórico del fenómeno, lo cual permitió calmar
la ansiedad de las alumnas sobre tal hecho.
Fue rápida la respuesta por parte de las mismas, al momento de relacionar cada uno de
los materiales utilizados en la experiencia con el Fenómeno.
Para poder terminar de establecer dicha relación fue necesario, previamente, el estudio
de los conceptos de probabilidad (experimento aleatorio, suceso, espacio muestral y
probabilidad), para ello se dieron oralmente ejemplos de sucesos aleatorios para el
cálculo de su probabilidad. Luego se procedió al cálculo de la probabilidad de que un
núcleo se desintegre y la probabilidad de darse vuelta una ficha de corcho.
22
Actividad 2:
a) Considerando la probabilidad obtenida completa la siguiente tabla:
PERIODO DE
TIEMPO
CANTIDAD DE NUCLEOS
EN EL ÁTOMO
0
200
CÁLCULOS
1
2
3
4
5
…
b) En la columna de cálculos, ¿observas alguna regularidad?
c) Si consideras
n =cantidad de periodos de semidesintegracion transcurridos (periodo de
tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los núcleos presentes en
el átomo),
¿Podrías encontrar la fórmula general para calcular el número de núcleos en el átomo,
luego de transcurridos n periodos de semidesintegracion?
23
Dicho cuadro se realizó y completó en el pizarrón en conjunto con las alumnas. Una vez
completo, se llamó a la búsqueda de regularidades, para esto fueron variadas las
respuestas. Entre ellas: an= n.(1/2).(200)
an= ao .(1/2)n
an=a0.(a0/2)n
Finalmente se logró llegar a la expresión an=200.(1/2)n identificando que representaba
cada uno de sus parámetros y coeficientes; siendo:




n= periodos de semi-desintegración transcurridos.
1/2= probabilidad de que no se desintegre el núcleo de un elemento
radiactivo.
200= cantidad inicial de núcleos de una muestra de de un elemento
radiactivo.
an= cantidad de núcleos no desintegrados, luego de transcurridos n
periodos de semi –desintegración.
En la Figura N°7 se puede observar la expresión a la que se arribo finalmente:
Figura N°7: Cuadro y fórmula realizados por las alumnas.
Posteriormente se retomo una de las respuestas dadas, an= ao .(1/2)n, para llevar el modelo
a su generalización, siendo el a0 el tamaño inicial de la muestra.
Luego, debido a que n y an se utilizan para trabajar solo con números naturales, se llevo esta
expresión a la siguiente, para hacer notar que está definida en el conjunto de los números
reales, basándonos en que como n representa un periodo de tiempo, se puede fraccionar.
y = 200. (1/2)x
(1)
24
Con esto, puede decirse, se dio por finalizada la tercera etapa del proceso de modelización.
Para completar la cuarta etapa, testear el modelo, procedimos a hacer uso de las tablas que
se obtuvieron de la experiencia. Con ellas armamos una “tabla promedio”, cuyos datos
ingresamos en Graphmatica y buscamos un ajuste de curva, obteniéndose la curva
exponencial y su correspondiente fórmula:
intento
Cantidad
de fichas
en la caja
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
200
108,67
62
31,73
15,13
7,33
4,6
2,5
1,2
1
y= exp (-0,617.x + 5,2668)
Todo este procedimiento no se realizo con las alumnas, sino que fue presentado y contado
en el aula. Una vez planteada la ecuación, obtenida a partir del ajuste de curva, se procedió
a hacer un análisis de la misma, en conjunto con ellas.
Para ello se explicó que tal expresión podía escribirse también de la siguiente manera:
y= e(-0,617x + 5,2668)
Teniendo en cuenta, además, que conocían el valor del número e (visto en la unidad 1) y
las propiedades de la potenciación se realizó el siguiente cálculo:
y= e-0,617x . e5,2668
y= (1/e)0,617x . e5,2668
y= (0,54)x . 194,03
Finalmente se arribó a la siguiente expresión:
y= 194,03.(0,54)x
(2)
Al comparar las ecuaciones (1) y (2) pudimos concluir que los datos experimentales se
aproximaron a los datos reales (probabilísticos). Dando así por finalizado el proceso de
modelización.
En conjunto con este trabajo se hizo entrega de una fotocopia, la cual puede verse en
Anexo 3(ver pág. 64), donde figuran las actividades llevadas a cabo en cada una de las
etapas del proceso de modelización de nuestra practica.
25
Exploración de modelos exponenciales.

Fisión nuclear.

Reproducción de bacterias, por ejemplo Escherichia coli.

Crecimiento demográfico.

Datación de fósiles (carbono 14).

Transacciones económicas (intereses financieros).
Ejemplo de interés compuesto:
Supongamos que en un banco se hace un depósito inicial de $10.000 al 15% de interés
anual. Para calcular la cantidad de dinero en la cuenta en cada uno de los años
subsiguientes, podríamos usar la formula:
Csiguiente= Cactual + 0,15 Cactual
“La cantidad en el siguiente año es igual a la cantidad en el año actual mas el 15% de esta
cantidad”
Usando la expresión anterior la completa la siguiente tabla:
Tiempo (años)
Cantidad($)
Cálculos
0
10.000
1
11.500
10.000+0,15x10.000=10.000x(1+0,15)
2
…….
……
3
4
5
Podemos concluir que la expresión general para el cálculo de un interés compuesto es:
C=C0 . ( 1+i )n
Donde C es el monto acumulado, C0 el capital inicial, i la tasa de interés compuesto y n los
periodos de capitalización.
26
Debido a falta de tiempo, a causa de paros y feriados, y la imposibilidad de trasladar la
fecha de evaluación esta actividad no pudo realizarse, pero si fue presentado como
ejemplo dentro de la exploración de otros modelos exponenciales (visto antes).
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Función definida en el conjunto de los números reales, cuya expresión general es:
Expresión general:
f (x) = k . ax ;
a>0, a≠1 y k≠0
Donde los parámetros a y k son números reales.
Se denomina de esta forma porque la variable x aparece en el exponente.
El número fijo a se llama base y la función así definida se denomina función exponencial de
base a con dominio y conjunto de llegada en los R.
Análisis de la variación de la función exponencial:
Actividad en laboratorio 3:
Primer caso:
Analizamos en la gráfica la variación de la función exponencial de acuerdo con la variación de
a, fijando k=1. Hemos establecido que a>0 y consideramos dos posibilidades:
i.
a >1
ii.
0< a <1
a) Grafica la función y=ax asignando distintos valores a la base y completa el siguiente
cuadro:
CARACTERISTICAS DE LA
CURVA
a >1
0<a<1
Creciente o decreciente
Asíntota paralela al: Eje x
27
Eje y
Conjunto imagen
*Asíntota es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin “llegar a tocarla”. Definiéndose asíntota
horizontal o paralela al eje X por medio de la ecuación: Y = c, y la asíntota vertical o paralela al eje Y por : X = c.
Segundo caso:
Analizamos en la gráfica la variación de la función exponencial de acuerdo con la variación de
k, fijando a=2 o a=1/2.
b) Grafica las funciones y=k.2x e y=k.(1/2)x asignando distintos valores a k y luego
responde:
i.
¿Qué sucede con la gráfica?, ¿Dónde puedes observar la variación de k?
ii.
¿Qué representa la constante k en la gráfica?
iii.
Teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento de la función según el valor
de a (tratado en el punto a) ¿qué sucede al asignarle a k valores positivos o
negativos?
iv.
Define el conjunto imagen según k sea positivo o negativo.
Tercer caso:
Si a la expresión general y=k.ax le sumamos el parámetro c, quedando definida como y=k.ax+c
podemos analizar ahora en la gráfica la variación de la función exponencial de acuerdo con la
variación de c, fijando a=2 y k=1.
Grafica la función y=2x ( c=0 ) y luego gráfica y=2x+c asignándole distintos valores a c (positivos
y negativos).
Responde:
c) ¿Cómo están ubicadas las curvas con respecto a la gráfica de y=2x ?
i.
Si c>0
ii.
Si c<0.
d) Considera los siguientes valores para c: c= 0, c=3, c=-1.
i.
¿Cuál es la asíntota paralela al eje X para cada caso?, ¿Y el punto de corte con
el eje Y?
ii.
Define el conjunto imagen en cada caso.
28
A partir del modelo obtenido se presentó la expresión general de la función exponencial,
identificando en el pizarrón cada uno de sus parámetros. Posteriormente se trabajó en el
laboratorio (computación) con el análisis de la variación de sus parámetros. Para esto se
hizo uso nuevamente del software Graphmatica.
Dicha actividad estaba pensada para realizarse en forma individual y llevarse a cabo en el
laboratorio de computación del nivel primario (20 computadoras) pero, debido a que el
mismo estaba reservado para otro curso, se debió trabajar en grupo en el laboratorio de
nivel secundario (6 computadoras).
Durante su desarrollo, si bien las alumnas trabajaron en grupo, debimos estar atentas a
problemas y dudas que fueron surgiendo, tanto del estudio de los casos como del manejo
de software. A falta de tiempo no se pudo hacer un cierre adecuado de la actividad, por lo
que en la clase siguiente se retomó la misma (en el aula) haciendo uso del material anexo
de la guía (ver pág. 32) y de una fotocopia ver anexo 4 (pág. 65) en los cuales se podía ver
la grafica de la función según la variación de sus parámetros.
RESUMEN A COMPLETAR
Considerando la función y=k.ax+c .

Asíntota paralela al eje X: _____________

Puntos de corte con el eje Y: _____________

Conjunto imagen:
k>0

k<0
Crecimiento o decrecimiento
k>0
k<0
a>1
0<a<1

Desplazamiento sobre el eje y
c>0
c<0
29
Una vez comprendidos los tres casos anteriores, se procedió a completar, en forma
conjunta con las alumnas, el cuadro. El mismo fue de utilidad y sirvió de guía para la
resolución de los ejercicios posteriores.
Para esta clase, cabe destacar que se trabajo con la mitad del curso dado que el resto se
encontraba en un retiro espiritual organizado por la institución, por lo que fue necesario
retomar con ellas dicho repaso y actividad en la clase siguiente. Las alumnas que habían
asistido a clase continuaron con el desarrollo de las actividades de la guía.
EJERCITACIÓN:
1) Construye una tabla de valores y grafica las siguientes funciones:
i.
y=2.3x
ii.
y=(1/4)x
iii.
y= 3. (1/2)x +1
A la hora de realizar este ejercicio se observó mucha dificultad para la construcción de una
tabla de valores y para marcar puntos en el plano cartesiano, siendo que esto había sido
trabajado en años anteriores.
En este sentido, el problema que se observó fue que las alumnas no reconocen que los
puntos de una recta en un plano son de la forma (x, f(x)) y que además y = f(x).
2) Al definir la función exponencial y=a x se fijó como condición que a>0:
i.
¿Qué ocurre si a=1?
ii.
¿Qué ocurre si a=0?
iii.
¿Qué ocurre si a es negativo (a<0)?
Como ayuda en caso de ser necesario construye una tabla y su gráfica correspondiente.
3) Completa el siguiente cuadro:
Crecimiento
o Puntos de corte Asíntotas
decrecimiento
con el eje y
Conjunto
imagen
y=3x-1
y= -5.(2/3)x
y=2.(1/2)x+3
y= (1/4).6x
30
El ejercicio 4 fue resuelto por las alumnas en el pizarrón y fue importante para cerrar las
Ambos
ejerciciosde
se la
resolvieron
forma
con las
haciendo
del
ideas respecto
relación en
entre
los conjunta
parámetros
de alumnas
la función
y su uso
grafica.
pizarrón.
En
cuanto
al
primero
una
de
nosotras
lo
desarrolló
y
explicó
en
frente,
y
para
el
El ejercicio 5 lo resolvió una de nosotras en el pizarrón. El mismo presento dificultades, en
segundo
pasando
y completando
el cuadro.
particularlas
elalumnas
item iii) fueron
dado que
no habían
visto sistema
de dos ecuaciones; por lo que fue
necesario explicar el tema sin aclarar que lo se estaba viendo era un sistema de ecuaciones
y que era necesario la aplicación de un método para su resolución, por lo que fue dado solo
como una serie de pasos a seguir.
4) Identifica la formula correspondiente a cada grafico.
i.
iii.
a) y = 2x-4
b) y = (2/3)x+3
c) y = 5.2x
d) y = 5x + 3
ii.
e) y = (1/3)x – 4
f) y= (1/4).
5) Encuentra la fórmula de la función exponencial y = k.ax que cumpla, en cada caso, con
las condiciones dadas :
i.
Que pasa por el punto (0;3) y a = 1/2.
ii.
K=0,001 y pasa por el punto (3,1).
iii.
Que pasa por los puntos: (1;4/3) y (-1;12).
31
PROBLEMAS
6) Se tiene una muestra de 128 gramos de una sustancia radiactiva (torio-234), cuya
masa se reduce a la mitad en aproximadamente 24 días.
a) Calculen la masa aproximada que quedara al cabo de 100 días y al cabo de 200
días.
b) A partir de la grafica calcula el tiempo (días) aproximado que habrá
transcurrido cuando queden 2gr.
Este ejercicio fue de gran importancia, puesto que implicó retomar el modelo obtenido en
el proceso de modelización.
El mismo se pidió traer resuelto de tarea. Se le agregó, en el item a), lo siguiente:
“Encuentre la formula que me permita calcular la masa en función de los días”.
Y se agregó también un ítem c):
“Tenemos 230g de cierta sustancia radiactiva cuyo periodo de semidesintregración es de 15
seg. Calcula la masa, transcurridos 1 min y 80 seg. Escribe su fórmula”.
Estos cambios se debieron a que si bien, el ítem a) podía responderse a partir de la
construcción de una tabla, nuestro objetivo era que pudieran aplicar el modelo obtenido. Y
en cuanto al c) el objetivo era el mismo, pretendiendo a su vez, afianzar los conocimientos
sobre el significado de cada parámetro. En particular se buscaba que las alumnas pudieran
identificar que el exponente, al representar los periodos de semidesintegración
transcurridos, se expresaba como una fracción donde el numerador indicaba el tiempo
transcurrido (seg, min, hs, días, meses, años) y el denominador la duración de cada periodo.
7) De una determinada semilla nace una planta. De esta planta se obtienen 5 semillas
nuevas. De ellas nacen sendas plantas que, a su vez, dan 5 semillas cada una, y así
sucesivamente. Llamamos “generación cero” a la primera semilla.
a) ¿Cuántas semillas corresponden a la generación 6?
b) Llamen m al “numero de generación” y escriban una fórmula que permita
calcular la cantidad de semillas en función de m.
32
c) Busquen una fórmula que permita expresar la cantidad de semillas
correspondientes a la generación m, pero suponiendo que la generación cero
está compuesta por 8 semillas.
En cuanto a este punto, una de las alumnas que lo había resuelto correctamente, lo explicó
al resto de sus compañeras haciendo uso del pizarrón. Una de las dificultades que se
presentó tanto en este ejercicio, el anterior y en el modelo obtenido en el proceso de
modelización, fue entender el por qué y deducir el valor del parámetro “a”. A partir de la
resolución de este ejercicio se observó una mayor comprensión por parte de las alumnas.
Para ello, oralmente se preguntó, por ejemplo, “como seria la formula si en lugar de
obtenerse 5 semillas de cada planta se obtuvieran 3 semillas”. Era muy notable, como las
alumnas remontaban continuamente a la experiencia realizada, ya que al tratarse este
ejercicio de un modelo no probabilístico, a diferencia de los vistos anteriormente y en la
experiencia, generó un desequilibrio que llevó a plantear a una de las alumnas la siguiente
pregunta: “¿la probabilidad puede ser mayor que uno?”
8) Supongamos que el valor de un coche nuevo es de $100.000 y que pierde el 20% de su
valor presente cada año. ¿Cuál será el valor del coche después de 6 años?
9) Se deposita un capital de $25.000 en un banco que ofrece una tasa mensual de 0,5%
de interés compuesto.
Completen:
a) La expresión que relaciona el capital acumulado con el tiempo (en meses)
es………………..
b) El capital acumulado luego de un año es………………….
c) Si el depósito inicial se hubiese realizado en otro banco que ofrece el 0,6 %
mensual de interés, al cabo de un año se habrían acumulado $.........................
Estos dos últimos ejercicios no fueron resueltos debido a falta de tiempo.
33
Anexo guía
Visualización gráfica de la función, según sus parámetros a y k
k>0 a>1
k>0 0<a<1
k<0 0<a<1
K<0 a>1
34
EJEMPLOS:
y = 3.(1/2)x +1
OBSERVACIONES:
 a = ½ , k = 3, c = 1
 Función Decreciente: pues
0<a<1 y k >0
 Punto de corte con el eje Y :
(0,4)
Dado por k + c = 3+1
= 4.
 Asuntota paralela al eje X:
y=1
Dado por c = 1
y= -2 .2x -1
OBSERVACIONES:
 a = 2 , k = -2 , c = -1
 Función decreciente: pues
a>1 y k<0
 Punto de corte con el eje Y:
(0,-3)
Dado por k + c = -2-1
= -3
 Asíntota paralela al eje X:
y= -1
Dado por c = -1
35
Como actividad final, luego de la devolución de la evaluación, se llevó a cabo el juego “Las
Torres de Hanoi”, para ello las alumnas se dispusieron en 5 grupos de 4 y se les entrego a cada
uno una copia (ver anexo 5, pág.66) donde se narra una leyenda sobre las torres de Hanoi. Al
final de la misma se plantea un interrogante. Para responder a este es necesario llevar a cabo
el juego. Del desarrollo del mismo surge una tabla de valores, y a partir de la observación de
ésta, las alumnas deben buscar regularidades para poder encontrar la formula que permita
responder al interrogante. Resultando tal formula, una función exponencial. (Para mayor
detalle sobre la actividad ver anexo, pag. 66).
 LA PARTICIPACIÓN DE LOS ALUMNOS
Durante el desarrollo de toda nuestra práctica la participación de las alumnas fue activa y
dialogada. Las mismas tenían una gran disposición a la hora de participar en clase, no eran
temerosas para consultar sus dudas y les gustaba mucho pasar al pizarrón a escribir. Si bien se
trataba de un curso “revoltoso” y “charlatán” estaban atentas durante nuestras explicaciones,
pero no así al momento de escucharse entre ellas, cuando alguna de sus compañeras intentaba
explicar, expresar sus dudas o conclusiones. Esto fue algo que pudimos observar en el desarrollo
de toda la práctica, como así también durante las observaciones previas.
 LA ORGANIZACIÓN DE LOS ESCENARIOS
La mayor parte del trabajo se llevo a cabo en el aula, si bien éste era individual, la corrección o el
desarrollo de ciertas actividades las realizamos en conjunto con ellas, oralmente o haciendo uso
del pizarrón. Las alumnas, como ya se dijo, estaban dispuestas en 3 filas dobles, pero al tratarse de
bancos móviles no siempre mantenían dicho orden. Esto igualmente no produjo inconvenientes
para el desarrollo de las clases .
Para el caso del desarrollo de la experiencia y el análisis de la variación de los parámetros,
actividades que tuvieron lugar en el gabinete de computación, el trabajo se desarrollo en forma
grupal, organizando a las alumnas en 6 grupos de 3 o 4 integrantes, y manteniendo los mismos
para ambas actividades. El juego “Las Torres de Hanoi” también fue un trabajo grupal (5 grupos),
pero se realizó en el aula.
Por otra parte, en lo referido a la disponibilidad del tiempo, puede decirse que nuestros horarios
de clases eran muy cortados, dado que siempre entre dos módulos (de 40 min cada uno) las
alumnas tenían recreo. Esto fue un aspecto negativo para la organización de los tiempos y el
desarrollo de las clases, puesto que después de cada recreo se perdía mucho tiempo hasta lograr
retomar nuevamente el ritmo.
36
 EVALUACIÓN
Durante el desarrollo de toda la práctica se fue haciendo una evaluación formativa del proceso de
aprendizaje de las alumnas con el fin de mejorar y repensar el desarrollo de las clases futuras. Un
ejemplo de esto fue durante el proceso de modelización, cuando al finalizar el estudio de la teoría
de la Desintegración Radiactiva observamos que las alumnas estaban desorientadas y tenían
muchas dudas en cuanto al objetivo o el fin de las actividades desarrolladas hasta el momento.
Ante esto fue necesario replantear nuestra planificación retomando las etapas de modelización y
ubicando las actividades llevadas a cabo en cada una de ellas, como así también las actividades
futuras.
Por otra parte, una vez desarrollado y estudiado todo el tema se procedió a tomar una evaluación
escrita con el fin de evaluar lo aprendido y obtener una calificación.
Los temas evaluados fueron: Modelización Matemática y Simulación. Función exponencial: análisis
de la variación de sus parámetros, representación gráfica.
Para la misma se plantearon 2 temas distintos, y se fijaron en ellas los criterios de evaluación.
A continuación se presentan las 2 evaluaciones:
37
Evaluación de Matemática
PROCESO DE MODELIZACIÓN - FUNCIÓN EXPONENCIAL
TEMA 1
ALUMNA:……………………………………………………………………………………………
Esta evaluación tiene por objetivo valorar las posibilidades del alumno para:



Caracterizar las etapas del proceso de modelización llevado a cabo en clase.
Utilizar e interpretar la función exponencial como modelo matemático para resolver
problemas, seleccionando el modelo más adecuado en función del problema.
Analizar el comportamiento de la función exponencial, desde las diferentes formas de
representación, interpretando sus parámetros.
Recuerda: La interpretación de las consignas forma parte de la evaluación. Justifica
debidamente tus respuestas. Puedes utilizar calculadora y resolver con lápiz remarcando con
lapicera los resultados.
1.
a) Describe detalladamente cada una de las etapas llevadas a cabo en el proceso de
modelización relacionada con la desintegración radiactiva.
b) ¿Por qué fue necesario recurrir a una simulación para la obtención de datos
experimentales? ¿En qué consistió la misma?
c) Resuelve:
Se tienen 270g de cierto elemento radiactivo (Plomo-211) cuyo tiempo de vida media
es de 25 segundos.
¿Cuál será la masa aproximada que quedara luego de transcurridos 150 seg? ¿Y luego
de 3 minutos y medio?
Escribe la fórmula que me permite calcular la masa en función del tiempo (segundos).
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsa y justifica.
a) La función y= -1.(
b)
c)
d)
e)
x
es creciente.
La función y= 2.3x tiene una asíntota horizontal que es la recta de ecuación y=0.
La función y= 5.2x-1 corta al eje y en el punto (0;6).
Todas las funciones del tipo y= ax con a>1 cortan al eje X.
El conjunto imagen de la función y= -4. 3x-2 es los R < 2.
38
3. Identifica cada gráfico con su correspondiente fórmula.
a)
I. y= -2.3xII. y= 3.
–1
III. y= - . 2x
IV. y= 2.
V. y= 3.5x-1
VI. y= - .
GRAFICO N°1
GRAFICO N°2
b) Elige una función de las dadas en el ítem a) que no se corresponda con los gráficos y
realiza su representación cartesiana.
OPTATIVO:
Encuentra la fórmula de la función exponencial y=k.ax que pasa por los puntos (1; 3/2) y (-2; 12).
39
Evaluación de Matemática
PROCESO DE MODELIZACIÓN - FUNCIÓN EXPONENCIAL
TEMA 2
ALUMNA:……………………………………………………………………………………………
Esta evaluación tiene por objetivo valorar las posibilidades del alumno para:



Caracterizar las etapas del proceso de modelización llevado a cabo en clase.
Utilizar e interpretar la función exponencial como modelo matemático para resolver
problemas, seleccionando el modelo más adecuado en función del problema.
Analizar el comportamiento de la función exponencial, desde las diferentes formas de
representación, interpretando sus parámetros.
Recuerda: La interpretación de las consignas forma parte de la evaluación. Justifica
debidamente tus respuestas. Puedes utilizar calculadora y resolver con lápiz remarcando con
lapicera los resultados.
1.
a) Describe detalladamente cada una de las etapas llevadas a cabo en el proceso de
modelización relacionada con la desintegración radiactiva.
b) ¿Por qué fue necesario recurrir a una simulación para la obtención de datos
experimentales? ¿En qué consistió la misma?
c) Resuelve:
Se tienen 420g de cierto elemento radiactivo (Yodo-125) cuyo tiempo de vida media
es de 58 días.
¿Cuál será la masa aproximada que quedara al cabo de 174 días y al cabo de 1 año?
Escribe la fórmula que me permite calcular la masa en función del tiempo (días).
2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsa y justifica.
a) La función y= -3.(2)x es decreciente.
b) La función y=1. 2x -1 tiene una asíntota horizontal que es la recta de ecuación y=0.
c) La función y= 4.2x-1 corta al eje y en el punto (0;5).
d) El conjunto imagen de la función y=-2.(2/3)+1 es los R<1.
e) Todas las funciones de la forma y=ax con a>1 cortan al eje X.
40
3. Identifica cada gráfico con su correspondiente fórmula.
a)
GRAFICO N°1
I.
y= 3.(1/5)x+
II.
y=2.4x
III.
y=
IV.
y=3 .
V.
y=2.
VI.
y=
. 3x +1
–1
. (1/2)x+1
GRAFICO N°2
b) Elige una función de las dadas en el ítem a) que no se corresponda con los gráficos y realiza su
representación cartesiana.
OPTATIVO:
Encuentra la fórmula de la función exponencial y=k.ax que pasa por los puntos (1; 3/2) y (-2; 12).
41
Para la corrección de la evaluación se armo previamente una grilla con los parámetros a tener en
cuenta y el puntaje de cada ejercicio. La misma se presenta a continuación:
5to año Cs
Naturales
Observaciones
a
Ejercicio 1
b
c
a
b
Ejercicio 2
c
d
e
a
Ejercicio 3
b
Describir c/u de las etapas del PM de acuerdo al material
brindado y lo experimentado en clase.
Dar cuenta de la importancia de la simulación para
representar fenómenos reales.
Descripción de la simulación y su relación con el
fenómeno de Desintegración.
Dar la fórmula que permita calcular la masa en función
del tiempo. Con o sin ayuda de una tabla de valores.
Responde correctamente si la afirmación es Vo F
Justifica de forma clara de acuerdo a lo trabajado en
clase
Responde correctamente si la afirmación es Vo F
Justifica de forma clara de acuerdo a lo trabajado en
clase
Responde correctamente si la afirmación es Vo F
Justifica de forma clara de acuerdo a lo trabajado en
clase
Responde correctamente si la afirmación es Vo F
Justifica de forma clara de acuerdo a lo trabajado en
clase
Responde correctamente si la afirmación es Vo F
Justifica de forma clara de acuerdo a lo trabajado en
clase
Identifica correctamente la formula
correspondiente
Grafico
Analiza la grafica en forma clara de acuerdo
1
a lo trabajado en clase para la obtención de
los parámetros.
Identifica correctamente la formula
correspondiente
Grafico
Analiza la grafica en forma clara de acuerdo
2
a lo trabajado en clase para la obtención de
los parámetros.
Grafica correctamente, haciendo uso o no de una tabla
de valores, a partir del análisis adecuado de los
parámetros de la función.
Puntaje
parcial
Puntaje
obtenido
1
0,25
0,75
2
0,1
0,4
0,1
0,4
0,1
0,4
0,1
0,4
0,1
0,4
0,25
0,75
0,25
0,75
1,5
42
Presentamos aquí los resultados obtenidos en las evaluaciones y el porcentaje de aprobados y
desaprobados:
43
Comentarios sobre la evaluación:
Al momento de armar la evaluacion consideramos muy importante el proceso de modelizacion
llevado a cabo,razón por la cual decidimos asignarle al ejercicio 1 el mayor puntaje. Si bien los
items a) y b) del mismo consistian solo en describir el proceso realizado, material que tenian
impreso, la mayoria de las alumnas no pudieron responder a estas preguntas. Algunas de ellas solo
nombraban las etapas del proceso o definian simulación, sin describir detalladamente cual fue el
proceso de modelizacion y la simulación llevadas a cabo. Esto podria deberse a la creencia de que
Matematica se remite a lo practico y que la escritura no se encuentra dentro del “hacer
Matemática”.
En cuanto a los ejercicios 2 y 3 no observamos grandes dificultades o errores, salvo casos
particulares, como ser el item d) del ejercicio 2, en donde casi todas las alumnas acertaron al
verdadero o falso pero no pudieron dar una justificacion para el mismo, solo dos de ellas lo
hicieron de manera correcta. El ejercicio optivo, es una modalidad empleada por la docente a
cargo del curso en todas las evaluaciones, éste no influye en la nota final de la evaluación. La
modalidad consiste en que la alumna que resuelve correctamente tres de éstos ejercicios
optativos, le corresponde una nota extra igual a 10. Para ésto la profesora lleva un registro de
quienes han intentado resolverlo y quienes lo han hecho correctamente. Resolverlo
incorrectamente no suma ni resta posibilidades de luego obtener el 10.
A continuación comenzaremos con el análisis teórico del problema seleccionado, con el cual
buscamos resaltar la importancia de la simulación como herramienta útil para una propuesta
pedagógica centrada en el proceso de MM y para abordar la construcción de un Modelo
Matemático.
44
ANÁLISIS DE UN PROBLEMA DESDE UN PUNTO DE VISTA TEÓRICO
Como puede observarse a lo largo de este informe, el desarrollo de las prácticas estuvo basado,
principalmente, en el proceso de Modelización Matemática a través de la Simulación
Debido a que, en la segunda etapa del proceso de Modelización Matemática (MM) (ver Figura N°1)
trabajado previamente por la docente a cargo del curso, trabajando bajo el tema: dinámica
poblacional de una colmena, para la obtención de datos se recurrió a la ayuda de un especialista,
quien brindó toda la información empírica necesaria, nosotras decidimos afrontar ésta etapa de
un modo más práctico, dando a las alumnas la posibilidad de experimentar y obtener sus propios
datos. Esta decisión tiene relación con nuestra propia experiencia con la MM que se encuentra
vinculada con el proceso que se ilustra en la Figura N°2.
Etapa1: Formular un problema
dentro de un tema o problemática
que interese ser estudiada.
Etapa2: A partir de los datos
obtenidos, construir un modelo
matemático que represente el
sistema en estudio.
Etapa3: Deducir una solución para el
modelo.
Etapa4: Testear el modelo y la
solución deducida para él con el
problema real.
Figura N°1: Esquema de MM presentado por la
profesora a cargo del 5° año CN
Figura N°2: Esquema de MM de Bassanezi (2002) ilustrado en notas de clase de
Mónica Villarreal
Para lograr nuestro objetivo, buscamos en distintas fuentes, temas y experiencias de laboratorio
relacionadas con las Ciencias Naturales teniendo en cuenta la especialidad del Ciclo Orientado.
Algunos ejemplos interesantes fueron: reproducción de bacterias, datación de fósiles, cálculo del
Ph de algunas sustancias, etc. Pero, con estos temas, no nos fue posible encontrar una experiencia
de laboratorio que pudiera ser llevada a cabo en el colegio, y a partir de la misma obtener datos
ricos de forma rápida y fácil de observar con la tecnología disponible en el colegio. Al continuar
con la búsqueda encontramos en Internet una experiencia (la que finalmente propusimos) que, al
analizarla con más detalles, descubrimos que se trataba de una Simulación de la desintegración de
una muestra de elementos radiactivos a través del tiempo.
Gracias a ella, entonces, fue posible realizar, junto a las estudiantes, todo el proceso de MM,
según se detalla en la Figura N°2. Dada la relevancia de esta experiencia para nuestra práctica, es
que, buscamos resaltar y analizar la importancia de la Simulación como herramienta útil para una
propuesta pedagógica centrada en el proceso de MM y abordar la construcción de un Modelo
45
Matemático. En este sentido, a continuación, presentamos una breve discusión sobre el sentido
atribuido a simulación, informamos brevemente cuándo convine simular y qué permite. A partir
de esta información, analizamos la simulación que lleváramos a cabo en clase y cerramos este
capítulo con una discusión respecto a los aportes que significó la incorporación de nuevas
tecnologías en todo el proceso de prácticas.
Simulación: Sentido, cuándo utilizarla y qué permite.
Al introducirnos en este nuevo concepto (nuevo para nosotras), comenzamos con una búsqueda
teórica sobre el mismo, encontrando por definición la siguiente:
"La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a
término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del
sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los límites impuestos por un cierto
criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema". (R.E. Shannon,
1976).
Tal definición fue la propuesta en la guía construida para las estudiantes.
En el transcurso de esta búsqueda nos surgió un interrogante: ¿Cuándo simular y cuáles son sus
ventajas? En respuesta a ello encontramos:
¿Cuándo conviene utilizar la Simulación?
A partir del trabajo realizado y la bibliografía consultada podemos decir que conviene simular
cuando:
 No exista un sistema real, sea caro o peligroso o sea imposible construir y manipular un
prototipo del fenómeno en estudio.
 La experimentación con el sistema real sea peligrosa, costosa o pueda causar
incomodidades.
 Se requiera que el proceso sea en menos tiempo. La simulación proporciona un control
total sobre el mismo, debido a que un fenómeno real se puede acelerar.
 Se desea experimentar con el sistema antes de su uso o construcción.
Parece medianamente claro cuándo simular pero vale la pena también saber qué nos posibilita la
simulación.
¿Qué nos permite la simulación?
De la bibliografía consultada podemos indicar algunos aportes de la simulación para el estudio de
algunos fenómenos de interés. En este sentido podemos indicar que la simulación:
 Proporciona un método más simple de solución cuando los procedimientos matemáticos
son complejos y difíciles.
 Auxilia el proceso de innovación ya que permite al experimentador observar y jugar con el
sistema.
46






Ofrece un medio para lograr una solución, en aquellos casos que es muy difícil
encontrarla por otros medios.
Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones
empíricas sobre un sistema.
Favorece una mejor comprensión del sistema.
Es más fácil de manipular que el sistema mismo.
Resulta menos costoso que algunas experimentaciones.
Permite estudiar sistemas dinámicos en tiempo real.
Por otra parte pudimos ver que hay distintos tipos de modelos de simulación y que estos pueden
clasificarse según su aleatoriedad en:
– Deterministas: Aquellos modelos que no contienen elementos aleatorios.
– Estocásticos: Aquellos modelos que contienen alguna componente aleatoria.
La simulación y las tecnologías en nuestra práctica
En este sentido la Simulación que llevamos a cabo en la práctica responde a un modelo estocástico
ya que, tanto la desintegración de los núcleos de un átomo a través del tiempo como, así también,
el comportamiento de las fichas de corcho en el experimento, corresponden a hechos
probabilísticos.
A partir de todo esto, y teniendo en cuenta los “pasos” a seguir al momento de realizar una
simulación, los cuales fueron presentados en la guía y se detallan nuevamente a continuación, fue
que comenzamos a pensar en Nuestra Simulación:
1) Seleccionar un problema de interés.
2) Seleccionar un medio material o físico que contenga las principales características
matemáticas del problema y la experimentación que realizará.
3) Determinar la cantidad de veces que repetirá el experimento.
Para esto, hasta el momento, solo teníamos seleccionado el problema y formulada la idea general
de la Simulación. Para comenzar fue necesario buscar los materiales adecuados y aptos para
poder llevarla a cabo.
En la fuente donde encontramos la experiencia planteada, el material propuesto consistía en:
-caja de cartón.
-200 monedas.
-software graficador.
Y la experimentación o experimento a realizar, tal como se detalla en la pág. 12, consistía en
colocar las monedas con la cara hacia arriba (que simulaban una muestra de elementos
radiactivos) en el interior de la caja, mover luego la caja (con lo que se simulaba un periodo de
semi-desintegración radiactiva), retirar aquellas que se habían dado vuelta (simulaban los
elementos radiactivos desintegrados) y, contar y anotar las que quedaron en el interior de la caja (
elementos radiactivos no desintegrados). No volver a introducir las monedas dentro de la caja y
repetir el experimento hasta quedar 1 ó 0 monedas al interior de la misma.
47
Nuestro primer inconveniente fue que era imposible contar con esa cantidad de monedas y más
aun, si se trabajaba con 6 grupos, dado que se iban a necesitar 200 por grupo. Ante esto decidimos
remplazar este material por otro de características similares. Hecho que llevó tiempo. Fuimos
probando con distintos materiales, entre ellos naipes, fichas de cartón, lentejas, porotos; pero
para cada uno de estos surgía una dificultad por lo cual no resultaba adecuado utilizarlos, eran
muy livianos, grandes o difíciles de manipular.
Finalmente surgió la idea de utilizar corchos de botellas cortados en rodajas, y dado que
necesitábamos que tuviesen bien marcadas dos caras distintas, les pintamos una de ellas. Al
experimentar con este material comprobamos que tenían un tamaño y peso adecuado, por lo que
eran fáciles de manipular.
Una vez seleccionadas las fichas, fue necesario pensar en el tamaño adecuado para las cajas. Dado
que, si eran muy chicas las fichas se amontonaban o quedaban paradas, probamos con distintos
tamaños hasta conseguir la caja adecuada (que resultó ser de 15cm x 30cm x 45cm)
En el caso del software, para el análisis de datos, decidimos utilizar el Graphmatica puesto que es
un programa fácil de aprender y utilizar.
Una vez listo todo el material, se procedió a pensar cuántas veces sería necesario repetir el
experimento, tomando como referencia teórica la ley de los grandes números:
“La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un
experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso
elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.”
(http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/probabilidad/ley_de_los_grandes_nmer
os.html )
En base a esto decidimos que, cada grupo realizara el experimento 3 veces, así en total entre los 6
grupos se repetiría 18 veces.
Una vez tomadas todas las decisiones importantes, se pudo llevar a cabo una exitosa Simulación.
En este éxito tuvo mucho que ver el uso del software, puesto que gracias a él se pudo llevar a
cabo un análisis correcto de los datos obtenidos en la experiencia a través del “juego” entre la
misma y el ajuste de curvas, permitiendo así llegar al modelo grafico correcto.
A modo de conclusión, podemos decir que dentro del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la Matemática, la Simulación es la recreación de un ambiente de aprendizaje en el
cual los estudiantes realizan actividades, crean y modifican modelos, visualizan fenómenos intra o
extra matemáticos e interactúan con ellos, toman decisiones, enfrentan consecuencias de tales
decisiones y reciben retroalimentación de su comportamiento en el ambiente simulado3. Esto
3
http://weblogeducativo.blogspot.com.ar/. Consultado en noviembre de 2012.
48
pudo observarse al ajustar los datos obtenidos con distintas curvas, donde para hacer la elección
adecuada de la misma debieron tener presente lo realizado en la experiencia. Al momento de
ajustar con la curva lineal, pudieron darse cuenta, con nuestra ayuda, de que no era la adecuada,
ya que no podían obtener una “cantidad negativa de corchos” , y al hacerlo con la cuadrática y
compararla con la experiencia notaron que en ella, una vez retirados los corchos de la caja no
volvían a ser reintegrados, es decir, que la cantidad de fichas de corcho iba disminuyendo, por lo
que la rama ascendente de la función cuadrática no se correspondía con la experiencia; luego esta
función tampoco era la adecuada.
Las herramientas de simulación permiten que el alumno lleve su propio ritmo de aprendizaje y se
enfrente de modo individual al proceso de elaboración de sus propias conclusiones con relación a
los fenómenos que va a simular, siendo el alumno el protagonista activo de su propio proceso de
aprendizaje.
Este ambiente de aprendizaje estimula la motivación y el interés de los alumnos por desarrollar
sus destrezas matemáticas, ayudando a éstos a construir, fortalecer y conectar varias
representaciones matemáticas, al tiempo que aumentan el deseo por descubrir y aplicar lo que
están aprendiendo a nuevas experiencias reales de la vida, permitiendo a los estudiantes utilizar
ideas de un área para entender mejor otra, para que así el aprendizaje matemático sea pertinente
y significativo. Un hecho de esto pudo observarse en el comentario de una de las alumnas al
momento de estudiar la Desintegración del Uranio: “¿Esto es química no?... Me va a servir para
rendir”.
Finalmente, podemos decir, que si bien llevar a cabo una práctica centrada en el proceso de MM,
privilegiando procesos de experimentación, nos generó dificultades tales como: encontrar el tema
a tratar, adecuar los materiales para la simulación, y adaptar la experiencia al contexto áulico, a
eso se agrega disponer de tiempo para enseñar a utilizar un software.
En todo el trabajo, en la construcción de conocimiento producido durante las prácticas, se puso
en evidencia la noción de “humanos-con medios” discutida en el texto de Villarreal (2004)
Decimos que se puso en evidencia, puesto que la actividad intelectual del humano se produce con
el medio, es decir, que se conoce con, se piensa con y se actúa con el medio. En otras palabras, las
tecnologías (en nuestro caso el uso del software Graphmatica) tienen un rol activo en la actividad
matemática contribuyendo a cambiar la dinámica y cultura de las clases de manera significativa
permitiendo así experimentar la Matemática de un modo diferente lo cual también produce que
los alumnos tomen ese rol activo y no sean meramente receptores de conocimientos, sino
productores de los mismos, asumiendo una posición activa. En este sentido, puede retomarse la
afirmación de Romberg y Carpenter incorporada en el texto de A. Schoenfeld “… el aprendizaje
ocurre por construcción y no por absorción.
49
Podemos decir entonces, que ésta práctica termina contribuyendo a ampliar nuestra propia
visión de MM e implica para nosotras un nuevo aprendizaje en lo que respecta a un “modo
distinto” de enseñar.
50
CONCLUSIÓN
A modo de conclusión podemos decir que la experiencia vivida durante todo el desarrollo de
nuestra práctica fue muy positiva y significó también para nosotras un aprendizaje, no solo por el
hecho de estar frente a un curso por primera vez, sino también por el modo de trabajo.
El trabajo con proceso de modelización matemática (PMM), en particular la experiencia realizada,
nos permitió tener un mayor contacto con las alumnas y una relación “amistosa”, y no tanto una
relación tradicional docente-alumno, hecho que nos permitió tener una mayor seguridad y
confianza a la hora de estar frente al curso.
Si bien, en un principio nos entusiasmó mucho la idea de trabajar con PMM, a la hora de comenzar
a pensar y plantear las actividades surgieron muchos temores puesto que sabíamos que se trataba
de un trabajo arduo y difícil, pero con la ayuda de las docentes y con muchas horas de trabajo,
pudimos llevarlo a cabo exitosamente.
Podemos decir también que trabajar con Simulación en el PMM resultó una experiencia
atractiva y novedosa como propuesta para el aula, en particular la simulación que realizamos, la
cual fue mas “tangible” y “material”, a diferencia de las que se llevan a cabo normalmente en
computadoras, puesto que permite recrear un ambiente de aprendizaje en el cual el alumno lleva
su propio ritmo de aprendizaje y es protagonista activo de ello, toma decisiones y recibe
retroalimentación de sus acciones en dicho ambiente.
51
ANEXO
52
ANEXO 1: PRIMERA PARTE DE LA GUIA DE TRABAJO UTILIZADA DURANTE EL PERIODO DE
OBSERVACIÓN.
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Introducción:
Podemos caracterizar a la modelización matemática
como una actividad de
matematización de problemas reales. Muchas situaciones del mundo real pueden presentar
problemas que requieren soluciones, decisiones, o previsiones y una formulación matemática
detallada.
Un modelo matemático es un conjunto consistente de ecuaciones o estructuras
matemáticas elaborado para comprender o representar algún fenómeno físico, biológico, social,
etc. Un modelo matemático puede ser formulado de distintas maneras: con expresiones
numéricas o analíticas, diagramas, gráficos, representaciones geométricas, ecuaciones algebraicas,
tablas, programas computacionales, etc.
Llevar adelante un proceso de modelización matemática implica ir realizando distintas
actividades e ir cumplimentando ciertas etapas:
1° Etapa: Formular un problema dentro de un tema o problemática que interese ser estudiada
2° Etapa: A partir de los datos obtenidos, construir un modelo matemático que represente el
sistema en estudio (en esta instancia puede ser necesario recurrir a la experimentación para
obtener datos, requerir informaciones de un especialista, utilizar datos generados por otros y/o
desde distinta fuentes).
3° Etapa: Deducir una solución para el modelo.
4° Etapa: Testear el modelo y la solución deducida para él con el problema real.
Nos introduciremos a actividades de modelización considerando un ejemplo relacionado
con un grupo de abejas que emigran con una reina, luego de que en la colmena naciera una nueva
reina, por lo tanto:
Tema: Dinámica poblacional de una colmena
Para comenzar a familiarizarnos con nuestro tema, le pedimos a una apicultora que nos
ayudara con la etapa inicial de investigación, de este modo no fue necesario realizar
experimentaciones o búsquedas especiales para obtener los datos necesarios. Durante su visita al
curso, pudimos obtener información respecto a algunas condiciones de la apicultura en Córdoba.
Entre los datos que nos ofreciera, que corresponde a nuestro objeto real de estudio, destacamos
que, cuando en una colmena nace una nueva reina, la abeja reina “vieja” deja el panal y la
acompañan aproximadamente 10.000 abejas obreras y hasta un 20% de zánganos para formar una
53
nueva colmena. Se suele indicar que una colmena se encuentra en “condiciones normales” cuando
alcanza una población de 60.000 a 80.000 obreras. De ese modo, dentro del tema escogido,
podríamos ser más específicos y reconocer como situación problemática la siguiente:
Problema: ¿Cuánto tiempo tardará en formarse una nueva colmena, en condiciones normales, es
decir entre 60.000 y 80.000 obreras?
Comenzando con la etapa de matematización o construcción del modelo, recordemos que
otros de los datos relevantes fueron los relacionados con la composición de los habitantes de una
colmena. Esto es, una colmena está constituida básicamente por:
 1 reina
 Entre 60.000 y 80.000 obreras y
 10% a 20% de zánganos. (Nos aclaró además, que en las colmenas artificiales los
apicultores reducen esta cantidad a un 5%, o como máximo a un 10%)
Agregó que, los tiempos de vida de cada uno de estos grupos, en la época productiva, son
los siguientes:
 La reina tiene una vida media de 5 años
 Los zánganos tienen una vida media de 80 días y
 Las obreras tienen una vida media de 40 días
Por otro lado la incubación de los huevos no es siempre la misma para los diferentes grupos
y que en términos generales los tiempos necesarios de incubación para cada uno de ellos se miden
en días y se distribuyen de este modo:
 16 días para la reina
 24 días para los zánganos y
 21 días para las obreras.
Se estima que la reina, al emigrar, está en condiciones de realizar una postura media de
2.000 huevos por día y que entre las 10.000 obreras que la acompañan, podremos encontrar
abejas de todas las edades, con ello se asegura la existencia de obreras en condiciones de cumplir
con diferentes funciones esenciales para el desarrollo de una colmena, durante los primeros 21
días o período de adaptación.
Para poder comenzar a resolver nuestro problema vamos a agregar una condición acerca de
las características de las 10.000 obreras que acompañan a la reina. La condición que agregamos
está relacionada con la distribución de las edades de las abejas que acompañan a la reina,
permitiéndonos, de ese modo, simplificar el problema original.
54
En este caso asumiremos que a la reina la acompañan igual cantidad de abejas de un día de vida,
igual cantidad de abejas de dos días, igual cantidad de abejas de tres días, etc. Esto en matemática
se expresa diciendo que “las edades de las abejas están equidistribuidas”.
No está mal esta suposición ya que éste es un caso posible, entre otras razones porque según las
edades, las abejas van cumpliendo en la colmena distintas funciones, por ejemplo, limpieza de las
celdas, nodrizas, pecoreadoras, etc. Es decir que necesitamos, para la constitución de la nueva
colmena, abejas de todas las edades tal como lo mencionamos antes, para asegurar la adaptación.
Teniendo en cuenta esta condición que le impusimos respecto de las edades de las abejas,
podemos reformular el problema original del siguiente modo:
PROBLEMA BAJO NUESTRO SUPUESTO
Problema: ¿Cuánto tiempo tardará en formarse una nueva colmena, en condiciones normales, es
decir entre 60.000 y 80.000 obreras, si asumimos que las edades de las 10.000 obreras que
acompañan a la reina están equidistribuidas?
Combinado los datos mencionados arriba, esto es, término medio de días de vida de las
obreras, cantidad de huevos que puede poner la reina y tiempos medio de incubación, podemos
identificar varios momentos en la evolución de la población de la colmena.
Partimos claramente de 10.000 obreras que acompañan a la reina y que en la etapa inicial,
o período de adaptación, intermedio entre la postura inicial y el nacimiento de las primeras abejas
(21 días), sólo morirán abejas. Entre los veintiún y cuarenta días transcurridos, comenzarán a
producirse los primeros nacimientos y simultáneamente continuarán muriendo abejas del primer
grupo de obreras. Desde el día cuarenta y uno al sesenta se producirán sólo nacimientos ya que,
debido al promedio de vida de las obreras, habrán muerto todas las del primer grupo y restan
veinte días más para que comiencen a morir las abejas que nacieron en la nueva colmena. Estas
etapas corresponden al período de desarrollo de la colmena. Finalmente, transcurridos sesenta
días se producirá una etapa de equilibrio entre nacimientos y muertes. Dicho de otro modo:
Una primera etapa o período de adaptación
Una segunda etapa período de desarrollo
Tercera etapa
40 < t ≤ 60
Y cuarta etapa o período de equilibrio t > 60
0 ≤ t ≤ 20
20 < t ≤ 40
Comencemos entonces a analizar ahora etapa por etapa
1° etapa o período de adaptación:
En esta etapa sólo mueren las abejas que emigraron junto con la reina vieja.
55
Para ayudarnos utilizaremos como recurso una tabla de dos columnas en la que anotaremos
números de días y cantidad de abejas vivas para cada uno de ellos.
Dicho de otro modo, en la primera columna consignamos nuestra variable independiente (número
de días transcurridos) y en la segunda columna la variable dependiente (cantidad de abejas vivas).
Día Número
0
1
2
3
4
5
.
.
.
20
Cantidad de abejas vivas
10 000
Esta tabla de valores, nos da una
primera idea del comportamiento
poblacional de las abejas.
Nos damos cuenta que con este recurso,
ya contamos con una primera
aproximación importante.
La expresión analítica que le corresponde es:
f( x ) = y = 10 000 – 250 . x
Con 0 ≤ x ≤ 20
Esta expresión analítica es el modelo matemático correspondiente a la primera etapa
La función de 1° grado es una f :R
R pero como nosotros estamos trabajando con una
variable discreta ( el número de días, que es un número natural), por convención, a estas
funciones con dominio en los Naturales, se las llama sucesiones.
Notación:
Llamemos n al número de días yana la cantidad de abejas vivas en el día n, de este modo, por
ejemplo, para indicar la cantidad de abejas vivas en el día 8 escribiremos a8
Por otro lado, como cada día voy a tener un número natural de abejas, cada vez que yo realice la
diferencia entre dos valores sucesivos obtendré un número entero.
pero también
a1 – a 0= –250
a2 – a 1= – 250
(1)
(2)
Llamando d a ese valor fijo,tendremos por recurrencia:
an – a n-1= d
56
Trataremos ahora de encontrar el término general de la misma.Para un día cualquiera, si yo
conozco el número de abejas del día anterior y la diferencia diaria d podría encontrar el número
de abejas para ese día. Por ejemplo tomemos los días 1 y 0. Conozco a0 y d, despejo de (1) y
obtengo:
a1 = a0 + d
Y si ahora quiero, con esos mismos datos, obtener a2, despejo de la (2) y obtengo:
a2 = a 1 + d
Pero por la anterior:
a2 = (a0 + d) + d = a0 + 2d
a3 = a2 + d = (a0 + 2d ) + d = a0 + 3d
Y si se sigue con esta idea, llegamos a que, el termino general es:
an = a0+ n.d
A las sucesiones como ésta, que cumplen que cada término se obtiene sumándole al anterior una
cantidad fija (d), las denominamos sucesiones aritméticas.
En nuestra sucesión, la cantidad de abejas va disminuyendo día a día, un valor constante igual a
250.
Con nuestros datos:
an = 10 000 + n. (–250 )
con 0 ≤ n ≤ 20
2° etapa – Inicio del período de desarrollo:
A partir del día 21 comienzan a nacer nuevas abejas (2000 por día), pero también
continúan muriendo diariamente las 250 obreras que acompañaron a la reina en el éxodo.
Entonces, la población se incrementa efectivamente en 1750, esto es las 2000 que nacen ese día,
menos las 250 que mueren ese mismo día.
Para esta etapa y con la intención de simplificar, introducimos un nuevo contador de días
al que llamaremos N, de tal modo que para el día 20 a N le asignamos el valor cero, para el día 21
le asignamos 1 y así sucesivamente. Lo que estamos haciendo es recomenzar el proceso de
conteo que nos permitirá analizar cada etapa individualmente. Luego, tendremos en cuenta el
proceso completo y volveremos al cero inicial (día cero, en el que se realiza la primera postura de
huevos).
Nuevamente aquí emplearemos una tabla. En este caso utilizaremos una tabla de tres
columnas. La primera para la variable independiente (número de días), la segunda para el
contador auxiliar y la tercera para la variable dependiente (cantidad de abejas vivas para cada día):
Día (n)
N
an
57
40
...
5.000
...
0
1
2
3
...
20
21
22
23
20
En este caso la expresión analítica para el número de abejas por día ó an es:
aN = ...........................................
con 0 ≤ N ≤ 20
O sea que la diferencia entre dos días sucesivos, en esta segunda etapa, es positiva e igual a 1750
Teniendo en cuenta la cantidad de días, desde el inicio, tendremos:
an = 5000 + 1750 . ( n – 20 )
Aplicando propiedad distributiva:
an =.......................................................................................
an = 1750 . n – 30 000 con
20 < n ≤ 40
Tercera etapa-Continuación del período de desarrollo:
Tal como indicamos más arriba, en el día 40 habrán muerto todas las abejas que emigraron y a
partir de allí, sólo se producirán los 2000 nacimientos por día.
Nuevamente aquí recurriremos a una tabla e introduciremos el contador auxiliar, para representar
las variables consideradas en el problema.
60
an
40 000
...
N
0
1
2
3
...
Día (n)
40
41
42
43
20
aN = ……..........................................
0 ≤ N ≤ 20
58
y desde el inicio:
an= ……………………………………………..
an= …………………………………………….
an= ..............................
40 < n ≤ 60
Cuarta etapa-Período de equilibrio:
A partir del día 61, comenzarán a morir 2000 abejas por día (las 2000 que ya vivieron 40
días, por haber nacido el día 21), y seguirán naciendo 2000 abejas por día. Esto es, se compensan
las abejas que mueren con las que nacen produciendo un incremento nulo. En la tabla que
emplearemos en esta etapa mantendremos las mismas convenciones respecto de variables y
contador que en las etapas anteriores.
…
an
80 000
…
N
0
1
2
…
día
60
61
62
¿A qué es igual la diferencia en esta etapa?......................................
entonces :
aN = ...........................................
an = .......................................
con 0 ≤ N ≤ 20
con n >60
SÍNTESIS DEL MODELO ANALÍTICO DE NUESTRO PROBLEMA
Como modelo matemático, para la dinámica poblacional de una colmena bajo la condición de la
equidistribución de las edades, se obtiene una expresión analítica en la que el dominio está
particionado, según las etapas que habíamos identificado y que se ilustra más abajo. Completa con
los modelos que obtuviste en cada etapa:
59
a n=
10 000 – 250 .n
..................................
………………………….
..........................................
con 0 ≤ n ≤ 20
20 < n ≤ 40
40 < n ≤ 60
n > 60
1° etapa
2° etapa
3° etapa
4° etapa
Ahora estás en condiciones de responder a la pregunta del problema que nos formulamos
¿Cuánto tiempo tardará en formarse una nueva colmena, en condiciones normales, es decir entre
60.000 y 80.000 obreras, si asumimos que las edades de las 10.000 obreras que acompañan a la
reina están equidistribuidas?
……………………………………………………………………………………………….
Para los requerimientos del Proceso de Modelización,nos queda aún por cumplimentar, la 4°
Etapa: Testear el modelo y la solución deducida para él con el problema real.
¿Cómo podremos llevarlo a cabo?
………………………………………………………………………………………………
GENERALIZACIÓN DEL MODELO
El modelo creado para la dinámica poblacional de las abejas se puede descontextualizar y
generalizar como modelo matemático. Ya indicamos que en matemática, tal modelo se reconoce
como sucesión aritmética.
En este proceso de generalización nos adecuaremos a las convenciones matemáticas. Aunque en
nuestro problema fue importante comenzar a contar desde cero la mayoría de los textos inicia el
conteo de la sucesión numérica en 1.
De este modo, en la generalización, comenzaremos a contar desde 1 y el primer término de la
sucesión será a1 .La sucesión será entonces: a1; a2; a3;a4……; an
a1; a1+d; a1+2d; a1+3d; ………….; a1+(n-1)d
y su término general es: an = a1 + (n-1) . d
Esta es la convención con que se aplicará el modelo a los siguientes problemas que les propongo
resolver.
60
ANEXO 2: TUTORIAL GRAPHMATICA
ELEMENTOS DE LA VENTANA DE GRAPHMATICA
1
2
4
3
5
6
1- Barra de Menú principal (En esta barra se encuentran los submenús que se abren bajo cada una
de las opciones).
2-Barra de herramientas estándar (Contiene los botones para los comandos más usados)
3-Renglón blanco de entrada para el ingreso de las funciones (Para simplificar las expresiones
Graphmatica soporta la multiplicación implícita como 4x, sin la necesidad de escribir las expresión
4*x)
4-Cola de re-dibujo (Permite seleccionar cualquier ecuación en memoria para graficarla,
eliminarla, o editarla para formar una nueva ecuación. Graphmatica recuerda las ultimas 25
ecuaciones que se digitaron o que fueron cargadas desde un archivo).
5-Ventana de gráficos (En esta área aparecen las gráficas de las funciones que se van digitando.).
6- Barra de estado (Muestra información relevante y mensajes de ayuda)
61
GRAFICAR FUNCIONES EN GRAPHMATICA
Para graficar una función, sólo tenemos que escribir la función en el renglón en blanco
Por ejemplo si queremos graficar la función lineal y = 2x – 3, la escribimos en el renglón en blanco,
y después Enter o clic en el botón de dibujar gráfica.
ALGUNOS OPERADORES A TENER EN CUENTA
OPERADOR
SIGNIFICADO
=
Igual
+
Suma
Resta
*
Producto
/
División
^
Potencia ( Alt + 94 )
()
paréntesis
62
TABLA DE PUNTOS
Para ver la tabla de datos de la función ingresada debo hacer click en Ver, en el menú principal y
luego click en Tabla de puntos u otra opción es hacer click en el botón Tabla de puntos que figura
en la barra de Herramientas.
CAMBIO DE COLOR
Para apreciar mejor las gráficas es posible cambiar el color de fondo, esto se realiza haciendo click
en el menú Opciones y luego en Papel Grafico. Inmediatamente después aparecerá una ventana
en la cual si selecciona la etiqueta color, le permite cambiar el color de fondo y también
seleccionar el color de los elementos de la cuadricula (borde, ejes, gráfica2, etc.…
63
AJUSTE DE CUADRICULA
Para observar el comportamiento de las gráficas, en un determinado dominio y rango es posible
modificar rango de la cuadricula, es decir, se modificará el rango del eje de las abscisas y el de las
ordenadas.
Para ello, se da click en el menú Ver y después clic en Rango de Cuadricula o simplemente click
derecho sobre la ventana de gráficos, y click en rango de la cuadricula.
BORRAR, OCULTAR, RE-DIBUJAR TODAS
Para realizar otras gráficas a veces es necesario limpiar el área de trabajo. Para esto, cuento con
los siguientes comandos
Ocultar gráfica: me permite esconder de pantalla la gráfica seleccionada.
Borrar Grafica: elimina de pantalla la gráfica seleccionada
Limpiar pantalla: me permite ocultar todas las gráficas a la vez
Redibujar todas: me permite redibujar en pantalla todas las funciones ingresadas. Excepto
aquellas que han sido borradas.
64
INGRESO DE DATOS DE UNA TABLA
Para ello debo hacer uso del editor del diagrama de datos. El mismo se encuentra haciendo click
en el menú Ver y luego click en Editor del diagrama de datos, o simplemente recurrir al comando
Editor de Datos que figura en la Barra de herramientas.
AJUSTE DE CURVA
Me permite ajustar los datos ingresados en la tabla mediante una curva. Para ello debo
seleccionar el comando opciones, que figura en el diagrama de datos, y seleccionar la función
deseada para ajustar tales datos. Luego de esto hacer click en el botón ajustar curva que figura en
este diagrama. Automáticamente se dibujara la grafica correspondiente.
65
ANEXO 3:
ETAPAS DEL PROCESO DE MODELIZACION
PROCESO DE MODELIZACION MATEMÁTICA:
DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA- FUNCIÓN EXPONENCIAL
ACTIVIDADES LLEVADAS A CABO EN CADA ETAPA:
 ETAPA 1: Escoger un tema y estudiar un problema.
Esta etapa se completó eligiendo como tema central el fenómeno de la Desintegración
Radiactiva.
 ETAPA 2: - Obtener datos.
Se llevó a cabo una experiencia (con caja y corchos), haciendo uso de la simulación, de donde
se obtuvieron datos experimentales (tablas). Y por otra parte se acudió a la búsqueda de
información sobre el fenómeno de Desintegración Radiactiva, a partir de la lectura del
material teórico presentado en la guía.
- A partir de los datos obtenidos construir un modelo matemático que represente el
sistema en estudio.
Una vez registrados los datos en las tablas, después de realizada la experiencia , se procedió
al análisis de los mismo haciendo uso del software Graphmatica, el cual permitió abordar a un
modelo grafico exponencial luego de haber ajustado dichos datos con distintas curvas.
 ETAPA 3: Deducir una solución formal para el modelo.
Una vez establecida la relación entre la experiencia y la teoría de Desintegración (nuestra
simulación), y utilizando las nociones de probabilidad se arribo a la formula general del
modelo Y= 200 x (1/2)X .
 ETAPA 4: Testear el modelo y la solución deducida para él con el problema real.
Para la verificación del modelo se realizó la siguiente tabla promedio y su grafica a partir de
los datos registrados en las 15 tablas correspondientes a los 5 grupos.
intento
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cantidad de
fichas en la
caja
200
108,67
62
31,73
15,13
7,33
4,6
2,5
1,2
1
A partir de esto y haciendo uso del Graphmatica se obtuvo la siguiente formula Y = 194,03 x
(0,54)x , y al contrastarla con la formula general obtenida en la etapa anterior se observó que
el valor 194,03 se aproxima al 200 y el valor 0,54 al 1/2. Lo que nos permitió concluir que los
datos experimentales obtenidos se aproximaron a los datos reales (probabilísticos).
66
ANEXO 4:
VISUALIZACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN ( y=k.ax ) SEGÚN LA VARIACIÓN DEL PARAMETRO k
VISUALIZACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN ( y=k.ax +c) SEGÚN LA VARIACIÓN DEL PARAMETRO c
67
ANEXO 5: TORRES DE HANOI
68
BIBLIOGRAFÍA:
Abdala, C & otros(2007). Nueva carpeta de Matemática VI. Aique .
Alegria, M & otros (1999). Quimica I. Santillana Polimodal.
Altman, S & otros (2002). Matemática polimodal: Funciones 2. Longseller.
Camuyrano M & otros (2005). Matemática I: Modelos matemáticos para interpretar la realidad.
Estrada Polimodal.
Esteley, C (2010). Tesis Doctoral: Desarrollo Profesional en Escenarios de Modelización
Matemática: Voces y Sentidos.
http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/probabilidad/ley_de_los_grandes
_nmeros.html
http://weblogeducativo.blogspot.com.ar/
http://www2.ib.edu.ar/becaib/cd-ib/trabajos/Meier.pdf
Kaczor, P & otros (1999). Matemática I. Santillana Polimodal.
Mautino, J (2002). Quimica Polimodal: Estructura de la materia y transformaciones químicas. Ed.
Stella.
Ramos , A .& Begoña, V .Modelos matemáticos de simulación. Universidad Pontificia Comillas,
Madrid, p 1-45.
Ruiz Gutiérrez, J. La Simulación como Instrumento de Aprendizaje, Evaluación de Herramientas y
estrategias de aplicación en el aula, I.E.S. Fco. García Pavón TOMELLOSO (Ciudad Real), p.0-18.
Systems simulation: the art and science. IEEE Transactions on Systems, Man and
Cybernetics 6(10). pp. 723-724
Tapia, C & otros (1992). Matemática 4. Editorial Estrada y Cia S.A.
Villarreal, M (2010). El proceso de modelización matemático. Notas de clase para didáctica de la
matemática de Famaf.
Villarreal, M. (2004) .Transformaciones que las tecnologías de la información y la comunicación
traen para la educación matemática. Yupana, n.1, p. 41-55.
69