CAPÍTULO 6. 6.1 Construya un mapa de cuadrado curvilíneo para

CAPÍTULO 6.
6.1 Construya un mapa de cuadrado curvilíneo para un capacitor coaxial de 3-cm el radio interno y 8-cm el radio exterior.
Estas dimensiones son adecuadas para el dibujo.
a) Use su dibujo para calcular la capacitancia por metro de longitud, suponiendo R = 1: El dibujo se muestra
abajo. Note que únicamente un sector de 9° se dibujará, ya que este podría ser duplicado 40 veces
alrededor de la circunferencia para completar el dibujo. El capacitor es así
NQ
40
.
= 59 pF/m
C = 0
= 0
NV
6
b) Calcule un valor exacto por la capacitancia por longitud unitaria: Este será
C=
2π0
= 57 pF/m
ln(8/3)
84
6.2 Construya un mapa con cuadrado curvilíneo del campo potencial aproximadamente dos cilindros circulares paralelos,
cada uno de 2.5 cm de radio, separado por una distancia de centro-a-centro de 13 cm. Estas dimensiones son
convenientes para el dibujo real si la simetría es considerada. Como una comprobación, calcule la capacitancia de ambos
por metro de su dibujo y de la fórmula exacta. Suponga R = 1.
La simetría nos permite trazar las lineas de campo y equipotenciales sólo sobre el primer cuadrante, como está hecho en el
dibujo de abajo (mostrado a escala media). La capacitancia se encuentra de la fórmula C = (NQ /NV )0 ,
donde NQ es dos veces el número de cuadrados alrededor del perímetro del medio-círculo N V es dos veces el
número de cuadrados entre el medio-círculo y plano vertical izquierdo. El resultado es
C=
NQ
32
0 = 20 = 17.7 pF/m
0 =
NV
16
Verificamos este resultado con el uso de la fórmula exacta:
C=
π0
−1
cosh (d/2a)
=
π0
−1
cosh (13/5)
85
= 1.950 = 17.3 pF/m
6.3. Construya un mapa cuadrado curvilíneo del campo potencial entre dos cilindros circulares paralelos, uno
de radio interior de 4-cm y otro de radio de 8-cm. Los dos ejes son desplazados por 2.5 cm. Estas dimensiones
son convenientes para el dibujo. Para comprobar la exactitud, calcule la capacitancia por metro del
dibujo y de la expresión exacta:
C=
cosh−1
(a 2
2π
+ b2 − D 2 )/(2ab)
donde a y b son los radios del conductor y D es la separación de ejes.
El dibujo se muestra abajo. El uso de la expresión exacta sobre la producción de un valor de capacitancia de C =
11.50 F/m. El uso del dibujo produce:
. 22 × 2
0 = 110 F/m
C=
4
86
6.4. Un cilindro conductor sólido de 4-cm de radio se centra dentro de un cilindro conductor rectangular con una
sección transversal 12-cm por 20-cm.
a) Haga un dibujo de tamaño real de un cuadrante de esta configuración y construya un mapa con cuadrado
curvilíneo para su interior: El resultado de abajo todavía podría mejorarse un poco, pero no obstante es suficiente
para una estimación razonable de la capacitancia. Note que la región del lado cinco en la esquina superior
derecha se subdividió parcialmente (la línea quebrada) en la anticipación de cómo parecería cuando en el
próximo nivel la subdivisión se hace (doblando el número de líneas del campo y equipotenciales).
b) Suponga = 0 y estime C por metro de longitud: En este caso NQ es el número de cuadrados alrededor
el perímetro completo del conductor circular, o cuatro veces el número de cuadrados mostrados en el
dibujo. N V es el número de cuadrados entre el círculo y el rectángulo, o 5. La capacitancia
se estima para ser
NQ
4 × 13
.
C=
0 = 10.40 = 90 pF/m
0 =
NV
5
87
6.5. El conductor interno de la línea de transmisión de la Fig. 6.12 tiene un cuadrado de sección transversal 2a × 2a,
mientras el cuadrado exterior es 5a × 5a. Los ejes son desplazados como se muestra. (a) Construya un dibujo
de buen tamaño de la línea de transmisión, digamos a = 2.5 cm, y entonces prepare un trazo de cuadrado
curvilíneo del campo electrostático entre los conductores. (b) Use el mapa para calcular la capacitancia por longitud
de un metro si = 1.60 . (c) ¿Cómo habría resultado el inciso b si cambia a = 0.6 cm?
a) El trazo se muestra abajo. Es posible alguna mejora, dependiendo de cuánto tiempo uno desea dedicar.
b) Desde el trazo, la capacitancia es encontrada para ser
.
. 16 × 2
C=
(1.6)0 = 12.80 = 110 pF/m
4
c) Si a cambia el resultado del inciso b no debería cambiará, ya que todas las dimensiones retienen la misma
escala relativa.
88
6.6. Sea el conductor interno de la línea de transmisión mostrado en el Fig. 6.12 en un potencial de 100V, mientras el
exterior es un potencial cero. Construya una rejilla de 0.5a en un lado, y use la iteración para encontrar V en un punto
que es a unidades sobre la esquina superior derecha del conductor interno. Trabaje al volt más cercano:
El dibujo se muestra abajo, e identificamos el voltaje pedido como 38 V.
89
6.7. Use el método de la iteración para estimar los potenciales en los puntos x y y en el recipiente triangular de la
Fig. 6.13. Sólo trabaje al volt más cercano: El resultado se muestra abajo. La imagen especular de los valores mostrada
ocurre en los puntos en el otro lado de la línea de simetría ( la línea quebrada). Note que V x = 78 V y
V y = 26 V.
90
6.8. Use los métodos de la iteración para estimar el potencial en el punto x en el recipiente mostrado en la Fig. 6.14.
Es suficiente al trabajar en el volt más cercano. El resultado se muestra abajo, donde nosotros identificamos el
. voltaje en x
es de 40 V. Note que los potenciales en los vacíos son de 50 V.
6.9. Usando la rejilla indicada en la Fig. 6.15, trabaje al volt más cercano para estimar el potencial en el punto A: Los
voltajes a los puntos de la red se muestran abajo, donde V A se encuentra para ser 19 V. La mitad de la figura
es dibujada desde las imágenes especulares de todos los valores que ocurren a través de la línea de simetría (la línea quebrada).
91
6.10. Los conductores que tienen fronteras curvas u oblicuas normalmente no permiten que cada punto de la rejilla
coincida con la frontera real. La Figura 6.16a ilustra la situación en dónde el potencial en V 0 está
para ser estimado en términos de V1 , V2 , V3 , y V4 , y las distancias desiguales h1 , h2 , h3 , y h4 .
a) Muestre que
V1
1+
h1 h3
h4 h2
V4
1 + hh24 1 +
h4 h2
h3 h1
.
V0 = 1+
h1
h3
+
+
1+
h2
h4
V2
1+
h2 h4
h1 h3
+
1+
h3
h1
V3
1+
h1 h3
h4 h2
note el error, corregido aquí, en la ecuación (segundo término)
Refiriéndose a la figura, escribimos:
∂V . V1 − V0
=
∂x M1
h1
∂V . V0 − V3
=
∂x M3
h3
Entonces
2V1
2V3
2V0
∂ 2 V . (V1 − V0 )/ h1 − (V0 − V3 )/ h3
=
+
−
=
2
∂x V0
(h1 + h3 )/2
h1 (h1 + h3 ) h3 (h1 + h3 ) h1 h3
Realizamos el mismo procedimiento a lo largo del eje y para obtener:
2V2
2V4
2V0
∂ 2 V . (V2 − V0 )/ h2 − (V0 − V4 )/ h4
=
+
−
=
2
∂y V0
(h2 + h4 )/2
h2 (h2 + h4 ) h4 (h2 + h4 ) h2 h4
Entonces, sabiendo que
∂ 2 V ∂ 2 V +
=0
∂x 2 V0
∂y 2 V0
las dos ecuaciones para las segundas derivadas se agregan para dar
2V1
2V2
2V3
2V4
+
+
+
= V0
h1 (h1 + h3 ) h2 (h2 + h4 ) h3 (h1 + h3 ) h4 (h2 + h4 )
h1 h3 + h2 h4
h1 h2 h3 h4
Resuelva para V 0 para obtener la ecuación dada.
b) Determine V 0 en la Fig. 6.16b: Refiriéndose a la figura, notamos que h 1 = h2 = a. Las otras dos
distancias se encuentran al escribir las ecuaciones para los círculos:
(0.5a + h3 )2 + a 2 = (1.5a)2 and (a + h4 )2 + (0.5a)2 = (1.5a)2
Éstos se resuelven para encontrar h 3 = 0.618a y h4 = 0.414a. Las cuatro distancias y potenciales son ahora
sustituidas en la ecuación dada:
.
V0 = 80
1+
1+
100
+
(1 + .414) 1 +
1
.618
.618
.414
.414
.618
+
1+
= 90 V
92
1
.414
60
1+
.414
.618
+
100
(1 + .618) 1 +
.618
.414
6.11. Considere la configuración de conductores y potenciales mostrados en la Fig. 6.17. Usando el método descrito
en el Problema 10, escriba una expresión para V x (no V0 ): El resultado se muestra abajo, dónde Vx = 70 V.
6.12 a) Después de estimar los potenciales para la configuación de la Fig. 6.18, use el método de la iteración con una rejilla
cuadrada de 1 cm por lado para encontrar mejores estimaciones en los siete puntos de la rejilla. Trabaje al volt más cercano:
25
50
75
50
25
0
48
100 48
0
0
42
100 42
0
0
19
34
19
0
0
0
0
0
0
b) Construya una rejilla de 0.5 cm, establezca las nuevas estimaciones gruesas, y entonces use el método de la iteración
en la rejilla de 0.5 cm. Nuevamente, trabaje al volt más cercano: El resultado se muestra abajo, con los valores para la
rejilla original en los puntos subrayados:
25
50
50
50
75
50
50
50
25
0
32
50
68
100 68
50
32
0
0
26
48
72
100 72
48
26
0
0
23
45
70
100 70
45
23
0
0
20
40
64
100 64
40
20
0
0
15
30
44
54
44
30
15
0
0
10
19
26
30
26
19
10
0
0
5
9
12
14
12
9
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
93
6.12c. Use el cálculo para obtener los valores para una rejilla de 0.25 cm. Trabaje a los 0.1 V más cercanos: Los valores
para la mitad izquierda de la configuración se muestra en la tabla de abajo. Los valores a lo largo de la línea vertical
de simetría son incluidos, y los valores de la rejilla originales están subrayados.
25
50
50
50
50
50
50
50
75
0
26.5
38.0
44.6
49.6
54.6
61.4
73.2
100
0
18.0
31.0
40.7
49.0
57.5
67.7
81.3
100
0
14.5
27.1
38.1
48.3
58.8
70.6
84.3
100
0
12.8
24.8
36.2
47.3
58.8
71.4
85.2
100
0
11.7
23.1
34.4
45.8
57.8
70.8
85.0
100
0
10.8
21.6
32.5
43.8
55.8
69.0
83.8
100
0
10.0
20.0
30.2
40.9
52.5
65.6
81.2
100
0
9.0
18.1
27.4
37.1
47.6
59.7
75.2
100
0
7.9
15.9
24.0
32.4
41.2
50.4
59.8
67.2
0
6.8
13.6
20.4
27.3
34.2
40.7
46.3
49.2
0
5.6
11.2
16.8
22.2
27.4
32.0
35.4
36.8
0
4.4
8.8
13.2
17.4
21.2
24.4
26.6
27.4
0
3.3
6.6
9.8
12.8
15.4
17.6
19.0
19.5
0
2.2
4.4
6.4
8.4
10.0
11.4
12.2
12.5
0
1.1
2.2
3.2
4.2
5.0
5.6
6.0
6.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
94
6.13. Las esferas concéntricas perfectamente conductores tienen radios de 2 y 6 cm. La región 2 < r < 3 cm
está llena con un material conductor sólido para que σ = 100 S/m, mientras la porción para las cuales 3 < r < 6 cm
tiene σ = 25 S/m. La esfera interna se mantiene en 1 V mientras la exterior está en V = 0.
a) Encuentre E y J por todas partes: De la simetría, E y J se dirigirán radialmente, y notamos el
hecho que la corriente, I , debe ser constante en cualquier sección transversal, es decir, a través de cualquier
superficie esférica en el radio r entre las esferas. Así requerimos que en ambas regiones,
J=
I
ar
4πr 2
Los campos serán así
E1 =
I
I
ar (2 < r < 3) and E2 =
ar (3 < r < 6)
2
4πσ1 r
4πσ2 r 2
donde σ1 = 100 S/m y σ2 = 25 S/m. Ya que sabemos el voltaje entre las esferas (1V), podemos
encontrar los valores de I a través de:
1V = −
.03
.06
I
dr −
4πσ2 r 2
y así
I=
.02
.03
I
I
dr =
2
4πσ1 r
0.24π
1
1
+
σ1
σ2
0.24π
= 15.08 A
(1/σ1 + 1/σ2 )
Entonces finalmente, con I = 15.08 A sustituida en las expresiones del campo anterior, encontramos
E1 =
.012
ar V/m (2 < r < 3)
r2
E2 =
.048
ar V/m (3 < r < 6)
r2
y
La densidad de corriente es ahora
J = σ1 E1 = σ2 E2 =
1.2
A/m (2 < r < 6)
r2
b) ¿Qué resistencia se medirá entre las dos esferas? Usamos
R=
V
1V
=
= 6.63 × 10−2 I
15.08 A
c) ¿Cuál V está en r = 3 cm? Encontramos este a través de
V =−
.03
.06
1
.048
1
−
= 0.8 V
dr = .048
r2
.03 .06
95
6.14. La sección transversal de la línea de la transmisión mostrada en la Fig. 6.12 se dibuja en una hoja de papel
con pintura metálica. La resistencia laminar es 2000 /cuad. y la dimensión a es de 2 cm.
a) Suponiendo un resultado para el Prob. 6b de 110 pF/m, ¿qué resistencia total se mediría entre
los conductores metálicos dibujados en el papel conductor? Supongamos un espesor del papel de t m, así
que la capacitancia es C = 110t pF, y la resistencia de la superficie es R s = 1/(σ t) = 2000 /cuad.
ahora usamos
RC =
σ
⇒ R=
Rs t
(1.6 × 8.854 × 10−12 )(2000)
=
=
= 257.6 σC
110 × 10−12 t
110 × 10−12
b) ¿Que resistencia total será si a = 2 cm? El resultado es independiente de a, con tal de que
las proporciones sean mantenidas. Así nuevamente, R = 257.6 .
6.15. dos anillos anulares concéntricos se pintan en una hoja de papel conductor con pintura metálica
sumamente conductora. Los cuatro radios son 1, 1.2, 3.5, y 3.7 cm. Las conexiones hechas a los dos anillos
muestran una resistencia de 215 ohms entre ellos.
a) ¿Que R s es para el papel conductor? Usando los dos radios (1.2 y 3.5 cm) en que los anillos están
en su separación más cerrada, evaluamos primero la capacitancia:
C=
2π0 t
= 5.19 × 10−11 t F
ln(3.5/1.2)
donde t es el espesor del recubrimiento de papel desconocido. Ahora usamos
RC =
0
8.85 × 10−12
⇒ R=
= 215
σ
5.19 × 10−11 σ t
Así
Rs =
1
(51.9)(215)
=
= 1.26 k/sq
σt
8.85
b) Si la conductividad del material usado como la superficie del papel es 2 S/m, ¿cuál es el espesor
del recubrimiento? Usamos
t=
1
1
=
= 3.97 × 10−4 m = 0.397 mm
σ Rs
2 × 1.26 × 103
96
6.16. La lavadora cuadrada mostrada en la Fig. 6.19 tiene 2.4 mm de espesor y dimensiones exteriores de 2.5 × 2.5 cm
y dimensiones internas de 1.25 × 1.25 cm. El interior y exterior de las superficies son perfectamente conductores. Si
el material tiene una conductividad de 6 S/m, estime la resistencia ofrecida entre las superficies interior y exterior
(que se muestran sombreadas en la Fig. 6.19). Se sugieren unos pocos cuadrados curvilíneos: Primero encontramos
la resistencia, R s = 1/(σ t) = 1/(6 × 2.4 × 10−3 ) = 69.4 /cuad. Después de encontrar esta, podemos construir
la resistencia total usando el cuadrado fundamental como un ladrillo. Específicamente, R = R s (Nl /Nw ),
donde N l es el número de cuadrados entre las superficies interior y exterior y Nw es el número de cuadrados
alrededor del perímetro de la lavadora. Estos números se encuentran del trazo cuadrado curvilíneo mostrado
.
.
abajo, que cubre un octavo de la lavadora. La resistencia es así R = 69.4[4/(8 × 5)] = 6.9 .
6.17. Una línea de transmisión de dos alambres consiste en dos cilindros perfectamente conductores paralelos, cada uno con
un radio de 0.2 mm, separado por la distancia de centro-a-centro de 2 mm. El medio que rodea los alambres
tiene R = 3 y σ = 1.5 mS/m. Una batería de 100-V se conecta entre los alambres. Calcule:
a) la magnitud de la carga por metro de longitud en cada alambre: Use
C=
π × 3 × 8.85 × 10−12
π
= 3.64 × 10−9 C/m
=
cosh−1 (h/b)
cosh−1 (1/0.2)
Entonces la carga por longitud unitaria será
Q = CV0 = (3.64 × 10−11 )(100) = 3.64 × 10−9 C/m = 3.64 nC/m
b) la corriente de la batería: Use
RC =
σ
⇒ R=
Entonces
I=
3 × 8.85 × 10−12
= 486 (1.5 × 10−3 )(3.64 × 10−11 )
V0
100
=
= 0.206 A = 206 mA
R
486
97
6.18. Una línea de transmisión coaxial es modelada por el uso de una hoja de caucho que tiene las dimensiones
horizontales que son 100 veces de la línea real. Sea la coordenada radial del modelo ρ m . Para la propia línea,
sea la dimensión radial designada por ρ como es usual; también, sea a = 0.6 mm y b = 4.8 mm. El modelo
es 8 cm en altura al conductor interno y cero en el exteno. Si el potencial del conductor interno es
100 V:
a) Encuentre la expresión para V (ρ): Suponga la densidad de carga ρ s en el conductor interno usamos la ley
de Gauss para encontrar 2πρD = 2πaρ s , del que E = D/ = aρs /(ρ) en la dirección radial. La
diferencia potencial entre los conductores internos y extenos es
Vab = V0 = −
del cual
ρs =
a
b
aρs
b
aρs
dρ =
ln
ρ
a
V0
V0
⇒ E=
a ln(b/a)
ρ ln(b/a)
Ahora, como una función de radio, y suponiendo cero potencial en el conductor externo, la función
potencial será::
ρ
ln(.0048/ρ)
.0048
V0
ln(b/ρ)
V (ρ) = −
dρ = V0
= 100
= 48.1 ln
V
ln(b/a)
ln(.0048/.0006)
ρ
b ρ ln(b/a)
b) Escriba la altura modelo como una función de ρ m (no ρ): Usamos el resultado del inciso a, ya que la función
gravitacional debe ser la misma que para el potencial eléctrico. ReemplazamosV 0 por la altura máxima,
y multiplicado todas las dimensiones por 100 para obtener:
.48
ln(.48/ρm )
h(ρm ) = 0.08
= 0.038 ln
m
ln(.48/.06)
ρm
98