Sección 2-2 Rectas Uno de los conceptos básicos en geometría es

Sección 2-2
Rectas
Uno de los conceptos básicos en geometría es el de línea recta o
simplemente, recta. En esta sección el estudio se limita a las rectas
que están en un plano de coordenadas. Esto permitirá aplicar
métodos algebraicos para estudiar sus propiedades. Dos de los
objetivos principales serán:
1. Dada una recta 1 en un plano de coordenadas, deducir una
ecuación cuya gráfica corresponda a l.
2. Dada una ecuación de una recta 1 en un plano coordenado,
graficar la ecuación.
El siguiente concepto es fundamental en el estudio de las líneas
rectas.
Definición de pendiente de una recta
Sea l una recta no paralela al eje y, y sean P 1 y P 2 puntos distintos
en l. La pendiente m de l es
m=
y 2 − y1
x2 − x1
Si l es paralela al eje y, entonces la pendiente de l no está definida.
En la Fig. 1 se muestran dos puntos cualesquiera, P 1 y P 2, sobre una
recta l. El numerador, y 2 – y 1 de la fórmula de m, es el cambio
vertical en el sentido de P 1 a P 2 , y puede ser positivo, negativo o
cero. El denominador, x 2 – x 1 , es el cambio horizontal de P 1 a P 2 ,
y puede ser positivo o negativo, pero nunca cero, porque 1 no es
paralela al eje y si existe inclinación. En la Fig. 1(a) la pendiente es
positiva, y se dice que la recta asciende. En la Fig. 1(b) la pendiente
es negativa, y la recta desciende.
Figura 1(a). Pendiente positiva, es decir, la línea sube, o asciende..
Figura 1(b). Pendiente negativa, es decir, la línea baja, o desciende..
Para determinaría pendiente de una recta, no importa qué punto sea
P 1 y cuál sea P 2 , ya que
y 2 − y1 y 2 − y1 − 1 y1 − y 2
=
•
=
x 2 − x1
x 2 − x1 − 1 x1 − x 2
Si se identifican los puntos de modo que x 1 < x 2 , como en la Fig. 1,
entonces x 2 - x 1 > 0 y, por consiguiente, la pendiente será positiva,
negativa o cero, dependiendo de si y 2 > y 1 o bien y 2 < y 1
respectivamente.
La definición de pendiente no depende de los dos puntos que se
seleccionen en l Si se usan otros puntos, P1´ ( x1´ , y1´ ) y P2´ ( x ´2 , y ´2 )
entonces, como en la Fig. 2, el triángulo con vértices P1´ y P2´ y
P3´ = ( x ´2 , y ´2 ) es semejante al triángulo con vértices
P1 , P2 y P3 ( x2 , y1 ) . Como son iguales las relaciones de lados
correspondientes en triángulos semejantes,
y 2 − y1 y ´2 − y1´
= ´
x 2 − x1
x 2 − x1´
Figura 2