Notas escritas por Luis Alberto Trujillo Ortega

ÁGEBRA MODERNA
DANIEL LABARDINI FRAGOSO
TOMÓ ESTAS NOTAS: LUIS ALBERTO TRUJILLO ORTEGA
FECHA: 3 DE MAYO DE 2016
Índice
1. Cerraduras algebraicas.
1
1.
Cerraduras algebraicas.
√ √
√
√
2, 3) y Q( 2 + 3)?
√
√
3 ∈ Q( 2, 3), por lo cual la contención Q( 2 + 3) ⊆
Ejercicio
1. ¾Cuáles
entre
Q(
√ √
√ son
√ las relaciones de√contención
√
√ √
Como
√ √2, 3 ∈ Q( 2, 3), se sigue que 2 +
Q( 2, 3) es obvia.
√
√
√
√
Denotemos α := 2 + 3. La otra contención se sigue de que 2 = α(α2 − 7) y 3 = α(8 − α2 ).
Denición 2. Sea α ∈ C. Decimos que α es un entero algebraico si existe un polinomio mínimo f
tal que f (α) = 0.
Ejercicio 3. Sea
∈ Z[X]\Z
α ∈ C jo. Demuestra que α es un entero algebraico si y solo si Z[α] es nitamente
generado como grupo abeliano.
Ejercicio 4. Demostrar que (Q, +) no es grupo abeliano nitamente generado.
Teorema 5 (Kronecker). Sean F un campo y f ∈ F [X]\F . Existen una extensión de campos E|F y α ∈ E
tales que f (α) = 0.
Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad que f es irreducible en F [X]. Luego, F [X]/f F [X]
es un campo y, utilizando la función F → F [X]/f F [X] donde a 7→ [a]f F [X] = a + f F [X], identicamos F
como subcampo de E := F [X]/f F [X].
Escribamos f = a0 + a1 X + ... + an X n con a0 , a1 , ..., an ∈ F . Entonces 0E = [f ]f F [X] = a0 1E + a1 [X]f F [X] +
... + an [X]nfF [X] . Así, α := [X]f F [X] ∈ E es raiz de f .
Corolario 6. Sean F un campo y f
∈ F [X]\F . Existe una extensión E de F que contiene todas las raices
de f , es decir, tal que f se factoriza en E[X] como un producto de polinomios en E[X] que tienen grado 1.
Demostración. Por el Teorema 5, existen una extensión K de F y α ∈ K tales que X − α|K[X] f . Así, existe
f1 ∈ K[X] tal que f = (Xα )f1 . Observemos que gr (f1 ) < gr (f ). Como toda raíz de f es α o raíz de f1 , un
argumento inductivo prueba el corolario.
Corolario 7. Si F es un campo y S = {f1 , f2 , ..., fn } es un subconjunto nito de F [X]\F , entonces existe
una extensión E de F tal que todos los elementos de S se factorizan en E[X] como productos de polinomios
de grado 1 en E[X].
Denición 8. Sean E|F una extensión de campos y S ⊆ F [X]\F , S 6= ∅. Decimos que E es un campo de
descomposición para S si todos los elementos de S se factorizan en E[X] como productos de polinomios de
grado 1 en E[X] y E = F (XS ), donde XS = {α ∈ E|∃f ∈ S tal que f (α) = 0}.
Date :
11 de mayo de 2016.
Key words and phrases.
Grupo, anillo, campo, teoría de Galois.
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TOMÓ ESTAS NOTAS: LUIS ALBERTO TRUJILLO ORTEGA FECHA: 3 DE MAYO DE 2016
Denición 9. Sea F un campo. Una cerradura algebraica de F es un campo de descomposición de F [X]\F .
Recordemos el llamado Lema de Zorn:
Lema 10 (Zorn). Si (X, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad de que X
6= ∅ y toda
≤ −cadena ascendente tiene una ≤ −cota superior, entonces X tiene un elemento ≤ −maximal.
Teorema 11. Todo campo tiene una cerradura algebraica.
Instituto de Matemáicas, Universidad Nacional Autónoma de México
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