Problemas de Equilibrio 3D - Ingenieros de Caminos, Canales y

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MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS:
PROBLEMAS DE EQUILIBRIO 2D/3D
F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gómez, J. Parı́s
GMNI — G RUPO
DE
M ÉTODOS N UM ÉRICOS
EN I NGENIER ÍA
Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Universidad de A Coruña, España
e-mail: fnavarrina@udc.es
página web: http://caminos.udc.es/gmni
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
ÍNDICE
I Problema Conceptual
I Planteamientos Alternativos
I Residuos Ponderados: Forma Débil
I Residuos Ponderados: Aproximación Numérica
I Residuos Ponderados: Error de Aproximación
I Elección de las Funciones de Test
I Método de Bubnov-Galerkin
I Elección de las Funciones de Prueba
I Notación en Formas Bilineales
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Problema Conceptual (I)
Sea el problema de equilibrio 2D/3D:
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Problema Conceptual (IIa)
ECUACIÓN INTEGRAL DE EQUILIBRIO/CONSERVACIÓN
ZZ
ZZZ
σ̄ T n̄ d(∂V ) = −
b dV
∂V
∀V.
V
Aplicando el Teorema de la Divergencia
ZZ
T
ZZZ
σ̄ n̄ d(∂V ) =
∂V
div(σ̄) dV,
V
obtenemos
ZZZ “
”
div(σ̄) + b dV = 0
∀V.
V
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Problema Conceptual (IIb)
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE EQUILIBRIO (CONSERVACIÓN)
div(σ̄) + b = 0.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Problema Conceptual (IIIa)
Donde:
Ω
=dominio 2D/3D de definición del problema,
r̄ ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto,
u(r̄) =VARIABLE PRINCIPAL (DESPLAZAMIENTO GENERALIZADO)
σ̄(r̄) =VARIABLE SECUNDARIA (TENSIÓN GENERALIZADA),
b(r̄) =CARGA GENERALIZADA POR UNIDAD DE VOLUMEN,
u0(r̄) =valor forzado de la variable principal en Γu,
gR(r̄) =σ̄ T n̄ (REACCIÓN GENERALIZADA) en Γu,
g(r̄) =σ̄ T n̄ (valor forzado de la variable secundaria según la normal) en Γσ ,
γ (r̄) =tensor de difusividad/conductividad. (∗)
e
(*)
Si el medio es ISÓTROPO entonces γ (r̄) = γ(r̄)I .
e γ (r̄) = γ e
Si el medio es HOMOGÉNEO entonces
.
e entonces
e
Si el medio es HOMOGENEO E ISÓTROPO
γ (r̄) = γI . De ahora en adelante supondremos que lo es.
e
e
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Problema Conceptual (IIIb)
La relación entre la variable principal u(r̄) y la variable secundaria σ̄(r̄) se
establece a través de una variable intermedia ε̄(r̄) (DEFORMACIÓN
GENERALIZADA), de forma que tendremos dos tipos de ecuaciones:
I ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
(o relaciones deformación—desplazamiento):
u(r̄) −→ ε̄(r̄).
I ECUACIONES CONSTITUTIVAS
(o relaciones tensión—deformación):
ε̄(r̄) −→ σ̄(r̄).
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Problema Conceptual (IV)
Modelo Matemático Lineal (medio homogéneo e isótropo):
Dados b(r̄), γ(r̄), u0(r̄), g(r̄),
Hallar
u(r̄), σ̄(r̄),
r̄ ∈ Ω,
div(σ̄) + b = 0
que verifican
◦
∀r̄ ∈Ω,
(ECUACIÓN DE EQUILIBRIO)
σ̄ = −γ ε̄
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN CONSTITUTIVA)
ε̄ = grad u
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD)
− σ̄ T n̄ + g(r̄) = 0
∀r̄ ∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
u = u0(r̄)
∀r̄ ∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
El problema anterior puede representar diferentes fenómenos fı́sicos,
como. . .
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Problema Conceptual (Va)
DEFORMACIÓN DE UN MEDIO CONTINUO ELÁSTICO
I En este caso es necesario introducir
• el TENSOR DE DEFORMACIONES y
• el TENSOR DE TENSIONES,
lo que obliga a realizar algunos ajustes en la formulación anterior
I NO ANALIZAREMOS ESPECÍFICAMENTE ESTE CASO por
simplicidad, pero en esencia los conceptos son los mismos.
En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE HOOKE.
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Problema Conceptual (Vb)
Difusión de contaminante en un medio 2D/3D
Ω
=dominio 2D/3D de definición del problema.
r̄ ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto.
u(r̄) =CONCENTRACIÓN DE CONTAMINANTE.
ε(r̄) =GRADIENTE DE CONCENTRACIÓN DE CONTAMINANTE.
σ̄(r̄) =DENSIDAD DE FLUJO DE CONTAMINANTE.
b(r̄) =SUMIDERO DE CONTAMINANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN,
u0(r̄) =CONCENTRACIÓN PREFIJADA en Γu,
gR (r̄) =σ̄ T n̄ (REACCIÓN) en Γu,
g(r̄) =σ̄ T n̄ (FLUJO DE CONTAMINANTE FORZADO) en Γσ .
γ (r̄) =TENSOR DE DIFUSIVIDAD.
e
En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE FICKS.
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Problema Conceptual (Vc)
Difusión de calor en un medio 2D/3D
Ω
=dominio 2D/3D de definición del problema.
r̄ ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto.
u(r̄) =TEMPERATURA.
ε(r̄) =GRADIENTE DE TEMPERATURA.
σ̄(r̄) =DENSIDAD DE FLUJO DE CALOR.
b(r̄) =SUMIDERO DE CALOR POR UNIDAD DE VOLUMEN,
u0(r̄) =TEMPERATURA PREFIJADA en Γu,
gR (r̄) =σ̄ T n̄ (REACCIÓN) en Γu,
g(r̄) =σ̄ T n̄ (FLUJO DE CALOR FORZADO) en Γσ .
γ (r̄) =TENSOR DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
e
En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE FOURIER.
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Problema Conceptual (Vd)
Corriente eléctrica en un medio conductor 2D/3D
Ω
=dominio 2D/3D de definición del problema.
r̄ ∈ Ω =coordenadas materiales de un punto.
u(r̄) =POTENCIAL ELÉCTRICO.
ε(r̄) =GRADIENTE DE POTENCIAL.
σ̄(r̄) =DENSIDAD DE CORRIENTE.
b(r̄) =SUMIDERO DE CORRIENTE POR UNIDAD DE VOLUMEN,
u0(r̄) =POTENCIAL PREFIJADO en Γu,
gR (r̄) =σ̄ T n̄ (REACCIÓN) en Γu,
g(r̄) =σ̄ T n̄ (INTENSIDAD DE CORRIENTE FORZADA) en Γσ .
γ (r̄) =TENSOR DE CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA.
e
En este caso, la ecuación constitutiva se denomina LEY DE OHM.
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Planteamientos Alternativos (I)
a) FORMA ORIGINAL
Hallar u(r̄),
tal que
siendo
(*)
r̄ ∈ Ω,
R(r̄) = 0
◦
∀r̄ ∈Ω,
RΓ(r̄) = 0



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
∀r̄ ∈ Γσ , (*)
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
FORMA FUERTE o STRONG FORM.
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Planteamientos Alternativos (IIa)
b) RESIDUOS PONDERADOS
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
ω(r̄)R(r̄) dΩ +
tal que
r̄∈Ω
siendo
(*)
ωΓ(r̄)RΓ(r̄) dΓ = 0
∀ω(r̄), ωΓ(r̄) (*)
r̄∈Γσ



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
FORMA DÉBIL o WEAK FORM.
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Planteamientos Alternativos (IIb)
Pues
◦
ZZZ
=⇒
R = 0 ∀r̄ ∈Ω, RΓ = 0∀r̄ ∈ Γσ
ZZZ
ωR dΩ +
ωΓ RΓ dΓ = 0 ∀ω, ωΓ =⇒
r̄∈Γσ
ωΓ RΓ dΓ = 0 ∀ω, ωΓ
ωR dΩ +
r̄∈Ω
ZZ
r̄∈Ω
ZZ
r̄∈Γσ
ZZZ
→
8
>
>
ω = R, ωΓ = 0
>
>
<
2
R dΩ = 0,
r̄∈Ω
ZZ
>
>
>
>
: ω = 0, ωΓ = RΓ →
2
RΓ dΓ = 0.
r̄∈Γσ
♥ Si las funciones son suficientemente regulares, el enunciado de residuos
ponderados es equivalente al problema original, ya que
ZZZ
2
◦
R dΩ = 0 =⇒R(r̄) = 0 ∀r̄ ∈Ω,
r̄∈Ω
ZZ
2
RΓ dΓ = 0 =⇒RΓ (r̄) = 0 ∀r̄ ∈ Γσ .
r̄∈Γσ
♣ Si se utiliza la Integral de Lebesgue, los residuos R(r̄) y RΓ(r̄)pueden ser no
nulos en un conjunto de puntos de medida nula. (*)
(*)
Por este motivo se habla de una FORMULACIÓN DÉBIL (WEAK FORMULATION) del problema original.
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Planteamientos Alternativos (IIc)
Sin pérdida de generalidad podemos elegir
ωΓ = ω(r̄) r̄ ∈ Γσ ,
pues
◦
ZZZ
=⇒
R = 0 ∀r̄ ∈Ω, RΓ = 0 ∀r̄ ∈ Γσ
ZZZ
r̄∈Ω
ωR dΩ +
r̄∈Ω
ZZ
ωR dΩ +
ZZ
ωRΓ dΓ = 0 ∀ω =⇒
r̄∈Γσ
8
>
<ω = R ∗ P
>
:
ωRΓ = 0 ∀ω
r̄∈Γσ
R = 0, ω = RΓ →RΓ = 0 ∀r̄ ∈ Γσ .
(*) donde P(r̄) es cualquier función que cumpla
◦
P(r̄) > 0 ∀r̄ ∈Ω,
P(r̄) = 0 ∀r̄ ∈ Γσ ,
pues si las funciones son suficientemente regulares,
ZZZ
>0
◦
2 z}|{
R P dΩ = 0 =⇒R(r̄) = 0 ∀r̄ ∈Ω,
r̄∈Ω
ZZ
2
RΓ dΓ = 0
r̄∈Γσ
◦
→R = 0 ∀r̄ ∈Ω, (∗)
=⇒RΓ (r̄) = 0 ∀r̄ ∈ Γσ .
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Planteamientos Alternativos (IId)
Por tanto, podemos adoptar el enunciado de residuos ponderados. . .
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
tal que
ω(r̄)R(r̄) dΩ +
r̄∈Ω
siendo
ω(r̄)RΓ(r̄) dΓ = 0
∀ω(r̄)
r̄∈Γσ



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
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Planteamientos Alternativos (IIIa)
c) MÍNIMOS CUADRADOS
r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
Q[u] =
R(r̄)p(r̄)R(r̄) dΩ +
RΓ(r̄)pΓ(r̄)RΓ(r̄) dΓ, (*)
Hallar u(r̄),
que MINIMIZA
r̄∈Ω
siendo
(*)



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
r̄∈Γσ
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIB.)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
Las funciones de peso p(r̄) y pΓ (r̄) deben verificar p(r̄) > 0 ∀r̄ ∈ Ω, pΓ (r̄) > 0 ∀r̄ ∈ Γσ .
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Planteamientos Alternativos (IIIb)
La condición de mı́nimo equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL
Hallar u(r̄) r̄ ∈ Ω,
dJ(λ) tal que
= 0 ∀δu(r̄) con δu(r̄) = 0 en Γu,
dλ λ=0
con J(λ) = Q[u + λδu],
ZZZ
dJ(λ) div(−γ grad δu)p(r̄)R(r̄) dΩ
y por tanto
=2
dλ λ=0
r̄∈Ω
ZZ
−2
(−γ grad δu)T n̄ pΓ(r̄)RΓ(r̄) dΓ, (*)
r̄∈Γσ
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Planteamientos Alternativos (IIIc)
. . . que equivale a decir
Hallar u(r̄) r̄ ∈ Ω,
ZZZ
div(−γ grad δu)p(r̄)R(r̄) dΩ
r̄∈Ω
ZZ
tal que
−
(−γ grad δu)T n̄ pΓ(r̄)RΓ(r̄) dΓ = 0
∀δu(r̄) = 0 en Γu,
r̄∈Γσ
siendo



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄






RΓ(r̄) = −σ̄ T n̄ + g(r̄)
r̄






u = u0(r̄)
∀r̄
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIB.)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
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Planteamientos Alternativos (IIId)
. . . o lo que es lo mismo
Hallar u(r̄) r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
ω(r̄)R(r̄) dΩ +
ωΓ(r̄)RΓ(r̄) = 0 ∀δu(r̄) δu(0) = 0,
tal que
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
ω(r̄) = div(−γ grad δu)p(r̄), ωΓ(r̄) = −(−γ grad δu)T n̄ pΓ(r̄),

◦


(EC. DE EQUILIBRIO)
R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄ ∈Ω,







σ̄ = −γ ε̄
r̄ ∈ Ω, (EC. CONSTITUTIVA)



siendo
ε̄ = grad u
r̄ ∈ Ω, (EC. DE COMPATIB.)





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄ ∈ Γσ , (C.C. NATURAL)

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄ ∈ Γu. (C.C. ESENCIAL)
(*) Que es un planteamiento en residuos ponderados equivalente al problema original.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
(*)
Planteamientos Alternativos (IVa)
e) MÍNIMA ENERGÍA
r̄ ∈ Ω,
ZZZ
1
E[u] = −
ε̄(r̄)T σ̄(r̄) dΩ
2
r̄∈Ω
ZZZ
ZZ
+
u(r̄)b(r̄) dΩ +
Hallar u(r̄),
que MINIMIZA
r̄∈Ω
siendo

σ̄ = −γ ε̄



ε̄ = grad u,



u = u0(r̄)
(*)
u(r̄)g(r̄) dΓ,
r̄∈Γσ
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN CONSTITUTIVA)
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD)
∀r̄ ∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVb)
Se comprueba fácilmente que la solución del problema original u(r̄)
minimiza la energı́a, pues si v(r̄) = u(r̄) + δu(r̄) es cualquier otra función
que también verifique la condición de contorno esencial v(0) = u0, entonces
δu(0) = 0, y siendo
δ ε̄ =
∂δu
,
∂x
δ σ̄ = Eδ ε̄,
tenemos
1
E[u + δu] = −
2
ZZZ
ZZZ
T
(ε̄ + δ ε̄) (σ̄ + δ σ̄) dΩ +
ZZ
(u + δu)b dΩ +
r̄∈Ω
r̄∈Ω
1
= E[u] −
2
ZZZ
1
= E[u] +
2
ZZZ
T
T
r̄∈Γσ
ZZZ
T
(δ ε̄ σ̄ + ε̄ δ σ̄ + δ ε̄ δ σ̄) dΩ +
T
T
r̄∈Γσ
ZZZ
ZZ
r̄∈Ω
δub dΩ +
r̄∈Ω
ZZZ
1
T
δ ε̄ (γδ ε̄) dΩ
= E[u] +
2
r̄∈Ω
» ZZZ
ZZZ
ZZ
T
+ −
δ ε̄ σ̄ dΩ +
δub dΩ +
r̄∈Ω
δug dΓ
r̄∈Ω
(δ ε̄ γ ε̄ + ε̄ γδ ε̄ + δ ε̄ γδ ε̄) dΩ +
r̄∈Ω
ZZ
δub dΩ +
r̄∈Ω
T
(u + δu)g dΓ
–
δug dΓ .
r̄∈Γσ
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
δug dΓ
r̄∈Γσ
Planteamientos Alternativos (IVc1)
Pero
T
div(δuσ̄) = grad (δu) σ̄ + δu div σ̄.
|
{z
}
δ ε̄T
Luego
ZZZ
T
ZZZ
ZZZ
div(δuσ̄) dΩ −
δ ε̄ σ̄ dΩ =
r̄∈Ω
r̄∈Ω
δu div σ̄ dΩ.
r̄∈Ω
Y aplicando el TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,
ZZZ
T
δ ε̄ σ̄ dΩ =
r̄∈Ω
ZZ
T
(δuσ̄) n̄ dΓ −
r̄∈Γ
ZZZ
δu div σ̄ dΩ.
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVc2)
Luego
ZZZ
ZZZ
ZZ
T
−
δ ε̄ σ̄ dΩ +
δub dΩ +
r̄∈Ω
r̄∈Ω
δug dΓ =
r̄∈Γσ
ZZZ
+
ZZ
δu (div(σ̄) + b) dΩ +
{z
}
r̄∈Ω |
=0
T
δu (−σ̄ n̄ + g) dΓ = 0.
{z
}
r̄∈Γσ |
=0
Por tanto,
≥0 ∀δ ε̄
1
E[u + δu] = E[u] +
2
}|
z
ZZZ
T
{
δ ε̄ γδ ε̄ dΩ
r̄∈Ω
˛
˛
≥ E[u] ∀δu ˛ δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVd)
La condición de mı́nimo equivale al PLANTEAMIENTO VARIACIONAL
r̄ ∈ Ω,
dJ(λ) = 0 ∀δu
dλ λ=0
Hallar u(r̄),
tal que
tal que δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu,
con J(λ) = E[u + λδu],
ZZZ
dJ(λ) T
y por tanto
grad
(δu)γ grad(u) dΩ
=
+
dλ λ=0
r̄∈Ω
ZZZ
ZZ
+
δub dΩ +
ug dΓ,
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVe)
. . . que conduce al PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV)
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZZ
T
+
grad (δu)σ̄ dΩ
r̄∈Ω
ZZZ
tal que
−
δub dΩ
r̄∈Ω
ZZ
−
δug dΓ = 0
r̄∈Γσ
siendo

σ̄ = −γ ε̄



ε̄ = grad u,



u = u0(r̄)
∀δu δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu,
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN CONSTITUTIVA)
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD)
∀r̄ ∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVf1)
Pero
T
grad (δu)σ̄ = div(δuσ̄) − δu div(σ̄).
Y, por tanto,
ZZZ
ZZZ
T
grad (δu)σ̄ dΩ =
r̄∈Ω
ZZZ
div(δuσ̄) dΩ −
r̄∈Ω
δu div(σ̄) dΩ.
r̄∈Ω
Aplicando el teorema de la divergencia,
ZZZ
ZZ
div(δuσ̄) dΩ =
r̄∈Ω
T
(δuσ̄) n̄ dΓ
r̄∈Γ
ZZ
=
T
δu(σ̄ n̄) dΓ.
r̄∈Γ
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVf2)
En consecuencia, se obtiene
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZ
+
δu(σ̄ T n̄) dΓ
r̄∈Γ
ZZZ
tal que
−
δu (div(σ̄) + b) dΩ
r̄∈Ω
ZZ
−
δug dΓ = 0
r̄∈Γσ
siendo

σ̄ = −γ ε̄



ε̄ = grad u,



u = u0(r̄)
∀δu δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu,
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN CONSTITUTIVA)
r̄ ∈ Ω,
(ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD)
∀r̄ ∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Planteamientos Alternativos (IVg)
. . . o lo que es lo mismo,
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
ω(r̄)R(r̄) dΩ +
ω(r̄)RΓ(r̄) dΓ = 0,
r̄∈Ω
tal que
r̄∈Γσ
ω(r̄) = δu(r̄), ∀δu δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu,
siendo



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
(*)
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
(*) Que es un planteamiento en residuos ponderados equivalente al problema original.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (I)
PLAN DE TRABAJO
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (II)
RESIDUOS PONDERADOS
(Weighted Residuals)
Hallar u(r̄), r̄ ∈ Ω,
ZZZ
ZZ
tal que
ω(r̄)R(r̄) dΩ +
r̄∈Ω
siendo
ω(r̄)RΓ(r̄) dΓ = 0
∀ω(r̄)
r̄∈Γσ



R(r̄) = div(σ̄) + b
r̄







σ̄ = −γ ε̄
r̄



ε̄ = grad u
r̄





T

R
(r̄)
=
−σ̄
n̄ + g(r̄)
r̄

Γ





u = u0(r̄)
∀r̄
◦
∈Ω,
(EC. DE EQUILIBRIO)
∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∈ Γσ ,
(C.C. NATURAL)
∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (III)
Observamos que
♣ En el enunciado anterior las funciones de prueba u(r̄) se derivan dos
veces, mientras que las funciones de test ω(r̄) no se derivan.
♠ Si tenemos una aproximación a la solución uh(r̄) ≈ u(r̄) que no sea dos
veces derivable, el enunciado anterior no permite comprobar la bondad
de la aproximación.
♥ Si pudiésemos reducir el orden de derivación de u(r̄) podrı́amos intentar
obtener aproximaciones con menores requisitos de continuidad (por
ejemplo, poligonales a trozos)
Aplicaremos EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA con el fin de reducir
el orden de derivación de u(r̄) aunque sea a costa de aumentar el orden
de derivación de ω(r̄).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (IVa1)
Operando,
T
div(ωσ̄) = grad (ω)σ̄ + ω div(σ̄).
Y, por tanto,
ZZZ
ZZZ
div(ωσ̄) dΩ =
r̄∈Ω
ZZZ
T
grad (ω)σ̄ dΩ +
r̄∈Ω
ω div(σ̄) dΩ.
r̄∈Ω
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
ZZZ
ZZ
div(ωσ̄) dΩ =
r̄∈Ω
T
(ωσ̄) n̄ dΓ
r̄∈Γ
ZZ
=
T
ω(σ̄ n̄) dΓ.
r̄∈Γ
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (IVa2)
Luego,
ZZZ
ZZZ
ωR dΩ =
ω (div(σ̄) + b) dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ω(σ̄ T n̄) dΓ
=
r̄∈Γ
ZZZ
ZZZ
T
−
grad (ω)σ̄ dΩ +
ωb dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ZZ
=
ω(σ̄ T n̄) dΓ +
ω(σ̄ T n̄) dΓ
r̄∈Γσ
ZZZ
−
r̄∈Γu
T
grad (ω)σ̄ dΩ +
r̄∈Ω
ZZZ
ωb dΩ.
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (IVb)
En consecuencia,
ZZZ
ZZ
ωR dΩ +
r̄∈Ω
ZZ
ω(σ̄ T n̄) dΓ +
ωRΓ =
r̄∈Γσ
ZZ
r̄∈Γσ
r̄∈Γu
ZZZ
−
ω(σ̄ T n̄) dΓ
ZZZ
T
grad (ω)σ̄ dΩ +
ωb dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
T
ω −σ̄ n̄ + g dΓ
+
r̄∈Γσ
ZZZ
=−
T
ZZZ
grad (ω)σ̄ dΩ +
ωb dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ZZ
T
+
ωg dΓ +
ω σ̄ n̄ dΓ,
r̄∈Γσ
r̄∈Γu | {z }
gR
lo que nos conduce a la forma débil. . .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (V)
FORMA DÉBIL
(Weak Form)
T
Hallar u(r̄) ∈ Hu,
y la reacción gR = σ̄ n̄
ZZZ
ZZZ
ZZ
T
grad (ω)σ̄ dΩ =
ωb dΩ +
r̄∈Ω
r̄∈Ω
tal que
ωg dΓ
r̄∈Γσ
ZZ
+
ωgR dΓ ∀ω(r̄) ∈ Hω
r̄∈Γu
siendo

σ̄ = −γ ε̄



ε̄ = grad u



u = u0(r̄)
r̄ ∈ Ω,
(EC. CONSTITUTIVA)
r̄ ∈ Ω,
(EC. DE COMPATIBILIDAD)
∀r̄ ∈ Γu.
(C.C. ESENCIAL)
donde gR = σ̄ T n̄ es la REACCIÓN que se produce en Γu al forzar el valor de
la condición de contorno esencial.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VI)
Observamos que
♦ La forma anterior es DÉBIL por doble motivo, ya que además de lo
anteriormente expuesto permite comprobar la bondad de
aproximaciones uh(r̄) ≈ u(r̄) que sean una vez derivables (en vez de
dos veces derivables, como exige la forma fuerte del problema).
♥ La condición de contorno
ZZ natural se introduce en la formulación
mediante el término
ωg dΓ.
r̄∈Γσ
T
♣ Cuando g = 0 se impone
ZZ una condición de contorno que establece que σ̄ n̄ = 0
en Γσ , pero el término
ωg dΓ desaparece, por lo que la condición de contorno
r̄∈Γσ
parece satisfacerse de forma “natural”. De ahı́ el nombre.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIa)
CARGAS PUNTUALES (utilización de las deltas de Dirac)
◦
Sea Vi una fuerza puntual aplicada en el punto r̄i r̄i ∈Ω.
Podemos introducir la fuerza puntual en la formulación mediante una fuerza
equivalente por unidad de volumen bi(r̄) del tipo
−→ bi(r̄) = Viδ(r̄ − r̄i),
Vi
de forma que
ZZZ
ZZZ
Viδ(r̄ − r̄i) dΩ
bi dΩ =
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZZ
= Vi
δ(r̄ − r̄i) dΩ
r̄∈Ω
= Vi.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIb)
Al introducir bi(r̄) en la forma débil obtenemos
ZZZ
ZZZ
ωViδ(r̄ − r̄i) dΩ
r̄∈Ω
ZZZ
= Vi
ωδ(r̄ − r̄i) dΩ
ωbi dΩ =
r̄∈Ω
r̄∈Ω
= Viω(r̄i),
que es un término del mismo tipo de los que se obtuvieron anteriormente en
problemas 1D.
De la misma forma pueden introducirse cargas concentradas sobre una
superficie, o sobre una lı́nea.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIa)
EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
♥ Si interpretamos la función de test ω(r̄) como un desplazamiento virtual
compatible con las condiciones de contorno esenciales (es decir como
una modificación de la solución u(r̄) que no incumpla las condiciones de
contorno esenciales), e interpretamos su derivada como una
deformación virtual, podemos escribir
ω(r̄) = δu(r̄) con δu(r̄) = 0 ∀r̄ ∈ Γu,
∂ω
δ ε̄(r̄) =
∂x
y obtenemos el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
ZZZ
ZZZ
ZZ
δ ε̄T σ̄ dΩ =
δub dΩ +
δug dΓ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
∀δu δu(r̄) = 0 cuando r̄ ∈ Γu.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIb)
♣ Por tanto, el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES es una
forma débil de las ecuaciones de equilibrio (no de las ecuaciones
constitutivas ni de las de compatibilidad) y de las condiciones de
contorno naturales (no de las condiciones de contorno esenciales).
♥ El MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS permite obtener una forma
débil del problema aunque no se conozca el enunciado especı́fico del
PTV para el problema que se está resolviendo (por ejemplo, ¿qué
significa y cómo se escribe el principio de los trabajos virtuales en
problemas de difusión de contaminantes?)
♦ En el caso que nos ocupa, esta forma débil equivale al planteamiento
variacional de mı́nima energı́a, por lo que las soluciones numéricas que
proporcionará el método de Galerkin serán óptimas. Esto no tiene por
qué ser cierto en otros casos (problemas de convección-difusión,
dinámica de fluidos, etc.).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Forma Débil (VIIIc)
♣ La forma clásica del bf PTV también es válida para ecuaciones
constitutivas no lineales y para ecuaciones de compatibilidad más
complicadas siempre y cuando la ecuación de equilibrio sea la expuesta.
En todo caso, hay que interpretar correctamente el enunciado y tener en
cuenta que la expresión de la deformación virtual es la correspondiente
al gradiente.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (I)
FORMA DÉBIL
(Weak Form)
Hallar u(r̄) ∈ Hu u(0) = u0
ZZZ
[y gR ]
ZZZ
T
grad (ω)σ̄ dΩ =
ZZ
ωb dΩ +
r̄∈Ω
r̄∈Ω
tal que
ωg dΓ
r̄∈Γσ
ZZ
+
ωgR dΓ ∀ω(r̄) ∈ Hω
r̄∈Γu
siendo σ̄ = −γ ε̄,
ε̄ = grad u.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIa)
(Trial Functions)
FUNCIONES DE PRUEBA
Sea la base de funciones de prueba {φi(r̄)}i=1,...,ν .
Dada la aproximación inicial ψ(r̄), buscamos una mejor aproximación
u(r̄) ≈ uh(r̄) = ψ(r̄) +
ν
X
uh(r̄) ∈ Huh ⊂ Hu,
(
)
( )
φ1(r̄)
α1
..
..
con Φ̄(r̄) =
, ᾱ =
.
φν (r̄)
αν
αiφi(r̄),
i=1
u(r̄) ≈ uh(r̄) = ψ(r̄) + Φ̄T (r̄) ᾱ,
Las correspondientes aproximaciones de ε̄(r̄) y de σ̄(r̄) serán
h
ε̄(r̄) ≈ ε̄ (r̄) = grad ψ +
ν
X
αi grad φi,
h
h
h
h
σ̄(r̄) ≈ σ̄ (r̄) = −γ ε̄ (r̄),
i=1
h
T
ε̄(r̄) ≈ ε̄ (r̄) = grad ψ + grad Φ̄ ᾱ,
σ̄(r̄) ≈ σ̄ (r̄) = −γ ε̄ (r̄).
Y [si interesa] podemos buscar una aproximación de la reacción gR ≈ gRh .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIb)
En general no será posible que uh(r̄) = u(r̄) ∀r̄ ∈ Ω (*), por lo que
uh(r̄) 6= u(r̄)
m
ZZZ
no es posible que
T
grad (ω)σ̄ h dΩ =
ωb dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ZZ
+
ωg dΓ +
ωgRh dΓ
∀ω(r̄) ∈ Hω .
r̄∈Γσ
(*)
ZZZ
r̄∈Γu
Salvo que u(r̄) − ψ(r̄) esté contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIIa)
(Test Functions)
FUNCIONES DE TEST
Sea la base de funciones de test {ωj (r̄)}j=1,...,ν .
Sea
ω h(r̄) =
ν
X
βj ωj (r̄),
j=1
T
ω h(r̄) ∈ Hωh ⊂ Hω ,
(
ω h(r̄) = Ω̄ (r̄) β̄ = β̄ T Ω̄(r̄),
con
Ω̄(r̄) =
ω1(r̄)
..
ων (r̄)
Nos proponemos obtener la aproximación uh(r̄) ∈ Huh
)
(
, β̄ =
T
ZZZ
grad (ω h)σ̄ h dΩ =
ω hb dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ZZ
+
ω hg dΓ +
ω hgRh dΓ ∀ω h(r̄) ∈ Hωh.
r̄∈Γσ
)
.
h
u = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu
[y la aproximación gRh ] que verifique
ZZZ
β1
..
βν
r̄∈Γu
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IIIb)
Pero
ZZZ
ZZZ
ZZ
h
h
h
grad (ω )σ̄ dΩ −
ω b dΩ −
T
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
h
ω g dΓ −
r̄∈Γσ
h
h h
R
h
ω g dΓ = 0 ∀ω (r̄) ∈ Hω
r̄∈Γu
m
ν
X
„ZZZ
ZZZ
ZZ
h
grad (ωj )σ̄ dΩ −
ωj b dΩ −
βj
r̄∈Ω
j=1
β̄
„ZZZ
T
ZZ
ωj g dΓ −
T
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
ZZZ
ZZ
T
h
grad (Ω̄)σ̄ dΩ −
Ω̄b dΩ −
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
h
R
ωj g dΓ
r̄∈Γu
ZZ
Ω̄g dΓ −
«
h
R
«
= 0 ∀β̄
Ω̄g dΓ
r̄∈Γu
= 0 ∀ {βj }
m
ZZZ
T
h
ZZZ
ZZ
ZZ
h
grad (ωj )σ̄ dΩ =
ωj b dΩ +
ωj g dΓ +
ωj g dΓ,
j=1,...,ν
R
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
r̄∈Γu
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZZ
T
h
h
grad (Ω̄)σ̄ dΩ =
Ω̄b dΩ +
Ω̄g dΓ +
Ω̄g dΓ.
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
r̄∈Γu
R
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IVa)
Por tanto,
ZZZ
−
ν
X
!
ZZZ
ZZ
ZZ
h
grad (ωj )γ grad ψ +
αi grad φi dΩ =
ωj b dΩ + ωj g dΓ + ωj g dΓ, j=1,...,ν
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
r̄∈ΓuR
i=1
ZZ
ZZZ
ZZZ
ZZ
“
”
T
h
T
−
grad (Ω̄)γ grad ψ + grad Φ̄ ᾱ dΩ =
Ω̄b dΩ + Ω̄g dΓ + Ω̄g dΓ
T
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈ΓR
σ
r̄∈Γσ
m
kji
fj
}|
z ZZZ
z
}| ZZZ
{ ZZ
«{
ZZZ
ZZ
ν „
X
T
T
h
−
grad (ωj )γ grad φi dΩ αi =
grad (ωj )γ grad ψ dΩ +
ωj b dΩ + ωj g dΓ + ωj g dΓ, j=1,...,ν
i=1
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
r̄∈ΓuR
K
f¯
z ZZZ
}|
zZZZ
}| ZZZ
{ ZZ
e
„
«{
ZZ
T
T
h
T
Ω̄b dΩ + Ω̄g dΓ + Ω̄g dΓ
−
grad (Ω̄)γ grad Φ̄ dΩ ᾱ =
grad (Ω̄)γ grad ψ dΩ +
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
r̄∈Ω
m
ν
X
i=1
ZZ
kji αi = fj +
h
ωj g dΓ
r̄∈ΓuR
j=1,...,ν
⇐⇒ K ᾱ = f¯ +
e
ZZ
h
r̄∈ΓR
u
Ω̄g dΓ.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
r̄∈ΓR
u
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IVb)
Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema
(de orden ν, con la incógnita adicional gRh (r̄), r̄ ∈ Γu)
K ᾱ = f¯ +
e
ZZ
Ω̄(r̄)gRh (r̄) dΓ,
r̄∈Γu
con la condición adicional uh = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu, esto es
Φ̄T (r̄) ᾱ = u0(r̄) − ψ(r̄) ∀r̄ ∈ Γu.
♠ ¡AHORA NO ES TRIVIAL IMPONER LAS CONDICIONES DE
CONTORNO ESENCIALES!
Ya que deben cumplirse ∀r̄ ∈ Γu.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (IVc)
Podemos solventar el problema de las condiciones de contorno
esenciales. . .
♣ mediante RESIDUOS PONDERADOS,
♣ eligiendo adecuadamente la aproximación inicial ψ(r̄) y las funciones de
prueba Φ̄(r̄), o
♥ mediante ELEMENTOS FINITOS de forma trivial.
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Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (Va)
Si elegimos la aproximación inicial ψ(r̄) de forma que satisfaga la condición
de contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(r̄) de forma que
se anulen en el contorno Γu, la aproximación uh(r̄) verificará
automáticamente la condición de contorno esencial. Es decir
ψ(r̄) = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu
Φ̄(r̄) = 0̄
)
∀r̄ ∈ Γu
=⇒ uh = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu.
Si además elegimos funciones de test que se anulen en el contorno Γu, la
reacción no interviene en la formulación ya que
ZZ
ωj gRh dΓ = 0
r̄∈Γu
ZZ
j=1,...,ν
⇐⇒
Ω̄gRh dΓ = 0̄.
r̄∈Γu
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Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (Vb)
Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver puede escribirse
en la forma
K ᾱ = f¯,
e
siendo
ZZZ
K = [kji] i=1,...,ν ,
e
j=1,...,ν
f¯ = {fj }j=1,...,ν ,
kji =
T
grad (ωj )γ grad φi dΩ
ZZZ r̄∈Ω
T
K=
grad (Ω̄)γ grad Φ̄T dΩ
e
r̄∈Ω
ZZZ
ZZZ
ZZ
T
fj = −
grad (ωj )γ grad ψ dΩ +
ωj b dΩ +
ωj g dΓ
ZZZ r̄∈Ω
ZZZ r̄∈Ω
ZZ r̄∈Γσ
T
f¯ = −
grad (Ω̄)γ grad ψ dΩ +
Ω̄b dΩ +
Ω̄g dΓ.
r̄∈Ω
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
r̄∈Γσ
Residuos Ponderados: Aproximación Numérica (VI)
Una vez resuelto el sistema obtendremos la aproximación a la solución
uh(r̄) = ψ(r̄) +
ν
X
αiφi(r̄) ⇐⇒
uh(r̄) = ψ(r̄) + Φ̄T (r̄) ᾱ.
i=0
ε̄h(r̄) = grad ψ +
ν
X
αi grad φi
⇐⇒
T
ε̄h(r̄) = grad ψ + grad (Φ̄) ᾱ
i=1
σ̄ h(r̄) = −γ ε̄h(r̄) ⇐⇒
σ̄ h(r̄) = −γ ε̄h(r̄).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Error de Aproximación (I)
MÉTODOS DE PROYECCIÓN
Los MÉTODOS DE RESIDUOS PONDERADOS también se denominan ası́,
ya que siendo
u(r̄)
σ̄(r̄) = −γ ε̄(r̄)
ε̄(r̄) = grad u,
la solución exacta, con
uh(r̄) la solución aproximada, con ε̄h(r̄) = grad uh, σ̄ h(r̄) = −γ ε̄h(r̄)
se verifica
ZZZ
T
ZZZ
h
grad (ω )σ̄ dΩ =
r̄∈Ω
T
h
ZZZ
h
grad (ω )σ̄ dΩ =
r̄∈Γσ
ZZ
h
r̄∈Ω
ZZZ
=⇒
ω g dΓ +
T
h
r̄∈Γu
ZZ
9
h
h
>
∀ω (r̄) ∈ Hω >
>
>
=
=⇒
>
>
h h
h
h>
ω g dΓ ∀ω (r̄) ∈ Hω >
;
ω g dΓ +
grad (ω )(σ̄ − σ̄ ) dΩ =
r̄∈Ω
ω gR dΓ
r̄∈Γ
ZZ
r̄∈Γσ
h
h
u
h
ω b dΩ +
r̄∈Ω
ZZ
h
ω b dΩ +
r̄∈Ω
ZZZ
ZZ
h
h
R
h
h
h
ω (gR − g ) dΓ ∀ω (r̄) ∈ Hω .
R
r̄∈Γu
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Error de Aproximación (II)
La ecuación anterior demuestra que (normalmente) la integral de las
reacciones se calcula exactamente, ya que si la función constante
pertenece al espacio de las funciones de test (lo que normalmente se exige
y se conoce como PARTICIÓN DE LA UNIDAD) entonces
ω h(r̄) = 1
ZZ
=⇒
ZZ
gRh dΓ .
gR dΓ =
r̄∈Γu
r̄∈Γu
Si las funciones de test ω h se anulan en Γu se cumple
ZZZ
T
h
h
h
h
h
grad (ω )γ grad(u − u ) dΩ = 0 ∀ω (r̄) ∈ Hω ,
ω (r̄) = 0 en Γu.
r̄∈Ω
Luego (normalmente), la solución aproximada uh(r̄) verifica
ω h, u − u
h
= 0 ∀ω h(r̄) ∈ Hωh,
ZZZ
con
hv, ei =
T
grad (v)γ grad(e) dΩ.
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Residuos Ponderados: Error de Aproximación (III)
Por tanto, la solución aproximada uh(r̄) es
la PROYECCIÓN de la solución exacta u(r̄)
sobre el subespacio Huh de las funciones de prueba uh(r̄)
según la normal al subespacio Hωh de las funciones de test ω h(r̄).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Elección de las Funciones de Test
Algunas posibilidades. . .
1) MÉTODO DE COLOCACIÓN PUNTUAL
ωj (r̄) = δ(r̄ − r̄j ),
j=1,...,ν
con r̄j ∈Ω,
r̄i 6=r̄j ∀i6=j.
(*)
=⇒ No se puede utilizar en este caso, porque la delta no es derivable.
Si se aplica a la forma original de RP conduce a DIFERENCIAS FINITAS.
2) MÉTODO DE COLOCACIÓN POR SUBDOMINIOS
ν
n
[
1, si r̄ ∈ Ωj ,
ωj (r̄) =
j=1,...,ν con
Ωj = Ω,
0, en caso contrario,
j=1
=⇒ Conduce a VOLÚMENES FINITOS.
3) MÉTODO DE BUBNOV-GALERKIN
ωj (r̄) = φj (r̄),
(*)
j=1,...,ν
⇐⇒
Hωh = Huh.
Si r̄j = a o r̄j = b es preciso redefinir adecuadamente la δ .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
ν
\
j=1
◦
Ωj = ∅.
Método de Bubnov-Galerkin (Ia)
PONDERACIÓN DE BUBNOV–GALERKIN
Si se eligen como funciones de test las funciones de prueba, esto es
ωj (r̄) = φj (r̄),
Hωh = Huh
m
⇐⇒
j=0,...,ν
Ω̄(r̄) = Φ̄(r̄),
se obtiene
ZZZ
K = [kji] i=1,...,ν ,
e
j=1,...,ν
f¯ = {fj }j=1,...,ν ,
kji =
T
grad (φj )γ grad φi dΩ
ZZZ r̄∈Ω
T
K=
grad (Φ̄)γ grad Φ̄T dΩ
e
r̄∈Ω
ZZZ
ZZZ
ZZ
T
φj g dΓ
fj = −
grad (φj )γ grad ψ dΩ +
φj b dΩ +
ZZZ r̄∈Ω
ZZZ r̄∈Ω
ZZ r̄∈Γσ
T
f¯ = −
grad (Φ̄)γ grad ψ dΩ +
Φ̄b dΩ +
Φ̄g dΓ.
r̄∈Ω
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
r̄∈Γσ
Método de Bubnov-Galerkin (Ib)
Como ya hemos visto, si elegimos la aproximación inicial ψ(r̄) de forma que
satisfaga la condición de contorno esencial y elegimos las funciones de
prueba φi(r̄) de forma que se anulen en el contorno Γu, la aproximación
uh(r̄) verificará automáticamente la condición de contorno esencial. Es decir
ψ(r̄) = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu
Φ̄(r̄) = 0̄
)
∀r̄ ∈ Γu
=⇒ uh = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu.
Como estamos utilizando una ponderación de Bubnov–Galerkin,
automáticamente las funciones de test se anularán en el contorno Γu, y la
reacción no interviene en la formulación ya que
ZZ
φj gRh dΓ = 0
r̄∈Γu
ZZ
j=1,...,ν
⇐⇒
Φ̄gRh dΓ = 0̄.
r̄∈Γu
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (Ic)
Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver puede escribirse
en la forma
K ᾱ = f¯,
e
siendo
2 ZZZ
ZZZ
T
ZZZ
T
T
3
grad (φ1 )γ grad φ1 dΩ
grad (φ1 )γ grad φ2 dΩ . . .
grad (φ1 )γ grad φν dΩ 7
6
6 ZZZr̄∈Ω
7
ZZZr̄∈Ω
ZZZr̄∈Ω
6
7
T
T
T
6
7
grad
(φ
)γ
grad
φ
dΩ
grad
(φ
)γ
grad
φ
dΩ
.
.
.
grad
(φ
)γ
grad
φ
dΩ
ν
2
1
2
2
2
7
K=6
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Ω
6
7
e
..
..
..
6
7
.
.
.
6 ZZZ
7
ZZZ
ZZZ
4
5
T
T
T
grad (φν )γ grad φ1 dΩ
grad (φν )γ grad φ2 dΩ . . .
grad (φν )γ grad φν dΩ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Ω
ZZ
ZZZ
8 ZZZ
9
T
>
>
>
φ1 b dΩ +
φ1 g dΓ >
grad (φ1 )γ grad ψ dΩ +
−
>
>
>
>
>
>
r̄∈Γ
r̄∈Ω
r̄∈Ω
σ
>
>
ZZZ
ZZZ
ZZ
>
>
>
>
T
=
<−
grad
(φ
)γ
grad
ψ
dΩ
+
φ
b
dΩ
+
φ
g
dΓ
2
2
2
¯
f =
.
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
>
>
>
>
..
>
>
. ZZZ
>
>
ZZZ
ZZ
>
>
>
>
T
>
>
>
grad (φν )γ grad ψ dΩ +
φν b dΩ +
φν g dΓ >
;
:−
r̄∈Ω
r̄∈Ω
r̄∈Γσ
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (II)
La solución aproximada uh(r̄) verifica
ZZZ
T
grad (φj )σ̄ h dΩ −
r̄∈Ω
ZZZ
ZZ
φj b dΩ −
r̄∈Ω
φj g dΓ = 0
r̄∈Γσ
⇓
∂E
= 0,
∂αj
siendo
E(α1, α2, . . . , αν ) = E[uh],
por lo que se realiza un AJUSTE DE MÍNIMA ENERGÍA.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IIIa)
La matriz K del método de Galerkin es. . .
e
♥ SIMÉTRICA
K = KT
e
e
♥ SEMIDEFINIDA POSITIVA
η̄ T K η̄ ≥ 0
e
∀η̄ 6= 0̄
♥ DEFINIDA POSITIVA
η̄ T K η̄ > 0
e
(*)
∀η̄ 6= 0̄ (*)
Si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IIIb)
K es SIMÉTRICA, ya que
e
ZZZ
kji =
ZZZ
grad(φj )γ grad(φi) dΩ =
r̄∈Ω
grad(φi)γ grad(φj ) dΩ = kij
r̄∈Ω
m
ZZZ
K=
e
ZZZ “
”T
T
T
grad(Φ̄)γ grad(Φ̄ ) dΩ =
grad(Φ̄)γ grad(Φ̄ )
dΩ = K .
e
r̄∈Ω
r̄∈Ω
T
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IIIc)
K es SEMIDEFINIDA POSITIVA, ya que
e
„ZZZ
ν X
ν
X
ηj kji ηi =
j=1 i=1
ν X
ν
X
ηj
grad(φj )γ grad(φi ) dΩ
r̄∈Ω
j=1 i=1
0
ZZZ
=
r̄∈Ω
ν
X
@
1
ηj grad(φj )A γ
j=1
|
g(r̄)
ν
X
=
r̄∈Ω
ν
X
ηi grad(φi )
ηi
!
ηi grad(φi )
i=1
} |
!2
{z
ZZZ
«
{z
dΩ
}
g(r̄)
γ dΩ ≥ 0
∀η̄ = {ηi }i=1,...,ν 6= 0̄.
i=1
m
T
T
„ZZZ
η̄ K η̄ = η̄
e
ZZZ
=
T
«
grad(Φ̄)γ grad(Φ̄ ) dΩ
η̄
r̄∈Ω
T
T
grad(Φ̄ η̄) γ grad(Φ̄ η̄) dΩ
{z
} |
{z
}
r̄∈Ω|
g(r̄)
ZZZ
=
g(r̄)
“
”2
T
grad(Φ̄ η̄) γ dΩ ≥ 0
∀η̄ 6= 0̄.
r̄∈Ω
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IIId)
K es DEFINIDA POSITIVA, ya que (véase el punto anterior)
e
ν X
ν
X
ηj kji ηi = 0
=⇒
j=1 i=1
ν
X
ηi grad(φi ) = 0 ∀r̄ ∈ Ω
=⇒
ηi = 0, i = 1, . . . , ν
i=1
m
T
η̄ K η̄ = 0
e
=⇒
T
grad(Φ̄ η̄) = 0 ∀r̄ ∈ Ω
=⇒
η̄ = 0̄.
si la base de funciones de prueba ha sido correctamente elegida (de forma
que sus derivadas sean linealmente independientes).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IVa)
ESTIMACIÓN DEL ERROR
Sabemos que la solución aproximada uh(r̄) verifica
D
h
ω ,u − u
h
E
h
= 0 ∀ω (r̄) ∈
h
Hω
=
h
Hu ,
ZZZ
con hv, ei =
T
grad (v)γ grad(e) dΩ.
r̄∈Ω
El producto escalar verifica la desigualdad de Cauchy
s
hv, ei ≤ kvk kek ,
con la norma kek =
1
he, ei 2
ZZZ
=
r̄∈Ω
˛
˛2
˛
˛
˛grad(e)˛ γ dΩ.
˛
˛
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IVb)
APROXIMACIÓN ÓPTIMA
La solución aproximada uh(r̄) verifica
h
h
u − u ≤ u − v ∀v h ∈ Huh.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IVc)
Pues,
h
h
u ,v ∈
h
Hu
h
h
=⇒ u − v ∈
h
Hu
=⇒
D
h
h
u − v ,u − u
h
E
= 0,
luego
‚
‚2
D
E
D
E D
E
‚
h
h
h
h
h
h
h
h‚
= u − u ,u − u + u − v ,u − u
‚u − u ‚ = u − u , u − u + 0
D
E
D
E
h
h
h
h
h
h
= u − u + u − v ,u − u
= u − v ,u − u
‚
‚‚
‚
‚
h‚ ‚
h‚
≤ ‚u − v ‚ ‚u − u ‚ ,
y en consecuencia
‚
‚
‚
‚
‚
‚
h‚
h‚
‚u − u ‚ ≤ ‚u − v ‚ .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Método de Bubnov-Galerkin (IVd)
ESTIMACIÓN DEL ERROR
Utilizando funciones de prueba v h ∈ Huh adecuadamente elegidas se
pueden obtener cotas del error u − uh a partir de la expresión
u − uh ≤ u − v h .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Elección de las Funciones de Prueba (Ia)
Algunas posibilidades. . .
1) SOPORTE GLOBAL → MÉTODO DE RITZ
♣ Ejemplos:
B No es trivial plantear ejemplos de aproximaciones de este tipo en 2D/3D
B ...
♠ K es LLENA → tiempo de computación T (ν 3).
e
♠ K puede ser MAL-CONDICIONADA. (*)
e
(*)
EL número de condición depende de la base de funciones de prueba que se hayan elegido.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Elección de las Funciones de Prueba (Ib)
2) SOPORTE LOCAL → MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
♣ Ejemplos:
B a) Mallas de triángulos/tetraedros.
B b) Mallas de cuadriláteros/prismas.
B c) Mallas de elementos curvos.
♥ Se pretende que K sea SPARSE.
e
♥ Se pretende que K sea BIEN-CONDICIONADA.
e
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (I)
FORMA DÉBIL
(Weak Form)
Hallar u(r̄) ∈ Hu u(0) = u0
tal que
[y gR ]
a(ω, u) = (ω, b) + (ω, g)σ + (ω, gR )u
ZZZ
siendo a(ω, u) =
∀ω(r̄) ∈ Hω ,
T
grad (ω)γ grad(u) dΩ,
r̄∈Ω
ZZZ
(ω, b) = −
ωb dΩ,
r̄∈Ω
ZZ
(ω, g)σ = −
ωg dΓ,
r̄∈Γσ
ZZ
(ω, gR )u = −
ωgR dΓ.
r̄∈Γu
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IIa)
FUNCIONES DE PRUEBA
(Trial Functions)
Sea la base de funciones de prueba {φi(r̄)}i=1,...,ν .
Dada la aproximación inicial ψ(r̄), buscamos una mejor aproximación
u(r̄) ≈ uh(r̄) = ψ(r̄) +
ν
X
uh(r̄) ∈ Huh ⊂ Hu,
(
)
( )
φ1(r̄)
α1
..
.
con Φ̄(r̄) =
, ᾱ =
.
.
αν
φν (r̄)
αiφi(r̄),
i=1
u(r̄) ≈ uh(r̄) = ψ(r̄) + Φ̄T (r̄) ᾱ,
Y [si interesa calcularla] podemos buscar una aproximación de la reacción
gR ≈ gRh .
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IIb)
En general no será posible que uh(r̄) = u(r̄) ∀r̄ ∈ Ω (*), por lo que
uh(r̄) 6= u(r̄)
m
no es posible que
(*)
a(ω, uh) = (ω, b) + (ω, g)σ + (ω, gR )u
∀ω(r̄) ∈ Hω .
Salvo que u(r̄) − ψ(r̄) esté contenido en el subespacio generado por las funciones de prueba.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IIIa)
(Test Functions)
FUNCIONES DE TEST
Sea la base de funciones de test {ωj (r̄)}j=1,...,ν .
Sea
ω h(r̄) =
h
ν
X
j=1
T
ω h(r̄) ∈ Hωh ⊂ Hω ,
(
βj ωj (r̄),
T
ω (r̄) = Ω̄ (r̄) β̄ = β̄ Ω̄(r̄),
con
Ω̄(r̄) =
ω1(r̄)
..
ων (r̄)
Nos proponemos obtener la aproximación uh(r̄) ∈ Huh
)
(
, β̄ =
β1
..
βν
)
.
h
u = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu
[y la aproximación gRh ] que verifique
a(ω h, uh) = (ω h, b) + (ω h, g)σ + (ω h, gRh )u
∀ω h(r̄) ∈ Hωh.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IIIb)
Pero
h
h
h
h
h
h
R
h
h
a(ω , u ) − (ω , b) − (ω , g)σ − (ω , g )u = 0 ∀ω (r̄) ∈ Hω
m
ν
X
«
„
h
h
βj a(ωj , u ) − (ωj , b) − (ωj , g)σ − (ωj , g )u = 0 ∀ {βj }
R
j=1
„
«
β̄ T a(Ω̄, uh) − (Ω̄, b) − (Ω̄, g)σ − (Ω̄, g h )u = 0 ∀β̄
R
m
h
h
R
a(ωj , u ) = (ωj , b) + (ωj , g)σ + (ωj , g )u,
h
j=1,...,ν
h
R
a(Ω̄, u ) = (Ω̄, b) + (Ω̄, g)σ + (Ω̄, g )u.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IVa)
Por tanto,
a(ωj , ψ +
ν
X
h
R
αiφi) = (ωj , b) + (ωj , g)σ + (ωj , g )u
∀j
i=1
a(Ω̄, ψ + Φ̄T ᾱ) = (Ω̄, b) + (Ω̄, g)σ + (Ω̄, g h )u
R
m
kji
fj
ν z
X
}| {
z
}|
{
h
a(ωj , φi) αi = −a(ωj , ψ) + (ωj , b) + (ωj , g)σ +(ωj , g )u
R
∀j
i=1
K
f¯
{
z }|
z
}|
{
e T
a(Ω̄, Φ̄ ) ᾱ = −a(Ω̄, ψ) + (Ω̄, b) + (Ω̄, g)σ +(Ω̄, g h )u
R
m
ν
X
i=1
h
R
kjiαi = fj + (ωj , g )u,
j=1,...,ν
h
⇐⇒ K ᾱ = f¯ + (Ω̄, g )u.
R
e
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IVb)
Luego el problema de equilibrio original ha sido sustituido por el sistema
(de orden ν, con la incógnita adicional gRh (r̄), r̄ ∈ γu)
K ᾱ = f¯ + (Ω̄, gRh )u,
e
con la condición adicional uh = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu, esto es
Φ̄T (r̄) ᾱ = u0(r̄) − ψ(r̄) ∀r̄ ∈ Γu.
♠ ¡AHORA NO ES TRIVIAL IMPONER LAS CONDICIONES DE
CONTORNO ESENCIALES!
Ya que deben cumplirse ∀r̄ ∈ Γu.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (IVc)
Podemos solventar el problema de las condiciones de contorno
esenciales. . .
♣ mediante RESIDUOS PONDERADOS,
♣ eligiendo adecuadamente la aproximación inicial ψ(r̄) y las funciones de
prueba Φ̄(r̄), o
♥ mediante ELEMENTOS FINITOS de forma trivial.
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Notación en Formas Bilineales (Va)
Si elegimos la aproximación inicial ψ(r̄) de forma que satisfaga la condición
de contorno esencial y elegimos las funciones de prueba φi(r̄) de forma que
se anulen en el contorno Γu, la aproximación uh(r̄) verificará
automáticamente la condición de contorno esencial. Es decir
ψ(r̄) = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu
Φ̄(r̄) = 0̄
)
∀r̄ ∈ Γu
=⇒ uh = u0(r̄) ∀r̄ ∈ Γu.
Si además elegimos funciones de test que se anulen en el contorno Γu, la
reacción no interviene en la formulación ya que
ZZ
ωj gRh dΓ = 0
r̄∈Γu
ZZ
j=1,...,ν
⇐⇒
Ω̄gRh dΓ = 0̄.
r̄∈Γu
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (Vb)
Por tanto, el sistema de ecuaciones que hay que resolver puede escribirse
en la forma
K ᾱ = f¯,
e
siendo
ᾱ = {αi}i=1,...,ν ,
K = [kji] i=1,...,ν ,
e
j=1,...,ν
f¯ = {fj }j=1,...,ν ,
kji = a(ωj , φi),
K = a(Ω̄, Φ̄T ),
e
fj = −a(ωj , ψ) + (ωj , b) + ωj (L)F,
f¯ = −a(Ω̄, ψ) + (Ω̄, b) + Ω̄(L)F.
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA
Notación en Formas Bilineales (VI)
Una vez resuelto el sistema obtendremos la aproximación a la solución
uh(r̄) = ψ(r̄) +
ν
X
αiφi(r̄) ⇐⇒
uh(r̄) = ψ(r̄) + Φ̄T (r̄) ᾱ.
i=0
ε̄h(r̄) = grad ψ +
ν
X
αi grad φi
⇐⇒
T
ε̄h(r̄) = grad ψ + grad (Φ̄) ᾱ
i=1
σ̄ h(r̄) = −γ ε̄h(r̄) ⇐⇒
σ̄ h(r̄) = −γ ε̄h(r̄).
U NIVERSIDAD DE A C ORU ÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UM ÉRICOS EN I NGENIER ÍA