Ecuación - matematin

COLEGIO SANTA CRUZ
RICARDO CARRILLO
ALGEBRA Y MODELOS ANÁLITICOS
TERCERO MEDIO
UNIDAD Nº 2
2011
GUÍA Nº 1
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a
una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
Lo que queremos es encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el O(0,0) y
su radio es r.
La ecuación de esta circunferencia está dada
por:
x2 + y2 = r2
(1)
Esta ecuación se llama la forma canónica u
ordinaria de la circunferencia.
Si la escribimos:
x2 + y2 + r2 = 0
(2)
se llama forma general.
Ejemplos:
1) Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y su radio es 5.
Solución: aquí r = 5, reemplazando en (1), quedaría:
x2 + y2 = 52  x2 + y2 = 25 (principal) o bien x2 + y2 – 25 = 0 (general)
Ecuación de la circunferencia con centro (h,k)
Lo que queremos es encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el C(h,k) y su
radio es r.
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
(3) Forma canónica
Si desarrollamos estos cuadrados de binomios quedaría:
x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0
Llamando A = -2h, B = -2k y C = h2 + k2 – r2, se tiene:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
(4) Forma general de la ecuación
Ejemplos
 Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.
Resolución:
Como su centro es (5,-2), entonces h = 5 y k = -2 y r = 3, reemplazando en la ec. (3)
(x – 5)2 + (y – -2)2 = 32
(x – 5)2 + (y + 2)2 = 9
 x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9
x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0 en su forma general.
 Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).
Resolución:
Que contiene significa que pasa por el punto (-2,3), entonces debemos calcular el radio de la
circunferencia, aplicamos para esto la distancia de puntos
𝑟 = √(−2 − 1)2 + (3 − 1)2 =√13
Así la ecuación es:
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13
x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0
 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?
Resolución:
La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la
ecuación, es decir, reemplazar en la ecuación (4)
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:
5
Así, la ecuación pedida es: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3 𝑥 −
13
3
2
𝑦+3=0
Ejercicios:
1.- Determino el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 + y2 = 16
b) x2 + y2 = 12
c) 9x2 + 9y2 = 4
d) 5x2 + 5y2 = 8
2.- Grafico la circunferencia de ecuación:
a) x2 + y2 = 4.
b) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4
3.- Calculo la distancia entre los centros de las circunferencias de ecuaciones:
x2 + y2 - 6x -2y - 6 = 0 y x2 + y2 - 12x + 4y + 31 = 0
4.- Escribo la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio mide:
a) 6 cm.
b) 2 2 m.
5.- Determino el centro y el radio de las circunferencias:
a) x  y  4 x  6 y  3 
c) (x + 2/5)2 + (y - 3/4)2 = 3
2
2
0
b) x  y  8x  6 y  22 
d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.
2
2
6.- Encuentro la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
a) (3,0); (-1,6); (-2,-4).
7.- Determino en qué puntos son secantes las circunferencias:
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 16 y (x - 7)2 + (y - 2)2 = 16
0
8.- Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0; 3x + 8y – 47 = 0 y x – y – 1 = 0.
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.
9.- Un punto se mueve de tal modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2, 0) y
(-1, 0) es siempre igual a 5. Identificar el lugar geométrico que esto describe.
10.- Determino la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,4) y (3,6), y cuyo centro está
sobre la recta de ecuación 2x + y = 3.
11.- Responde y justifico:
i) ¿Para qué valores de x tiene sentido la expresión y 
4  x2 ?
ii) Hacer el gráfico de y  4  x 2 ¿Qué figura representa?
iii) Escribir la ecuación de la circunferencia que contiene a la figura anterior.
iv) Escribir la ecuación de la semicircunferencia inferior.
12.- Compruebo si la recta 4x – 3y + 6 = 0 es tangente a la circunferencia (x-2)2 + (y-3)2 = 1
13.- Encuentro la ecuación de una circunferencia de centro (1,4) y tangente a la recta 3x + 4y – 4 = 0
14.- Encuentro el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 10y + 25 = 0
15.- Encuentro el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 - 13x - 9 = 0
16.- Dada la circunferencia x2 + y2 - 4x + 10y + 25 = 0, encuentro la ecuación de una circunferencia
concéntrica a la anterior, que pase por el punto (2,2)
17.- Encuentro la ecuación de la circunferencia de centro (1,5), sabiendo que pasa por el punto (-3,2)
18.- Encuentro la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,0), B(0,5) y C(3,2)
19.- Encuentro la ecuación de la circunferencia, cuyo diámetro es el segmento que tiene por extremos
los puntos A(2,3) y B(-4,9)
20.- Encuentro la ecuación de una circunferencia que pasa por el (0,0), de radio 4 y cuyo centro está en
la bisectriz del primer cuadrante.
21.- Busca ejercicios extras en texto “Geometría Analítica” de Charles Lehmann.
"Nada tarda tanto como aquello que no se empieza."
Alain Joule