MateMáticas3 - Ediciones Castillo

Luis fernando Ojeda Ánimas
érick Javier Vargas Ordaz
Ricardo Medel Esquivel
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Milosh santiago trnka rodríguez
p r a c t i c a r
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t r a b a j o
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d e
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C u a d e r n o
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Matemáticas
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Presentación
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“Las matemáticas no me gustan”, “Las matemáticas son difíciles”,
“Las matemáticas son aburridas”, “Siempre repruebo matemáticas”… ¡Alto!... Calma… deja de ver a las matemáticas como tu enemigo más acérrimo (aunque a muchas personas sí les agradan). Esta
materia debe convertirse en tu aliado para resolver problemas. Lo
único que tendrás que hacer es familiarizarte con su metodología,
las fórmulas y ecuaciones que te permitirán descubrir las claves
para resolver, no sólo los “casos” que se presenten en este libro, sino
problemas de tu vida cotidiana.
Cada vez que nos enfrentamos a un reto es posible que experimentemos rechazo o temor (y más si has fallado constantemente),
pero el temor es una palabra que no debe existir en tu diccionario. No dejes de intentarlo, dicen por ahí que “La práctica hace al
maestro” y cuando realices los ejercicios que aquí se presentan, te
sorprenderá lo fácil que es resolver problemas cotidianos aplicando
matemáticas.
Todos tenemos diferentes estilos al aprender, por eso procuramos
que en este libro exista variedad de problemas, de situaciones y de
métodos de solución. En cada lección te ofrecemos los elementos
necesarios para ir, paso a paso, de lo más fácil a lo más complicado.
Así también te brindamos consejos que te pondrán alerta para evitar errores. No dudes, sólo es cuestión de práctica, sin embargo no
te confíes y no dejes el estudio para un día antes del examen.
No desconfíes de las matemáticas, confía en tus habilidades, despierta tu curiosidad y atrévete a mirar esta materia desde un punto
de vista distinto, es como las obras de arte moderno, para encontrar
su belleza, hay que mirarlas desde “otro ángulo”. Las matemáticas
forman parte de tu vida, no las dejes encerradas en la escuela. Te
aseguramos que con la práctica, llegarás a dominarlas. ¡Adelante!
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6Conoce tu libro
7Dosificación
9 BLOQUE 1
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10Ecuaciones cuadráticas
14Análisis de figuras semejantes y congruentes
18Criterios de congruencia y semejanza
23Análisis de representaciones de relaciones
lineales
27Representación tabular y algebraica de
relaciones de variación cuadrática
31Escala de probabilidad. Eventos
complementarios, mutuamente excluyentes
e independientes.
35Encuestas
39Lo que aprendí
42Factorización de ecuaciones cuadráticas
46Rotación y traslación de figuras
50Diseños que combinan transformaciones
54Cuadrados sobre los lados de un triángulo
rectángulo
58El teorema de Pitágoras
61 La regla de la suma en probabilidad
65 Lo que aprendí
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41 Bloque 2
Índice
4
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67 Bloque 3
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N
68Fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas de la forma ax2 + bx + c
72Resolución de problemas de congruencia
y semejanza de triángulos
76El teorema de Tales
80Figuras homotéticas
84Gráficas de relaciones de variación cuadrática
88Gráficas con secciones rectas y curvas
93 La regla del producto en probabilidad
97 Lo que aprendí
99 Bloque 4
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EP
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100Sucesiones definidas por expresiones
cuadráticas
104Conos, cilindros y esferas
109 La pendiente y la tangente en una recta
113Seno, coseno y tangente
117Razones trigonométricas y círculo unitario
121 La razón de cambio
125Desviación media
129 Lo que aprendí
131 BLOQUE 5
132Resolución de problemas con ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones
136Cortes en cilindros y conos
140Volumen de cilindros y conos
144Estimación y cálculo de volúmenes de cilindros
y conos
149Situaciones de variación lineal y cuadrática
153Juegos de azar justos e injustos
157 Lo que aprendí
159Bibliografía
5
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entrada de bloque
este libro está organizado en fichas
de trabajo, en las que practicarás y
ejercitarás los contenidos y aprendizajes que desarrollaste en tus clases. al
inicio de cada bloque se muestran los
ejes, temas y aprendizajes que trabajarás en cada ficha.
BLOQUE 1
Ficha
Eje
Tema
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
1
Forma, espacio
Figuras y cuerpos
y medida
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a
partir de construcciones con información determinada.
3
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación. Identificación de las que
corresponden a una relación de proporcionalidad.
Proporcionalidad
y funciones
• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación
cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la
física, la biología, la economía y otras disciplinas.
4
5
Manejo de la
información
6
7
Nociones de
probabilidad
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las
características de eventos complementarios y eventos mutuamente
excluyentes e independientes.
Análisis y
representación
de datos
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la
población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo.
Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas
convenientes para su presentación.
las claves del problema
Análisis de figuras semejantes
y congruentes
6.4 cm
A
c
b
x
a
B
C
D
8 cm
e
f
y
Las claves del problema
E
1. Como las caras homólogas son semejantes, entonces:
Las áreas de las caras homólogas son iguales.
Los lados de las caras homólogas tienen la misma medida.
Los lados de las caras homólogas son proporcionales.
Los perímetros de las caras homólogas son iguales.
△ABC ≈ △DEF
a
=k
d
b
e =k
Cuando dos figuras
tienen la misma forma
y el mismo tamaño se
llaman congruentes (≡).
RO
SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Los triángulos formados en el triángulo A1B1C1 son congruentes por el crite-
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Sabemos que si dos
figuras son congruentes,
entonces son
semejantes, pero es un
error pensar que si dos
figuras son semejantes,
forzosamente son
congruentes.
MANEJO
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
INFORMACIÓN
a) Mide los lados y ángulos de cada par de figuras, realiza las operaciones
necesarias y contesta.
a
A3
• ¿Cómosonentresílosángulosdelasfigurascongruentes?Iguales.
C2
B2
a3
a
B3
C3
b
notación
e
h
i
f
g
36°
a
d
c
nen la misma medida. Cada uno mide 72° .
Error frecuente
Notación
Para nombrar un ángulo
se toman sus vértices
en sentido opuesto a
las manecillas del reloj.
Por ejemplo, el ángulo α
también pude llamarse
ángulo ABC.
b) Como las líneas punteadas son bisectrices de esos ángulos, entonces
Si dos figuras son
congruentes, no dejan
de serlo por cambiar de
posición.
• ¿Cómosonentresílosángulosdelasfigurassemejantes?Iguales.
C
los ángulos ebc y bce miden 36° . Como los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°, considerando el triángulo ebc, el ángulo ceb
• ¿Cómosonentresílosladoscorrespondientesdelasfigurascongruentes?
A
mide 180° − 36° − 36° = 108°.
Iguales.
• ¿Cómosonentresílosladoscorrespondientesdelasfigurassemejantes?
α
c) Los ángulos dec y ceb son suplementarios, es decir, suman 180°, ya que
forman una línea recta. Así que el ángulo dec mide 180° − 108° = 72° .
Proporcionales.
20
15
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
IA
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos)
y análisis de sus propiedades.
B
Las matemáticas tienen un
lenguaje propio, en esta
sección explicamos el significado de sus simbolos y la
forma en que se expresa el
lenguaje matemático.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
4. Anota en el cículo, al lado de cada gráfica, expresión algebraica y tabla, una P si se
trata de una relación de proporcionalidad directa o una O si no lo es.
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
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b
a2
a
4. En la figura se observa una espiral construida a partir del triángulo isósceles abc. Este tipo de espirales se observan en la Naturaleza (en los
caracoles, por ejemplo). Las líneas punteadas son las bisectrices de los
ángulos abc y bca, y con ellas se obtuvieron los vértices e y d, formando
el triángulo ecd. Si se trazan las bisectrices de los ángulos dec y cde, se
obtienen los vértices f y g, formando el triángulo efg. Al continuar este
procedimiento se obtiene el triángulo hig. Estos triángulos se conocen
como triángulos áureos y todos ellos son semejantes. Completa lo siguiente para demostrar que los triángulos abc y ecd son semejantes.
a) Como el triángulo abc es isósceles, entonces los ángulos abc y bca tie-
regreso al Desafío matemático
M
A2
a
b
A3B3C3, aquí se ocupa el criterio LAL.
Error frecuente
C1
a
así que considerando a1 se cumple el criterio, Los triángulos formados en
Congruentes.
se señala el eje al que corresponde la ficha
que estás trabajando.
b
a1
B1
rectos, entonces los dos ángulos formados en B1 tienen la misma medida,
MANEJO
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
INFORMACIÓN
Semejantes.
al final de cada ficha se presenta un espacio
para replantear el problema inicial que ya resolviste. es una oportunidad para revisar, evaluar
y mejorar tus conocimientos y estrategias de
solución.
A1
a
rio ALA, ya que los ángulos en A1 y en C1 son iguales y la altura forma ángulos
LD
EP
1. Observa las siguientes parejas de figuras y, sin medir, anota si son semejantes, congruentes o si no se relacionan entre sí. Después, mide las
figuras y confirma tus respuestas.
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
en los procedimientos matemáticos es común cometer
errores o equivocaciones. en
esta sección te mostramos los
más comunes.
3. Los triángulos A1B1C1 , A2 B2C2 y A3B3C3 son congruentes, y en cada uno
se marcó una de las alturas. Cada altura divide al triángulo original en
otros dos. ¿Cuáles de esos triángulos son congruentes? Usa los criterios
de congruencia para argumentar tu respuesta.
el triángulo A2B2C2 son congruentes con los que se forman en el triángulo
Sin relación.
error frecuente
c
=k
f
donde la constante
k se llama razón de
semejanza.
ahora practica
Ahora practica
Para resolver los problemas que se plantean
necesitas tener bien claros los conceptos a
los que se refieren. esta sección incluye la
definición de esos conceptos apoyada con
ejemplos.
En los lados homólogos
se cumple que:
Bloque: 1 • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos)
y análisis de sus propiedades.
4. ¿Cómo se obtienen las medidas de la vela C con base en las medidas de
la vela B?
Las medidas de la vela B se dividen por la razón de semejanza.
A las medidas de la vela B se les suma la razón de semejanza.
Las medidas de la vela B se multiplican por la razón de semejanza.
A las medidas de la vela B se les resta la razón de semejanza.
Conceptos clave
F
d
Los lados y ángulos
correspondientes se
llaman homólogos. Por
ejemplo, a es homólogo
a d, y x es homólogo a y.
2. Cuando dos figuras son semejantes, los ángulos homólogos…
tienen la misma medida.
siempre suman 90°.
siempre suman 180°.
son proporcionales.
14
Dos figuras son
semejantes (≈) si tienen
la misma forma, pero
diferente tamaño.
IÓ
Sí
ese espacio?
MANEJO
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
INFORMACIÓN
20 cm
16 cm
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Un diseñador de artículos decorativos para el hogar elaboró velas con forma
de prismas cuadrangulares, cuyas caras homólogas son figuras semejantes.
Para hacer la vela C a partir de la vela B se usó la misma razón de semejanza
que para la B a partir de la A.
Simón quiere comprar las
velas y colocarlas en un espacio cuyas medidas frontales son
C
B
26 cm de largo por 27 cm de
A
alto. ¿Todas las velas cabrán en
N
Conceptos clave
Desafío matemático
3. ¿Cómo se calcula la razón de semejanza entre las velas B y A necesaria
para hacer la vela C a partir de la B?
La medida de cualquier lado de la vela A se divide entre la medida del
lado homólogo de la vela B.
La medida de cualquier lado de la vela B se divide entre la medida del
lado homólogo de la vela A.
La medida de cualquier lado de la vela A se multiplica por la medida
del lado homólogo de la vela B.
La medida de cualquier lado de la vela B se multiplica por la medida
del lado homólogo en la vela A.
esta sección contiene diversos
problemas y ejercicios con los que
pondrás en práctica las habilidades y
conocimientos que adquiriste en tus
clases. son problemas diversos que
aumentan de complejidad de manera
gradual, esto te ayudará a mejorar tus
competencias matemáticas.
en todo problema hay elementos clave que
debes reconocer y que son fundamentales
para resolver la situación. en esta sección te
ayudamos a descubrirlos.
En grados anteriores has estudiado los conceptos de proporcionalidad; al elaborar, por ejemplo, figuras a escala se usa una constante de proporcionalidad para cambiar las dimensiones de una figura sin alterar su forma. Las figuras que resultan de una reproducción a escala
son, entonces, semejantes. Con los siguientes ejercicios reforzarás tus conocimientos de
figuras semejantes y figuras congruentes.
M
OC
SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Desafío matemático
el trabajo por competencias implica la solución
de situaciones problemáticas. al inicio de cada
ficha encontrarás un problema que deberás
resolver a partir de las habilidades y conocimientos que has desarrollado en tu curso de
matemáticas. es un desafío, y los desafíos, hay
que enfrentarlos.
Contenido
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u
operaciones inversas.
Patrones y
ecuaciones
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos,
cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
2
y
a)
y
b)
O
y
P
x
c)
O
x
x
d)
P a = 3n
g)
O
m
2
4
6
8
10
12
n
1
2
3
3
2
1
e)
O s = 3t + 1
f)
P 4x = 3y
h)
P
i)
O
u
12
15.5
19
22.5
26
29.5
v
3
3.875
4.75
5.625
6.5
7.375
p
1
2
3
4
5
6
Regreso al Desafío matemático
1. Retoma el Desafío matemático y, aplicando lo que practicaste en esta
ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compáralas con las de tus
compañeros y valídenlas en grupo.
a) Considera que la gráfica que relaciona el costo de compra y venta de
cada artículo es una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (15, 24). En
esas condiciones, ¿en cuánto se ofrecería un artículo por el que se
pagó $175.00? En $280.00.
q
2.5
4.5
6.5
8.5
10.5
12.5
Procedimiento
Otra forma de
identificar si una
situación corresponde
a una relación de
proporcionalidad
es encontrar una
expresión algebraica que
represente la situación
y determinar si es de
la forma y = kx o de la
forma yx = k.
1. Completa los siguientes enunciados.
En la gráfica se observa que
También vemos que la gráfica es
un artículo que el comerciante
una recta que pasa por el origen,
compró a $50.00 lo ofrece en
$ 70.00 .
de
por lo que el artículo se ofrece a
$ 168.00 .
26
en esta sección se explican algoritmos y métodos para resolver diversos problemas. incluye
ejemplos para apoyar su comprensión.
Validación
Validación
Por lo tanto, la ecuación que
representa la relación es y = 1.4x ,
Procedimiento
por lo que se trata de una relación
proporcionalidad directa .
Entonces se puede calcular la
constante de proporcionalidad,
que en este caso es 1.4 .
¿tu solución al desafío matemático fue
acertada? valida tu resultado completando el
procedimiento que te presentamos.
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma
situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
conoce TU LiBRo
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Ficha
Contenido
Páginas
1. Ecuaciones cuadráticas
Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas
sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
10-13
2
2. Análisis de figuras semejantes y congruentes
Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados
y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
14-17
3
3. Criterios de congruencia
y semejanza
Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a
partir de construcciones con información determinada.
18-22
4
4. Análisis de representaciones
de relaciones lineales
Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación. Identificación de las que
corresponden a una relación de proporcionalidad.
23-26
5
5. Representación tabular y
algebraica de relaciones
de variación cuadrática
Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática,
identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología,
la economía y otras disciplinas.
27-30
6
6. Escala de probabilidad.
Eventos complementarios,
mutuamente excluyentes
e independientes.
Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las
características de eventos complementarios y eventos mutuamente
excluyentes e independientes.
31-34
7
7. Encuestas
Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la
población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo.
Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas
convenientes para su presentación.
35-38
8
8. Lo que aprendí
9
1. Factorización de ecuaciones
cuadráticas
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas
usando la factorización.
42-45
10
2. Rotación y traslación de
figuras
Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.
46-49
11
3. Diseños que combinan
transformaciones
Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la
rotación y la traslación de figuras.
50-53
12
4. Cuadrados sobre los lados
de un triángulo rectángulo
Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se
construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.
54-57
13
5. El teorema de Pitágoras
Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
58-60
14
6. La regla de la suma en probabilidad
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente
excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).
61-64
15
Lo que aprendí
16
1.Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas
de la forma ax2 + bx + c
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas.
Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
68-71
17
2.Resolución de problemas de
congruencia y semejanza de
triángulos
Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la
resolución de problemas.
72-75
18
3.El teorema de Tales
Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.
76-79
19
4.Figuras homotéticas
Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
80-83
20
5.Gráficas de relaciones de
variación cuadrática
Lectura y construcción de graficas de funciones cuadráticas para modelar
diversas situaciones o fenómenos.
84-87
21
6.Gráficas con secciones rectas y curvas
Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y
curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes,
etcétera.
88-92
22
7. La regla del producto en
probabilidad
Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes
(regla del producto).
93-96
23
8.Lo que aprendí
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1
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Bloque 3
Bloque 2
Bloque 1
Semanas
39-40
65-66
97-98
Dosificación
7
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Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo
término de una sucesión.
100-103
25
2.Conos, cilindros y esferas
Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar
sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo.
Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
104-108
26
3. La pendiente y la tangente
en una recta
Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el
valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto
opuesto sobre el cateto adyacente.
109-112
27
4.Seno, coseno y tangente
Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre
los lados de un triángulo rectángulo.
113-116
28
5.Razones trigonométricas y
círculo unitario
Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente.
117-120
29
6.La razón de cambio
Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que
se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha
razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
121-124
30
7.Desviación media
Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio
de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de
las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas
de la dispersión.
31
Lo que aprendí
32
1.Resolución de problemas
con ecuaciones lineales,
cuadráticas o sistemas de
ecuaciones
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales,
cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir
de una ecuación dada.
132-135
33
2.Cortes en cilindros y conos
Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o
a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que
se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.
136-139
34
3.Volumen de cilindros
y conos
Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y
conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.
140-143
35
4.Estimación y cálculo de
volúmenes de cilindros y
conos
Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de
las variables implicadas en las fórmulas.
144-148
36
5.Situaciones de variación
lineal y cuadrática
Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física,
la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación
lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
149-152
37
6.Juegos de azar justos e
injustos
Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo,
con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
153-156
38
Lo que aprendí
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1.Sucesiones definidas por
expresiones cuadráticas
125-128
129-130
157-158
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Bloque 4
Bloque 5
24
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Ficha
3
4
6
Contenido
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones
cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u
operaciones inversas.
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos,
cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
Forma, espacio
Figuras y cuerpos
y medida
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a
partir de construcciones con información determinada.
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Patrones y
ecuaciones
IA
2
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Tema
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Eje
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BLOQUE 1
Manejo de la
información
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• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que
corresponden a una misma situación. Identificación de las que
corresponden a una relación de proporcionalidad.
Proporcionalidad
y funciones
• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación
cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la
física, la biología, la economía y otras disciplinas.
Nociones de
probabilidad
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las
características de eventos complementarios y eventos mutuamente
excluyentes e independientes.
Análisis y
representación
de datos
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la
población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo.
Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas
convenientes para su presentación.
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N
Una ecuación cuadrática
o de segundo grado
es aquella en la que la
mayor potencia de la
variable es 2.
M
OC
Desafío matemático
El área, A, del rectángulo es de 243 u2 . ¿Cuál es la medida del largo del
rectángulo?
Por ejemplo, x2 = 9, x2 +
3 = 19, y x2 − 1 = 24 son
ecuaciones cuadráticas.
x2 u
18 u
Las claves del problema
AT
ER
IA
1. Selecciona la respuesta correcta de las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál ecuación representa el área del rectángulo?
9x2 + 18 = 243
x2 + 162 = 243
2
x + 18 = 243
9x2 + 162 = 243
M
b) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas es equivalente a la
anterior?; es decir, una ecuación que también representa el área del
rectángulo?
x2 = 27
x2 = 45
x2 = 81
x2 = 9
c) Si en uno de los miembros de una ecuación equivalente sólo aparece la incógnita elevada al cuadrado, ¿qué operación se debe aplicar, a ambos miembros de la ecuación, para calcular los números
que sean soluciones de la ecuación cuadrática?
La suma
La resta
La raíz cuadrada
Elevar al cuadrado
d) ¿Cuál de los siguientes valores de x es solución a la ecuación que
representa el área del rectángulo?
x=3
x=9
x = 5.2
x = 6.71
10
Una ecuación cuadrática
siempre tiene dos
soluciones. Por ejemplo,
para resolver la ecuación
x2 = 9, una solución es
x = 3 porque 32 = 9, y
x = −3 también es una
solución porque (−3)2 = 9.
9u
LD
EP
A = 243 u2
manejo
manejo de la información
información
Conceptos clave
IÓ
El estudio de las ecuaciones cuadráticas, es decir, las ecuaciones en las que
la mayor potencia de la variable es 2, se remonta a la Antigüedad. Se sabe, a
partir de registros en tablillas de arcilla, que los babilonios estaban familiarizados con este tipo de ecuaciones desde hacía más de 4 000 años. En la Grecia antigua, el matemático Euclides (siglo IV a. n. e.) desarrolló un método
geométrico para encontrar las soluciones de algunas ecuaciones cuadráticas y Diofanto de Alejandría (siglo II) también aportó un procedimiento para
resolverlas. El matemático árabe Al-Khwarizmi (790-850) estudió algunos
tipos de ecuaciones cuadráticas. En Europa se estudiaron las ecuaciones
de segundo grado, por primera vez, usando métodos algebraicos, hasta el
año 1145 en un libro publicado por el matemático hebreo de origen hispano
Abraham bar Hiyya.
RO
forma, espacio y medida
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Ecuaciones cuadráticas
Procedimiento
Para encontrar las soluciones de una ecuación
cuadrática de la forma:
x2 = a, donde a es un
número positivo, se
procede de la manera
siguiente:
Como la raíz cuadrada
de un número es la operación inversa a elevar
ese número al cuadrado,
basta aplicar la raíz cuadrada a ambos miembros
de la ecuación. Así, si se
aplica la raíz cuadrada a
una ecuación de la forma
x2 = a, se obtiene
√ x2 = ± √ a ; esto es,
x1 = √ a y x2 = − √ a .
Por ejemplo, para encontrar las soluciones
de la ecuación x2 = 16 se
aplica la raíz cuadrada a
ambos miembros de la
ecuación,
√ x2 = ± √ 16 ;
x = ±4; es decir,
x1 = √ 16 = 4
y x2 = − √ 16 = −4.
Contenido • Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas,
utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
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Ahora practica
Procedimiento
Para resolver una
ecuación cuadrática
de la forma:
ax2 − b = 0,
N
donde x es la incógnita
y a y b son números
conocidos, se procede de
la siguiente forma:
sentido numérico y
pensamiento algebraico
1. El procesador es el circuito integrado central y el más complejo de una
computadora. Por limitaciones de espacio, los procesadores que se
utilizan en dispositivos móviles son de un menor tamaño que los que
se usan en computadoras de escritorio. Por ejemplo, el procesador
de algunos teléfonos inteligentes ocupa 81 mm2, mientras que el de
uno de los primeros modelos de computadoras de escritorio medía
324 mm2. Ambos procesadores tienen forma cuadrada.
a) ¿Cuánto mide cada lado del procesador del teléfono inteligente?
9 mm.
IÓ
M
OC
b) ¿Cuánto mide el lado del procesador de la computadora de escritorio?
18 cm.
IA
3. El cuadrado de un número más 13 es igual a 157. ¿Cuál es ese número?
Los números 12 y −12 cumplen las condiciones del enunciado.
AT
ER
4. El área de un cuadrado mide 169 m2 . ¿Cuánto mide su perímetro?
52 m.
M
5. Encuentra el número o los números cuyo triple de su cuadrado es igual
a 1 083.
Los números son 19 y −19.
6. Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado
cuya área mide 324 cm2 , ¿cuál es la longitud del cuadrado original?
9 cm.
Después ambos miembros de la ecuación se
dividen entre el número a:
ax2 = b
a
a
Al final se aplica la raíz
cuadrada a ambos miembros de la ecuación:
√ x2 = ±
√ ba
x = ± √
b
a
Para que la ecuación
tenga soluciones en los
números que hasta ahora
conocemos, se debe
cumplir que la razón
b ≥ 0.
a
Por ejemplo, para resolver la ecuación:
manejo
manejo de la información
información
LD
EP
RO
2. Si el área de un círculo es de 50.265 6 cm2 , ¿cuál es la longitud de su
radio?
Se considera sólo la solución positiva porque se trata de una longitud, es
decir, la longitud del radio, r, mide 4 cm.
ax2 − b + b = 0 + b
ax2 + 0 = b
ax2 = b.
forma, espacio y medida
Primero se suma el número b a ambos miembros de la ecuación:
2x2 − 18 = 0
Se suma 18 a ambos
miembros:
2x2 − 18 + 18 = 0 + 18
2x2 + 0 = 18.
2x2 = 18.
Ambos miembros de
la ecuación se dividen
entre 2:
2x2 = 18
2
2
x2 = 9
Al final se aplica la raíz
cuadrada. Así, las soluciones son:
x1 = 3 y x2 = −3.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u operaciones inversas.
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11
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Error frecuente
Aplicar la operación
raíz cuadrada sólo a
uno o algunos de los
términos de un miembro
de la ecuación, cuando
lo correcto es aplicar
la raíz cuadrada a
todos los términos de
ambos miembros de la
ecuación.
M
OC
IÓ
9. El área de un triángulo mide 121 cm2 y la longitud de su base es la mitad
de lo que mide la longitud de su altura. ¿Cuáles son las dimensiones del
triángulo?
La longitud de la altura del triángulo es de 22 cm y, por tanto, la longitud de
su base es de 11 cm.
Por ejemplo, es un error
aplicar la raíz cuadrada a
la ecuación
x2 = 16 + 9 de la siguiente
manera:
√ x2 = √ 16 + 9
x=4+9
x = 13.
N
8. El área de un rectángulo es de 147 cm2 y la longitud de su base es tres
veces mayor que la longitud de su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones?
La longitud de la altura del rectángulo es de 7 cm y la longitud de su base
es de 21 cm.
IA
LD
EP
RO
10. El área de color verde en la figura de la derecha mide 81 cm2. Si todas las semicircunferencias de la figura son iguales, ¿cuánto mide cada
lado del cuadrado ABCD?
B
El cuadrado ABCD mide 9 cm por lado.
A
D
Lo correcto es aplicar
la raíz cuadra a todos
los términos de cada
miembro de la ecuación.
√ x2 = √ 16 + 9
√ x2 = √ 25
x=5
C
11. En la figura de la derecha se muestra un círculo al que se ha hecho
un agujero circular. El área del agujero es nueve veces menor que el
área del círculo original y se sabe que el área del círculo original era de
452.3904 cm2.
a) ¿Cuánto mide el radio R del círculo original?
R = 12 cm.
M
AT
ER
sentido numérico y
pensamiento algebraico
forma, espacio y medida
manejo
manejo de la información
información
7. Encuentra el número o los números que cumplan lo siguiente: la mitad
del cuadrado de un número más la tercera parte del cuadrado de ese
mismo número es igual a 120.
El problema tiene dos soluciones y el número puede ser 12 o −12.
r
b) ¿Cuánto mide el radio r del círculo que corresponde al área del
agujero?
r = 4 cm
c) ¿Cuántas veces es menor el radio r respecto al radio R?
El radio r es tres veces menor que el radio R.
12
R
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u operaciones inversas.
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A
sentido numérico y
pensamiento algebraico
12. El área del rectángulo ABCD en la figura de la derecha
mide 392 cm2. ¿Cuánto mide el área del círculo de la misma
figura?
A = 615.75 cm2.
B
O
C
D
Regreso al Desafío matemático
x2 u
M
OC
5u
forma, espacio y medida
IÓ
N
1. ¿Para qué valores de x el área del siguiente rectángulo varía entre 95 u2 y 230 u2?
Los valores de x varían entre x = −6 y x = −3, y
x = 3 y x = 6.
10 u
RO
2. Si el valor de x aumenta o decrece en el rectángulo de la figura anterior, ¿qué pasa con
el área?
Hay dos casos:
LD
EP
Caso 1. Si x ≥ 0 al aumentar el valor de x, el área del rectángulo aumenta.
Caso 2. Si x < 0 al disminuir el valor de x, el área del rectángulo aumenta.
manejo
manejo de la información
información
Validación
1. Completa con palabras o expresiones los siguientes enunciados.
La ecuación cuadrática que representa
IA
Una manera de encontrar las soluciones
el área del rectángulo se obtiene al
igualar el producto de la base del
de la ecuación cuadrática 9x2 + 162 = 243
AT
ER
que representa el área del rectángulo
es restar 162 a ambos miembros de la
rectángulo (x2 + 18 u) por su altura (9 u)
con el valor del área del rectángulo (243 u2. )
Así, la ecuación cuadrática 9(x2 + 18) =
9x2 + 162 = 243
representa
ecuación:
9x2 + 162 − 162 = 243 − 162
9x2 + 0 = 81.
M
el área del rectángulo.
Así, las soluciones de la
Por último, obtener
Después
ecuación cuadrática son
x1 = 3 y x2 = −3.
.
la la raíz cuadrada de
ambos miembros de
ambos miembros
la ecuación entre 9 :
Entonces, x puede tener
de la ecuación:
dos valores válidos:
x = 3 y x = −3.
=
x = ±3.
√ x2
√9
9x2
9
dividir
=
81
9
x2 = 9.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u operaciones inversas.
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13
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En grados anteriores has estudiado los conceptos de proporcionalidad; al elaborar, por ejemplo, figuras a escala se usa una constante de proporcionalidad para cambiar las dimensiones de una figura sin alterar su forma. Las figuras que resultan de una reproducción a escala
son, entonces, semejantes. Con los siguientes ejercicios reforzarás tus conocimientos de
figuras semejantes y figuras congruentes.
Conceptos clave
Las claves del problema
M
OC
20 cm
6.4 cm
RO
Sí
AT
ER
IA
1. Como las caras homólogas son semejantes, entonces:
Las áreas de las caras homólogas son iguales.
Los lados de las caras homólogas tienen la misma medida.
Los lados de las caras homólogas son proporcionales.
Los perímetros de las caras homólogas son iguales.
2. Cuando dos figuras son semejantes, los ángulos homólogos…
tienen la misma medida.
siempre suman 90°.
siempre suman 180°.
son proporcionales.
M
3. ¿Cómo se calcula la razón de semejanza entre las velas B y A necesaria
para hacer la vela C a partir de la B?
La medida de cualquier lado de la vela A se divide entre la medida del
lado homólogo de la vela B.
La medida de cualquier lado de la vela B se divide entre la medida del
lado homólogo de la vela A.
La medida de cualquier lado de la vela A se multiplica por la medida
del lado homólogo de la vela B.
La medida de cualquier lado de la vela B se multiplica por la medida
del lado homólogo en la vela A.
14
A
c
b
x
a
B
C
D
8 cm
LD
EP
ese espacio?
manejo
manejo de la información
información
Dos figuras son
semejantes (≈) si tienen
la misma forma, pero
diferente tamaño.
IÓ
Un diseñador de artículos decorativos para el hogar elaboró velas con forma
de prismas cuadrangulares, cuyas caras homólogas son figuras semejantes.
Para hacer la vela C a partir de la vela B se usó la misma razón de semejanza
que para la B a partir de la A.
Simón quiere comprar las
velas y colocarlas en un espacio cuyas medidas frontales son
C
B
26 cm de largo por 27 cm de
A
alto. ¿Todas las velas cabrán en
16 cm
forma, espacio y medida
Desafío matemático
N
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Análisis de figuras semejantes
y congruentes
e
f
y
E
F
d
△ABC ≈ △DEF
Los lados y ángulos
correspondientes se
llaman homólogos. Por
ejemplo, a es homólogo
a d, y x es homólogo a y.
En los lados homólogos
se cumple que:
a
=k
d
b
e =k
c
=k
f
donde la constante
k se llama razón de
semejanza.
Cuando dos figuras
tienen la misma forma
y el mismo tamaño se
llaman congruentes (≡).
Bloque: 1 • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos)
y análisis de sus propiedades.
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sentido numérico y
pensamiento algebraico
4. ¿Cómo se obtienen las medidas de la vela C con base en las medidas de
la vela B?
Las medidas de la vela B se dividen por la razón de semejanza.
A las medidas de la vela B se les suma la razón de semejanza.
Las medidas de la vela B se multiplican por la razón de semejanza.
A las medidas de la vela B se les resta la razón de semejanza.
IÓ
1. Observa las siguientes parejas de figuras y, sin medir, anota si son semejantes, congruentes o si no se relacionan entre sí. Después, mide las
figuras y confirma tus respuestas.
N
Ahora practica
forma, espacio y medida
M
OC
Sabemos que si dos
figuras son congruentes,
entonces son
semejantes, pero es un
error pensar que si dos
figuras son semejantes,
forzosamente son
congruentes.
Sin relación.
AT
ER
IA
manejo
manejo de la información
información
LD
EP
RO
Semejantes.
Error frecuente
M
Congruentes.
a) Mide los lados y ángulos de cada par de figuras, realiza las operaciones
necesarias y contesta.
• ¿Cómosonentresílosángulosdelasfigurassemejantes?Iguales.
• ¿Cómosonentresílosángulosdelasfigurascongruentes?Iguales.
Error frecuente
Si dos figuras son
congruentes, no dejan
de serlo por cambiar de
posición.
• ¿Cómosonentresílosladoscorrespondientesdelasfigurascongruentes?
Iguales.
• ¿Cómosonentresílosladoscorrespondientesdelasfigurassemejantes?
Proporcionales.
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos)
y análisis de sus propiedades.
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15
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sentido numérico y
pensamiento algebraico
2. Determina el valor de los ángulos de los triángulos BAC y BAD. Con esa información
completa el trazo de la figura 2, que debe ser semejante a la figura 1.
B1
B
x
x –10
2x
100°
A
C
25°
Figura 1
A1
N
D
110°
DAB = IÓ
45°
ABD = 25°
ACB = M
OC
55°
CBA = D1
LD
EP
RO
3. Analiza la siguiente sucesión de cuadrados.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
IA
Figura 1
a) Mide los lados de los cuadrados y calcula la razón de semejanza que se usó para
obtener cada cuadrado a partir del anterior.
AT
ER
manejo
manejo de la información
información
forma, espacio y medida
Figura 2
1
0.8 Figura 4 a partir de la 3: 0.6
Figura 2 a partir de la 1: Figura 3 a partir de la 2: b) Explica la relación entre las razones de semejanza, calcula las medidas que tendría
una figura 5 y trázala.
M
La razón de semejanza entre las figuras sigue la sucesión numérica: 1, 0.8, 0.6, 0.4, etcétera. Por tanto, cada lado del cuadrado de la figura 5 debe medir 2.4 cm × 0.4 = 0.96 cm.
c) Explica por qué no hubo un cambio de tamaño de la figura 1 a la 2 y por qué para
el resto disminuyó el tamaño.
Porque la razón de semejanza entre las dos primeras figuras es 1, lo que significa que
son congruentes y, por tanto, conservan todas sus medidas; para el resto de las figuras
la razón de semejanza disminuye en 0.2 cada vez, por lo que las figuras son menores,
aunque semejantes.
16
Contenido: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos)
y análisis de sus propiedades.
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4. La siguiente figura se formó con triángulos semejantes. Responde las preguntas
y luego traza los dos triángulos que siguen en la figura.
C
sentido numérico y
pensamiento algebraico
6.25
3.91
10
10
B
106.26°
6.25
2.44
3.91
D
2.44
1.53
IÓ
16
1.53
N
A
M
OC
forma, espacio y medida
a) Nombra los vértices de los dos triángulos verdes más grandes e indica qué lados
son homólogos. Calcula la razón de semejanza entre ellos.
RO
R. M. AB es homólogo a AD, BC es homólogo a DB y AC es homólogo a AB. La razón de
AB
3.91
semejanza es AD = 2.44 = 1.6.
Regreso al Desafío matemático
manejo
manejo de la información
información
LD
EP
1. ¿Cabrían las velas en el espacio del que dispone Simón? Valida tu respuesta con un
compañero.
2. Para calcular las medidas de una cuarta vela, más pequeña que la vela A y semejante
a ésta, ¿qué razón de semejanza se debe usar para obtener sus medidas a partir de las
medidas de la vela A?
IA
El inverso a la razón de semejanza anterior
1
1.25
=0.8, por lo que la cuarta vela medirá de
AT
ER
ancho 6.4 cm × 0.8 = 5.12 cm y de alto 16 cm × 0.8 = 12.8 cm.
Validación
1. Completa los enunciados y valida tu respuesta al Desafío matemático.
M
Si se divide la medida de uno de los
lados de la vela B entre la medida
del lado homólogo en la vela A , se
obtiene la razón de semejanza, que
es 1.25 .
El número anterior se multiplica por
las medidas de la vela B para obtener
las medidas de los lados homólogos
de la vela C . Así se tiene que el lado de
la base de la vela C mide 10 cm y su
altura es de 25 cm.
Como la altura de la vela C es menor que la altura del espacio que Simón
tiene disponible, y la suma del ancho de las tres velas es menor que el
ancho del espacio, entonces éstas sí caben en el espacio.
17
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N
IÓ
Seguramente has escuchado hablar del matemático griego Euclides, quien
vivió del año 325 a. n. e. al 265 a. n. e. En su libro los Elementos, la proposición 20 indica una relación entre las medidas de los lados de un triángulo.
Si tres números no cumplen esa relación, entonces tres segmentos con esas
medidas no forman un triángulo. Esta relación se conoce como la desigualdad del triángulo y te será útil para resolver varios problemas matemáticos.
También has estudiado qué significa que dos triángulos sean semejantes
o congruentes. Pero, ¿qué es lo mínimo que debes saber para asegurar que
dos triángulos son semejantes o congruentes? ¿Es necesario conocer las
medidas de todos los ángulos y de todos los lados de ambas figuras?
Conceptos clave
M
OC
Desafío matemático
Aguascalientes
Tepic
Puerto
Vallarta
Guadalajara
San Luis
de la Paz
Celaya
La Piedad
IA
Y
Santiago de
Querétaro
AT
ER
Manzanillo
C
Escala 1 : 9 300 000
0
93
186
Pachuca
Ciudad de
México
Morelia
Colima
MChalco
Toluca
T
Cuernavaca
P
Xalapa
Puebla
Veracruz
Tehuacan
Lázaro
Cárdenas
Conceptos clave
279 km
M
Las claves del problema
1. ¿Qué fracción de la distancia de Celaya a Chalco representa la distancia
de la Ciudad de México a Chalco?
5
6
6
5
1
6
6
1
2. ¿Cuál es la proporción entre la distancia de Colima a Chalco y la de Toluca a Chalco?
1
6
5
6
6
5
3. ¿Qué ángulo es común a los triángulos TMD y CYD?
∠MDT
∠YMT
∠DCY
18
Desigualdad del
triángulo:
Si a, b y c son las
medidas de los lados de
un triángulo, siempre se
cumple que:
a+b>c
a+c>b
b+c>a
LD
EP
RO
Las ciudades de Colima (C), Toluca de Lerdo (T) y Chalco de Díaz Covarrubias
(D) se pueden considerar como colineales, es decir, se localizan sobre una
misma línea recta imaginaria. Las tres ciudades, además, se encuentran en
la misma latitud, es decir, en línea paralela al ecuador. La Ciudad de México
(M) está a casi 65 de la distancia de Celaya (Y) a Chalco, que también son colineales. Toluca está aproximadamente a 65 de la distancia de Colima a Chalco.
Si Celaya se encuentra a 25° hacia el noreste de Colima, ¿en qué dirección
se ubica la Ciudad de México con respecto de Toluca? Justifica tu respuesta
aplicando los criterios de semejanza de triángulos.
manejo
manejo de la información
información
forma, espacio y medida
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Criterios de congruencia y semejanza
1
5
∠DTY
Criterios de semejanza:
Dos triángulos son
semejantes…
si sus lados
correspondientes son
proporcionales (LLL);
si tienen dos lados
correspondientes
proporcionales y el
ángulo comprendido
entre ellos mide lo
mismo en ambos
triángulos (LAL); si
tienen dos ángulos
correspondientes con
la misma medida en
ambos triángulos (AA).
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
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Ahora practica
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Conceptos clave
Criterios de congruencia:
Dos triángulos son
congruentes si…
sus lados
correspondientes miden
lo mismo (LLL); si dos
lados correspondientes
tienen la misma
medida y el ángulo
comprendido entre ellos
mide lo mismo (LAL);
si tienen dos ángulos
correspondientes iguales
y el lado comprendido
entre ellos también mide
lo mismo en ambos
triángulos (ALA).
M
OC
forma, espacio y medida
IÓ
N
1. A una tienda de cajas de cartón para regalo llegaron varios pliegos
de cartón como el que se muestra. Las líneas punteadas indican dónde se harán los dobleces para unir los lados marcados con negro, de
modo que se forme una caja con forma de prisma triangular (las tapas
se añadirán después). Las líneas están en 41 y en 43 partes del largo.
RO
a) ¿Es posible construir la caja con ese procedimiento? ¿Por qué?
No es posible, ya que cada parte de las orillas tiene
+
1
4
=
1
2,
de la longitud total
que es igual a la longitud del tercer lado. La
manejo
manejo de la información
información
LD
EP
del largo y suman
1
4
1
4
desigualdad del triángulo dice que la suma de cualesquiera dos lados de un
triángulo debe ser mayor que el tercero, lo cual no se cumple en este caso.
IA
b) Si las marcas estuvieran en 27 y 57 partes del largo, ¿se podría construir la
caja? Verifica tu respuesta considerando que el largo mide 140 cm.
Si las marcas estuvieran en
2
7
AT
ER
segmentos medirían
2
7
y
5
7
los lados correspondientes a esos
4
cada uno. Así que su suma es 7 , lo cual es mayor
que la medida del otro lado que es
3
7,
por lo que sí es posible construir
la caja. Si el largo mide 140 cm, los lados del triángulo serían 40 cm,
M
60 cm y 40 cm.
2. Considera que para construir un triángulo con lados a, b y c, el lado a
puede medir 2 cm, 9 cm o 12 cm; el lado b, 1 cm, 4 cm o 12 cm, y el
lado c, 1 cm, 3 cm o 12 cm. Dado que hay tres opciones para cada lado,
¿eso implica que se pueden construir 3 × 3 × 3 = 27 triángulos? Explica
tu respuesta.
R. M. No, por ejemplo, para a = 2 cm, b = 1 cm y c =3 cm no se cumple la
desigualdad del triángulo: 2 cm + 1 cm no es mayor que 3 cm; por tanto, no se
puede construir un triángulo. Otro ejemplo es a = 2 cm, b = 4 cm y c = 12 cm.
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
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19
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sentido numérico y
pensamiento algebraico
3. Los triángulos A1B1C1 , A2 B2C2 y A3B3C3 son congruentes, y en cada uno
se marcó una de las alturas. Cada altura divide al triángulo original en
otros dos. ¿Cuáles de esos triángulos son congruentes? Usa los criterios
de congruencia para argumentar tu respuesta.
Los triángulos formados en el triángulo A1B1C1 son congruentes por el crite-
A1
b
C1
a
B1
A2
rio ALA, ya que los ángulos en A1 y en C1 son iguales y la altura forma ángulos
b
rectos, entonces los dos ángulos formados en B1 tienen la misma medida,
a
así que considerando a1 se cumple el criterio, Los triángulos formados en
a2
a
A3
C2
B2
N
el triángulo A2B2C2 son congruentes con los que se forman en el triángulo
b
A3B3C3, aquí se ocupa el criterio LAL.
a
IÓ
a3
B3
a
C3
LD
EP
RO
M
OC
4. En la figura se observa una espiral construida a partir del triángulo isósceles abc. Este tipo de espirales se observan en la Naturaleza (en los
caracoles, por ejemplo). Las líneas punteadas son las bisectrices de los
ángulos abc y bca, y con ellas se obtuvieron los vértices e y d, formando
el triángulo ecd. Si se trazan las bisectrices de los ángulos dec y cde, se
obtienen los vértices f y g, formando el triángulo efg. Al continuar este
procedimiento se obtiene el triángulo hig. Estos triángulos se conocen
como triángulos áureos y todos ellos son semejantes. Completa lo siguiente para demostrar que los triángulos abc y ecd son semejantes.
b
e
AT
ER
IA
manejo
manejo de la información
información
forma, espacio y medida
a1
a
h
f
g
36°
a
i
d
c
M
a) Como el triángulo abc es isósceles, entonces los ángulos abc y bca tienen la misma medida. Cada uno mide 72° .
Notación
Para nombrar un ángulo
se toman sus vértices
en sentido opuesto a
las manecillas del reloj.
Por ejemplo, el ángulo α
también pude llamarse
ángulo ABC.
b) Como las líneas punteadas son bisectrices de esos ángulos, entonces
C
los ángulos ebc y bce miden 36° . Como los ángulos interiores de un
triángulo suman 180°, considerando el triángulo ebc, el ángulo ceb
A
mide 180° − 36° − 36° = 108°.
α
c) Los ángulos dec y ceb son suplementarios, es decir, suman 180°, ya que
forman una línea recta. Así que el ángulo dec mide 180° − 108° = 72° .
20
B
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 20
25/11/13 15:50
36° , pues se formó con una bisectriz.
d) Sabemos que el ángulo ecd mide sentido numérico y
pensamiento algebraico
72° y otro de 36°. Por consiguiente,
e) Por tanto, el triángulo ecd tiene un ángulo de AA para concluir que el triángulo ecd es
se puede ocupar el criterio de semejanza semejante al triángulo abc.
5. Observa los triángulos y con base en los criterios de semejanza y congruencia responde lo siguiente.
F
A
C
47°
N
58°
4.11
3.11
D
B
M
OC
75°
forma, espacio y medida
IÓ
3.61
E
a) Explica si es posible mostrar que los triángulos son semejantes o si son congruentes.
Aplicando los criterios de congruencia y semejanza no es posible.
RO
En
el triángulo GIH, el ángulo en el vértice I mide 75°,
manejo
manejo de la información
información
LD
EP
b) Compara el triángulo con los anteriores y explica si es congruente o semejante a
cada uno.
I
ya
que 180° − 47° − 58° = 75°. Se aplica el criterio ALA
3.11
a
los triángulos CBA y GIH para mostrar que son con-
IA
gruentes.
Para el triángulo FDE se aplica el criterio LAL
58°
G
47°
4.11
H
AT
ER
y se muestra que es congruente a GIH.
3.61
c)A partir de los incisos anteriores, ¿qué puedes decir de la semejanza o la congruenSon congruentes.
cia entre los triángulos ACB y FED? M
6. Elisa compró una repisa triangular para colocarla en una esquina de su casa, pero
tuvo que cortarla porque en las dos paredes que forman la esquina hay ventanas,
y los lados de la repisa llegaban al borde de ellas. Hizo un corte en cada lado de la
repisa de manera que ésta seguía siendo triangular. Si cada lado de la repisa que
hacía contacto con la pared medía 95 cm y ahora miden 64 cm, ¿la forma actual de
la repisa es semejante a la original? ¿Por qué?
Las
nuevas medidas de los lados son proporcionales a las originales, y como el ángulo que
queda
en la esquina de la pared no se modificó y está entre estos dos lados, entonces, por
el
criterio de semejanza LAL, los lados de la repisa son semejantes.
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 21
21
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Regreso al Desafío matemático
1. Explica cómo obtener la distancia entre Toluca y la Ciudad de México a partir de la
distancia entre Colima y Celaya.
Como los triángulos TMD y CYD son semejantes y el lado TM es homólogo al lado CY,
entonces la distancia de Toluca a la Ciudad de México es proporcional a la distancia de
1
Colima a Celaya. La proporción es 6 , pues esta es lo proporción entre los otros lados
homólogos. La distancia de Toluca a la Ciudad de México es
1
6
de la distancia de Coli-
N
IÓ
Validación
M
OC
1. Completa los enunciados y valida tu respuesta al Desafío matemático.
Como la distancia de Celaya a la Ciudad
de México es
5
6
de la distancia total, es
decir, de la distancia de Celaya a Chalco, la
distancia de la Ciudad de México a Chalco
es, entonces,
1
6
de la distancia total. Como
5
6
de TD hay que multiplicar la
manejo
manejo de la información
información
de la distancia total, o sea, de la distancia de
Colima
a
Chalco
, la distancia
de Toluca a Chalco es, entonces,
distancia total.
Así, para obtener la medida
LD
EP
la distancia de Colima a Toluca es
RO
forma, espacio y medida
ma a Celaya.
1
6
de la
medida de CD por
1
6
, y para
obtener la medida de MD se
debe multiplicar la medida de YD
por
1
6
. Así, la proporción entre
MD y YD .
AT
ER
IA
TD y CD es la misma que entre
tanto, tienen la misma
mismo que se forma entre los
medida; es decir, la Ciudad
lados TD y MD .
Como los triángulos TMD
y CYD son semejantes, el
M
ángulo ∠DTM es el homólogo
del ángulo ∠DCY y, por
El ángulo que se forma entre los
lados YD y CD en el triángulo
CYD es MDT o YDC, que es el
de México se encuentra
en la misma direccion con
respecto a Toluca que Celaya
de Colima.
De acuerdo con lo anterior,
podemos aplicar el criterio de
semejanza AA a los triángulos
TMD y CYD.
22
Contenido: Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir
de construcciones con información determinada.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 22
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Análisis de representaciones de
relaciones lineales
50
40
30
20
x
y
x
y
x
y
10
20
30
40
50
15
30
42
55
70
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
20
30
40
50
60
28
42
56
70
84
10
20
30
40
50
15
28
42
50
70
b) A partir de la gráfica o de la tabla que elegiste determina que expresión
algebraica representa la relación entre el precio de compra y el de
venta de los artículos del comerciante.
y = −1.4x
x = −1.4y
y = 1.4x
x = 1.4y
c) ¿Cómo puedes utilizar la ecuación anterior para resolver el problema?
El precio de compra se sustituye en cualquiera de las variables, x o y, y
después se resuelve la ecuación. El valor obtenido es el precio de venta.
La variable x se sustituye por $120.00 y se resuelve la ecuación.
El valor así obtenido de y es el precio de venta.
La variable y se sustituye por $120.00 y se resuelve la ecuación.
El valor así obtenido de x es el precio de venta.
No es posible resolver con la ecuación porque se necesita conocer
al menos un valor más.
Conceptos clave
Una relación de
proporcionalidad entre
dos cantidades o dos
conjuntos de cantidades
se expresan de distintas
maneras, por ejemplo
mediante una tabla, una
gráfica o una expresión
algebraica.
De igual manera, una
misma expresión
algebraica, tabla
o gráfica puede
representar distintas
situaciones que
corresponden a
una relación de
proporcionalidad.
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma
situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 23
X
Precio de compra (pesos)
y
IA
60
0 10 20 30 40 50 60
x
AT
ER
70
10
1. Selecciona la opción correcta.
a) ¿Cuál de las siguientes tablas corresponde con la gráfica?
M
Y
80
manejo de la información
LD
EP
Las claves del problema
RO
Un comerciante dedicado a la compra y venta de artículos usados ofrece sus productos en proporción con el precio que pagó por ellos, como
muestra la gráfica. ¿A cuánto ofrecerá un artículo por el que pagó $120.00?
Lo ofrecerá a $168.00
Precio de venta (pesos)
M
OC
Desafío matemático
forma, espacio y medida
IÓ
N
En cursos anteriores de Matemáticas estudiaste relaciones que se expresan con ecuaciones
de la forma y = ax + b, las cuales reciben el nombre de relaciones de variación lineal o simplemente relaciones lineales. También aprendiste a representar ese tipo de relaciones en
tablas y gráficas con el propósito de obtener información a partir de ellas. Por ejemplo, con
la gráfica de una relación lineal a simple vista puedes tener idea del comportamiento de las
magnitudes que se relacionan, aunque no es tan sencillo obtener valores precisos a partir de
ella. Las tablas permiten obtener valores exactos para ciertas parejas de magnitudes, pero no
siempre se puede conocer, a partir de ella y de manera directa, el comportamiento general
de la relación. Al utilizar los diversos tipos de representaciones podrás analizar a fondo las
relaciones lineales.
23
25/11/13 15:50
1. Considera un cuadrado de lado igual a m y responde.
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al perímetro P del cuadrado? P = 4m
8
ta, la otra también aumenta en la misma proporción.
Perímetro del cuadrado (cm)
0.5
1
1.5
2
2.5
2
4
6
8
10
4
3
2
1
M
OC
Longitud de m (cm)
5
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Medida del lado (cm)
RO
forma, espacio y medida
c) Completa la tabla y traza en el plano cartesiano la relación
entre la medida de lado del cuadrado y su perímetro.
6
N
R. M. Sí porque a medida que una de las magnitudes aumen-
7
IÓ
b) ¿La relación entre la longitud del lado del cuadrado y su perímetro es directamente proporcional? Justifica tu respuesta.
Perímetro del cuadrado (cm)
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Ahora practica
LD
EP
d) ¿Cómo se comprueba a partir de la gráfica si se trata o no de una relación de propor-
2. Lee lo siguiente y analiza la gráfica. Realiza y contesta lo que se pide.
30
Información trasmitida (MB)
AT
ER
IA
Las memorias flash SDHC (llamadas así
por sus siglas en inglés, Secure Digital High
Capacity) se utilizan para almacenar datos
en dispositivos como teléfonos celulares,
computadoras, cámaras fotográficas, etcétera. Hay cuatro clases de memorias SDHC
(clase 2, clase 4, clase 6 y clase 10) y cada
una transmite con distinta rapidez en megabytes por segundo (MB/s). En la gráfica
se muestra la mínima rapidez de transferencia de cada clase de memoria.
M
manejo de la información
cionalidad directa? Porque la gráfica es una recta que pasa por el origen.
Clase 10
25
Clase 6
20
Clase 4
15
Clase 2
10
5
0
0
0.5 1.0 1.5
2.0 2.5
3.0 3.5 4.0 4.5
Tiempo (s)
Fuente: www.sdcard.org/
a) ¿Cuál memoria flash SDHC tiene la mayor rapidez de transmisión? Explica tu respuesta. R.M. La clase 10 porque en el mismo intervalo transmite más información que las
demás memorias.
24
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma
situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 24
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
b) Obtén, para cada clase de memoria, la expresión que relaciona su rapidez de transmisión con la cantidad de información transmitida y el tiempo. Subraya cada constante
de proporcionalidad.
� Clase 2: I = (2 MB/s)t
� Clase 4: I = (4 MB/s)t
� Clase 6: I = (6 MB/s)t
� Clase 10: I = (10 MB/s)t
8
1.33
16
2.66
45
90
32
5.33
10.66
135
270
64
Tiempo
(s)
4.5
9
13.5
Clase 4
Cantidad de
Tiempo
información
(s)
(MB)
45
11.25
90
22.5
33.75
135
270
67.5
Tiempo
(s)
4
forma, espacio y medida
Tiempo
(s)
Clase 2
Cantidad de
información
(MB)
8
16
IÓ
Clase 10
Cantidad de
información
(MB)
M
OC
Clase 6
Cantidad de
información
(MB)
N
c) Completa las tablas y escribe en el encabezado de qué clase de memoria se trata.
32
64
27
8
16
32
RO
d) ¿Cómo puedes obtener cada constante de proporcionalidad a partir
de las tablas?
diente; por ejemplo, 20 MB/2 s = 10 MB/s.
3. Analiza la gráfica y determina cuáles de las siguientes situaciones es
posible representar con ella. Explica tu respuesta.
a) Una recta pasa por los puntos (−7.5, −10) y (10, 25).
IA
R. M. Sí se puede representar porque la ecuación de la recta es y = 2x + 5
AT
ER
y ambos pares ordenados satisfacen la ecuación.
b) La relación entre las ganancias de una compañía y el tiempo transcurrido es lineal. Además, la inversión se recuperó dos meses y medio
antes de lo esperado.
Otra manera de saber
si una situación
corresponde a
una relación de
proporcionalidad es
construir una gráfica
con algunos valores
que correspondan a la
situación e identificar
si los puntos se
encuentran sobre una
línea recta que pasa
por el origen; si es así la
situación corresponde
a una relación de
proporcionalidad directa.
Y
10
M
R. M. Sí se puede: la gráfica es una recta, es decir, una
5
relación lineal y pasa por el punto (–2.5,0), lo cual puede
representar que se recuperó la inversión dos meses y me-
manejo de la información
LD
EP
R. M. Dividiendo la cantidad de información entre el tiempo correspon-
Procedimiento
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
X
–5
dio antes de tiempo.
c) La renta de un departamento es de $2 000.00 y se debe dejar un depósito de $5 000.00.
No se puede representar porque la gráfica debería empezar en el punto
(0, 5).
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma
situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 25
25
25/11/13 15:50
y
a)
y
b)
O
y
P
c)
x
O
x
O
m
2
4
6
8
10
12
n
1
2
3
3
2
1
O s = 3t + 1
f)
P 4x = 3y
h)
P
i)
O
u
12
15.5
19
22.5
26
29.5
LD
EP
Regreso al Desafío matemático
v
3
3.875
4.75
5.625
6.5
7.375
IÓ
g)
e)
p
1
2
3
4
5
6
q
2.5
4.5
6.5
8.5
10.5
12.5
M
OC
P a = 3n
RO
d)
N
x
IA
1. Retoma el Desafío matemático y, aplicando lo que practicaste en esta
ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Compáralas con las de tus
compañeros y valídenlas en grupo.
a) Considera que la gráfica que relaciona el costo de compra y venta de
cada artículo es una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (15, 24). En
esas condiciones, ¿en cuánto se ofrecería un artículo por el que se
pagó $175.00? En $280.00.
Procedimiento
Otra forma de
identificar si una
situación corresponde
a una relación de
proporcionalidad
es encontrar una
expresión algebraica que
represente la situación
y determinar si es de
la forma y = kx o de la
forma yx = k.
AT
ER
manejo de la información
forma, espacio y medida
sentido numérico y
pensamiento algebraico
4. Anota en el cículo, al lado de cada gráfica, expresión algebraica y tabla, una P si se
trata de una relación de proporcionalidad directa o una O si no lo es.
Validación
M
1. Completa los siguientes enunciados.
En la gráfica se observa que
También vemos que la gráfica es
un artículo que el comerciante
una recta que pasa por el origen,
compró a $50.00 lo ofrece en
$ 70.00 .
por lo que se trata de una relación
proporcionalidad directa .
de
Por lo tanto, la ecuación que
representa la relación es y = 1.4x ,
Entonces se puede calcular la
por lo que el artículo se ofrece a
$ 168.00 .
26
constante de proporcionalidad,
que en este caso es 1.4 .
Contenido: Análisis de representaciones (gráficas tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma
situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 26
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sentido numérico y
pensamiento algebraico
Representación tabular y algebraica
de relaciones de variación cuadrática
M
OC
Desafío matemático
forma, espacio y medida
IÓ
N
Como ya te has dado cuenta, las matemáticas están presentes en muchas áreas del saber,
como en la física, la economía, la biología, etcétera. En estas disciplinas se presentan magnitudes que guardan entre sí relaciones que pueden expresarse mediante ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, algunas de esas relaciones son el cambio en una población de seres
vivos en cierto tiempo, las ganancias o pérdidas de una compañía en términos de la inversión inicial y del tiempo, la relación entre la medida de lado de un cuadrado y su área, etcétera. Y al igual que para las relaciones de variación lineal, las tablas son un recurso útil para
el análisis de las magnitudes involucradas en una relación cuadrática.
RO
Amanda y Manuel lanzaron por separado una pelota en dirección vertical y hacia arriba.
Amanda lanzó la pelota con una velocidad de 10 m/s y Manuel, con 20 m/s. ¿Qué altura alcanzó cada pelota? Considera que para expresar la altura que alcanza un objeto en
términos de la velocidad con que se lanzó y el tiempo transcurrido se utiliza la fórmula
h = v0t − 5t2, donde h es la altura (en metros), v0 es la velocidad (en m/s) y t el tiempo transcurrido (en segundos).
1. Selecciona la opción correcta..
a) ¿Qué expresión representa el lanzamiento de Amanda?
h = 20t − 5t2
h = 10t − 5t2
h = 10v − 5(10)2
h = 20t − 5(20)2
IA
AT
ER
b) ¿Y cuál el lanzamiento de Manuel?
h = 20t − 5t2
h = 10t − 5t2
manejo de la información
Las claves del problema
LD
EP
La pelota que lanzó Amanda alcanzó 5 metros de altura y la de Manuel, 20 metros.
h = 10v − 5(10)2
h = 20t − 5(20)2
M
c) ¿Qué valores corresponden al primer renglón de la siguiente tabla?
0
Tiempo transcurrido (s)
0.5
1
1.5
2
0
8.75
2.5
Altura (m) alcanzada con un
lanzamiento de 10 m/s
Altura (m) alcanzada con un
lanzamiento de 20 m/s
15
18.75
20
18.75
0, 1.8, 3.2, 4.2, 4.8
0, 3.75, 5, 3.75, 0
0, 0.95, 1.8, 2.55, 3.2
0, 2.55, 4.2, 4.95, 4.8
Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en
diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 27
27
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Ahora practica
1. Lee el siguiente texto y realiza lo que se pide.
En un laboratorio se estudió el comportamiento de una población de bacterias ante la
presencia de un antibiótico en términos del tiempo transcurrido. Se concluyó que la relación entre la población y el tiempo se puede determinar mediante la expresión B = −t2 +
2t + 360, donde B es el número de bacterias y t, el tiempo transcurrido.
0
5
10
15
20
360
345
280
165
0
M
OC
b) ¿Cuál era la población inicial de bacterias? Era de 360 bacterias.
c) ¿En qué tiempo, después de iniciar el experimento, la población de
bacterias fue cero? En 20 minutos.
Conceptos clave
d) ¿Tiene sentido utilizar la misma expresión cuando han transcurrido 25
RO
forma, espacio y medida
Población de bacterias
IÓ
Tiempo transcurrido (min)
N
a) Completa la tabla.
minutos? ¿Por qué? No, porque se obtendrían valores negativos y una
LD
EP
2. Lee y responde lo que se pide.
a) Si el área de un rectángulo varía en relación con sus dimensiones y su
largo es el doble que su ancho:
•¿Quéexpresiónalgebraicarepresentasuáreaentérminosdesuancho?
IA
A = b × 2b = 2b2
• Completalatabla.
AT
ER
manejo de la información
población de bacterias no puede ser negativa.
Si al expresar la relación
entre dos magnitudes, el
máximo exponente de la
variable que representa a
una de ellas es el número
dos (es decir, es en una
variable cuadrática),
entonces se trata de una
relación de variación
cuadrática. Por ejemplo,
n2 = m − 5, y = x2,
a = b2 + b + 2.5 son
relaciones de variación
cuadrática.
Ancho (cm)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Largo (cm)
1
0.5
2
2
3
4.5
4
8
5
12.5
6
18
7
24.5
8
32
Área (cm2)
M
• ¿Larelaciónentreelanchoyellargodelrectánguloeslinealocuadrática?¿Porqué?
Es lineal. Una manera de expresar la relación entre el ancho y el largo es 2a = b,
donde a es el largo y b, el ancho. Esto es, 2a – b = 0, lo que corresponde a una
relación lineal.
• ¿Ycómoeslavariaciónentreelanchodelrectánguloysuárea?Justificaturespuesta.
La relación se puede expresar como A = 2b2 , por lo que es cuadrática.
b) Si en un rectángulo su ancho es cuatro veces más pequeño que su largo:
•¿Quéexpresiónalgebraicarepresentasuáreaentérminosdesuancho?A = n × 4n = 4n2
28
Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas
en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 28
25/11/13 15:50
• ¿La variación entre el largo del rectángulo y su área es cuadrática? ¿Por qué? Sí, por
sentido numérico y
pensamiento algebraico
que se puede representar con una ecuación de segundo grado: A = 4n2
3. Resuelve el siguiente problema, pero antes realiza lo que se pide.
Ganancias de la empresa
(miles de pesos)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
17.5
30
37.5
40
37.5
30
17.5
0
IÓ
N
Cantidad de productos
fabricados (miles)
M
OC
forma, espacio y medida
La fabricación excesiva de un producto, en particular de los productos
perecederos, genera pérdidas, pues
provoca que la oferta sea mayor
que la demanda, con el riesgo, además, de que no todos los productos
se consuman y caduquen.
En la tabla se muestra la relación
entre la cantidad de productos elaborados y las ganancias mensuales
de una empresa.
RO
a)Determina cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la relación
anterior.
• q = –0.1p2 – 4p • q = 0.1p2 + 4p • q = –0.1p2 + 4p • q = 0.1p2 – 4p
b) Completa la tabla.
manejo de la información
LD
EP
c) ¿Qué cantidad de productos le conviene fabricar a la empresa para que sus ganancias sean máximas? ¿De cuánto serían sus ganancias? Le conviene fabricar 20000
piezas.
Sus ganancias serían de $40000.
IA
d) A partir de tu respuesta anterior calcula cuánto ganaría la empresa si fabrica mil
productos más y cuánto si son mil menos. Corrobora tu respuesta anterior con
AT
ER
base en tus cálculos. Si
vende mil productos más: q = –0.1(21)2 + 4(21) = 39.9; si
vende
mil productos menos: q = –0.1(19)2 + 4(19) = 39.9. En ambos casos, entonces,
su
ganancia sería la misma.
M
4. Analiza la siguiente situación. Realiza y contesta lo que se indica.
En un estudio sobre los efectos nutricionales
en ratas de laboratorio alimentadas con una
mezcla de levadura y harina de maíz se varió
el porcentaje P de levadura y cada mes se observó un aumento en la masa de los animales
1 P2 + 2P
de acuerdo con la ecuación m = – 50
+ 20, donde m es la masa aumentada.
a) Completa la tabla.
Porcentaje de levadura
en el alimento (%)
Masa
aumentada (g)
0
20
40
50
60
80
100
20
52
68
70
68
52
20
Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas
en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 29
29
25/11/13 15:50
b) ¿Cuál es el menor y el mayor porcentaje de levadura que puede contener el ali-
sentido numérico y
pensamiento algebraico
mento? El menor porcentaje es 0%, lo cual significa que en el alimento no hay levadura, y el mayor es 100%, que corresponde a un alimento compuesto sólo de levadura.
c) De acuerdo con el estudio y los resultados de la tabla, ¿es posible que una rata aumente su masa menos de 18 g? ¿Por qué? No es posible porque con un alimento
sin levadura (0%) o con uno compuesto sólo de levadura (100%), la masa de la rata
aumenta 20 g. Los demás valores, entre 0% y 100%, implican un aumenta de masa
N
mayor que 20 g.
IÓ
M
OC
menta al máximo? ¿Cuál es esa masa? La mayor ganancia de masa se obtiene al 50%,
cuando su masa aumenta 70 g.
LD
EP
RO
5. Trabaja con un compañero la siguiente actividad.
a) Elige individualmente una de las siguientes expresiones y a partir de ella inventa un
problema. Compártelo con tu compañero y resuelve el que él te comparta. Verifiquen sus resultados.
a) 2a2 = b
b) d = 5t2
c) y = 0.5x2
d) A = 4d2
Regreso al Desafío matemático
Validación
IA
1. Lee nuevamente el Desafío matemático y, con base en los conocimientos que practicaste en esta ficha, revisa si tus respuestas son correctas. Al finalizar compáralas con las de
tus compañeros y concluyan con el profesor cuáles son correctas.
AT
ER
manejo de la información
forma, espacio y medida
d) ¿Cuál es el porcentaje de levadura en el alimento con el que la masa de la rata au-
1. Completa los siguientes enunciados.
Una manera de resolver el problema es identificar qué expresiones relacionan la altura
que alcanzó la pelota con la velocidad del lanzamiento y el tiempo transcurrido para,
M
después, representar y analizar los valores en una tabla.
h = 10t − 5t2
Entonces, la expresión
expresión
h = 20t − 5t
2
corresponde al lanzamiento de Amanda, y la
a la de Manuel.
Después de representar los valores en una tabla y analizar su comportamiento, se
obtiene que la pelota que lanzó Amanda alcanzó su altura máxima un segundo
después de lanzarla y fue de 5 m , mientras que la pelota de Manuel alcanzó su
máxima altura a los 2 segundos y fue de 20 m .
30
Bloque: 1 • Proyecto: 3 • Ámbito: Participación social • Tipo de texto: Descriptivo
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 30
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Escala de la probabilidad.
Eventos complementarios, mutuamente
excluyentes e independientes
Los experimentos aleatorios son aquellos en los que interviene el azar, es decir, en los
que no es posible determinar con exactitud qué resultados se obtendrán. Sin embargo,
se pueden hacer predicciones, con base en la probabilidad de los eventos posibles, que
permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento del experimento.
N
Desafío matemático
IÓ
Conceptos clave
RO
M
OC
Para obtener la
probabilidad de
ocurrencia de un evento
se calcula la razón
casos favorables .
casos posibles
En la fábrica B porque la probabilidad de que una computadora salga de-
manejo de la información
Las claves del problema
LD
EP
fectuosa es menor que en las demás.
IA
1. Selecciona la opción correcta.
a) ¿Cuál es la probabilidad, expresada como porcentaje, de producir una
computadora defectuosa en la fábrica A?
5%
0.5%
50%
0.05%
0.01%
c) ¿Y cuál es la probabilidad para la fábrica D?
5%
0.5%
50%
0.05%
AT
ER
b) ¿Cuál es la probabilidad para la fábrica C?
1%
0.1%
10%
forma, espacio y medida
En cuatro fábricas distintas, A, B, C y D, se ensamblan computadoras, y la
probabilidad de producir un aparato defectuoso es distinta en cada una de
1
ellas: en la fábrica A es 200
; en la fábrica B, 0.25%; en la C, 0.01, y en la D, una
de cada 200 computadoras resulta defectuosa. Si cada aparato defectuoso
representa una pérdida, ¿en qué fábrica le conviene a una empresa ensamblar sus computadoras?
M
d) A partir del enunciado y de tus respuestas anteriores, ¿cómo puedes
resolver el problema?
No es posible resolverlo porque se necesitan hacer experimentos.
Debido a que se trata de eventos de azar, a la empresa le conviene
cualquier fábrica.
Se comparan las probabilidades obtenidas. La fábrica con menor
probabilidad de producir un producto defectuoso es la que le conviene a la empresa.
Se comparan las probabilidades obtenidas. La fábrica con mayor
probabilidad de hacer un producto defectuoso es la que le conviene
a la empresa.
Bloque: 1 • Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos
complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
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31
25/11/13 15:50
1. En un experimento aleatorio se observaron las siguientes probabilidades de ocurrencia de eventos posibles. Completa la tabla.
Probabilidad de ocurrencia
Expresada
Expresada como
Expresada como
como decimal fracción irreducible
porcentaje (%)
0
0
0
2
0.25
25
3
0.5
50
4
0.75
1
4
1
2
3
4
5
1
1
100
75
N
1
IÓ
Evento
LD
EP
RO
M
OC
2. Calcula la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos. Indica,
cuando sea el caso, si se trata de un evento seguro o de uno imposible
y explica tu respuesta.
a) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es el
número 5.
1
Probabilidad: 6 = 0.166 porque hay un caso favorable entre seis casos
posibles.
IA
b) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es una
letra.
Probabilidad: 0. Es un evento imposible porque no hay casos favorables
(sólo hay números, no letras).
c) Se tira un dado numerado del 1 al 6, y al caer, la cara superior es un
número menor que 7.
Probabilidad: 1. Es un evento seguro porque todos los casos posibles son
favorables.
Conceptos clave
La probabilidad P de
ocurrencia de un evento
X se puede expresar
como un número
decimal, una fracción
o un porcentaje y
generalmente se denota
como P(X).
La probabilidad
expresada como número
decimal siempre es
mayor o igual a 0,
y menor o igual a 1.
Cuando la probabilidad
es 0, se trata de un
evento imposible y si es
1, el evento es seguro, es
decir, se tiene la certeza
de que ocurrirá.
AT
ER
manejo de la información
forma, espacio y medida
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Ahora practica
M
d) Se tiran dos dados numerados del 1 al 6, y al caer, la suma de las caras
superiores es un número par.
Probabilidad: 0.5, porque hay 18 casos favorables entre 36 casos posibles.
e) Se tiran dos dados numerados del 1 al 6, y al caer, la suma de las caras
superiores es 1.
Probabilidad: 0. Es un evento imposible porque no hay casos favorables,
pues al menos la suma debe ser 2.
32
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos
complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 32
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
3. Considera que en una urna hay cinco papeles de colores: 2 amarillos,
1 morado, 1 café y 1 negro, y se extrae uno al azar, se anota su color y
se regresa a la urna. Realiza lo siguiente.
a) Da un ejemplo de un evento imposible. R. M. Que salga un papel
anaranjado.
b) Menciona un ejemplo de un evento seguro. R. M. Que salga un papel
de color.
c) Escribe un ejemplo de un evento con probabilidad 0.4. R. M. Que
A los resultados posibles
de un experimento
aleatorio se les llama
espacio muestral.
M
OC
salga un papel morado, uno café o uno negro.
forma, espacio y medida
IÓ
d) Anota un ejemplo de un evento con probabilidad de 60%. R. M. Que
N
Conceptos clave
salga un papel amarillo.
e) Indica un ejemplo de un evento con probabilidad de
salga un papel café.
1.
5
R. M. Que
No son mutuamente excluyentes porque comparten el número 4.
b) A = {1, 2}
B = {4, 10}
Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común, y
IA
no son complementarios porque al unirlos falta el número 6 para com-
AT
ER
pletar el espacio muestral.
c) A = {1, 2, 6, 10}
B = {4}
manejo de la información
LD
EP
RO
4. Considera el espacio muestral {1, 2, 4, 6 ,10} y determina si los siguientes eventos son o no mutuamente excluyentes. En caso de que lo sean,
indica si son o no complementarios. Luego realiza lo que se indica y
justifica tus respuestas.
a) A = {1, 2, 4}
B = {4, 6, 10}
Los eventos
mutuamente
excluyentes son los
que no tienen posibles
resultados en común.
Por ejemplo, al lanzar
un dado numerado
del 1 al 6 y considerar
su cara superior, los
eventos “que sea un
número par” y “que sea
un número impar” son
eventos mutuamente
excluyentes.
Si además al unirlos
se obtiene el espacio
muestral, entonces
se trata de eventos
complementarios.
Los eventos del
ejemplo anterior son
complementarios, pues
al unirlos se obtiene el
espacio muestral.
Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común y
M
son complementarios porque al unirlos se obtiene el espacio muestral.
d) A = {1}
B = {2}
C = {4}
D = {6}
E = {10}
Son mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común
y son complementarios porque al unirlos se obtiene el espacio muestral.
e) Escribe un evento que no sea mutuamente excluyente al evento A = {1,
2} R. M. Por ejemplo, el evento B = {2, 4, 10}.
f) Anota un evento que sea mutuamente excluyente al evento A = {1, 4, 6},
pero que no sea complementario. R. M. Por ejemplo, el evento B = {10}.
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos
complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 33
33
25/11/13 15:50
g) Escribe el evento complementario al evento A = {2, 10}.
Conceptos clave
sentido numérico y
pensamiento algebraico
El evento B = {1, 4, 6}.
Los eventos
independientes son
aquellos en los que
la probabilidad de
ocurrencia de uno no
afecta la probabilidad de
ocurrencia de otro.
Por ejemplo, al realizar
dos volados, el resultado
del primero no afecta el
resultado del segundo,
entonces son eventos
independientes.
5. Considera una urna con cuatro pelotas numeradas del 1 al 4, e indica si
los eventos son o no independientes. Explica tu respuesta.
a) En la primera extracción sale la pelota con el 2 o el 4; en la segunda
extracción, la pelota con el 1 o el 3. Después de la primera extracción
la pelota se regresó a la urna.
Son independientes porque después de la primera extracción la pelota se
N
regresó a la urna, entonces, la probabilidad de la primera extracción no
IÓ
M
OC
b) En la primera extracción sale la pelota con el 1 o el 2; en la segunda
extracción, la pelota con el 3 o el 4. Después de la primera extracción
la pelota no se regresó a la urna.
No son independientes porque después de la primera extracción la pelota
no se regresó a la urna, entonces, la probabilidad de la primera extrac-
ción afecta la probabilidad de la segunda extracción, pues en la segunda
LD
EP
extracción hay una pelota menos.
Regreso al Desafío matemático
IA
1. Regresa al Desafío matemático y a partir de los conocimientos que practicaste en esta
ficha, revisa si tus respuestas con correctas. Compáralas con las de tus compañeros y en
grupo concluyan cuáles son correctas.
AT
ER
Validación
1. Completa los siguientes enunciados.
La probabilidad de que en la fábrica A se
En la fábrica C la probabilidad de
produzca una computadora defectuosa está
producir un aparato defectuoso se
expresada como una fracción. Entonces,
expresa como número decimal.
M
manejo de la información
RO
forma, espacio y medida
afecta la probabilidad de la segunda.
para expresarla como porcentaje se calcula
el cociente
1
200
y se multiplica por 100 .
Al comprar las probabilidades obtenidas, se
considera la menor de ellas, es decir, 0.25 ,
que corresponde a la fábrica B . Por
tanto, en esa fábrica se producen menos
computadoras defectuosas y es la que le
conviene a la empresa.
34
Entonces se multiplica por 100
para
expresarla como porcentaje.
En la fábrica D, una computadora de
cada 200 producidas está efectuosa, por
lo que, como decimal, la probabilidad
para esa fábrica es 0.005 , lo que
equivale a
0.5
%.
Contenido: Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos
complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
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25/11/13 15:50
Encuestas
sentido numérico y
pensamiento algebraico
En una encuesta, las preguntas deben estar bien estructuradas para obtener
información precisa, así como definir correctamente el grupo de personas
a las que se hará la entrevista; por ejemplo, no se obtendría información
confiable sobre la opinión de los costos de la energía eléctrica en una comunidad si la encuesta sólo se aplica a menores de edad.
Conceptos clave
Cuando no es posible
obtener información
de toda la población de
estudio, se selecciona un
subgrupo que recibe el
nombre de muestra de
la población.
M
OC
La estrategia más adecuada es mediante una encuesta. La mejor forma de
presentar la información es por medio de gráficas.
RO
Las claves del problema
forma, espacio y medida
IÓ
El dueño del restaurante Su mesa quiere saber con qué frecuencia asisten al
restaurante las personas de la localidad, y si los nuevos platillos del menú han
sido del gusto de los clientes. Para ello, le pide al gerente que le presente un
informe al respecto. ¿Cuál es la estrategia adecuada para recabar esa información? ¿Cuál es la mejor forma de presentar la información?
En una encuesta, la
población es el grupo
total de personas o
elementos que es
objeto de estudio o del
que se quiere obtener
información.
N
Desafío matemático
manejo de la información
LD
EP
1. Selecciona la respuesta correcta.
a) ¿Cuál es la estrategia adecuada para recabar esta información?
Realizar un experimento.
Preguntar a todas las personas que viven en la localidad.
Aplicar una encuesta.
Preguntar sólo a los clientes del restaurante.
AT
ER
IA
b) ¿Cuál es la población de estudio?
Las personas que habitan en la localidad donde está el restaurante.
Los clientes del restaurante.
Las personas que habitan la calle donde se ubica el restaurante.
Las personas que viven en la localidad donde está el restaurante
y tienen menos de 16 años.
M
c) ¿Entre qué grupo de personas es conveniente recabar la información?
Sólo entre los clientes del restaurante.
Entre un grupo de personas elegidas al azar que vivan en la localidad.
Entre cada una de las personas de la localidad.
Sólo entre las personas que pasen frente al restaurante.
d) ¿Cuál es el formato adecuado para presentar la información?
Presentar la información mediante gráficas.
Exponer la información con una expresión algebraica.
Presentar todas las respuestas de los entrevistados.
Presentar sólo las respuestas de los clientes que asisten regularmente al restaurante.
Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio.
Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 35
35
25/11/13 15:50
1. Cada 10 años en México se realiza el censo de población, en el que no
sólo se cuentan los habitantes del país, sino que también se obtienen
datos acerca de ellos. Por ejemplo, una parte de la encuesta se dedica a
preguntar si alguno tiene una discapacidad. En el censo de 2010 se obtuvo el siguiente dato: de las 112 336 538 personas que ese año habitaban la república, aproximadamente 5.109% tenía alguna discapacidad.
a) ¿Cuál fue la población de estudio para obtener ese dato?
Todos los habitantes de la república mexicana en 2010.
b) ¿Cuál fue la muestra de la población de estudio? No se toman mues-
IÓ
M
OC
mínimo margen de error.
c) ¿Cuántos habitantes de México tenían una discapacidad en 2010?
Aproximadamente 5 739 274 personas.
2. Considera la información anterior. En la tabla se muestran los porcentajes de los tipos de discapacidades observados en el censo de 2010.
Al caminar
Visual
o moverse
58.3%
27.2%
LD
EP
Tipo de discapacidad
Auditiva Comunicativa
12.1%
8.3%
De cuidado De atención
Mental
personal o aprendizaje
5.5%
4.4%
8.5%
a) ¿Cuál fue la población de estudio para obtener los datos de la tabla?
IA
Los habitantes de la república mexicana con una discapacidad.
AT
ER
manejo de la información
Una muestra
representativa debe
conservar las mismas
características de la
población de estudio.
RO
forma, espacio y medida
tras, se considera a toda la población para conocer los datos con el
Conceptos clave
N
sentido numérico y
pensamiento algebraico
Ahora practica
b) ¿Por qué piensas que los porcentajes de la tabla no suman 100%?
R. M. Porque una persona puede tener más de una discapacidad y por
M
eso pertenecer a más de un grupo.
c) ¿Cuántas personas tenían una discapacidad auditiva en el 2010?
Considerando que representaron 12.1% de las personas con discapacidad,
es decir, 12.1% de 5 739 274, entonces en 2010 aproximadamente 694 452
personas tenían alguna discapacidad al escuchar.
d) ¿En ese año, qué porcentaje de la población total en México tenían
una discapacidad auditiva? 694 452 de 112 336 538 personas corresponde al 0.618% de la población total en México en 2010.
36
Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en
estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 36
25/11/13 15:50
3. En la encuesta también se preguntó la edad de las personas con discapacidad. La siguiente tabla muestra los resultados.
15 a 64 años
65 y más años
No especificado
9%
50.9%
40%
0.1%
a) ¿Cuál fue la población de estudio para obtener estos datos?
sentido numérico y
pensamiento algebraico
0 a 14 años
Procedimento
Paso 1. Definición del
estudio o experimento.
En este paso se
determina qué se quiere
investigar o analizar y
qué se espera encontrar.
M
OC
En este caso no es posible que dos personas pertenezcan a dos gru-
forma, espacio y medida
IÓ
b) Para determinar los porcentajes de la tabla, los datos de la encuesta se
agruparon por intervalos de edades. En el ejercicio 2, la agrupación se
hizo por tipo de discapacidades. ¿En qué afecta la forma de agrupar
para que en este caso la suma de los porcentajes sea 100%?
En la realización de un
estudio estadístico se
procede de la siguiente
forma.
N
Los habitantes de la república mexicana con alguna discapacidad.
pos distintos, así que la suma de todos los grupos corresponde al total,
ya que no hay repeticiones.
RO
c) Explica si es posible que los datos de los ejercicios 2 y 3 se presenten
en una gráfica circular. La información del ejercicio 2 no se puede pre-
senta 100% y los datos del ejercicio 2 suman más de 100%. Sin embargo,
los datos de este ejercicio sí se pueden representar en una gráfica circular.
d) ¿Por qué para hacer un censo no es recomendable tomar una muestra
IA
de la población de estudio? R. M. En un censo, principalmente se busca
conocer el número total de habitantes, sus condiciones de vivienda, de
AT
ER
salud y económicas, así que es necesario entrevistar a toda la población.
Paso 3. Organización
y análisis de los
datos. En esta etapa se
define cómo ordenar
y clasificar los datos
obtenidos.
Paso 4. Presentación
de resultados y
conclusiones. En este
paso se muestran
los resultados que se
obtuvieron al analizar
los datos obtenidos
y si éstos afirman o
contradicen lo que se
preveía encontrar.
M
5. En la actualidad, los videojuegos son un entretenimiento común entre
los jóvenes, pero ¿qué opinión tienen sobre ellos los adultos de tu comunidad? Considera que requieres obtener la siguiente información.
• Tipodedispositivosdevideojuegosqueconocenlosadultos.
• Cuántosadultoshanjugadovideojuegos.
• Cuántosdelosquenuncahanjugadovideojuegosestaríandispuestosa
hacerlo.
• Porquélosadultosquenotienenvideojuegosnohanadquiridouno.
• Cuántosadultosconunaconsoladevideojuegoscompraríanotranueva.
manejo de la información
LD
EP
sentar en una gráfica circular, ya que una gráfica circular completa repre-
Paso 2. Obtención de
datos. Esto es, definir
como se obtendrán los
datos, a quiénes se les
preguntará y el tipo de
preguntas que conviene
hacer. Por ejemplo,
una forma de obtener
datos para un estudio
estadístico es aplicar una
encuesta.
a) Escribe las preguntas que harías para obtener la información anterior. Ordénalas por secciones; en el primer recuadro de la página
siguiente escribe preguntas de modo que, de acuerdo con la respuesta,
se pase a las preguntas de la segunda sección en el otro recuadro.
Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio.
Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 37
37
25/11/13 15:50
sentido numérico y
pensamiento algebraico
R. M.
Sección 1
R. M.
Sección 2
•¿Quéconsolasdevideojuegosconoce?
Plaistashion
EquisBox
Nientiendo Wai
•¿Algunavezhajugadounvideojuego?
Sí
No
(sección 2)
•¿Tienealgunaconsola?Sí No
•¿Compraríaunaconsolanueva?Sí No
•¿Estaríadispuestoajugarvideojuegos?
Sí No
•¿Porquénohacompradounaconsolade
videojuegos?
Por sus costo.
No me parecen entretenidas.
No tengo tiempo para usarla.
Error frecuente
Los adultos de mi comunidad.
IÓ
M
OC
resultados? R. M. Es conveniente presentar los resultados mediante una
gráfica circular porque este tipo de gráficas permite comparar de un vistazo los resultados de cada subgrupo con la muestra total
Regreso al Desafío matemático
RO
forma, espacio y medida
c) ¿Qué representación sería la más adecuada para dar a conocer los
N
b) ¿Cuál es la población de estudio en esta encuesta?
Es un error presentar la
información obtenida
mediante una gráfica
circular cuando los
porcentajes que
corresponden a las
distintas clasificaciones
suman más de 100%,
situación que se presenta
cuando algunos
elementos pertenecen a
clasificaciones distintas.
En este caso conviene
presentar la información
con una gráfica de
barras.
LD
EP
1. Escribe las preguntas adecuadas para obtener la información que se quiere conocer en
rante Su mesa? ¿Ha probado los nuevos platillos y si es así han sido de su agrado?
2. ¿Cómo conviene elegir una muestra de la población para que ésta sea representativa?
IA
R. M. Aplicar la encuesta a cien personas elegidas al azar que vivan en la localidad.
AT
ER
manejo de la información
la situación del Desafío matemático. R. M. ¿Cuántas veces a la semana visita el restau-
Validación
M
1. Completa los enunciados del diagrama que señalan los pasos a seguir para resolver la
situación del Desafío matemático.
Paso 1. Se quiere conocer la frecuencia
con la que personas de la localidad asisten
al restaurante y si los nuevos platillos que
ofrece le han gustado a la clientela.
Paso 4. La presentación adecuada es
mostrar los datos mediante una gráfica
de barras o circular porque así es posible
apreciar a simple vista los resultados.
38
Paso 2. La estrategia adecuada
para recabar esta información es
aplicar una encuesta.
Paso 3. Si la población de estudio
es muy grande conviene tomar
una muestra representativa.
Contenido: Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en
estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
SACMA3WB12_B1_FINAS.indd 38
25/11/13 15:50
Lo que aprendí
1. El doble del producto de un número multiplicado por sí mismo más 7 da como resultado 105. ¿De qué número se trata?
5
6
7
No existe un número que cumpla esa condición.
N
2. Si el área de un rectángulo es de 192 cm2 y su largo es 4 cm mayor que su ancho,
¿cuál es la medida de su ancho?
16 cm
14 cm
12 cm
10 cm
M
OC
IÓ
3. ¿Cuál es la relación entre las siguientes figuras?
Son congruentes, pero no semejantes.
Son semejantes, pero no congruentes.
Son congruentes y semejantes.
No existe relación entre ellas.
LD
EP
RO
4. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
Si dos figuras son semejantes, las medidas de los lados de una son proporcionales
a las medidas de los lados de la otra.
Si dos figuras son semejantes, entonces también son congruentes.
Si dos figuras son semejantes, los ángulos interiores de ambas son iguales y las
medidas de los lados son proporcionales.
Si dos figuras son congruentes, también son semejantes.
M
AT
ER
IA
5. ¿Por qué en los triángulos no existe un criterio de semejanza ALA, donde L indique
que entre los ángulos correspondientes de dos triángulos hay un lado proporcional?
Porque un triángulo no es semejante a otro si dos de sus ángulos tienen la misma
medida que dos de los ángulos del otro triángulo.
Porque para que se cumpla ALA es necesario tener un lado proporcional entre dos
triángulos, pero eso indica que los otros dos lados también son proporcionales, así
que se puede usar el criterio de semejanza LLL y no es necesario el criterio ALA.
Porque dos triángulos semejantes nunca tienen ángulos iguales.
Porque para que se cumpla ALA es necesario que dos de los ángulos de un triángulo tengan la misma medida que dos de los ángulos del otro triángulo, así que se
puede usar el criterio de semejanza AA y no es necesario verificar que tienen un
lado proporcional, es decir, no es necesario el criterio ALA.
6. Analiza la gráfica e indica qué ecuación algebraica le corresponde.
y = 3x + 2
y = 3x – 2
1
y= 3 x+2
y = 31 x – 2
Y
5
4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
5
6
X
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Lo que aprendí
6
9
12
m = 15n
0
0
1
12
2
24
3
36
4
58
m = 10n + 3
0
0
1
10.5
2
21
3
31.5
4
42
m = 18n.
0
0
1
15.5
2
31
3
46.5
4
62
IÓ
3
M
OC
0
N
7. Determina qué ecuación y tabla corresponden a una relación de proporcionalidad
directa.
m = 0n – 2
0
1
2
3
4
a
b
5
0
6.8
1
21.2
3
33.8
4
a=
9 2
5b –
50
5
5
a = 1.5b2 – 2b
a=
9
5
b2 + 5
LD
EP
a = 1.5b2 + 2b
12.2
2
RO
8. ¿Qué ecuación corresponde con los valores de la tabla?
9. ¿Qué pareja de eventos son complementarios si el espacio muestral es {a, b, c, 1, 2, 3}?
A = {a, b, c}, B = {1, 2}
C = {1, 2, 3}, D = {a, b, c, 1}
E = {a, 1, 2, 3}, F = {b, c}
G = {a, b, c}, H = {a, b, c}
AT
ER
IA
10. ¿Cuál grupo de personas es una muestra representativa del desempeño laboral de
los supervisores de una industria?
Los supervisores de la industria.
El personal de vigilancia.
El 20% de los supervisores de todos los turnos laborales.
Los dueños de la empresa.
M
11. Adrián hizo una encuesta en su colonia acerca del consumo de refresco, y organizó
los datos por edad y sexo. ¿Cuál es la mejor opción para presentar sus resultados?
En dos gráficas de pastel. En la primera los sectores corresponden a intervalos de edad
para ubicar los que sí toman refresco, y en la segunda, los sectores se refieren al sexo
de esas personas.
En una gráfica de pastel en la que los sectores corresponden a intervalos de edad para
ubicar en ellos a todos los encuestados.
Una gráfica de barras cuyo eje horizontal esté dividido en dos secciones: hombres y
mujeres. Para cada sección se traza una barra con el número de personas de ese sexo
que sí toman refresco.
Una gráfica de barras cuyo eje horizontal esté dividido en los intervalos de edad. Para
cada intervalo se trazaran dos barras: una para indicar cuántos hombres de esa edad
toman refresco y otra para señalar cuántas mujeres de esa edad toman refresco.
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