Curso de RESISTENCIA DE MATERIALES n José David Bel Cacho n Sergio Puértolas Broto n Mohamed Hamdy Doweidar n Elena Lanchares Sancho Escuela de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ingeniería Mecánica Escuela de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ingeniería Mecánica Escuela de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ingeniería Mecánica D.L.- Z-365-2014 ISBN.- 978-84-15688-89-1 Diseño Portada e impresión.- impreso en [ stylo @ stylodigital.com ] España / printed in Spain Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la ley, que establece penas de prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicasen públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística o científica, o su transformación, interpretación o ejecución artística fijada en cualquier medio, sin la preceptiva autorización. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de la cubierta, puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningún medio, sea éste electrónico, electro-óptico, grabación, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorización por parte del autor. Índice TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 1.1 El Sólido Rígido y el Sólido Deformable. Concepto de Tensión 3 1.2 Hipótesis de Cálculo 7 1.3 El Elemento Barra. Sistema de Coordenadas Intrínseco 9 1.4 Tensiones y Deformaciones en Barras 13 1.5 Relaciones entre Tensiones y Deformaciones en Barras 21 1.6 Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos 29 1.7 Diseño y Análisis Resistente 31 TEMA 2 BARRAS SOMETIDAS A TRACCIÓN O COMPRESIÓN 33 2.1. Tensiones en Barras Cargadas Axialmente 35 2.2. Deformación en Barras Cargadas Axialmente 37 2.3. Resolución de Problemas Hiperestáticos 39 2.4. Formulación Diferencial 42 2.5. Energía de Deformación en Barras Cargadas Axialmente 43 TEMA 3 BARRAS SOMETIDAS A FLEXIÓN 45 3.1. Vigas. Esfuerzos Cortantes y Momentos Flectores 47 3.2. Deformación de Barras Rectas por Flexión 56 3.3. Tensiones Normales Producidas por Flexión 58 3.4. Tensiones Tangenciales Producidas por Flexión 61 3.5. Formulación Diferencial del Problema de Flexión de Bernoulli–Navier 72 3.6. Energía de Deformación en Barras sometidas a Flexión 73 3.7. El Teorema de los Trabajos Virtuales para Flexión Compuesta 75 3.8. Resolución de Problemas Hiperestáticos de Flexión 79 TEMA 4 BARRAS SOMETIDAS A TORSIÓN 85 4.1. Deformación por Torsión de Barras de Sección Circular 87 4.2. Tensiones por Torsión de Barras de Sección Circular 89 4.3. Problemas de Torsión No Uniforme 93 4.4. Resolución de Problemas Hiperestáticos de Torsión 96 4.5. Formulación Diferencial del Problema de Torsión 98 4.6. Energía de Deformación en Barras sometidas a Torsión 99 4.7. El Teorema de los Trabajos Virtuales para Torsión 102 4.8. Torsión de Tubos de Pared Delgada 104 TEMA 5 ESTABILIDAD DE BARRAS COMPRIMIDAS. PANDEO 109 5.1. Estabilidad y Pandeo 111 5.2. Pandeo de una Columna Biarticulada 113 5.3. Pandeo de Columnas con Distintas Condiciones de Apoyo 116 5.4. Grandes Deformaciones, Imperfecciones y Estabilidad 121 5.5. Tensión Crítica y Esbeltez 129 TEMA 6 ELASTICIDAD PLANA 131 6.1. Tensiones en Problemas Planos 133 6.2. Tensiones y Direcciones Principales 138 6.3. Círculo de Mohr para Tensión Plana 139 6.4. Deformaciones en Problemas Planos 141 6.5. Problemas de Tensión y Deformación Tridimensional 143 6.6. Ley de Hooke Generalizada 145 Tema 1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 1.1 El Sólido Rígido y el Sólido Deformable. Concepto de Tensión 1.2 Hipótesis de Cálculo 1.3 El Elemento Barra. Sistema de Coordenadas Intrínseco 1.4 Tensiones y Deformaciones en Barras 1.5 Relaciones entre Tensiones y Deformaciones en Barras 1.6 Sistemas Isostáticos e Hiperestáticos 1.7 Diseño y Análisis Resistente 1 2 Introducción a la Resistencia de Materiales Antes de iniciar el estudio de la materia de Resistencia de Materiales, resulta conveniente establecer una definición previa que ayude a entender en qué consiste la disciplina y los objetivos que se pretenden alcanzar. Una posible finalidad de las teorías de la Resistencia de Materiales puede ser la de establecer los criterios que nos permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones más adecuadas que hay que dar a los elementos de una estructura o de una máquina para que puedan resistir la acción de las cargas externas que los solicitan, manteniendo unas deformaciones compatibles con su función y/o percepción, así como conseguirlo de la forma más económica posible. La Resistencia de Materiales tiene importantes aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería. Sus métodos los utilizan los ingenieros aeronáuticos y navales para el diseño y construcción de aviones y barcos, los ingenieros civiles, al proyectar puentes y presas; los ingenieros mecánicos, para el diseño y construcción de máquinas y todo tipo de construcciones mecánicas; los ingenieros eléctricos, para el diseño de máquinas, equipos eléctricos, líneas de distribución; los ingenieros químicos, para el diseño de instalaciones industriales de su especialidad, depósitos y tuberías, y se podría seguir añadiendo especialidades, ya que cualquier máquina, estructura, escultura, … se materializa en elementos sólidos deformables. Tanto la teoría de la Elasticidad o Mecánica de Medios Continuos como la Resistencia de Materiales tienen objetivos coincidentes, la diferencia estriba en que la Resistencia de Materiales disminuye la dificultad de la resolución de los problemas de la teoría de la Elasticidad introduciendo hipótesis simplificativas que para muchos problemas son validas y la hacen más operativa. 1.1 El Sólido Rígido y el Sólido Deformable. Concepto de Tensión La Mecánica considera a los sólidos como si fuesen rígidos cuando en realidad son deformables, ya que al aplicar fuerzas sobre ellos varía la posición relativa de sus puntos materiales. La Resistencia de Materiales que es una parte de la Mecánica, considera deformables a los sólidos y estudia los efectos que las fuerzas aplicadas originan en su interior. De estos efectos los más importantes son las tensiones o fuerzas por unidad de superficie y las deformaciones o desplazamientos por unidad de longitud. Se podría decir que la Resistencia de Materiales permite determinar en una pieza sometida a un determinado estado de fuerzas externas: - Las tensiones interiores que aparecen en la pieza. Las deformaciones que se originan Y en consecuencia determinar si las tensiones y deformaciones se mantienen inferiores a ciertos valores límites fijados de antemano. 3 Introducción a la Resistencia de Materiales 4 Introducción a la Resistencia de Materiales De acuerdo con las leyes de la Estática, un sólido rígido se encuentra en equilibrio estable cuando el sistema completo de fuerzas que actúan sobre él, constituido por las cargas exteriores y las reacciones de los enlaces, tiene resultante nula, tanto de fuerza como de momento. El equilibrio anterior puede considerarse de tipo externo, ya que no se plantea en ningún momento lo que sucede en el interior del sólido. Si se corta el sólido, por ejemplo, por un plano arbitrario y se considera sólo una de las partes, ¿qué ocurre con el equilibrio? Desde el punto de vista del sistema de fuerzas, como ahora se trata de un sistema parcial, puesto que han desaparecido parte de las mismas, la resultante ya no tiene por qué ser nula, dando lugar, en general a una fuerza y a un momento. En estas condiciones, la parte del sólido considerada ya no está en equilibrio si se consideran únicamente las cargas exteriores y las reacciones en los enlaces. 5 Introducción a la Resistencia de Materiales Si el equilibrio se conserva, deben actuar otro tipo de fuerzas no consideradas hasta ahora. Dado que efectivamente el sólido completo está en equilibrio, éste sólo es posible si se desarrollan unas fuerzas internas en la sección de corte, tales que su resultante equilibra a la de las cargas externas (incluidas reacciones). Las fuerzas internas son, por tanto, las acciones/reacciones que ejercen las diferentes partes del sólido entre ellas. Cuando se aísla una parte de un sólido y se representa su diagrama de cuerpo libre, las fuerzas internas son el efecto (acción) del resto del sólido sobre la parte considerada, y constituyen un sistema de fuerzas tal que sus resultantes de fuerza y momento mantienen el equilibrio parcial de la parte considerada. Cualquier parte de un sólido sometida a las cargas exteriores, reacciones de los enlaces y fuerzas internas está en equilibrio. El valor de las fuerzas internas por unidad de área recibe el nombre de tensión. 6 Introducción a la Resistencia de Materiales 1.2 Hipótesis de Cálculo Los modelos matemáticos para el análisis estructural se basan en una serie de hipótesis de partida que confieren a cada modelo sus propias características. Todos los modelos incorporan dos tipos de magnitudes: cinemáticas, que caracterizan los movimientos y deformaciones de la estructura; estáticas, que caracterizan la situación de equilibrio. El modelo más general será aquél que se base en hipótesis menos restrictivas, pero será también el más difícil de aplicar. Por ello, se plantea el desarrollo de diferentes modelos, con determinadas restricciones y posibilidades de aplicación, que es preciso tener siempre presentes. 7 Introducción a la Resistencia de Materiales 8