GUÍA : El átomo de Hidrógeno..

EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO tiene un diámetro de aproximadamente 0.1 nm; consiste en
un protón como núcleo (con un radio aproximado de 10-15m) y un solo electrón.
ÓRBITAS CIRCULARES DEL ELECTRÓN cercanas al núcleo se asumen en el modelo de Bohr
del átomo de hidrógeno. Se puede demostrar que la longitud de onda de De Broglie para un
electrón que resuena en una órbita de radio r es (vea problema 43.18):
𝑚𝑣𝑛 𝑟𝑛 =
𝑛ℎ
2𝜋
Donde n es un entero. La cantidad mvnrn. Es el momento angular del electrón en su n-ésima órbita.
La rapidez del electrón es v, su masa es m y h es la constante de Plank, 6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠
La fuerza centrípeta que mantiene en órbita al electrón es producida por la atracción de Coulomb
entre el núcleo y el electrón. Por lo que
𝑚𝑣𝑛2
𝑒2
=𝑘 2
𝑟𝑛
𝑟
La solución simultánea de estas ecuaciones da los radios de las órbitas estables como rn = (0.053
nm)n2. La energía de un átomo cuando está en su n-ésimo estado (es decir, cuando su electrón se
encuentra en su n-ésima órbita de configuración) es
𝐸𝑛 = −
13.6
𝑒𝑉
𝑛2
Como en los problemas 43.17 y 43.18, la energía está cuantizada debida a la configuración estable
correspondiente a la resonancia del sistema. Para núcleos con carga Ze orbitados por un solo
electrón, las relaciones correspondientes son
𝑟𝑛 = (0.053𝑛𝑚) − (
𝑛2
13.6𝑍 2
𝑒𝑉
) 𝑦 𝐸𝑛 = −
𝑍
𝑛2
Donde Z es llamado el número atómico del núcleo.
LOS DIAGRAMAS DE LOS NIVELES DE ENERGÍA resumen las energías permitidas de un sistema.
Sobre una escala de energía vertical, las energías permitidas están representadas por líneas
horizontales. El diagrama de niveles de energía para el hidrógeno se muestra en la Fig. 44-1. Cada
línea horizontal representa la energía de un estado resonante del átomo. El cero de energía es
tomado para cuando el átomo está ionizado, es decir, el estado en el cual el átomo tiene una
órbita de radio Infinito. A medida que el electrón cae, acercándose al núcleo, su energía potencial
decrece hasta el nivel cero, y por lo tanto la energía del átomo es negativa como ya se ha indicado.
El estado más bajo posible, n = 1, corresponde a la órbita más pequeña posible de un electrón,
llamada estado base.
EMISIÓN DE LUZ: Cuando un átomo aislado cae desde un nivel energético a otro menor se emite
un fotón. Este fotón tiene la energía perdida por el átomo en su transición al estado más bajo de
energía. La longitud de onda y la frecuencia del fotón están dadas por
ℎ𝑓 =
ℎ𝑐
λ
= energía perdida por el sistema
Fig. 44-1
La radiación emitida tiene una longitud de onda exacta y da lugar a una sola línea espectral del
espectro de emisión del átomo.
Es conveniente recordar que un fotón de 1240 nm tiene una energía de 1 eV, y que la energía del
fotón varía de manera inversamente proporcional a la longitud de onda.
LAS LÍNEAS ESPECTRALES emitidas por los átomos de hidrógeno aislados se producen en series. La
serie de Balmer mostrada en la Fig. 44-2 es una serie típica de las longitudes de onda visibles.
Existen otras series, una en el ultravioleta, llamada la serie de Lyman; otras en el infrarrojo, y una
cercana a la porción del espectro visible que es la serie de Paschen.
Las longitudes de onda están dadas por las fórmulas
𝐿𝑦𝑚𝑎𝑛:
1
=
λ
R (12 − 𝑛2 )
1
1
𝐵𝑎𝑙𝑚𝑒𝑟:
1
=
λ
R(
𝑃𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛:
1
=
λ
R(
n = 2, 3, . . .
1
22
−
1
)
𝑛2
n = 3, 4, . . .
1
32
−
1
)
𝑛2
n = 4, 5, . . .
Donde R = 1.0974 x 107m-1 es llamada constante de Rydberg.
ORIGEN DE LAS SERIES ESPECTRALES: Las líneas de serie de Balmer de la Fig.
44-2 se presentan cuando el átomo decae desde estados altos hacia el estado n
= 2. La transición desde n = 3 a n = 2 produce un fotón de energía ∆𝐸3,2 = 10.2
eV, lo cual equivale a una longitud de onda de 656 nm, es decir a la primera
línea de la serie. La segunda línea se origina en la transición de n = 4 a n = 2.
La línea límite de la serie representa la transición de 𝑛 = ∞ 𝑎 𝑛 = 2.
Similarmente, las transiciones que terminan en el estado n = 1 dan los valores
de la serie de Lyman; las transiciones que terminan en el estado n = 3 dan las
líneas de la serie de Paschen.
ABSORCIÓN DE LUZ: Un átomo en su estado base sólo puede absorber aquellos
fotones que lo llevarán a uno de sus otros niveles de energía permitidos.
PROBLEMAS RESUELTOS
44.1 ¿Qué longitud de onda emite un átomo de hidrógeno cuando cae de
estado n = 5 al estado n = 2?
Ya que 𝐸𝑛 = −
13.6
𝑒𝑉
𝑛2
, se tiene que
𝐸5 = −0,54 𝑒𝑉
𝑦
𝐸2 = −3.40 𝑒𝑉
La diferencia de energía entre estos estados es 3.40 — 0.54 = 2.86 eV. Ya que 1240 nm
corresponden a 1 eV en una proporción inversa, se tiene, para la longitud de onda del fotón
emitido,
λ= (
1 𝑒𝑉
) (1240 𝑛𝑚) = 434𝑛𝑚
2.86 𝑒𝑉
44.2 Cuando un átomo de hidrógeno es bombardeado, el átomo se excita hasta su estado más alto
de energía. Cuando regresa a su nivel más bajo de energía, emite luz. ¿Cuáles son las tres mayores
longitudes de onda de las líneas espectrales emitidas por el átomo de hidrógeno cuando cae hasta
el estado n = 1 desde su estado más alto de energía?
La siguiente transición es de interés (vea la Fig. 44-1):
𝑛 = 2 → 𝑛 = 1:
∆𝐸2,1 = −3.4 − (−13.6) = 10.2 𝑒𝑉
𝑛 = 3 → 𝑛 = 1:
∆𝐸3,1 = −1.5 − (−13.6) = 12.1 𝑒𝑉
𝑛 = 4 → 𝑛 = 1:
∆𝐸4,1 = −0.85 − (−13.6) = 12.75 𝑒𝑉
Para calcular las longitudes de onda correspondientes se puede proceder como en el problema
44.1, o utilizar ∆𝐸 = ℎ𝑓 = ℎ𝑐/λ. Por ejemplo, para la transición de n = 2 a n = 1
108 𝑚
(6.63 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠)(3 × 𝑠 )
ℎ𝑐
λ=
=
= 122𝑚
𝐽
∆𝐸2,1
(10.2 𝑒𝑉)(1.6 × 10−19 𝑒𝑉 )
Las otras líneas se calculan en la misma forma y son 102 nm y 97 nm. Estas son las tres primeras
líneas de la serie de Lyman.
44.3 La longitud de onda del límite de la serie de Balmer es emitida cuando el átomo de
hidrogeno cae desde el estado n = ∞ al estado n = 2. ¿Cuál es la longitud de onda de esta línea?
De la Fig. 44-1, ∆𝐸 = 3.4 − 0 = 3.4 𝑒𝑉. Para determinar la longitud de onda correspondiente
utilizamos camino usual de ∆𝐸 = ℎ𝑐/λ. El resultado es de 365 nm.
44.4 ¿Cuál es la mayor longitud de onda de radiación que puede ionizar un átomo de hidrógeno
no excitado?
Los fotones Incidentes deben tener una energía tal que permita elevar al átomo del nivel n = 1 al
nivel n = ∞ cuando son absorbidos por éste. Dado que 𝐸∞ − 𝐸1 = 13.6 𝑒𝑉, se puede utilizar
𝐸∞ − 𝐸 1 = ℎ𝑐/λ para calcular la longitud de onda como 91 nm. Longitudes de onda más cortas
no podrán sacar al electrón del átomo, pero aumentarán la EC del electrón.
44.5 Los niveles de energía de los átomos de helio simplemente ionizados (átomos a los cuales se
les ha quitado uno de sus dos electrones) están dados por En = (-54.4/n2) eV. Construya un
diagrama de niveles de energía para el sistema.
Vea la Fig. 44-3.
Fig. 44-3
44.6 ¿Cuáles son las dos longitudes de onda más cortas de la serie de Balmer para un átomo de
helio ionizado simplemente?
El diagrama de niveles se muestra en la Fig. 44-3. Debe recordarse que la serie de Balmer
corresponde a las transiciones de niveles altos al nivel n = 2. Del diagrama, las dos transiciones
más pequeñas hasta n = 2 son
𝑛=3→𝑛=2
∆𝐸3,2 = 13.6 − 6.04 = 7.6 𝑒𝑉
𝑛=4→𝑛=2
∆𝐸4,2 = 13.6 − 3.4 = 10.02 𝑒𝑉
Utilizando el hecho de que 1 eV corresponde a 1240 nm, se calculan las longitudes de onda
correspondientes, siendo 163 nm y 122 nm; ambas longitudes de onda son del ultravioleta lejano
en la región de los rayos X largos.
44.7 Se bombardean átomos de hidrógeno no excitados con electrones que son acelerados a
través de 12V. ¿Cuál es la longitud de onda que emiten los átomos?