OLIMPIADA ESTATEL DE MATEMÁTICAS 2012 QUINTA ETAPA PRIMERA LISTA DE PROBLEMAS 1. Las medidas de los lados de un triangulo rectángulo son 60 cm, 80 cm y 100 cm. Determina la medida del segmento que parte del ángulo recto y divide al triángulo en dos triángulos con el mismo perímetro. 2. Una escuela tiene menos de 400 estudiantes en sexto grado divididos en diferentes salones. Seis de estos salones tienen el mismo número de alumnos, y juntos, tienen más de 150 alumnos. En los salones restantes hay 15% más de estudiantes que en estos seis salones juntos. Encuentra el número de estudiantes de sexto grado en la escuela. 3. ¿Cuántos enteros n entre 1 y 100 satisfacen que n2 +4 y n+4 tienen divisor común mayor que 1? 4. Encuentra todas las parejas (x, y) de números reales que satisfacen 5. Si a, b, c son números tales que y , encuentra el valor de 6. Un club tiene tres disciplinas: atletismo, natación y ciclismo. Cada mes, los socios pagan $490 por una disciplina, y si practican dos pagan $400 por cada una. La recaudación en un mes fue de $11,980 en atletismo, $12,690 en natación y $15,720 en ciclismo. Si hay 78 miembros y ninguno práctica las tres disciplinas, ¿Cuántos hay en cada disciplina? 7. Sea ABC un triangulo rectángulo inscrito en una circunferencia de centro O y diámetro BC. Las perpendiculares al diámetro de la circunferencia, trazadas desde O y A, intersecan a la circunferencia en los puntos D y P respectivamente (del mismo lado de CB). Si el ángulo DCP es igual a 15°, calcula la medida del ángulo ABC. 8. Sea ABD un triangulo y sea C ta que DC || AB. Sea E la intersección de AD con BC y F la intersección de BD y la paralela a DC que pasa por E. Demostrar que OLIMPIADA ESTATEL DE MATEMÁTICAS 2012 9. Encuentre todas las tripletas de enteros positivos a<b<c para los cuales se cumple que 10. En un torneo de basquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se dividen en grupos de 4. En cada grupo cada equipo juega una vez contra cada uno de los equipos restantes. De cada grupo los dos mejores equipos califican para la siguiente ronda y los dos peores son eliminados. Después de la última ronda quedan dos equipos que se enfrentan en un partido para determinar al ganador del torneo ¿Cuantos partidos se jugaran a lo largo de todo el torneo? 11. Pruebe que entre cualesquiera seis personas hay tres tales que se conocen todas entre si o tres tales que ninguna conoce a alguna de las otras dos. 12. Sea n un entero positivo. Si y ¿Por qué a y b no pueden ser primos relativos? 13. Hallar el menor número natural que es suma de 9 naturales consecutivos, es suma de 10 naturales consecutivos y además es suma de 11 naturales consecutivos. 14. Encuentra todos los enteros n tales que es un cuadrado perfecto. 15. Demuestra que el producto de 4 enteros positivos consecutivos no puede ser igual al producto de 2 enteros positivos consecutivos. 16. Sea s un entero mayor que 6. A un cubo sólido de lado s se le hace un agujero de lado x<6 , sobre una de las caras, de tal manera que el agujero remueve un paralelepípedo. El volumen del solido obtenido es numéricamente igual al área de la superficie de dicho solido. Determine todos los valores enteros posibles para x. 17. Sea la función que devuelve el número de divisores positivos del entero n. Formamos la secuencia n, de tal manera que cada término a partir del segundo es el número de divisores del anterior. Por ejemplo, 100, 9, 3, 2, 2, … Determina cómo debe ser n para que ningún término de la secuencia sea un cuadrado perfecto OLIMPIADA ESTATEL DE MATEMÁTICAS 2012 18. Demuestra que no puede ser representado como la suma de un cubo perfecto y una potencia de 4 perfecta 19. Encuentra todos los enteros positivos que satisfacen la ecuación 20. Determinar todos los números N de tres dígitos que tienen las siguientes propiedades: N es divisible por 11, y N/11 es igual a la suma de los dígitos de N. 21. Demostrar que la fracción es irreducible para toda n natural. 22. Se escoge punto arbitrario M sobre segmento un segmento AB. Los cuadrados AMCD y MBEF se construyen en el mismo lado de AB con los segmentos AM y MB en sus respectivas bases. Los círculos circunscritos de estos cuadrados, con centros P y Q, se interceptan en M y en algún otro punto N. Sea N'' el punto de intersección de las rectas AF y BC. a) Demostrar que N y N'' coinciden, b) Demostrar que todas las líneas MN pasan por un punto fijo S independiente de la posición de M, c) Encuentre el lugar geométrico que genera el punto medio de PQ cuando M se mueve de A a B. 23. Sean a, b y c los lados de un triángulo y sea T su área. Demostrar que: 24. Considere un triángulo isósceles. Sea r el radio del círculo circunscrito y p el radio del círculo inscrito. Probar que la distancia d entre los centros es igual a 25. a) Encontrar todos los enteros positivos n para los que Probar que no hay ninguna n entera y positiva para la cual es divisible por 7. b) es divisible por 7.