Esbozo Histórico de las Matemáticas Dr. R. Mansilla CEIICH, UNAM Toda ciencia tiene de verdadera lo que de Matemáticas hay en ella. E. Kant, Crítica a la razón pura. Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell La Matemática es la ciencia que tiene por objeto de estudio las relaciones cuantitativas y espacio-temporales de la realidad objetiva. F. Engels, Dialéctica de la Naturaleza Orígenes del conocimiento matemático Resolución de ecuaciones Problemas geométricos Conocimiento algebraico Alrededor del año 1790 A.C. durante el reinado de Hammurabi la contabilidad del imperio alcanzó un elevado grado de sofisticación. Así mismo algunos de sus matemáticos llegaron a resolver ecuaciones cuadráticas. Conocimiento geométrico Alrededor del año 2500 A.C. existía un cuerpo de reglas prácticas relacionadas con la agrimensura y la construcción de pirámides que constituyen la base de todo el conocimiento geométrico abstracto posterior. El origen de la palabra ALGEBRA Abu Ja’far Muḥammad ibn Musa al-Khwarizmi cuyo nombre quiere decir “ padre de Jafar, Mohamed, hijo de Musa el khwarismio”. Khwarismia era un antiguo estado situado en la actual Uzbekistan. Al-Khwarizmi nació allí entre el 783 y el 850 D.C. Su obra principal “Kitab al-jabr wa'l muqabala” que en chii antíguo quiere decir “Manual de cálculos por completamiento y reducción” es el origen de la actual palabra algebra. x 10 x 39 2 Que en la traducción hecha por Diofanto se lee: Un cuadrado y diez raíces de la misma cantidad se igualan a treinta y nueve dirhems. Tales de Mileto (639-547 A.C.) Nació en Mileto, en la actual provincia turca de Aydin. Tal vez su contribución más importante fue haber insistido en la necesidad de demostrar los resultados propuestos. Sus teoremas relativos a las proporciones entre los lados de un triangulo son esenciales para la construcción de las funciones trigonométricas. Se le atribuye haber medido la altura de una pirámide a partir de su sombra. Era además un hábil comerciante. Pitágoras de Samos (582-507 A.C.) Junto a sus seguidores creo una escuela de pensamiento con matices esotéricos en la cual se sostenía que la explicación de todos los fenómenos estaba en los números. Comprobaron con profunda consternación que 2 no era un racional. Este hecho supuso un retorno del estilo de razonar desde el algebra hacia la geometría. El padre de la geometría Euclides de Alejandría vivió alrededor del año 300 A.C. Es considerado el padre de la geometría. Su obra magna “Los Elementos” contiene los resultados básicos de la geometría plana. Contiene algunos capítulos sobre teoría de números donde puede encontrarse la demostración de que existen infinitos números primos. Introdujo una sistematización de las ideas geométricas a partir del método axiomático. Axiomas de la Geometría de Euclides 1.-Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta. 2.-Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente. 3.-Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia. 4.-Todos los ángulos rectos son iguales. 5.-Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado. 5’.- Por un punto exterior a una recta es posible trazar solo una recta paralela a la primera. El quinto axioma siempre fue “problemático” Primera situación de imposibilidad. ¿En realidad qué es el método axiomático? Es un cuerpo de resultados donde la demostración de la validez o falsedad de cualquier proposición se obtiene por medio de reglas lógicas a partir de un grupo de axiomas y de otras proposiciones previamente demostradas. Relación entre problemas geométricos y algebraicos antes de R. Descartes. Omar Khayyam (1048-1131) fue un matemático persa que relacionó los problemas geométricos con los planteamientos algebraicos. Dibujar un triangulo rectángulo. Construir la perpendicular desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Si la longitud de esta perpendicular más la longitud del lado más corto de triangulo es igual a la longitud de la hipotenusa, entonces el cociente entre el lado más corto del triangulo y el siguiente más corto satisface la ecuación: 2x 2x 2x 1 3 2 Khayyam encontró una buena aproximación para la solución: x 103 159 Niccolo Fontana (Tartaglia) (1500-1557) Su sobrenombre se debe a su tartamudez provocada por una herida que le produjo un soldado francés del ejercito de Luis XII en la toma de su ciudad natal Brescia. En lo que respecta a la fórmula para obtener las soluciones de las ecuaciones de tercer grado tuvo una disputa similar a la desarrollada por Newton y Leibnitz. Scipione del Ferro era un notable matemático italiano que le pidió a Tartaglia le enseñase la solución de cierto tipo especial de ecuaciones de tercer grado. Tartaglia lo hizo bajo la promesa de que su colega del Ferro no la haría publica. A la muerte de este último, Antonio del Fiore, un discípulo de Scipione se hizo de la fórmula reclamando para él su descubrimiento. La disputa se dirimió por medio de un concurso, en el cual cada contendiente debía de resolver 30 ecuaciones resueltas por el otro. Los historiadores afirman que Tartaglia en un esfuerzo excepcional, encontró la solución general el día antes del duelo, venciendo a Del Ferro 30-0. Mario Livio, “The equation that couldn’t be solved”, Simon & Schuster, 2005. Girolamo Cardano (1501-1576) Como muchos hombres del Renacimiento tenía intereses muy amplios. Fue médico, matemático, astrologo, jugador exitoso e inventor. Publicó 130 trabajos, dejo 111 libros sin imprimir y se conoce que además desechó otros 170 por considerarlos poco satisfactorios. Uno de sus libros más famosos es Liber ludo alae, sin duda el primer tratado de la teoría de las probabilidades, donde por primera vez se habla de una caminata aleatoria. En su obra Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus aparece por primera vez la solución de las ecuaciones de tercera y cuarto grado en general: ax 3 bx 2 cx d 0 ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 Cardano dejó abierto el camino para los trabajos de N. H. Abel y E. Galois casi 300 años después. Leonardo de Pisa o Fibonacci (1170-1250). Su verdadero apellido era Bonacci (el fi es referido a hijo. Era primogénito de un comerciante radicado en la ciudad de Pisa que recorrió todo el norte de África en función de sus negocios. Allí Leonardo que le acompañaba entró en contacto con las matemáticas árabes. Alrededor del año 1200 publicó su libro más conocido Liber Abacci. En el mismo aparece por primera vez la famosa sucesión que lleva su nombre: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,..... Solo casos particulares Liber Abacci fue durante más de 300 años el libro más reconocido de Matemáticas. En sus páginas se pueden encontrar problemas de interés para los comerciantes (cálculo de tasas de interés, por ejemplo), así como problemas de índole más teórica como la solución de la siguiente ecuación: x 2 x 10 x 20 3 2 De la cual Fibonacci encontró la solución x=1.3688081078213726 ¿Qué tienen de especial las ecuaciones de quinto grado? E. Galois (1811-1832) N. H. Abel (1802-1829) Los trabajos de Galois y Abel establecieron una base rigurosa para la formulación de las simetrías, tan frecuentes en la naturaleza. De paso resolvió algunos viejos problemas geométricos planteados en la Antigua Grecia y que aún no habían sido resueltos. Fundación del Cálculo Issac Newton (1642-1726) G. W. Leibniz (1646-1716) El cálculo diferencial e integral es sin duda la contribución intelectual más importante hecha por nuestra civilización para la comprensión de los procesos naturales. Por primera vez en la historia el concepto de movimiento entra a las ciencias de manera rigurosa. La extensión que hicieron Newton y Leibniz del proceso de exhausión de Arquímedes abrió nuevas sendas en la comprensión de muchos fenómenos naturales. Pierre Simón Laplace (1749-1827) Nació en Normandía y estudió en la Universidad de Caen donde dos de sus profesores de matemáticas (Christophe Gadbled and Pierre Le Canu) lo recomendaron al notable matemático de la época J. D’Alembert. Este último fue su mentor varios años y le propuso como profesor para la ya famosa École Militaire de París. Allí, uno de sus más aventajados alumnos fue Napoleón (¡!). Laplace desarrolló la Mecánica de Newton publicando su notable obra Méchanique Céleste. Estudio el problema de la estabilidad de sistema solar, investigación que influyó notablemente en varios aspectos de la futura teoría de los sistemas dinámicos. Publicó en 1812 su Théorie analytique des probabilités y en 1814 apareció una versión de divulgación científica de esta obra titulada Essai philosophique sur la théorie des probabilités. En esta última obra aparece su famosa frase acerca del determinismo. Consecuencias del éxito de la Mecánica de Newton El determinismo laplaciano se extiende a todas las áreas del conocimiento. Debemos considerar - decía Laplace- el estado presente del Universo como el efecto del estado anterior y como la causa del estado que le siga. Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza en un instante dado y las posiciones momentáneas de todas las cosas del universo, sería capaz de abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes y de los átomos más livianos del mundo, siempre que su intelecto fuera suficientemente poderoso como para someter a análisis todos los datos; para ella nada sería incierto, y tanto el futuro como el pasado estarían presentes a sus ojos. Laplace influyó sobre A. Quetelet en sus ideas de la creación de una Física para las Ciencias Sociales. L'homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique sociale, 1835. El descubrimiento de J. Adams y U. Leverrier del planeta Neptuno en 1845. L. Walras intenta utilizar modelos provenientes de la Mecánica para entender fenómenos económicos (equilibrios económicos v.s. equilibrios físicos, 1870-1892). Este paradigma se rompe al menos en tres direcciones distintas Poincaré fue un influyente matemático francés y uno de los fundadores de la teoría de los sistemas dinámicos. Su trabajo sobre el problema de los tres cuerpos le permitió comprender la existencia de sistemas dinámicos caóticos, lo cual lo puso casi 60 años antes de las investigaciones sobre ese tema. Fue un matemático polifacético obteniendo resultados muy notables en cualquier área donde trabajo. H. Poincaré (1854-1912) http://faculty.ifmo.ru/butikov/Projects/Collection1.html Hilbert es el matemático más influyente de la segunda mitad del siglo XIX y la primera mitad del siglo XX. En el Congreso Internacional de matemáticas que se celebro en París en 1900 propuso un grupo de 23 problemas cuya solución sería esencial para la matemática del siglo que comenzaba. El segundo de esos problemas era: “Demostrar que los axiomas de la aritmética son consistentes” Como veremos más adelante, este problema influyó mucho en la pretensión de encontrar una axiomatización completa de la matemática, de la cual Hilbert mismo era un entusiasta y muy comprometido proponente. De los problemas originales de Hilbert fue resuelto hace unos David Hilbert (1862-1943) pocos años la llamada conjetura de Poincaré por el matemático ruso M. Perelmann. Queda aún por resolver lo que se conoce como la conjetura de Riemann, por la cual se ofrece en la actualidad 1 millón de dólares por su solución. Kurt Godel (1906-1978) Todo sistema lógico formal que contenga la aritmética de los números enteros, si es consistente, esto es, si no existen resultados contradictorios dentro de él, entonces tiene una proposición indecidible. Creador de concepto de máquina de Turing 1937 Rompió el código Enigma de los nazis Extendió los resultados de Godel Pionero en la construcción de computadoras Alan M. Turing (1912-1954) El proceso de demostración matemática puede ser interpretado como la ejecución de un algoritmo. Por tanto probar una proposición es equivalente a echar a nadar el programa de su demostración. Se impone pues la siguiente pregunta: ¿Cuándo se detiene un programa de computadora? Representación de una Máquina de Turing El problema de decidir cuando un programa de computadora se detendrá es indecidible en el sentido de Godel. http://web.bvu.edu/faculty/schweller/Turing/Turing.html : G. Chaitin (1947-) Probabilidad de que un programa de computadora corriendo sobre una máquina universal de Turing se detenga. ¡ Los dígitos de son indecidibles ! La Matemática no puede ser una TOE (theory of everything) Mecánica Cuántica W. Heisenberg (1901-1976) El principio de incertidumbre de Heisenberg es la segunda de las formas en que se rompe la idea original del determinismo y del alcance ilimitado de las teorías físicas anteriores. ¡ Dios no juega a los dados ! A. Einstein (1879-1955) E. N. Lorenz (1917-2008) El trabajo de Lorenz hizo renacer las ideas de Poincare acerca de la falta de predictibilidad en sistemas deterministas. ¿ Cómo se mide la complejidad ? K ( c ) min A. N. Kolmogorov (1903-1987) long ( ) , c T ( ) El concepto de complejidad de Kolmogorov está relacionado con la dificultad en la descripción del objeto