Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Sistemas de Procesamiento Analógico Bioing. Juan Manuel Reta Sistemas de Adquisición y Procesamiento Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Sistemas El primer paso de un diseño: Concepto Aproximar las características requeridas con especificaciones realizables físicamente. La síntesis del sistema es la determinación de una estructura realizable que cumpla con las epecificaciones de diseño. Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Contenidos Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Redes Escalera Funciones de Transferencia RC Redes Escalera Funciones de Transferencia LC Funciones de Transferencia RLC Métodos de Darlington Método de Darlington Bibliografia Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Consideraciones Generales Consideremos la siguiente situación: ¿Cómo definimos G (s)? Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Consideraciones Generales G (s) = Vo (s) Vi (s) Io =0 m P A (s) i=0 G (s) = = n P B (s) i=0 ai si bi si Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Consideraciones Generales Matemáticamente podemos caracterizar a G (s) a partir de: m P G (s) = i=0 n P ai si bi si impar z }| { = M (s) + N (s) | {z } par i=0 Restringiendo el Dominio de G (s): M (jω) = < {G (jω)} = R (ω) N (jω) = j · = {G (jω)} = j · X (ω) G (jω) = R (ω) + j · X (ω) Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Funciones Magnitud y Fase Consideremos la siguiente situación: ¿Cómo defino G (s) ? ¿Podemos definir G (s) de manera que tenga |G (jω)| y bG (jω) arbitrarias? Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Transformada de Hilbert Sea G (s) una función analítica en el semi-plano cerrado derecho incluyendo el eje imaginario del plano s y: G (jω) = R (ω) + j · X (ω) Si l«ımω→∞ = R (∞) = cte real finita, entonces R (ω) y X (ω) están relacionadas por: Z 1 ∞ R (ζ) dζ X (ω) = − π −∞ ω − ζ Z 1 ∞ X (ζ) R (ω) = dζ + R (∞) π −∞ ω − ζ Esta relación se la conoce como Transformada Hilbert → H { } Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Transformada de Hilbert Por lo general contamos con la función magnitud de un filtro. G (jω) = e−[α(ω)+jφ(ω)] De esta forma, podemos escribir: γ (ω) = − ln (G (jω)) γ (ω) = [α (ω) + jφ (ω)] Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Funciones Magnitud y Fase Magnitud G (jω) = e−α(ω) e−jφ(ω) = e−[α(ω)+jφ(ω)] z }| { α (ω) , ln |G (jω)| φ (ω) , arg [G (jω)] | {z } Fase Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Transformada de Hilbert T. de Hilbert Z 1 ∞ α (ζ) dζ π −∞ ω − ζ Z 1 ∞ φ (ζ) dζ α (ω) = π −∞ ω − ζ φ (ω) = − Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Transformada de Hilbert Para aplicar la Transformada de Hilbert a las funciones fase y magnitud, se requiere que γ (s) sea analítica en el semiplano cerrado derecho, también γ (s). Esta condición implica que no solo G (s) debe ser analítica en 1 también debe serlo. es decir que esta región sino que G(s) G (s) no debe tener ni polos ni ceros en el semiplano cerrado derecho. Para que γ (s) cumpla con las condiciones, G (s) debe ser de fase mínima. De esta forma la Trasnformada de Hilbert permite obtener la función de transferencia a partir de la función magnitud (o a partir de la función de fase). Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Consideraciones Generales ¿Cómo definimos G (s) ? Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Una de las estructuras de sistemas pasivos más empleada es la RED ESCALERA. Si cada elemento de la red es una resistencia o un capacitor se la llama RED ESCALERA RC. Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Cero de Transmisión Un concepto asociado a las redes escaleras es el de Ceros de Transmisión (CT). Sk es un CT de H (s) si: H (s) |s=sk = 0 Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Una de las estructuras de sistemas pasivos más empleada es la RED ESCALERA. Si cada elemento de la red es una resistencia o un capacitor se la llama RED ESCALERA RC. Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Cero de Transmisión Un concepto asociado a las redes escaleras es el de Ceros de Transmisión (CT). Sk es un CT de H (s) si: H (s) |s=sk = 0 Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Redes Escalera RC Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera Consideraciones Generales Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Redes Escalera LC Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Consideraciones Generales Proponiendo: k +a Obtenemos una implementación mediante una red escalera LC. H (s) = s2 H (s)LC = 1 LC s2 + 1 LC Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Métodos de Darlington Consideraciones Generales A partir de esto podemos platear tres situaciones: Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Métodos de Darlington Consideraciones Generales H (s)LC = H (s)RLC = s2 + 1 LC L RL 1 LC s2 + 1 LC 1 LC + Rs C s + 1 LC Rs RL +1 Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Métodos de Darlington Consideraciones Generales H (s)LC = 1 LC s2 + 1 LC Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Métodos de Darlington Consideraciones Generales H (s)RLC = s2 + 1 LC L RL + 1 LC Rs C s+ 1 LC Rs RL +1 Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Método de Darlington Darlington Caso Rs = 1; RL = ∞ H (s) = Z21 Rs + Z11 H (s) = n21 (s) d21 (s) (s) + nd11 11 (s) 1 H (s) = A (s) M1 (s) = B (s) M2 (s) + N2 (s) ó H (s) = A (s) N1 (s) = B (s) M2 (s) + N2 (s) Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Método de Darlington Darlington Caso Rs = 1; RL = ∞ H (s) = s2 Z11 (s) = 1 +s+1 s2 + 1 s Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Método de Darlington Darlington Caso Rs = 0; RL = 1 H (s) = −Y21 + Y22 1 RL (s) − nd21 21 (s) H (s) = 1+ H (s) = n22 (s) d22 (s) A (s) M1 (s) = B (s) M2 (s) + N2 (s) ó H (s) = A (s) N1 (s) = B (s) M2 (s) + N2 (s) Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Método de Darlington Darlington Caso Rs = 0; RL = 1 H (s) = s2 Y22 (s) = 1 +s+1 s2 + 1 s Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Método de Darlington Consideraciones Generales Procesamiento Analógico Transformada de Hilbert Funciones de Transf. Funciones de Transferencia RC Funciones de Transfere Bilbliografía