Teoría de las mediciones

Introducción
Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores reales de las magnitudes a medir, sino
que, en mayor o menor extensión, son defectuosos, es decir, tienen un incerteza, un error. Estas desviaciones
pueden ser provocadas por el observador, el instrumento de medición o incluso por las propias características
del proceso de medida. Otros factores que pueden producir tales desviaciones son las condiciones del
laboratorio: presión, temperatura, etc.
Al hacer una medición obtenemos un valor representativo o valor mas probable ( x ). A este resultado se le
asocia un valor o índice complementario que indica la calidad de la medida o su grado de precisión. Los
errores o imprecisiones en los resultados se expresan matemáticamente bajo dos formas que se denominan:
• Error absoluto ( ðx ): intervalo que representa la diferencia entre el valor representativo y el
verdadero valor de la magnitud a medir.
• Error relativo ( ðx ):es el cociente entre el error absoluto ðx y el valor representativo x. Esto nos
indica cuán significativa es la incerteza (valor absoluto) frente al valor representativo que se ha
medido.
Este trabajo nos lleva a estudiar y aprender más sobre lo que se denomina "Teoría de la medida".
Estudiaremos distintas formas de medir el volumen de un objeto utilizando diferentes métodos de medición.
En la experiencia tomaremos las medidas de un cilindro macizo que son necesarias para calcular el volumen
de dicho objeto. Para medir utilizaremos un calibre, una regla milimetrada, una probeta graduada y una
balanza electrónica. Al tomar dichas medidas tendremos incertezas, por este motivo al calcular el volumen,
tendremos que arrastrar el error. Esto significa que para llegar a un valor más aproximado (valor más
probable) debemos tener en cuenta los errores que se cometen al tomar las medidas que necesitamos para
calcular el volumen del cuerpo. El trabajo consistió en probar que no es posible obtener siempre una misma
medida exacta, como luego se vera en las tablas de valores que presentaremos.
Procedimiento experimental
Realizaremos el calculo del volumen de un objeto cilíndrico macizo de bronce mediante tres métodos. Antes
de comenzar con la descripción de los métodos utilizados vale aclarar que el objeto cilíndrico tiene un orificio,
cuyo volumen no es despreciable, por lo cual lo debemos tenerlo en cuenta para calcular el volumen en los
dos primeros casos. Y también que no es realmente un cilindro geométrico; sólo se aproxima a uno.
El primer método consiste en medir la altura (h) y el diámetro (d) con un calibre (N° 3098D) como
instrumento de medición y calcular el volumen del cuerpo. Luego medir la profundidad del orificio (p) y su
diámetro (d´), y calcular el volumen del orificio. Y finalmente restarle este último al primero y así obtener el
volumen total.
El segundo método consiste en realizar las mismas medidas con una regla milimetrada. Pero ya que era
imposible medir el orificio utilizando la regla, utilizamos las medidas obtenidas con el calibre en el primer
método. Y por último hicimos lo mismo que en el caso anterior; restando ambos resultados obtenemos en
volumen total.
Y el tercero consiste en obtener el volumen mediante la diferencia de volúmenes utilizando una probeta
graduada. Introduciremos el objeto en una probeta con un volumen inicial (Vi) de un liquido y esto nos dará
un volumen final (Vf). Calculando la diferencia entre los dos valores obtenidos nos dará el volumen del objeto
1
(Principio de Arquímedes).
En todos los casos calcularemos la densidad () del cilindro. Para esto necesitamos el valor de la masa (M) del
cilindro que mediremos utilizando una balanza electrónica. Los supuestos que definimos antes de pesar el
cilindro fueron: que la balanza estaba en buen estado y la balanza estaba bien calibrada. La balanza mide con
una incerteza = 0.1 gr. Esta será la incerteza absoluta que usaremos en la medición.
En los dos primeros métodos utilizaremos para calcular el volumen, a pesar de que no es un cilindro
geométrico, la expresión:
Y como el radio es el diámetro sobre 2
recordando que al tomar medidas estaremos cometiendo un error ðv, que arrastraremos y tendremos en cuenta
para obtener el valor mas aproximado al que estamos buscando. De esta manera, el volumen del cuerpo será
un intervalo de valores. En el Apéndice añadimos un resumen de la Teoría de Errores a modo de explicación
para el lector.
El volumen que se obtenga tendrá sus respectivas incertezas experimentales:
donde ðð ,ðh, ðD y ðV son las incertezas o valores relativos de ð , de la altura, del diámetro y del volumen,
respectivamente.
El error de lo vamos a despreciar ya que es de mucho menor orden que el de h y d. Utilizaremos el siguiente
criterio, diremos que
3
3,1
3,14
3,141
1
0,1
0,01
0,001
0,3
0,03
0,003
0,0003
Despejando algebraicamente nos queda
En el caso del error asociado al calculo de la densidad
Despejando
A continuación detallaremos los resultados obtenidos.
Resultados
• Primer Método: cálculo de volumen utilizando el calibre como instrumento de medición.
Nº de
mediciones
1
h (mm)
d (mm)
42.25
28.1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio
42.3
42.4
42.3
42.25
42.25
42.3
42.2
42.25
42.3
42.28
28
28.05
28.05
28
28.05
28.1
28
28
28.05
28.04
Tabla 1
Elegimos el valor representativo de h y d , h0 y d0 respectivamente, haciendo un promedio de los valores
medidos. El mismo procedimiento lo vamos a repetir para calcular los valores representativos de ahora en
adelante.
En el caso de la altura tomamos la incerteza absoluta como 0,1 mm porque los mediciones iban de 42,2 mm a
42,4mm y la incerteza del calibre, de 0,05mm, no contemplaba estos valores. Lo mismo hicimos con la
incerteza asociada al diámetro.
• Volumen del CiliNdro con la perforación
Para hacer el cálculo acotamos a = 3,141 porque así su error es despreciable frente al resto y porque las
demás cifras que nos da la calculadora son meros redondeos de la misma.
Propagación de Errores
• Volumen de la perforación
Nº de
Mediciones
1
2
3
4
5
6
7
8
d´ (mm)
p (mm)
4.3
4.25
4.25
4.3
4.25
4.3
4.3
4.3
4.28
17.5
17.6
17.6
17.55
17.6
17.5
17.5
17.55
17.55
Tabla 2
Propagación de Errores
• VOLUMEN TOTAL
Propagación de Errores
Pero voy a despreciar al segundo ya que es de menor orden del primero. Se puede decir que
3
Entonces nos queda que
• Medicion de la masa
El valor obtenido es:
M = 219.8 gr.
• CALCULO DE LA DENSIDAD
PROPAGACION DE ERRORES
ðððð g/ cm3 ð ð 8.56 g/ cm3
• Segundo Método: cálculo de volumen utilizando la regla milimetrada como instrumento de
medición.
Nº de
mediciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
h (mm)
d (mm)
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
28
27
27.5
28
27.5
28
27.5
28
28
28
27.75
Tabla 3
Los valores representativos los elegimos igual que en el método anterior. La incertidumbre absoluta en ambos
casos la tomamos como la incertidumbre del instrumento que es de 0,5 mm.
• Volumen del CiliNdro con la perforación
PROPAGACION DE ERRORES
• Volumen de la perforación
Utilizamos el volumen obtenido en el método anterior por razones ya explicadas.
• VOLUMEN TOTAL
Propagación de Errores
Pero voy a despreciar al segundo ya que es de menor orden del primero. Se puede decir que
Entonces nos queda que
4
• Medicion de la masa
El valor obtenido es:
M = 219.8 gr.
• CALCULO DE LA DENSIDAD
PROPAGACION DE ERRORES
8.31 g/ cm3 ð ð 17.64 g/ cm3
• Tercer caso: cálculo de volumen utilizando una probeta como instrumento de medición.
Nº de
Mediciones
1
2
3
4
5
Promedio
Vi (cm3)
Vf (cm3)
128
148
154
104
138
134,4
152
174
180
130
162
159,6
Tabla 4
• VOLUMEN DEL CILINDRO
PROPAGACION DE ERRORES
• Medicion de la masa
El valor obtenido es:
M = 219.8 gr.
• CALCULO DE LA DENSIDAD
PROPAGACION DE ERRORES
7.33 g/ cm3 ð ð 10.11 g/ cm3
Gráficos comparativos de los resultados obtenidos para la densidad con los valores de tabla de los
manuales de la HUTTE.
Como claramente podemos apreciar en los gráficos, el valor de la densidad calculado con el calibre (color
naranja) es mucho más preciso que el calculado con la regla milimetrada (color verde), que a su vez es más
preciso que el calculado con la probeta graduada (color celeste). Esto se debe a la diferencia de apreciación en
las escalas de cada instrumento.
Al comparar los valores obtenidos con los correspondientes valores que aparecen en los manuales de Hutte,
podemos observar la gran precisión del calibre y la no tan buena pero aceptable precisión de la regla. En
cambio la probeta excede ampliamente los límites.
5
Estas diferencias nos demuestran lo importante que es usar instrumentos de alta precisión al tomar medidas,
con el objetivo de intentar acotar el error en un mínimo valor posible.
Análisis de resultados y conclusiones
Los resultados obtenidos de la medición del cilindro varían según el instrumento utilizado. Esto explica que
en los tres métodos la densidad nos dio valores distintos.
La incertidumbre absoluta también varia significativamente según el instrumento con el que se mide. Como en
el caso del calibre que tiene el error menos significativo y resulto ser el más preciso de los tres métodos.
También que si se quiere obtener una buena medición, hay que realizarla varias veces para obtener un valor
mas cercano el verdadero, aunque nunca llegaríamos a obtener el valor exacto porque este no existe. Otra
forma de acercarnos más al valor verdadero es seleccionar el instrumento de medición acorde con las
necesidades del experimento y el que provoque la menor incertidumbre.
Apéndice
• Teoría de Errores
El resultado de una medición siempre es un intervalo de números, ya que no podemos realizar mediciones
exactas. Siempre va a haber un error debido a diferentes causas como la rugosidad del objeto medido o la
apreciación del observador.
Para propósitos de descripción y cálculos, expresaremos ese intervalo de la siguiente manera:
X =X0 ± ðX
donde X0 es el valor representativo y ðX es la incertidumbre absoluta.
Hay otro tipo de incertidumbre llamada relativa que con frecuencia se cita como porcentaje, aunque no tiene
dimensiones o unidades. Esta nos da una idea de la calidad de la lectura.
Las incertidumbres que provienen de las herramientas utilizadas varían de acuerdo a la escala del aparato esta
dentro de los errores sistemáticos que tienen que ver a agentes externos al objeto medido. Por ejemplo el
calibre, que tiene una escala mucho mas pequeña que la regla por lo que el error también será mas pequeño.
Al realizar operaciones algebraicas es obvio que la presencia de incertidumbres en las mediciones originales
traerá consigo la presencia de una incertidumbre en el valor final calculado.
Para calcularlo siempre debemos ponernos en el peor de los casos sumando los módulos de los errores de las
primeras mediciones.
Casi siempre el resultado que deseamos es una combinación de cantidades medidas. Es obvio que la presencia
de incertidumbre en la medición original traerá consigo la presencia de incertidumbre en el valor final
calculado.
Para calcular la incertidumbre en una función de una sola variable podemos obtener el valor ðX usando las
técnicas normales para resolver
dz / dx = d f(x)/ dx
6
Para las funciones de dos o mas variables, la incertidumbre puede verse de dos maneras diferentes. Vamos a
calcular el valor de ðZ que representa el mas amplio margen de posibilidad para Z. Este enfoque si bien es
pesimista, ciertamente es seguro.
• SUMA: Z = X + Y Zo = Xo + Yo ðZ = ðX + ðY
ðr (Z)= (ðX +ðY) /(X + Y)
• DIFERENCIA: Z = X−Y Zo = Xo − Yo ðZ = ðX + ðY
• PRODUCTO: Z = X . Y Zo = Xo .Yo ðZ = Y .ðX + X.ðY
ðr (Z)= ðX / X + ðY /Y
• COCIENTE: Se pueden tratar como productos en los cuales algunas de las potencias son negativas.
Igual que antes el valor máximo de ðZ se obtendrá despreciando los signos negativos de la diferencial
y combinando todos los términos en forma aditiva.
• FUNCIONES CON COMPONENTES ELEVADAS A DISTINTAS POTENCIAS:
Z=Xa.Yb
Para esto se aplica el logaritmo en ambos lados ð log Z = a log X + b log Y ð
dZ/Z = dX/X + dY/Y ðr (Z)= a .ðX /X + b .ðY /Y
Para el caso de una función distinta a las anteriores funciona por lo general alguna forma de diferenciación. Es
conveniente diferenciar una ecuación en forma implícita. Para esto es importante asegurarse de usar los signos
adecuados para todas las contribuciones a la incertidumbre. Se suman para dar los limites extremos de
posibilidad del resultado.
7
8
9
10
11