α α α α ω ω ω

MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50‘
⎛x⎞
⎛x⎞
⎛x⎞
1. Deducir a partir de las siguientes ecuaciones y = αch⎜ ⎟, ch 2 ⎜ ⎟ − sh 2 ⎜ ⎟ = 1
⎝α ⎠
⎝α ⎠
⎝α ⎠
las expresiones de la longitud y la tensión de la catenaria (2 puntos).
2. En un sólido con movimiento plano de velocidad angular constante 5 rad/s, el centro
instantáneo de rotación tiene una aceleración cuyo módulo vale 20 m/s2. ¿Cuánto
valdrá el módulo de dicha aceleración si el sólido se mueve con velocidad angular
de 5 rad/s y aceleración angular de 2 rad/s2 , si el centro instantáneo de rotación es el
mismo? (1 punto).
3. Definir componente de pivotamiento y
Z
rodadura de la velocidad angular
45º
relativa entre dos sólidos. Calcularlas
C
en el ejemplo siguiente para el contacto
sin deslizamiento entre los sólidos 1 y
2 de velocidad angular absoluta,
→
→
→
→
1
2
X
Y
→
Ω 1 = ω k y Ω 2 = ω i + 2ω k
(2 puntos).
4. Calcular
gráficamente
absoluta de M (1 punto).
la
velocidad
V
A
45º
Y
L/2
M
L/2
B
X
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50‘
5. En las siguientes figuras calcular el
Mg
Mg
30º
valor de la fuerza de rozamiento
f=1/2
indicando si existe equilibrio o no.
f=1/2
(1 punto)
6. Calcular el diagrama de esfuerzos
cortantes y momentos flectores en la
viga de la figura (2 puntos).
q
L/3
L/3
L/3
7. ¿Cuál de estas 2 celosías es isostática? Demostrarlo (1 punto).
A
A
B
B
O
O
C
C
F
E
D
F
E
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 40‘
La guía DE se traslada hacia arriba con velocidad constante V. Sobre ella rueda
sin deslizar un disco de centro C y radio R cuyo centro está articulado a la barra AC, de
longitud 3R, siendo A fijo.
Calcular la base o curva polar fija del movimiento del disco en función del
parámetro ϕ.
Y
A
X
3R
ϕ
C
R
D
E
6R
B
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
TERCER EJERCICIO TIEMPO: 40‘
Un disco de radio R rueda sin deslizar sobre un suelo plano y la velocidad de su
centro O es V constante. Una barra AB de longitud 4R está articulada al disco en A y su
extremo B recorre el suelo. En B está articulada otra barra BC en cuyo extremo C se
articula la barra CD que puede girar alrededor del extremo D fijo. La longitud de la
barra CD es 2R.
Determinar en la posición que se muestra en la figura:
1. Velocidad angular de la barra CD. (3 puntos)
2. Aceleración angular de la barra CD. (7 puntos)
A
C
V
O
4 3
R
3
4R
90º
R
60º
30º
B
2R
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
El bloque rectangular de la figura tiene una masa de 5M y dos ruedas de radio R
articuladas en los vértices A y B. La rueda 1 tiene una masa M y un par aplicado de
valor P = 2 MgR en el sentido indicado en la figura. La rueda 2 tiene una masa
despreciable. El conjunto está situado sobre una rampa de 45º de inclinación.
Para que el conjunto se encuentre en equilibrio estricto, ¿qué valor mínimo del
coeficiente de fricción es preciso, y con qué tensión hay que tirar del cable anclado en C
al bloque?
T
P
C
4R
A M
1
5Mg
3
2R
B
45º
2
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-06-99.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45‘
Un cable de masa despreciable está suspendido entre el punto fijo A y una anilla
sin masa B que puede deslizar sin rozamiento a lo largo de la barra horizontal MN.
La tensión del cable AB en el punto B forma 45º con la horizontal y la carga que
soporta es de forma triangular continua por unidad de abscisa, de valor nulo en A y de
valor 10 N/m en B.
Otro cable pesado BCD de 37 m de longitud y 10 N/m de peso por unidad de
longitud está amarrado a la anilla B y pasa por una polea C de radio despreciable, de
modo que el tramo vertical CD mide 13 m.
Sabiendo que los puntos A, B y C están situados a la misma altura, calcular:
1. Tensión en el punto C del cable BCD. (1 punto)
2. Fuerza de enlace de la polea C sobre el cable. (3 puntos)
3. Distancia entre los puntos A y B. (3 puntos)
4. Ecuación de la curva del cable AB, expresada en los ejes de la figura. (3 puntos)
y
B
A
x
M
C
N
10 N/m
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 7-06-99.
SOLUCIONES
2.-
1.
R
⎧
⎪ X 1 = −3 R cos ϕ −
tg ϕ
⎨
⎪Y = − R − 3 R sen ϕ
⎩ 1
3.-
1.
Ω CD =
2.
α CD = −
1.
f=
2.
T = 2 2Mg
1.
TC = 50 ⋅ i + 120 ⋅ j
2.
C = 50 ⋅ i + 250 ⋅ j
3.
AB = 15 m
4.
x3
x
y=
−
450 2
→
→
4.-
→
5.-
→
V →
⋅k
R
7 3 V2 →
⋅
⋅k
6 R2
8
13
→
→
→
→
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50’
1. En la viga de la figura calcular el
diagrama
de
esfuerzos
cortantes
qL
y q
momentos flectores (2 puntos).
L
L
L
A
2. Determinar el par necesario para que el
L/2
B
M
disco de masa M y radio R esté en
equilibrio (1 punto).
f= 1
3
30º
3. Indicar cuáles son el eje instantáneo de
rotación y deslizamiento y los axoides
fijo y móvil en el movimiento relativo
O
entre el cono 2 y el 1, si entre ambos
2
no hay deslizamiento (1 punto).
1
4. Indicar, si el disco rueda sin deslizar,
A
cuál de los siguientes movimientos
corresponde al de la barra AB y por
qué (1 punto):
a)
b)
c)
d)
Rotación instantánea.
Traslación instantánea
Rotación permanente
Traslación permanente.
V
O
R
30º
I
B
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
PRIMER EJERCICIO TIEMPO: 50’
5. Determinar mediante el principio de
los trabajos virtuales cuál tiene que ser
P
θ
el valor del par P para que el sistema,
que carece de rozamiento, se encuentre
M, L
M, L
en equilibrio cuando θ = 45º (2 puntos)
6. Comprobar si es posible que los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) de un sólido
r r r
r r r
r
r
rígido tengan las siguientes velocidades: VA = 2 i + j, VB = i − k, VC = j − 2 k (1
punto).
7. Dos sólidos S1 y S2 animados de movimiento plano tienen las siguientes velocidades
r r
r
r
angulares: ω1 = 3tk, ω 2 = (3t 2 + 1)k , respectivamente. Calcular la aceleración
angular relativa del sólido S2 respecto al S1. (2 puntos)
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
SEGUNDO EJERCICIO TIEMPO: 50’
El sistema de la figura consta de: un cono 1 de semiángulo en el vértice de 30º gira a
velocidad angular 3ω constante alrededor de un eje fijo; un tronco de cono 2 de eje
vertical fijo y semiángulo 60º que en el contacto con el cono 1 no tiene deslizamiento; y
un cilindro interior fijo de radio R.
Si entre el tronco de cono 2, el cilindro interior, y el suelo se sitúa una esfera de radio R
no existiendo deslizamiento en los puntos de contacto A, B, y D.
Calcular:
1. Velocidad angular del sólido 2. (1 punto)
2. Velocidad angular y eje instantáneo de rotación de la esfera. (3 puntos)
3. Aceleración angular del sólido 2 y de la esfera. (3 puntos)
4. Aceleración del centro de la esfera. (1 punto)
5. Aceleración del punto A de la esfera. (2 puntos)
1
Z
3ω
O
30º
1
A
3
C
B
X
R
3R
D
2
Y
4 3R
E
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
TERCERO EJERCICIO TIEMPO: 35’
Un disco de radio R asciende con velocidad angular constante ω por un plano inclinado
π que forma 45º con la horizontal. No hay deslizamiento entre plano y disco.
En el punto B del disco se encuentra articulada una barra de longitud 2R 2 cuyo otro
extremo recorre el plano π mediante una deslizadera en el punto A. En el instante en
que la barra AB forma 45º con π, se pide:
1. Velocidad angular de la barra AB (2 puntos).
2. Velocidad de la deslizadera en A (1 punto)
3. Aceleración angular de la barra AB (3 puntos)
4. Aceleración de la deslizadera en A (2 puntos)
5. Polo de aceleraciones de AB (2 puntos).
ω
B
A
45º
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
CUARTO EJERCICIO TIEMPO: 45’
Dos barras iguales AB y CD de masa M y longitud L están articuladas a los
puntos fijos A y D respectivamente, el extremo C de la barra CD está en contacto con el
punto medio de la barra AB y el punto medio E de la barra CD está unido a un extremo
del resorte ideal EF de constante elástica K.
Sabiendo que en C existe rozamiento al deslizamiento de valor f y que la
longitud del resorte es L, calcular:
1. Módulo de la fuerza de rozamiento en C, en el supuesto de que K =
3Mg
1
yf= ,
L
2
para que el sistema esté en equilibrio. (4 puntos)
2. Valores mínimo y máximo de K para que el sistema esté en equilibrio, si el
coeficiente de rozamiento al deslizamiento vale f =
1
. (4 puntos)
2
3. Valor mínimo de f necesario para que el sistema esté en equilibrio si se sustituye el
resorte por un hilo. (2 puntos)
A
B
C
45º
F
E
45º
45º
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
QUINTO EJERCICIO TIEMPO: 45’
Una estructura reticular ABCDEF formada por triángulos equiláteros de lado L y
situada en un plano vertical está articulada en A a la pared y en equilibrio. En F actúa
una carga P a determinar y en D está amarrado un cable que pesa 20 N/m y pasa sobre
un punto fijo G. La tangente al cable en D es horizontal y la tangente en G forma 30º
con la horizontal. La longitud GH es de 10 metros.
Determinar el valor de los esfuerzos en las barras BD y CD, indicando si son de
tracción o compresión.
A
L
B
60º
60º
C
30º
G
D
60º
60º
E
L
F
P
H
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 03-09-99.
SOLUCIONES
→
→
2. 1. Ω 2 = − ω e 3
→
3 ⎛→ →⎞
ω⎜ e 2 − e 3 ⎟ ;
2 ⎝
⎠
→
→
2. Ω 3 =
3. α 2 = 0 ;
→
α3 =
X=0
Y + Z = 2R
9 2 →
ω e1
8
→
→
9
4. a C = − ω 2 R e 2
8
→
9 2 ⎛→ →⎞
5. a A = ω R ⎜ e 2 + e 3 ⎟
8
⎝
⎠
→
→
3. 1. Ω AB = 0
→
→ →
2. VA = ωR 2 ⎛⎜ i + j ⎞⎟
⎝
⎠
2 →
→
ω
3. α 2 = −
k
2
→
→ →
4. a A = − ω 2 R ⎛⎜ i + j ⎞⎟
⎝
⎠
X = XA + R 2
5.
Y = YA − R 2
→
→
4. 1. Fr = 0
4 Mg
2 Mg
2.
<K<
L
L
3. f = 0
5. FBD = 75 3
FCD = 75 3
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
PRIMER EJERCICIO, TIEMPO: 50’
1. Deducir la primera fórmula de Frenet. (2 puntos)
2. Deducir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. (2 puntos)
3. Deducir la longitud y la tensión de la catenaria en un punto a partir de la ecuación
⎛x⎞
de la catenaria: y = αch⎜ ⎟ . (2 puntos)
⎝α⎠
4. La barra AB de longitud L se mueve de modo que sus extremos recorren los ejes
coordenados y el punto B tiene una velocidad V constante. Calcular las
componentes tangencial y normal de la aceleración del punto medio G. (2 puntos)
A
45º
G
r
V
B
5. Si la esfera de la figura pivota sobre el suelo con velocidad angular Ω y entre la
esfera y el cilindro no existe deslizamiento. ¿Qué velocidad angular tiene el cilindro,
expresada en el sistema de referencia de la figura? ¿Cuál es la velocidad angular de
rodadura y pivotamiento en el contacto esfera- cilindro? (2 puntos)
Z
Y
X
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
SEGUNDO EJERCICIO, TIEMPO: 40’
El mecanismo de la figura consta de una barra OA de longitud R sobre un plano π que
se mueve con una velocidad angular ω constante como se indica en la figura, una barra
AB de longitud R perpendicular al plano π y eje de giro de un disco de radio R que gira
con una velocidad angular 2ω constante en el sentido que se indica en la figura.
Determinar en el instante en que ωt=45º:
1.
2.
3.
4.
La velocidad angular absoluta del disco y la velocidad absoluta de B (2 puntos).
El eje instantáneo de rotación y deslizamiento del disco (2 puntos).
Aceleración angular absoluta del disco (4 puntos).
Aceleración absoluta del punto B (2 puntos).
e
2ω
R
B
R
90º
A
R
O
ωt
π
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
TERCER EJERCICIO, TIEMPO: 45’
Las barras OA, de longitud 3R , y OC pueden girar alrededor del punto fijo O. La
barra OA lleva sólidamente unido un disco de radio R y el conjunto gira con velocidad
angular ω constante en el sentido indicado en la figura. Sobre la periferia del disco
rueda sin deslizar la barra BD con velocidad angular relativa ω constante en el sentido
indicado. El extremo B esta unido mediante una deslizadera articulada a la barra OC.
2 3
y la barra OC es horizontal:
Determinar en el instante en que OB=BE=R
3
1. Velocidad angular de la barra BD
(1 punto)
(2 puntos)
2. Velocidad angular de OC
(1 punto)
3. Velocidad del punto B relativa a OC
(3 puntos)
4. Aceleración de E relativa al disco.
(3 Puntos)
5. Aceleración del punto E de la barra BD
O
2 3
R
3
C
B
60º
2 3
R
3
30º
ω
E
90º
ω
A
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
CUARTO EJERCICIO, TIEMPO: 50’
La viga AB está articulada al nudo B de la celosía y conectada mediante una barra
biarticulada sin masa al nudo G de la misma, además está sometida a una carga
distribuida tal y como se indica en la figura.
1. Calcular los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores de la viga AB.
(3 puntos)
2. Calcular las fuerzas soportadas por las barras GH, HF, y FE de la celosía, e indicar
si trabajan a compresión o tracción. (4 puntos)
3. Calcular las fuerzas soportadas por las barras BC, y DC de la celosía, e indicar si
trabajan a compresión o tracción. (3 puntos)
2m
2m
C
2m
10N/m
A
30º
B
4m
H
D
G
4m
O
60º
30º
60º
4m
F
4m
E
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
QUINTO EJERCICIO, TIEMPO: 45’
El extremo A de la barra AB de masa M y longitud L está apoyado en una superficie
2
horizontal rugosa con coeficiente de rozamiento al deslizamiento de valor f = y el B
3
Mg
a un cable BCD de peso propio q =
que pasa por una polea C de radio
L
despreciable y tiene su extremo D atado a un punto fijo.
Sabiendo que C y D están a la misma altura, que la tangente al cable en B es horizontal
4
y que la tensión en D forma con la horizontal un ángulo ϕ tal que tg ϕ = , calcular:
3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Fuerza de rozamiento en A. (1 punto)
Tensión del cable en B. (1 punto)
Longitud del tramo de cable BC. (2 puntos)
Expresión vectorial de la tensión del cable en D. (2 puntos)
Fuerza de enlace sobre la polea C. (2 puntos)
Longitud del cable BCD. (2 puntos)
C
L
8
B
45º
A
D
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 05-06-00.
SOLUCIONES
→
2.
→
→
→
1. Ω Disco = ω e 2 + 2ω e 3
6
X= R
5
2.
2
Z − 2Y = R
5
→
→
→
V B = ωR e1 + ωR e 3
e
2ω
B
R
90º
z
A
R
→
3. α Disco = 2ω 2 e1
→
→
→
→
→
→
3 2 → 1 2 →
ω R i+ ω R j
2
2
→
→
→
3 2
3
5. a E = −
ω R i + ω2 R j
2
2
4. a ErelDisco =
ω→
2
→
y
→
1. Ω BD = −2ω k
2. Ω OC = −
ωt
O
x
4. a B = ω 2 R e 1 − ω 2 R e 3
3.
R
k
→
3. V BrelOC = ωR i
4.
V
1.
5.
10
2.
2
4
6
X
3.
M
30
4.
20
X
2.
3.
FGH = −15 N Compresión
5.
FFH = 5 3 N Tracción
6.
FFE = 5 3 N Tracción
FBC = −10 N Compresión
FCD = 10 3 N Tracción
Mg
2
Mg
TB =
2
3
l BC = L
8
→
→
→
3
4
TD = Mg i + Mg j
8
8
→
→
→
1
7
FC = Mg i + Mg j
8
8
11
l BC = L
8
1. FrozA =
π
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
PRIMER EJERCICIO, TIEMPO 60’
1. Deducir la expresión de la aceleración del centro instantáneo de rotación. (3 puntos)
2. Obtener las ecuaciones intrínsecas de un cable a partir de las ecuaciones vectoriales.
(3 puntos)
3. Circunferencias notables.
(4 puntos)
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
SEGUNDO EJERCICIO, TIEMPO 40’
El sólido 3, que gira alrededor del eje vertical fijo con velocidad angular ω constante,
lleva solidarios con él los ejes de revolución de dos conos de semiángulo en el vértice
45º y generatriz de longitud R 2 . Si las velocidades angulares de los conos alrededor
de sus ejes de revolución, es decir las velocidades angulares relativas al sólido 3, son las
indicadas en la figura, calcular:
1. Velocidad angular del cono 1 y 2, y velocidad del punto B del cono 1.
(2 puntos)
2. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento del cono 1.
(1 punto)
3. Componentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-suelo. (1 punto)
4. Componentes de pivotamiento y rodadura en el contacto cono 1-cono 2. (1 punto)
5. Aceleración angular del cono 1.
(3 puntos)
6. Aceleración del punto B.
(2 puntos)
ω
3
ω 2
ω 2
2
1
R
R 2
R 2
B
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
TERCER EJERCICIO, TIEMPO 50’
Para el mecanismo de la figura y en la posición indicada sabiendo que ω AC = ω es
constante y no hay deslizamiento entre el disco de radio R y la barra BE, se pide:
1.- Velocidad angular del disco.
(4 puntos)
3.- Aceleración angular del disco.
(6 puntos)
AB = 3R
AE = 6R
C
BC = 2R
CD = 2R
60º
D
B
R
ω = cte
F
E
30 º
60 º
A
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
CUARTO EJERCICIO, TIEMPO 40’
Para la estructura de la figura. Calcular:
1. Esfuerzos en las barras AE, BE, y BC, mediante el método de las secciones.
(3 puntos)
2. Esfuerzos en las barras EF y DF, mediante el método de los nudos.
(3 puntos)
3. Diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la barra FG. (4 puntos)
10 m
6m
A
2m
F
30º
30º
30º
30º
E
B
D
6 kN
6 kN
C
6 kN
G
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
QUINTO EJERCICIO, TIEMPO 50’
Sean dos masas puntuales de valor M unidos por el cable de peso por unidad de
longitud q , longitud 6R y flecha 2R . Se pide:
1. obtener el parámetro de la catenaria.
(2 puntos)
2. si el coeficiente de rozamiento entre bloque y suelo es f =
de longitud de cable q =
1
y el peso por unidad
12
Mg
obtener los valores admisibles de F para que el
3R
sistema este en equilibrio.
(3 puntos)
3. obtener para el mismo valor de q el valor mínimo del coeficiente de rozamiento para
el cual el sistema sigue estando en equilibrio sin tener que aplicarle ninguna fuerza
F horizontal.
(2 puntos)
4. si los dos bloques se alejan, y la flecha pasa a valer λ 2R donde 0 < λ < 1 , obtener el
nuevo parámetro de la catenaria (en función de λ) y el valor mínimo del coeficiente
de rozamiento para que el sistema este en equilibrio sin aplicar ninguna fuerza
horizontal (para q =
Mg
).
3R
(2 puntos)
5. ¿es posible separar los dos bloques de forma que la flecha de la catenaria sea nula?
¿Qué valor tomaría TO ?
F
(1 punto)
F
MECANICA APLICADA I. EXAMEN FINAL. 07-09-00.
SOLUCIONES