DEPARTAMENT D’ESTADÍSTICA I INVESTIGACIÓ OPERATIVA Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática A. Distribuciones de variables aleatorias. 1. Descripción de una distribución univariante. a) b) c) 2. Función de distribución: F (x) = P (X ≤ x), ∀x ∈ R. Cumple: Es no decreciente, continua por la derecha, lı́mx→−∞ F (x) = 0 y lı́mx→+∞ F (x) = 1. Caso discreto: Función de probabilidad. f (x) = P (X = x) , ∀x ∈ R. P Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y i f (xi ) = 1. Caso absolutamente continuo: Función de densidad. R f (x) tal que P (X ∈ A) = A f (x)dx para todo A subconjunto de Borel de R. R +∞ Debe cumplir: f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, y −∞ f (x)dx = 1. Descripción de distribuciones bivariantes. a) b) Función de distribución conjunta. F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) ∀(x, y) ∈ R2 . • Marginales: FX (x) = lı́my→∞ F (x, y), y FY (y) = lı́mx→∞ F (x, y). • Independencia: X e Y son independientes si y sólo si F (x, y) = FX (x)FY (y) ∀(x, y) ∈ R2 . Caso discreto: Función de probabilidad conjunta. f (x, y) = P (X = x, Y = y). P Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀ (x, y) ∈ R2 , y i,j f (xi , yj ) = 1. P P • Marginales: fX (x) = j f (x, yj ), y fY (y) = i f (xi , y). • Condicionales: Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = ff(x,y) ∀x ∈ R. Y (y) Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x (y) = c) f (y,x) fX (x) ∀y ∈ R. • Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R2 . Caso absolutamente continuo: R Función de densidad conjunta. f (x, y) tal que P ((X, Y ) ∈ A) = A f (x, y)dxdy. R +∞ R +∞ Debe cumplir: f (x, y) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ R2 , y −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1. R +∞ R +∞ • Marginales: fX (x) = −∞ f (x, y)dy, y fY (y) = −∞ f (x, y)dx. • Condicionales: Para cada y tal que fY (y) > 0, se puede definir fX|Y =y (x) = ff(x,y) ∀x ∈ R. Y (y) Para cada x tal que fX (x) > 0, se puede definir fY |X=x (y) = f (y,x) fX (x) ∀y ∈ R. • Independencia: X e Y son independientes si y sólo si f (x, y) = fX (x)fY (y) ∀(x, y) ∈ R2 . Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 3. 2 Distribución de una función de variables aleatorias. a) Caso univariante: Sea X v.a. absolutamente continua con función de densidad fX (·), y sea S su soporte; esto es, P (X ∈ S) = 1. Sea Y = r(X) y sea T = r(S) = {y ∈ R : ∃x ∈ S con y = r(x)}, siendo r una función de S en T biyectiva. Sea x = s(y) la función inversa de r(·). Entonces: ¯ ¯ ¯d ¯ s(y)¯ si y ∈ T fX (s(y)) ¯ dy fY (y) = 0 en otro caso. b) Caso multivariante: Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 un vector aleatorio cuya distribución es absolutamente continua y sea fX (·) su función de densidad de probabilidad. Sea S el soporte de fX (·); esto es, P (X ∈ S) = 1. Sea Y = r(X) una función biyectiva, con Yi = ri (X), y sea T = r(S). Si x = s(y) representa la función inversa de r(·), entonces la función de densidad de probabilidad del vector aleatorio Y viene dada por: |J|fX (s(y)) si y ∈ T fY (y) = 0 en otro caso. Donde |J| es el valor absoluto del jacobiano de la transformación. Esto es, J es el determinante ∂si de la matriz cuyo elemento (i, j) es ∂y . j B. Esperanzas y Momentos. 4. 5. Esperanzas. a) Caso discreto: P P Si x |x| f (x) < +∞, entonces E(X) = x x f (x). P P Si x |g(x)| f (x) < +∞, entonces E(g(X)) = x g(x)f (x). b) Caso continuo: R +∞ R +∞ Si −∞ |x| f (x)dx < +∞, entonces E(X) = −∞ x f (x)dx. R +∞ R +∞ Si −∞ |g(x)| f (x)dx < +∞, entonces E(g(X)) = −∞ g(x)f (x)dx. c) Linealidad: E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y ) + c. d) Si X e Y son independientes, E(XY ) = E(X)E(Y ). e) Si P (a ≤ X ≤ b) = 1 ⇒ a ≤ E(X) ≤ b. f) Si P (X ≥ a) = 1 y E(X) = a ⇒ P (X = a) = 1. g) Si X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y ). h) Desigualdad de Jensen: Si g(x) es convexa (por ejemplo g(x) = x2 ) ⇒ E(g(X)) ≥ g(E(X)). Momentos. a) Momento de orden k : E(X k ), si existe esa esperanza. b) Momento de orden k respecto a la media: E((X − E(X))k ), si existe esa esperanza. c) Si existe E(X k ) ⇒ existen E(X j ) y E((X − E(X))j ) ∀j = 0, 1, . . . k. Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. d) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = E(exp {tX} ), si existe ∀t en un intervalo abierto de R que contenga el punto t = 0. Si la función generatriz de momentos existe, entonces: dk • E(X k ) = dt k Ψ(t), calculada en t = 0. • Si Y = aX + b con a 6= 0 ⇒ ΨY (t) = exp{bt}ΨX (at). • Si Z = X + Y con X, Y independientes ⇒ ΨZ (t) = ΨX (t)ΨY (t). • Sean {X1 ,P X2 , . . . , Xn } variables aleatorias independientes £e idénticamente distribuidas, y ¤n n sea X n = n1 i=1 Xi su media muestral, entonces ΨX n (t) = ΨX ( nt ) . e) Función caracterı́stica: Φ(t) = E(exp {itX} ), que siempre existe. • Φ(0) = 0, |Φ(t)| ≤ 1, y Φ(t) es uniformemente continua. • • • • 6. 3 Si Si Si Si k d k k existe E(X k ), entonces dt k Φ(0) = i E(X ). Y = aX + b ⇒ ΦY (t) = exp{ibt}ΦX (at). Z = X + Y con X, Y independientes ⇒ ΦZ (t) = ΦX (t)ΦY (t). £ ¤n {X1 , X2 , . . . , Xn } son variables aleatorias i.i.d. ⇒ ΦX n (t) = ΦX ( nt ) . Varianzas, Covarianzas y Correlaciones. Si las esperanzas involucradas en las siguientes expresiones existen, entonces: 7. a) Varianza: V (X) = E((X − E(X))2 ) = E(X 2 ) − E 2 (X). b) Covarianza: Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X)E(Y ). c) d) V (aX + b) = a2 V (X). Pn Pn P V ( i=1 Xi ) = i=1 V (Xi ) + 2 i<j Cov(Xi , Xj ). e) X, Y indep. ⇒ Cov(X, Y ) = 0 ⇒ V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). f) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: [E(XY ) ]2 ≤ E(X 2 )E(Y 2 ). g) Coeficiente de correlación lineal de Pearson: ρ(X, Y ) = √Cov(X,Y ) . h) |ρ(X, Y )| ≤ 1 con igualdad si y sólo si Y = aX + b. V (X)V (Y ) Esperanza y Varianza Condicional. La esperanza y varianza condicionales, E(Y |X) y V (Y |X), son funciones de la variable aleatoria X definidas, para cada valor x, como la esperanza y varianza de la distribución de la variable aleatoria Y condicionada a X = x. Cumplen las siguientes propiedades: 8. a) E(Y ) = E[E(Y |X)]. b) V (Y ) = E[V (Y |X)] + V [E(Y |X)]. Desigualdad de Chebyschev y Teorema Central del Lı́mite. E(X) t a) Desigualdad de Markov: P (X ≥ 0) = 1 ⇒ P (X ≥ t) ≤ ∀t > 0. b) Desigualdad de Chebyschev: V (X) < +∞ ⇒ P (|X − E(X)| ≥ t) ≤ c) Ley débil de los Grandes Números: Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias i.i.d. cuya esperanza existe, E(Xi ) = µ , y sea X n la media muestral de las n primeras variables aleatorias. Entonces, la sucesión X 1 , . . . , X n , . . . converge en probabilidad a µ, esto es: V (X) t2 ∀t > 0. ∀ε > 0, lı́m P (|X n − µ| < ε) = 1. n→∞ d) Teorema central del lı́mite de Lindeberg-Levy: Si X1 , X2 , . . . son variables aleatorias √ i.i.d. con E(Xi ) = µ y V ar(Xi ) = σ 2 , entonces n(Xσn −µ) converge en distribución a una variable aleatoria Normal tı́pica. Esto es: ¸ Z x ·√ n(X n − µ) ≤x = N (t|0, 1)dt. lı́m P n→∞ σ −∞ En consecuencia, si n es suficientemente grande, la distribución de X n puede aproximarse 2 mediante una distribución Normal de media µ y varianza σn . Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 4 C. Algunas distribuciones discretas: 9. 10. Bernoulli Br(p). a) Función de probabilidad: f (x|p) = px (1 − p)1−x si x = 0, 1. b) Rango del parámetro: 0 ≤ p ≤ 1. c) Media y Varianza: E(X) = p; V ar(X) = p(1 − p). Binomial Bi(n, p). a) b) Es la distribución del número de éxitos en n pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. µ ¶ n Función de probabilidad: f (x|n, p) = px (1 − p)n−x si x = 0, 1, . . . , n. x c) Rango de los parámetros: 0 ≤ p ≤ 1 y n = 1, 2, . . .. d) Media y Varianza: E(X) = np; e) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = (pet + 1 − p)n . f) Función caracterı́stica: Φ(t) = (peit + 1 − p)n . g) Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni , p), entonces: à n ! n X X Xi ∼ Bi ni , p . V ar(X) = np(1 − p). i=1 h) 11. i=1 Distribución Bernoulli: X ∼ Br(p) si y sólo si X ∼ Bi(1, p). Hipergeométrica Hg(A, B, n). a) Función de probabilidad: f (x|A, B, n) = A x B n−x A+B n si x = 0, . . . , n. b) Rango de los parámetros: A, B y n deben ser enteros mayores que 0. c) Media y Varianza: E(X) = d) Si Xi , Xj son variables aleatorias Bernoulli representando las extracciones i, j (i 6= j) de una prueba hipergeométrica, entonces: nA A+B ; V ar(X) = Cov(Xi , Xj ) = − e) nAB(A+B−n) (A+B)2 (A+B−1) . AB . (A + B)2 (A + B − 1) Si X1 , X2 son dos variables aleatorias independientes con Xi ∼ Bi(ni , p), entonces: X1 |(X1 + X2 = k) ∼ Hg(n1 , n2 , k). f) 12. ´ ³ ¯ ¯ A . Si A + B es grande en comparación con n, entonces Hg(x|A, B, n) ≈ Bi x ¯n, A+B Geométrica Ge(p). a) Es la distribución del número de fracasos antes del primer éxito en una sucesión de pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. b) Función de probabilidad: f (x|p) = p(1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . . c) Rango del parámetro: 0 ≤ p ≤ 1. d) Media y Varianza: E(X) = 1−p p ; V ar(X) = 1−p p2 . Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 13. Binomial Negativa Bn(r, p). a) b) Es la distribución del número de fracasos antes del éxito r en una sucesión de pruebas Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas. µ ¶ r+x−1 Función de probabilidad: f (x|r, p) = pr (1 − p)x si x = 0, 1, 2, . . . x c) Rango de los parámetros: 0 ≤ p ≤ 1 y r = 1, 2, . . .. d) Media y Varianza: E(X) = e) f) g) r(1−p) ; p V ar(X) = r(1−p) p2 . h ir ³ ´ p 1 Función generatriz de momentos: Ψ(t) = 1−(1−p)e para t < log 1−p . t ir h p . Función caracterı́stica: Φ(t) = 1−(1−p)e it Sean X1 , X2 , . . . , Xn v.a. independientes, Xi ∼ Bn(ri , p) i = 1, 2, . . . , n, entonces: à n ! n X X Xi ∼ Bn ri , p . i=1 h) 14. 5 i=1 Distribución Geométrica: X ∼ Ge(p) si y sólo si X ∼ Bn(1, p). Poisson P o(λ). e−λ λx x! a) Función de probabilidad: f (x|λ) = b) Rango del parámetro: λ > 0. c) Media y Varianza: E(X) = V ar(X) = λ. d) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = eλ(e it t −1) . e) Función caracterı́stica: Φ(t) = eλ(e f) Si X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ P o(λi ), entonces: à n ! n X X λi . Xi ∼ P o i=1 −1) si x = 0, 1, . . . . i=1 g) Si X1 , X2 son variables aleatorias independientes con Xi ∼ P o(λi ) i = 1, 2, entonces: µ ¶ λ1 X1 |(X1 + X2 = k) ∼ Bi k, . λ1 + λ2 h) Si n tiende a infinito y p tiende a cero, permaneciendo np = λ constante, entonces: Bi(x|n, p) converge a P o(x|λ). i) Si n tiende a infinito y (1 − p) tiende a cero, permaneciendo n(1 − p) = λ constante, entonces la función de probabilidad Bn(x|r, p) converge a la función de probabilidad P o(x|λ). Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 6 D. Algunas distribuciones absolutamente continuas: 15. 16. Uniforme U n(α, β). 1 β−α a) Función de densidad: f (x|α, β) = b) Rango de los parámetros: −∞ < α < β < +∞. c) Media y Varianza: E(X) = d) Si X se distribuye U n(α, β), entonces Y = α+β 2 ; si α < x < β. V ar(X) = X−α β−α √1 σ 2π 2 n ¡ ¢2 o exp − 12 x−µ ∀x ∈ R. σ a) Función de densidad: f (x|µ, σ 2 ) = b) c) d) e) f) Rango de los parámetros: µ ∈ R y σ > 0. Media y Varianza: E(X) = µ; V ar(X) = σ 2 . Función generatriz de momentos: Ψ(t) = exp{µt + 12 σ 2 t2 }. Función caracterı́stica: Φ(t) = exp{iµt − 12 σ 2 t2 }. Si X1 , X2 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ N (µi , σi2 ), entonces: ! à n n n X X X 2 2 b+ ai X i ∼ N b + ai µi , ai σi . i=1 a) R +∞ Función Gamma de Euler: Γ(α) = 0 xα−1 exp{−x}dx, que existe y es finita ∀α > 0. √ Algunas de sus propiedade: Γ(1) = Γ(2) = 1; Γ(0,5) = π, y Γ(α + 1) = αΓ(α) ∀α > 0. b) Función de densidad: f (x|α, β) = c) d) Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0. Media y Varianza: E(X) = α V ar(X) = β, e) Función generatriz de momentos: Ψ(t) = ³ ´α β Función caracterı́stica: Φ(t) = β−it . g) βα α−1 −βx e Γ(α) x h) α β2 . ³ β β−t si x > 0. ´α si t < β. Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias independientes, Xi ∼ Ga(αi , β), entonces: à n ! n X X Xi ∼ Ga αi , β . i=1 i=1 Si X ∼ Ga(α, β), entonces: aX ∼ Ga(α, β/a). Exponencial Ex(λ). a) b) c) 19. i=1 Gamma Ga(α, β). f) 18. se distribuye U n(0, 1). Normal N (µ, σ 2 ). i=1 17. (β−α)2 12 . X ∼ Ex(λ) si y sólo si X ∼ Ga(1, λ). Falta de memoria. Si X ∼ Ex(λ), entonces P (X > h + s|X > h) = P r(X > s), ∀h > 0 y ∀s > 0. Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de manera que Xi ∼ Ex(λ). Sean Y1 , . . . , Yn los estadı́sticos de orden de la muestra aleatoria anterior. Entonces Y1 ∼ Ex(nλ) e Yi+1 − Yi ∼ Ex((n − i)λ), para i = 1, . . . , n − 1. Ji-Cuadrado χ2 (ν). a) b) c) d) X ∼ χ2 (ν) si y sólo si X ∼ Ga( ν2 , 12 ). X ∼ Ga(α, β) si y sólo si Y = 2βX ∼ χ2 (2α). X ∼ N (0, 1), entonces X 2 ∼ χ2 (1). Pn 2 2 Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d. N (0, 1), entonces i=1 Xi ∼ χ (n). Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 20. 21. 22. 7 Beta Be(α, β). Γ(α+β) α−1 (1 Γ(α)Γ(β) x a) Función de densidad: f (x|α, β) = b) Rango de los parámetros: α > 0 y β > 0. c) Media y Varianza: E(X) = − x)β−1 si 0 < x < 1. d) V ar(X) = (α+β)2αβ (α+β+1) P∞ ³Qk−1 α+r ´ tk Función generatriz de momentos: 1 + k=1 r=0 α+β+r k! . e) Si X ∼ Be(α, β), entonces: 1 − X ∼ Be(β, α). f) Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, con X ∼ Ga(α1 , β) e Y ∼ Ga(α2 , β), X entonces X+Y y (X + Y ) son variables aleatorias independientes con distribuciones Be(α1 , α2 ) y Ga(α1 + α2 , β) respectivamente. g) Distribución Uniforme: X ∼ U n(0, 1) si y sólo si X ∼ Be(1, 1). α α+β ; Cauchy Ca(µ, σ). a) £ ¡ ¢¤ 2 −1 Función de densidad: f (x|µ, σ) = π 1 + ( x−µ ∀x ∈ R. σ ) b) Rango de los parámetros: µ ∈ R y σ > 0. c) Momentos: No existe ningún momento. d) Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con distribución N (0, 1) entonces su cociente, X1 /X2 , sigue una distribución Ca(0, 1). t-Student t(ν). a) Función de densidad: f (x|ν) = b) Rango del parámetro: ν > 0. c) Momentos E(X k ) = Γ( ν+1 2 ) √ νπΓ( ν2 ) ν−k Γ( k+1 2 )Γ( 2 ) k/2 √ ν πΓ( ν2 ) ³ 1+ x2 ν ´− ν+1 2 ∀x ∈ R. si k es par y menor que ν. k E(X ) = 0 si k impar y menor que ν. E(X k ) no existe si k ≥ ν. 23. V ar(X) = ν ν−2 d) Media y Varianza: E(x) = 0 si ν > 1, si ν > 2. e) Si Z ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ (ν) son independientes, entonces: X = √Z f) Distribución Cauchy: X se distribuye Ca(0, 1) si y sólo si X ∼ t(1). 2 Y /ν ∼ t(ν). F-Snedecor F (m, n). Γ( m+n xm/2−1 m/2 n/2 2 ) n (mx+n) n m (m+n)/2 Γ( m )Γ( ) 2 2 a) Función de densidad: f (x|m, n) = b) Rango de los parámetros: m > 0 y n > 0. c) Momentos: E(X k ) = E(X k ) no existe para Γ( m+2k )Γ( n−2k ) n k 2 2 (m) n Γ( m 2 )Γ( 2 ) n k ≥ 2. n (n−2) para k < n 2. V ar(X) = 2n2 (m+n−2) m(n−2)2 (n−4) d) Media y Varianza: E(X) = e) Sean Y ∼ χ2 (m) y Z ∼ χ2 (n) dos variables aleatorias independientes, entonces X = una distribución F (m, n). f) Si X ∼ t(ν) entonces X 2 ∼ F (1, ν). g) Si X ∼ F (m, n), entonces Y = 1/X ∼ F (n, m). h) Si X ∼ F (m, n), entonces mX mX+n si n > 2, si x > 0. ∼ Be(m/2, n/2). si n > 4. Y /m Z/n tiene Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 8 E. Algunas tablas1 estadı́sticas: 24. Tabla de dı́gitos aleatorios. 53 00 94 20 10 31 51 07 64 34 80 38 62 32 61 21 67 39 47 16 38 02 95 85 84 18 49 47 31 53 82 83 66 48 17 43 43 70 41 76 58 99 89 68 14 61 98 99 20 49 14 24 06 50 47 88 43 97 70 77 58 78 95 46 50 66 71 68 95 67 36 61 32 34 22 49 68 96 49 38 10 47 23 51 38 54 37 24 66 35 97 18 20 56 01 70 68 32 25 73 32 33 38 57 17 03 41 96 04 30 60 82 16 96 61 99 08 03 42 39 43 43 02 84 57 07 06 01 37 31 63 85 66 63 28 20 87 11 73 07 40 98 05 71 28 26 11 36 23 65 47 94 56 92 79 06 86 04 44 68 42 54 43 72 48 80 62 36 06 89 98 94 60 38 63 52 06 87 61 80 73 73 17 02 19 54 20 27 23 59 40 30 57 77 52 73 03 61 43 00 42 24 08 09 47 04 70 00 42 38 09 73 09 10 67 58 35 06 11 20 89 00 27 63 03 99 42 75 01 64 01 51 79 24 96 65 92 36 47 39 00 67 53 63 26 99 74 04 77 12 73 90 41 50 31 69 16 68 83 14 92 61 21 44 86 63 52 28 35 25 21 23 49 77 81 18 45 05 63 43 41 87 92 99 40 73 89 05 63 19 12 61 27 37 34 62 31 98 94 54 19 29 68 14 94 89 03 96 40 53 63 68 33 89 41 18 58 64 55 76 85 48 51 10 55 60 71 26 97 31 62 89 45 05 01 68 89 35 80 54 99 36 18 93 23 97 84 92 74 88 30 77 28 90 04 81 09 95 12 98 58 64 61 01 53 94 14 50 37 83 76 78 71 75 33 32 17 78 97 81 06 55 53 13 95 02 23 34 28 50 57 08 89 25 97 81 68 23 87 53 59 99 27 06 60 25 93 44 47 22 47 63 71 73 42 88 95 81 28 78 08 26 19 99 34 99 05 71 12 52 23 28 78 61 04 45 02 88 69 75 99 51 52 90 89 80 35 39 09 18 45 20 03 24 99 48 43 36 93 78 99 24 66 00 20 84 96 09 06 60 95 72 38 35 40 01 43 67 19 15 12 68 43 90 39 08 20 05 58 81 93 95 00 93 05 66 33 09 78 27 59 83 53 33 84 40 55 19 63 07 77 69 97 04 90 72 38 90 79 39 47 14 86 15 87 48 52 59 61 62 99 79 18 83 61 06 21 66 55 15 34 39 99 72 96 37 11 12 31 20 54 83 36 85 39 62 50 12 96 18 47 88 25 39 97 63 90 73 01 86 82 91 31 22 45 60 46 60 96 14 35 93 33 67 49 72 41 88 83 20 79 21 52 30 19 69 58 58 38 52 29 55 50 50 92 64 69 81 41 93 02 68 05 88 40 01 59 93 28 40 74 13 11 19 73 53 75 90 59 98 71 47 25 50 51 37 58 30 81 35 25 62 10 92 99 82 95 54 02 48 22 36 44 86 65 11 40 80 25 12 24 97 99 68 07 23 39 11 37 27 65 87 96 02 30 65 55 95 30 54 38 36 09 87 02 29 84 01 50 73 38 57 95 22 93 44 25 78 07 10 20 30 98 07 78 12 56 36 30 98 41 25 65 81 73 54 83 72 24 40 44 96 43 98 91 31 15 17 84 19 42 54 61 34 39 83 30 44 82 00 92 36 14 60 79 07 16 84 11 76 16 19 48 95 07 77 56 45 05 92 18 17 40 84 51 66 81 41 55 34 39 88 49 37 69 51 41 11 43 23 62 80 93 96 60 11 45 42 59 39 59 58 99 25 15 91 24 69 71 22 69 78 28 33 94 86 35 48 84 02 76 03 18 61 22 38 24 57 55 20 60 05 41 42 00 32 11 29 55 42 67 04 01 38 30 12 74 66 62 50 30 05 23 23 50 11 99 58 70 83 11 19 01 23 96 01 65 49 31 28 71 26 65 41 42 50 01 46 78 33 49 45 71 35 14 05 52 69 26 96 94 10 74 96 96 11 03 24 82 16 73 12 59 75 79 06 57 28 84 08 18 52 36 10 24 39 88 81 55 19 04 07 94 49 12 50 78 58 18 22 43 80 52 28 04 87 97 02 92 27 51 19 70 84 12 17 31 14 73 33 89 57 77 37 36 17 05 75 80 76 09 32 68 67 67 34 67 99 54 02 04 80 75 60 64 00 81 22 68 35 23 78 99 53 83 31 61 50 88 91 30 95 90 02 29 36 61 21 92 61 16 50 22 17 31 10 54 93 22 02 88 75 05 35 92 76 26 54 41 83 15 85 92 30 39 83 59 17 68 51 08 26 72 48 96 60 08 67 17 58 63 18 60 79 26 79 01 39 98 00 94 12 36 34 16 75 55 84 15 27 12 05 45 39 58 50 87 21 89 94 23 33 12 05 70 74 42 41 30 15 06 13 80 00 61 91 39 43 82 40 58 48 19 95 93 06 05 73 60 82 31 65 06 76 11 75 85 21 12 87 64 81 28 29 65 87 63 21 06 49 20 65 41 73 21 96 79 58 68 81 79 16 43 88 98 61 01 44 80 59 85 91 97 22 83 23 42 29 22 31 74 78 94 13 23 96 44 39 45 99 69 58 63 94 56 13 19 13 86 00 69 81 95 78 61 72 09 89 62 74 08 62 16 41 44 27 59 62 50 91 49 65 93 51 72 27 09 26 25 11 56 83 46 97 77 31 60 57 53 97 1 Estas tablas se han construido con ayuda de las funciones del SPSS8.0, excepto la tabla de dı́gitos aleatorios. Para esa tabla se ha utilizado el algoritmo de Wichmann y Hill, por lo que en realidad es una tabla de pseudodı́gitos aleatorios. Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 25a. Función de distribución Binomial. n 2 3 4 5 6 7 8 9 k 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p = 0.1 0.8100 0.9900 0.7290 0.9720 0.9990 0.6561 0.9477 0.9963 0.9999 0.5905 0.9185 0.9914 0.9995 1.0000 0.5314 0.8857 0.9842 0.9987 0.9999 1.0000 0.4783 0.8503 0.9743 0.9973 0.9998 1.0000 1.0000 0.4305 0.8131 0.9619 0.9950 0.9996 1.0000 1.0000 1.0000 0.3874 0.7748 0.9470 0.9917 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.2 0.6400 0.9600 0.5120 0.8960 0.9920 0.4096 0.8192 0.9728 0.9984 0.3277 0.7373 0.9421 0.9933 0.9997 0.2621 0.6554 0.9011 0.9830 0.9984 0.9999 0.2097 0.5767 0.8520 0.9667 0.9953 0.9996 1.0000 0.1678 0.5033 0.7969 0.9437 0.9896 0.9988 0.9999 1.0000 0.1342 0.4362 0.7382 0.9144 0.9804 0.9969 0.9997 1.0000 1.0000 p = 0.25 0.5625 0.9375 0.4219 0.8438 0.9844 0.3164 0.7383 0.9492 0.9961 0.2373 0.6328 0.8965 0.9844 0.9990 0.1780 0.5339 0.8306 0.9624 0.9954 0.9998 0.1335 0.4449 0.7564 0.9294 0.9871 0.9987 0.9999 0.1001 0.3671 0.6785 0.8862 0.9727 0.9958 0.9996 1.0000 0.0751 0.3003 0.6007 0.8343 0.9511 0.9900 0.9987 0.9999 1.0000 p = 0.3 0.4900 0.9100 0.3430 0.7840 0.9730 0.2401 0.6517 0.9163 0.9919 0.1681 0.5282 0.8369 0.9692 0.9976 0.1176 0.4202 0.7443 0.9295 0.9891 0.9993 0.0824 0.3294 0.6471 0.8740 0.9712 0.9962 0.9998 0.0576 0.2553 0.5518 0.8059 0.9420 0.9887 0.9987 0.9999 0.0404 0.1960 0.4628 0.7297 0.9012 0.9747 0.9957 0.9996 1.0000 p = 0.4 0.3600 0.8400 0.2160 0.6480 0.9360 0.1296 0.4752 0.8208 0.9744 0.0778 0.3370 0.6826 0.9130 0.9898 0.0467 0.2333 0.5443 0.8208 0.9590 0.9959 0.0280 0.1586 0.4199 0.7102 0.9037 0.9812 0.9984 0.0168 0.1064 0.3154 0.5941 0.8263 0.9502 0.9915 0.9993 0.0101 0.0705 0.2318 0.4826 0.7334 0.9006 0.9750 0.9962 0.9997 p = 0.5 0.2500 0.7500 0.1250 0.5000 0.8750 0.0625 0.3125 0.6875 0.9375 0.0313 0.1875 0.5000 0.8125 0.9688 0.0156 0.1094 0.3438 0.6562 0.8906 0.9844 0.0078 0.0625 0.2266 0.5000 0.7734 0.9375 0.9922 0.0039 0.0352 0.1445 0.3633 0.6367 0.8555 0.9648 0.9961 0.0020 0.0195 0.0898 0.2539 0.5000 0.7461 0.9102 0.9805 0.9980 9 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 25b. Función de distribución Binomial. (Continuación) n 10 15 20 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 p = 0.1 0.3487 0.7361 0.9298 0.9872 0.9984 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2059 0.5490 0.8159 0.9444 0.9873 0.9978 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.1216 0.3917 0.6769 0.8670 0.9568 0.9887 0.9976 0.9996 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.2 0.1074 0.3758 0.6778 0.8791 0.9672 0.9936 0.9991 0.9999 1.0000 1.0000 0.0352 0.1671 0.3980 0.6482 0.8358 0.9389 0.9819 0.9958 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.25 0.0563 0.2440 0.5256 0.7759 0.9219 0.9803 0.9965 0.9996 1.0000 1.0000 0.0134 0.0802 0.2361 0.4613 0.6865 0.8516 0.9434 0.9827 0.9958 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0032 0.0243 0.0913 0.2252 0.4148 0.6172 0.7858 0.8982 0.9591 0.9861 0.9961 0.9991 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.3 0.0282 0.1493 0.3828 0.6496 0.8497 0.9527 0.9894 0.9984 0.9999 1.0000 0.0047 0.0353 0.1268 0.2969 0.5155 0.7216 0.8689 0.9500 0.9848 0.9963 0.9993 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0008 0.0076 0.0355 0.1071 0.2375 0.4164 0.6080 0.7723 0.8867 0.9520 0.9829 0.9949 0.9987 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.4 0.0060 0.0464 0.1673 0.3823 0.6331 0.8338 0.9452 0.9877 0.9983 0.9999 0.0005 0.0052 0.0271 0.0905 0.2173 0.4032 0.6098 0.7869 0.9050 0.9662 0.9907 0.9981 0.9997 1.0000 1.0000 0.0000 0.0005 0.0036 0.0160 0.0510 0.1256 0.2500 0.4159 0.5956 0.7553 0.8725 0.9435 0.9790 0.9935 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 p = 0.5 0.0010 0.0107 0.0547 0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.9453 0.9893 0.9990 0.0000 0.0005 0.0037 0.0176 0.0592 0.1509 0.3036 0.5000 0.6964 0.8491 0.9408 0.9824 0.9963 0.9995 1.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0013 0.0059 0.0207 0.0577 0.1316 0.2517 0.4119 0.5881 0.7483 0.8684 0.9423 0.9793 0.9941 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 10 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 26. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11 Función de distribución Poisson. λ=1 0.3679 0.7358 0.9197 0.9810 0.9963 0.9994 0.9999 1.0000 λ=2 0.1353 0.4060 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9955 0.9989 0.9998 1.0000 λ=3 0.0498 0.1991 0.4232 0.6472 0.8153 0.9161 0.9665 0.9881 0.9962 0.9989 0.9997 0.9999 1.0000 λ=4 0.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.8893 0.9489 0.9786 0.9919 0.9972 0.9991 0.9997 0.9999 1.0000 λ=5 0.0067 0.0404 0.1247 0.2650 0.4405 0.6160 0.7622 0.8666 0.9319 0.9682 0.9863 0.9945 0.9980 0.9993 0.9998 0.9999 1.0000 λ=6 0.0025 0.0174 0.0620 0.1512 0.2851 0.4457 0.6063 0.7440 0.8472 0.9161 0.9574 0.9799 0.9912 0.9964 0.9986 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000 λ=7 0.0009 0.0073 0.0296 0.0818 0.1730 0.3007 0.4497 0.5987 0.7291 0.8305 0.9015 0.9467 0.9730 0.9872 0.9943 0.9976 0.9990 0.9996 0.9999 1.0000 λ=8 0.0003 0.0030 0.0138 0.0424 0.0996 0.1912 0.3134 0.4530 0.5925 0.7166 0.8159 0.8881 0.9362 0.9658 0.9827 0.9918 0.9963 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000 λ=9 0.0001 0.0012 0.0062 0.0212 0.0550 0.1157 0.2068 0.3239 0.4557 0.5874 0.7060 0.8030 0.8758 0.9261 0.9585 0.9780 0.9889 0.9947 0.9976 0.9989 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000 λ = 10 0.0000 0.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.1301 0.2202 0.3328 0.4579 0.5830 0.6968 0.7916 0.8645 0.9165 0.9513 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 27. Función de Distribución de la Normal Tı́pica. z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 28. 12 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 Algunos cuantiles de la Normal Tı́pica. α 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 qα 0.126 0.253 0.385 0.524 0.674 α 0.80 0.85 0.90 0.91 0.92 qα 0.842 1.036 1.282 1.341 1.405 α 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 qα 1.476 1.555 1.645 1.751 1.881 α 0.9800 0.9900 0.9950 0.9990 0.9995 qα 2.054 2.326 2.576 3.090 3.291 α 0.999900 0.999950 0.999990 0.999995 0.999999 qα 3.719 3.891 4.265 4.417 4.753 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 29. Cuantiles de la distribución t-Student. g.l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 ∞ 13 .55 0.158 0.142 0.137 0.134 0.132 0.131 0.130 0.130 0.129 0.129 0.129 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.128 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.127 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 0.126 .60 0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.260 0.259 0.259 0.258 0.258 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257 0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.255 0.255 0.255 0.255 0.255 0.255 0.255 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.254 0.253 .65 0.510 0.445 0.424 0.414 0.408 0.404 0.402 0.399 0.398 0.397 0.396 0.395 0.394 0.393 0.393 0.392 0.392 0.392 0.391 0.391 0.391 0.390 0.390 0.390 0.390 0.390 0.389 0.389 0.389 0.389 0.389 0.389 0.389 0.389 0.388 0.388 0.388 0.388 0.387 0.387 0.387 0.387 0.386 0.386 0.385 .70 0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542 0.540 0.539 0.538 0.537 0.536 0.535 0.534 0.534 0.533 0.533 0.532 0.532 0.532 0.531 0.531 0.531 0.531 0.530 0.530 0.530 0.530 0.530 0.530 0.529 0.529 0.529 0.528 0.528 0.527 0.527 0.526 0.526 0.526 0.526 0.524 Orden de .75 .80 1.000 1.376 0.816 1.061 0.765 0.978 0.741 0.941 0.727 0.920 0.718 0.906 0.711 0.896 0.706 0.889 0.703 0.883 0.700 0.879 0.697 0.876 0.695 0.873 0.694 0.870 0.692 0.868 0.691 0.866 0.690 0.865 0.689 0.863 0.688 0.862 0.688 0.861 0.687 0.860 0.686 0.859 0.686 0.858 0.685 0.858 0.685 0.857 0.684 0.856 0.684 0.856 0.684 0.855 0.683 0.855 0.683 0.854 0.683 0.854 0.682 0.853 0.682 0.853 0.682 0.853 0.682 0.852 0.682 0.852 0.681 0.851 0.680 0.850 0.679 0.849 0.679 0.848 0.678 0.847 0.678 0.846 0.677 0.846 0.677 0.845 0.677 0.845 0.674 0.842 los cuantiles .85 .90 1.963 3.078 1.386 1.886 1.250 1.638 1.190 1.533 1.156 1.476 1.134 1.440 1.119 1.415 1.108 1.397 1.100 1.383 1.093 1.372 1.088 1.363 1.083 1.356 1.079 1.350 1.076 1.345 1.074 1.341 1.071 1.337 1.069 1.333 1.067 1.330 1.066 1.328 1.064 1.325 1.063 1.323 1.061 1.321 1.060 1.319 1.059 1.318 1.058 1.316 1.058 1.315 1.057 1.314 1.056 1.313 1.055 1.311 1.055 1.310 1.054 1.309 1.054 1.309 1.053 1.308 1.052 1.307 1.052 1.306 1.050 1.303 1.049 1.301 1.047 1.299 1.045 1.296 1.044 1.294 1.043 1.292 1.042 1.291 1.042 1.290 1.041 1.289 1.036 1.282 .95 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.696 1.694 1.692 1.691 1.690 1.684 1.679 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.658 1.645 .975 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.040 2.037 2.035 2.032 2.030 2.021 2.014 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.980 1.960 .99 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.453 2.449 2.445 2.441 2.438 2.423 2.412 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364 2.358 2.326 .995 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.744 2.738 2.733 2.728 2.724 2.704 2.690 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.617 2.576 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 14 30a. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado2 . g.l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 0.005 0.0000 0.0100 0.0717 0.2070 0.4117 0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1559 2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009 5.1422 5.6972 6.2648 6.8440 7.4338 8.0337 8.6427 9.2604 9.8862 10.520 11.160 11.808 12.461 13.121 13.787 14.458 15.134 15.815 16.501 17.192 17.887 18.586 19.289 19.996 20.706 27.991 35.535 43.275 51.172 59.196 67.328 0.01 0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543 0.8721 1.2390 1.6465 2.0879 2.5582 3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2293 5.8122 6.4078 7.0149 7.6327 8.2604 8.8972 9.5425 10.196 10.856 11.524 12.198 12.878 13.565 14.257 14.953 15.656 16.362 17.073 17.789 18.509 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164 29.707 37.485 45.442 53.540 61.754 70.065 0.025 0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312 1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470 3.8157 4.4038 5.0088 5.6287 6.2621 6.9077 7.5642 8.2307 8.9065 9.5908 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 17.539 18.291 19.047 19.806 20.569 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433 32.357 40.482 48.758 57.153 65.647 74.222 Orden 0.05 0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455 1.6354 2.1673 2.7326 3.3251 3.9403 4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609 7.9616 8.6718 9.3905 10.117 10.851 11.591 12.338 13.090 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493 19.281 20.072 20.867 21.664 22.465 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509 34.764 43.188 51.739 60.391 69.126 77.929 2 Para de los cuantiles 0.10 0.20 0.0158 0.0642 0.2107 0.4463 0.5844 1.0052 1.0636 1.6488 1.6103 2.3425 2.2041 3.0701 2.8331 3.8223 3.4895 4.5936 4.1682 5.3801 4.8652 6.1791 5.5778 6.9887 6.3038 7.8073 7.0415 8.6339 7.7895 9.4673 8.5468 10.307 9.3122 11.152 10.085 12.002 10.865 12.857 11.651 13.716 12.443 14.578 13.240 15.445 14.042 16.314 14.848 17.187 15.659 18.062 16.473 18.940 17.292 19.820 18.114 20.703 18.939 21.588 19.768 22.475 20.599 23.364 21.434 24.255 22.271 25.148 23.110 26.042 23.952 26.938 24.797 27.836 25.643 28.735 26.492 29.635 27.343 30.537 28.196 31.441 29.051 32.345 37.689 41.449 46.459 50.641 55.329 59.898 64.278 69.207 73.291 78.558 82.358 87.945 0.25 0.1015 0.5754 1.2125 1.9226 2.6746 3.4546 4.2549 5.0706 5.8988 6.7372 7.5841 8.4384 9.2991 10.165 11.036 11.912 12.792 13.675 14.562 15.452 16.344 17.240 18.137 19.037 19.939 20.843 21.749 22.657 23.567 24.478 25.390 26.304 27.219 28.136 29.054 29.973 30.893 31.815 32.737 33.660 42.942 52.294 61.698 71.145 80.625 90.133 0.30 0.1485 0.7133 1.4237 2.1947 2.9999 3.8276 4.6713 5.5274 6.3933 7.2672 8.1479 9.0343 9.9257 10.821 11.721 12.624 13.531 14.440 15.352 16.266 17.182 18.101 19.021 19.943 20.867 21.792 22.719 23.647 24.577 25.508 26.440 27.373 28.307 29.242 30.178 31.115 32.053 32.992 33.931 34.872 44.313 53.809 63.346 72.915 82.511 92.129 0.40 0.2750 1.0217 1.8692 2.7528 3.6555 4.5702 5.4932 6.4226 7.3570 8.2955 9.2373 10.182 11.129 12.078 13.030 13.983 14.937 15.893 16.850 17.809 18.768 19.729 20.690 21.653 22.616 23.579 24.544 25.509 26.475 27.442 28.409 29.376 30.344 31.313 32.282 33.252 34.222 35.192 36.163 37.134 46.864 56.620 66.396 76.188 85.993 95.808 mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del lı́mite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de √ libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X−n sigue, aproximadamente, una distribución Normal Tı́pica. 2n Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 15 30b. Cuantiles de la distribución Ji Cuadrado3 . (Continuación). g.l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 0.50 0.4549 1.3863 2.3660 3.3567 4.3515 5.3481 6.3458 7.3441 8.3428 9.3418 10.341 11.340 12.340 13.339 14.339 15.339 16.338 17.338 18.338 19.337 20.337 21.337 22.337 23.337 24.337 25.337 26.336 27.336 28.336 29.336 30.336 31.336 32.336 33.336 34.336 35.336 36.335 37.335 38.335 39.335 49.335 59.335 69.335 79.334 89.334 99.334 0.60 0.7083 1.8326 2.9462 4.0446 5.1319 6.2108 7.2832 8.3505 9.4136 10.473 11.530 12.584 13.636 14.685 15.733 16.779 17.824 18.868 19.910 20.951 21.992 23.031 24.069 25.106 26.143 27.179 28.214 29.249 30.282 31.316 32.349 33.381 34.413 35.444 36.475 37.505 38.535 39.564 40.593 41.622 51.892 62.135 72.358 82.566 92.761 102.95 0.70 1.0742 2.4079 3.6649 4.8784 6.0644 7.2311 8.3834 9.5245 10.656 11.781 12.899 14.011 15.119 16.222 17.322 18.418 19.511 20.601 21.689 22.774 23.858 24.939 26.018 27.096 28.172 29.246 30.319 31.391 32.461 33.530 34.598 35.665 36.731 37.795 38.859 39.922 40.984 42.045 43.105 44.165 54.723 65.227 75.689 86.120 96.524 106.91 Orden de los cuantiles 0.75 0.80 0.90 0.95 1.3233 1.6424 2.7055 3.8415 2.7726 3.2189 4.6052 5.9915 4.1083 4.6416 6.2514 7.8147 5.3853 5.9886 7.7794 9.4877 6.6257 7.2893 9.2364 11.071 7.8408 8.5581 10.645 12.592 9.0371 9.8032 12.017 14.067 10.219 11.030 13.362 15.507 11.389 12.242 14.684 16.919 12.549 13.442 15.987 18.307 13.701 14.631 17.275 19.675 14.845 15.812 18.549 21.026 15.984 16.985 19.812 22.362 17.117 18.151 21.064 23.685 18.245 19.311 22.307 24.996 19.369 20.465 23.542 26.296 20.489 21.615 24.769 27.587 21.605 22.760 25.989 28.869 22.718 23.900 27.204 30.143 23.828 25.038 28.412 31.410 24.935 26.171 29.615 32.671 26.039 27.302 30.813 33.924 27.141 28.429 32.007 35.173 28.241 29.553 33.196 36.415 29.339 30.675 34.382 37.653 30.435 31.795 35.563 38.885 31.528 32.912 36.741 40.113 32.620 34.027 37.916 41.337 33.711 35.139 39.088 42.557 34.800 36.250 40.256 43.773 35.887 37.359 41.422 44.985 36.973 38.466 42.585 46.194 38.057 39.572 43.745 47.400 39.141 40.676 44.903 48.602 40.223 41.778 46.059 49.802 41.304 42.879 47.212 50.999 42.383 43.978 48.363 52.192 43.462 45.076 49.513 53.383 44.540 46.173 50.660 54.572 45.616 47.269 51.805 55.758 56.334 58.164 63.167 67.505 66.981 68.972 74.397 79.082 77.577 79.715 85.527 90.531 88.130 90.405 96.578 101.88 98.650 101.05 107.57 113.15 109.14 111.67 118.50 124.34 0.975 5.0239 7.3778 9.3484 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.920 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.170 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.194 44.461 45.722 46.979 48.232 49.480 50.725 51.966 53.203 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342 71.420 83.298 95.023 106.63 118.14 129.56 0.99 6.6349 9.2103 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.090 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32.000 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.980 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 52.191 53.486 54.776 56.061 57.342 58.619 59.893 61.162 62.428 63.691 76.154 88.379 100.43 112.33 124.12 135.81 0.995 7.8794 10.597 12.838 14.860 16.750 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.299 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.157 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.558 46.928 48.290 49.645 50.993 52.336 53.672 55.003 56.328 57.648 58.964 60.275 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766 79.490 91.952 104.21 116.32 128.30 140.17 3 Para mayores grados de libertad puede utilizarse el Teorema Central del lı́mite: Si X es Ji-cuadrado con n grados de √ libertad, n suficientemente grande, entonces Z = X−n sigue, aproximadamente, una distribución Normal Tı́pica. 2n Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 31. 16 Cuantiles 0.95 de las distribuciones F con k y m grados de libertad. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 90 120 ∞ 1 161.4 18.51 10.13 7.709 6.608 5.987 5.591 5.318 5.117 4.965 4.844 4.747 4.667 4.600 4.543 4.494 4.451 4.414 4.381 4.351 4.325 4.301 4.279 4.260 4.242 4.225 4.210 4.196 4.183 4.171 4.085 4.001 3.947 3.920 3.842 2 199.5 19.00 9.552 6.944 5.786 5.143 4.737 4.459 4.256 4.103 3.982 3.885 3.806 3.739 3.682 3.634 3.592 3.555 3.522 3.493 3.467 3.443 3.422 3.403 3.385 3.369 3.354 3.340 3.328 3.316 3.232 3.150 3.098 3.072 2.996 3 215.7 19.16 9.277 6.591 5.410 4.757 4.347 4.066 3.862 3.708 3.587 3.490 3.411 3.344 3.287 3.239 3.197 3.160 3.127 3.098 3.072 3.049 3.028 3.009 2.991 2.975 2.960 2.947 2.934 2.922 2.839 2.758 2.706 2.680 2.605 k, 4 224.6 19.25 9.117 6.388 5.192 4.534 4.120 3.838 3.633 3.478 3.357 3.259 3.179 3.112 3.056 3.007 2.965 2.928 2.895 2.866 2.840 2.817 2.796 2.776 2.759 2.743 2.728 2.714 2.701 2.690 2.606 2.525 2.473 2.447 2.372 grados 5 230.2 19.30 9.014 6.256 5.050 4.387 3.971 3.688 3.482 3.326 3.204 3.106 3.025 2.958 2.901 2.852 2.810 2.773 2.740 2.711 2.685 2.661 2.640 2.621 2.603 2.587 2.572 2.558 2.545 2.534 2.450 2.368 2.316 2.290 2.214 de libertad del numerador 8 12 15 20 238.9 243.9 245.9 248.0 19.37 19.41 19.43 19.45 8.845 8.745 8.703 8.660 6.041 5.912 5.858 5.802 4.818 4.678 4.619 4.558 4.147 4.000 3.938 3.874 3.726 3.575 3.511 3.444 3.438 3.284 3.218 3.150 3.230 3.073 3.006 2.937 3.072 2.913 2.845 2.774 2.948 2.788 2.719 2.646 2.849 2.687 2.617 2.544 2.767 2.604 2.533 2.459 2.699 2.534 2.463 2.388 2.641 2.475 2.403 2.328 2.591 2.425 2.352 2.276 2.548 2.381 2.308 2.230 2.510 2.342 2.269 2.191 2.477 2.308 2.234 2.155 2.447 2.278 2.203 2.124 2.421 2.250 2.176 2.096 2.397 2.226 2.151 2.071 2.375 2.204 2.128 2.048 2.355 2.183 2.108 2.027 2.337 2.165 2.089 2.007 2.320 2.148 2.072 1.990 2.305 2.132 2.056 1.974 2.291 2.118 2.041 1.959 2.278 2.105 2.027 1.945 2.266 2.092 2.015 1.932 2.180 2.003 1.924 1.839 2.097 1.917 1.836 1.748 2.043 1.861 1.779 1.688 2.016 1.834 1.750 1.659 1.938 1.752 1.666 1.571 30 250.1 19.46 8.617 5.746 4.496 3.808 3.376 3.079 2.864 2.700 2.570 2.466 2.380 2.308 2.247 2.194 2.148 2.107 2.071 2.039 2.010 1.984 1.961 1.939 1.919 1.901 1.884 1.869 1.854 1.841 1.744 1.649 1.586 1.554 1.459 60 252.2 19.48 8.572 5.688 4.431 3.740 3.304 3.005 2.787 2.621 2.490 2.384 2.297 2.223 2.160 2.106 2.058 2.017 1.980 1.946 1.916 1.889 1.865 1.842 1.822 1.803 1.785 1.769 1.754 1.740 1.637 1.534 1.465 1.429 1.318 ∞ 254.3 19.50 8.526 5.628 4.365 3.669 3.230 2.928 2.707 2.538 2.405 2.296 2.206 2.131 2.066 2.010 1.960 1.917 1.878 1.843 1.812 1.783 1.757 1.733 1.711 1.691 1.672 1.654 1.638 1.622 1.509 1.389 1.302 1.254 1.000 Cálculo de Probabilidades y Estadı́stica Matemática. Depto. de Estadı́stica e I.O. 32. 17 Cuantiles 0.90 de las distribuciones F con k y m grados de libertad. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 90 120 ∞ 1 39.86 8.526 5.538 4.545 4.060 3.776 3.589 3.458 3.360 3.285 3.225 3.177 3.136 3.102 3.073 3.048 3.026 3.007 2.990 2.975 2.961 2.949 2.937 2.927 2.918 2.909 2.901 2.894 2.887 2.881 2.835 2.791 2.762 2.748 2.705 2 49.50 9.000 5.462 4.325 3.780 3.463 3.257 3.113 3.007 2.924 2.859 2.807 2.763 2.727 2.695 2.668 2.645 2.624 2.606 2.589 2.575 2.561 2.549 2.538 2.528 2.519 2.511 2.503 2.496 2.489 2.440 2.393 2.363 2.347 2.303 3 53.59 9.162 5.391 4.191 3.619 3.289 3.074 2.924 2.813 2.728 2.660 2.605 2.560 2.522 2.490 2.462 2.437 2.416 2.397 2.380 2.365 2.351 2.339 2.327 2.317 2.307 2.299 2.291 2.283 2.276 2.226 2.177 2.146 2.130 2.084 k, 4 55.83 9.243 5.343 4.107 3.520 3.181 2.961 2.806 2.693 2.605 2.536 2.480 2.434 2.395 2.361 2.333 2.308 2.286 2.266 2.249 2.233 2.219 2.207 2.195 2.184 2.174 2.165 2.157 2.149 2.142 2.091 2.041 2.008 1.992 1.945 grados 5 57.24 9.293 5.309 4.051 3.453 3.108 2.883 2.726 2.611 2.522 2.451 2.394 2.347 2.307 2.273 2.244 2.218 2.196 2.176 2.158 2.142 2.128 2.115 2.103 2.092 2.082 2.073 2.065 2.057 2.049 1.997 1.946 1.912 1.896 1.847 de libertad del numerador 8 12 15 20 59.44 60.71 61.22 61.74 9.367 9.408 9.425 9.441 5.252 5.216 5.200 5.185 3.955 3.895 3.870 3.844 3.339 3.268 3.238 3.207 2.983 2.905 2.871 2.836 2.752 2.668 2.632 2.595 2.589 2.502 2.464 2.425 2.469 2.379 2.340 2.298 2.377 2.284 2.243 2.201 2.304 2.209 2.167 2.123 2.245 2.147 2.105 2.060 2.195 2.097 2.053 2.007 2.154 2.054 2.010 1.962 2.118 2.017 1.972 1.924 2.088 1.985 1.940 1.891 2.061 1.958 1.912 1.862 2.038 1.933 1.887 1.837 2.017 1.912 1.865 1.814 1.998 1.892 1.845 1.794 1.982 1.875 1.827 1.776 1.967 1.859 1.811 1.759 1.953 1.845 1.796 1.744 1.941 1.832 1.783 1.730 1.929 1.820 1.771 1.717 1.919 1.809 1.760 1.706 1.909 1.799 1.749 1.695 1.900 1.789 1.740 1.685 1.892 1.781 1.731 1.676 1.884 1.773 1.722 1.667 1.829 1.715 1.662 1.605 1.775 1.657 1.603 1.543 1.739 1.620 1.564 1.503 1.722 1.601 1.545 1.482 1.670 1.546 1.487 1.421 30 62.26 9.458 5.168 3.817 3.174 2.800 2.556 2.383 2.255 2.155 2.076 2.011 1.958 1.912 1.873 1.839 1.809 1.783 1.759 1.738 1.719 1.702 1.686 1.672 1.659 1.647 1.636 1.625 1.615 1.607 1.541 1.475 1.432 1.409 1.342 60 62.79 9.475 5.151 3.790 3.140 2.762 2.514 2.339 2.208 2.107 2.026 1.960 1.904 1.857 1.817 1.782 1.751 1.723 1.699 1.677 1.657 1.639 1.622 1.607 1.593 1.581 1.569 1.558 1.547 1.538 1.467 1.395 1.346 1.320 1.240 ∞ 63.33 9.491 5.134 3.761 3.105 2.722 2.471 2.293 2.159 2.055 1.972 1.904 1.846 1.797 1.755 1.718 1.686 1.657 1.631 1.607 1.586 1.567 1.549 1.533 1.518 1.504 1.491 1.478 1.467 1.456 1.377 1.291 1.228 1.193 1.000