Tema 6 sesión 2 Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas

Proyecto
Geometría Analítica
Tema 6
sesión 2:
Generación de Rectas,
Circunferencias y Curvas
Isidro Huesca Zavaleta
La Integración de dos Ciencias
La Geometría Analítica nació de la integración
de dos ciencias muy importantes, conocidas y
utilizadas: geometría Euclidiana y álgebra.
fue
el
matemático
y
filósofo
francés
Sus aspectos fundamentales son:
• La creación de un plano infinito, con dos ejes perpendiculares (eje 𝑥
horizontal, eje 𝑦 vertical) que se cruzan en un punto al que se le llama
origen.
• La idea central consiste en asociar a cada punto del plano una pareja de
números, el primero de los cuales corresponde a la distancia del punto al
eje vertical y el segundo a la distancia del punto al eje horizontal.
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Galileo-Colombia 2015
El autor de la idea
René Descartes (1700-1780).
Las cónicas
Las secciones cónicas son aquellas que se generan al
intersectar uno o dos conos con un plano.
Circunferencia
Elipse
Hipérbola
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Parábola
Las cónicas
En la siguiente liga encontrará un video donde se hace una
descripción de las secciones cónicas y cómo obtenerlas con la ayuda
de un software de la serie Galileo.
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http://www.galileo2.com.mx/videos/reproductor.php?tipo=1&idvideo=129695675
La Recta
La recta es el conjunto de puntos que siguen una misma
dirección.
En algunos casos no es necesario tener un plano cartesianos como en el del primer
postulado de Euclides, en otros casos es muy importante, pues se define la recta de
acuerdo a la relación que guardan con los ejes, por ejemplo el ángulo de
inclinación.
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Existen muchas formas de definir una
recta, como un lugar geométrico, como
una sucesión de puntos con una
dirección, etc.
La Recta
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En geometría analítica se le llama pendiente de la recta a la razón de crecimiento o
decrecimiento que guardan los puntos que pertenecen a ella, ésta es constante y
puede ser positiva, negativa, cero o estar indefinida.
La Recta
¿Cómo calculamos
la pendiente de
una recta?
Como es la razón de crecimiento o
decrecimiento que guardan los
puntos, entonces es la división de la
variación que hay en 𝑦 entre la
variación que hay en 𝑥.
De acuerdo a lo anterior si tomamos dos puntos 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑄 𝑥2 , 𝑦2 , que
pertenecen a la recta 𝑙, tenemos que se puede formar un triángulo rectángulo y
obtener el punto 𝑅(𝑥2 , 𝑦1 ), entonces la variación en 𝑦 entre la variación en 𝑥 es:
Esta pendiente también puede ser calculada como la
tangente del ángulo de inclinación de la recta, el cual es el
que se forma entre el eje 𝑥 y la recta, pues la tangente es
igual al cateto opuesto entre el adyacente.
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𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜶
Donde 𝛼 es el ángulo de inclinación de la recta.
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𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑦 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑚 =
=
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑥 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Las diferentes representaciones de la
ecuación de la recta
La ecuación de una recta puede tener diferentes representaciones y la podemos
obtener si nos dan algunos datos de ella, por ejemplo dos puntos, un punto y la
pendiente, un punto y el ángulo de inclinación, etc.
Ecuación general: 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Ecuación pendiente y ordenada al origen: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Ecuación dado el punto 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 y la pendiente 𝑚: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝟐
𝟏
Ecuación dadas las intersecciones con los ejes en (𝑝, 0) y (0, 𝑞)
𝒙
𝒚
en su forma simétrica: + = 𝟏
𝒑
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𝒒
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𝒚 −𝒚
Ecuación dados don puntos 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 : 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 (𝒙 − 𝒙𝟏 )
Posiciones relativas de dos rectas
Cuando tenemos dos rectas estas se pueden intersectar o no. Si las rectas no se
intersectan entonces decimos que son paralelas y si se intersectan puede ser de
forma perpendicular o con un ángulo distinto de 90°.
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Si 𝑙1 y 𝑙2 son dos rectas cuyas pendientes son 𝑚1
y 𝑚2 , respectivamente, entonces 𝑙1 y 𝑙2 son
paralelas si y solo si 𝑚1 = 𝑚2
Posiciones relativas de dos rectas
Cualquier par de rectas que no son paralelas tienen siempre un punto que es
común a ambas, y que se conoce como su intersección, algebraicamente
hablando es la solución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
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Dos rectas 𝑙1 y 𝑙2 con pendientes 𝑚1 y 𝑚2 ,
respectivamente, son perpendiculares si y
solo si 𝑚1 𝑚2 = −1
Familia de rectas
Se tiene una familia de rectas cuando solo se tiene uno de los
parámetros, ya sea solo 𝑚 o solo 𝑏, en la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.
Solo 𝑚, por ejemplo 0.5
Solo 𝑏, por ejemplo 2
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𝑦 = −2
Definición de circunferencia
La circunferencia cuyo centro es el
punto C(ℎ , 𝑘 ) y cuyo radio es la
constante 𝑟, tiene por ecuación
𝑥−ℎ
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2
+ 𝑦−𝑘
2
= 𝑟2
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Una circunferencias es el conjunto de
puntos de un plano que equidistan de un
punto fijo. El punto fijo se denomina
centro de la circunferencia, y a la
distancia constante se le llama radio de la
circunferencia.
La ecuación de la circunferencia
Ya sabemos que la ecuación de la circunferencia, si conocemos su centro y radio, es
𝒙 − 𝒉 𝟐 − 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
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Veamos como obtener esta ecuación si nos dan el centro 𝑪(𝒉, 𝒌) y el radio 𝒓
La ecuación de la circunferencia
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Localizamos el punto
𝐶(ℎ, 𝑘) en el plano
cartesiano.
La ecuación de la circunferencia
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Consideramos un punto
𝑃(𝑥, 𝑦) que está a una
distancia 𝑟 del punto 𝐶
La ecuación de la circunferencia
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Sabemos
que
la
distancia entre estos
dos puntos es de 𝑟
La ecuación de la circunferencia
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Trazamos dos segmentos
uno paralelo al eje 𝑥 y
otro al eje 𝑦 para formar
un triángulo rectángulo,
de tal forma que el
segmento 𝐶𝑃 sea la
hipotenusa,
así
obtenemos el punto
𝑅(𝑥, 𝑘).
La ecuación de la circunferencia
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La distancia que hay entre
el punto 𝐶 y 𝑅 es: 𝑥 − ℎ
La distancia que hay del
punto 𝑃 al 𝑅 es: 𝑦 − 𝑘
La ecuación de la circunferencia
Así llegamos a que esa es
la ecuación de la
circunferencia con centro
en el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio
𝑟
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Por el Teorema de
Pitágoras sabemos que la
suma de los cuadrados de
los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa,
así que:
𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐
La ecuación de la circunferencia
Si se conocen tres
puntos por donde pasa.
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Se conocen tres rectas a
las cuales es tangente.
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Otra forma de obtener la ecuación de la circunferencia es bajo
alguna de las siguientes condiciones :
La ecuación de la circunferencia
La ecuación de la circunferencia 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟 2 se
encuentra en su forma ordinaria, pero también se puede representar
de una forma general, como
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Podemos pasar de la ordinaria a la general solo haciendo los
siguientes pasos algebraicos.
𝑥−ℎ
2
+ 𝑦−𝑘
2
= 𝑟2
𝑥 2 + 𝑦 2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 = 0
De la expresión anterior llegamos a que: 𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −2𝑘 y
𝐹 = ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 .
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𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦 2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 = 𝑟 2
La ecuación de la circunferencia
Para pasar de la ecuación en su forma general a la ordinaria es
necesario completar cuadrados.
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝑦 2 + 𝐸𝑦 = −𝐹
𝐷2 𝐷2
𝐸2 𝐸2
2
𝑥 + 𝐷𝑥 +
−
+ 𝑦 + 𝐸𝑦 +
−
= −𝐹
4
4
4
4
𝐷
𝑥+
2
2
𝐸
+ 𝑦+
2
2
𝐷2 𝐸 2
−
−
= −𝐹
4
4
𝐷
𝑥+
2
2
𝐸
+ 𝑦+
2
2
𝐷2 + 𝐸 2 − 4𝐹
=
4
Así llegamos a que ℎ =
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𝐷
− ,
2
𝑘=
𝐸
−
2
y
𝑟2
=
𝐷 2 +𝐸 2 −4𝐹
4
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2
Familia de circunferencias
Familia de
circunferencias con
el mismo centro
Proyecto
Familia de circunferencias
tangentes a una recta en
un punto fijo.
Familia de
circunferencias que
pasan por dos puntos.
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Para definir la ecuación de una circunferencia es necesario tener tres condiciones
independientes, si solo se tienen dos, la ecuación de la circunferencia tiene un
parámetro, es decir, una constante arbitraria, así que tendríamos una familia de
circunferencias.
Definición de Elipse
La elipse comenzó a ser estudiada a partir del
descubrimiento de Kepler enunciado como las
leyes de Kepler sobre el movimiento de los
planetas en torno al Sol
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Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos
fijos de ese plano, a los cuales llamaremos focos, es siempre igual a
una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
La ecuación de la elipse
Si el eje focal es paralelo al eje 𝑦 , la
ecuación en su forma ordinaria esta dada
por
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
𝑏2
𝑎2
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La ecuación de la elipse con centro en (ℎ, 𝑘) y
eje focal paralelo al eje 𝑥, esta dada por le
forma ordinaria
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
2
2
𝑎
𝑏
La ecuación de la elipse
La excentricidad esta dada por la relación
𝑐
𝑎2 − 𝑏 2
𝑒= =
<1
𝑎
𝑎
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Para cada elipse, 𝑎 es la longitud del eje
mayor, 𝑏 es la longitud del eje menor, 𝑐 la
distancia del centro a cada foco, la relación
entre esta longitudes es:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2
Ejercicio a resolver
En la zona conurbada de la ciudad de Veracruz-Boca del Rio, existen 2 estaciones
de bomberos.
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Debido al crecimiento de la
ciudad es necesario construir
otra estación de bomberos, la
cual se pretende construir cerca
del aeropuerto de la ciudad.
Ejercicio a resolver
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Para establecer la comunicación entre las tres estaciones de bomberos se instalará
un sistema de comunicación vía radio, por lo que también se requiere la
construcción de una torre de transmisión.
Calcular la distancia a la cual estarán las estaciones de la torre de transmisión.
Ejercicio a resolver
Proyecto
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Se debe colocar la NUEVA ESTACIÓN DE BOMBEROS en el origen del plano y hacer
que el tamaño de la imagen en el laboratorio de geometría analítica sea de
900 × 600 pixeles.