Series de Fourier con Mathematica

Series de Fourier con Mathematica
Mariano González Ulloa
mgonzal@pucp.edu.pe
*
Lima, 15 de enero de 2013
1.
Introducción
El objetivo de esta presentación es mostrar algunas actividades con el software Mathematica
para el desarrollo de las las series de Fourier de funciones periódicas.
El uso de Mathematica como herramienta de cálculo simbólico, numérico y de representación
gráfica es un recurso didáctico muy útil para ser usado en el proceso enseñanza aprendizaje
de las asignaturas de ciencias e ingenierı́a ya que dispone de una gran cantidad de funciones
que permiten desarrollar módulos dinámicos para mostrar y probar resultados de manera
interactiva.
2.
Series de Fourier de funciones periódicas de perı́odo 2L
Definición 1. Una función f : R → R es periódica si existe una constante real T > 0
tal que f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R. La menor de las constantes T que cumplen con dicha
condición se denomina perı́odo de la función f .
Sea f : ] − L, L[→ R, L > 0, una función periódica con perı́odo 2L, monótona a trozos y
acotada. La serie de Fourier de f es
+∞
nπx nπx a0 X
+
an cos
+ bn sen
, −L < x < L
2
L
L
n=1
donde
1
a0 =
L
ZL
f (x)dx
−L
1
an =
L
ZL
πx f (x)cos n
dx ; n = 1, 2, 3, ...
L
−L
1
bn =
L
ZL
πx f (x)sen n
dx ; n = 1, 2, 3, ...
L
−L
*
Depto. de Ciencias - PUCP
1
que se denominan coeficientes de Fourier de la función f .
El siguiente terorema proporciona condiciones necesarias para la convergencia de la serie de
Fourier de una función perı́odica.
Teorema 1. Sea f :] − L, L[→ R una función periódica con perı́odo 2L, monótona a trozos
y acotada. La serie de Fourier de f ,
+∞
nπ nπ a0 X
+
an cos
x + bn sen
x
2
L
L
n=1
converge puntualmente en R. Además
+∞
nπ nπ a0 X
a)
+
an cos
x + bn sen
x = f (x)
2
L
L
n=1
continua.
en cada punto x ∈ R donde f es
+∞
nπ nπ f (x+ ) + f (x− )
a0 X
0
0
b)
+
x0 + bn sen
x0 =
an cos
2
L
L
2
n=1
de discontinuidad de f .
si x0 ∈ R es un punto
Como se mencionó en la introducción, a continuación se presenta algunos ejemplos a través
de los cuales se mostrará el uso de Mathematica en la presentación de las series de Fourier.
El desarrollo se realiza describiendo cada una de las instrucciones de Mathematica para
construir todos los objetos que requieren las series de Fourier para visualiar graficamente
su convergencia.
2.1.
Serie de Fourier de la función periódica f (x) = x2 − x, −2 < x < 2
En primer lugar definimos, en Mathematica, la función f . Para ello introducimos la siguiente secuencia y ejecutamos la celda correspondiente
f[x_]:=x^2-x;
también podemos asignar el valor 2 a la variable L
L=2;
con lo cual podemos construir la gráfica de f , en un perı́odo, mediante la función Plot, en
la forma
Plot[f[x],{x,-L,L},AxesLabel->{"X","Y"}]
ver figura 1. La opción AxesLabel sirve para colocar etiquetas a los ejes coordenados.
2
Y
6
5
4
3
2
1
-2
X
-1
1
2
Figura 1: Gráfica de f
Luego se obtiene los coeficientes de Fourier de f mediante
1
ao = SimplifyB
L
1
an = SimplifyB
L
1
bn = SimplifyB
L
à f@xD â xF;
L
-L
à f@xD CosB
L
nΠ
-L
L
L
nΠ
-L
L
à f@xD SinB
xF â xF . 9Sin@n ΠD ® 0, Cos@n ΠD ® H-1Ln =;
xF â xF . 9Cos@n ΠD ® H-1Ln , Sin@n ΠD ® 0=;
Observar que la función Simplify[expr ] devuelve la forma más simplificada de expr y el
operador /. expr1 → expr2 indica que la expresión expr1 será reemplazada con la expresión
expr2, mientras que el punto y coma (;) al final de cada lı́nea le indica al sistema que no
muestre el resultado obtenido.
Teniendo en cuenta que aquı́ no se trata de mostrar métodos de integración, ejecutando la
celda que se muestra a continuación, se obtiene los coeficientes de Fourier de la función f
Print@"ao=", aoD
Print@"an=", anD
Print@"bn=", bnD
cuyos valores son
8
ao=
3
an=
16 H-1Ln
n2 Π2
bn=
4 H-1Ln
nΠ
3
con dichos valores construimos la serie de Fourier
+∞
nπ x 4(−1)n
nπ x 4 X 16(−1)n
+
Cos
+
Sen
3
n2 π 2
2
nπ
2
(1)
n=1
Para observar, de manera gráfica, la convergencia de la serie definir la sucesión de sumas
parciales de (1)
m
nπ x 4(−1)n
nπ x 4 X 16(−1)n
Cos
+
Sen
; m > 0.
sm (x) = +
3
n2 π 2
2
nπ
2
(2)
n=1
En Mathematica, esta expresión toma la forma
m
h nπ i
h nπ i
ao X s[x ,m ]:=
+
x + bn Sin
x ;
an Cos
2
L
L
n=1
donde se debe tener en cuenta que los coeficientes ao, an y bn ya han sido evaluados y por
lo tanto tienen un valor.
Para mostrar algunos elementos de la sucesión de sumas parciales, ingresar la expresión y
ejecutar la celda correspondiente
DynamicModule[{n = 0}, {Slider[Dynamic[n], {0, 10, 1}],
"n=" Dynamic[n], Dynamic[s[x, n]]}]
luego tendrá
:
, n= 3,
16 CosA
4
3
Π2
Πx
E
2
16 CosA
4 Cos@Π xD
+
Π2
3Πx
E
2
4 SinA
-
Πx
E
2
Π
9 Π2
4 SinA
2 Sin@Π xD
+
Π
3Πx
E
2
3Π
>
moviendo el deslizador se puede ver otros elementos (los 11 primeros) de la sucesión de
sumas parciales de la serie. Si desea visualizar más términos de la serie sustituya, en la
celda anterior, el número 10 por el número entero positivo que desee.
Finalmente, ejecutando la celda que contiene la expresión
graficas[n_]:=Plot[{f[x],s[x,n]},{x,-L,L},PlotRange->6,AxesLabel->
{"X","Y"}];
Animate[{graficas[n],"s[x," Dynamic[n]},{n, 0, 10,1}]
se obtiene, de manera animada, la gráfica de varios de los elementos de la sucesión de sumas
parciales, incluyendo la gráfica de la función f , en un formato como el mostrado en la figura
2.
Se puede agrupar, en una sola celda, todas las instrucciones de Mathematica que se han
presentado en el ejemplo anterior para usarlas directamente con otras funciones, en la forma
4
n
Y
6
4
2
:
, s@x, 2>
-2
X
-1
1
2
-2
-4
-6
Figura 2: Sucesión de sumas parciales s[x,m]
(* define la funcion *)
f[x ]:=x2 − x;
(* define la mitad del periodo *)
L=2;
(* grafica de la funcion *)
Plot[f [x], {x, −L, L}, AxesLabel → {“X”,“Y”}]
(* calculo del hlos coeficientesi de Fourier *)
RL
ao = Simplify L1 −L f [x] dx ;
h R
i
L
an = Simplify L1 −L f [x]Cos nπ
x
dx /. {Sin[nπ] → 0, Cos[nπ] → (−1)n } ;
L
h R
i
L
bn = Simplify L1 −L f [x]Sin nπ
x
dx /. {Cos[nπ] → (−1)n , Sin[nπ] → 0} ;
L
(* valor de los coeficientes de Fourier *)
Print[“ao=”,ao]
Print[“an=”,an]
Print[“bn=”,bn]
(* sucesion de sumas parciales de la serie *)
m
h nπ i
h nπ i
ao X s[x ,m ]:=
+
an Cos
x + bn Sin
x ;
2
L
L
n=1
(* algunos elementos de la sucesion de sumas parciales de la serie *)
DynamicModule[{n=0},{Slider[Dynamic[n],{0,10,1}],n= Dynamic[n],Dynamic[s[x,n]]}]
(* grafica de f y de algunos elementos de la sucesion de sumas parciales de la serie *)
graficas[n ]:=Plot[{f[x],s[x,n]},{x,-L,L},PlotRange→ 6, AxesLabel → {“X”,“Y”}];
Animate[{graficas[n],s[x, Dynamic[n] },{n,0,10,1}]
5
2.2.
Serie de Fourier de la función periódica
2
f [x] =
−2
si
si
−1 < x < 0
0<x<1
Lo que se debe modificar en el bloque anterior es la función y su perı́odo, en la forma
f[x_]:=If[x<0,2,-2];
L=1;
y luego ejecutar la celda que contiene la secuencia completa, obteniéndose
Y
2
1
-1.0
X
-0.5
0.5
1.0
-1
-2
Figura 3: Gráfica de la función f
ao=0
an=0
4 I-1 + H-1Ln M
bn=
nΠ
:
, n= 9,
8 Sin@3 Π xD
8 Sin@Π xD
-
Π
3.
8 Sin@5 Π xD
-
3Π
8 Sin@7 Π xD
-
8 Sin@9 Π xD
-
5Π
7Π
9Π
>
Conclusiones
Después de mostrar esta secuencia de intrucciones de Mathematica para la presentación
de la serie de Fourier de una función periódica podemos mencionar algunas concluisones
teniendo en cuenta dos aspectos:
I Desde el punto de vista del profesor, permite:
• Re-estructurar la presentación de los temas de su curso.
• Hacer más ágil la presentación de sus temas durante su clase.
• Aprovechar del dinamismo de la presentación para mostrar las conexiones entre
la parte algebraica y la geométrica de los objetos que intervienen en el tema
presentado.
6
n
Y
6
4
2
:
-1.0
, s@x, 6>
X
-0.5
0.5
1.0
-2
-4
-6
Figura 4: Sucesión de sumas parciales s[x,m]
• Presentar varios casos debido a que evitará ocupar tiempo en los cálculos que en
este caso no constituyen el objeto principal del tema presentado.
I Desde el punto de vista del estudiante:
• Centrar su atención en el objetivo principal del tema presentado, sin tener que
distraerse con los cálculos, necesarios, que se requiere en la presentación.
• Disponer del material y del software para poder revisar en cualquier momento la
convergencia de la serie de Fourier.
• Elaborar sus propios ejemplos, a partir de las aplicaciones de las series de Fourier
tratadas en otras materias de su especialidad, bajo esta perspectiva.
Referencias
[1] González U., Mariano, Cálculo Integral en varias variables. no publicado.
[2] Nagle, R. Kent; Saff, Edward B.; Snider, Arthur David Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson Educación. 4a. ed. México. 2005.
[3] Simmons, George F. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas. España. McGraw-Hill/Interamericana de España S.A. 2a edición. 1993.
[4] Stewart, James. Cálculo Trascendentes Tempranas. Internacional Thomson Editores,
S.A. 4a edición. 2000.
[5] Taylor Angus, E., Mann W., Robert Fundamentos de Cálculo Avanzado. Noriega Editores. Editorial Limusa S. A. México D.F. 1989.
[6] Wolfram, Mathematica. Number Version 6.0.1.0, 2007.
7