tema 9 – cuerpos geométricos
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Colegio “La Inmaculada” Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área TEMA 9 – CUERPOS GEOMÉTRICOS Objetivos / Criterios de evaluación O.13.1 Conocer las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras geométricas sencillas de 3D. O.13.2 Resolver problemas geométricos sencillos aplicando las fórmulas. O.13.3 Conocer las fórmulas de superficie y volumen de la esfera. O.13.4 Conocer e identificar los elementos de la esfera terrestre O.13.5 Resolución de problemas de esferas. 1 Puntos, rectas y planos (Página 192) Punto, recta y plano son los elementos básicos de la geometría del espacio. Punto: no tiene longitud y su dimensión es cero Recta: tiene longitud y su dimensión es 1 Plano: Tiene superficie y su dimensión es 2 Las restas en el espacio pueden ser paralelas (no se cortan pero están en el mismo plano), secantes (pertenecen al mismo plano y se cortan en un punto) o pueden cruzarse (no pertenecen al mismo plano) Una recta y un plano pueden ser paralelas (no tienen ningún punto en común) puede estar la recta contenida en el plano o puede ser secante si lo cruza. Dos planos pueden ser paralelos si no tienen ningún punto en común o secantes si se cortan. Diedro: es el ángulo formado por dos planos que se cortan en una recta que se llama arista. La medida de un ángulo diedro es la del ángulo formado por dos semirrectas contenidas en las caras y perpendiculares a la arista. 2 Estudio de poliedros (Página 194) Def.: Poliedro es un cuerpo geométrico en tres Dimensiones limitado por polígonos planos. Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2 (C+V=A+2) Def.: Poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales. En cada vértice concurre el mismo número de caras.: Son cinco: Tetraedro: 4 caras que son triángulos equiláteros. Tema 9 – Cuerpos geométricos. Colegio “La Inmaculada” Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área Hexaedro o cubo: 6 caras que son cuadrados. Octaedro: 8 caras que son triángulos equiláteros. Dodecaedro: 12 caras que son pentágonos regulares. Icosaedro: 20 caras que son triángulos equiláteros. Def.: Eje de simetría de un cuerpo es una recta tal que, si giramos el cuerpo alrededor de ella con un determinado ángulo, se superpone consigo mismo. Si existe algún eje de simetría, el cuerpo tiene simetría de rotación. Def.: Plano de simetría de un cuerpo es un plano que contiene al eje de simetría y que divide al cuerpo en dos mitades idénticas. Si existe algún plano de simetría, el cuerpo tiene simetría especular. Def.: Prisma: Es un poliedro que tiene por bases dos polígonos iguales paralelos y sus caras laterales son paralelogramos. Def.: paralelepípedo : es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser: Ortoedro: Todas sus caras son rectángulos. Cubo: Todas sus caras son cuadrados Romboedro: todas sus caras son rombos. Procede de la deformación de un cubo. Romboidedro: todas sus caras son romboides. Procede de la deformación de un ortoedro Def.: Pirámide Es un poliedro que tiene por base un polígono y sus caras laterales son triángulos. Def.: Tronco de pirámide es el resultado de cortar una pirámide por un plano paralelo a la base. El extremo es otra pirámide que se llama pirámide deficiente. Teorema de Pitágoras en 3 dimensiones: En un ortoedro, el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los valores de sus tres dimensiones. . 3. Estudio de cuerpos redondos (página 196) Def.: Cuerpo de revolución es el que puede obtenerse al girar una forma plana una vuelta completa alrededor de un eje situado en el mismo plano que ella. Def.: Esfera es el cuerpo geométrico resultante de girar una circunferencia alrededor de su eje de simetría. Def.: Cono es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado generatriz alrededor de un eje situado en el mismo plano y con el que tiene en común un punto. Tema 9 – Cuerpos geométricos. Colegio “La Inmaculada” Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Def.: Tronco de cono es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado generatriz alrededor de un eje no paralelo situado en el mismo plano y con el que no tiene ningún punto en común. Def.: Cilindro es el cuerpo geométrico resultante de girar un segmento llamado generatriz alrededor de un eje situado en el mismo plano y paralelo al segmento. 4 Estudio de figuras prismáticas (página 198) Figura Prisma Regular recto Área Volumen V Área de la base altura Área 2 A.base A.Lateral Cilindro Estudio de pirámide Figura Área Pirámide Regular Área A.base A.Lateral Volumen V Cono Tronco de pirámide recto Tronco de cono Área r 2 r g Área ( P p) A 2 Área de la base altura 3 V Volumen Pir Volumen Def Área R 2 r 2 ( R r ) g V VolumenCono Volumen Def 5 Estudio de la esfera (página 199) Def.:Esfera es el cuerpo geométrico resultante de girar un semicírculo (o círculo) alrededor de su diámetro Def.: Semiesfera es el cuerpo geométrico resultante de dividir una esfera con un plano que pasa por el centro de la misma. Tema 9 – Cuerpos geométricos. Colegio “La Inmaculada” Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área Def.: Casquete esférico es el cuerpo geométrico resultante de dividir una esfera con un plano que no pasa por el centro de la misma. Def.: Zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. Def.: Huso esférico es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que tienen un diámetro común. Figura Área Volumen Área 4 r 2 Esfera Casquete esférico Volumen 43 r 3 Área 2 r h Zona esférica Huso esférico Área 4 r 2 n º 360 Volumen 4 r 3 n º 3 360 6 Simetrías en los cuerpos geométricos (página 201) Def.: Simetría axial. Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un eje cuando el eje es mediatriz del segmento que los une. Dos puntos simétricos respecto del eje horizontal (abscisas) tienen la misma abscisa y ordenadas opuestas. Dos puntos simétricos respecto del eje vertical (ordenadas) tienen la misma ordenada y abscisas opuestas. Def.: Eje de simetría: decimos que una figura tiene un eje de simetría cuando todos los puntos tienen su simétrico respecto de ese eje en la misma figura. Def.: Simetría central. Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un punto cuando el punto es el centro del segmento que los une. Dos puntos simétricos respecto del origen de coordenadas tienen abcisa y ordenada opuestas. Def.: Centro de simetría: decimos que una figura tiene centro de simetría cuando todos los puntos tienen su simétrico respecto de ese punto en la misma figura. Tema 9 – Cuerpos geométricos. Colegio “La Inmaculada” Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área Def.: Simetría especular Dos puntos P y P' son simétricos respecto de un plano cuando el plano contiene a la mediatriz del segmento que los une Def.: Plano de simetría: decimos que una figura tiene plano de simetría cuando todos los puntos tienen su simétrico respecto de ese plano en la misma figura. 7 Estudio del planeta Tierra como esfera (página 202) El planeta Tierra tiene forma de Geoide. Pero puede considerarse como una esfera de radio medio 6371 km ligeramente achatada por los polos. Def.: Eje terrestre es una línea imaginaria alrededor de la cual se produce el movimiento de rotación terrestre. Los puntos de corte del eje con la superficie terrestre se llaman polos. Def.: Ecuador terrestre es la circunferencia sobre la superficie de la Tierra cuyo plano es perpendicular al eje terrestre y le divide por su punto medio. Def.: Meridiano terrestre son las semicircunferencias que pasan por los polos de la Tierra. Divide la superficie del planeta en husos. Def.: Huso horario es cada uno de los 24 husos en que suele dividirse la Tierra. Las zonas de la Tierra situadas en el mismo huso, suelen tener la misma hora. Def.: Paralelo terrestre son las circunferencias sobre la superficie terrestre tal que su plano es perpendicular al eje terrestre. Son paralelas al Ecuador. Def.: Zona Terrestre es la superficie de la tierra comprendida entre dos paralelos. Tema 9 – Cuerpos geométricos. Colegio “La Inmaculada” Misioneras Seculares de Jesús Obrero Nueva del Carmen, 35. – 47011 Valladolid. Tel: 983 29 63 91 Fax: 983 21 89 96 e-mail: lainmaculadava@planalfa.es Área de Matemáticas 3º de ESO Apuntes de Área 9 Coordenadas geográficas terrestres (página 229) Def.: Coordenadas terrestres son un sistema de ejes coordenados formado por el Ecuador y el meridiano de Greenwich (meridiano cero). Su unidad de medida es el grado. Las coordenadas utilizadas en este sistema se llaman latitud y longitud. Def.: Latitud de un punto de la superficie terrestre es la medida en grados del arco, medido en el meridiano del lugar, que va desde el ecuador hasta el paralelo del lugar. Puede ser Norte o Sur en función del hemisferio en que se encuentre el punto. Va desde 90º latitud norte hasta 90º latitud sur Def.: Longitud de un punto de la superficie terrestre es la medida en grados del arco medido sobre el ecuador desde el meridiano de Greenwich hasta el meridiano en que se encuentra situado ese punto. Puede ser Oeste o Este en función del lugar hacia el que se encuentra el punto. Va desde 180º longitud oeste hasta 180º longitud este. Def.: Altitud es la tercera de las coordenadas terrestres. Se mide en metros desde el nivel del mar (msnm). Latitud, longitud y altitud son las tres coordenadas que suministra un dispositivo GPS Valladolid está situada a 41º38' latitud N, 4º43' longitud oeste y 698 msnm 10 Cartografía (página 230) Def.: Cartografía es la ciencia que elabora representaciones de la Tierra o de una parte de ella. Cuando afectan a partes pequeñas de la tierra se llaman planos. Si afectan a partes más amplias se llaman mapas. Def.: Proyecciones son las distintas formas en que puede convertirse una superficie esférica en plana para dibujar un mapa. De la utilización de una u otra proyección depende la imagen que aparece en el mapa. Def. Proyección cilíndrica: Se supone la tierra dentro de un cilindro y se proyecta sobre él. Las partes aparecen más grandes de lo que son en realidad cuanto más alejadas están del ecuador. Proyección de Mercator. Def. Proyección cónica: Se supone la tierra dentro de un cono y se proyecta sobre él. Las partes aparecen más grandes de lo que son en realidad cuanto más alejadas están del punto de corte del cono y la esfera. Se suele utilizar para representar áreas de latitudes medias Def. Proyección cenital o azimutal: La Tierra se proyecta sobre un plano tangente en un punto. Los mapas son circulares tanto más distorsionados cuanto más nos alejamos del punto de tangencia. Se suele utilizar para representar los polos. Tema 9 – Cuerpos geométricos.
