diseño fraccion un cuarto

8. DISEÑOS FACTORIALES FRACCIONADOS 2K-2
8.1 DISEÑOS FACTORIALES FRACCION UN CUARTO
Dependiendo del número de factores
y del costo de cada corrida experimental, en
ocasiones es necesario correr una fracción más pequeña del diseño factorial completo 2K. Un
diseño factorial fraccionado 2k-1 representa la cuarta parte del factorial original completo.
Para obtener este diseño se necesitan dos efectos generadores, de entre las interacciones
de alto orden. Estos efectos generadores (interacciones de alto orden) deben ser elegidos de
manera que su producto sea también una interacción de alto orden. Estos diseños tendrán tres
generadores: los primeros dos que se seleccionaron más su producto entre si, y ninguno será
estimable. El generador con menos letras será el que definirá la resolución del diseño.
8.2 CONSTRUCCION DEL DISEÑO FRACCIONADO UN CUARTO 2k-2
El factorial fraccionado 2k-2 se puede construir en dos pasos:
1) Se escribe el diseño 2k-2 como si fueran un diseño factorial completo y de esta forma se
tienen los niveles de los primeros k-2 factores.
2) Los niveles que corresponden a los factores dos últimas columnas (factores k-1, y k) se
obtienen multiplicando columnas previas de acuerdo a los generadores.
Por ejemplo, consideremos el estudio de 6 factores A, B, C, D, E, F y aplicando el primer paso,
se obtienen las combinaciones completas de un diseño de 4 factores para los factores A, B,C, D
(ver la tabla 8.1). El segundo paso es generar los factores E=ABC y F=BCD, como se ilustra en
la tabla 8.2.
Por consiguiente los generadores del diseño son I=ABCE
e
I=BCDF.
Multiplicando ambos generados obtenemos el tercer generador (ABCE)(BCDF)=ADEF. De los
tres generados, el generador con mínimo de letras es 4 letras, por lo tanto el diseño es de
resolución IV. La estructura de alias o efectos confundidos se pueden ver en la tabla 8.3.
116
A
+
+
+
+
+
+
+
+
B
+
+
+
+
+
+
+
+
C
+
+
+
+
+
+
+
+
D
+
+
+
+
+
+
+
+
Tabla 8.1 Combinaciones del diseño
de los k-2=4 primeros factores
A=BCE=DEF=ABCDF
B=ACE=CDF=ABDEF
C=ABE=BDF=ACDEF
D=BCF=AEF=ABCDE
E=ABC=ADF=BCDEF
F=BCD=ADE=ABCEF
A
B
C
D
E=ABC F=BCD
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Tabla 8.2 Combinaciones de un diseño 2k-2
AB=CE=ACDF=BDEF
AC=BE=ABDF=CDEF
AD=EF=BCDE=ABCF
AE=BC=DF=ABCDEF
AF=DE=BCEF=ABCD
BD=CF=ACDE=ABEF
BF=CD=ACEF=ABDE
ABD=CDE=ACF=BEF
ACD=BDE=ABF=CEF
Tabla 8.3 Estructura de Alias o Efectos confundidos
8.3 Problema
Se observa que los componentes manufacturados en cierto proceso de moldeo por inyección
presentan contracción (encogimiento) excesiva. Esto causa problemas en las operaciones de
montaje posteriores al moldeo. Un equipo de mejoramiento de la calidad ha decidido emplear un
experimento diseñado a fin de estudiar el proceso de moldeo por inyección y tratar de reducir la
contracción. El equipo decide investigar 6 factores : temperatura del molde (A), rapidez de
alimentación (B), tiempo de retención (C), tiempo de ciclo (D), tamaño de la compuesta (E),
117
presión de retención (F), cada uno a dos niveles, con el objetivo de descubrir la forma en que
cada factor influye en la contracción y algo sobre como interactúan. Se decide emplear el diseño
factorial fraccionario de dos niveles y 16 corridas. Los resultados de la experimentación se
pueden ver en la tabla 8.4.
A
B
C
D
E=ABC
F=BCD Contracción
-
-
-
-
-
-
6
+
-
-
-
+
-
10
-
+
-
-
+
+
32
+
+
-
-
-
+
60
-
-
+
-
+
+
4
+
-
+
-
-
+
15
-
+
+
-
-
-
26
+
+
+
-
+
-
60
-
-
-
+
-
+
8
+
-
-
+
+
+
12
-
+
-
+
+
-
34
+
+
-
+
-
-
60
-
-
+
+
+
-
16
+
-
+
+
-
-
5
-
+
+
+
-
+
37
+
+
+
+
+
+
Tabla 8.4 Resultados del experimento para Contracción
52
118
8.4 SOLUCION ESTADISTICA DEL DISEÑO FRACCION UN CUARTO
Primeramente se obtienen los efectos promedios hasta el segundo orden, a partir de estos
diseños ya no se estudiaran las interacciones triples hacia adelante (ver tabla 8.5), los cuales son
graficados en el diagrama de Pareto Normal de la figura 8.1. Nótese en el diagrama de Pareto de
la figura 8.1, los efectos confundidos los cuales están enlazados por un signo +. Al igual como
se vio en los diseños no replicados y en el diseño fracción un medio, no son suficientes grados
de libertad para estimar el error y por consecuencia no se sabe con precisión cuales efectos son
significativos, además tenemos otro problema hay efectos que están confundidos. En este punto
es muy importante tomar en cuenta que hay que eliminar efectos, pero también quitar las
confusiones. Para identificar que confusiones hay que quitar, se puede ver que los simples de
Temperatura de Molde y Rapidez de alimentación son los efectos más importantes del diseño,
por consiguiente en la confusión AB+ CE el efecto de interacción que puede ser importante es
AB, debido a que sus efectos simples lo son, por lo que la interacción CE puede ser eliminada y
dejar solo el efecto de interacción AB. Similarmente, tenemos que los efectos confundidos
AD+EF el posible efecto importante seria la interacción AD, ya que los efectos simples del
factor E y el factor F están en la zona de los efectos no importantes del Pareto, por lo que se
pude quitar o eliminar la interacción EF y dejar solo la interacción AD. Pero siguiendo las
mismas indicaciones de eliminación como se vio en el diseño fracción un medio, solo que
considerando que los efectos confundidos equivalen a un solo efecto, así que para agregar un
grado de libertad para el error es necesario eliminar toda la confusión. De esta forma, el mejor
Anova y el mejor Pareto estandarizado se puede ver en la tabla 8.6 y en la figura 8.2,
respectivamente. Los efectos que son significativos al 5% según la tabla del mejor anova, son
los efectos simples de Temperatura de Molde y Rapidez de Alimentación, así como el efecto de
interacción de la Temperatura de Molde y la Rapidez de alimentación.
119
Efectos estimados para Encogimiento
Efecto
Estimado
promedio
27.3125
A:Tem de molde
13.875
B:Rap de alimentación
35.625
C:Tiem de Retención
-0.875
D:Tiem de ciclo
1.375
E:Tam de la compuesta
0.375
F:Pres de retención
0.375
AB+CE
11.875
AC+BE
-1.625
AD+EF
-5.375
AE+BC+DF
-1.875
AF+DE
0.625
BD+CF
-0.125
BF+CD
-0.125
Tabla 8.5 Efectos promedio
Diagrama de Pareto Estandarizada para Encogimiento
B:Rap de alimetacion
A:Tem de molde
AB+CE
AD+EF
AE+BC+DF
AC+BE
D:Tiem de ciclo
C:Tiem de Retencion
AF+DE
F:Pres de retencion
E:Tam de la compuesta
BF+CD
BD+CF
+
-
0
2
4
6
8
Efecto estandarizado
10
12
Figura 8.1 Diagrama de Pareto para
Encogimiento
Diagrama de Pareto Estandarizada para Encogimiento
+
-
B:Rap de alimetacion
A:Tem de molde
AB
0
4
8
Efecto estandarizado
12
16
Figura 8.2 Mejor Pareto Estandarizado para Encogimiento
120
Análisis de Varianza para Encogimiento
Fuente
Suma de Cuadrados
A:Tem de molde
770.063
B:Rap de alimentación 5076.56
AB
564.063
Error total
248.75
Total (corr.)
6659.44
Gl
1
1
1
12
15
Cuadrado Medio
770.063
5076.56
564.063
20.7292
Razón-F
37.15
244.90
27.21
Valor-P
0.0001
0.0000
0.0002
R-cuadrada = 96.2647 porciento
R-cuadrada (ajustada por g.l.) = 95.3309 porciento
Tabla 8.6 Mejor Anova para Encogimiento
8.4.1 ANALISIS COMPLEMENTARIOS
8.4.1.1 GRAFICAS DE EFECTOS PROMEDIO
En las graficas de las figuras 8.3 y 8.4, están los efectos promedio de la Temperatura de molde y
Rapidez de alimentación, respectivamente. Ambos efectos son positivos y para minimizar el
Encogimiento se recomienda un nivel bajo (-) de Temperatura de molde y un nivel bajo (-) de
Rapidez de alimentación.
Gráfica de Efectos Principales para Encogimiento
Gráfica de Efectos Principales para Encogimiento
35
50
34.25
45.125
40
Encogimiento
Encogimiento
32
29
26
20
10
23
20
30
20.375
9.5
0
-1.0
1.0
Tem de molde
Figura 8.3 Grafica de Efectos promedio para
Temperatura de Molde
-1.0
1.0
Rap de alimetacion
Figura 8.4 Grafica de Efectos promedio para
Rapidez de Alimentación
121
8.4.1.2 GRAFICAS DE EFECTOS DE INTERACCIÓN
En la figura 8.5 esta la grafica de efecto de interacción de Temperatura de molde y Rapidez de
alimentación. Nótese que cuando se trabaja en nivel bajo (-) de Rapidez de alimentación y se
cambia de nivel bajo (-) a nivel alto (+) en la temperatura de molde no hay un cambio en el
Encogimiento, así que para minimizar el encogimiento se recomienda trabajar en el nivel bajo
(-) de Temperatura de molde con una Rapidez de alimentación en nivel bajo (-), así como
también un nivel alto (+) de Temperatura de molde y un nivel bajo (-) de Rapidez de
alimentación.
Gráfica de Interacción para Encogimiento
60
Rap de alimetacion=1.0
Encogimiento
50
40
30
Rap de alimetacion=1.0
20
10
Rap de alimetacion=-1.0
Rap de alimetacion=-1.0
0
-1.0
1.0
Tem de molde
Figura 8.5 Grafica de efecto de interacción de Temperatura de molde y Rapidez de alimentación
Con base a las recomendaciones de los efectos promedio y las recomendaciones de la grafica de
interacción, se puede concluir que para minimizar el Encogimiento, encogimiento se recomienda
trabajar en el nivel bajo (-) de Temperatura de molde con una Rapidez de alimentación en nivel
bajo (-), así como también un nivel alto (+) de Temperatura de molde y un nivel bajo (-) de
Rapidez de alimentación.
122
8.4.1.3 MODELO DE REGRESION Y GRAFICA DE RESPUESTA
La expresión 8.1 corresponde al modelo de regresión para el Encogimiento. En la figura 8.6 esta
la grafica de respuesta para el Encogimiento. Sustituyendo los valores del nivel bajo (-) de
Temperatura de molde con una Rapidez de alimentación en nivel bajo (-) y los valores de un
nivel alto (+) de Temperatura de molde y un nivel bajo (-) de Rapidez de alimentación en el
modelo regresión, podemos ver que los valores mínimos de Encogimiento se ilustran en la
figura 8.6.
Encogimiento = 27.3125 + 6.9375*Tem de molde + 17.8125*Rap de alimetacion + 5.9375*Tem
de molde*Rap de alimetacion
(8.1)
Gráfica de Cuadro para Encogimiento
Rap de alimetacion
Tiem de Retencion=0.0,Tiem de ciclo=0.0,Tam de la compuesta=0.0,Pres de retencio
1.0
32.25
58.0
-1.0
8.5
10.5
-1.0
1.0
Tem de molde
Figura 8.6 Grafica de respuesta para Encogimiento
8.4.1.4 SUPUESTOS DEL DISEÑO
SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE
En las figuras 8.7, 8.8, están las gráficas de verificación de la varianza constante de los efectos
de Temperatura de molde y Rapidez de alimentación, respectivamente. Nótese que en ninguna
123
grafica se presenta algún patrón inusual, por lo que podemos concluir que se cumple el supuesto
de varianza constante.
Gráfica de Residuos para Encogimiento
8
8
4
4
residuo
residuo
Gráfica de Residuos para Encogimiento
0
0
-4
-4
-8
-8
-1
-0.6
-0.2
0.2
Tem de molde
0.6
1
Figura 8.7 Grafica de varianza constante para
Temperatura de molde
-1
-0.6
-0.2
0.2
Rap de alimetacion
0.6
1
Figura 8.8 Grafica de varianza constante
para Rapidez de alimentación
Gráfica de Residuos para Encogimiento
Gráfico de Probabilidad Normal para Residuos
8
99.9
99
95
porcentaje
residuo
4
0
-4
80
50
20
5
1
-8
0.1
0
4
8
número de corrida
12
16
Figura 8.9 Grafica de independencia de residuos
-7
-4
-1
2
5
8
residuos
Figura 8.10 Grafica de Normalidad de
residuos
124
SUPUESTO DE INDEPENDENCIA Y NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS
En la gráfica de la figura 8.9 se puede ver la grafica de independência de residuos, en la cual se
pude ver que no hay ningún problema. Tampoco se presenta ningún patrón inusual en la
normalidad de los resíduos (ver figura 8.10).
8.5 Recomendaciones para el uso de diseños
En la tabla 8.7 se presentan algunas recomendaciones para ciertos casos de aplicación de un
diseño de experimentos. Nótese que la utilización de diseños no replicados se pueden hacer a
partir de 4 factores.
No.
2
3
4
5
De
Factores Posible Diseño
22
3 ó 4
23
12, 16
2
24
25
Replicas
1
o
25-1
6
26-1
o
26-2
7
27-2
o 27-3
No. De
Corridas
16
ó
2
16, 32
No
replicado
16, 32
No
replicado
16, 32
No
replicado
16, 32
No
8
28-3 o 28-4
replicado
Tabla 8.7 Recomendaciones para el uso de diseños
16, 32
125