Calculo de límites de funciones

Carolina Mata Galván
02-12-2014
Calculo de límites de funciones
Límites de una función.
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de
límite aplicado a las funciones.
Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en el punto c, significa que el
valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente
próximos a c, sin importar el valor que pudiera adquirir o en el punto c.1
Definición de límites.
Si la función tiene límite
en podemos decir de manera informal que la función tiende
hacia el límite cerca de si se puede hacer que
esté tan cerca como queramos de
haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta
razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para
todo
existe un
tal que para todo número real x en el
dominio de la función
.
Esto, escrito en notación formal:
Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos,
sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es
tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan
cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la
elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es
posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet
como:
definida
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donde no existe un número c para el cual exista
. Por lo tanto, para demostrar la
anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto
números racionales como irracionales.
Interpretación geométrica.
Geometricamente, ¿qué es la derivada de
La diferencia
en un punto
?
mide el incremento de la función
entre
y
, mientras que
mide el incremento de la variable. El cociente entre ambos incrementos
es precisamente la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función,
entre los puntos
y
. En la siguiente gráfica podemos observar que
ocurre cuando tomamos valores de la variable cada vez más próximos al punto
Limites por la izquierda y por la derecha.
Límite por la izquierda
El concepto de límite por la izquierda es completamente similar al límite por la derecha,
solo que la variable x se acerca al valor a por la izquierda, es decir, con valores que son
menores a a. Considere el lector la función
cuya gráfica acompaña
este texto. Observe que el dominio de esta función es el intervalo abierto
, es decir que la función no está definida ni para
ni para ningún valor
superior a éste.
Por lo tanto, como en el caso anterior, no podemos decir cuánto vale la función en el punto
a. Sin embargo, podemos observar que cuanto más nos acercamos con las x por la izquierda
al valor a, más se van acercando los valores de la función al valor L. Esto puede apreciarse
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fácilmente en el programa interactivo de la izquierda. Pruebe el lector acercando por la
izquierda lentamente la flecha naranja hacia a y verá que la flecha azul termina acercándose
a L. Se debe procurar llegar a la siguiente situación:
Límite por la derecha
Considere el lector la función
que aparece representada a la
izquierda de este texto. Observe que la función está definida sobre el intervalo abierto
. En particular no está definida para
, lo cual está indicado en la
gráfica por un pequeño círculo azul con relleno blanco situado al extremo izquierdo de la
curva, justo sobre el valor
.
Así pues, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos
observar que cuando nos acercamos por la derecha con las x al valor a, los valores de la
función se van acercando a L. Esto puede apreciarse fácilmente en la gráfica interactiva de
la izquierda. Pruebe el lector acercando lentamente la flecha naranja hacia a por la derecha
y verá que la flecha azul termina acercándose a L. En realidad, se debe procurar llegar a la
siguiente situación:
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Suma de límites
Funciones
Sucesiones
lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)
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1. Teoremas sobre límites A través de ejemplos estableceremos, sin demostración,
algunos teoremas importantes que nos permitirán hacer el cálculo de límites de
funciones a mano. Límite de una función constante Sea f(x)=k, donde k es una
constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x a, para a=4. Por la
izquierda Por la derecha x f(x) x f(x) 3.75 k 4.25 k 3.9375 k 4.0625 k 3.98437 k
4.01562 k 3.99609 k 4.00391 k 3.99902 k 4.00098 k Habrás notado que
independientemente del valor del número a y de la constante k, el límite es siempre
k. Por lo tanto proponemos el siguiente teorema: Teorema 1: Límite de una función
constante. Límite de una función constante. Sea f(x)=k (constante), entonces: Lím
f(x) = Lím k = k x a x a
2. Límite de f(x)=x cuando x a Sea f(x)=x. A continuación se muestra el límite de
f(x) cuando x a, para a=4. Por la izquierda Por la derecha x f(x) x f(x) 3.75 3.75
4.25 4.25 3.9375 3.9375 4.0625 4.0625 3.98437 3.98437 4.01562 4.01562 3.99609
3.99609 4.00391 4.00391 3.99902 3.99902 4.00098 4.00098 La tabla anterior
sugiere el siguiente teorema: Teorema 2: Límite de f(x)=x. Sea f(x)=x. Entonces:
Lim f(x) = Lim x = a x a x a
3. Límite de una función multiplicada por una constante Sea k una constante y f(x)
una función cualquiera. En la siguiente tabla evaluaremos dos límites: en la
columna izquierda evaluaremos Lim k f(x) y en la derecha evaluaremos k Lim f(x),
ambos cuando x tiende a a=-1. En este ejemplo, k=2 y f(x)=3x-2. Compara los
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valores de las dos columnas. x [k f(x)] k [f(x)] -1.25 -11.5 -11.5 -1.0625 -10.375 10.375 -1.01563 -10.0937 -10.0937 -1.00391 -10.0234 -10.0234 -1.00098 -10.0059
-10.0059 Como habrás observado, los valores de las dos columnas son iguales.
Entonces tenemos el siguiente teorema: Teorema 3: Límite de una función
multiplicada por una constante. Sea k una constante y f(x) una función dada.
Entonces: Lim k f(x) = k Lim f(x) x a x a
4. Límite de una suma, diferencia, producto y cociente de funciones Sean f(x) y g(x)
dos funciones cuyos límites existen cuando x a. En la siguiente tabla observaremos
los valores de f, g, f+g, f-g, f.g y f/g cuando x se acerca a un número a. En este
ejemplo, f(x)=x2+1, g(x)=x+2, a=2 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(x)/g(x)
5.84 4.2 10.04 1.64 24.528 1.39048 5.0804 4.02 9.1004 1.0604 24.4232 1.26378
5.008 4.002 9.01 1.006 20.042 1.25138 5.0008 4.0002 9.001 1.0006 20.0042
1.25014 5.00008 4.00002 9.0001 1.00006 20.0004 1.25001 Observa bien la tabla.
Relaciona los límites de f y g con los límites de f+g , f-g, f.g y f/g. La tabla sugiere
el siguiente teorema: Teorema 4: Límite de una suma, diferencia, producto y
cociente de funciones Supóngase que Lim F(x) = L1 y Lim G(x) = L2 x a x a
Entonces: 1. Lim[ F(x)+G(x) ] = L1 + L2 x a 2. Lim[ F(x) - G(x) ] = L1 - L2 x a 3.
Lim[ F(x) G(x) ] = L1 * L2 x a 4. Lim[ F(x) / G(x) ] = L1 / L2
5. x a si L2 no es igual a cero El límite de una potencia A continuación
calcularemos valores de f(x)=xn para n entero positivo conforme x a. En la tabla,
a=2 y n=3. x xn an 1.75 5.35937 8.0 1.9375 7.27319 8.0 1.98437 7.81396 8.0
1.99609 7.95322 8.0 1.99902 7.98829 8.0 El resultado anterior sugiere el siguiente
teorema: Teorema 5: Límite de una potencia. Sea n un entero positivo, entonces:
Lim xn = an x a Los teoremas 4 y 5 tienen como consecuencia los siguientes dos
teoremas:
6. Teorema 6: Límite de un polinomio. El límite de un polinomio. Sea f(x) una
función polinomial, entonces: Lim f(x) = f(a) x a Teorema 7: Límite de una función
racional. Sea f(x)=p(x)/q(x) un cociente de polinomios, entonces: Lim f(x) =
p(a)/q(a) x a si q(a) no es cero. Límite de una función que contiene un radical A
continuación calcularemos valores de la raíz-n de x, es decir, x(1/n) conforme x a.
Si a>0 entonces n puede ser cualquier entero positivo, pero si a<0, n debe ser un
entero impar. En la tabla, a=3 y n=2. x x(1/n) a(1/n) 2.75 1.65831 1.73205 2.9375
1.71391 1.73205 2.98437 1.72753 1.73205
7. 2.99609 1.73092 1.73205 2.99902 1.73177 1.73205 Lo anterior sugiere el
próximo teorema. Teorema 8: Límite de una función que contiene un radical. Si a>0
y n es cualquier entero positivo, o si a<0 y n es un entero positivo impar, entonces:
Lim x(1/n) = a(1/n) x a El límite de una función compuesta La inmensa mayoría de
las funciones pueden ser vistas como composiciones de funciones más simples. Los
teoremas que hemos "descubierto" se refieren a un pequeño grupo de funciones
importantes. Trataremos de intuir las propiedades del límite de una función
compuesta (fog )(x) = f[g(x)]. En la próxima tabla, calcularemos valores de g(x)
conforme x a, y los compararás con el número f(L), donde L=Lim g(x). En este
ejemplo, f(x) = x1/2, g(x) = x2 + 4, y a = 3. x g(x) f[g(x)] f(L) 2.75 11.5625 3.40037
3.60555 2.9375 12.6289 3.55372 3.60555 2.98437 12.9065 3.59256 3.60555
2.99609 12.9766 3.6023 3.60555 2.99902 12.9941 3.60474 3.60555
8. La tabla anterior pretende ilustrar que Lim f(g(x))=f(Lim g(x))=f(L). Lo anterior
sugiere el siguiente teorema: Teorema 9: El límite de una función compuesta. Si f y
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g son funciones tales que: Lim g(x) = L y Lim f(x) = f(L) x a x L entonces, Lim f
[g(x)] = f(L) x a
Una constante multiplicada por una función
En general, una constante es un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al
menos no dentro del contexto o situación para el cual está: geometría aritmética.
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En ciencias, especialmente en física, se denomina constante a aquella magnitud
cuyo valor no varía en el tiempo.
En matemáticas, una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado.
Una Función constante es una función matemática que para cada conjunto de
variables en la misma, devuelve el mismo valor.
En álgebra son los coeficientes de un monomio u otra fórmula.
En ecuaciones diferenciales al resolver se obtiene una solución general con
constante ( o constantes), si es de primer orden conlleva una constante arbitraria o
constante de integración.1
Constante es un elemento utilizado en lenguajes de programación.