capítulo ix. - Biblioteca Central

CAPÍTULO IX
119
POTENCIA E INVERSIÓN
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA
Se llama así al producto de las distancias del punto a cada uno de los
dos en que una secante que pasa por él corta a la circunferencia, tomando
ese producto con signo + ó - según el punto sea exterior o interior a la
circunferencia.
PM = + MA x MB
PN = - NC x ND
Corolario: un Punto situado en la circunferencia tiene potencia nula.
Potencia = MA . MB (minterior o exterior)
TEOREMA IX-1 La potencia de un punto respecto a una circunferencia es
independiente de la secante trazada, y vale:
P = d2 - r 2
siendo d la distancia del punto al centro de la circunferencia, y r el radio de la
misma.
Dem.: Sea M un punto exterior. Trazamos la secante MAB y unimos
M con el centro O.
120
Los triángulos MAD y MCB son semejantes, pues el ángulo en M es
común, y los MDA y MB C son inscritos y abarcan el mismo arco; luego:
MA MC
=
MD MB
MA x MB = MD x MC
= d2 - r 2 la cual es ya positiva.
Si M fuese interior
MAC y MDB son semejantes
(d + r) (d - r)
121
MA MC
=
MD MB
MA x MB = (r - d) (r + d) = r2 - d2
Pot = - MA x MB = d2 - r 2
Corolario: Para un punto exterior, la potencia es el cuadrado de la
tangente desde este punto a la circunferencia:
Mt 2 = d 2 - r2
por Pitágoras.
TEOREMA IX - 2 Si dos pares de puntos AA' y BB' situados en 2 rectas
secantes en P son concíclicos (es decir, por ellos pasa una circunferencia), se
cumple, en valor y signo, que:
PA X PA' = PBX PB'
y recíprocamente.
(Se considerará PAX PA' como positivo, si A y A' están en la
misma semirrecta respecto a P).
Dem.: Por potencia de P:
PAX PA' = PB X PB'
122
Para demostrar el recí proco, trazamos la circunferencia que pasa por A,
A' y B, la cual corta a PB en B" ( Fig. IX-6:), tal que, en virtud del teorema IX –1:
PA X PA' = PB X PB'' ; y como PA X PA' = PB X PB'
esto exige que PB" sea igual a PB', y en el mismo sentido. Por
coincide con B', y los 4 puntos sean concíclicos.
tanto
B"
Eje radical de 2 circunferencias
Es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia
respecto a las dos circunferencias.
TEOREMA IX-3
El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es
una recta perpendicular a la línea de centros.
123
Dem.: Sean d 1, d2 las distancias de un punto P a los centros de dos
circunferencias , y r1 y r 2 los radios de ellas. Para que las potencias de P sean
iguales:
d12 − r12 = d22 − r22
d12 − d 22 = r22 − r12 = Cte.
Luego es necesario y suficiente que la diferencia de cuadrados de
distancias a los dos centros sea constante. Se trata pues de una recta
perpendicular a la línea de centros.
NOTA: si las circunferencias son concéntricas, d1 = d2 ;
y como los radios son distintos, no hay ningún punto que tenga igual
potencia. Sin embargo, en atención a que los puntos muy lejanos v an
teniendo potencias de razón más semejante, se suele decir que el eje
radical en ese caso es "la recta del infinito" del plano.
Corolarios:
CONSTRUCCIÓN
a)
Si desde un punto del eje radical se pueden
trazar tangentes a una de las circunferencias, se
pueden trazar tamb ién tangentes, y de igual
longitud, a la otra.
b)
Las tangentes comunes quedan dividi das en dos
partes iguales por el eje radical.
GEOMÉTRICA
DEL
EJE
RADICAL
Consideremos 4 casos:
a)
Las circunferencias son secantes: entonces el eje radical es la
recta que une los puntos de intersección (que tienen potencia
igual, nula, respecto a las dos).
b)
Las circunferencias son tangentes: entonces la tangente común es
el eje radical.
c)
Las circunferencias son exteriores. En este caso, trazamos las
tangentes comunes y unimos sus puntos medios, obteniendo así
el eje radical.
d)
Las circunferencias son interiores. En este caso, buscaríamos un
punto de igual potencia respecto a las dos, trazando dos
tangentes de igual longitud
t
y buscando los puntos de la misma
potencia, que están e n m1, y m2. El punto de intersección M,
124
pertenece al eje radical. Desde M trazamos la perpendicular a la línea de
centros, que es el eje radical de las dos.
Centro radical de tres circunferencias
Se llama a s í al punto del plano (si existe), que tenga igual potencia
respecto a 3 circunferencias dadas.
Si los 3 centros no están alineados, entonces existen 3 ejes radicales: el
de las circunferencias 1 y 2, el de las 1 y 3 y el de las 2 y 3.
El de 1 y 2, y el de 2 y 3, se cortan en un punto que tiene igual potencia
respecto a las 3 circunferencias; por tanto pertenece también al eje radical de 1
y 3. Es decir, los 3 ejes radicales concurren en el centro radical.
Cuando dos circunferencias son concéntricas, uno de los
125
ejes radicales es la llamada "recta del infinito"; en ese caso no existe centro
radical propiamente dicho; aunque p uede hallarse de un "centro radical en el
infinito" en cierta dirección. Análogamente, cuando los 3 centros están
alineados, los 3 ejes radicales son paralelos: no existe centro radical propio,
pero puede decirse que está en el infinito, en la dirección señalada por los ejes
radicales.
INVERSIÓ N EN EL PLANO
Sea el conjunto S' formado por todos los puntos del p lano a excepción
del punto O. Inversión es una transformación de S' sobre sí mismo de tal forma
que:
a)
2 puntos homólogos (inversos) A y A' están alineados con O.
b)
OAxOA' = K
K es una constante positiva o negativa, llamada potencia de inversión.
a
o
se le llama centro de inversión.
El producto
OAxOA' se considerará positivo si A y
o , y negativo en caso contrario.
A' están en la
misma semirrecta respecto a
La potencia de inversión K, debe darse con indicación de la unidad
usada. La inversión queda definida si se conocen O y K; o bien y se conocen
O y un par de puntos inversos cualesquiera A y A', alineados con O.
Corolario: La inversión es una transformación involutiva.
TEOREMA IX-4 La circunferencia de centro O y radio
K
es doble.
Dem.: Si K > O, A es inverso de sí mismo pues OA x OA' = K
Si K < O , A' es el inverso de A y está también en la misma
circunferencia.
FIG: IX - 8
126
TEOREMA IX – 5 Dos pares de puntos inversos no alineados es tán en una
circunferencia doble.
Dem. :Sean A, A' y B y B' los pares de puntos inversos.
OAX OA' = OB X OB'
im plica que son concíclicos.
Ahora bien, dado un punto C de la circunferencia que los contiene, su
inverso C' también estará en la misma circunferencia por la misma razón.
Corolario: cualquier circunferencia que contenga un par de puntos inversos
es doble.
TEOREMA IX-6 Si AA' y BB' son dos pares de puntos inversos no alineados, el
ángulo OAB es igual al OB'A' (dicho de otro modo, las rectas AB y A'B' son
antiparalelas respecto al ángulo AOB).
OA x OA'
OB x OB'
OA OB
=
OB ' OA'
lo que indica que los triángulos OAB y OB'A' son semejantes; luego OAB = OB'A'
(Dos rectas tales que una de ellas forme con un lado de un ángulo el
mismo ángulo que la otra con el otro lado, se llaman antiparalelas).
127
FIGURAS INVERSAS DE UNA RECTA
TEOREMA IX -7 Una recta que pasa por el centro de inversión es doble.
Dem.: el inve rso de cualquier punto de la recta está en la misma
recta.
NOTA: Debemos excluir de la inversión, por ahora, al centro O; por tanto, al
decir "recta" en el teorema anterior, hay que entender una recta
incompleta, de la que se excluye el punto O.
TEOREMA IX-8 La figura inversa de una recta r que no pasa por O, es una
circunferencia que pasa por O. El diámetro de esta circunferencia que pasa por
O es perpendicular a
r.
Dem.:
Desde O trazamos la perpendicular OA' a r. Hallamos A' inverso de A.
Cualquier punto B de la recta tiene un inverso B' tal que:
OAˆ B = OBˆ ' A' = 90º
Lo que indica que B' está sobre la circunferencia de diámetro OA'.
128
FIGURA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA IX – 9 La figura inversa de una circunferencia que pasa por O, es
una recta perpendicular al diámetro que pasa por O. (Teorema recíproco del
anterior). Dejamos la demostración para el lector.
NOTA: En los dos teoremas anteriores, se sobreentiende que a la
circunferencia se le excluye el punto O.
TEOREMA IX-10 La figura inversa de una circunf erencia c que no pasa por el
centro de inversión O, es otra circunf erencia c ’ homotecia de
c
, con centro
de homotecia O y razón de homotecia K/p, siendo K la potencia de inversión y
p
la potencia de O respecto a
c.
Dem.:
Sea A y B dos puntos de
c
y A' y B' sus inversos.
OAX OA' = OB X OB ' = K ; dividiendo por OAX OB :
OA' OB '
K
K
=
=
=
OB OA OAXOB P
Lo que indica que A' es homotético de B (y B’ es homotético de A) con
centro O y razón
k
p
.
129
CONSERVACIÓN DE ÁNGULOS EN LA INVERSIÓ N
TEOREMA IX - 11 La inversión conserva los ángulos que forman 2 curvas y
cambia su sentido.
Dem.: Primero demostraremos que siendo BB' y CC' 2 pares de puntos
homólogos alineados con O; y AA' otro par de puntos fuera de la
recta anterior,
Xˆ = OAˆ C = OAˆ B
Yˆ + OBˆ ' A' = ACˆ ' A'
BAˆ C = − B' Aˆ ' C'
OCˆ ' A'−OBˆ ' A' = OAˆ C − OAˆ B
ˆ C ) tiene sentido positivo,
luego los dos ángulos son iguales; pero uno de ellos ( BA
ˆ ' C ' ) negativo.
y el otro ( B' A
y=
Si suponemos 2 curvas que se cortan, m y n; y sus inversas m' y n'
130
los ángulos
BAˆ C
y
B' Aˆ ' C '
son iguales; si OB tiende a confundirse
con OA, en el límite AB y AC se convierten en las tangentes a m y n en A; y lo
mismo A'B' y A'C' pasan a ser tangentes de m' y n' . El ángulo que forman las
tangentes es el mismo que forman las curvas. Luego las curvas forman
ángulos iguales y con sentidos opuestos.
DISTANCIA ENTRE PUNTOS INVERSOS
TEOREMA IX-12 Si A' y B' son inversos de A y B respecto a O, con
potencia K:
K
A' B'. = AB x
OAxOB
Demostración
Como ya hemos visto antes, los triángulos OAB y OB'A' son
semejantes:
OA OB
AB
=
=
OB ' OA' B' A'
A' B' = ABx
OB '
OA
y multiplicando por OB numerador y denominador:
A' B ' = ABx
K
OB ' xOB
= ABx
OAxOB
OAxOB
131
GENERALIZACIÓN DE LA INVERSIÓ N
El único punto del plano que no podemos hacer entrar, hasta ahora,
ni como objeto ni como imagen, en la transformación inversiva, es el centro
de inversión O.
Cuando un punto A se mueve acercándose a O, su inverso A' se
aleja. Si A tiende a O, A' se aleja más allá de todo límite.
En vista de ello, se puede ampliar la inversión a todo el plano, si se
considera que el inverso de O es un "punto en el infinito", en cualquier
dirección.
APLICACIONES DE LA POTENCIA Y LA INVERSIÓN
Vamos a ver algunas de las muchísimas aplicaciones de la potencia e
inversión para la solución de problemas geométricos:
Ejemplo 1 Trazar una circunferencia que pase por 2 puntos
tangente a una recta
A
y
B
y sea
r
Uniendo A con B, AB corta a r en M. Desde este punto al de
tangencia T va una distancia MT tal que:
MT2 = MB x MA
lo que permite obtener T y trazar la circunferencia.
El lector puede ver como obtener MT usando la tangente de M a
cualquier circunferencia que pase por A y B.
132
Ejemplo 2 Obtener segmentos inversamente proporcionales a otros varios.
Hasta el presente, sabemos cómo obtener segmentos direc tamente
proporcionales a a, b, y c. Se colocan a, b y c sobre la recta
y sobre los segmentos determinados sobre
son directamente proporcionales a
a b c
= =
a' b' c'
a, b
y
r
r ' por un sistema de paralelas
c:
en virtud del teorema de Thales
Pretendemos ahora obtener un juego
inversamente proporcionales a
a, b
y
a' b'
y
c'
de segmentos
c:
a x a' = b b' = c c '
Desde un punto P cortamos a una circunferencia (con un compás) a una
distancia
a
(Punto A). Encontramos A', intersección de PA
circunferencia. PA' = a'; de la misma forma hallamos
b ' y c '.
con la
133
Así obtenemos
a ', b ' y c '
NOTA: cualquier otro juego
a '', b ''
y
c '' de
segmentos inversamente
proporcionales a a, b y c que pudiéramos obtener, se rían directamente
proporcionales respecto a a', b' y c':
a a' = b b' = c c'
a a" = b b" = c c"
a' b' c '
=
=
a' ' b' ' c ' '
Puede aplicarse el procedimiento, por ejemplo, para resolver un
triángulo conociendo las 3 alturas (que son inversamente proporcionales a los
lados, como puede verse por la fórmula del área:
S=
1
1
1
aha = bhb = chc
2
2
2
Ejemplo 3 Trazar una circunferencia x que pase por un punto P y sea tangente a
dos circunferencias dadas m y n.
Una inversión de centro P transforma x en una recta x'; m y n en otras 2
circunferencias m' y n', a las cuales será tangente la recta x'. Trazamos pues
x', recta tangente común a m' y n' (hasta 4 soluciones; ó 2; ó ninguna); y
buscamos ya x, inversa de x'.
Véase como la resolución de este ejercicio sigue el esquema citado
antes, de transformar, resolver e invertir la transformación.
134
Si como potencia de inversión se toma la potenc ia de P respecto a m,
esta circunferencia se invierte en ella misma, simplificándose el dibujo.
A partir de este ejercicio, se puede resolver el problema de trazar
circunferencias tangentes a otras tres.
Ejemplo 4
Deducción del teorema de Ptolo meo:
"En todo cuadrilátero, la suma de los productos de los lados opuestos es igual o
mayor que el producto de las diagonales, según sea o no inscriptible".
Sea ABCD un cuadrilátero inscriptible. Tomando A como centro de
inversión, B' C' y D' caen sobre una recta
r:
B' D' = B ' C' + C' D'
En virtud del teorema IX-12
BDx
K
ABxAD
= BCx
K
ABxAC
+ CDx
K
ACxAD
multiplicando por AB x AC x AD y dividiendo por /K/:
BD x AC = BC y AD + CD x AB
quedando demostrado para cuando sea inscriptible. Si no lo es,
entonces B', C' y D' no estarían en una recta, o sea
135
B' D'
<
correspondiente.
B' C' + C' D' obteniéndose la demostración
APARATO INVERSOR MECÁ NICO DE PEAUCELLIER
De igual forma que el pantógrafo realiza mecánicamente la
transformación de figuras por homotecia, el inversor de Peaucellier realiza la
inversión.
Las barras AB, BC, CD y DA tienen igual longitud; tam bién son iguales
entre sí las barras OA y OC. El punto O está fijo al plano del dibu jo,
permitiendo el giro sin des lizamiento. A, B, C y D tienen articulaciones.
O B y D están alineados por estar en la mediatriz de AC. Podemos
suponer trazada una circunferencia con centro en A que pase por B y D, y en
ella:
PB x PD = d2 - r 2
= OA 2 - AB2 =
Por tanto, B y D son Puntos inversos.
Cte.
Si en B hay una punta y en D un lápiz, éste trazará la curva inversa de
la figura que recorra B.
EJERCICIOS
CAPÍTULO IX
136
Ejercicios resueltos
IX-1. Dada una circunferencia c y 2 puntos exteriores a ella A y B, trazar una
circunferenc ia que pase por A y B y sea tangente a c .
Resolución:
Suponiendo el problema resuelto:
Si unimos A con B y trazamos la tangente común, las 2 rec tas se cortan en P,
punto de igual potencia respecto a las dos circunferencias x y c.
El punto P tendría la misma potencia PA x PB respecto a c ualquier
circunferencia auxiliar y que pasara por A y B:
lo que indica que P es el centro radical de x, y y c.
137
El precedente análisis indica la forma como se puede obtener la solución:
− trazar una circunferencia auxiliar -y- que pase por A y B.
− obtener el eje radical de c y de -y- .
− la intersección de dicho eje radical con AB da el punto P, cuya tangente PT
(2 soluciones máximo) da el punto de tangencia T entre x y c.
− la circunferencia que pasa por A, B y T es x.
Esta circunferencia puede hallarse cómodamente trazando la mediatriz de
AB y uniendo T con C: donde se corten, allí está el centro X.
Aplicación:
Datos:
Trazamos -y-, obtenemos M, N y P; luego T, luego x:
138
IX-2.
Construir un triángulo conociendo las 3 alturas.
Resolución:
Co mo las alturas son inversamente proporcionales a los lados (ver ejemplo 2,
cap. IX), pode mos obtener los lados a', b' y c' de un triángulo semejante al que
buscamos si:
a'ha = b'hb = c'hc
a' podemos tomarlo arbitrariamente, y b' y c' los calcularemos gráficamente
usando la potencia de un punto respecto a una circunferencia (ver ejemplo 2,
cap. IX) o bien por inversión como haremos más adelante.
Construido el triángulo semejante al buscado, lo ampliaremos o reduciremos
hasta que sus alturas coincidan con los datos.
Aplicación: Datos:
139
Tomamos arbitrariamente:
a’
Calculamos b' mediante la propiedad de que las rectas que unen 2 puntos y
sus inversos son antiparalelas respecto a las que unen los mismos puntos con
el centro de inversión (ver Teorema IX-6); OHA = ha; OA" = a'; OHB = hb; etc.
Construimos el triángulo A'B'C':
140
y lo ampliamos trazando una paralela a C'B' de forma que la altura sea ha:
Como comprobación de la precisión de los dibujos, vemos que las alturas del
triángulo ABC, hb y hc , coinciden sensible mente con los datos.
IX-3.
Hallar gráficamente 2 segmentos x e y tales que:
x - y = AB
xy = (CD) 2
siendo AB y CD segmentos dados.
Resolución:
Aplicando las propiedades de la potencia de un punto C respecto a una
circunferencia:
141
observamos que los segmentos x e y cumplen las condiciones pedidas.
Se trata pues de construir una circunferencia cualquiera que pase por A y B, y
en la recta AB determinar un punto cuya tangente a la circunferencia tenga
longitud CD (desde P has ta el punto de tangencia).
Trazamos pues cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplo, la de
diámetro AB. Levantamos una tangente en B, por ejemplo, BQ = CD. El punto
Q tiene una tangente i gual a la buscada.
Una rotación alrededor de O mueve Q en una circunferencia, cuyos puntos
tienen tangent es de igual longitud. Así encontramos P, sobre la recta AB y cuya
tangente es igual a CD. Los segmentos buscados son PA y PB.
IX-4.
Conociendo el centro de inversión O y 2 puntos homólogos A y A', hallar la
figura inversa de una circunferencia m que no pasa por O.
Resolución: m' será una circunferencia homotética de m con centro en O
(Teorema IX-10); por tanto su centro M' está en la recta MO; y trazando desde
O una tangente a m, es también tangente a m':
142
Podemos trazar la tangente OT, la recta OM; y obtener T' me diante la
propiedad del antiparalelismo de segmentos que unen puntos inversos
(Teorema IX-6) ubicamos T'; y en la perpendicular T'M' a OT está el centro M'
Aplicación:.
143
Nota: este problem a puede resolverse de formas muy variadas, por ejemplo,
tomando 3 puntos en la circunferencia m y buscando los 3 inversos.
IX-5.
Hallar la figura inversa de un cuadrado, siendo el centro de inversión el mismo
centro del cuadrado.
Resolución: Cada lado del cuadrado dará lugar a un arco de circunferencia
(que pasa por el centro de inversión), de ángulo central 180º :
Los cuatro lados del cuadrado dan:
144
Hemos escogido arbitrariamente la potencia de inversión, que no entraba como
dato en el enunciado del problema. Una variación de la misma agrandaría o
reduciría la figura inversa, que siempre sería homotética a la obtenida respecto
a O.
Ejercicios propuestos
IX-6.
Hallar la figura inversa de un cuadrado, siendo un vértice el centro de
inversión.
IX-7.
Hallar la figura inversa de un triángulo, siendo un v értice el centro de inversión.
¿Cuáles serían los inversos de los puntos del interior del triángulo?
IX-8.
Hallar el lugar geométrico de puntos del plano que pueden ser centros de
inversión para que dos circunferencias dadas sean dobles.
(R.: el eje radical de las dos, si existe.)
IX-9.
Idem para que 3 cir cunferencias dadas sean dobles.
(R.: el centro radical, si existe,)
IX-10.
Dadas 3 circunferencias que tienen un punto común, trazar circunferencias
tangentes a las tres.
(Sugerencia: use el punto común como centro de una inversión.)