Año 2010 - IES Ramón Olleros

Selectividad
Septiembre 2010 (Prueba General)
SEPTIEMBRE 2010
Opción A
1.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
 x + 2 y − az = 1

 − y + 2z = 0
 ax + 3 z = − a

a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro
a.
b) Halla todas sus soluciones para a = 2.
2.- Dada la curva de ecuación y = −x2 + 5x − 6 se pide:
a) Halla los máximos y mínimos de la curva, así como los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
b) Representa gráficamente la curva.
3.- Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media µ y
desviación típica σ.
a) Calcula la desviación típica σ, si µ = 250 g y el 90 % de los panes pesa más de 245 g.
b) Suponemos ahora µ desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95 % para µ si σ = 3 y la
media muestral basada en una muestra de tamaño n = 16 resultó ser 251 g.
4.- En una sala con 100 personas hay 25 personas que usan gafas. Si se eligen dos personas al azar
de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas use gafas?
Dpto. Matemáticas
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Septiembre 2010 (Prueba General)
Opción B
1.- Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos ciudades
utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 5 unidades de A y 4 de B,
mientras que en cada furgón se puede transportar 2 unidades de A y 1 de B. La empresa no puede
transportar más unidades de las que pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de destino
puede vender como máximo 90 unidades de A y 60 de B. El envío de una camioneta le reporta a la
empresa un beneficio de 1600 euros, mientras que el envío de un furgón le reporta un beneficio de
600 euros. Usando técnicas de programación lineal, ¿cuántas camionetas y furgones deben usar para
maximizar el beneficio en estos transportes? ¿A cuánto asciende dicho beneficio óptimo?
 x 2 − 2 x + 5 si x ≤ 2
2.- Dada una función definida de la forma f (x) = 
.
si x > 2
 ax + b
a) Determina los valores de a y b que hacen que f (x) y su derivada f ‘(x) sean continuas en todo x.
b) Representa gráficamente la función para a = −1 y b = 4.
3.- Los miembros de una sociedad europea de Amigos del Camino de Santiago son el 30 %
españoles, el 60 % franceses y el resto de otras nacionalidades. Los franceses de la sociedad son
peregrinos en la proporción de uno de cada mil, los españoles en la proporción de uno de cada cien,
mientras que el resto de los miembros de la sociedad es peregrino en la proporción de uno de cada
diez mil. Se elige al azar un miembro de la sociedad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea peregrino?
b) Si el miembro elegido resultó ser peregrino del Camino de Santiago, ¿cuál es la probabilidad de
que no sea español ni francés?
4.- El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media µ = 5,5 mm
y varianza σ2 = 0,64 mm2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4,3
y 7,1 mm, ¿cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables?
Dpto. Matemáticas
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Septiembre 2010 (Prueba General)
SOLUCIONES
Opción A
1.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
 x + 2 y − az = 1

 − y + 2z = 0
 ax + 3 z = − a

a) Clasifica el sistema en función de sus posibles soluciones para los distintos valores del parámetro
a.
b) Halla todas sus soluciones para a = 2.
Solución:
a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A :
 1 2 −a

A =  0 −1 2

a 0 3
 1 2 −a 
A =  0 −1 2 
a 0 3 


1 

0 
− a 
Estudiemos los rangos de estas matrices. Se tiene que:
1
2
| A | = 0 −1
a 0
−a
2
3
= –3 + 4a – a2
Dicho determinante se anula para a = 1 y a = 3. Por tanto:
•
Si a ≠ 1 y a ≠ 3 ⇒
•
Si a = 1
⇒
S.C.D. ⇒ Solución única.
⇒
rango A = 2, ya que podemos encontrar un menor de orden dos no nulo
1 2
en ella, por ejemplo:
= –1 ≠ 0. Además, orlando dicho menor con los elementos
0 −1
de la última fila y la columna de los términos independientes, se tiene que:
1 2 1
0 −1 0 = 2 ≠ 0
1 0 −1
y por tanto rango A = 3
•
rango A = rango A = 3
⇒
S.I. ⇒ No tiene solución.
Si a = 3
⇒
rango A = 2. Además, orlando el mismo menor que en el caso anterior
con los elementos de la última fila y la columna de los términos independientes, se tiene
que:
1 2 1
0 −1 0 = 6 ≠ 0
3 0 −3
y por tanto rango A = 3
Dpto. Matemáticas
⇒
S.I. ⇒ No tiene solución.
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b) Vamos a resolverlo para el caso a = 2,
método de Gauss-Jordan:
 1 2 −2 1 
1



f 3 → f3 − 2 f1
0  →  0
 0 −1 2

 2 0 3 −2 


0
para el cual es compatible determinado, utilizando el
2
−2
−1
−4
2
7
1
 1 2 −2 1 



f3 → f3 − 4 f 2
0  →  0 −1 2
0
 0 0 −1 −4 
−4 


El sistema equivalente que se obtiene es:
x + 2 y − 2z = 1

 − y + 2z = 0
 − z = −4

Despejando z de la última ecuación se obtiene que z = 4. Sustituyendo este valor en la segunda
ecuación, se llega a que y = 8. Finalmente, sustituyendo los valores de y y z obtenidos en la primera
ecuación, se llega a que x = –7. Por tanto la solución es:
 x = −7

 y =8
 z=4

2.- Dada la curva de ecuación y = −x2 + 5x − 6 se pide:
a) Halla los máximos y mínimos de la curva, así como los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
b) Representa gráficamente la curva.
Solución:
a) Para estudiar la monotonía y los extremos de la función, calculemos la derivada primera:
f ‘(x) = –2x + 5
Igualándola a cero, obtenemos los puntos singulares:
f ‘(x) = 0
⇒
–2x + 5 = 0
⇒
x=
5
2
Representemos sobre la recta real este punto, y estudiemos el signo de la derivada primera en los
distintos intervalos en los que ha quedado divida la recta:
+
−
5
2
5

5

Por tanto, f (x) crece en  −∞,  y decrece en  , + ∞  . Teniendo en cuenta esto se llega a la
2

2

conclusión de que:
5
• Hay un máximo en el punto de abscisa x =
ya que la monotonía cambia de creciente a
2
decreciente.
Dpto. Matemáticas
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5 1
Máximo  , 
2 4
b) La representación gráfica de esta función es una parábola con sus ramas dirigidas hacia abajo. El
vértice es el máximo encontrado en el apartado anterior. Si calculamos los puntos de corte con los
ejes, obtenemos:
Eje X (y = 0)
⇒
−x2 + 5x − 6 = 0
Eje Y (x = 0)
⇒
y = −02 + 5 · 0 − 6
⇒
⇒
x=2 y x=3
y = –6
⇒
⇒
(2, 0) y (3, 0)
(0, –6)
Si se quiere tener algún punto más de referencia se puede hacer una tabla de valores, aunque no es
necesario. Así, la representación gráfica es:
3.- Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media µ y
desviación típica σ.
a) Calcula la desviación típica σ, si µ = 250 g y el 90 % de los panes pesa más de 245 g.
b) Suponemos ahora µ desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95 % para µ si σ = 3 y la
media muestral basada en una muestra de tamaño n = 16 resultó ser 251 g.
Solución:
a) Tenemos que la variable aleatoria X, que nos da el peso de los panes, sigue una distribución
normal N (250, σ). Como el 90 % de los panes pesa más de 245 g, tenemos que:
P (X > 245) = 0,90
Tipificando la variable X, se tiene que (Z =
X −µ
):
σ
245 − 250 
5
5



P (X > 245) = P  Z >
 = P  Z > −  = P  Z <  = 0,90
σ
σ
σ




Dpto. Matemáticas
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Haciendo un uso inverso de la tabla de la distribución normal tipificada, se obtiene que:
Z = 1,28
⇒
5
= 1,28
σ
⇒
σ = 3,90625
σ
σ 

b) El intervalo de confianza pedido será de la forma  x − zα / 2 ·
, x + zα / 2 ·
 , en el que
n
n

x = 251 g, n = 16 y para una confianza del 95 % le corresponde un z α / 2 = 1,96. Así pues:
σ
σ  
3
3 

I =  x − zα / 2 ·
, 251 + 1,96·
, x + zα / 2 ·
 = (249,53; 252,47)
 =  251 − 1,96·
16
16 
n
n 

4.- En una sala con 100 personas hay 25 personas que usan gafas. Si se eligen dos personas al azar
de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas use gafas?
Solución:
Para resolver el problema, consideremos el suceso G que nos indica que una persona lleva gafas. A
continuación, hagamos el siguiente diagrama de árbol:
24/99
25/100
75/99
75/100
G2
G1
25/99
G1
74/99
G2
G2
G2
Así, la probabilidad de que ninguna de ellas use gafas viene dada por:
P ( G 1 ∩ G 2) =
75 74 111
·
=
= 0,5606
100 99 198
También podemos resolver este problema haciendo uso de la combinatoria:
P ( G 1 ∩ G 2) =
Casos favorables
Casos totales
Los casos favorables vienen dados por todas las parejas de personas que no necesitan gafas, esto es:
 75 
Casos favorables = C275 =  
2
Dpto. Matemáticas
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Los casos totales vienen dados por todas las parejas de personas que se pueden formar, necesiten o
no gafas:
100 
Casos totales = C2100 = 

 2 
Así, la probabilidad pedida es:
 75 
75!
 
Casos favorables  2  2!·73! 75·74
111
=
=
=
P ( G 1 ∩ G 2) =
=
= 0,5606
100! 100·99 198
Casos totales
100 


 2  2!·98!
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Septiembre 2010 (Prueba General)
Opción B
1.- Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos ciudades
utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 5 unidades de A y 4 de B,
mientras que en cada furgón se puede transportar 2 unidades de A y 1 de B. La empresa no puede
transportar más unidades de las que pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de destino
puede vender como máximo 90 unidades de A y 60 de B. El envío de una camioneta le reporta a la
empresa un beneficio de 1600 euros, mientras que el envío de un furgón le reporta un beneficio de
600 euros. Usando técnicas de programación lineal, ¿cuántas camionetas y furgones deben usar para
maximizar el beneficio en estos transportes? ¿A cuánto asciende dicho beneficio óptimo?
Solución:
Sean x e y el número de camionetas y furgones respectivamente. A partir del enunciado del
problema podemos establecer las siguientes condiciones:
5x + 2y ≤ 90
4x + y ≤ 60
x≥0
y≥0
La función a maximizar es: F (x, y) = 1600x + 600y
Dibujemos la región factible:
Los vértices de esta región son los puntos:
A = (0, 0)
B = (15, 0)
C = (10, 20)
D = (0, 45)
El máximo de la función objetivo se presentará en uno de estos puntos. Veamos en cual:
F (0, 0) = 1600 · 0 + 600 · 0 = 0
F (15, 0) = 1600 · 15 + 600 · 0 = 24000
F (10, 20) = 1600 · 10 + 600 · 20 = 28000
Dpto. Matemáticas
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F (0, 45) = 1600 · 0 + 600 · 45 = 27000
Por tanto el beneficio será máximo cuando se utilizan 10 camionetas y 20 furgones, y ascenderá a
28000 €.
 x 2 − 2 x + 5 si x ≤ 2
2.- Dada una función definida de la forma f (x) = 
.
si x > 2
 ax + b
a) Determina los valores de a y b que hacen que f (x) y su derivada f ‘(x) sean continuas en todo x.
b) Representa gráficamente la función para a = −1 y b = 4.
Solución:
a) Como f (x) ha de ser continua en todo x, y las funciones parciales son polinómicas (y por tanto
siempre continuas), el único punto donde se pueden presentar problemas es en x = 2. Para que f (x)
sea continua en dicho punto se ha de cumplir que:
f (2) = Lim f ( x)
x→ 2
Para que exista el límite, los límites laterales deben coincidir, esto es:
Lim− f ( x) = Lim+ f ( x)
x→ 2
x→ 2
⇒
Lim− ( x 2 − 2 x + 5) = Lim+ (ax + b)
x→ 2
x→ 2
⇒
2a + b = 5
Por otra parte, f ‘(x) viene dada por:
2 x − 2 si
f ‘(x) = 
si
 a
x≤2
x>2
Como f ‘(x) también es continua en todo x, y las funciones parciales son polinómicas (y por tanto
siempre continuas), el único punto donde se pueden presentar problemas es en x = 2. Para que f ‘(x)
sea continua en dicho punto se ha de cumplir que:
f ‘(2) = Lim f '( x)
x→ 2
Para que exista el límite, los límites laterales deben coincidir, esto es:
Lim f '( x) = Lim+ f '( x)
x→ 2 −
x→ 2
⇒
Lim (2 x − 2) = Lim+ a
x→ 2 −
x→ 2
⇒
a=2
Sustituyendo el valor de a en la relación anterior, 2a + b = 5, se tiene que b = 1.
Por tanto:
 x 2 − 2 x + 5 si
f ( x) = 
si
 2x +1
Dpto. Matemáticas
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x≤2
x>2
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 x 2 − 2 x + 5 si
b) Para a = −1 y b = 4, se tiene que f (x) = 
si
 −x + 4
x≤2
x>2
El trozo correspondiente a los valores x ≤ 2, es una parábola con sus ramas dirigidas hacia arriba y
cuyo vértice se encuentra en el punto (1, 4). Dicha parábola sólo corta al eje Y en el punto (0, 5) y
no corta al eje X.
El trozo correspondiente a los valores x > 2, es una recta, que podemos representar fácilmente
haciendo una tabla de valores:
2
3
4
5
x
2
1
0
–1
y
Así, la representación gráfica de la función es:
3.- Los miembros de una sociedad europea de Amigos del Camino de Santiago son el 30 %
españoles, el 60 % franceses y el resto de otras nacionalidades. Los franceses de la sociedad son
peregrinos en la proporción de uno de cada mil, los españoles en la proporción de uno de cada cien,
mientras que el resto de los miembros de la sociedad es peregrino en la proporción de uno de cada
diez mil. Se elige al azar un miembro de la sociedad.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea peregrino?
b) Si el miembro elegido resultó ser peregrino del Camino de Santiago, ¿cuál es la probabilidad de
que no sea español ni francés?
Solución:
Consideremos los siguientes sucesos:
“E“: “ser español”
“F“: “ser francés”
“O”: “ser de otra nacionalidad”
“P”: “ser peregrino”
Dpto. Matemáticas
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Podemos confeccionar el siguiente diagrama de árbol:
0,01
P
E
P
0,99
0,30
0,60
0,001
P
F
P
0,999
0,10
0,0001
P
O
P
0,9999
a) Con el diagrama de árbol anterior y aplicando el teorema de la probabilidad total, tenemos que:
P (P) = P (E) · P (P / E) + P (F) · P (P / F) + P (O) · P (P / O) =
= 0,30 · 0,01 + 0,60 · 0,001 + 0,10 · 0,0001 = 0,003 + 0,0006 + 0,00001 = 0,00361
b) La probabilidad de que el miembro elegido, sabiendo que es peregrino del Camino de Santiago,
no sea español ni francés, es decir, que sea de otra nacionalidad, vendrá dada por (teorema de
Bayes):
P (O)· P ( P / O) P(O ∩ P) 0,10·0, 0001 0, 000001
P (O / P) =
=
=
=
= 0,000277
P ( P)
P( P)
0, 00361
0, 00361
4.- El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media µ = 5,5 mm
y varianza σ2 = 0,64 mm2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4,3
y 7,1 mm, ¿cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables?
Solución:
Consideremos la variable aleatoria X, que nos indica el diámetro de las cabezas de los tornillos.
Dicha variable sigue una distribución normal de media µ = 5,5 mm y desviación típica σ = 0,8 mm.
Para calcular el porcentaje de tornillos aprovechables, calculemos la probabilidad de dicha variable
aleatoria esté entre 4,3 y 7,1 y expresémosla como porcentaje, es decir:
P (4,3 ≤ X ≤ 7,1)
Si tipificamos la variable, haciendo el cambio de variable Z =
X −µ
, obtenemos que:
σ
7,1 − 5,5 
 4,3 − 5,5
= P (–1,5 ≤ Z ≤ 2) =
≤Z≤
P (4,3 ≤ X ≤ 7,1) = P 
0,8 
 0,8
= P (Z ≤ 2) – P (Z ≤ –1,5) = P (Z ≤ 2) – [1 – P (Z ≤ 1,5)] = 0,9772 – (1 – 0,9332) =
= 0,9772 – 0,0668 = 0,9104
Por tanto el porcentaje de tornillos aprovechables es del 91,04 %.
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