El concepto de curvatura y aplicaciónes EMALCA – Costa Rica 13 Febrero, 2014 Yuriko Yamamoto Baldin (yuriko@dm.ufscar.br) Departamento de Matemática Universidade Federal de São Carlos BRAZIL https://www.dropbox.com/s/qs7vllvnuggv5dw/Captura%20de% 20tela%202014-02-10%2023.42.25.png Observación Importante • El material de presentación a seguir sobre la geometría de superfícies y el concepto de curvatura relacionado al trasporte paralelo de vectores contien parte de material de autoría de Ferdinando Arzarello (U. Torino, Italia) Italia) y necesita de explicita referencia al mismo. mismo. • Un proyecto di artícolo en colaboración com él está en andamiento dentro del Proyecto del ICMI-IMU, The Klein Project for 21st century, y esta charla está basada en algunas ideas de ese proyecto. La pregunta básica: • ¿Que es la curvatura? • ¿Como notamos la curvatura? Intuitivamente y matematicamente • ¿ Cuales consecuéncias del concepto de la curvatura hay para conocimiento general, para los conocimientos de las matemáticas y para los progresos científicos? Devo caminar directo…. ¿ Que ocurre si caminamos en línea recta? • No cambiamos la dirección; • Con velocidad constante, no sentimos la acceleración; • ¿Cómo el cámbio de dirección se relaciona a la acceleración ? • La distáncia percurrida em línea recta es la más corta para regiónes pequeñas; • ¿Qué significa caminar en línea recta sobre una superficie de forma distinta de un plano? Curvas Planas e Curvatura Parametrización de una curva: continua, diferenciable La longitud de una curva a partir de un punto inicial Parametrización por longitud de curva e la curvatura. Ejemplo básico de círculo y función angular El producto escalar y la medición angular El trasporte paralelo en el plano y generalización para superfícies Superfícies y líneas de curvatura, curvaturas principales, curvatura de Gauss • Parametrización local de una superfície suave (variedad diferenciable de dimensión 2) • Plano tangente, produto interno como generalización del produto escalar nel plano, interpretación extrinseca; • Dirección normal y las curvaturas principales, álgebra lineal; • La curvatura de Gauss: concepto intrínseco ⇒ EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS • ¿ Que es el trasporte paralelo de vectores tangentes al largo de una curva sobre una superficie? ⇒ Derivación covariante de un campo de vectores • ¿Cuál propiedad de la curva más corta entre dos puntos de una superficie con relación al trasporte paralelo?⇒ caracterización de una curva geodésica, curvatura geodésica nula La curvatura de una superficie P Las dos curvaturas maxima y minima son llamadas curvaturas principales y las denotamos por k1 y k2, las dos secciones normales correspondentes son llamadas secciones principales. principales Carl F. Gauss (1777-1855) Gauss ha definido la curvatura k della superficie en P el producto della dos curvaturas principales: k = k1k2. Attención: k pode ser positivo ou negativo! Una propiedad P Leonhard Euler (1707-1783) Teorema de Euler: Euler Los dos planos perpendiculares al plano tangente en un ponto P que determinan las secciones principales en P son perpendiculares entre si. La curvatura del plano, cilindro, cone y esfera 1. Nel piano la curvatura es claramente cero. 2. En cada ponto del cilindro, una seccione principale es una recta, luego la curvatura è cero 3. Lo mismo ocurre para un cone 4. Nella esfera las secciones principales son circulos maximos. Por tanto la curvatura es k=1/r 2 [nel caso de radio unitario la curvatura es 1] Tratrice pseudosfera y curvatura k =− 1 1 = = −1 2 PQ ⋅ PS PT Geometria sobre pseudosfera Disarollando el cilindro nel plano …. se pode constatar que todos los tipos de geodesicas, aun mismo las helices, son de segmentos de linea recta Si consideranse helices que contornan más de un giro, es útil considerar más de un recubrimiento de la superficie cilindrica En ese modo, a un punto fissado sobre el cilindro corresponden más de un punto nel plano TRASPORTE PARALLELO T. Levi Civita (1873-1941) TRASPORTE PARALELO SOBRE CILINDRO Y ESFERA ΟΩ = CURVATURA TOTALE = = Sfera unità Curvatura total (K = curvatura de Gauss) Curvatura geodesica Caracteristica de Euler Para un camino cerrado (closed simple curve) sobre una superficie simplesmente conexa, el teorema de Gauss-Bonnet estabelece que: Ilustraciones historicas • Charrete chinese • Pendolo de Foucault M. Santander: The Chinese South-Seeking Chariot; American Journal of Physics 9/92 Prof. Dieter Suter: Quantenmechanische Paradoxa; Lecture notes 1998 zhi nan che Consideremos la experiencia, ilustrada arriba (see Gil, 2010), en donde hay una naranja optimamente esferica (a) de radio cerca 4.45 cm. Retiramos una fita dela casca alargo de un “paralelo” de latitud λ cerca 50°; después cortamos la fita (b) y ponemos planchada sobre la tabla (c). El ángulo δ medida cerca 1.47 rad (cerca 84°). Cálculo simples permite obtener la formula general: δ = 2π(1 - sin λ). Interesánte observar la misma formula considerandose un pendolo de Foucault oscilando en una latitude λ: después de 24 horas el rotaciona δ rad, a donde δ es la dada por aquela formula. Después de 24 horas el pendolo no torna a la posición originaria (excepto entre los Polos y alrededor del equator) Para el pendolo de Foucault, vale la misma formula: Para Genova (lat. cerca. 44°,25): sin (44°,25) = 0,7 cerca, que corresponde a un delta cerca. 251°. Después de 24 horas el pendolo ha rotacionado cerca 251° (phase shift, ie, cambiamento de fase) La fase di Pancharatnam–Berry En luce luce polarizada que entra en una fibra ottica SM (la fibra es progetada para trasportar un solo radio de luce), si la fibra forma un camino en lo espacio tal que la luce salga de la fibra en la misma dirección con que entró, observase una diferencia de la fase entre la polarización inicial y final. (El momentum de la luce es tangente a la fibra y sigue un camino sobre a esfera nel espacio de momentos de modo analogo a la aplicación de Gauss.) La polarización sofre por tanto un trasporto parallelo y un cambiamento de fase. La charrette cinese, el pendolo di Foucault, aun otros fenomenos mecánicos, sea classico sea cuantico, hanno todos eso cambiamento de fase de Pancharatnam– Berry. Son fenómenos con lo mismo modelo matematico que los descriven. Algunas aplicaciones En las matemáticas: geometría riemanniana ( plana, elíptica, hiperbólica y más generales), superficies mínimas, variedades de curvatura constante y de curvatura media constante, y otras, geometría semi riemanniana (teoría de relatividad especial) Curvatura Média y su generalización para la curvatura de Ricci: Conjectura de Poincaré Para comprender el UNIVERSO: relatividad general, phisica cuántica Aplicaciones contemporáneas • La propiedad minimal de las curvas geodésicas con respecto a la variación de longitud y también de la energía permitió ya en siglo 19 importantes aplicaciones que establece la estrita relación entre Mecánica y Optica, a través de mecánica Hamiltoniana • La teoría de Relatividad Especial modelada en espacio-tiempo 4 dimensional con la extensión de una métrica de assinatura 1 permitió una visión de la necesidad de considerar la topología del modelo global del Universo, en donde las contradicciones de la mecánica clásica fueron resueltos y la gravidad es la curvatura del modelo Modelo de la Relatividad general( ref O´Neill, Semi Riemannian geometry, Academic Press) • Einstein consideró el movimiento en caída libre como una geodésica. La materia provoca la curvatura nel espacio- tiempo• La curvatura es la gravitación en modelo relativístico • Definicion: Tensor de Einstein de un espacio- tiempo M es G= Ric −1/2Sg , donde Sg es la curvatura escalar de la métrica g, una média de Ric, que por su vez es una forma de generalización de la média aritmética de las curvaturas principales • La ecuacion de Einstein: G =8π T, donde T es el tensor de stress energia con div T =0. • La ecuación dice como la materia determina la curvatura y div T = 0 dice como el tensor de Ricci muove la materia. Si T es cero, ie M es Ricci flat entonces M es llamado de vacuum. Consecuencias de la curvatura en Conjectura de Poincaré (ref: Palestra Marcelo Viana) • Problema de clasificación de las variedades de dimensión cualquiera • Teorema de clasificación das superficies (orientables y no orientables): secuencias básicas de superficies con genero. Toda superficie fechada es equivalente a una de esas superficies, en termos topológicos • La conjectura de Poincaré (nel inicio del seculo 20): Toda variedade fechada simplesmente conexa de dimensión 3 es equivalente a esfera 3 dimensional. • Prueba después de un seculo por G Perelman, siguiendo un camino iniciado por Richard Hamilton y basada en Conjectura de Geometrizacion de Thurston: • Fluxo de Ricci: ecuación diferencial parcial de evolución de la métrica segundo tensor de Ricci • Toda variedade de dimensión 3 es obtenida por pegamiento de variedades de 8 tipos geométricos básicos. Referencias básicas • doCarmo, M P, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall • doCarmo, MP, Geometria Riemanniana, IMPA • O´Neill, Semi Riemannian geometry, Academic Press • Lyusternik, LA, The shortest lines, variational problems, MIR • Arzarello, F, Viaggio nelle geometrie, U Torino • http://w3.impa.br/~viana/out/cpcg.pdf Hay mucho para aprender y apreciar! La história de busca por conocimiento continua… • Muchas gracias por su atención!