Teoría Tema 3

Tema 3
Introducción a la
Síntesis de Dipolos
3.1. Introducción
„
„
En este tema vamos a ver cómo es posible calcular los elementos
circuitales de una admitancia Y(s), o de una impedancia Z(s) a
partir de su expresión analítica, determinando previamente su
realizabilidad.
Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos:
I(s)
L= 1 H
C= 1 F
Ls
⎡
Ls + ⎢R
⎣
R
1/Cs
V(s)
R= 1 Ω
1 ⎤ LRC s 2 + Ls + R
=
Cs ⎥⎦
RC s + 1
V (s ) s 2 + s + 1
Z (s ) =
=
I (s )
s +1
I (s )
s +1
Y (s ) =
= 2
V (s ) s + s + 1
Z(s)=V(s) / I(s)
„
En este capítulo: dados Z(s) ó Y(s), deberemos comprobar si es
realizable, y después deberemos sintetizar el circuito: disponer
cada elemento y determinar su valor.
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.2
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.1: Realizabilidad (def)
„
Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) se dice que es
REALIZABLE cuando se puede implementar empleando
exclusivamente elementos R, L, y C (con valores todos ellos positivos).
3.2.2: Teorema de Brune (Otto Brune en 1931)
„
Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) es REALIZABLE mediante
elementos R, L, y C (todos positivos) si y solo si Z(s) (o Y(s)) es una
FUNCIÓN RACIONAL REAL POSITIVA en ‘s’; es decir, si:
a) Z(s) es función REAL y RACIONAL de ‘s’; es decir, se puede
expresar como cociente de dos polinomios de coeficientes reales:
N (s ) a0 + a1 ⋅ s + ... + an −1 ⋅ s n −1 + an ⋅ s n
=
Z (s ) =
D(s ) b0 + b1 ⋅ s + ... + bm −1 ⋅ s m −1 + bm ⋅ s m
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.3
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
b) Si para cualquier valor de ‘s’ con parte real positiva o nula, la
parte real de Z(s) también es positiva o nula:
Re{s} ≥ 0 ⇒ Re{Z (s )} ≥ 0
Es decir, cualquier punto en el semiplano cerrado derecho del
plano ‘s’ se corresponde con un punto en el semiplano cerrado
derecho del plano ‘Z’
plano ‘s’
plano Z
jω
jX
σ
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
R
T3.4
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.3: Condiciones equivalentes
La condición b) anterior es poco práctica, pues para una Z(s) dada
es muy difícil asegurar si se cumple o no la condición. Por esta
razón, enunciamos ahora condiciones equivalentes más prácticas
y fáciles de comprobar:
„
‰
‰
a’) Idéntica a a)
b’) Para cualquier frecuencia ω ⇒ Re{Z ( jω )} ≥ 0 , excepto
en los polos (similar a condición b)), pero ahora restringida al
eje ‘jω’)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.5
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.3: Condiciones equivalentes (sigue)
c’)
‰
„
„
c’.1) Todos los polos de Z(s) están en el SEMIPLANO COMPLEJO
IZQUIERDO CERRADO (SCIC) (que incluye el eje ‘jω’ )
c’.2) Los polos de Z(s) que están en el eje ‘jω’ son polos simples y
con residuos reales y positivos.
Como s=0 y s=∞ caen en el eje ‘jω’ , la condición c’.2) tiene que
cumplirse para polos en el origen o en el infinito.
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.6
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.3.1: Forma alternativa de comprobar la condición b’)
„
La condición b’) decía que Re{Z ( jω )} ≥ 0, ∀ω (excepto en los
polos). Supongamos un polinomio P(s), que queremos
descomponer en sus términos pares (con potencias de ‘s’ pares) y
en sus términos impares (con potencias de ‘s’ impares):
P (s ) = Par {P (s )} + Impar {P (s )} = Pp (s ) + Pi (s )
„
Par: Pp(s) ⇒ 1, s2, s4, s6 … ⇒ (s=jω) ⇒ 1, - ω2, ω4, - ω6 ⇒ reales
⇒
„
Pp(s) PAR y REAL
Impar: Pi(s) ⇒ s, s3, s5 … ⇒ (s=jω) ⇒ jω, -jω3, jω5 ⇒ imaginarias
⇒
Pi(s) IMPAR e IMAGINARIO
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.7
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
„
De esta forma, tenemos que:
N (s ) N p (s ) + Ni (s ) N p (s ) + Ni (s ) Dp (s ) − Di (s )
Z (s ) =
⋅
=
=
=
D(s ) Dp (s ) + Di (s ) Dp (s ) + Di (s ) Dp (s ) − Di (s )
[
N (s ) ⋅ D (s ) − N (s ) ⋅ D (s )] + [N (s ) ⋅ D (s ) − N (s ) ⋅ D (s )]
=
p
p
i
i
i
p
p
i
Dp (s )2 − Di (s )2
„
Z ( jω ) =
Al reemplazar ‘s’ por ‘jω’ las funciones pares quedan reales y las
funciones impares quedan imaginarias, con lo que:
∈R
∈R
∈ Im
∈ Im
[N p ( jω ) ⋅ Dp ( jω ) − Ni ( jω ) ⋅ Di ( jω )] + [Ni ( jω ) ⋅ Dp ( jω ) − N p ( jω ) ⋅ Di ( jω )]
[D ( jω )] − [D ( jω )]
2
p
∈R
2
i
∈R
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.8
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
„
De forma que:
Re{Z ( jω )} =
N p ( jω ) ⋅ Dp ( jω ) − Ni ( jω ) ⋅ Di ( jω )
[D ( jω )] − [D ( jω )]
2
p
„
2
i
En el denominador, siempre se cumple que:
[D ( jω )]
2
p
≥0
[Di ( jω )]2 ≤ 0
por lo que el denominador siempre será positivo
„
De esta forma, para comprobar que Re{Z ( jω )} ≥ 0
con comprobar que:
es suficiente
P (ω 2 ) = N p ( jω ) ⋅ Dp ( jω ) − Ni ( jω ) ⋅ Di ( jω ) ≥ 0
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.9
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
„
Así, de forma general, la condición b’) puede reformularse como:
P (ω 2 ) = N p ( jω ) ⋅ Dp ( jω ) − Ni ( jω ) ⋅ Di ( jω ) ≥ 0
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
∀ω
(excepto en
los polos)
T3.10
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.3.2: Forma alternativa de comprobar la condición c’)
Dado:
„
Z (s ) =
N (s )
D(s )
c’)
„
‰
‰
c’.1) D(s) debe ser polinomio de HURWITZ (estricto o no), y por
consiguiente N(s) y D(s) difieren a lo sumo en un grado
c’.2) Si D(s) es Hurwitz, sus ceros en el eje ‘jω’ deben ser simples y con
residuos positivos y reales, incluyendo el polo de Z(s) en el ∞, si lo
hubiera
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.11
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
3.2.3.3: Polinomios de HURWITZ
„
„
„
Polinomio de Hurwitz: Polinomio que tiene todos sus ceros en el
semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC) (incluye el eje ‘jω’ )
Polinomio de Hurwitz estricto: Polinomio que tiene todos sus
ceros en el semiplano complejo izquierdo abierto (SCIA) (no
incluye el eje ‘jω’ )
Polinomio no-Hurwitz: Polinomio que tiene algún cero fuera del
semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC)
H-E
H
N-H
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.12
3.2. Caracterización de las funciones
reales positivas
Condiciones necesarias (no suficientes) para polinomios
de Hurwitz
„
„
Polinomio de Hurwitz estricto:
‰
Todos los coeficientes son positivos
‰
No hay términos ausentes
Polinomio de Hurwitz:
‰
Todos los coeficientes son positivos
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.13
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
„
En este caso, vamos a considerar dipolos LC, con el objeto de
determinar las condiciones para que una impedancia o admitancia
de un dipolo LC sea realizable.
Llamaremos F(s) a la inmitancia (impedancia o admitancia)
realizable como dipolo LC.
3.3.1. Condiciones de realizabilidad de dipolos LC
„
F(s) será realizable como dipolo LC si y solo si F(s) es F.R.R.P.
IMPAR.
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.14
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
Por consiguiente, se deberán cumplir las siguientes condiciones:
1) Igual que a) y que a’)
2) Re{F ( jω )} = 0 ∀ω ; dado que sólo hay elementos LC, la
parte real (que se corresponde con la parte resistiva del circuito)
debe ser cero.
reactancia
⎧F ( jω ) = jX (ω )
⎨
⎩F ( − jω ) = − jX (ω ) = −F ( jω )
⇒ F ( −s ) = −F (s ) ⇒ F (s ) = −F ( −s )
Función impar en ‘s’
3)
3.1) Todos los polos han de estar en el eje ‘jω’
3.2) Todos los polos deben ser simples, y con residuos
reales y positivos
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.15
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
Consecuencias de las condiciones anteriores:
„
‰
‰
‰
Si
s → 0,
Si s → ∞,
⎧→ 0
: F(s) debe tener un polo o un cero
F (s )⎨
⎩→ ∞
en el origen
⎧→ 0
F (s )⎨
⎩→ ∞
Se cumplirá que:
: F(s) debe tener un polo o un cero
en el infinito
grado{N (s )} = grado{D(s )} ± 1
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.16
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
3.3.2. Expresión General de F(s)
Debe tener un polo o
cero en el origen
F (s ) = H ⋅
(s − jωz1 ) ⋅ (s + jωz1 ) ⋅ (s − jωz2 ) ⋅ (s + jωz2 ) ⋅ ...
polo en ∞
cero en 0
=H⋅
{
}
⋅ s ó 1 =
s
(s − jω p1 ) ⋅ (s + jω p1 ) ⋅ (s − jω p2 ) ⋅ (s + jω p2 ) ⋅ ...
(s 2 + ωz21 ) ⋅ (s 2 + ωz22 ) ⋅ ...
{
⋅ s ó 1
s
(s + ω ) ⋅ (s + ω ) ⋅ ...
2
2
p1
2
2
p2
polo en 0
cero en ∞
}
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.17
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
Descomposición en fracciones simples: SÍNTESIS
k1
k1*
k2
k 2*
k
F (s ) =
+
+
+
+ ... + ⎧⎨ k ∞ s y / ó 0 ⎫⎬
s ⎭
s − jω p1 s + jω p1 s − jω p2 s + jω p2
⎩
polo en s=∞
„
Como los residuos tienen que ser reales, k i = k i*
F (s ) =
=
k1(s + jω p1 ) + k1(s − jω p1 )
s 2 + ω p21
2k1s
2k 2s
⎧k s
...
+
+
+
⎨ ∞
s 2 + ω p21 s 2 + ω p22
⎩
n
=
+ ... + ⎧⎨ k ∞ s
⎩
∑
i =1
2k i s
⎧k s
+
⎨ ∞
s 2 + ω p2i ⎩
y /ó
k0
y /ó
y /ó
k0
k0
polo en s=0
⎫=
s ⎬⎭
⎫=
s ⎬⎭
⎫
s ⎬⎭
Que resultará ser por fin la expresión que usaremos para sintetizar el dipolo LC
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.18
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
Variación de la reactancia X(ω) con la frecuencia
2k i jω
⎧
+
⎨ k ∞ jω
2
2
⎩
i =1 ω pi − ω
n
F ( jω ) = ∑
y /ó
−
k0 ⎫
j ⎬ = j X (ω )
ω ⎭
2
2
d X (ω ) n 2k i (ω pi − ω ) − 2k i ω ( −2ω ) ⎧
=∑
+ ⎨ k∞
2
2
2
dω
⎩
i =1
ωp − ω
(
n
= ∑ 2k i ⋅
i =1
n
= ∑ 2k i ⋅
i =1
)
i
ω p2 − ω 2 + 2ω 2
i
(ω
2
pi
− ω2
ω p2 + ω 2
(ω
i
2
pi
−ω
)
2 2
)
2
⎧
+ ⎨ k∞
⎩
⎧
+ ⎨ k∞
⎩
y /ó
y /ó
y /ó
−
− k0 ⎫
=
2 ⎬
ω ⎭
k0 ⎫
=
2 ⎬
ω ⎭
k0 ⎫
⎬
ω2 ⎭
> 0
∀ω
ya que k i > 0 y k i ∈ ℜ
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.19
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
„
Esto significa que X(ω) es creciente con la frecuencia (pendiente
siempre positiva).
Para que lo anterior se cumpla (que X(ω) sea creciente y que
todos los ceros y los polos estén en el eje ‘jω’), los polos y los
ceros deben estar alternados, dando lugar a:
X(ω)
ω
cero en el
infinito
polo en el
origen
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.20
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
O bien a:
X(ω)
ω
polo en el
infinito
cero en el
origen
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.21
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
„
¿Qué sucede cuando dos ceros no tienen un polo entre ellos
(figura superior), o dos polos no tienen un cero entre ellos (figura
inferior)?
X(ω)
dX ( ω )
< 0
dω
ω
X(ω)
dX (ω )
<0
dω
ω
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.22
3.4. Formas Canónicas de Foster para
Inmitancias LC
„
Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas
contienen el mínimo número de elementos circuitales que
cumplen las especificaciones:
Número de elementos = Max [N (s ), D(s )]
3.4.1. Primera forma canónica de Foster
„
Partimos de Z(s) como impedancia de entrada. Si nos dan una
admitancia, F(s)=Y(s), la transformaremos a impedancia.
n
F (s ) = Z (s ) =
∑
i =1
„
2k i s
k0
+
+
k
s
∞
s
s 2 + ω p2i
Esto supone la conexión de elementos en serie, identificándose el
valor de cada elemento con los residuos calculados (siendo éstos
todos reales y positivos)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.23
3.4. Formas Canónicas de Foster para
Inmitancias LC
„
Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas
contienen el mínimo número de elementos circuitales que
cumplen las especificaciones:
L∞ = k ∞
Li =
Z∞ = k ∞s
2k i
ω p2
i
Ci =
1
2k i
C0 =
1
k0
Z0 =
1
k
= 0
C0 s s
Li s ⋅ 1
Li s
1
Ci s
Zi = Li s
=
=
=
2
1
Ci s Li s +
Li Ci s + 1
Ci s
1
1
=
+ Ci s
2k i
Z i Li s
s
2
ω pi
2k s
1
=
= 2 i 2
⇒
Z
=
2k i 1 2
s + ω pi
i
1
⋅
+
s
1
2
+ Ci s
ω pi 2k i
Li s
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.24
3.4. Formas Canónicas de Foster para
Inmitancias LC
„
Conectando todos los elementos en serie, quedará:
2k1
ω p2
1
k∞
1
k0
1
2k1
2k n
ω p2
n
1
2k n
Z(s)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.25
3.4. Formas Canónicas de Foster para
Inmitancias LC
3.4.2. Segunda forma canónica de Foster
„
Esta forma es válida para admitancias.
F ( s ) = Y (s )
⎫
⎪
1
1 ⎬ ⇒ conexión en paralelo
Y (s ) =
=
Z (s ) F (s ) ⎪⎭
L0 =
1
k0
C∞ = k ∞
L1 =
C1 =
1
2k1
2k1
ω p2
Ln =
Cn =
1
1
2k n
2k n
ω p2
n
Y(s)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.26
3.4. Formas Canónicas de Foster para
Inmitancias LC
„
Con esto, se tiene que:
k
1
1
1
YC = k ∞ s = C∞ s
YL =
=
=
= 0
1
ZL
L0s
s s
k0
1
1
1
Zi = Li s +
Yi =
⇒
=
Ci s
Zi L s + 1
i
Ci s
1
1
1
2k i s
Yi =
=
=
=
2
2
2
2
2
1
1
s
ω
+
ω
s
+
ω
1
p
p
p
s+
s+
2k i
2k i
2k i s
2k i s
s 2k i
2
ωp
∞
0
0
i
i
i
i
„
Y así, en conclusión, podemos expresar:
n
Y (s ) = YL0 + YC∞ + ∑Yi
i =1
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.27
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
Efecto de la extracción total de polos en el infinito
Veamos un ejemplo para entender esto:
5s
2s 3 + 9s
Z (s ) = 2
= 2s + 2
= k ∞ s + Z1(s )
s +2
s +2
Es decir, extraemos un polo en el infinito, y la impedancia
resultante, Z1(s), lo que tiene es un cero en el infinito.
Cambiamos el polo en el infinito por el cero en el infinito.
Gráficamente, tenemos:
0
2
3
2
0
2
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
∞
T3.28
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
a) Primera forma canónica de Cauer
La función tienen un polo o un cero en el infinito. Este método
consiste en la extracción sucesiva de polos en el infinito.
polo en ∞
polo en ∞
Z (s ) = k ∞ s + Z1(s ) = k ∞ s +
cero en ∞
L
1
Y1(s )
polo en ∞
C
Y1(s ) = k ∞' 1 s + Y2 (s ) = k ∞' 1 s +
1
Z 2 (s )
Z 2 (s ) = k ∞ 2 s + Z 3 (s ) = k ∞ 2 s +
C
Y3 (s ) = k ∞' 3 s + Y4 (s )
1
Y3 (s )
L
Así hasta que se terminan de
extraer todos los polos en el infinito
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.29
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
De forma que queda:
Z (s ) = k ∞ s +
k ∞' 1 s +
1
k∞2 s +
1
k ∞' 3 s + Y4 (s )
k∞4
k∞2
k∞
k ∞' 1
„
1
k ∞' 3
k ∞' 5
Si al principio Z(s) J 0 cuando s J ∞ (no tiene polo en el
infinito), empezamos con Y1(s) y k∞=0
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.30
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
b) Segunda forma canónica de Cauer
Consiste en la extracción sucesiva de polos en el origen.
1/C
polo en 0
polo en 0
Z (s ) =
k0
k
1
+ Z1(s ) = 0 +
s
s Y1(s )
cero en 0
Y1(s ) =
Z 2 (s ) =
1/L
Y3 (s ) =
polo en 0
1/L
k 0' 1
s
k 02
s
k 0' 3
s
+ Y2 (s ) =
k 0' 1
+ Z 3 (s ) =
+ Y4 (s )
s
+
k 02
s
1
Z 2 (s )
+
1
Y3 (s )
1/C
Así hasta que se terminan de
extraer todos los polos en el origen
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.31
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
De forma que queda:
Z (s ) =
k0
+ '
s k 01
s
1
+
1
k02
s
+
1
k 0' 3
s
1
k0 1
k 0' 1
„
1
k 02 1
k 0' 3
+ Y4 (s )
1
k04
1
k 0' 5
Si al principio Z(s) J 0 cuando s J 0 (no tiene polo en el origen),
empezamos con Y1(s) y k0=0
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.32
3.5. Formas Canónicas de Cauer para
Inmitancias LC
„
Debe hacerse notar, que para N≤3 (siendo N el número de
elementos) las realizaciones coinciden, esto es:
1ª Foster ≡ 1ª Cauer
2ª Foster ≡ 2ª Cauer
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos
T3.33