d/kTi = XA XA AY + + =

1
2.2.
Tormentas puntuales
Aspectos generales
Se utilizan los datos puntuales de altura de precipitación o intensidades máximas de lluvia
registradas en una estación
Son válidas para áreas cuya extensión este definida por la zona de influencia de la estación
de aforo o bien para superficies que no excedan los 25 km2.
Métodos más comunes para definir su magnitud: análisis independiente a partir de
funciones de distribución de probabilidad (intensidad, periodo de retorno); o análisis
simultáneo de las tres variables a través de una regresión múltiple (intensidad, duración y
periodo de retorno).
Análisis simultáneo
Se realiza un ajuste simultáneo de las tres variables (i-d-Tr) por medio de una regresión
múltiple.
El objetivo es calcular el valor de la intensidad máxima de lluvia (i) en función de su duración
(d) y del periodo de retorno (Tr)
El método más común esta representado por la función matemática del tipo siguiente:
i = kTrm / d n
(2.1)
donde i es el valor de la intensidad máxima de lluvia, en mm/h; Tr es el periodo de retorno,
en años; d es la duración de la lluvia, en min; y k, m y n son los parámetros que se
determinan al ajustar la ecuación (2.1) a los datos registrados.
Para evaluar los parámetros k, m y n, se transforma la ecuación (2.1) a una forma lineal
tomando logaritmos. Se obtiene la expresión siguiente:
Lni = Lnk + mLnTr − nLnd
(2.2)
o bien
Y = A 0 + A1 X1 + A 2 X 2
donde:
(2.3)
Y = Ln i,
X1 = Ln Tr,
X2 = Ln d
A0 = Ln k,
A1 = m,
A2 = -n
2
Para calcular los parámetros A0, A1 y A2 se utiliza el sistema de ecuaciones siguiente:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ Y = NA 0 + A1 ∑ X1 + A 2 ∑ X 2
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ (X1Y) = A 0 ∑ X1 + A1 ∑ (X12 ) + A 2 ∑ (X1 )(X 2 )
(2.4)
∑ (X 2 Y) = A 0 ∑ X 2 + A1 ∑ (X1 )(X 2 ) + A 2 ∑ (X 22 )
donde N = Número de sumandos
Recolección y análisis de las intensidades máximas de lluvia
•
Para aplicar el método del análisis simultáneo, a través de las curvas de i-d-Tr, es
necesario recopilar las intensidades máximas de lluvia, describiendo a continuación el
procedimiento a realizar.
•
Se selecciona un conjunto de duraciones asociadas a cortas duraciones (5, 10, 15, 20, 30,
45, 60, 80, 100 y 120 minutos).
•
De los registros anuales se eligen las 10 tormentas de mayor magnitud.
•
Se selecciona la intensidad máxima de lluvia para las 10 duraciones de interés. Este
proceso de realiza para cada año del registro disponible.
•
Se obtiene un registro que contiene los valores de las intensidades máximas de lluvia para
diferentes duraciones y durante un periodo de tiempo.
•
A cada conjunto de datos, asociados a una duración, se le asigna su periodo de retorno
(Tr) correspondiente con el proceso siguiente:
1. Se ordena de mayor a menor los valores de la intensidad máximas de lluvia y se les
asigna un número de orden (m=1 para el valor mayor, m=2 para el valor siguiente y
así sucesivamente).
2. Se estima el periodo de retorno (Tr) de cada dato de intensidad máxima de lluvia, con
la expresión:
Tr = ( N + 1) / m
donde N es el número total de años de registro; y m es el número de orden asignado a
cada valor de la intensidad máxima de lluvia.
3
Problema 1. Calcular las curvas i-d-Tr para un periodo de retorno de 5, 10, 25 y 50 años,
en la estación pluviométrica Departamento del Distrito Federal, D. F.
Solución:
1. La tabla 2.1 indica los datos de la intensidad máxima de lluvia asociada a las 10
duraciones de registro.
2. En la tabla 2.2, se indica el procedimiento para determinar las sumatorias del sistema de
ecuaciones (2.4).
3. Con los valores de las sumatorias señaladas en la tabla 2.2, se obtiene el sistema de
ecuaciones siguiente:
240.000 A0 + 224.742 A1 + 832.624 A2 = 875.884
224.742 A0 + 368.951 A1 + 779.692 A2 = 885.986
(2.5)
832.624 A0 + 779.692 A1 + 3128.458 A2 = 2879.486
4. Resolviendo el sistema de ecuaciones (2.5) se obtienen los valores de los parámetros A0,
A1 y A2.
A0 = 5.56,
A1= 0.42,
A2 = -0.66
5. Finalmente se obtienen los valores de los parámetros k, m y n.
K = 259.823,
m = 0.42,
n = 0.66
6. Sustituyendo los valores de k, m y n en la ecuación (2.1), se define la expresión de las
curvas intensidad-duración-periodo de retorno (i-d-Tr):
i=
259.823Tr 0.42
d 0.66
(2.6)
7. La figura 2.1 indica las curvas intensidad-duración-periodo de retorno para diferentes
periodos de retorno, estimadas a partir del método de regresión múltiple, para la estación
pluviométrica Departamento del Distrito Federal, D. F.
4
Tabla 2.1. Intensidades máximas de lluvia registradas en la estación pluviométrica
Departamento del Distrito Federal, en mm/h
m
Tr
Duración, en min
5
10
15
20
30
45
60
80
100
120
1
25.00
240.0
147.6
129.6
115.5
85.2
59.9
51.0
38.3
30.6
25.5
2
12.50
234.0
140.4
112.8
105.0
76.0
58.5
44.0
33.5
28.2
23.8
3
8.33
184.8
124.8
110.7
105.0
73.5
52.0
43.0
33.0
27.9
23.6
4
6.25
180.0
122.0
104.0
84.0
62.0
52.0
40.6
32.3
26.4
22.0
5
5.00
177.6
120.0
98.8
81.0
60.0
50.1
39.2
32.0
25.8
21.5
6
4.17
175.2
117.0
89.6
76.5
58.5
45.7
39.1
29.6
23.8
20.0
7
3.57
168.0
112.2
80.0
72.0
58.0
45.2
38.2
29.4
23.6
19.7
8
3.13
156.0
102.0
78.0
69.0
56.2
42.7
33.3
25.1
20.4
17.0
9
2.78
144.0
90.0
72.0
69.0
56.0
40.0
32.0
24.0
19.2
16.0
10
2.50
132.0
90.0
71.5
63.5
48.4
37.9
30.7
23.1
18.5
15.4
11
2.27
128.4
87.6
69.6
61.8
48.0
36.0
28.0
21.0
16.8
14.1
12
2.08
120.0
87.0
66.4
60.0
46.0
32.4
26.0
20.0
16.6
14.0
13
1.92
120.0
84.0
66.0
60.0
44.6
30.7
24.5
18.8
16.0
13.9
14
1.79
117.6
82.5
64.0
57.0
41.0
29.7
24.3
18.6
15.0
13.0
15
1.67
108.0
72.0
58.0
47.0
39.0
27.3
22.6
18.0
15.0
12.5
16
1.56
108.0
69.6
52.0
44.4
36.0
26.6
22.3
17.3
14.0
12.5
17
1.47
96.0
66.0
52.0
42.0
34.0
25.3
21.4
16.8
13.8
12.1
18
1.39
96.0
66.0
49.8
42.0
32.0
24.1
20.6
16.7
13.4
12.0
19
1.32
90.0
63.0
48.0
40.5
31.0
24.0
20.0
16.2
13.2
11.5
20
1.25
84.0
60.6
48.0
39.9
31.0
24.0
20.0
15.8
13.1
11.3
21
1.19
84.0
60.0
44.0
37.5
30.0
23.9
19.0
15.0
12.6
11.0
22
1.14
84.0
54.0
44.0
36.0
28.0
22.6
18.0
14.6
12.2
10.8
23
1.09
75.6
48.0
40.0
36.0
28.0
21.3
17.7
13.8
11.5
10.2
24
1.04
39.6
26.1
22.0
18.0
14.0
11.5
9.7
7.8
7.4
7.2
5
Tabla 2.2. Procedimiento para determinar las sumatorias del sistema de ecuaciones (2.4)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
.
.
.
.
239
240
Sumas
Y
Ln i
5.480
5.455
5.216
5.192
5.179
5.165
5.123
5.049
4.969
4.882
4.855
4.787
4.787
4.767
4.682
4.682
4.564
4.564
4.499
4.430
4.430
4.430
4.325
3.678
.
.
.
.
2.322
1.974
875.884
X1
Ln Tr
3.219
2.526
2.120
1.833
1.609
1.427
1.273
1.139
1.022
0.916
0.821
0.734
0.654
0.580
0.511
0.446
0.386
0.329
0.274
0.223
0.174
0.128
0.083
0.041
.
.
.
.
0.083
0.041
224.742
X2
Ln d
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
1.609
.
.
.
.
4.787
4.787
832.624
(X1) 2
(X2) 2
X1 X2
X1 Y
X2 Y
10.361
6.379
4.496
3.358
2.590
2.037
1.620
1.298
1.044
0.840
0.674
0.539
0.428
0.336
0.261
0.199
0.149
0.108
0.075
0.050
0.030
0.016
0.007
0.002
.
.
.
.
0.007
0.002
368.951
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
2.590
.
.
.
.
22.920
22.920
3128.458
5.181
4.065
3.412
2.949
2.590
2.297
2.049
1.834
1.644
1.475
1.321
1.181
1.052
0.933
0.822
0.718
0.621
0.529
0.442
0.359
0.281
0.206
0.134
0.066
.
.
.
.
0.399
0.195
779.692
17.639
13.778
11.059
9.515
8.335
7.371
6.521
5.753
5.077
4.473
3.986
3.514
3.130
2.764
2.392
2.090
1.760
1.499
1.235
0.989
0.772
0.566
0.361
0.150
.
.
.
.
0.194
0.081
885.986
8.820
8.779
8.395
8.356
8.335
8.313
8.245
8.126
7.997
7.857
7.814
7.704
7.704
7.672
7.535
7.535
7.345
7.345
7.241
7.130
7.130
7.130
6.961
5.920
.
.
.
.
11.117
9.451
2879.486
6
500
Intensidad de lluvia, mm/h
400
300
Tr = 5 años
200
Tr = 10 años
Tr = 25 años
Tr = 50 años
100
0
0
20
40
60
80
100
120
Duracion, min
Figura 2.1. Curvas intensidad-duración-periodo de retorno (i-d-Tr) para la estación
pluviométrica Departamento del Distrito Federal, D. F.
Análisis independiente
El objetivo es efectuar un análisis independiente para cada duración, es decir definir una
función que relacione la duración y el periodo de retorno.
La técnica más usual es la función de distribución de probabilidad (fdp).
7
La fdp asociada a una variable aleatoria u, que pueda tomar valores en el campo de los
números reales, se define como la probabilidad de que dicha variable tome valores menores o
iguales a un valor x, para toda x comprendida en los reales, es decir:
Fu ( x ) = Pr ob{u ≤ x}
uyx∈R
(2.7)
Propiedades:
Fu (∞) = 1
Fu (−∞) = 0
Fu ( x + ∆x ) ≥ Fu ( x ), si ∆x ≥ 0
En la Hidrología lo que interesa es la Probabilidad de excedencia (probabilidad de que la
variable aleatoria exceda un determinado valor).
•
Se utiliza una Probabilidad de excedencia muy cercana a cero.
•
Se ha introducido el concepto del Periodo de retorno (Tr).
•
Periodo de retorno (Tr) se define como el número de años en promedio en el que un
evento puede ser igualado e excedido
En la Hidrología, la variable aleatoria u representa a los valores máximos anuales (gastos,
precipitaciones, intensidades, etc.) y el periodo de retorno (Tr) se estima con la expresión:
Tr ( x ) =
1
1 − F( x )
(2.8)
1
Tr ( x )
(2.9)
F( x ) = 1 −
donde: Tr(x) es el periodo de retorno asociado a un valor x, en años; y F(x) es la función de
distribución de los valores máximos anuales.
Funciones de distribución de probabilidad utilizadas en la Hidrología
Existe un espectro amplió de funciones de distribución de probabilidad que pueden utilizarse
para estimar la probabilidad de excedencia de eventos máximos. En este caso, se aplicará un
programa de computo, el cual incluye las funciones de distribución siguientes:
8
•
Normal (2 parámetros)
•
Lognormal (2 parámetros, 3 parámetros)
•
Gumbel (2 parámetros)
•
Exponencial (2 parámetros)
•
Gamma (2 parámetros, 3 parámetros)
•
Doble Gumbel (2 poblaciones)
Bondad de ajuste
Consiste en seleccionar la Función de distribución de Probabilidad de mejor ajuste y
para tal efecto se pueden utilizar métodos gráficos o bien métodos analíticos.
Métodos gráficos: se analiza visualmente el comportamiento de la función de distribución
de probabilidad utilizada teóricamente y los datos observados, tal como se observa en la
figura 2.2
Figura 2.2. Análisis gráfico para seleccionar la función de distribución
de mejor ajuste
9
Métodos analíticos: se pueden utilizar diferentes criterios y uno de los más comunes es el
criterio del error cuadrático mínimo (C) y se estima con la expresión:

n
C = ∑ ( x e − x o ) 2 

 i=1
i
1/ 2
(2.10)
i
donde: x ei es el i-ésimo dato estimado con la función de distribución seleccionada; y x oi es
el i-ésimo dato observado o registrado.
Problema 2. Calcular la función de distribución de probabilidad de mejor ajuste para los
datos de intensidades máximas anuales de la tabla 2.3, asociadas a una duración de 5
minutos y registradas en la estación pluviográfica Departamento del Distrito Federal, D. F.
Datos registrados:
Tabla 2.3. Intensidades máximas anuales, en mm/h
n
i, mm/h
n
i, mm/h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
240.0
234.0
184.8
180.0
177.6
175.2
168.0
156.0
144.0
132.0
128.4
120.0
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
120.0
117.6
108.0
108.0
96.0
96.0
90.0
84.0
84.0
84.0
75.6
39.6
Solución:
1. Se utiliza un programa de computo elaborado para analizar las 8 funciones de distribución
de probabilidad. Los parámetros de las funciones de distribución se estiman con los
métodos de Momentos y de Máxima Verosimilitud.
2. Los resultados están sintetizados en la tabla 2.4:
10
Tabla 2.4. Función de distribución de probabilidad de mejor ajuste
3. Con el apoyo de la función de distribución de mejor ajuste (lognormal de 3 parámetros) se
calculan los valores de las intensidades máximas asociadas a diferentes periodos de
retorno Tr. La tabla 2.5 indica los resultados obtenidos.
Tabla 2.5. Intensidades máximas de lluvia asociadas a diferentes periodos de retorno Tr
11
4. La curva de ajuste de los valores de intensidades máximas de lluvia está indicada en la
figura 2.3.
Estación: Departamento del Distrito Federal; D. F.
Periodo de retorno, años
100
10
1
0
100
200
300
Intensidad máxima de lluvia, mm/h
Figura 2.3. Curva de ajuste a partir de la distribución lognormal de 3 parámetros
400