CAPÍTULO 39 MODELIZACIÓN DE SISTEMAS HIDROLÓGICOS

CAPÍTULO 39
MODELIZACIÓN DE SISTEMAS HIDROLÓGICOS
39.1
Generalidades
El término modelización de sistemas hidrológicos en general significa la aplicación de expresiones matemáticas y lógicas, que
definen cuantitativamente las relaciones entre las características del escurrimiento (salida) y los factores que forman el
escurrimiento (entrada). Esta es una definición muy general que cubre un amplio espectro de métodos. Por un lado están los
métodos puramente empíricos, de caja negra, es decir los que no intentan modelar la estructura interna y la respuesta de la
cuenca, sino que sólo equiparan las entradas y salidas del sistema de la cuenca. Por otro lado, están los métodos que exigen
complejos sistemas de ecuaciones basados en leyes físicas y conceptos teóricos que rigen los procesos hidrológicos, Los
llamados modelos hidrodinámicos [1,2]. Entre estos dos extremos hay variados modelos conceptuales. Estos modelos consisten
en representaciones lógicas de elementos conceptuales simples, por ejemplo, embalses y canales lineales o no lineales, que simulan procesos que ocurren en la cuenca. Cualesquiera de los modelos, de caja negra, conceptuales, o hidrodinámicos, producen
salidas sin probabilidades asociadas de ocurrencia. Por esta razón, a menudo se hace referencia a ellos como modelos determinísticos.
De cualquier manera, el término modelización de sistemas hidrológicos incluye a veces modelización estocástica, en la que
se da mayor importancia a La reproducción de las características estadísticas de las series hidrológicas de tiempo. No se pretende
modelar la relación entrada-salida.
Las relaciones puramente empíricas y de caja negra han sido, y seguirán siendo, muy útiles en ciertas circunstancias, pero
están sujetas a graves errores cuando es necesario utilizarlas en condiciones no experimentadas con anterioridad. Se espera que
los modelos que, a través de conceptos teóricos, tratan los variados e interrelacionados procesos hidrológicos, sean más fiables
en esas condiciones extremas, y la experimentación con ellos ofrece mayores esperanzas para el avance de la ciencia. Cualquier
intento para clasificar los modelos determinísticos como hidrodinámicos conceptuales, o de caja negra, supone una decisión
previa con respecto al grado de empirismo de los modelos. Sin embargo se ha considerado apropiado seguir esta división en el
tratamiento de los modelos determinísticos.
Los progresos realizados en la modelización de los sistemas hidrológicos están estrechamente vinculados al advenimiento
de las computadoras y de la informática. La disponibilidad de computadoras y la puesta en práctica de métodos numéricos
asociados han permitido a los hidrólogos realizar cálculos complejos y repetitivos que utilizan grandes cantidades de datos. La
modelización del escurrimiento se ha convertido en un elemento importante en la planificación y la gestión del suministro de
agua y de sistemas de control así como en el suministro de servicios y de alertas.
La naturaleza de la modelización y su dependencia en la informática hacen impracticable la inclusión de procedimientos de
cálculo como los que figuran en otras partes de la Guía. Las muchas referencias citadas pueden servir como futura orientación
sobre aspectos específicos de la modelización, pero no pretenden dar programas que se puedan utilizar de inmediato para las
innumerables combinaciones de modelos informáticos que existen.
39.2 Modelos de caja negra (enfoque sistemático)
Una cuenca de un río puede ser considerada como un sistema dinámico, en el cual la agrupación de los parámetros invariables en
la cuenca transforman los factores de entrada, precipitación y derretimiento de la nieve en un hidrograma de salida de la cuenca.
Sucede igual para un tramo del río, excepto que el caudal afluente en uno o más puntos aguas arriba, debe ser tratado como un
factor adicional de entrada. Estos sistemas pueden ser representados esquemáticamente como se muestra en la figura 39.1, donde
P(t) es la entrada y Q(t) es la salida, ambas en función del tiempo t. Desde empunto de vista de la teoría de sistemas dinámicos,
los sistemas hidrológicos se comportan como sistemas lineales, si satisfacen el principio de superposición; es decir que la
reacción del sistema a una combinación de entradas es igual a la suma de sus respuestas a las entradas separadas y que los
parámetros del sistema son independientes de la respuesta del sistema. La premisa de que el hidrograma correspondiente al
caudal efluente de una cuenca se puede predecir a partir de una secuencie sic precipitación y derretimiento de nieve sólo supone
que la variabilidad de otras entradas naturales, como la evapotranspiración, son pequeñas o siguen una función de tiempo
conocida [3].
La expresión general para la relación entre la entrada P(t) y la salida Q(t) de un sistema lineal dinámico de parámetros
agrupados puede ser:
donde los coeficientes a1 y b1 son los parámetros que caracterizan las propiedades del sistema. La solución de la ecuación 39.1,
para condiciones iniciales nulas es:
donde la función h( t, T ) representa la respuesta del sistema a un tiempo t para un solo impulso de entrada en el tiempo T.
Existen numerosos procedimientos para representar sistemas hidrológicos por formulaciones que tienen en cuenta la función
de influencia /t(t, t9. Esto puede ser expresado en términos de los coeficientes a1 y b1. Si los coeficientes son constantes, el
sistema es invariable en el tiempo y la ecuación 39.2 se transforma en la integral de Duhamel.
Puede demostrarse que el concepto del higrógrama unitario y los métodos de tránsito analizados en la sección 33.3 son ejemplos
de sistemas dinámicos lineales que responden al principio de superposición.
Los sistemas no lineales son aquellos en los que no se satisface el principio de superposición. En general, la respuesta de un
sistema de parámetros agrupados no lineal a una entrada puede ser expresado tanto por una ecuación diferencial ordinaria no
lineal como por la ecuación:
donde h (T1, T2, …Tn) es una función que expresa las características invariables en el tiempo del sistema físico. Es análoga a la
función de influencia de la ecuación 39.2. El primer término, del lado derecho de la ecuación 39.4, define las propiedades
lineales del sistema, el segundo define las propiedades cuadráticas, el tercero define las propiedades cúbicas, etc.
En los sistemas cuasi lineales y los que pueden ser llamados modelos semiagrupados, se tiene en cuenta parcialmente la
variabilidad espacial [4].
39.3
Modelos conceptuales
Los modelos comentados en la sección anterior hacen uso solamente de conceptos muy generales de la transformación de datos
de entrada en el hidrograma de salida. Para algunos efectos, tal procedimiento es inadecuado. Los problemas en la modelización
de las cuencas que exigen transformaciones complejas de lluvia a caudal en general no responden bien a este tipo de análisis, ni
muchos tipos de estudios de recursos hídricos en los cuales es necesario evaluar los efectos de la modificación del tiempo, los
cambios en el uso de la tierra, y otras actividades humanas. En consecuencia se ha elaborado, una propuesta de modelización en
la que se integran ecuaciones de la estructura, basadas en diferentes conceptos de los procesos físicos de la formación de la
escorrentía. Estos modelos pertenecen a la categoría de modelos conceptuales.
Uno de los aspectos más difíciles para aplicar los modelos conceptuales es la calibración de un modelo seleccionado para
una cuenca determinada La mayoría de los parámetros están determinados por procesos iterativos que usan información,
histórica de entrada y salida. Debido a las limitaciones de la información, a las imperfecciones del modelo y a las interrelaciones
entre los parámetros, un pequeño incremento en el número de los parámetros tendrá quizás un mayor efecto sobre la dificultad
experimentada al realizar la calibración. Es necesario, de todas maneras, que el número de parámetros sea compatible con la
fiabilidad de los datos de entrada y la exactitud requerida. En otras palabras, los conceptos modernos del mérito teórico deben
generalmente ser simplificados en favor de la utilidad.
Una amplia variedad de modelos conceptuales se describen en publicaciones sobre este tema, por ejemplo en
Intercomparison of Conceptual Models Used in Operational Hydrological Forecasting [5]. En esas circunstancias, convendría
limitar la cuestión a una breve descripción de tres modelos que representan una selección razonable en el marco de esta Guía.
39.3.1
Modelo del Centro Hidrometeorológico de la ex URSS
Este modelo utiliza formulaciones conceptuales para establecer las pérdidas de una cuenca y aplicar luego un enfoque de
sistemas para la propagación de los volúmenes de caudal a la salida de la cuenca [6]. La cantidad de agua, P, procedente de la
cuenca en forma de escurrimiento superficial se calcula por la ecuación:
P = h — E - -I
(39.5)
donde h es la intensidad inedia de precipitación durante el intervalo de tiempo seleccionado (seis horas, 24 horas, etc.) E, la
correspondiente evapotranspiración, e I la intensidad media de infiltración (ecuación (39.8). La evapotranspiración media en la
cuenca se calcula con la ecuación:
E (k1D + k2Du) e-d/w
(39.6)
donde D es el déficit de saturación del aire, u la velocidad del viento, k1, k2 y W
saturación del suelo d, se obtiene por medio de la ecuación del balance hídrico:
son parámetros empíricos y el déficit de
donde Q es el caudal efluente y to, el tiempo cuando d = 0. La intensidad media de infiltración se deduce de la ecuación:
donde K3 e io son parámetros empíricos.
El escurrimiento superficial se calcula a partir del rendimiento hídrico por la ecuación:
donde tn es el tiempo en que comienza el escurrimiento, r y m son parámetros empíricos. El escurrimiento subsuperficial es
calculado por la ecuación:
donde K4 es un parámetro empírico.
Las entradas del escurrimiento superficial y subsuperficial son transformadas separadamente, de forma que los hidrogramas
de salida se obtienen por medio de la ecuación:
En la cual h1(t) y h2(t) son funciones de influencia (véase la ecuación 39.3).
Del examen de las ecuaciones 39.5 a 39.11 se deduce que el modelo contiene 12 parámetros empíricos (K1, K2, K3, K4, io, m,
r, W) y cuatro parámetros de las funciones de influencia.
39.3.2Modelo Sacramento
El modelo Sacramento fue desarrollado por el grupo del centro de predicción fluvial (River Forecast Center) del National
Weather Service. en Sacramento, Califomia. Estados Unidos [71. Este modelo incorpora un complejo algoritmo de balance de
humedad para calcular los volúmenes de diferentes componentes de escurrimiento. mientras un método empírico bastante
sencillo y altamente empírico es usado para convertir estas entradas en el hídrograma de salida. La capa de suelo es dividida en
dos partes (uña zona superior y una zona inferior>, cada una de las cuales tiene su propia capacidad de tensión hídrica y agua
libre. La tensión hídrica es aquella que está estrechamente vinculada a las partículas del suelo y es extraída sólo por evapotranspiración. El modelo prevé el drenaje vertical y horizontal del agua libre. Las capacidades de almacenamiento para la tensión
hídrica y el agua libre en cada zona son especificadas como parámetros del modelo. El agua que ingresa en una zona es agregada
al almacenamiento de tensión mientras su capacidad no sea excedida y cualquier exceso es agregado al almacenamiento del agua
libre.
Una parte de la precipitación es dirigida directamente al sistema de canales como escurrimiento directo. Ésta es la parte que
cae directamente sobre el sistema de canales y sobre las áreas impermeables adyacentes. La extensión de esta área varía con el
tiempo en el modelo. La totalidad de la precipitación y de la fusión de nieve, acepto la convertida en escurrimiento directo,
penetra en la zona superior, de agua libre en esta zona es extraída como escorrentía subsuperticial o como percolación hacia la
zona inferior. Si la proporción de humedad disponible para la zona superior es mayor que la tasa de agotamiento, el exceso se
convierte en escurrimiento superficial. El agua libre en la zona inferior se divide en almacenamiento primario (drenaje lento) y
almacenamiento secundario. La figura 39.2 ilustra los principales componentes del modelo. La percolación de la capa superior a
la inferior se define como:
donde PRATE es la tasa de percolación, y PBASE es la tasa de la percolación que existida si la zona inferior estuviera llena y si
existiera un abastecimiento ilimitado de agua disponible en la capa superior. Esta tasa es numéricamente igual a la intensidad del
caudal efluente máximo de la zona inferior y se calcule como la suma de las capacidades primaria y secundaria de
almacenamiento de agua libre en la zona inferior, cada una multiplicada por su coeficiente de agotamiento. RDC es la relación
entre el déficit de la zona inferior y su capacidad. Esto es, RDC es cero cuando la zona inferior está llena y es igual a la unidad
cuando está vacía. ZPERC es un parámetro del modelo que define la intensidad de percolación. Dada una disponibilidad
ilimitada del abastecimiento de agua libre de la zona superior, la tasa de percolación variará de PBASE (zona inferior llena) a
PBASE (1+ ZPERC) cuando la zona inferior está vacía. REXP es un parámetro del modelo que define la forma de la curva entre
los valores mínimos y máximos antes descritos. UZFWC es el contenido de agua libre en la zona superior. UZFWM es la
capacidad de almacenamiento de agua libre de la zona superior. La relación UZFWC /UZFWM representa la fuerza conducente
en la zona superior. Si la zona superior está vacía, no habrá percolación. Si está llena, la intensidad de percolación estará
determinada por la deficiencia en la zona inferior.
Esta ecuación es el mecanismo central del modelo, e interactúa con otros componentes del modelo, de forma que controla el
movimiento del agua en todas las partes del perfil del suelo, por encima y por debajo de la interfase de percolación y, a su vez, se
controla por el movimiento en todas las partes del perfil. Los índice de evapotranspiración se calculan a partir de las variables
meteorológicas o mediante observaciones de tanque. Se pueden usar valores diarios y valores medios a largo plazo. El potencial
de la cuenca es el producto de la evapotranspiración meteorológica y un multiplicador en función de la fecha, que refleja el
estado de la vegetación. En el cálculo de la humedad realizado por el modelo, las pérdidas de evaporación, directas o indirectas,
se extraen del contenido en los diferentes elementos de almacenamiento y/o desde sistema de canales. La pérdida es distribuida
de acuerdo a una jerarquía de prioridades y está limitada por la disponibilidad de humedad y por la demanda calculada.
El desplazamiento de humedad a través de las capas del suelo es un proceso continuo. La velocidad del flujo en un punto
determinado varía con la tasa de abastecimiento de humedad y con el contenido de elementos pertinentes al almacenamiento.
Este proceso es simulado por un cálculo casi lineal. El cálculo sencillo, para un intervalo de tiempo dado, de los procesos de
drenaje y de percolación se basa en la hipótesis implícita de que el movimiento de humedad, durante ese intervalo de tiempo,
está definido por las condiciones existentes al comienzo del intervalo. Esta aproximación es aceptable sólo si el intervalo de
tiempo es relativamente corto. En el modelo, la longitud del intervalo depende del volumen. Esto es, el intervalo es seleccionado
de forma que no haya más de cinco milímetros de agua en cada ejecución sencilla del ciclo de cálculo.
En este modelo se deducen cinco componentes de escurrimiento. Los tres componentes superiores (directa, superficial y
escorrentía subsuperficial) se suman y se transforman por un hidrograma unitario (Sección 33.3). Las dos componentes de la
zona inferior (flujo base primario y secundario) se suman directamente al hidrograma de salida, derivado de los otros tres
componentes. También se prevé un cálculo del tránsito del hidrograma resultante con coeficientes de tránsito variables.
39.3.3
Modelo tanque
Este modelo fue desarrollado en el Centro nacional de investigación para la prevención de desastres, en Tokyo, Japón [8]. Como
el nombre lo indica, la capa de suelo es simulada por una serie de tanques dispuestos uno encima del otro como se muestra en la
figura 39.3 a), en donde se supone que toda la lluvia y el derretimiento de la nieve entran al tanque ubicado en la parte superior.
Cada tanque tiene una salida en el fondo y una o dos a los lados, a cierta distancia por encima del fondo. El agua que sale de
cualquier tanque a través de las salidas del fondo entra al tanque inferior siguiente, excepto para el tanque ubicado en la parte
más baja, en cuyo caso el flujo inferior representa una pérdida del sistema. El agua que sale de cualquier tanque a través de las
salidas laterales (flujo lateral) se conviene en entrada al sistema de cauces. El número de tanques y el tamaño y posición de las
salidas son los parámetros del modelo.
Esta configuración constituye una representación adecuada del proceso lluvia-caudal en regiones húmedas, pero se requiere una
disposición más compleja de los. tanques para cuencas ubicadas en áreas áridas y semiáridas, como se muestra en la figura 39.3
b). Si una región se caracteriza por períodos secos prolongados, dos o más series de tanques, como los descritos anteriormente, se
colocan en paralelo. Los flujos verticales en cada serie son los mismos que para el modelo sencillo. Cada tanque, en cada serie,
contribuye al flujo lateral del tanque correspondiente a la serie próxima, excepto que todos los flujos laterales de la última serie
alimentan directamente el sistema de canales. Además, el flujo lateral del tanque superior de cada serie alimenta directamente el
sistema de caudales. Cada serie se considera la representación de una zona de la cuenca, la inferior corresponde a la zona más
cercana a los flujos de aguas. Como las condiciones hidrológicas hacen su progresión estacional, de la humedad de la sequía, la
zona más cerca a los canales puede continuar relativamente húmeda aunque la más alejada ya se haya vuelto bastante seca; Los
auto-res del modelo no pretenden que la representación de los elementos de almacenamiento sean totalmente conformes a la
realidad, sino que la configuración de los tanques es una aproximación que de alguna forma semeja el método de elementos finitos. Además, las formulaciones matemáticas que definen el flujo de agua a través de los tanques simula conceptos hidrológicos
clásicos.
En el modelo se distinguen dos categorías de aguas: el agua confinada (humedad del suelo) y el agua libre que puede drenar
hacia abajo y en dirección horizontal. El modelo prevé también utilizar el agua libre para compensar, por acción de capilaridad,
el déficit de humedad del suelo. El modelo calcula las pérdidas por evapotranspiración de la cuenca, basándose en mediciones o
estimaciones diarias de la evaporación, en la disponibilidad del agua en almacenamiento y en una jerarquía de prioridades de los
diferentes elementos de almacenamiento.
Los cálculos numéricos básicos en un tanque tienen en cuenta una función de salida definida por:
Donde x es el contenido del tanque y ¡el tiempo. El flujo efluente en una unidad finita de tiempo ∆t, es igual a (1–α∆t
e –α∆t)x. La
cantidad (1- e
) se calcula para cada efluente, basada en el valor de ay el intervalo de tiempo especificado.
Los cálculos correspondientes a cada intervalo de tiempo se realizan en el siguiente orden:
a) para el tanque superior:
i) extracción de la evapotranspiración;
ii) transferencia de agua libre a humedad del suelo;
iii) adición de lluvia y nieve derretida;
iv) cálculo y extracción de entrada al sistema de cauces (flujo lateral) y percolación (flujo descendente) del contenido de
agua libre;
b) para un tanque inferior:
i) extracción de la evapotranspiración, según la jerarquía de prioridades;
u> transferencia de agua libre a humedad del suelo;
iii) adición de agua de percolación desde el tanque inmediatamente superior
iv) cálculo y extracción de la entrada del sistema de cauces (flujo lateral) y percolación (flujo descendente) a partir del
contenido de agua libre.
La entrada al sistema de cauces es la salida de la fase del balance de humedad del modelo. El hídrograma de salida se obtiene
a partir del flujo de entrada al cauce, mediante el tránsito de ese afluente, según la hipótesis:
Donde Q es el caudal de salida, £ el almacenamiento en los canales, y la constante K es un parámetro adicional del modelo. Al
cociente dQ/dS se le impone un límite superior igual a la unidad para evitar que el caudal efluente exceda al almacenamiento en
el cauce.
Una característica interesante del modelo tanque es que los cambios en los valores de los parámetros del modelo pueden
realmente cambiar su estructura.
39.34
Selección de modelos
Existen otros modelos además de los antes descritos. Es difícil a menudo comprobar las relativas ventajas e inconvenientes de
los modelos propuestos para uso operativo. La selección de un modelo para una situación hidrológica específica tiene repercusión en la planificación, el desarrollo y la gestión de los recursos hídricos. Algunos de los factores y criterios que deben tenerse
en cuenta en la selección de un modelo son:
a) objetivos y beneficios de la salida del modelo (por ejemplo, hidrogramas continuos de caudales, predicciones de crecidas,
calidad del agua, gestión de los recursos hídricos;
b) características climáticas y fisiográficas de la cuenca;
c) longitudes de los registros de los diferentes tipos de datos;
d) calidad de los datos, tanto en tiempo como en espacio;
e) disponibilidad y tamaño de los ordenadores para el desarrollo y la utilización del modelo;
f) posible necesidad de transferir parámetros del modelo desde cuencas pequeñas a cuencas grandes;
g) capacidad de actualizar el modelo según la evolución de las condiciones hidrometeorológicas.
Un proyecto internacional de la OMM sobre la intercomparación de modelos conceptua1es de predicción, en hidrología
operativa, completado en 1974, produjo información y guías muy útiles en la selección y la aplicación de modelos conceptuales
en diferentes condiciones hidrológicas. Se compararon 10 modelos hidrológicos conceptuales operativos, con conjuntos de datos
obtenidos de seis cuencas sometidas a diferentes condiciones hidrológicas y geográficas. Los resultados del proyecto se resumen
en la publicación de la OMM titulada Intercomparison of ConceptuaI Models Used in Operational Hydrological Forecasting
[5]. Estos resultados deben considerarse sólo como ejemplos.
39.4
Modelos hidrodinámicos
Desde hace poco, la investigación en hidrología conoce los procesos físicos del ciclo hidrológico. Asimismo, la alta tecnología
empleada en la adquisición continua e integración de datos en tiempo real en función del tiempo y el espacio, gracias a las
modernas computadoras, permiten un rápido procesamiento de datos hidrológicos y meteorológicos de todos los tipos. Todo esto
ha contribuido a mejorar el tercer tipo de modelización: la hidrodinámica.
Los modelos hidrodinámicos están basados en una refinada discretización espacial de la cuenca y en un integración numérica
de ecuaciones de momentos y conservación de masa que describen los procesos físicos en la cuenca.
Dichos modelos permiten el uso completo de información pertinente relativa a los procesos físicos en la cuenca.
Como los modelos hidrodinámicos están basados en las leyes físicas que rigen los procesos. la extrapolación más allá del
rango de calibración se puede realizar con más fiabilidad que con modelos conceptuales.
El Sistema hidrológico europeo (SHE) 19] es un ejemplo de un modelo hidrológico (figura 39.4). SHE es un modelo con
parámetros distribuidos, elaborado a partir de ecuaciones diferenciales parciales que describen los procesos físicos en la cuenca:
intercepción, evapotranspiración1 flujo superficial y en los canales, desplazamiento del agua a través de las zonas no saturadas y
saturadas y derretimiento de nieve.
EJ proceso de intercepción está representado por una variante del modelo Rutter [10] que facilita la velocidad de
modificación de la cantidad de agua almacenada en la cubierta de copas de árboles:
Ep es la tasa de evaporación potencial, K y b son parámetros de drenaje, y t es el tiempo.
Para la predicción de las tasas de evapotranspiración real, se usa la ecuación de Penman—Monteith [11]:
donde
φ
es la densidad del aire,
λ
el calor latente de vaporización del agua, Ea la tasa real de evapotranspiración, Rn la
radiación neta menos el flujo de energía dentro de la tierra, ∆ la pendiente de la curva de humedad específica / temperatura, Cp
el calor específico del aire a presión del aire constante, ve el déficit de presión del vapor del aire, ra la resistencia aerodinámica
del transporte de vapor de agua, vs es la resistencia al transporte de agua y la constante sicrométrica.
La evapotranspiración real total depende de la humedad de la cobertura foliar y de la proporción del suelo cubierto:
donde Et es la tasa de evapotranspiración total, E0 la tasa de evapotranspiración real, Ep la evapotranspiración potencial, y Eas
la evaporación del suelo.
El agua acumulada sobre la superficie del suelo responde a la gravedad y fluye siguiendo la pendiente hasta llegar al sistema
de canales, donde posteriormente se encamina hacia la salida de la cuenca. Ambos fenómenos son descritos por las ecuaciones
del flujo inestable superficial del agua, basadas sobre los principios físicos de conservación de la masa y del momento [9].
En el modo más exhaustivo, el flujo en la zona no saturada puede ser calculado usando la ecuación de Richard:
donde ψ es la carga hidrostática, t la variable tiempo, Z la coordenada vertical (positiva hacia arriba), C = ∂Θ /∂Ψ la capacidad
de retensión de agua del suelo, Θ el contenido volumétrico en humedad, Z la conductividad hidráulica y S un término de
abastecimiento/agotamiento.
La velocidad de infiltración en el suelo está determinada por las condiciones en la capa superior, que puede pasar de
condiciones controladas por el flujo a condiciones controladas por el suelo (saturado) y viceversa. El límite inferior es
usualmente el nivel de la superficie del nivel freático.
La ecuación que describe el flujo en la zona saturada es la ecuación no lineal de Boussinesq:
donde S es el caudal específico, ti el nivel de la superficie del nivel freático, KX, Ky son las conductividades hidráulicas
saturadas en las direcciones x e y, respectivamente, H es el espesor saturado, t la variable tiempo, x y y son las coordinadas espaciales horizontales y R es un término instantáneo de recarga/caudal.
La ecuación 39.19 combina la ley de Darcy y la de la conservación de masas de dos flujos laminares bidimensionales en un
acuífero anisotrópico, heterogéneo. El término R de recarga/caudal, en la ecuación 39.19, puede ser expresado por:
donde ∑q incluye la transpiración
qR, la evaporación del suelo qs, la infiltración qI, el intercambio corriente / acuífero q0, el
flujo de límite externo, qe y el contenido de humedad del suelo en la zona no saturada θ.
El componente de derretimiento de nieve en el SHE representa un intento de modelización del flujo de energía y de la masa
al interior de una capa de nieve, teniendo en cuenta los cambios en la estructura del manto de nieve [12].
Dos ecuaciones semiempíricas se usan para completar la serie de relaciones requeridas para definir las distribuciones de
temperatura y contenido de agua. Las ecuaciones empíricas también son usadas para definir las propiedades hidráulicas y
termales de la nieve, en términos de la estructura, el contenido de agua y la temperatura.
39.5
Evaluación de parámetros
Los métodos generales de evaluación o identificación de parámetros, a veces denominados calibración de modelo, han sido
desarrollados para una amplia gama de sistemas dinámicos. La experiencia ha demostrado que el éxito de dichos métodos
depende de la disponibilidad de información adecuada relativa a las características del sistema y a la forma de la función de
influencia. Existen dos métodos básicos de calibración. En el primero, el modelo matemático es combinado con los datos para
resolver las ecuaciones que permitan obtener los coeficientes desconocidos, los parámetros del sistema. Estos sistemas de
ecuaciones son difíciles de resolver porque las soluciones tienden a ser inestables y pueden tener múltiples soluciones. El segundo método consistente en la experimentación con varias combinaciones de valores de parámetros en un esfuerzo por
minimizar (o maximizar) algún criterio adoptado de optimización. Especialistas en matemáticas aplicadas desarrollaron varias
estrategias para minimizar el número de cálculos requeridos en la optimización de valores de los parámetros. Algunas de las
estrategias usadas en hidrología son el método del gradiente, el método de la pendiente según las coordenadas y el método de
búsqueda de un patrón [6, 13]. La solución adecuada puede depender mucho del criterio usado en el análisis. Algunos criterios
han sido preparados e introducidos a través de los proyectos de la OMM [5, 14], y se pueden recomendar para uso general.
A fin de determinar los parámetros de modelos hidrológicos conceptuales complejos, que tienen varios componentes, se
recomiendan los siguientes principios:
a) pruebas separadas de los componentes de los modelos usando toda la información experimental y científica. Es un hecho
bien conocido que la determinación global de todos los parámetros de un modelo a través de la optimización puede resultar en valores no reales de los parámetros, valores que a veces se sitúan fuera del margen físico posible de esos
parámetros. Este es el caso cuando algunos componentes del modelo contienen errores sistemáticos que son
posteriormente compensados en el modelo. Para evitar estas situaciones, se recomienda que los parámetros de los
modelos conceptuales complejos sean determinados por separado para cada uno de los componentes básicos y no
globalmente;
b) los datos de un intervalo mínimo de tiempo de tres años deben ser usados para la calibración de los modelos, y para la
verificación otro intervalo de tiempo de duración similar. Los intervalos de calibración y de verificación deberían abar-
car todas las condiciones posibles de formación de escorrentía, por ejemplo, las crecidas generadas por la lluvia, las
crecidas resultado del proceso de derretimiento de nieve, y los estiajes;
c) en el caso de cuencas con un régimen hidrológico bajo influencias antropógenas, se recomienda que el modelo sea
calibrado para el régimen natural de escorrentía. Los valores de ciertos parámetros luego pueden ser modificados para
tener en cuenta las influencias humanas. La validación de los parámetros del modelo puede hacerse para un período
representativo que no esté influenciado por actividades humanas.
Los parámetros de modelos hidrodinámicos representan las características de la cuenca, por ejemplo la rugosidad de las
pendientes y el lecho del río, la conductividad hidráulica del suelo y la porosidad del suelo. En principio, todos estos
parámetros se deberían determinar a través de mediciones sobre el terreno y no mediante la optimización.
39.6
Simulación estocástica de series hidrológicas de tiempo
Los modelos estocásticos son modelos de caja negra, cuyos parámetros se calculan a partir de propiedades estadísticas de las
series de tiempo observadas. Los métodos estocásticos fueron introducidos en hidrología en conexión con el diseño de embalses
de almacenamiento. Los volúmenes de flujo, anuales o mensuales, contienen información detallada para tales fines, pero la
capacidad del embalse debe reflejar la probabilidad de ocurrencia de secuencias críticas de flujo, que pueden ser mejor evaluadas
a partir de un conjunto de trazadores de la escorrentía (secuencias). Cada trazador debe abarcar un período de muchos años y
debe ser representativo de los registros históricos en lo que concierne a las características estadísticas pertinentes. Las
propiedades estadísticas de los registros históricos que deben ser preservados son de primera importancia en la selección de un
modelo estocástico apropiado. La modelización es mucho más difícil cuando es necesario generar secuencias simultáneas de
escorrentía para dos o más sitios de embalses en una cuenca porque son necesarias las intercorrelaciones [15,16].
El modelo estocástico ha sido también usado en el establecimiento de límites de confianza (probabilidades) de pronósticos
de caudales en tiempo real, y para la generación de datos de entrada de precipitación para modelos determinísticos [17, 18].
Como estas aplicaciones han sido extremadamente limitadas o están aún en etapa experimental en un entorno natural, no se
examinan detalladamente en esta Guía.
39.6.1
Modelos markovianos lag-1
Muchos modelos para simulación de volúmenes de caudales mensuales, estacionales o anuales tienen una estructura de Markov
de primer orden; es decir que la escorrentía en cualquier período está determinada por la del período anterior y por un impulso
aleatorio [19,23]. Un modelo de este tipo para flujo mensual puede ser expresado como [ 22 ]:
donde Qi es el escurrimiento del i-ésimo miembro de las series numeradas consecutivamente desde 1 haciendo caso omiso del
mes o el año, j es el mes en el cual se ubica el i-ésimo miembro de la serie, Qj el escurrimiento medio del j-mes, σy la desviación
típica del j-mes, ρj el coeficiente de correlación de la serie entre Qi y Qj-1 y εi una variable aleatoria de una distribución
apropiada, con una media cero, variancia unitaria, e independencia de la serie. La ecuación 39.2 1 es también adecuada para
escurrimientos estacionales (j = l, 2, 3, ó 4 ) y el escurrimiento anual (j = l). En el último caso, la ecuación 39.21 se convierte en:
Los valores de Q, ρ y p derivados de los registros históricos, se asume que sean aplicables para los objetivos previstos, y sólo se
requiere seleccionar un valor inicial de Qi-l para simular una serie de cualquier longitud. Los métodos Monte Carlo son
normalmente usados con valores secuenciales de la variable aleatoria derivados por computadora
En principio, el desarrollo y la aplicación de los modelos representados en la 39.21 son relativamente directos y simples. Sin
embargo, hay varios aspectos que requieren consideración cuidadosa y decisiones que pueden ser decisivas para problemas
particulares del estudio:
a) ¿cuál es la distribución de la variable aleatoria [24]?;
b) ¿se debe corregir la varianza para la correlación señal, si procede [25]?;
c) ¿qué tan exacto es el valor calculado de la correlación serial [26]?
39.6.2
Modelos autoregresivos de media móvil (ARMA)
El grupo de modelos ARMA, desarrollado por Box y Jenkins [27-30], constituye una importante extensión de los modelos
estocásticos univaríables. Existen tres tipos: el modelo autoregresivo (AR), el modelo de la media móvil (MA), y el modelo
mixto (ARMA). Los primeros dos tipos (de orden p y q) son, respectivamente:
(39.23)
(39.24)
donde x, es la desviación de la observación t-ésima, respecto al promedio de las series, Φi
y θi son parámetros que deben ser
estimados, y εt es una variable aleatoria que responde a las definiciones anteriores. El tercer modelo (ARMA) es una combinación de los dos primeros, que contiene todos los términos no repetitivos de las ecuaciones 39.23 y 39.24.
a)
b)
c)
Un método sistemático permite ajustar los modelos ARMA [27].
identificación — El correlograma de las series de estudio se compara con-las (unciones de autocorrelación de varios
modelos ARMA, para seleccionar el tipo y el orden del modelo que más conviene;
estimación — Los parámetros del modelo se estiman usando mínimos cuadrados iterativos con la condición de que los
residuos sean distribuidos independientemente y la suma de sus cuadrados sea mínima;
control — El carácter aleatorio de los residuos se controla para verificar si el modelo seleccionado es adecuado.
Los modelos ARMA se usan para generar secuencias sintéticas de flujo por los métodos de Monte Carlo en la forma descrita
anteriormente. Cabe señalar de nuevo, sin embargo, que los métodos estocásticos de producción de datos se deben usar con
cuidado y teniendo en cuenta las características de los registros que son importantes para el proyecto de estudio de recursos
hídricos.
39.6.3 Modelos fraccionales gaussianos de ruido y de proceso de línea quebrada
Hurst [3 1-33] descubrió que los registros geofísicos muy extensos tienen características que no concuerdan con los procesos
estacionarios autoregresivos markovianos. Este descubrimiento condujo al desarrollo de dos modelos estocásticos que pueden
acomodar los elementos de persistencia a largo plazo (frecuencia baja). El primero de estos modelos, denominado modelo
fraccional gaussiano de ruido FON [34-37], es un proceso similar a sí mismo y aleatorio, caracterizado por una función de densidad espectral que destaca la importancia de las frecuencias muy bajas «picas del fenómeno de Hurst. Se demostró asimismo
que un modelo de memoria extensa del proceso de línea quebrada tiene en cuenta el fenómeno de Hurst [38, 39].
Los hallazgos de Hurst no necesariamente indican una persistencia a muy largo plazo 4740, 41] y, además, algunas
versiones de los modelos ARMA permiten simular efectos sustanciales de baja frecuencia [42]. La no estacionalidad del valor
medio del proceso podría también producir las características que Hurst halló al analizar registros de larga duración, que son el
resultado de cambios climáticos, actividades humanas o simple falta de homogeneidad de la serie de datos.
39.7
Modelización de la calidad del agua
39.7.1 Generalidades
La gestión de la calidad del agua de extensiones naturales o artificiales es una tarea compleja que requiere el control de las
características de la calidad del agua, la interpretación de los datos de control en relación con las causas, y la predicción de
cambios futuros en estas características en términos de diversas soluciones de gestión previstas. La solución de estos problemas
podría facilitarse mucho por el uso de modelos de calidad del agua. Estos modelos representan los modelos que permiten la
predicción sobre las bases de:
a)
una serie de datos de entrada sobre afluentes contaminados;
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
las condiciones meteorológicas y ambientales iniciales;
las características hidrológicas e hidráulicas de la masa de agua y del uso del suelo de la cuenca;
la evolución en el tiempo y/o en el espacio de algunas características de la calidad del agua de la masa de agua, para las
cuales se prevén varias soluciones de gestión. Los modelos de calidad de agua están frecuentemente vinculados a
modelos hidrológicos e hidráulicos.
Los modelos de calidad del agua pueden ser usados en la gestión de la calidad del agua para diferentes fines, por
ejemplo:
el diseño de redes de monitoreo de la calidad del agua en el espacio y el tiempo;
la interpretación de datos obtenidos en relación con factores que determinan la calidad del agua;
la interpolación de datos en el tiempo y el espacio y la evaluación de datos;
la relación con otros modelos de contaminación ambiental (aire, suelo) y con modelos ecológicos;
la evaluación de tendencias en la calidad del agua con o sin medidas de corrección de la contaminación;
la predicción de la hora de llegada de un contaminante y de un perfil de concentración a lo largo del río.
39.7.2 Tipos de modelos
Los modelos de calidad del agua pueden ser divididos básicamente en las siguientes tres categorías:
a) modelos físicos — Proyectados para reproducir (generalmente a una escala reducida) el fenómeno investigado. Los modelos
de calidad del agua de este tipo están limitados usualmente al estudio de procesos bien definidos que representan eslabones
en una cadena de dichos procesos en una masa de agua natural o en una planta de tratamiento, por ejemplo, la variación del
contenido de oxígeno debido a un dispositivo de reaireación y efecto de clorinación de ciertos tipos de bacterias;
b) modelos análogos — Caracterizados por el uso de una transformación práctica de un conjunto de propiedades de calidad del
agua en otro que es más fácil de estudiar. Por ejemplo, algunos cambios químico-biológicos en un río pueden ser
representados por ciertas propiedades eléctricas equivalentes;
e) modelos matemáticos — En los cuales los fenómenos se analizan mediante un algoritmo, que representa en una forma
analítica las relaciones entre varias entradas en la masa de agua, sus características hidráulicas e hidrológicas y la variación
de tiempo y espacio de las características de la calidad del agua.
En los últimos años, el número de modelos matemáticos ha superado los otros dos tipos de modelos, principalmente como
resultado de las capacidades de cálculo ofrecidas por las computadoras digitales. Actualmente, la gestión de la calidad del agua
utiliza sobre todo modelos matemáticos. Por esta razón, sólo los modelos matemáticos se examinan a continuación.
Los modelos matemáticos pueden también ser clasificados de acuerdo con:
a) los constituyentes de la calidad del agua: modelos invariables o multivariables;
b) el tipo de variable modelada: variables físicas conservativas (por ejemplo, sal), no conservativas (por ejemplo, temperatura),
variable química no conservativa (por ejemplo oxígeno disuelto), o variable biológica no conservativa (por ejemplo,
bacteria coliforme);
c) las dimensiones espaciales consideradas: una, dos o tres dimensiones;
d) variación en el tiempo: modelos estáticos o dinámicos:
e) método de análisis: modelo determinístico, estocástico o mixto.
La clasificación de los modelos matemáticos para la calidad del aguase aborda más detalladamente en [43].
39.7.3
Modelos del transpone de contaminantes en un río
Para la descripción del transporte de contaminantes en ríos, el modelo más usado en aplicaciones prácticas es el modelo
unidimensional, basado en la ecuación de advección y de dispersión:
donde c es la concentración del contaminante, u la velocidad media del agua, D el coeficiente de dispersión longitudinal. tel
tiempo y x la distancia.
El coeficiente de dispersión longitudinal se calcula con la ecuación de Pisher:
donde u es la velocidad media del tramo y L y <9 son la varianza de la curva de concentración.
Para aplicar este modelo al transporte de contaminantes en un río, el río es dividido en tramos, de varios kilómetros cada
uno, en los cuales la velocidad del agua se considera constante. La velocidad del agua en cada sector se calcula por medio de un
modelo hidrológico o hidráulico (Sección 34.3).
39.7.4
Aplicaciones y ejemplos
Los modelos matemáticos pueden ser usados para una variedad de fines como se describe en la sección 391.2. La utilidad de un
modelo matemático depende de la habilidad del usuario para obtener los datos requeridos para la calibración y la validación del
modelo, de la disponibilidad de un modelo para los fines y las condiciones dados, de. la habilidad para adaptar el modelo al
problema específico y para interpretar correctamente los resultados.
Los modelos de calidad del agua han sido aplicados con diversos resultados para la solución de los problemas de gestión de
localidad del agua en muchos países [44]. Por ejemplo, un modelo relativamente sencillo se usó para investigar el efecto sobre la
calidad del agua de transferencias de agua en gran escala, desde el río Severn al río Thames [45}. El modelo fue usado para
comprobar el efecto de esas transferencias sobre la concentración de un número de sustancias conservativas o casi conservativas,
contenidas en el agua. El modelo estaba basado en la separación del flujo de agua de acuerdo con su origen (flujo superficial,
interflujo y flujo de base) y en las relaciones establecidas entre la concentración de los determinantes considerados
y el caudal afluente, así como la variación del afluente por cada fuente. El resultado de la simulación se aproximó bastante a los
datos registrados.
Otro ejemplo de aplicación práctica de un modelo de calidad del agua para fines de gestión es el estudio del efecto de la
eliminación de cargas de DBO por plantas de tratamiento de desechos sobre la concentración de oxígeno disuelto del río Thames
en Ontario, Canadá [46]. Los resultados indican que la obtención de concentraciones de oxígeno disuelto, por encima del criterio
aceptado para una agua de buena calidad removiendo la carga de DBO es posible en un punto, mientras en otro podría ser muy
difícil.
Otros ejemplos de modelos de calidad del agua preparados y usados en Estados Unidos están dados por Cembrovicz y otros, en
Qualitative Modele, Arbeitskreis “Matematische Flussgebietsmodele” [47] y por Thoman en System Analysis and Water Quality
Management [48]. La publicación de la OMM titulada Hydrological Aspects of Accidental Pollution of Water Bodies [49]
contiene un estudio detallado de un número de modelos de calidad del agua aplicados en Alemania, Francia, Inglaterra, Polonia,
Canadá, y Estados Unidos en una variedad de ríos que tienen problemas de contaminación.
Los modelos de calidad del agua también son usados para calcular la contaminación en caso de derrame accidental. Dichos
modelos se han utilizado en el río Rin desde 1989 [50].
Si bien en la mayoría de los modelos antes mencionados se estudian sobre todo los contaminantes originados por desechos
industriales y municipales, en otros se examina la contaminación originada de diversas fuentes, por ejemplo relacionadas con
actividades forestales y agrícolas o residencias sin alcantarillado. Un ejemplo de un modelo que fue usado para investigar las
fuentes difusas de DBO a causa de la agricultura y residencias sin alcantarillado, que modela simultáneamente escorrentía
superficial, los sedimentos y la DBO en todos los puntos de la cuenca, es presentado por Solomon, y otro en Application of
WATMAP-WATFILE Data Systems ka the Development of a Distributed Water Quantity-Water Quality Model for South Nation
River Basan [51].
39.8 Selección de modelos
La selección de modelos no está restringida a los modelos descritos anteriormente.
A menudo es difícil verificar las ventajas e inconvenientes relativos a los modelos estos para uso operativo. La selección de un
modelo adecuado para una situación hidrológica específica tiene repercusiones en la planificación, el desarrollo y la gestión de
los recursos hídricos en actividades de hidrología operativa, y en el establecimiento de directrices de investigación posteriores en
modelización. Algunos de los factores y criterios que debe tenerse en cuenta al seleccionar un modelo son [2].
a)
b)
c)
d)
el objetivo general del modelización extrapolación de datos de predicción hidrológica (simulación determinística) o
influencias humanas sobre el régimen hidrológico natural;
el tipo de sistema modelado: pequeña cuenca, acuífero, tramo de río, embalse o cuenca grande;
el elemento hidrológico modelado: crecidas, caudales medios diarios, caudales medios mensuales, niveles de aguas
subterráneas, calidad del agua. etc.;
el tipo de modelo y la descripción de los procesos hidrológicos pertinentes, por ejemplo:
i)
e)
f)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
si el caudal mínimo se estudia en una cuenca, el modelo debe cubrir las estructuras más adaptadas a la modelización de
aguas subterráneas;
ii) es muy importante que un modelo de predicción abarque un componente de actualización;
las características climáticas y fisiográficas de la cuenca;
los datos requeridos para la calibración y la explotación: tipo, longitud, y calidad;
la simplicidad del modelo, desde el punto de vista hidrológico y de aplicación;
la posible necesidad para transponer parámetros del modelo de cuencas pequeñas a cuencas grandes,
la posibilidad de actualizar el modelo en función de las condiciones hidrometeorológicas actuales.
información útil y consejos sobre la selección y aplicación de modelos conceptuales en varias situaciones hidrológicas
figuran en los diversos proyectos internacionales de la OMM:
Intercomparación de modelos conceptuales usados en la predicción hidrológica operativa [5].
Intercomparación de modelos de derretimiento de nieve-escorrentía [14];
Intercomparación simulada en tiempo real de modelos hidrológicos [52].
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