MATEMÁTICAS

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PROGRAMAS DE ESTUDIO EN
MATEMÁTICAS
o
o
o
o
o
o
o
o
Introducción general
I. Fundamentos
II. Ejes
III. Gestión y planeamiento
pedagógicos
IV. Metodología
V. Evaluación
VI. Programas de cada ciclo educativo:
ƒ Primer ciclo
ƒ Segundo ciclo
ƒ Tercer ciclo
ƒ Ciclo diversificado
VII. Otros elementos
Marzo 2012
1
Programas de Estudio en Matemáticas
Tabla de contenido
INTRODUCCIÓN GENERAL ........................................................................................................... 9
La resolución de problemas: enfoque principal del currículo......................................................................................... 10
Conceptos básicos: habilidades, competencia y procesos ................................................................................................ 11
Matemáticas de calidad con profundidad .............................................................................................................................. 12
Integración vertical de los planes de estudio ....................................................................................................................... 13
Sentido histórico y adecuación al contexto educativo nacional ..................................................................................... 14
Ejes disciplinares ............................................................................................................................................................................ 15
El currículo de matemáticas y los fines de la educación costarricense........................................................................ 16
La estructura del currículo.......................................................................................................................................................... 17
I. FUNDAMENTOS ..................................................................................................................... 19
El plan de estudios se organiza por medio de áreas matemáticas y habilidades .......................................... 20
Una perspectiva: competencia matemática ............................................................................................................. 22
Procesos matemáticos ................................................................................................................................................... 23
Cinco procesos................................................................................................................................................................................. 24
Razonar y argumentar ............................................................................................................................................................ 24
Plantear y resolver problemas ............................................................................................................................................. 24
Comunicar ................................................................................................................................................................................... 24
Conectar ....................................................................................................................................................................................... 25
Representar ................................................................................................................................................................................ 25
¿Cómo actúan los procesos? ....................................................................................................................................................... 26
La mediación pedagógica para desarrollar capacidades cognitivas superiores ........................................... 26
Resolución de problemas .............................................................................................................................................. 28
Resolución de problemas: propósitos en el currículo........................................................................................................ 28
Problemas ......................................................................................................................................................................................... 29
Modelización .................................................................................................................................................................................... 31
El uso de tecnologías ..................................................................................................................................................................... 32
Diferentes niveles de complejidad de los problemas ......................................................................................................... 33
Problemas, memorización y reflejos intelectuales ............................................................................................................. 35
II. EJES ....................................................................................................................................... 37
Cinco ejes disciplinares ................................................................................................................................................. 38
Resolución de problemas y contextualización activa ........................................................................................... 39
Tecnologías ....................................................................................................................................................................... 40
Actitudes y creencias ...................................................................................................................................................... 41
Historia de las Matemáticas ......................................................................................................................................... 42
III. GESTIÓN Y PLANEAMIENTO PEDAGÓGICOS ........................................................................ 45
La organización de las lecciones ................................................................................................................................. 46
Un estilo para organizar las lecciones ..................................................................................................................................... 46
Consideraciones sobre el estilo para organizar las lecciones ......................................................................................... 48
La pregunta dirigida ...................................................................................................................................................................... 50
Indicaciones generales .................................................................................................................................................. 51
Integrar habilidades ...................................................................................................................................................................... 51
Plazos educativos ........................................................................................................................................................................... 51
Variables de la lección .................................................................................................................................................................. 51
Interacciones en la institución ................................................................................................................................................... 53
IV. METODOLOGÍA .................................................................................................................... 55
Sobre áreas matemáticas .............................................................................................................................................. 56
Números ............................................................................................................................................................................................ 57
Geometría.......................................................................................................................................................................................... 59
Medidas.............................................................................................................................................................................................. 60
Relaciones y Álgebra ..................................................................................................................................................................... 61
Estadística y Probabilidad ........................................................................................................................................................... 62
Sobre procesos matemáticos ....................................................................................................................................... 64
Indicaciones para cada proceso ................................................................................................................................................ 64
Razonar y argumentar ............................................................................................................................................................ 64
Plantear y resolver problemas ............................................................................................................................................. 64
Comunicar ................................................................................................................................................................................... 65
Conectar ....................................................................................................................................................................................... 65
Representar ................................................................................................................................................................................ 66
Otras sugerencias sobre procesos ............................................................................................................................................ 67
Sobre la diversidad de estudiantes ............................................................................................................................ 68
Sobre el uso de tecnologías .......................................................................................................................................... 69
Sobre actitudes y creencias .......................................................................................................................................... 71
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas ....................................................................................................... 74
V. EVALUACIÓN......................................................................................................................... 79
Evaluación de los aprendizajes .................................................................................................................................................. 80
Principios .......................................................................................................................................................................................... 80
La evaluación en la resolución de problemas ....................................................................................................................... 81
VI. PROGRAMAS DE CADA CICLO EDUCATIVO .......................................................................... 83
Introducción ..................................................................................................................................................................... 84
La presentación de conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales .......................................... 84
El papel de las indicaciones puntuales .................................................................................................................................... 85
Simbología empleada en la columna de indicaciones puntuales ................................................................................... 86
Primer ciclo....................................................................................................................................................................... 87
Introducción al Primer ciclo ....................................................................................................................................................... 88
Conocimientos Básicos ................................................................................................................................................................. 90
Introducción ............................................................................................................................................................................... 90
Propósito de la enseñanza ..................................................................................................................................................... 90
Habilidades generales ............................................................................................................................................................. 90
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................... 90
Indicaciones metodológicas .................................................................................................................................................. 93
Indicaciones de evaluación.................................................................................................................................................... 93
Primer ciclo, Números .................................................................................................................................................................. 95
Introducción ............................................................................................................................................................................... 95
Propósito de la enseñanza ..................................................................................................................................................... 95
Habilidades generales ............................................................................................................................................................. 95
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................... 96
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 112
Generales del ciclo ........................................................................................................................................................... 112
Primer año .......................................................................................................................................................................... 113
Segundo año ....................................................................................................................................................................... 116
Tercer año........................................................................................................................................................................... 118
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 120
Primer ciclo, Geometría............................................................................................................................................................. 122
Introducción ............................................................................................................................................................................ 122
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 122
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 122
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 123
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 130
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 130
Primer año .......................................................................................................................................................................... 130
Segundo año ....................................................................................................................................................................... 131
Tercer año........................................................................................................................................................................... 132
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 134
Primer ciclo, Medidas................................................................................................................................................................. 136
Introducción ............................................................................................................................................................................ 136
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 136
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 136
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 137
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 144
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 144
Primer año .......................................................................................................................................................................... 145
Segundo año ....................................................................................................................................................................... 145
Tercer año........................................................................................................................................................................... 146
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 146
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra ........................................................................................................................................ 148
Introducción ............................................................................................................................................................................ 148
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 148
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 148
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 149
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 154
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 154
Primer año .......................................................................................................................................................................... 155
Segundo año ....................................................................................................................................................................... 156
Tercer año........................................................................................................................................................................... 157
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 157
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad .............................................................................................................................. 161
Introducción ............................................................................................................................................................................ 161
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 161
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 161
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 162
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 174
Generales del ciclo ........................................................................................................................................................... 174
Primer año .......................................................................................................................................................................... 177
Segundo año ....................................................................................................................................................................... 177
Tercer año........................................................................................................................................................................... 178
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 181
Segundo ciclo ................................................................................................................................................................. 185
Introducción al Segundo ciclo ................................................................................................................................................. 186
Segundo ciclo, Números ............................................................................................................................................................ 188
Introducción ............................................................................................................................................................................ 188
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 188
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 188
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 189
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 209
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 209
Cuarto año .......................................................................................................................................................................... 210
Quinto año .......................................................................................................................................................................... 213
Sexto año ............................................................................................................................................................................. 214
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 217
Segundo ciclo, Geometría ......................................................................................................................................................... 219
Introducción ............................................................................................................................................................................ 219
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 219
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 219
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 220
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 233
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 233
Cuarto año .......................................................................................................................................................................... 233
Quinto año .......................................................................................................................................................................... 234
Sexto año ............................................................................................................................................................................. 235
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 239
Segundo ciclo, Medidas ............................................................................................................................................................. 242
Introducción ............................................................................................................................................................................ 242
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 242
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 242
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 243
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 247
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 247
Cuarto año .......................................................................................................................................................................... 248
Quinto año .......................................................................................................................................................................... 249
Sexto año ............................................................................................................................................................................. 249
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 250
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra ..................................................................................................................................... 252
Introducción ............................................................................................................................................................................ 252
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 252
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 253
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 253
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 263
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 263
Cuarto año .......................................................................................................................................................................... 263
Quinto año .......................................................................................................................................................................... 264
Sexto año ............................................................................................................................................................................. 266
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 267
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad ........................................................................................................................... 269
Introducción ............................................................................................................................................................................ 269
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 269
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 269
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 270
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 282
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 282
Cuarto año .......................................................................................................................................................................... 285
Quinto año .......................................................................................................................................................................... 288
Sexto año ............................................................................................................................................................................. 291
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 293
Tercer ciclo .................................................................................................................................................................... 297
Introducción al Tercer ciclo ..................................................................................................................................................... 298
Tercer ciclo, Números ................................................................................................................................................................ 300
Introducción ............................................................................................................................................................................ 300
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 300
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 301
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 301
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 321
Generales del ciclo ........................................................................................................................................................... 321
Sétimo año .......................................................................................................................................................................... 322
Octavo año .......................................................................................................................................................................... 324
Noveno año......................................................................................................................................................................... 325
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 327
Tercer ciclo, Geometría ............................................................................................................................................................. 329
Introducción ............................................................................................................................................................................ 329
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 330
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 330
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 331
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 349
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 349
Sétimo año .......................................................................................................................................................................... 350
Octavo año .......................................................................................................................................................................... 352
Noveno año......................................................................................................................................................................... 354
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 356
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra ......................................................................................................................................... 359
Introducción ............................................................................................................................................................................ 359
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 360
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 360
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 361
Indicaciones metodológicas..................................................................................................................................................... 376
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 376
Sétimo año .......................................................................................................................................................................... 377
Octavo año .......................................................................................................................................................................... 377
Noveno año......................................................................................................................................................................... 379
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 382
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad............................................................................................................................... 384
Introducción ............................................................................................................................................................................ 384
Propósito de enseñanza....................................................................................................................................................... 384
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 384
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 385
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 403
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 403
Sétimo año .......................................................................................................................................................................... 405
Octavo año .......................................................................................................................................................................... 407
Noveno año......................................................................................................................................................................... 411
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 415
Ciclo diversificado ........................................................................................................................................................ 419
Introducción al Ciclo diversificado ........................................................................................................................................ 420
Ciclo diversificado, Geometría ................................................................................................................................................ 421
Introducción ............................................................................................................................................................................ 421
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 421
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 421
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 422
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 436
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 436
Décimo año ......................................................................................................................................................................... 437
Undécimo año.................................................................................................................................................................... 438
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 440
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra ............................................................................................................................ 442
Introducción ............................................................................................................................................................................ 442
Propósito de la enseñanza .................................................................................................................................................. 442
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 443
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 443
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 455
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 455
Décimo año ......................................................................................................................................................................... 456
Undécimo año.................................................................................................................................................................... 459
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 466
Ciclo diversificado, Estadística y Probabilidad.................................................................................................................. 469
Introducción ............................................................................................................................................................................ 469
Propósito de enseñanza....................................................................................................................................................... 469
Habilidades generales .......................................................................................................................................................... 469
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales........................................................................ 470
Indicaciones metodológicas ............................................................................................................................................... 479
Generales para el ciclo .................................................................................................................................................... 479
Décimo año ......................................................................................................................................................................... 481
Undécimo año.................................................................................................................................................................... 488
Indicaciones de evaluación................................................................................................................................................. 489
VII. OTROS ELEMENTOS .......................................................................................................... 493
Tabla de conocimientos.............................................................................................................................................. 494
Primer ciclo ................................................................................................................................................................................... 494
Segundo ciclo ................................................................................................................................................................................ 498
Tercer ciclo .................................................................................................................................................................................... 501
Ciclo diversificado ....................................................................................................................................................................... 504
Distribución de áreas por nivel ................................................................................................................................ 506
Glosario ........................................................................................................................................................................... 507
Notas ................................................................................................................................................................................ 519
Bibliografía y referencias …………………………………………………………………….. ………………………………………….541
Créditos………………………………………………………………………………………………………………………………………… … 553
Introducción general
Introducción general
/DV0DWHPiWLFDVVLHPSUHKDQRFXSDGRXQOXJDUUHOHYDQWHHQHOFRQRFLPLHQWR\ODFXOWXUDGHORV
SXHEORV -XQWR DRWURV VDEHUHV \ SUiFWLFDV KXPDQDV KDQ VLGR SULYLOHJLDGDV SDUD OD GHILQLFLyQ GH
PRGHORVGHORUHDOHVWUXFWXUDVGHOFRQRFLPLHQWR\SDUDODSURSXHVWDGHVLJQLILFDGRVFXOWXUDOHV(O
YHUWLJLQRVR SURJUHVR GH ODV &LHQFLDV \ ODV WHFQRORJtDV PRGHUQDV KD YLVWR XQD SDUWLFLSDFLyQ PiV
LQWHQVD GH ODV 0DWHPiWLFDV \ D OD YH] KD VLGR IDFWRU SRGHURVR GH VX DYDQFH /DV 0DWHPiWLFDV
HVWiQSUHVHQWHVHQODV&LHQFLDVGHOD,QIRUPDFLyQ\OD&RPXQLFDFLyQHQOD)tVLFDOD4XtPLFDHQ
ODVWHFQRORJtDVHVSDFLDOHVODQDQRWHFQRORJtDODSUHGLFFLyQPHWHRUROyJLFD\HOFiOFXORGHULHVJRV
\EHQHILFLRVGHODVHQWLGDGHVILQDQFLHUDV/DV0DWHPiWLFDVVRQSLH]DFODYHWDQWRGHORVGLVSRVLWL
YRVLQWHOHFWXDOHVSDUDHVFXGULxDUHORULJHQGHOXQLYHUVR\GHODYLGDDVtFRPRGHODFRQVWUXFFLyQ
GH ORV DUWHIDFWRV VRILVWLFDGRV TXH XVDPRV GH PDQHUD FRWLGLDQD /DV 0DWHPiWLFDV WDPELpQ KDQ
VLGR XQ HOHPHQWR IXQGDPHQWDO HQ OD IRUPDFLyQ GH HVStULWXV UDFLRQDOHV \ FUtWLFRV EDOXDUWH GH OD
DUJXPHQWDFLyQ OyJLFD \ OD MXVWLILFDFLyQGHORVUD]RQDPLHQWRV(OULJRUPHQWDO \ ODDJXGH]D LQWH
OHFWXDOKDQVLGRGHVWUH]DVFXOWLYDGDVSRUPHGLRGHODV0DWHPiWLFDV
+D H[LVWLGR XQD UHODFLyQ tQWLPD HQWUH ODV FRQVWUXFFLRQHV PDWHPiWLFDV \ OD HQVHxDQ]D GH pVWDV
SXHVGHP~OWLSOHVPDQHUDVODQDWXUDOH]DGHODV0DWHPiWLFDVVHH[KLEHVHIXQGDPHQWD\VHLQFOX\H
HQDTXHOODVDFFLRQHVUHODFLRQDGDVFRQVXHQVHxDQ]D\DSUHQGL]DMH/DHQVHxDQ]DGHODV0DWHPi
WLFDVVLQ HPEDUJRSRVHHXQVHQWLGR\FDUDFWHUtVWLFDVSURSLDV LQGHSHQGLHQWHVGH ODV0DWHPiWLFDV
TXH WLHQHQ TXH YHU FRQ ORV SURSyVLWRV HVSHFtILFRV TXH SRVHH /D (GXFDFLyQ 0DWHPiWLFD TXH VH
EULQGHHQODVDXODVHVFRODUHVGHEHHQFRQWUDUVXVLJQLILFDGRJHQHUDOHQHOGHVDUUROORGHODVFDSDFL
GDGHVGHORVLQGLYLGXRVSDUDLQWHUYHQLUGHXQDPHMRUPDQHUDHQODYLGD
La resolución de problemas: enfoque principal del currículo
(VWH FXUUtFXOR DVXPH FRPR VX REMHWLYR SULQFLSDO OD E~VTXHGD GHO IRUWDOHFLPLHQWR GH PD\RUHV
FDSDFLGDGHVFRJQRVFLWLYDVSDUDDERUGDUORVUHWRVGHXQDVRFLHGDGPRGHUQDGRQGHODLQIRUPDFLyQ
HOFRQRFLPLHQWR\ODGHPDQGDGHPD\RUHVKDELOLGDGHV\FDSDFLGDGHVPHQWDOHVVRQLQYRFDGDVFRQ
IXHU]D 'HVDUUROODU HVWH SURSyVLWR VXSRQH DO PHQRV GRV FRVDV SRU XQ ODGR TXH FDGD HVWXGLDQWH
DVXPDXQFRPSURPLVRFRQODFRQVWUXFFLyQGHVXVDSUHQGL]DMHV\SRUHORWURTXHKD\DXQDDFFLyQ
GRFHQWHFUXFLDOSDUDJHQHUDUDSUHQGL]DMHVHQ ODVFDQWLGDGHV \FDOLGDGHVTXH LPSOLFDHOHVFHQDULR
DFWXDO $SUHQGHU D SODQWHDU \ UHVROYHU SUREOHPDV \ HVSHFLDOPHQWH XVDUORV HQ OD RUJDQL]DFLyQ GH
ODVOHFFLRQHVVHDGRSWDFRPRODHVWUDWHJLDFHQWUDOSDUDJHQHUDUHVDVFDSDFLGDGHV(OGHVDItRLQWH
OHFWXDOOHHVFRQVXEVWDQFLDOXQQXWULHQWHSDUDXQDODERUGHDXODLQWHOLJHQWH\PRWLYDGRUD
(QHVWHFXUUtFXORVHHQIDWL]DUiHOWUDEDMRFRQSUREOHPDVDVRFLDGRVD ORVHQWRUQRVUHDOHV ItVLFRV
VRFLDOHV\FXOWXUDOHVRTXHSXHGDQVHULPDJLQDGRVGHHVDPDQHUD6HDVXPHTXHXVDUHVWHWLSRGH
SUREOHPDV HV XQD SRGHURVD IXHQWH SDUD OD FRQVWUXFFLyQ GH DSUHQGL]DMHV HQ ODV 0DWHPiWLFDV $O
FRORFDUVH HQ FRQWH[WRV UHDOHV HO SODQWHR \ UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV FRQOOHYD GLUHFWDPHQWH D OD
LGHQWLILFDFLyQXVR\FRQVWUXFFLyQGHPRGHORVPDWHPiWLFRV
/D UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV FRPR HVWUDWHJLD SHGDJyJLFD VH VXEUD\DUi DTXt FRPR VXVWUDWR GH XQ
HVWLORGHDFFLyQGHDXOD3DUDHODSUHQGL]DMHGHFRQRFLPLHQWRVGHQWURGHODOHFFLyQVHSURSRQHXQD
LQWURGXFFLyQGHORVQXHYRVWySLFRVTXHWRPHHQFXHQWDFXDWURSDVRVRPRPHQWRVFHQWUDOHV
SURSXHVWDGHXQSUREOHPD
WUDEDMRHVWXGLDQWLOLQGHSHQGLHQWH
GLVFXVLyQLQWHUDFWLYD\FRPXQLFDWLYD
Introducción general
FODXVXUDRFLHUUH
(VWDVHFXHQFLDSXHGHUHDOL]DUVHGHQWURGHXQDOHFFLyQRXQDFROHFFLyQGHHOODVGHDFXHUGRDOWHPD
RDODxROHFWLYR(VWHHVWLORVHFRQWUDSRQHDDTXHOTXHWUDEDMDORVWySLFRVPDWHPiWLFRVHQDEVWUDF
WRRIUHFHHMHPSORV \SUiFWLFDVUXWLQDULDV \DO ILQDOFRPRDSpQGLFHHMHUFLFLRVRSUREOHPDVFRQ
WH[WXDOL]DGRV1RVHWUDWDGHXQDSUHVFULSFLyQDVHJXLUVHPHFiQLFDPHQWHSXHVVXGLVHxR\UHDOL
]DFLyQGHSHQGHGHODVFRQGLFLRQHVGRQGHVHSODQWHHHODSUHQGL]DMH
8VDUSUREOHPDVVHSURSRQHFRPRXQDFRQVWDQWHHQWRGDVODVIDVHVGHODDFFLyQGHDXODLQFOX\HQ
GRDTXHOODGHOUHIRU]DPLHQWRPRYLOL]DFLyQ\DSOLFDFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRVDSUHQGLGRV
6L ELHQ VH SURPXHYH HO XVR GH SUREOHPDV HQ FRQWH[WRVUHDOHV ORV DEVWUDFWRV VH FRQVLGHUDQ PX\
LPSRUWDQWHV<PiVD~QORTXHVHSUHWHQGHHQ~OWLPDLQVWDQFLDHVODFRQVWUXFFLyQGHFDSDFLGDGHV
SDUDODPDQLSXODFLyQGHORVREMHWRVPDWHPiWLFRVFX\DQDWXUDOH]DHVDEVWUDFWD/DHVWUDWHJLDDVX
PLGDVHSURSRQHIXQGDPHQWDUSHGDJyJLFDPHQWHHOSDVRGHVGHORFRQFUHWRDORDEVWUDFWR
Conceptos básicos: habilidades, competencia y procesos
/DRUJDQL]DFLyQGHOSURJUDPDGHHVWXGLRVVHUHDOL]DSRUPHGLRGHFLQFRiUHDVPDWHPiWLFDV 1~
PHURV*HRPHWUtD0HGLGDV5HODFLRQHV\ÈOJHEUD\(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
/RVFRQRFLPLHQWRVPDWHPiWLFRVVRQODEDVHGHHVWRVSURJUDPDV 1RREVWDQWHVHDGRSWDXQHQIR
TXH EDVDGR QR VRODPHQWH HQ FRQWHQLGRV PDWHPiWLFRV /R TXH VH SUHWHQGH HV HO GHVDUUROOR GH
PD\RUHVFDSDFLGDGHVGHO FLXGDGDQRSDUDHQIUHQWDUVHDORVUHWRVGHO PXQGRGHOTXH IRUPDSDUWH
(O GHVDUUROOR YHUWLJLQRVR GHO FRQRFLPLHQWR \ VX ULWPR GH FDPELR DFHOHUDGR FRQGXFHQ D XQD UH
IRUPXODFLyQ GH SURJUDPDV PDWHULDOHV WH[WRV UHFXUVRV PDWHULDOHV \ KXPDQRV TXH WUDQVIRUPDQ
FRQIXHU]D ODDFFLyQGRFHQWH\ ODRUJDQL]DFLyQGHOD OHFFLyQ6HLPSRQHXQD OyJLFDGHOVDEHUHQ
FRQWH[WR GHO DSUHQGHU D DSUHQGHU /DV FDSDFLGDGHV VH DVXPHQ FRPR FHQWUDOHV (Q SULPHU OXJDU
DTXHOODVGHFRUWRSOD]R\DVRFLDGDVDODViUHDVPDWHPiWLFDVTXHVHVHOHFFLRQDURQHVWDVFDSDFLGD
GHVVHGHQRPLQDQDTXtKDELOLGDGHVHVSHFtILFDV(QVHJXQGROXJDUODJHQHUDOL]DFLyQGHHVWDVKDEL
OLGDGHV HVSHFtILFDV D GHVDUUROODU HQ XQ FLFOR HGXFDWLYR KDELOLGDGHV JHQHUDOHV (QWHUFHU OXJDU \
VRODPHQWHFRPRXQDSHUVSHFWLYDJHQHUDOODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD3DUDUHDOL]DUHVRVSURSyVL
WRVGHQWURGHOSODQGHHVWXGLRVVHGHEHQPRGXODUODFDQWLGDG\FDOLGDGGHORVFRQWHQLGRVHGXFDWL
YRVHQIXQFLyQGHOSURJUHVRGHHVDVFDSDFLGDGHV
/DFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDVHLQWHUSUHWDDTXtFRPRXQDFDSDFLGDGGHXVDUODV PDWHPiWLFDVSDUD
HQWHQGHU\DFWXDUVREUHGLYHUVRVFRQWH[WRVUHDOHVVXEUD\DXQDUHODFLyQGHHVWDGLVFLSOLQDFRQORV
HQWRUQRV ItVLFRV \ VRFLRFXOWXUDOHV \ WDPELpQ EULQGD XQ OXJDU SULYLOHJLDGR DO SODQWHDPLHQWR \
UHVROXFLyQGHSUREOHPDV(QHVWDYLVLyQODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDHVWiGHILQLGDSRUXQSRGHURVR
VHQWLGR SUiFWLFR $GRSWDU HO VLJQLILFDGR GH OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD GH HVWD PDQHUD SRVHH
LPSOLFDFLRQHVLPSRUWDQWHVSDUDHVWHFXUUtFXORHVFRODU
/D FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD VLQ HPEDUJR QR RUJDQL]D ORV SODQHV GH HVWXGLR /D FRPSHWHQFLD
PDWHPiWLFD \ ODV FDSDFLGDGHV FRJQLWLYDV VXSHULRUHV VH GHVDUUROODQ D SDUWLU GH ODV DFWLYLGDGHV
FRWLGLDQDVHQHODXODSDUDHOORJURGHODVKDELOLGDGHVHVSHFtILFDV\JHQHUDOHVDVRFLDGDVDODViUHDV
PDWHPiWLFDV/RVFRQRFLPLHQWRV PDWHPiWLFRV \ ODVH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL]DMH VREUHHOORVVRQ
Introducción general
HOSXQWRGHSDUWLGDHQFDGDFLFOR\DxROHFWLYRFRQVWLWX\HQHOFRQWDFWRLQPHGLDWRGRFHQWHFRQHO
SODQGHHVWXGLRGHFDGDDxRHVFRODU(VWRHVIXQGDPHQWDOSXHVSHUPLWHQRGLVWDQFLDUVHGHODSUH
SDUDFLyQDFWXDOGHGRFHQWHVHQHOSDtV\ODWUDGLFLyQGRPLQDQWHHQFXDQWRDOFXUUtFXORKD\SOHQD
IDPLOLDULGDGFRQODViUHDVPDWHPiWLFDV
(OGRPLQLRGHODVKDELOLGDGHVHQXQiUHDPDWHPiWLFD\HOGHVDUUROORGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWL
FDVHSURSRQHUHDOL]DUDSDUWLUGHODPHGLDFLyQSHGDJyJLFDODRUJDQL]DFLyQGHODVOHFFLRQHV\GH
ODV WDUHDV PDWHPiWLFDV \ OD DFFLyQ GLUHFWD GRFHQWH HQ HO DXOD 6RQ YDULDV ODV HVWUDWHJLDV TXH VH
SXHGHQGHVDUUROODUHQHVDGLUHFFLyQ (QWUHHOODVHOSURFXUDUTXHHQODDFFLyQGHDXODVHUHDOLFHQ
SURFHVRVPDWHPiWLFRVHVGHFLUDFWLYLGDGHVWUDQVYHUVDOHVTXHVHDVRFLDQDFDSDFLGDGHVSUHVHQWHV
HQ FDGD iUHD SDUD FRPSUHQGHU \ XVDU FRQRFLPLHQWRV DSR\DQGR HO GHVDUUROOR GH OD FRPSHWHQFLD
PDWHPiWLFD
6HSODQWHDQDTXtFLQFRSURFHVRVFHQWUDOHV5D]RQDU\DUJXPHQWDU3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
&RQHFWDU&RPXQLFDU\5HSUHVHQWDU6RQIRUPDVGHDFFLyQFRJQLWLYDTXHSXHGHQJHQHUDUFDSDFL
GDGHV/DVHOHFFLyQ\FRQFHSWXDFLyQGHHVWRVSURFHVRVRUGHQD\GHILQHHOSDSHOTXHVHGHVHDGDUD
ODVFDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDVSRUHMHPSORDVRFLDUHVWUHFKDPHQWHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\OD
PRGHOL]DFLyQ\IDFLOLWDQODLPSOHPHQWDFLyQHQODDFFLyQGHDXODGHDFFLRQHVFRJQLWLYDVWUDQVYHU
VDOHVGHDOWRQLYHO6HDFHSWDFRPRSUHPLVDTXHVXUHDOL]DFLyQFRQVWDQWHHQWRGRVORVDxRVOHFWL
YRVSHUPLWHJHQHUDUHOSURJUHVRGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD(QHOSODQGHHVWXGLRVVHVHxDODQ
DFFLRQHVSDUDVXUHDOL]DFLyQHQFDGDFLFORHGXFDWLYR
Matemáticas de calidad con profundidad
(VXQDFUHFLHQWHGHPDQGDVRFLDOTXH ODVSHUVRQDVSXHGDQUHDOL]DURSHUDFLRQHV \SURFHVRVPDWH
PiWLFRVGHXQDPD\RUFRPSOHMLGDG(VRUHILHUHDFDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDVDVRFLDGDVDODUHVROX
FLyQGHSUREOHPDVDODDSOLFDFLyQGHFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVDODPDWHPDWL]DFLyQRPRGHOL
]DFLyQDVtFRPRDPD\RUHVQLYHOHVHQODMXVWLILFDFLyQ\DUJXPHQWDFLyQPDWHPiWLFD(OPDQHMRGH
FRQFHSWRV SURFHVRV R DFWLYLGDGHV PDWHPiWLFDV VLPSOHV SURFHGLPLHQWRV VHQFLOORV R UXWLQDULRV \
GHXQDH[LJHQFLDPHQWDOPHQRUGHEHVHUSDUWHVXERUGLQDGDGHODVDFFLRQHVPDWHPiWLFDVGHQLYHO
VXSHULRU7DQWRHQODHWDSDGHDSUHQGL]DMHFRPRHQODGHPRYLOL]DFLyQ\DSOLFDFLyQGHORVDSUHQ
GL]DMHVVHDERJDSRUWUDEDMDUFRQSUREOHPDVTXHSRVHDQQLYHOHVGLVWLQWRVGHFRPSOHMLGDG
(O GRPLQLR HQ SURIXQGLGDG GH DOJXQRV WySLFRV JHQHUD FDSDFLGDGHV SDUD SRGHU DSUHQGHU RWURV
WHPDVFRQPD\RUIDFLOLGDGLQFOXVRVLQHOFRQFXUVRGRFHQWH3RUHOFRQWUDULRHOFRQWDFWRVXSHUIL
FLDO FRQ PXFKRVWySLFRV QR SHUPLWH DSUHQGL]DMHV VLJQLILFDWLYRV \ PiV ELHQ VH FRQYLHUWH HQREV
WiFXORSDUDHOSURJUHVRGHORVDSUHQGL]DMHV
$GHPiVGHWUDEDMDUFRQSUREOHPDVFRQGLVWLQWRVQLYHOHVGHFRPSOHMLGDGHVQHFHVDULDOD LQWURGXF
FLyQ GH FRQWHQLGRV PDWHPiWLFRV TXH MXHJDQ XQ SDSHO FUXFLDO HQ OD IRUPDFLyQ HVFRODU PRGHUQD
3RUHMHPSORWySLFRVGHJHRPHWUtDGHFRRUGHQDGDV\GHWUDQVIRUPDFLRQHVTXHDGHPiVGHLQFOXLU
XQDYLVLyQPRGHUQDGHOD*HRPHWUtDIDYRUHFHQHOWUDWDPLHQWRGHRWURVFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQ
WRVPDWHPiWLFRVEULQGDQGRLQVWUXPHQWRVSDUDSRGHUXVDUODV0DWHPiWLFDVHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
8Q WUDWDPLHQWR DGHFXDGR GH ODV UHODFLRQHV \ IXQFLRQHV HVRWUR SURSyVLWR TXH GHEH HQIDWL]DUVH \
FXOWLYDUVH DGHFXDGDPHQWH GHVGH HO LQLFLR GH OD IRUPDFLyQ HVFRODU SXHV pVWDV UHVXOWDQ FHQWUDOHV
SDUDODIRUPDFLyQPDWHPiWLFDPRGHUQD/D(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGVRQSDUWHREOLJDWRULDGHORV
FRQRFLPLHQWRVTXHGHEHWHQHUXQFLXGDGDQRHQQXHVWURHVFHQDULR
Introducción general
3ULYLOHJLDUODSURIXQGLGDGHQHOWUDWDPLHQWRGHORVFRQWHQLGRVHVFRODUHVVREUHODDPSOLWXGGHORV
PLVPRV UHTXLHUH EULQGDU WLHPSRV DGHFXDGRV SDUD ORV DSUHQGL]DMHV < HVR SRVHH FRQVHFXHQFLDV
VREUHHOQ~PHURGHORVFRQWHQLGRVHQORVSODQHVGHHVWXGLR (VIUHFXHQWHHOGHVDFLHUWRGHSHQVDU
TXH FXDQGR XQ SODQ GH HVWXGLRV H[KLEH XQD DPSOLD FROHFFLyQ GH FRQWHQLGRV VH RIUHFH HO PHMRU
LQVWUXPHQWRHGXFDWLYRDOSDtV6HLQFXUUHHQHOHUURUHQGRVVHQWLGRVQLVHSURYRFDGRPLQLRGHORV
PLVPRVQLVHDILUPDQODVFDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDVTXHQRVyORVRQHVHQFLDOHVSDUDYLGDVSURIH
VLRQDOHVDVRFLDGDVDODVFLHQFLDVVLQRSDUDODFRQVWUXFFLyQGHXQDFLXGDGDQtDFUtWLFD\UDFLRQDO(Q
HVD IRUPD VH YXHOYH XQ PDO LQVWUXPHQWR DOHMDGR GH OD UHDOLGDG GH DXOD \ GH ODV SRVLELOLGDGHV
HIHFWLYDVGHLQFLGLUSRVLWLYDPHQWHHQORVDSUHQGL]DMHV
3RWHQFLDUODDPSOLWXGSRUVtPLVPDDOPDUJHQGHODSURIXQGLGDGHVXQHUURUSHURRWURHUURUFDVL
VLPpWULFRVHUtDODUHGXFFLyQGHORVFRQWHQLGRVDPtQLPRVLQGHVHDEOHVTXHVyORSXHGHQSHUMXGLFDU
ODIRUPDFLyQTXHGHEHDSRUWDUHOSDtVDVXFLXGDGDQtD
(O SURSyVLWR GH RIUHFHU PDWHPiWLFDV GH FDOLGDG SHUVLJXH EULQGDU D OD FLXGDGDQtD ORV PHMRUHV
LQVWUXPHQWRVIRUPDWLYRVSDUDSRWHQFLDUVXVFRQGLFLRQHVGHYLGDHQHVWHFRQWH[WRKLVWyULFR(QHVH
VHQWLGRVHEXVFDGDUDWRGRVORVVHFWRUHVVRFLDOHV\FXOWXUDOHVXQSURJUDPDGHPDWHPiWLFDVPR
GHUQR\VyOLGRTXHSURPXHYDODHTXLGDGVRFLDO(QWRGRHOSDtVVHGHEHSRGHULPSOHPHQWDUHVWH
FXUUtFXOR (O (VWDGR GHEHUi DVXPLU ODV DFFLRQHV UHTXHULGDV SDUD DVHJXUDU HVWD HTXLGDG HQ WRGDV
SDUWHV
Integración vertical de los planes de estudio
/RVFRQRFLPLHQWRV\H[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL]DMHVREUHHOORVVHRUJDQL]DQHQHOSODQGHHVWXGLRV
GHPDQHUDLQWHJUDGDGHVGHHOSULPHURDO~OWLPRDxR
([LVWH VXVWHQWR HSLVWHPROyJLFR \ SHGDJyJLFR SDUD HVD GHFLVLyQ ODV 0DWHPiWLFDV QR VRQ XQD
FROHFFLyQGLVSHUVD\GHVDUWLFXODGDGHFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVHVSHFtILFRVpVWRVVHLQWHJUDQD
SDUWLUGHLGHDV \ PpWRGRVJHQHUDOHVFX\DFRQVWUXFFLyQ \DPSOLDFLyQKDQVLGRHOUHVXOWDGRGHORV
TXHKDFHUHVPDWHPiWLFRV(QFDGDiUHDPDWHPiWLFDVHSXHGHQVHxDODULGHDVJHQHUDOHVIXQGDPHQWD
OHV \ VH SXHGHQ GHVFULELU ODV GLIHUHQWHV GLPHQVLRQHV DVRFLDGDV RUHFRQVWUXFFLRQHV TXH VREUH ODV
PLVPDV VH KDQ GDGR D OR ODUJR GH ORV GLVWLQWRV PRPHQWRV KLVWyULFRV 'H LJXDO PDQHUD QXHYDV
LGHDV\PpWRGRVVHFRQVWUX\HQFDGDGtDSRUPHGLRGHODVFRPXQLGDGHVPDWHPiWLFDV6LQHPEDU
JRQRWRGDVODV LGHDV \ ORV PpWRGRVPDWHPiWLFRVJHQHUDOHVVRQSHUWLQHQWHVSDUDLQWURGXFLUVHHQ
ORVSURJUDPDVHVFRODUHVORTXHVHGHEHLQWURGXFLUVRQODVLGHDVEiVLFDVTXHIXQGDPHQWDQHOHGLIL
FLR PDWHPiWLFR \ FX\R GRPLQLR JHQHUD ODV FDSDFLGDGHV SDUD DFFHGHU D RWUDV \ DTXHOODV TXH DO
LQWURGXFLUVH SXHGHQ SURSLFLDU FRQGLFLRQHV UHOHYDQWHV SDUD HO FLXGDGDQR (Q HVWRV SURJUDPDV VH
LQFOX\HQHVWDVLGHDV\PpWRGRVFRQSUHFLVLyQ(VWHFDUiFWHUEiVLFR\JHQHUDOKDFHTXHVHDLPSRU
WDQWHTXHHVWpQSUHVHQWHVHQORVGLVWLQWRVQLYHOHVGHOSODQGHHVWXGLRVHVFRODUORTXHGHEHKDFHUVH
HQGLVWLQWDVPRGDOLGDGHVSURIXQGLGDGHV\DSUR[LPDFLRQHV
+D\ RWUDV UD]RQHV HOHPHQWDOHV FRQ HVWD SHUVSHFWLYD VH SXHGH EULQGDU PiV IOH[LELOLGDG SXHV HV
FRQYHQLHQWHTXHORVILQHVFXUULFXODUHVHVSHFtILFRVQRVHHVWDEOH]FDQFRQEDVHHQIURQWHUDVUtJLGD
PHQWHPDUFDGDVSRUQLYHOHVRFLFORVHGXFDWLYRV
(VWDDSUR[LPDFLyQDOPLVPRWLHPSRSHUPLWHHQULTXHFHUHOVLJQLILFDGRGHPXFKRVGHORVWySLFRV
ILQHV\SRWHQFLDOLGDGHVGHORVPLVPRVDOYLVXDOL]DUORVHQWRGDVXGLPHQVLyQGHVGHHOLQLFLRGHOD
Introducción general
YLGD HVFRODU 'H HVWD PDQHUD ORV WySLFRV HQ FDGD DxR VH SXHGHQ YHU FRPR FDVRV SDUWLFXODUHV R
SUHOLPLQDUHVGHLGHDVPiVJHQHUDOHVSRUHMHPSORLQWURGXFLUUHJXODULGDGHV\SDWURQHVSDUDSUHSD
UDUODVIXQFLRQHVPDQLSXODFLyQGHVtPERORVSDUDSUHSDUDUHOPDQHMRGHH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
UHSUHVHQWDFLRQHVHQFRRUGHQDGDV PiVWHPSUDQDPHQWHSDUDHYLGHQFLDUVLJQLILFDGRVGH ODV ILJXUDV
JHRPpWULFDVHWF
(VWD SHUVSHFWLYD SRU OR WDQWRRIUHFH IXQGDPHQWR DO GRFHQWH SDUD WRPDU GHFLVLRQHV HVWUDWpJLFDV
VREUHORVPRPHQWRVFUXFLDOHVHQORVTXHVHLQWURGXFHQDOJXQRVHOHPHQWRVTXHYDQDIDYRUHFHUHO
DSUHQGL]DMH GH ORV PLVPRV HQ DxRV SRVWHULRUHV 3XHVWR GH RWUD PDQHUD PiV SUiFWLFD SODQWHD HO
GLVHxR GHWDUHDV PDWHPiWLFDV FRQ XQD YLVLyQ GLVWLQWD QXWULGD SRU HO ODUJR SOD]R $GHPiV DVt VH
RIUHFHQ PHMRUHV RSRUWXQLGDGHV SDUD OD FRRUGLQDFLyQ \ FRODERUDFLyQ HQWUH GRFHQWHV GH GLVWLQWRV
FLFORV\QLYHOHVHGXFDWLYRVVREUHORVWySLFRVDGHVDUUROODU
&RQ HVWD YLVLyQ VH GHFLGLy GLVWULEXLU ORV FRQRFLPLHQWRV \ KDELOLGDGHV GHO SODQ GH HVWXGLRV HQ
iUHDVPDWHPiWLFDVSDUDWRGRVORVDxRVGHVGHHOSULPHURDO~OWLPR'HLJXDOPDQHUD ORVSURFHVRV
PDWHPiWLFRV \ ORV HMHV GLVFLSOLQDUHV R pQIDVLV WUDQVYHUVDOHV TXH VH DGRSWDQ DTXt LQWHUYLHQHQ HQ
WRGRHOSODQGHHVWXGLRV
)LQDOPHQWHDXQTXHVHSRWHQFLDDTXtXQDDSUR[LPDFLyQLQWHJUDGRUDYHUWLFDOSDUDGHILQLUVXVILQHV
VH WRPDQ HQ FXHQWD ODV GLIHUHQFLDV GH ORV GLVWLQWRV FLFORV HGXFDWLYRV HQ SDUWLFXODU OD GLIHUHQFLD
HQWUH HO VHJXQGR \ HO WHUFHUR /DRUJDQL]DFLyQ GHWDOODGD GH ORV SURJUDPDV SDUD VX LPSOHPHQWD
FLyQRSHUDWLYDVHKDFHSRUPHGLRGHORVFLFORVTXHWLHQHHOVLVWHPDHGXFDWLYRFRVWDUULFHQVH
Sentido histórico y adecuación al contexto educativo nacional
(O FXUUtFXOR HVFRODU HV DSHQDV XQ PHGLR SDUD DOFDQ]DU XQ ILQ PHMRUHV DSUHQGL]DMHV 3RVHH XQ
VHQWLGRKLVWyULFRRVHDHVWHPSRUDO\VHGHEHFRQFHELUSDUDXQDHWDSDKLVWyULFDSUHFLVD &XDQGR
ODVFRQGLFLRQHVVHDQRWUDVGHELGDVDPXFKRVIDFWRUHVLQFOXVRQRHGXFDWLYRVGHEHUiWUDQVIRUPDU
VH
(VWR VH DVRFLD WDPELpQ DO HQIRTXH TXH VH DVXPH DTXt VL pVWH HVWXYLHUD EDVDGR HVWULFWDPHQWH HQ
FRQWHQLGRV VX OyJLFD QR VH YHUtD FRQGLFLRQDGD WDQWR SRU HO FRQWH[WR \ VXV SURWDJRQLVWDV /DV
GHFLVLRQHVHQFXDQWRDQ~PHUR\FDOLGDGHVGHORVFRQRFLPLHQWRVODVHOHFFLyQGHKDELOLGDGHV\ORV
PpWRGRV\JHVWLyQGHEHQWRPDUVHFRQEDVHHQHVRVHOHPHQWRV
1RVHSXHGHGHMDUGHWHQHUHQODPLUDTXHHOFXUUtFXORGHEHVHULPSOHPHQWDGRHQVHxDGR\DSUHQ
GLGR \ HVWR UHPLWH D ORV SURWDJRQLVWDV SULQFLSDOHV TXH OR OOHYDQ D OD SUiFWLFD GRFHQWHV \ HVWX
GLDQWHVDVtFRPRDODVLQVWLWXFLRQHVTXHSDUWLFLSDQ8QDOHMDPLHQWRGHVXVUHDOLGDGHVVyORSXHGH
FRQWULEXLUDOYDFtR\ODHVWHULOLGDG
1RWRGRVSXHGHQDSURYHFKDUXQFXUUtFXORGHODPLVPDPDQHUD\DXQTXHHO(VWDGRGHEHRIUHFHU
XQRGHFDOLGDGSDUDWRGRVEDMRXQFULWHULRGHHTXLGDGGHEHSRVHHUODYHUVDWLOLGDGVXILFLHQWHSDUD
RIUHFHURSFLRQHVGLVWLQWDV
/D H[LVWHQFLD GH GLYHUVDV LQWHOLJHQFLDV \ WDOHQWRV GHEH VHU DWHQGLGD SRU XQ FXUUtFXOR QDFLRQDO
IOH[LEOH&RQHOFRUUHUGHOWLHPSRHO(VWDGRFRVWDUULFHQVHGHEHUiJHQHUDULQVWUXPHQWRVDOWHUQDWL
YRVSDUDFRPSHQVDU ODVGHELOLGDGHVH[WUDHGXFDWLYDVTXHSXHGHQH[LVWLU \D OD YH]DQLPDU OD IRU
Introducción general
PDFLyQ GH HVWXGLDQWHV WDOHQWRVRV HQ GLVWLQWDV iUHDV 6L ELHQ DO FXUUtFXOR QR OH FRUUHVSRQGH GDU
UHVSXHVWD SOHQD D HVDV QHFHVLGDGHV Vt WUDWD GH LQWHJUDUODV GH DOJXQD PDQHUD HO OXJDU TXH VH KD
VHOHFFLRQDGRSDUDKDFHUHVRHVSUHFLVDPHQWHHQHOWUDEDMRFRQGLVWLQWRVQLYHOHVGHSURIXQGLGDGGH
ORV FRQWHQLGRV D DSUHQGHU 'H HVWD PDQHUD VH SXHGHQ PRGXODU ORV FRQWHQLGRV PDWHPiWLFRV GH
DFXHUGRDORVGLIHUHQWHVWDOHQWRV
'HEHVXEUD\DUVHTXHHQHOQ~PHURFDOLGDGHV\OyJLFDGHORVFRQWHQLGRVVHOHFFLRQDGRV\VXSUH
VHQWDFLyQHQHOSODQGHHVWXGLRVKD\ LPSOtFLWDVGHFLVLRQHVFXUULFXODUHVTXHWRPDQHQFXHQWDODV
FRQGLFLRQHVGHOFRQWH[WRQDFLRQDO
8QEXHQFXUUtFXORHVQHFHVDULRSHURQRHVVXILFLHQWH
Ejes disciplinares
$TXtVHDGRSWDQFLQFRHMHVGLVFLSOLQDUHVTXHDWUDYLHVDQGHIRUPDWUDQVYHUVDOHOSODQGHHVWXGLRV\
IRUWDOHFHQHOFXUUtFXOR
x /DUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRHVWUDWHJLDPHWRGROyJLFDSULQFLSDO
x /DFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDFRPRXQFRPSRQHQWHSHGDJyJLFRHVSHFLDO
x (OXVRLQWHOLJHQWH\YLVLRQDULRGHWHFQRORJtDVGLJLWDOHV
x /DSRWHQFLDFLyQGHDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVHQWRUQRDODV0DWHPiWLFDV
x (OXVRGHODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDV
/RV GRV SULPHURV HMHV VH DVXPHQ FRPR DUWLFXODGRUHV FRQ OR TXH VH TXLHUH GHFLU TXH QR VyOR
SHUPHDQWRGRVORVSURJUDPDV VLQRTXHVLUYHQSDUDYHUWHEUDU\DUWLFXODU ORVRWURVHMHV \ ODVGLIH
UHQWHVDFWLYLGDGHVTXHVXSRQHODLPSOHPHQWDFLyQGHOPLVPR
/DUHVROXFLyQGHSUREOHPDV FRUUHVSRQGHDODQHFHVLGDGGHDVXPLUHVWiQGDUHVFX\DFRQYHQLHQFLD
SDUD OD (GXFDFLyQ 0DWHPiWLFD KD VLGR DPSOLDPHQWH FRPSUREDGD HQ OD HVFDOD LQWHUQDFLRQDO /D
FRQWH[WXDOL]DFLyQ TXH VH SURSRQH EXVFD IRUWDOHFHU XQ SDSHO HVWXGLDQWLO DFWLYR \ FRPSURPHWLGR
FRQVXDSUHQGL]DMHUHFDOFDQGRODLGHQWLILFDFLyQXVR\GLVHxRGHPRGHORVPDWHPiWLFRVDGHFXDGRV
SDUDFDGDQLYHOHGXFDWLYR6HGDXQDDVRFLDFLyQHQWUHHVWRVGRVHMHVTXHREHGHFHSUHFLVDPHQWHDO
HQIRTXHSULQFLSDOGHHVWHFXUUtFXORODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV<HVFRQVLV
WHQWHFRQODVHOHFFLyQ\FRQFHSWXDFLyQGHOSURFHVRPDWHPiWLFR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
(OXVRGHODWHFQRORJtDDVXPHODVWHQGHQFLDVFRQWHPSRUiQHDVGHH[SDQVLyQLQWHQVDGHORVLQVWUX
PHQWRVGLJLWDOHV \ ODQHFHVLGDGGHFRQILJXUDUXQDXWLOL]DFLyQ O~FLGD \DGHFXDGDGHOD PLVPD(O
XVRGHODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVUHVSRQGHDSURSyVLWRVSDUDEULQGDUXQURVWURKXPDQRDODV
0DWHPiWLFDV\ORJUDUXQDDFFLyQVLQpUJLFDGHORVRWURVHMHV
/DLQFRUSRUDFLyQH[SOtFLWDGHODE~VTXHGDGHDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVVREUHODV0DWHPiWL
FDV VH VLQWRQL]D FRQ OD SUHPLVD GH TXH ORV HVSDFLRV DFWLWXGLQDOHV \ VRFLRDIHFWLYRV VRQ FUXFLDOHV
SDUDORVDSUHQGL]DMHV6HSODQWHDQDTXtFLQFRDFWLWXGHVDGHVDUUROODU
x 3HUVHYHUDQFLD
x &RQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
x 3DUWLFLSDFLyQDFWLYD\FRODERUDWLYD
Introducción general
x
x
$XWRHVWLPDHQUHODFLyQFRQHOGRPLQLRGHODV0DWHPiWLFDV
5HVSHWRDSUHFLR\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
(VWRV HMHV SDUWLFLSDQ HQ HO SODQ GH HVWXGLRV GH GLVWLQWDV PDQHUDV \ pQIDVLV GH DFXHUGR DO iUHD
PDWHPiWLFD\ORVQLYHOHVHGXFDWLYRV(VWRVHMHVGLVFLSOLQDUHVVHRSHUDFLRQDOL]DQHQODPDOODFXUUL
FXODUGHPDQHUDSUHFLVDPHGLDQWHFRQWHQLGRVGLYHUVDVLQGLFDFLRQHV\VXJHUHQFLDV
El currículo de matemáticas y los fines de la educación costarricense
(VWHFXUUtFXORVHLQVFULEHGHQWURGHILQHVPiVJHQHUDOHVGHODHGXFDFLyQFRVWDUULFHQVH
D/DIRUPDFLyQGHFLXGDGDQRVDPDQWHVGHODSDWULDFRQVFLHQWHVGHVXVGHEHUHVGHVXVGH
UHFKRV \ GH VXV OLEHUWDGHV IXQGDPHQWDOHV FRQ SURIXQGR VHQWLGR GH UHVSRQVDELOLGDG \ GH
UHVSHWRDODGLJQLGDGKXPDQD
E&RQWULEXLUDOGHVHQYROYLPLHQWRGHODSHUVRQDOLGDGKXPDQD
F)RUPDUFLXGDGDQRVSDUDXQDGHPRFUDFLDHQTXHVHFRQFLOLHQORVLQWHUHVHVGHOLQGLYLGXR
FRQORVGHODFRPXQLGDG
G(VWLPXODUHOGHVDUUROORGHODVROLGDULGDG\GHODFRPSUHQVLyQKXPDQD
H &RQVHUYDU \ DPSOLDU OD KHUHQFLD FXOWXUDO LPSDUWLHQGR FRQRFLPLHQWRV VREUH OD KLVWRULD
GHOKRPEUHODVJUDQGHVREUDVGHODOLWHUDWXUD\ORVFRQFHSWRVILORVyILFRVIXQGDPHQWDOHV
6H SUHWHQGH DILUPDU XQD YRFDFLyQ GH OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD HVSHFLDOPHQWH DVRFLDGD D OD
FRQVWUXFFLyQGHFDSDFLGDGHVFLXGDGDQDVHVHQFLDOHVSDUDHO SURJUHVRGHODQDFLyQ1RVHWUDWDGH
IRUPDU ODV PHQWHV SDUD SRGHUUHDOL]DU H[FOXVLYDPHQWH SURSyVLWRV OLPLWDGRV FRPR HO GRPLQLR GH
WpFQLFDV VRILVWLFDGDV GH GHPRVWUDFLyQ R OD HGLILFDFLyQ GH HVWUXFWXUDV WUHPHQGDPHQWH DEVWUDFWDV
DOHMDGDVGHOHQWRUQRRSDUDHOGLVIUXWHHWpUHR\SULYDGRGHOFRQRFLPLHQWR6HEXVFDSRUPHGLRGH
ODV 0DWHPiWLFDV DSR\DU OD FRPSUHQVLyQ H LQWHUYHQFLyQ FLXGDGDQD VREUH GLYHUVRV FRQWH[WRV ItVL
FRVVRFLDOHVSURIHVLRQDOHVFLHQWtILFRVFXOWXUDOHV\SRUORWDQWREULQGDUOHDORVLQGLYLGXRVFRQGL
FLRQHVSDUDSRGHUFRQWULEXLUDOSURJUHVRGHODSDWULDGHQWURGHXQHVStULWXGHUHVSRQVDELOLGDG \
UHVSHWR
6H DVXPH H[SOtFLWDPHQWH HO IRUWDOHFLPLHQWR GH DFWLWXGHV FUHHQFLDV \ YDORUHV SRVLWLYRV VREUH ODV
0DWHPiWLFDVFRPRHMHGLVFLSOLQDUWUDQVYHUVDO ORTXHQRVyORFRQWULEX\HDOGHVHQYROYLPLHQWRGH
ODSHUVRQDOLGDGLQGLYLGXDOGHTXLHQSDUWLFLSDHQODDFFLyQHGXFDWLYDVLQRTXHHQVDQFKDHOHVSDFLR
GHORVYDORUHV\ODVDFWLWXGHVHQJHQHUDOFRPRODVROLGDULGDG\ODDFFLyQFRRSHUDWLYD
(OXVRGHODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVRIUHFHRSRUWXQLGDGHVYDOLRVDVSDUDUREXVWHFHUODKHUHQFLD
FXOWXUDOGHODHVSHFLHKXPDQDHVWDEOHFHUFRQH[LyQFRQODVKXPDQLGDGHV\HQWUDUHQFRQWDFWRFRQ
SHUVSHFWLYDV ILORVyILFDV PiV JHQHUDOHV (VWDV SHUVSHFWLYDV EXVFDQ GDUOH D ODV 0DWHPiWLFDV XQ
URVWURKXPDQRQHFHVDULRQRVyORSDUDFDSWDUHOLQWHUpVHVWXGLDQWLOVLQRSDUDIRUWDOHFHUODVSRVLELOL
GDGHVGHTXHHVWDGLVFLSOLQDFRPRXQWRGRDSRUWHPiVDOSURJUHVRFROHFWLYRGHOSDtV
/DUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRHVWUDWHJLDSHGDJyJLFDKDFHFRQYHUJHUSULQFLSLRVHVHQFLDOHVGHO
FRQVWUXFWLYLVPR XQD SUHPLVD ILORVyILFD GH OD SROtWLFD HGXFDWLYD QDFLRQDO FRPR OD FRQVWUXFFLyQ
HVWXGLDQWLODXWyQRPDGHDSUHQGL]DMHVSHURGHXQDPDQHUDDXQPiVYLJRURVD\HILFD]SXHVUHVXOWD
Introducción general
IXQGDPHQWDOXQDDFFLyQLQGHSHQGLHQWH\FRPSURPHWLGDGHOVXMHWRHQODDFFLyQGHDXOD/DXWLOL]D
FLyQ GH SUREOHPDV FRPR JHQHUDGRUHV GH OD RUJDQL]DFLyQ GH ODV OHFFLRQHV RIUHFH RSRUWXQLGDGHV
YDOLRVDVSDUDFRQHFWDUFRQODVQHFHVLGDGHVGHQXHVWURSDtVSDUDFXOWLYDUODUD]yQ\SDUD GHVDUUR
OODU XQD YLVLyQ KXPDQLVWD $VRFLDU PDWHPiWLFDV D FRQWH[WRVUHDOHV SURPRYHU DFWLWXGHV \ FUHHQ
FLDVSRVLWLYDVHQVDQFKDUHOOXJDUGHODUD]yQ\SRWHQFLDUXQDYLVLyQKLVWyULFD\VRFLDOGHODV0D
WHPiWLFDVDSXQWDODQXQDIRUPDFLyQLQWHJUDOGRQGHFRQYHUJHQODVGLPHQVLRQHVSURSLDPHQWHWpFQL
FDVGHODV0DWHPiWLFDVFRQDTXHOODVVRFLRDIHFWLYDVLQIOXLGDVSRUORVHQWRUQRVSHUVRQDOHV\FXOWX
UDOHV
(QDFXHUGRFRQODSROtWLFDHGXFDWLYDFRVWDUULFHQVHVHKDQLQFRUSRUDGRDTXtHMHVWUDQVYHUVDOHVDODV
PDWHULDVHVFRODUHV
x &XOWXUD$PELHQWDOSDUDHO'HVDUUROOR6RVWHQLEOH
x (GXFDFLyQ,QWHJUDOGHOD6H[XDOLGDG
x (GXFDFLyQSDUDOD6DOXG
x 9LYHQFLDGHORV'HUHFKRV+XPDQRVSDUDOD'HPRFUDFLD\OD3D]
/DPDQHUDHQTXHVHKDQLQWURGXFLGRHVSRUPHGLRGHSUREOHPDV\GLYHUVDVDFWLYLGDGHVGHDSUHQ
GL]DMHTXHVHKDQVHOHFFLRQDGRSDUDODDFFLyQGHDXODVLQHPEDUJRQRHQWRGDVODViUHDVPDWHPi
WLFDVVHSXHGHQLQWURGXFLUGHODPLVPDPDQHUD7DPELpQODVHVWUDWHJLDVSHGDJyJLFDVTXHVHSODQ
WHDQSHUPDQHQWHPHQWHHQODFRQVWUXFFLyQFRODERUDWLYDGHDSUHQGL]DMHVPDWHPiWLFRV\GHOULJRUHQ
HOSHQVDPLHQWRIDYRUHFHQODIRUPDFLyQGHXQDFLXGDGDQtDVRFLDOPHQWHUHVSRQVDEOH\FUtWLFDTXH
FRQVWLWX\HXQQXWULHQWHGHODYLGDGHPRFUiWLFD
(OSURSyVLWRGHLQFRUSRUDUHVWRVHMHVWUDQVYHUVDOHVVHYHIDYRUHFLGRIXHUWHPHQWHSRUHVWHHQIRTXH
FXUULFXODUTXHDSXQWDODODUHODFLyQGHODHQVHxDQ]DDSUHQGL]DMHGHODV0DWHPiWLFDVFRQORVHQWRU
QRVVRFLDOHV\FXOWXUDOHVORVTXHVHLQFRUSRUDQGHXQDIRUPDQDWXUDOHQORVSODQHVGHHVWXGLR
La estructura del currículo
(VWHFXUUtFXORSRVHHYDULDVSDUWHV
,)XQGDPHQWRV
,,(MHV
,,,*HVWLyQ\SODQHDPLHQWRSHGDJyJLFRV
,90HWRGRORJtD
9(YDOXDFLyQ
9,3URJUDPDVGHHVWXGLRSDUDFDGDFLFORHGXFDWLYR
9,,2WURVHOHPHQWRV
(Q)XQGDPHQWRVVHFRQVLJQDQ ORVSULQFLSDOHVWpUPLQRV \FRQFHSWRVTXHVRVWLHQHQHOFXUUtFXOR \
HQ (MHV VH GHVFULEHQ ORV HMHV GLVFLSOLQDUHV FXUULFXODUHV *HVWLyQ \ SODQHDPLHQWR SHGDJyJLFRV
LQFOX\H LQGLFDFLRQHV JHQHUDOHV SDUD WRGRV ORV FLFORV VREUH HVWRV WHPDV 0HWRGRORJtD LQFOX\H
QXPHURVDVLQGLFDFLRQHVJHQHUDOHVSDUDWRGRVORVFLFORVHGXFDWLYRVVREUHHVWLORVSDUDODRUJDQL]D
FLyQGHODVOHFFLRQHVVREUHODViUHDV\ORVSURFHVRVVREUHODVDFWLWXGHV\FUHHQFLDVVREUHHOXVR
GHODWHFQRORJtD\ODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDV(Q(YDOXDFLyQVHDSRUWDQLQGLFDFLRQHV\SULQFL
SLRVJHQHUDOHV
Introducción general
/RVSURJUDPDVGHHVWXGLRHVWiQRUJDQL]DGRVSRUPHGLRGHORVFLFORVHGXFDWLYRVGHOVLVWHPDHGX
FDWLYRFRVWDUULFHQVH(QHVWDSDUWHVHHQFXHQWUDQORVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVPDWHPiWLFDVDVt
FRPRQXPHURVDV LQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVDGLFLRQDOHVTXHDFRPSDxDQGH PDQHUD LQPHGLDWDFRQR
FLPLHQWRV \ KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV VREUH PpWRGR JHVWLyQ \ HYDOXDFLyQ $GHPiV VH LQFRUSRUDQ
VXJHUHQFLDVVLHPSUHSRUFLFORVREUHSURFHVRVPDWHPiWLFRVXVRVGHWHFQRORJtDV\IRUWDOHFLPLHQ
WRGHDFWLWXGHVSRVLWLYDVKDFLDODV0DWHPiWLFDV(VWDVLQGLFDFLRQHVPiVHVSHFtILFDVVRQHVHQFLDOHV
SDUDGHOLPLWDU\HMHPSOLILFDUHVWRVFRQWHQLGRV)LQDOPHQWHVHLQWURGXFHQDOJXQDVLQGLFDFLRQHVGH
HYDOXDFLyQSDUDFDGDFLFORHQFDGDiUHD
/D~OWLPDSDUWH2WURVHOHPHQWRVLQFOX\HXQDSURSXHVWDGHVHFXHQFLDWHPiWLFDSDUDODLPSOHPHQ
WDFLyQ GH ORV WySLFRV GH ODV iUHDV PDWHPiWLFDV SDUD FDGD DxR OHFWLYR GRQGH HV SHUWLQHQWH XQ
JORVDULR FRQ WpUPLQRV FODYH TXH VH XVDQ XQD WDEOD GH FRQRFLPLHQWRV TXH SHUPLWH YLVXDOL]DU
JOREDOPHQWHHOSODQGHHVWXGLRVHQFXDQWRDFRQWHQLGRV\ODELEOLRJUDItDJHQHUDOTXHVHXWLOL]y
&RQHOSURSyVLWRGHFUHDUXQGRFXPHQWRIXQFLRQDO \SUiFWLFRGHIiFLO OHFWXUDVHGHFLGLy QRLQ
FOXLUDORODUJRGHOWH[WRODJUDQFDQWLGDGGHUHIHUHQFLDVGHUHVXOWDGRVRH[SHULHQFLDVTXHIXHURQ
XVDGDVHQHVWHGLVHxRFXUULFXODUQRREVWDQWHORVGRFXPHQWRVFRQVXOWDGRV SHUWLQHQWHVVRQLQFOXL
GRVHQODELEOLRJUDItDILQDO\DGHPiVVHFRORFDQDOJXQDVQRWDVDOILQDOFRQUHIHUHQFLDVSDUDXVRGH
GRFHQWHVRLQYHVWLJDGRUHV
(VWHFXUUtFXORH[KLEHXQDSURIXQGDLQWHJUDFLyQGHVXVGLVWLQWRVFRPSRQHQWHVWHyULFRVSHGDJyJL
FRV\SUiFWLFRVFRKHUHQFLDHQWUHIXQGDPHQWRV\PDOODFXUULFXODUDVtFRPRXQDYRFDFLyQH[SUHVD
GHDSR\RDOGRFHQWH6HDVXPHODYLVLyQGHTXHFRQHVWRVHOHPHQWRVVHRIUHFHQPHMRUHVSRVLELOL
GDGHVSDUDVXLPSOHPHQWDFLyQSDUDQXWULUDVtHOSURJUHVRGHOD(GXFDFLyQ0DWHPiWLFDGHOSDtV
I. Fundamentos
Fundamentos
El plan de estudios se organiza por medio de áreas matemáticas y habilidades
/DSHUVSHFWLYDPiVJHQHUDOTXHVHEXVFDHQHVWHFXUUtFXORHVSURSRUFLRQDUDODMXYHQWXGGH&RVWD
5LFDXQDSUHSDUDFLyQPDWHPiWLFDTXHOHSHUPLWDDERUGDUFRQLQWHOLJHQFLDSHUWLQHQFLDUHVSRQVD
ELOLGDG \p[LWRORVUHWRVTXHHQIUHQWDHQHOHVFHQDULRDFWXDOFUHDQGRPHGLRVSDUDSRWHQFLDUXQD
VRFLHGDGPiVFXOWDPiVLQFOXVLYD\PiVGHPRFUiWLFD
(O HQIRTXH SULQFLSDO TXH DVXPH HVWH FXUUtFXOR HV HO FXOWLYR GH OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQ
FRQWH[WRVUHDOHV6HWUDWDGHXQDPHGLDFLyQSHGDJyJLFDTXHDGRSWDSUHPLVDVIXQGDPHQWDOHVFRQV
WUXFWLYLVWDVHQFRQFRUGDQFLDFRQODSROtWLFDHGXFDWLYDDSUREDGDSRUHOSDtVHVSHFLDOPHQWHDTXH
OODTXHVXEUD\DODFRQVWUXFFLyQDFWLYDSRUHOVXMHWRGHVXVDSUHQGL]DMHV(VWHHQIRTXHSHUVLJXHHO
GHVDUUROOR GH FDSDFLGDGHV HVWXGLDQWLOHV DVRFLDGDV GLUHFWDPHQWH D ODV iUHDV PDWHPiWLFDV SDUD
JHQHUDUVHHQFRUWRVSHULRGRVDVtFRPRRWUDVGHDOWRQLYHOFRJQLWLYRGHQDWXUDOH]DWUDQVYHUVDOFRQ
XQDSHUVSHFWLYDGHSOD]RVPHGLDQRV\ODUJRV
/DGHVFULSFLyQGHOVHQWLGRGHHVWHHQIRTXHVHGHVDUUROODHQYDULDVVHFFLRQHV
x (OSODQGHHVWXGLRVVHRUJDQL]DSRUPHGLRGHiUHDVPDWHPiWLFDV\KDELOLGDGHV
x 8QDSHUVSHFWLYDFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD
x 3URFHVRVPDWHPiWLFRV
x /DPHGLDFLyQSHGDJyJLFDFODYHSDUDHOGHVDUUROORGHFDSDFLGDGHVFRJQLWLYDVVXSHULRUHV
x 5HVROXFLyQGHSUREOHPDV
El plan de estudios se organiza por medio de áreas matemáticas y habilidades
(VWHFXUUtFXORVHVHSDUDGHODVDSUR[LPDFLRQHVEDVDGDVHVWULFWDPHQWHHQFRQWHQLGRV6LQHPEDUJR
QRVHVXEHVWLPDHOSDSHOGH ORVFRQWHQLGRV3RUHOFRQWUDULR OD EDVHTXHRUJDQL]D ORVSODQHVGH
HVWXGLRHQFDGDFLFOR\DxROHFWLYRVRQORVFRQRFLPLHQWRVPDWHPiWLFRV\ODVKDELOLGDGHVHQWRUQR
DHOORVTXHVHHVSHUDVHDQDSUHQGLGRV6HSODQWHDQDTXtFLQFRiUHDVPDWHPiWLFDV x 1~PHURV
x 0HGLGDV
x *HRPHWUtD
x 5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
x (VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
/D SULPHUD LQWURGXFH ORV Q~PHURV ORV VLVWHPDV QXPpULFRV ODV RSHUDFLRQHV \ FiOFXORV 6H HVWX
GLDQ ODV SURSLHGDGHV GH ORV PLVPRV SHUR GHQWUR GH XQD SHUVSHFWLYD HPLQHQWHPHQWH SUDJPiWLFD
TXHHQIDWL]D ODDFFLyQHVWXGLDQWLOHOFiOFXOR \XWLOL]DFLyQ GH ORVQ~PHURVHQ ODUHSUHVHQWDFLyQ \
PDQLSXODFLyQGHOPXQGR
*HRPHWUtDUHILHUHDOHVWXGLRGHODVFDUDFWHUtVWLFDVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDV\ODVUHODFLRQHVHQWUH
HOODVODPRGHOL]DFLyQJHRPpWULFD\ODYLVXDOL]DFLyQHVSDFLDOTXHSHUPLWHQSRWHQFLDUORVSURFHVRV
GHYLVXDOL]DFLyQFODVLILFDFLyQFRQVWUXFFLyQ \DUJXPHQWDFLyQ6HGHVHDVXEUD\DUHO PRYLPLHQWR
GHODVIRUPDVJHRPpWULFDV
Fundamentos
El plan de estudios se organiza por medio de áreas matemáticas y habilidades
0HGLGDV SODQWHD OD FRPSUHQVLyQ \ PDQLSXODFLyQ GH XQLGDGHV VLVWHPDV \ SURFHVRV GH PHGLFLyQ
GHOHVSDFLR \HOWLHPSRHOXVRGHKHUUDPLHQWDV \ IyUPXODVSDUDHIHFWXDUODV PHGLGDV(VWDiUHD
MXHJDXQSDSHOPX\LPSRUWDQWHTXHKDVLGRFRQILQDGRWUDGLFLRQDOPHQWHDODHGXFDFLyQ3ULPDULD
&RQHVRVHOHKDEtDTXLWDGRHVSDFLRHQOD6HFXQGDULDDXQPD\RUGRPLQLRHQORVFiOFXORVDSUR
[LPDFLRQHV \HVWLPDFLRQHVHQ OD PHGLFLyQ \DOWUDWDPLHQWRFRQWH[WXDOL]DGRGHWHPDV PDWHPiWL
FRVSRUHMHPSORHQ*HRPHWUtD(VWDGtVWLFD\IXQFLRQHV
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG(VWDiUHDLQFOX\HDTXtGRVJUDQGHVWHPDVSRUXQ ODGR OD LGHQWLILFD
FLyQRUJDQL]DFLyQ\SUHVHQWDFLyQGHODLQIRUPDFLyQORTXHVHDVRFLDDOD(VWDGtVWLFDGHVFULSWLYD\
SRUHORWUROD3UREDELOLGDGTXHUHILHUHDOHVWXGLRGHODLQFHUWLGXPEUH\HOD]DU
5HODFLRQHV\ÈOJHEUDUHILHUHDYDULRVWHPDVFRPRHOHVWXGLRGHSDWURQHV\UHODFLRQHVGHGLVWLQWR
WLSRQXPpULFDVJHRPpWULFDVODVIXQFLRQHVYLVWDVFRPRUHODFLRQHVHQWUHYDULDEOHVDVtFRPRDO
PDQHMR GH H[SUHVLRQHV \ UHODFLRQHV VLPEyOLFDV HFXDFLRQHV H LQHFXDFLRQHV FRPR PHGLR GH SR
WHQFLDUSURFHVRVGHJHQHUDOL]DFLyQ\VLPEROL]DFLyQ(OÈOJHEUDQRVHYHVyORFRPRPDQLSXODFLyQ
GH H[SUHVLRQHV VLPEyOLFDV R SURFHGLPLHQWRV SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV VLQR FRPR XQ SRGHURVR
PHGLRSDUDUHSUHVHQWDUVLWXDFLRQHVQXPpULFDV\JHRPpWULFDV/DVHFXDFLRQHVHLQHFXDFLRQHVSRU
HMHPSORVHSXHGHQDSUHFLDUPHMRUFRPRUHSUHVHQWDFLRQHVGHUHODFLRQHVGHYDULDEOHVFX\RVUHFR
UULGRVRGRPLQLRVGHDSOLFDFLyQSXHGHQVHUPXFKRVDYHFHVSXHGHQVHUQ~PHURVHQWHURVUDFLR
QDOHV R UHDOHV IRUPDV JHRPpWULFDV R ELHQ SURSLHGDGHV GHO HVSDFLR 'H HVWD IRUPD H[SUHVLRQHV
DOJHEUDLFDVSXHGHQUHSUHVHQWDUUHJXODULGDGHV\SDWURQHVHQPXFKDVFLUFXQVWDQFLDV
/DSDUWLFLSDFLyQGHODVPLVPDViUHDVGHVGHHOSULQFLSLRGH3ULPDULDKDVWDHOILQDOGHOD6HFXQGDULD
IRUWDOHFHHVSHFLDOPHQWHODLQWHJUDFLyQYHUWLFDOGHOSODQGHHVWXGLRV
$TXt VHXVDHOWpUPLQRGH³KDELOLGDGHVSHFtILFD´FRPRXQDFDSDFLGDGRXQVDEHUKDFHUHQUHOD
FLyQFRQXQREMHWRPDWHPiWLFRFRQFHSWRRSURFHGLPLHQWRSRUHMHPSOR
x 5HFRQRFHUFDQWLGDGHVPHQRUHVTXH
x &RQRFHUORVQRPEUHVGHORVQ~PHURVPHQRUHVTXH
x 5HDOL]DUVXPDVGHQ~PHURVQDWXUDOHVVLQDJUXSDUFRQWRWDOHVPHQRUHVTXH
(QHVWDDSUR[LPDFLyQODVKDELOLGDGHVVLHPSUHHVWiQDVRFLDGDVD XQiUHDPDWHPiWLFDKDELOLGDGHV
DULWPpWLFDVKDELOLGDGHVJHRPpWULFDVKDELOLGDGHVDOJHEUDLFDVHWFHVWiQDVRFLDGDVDFRQRFLPLHQ
WRV PDWHPiWLFRV /DV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV VH SODQWHDQ SDUD GHVDUUROODUVH HQ WLHPSRV UHODWLYD
PHQWHFRUWRV1RVHGHEHQYHUFRPRFDSDFLGDGHVTXHVHWLHQHQRQRXILQHVORJUDGRVRQRVLQR
FRPRH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL]DMHTXHVHSXHGHQ ORJUDUJUDGXDOPHQWH/DVKDELOLGDGHVHVSHFtIL
FDV VH SRGUtDQ YLVXDOL]DU FRPR REMHWLYRV FXUULFXODUHV HVSHFtILFRV DXQTXH QR GH OD PDQHUD SUR
SXHVWD SRU HO FRQGXFWLVPR ³REMHWLYRV RSHUDWLYRV´ REVHUYDEOHV PHGLEOHV FXDQWLILFDEOHV (VWDV
KDELOLGDGHV DOUHGHGRU GH FRQRFLPLHQWRV VH SXHGHQ DJUXSDU GH PDQHUD TXH VH WUDEDMHQ GH HVD
PDQHUDWDQWRHQODDFFLyQGHDXODFRPRHQODHYDOXDFLyQ(VWDFDUDFWHUtVWLFDTXHVHEXVFDSRWHQ
FLDUH[SOtFLWDPHQWHHQHVWHFXUUtFXORGLVWDQFLDHOVHQWLGRGH³KDELOLGDG´GHORTXHVHVXHOHFRQVL
GHUDUFRPR³REMHWLYRRSHUDWLYR´
/DV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV VH SXHGHQ YHU FRPR FDVRV SDUWLFXODUHV GH ³KDELOLGDGHV JHQHUDOHV´
SRU HMHPSOR ³HIHFWXDU VXPDV FRQ Q~PHURV QDWXUDOHV´ HV XQD JHQHUDOL]DFLyQ GH ³VXPDU FRQ
Q~PHURVQDWXUDOHVKDVWD´
Fundamentos
Una perspectiva: competencia matemática
(QHOSODQGHHVWXGLRVODVKDELOLGDGHVHVSHFtILFDVVHKDQFRORFDGRFRPRH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL
]DMHSDUDFDGDDxRHVFRODUPLHQWUDVTXHODVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVFRPRH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL
]DMHSDUDFDGDFLFORHGXFDWLYR(QDPERVFDVRVHVWiQDVRFLDGDVDODViUHDVPDWHPiWLFDV
Una perspectiva: competencia matemática
'XUDQWHPXFKRWLHPSRVHSODQWHDURQFXUUtFXORVHGXFDWLYRVTXHHQHVHQFLDHUDQ OLVWDGRVGHWySL
FRV VLQ PXFKD UHODFLyQ FRQ ORV DSUHQGL]DMHV R FRQ ODV FRQGLFLRQHV GH OD DFFLyQ GH DXOD 'HVGH
KDFHYDULDVGpFDGDVVHKDGDGRXQQRWDEOHGHVDUUROORFXUULFXODUHQHOPXQGRTXHKDLGRSURJUHVL
YDPHQWHDEDQGRQDQGRHVHHQIRTXHSRUFRQWHQLGRV8QDYtDTXHEXVFDURPSHUFRQHVRVHVTXHPDV
HVODSHUVSHFWLYDGHODFRPSHWHQFLD/DLGHDGHIRQGRKDVLGRODGHFRORFDUFRPRHOSURSyVLWRPiV
JHQHUDO OD JHQHUDFLyQ GH FDSDFLGDGHV HQ SOD]RV GLYHUVRV HVWUHFKDQGR VX FRQH[LyQ FRQ OD YLGD
VRFLDO(QHVWDSHUVSHFWLYDORVDSUHQGL]DMHVGHFRQWHQLGRVVHYHQHQIXQFLyQGHHVDVFDSDFLGDGHV
(QODFRPXQLGDGLQWHUQDFLRQDOVHKDXVDGRGHGLYHUVDVPDQHUDVHOFRQFHSWRGHFRPSHWHQFLD(Q
HVWH FXUUtFXOR VH DFHSWD HO VHQWLGR TXH XVD HO 3URJUDPD ,QWHUQDFLRQDO GH (YDOXDFLyQ GH ORV
$SUHQGL]DMHVGHOD2UJDQL]DFLyQSDUDOD&RRSHUDFLyQ\HO'HVDUUROOR(FRQyPLFR3,6$\2(&'
UHVSHFWLYDPHQWHSRUVXVVLJODVHQLQJOpV(OPDUFRWHyULFRTXHVRVWLHQHHVHSURJUDPDFRQVWLWX\H
XQDUHIHUHQFLDFHQWUDOHQHOHVFHQDULRPXQGLDOSDUDORVSURSyVLWRVHGXFDWLYRV(QHVWHFXUUtFXORVH
DVXPHFRPRFRQYHQLHQWHVXXWLOL]DFLyQHQORTXHHVSHUWLQHQWH
6HHQWHQGHUiSRUFRPSHWHQFLD
« OD FDSDFLGDG GH ORV DOXPQRV SDUD DSOLFDU FRQRFLPLHQWRV \ KDELOLGDGHV \ SDUD
DQDOL]DUUD]RQDU\FRPXQLFDUVHFRQHILFDFLDFXDQGRSODQWHDQUHVXHOYHQHLQWHUSUHWDQ
SUREOHPDVUHODFLRQDGRVFRQGLVWLQWDVVLWXDFLRQHV
6HPLGHGHXQPRGRFRQWLQXRQRFRPRDOJRTXHXQDSHUVRQDWLHQHRQRWLHQH
«HOFDUiFWHUYDULDEOHHVXQUDVJRIXQGDPHQWDO8QDSHUVRQDLQVWUXLGDSRVHHYDULDV
FDSDFLGDGHV\QRH[LVWHQLQJ~QOtPLWHFODURHQWUHDOJXLHQTXHHVWRWDOPHQWHFRPSH
WHQWH\DOJXLHQTXHQRORHV2(&'S
'HLJXDOPDQHUDVHVHOHFFLRQDODVLJXLHQWHGHILQLFLyQGHFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD
«XQDFDSDFLGDGGHO LQGLYLGXR SDUDIRUPXODUHPSOHDUHLQWHUSUHWDU ODV0DWHPiWL
FDVHQXQDYDULHGDGGHFRQWH[WRV,QFOX\HUD]RQDUPDWHPiWLFDPHQWH\XVDUFRQFHSWRV
SURFHGLPLHQWRVKHFKRV\KHUUDPLHQWDVSDUDGHVFULELUH[SOLFDU\SUHGHFLUIHQyPHQRV
$\XGDDORVLQGLYLGXRVDUHFRQRFHUHOSDSHOGHODV0DWHPiWLFDVHQHOPXQGR\KDFHU
MXLFLRV ELHQ IXQGDGRV \ GHFLVLRQHV QHFHVDULDV SDUD FLXGDGDQRV FRQVWUXFWLYRV FRP
SURPHWLGRV\UHIOH[LYRV2(&'S
(VWDGHILQLFLyQHVWDEOHFHTXHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDVHIRUPXODHQUHODFLyQFRQHOXVRGHODV
0DWHPiWLFDVSDUDGHVFULELUFRPSUHQGHU \DFWXDUHQGLYHUVRVFRQWH[WRVGHVXUHDOLGDGSHUVRQD
OHVItVLFRVVRFLDOHVFXOWXUDOHV
(VWD IRUPD GH FRPSUHQGHU OD FRPSHWHQFLD SHUPLWH FRQWULEXLU D ORV ILQHV PiV JHQHUDOHV GH OD
HGXFDFLyQFRVWDUULFHQVHHQHO³GHVHQYROYLPLHQWRGHODSHUVRQDOLGDGKXPDQD´HQODSDUWLFLSDFLyQ
GHORVFLXGDGDQRVFRQ³VHQWLGRGHUHVSRQVDELOLGDG´FRPSUHQVLyQ\³UHVSHWR´TXHSHUPLWDFRQFL
Fundamentos
Una perspectiva: competencia matemática
OLDU ³ORV LQWHUHVHV FRQ OD FRPXQLGDG´ XQ IXQGDPHQWR GH OD YLGD GHPRFUiWLFD \ FXOWLYDU XQD
UHIOH[LyQTXHDSR\HHOHQWHQGLPLHQWRUDFLRQDOGHORVGLYHUVRVFRQWH[WRVFXOWXUDOHV\VRFLDOHVGH
ODVLGHDV\UHDOL]DFLRQHVTXHFRQVWLWX\HQODKLVWRULDKXPDQD
/D IRUPDFLyQ PDWHPiWLFD DILUPD DTXt HO SURSyVLWR GH JHQHUDU OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD FRQ
HVDVFDUDFWHUtVWLFDVHVWRFRQGLFLRQDORVSURJUDPDVHVFRODUHV1RVyORDSXQWDODXQDUHODFLyQSULYL
OHJLDGDGHODV0DWHPiWLFDVFRQORVHQWRUQRVUHDOHVEXVFDTXHLQFLGDQHQHOPXQGRVLQRDGHPiV
VH DVRFLD FRQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQ HO VHQWLGR JHQHUDO GH HVD H[SUHVLyQ IDYRUHFLHQGR
FDSDFLGDGHV HVWXGLDQWLOHV SDUD SODQWHDU \ GLVHxDU HVWUDWHJLDV SDUD UHVROYHU SUREOHPDV OR TXH HV
SRVLEOHGHLPSXOVDUWDPELpQHQYDULDVRWUDVPDWHULDVHGXFDWLYDV'HGLVWLQWDVPDQHUDVFDGDLQGL
YLGXRVHHQIUHQWDDSUREOHPDVHQGLYHUVRVFRQWH[WRVH[LVWHQFLDOHV\WRGDVODVDVLJQDWXUDVHVFROD
UHVSRGUtDQWHQHU ODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRXQDHVWUDWHJLDDXQTXHSRUVXSXHVWR FRQLQV
WUXPHQWRVGLIHUHQWHV(QHOFDVRGHODV0DWHPiWLFDVHODOFDQFHGHORDEVWUDFWR\ODSUHHPLQHQFLD
RGHQVLGDGGHORVSUREOHPDVREOLJDQDXQDHVWUDWHJLDHGXFDWLYD\FXUULFXODUGHRWUDPDJQLWXG
6HWUDWDDTXtGHXQDYLVLyQHVSHFtILFDGHOVLJQLILFDGRGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDSXHVSRGUtD
VHURWUDODSHUVSHFWLYDSRUHMHPSORSRGUtDDVXPLUVHTXHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDTXHVHEXVFD
SURYRFDUHQODHGXFDFLyQHVFRODUHVHOGRPLQLRGHODVHVWUXFWXUDVRGHORVIRUPDOLVPRVPDWHPiWL
FRV7DPELpQSRGUtDDVXPLUVHTXHXQDSHUVRQDHVPiVFRPSHWHQWHPDWHPiWLFDPHQWHTXHRWUDVL
FRQRFHXQPD\RUQ~PHURGHFRQWHQLGRVPDWHPiWLFRVORTXHGHQWURGHORVSODQHVGHHVWXGLRGDUtD
RWUD SHUVSHFWLYD SDUWLFXODU SRU HMHPSOR EXVFDU VLHPSUH LQWURGXFLU HO PD\RU Q~PHUR SRVLEOH GH
FRQWHQLGRV(VWRDTXtQRVHFRQVLGHUDDVt/DFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDSRVHHHQHVWDSHUVSHFWLYD
XQVHQWLGRSUiFWLFRPX\LPSRUWDQWH/DGLUHFFLyQHVFRJLGDDTXtVHEDVDHQHOSURSyVLWRJHQHUDOGH
XQDIRUPDFLyQPDWHPiWLFDTXHEXVFDGRWDUDOFLXGDGDQRGHPHGLRVTXHFRQWULEX\DQDVXSDUWLFL
SDFLyQHQVXHQWRUQRGHPDQHUDSRVLWLYDLQWHOLJHQWHUHIOH[LYDFUtWLFD\UHVSRQVDEOH
(VWD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD GDUi VHQWLGR D PXFKDV GHFLVLRQHV JOREDOHV TXH VH HQFXHQWUDQ GH
PDQHUD H[SOtFLWD R LPSOtFLWD HQ HO FXUUtFXOR (Q SULPHU OXJDU DSRUWD VHQWLGR \ FRKHUHQFLD D ODV
GLYHUVDVSDUWHVGHO PLVPRHVXQSRGHURVRLQVWUXPHQWRSDUDHVWDEOHFHUVXV ILQHVJHQHUDOHV \VXV
IURQWHUDV OR QXWUH \ OH GD GLUHFFLyQ (V XQ PHGLR SDUD HVWDEOHFHU HMHV GLVFLSOLQDUHV FXUULFXODUHV
HVWUDWpJLFRVRIUHFHFULWHULRVSDUDODSUHVHQFLDRDXVHQFLDGHFRQWHQLGRV\PRWLYDXQHQIRTXHSDUD
OD DFFLyQ GH DXOD TXH SULYLOHJLD OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HVSHFLDOPHQWH HQ FRQWH[WRV UHDOHV
IRUWDOHFHODSDUWLFLSDFLyQGHODLGHQWLILFDFLyQFRQVWUXFFLyQ\XVRGHPRGHORVGDVHQWLGRDOIRUWD
OHFLPLHQWRGHiUHDVFRPR(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGQXWUHHOSDSHOGHODVWHFQRORJtDV
Procesos matemáticos
/RV SURFHVRV PDWHPiWLFRVVH HQWLHQGHQ DTXt FRPR DFWLYLGDGHV FRJQLWLYDV R WLSRV GH DFWLYLGD
GHVTXHUHDOL]DQ ODVSHUVRQDVHQ ODVGLVWLQWDViUHDV PDWHPiWLFDV \TXHVHDVRFLDQDFDSDFLGDGHV
SDUD OD FRPSUHQVLyQ \ XVR GH ORV FRQRFLPLHQWRV /D UHDOL]DFLyQ VLVWHPiWLFD GH HVWRV SURFHVRV
WUDQVYHUVDOHVHQODDFFLyQGHDXODDSR\DHOSURJUHVRGHGLYHUVDVGLPHQVLRQHVGHODFRPSHWHQFLD
PDWHPiWLFD
9DOH GHFLU TXH HVWRV SURFHVRV PDWHPiWLFRV QR VRQ FDSDFLGDGHV SHUR DSR\DQ VX GHVDUUROOR \
DGHPiVWLHQHQQXPHURVDVLQWHUVHFFLRQHVHQWUHVt
Fundamentos
Procesos matemáticos
Cinco procesos
6HKDQVHOHFFLRQDGRFRPRFHQWUDOHVORVVLJXLHQWHVSURFHVRV
x 5D]RQDU\DUJXPHQWDU
x 3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
x &RPXQLFDU
x &RQHFWDU
x 5HSUHVHQWDU
/DGHVFULSFLyQGHHVRVFLQFRSURFHVRVVHUHDOL]DDFRQWLQXDFLyQ
Razonar y argumentar
6H WUDWD GH DFWLYLGDGHV PHQWDOHV TXH DSDUHFHQ WUDQVYHUVDOPHQWH HQ WRGDV ODV iUHDV GHO SODQ GH
HVWXGLRV \TXHGHVHQFDGHQDQ IRUPDVWtSLFDVGHOSHQVDPLHQWRPDWHPiWLFRGHGXFFLyQLQGXFFLyQ
FRPSDUDFLyQ DQDOtWLFD JHQHUDOL]DFLyQ MXVWLILFDFLRQHV SUXHEDV XVR GH HMHPSORV \ FRQWUDHMHP
SORV%XVFDGHVDUUROODUFDSDFLGDGHVSDUDSHUPLWLUODFRPSUHQVLyQGHORTXHHVXQDMXVWLILFDFLyQR
SUXHEDHQPDWHPiWLFDSDUDGHVDUUROODU\GLVFXWLUDUJXPHQWDFLRQHVPDWHPiWLFDVSDUDIRUPXODU \
DQDOL]DU FRQMHWXUDV PDWHPiWLFDV SDUD XVDU IyUPXODV R PpWRGRV PDWHPiWLFRV TXH SHUPLWDQ OD
FRPSUHQVLyQRGHVDUUROORGHLQIRUPDFLRQHVSUHVHQWHV
Plantear y resolver problemas
5HILHUHDOSODQWHDPLHQWRGHSUREOHPDV\HOGLVHxRGHHVWUDWHJLDVSDUDUHVROYHUORV$TXtVHGDUiXQ
OXJDUSULYLOHJLDGRDORVSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV
6HEXVFDSRWHQFLDUFDSDFLGDGHVSDUDLGHQWLILFDUIRUPXODU\UHVROYHUSUREOHPDVHQGLYHUVRVFRQ
WH[WRVSHUVRQDOHVFRPXQLWDULRVRFLHQWtILFRVGHQWUR\IXHUDGHODV0DWHPiWLFDV6HWUDWDGHFDSD
FLGDGHV SDUD GHWHUPLQDU HQWRQFHV ODV HVWUDWHJLDV \ PpWRGRV PiV DGHFXDGRV DO HQIUHQWDU XQ SUR
EOHPDSDUDYDORUDUODSHUWLQHQFLD\DGHFXDFLyQGHORVPpWRGRVGLVSRQLEOHV\ORVUHVXOWDGRVPD
WHPiWLFRVREWHQLGRVRULJLQDOPHQWHDGHPiVGHODFDSDFLGDGSDUDHYDOXDU\FRQWURODUHOGHVDUUROOR
GHVXWUDEDMRHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
(OpQIDVLVTXHVHGHVHDGDUDORVFRQWH[WRVUHDOHVWDPELpQLPSXOVDXQDDVRFLDFLyQFRQHOGHVDUUR
OORGHFDSDFLGDGHVFRJQLWLYDVSDUDLGHQWLILFDUIRUPXODUGLVHxDUGHVDUUROODU\FRQWUDVWDUPRGHORV
PDWHPiWLFRVGHOHQWRUQRFRQFRPSOHMLGDGGLYHUVD
Comunicar
(VODH[SUHVLyQ\FRPXQLFDFLyQRUDOYLVXDORHVFULWDGHLGHDVUHVXOWDGRV\DUJXPHQWRVPDWHPiWL
FRVDOGRFHQWHRDORVRWURVHVWXGLDQWHV
Fundamentos
Procesos matemáticos
(VWH SURFHVR EXVFD SRWHQFLDU OD FDSDFLGDG SDUD H[SUHVDU LGHDV PDWHPiWLFDV \ VXV DSOLFDFLRQHV
XVDQGRHO OHQJXDMH PDWHPiWLFRUHJODVGH VLQWD[LV \VHPiQWLFDGH PDQHUDHVFULWD \RUDODRWURV
HVWXGLDQWHVGRFHQWHV \D ODFRPXQLGDGHGXFDWLYD3UHWHQGHTXHVHGHVDUUROOHQFDSDFLGDGHVSDUD
FRQVLJQDU\H[SUHVDUFRQSUHFLVLyQ PDWHPiWLFDODVLGHDV ORVDUJXPHQWRV\SURFHGLPLHQWRVXWLOL
]DGRVDVtFRPRODVFRQFOXVLRQHVDODVTXHVHKD\DQDUULEDGRDVtFRPRSDUDLGHQWLILFDULQWHUSUHWDU
\DQDOL]DUODVH[SUHVLRQHVPDWHPiWLFDVHVFULWDVRYHUEDOHVUHDOL]DGDVSRURWUDVSHUVRQDV
3RU OD JUDQ SUHVHQFLD GH VLPEROL]DFLRQHV HQ ODV 0DWHPiWLFDV HQ RFDVLRQHV VH SLHQVD TXH QR HV
UHOHYDQWH OD FRPXQLFDFLyQ YHUEDO \ HVFULWD HV FRP~Q TXH QR VH LQFOX\D HQ OD DFFLyQ GH DXOD QL
WDPSRFRHQODVIRUPDVGHHYDOXDFLyQ1RREVWDQWHHVXQSURFHVRFHQWUDOSDUDODJHQHUDFLyQGHOD
FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD SXHV SHUPLWH HVFODUHFHU LGHDV PDWHPiWLFDV FRPSDUWLUODV UHYHODU GL
PHQVLRQHVGLVWLQWDV\DPSOLDUODSDUWLFLSDFLyQHVWXGLDQWLODFWLYD
Conectar
(VWHSURFHVRWUDQVYHUVDOSUHWHQGHHOHQWUHQDPLHQWRHVWXGLDQWLOHQSULPHUOXJDUHQODREWHQFLyQGH
UHODFLRQHVHQWUHODVGLIHUHQWHViUHDVPDWHPiWLFDVORFXDOVHGHULYDGHODVFDUDFWHUtVWLFDVFHQWUDOHV
GHORVTXHKDFHUHVPDWHPiWLFRVHOFDUiFWHULQWHJUDGRGHORVPLVPRV/RVPDWHPiWLFRVSURIHVLRQD
OHVDSOLFDQ PpWRGRV\REMHWRVPDWHPiWLFRVGHXQDViUHDVHQRWUDV$XQTXH ODV0DWHPiWLFDVKDQ
HYROXFLRQDGR HQ GLVWLQWDV GLVFLSOLQDV R iUHDV KDQ OOHJDGR D LQWHJUDUVH FRQ HO FRUUHU GHO WLHPSR
(VWD LQWHJUDFLyQ HV GH WDO QLYHO \ HO IOXMR GH UHODFLRQHV GH XQ ODGR DRWUR HVWDQ JUDQGH TXH QR
LQVLVWLU HQ HVDV FRQH[LRQHV \ HVH FDUiFWHU XQLILFDGR KDUtD SHUGHU OD FRPSUHQVLyQ DGHFXDGD GH OR
TXHVRQODV0DWHPiWLFDV
&RQ HVWD PXOWLSOLFLGDG GH FRQH[LRQHV VH FRPSUHQGHQ PHMRU ORV OtPLWHV \ HO VLJQLILFDGR GH PX
FKRVGHORVREMHWRVPDWHPiWLFRV(QHOFRQWH[WRHVFRODUHQWUHQDU\GHVDUUROODUODFDSDFLGDGSDUD
KDFHUFRQH[LRQHVSXHGHKDFHUVHHQWRGRVORVQLYHOHVHGXFDWLYRVVLQJUDQGLILFXOWDG
(VWH SURFHVR EXVFD TXH VH FXOWLYHQ ODV UHODFLRQHV HQWUH ODV GLVWLQWDV SDUWHV GH ODV 0DWHPiWLFDV
HVFRODUHVDGHPiVGHOGHVDUUROORGHDFFLRQHVSDUDLGHQWLILFDUGHQWURGHVLWXDFLRQHVQRPDWHPiWL
FDV DTXHOODV HQ ODV FXDOHV HV SRVLEOH XQ WUDWDPLHQWR PDWHPiWLFR < GH LJXDO PDQHUD SHUVLJXH
PRWLYDUFRQH[LRQHVFRQRWUDVDVLJQDWXUDV\FRQORVGLVWLQWRVFRQWH[WRV
Representar
3UHWHQGH IRPHQWDU HO UHFRQRFLPLHQWR LQWHUSUHWDFLyQ \ PDQLSXODFLyQ GH UHSUHVHQWDFLRQHV P~OWL
SOHVTXHSRVHHQODVQRFLRQHVPDWHPiWLFDVJUiILFDVQXPpULFDVYLVXDOHVVLPEyOLFDVWDEXODUHV
(O SURFHVR EXVFD IDYRUHFHU OD FDSDFLGDG SDUD HODERUDU \ XVDU UHSUHVHQWDFLRQHV PDWHPiWLFDV TXH
VLUYDQHQHOUHJLVWUR\RUJDQL]DFLyQGHREMHWRVPDWHPiWLFRVSDUDLQWHUSUHWDU\PRGHODUVLWXDFLR
QHVSURSLDPHQWHPDWHPiWLFDVSDUDPDQLSXODUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHREMHWRVPDWHPiWLFRV
3URSRQH WDPELpQ GHVDUUROODU FDSDFLGDGHV SDUD SRGHUWUDGXFLU XQD UHSUHVHQWDFLyQ HQ WpUPLQRV GH
RWUDV FRPSUHQGLHQGR ODV YHQWDMDV R GHVYHQWDMDV R ORV DOFDQFHV GH FDGD UHSUHVHQWDFLyQ HQ XQD
VLWXDFLyQGHWHUPLQDGD
Fundamentos
Procesos matemáticos
¿Cómo actúan los procesos?
3RUHOVHQWLGRTXHVHEULQGDDTXtDODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDVHEXVFDUiTXH ODPD\RUtDGHODV
DFWLYLGDGHVGHVDUUROOHQHOSURFHVR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV(OOXJDUGHOSURFHVR5D]RQDU\
DUJXPHQWDUHVWDPELpQPX\DPSOLRSXHVHVWiYLQFXODGRDRWUDVFDUDFWHUtVWLFDVFHQWUDOHVGHOSHQ
VDPLHQWR PDWHPiWLFR /RV RWURV SURFHVRV &RQHFWDU &RPXQLFDU \ 5HSUHVHQWDU VLHPSUH LPSRU
WDQWHV VH LQWHJUDQ DO FRQFXUVR SRWHQWH GH ORV GRV SULPHURV HVWR KDFH TXH VHD PiV HYLGHQWH HO
OXJDUGHORVGRVSULPHURVSURFHVRV/RVFLQFRSURFHVRVSODQWHDQXQDDFFLyQGRFHQWHH[SOtFLWDHQ
VXODERUSURIHVLRQDOGHQWURGHODXOD
/RVSURFHVRVPDWHPiWLFRVSRVHHQGLVWLQWDVLQWHUVHFFLRQHVHQWUHHOORV\SRUHVRDFW~DQGHPDQHUD
FROLJDGD (Q FLUFXQVWDQFLDV HVSHFtILFDV GH DXOD XQD DFWLYLGDG TXH HQIDWLFH 3ODQWHDU \ UHVROYHU
SUREOHPDVSXHGHDSHODUD5D]RQDU\DUJXPHQWDU5HSUHVHQWDU&RQHFWDU\&RPXQLFDUHQGLVWLQ
WDVPDQHUDV(VGLItFLOSODQWHDU ODV0DWHPiWLFDVVHSDUDGDVGHOUD]RQDPLHQWR\ ODDUJXPHQWDFLyQ
PDWHPiWLFD /D IRUPD SUHFLVD HQ TXH VH DVRFLD XQ SURFHVR FRQ RWURV QR HV OD PLVPD HQ FDGD
FLUFXQVWDQFLDPDWHPiWLFD(QRFDVLRQHV3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVVHDFWLYDUiPiVOLJDGRD
&RQHFWDUHQRWUDVD&RPXQLFDUWRGRGHSHQGHGHODWDUHDPDWHPiWLFD
&DGDSURFHVRFHQWUDOVHxDODGRDTXtVHSRGUtDYHUFRPRXQDVtQWHVLVGHSURFHVRVGHRWURVQLYHOHV
GHHVSHFLILFLGDGRGRPLQLRVGHDFFLyQSXHVHQHOVXMHWRWRGRVORVSURFHVRV\DVHDQJHQHUDOHVR
PHQRVJHQHUDOHVQRVHDFWLYDQGHIRUPDDLVODGD3RUHMHPSORHQHOPRPHQWRGHUHDOL]DUHOSUR
FHVR 5HSUHVHQWDU SXHGHQ SDUWLFLSDU RWURV SURFHVRV PiV JHQHUDOHV R EiVLFRV FRPR LGHQWLILFDU
OLVWDURUGHQDUFODVLILFDUHWF
La mediación pedagógica para desarrollar capacidades
cognitivas superiores
(QHVWRVSURJUDPDVSRUXQODGRVHSODQWHDQKDELOLGDGHVDVRFLDGDVDODViUHDVPDWHPiWLFDV\SRU
HORWURVHSURSRQHQSURFHVRVTXHDSR\DQ ODJHQHUDFLyQGHFDSDFLGDGHVFRJQLWLYDVWUDQVYHUVDOHV
TXH VH HYLGHQFLDUiQ SRFR D SRFR \ VREUHWRGR HQ HO PHGLDQR \ ODUJR SOD]RV (VWDV GLPHQVLRQHV
HVWiQtQWLPDPHQWHDVRFLDGDVORVSURFHVRVPDWHPiWLFRVDGRSWDGRVVHLQWURGXFHQDSDUWLUGHWDUHDV
SDUDHODSUHQGL]DMHHQODVTXHVHSHUVLJXHHOGHVDUUROORGHKDELOLGDGHVHVSHFtILFDV
/DV PHGLDFLRQHVHQWUHHOGHVDUUROORGHODKDELOLGDGHVSHFtILFDFDSDFLGDGHVFRJQLWLYDV \ ODFRP
SHWHQFLD PDWHPiWLFD VRQ FRPSOHMDV GLItFLOHV GH LGHQWLILFDU \ DXQ PiV GH PHGLU (O GRPLQLR GH
XQDKDELOLGDGHVSHFtILFDSXHGHGDUVHHQGLIHUHQWHVJUDGRVRQLYHOHV
/RV FRQRFLPLHQWRV PDWHPiWLFRVR ODV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV QR JHQHUDQ SRU Vt PLVPRV FDSDFL
GDGHVFRJQLWLYDVPiVDPSOLDVTXHQXWUDQODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD/RSXHGHORJUDUODPDQHUD
FRPRVHJHQHUDHOGRPLQLRGHHVDVKDELOLGDGHVHVGHFLUODIRUPDHQTXHVHUHDOL]DODDFFLyQGH
DXOD OD PHGLDFLyQ SHGDJyJLFD (V IXQGDPHQWDO FyPR VH RUJDQLFH OD OHFFLyQ R VHFXHQFLDV GH
OHFFLRQHV OD DFFLyQ GLUHFWD GRFHQWH HQ ODV DFWLYLGDGHV GHO DXOD \ OD FDOLGDG GH ODV H[LJHQFLDV
FRJQLWLYDV TXH VH SURYRTXH $TXt OD UHDOL]DFLyQ GH ORV SURFHVRV HV FHQWUDO 6L ODV OHFFLRQHV VH
RUJDQL]DQ VLHPSUH GH PDQHUD PDJLVWUDO \ VLQ SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD GH FDGD HVWXGLDQWHR VL QR VH
SURSRQHQ WDUHDV SDUD HO DSUHQGL]DMH TXH GHVDItHQ VX LQWHOLJHQFLD QR VH SURYRFD LQWHUpV \ FRP
Fundamentos
La mediación pedagógica para desarrollar capacidades cognitivas superiores
SURPLVRDFWLYRFRQORTXHVHGHELOLWDQODVSRVLELOLGDGHVSDUDPRWLYDUDFFLRQHVPHQWDOHVGHPD\RU
QLYHO 6H WUDWD HQWRQFHV GH GLVHxDU OHFFLRQHV FRQ WDUHDV SDUD HO DSUHQGL]DMH TXH SHUPLWDQ OD
UHDOL]DFLyQGHSURFHVRV6LGHHQWUDGDHQODOHFFLyQVHSODQWHDLGHQWLILFDUIRUPXODU\UHVROYHUXQ
SUREOHPD VH DSR\DUi OD UHDOL]DFLyQ GHO SURFHVR PDWHPiWLFR 3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOHPDV $
SDUWLUGHpVWHVHSRGUiQLQWURGXFLUORVRWURV
'HEHHQWHQGHUVHVLQHPEDUJRTXHODUHDOL]DFLyQGHXQSURFHVRHVDYHFHVXQDODERUFRPSOHMD \
TXHQRVHSXHGHDSOLFDUHQWRGRPRPHQWRHOOXJDU\WLHPSRVHGHEHVHOHFFLRQDUFRQFXLGDGR3RU
RWUR ODGR VH GHEH WHQHU HQ FXHQWD TXH HQ XQD VROD WDUHD SDUD HO DSUHQGL]DMH HV SRVLEOH UHDOL]DU
YDULRVSURFHVRVDODYH]RIRUPXODGRGHRWUDPDQHUDODUHDOL]DFLyQGHXQSURFHVRLQWHUVHFDFRQ
RWURV
1RVyORHOGLVHxRGHWDUHDVPDWHPiWLFDVHV LPSRUWDQWH7DPELpQ ORHV ODDFFLyQGLUHFWDGRFHQWH
GXUDQWHODVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDV6XLQWHUYHQFLyQHQFDGDIDVHGHODOHFFLyQDSR\DUiHOGHVDUUR
OOR GH SURFHVRV 1R ORJUDUiUHDOL]DUORV DGHFXDGDPHQWH VL VH H[WUDOLPLWD HQ VX SDUWLFLSDFLyQ SRU
HMHPSORUHVXHOYHORVSUREOHPDVHQODSL]DUUDDQWHODPHQRUGXGDRGDLQGLFDFLRQHVLPSURFHGHQ
WHV VH DXVHQWD LQGHELGDPHQWH GH OD DFWLYLGDG R VL QR DSRUWD FRUUHFWDPHQWH HO FRQRFLPLHQWR
QHFHVDULRTXHFRPSOHWDUtDXQSURFHVRGHWUDEDMRHVWXGLDQWLO/DDFFLyQGRFHQWHGLUHFWDHVFUXFLDO
(QPHGLRGHXQDDFWLYLGDGGHDSUHQGL]DMHGLULJLGDDODFRQVHFXFLyQGHOGRPLQLRGHXQDKDELOLGDG
HVSHFtILFDVHSXHGHGHPDQHUDGLQiPLFDLQWURGXFLUORVSURFHVRVPDWHPiWLFRVTXHVHDQSHUWLQHQ
WHV3RUHMHPSORFRQSUHJXQWDVDGHFXDGDVTXHSURYRTXHQPiVLPSOLFDFLRQHVRGHULYDFLRQHVSDUD
DVtLPSXOVDUHOUD]RQDPLHQWR\ODDUJXPHQWDFLyQPHGLDQWHFRQH[LRQHVFRQRWUDViUHDVPDWHPiWL
FDVFRQ ODJHQHUDFLyQGH ODH[SUHVLyQ \ FRPXQLFDFLyQGH ODV LGHDVHQ YDULRVSODQRVRFRQXQD
PRWLYDFLyQ SDUD TXH ODV HQWLGDGHV PDWHPiWLFDV TXH HQWUDQ HQ MXHJR VH SXHGDQ UHSUHVHQWDU GH
GLVWLQWDVPDQHUDV(VXQDVXQWRDGHWHUPLQDUGHPDQHUDHVSHFtILFD\SUiFWLFDQRWRGRVORVSURFH
VRVPDWHPiWLFRVSRVHHQHOPLVPRSHVRHQHOGHVDUUROORGHXQDWDUHD\DYHFHVQLVLTXLHUDDSDUH
FHQDOJXQRV
(OGLVHxRGHODWDUHDPDWHPiWLFD\ODFRQGXFFLyQGRFHQWHHQHODXODVRQLQVWUXPHQWRVFODYHSDUD
TXHVHUHDOLFHQHVRVSURFHVRVPDWHPiWLFRV(VRLPSOLFDXQDSODQLILFDFLyQ\XQGLVHxRFXLGDGRVRV
GHODOHFFLyQ+D\PHMRUHVWDUHDVTXHRWUDVSDUDHVWDVXSHUSRVLFLyQGHKDELOLGDGHV\SURFHVRV1R
VyORODVLQYHVWLJDFLRQHVGLGiFWLFDVSXHGHQDSRUWDUHMHPSORV\UHVXOWDGRVSHGDJyJLFRVVREUHFyPR
UHDOL]DU HVWDV DFFLRQHV HQ HO DXOD VLQR WDPELpQ \ VREUH WRGR OD LQYHVWLJDFLyQ TXH UHDOL]DQ ORV
SURIHVRUHVHQODVGLVWLQWDVHQWLGDGHVHGXFDWLYDVGHPDQHUDVLVWHPiWLFD\FRQWLQXDSHUPLWHSURSRU
FLRQDUPHGLRVSDUDVHJXLUHVWDHVWUDWHJLD'HXQDPDQHUDJHQHUDOFRQXQDSHUVSHFWLYDDGHFXDGD
FLHUWDH[SHULHQFLD\SUHSDUDFLyQVHSXHGHQDFWLYDUSURFHVRVPDWHPiWLFRVHQFDVLFXDOTXLHUWDUHD
PDWHPiWLFDRULHQWDGDDODJHQHUDFLyQGHXQDKDELOLGDGHVSHFtILFDRXQFRQMXQWRGHHOODV
/DPHGLDFLyQSHGDJyJLFDHVODFODYHSDUDTXHHQODVDFWLYLGDGHVVHORJUHHOGRPLQLRGHKDELOLGD
GHV HVSHFtILFDV \ GH HVWD IRUPD VH GHVDUUROOHQ FDSDFLGDGHV \ OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD (V
QHFHVDULRTXHVHWHQJDHQPHQWHODUHDOL]DFLyQGHORVSURFHVRVPDWHPiWLFRV
8QHMHPSORGHFyPRSRGUtDIXQFLRQDUHVWRHQHODXODSRUPHGLRGHXQSUREOHPDVHSXHGHEXVFDU
ODJHQHUDFLyQGHXQDKDELOLGDGHVSHFtILFDFRPRODVLJXLHQWH
Fundamentos
Resolución de problemas
x
,GHQWLILFDU SDWURQHV R UHJXODULGDGHV HQ VXFHVLRQHV \ HQ WDEODV GH Q~PHURV PHQRUHV TXH
6HRIUHFHWLHPSRSDUDDSRUWDUVROXFLRQHVRHVWUDWHJLDV \OXHJRVHSLGHTXHVHFRPXQLTXHQeVWH
SXHGH HPSXMDU D TXH HVWR VH KDJD GH GLYHUVDV PDQHUDV \ TXH VH FRQWUDVWHQ ODV VROXFLRQHV $O
KDFHUHVRVHUHDOL]DHOSURFHVRPDWHPiWLFR&RPXQLFDU\HQHVDFRQWUDVWDFLyQSRQHUHQMXHJRRWUDV
DFWLYLGDGHV DVRFLDGDV D SURFHVRV 5D]RQDU \ DUJXPHQWDU 6H SXHGH SHGLU TXH VH YLQFXOH HVWD
VLWXDFLyQFRQDOJXQDRWUDiUHDPDWHPiWLFD\VHSRGUtDSHGLUDGHPiVTXHMXVWLILTXHQYDULRVSDVRV
R LQWHUURJDUOHV VREUH OR TXH SDVDUtD DO PRGLILFDUVH DOJXQD FRQGLFLyQ DSURSLDGD GH OD VLWXDFLyQ
LQLFLDO$OKDFHUHVWRVHUHDOL]DQWDPELpQRWURVSURFHVRVPDWHPiWLFRV
$O OOHYDUVHDFDERHVWHWLSRGH SURFHVRVHQODVGLVWLQWDViUHDVPDWHPiWLFDV VHYDDXPHQWDQGROD
FDSDFLGDGHVWXGLDQWLOSDUDFRPXQLFDU\DUJXPHQWDUPDWHPiWLFDPHQWHGHXQDPDQHUDDGHFXDGD
Resolución de problemas
(V FRPR SDUWH GH HVWD PHGLDFLyQ SHGDJyJLFD GRQGH OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQFXHQWUD XQ
VHQWLGRHVHQFLDOSDUDODHQVHxDQ]DDSUHQGL]DMHGHODV0DWHPiWLFDVXQLQVWUXPHQWRSRGHURVRSDUD
ORJUDUHOGRPLQLRGHKDELOLGDGHVODUHDOL]DFLyQGHSURFHVRVDVtFRPRHOSURJUHVRGHODFRPSHWHQ
FLDPDWHPiWLFD
Resolución de problemas: propósitos en el currículo
/D UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HVWi DVRFLDGD VXVWDQFLDOPHQWH D OD QDWXUDOH]D GH ODV 0DWHPiWLFDV
VHDQSUREOHPDVGHOHQWRUQRRDEVWUDFWRV,QWXLUGHVFULELUSODQWHDUUHVROYHU\JHQHUDOL]DUSUREOH
PDV PDWHPiWLFRV GHILQH OD DFWLYLGDG GH HVWRV SURIHVLRQDOHV HQ FRQWH[WRV VRFLRKLVWyULFRV GRQGH
H[LVWHQ FULWHULRV \ PpWRGRV GH FRPXQLFDFLyQ \ YDOLGDFLyQ 'HEH H[LVWLU XQD H[SOtFLWD UHODFLyQ
HQWUHHVWDQDWXUDOH]D \ ODVDFFLRQHVGH HQVHxDQ]D \DSUHQGL]DMH1RHVWDEOHFHUHVWDVFRQH[LRQHV
HQ ODDFFLyQGHDXODVLJQLILFDUtD OD LQFRPSUHQVLyQ GHXQVHQWLGRFHQWUDOGH ODV0DWHPiWLFDV6LQ
HPEDUJR SDVDU GH OD DFWLYLGDG GH UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQ ORV TXHKDFHUHV PDWHPiWLFRV PiV
JHQHUDOHVD ODDFFLyQGHDXOD QRVHSXHGHUHDOL]DUGHXQD PDQHUD PHFiQLFDGHEH KDEHUDGDSWD
FLyQDOHQWRUQRHVFRODU
&RORFDGD\DHQFRQWH[WRHGXFDWLYRODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV GHEHLQWHJUDUDOPHQRVGRVSUR
SyVLWRV
x DSUHQGL]DMHGHORVPpWRGRVRHVWUDWHJLDVSDUDSODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
x DSUHQGL]DMHGHORVFRQWHQLGRVPDWHPiWLFRVFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVDWUDYpVGHODUHVR
OXFLyQGHSUREOHPDV
(QHOSULPHUSURSyVLWRVHHQIDWL]DQORVPHGLRVHVWUDWHJLDVKHXUtVWLFDVPpWRGRVTXHUHTXLHUHXQ
SUREOHPD XQD DFFLyQ PDWHPiWLFD (O DSUHQGL]DMH GH WpFQLFDV GH UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV QR
JDUDQWL]DTXHXQDSHUVRQDSXHGDUHVROYHUSUREOHPDVQXHYRV\GLVWLQWRVVLQHPEDUJRHOHQWUHQD
PLHQWRHQ ODV PLVPDV IDYRUHFHHOGHVDUUROORGHHVDFDSDFLGDG6LQHPEDUJRQRVHUtDDSURSLDGR
Fundamentos
Resolución de problemas
FRQFHELU HO SDSHO GH OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV UHGXFLGR D HQWUHQDU \ ORJUDU GHVWUH]DV HQ HVDV
WpFQLFDV\PpWRGRVSRUPiVULFRVTXHpVWRVSXHGDQVHU
(QHOVHJXQGRSURSyVLWRORTXHVHSODQWHDHVXQDDFFLyQGHDXODTXHSHUPLWDJHQHUDUDSUHQGL]DMHV
PDWHPiWLFRVHQXQFRQWH[WRHVSHFtILFRHVWRDSHODDOGLVHxRGHWDUHDVTXHVLUYDQSDUDODFRQVWUXF
FLyQGHDSUHQGL]DMHVGHQWURGHXQDOHFFLyQRXQDVHFXHQFLDGHHOODVSURPRYLHQGRDVtODUHDOL]D
FLyQGHORVSURFHVRVPDWHPiWLFRV
6H DGRSWD DTXt XQD SUHPLVD HVHQFLDO MXHJDQ XQ SDSHO FUXFLDO ORV SUREOHPDV UHDOHV HQ ORV TXH
DSDUHFHQORVHQWRUQRVItVLFRV\VRFLRFXOWXUDOHV8VDUSUREOHPDVH[WUDtGRVGHODUHDOLGDGRTXH VH
SXHGDQLPDJLQDUFRPRUHDOHVSURPXHYHDFFLRQHVFRJQLWLYDVUHTXHULGDVSDUDHODSUHQGL]DMHGHODV
0DWHPiWLFDV(VWRVXFHGHSRUYDULDVUD]RQHV3RUXQODGRSRUTXHHVSRVLEOHGHVSHUWDUXQPD\RU
LQWHUpV SURYRFDU DFWLWXGHV SRVLWLYDV VREUH ODV 0DWHPiWLFDV LQYROXFUDU PiV D ODV SHUVRQDV HQ OD
FRQVWUXFFLyQGHVXVDSUHQGL]DMHV\HQWRQFHVHVWLPXODUGLYHUVDVDFWLYLGDGHVFRJQLWLYDV\HOFXOWLYR
GH OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD 3HUR QR HV VRODPHQWH XQ DVXQWR GH PRWLYDFLyQ HQ OD DFFLyQ SRU
HQFRQWUDUXVDURDSOLFDUODV0DWHPiWLFDVGHQWURGHFRQWH[WRVUHDOHVELHQVHOHFFLRQDGRVVHSUR
PXHYH HO FRQWDFWR FRQ ORV REMHWRV PDWHPiWLFRV HQ VX UHODFLyQ SULYLOHJLDGD FRQ OD UHDOLGDG GH
GRQGHHPHUJLHURQ7UDEDMDUHQHVWRVFRQWH[WRVGLYHUVRV IDYRUHFHXQD PDWHPDWL]DFLyQXVDU PD
WHPiWLFDV SDUD UHSUHVHQWDUR PRGHODU VLWXDFLRQHV GHO HQWRUQR TXHDXQTXH GHEH VHU DGDSWDGD DO
PHGLRHVFRODUFRUUHVSRQGHDDTXHOODVDFWLYLGDGHVVLPLODUHVUHDOL]DGDVHQORVTXHKDFHUHVPDWHPi
WLFRVPiVJHQHUDOHV
(Q HO HQIRTXH TXH VH EHQHILFLD DTXt OD HVFRJHQFLD GH XQ SUREOHPD SDUD HO GHVDUUROOR GH XQD
OHFFLyQGHEHHVWDUHVWDEOHFLGDSRUORVSURSyVLWRVGHDSUHQGL]DMHGHXQFRQRFLPLHQWRPDWHPiWLFR\
HOGHVDUUROORHGXFDWLYRTXHVHUHDOL]D\QRSRUHMHPSORSRUODVHVWUDWHJLDVRWpFQLFDVTXHVXSRQH
SDUD VX VROXFLyQ $XQTXH VLQ GXGD H[LVWH UHODFLyQ HQWUH XQ SUREOHPD ULFR HQ SRVLELOLGDGHV GH
VROXFLyQ\ORVILQHVGHXQEXHQDSUHQGL]DMH
8QRGHORVDVSHFWRVTXHVHGHVHDVXEUD\DUHQHVWDYLVLyQHVODLPSRUWDQFLDGHGHVFXEULUSODQWHDU
\GLVHxDUSUREOHPDV\QRVyORUHVROYHUORVSXHVHQVXYLGDODVSHUVRQDVVHYHUiQPiVH[SXHVWDV
D FLUFXQVWDQFLDV HQ ODV TXH ORV SUREOHPDV QR HVWiQ IRUPXODGRV R ODV 0DWHPiWLFDV SRVLEOHV TXH
SXHGHQLQWHUYHQLUQRVRQYLVLEOHVRHYLGHQWHV
$XQTXHDTXtVHGDUipQIDVLVDODRUJDQL]DFLyQGHODOHFFLyQHOSURSyVLWRGHGHVDUUROODUFRPSHWHQ
FLDHQORVUHFXUVRV\PpWRGRVSDUDUHVROYHUSUREOHPDVWDPELpQVHLQFRUSRUDHQODVGLVWLQWDViUHDV
PDWHPiWLFDVTXHRUJDQL]DQHVWRVSURJUDPDV
Problemas
/RVFRQWH[WRVGRQGHXQSUREOHPDSXHGHHPHUJHUSXHGHQVHUGLYHUVRV8QDVLWXDFLyQGHVDOXGHQ
HO SDtV DVXQWRV HFRQyPLFRV DPELHQWDOHV FXOWXUDOHV &RQWH[WRV HVFRODUHV IDPLOLDUHV FRPXQLWD
ULRVSURIHVLRQDOHVFLHQWtILFRV3HURWDPELpQXQSUREOHPDSXHGHGLVHxDUVHDSDUWLUGHSDVDMHVGH
OD KLVWRULD GH ODV 0DWHPiWLFDV GH XQD UHSUHVHQWDFLyQ DUWtVWLFD GRQGH HV SRVLEOH HQFRQWUDU PDWH
PiWLFDVLQFOXVRXQMXHJRXQURPSHFDEH]DVXQYLGHRHWF
8Q SUREOHPD HV XQ SODQWHDPLHQWR R XQD WDUHD TXH EXVFD JHQHUDU OD LQWHUURJDFLyQ \ OD DFFLyQ
HVWXGLDQWLOXWLOL]DQGRFRQFHSWRVRPpWRGRVPDWHPiWLFRVLPSOLFDQGRDOPHQRVWUHVFRVDV
Fundamentos
Resolución de problemas
x
x
x
TXHVHSLHQVHVREUHLGHDVPDWHPiWLFDVVLQTXHHOODVWHQJDQTXHKDEHUVLGRGHWDOODGDPHQWH
H[SOLFDGDVFRQDQWHULRULGDG
TXHVHHQIUHQWHQDORVSUREOHPDVVLQTXHVHKD\DQPRVWUDGRVROXFLRQHVVLPLODUHV
TXHORVFRQFHSWRVRSURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRVDHQVHxDUHVWpQtQWLPDPHQWHDVRFLDGRVD
HVHFRQWH[WR
8QSUREOHPDGHEHSRVHHUVXILFLHQWHFRPSOHMLGDG SDUDSURYRFDUXQDDFFLyQFRJQLWLYD QRVLPSOH
6L VH WUDWD HVHQFLDOPHQWH GH DFFLRQHV UXWLQDULDV QR VH FRQFHSWXDUiQ FRPR SUREOHPDV 6H SXHGH
SRQHUHQORVVLJXLHQWHVWpUPLQRVXQDWDUHDPDWHPiWLFDFRQVWLWX\HXQSUREOHPDVLSDUDUHVROYHUOD
HO VXMHWR GHEH XVDU LQIRUPDFLyQ GH XQD PDQHUD QRYHGRVD (Q HO FDVR TXH HO LQGLYLGXR SXHGD
LGHQWLILFDU LQPHGLDWDPHQWH ODV DFFLRQHV QHFHVDULDV VH WUDWD GH XQD WDUHD UXWLQDULD 6L XQD WDUHD
PDWHPiWLFD SURSXHVWD QR WLHQH HVDV FDUDFWHUtVWLFDV VH FRQVLJQDUi DTXt FRPR XQ HMHUFLFLR 8QD
WDUHD SXHGH VHU XQ HMHUFLFLR R XQ SUREOHPD HQ GHSHQGHQFLD GH YDULDV FLUFXQVWDQFLDV HGXFDWLYDV
8QDVXPDFRQQ~PHURVGHFXDWURGtJLWRVSXHGHVHUXQSUREOHPDHQ HU\R$xR\XQHMHUFLFLRHQ
WHUFHUR
/DHVFRJHQFLDGHSUREOHPDVSODQWHDGRVHQXQHQWRUQRUHDOSHUPLWHSRWHQFLDUODDSOLFDFLyQGHORV
FRQFHSWRV \ PpWRGRV PDWHPiWLFRV DFRSOiQGRVH DVt FRQ OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD TXH VH KD
GHILQLGR FRPR OD FDSDFLGDG SDUD GHVFULELU FRPSUHQGHU \ DFWXDU HQ FRQWH[WRV GLYHUVRV R VLWXD
FLRQHV XVDQGR PDWHPiWLFDV /D UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQ HQWRUQRV UHDOHV DSR\D XQD SHUFHS
FLyQGHXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
7DPELpQ H[LVWHQ SUREOHPDV TXH SRU VX QDWXUDOH]D QR DGPLWHQ XQD VROXFLyQ HQ SRFR WLHPSR \
RWURV TXH WDO YH] QR WHQJDQ (VWH WLSR GH SUREOHPDV RIUHFH RSRUWXQLGDGHV SDUD PRVWUDU DOJXQDV
FDUDFWHUtVWLFDV GH OD FRQVWUXFFLyQ PDWHPiWLFD TXH ODV 0DWHPiWLFDV QR VRQ YHUGDGHV DEVROXWDV
TXHKD\SURFHVRVFRQVWUXFWLYRVTXHSXHGHQGXUDUPXFKRWLHPSRHWF
5HVXOWDFRQYHQLHQWHVXEUD\DUODLPSRUWDQFLDGHSUREOHPDVGHILQDODELHUWRHVGHFLUDTXHOORVTXH
DGPLWHQ YDULDV VROXFLRQHV \ DSUR[LPDFLRQHV \ TXH SXHGHQ RIUHFHU RSRUWXQLGDGHV PX\ YDOLRVDV
SDUD LQWURGXFLU FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV SDUDRUJDQL]DU OD OHFFLyQ R SDUDWUDEDMRV H[WUDFODVH
SRUPHGLRGHSUR\HFWRV&XDQGRVHFRORFDQHQFRQWH[WRVUHDOHVKD\PXFKDVRSRUWXQLGDGHVSDUD
WUDEDMDUFRQSUREOHPDVGHHVWHWLSR
)DYRUHFHUSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV QR LPSOLFDGHMDUGH ODGRSUREOHPDV DEVWUDFWRV(VXQD
RULHQWDFLyQJHQHUDO \ IOH[LEOHTXHGHEHDGDSWDUVHFRQ OXFLGH]+D\iUHDV PDWHPiWLFDV \WySLFRV
GRQGHQRWLHQHVHQWLGRHOWUDEDMRHQFRQWH[WRVUHDOHV3HURDGHPiVQRVHGHEHROYLGDUQXQFDTXH
ODV0DWHPiWLFDVUHILHUHQDGLPHQVLRQHVJHQHUDOHV\DEVWUDFWDVGHORUHDO(QHVHQFLDHVXQDSUiF
WLFDTXHFXOWLYDORDEVWUDFWR'HORTXHVHWUDWDHQODDFFLyQHGXFDWLYDHVGHFRQVWUXLUORVREMHWRV
DEVWUDFWRV FRQ EDVH HQ XQD HVWUDWHJLD TXH SHUPLWD DVRFLDFLRQHV FRQ ORV HQWRUQRV HQ FLHUWRV PR
PHQWRVSDUDIDYRUHFHUORVDSUHQGL]DMHV
/RVSUREOHPDVDEVWUDFWRVVRQFUXFLDOHVSDUD SRQHUHQMXHJRGLVWLQWDVKDELOLGDGHV \ SURFHVRV(Q
ORVDEVWUDFWRVVHHQWUHQDSRUHMHPSOR OD MXVWLILFDFLyQ \GHPRVWUDFLyQHOXVRGH OHQJXDMH PDWH
PiWLFRHOUD]RQDPLHQWRULJXURVRDEVWUDFWR(QORVTXHKDFHUHVGHVDUUROODGRVSRUODVFRPXQLGDGHV
PDWHPiWLFDVSURIHVLRQDOHVODPD\RUtDGHORVSUREOHPDVTXHVHDERUGDQVRQDEVWUDFWRV
Fundamentos
Resolución de problemas
(QHODXODHOPRPHQWR\ODIRUPDSDUDLQWURGXFLUXQSUREOHPDGHEHQFRQVWLWXLUSDUWHGHODSODQL
ILFDFLyQGRFHQWH1RVLHPSUHXQSUREOHPDGHEHRFXSDUXQSDSHOFHQWUDOHQODRUJDQL]DFLyQGHOD
OHFFLyQDYHFHVSXHGHLQWURGXFLUVHVRODPHQWHHQFLHUWDVIDVHVGHODDFFLyQGHDXOD(QRWUDVRFD
VLRQHVXQSUREOHPDSXHGHVHUYLUSDUDUHIRU]DUDSUHQGL]DMHV/RTXHVHSURSRQHDTXtHVHOXVRGH
SUREOHPDVFRPRXQDRULHQWDFLyQJHQHUDODDSOLFDUGHPDQHUDIOH[LEOH
(QFXDQWRDODVWpFQLFDVJHQHUDOHVRPpWRGRVSDUDHOGLVHxRGHHVWUDWHJLDVSDUDUHVROYHUSUREOH
PDVVHFRQVLJQDUiQFRPRJXtDFXDWURSDVRVTXHVHVLQWHWL]DQHQODWDEODVLJXLHQWH
7DEOD3DVRVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
3DVRVRIDVHV
3DVR(QWHQGLPLHQWRGHOSUREOHPD
3DVR'LVHxR
3DVR&RQWURO
3DVR5HYLVLyQ\FRPSUREDFLyQ
)XHQWHHODERUDFLyQSURSLD
$FFLyQ
7HQHUFODULGDGVREUHORTXHWUDWDHOSUREOHPDDQWHVGHHPSH]DUDUHVRO
YHUOR
&RQVLGHUDU YDULDV IRUPDV SDUD UHVROYHU HO SUREOHPD \ VHOHFFLRQDU XQ
PpWRGRHVSHFtILFR
0RQLWRUHDUHOSURFHVR\GHFLGLUFXiQGRDEDQGRQDUDOJ~QFDPLQRTXHQR
UHVXOWHH[LWRVR
5HYLVDUHOSURFHVRGHUHVROXFLyQ\HYDOXDUODUHVSXHVWDREWHQLGD
+D\ YDULDV GLPHQVLRQHV TXH SDUWLFLSDQ HQ HVWH SURFHGLPLHQWR \ TXH VRQ UHOHYDQWHV UHFXUVRV
KHXUtVWLFDVFUHHQFLDV\ODPHWDFRJQLFLyQRFRQWURO/RVSULPHURVUHILHUHQDORVHOHPHQWRVDSUHQ
GLGRVFRUUHFWRVRQRFRQORVTXHSDUWHODSHUVRQDODVKHXUtVWLFDVVRQODVHVWUDWHJLDVIRUPDOHVR
LQIRUPDOHV TXH VH GDQ R SXHGHQ GDUVH SDUD UHVROYHU XQ SUREOHPD \ HVWiQ ODV FUHHQFLDV VREUH
GLIHUHQWHV GLPHQVLRQHV LQYROXFUDGDV /D HYROXFLyQ R PRQLWRUHR GHO SURJUHVR GXUDQWH OD UHVROX
FLyQGHSUREOHPDV\HOHVWDUFRQVFLHQWHGHODVSURSLDVFDSDFLGDGHV\OLPLWDFLRQHVVRQIXQGDPHQ
WDOHVHQHVWDHWDSD\VHLGHQWLILFDQFRQODVHVWUDWHJLDVGHQRPLQDGDVPHWDFRJQLWLYDV(QHVWHVHQWL
GRODPHWDFRJQLFLyQVHUHILHUHDOFRQRFLPLHQWRGHQXHVWURSURSLRSURFHVRFRJQLWLYR\DOFRQWURO
DFWLYRGHODVGHFLVLRQHV\GHORVPpWRGRVXWLOL]DGRVHQODUHVROXFLyQGHXQSUREOHPD(VWRVSDVRV
JHQHUDOHV GHEHQ DMXVWDUVH FXDQGR VH WUDEDMD FRQ SUREOHPDV HQ FRQWH[WRV UHDOHV SXHV UHTXLHUHQ
PRGHORV
Modelización
/DLGHQWLILFDFLyQXVR\FRQVWUXFFLyQGHPRGHORVPDWHPiWLFRVHVSDUWHVXVWDQFLDOGHOHQIRTXHTXH
VH SURSRQH WUDEDMDU FRQ SUREOHPDV HQ FRQWH[WRV UHDOHV /RV PRGHORV HPHUJHQ VLHPSUH TXH VH
GHED DFXGLU D OD UHDOLGDG 8Q PRGHOR HV HQ HVHQFLD XQ FRQMXQWR GH HOHPHQWRV PDWHPiWLFRV
FRQHFWDGRV TXHUHSUHVHQWDQ XQD UHDOLGDG HVSHFtILFD H[SOLFDQ GHVFULEHQ SHUPLWHQ KDFHU SUHGLF
FLRQHV3XHGHQH[LVWLUYDULRVPRGHORVVREUHXQDUHDOLGDGFRQGLVWLQWRVJUDGRVGHUHSUHVHQWDFLyQ
GHODPLVPD,GHQWLILFDUFRQVWUXLURXVDUXQPRGHORGHXQDVLWXDFLyQUHDOHVXQDPDQHUDGH PD
WHPDWL]DUHVDUHDOLGDG
(QHVWHHQIRTXHVHFRQFHSW~DPRGHORGHXQDIRUPDDPSOLD\IOH[LEOHSXHGHVHUXQGLDJUDPDFRQ
IOHFKDV XQ PDQLSXODEOH XQD WDEOD XQD JUiILFD 8Q PRGHOR UHILHUH D XQD VLWXDFLyQ HVSHFtILFD
SHURDOPHMRUDUVHFRQDFFLRQHVFRJQLWLYDVGHEHUiVHUFDSD]GHSRGHUXVDUVHHQRWURVFRQWH[WRV
/RTXHVHSURSRQHDTXtQRHVVRODPHQWHXQHQWUHQDPLHQWRGHHVWXGLDQWHVHQODVHVWUDWHJLDVSDUDHO
SODQWHDPLHQWR\FRQVWUXFFLyQGH PRGHORVHQVt PLVPRVVLQRHVHQFLDOPHQWHXWLOL]DU ORV PRGHORV
Fundamentos
Resolución de problemas
PDWHPiWLFRV \ ODV DFFLRQHV TXH VXSRQH VX FRQVWUXFFLyQ \ XWLOL]DFLyQ SDUD JHQHUDU R UHIRU]DU
DSUHQGL]DMHV &RQRFLPLHQWRV \ KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV VH SXHGHQ FRQVWUXLU R DSOLFDU D WUDYpV GH
ODV DFFLRQHV TXH RIUHFH OD PRGHOL]DFLyQ (VWD PDWHPDWL]DFLyQ HVFRODU QR EXVFD GDU XQ PRGHOR
ILQDO\DFDEDUODDFFLyQDOOt7UDWDGHODFUHDFLyQ\XVRVXFHVLYRGHPRGHORVTXHVHUHILQDQDGH
F~DQ \DPSOtDQVXUDQJRGHDFFLyQ5HILHUHDODSUHQGL]DMHDXQDDFFLyQHVWXGLDQWLOFRQVWUXFWLYD
HQODTXHWDPELpQKD\LQWHUYHQFLyQGRFHQWH
8Q WUDEDMR GH UHHODERUDFLyQ \ DEVWUDFFLyQ GH XQ PRGHOR FRQYRFD DFWLYLGDGHV PDWHPiWLFDV PiV
JHQHUDOHV\DEVWUDFWDV6HSRGUtDKDEODUGHGRVPDQHUDVGHPDWHPDWL]DFLyQODSULPHUDTXHHVWD
EOHFH\XVDXQPRGHORVHSDVDGHOPXQGRItVLFRRVRFLDODOVLPEyOLFRPDWHPiWLFRODVHJXQGD
TXHUHILQD\JHQHUDOL]DGHPDQHUDWHyULFDORVUHVXOWDGRVGHODSULPHUDWUDEDMDHQHOPXQGRVLP
EyOLFR\DEVWUDFWRGHODV0DWHPiWLFDV/DPRGHOL]DFLyQVLHPSUHDSDUHFHUiGHPDQHUDLQWHJUDGD
DOSURFHVR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
(OJUDGRGHFRPSOHMLGDGGHORVPRGHORVTXHVHJHQHUHQGHSHQGHUiGHODVFLUFXQVWDQFLDVDODVTXH
UHILHUHDVtFRPRGHORVFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRV LPSOLFDGRV ORFXDOGHEHDMXV
WDUVHHQFDGDQLYHOHGXFDWLYR
(OHVStULWXGHODPRGHOL]DFLyQUHVLGHHQODLGHQWLILFDFLyQPDQLSXODFLyQGLVHxR\FRQVWUXFFLyQGH
PRGHORV PDWHPiWLFRVVREUHVLWXDFLRQHVDXWpQWLFDVGHOHQWRUQR(VWHVHQWLGRGHUHDOLGDGHVHVHQ
FLDOSDUD ORVDSUHQGL]DMHV(QWpUPLQRV PX\JHQHUDOHVHVWDDFFLyQVHSXHGHUHVXPLUHQDOJXQRV
SDVRVTXHVHFRQVLJQDQHQODWDEODVLJXLHQWH
3DVRV
3DVR(O3UREOHPD
3DVR6LVWHPDWL]DFLyQ
3DVR0RGHOR0DWHPi
WLFR
3DVR6ROXFLyQ
3DVR,QWHUSUHWDFLyQ
3DVR(YDOXDFLyQ
)XHQWHHODERUDFLyQSURSLD
7DEOD3DVRVHQODPRGHOL]DFLyQ
'HVFULSFLyQ
8QSUREOHPDTXHGHVFULEHXQDVLWXDFLyQGHODUHDOLGDGTXHGHEHVHUPRGHOL]DGD
8QDVHOHFFLyQGHORVREMHWRVODLQIRUPDFLyQ\ODVUHODFLRQHVUHOHYDQWHVGHOSUREOHPDTXH
OHSHUPLWDQREWHQHUXQDSRVLEOHUHSUHVHQWDFLyQRLGHDOL]DFLyQPDWHPiWLFD
8QDWUDGXFFLyQGHORVREMHWRV\ODVUHODFLRQHVGHOSDVRDQWHULRUHQOHQJXDMHPDWHPiWLFR
GHWDOIRUPDTXHREWHQJDXQPRGHORTXHUHSUHVHQWHORTXHRFXUUHHQODUHDOLGDG
8VRGHORVFRQRFLPLHQWRVPDWHPiWLFRVSUHYLRVSDUDSRGHUHQFRQWUDUODVROXFLyQRVROX
FLRQHV GHO PRGHOR SODQWHDGR HQ HO SDVR DQWHULRU GH HVWD IRUPD VH SRGUi REWHQHU XQD
DSUR[LPDFLyQGHODVROXFLyQGHOIHQyPHQRTXHVHHVWiLGHDOL]DQGRHQHOSDVR
$QiOLVLVGHORVUHVXOWDGRV\ODVFRQFOXVLRQHVFRQVLGHUDQGRORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRVTXH
VHWLHQHQGHOSUREOHPD
9HULILFDFLyQDODOX]GHORVUHVXOWDGRVPDWHPiWLFRVGHODYDOLGH]GHOPRGHOR \HOSRGHU
SUHGLFWLYR TXH GLFKR PRGHOR WLHQH VREUH HO SUREOHPD RULJLQDO 3DUD HVWH SURFHVR SXHGH
XWLOL]DUVHODFRPSDUDFLyQFRQGDWRVREVHUYDGRV \RHOFRQRFLPLHQWRWHyULFRRSRUH[SH
ULHQFLDSHUVRQDOTXHVHWHQJDGHOSUREOHPD
El uso de tecnologías
(OWUDEDMRFRQSUREOHPDVDGTXLHUHXQDSHUVSHFWLYDYLJRURVDFXDQGRVHUHDOL]DHQFRQWH[WRVUHDOHV
\ VH XVD OD PRGHOL]DFLyQ (O XVR GH WHFQRORJtDV GLJLWDOHV MXHJD HQ OD PLVPD GLUHFFLyQ SXHV QR
VyOR RIUHFH PHGLRV TXH LQWHUYLHQHQ FRPR DSR\R FDOFXODGRUDV R FRPSXWDGRUDV SDUD VLPSOLILFDU
FiOFXORVYDORUDUDSUR[LPDFLRQHVHQWRUQRVYLUWXDOHVODVFXDOHVSHUPLWHQYLVXDOL]DUGLPHQVLRQHV
TXHGHRWUDPDQHUDVHUtD PX\GLItFLOGH LQFRUSRUDUHQ ODDFFLyQHGXFDWLYDFRPRHO PRYLPLHQWR
HQ *HRPHWUtD SHUR WDPELpQ SDUD PRGLILFDU HO VLJQLILFDGR GH DOJXQDV IDVHV \ REMHWLYRV GH OD
Fundamentos
Resolución de problemas
UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV &RQ WHFQRORJtD HV SRVLEOH VLPXODU VLWXDFLRQHV UHDOHV \ UHRUJDQL]DU ODV
GHPDQGDVFRJQLWLYDVTXHSODQWHDXQSUREOHPDUHGHILQLUODVHVWUDWHJLDVTXHVHSXHGHQGLVHxDU
(OVHQWLGRGHODFRQWH[WXDOL]DFLyQ\ODPDQLSXODFLyQFRQORVHQWRUQRVUHDOHVVHSXHGHDOWHUDUFRQ
ORV PHGLRVWHFQROyJLFRV(QODUHVROXFLyQ GHSUREOHPDVGRQGHSXHGHLQWHUYHQLU ODWHFQRORJtDVH
UHTXLHUH LQFOXLU RWUDV KDELOLGDGHV \ SURFHVRV TXH HVWiQ DVRFLDGRV D OD UHODFLyQ LQWHUDFWLYD HQWUH
FRQRFLPLHQWRSHGDJRJtD\WHFQRORJtDFRQGLFLRQHVTXHVRQSDUWHFDGDYH]PiVGHODVJHQHUDFLR
QHVGHHVWXGLDQWHVTXHDVLVWHQD ODHVFXHODOD PDQLSXODFLyQGHDUWHIDFWRVUHODFLyQHVSHFLDOFRQ
SURFHVRVYLVXDOHVPXOWLWDUHD³FRQHFWLYLGDGVRFLDO´HWF<HVWRQRUHILHUHVRODPHQWHD DUWHIDF
WRVODVSRVLELOLGDGHVTXHRIUHFH,QWHUQHWSDUD ODFRPXQLFDFLyQGRQGH ODGLVWDQFLDVHUHODWLYL]D
SHUPLWHQWUDEDMDUFRQSUREOHPDV\FRQSUR\HFWRVGHXQDIRUPDHQWHUDPHQWHGLVWLQWDDODTXHVH
UHDOL]DUtDVLQHVRVPHGLRV
3RUHVWHWLSRGHFRQVLGHUDFLRQHVHOXVRGHWHFQRORJtDVGHEHDVXPLUVHFRPRXQFRPSRQHQWHPX\
LPSRUWDQWHSDUDXQHQIRTXHFXUULFXODUEDVDGRHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
Diferentes niveles de complejidad de los problemas
(VVXVWDQFLDOTXHVHSURPXHYDODFRQIURQWDFLyQHVWXGLDQWLOFRQGLIHUHQWHVQLYHOHVGHFRPSOHMLGDG
HQ ORVSUREOHPDV PDWHPiWLFRVSXHVH[LVWH XQDUHODFLyQGLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDOHQWUHQLYHOHV
GHFRPSOHMLGDG\ODVRSRUWXQLGDGHVSDUDUHDOL]DUSURFHVRVPDWHPiWLFRV\QXWULUHOSURJUHVRGHOD
FRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD/DILORVRItDDVHJXLUHQHODXODYDUtDDIDYRUGHDFHQWXDUDFFLRQHVFRJQL
WLYDVGHPD\RUQLYHO8QDDFFLyQGHDXODHQFDPLQDGDDODFRQIURQWDFLyQSURJUHVLYDFRQFRPSOHML
GDGHVPD\RUHVQRHVFRQVLVWHQWHFRQHVWLORVHGXFDWLYRVTXHHQIDWL]DQODVDFFLRQHVVLPSOHVUHSHWL
WLYDVRGHSRFDH[LJHQFLDPHQWDO'HHVWDIRUPDODRUJDQL]DFLyQGHODOHFFLyQVHGHEHUHSHQVDUD
ODOX]GHHVWDYLVLyQ
(VWD RULHQWDFLyQ SRU VXSXHVWR QR VH SODQWHD DO PDUJHQ GH FRQVLGHUDFLRQHV SHGDJyJLFDV QR VH
WUDWDGHEXVFDUORFRPSOHMRSRUORFRPSOHMRHQVtPLVPRSXHVQRWRGRDVXQWRFRPSOHMRHVUHOH
YDQWH'HORTXHVHWUDWDHVTXHFRQWHPDVSHUWLQHQWHVPDWHPiWLFD\HGXFDWLYDPHQWHVHFRQIURQ
WHQ SUREOHPDV PDWHPiWLFRV FDGD YH] PiV FRPSOHMRV GH PDQHUD HVFDORQDGD 3RU PHGLR GH XQD
PD\RUSURIXQGLGDGHQORVWySLFRVVHIRUMDQPD\RUHVGHVWUH]DVSDUDDSUHQGHURWURVFRQWHQLGRV
$TXtVHSURSRQHQWUHVQLYHOHVGHFRPSOHMLGDG x 5HSURGXFFLyQ(QHVHQFLDVHUHILHUHDHMHUFLFLRVUHODWLYDPHQWHIDPLOLDUHVTXHGHPDQGDQOD
UHSURGXFFLyQGHFRQRFLPLHQWRV\DSUDFWLFDGRV$SHODQDFRQRFLPLHQWRGHKHFKRV\UHSUH
VHQWDFLyQ GH SUREOHPDV FRPXQHV UHFRQRFLPLHQWR GH FRVDV HTXLYDOHQWHV UHFROHFFLyQ GH
REMHWRV PDWHPiWLFRV R SURSLHGDGHV SURFHGLPLHQWRV UXWLQDULRV DSOLFDFLyQ GH DOJRULWPRV
HVWiQGDUPDQLSXODFLyQVHQFLOODGHH[SUHVLRQHVTXHSRVHHQVtPERORV IyUPXODV \FyPSX
WRVVHQFLOORV
3RUHMHPSORHQHOILQDOGHODHGXFDFLyQJHQHUDOEiVLFD
5HVROYHUODHFXDFLyQ[± [
(QFXHQWUHHOSURPHGLRGHORVQ~PHURV
Fundamentos
Resolución de problemas
6LVHGHSRVLWDHQXQDFXHQWDGHDKRUURFRORQHV\HOEDQFRRIUHFHXQSRUFLHQWRGH
LQWHUpV DQXDO FDOFXODU FXiQWR GLQHUR HQ LQWHUHVHV JDQDUi HVD FDQWLGDG GHSRVLWDGD DO FDER
GHXQDxR
x
x
&RQH[LyQ 6H EDVD HQ FDSDFLGDGHV TXH LQWHUYLHQHQ HQ HO QLYHO GH UHSURGXFFLyQ SHUR YD
PiVOHMRV5HPLWHDODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVTXHQRVRQUXWLQDULRVSHURVHGHVDUUROODQ
HQDPELHQWHVIDPLOLDUHVDOHVWXGLDQWHOD LQWHUSUHWDFLyQFRQH[LJHQFLDVPD\RUHVTXHHQHO
JUXSR GHUHSUHVHQWDFLyQ \ DOJR TXH OR GHILQH OD FRQH[LyQ HQWUH ORV GLYHUVRV HOHPHQWRV
HQSDUWLFXODUHQWUHGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHODVLWXDFLyQ
3RUHMHPSORHQHOILQDOGHODHGXFDFLyQJHQHUDOEiVLFD
8QDSDVWHOHUtDYHQGHTXHTXHVHQIRUPDFLUFXODU\FRQHOPLVPRJURVRUHQWDPDxRV
XQRVFRQGLiPHWURGHFPDFRORQHVRWURVFRQGLiPHWURGHFPD
FRORQHV¢&RQFXiOHVTXHTXHVVHREWLHQHXQDPHMRURIHUWD"([SOLTXH
5HIOH[LyQ(O HOHPHQWR VLJQLILFDWLYR HV OD UHIOH[LyQ UHDOL]DGD HQ DPELHQWHV TXH VRQ PiV
QRYHGRVRV\FRQWLHQHQPiVHOHPHQWRVTXHORVTXHDSDUHFHQHQHORWURQLYHOGHFRPSOHML
GDG6HSODQWHDDTXtODIRUPXODFLyQ\UHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPSOHMRVODQHFHVLGDGGH
DUJXPHQWDFLyQ \ MXVWLILFDFLyQ OD JHQHUDOL]DFLyQ HO FKHTXHR GH VL ORV UHVXOWDGRV FRUUHV
SRQGHQDODVFRQGLFLRQHVLQLFLDOHVGHOSUREOHPD\ODFRPXQLFDFLyQGHHVRVUHVXOWDGRV6H
H[LJHODSDUWLFLSDFLyQGHYDULRVPpWRGRVFRPSOHMRVSDUDVXVROXFLyQ
8QHMHPSORDGDSWDGRGHODSUXHED3,6$GHO
8QGRFXPHQWDOWHOHYLVLYRLQFOXtDXQGHEDWHVREUHODSRVLELOLGDGGHSUHGHFLUORVWHUUH
PRWRV(O'U0RUDOHVXQHVSHFLDOLVWDHQVLVPRORJtDDILUPy HQORVSUy[LPRVYHLQWH
DxRVODSRVLELOLGDGGHTXHRFXUUDXQWHUUHPRWRHQODFLXGDGGH6DQWD(XODOLDHVGRV
GHWUHV¢&XiOGHODVVLJXLHQWHVRSFLRQHVUHIOHMDPHMRUHOVLJQLILFDGRGHODDILUPDFLyQ
GHOVLVPyORJR"
$u SRUORTXHHQWUH\DxRVDSDUWLUGHDKRUDKDEUiXQWHUUHPRWR
HQODFLXGDGGH6DQWD(XODOLD
%HVPiVTXHòSRUORTXHVHSXHGHHVWDUVHJXURGHTXHKDEUiXQWHUUHPRWRHQOD
&LXGDGGH6DQ(XODOLDHQDOJ~QPRPHQWRHQORVSUy[LPRVDxRV
&/DSUREDELOLGDGGHTXHKD\DXQWHUUHPRWRHQODFLXGDG GH6DQWD(XODOLDHQDOJ~Q
PRPHQWRHQORVSUy[LPRVDxRVHVPD\RUTXHODSUREDELOLGDGGHTXHQRKD\DQLQ
J~QWHUUHPRWR
'1RVHSXHGHGHFLUORTXHVXFHGHUiSRUTXHQDGLHSXHGHHVWDUVHJXURGHFXiQGRWHQ
GUiOXJDUXQWHUUHPRWR
8QpQIDVLVFXUULFXODUTXHDVXPHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRVXHQIRTXHSULQFLSDOQRSXHGH
SULYLOHJLDUVRODPHQWHODUHDOL]DFLyQGHSUREOHPDVGHUHSURGXFFLyQ/RVSUREOHPDVGHFRQH[LyQR
UHIOH[LyQVRQORVTXHSRQGUiQHQPRYLPLHQWRPiVFDSDFLGDGHV1RVHWUDWDGHSURSRQHUODPD\R
UtDGHSUREOHPDVHQHVWRVGRVQLYHOHVVLQRTXHpVWRVVHLQWURGX]FDQGHDFXHUGRDODVFDUDFWHUtVWL
FDVGHODFODVHHOPRPHQWRHQODVHFXHQFLDGHOHFFLRQHVRHOWySLFR(VWHWLSRGHSUREOHPDVSUR
YRFD PiVSURFHVRV (Q ODHQVHxDQ]D \ DSUHQGL]DMHVHGHEHGLVHxDU XQDHVWUDWHJLD IRUPDWLYDTXH
XVHSUREOHPDVHQORVGLIHUHQWHVQLYHOHVGHFRPSOHMLGDGGHXQDIRUPDHTXLOLEUDGD\DSHJDGDDVX
FRQWH[WR+D\TXHWHQHUHQFXHQWDDGHPiVTXHXQSUREOHPDSRVHHXQDFRPSOHMLGDGGHDFXHUGRDO
Fundamentos
Resolución de problemas
HVWXGLDQWH3DUDXQJUXSRGHHVWXGLDQWHVSXHGHUHVXOWDUGHFRQH[LyQSHURSDUDRWURVGHUHIOH[LyQ
(VQHFHVDULRLQWHUSUHWDUHOFRQWH[WRHVSHFtILFRHQHOTXHVHHQFXHQWUD
Problemas, memorización y reflejos intelectuales
0HGLDQWHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQULTXHFLGD\UHGLPHQVLRQDGDSRUFRQWH[WRVUHDOHV\HOXVR
GH WHFQRORJtDV VH PRWLYD OD FRQVWUXFFLyQ GH DSUHQGL]DMHV (VWH HV XQ HQIRTXH TXH DVXPH HVD
SUHPLVDGHODYLVLyQFRQVWUXFWLYLVWDTXHVXVWHQWDODSROtWLFDHGXFDWLYDFRVWDUULFHQVH
(ODSUHQGL]DMHGHODV0DWHPiWLFDVVHUHDOL]DGHXQDPDQHUDSURJUHVLYDDSDUWLUGHFRQRFLPLHQWRV
DQWHULRUHV(OGRPLQLR\UHFXHUGRGHXQRVFRQRFLPLHQWRVGHEHQVHUEDVHSDUDORVVLJXLHQWHVVyOR
DVt VH SXHGH IRUPDU HQ OD PHQWH XQ FXHUSR FRKHUHQWH \ HVWUXFWXUDGR 3DUD SRGHU HQIUHQWDU SUR
EOHPDVQXHYRVVRQQHFHVDULRVFLHUWRVUHIOHMRVLQWHOHFWXDOHVTXHVLUYDQFRPRFRQRFLPLHQWRDVLPL
ODGR\DXWRPDWL]DGRVREUHSURFHGLPLHQWRVDOJRULWPRVRFLHUWRVUD]RQDPLHQWRVUHFXUUHQWHV(VWR
HVLQGLVSHQVDEOHSDUDTXHSURSRQJDKLSyWHVLVIRUPXOHHVWUDWHJLDVLGHQWLILTXHORVPHMRUHVSURFH
GLPLHQWRV\UXWDVGHWUDEDMRH LPDJLQH ORVFDPLQRV SDUDHQIUHQWDUXQSUREOHPD<DTXtSUHFLVD
PHQWHVHUHTXLHUHODPHPRUL]DFLyQ\HOIRUWDOHFLPLHQWRGHUHIOHMRVHQYDULDVGLPHQVLRQHV(VWRQR
GHEH YHUVH FRPR XQD IRUPD VLPSOLILFDGD SDUD FRQVWUXLU HO DSUHQGL]DMH GH FRQFHSWRVR PpWRGRV
VLQRFRPRXQDIRUPDHILFD]GHDFFHGHUDORTXH\DVHKDFRPSUHQGLGR
6HGHEHQSURPRYHURSRUWXQLGDGHVSDUDUHDOL]DUVtQWHVLVHQWUHQDUDOJRULWPRV\SURFXUDUODPHPR
UL]DFLyQ GH SURFHGLPLHQWRV R UD]RQDPLHQWRV FRPXQHV 3RU HMHPSOR ORV DOJRULWPRV GH VXPD
UHVWDPXOWLSOLFDFLyQGLYLVLyQGHQ~PHURVGLYHUVRVODVWDEODVGHVXPDU\PXOWLSOLFDUODVIyUPX
ODVQRWDEOHVHQWUHRWUDV
(VQHFHVDULRTXHORVGLYHUVRVWySLFRVVHUHSDVHQDORODUJRGHORVGLVWLQWRVDxRV3HURHVWRQRGHEH
KDFHUVHSRUPHGLRGHVLVWHPDWL]DFLRQHVJHQHUDOHVDUWLILFLDOHVVLQRSRUPHGLRGH QXHYRVSUREOH
PDV TXH KDJDQ UHFRUGDU LQWHOLJHQWHPHQWH ORV FRQRFLPLHQWRV DGTXLULGRV HQ HO SDVDGR \ SODQWHHQ
DVtRWUDVH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL]DMH
II. Ejes
Ejes
Cinco ejes disciplinares
Cinco ejes disciplinares
Se asumen cinco ejes transversales específicos a las Matemáticas que potencian algunas dimensiones curriculares relevantes para la enseñanza efectiva de esta materia:
x
x
x
x
x
La resolución de problemas como estrategia metodológica principal.
La contextualización activa como un componente pedagógico especial.
El uso inteligente y visionario de tecnologías digitales.
La potenciación de actitudes y creencias positivas en torno a las Matemáticas.
El uso de la Historia de las Matemáticas.
Estos ejes significan aquí prioridades, por lo que deben influir todos los elementos del currículo.
Estas prioridades se manifiestan en la selección de tópicos, en las indicaciones generales de
gestión y de método, en las indicaciones y sugerencias que acompañan conceptos y habilidades,
en la propuesta de planeamiento. Se busca que al implementarse esta propuesta curricular se
brinde importancia especial a cada uno de estos ejes, aunque no todos estos ejes generan impacto
de la misma forma en cada área o en cada año escolar.
Figura 1. Ejes disciplinares
La selección de estos ejes responde a condiciones del contexto educativo nacional:
x
x
En Costa Rica la resolución de problemas ha tenido hasta ahora un papel muy reducido y
cuando se ha planteado se ha hecho de manera abstracta sin llevarse efectivamente a la
acción de aula y en la mayoría de las ocasiones con una aproximación inadecuada (un
apéndice del discurso pedagógico o simples colecciones de estrategias para resolver problemas).13
Aunque se ha considerado acudir al entorno para la enseñanza, sin embargo se ha hecho
de forma artificial, sin provocar un compromiso estudiantil activo.
38
Ejes
Resolución de problemas y contextualización activa
x
x
'HLJXDOPDQHUDODWHFQRORJtDKDRFXSDGRHQORVGRFXPHQWRVRILFLDOHVXQOXJDUPX\Gp
ELO\HQODSUiFWLFDHGXFDWLYDVHKDQGDGRGLVWRUVLRQHVVHULDVHQVXXVR (OWHPDGHDFWLWXGHVFUHHQFLDV\HOGHOXVRGHODKLVWRULDKDQHVWDGRSUiFWLFDPHQWHDXVHQ
WHVGHORVSURJUDPDV\GHODSUiFWLFDHGXFDWLYD
/RVHMHV EXVFDQUHVSRQGHUDGHELOLGDGHVH[LVWHQWHVSHURWDPELpQSRVLFLRQDU OD (GXFDFLyQ0DWH
PiWLFDTXHVHGHVDUUROODHQHOSDtVFRQHVWiQGDUHVLQWHUQDFLRQDOHV/DDFFLyQGHORVFLQFRHMHVHQ
WRGRV ORV DxRV HGXFDWLYRV FRQWULEX\H D OD LQWHJUDFLyQ YHUWLFDO GHO FXUUtFXOR HVSHFLDOPHQWH SRU
PHGLR GH OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV \ OD FRQWH[WXDOL]DFLyQ DFWLYD TXH EXVFDQ DUWLFXODU WRGR HO
SODQ GH HVWXGLRV (O HIHFWR VLQpUJLFR GH HVWRV HMHV GLVFLSOLQDUHV EXVFD IDYRUHFHU XQD IRUPDFLyQ
PDWHPiWLFD GH FDOLGDG TXH D\XGH D JHQHUDU SHUVRQDV FRPSHWHQWHV UDFLRQDOHV UHVSRQVDEOHV \
FUtWLFDVSDUDODFRQVWUXFFLyQGHXQDVRFLHGDGFXOWDMXVWD\GHPRFUiWLFD
Resolución de problemas y contextualización activa
(OHQIRTXHSULQFLSDOGHHVWHFXUUtFXORHVODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV/DPD
QHUDPiVFRQYHQLHQWHGHSURPRYHUODLPSOHPHQWDFLyQGHOPLVPRHVFRORFDUHQHOFXUUtFXORFRPR
HMHVGLVFLSOLQDUHVHOUHVROYHUSUREOHPDVKDFHUORHQFRQWH[WRVUHDOHV\DGHPiVGDUOHDHVWDVDFFLR
QHVHOPD\RUUHOLHYH
/DIRUPXODFLyQTXHVHVHOHFFLRQDSDUDUHDOL]DUHVRHVSRUPHGLRGHGRVpQIDVLV
x /DUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRHVWUDWHJLDPHWRGROyJLFDSULQFLSDO
x 8QDFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDFRPRXQFRPSRQHQWHSHGDJyJLFRHVSHFLDO
(VWHHMHHVFRQVLVWHQWHFRQHOSURFHVRPDWHPiWLFR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
6HSUHWHQGHTXHHVWRVHMHVGLVFLSOLQDUHVGRPLQHQODHQVHxDQ]DGHORVFRQFHSWRV\KDELOLGDGHV\HO
GLVHxRGHODVWDUHDVPDWHPiWLFDV(OXVRLQWHQVR\DSURSLDGRGHWHFQRORJtDVHOXVRGHOD+LVWRULD
GHODV0DWHPiWLFDV\HOFXOWLYRGHDFWLWXGHVSRVLWLYDVVREUHODPDWHULDGHEHKDFHUVHIDYRUHFLHQGR
SUREOHPDV\XQDFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYD$HVRVHUHILHUHHOXVDUORVFRPRHMHVDUWLFXODGRUHV
$TXtVHSURSRQHTXHORVGRVSURSyVLWRVFHQWUDOHVGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVRFXSHQXQOXJDU
SUHSRQGHUDQWH(VRVLJQLILFD PRWLYDU ODRUJDQL]DFLyQGH ODDFFLyQGH DXODSRUPHGLRGHSUREOH
PDV\WDPELpQSURPRYHUHODSUHQGL]DMHGHHVWUDWHJLDVGHUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQODVGLVWLQWDV
iUHDVPDWHPiWLFDV6HSODQWHDXQDFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDTXHHVWLPXOHODDFFLyQHVWXGLDQWLOOR
TXHUHTXLHUHHOXVRLPSRUWDQWHGHPRGHORVVREUHODUHDOLGDGFHUFDQD
(OHOHPHQWRHVHQFLDOGHODFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDHVODPRGHOL]DFLyQ6HSXHGHQFRQWH[WXDOL]DU
ORVREMHWRVPDWHPiWLFRVGHYDULDVPDQHUDV3RUHMHPSORSXHGHRIUHFHUVHXQDLQWURGXFFLyQFRQWH[
WXDOSDUDDERUGDUDOJXQRVFRQFHSWRVRSURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRV³ItMHQVHTXHHQHVWDVDODGH
FODVHWHQHPRVGLVWLQWDVILJXUDVKR\YDPRVDHVWXGLDUORVWULiQJXORV´2WUDPDQHUDFRQWH[WXDOL
]DUXQDVLWXDFLyQPDWHPiWLFDVL-XDQWHQtDFRORQHV\JDVWyHQFDUDPHORV¢FXiQWRVFROR
QHVOHTXHGDQ"(VDVFRQWH[WXDOL]DFLRQHVVRQ~WLOHVHQPXFKDVFLUFXQVWDQFLDVHGXFDWLYDVSHURQR
DFWLYDQLQWHUHVHV\DFFLRQHVFRJQLWLYDVGHQLYHOVXSHULRUQLSURFHVRVPDWHPiWLFRVQRJHQHUDQXQ
Ejes
Tecnologías
LQYROXFUDPLHQWR HVWXGLDQWLO DFWLYR $O FRQWUDULR SDUD GHVSHUWDU HO LQWHUpV \ OD SDUWLFLSDFLyQ VH
SURSRQHXVDUSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHVTXHSURYRTXHQODFRQVWUXFFLyQRXVRGHPRGHORV6H
WUDWDGHGLVHxDUSUREOHPDVVDFDGRVGHODV LQIRUPDFLRQHVGHSUHQVDGHODHVFXHOD GH ODFRPXQL
GDG GH OD FODVH GH ,QWHUQHW /RV PLVPRV ³SUREOHPDV´ WUDGLFLRQDOHV TXH DSDUHFHQ HQ PXFKRV
OLEURV GH WH[WR FRPR DSpQGLFH SXHGHQ VHU HQULTXHFLGRV VL VH FRORFDQ HQ OD SHUVSHFWLYD GH OD
PRGHOL]DFLyQ\XVDGRVSDUDFRQVWUXLUFDSDFLGDGHVFRJQLWLYDVVXSHULRUHV 8QDFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDQRVHSXHGHUHDOL]DUGHODPLVPDPDQHUDHQWRGDVODViUHDVDOJXQDV
VHSUHVWDQPXFKRFRPR(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGR0HGLGDV'HLJXDOPDQHUDODVVLWXDFLRQHV
UHDOHV SXHGHQ SHUPLWLU XVDU WySLFRV GH YDULDV iUHDV 1R VH WUDWD GH TXH WRGRV ORV SUREOHPDV GH
DXOD VHDQ GH PRGHOL]DFLyQ SHUR TXH pVWRV VHDQ XQD SDUWH LPSRUWDQWH GH OD DFFLyQ HGXFDWLYD
5HVROYHUSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHVRIUHFHVLJQLILFDGRVVHQWLGRGHXWLOLGDG\PHGLRVGLYHUVRV
SDUDSRQHUHQMXHJRODVFDSDFLGDGHV\KDELOLGDGHVPDWHPiWLFDV\SHUPLWHDQGDPLRVSDUDODFRQV
WUXFFLyQGHORVDSUHQGL]DMHVGHVGHORFRQFUHWRKDFLDORDEVWUDFWR
Tecnologías
/DV WHFQRORJtDV GLJLWDOHV KDQ WHQLGR XQ H[WUDRUGLQDULR LPSDFWR WDQWR HQ OD SUiFWLFD FRPR HQ OD
LQYHVWLJDFLyQ HQ (GXFDFLyQ 0DWHPiWLFD $OJXQRV GH HVWRV UHFXUVRV VRQ LQVWUXPHQWRV GH FRQV
WUXFFLyQ \ H[SHULHQFLDV JHRPpWULFDV GH DQiOLVLV GH GDWRV PRGHODFLyQ \ VLPXODFLyQ GH FiOFXOR
DOJHEUDLFR ³WXWRUHV´ LQWHOLJHQWHV \ FDGD YH] PiV ORV HVSDFLRV YLUWXDOHV /DV FDOFXODGRUDV SRU
HMHPSORRIUHFHQSRVLELOLGDGHVGHGLVPLQXLUORVFiOFXORVUXWLQDULRV\FRQFHQWUDUORVHVIXHU]RVHQ
ORVSURFHVRVGHUD]RQDPLHQWRRGHDSOLFDFLyQPiVVLJQLILFDWLYRVSDUDHOGRPLQLRGHODV0DWHPi
WLFDV/DVFRPSXWDGRUDVSHUPLWHQ ODUHSUHVHQWDFLyQGHFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRV
REMHWRVPDWHPiWLFRVTXHDFXGHQIiFLOPHQWHDOPXQGRGHORVVHQWLGRV(VWDVWHFQRORJtDVQRVyOR
IDYRUHFHQ OD UHSUHVHQWDFLyQ PDWHPiWLFD P~OWLSOH VLQR WDPELpQ UHFXUVRV H[WUDRUGLQDULRV HQ OD
LQWHUDFFLyQ HVWXGLDQWHFRQRFLPLHQWR SHUPLWLHQGR XQ LQYROXFUDPLHQWR DFWLYR GHO VXMHWR HQ VX
DSUHQGL]DMH /D ,QWHUQHW DGHPiV HV XQR GH ORV PiV SRGHURVRV YHFWRUHV TXH GLUHFWD RWUDQVYHU
VDOPHQWHDPSOLILFDQSRWHQFLDOLGDGHVGHORVGLIHUHQWHVLQVWUXPHQWRVWHFQROyJLFRVHOODPLVPDDEUH
HQWRUQRVFXDOLWDWLYDPHQWHGLVWLQWRVSDUD ODHQVHxDQ]D \HODSUHQGL]DMHUHFXUVRVYDOLRVRVSDUD OD
FRQVWUXFFLyQGHP~OWLSOHVHVWUDWpJLFDVSHGDJyJLFDV(VWDVWHFQRORJtDVFRQILJXUDQHQJUDQPHGLGD
ODUHDOLGDGFRQWHPSRUiQHDGHODHGXFDFLyQ
7RGRDSXQWDDSRGHURVRVFDPELRVHQHOIXWXURGHORVWySLFRV\ORVHQIRTXHVHGXFDWLYRV0XFKRV
GH ORV SUREOHPDV \ WDUHDV HGXFDWLYDV TXH VH SODQWHDEDQ DQWHV GH HVWDV WHFQRORJtDV VH KDQ YLVWR
WUDQVIRUPDGRVFXDOLWDWLYDPHQWHDODYH]TXHKDQDSDUHFLGRQXHYRVUHWRV\HVFHQDULRVGLGiFWLFRV
/DV WHFQRORJtDV GH OD FRPXQLFDFLyQ KDQ IDYRUHFLGR PpWRGRV FRRSHUDWLYRV HQ HO DXOD \ IXHUD GH
HOODFRQVWUX\HQGRHVSDFLRVYLUWXDOHVGHFRPXQLFDFLyQ\GHLQWHUDFFLyQORTXHSXHGHWUDQVIRUPDU
PXFKRHOVLJQLILFDGRGHODODERUGHDXOD
Ejes
Actitudes y creencias
/DVWHFQRORJtDVSXHGHQVHUXQSRGHURVRDOLDGRSDUDSRWHQFLDUHOSHQVDPLHQWRPDWHPiWLFR<HV
SUHFLVDPHQWH HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HQ HQWRUQRV UHDOHV GRQGH pVWDV SXHGHQ DSRUWDU VXV
EHQHILFLRV GH OD PHMRU PDQHUD HQ FRQWH[WRV GH DSUHQGL]DMHV TXH IRUWDOH]FDQ ODV KDELOLGDGHV \
FDSDFLGDGHV PDWHPiWLFDV (Q HVH VHQWLGR UHIXHU]DQ OD LPSOHPHQWDFLyQ GH ORV HMHV GLVFLSOLQDUHV
DUWLFXODGRUHV\DxDGHQPHGLRVSDUDFRQHFWDUOD(GXFDFLyQ0DWHPiWLFDORFDOFRQWHQGHQFLDVHGX
FDWLYDV \FXOWXUDOHVGRPLQDQWHVHQHO PXQGR/DGLQiPLFD KLVWyULFDDFWXDOSURQRVWLFDXQDSHQH
WUDFLyQ PiV LQWHQVDGHWRGDVODVWHFQRORJtDVHQ ODYLGDVRFLDOGHOSDtV \GHO PXQGR/RVSURJUD
PDVGHHVWXGLRGHEHQSUHSDUDUDODSREODFLyQSDUDHVWDSHUVSHFWLYD
/D XWLOL]DFLyQ GH WHFQRORJtDV VLQ HPEDUJR QR FRQGXFH QHFHVDULDPHQWH DO PHMRUDPLHQWR GH ORV
DSUHQGL]DMHV HQ ODV 0DWHPiWLFDV SHRU D~Q XQ PDO XVR SXHGH GHELOLWDUORV /D WHFQRORJtD GHEH
HQWRQFHVLQWURGXFLUVHGHIRUPDSHUWLQHQWH\SUHFLVDHQORVGLVWLQWRVQLYHOHVHGXFDWLYRV\GHDFXHU
GRDODVFRQGLFLRQHVPDWHULDOHV\KXPDQDVH[LVWHQWHVHQHOFRQWH[WRHGXFDWLYRQDFLRQDO
Actitudes y creencias
(Q HO DSUHQGL]DMH VRQ GHFLVLYDV OD PRWLYDFLyQ \ HO LQWHUpV \ HQ JHQHUDO WRGDV ODV GLPHQVLRQHV
DIHFWLYDVSRUORTXHVHDGRSWDDTXtXQDYLVLyQLQWHJUDO\KXPDQLVWDVREUHODHQVHxDQ]D\DSUHQGL
]DMHGHODV0DWHPiWLFDV1RVHSXHGHQJHQHUDUDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVKDFLDODHQVHxDQ]D
\ DSUHQGL]DMH GH ODV 0DWHPiWLFDV VLQ TXH ORV SURJUDPDV ODV LQFRUSRUHQ GH IRUPD H[SOtFLWD \
RIUH]FDQPHGLRVSHGDJyJLFRVHQHVDGLUHFFLyQ
¢&XiOHVVRQGLVSDUDGRUHVGHDFWLWXGHVQHJDWLYDV"
x 0DWHPiWLFDVFRQXQEDMRQLYHOGHGHPDQGDGHODDFFLyQLQWHOLJHQWH\FUHDWLYD/RVpQIDVLV
HQ UHSHWLFLRQHV PHFiQLFDV GH SURFHGLPLHQWRV VLPSOHV HQ OD PHPRUL]DFLyQ VLQ VHQWLGRR
HQDFWLYLGDGHVPHQWDOHVSRFRH[LJHQWHVQRSURYRFDQHQODPD\RUtDGHHVWXGLDQWHVHPSDWtD
FRQODV0DWHPiWLFDV
x /DVHSDUDFLyQGHORVHQWRUQRVHVWXGLDQWLOHV
x 8QDRUJDQL]DFLyQGHOD OHFFLyQTXHQRIDYRUHFH ODSDUWLFLSDFLyQDFWLYD \FRODERUDWLYDGH
HVWXGLDQWHV\GRFHQWHV
x /DHQVHxDQ]DVHSDUDGDGHODVUHDOLGDGHVFXOWXUDOHV\ORVPHGLRVWHFQROyJLFRVGHODVRFLH
GDGPRGHUQD
x (OIUDFDVRHQHMHUFLFLRVSUREOHPDV\SUXHEDVTXHJHQHUDQXQDHVWHODGHEDMDDXWRHVWLPD\
FRQILDQ]D
/DV DFWLWXGHV HVWiQ HVWUHFKDPHQWH OLJDGDV D ODV FUHHQFLDV TXH LQFOXVR VH WRPDQ GH ORV iPELWRV
IDPLOLDUHV\FXOWXUDOHVGHODVRFLHGDG&RQRFHUHVWDVFUHHQFLDV\UHYHUWLUODVKDFLDRWUDVGHPD\RU
SRVLWLYLGDGKDFLDODV0DWHPiWLFDVGHEHVHUXQSURSyVLWRDLQFRUSRUDUHQWRGRVORVQLYHOHVHGXFD
WLYRV,GHQWLILFDU\WUDQVIRUPDUODVSHUFHSFLRQHVQHJDWLYDVHQSRVLWLYDVGHEHVHUSDUWHGHORVILQHV
GHXQDHGXFDFLyQDQFODGDHQORVUHTXHULPLHQWRVGHODVRFLHGDGHQTXHYLYLPRV
/DVDFWLWXGHVTXHVHGHVHDSURPRYHUVRQ
Ejes
Actitudes y creencias
3HUVHYHUDQFLD 8QD GH ODV SULQFLSDOHV DFWLWXGHV TXH VH EXVFD SRWHQFLDU HV DTXHOOD TXH KDFH GHO
WUDEDMR OD GHGLFDFLyQ \ OD SHUVLVWHQFLD HO PHGLR SDUD DERUGDU ODV 0DWHPiWLFDV /HMRV GH VHU XQ
DVXQWRSDUDSHUVRQDVVXSHUGRWDGDVORFLHUWRHVTXHODVGHVWUH]DVPDWHPiWLFDVVHHQWUHQDQ\GHVD
UUROODQ
&RQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV(VFRQVWDQWHHOUHFODPRSRUYLVXDOL]DUODXWLOLGDGGH
HVWRVDSUHQGL]DMHVSDUDODYLGD&RQODFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDVHRIUHFHXQDYDOLRVDRSRUWXQLGDG
SDUD SHUPLWLU GH IRUPD SHUVSLFD] XQ YtQFXOR FRQ OD UHDOLGDG HVWXGLDQWLO (O XVR GH WHFQRORJtDV
GLJLWDOHVGLYHUVDVUHVXOWDUiWDPELpQXQLQVWUXPHQWRSDUDIDYRUHFHUHVWDFRPSUHQVLyQGHOFRQWH[WR
\ VX FHUFDQtD FRQ HO HQWRUQR 'H OD PLVPD PDQHUD HO SURJUHVR HQ OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD
JHQHUDOSDUDUHVROYHUSUREOHPDVSHUPLWHIRPHQWDUHVWDSHUFHSFLyQ\DFWLWXG
3DUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ FRODERUDWLYD /RJUDU TXH FDGD HVWXGLDQWH VH FRPSURPHWD HQ OD FRQVWUXF
FLyQGHVXSURSLRDSUHQGL]DMHHVXQDFRQGLFLyQEiVLFD/DRUJDQL]DFLyQGHODOHFFLyQGHEHRIUHFHU
RSRUWXQLGDGHVSDUDODSDUWLFLSDFLyQHVWXGLDQWLODFWLYDHLQWHUDFWLYD
$XWRHVWLPDHQUHODFLyQFRQHOGRPLQLRGHODV0DWHPiWLFDV0XFKDVSHUVRQDVVLHQWHQTXHIUDFD
VDQDOQRSRGHUDERUGDUFRQp[LWRWDUHDVPDWHPiWLFDV&RQODSUHVHQFLDGHHVFDOHUDVSHGDJyJLFDV
DSURSLDGDV \ OD H[LVWHQFLD GH QLYHOHV GH SURIXQGLGDG GLVWLQWRV VH WHQGUi OD SRVLELOLGDG GH GDU
IRUPDDODVH[LJHQFLDVSHUVRQDOHVSDUDEXVFDUHOGHVDUUROORGHHVWDDXWRHVWLPD
5HVSHWRDSUHFLR\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV6LELHQQRWRGDVODVSHUVRQDVYDQDUHODFLRQDUVH
FRQODV0DWHPiWLFDVGHODPLVPDPDQHUDHQVXVYLGDVQLWRGRVYDQDWHQHUODVPLVPDVKDELOLGDGHV
SDUDVXPDQHMRHVLPSRUWDQWHTXHVHGHVDUUROOHXQUHVSHWRGHOOXJDUTXHRFXSDHQHOFRQRFLPLHQ
WR \ OD FXOWXUD GH OD KXPDQLGDG 3DUD HVRUHVXOWDQ VXVWDQFLDOHV ORV HOHPHQWRV TXH VH DSRUWH D OD
UHIOH[LyQUHFXUULHQGRD P~OWLSOHV PHGLRVFRPR ODKLVWRULD OD ILORVRItD OD LQJHQLHUtD ODVDUWHV \
RWUDVGLVFLSOLQDVHQODVTXHODV0DWHPiWLFDVVRQSDUWHIXQGDPHQWDO
$O LJXDO TXH VXFHGH FRQ ODV FDSDFLGDGHV PDWHPiWLFDV HO SURJUHVR GH ODV DFWLWXGHV \ FUHHQFLDV
SRVLWLYDVKDFLDODV0DWHPiWLFDVVHGHEHSURPRYHUHQODDFFLyQGHDXODDWUDYpVGHODLQWHUYHQFLyQ
GRFHQWHVHGHEHQWHQHUHQPHQWHHVWRVSURSyVLWRVHQODVGLYHUVDVWDUHDVPDWHPiWLFDV'HODPLV
PD PDQHUD OD FRQWH[WXDOL]DFLyQ UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV WHFQRORJtD \ OD KLVWRULD DPSOtDQ ODV
SRVLELOLGDGHVSDUDDSUHFLDUHOSDSHOGHODV0DWHPiWLFDV
Historia de las Matemáticas
2WURGHORVHMHVGLVFLSOLQDUHVHVHOXVRGH+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVHQODHQVHxDQ]D
&RPRORVREMHWRVPDWHPiWLFRVFRUUHVSRQGHQDODVIRUPDVRLQVWUXPHQWRVPHGLDQWHORVFXDOHVORV
VHUHVKXPDQRVRUJDQL]DQORVIHQyPHQRVGHVXHQWRUQRRUHVSRQGHQDVXVUHWRVHVUHOHYDQWHFRQR
FHUFyPRHVHSURFHVRVHKDGHVDUUROODGR $TXtVHVXEUD\DQ ORVDVSHFWRVFRQVWUXFWLYRVDFWLYRV \
GLQiPLFRVGHORVREMHWRVPDWHPiWLFRVVRQSURGXFFLRQHVLQIOXLGDVSRUFRQWH[WRVVRFLDOHV\FRPR
UHVSXHVWDDODVFRQGLFLRQHVGHVXPHGLR
(V UHOHYDQWH SDUD OD SHUVSHFWLYD GH HVWH FXUUtFXOR HO WUDEDMR FRQ SUREOHPDV HQ FRQWH[WRV UHDOHV
EXVFD TXH HQ HO DXOD VH UHLQYHQWHQ RUHFRQVWUX\DQ ORV FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV PDWHPiWLFRV
Ejes
Historia de las Matemáticas
TXHVHHVWXGLDQ(QWUDUHQFRQWDFWRFRQODKLVWRULDGHODFRQVWUXFFLyQGHHVRVREMHWRVPDWHPiWLFRV
IDYRUHFHVXDSUHQGL]DMH
/D+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVSHUPLWHURPSHUFRQHOHVTXHPDGHTXH ODV0DWHPiWLFDVVRQXQD
FROHFFLyQ GH D[LRPDV WHRUHPDV SUXHEDV \ GRQGH OR HVHQFLDO HV OD FODULGDG OyJLFD GH VXV DUJX
PHQWRV$OFRORFDUORVREMHWRVPDWHPiWLFRVHQFRQWH[WRVVRFLRFXOWXUDOHVVHSHUPLWHYLVXDOL]DUOD
SDUWLFLSDFLyQGHKHXUtVWLFDVGXGDVHUURUHVFRQFHSFLRQHVHTXLYRFDGDVH LQFOXVRODH[LVWHQFLDGH
UHWURFHVRV FRJQRVFLWLYRV HQ DOJXQRV FDPSRV 0XFKDV GH ODV LGHDV PDWHPiWLFDV KDQ GHSHQGLGR
VLHPSUHGHVLWXDFLRQHVFRQWH[WXDOHV\GHOPRPHQWRHQODKLVWRULDFRPRSRUHMHPSORHOVLJQLILFD
GRGHSUXHEDULJRUHYLGHQFLDHWF/D+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVDSXQWDODXQDYLVLyQKXPDQLVWD
GH ODV 0DWHPiWLFDV HQ FXDQWR VXEUD\D VX FDUiFWHU GH FRQVWUXFFLyQ VRFLRFXOWXUDO )RUWDOHFHU HVWD
DSUR[LPDFLyQFRQWULEX\HDXQDIRUPDFLyQHQFRQFRUGDQFLDFRQILQHVGHODHGXFDFLyQFRVWDUULFHQ
VH
6HGHEHQWHQHUHQFXHQWDPXFKDVPiVGLPHQVLRQHVTXHDTXHOODVDVRFLDGDVVyORDORVUHVXOWDGRVR
GHVDUUROORVPDWHPiWLFRVDEVWUDFWRVWDPELpQVRQUHOHYDQWHVODVPRWLYDFLRQHVLQGLYLGXDOHVRFROHF
WLYDVODVFRQGLFLRQHVPDWHULDOHV\VRFLDOHVGHXQDUHDOLGDGHVSHFtILFDHQODDFFLyQSHGDJyJLFDVH
GHEHQLQFOXLUODV0DWHPiWLFDVHQVXFRQWH[WR\HVWRDSHODDOD+LVWRULD
1RVHSURSRQGUiDTXt OD+LVWRULDFRPRFRQWHQLGRDHYDOXDUSDUDDVtRIUHFHUIOH[LELOLGDGDOJHV
WLRQDUVXLQWURGXFFLyQHQXQPHGLRHGXFDWLYRQDFLRQDOGRQGHHOXVRGHODKLVWRULDGHODV0DWHPi
WLFDVQRKDIRUPDGRSDUWHUHOHYDQWHGHORVSURJUDPDVHVFRODUHVQLGHODVWUDGLFLRQHVSHGDJyJLFDV
(OXVRGHOD+LVWRULDGH ODV0DWHPiWLFDVFRPSOHPHQWD ORVRWURVHMHV \SHUPLWHUHIRU]DUORV+D\
XQD VLQHUJLD (O LPSDFWR PiV LPSRUWDQWH GHO XVR GH HVWD GLVFLSOLQD VLQ HPEDUJR QR VH SXHGH
REVHUYDUHQUHODFLyQFRQKDELOLGDGHVHVSHFtILFDVVLQRPiVELHQHQHOPHGLDQR\ODUJRSOD]RVSXHV
HVSRFRDSRFRTXHVHYDQFRPSUHQGLHQGRVXVOtPLWHV\SHUVSHFWLYDV
/D+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVQRVyORRIUHFHUHFXUVRVPX\YDOLRVRVSDUDODDFFLyQGHDXODVLQR
TXHSRWHQFLDXQDSHUVSHFWLYD\XQDYDORUDFLyQVREUHODGLVFLSOLQDTXHHVUHOHYDQWHSDUDHODSUHQ
GL]DMH HIHFWLYR \ PiV D~Q SDUD XQD FRPSUHQVLyQ FXOWD GH ODV 0DWHPiWLFDV XQ LPSHUDWLYR SDUD
WRGDSHUVRQDHQHOHVFHQDULRHQTXHYLYLPRV
III. Gestión y planeamiento
pedagógicos
Gestión y planeamiento pedagógicos
La organización de las lecciones
/DIRUPDFRPRVHLQWHUSUHWD\GHVDUUROODHOFXUUtFXORHQHODXODVHOODPDJHVWLyQFXUULFXODUHQOD
TXH LQWHUYLHQHQ YDULRV IDFWRUHV 3RU XQD SDUWH ODV FRQGLFLRQHV VRFLRHFRQyPLFDV \ FXOWXUDOHV
LQGLYLGXDOHV \ FROHFWLYDV FRQ IRUWDOH]DV \ GHELOLGDGHV SRU RWUR ODGR LQWHUYLHQHQ ORV PHGLRV
QRUPDV \ UHFXUVRV JHQHUDOHV TXH DSRUWDQ ODV LQVWLWXFLRQHV HGXFDWLYDV QDFLRQDOHV DGHPiV GHO HQ
WRUQRSURSLDPHQWHHGXFDWLYRGRFHQWHVGHRWUDVPDWHULDVDGPLQLVWUDWLYRVSHUVRQDOGHDSR\R(Q
HVHFRQWH[WRHVTXHVHGHVDUUROODODLPSOHPHQWDFLyQFX\DSDUWHFHQWUDOHVWiHQHOHVWLORFRQTXHVH
RUJDQL]DODDFFLyQGHDXOD
(VWHFDStWXORDERUGDUiODJHVWLyQ\HOSODQHDPLHQWRHGXFDWLYRHQYDULDVVHFFLRQHV
x /DRUJDQL]DFLyQGHODVOHFFLRQHV
x ,QGLFDFLRQHVJHQHUDOHV
La organización de las lecciones
&RPRVHKDHQIDWL]DGRODPHGLDFLyQSHGDJyJLFDHVGHFLVLYDSDUDHOORJURGHORVSURSyVLWRVHGX
FDWLYRV TXH VH SODQWHD SRU HVR DTXt VH VXJLHUHQ RSFLRQHV SDUD JHVWLRQDU SHGDJyJLFDPHQWH OD
DFFLyQHQODVDXODVFRVWDUULFHQVHV
Un estilo para organizar las lecciones
$TXtVHVXJLHUHXQHVWLORSDUDRUJDQL]DUODVOHFFLRQHV GRQGHVHDSR\HODPXOWLGLUHFFLRQDOLGDGGH
ORV DSRUWHV HVWXGLDQWLOHV \ GRFHQWHV GRQGH KD\D XQD SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ XQD FRQVWUXFFLyQ
FROHFWLYD GH VLJQLILFDGRV SDUD DVt DFWLYDU SURFHVRV PDWHPiWLFRV TXH KDJDQ SURJUHVDU OD FRPSH
WHQFLDPDWHPiWLFD
(QHOGHVDUUROORGHODVOHFFLRQHVKD\GRVHWDSDVTXHVHSXHGHQGLVWLQJXLUSRUORVSURSyVLWRVGHOD
HQVHxDQ]D\DSUHQGL]DMH
x (WDSDHODSUHQGL]DMHGHFRQRFLPLHQWRV
x (WDSDODPRYLOL]DFLyQ\DSOLFDFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRV
/DSULPHUDHWDSDHVDTXHOODHQODTXHVHYDDUHDOL]DUHODSUHQGL]DMHGHFRQRFLPLHQWRVQXHYRVOD
VHJXQGDRFXUUHXQDYH]UHDOL]DGDODSULPHUD\EXVFDUHIRU]DU\DPSOLDUHOSDSHOGHORVDSUHQGL]D
MHVUHDOL]DGRV(VWD~OWLPDHWDSDSXHGHUHDOL]DUVHHQFXDOTXLHUPRPHQWRSRVWHULRUQRQHFHVDULD
PHQWHGHIRUPDLQPHGLDWDDODSULPHUD(QODSULPHUDHWDSDVtUHVXOWDFRQYHQLHQWHTXHVHUHDOLFH
HQXQDOHFFLyQRHQXQDVHFXHQFLDGHOHFFLRQHV
6HSURSRQHDTXtXQHVWLORGHRUJDQL]DFLyQGHODOHFFLyQGRQGHVHSURPXHYHODLQWURGXFFLyQ\HO
DSUHQGL]DMHGHORVQXHYRVFRQRFLPLHQWRVVLJXLHQGRFXDWURSDVRVRPRPHQWRVFHQWUDOHV
3URSXHVWDGHXQSUREOHPD
7UDEDMRHVWXGLDQWLOLQGHSHQGLHQWH
'LVFXVLyQLQWHUDFWLYD\FRPXQLFDWLYD
&ODXVXUDRFLHUUH
Gestión y planeamiento pedagógicos
La organización de las lecciones
3URSXHVWDGHXQSUREOHPD
(Q HVWD SULPHUD IDVH VH FRORFD FRPR XQ SXQWR GH SDUWLGD XQ SUREOHPD FRQWH[WXDOL]DGR FXDQGR
UHVXOWHSHUWLQHQWHXQGHVDItRLQLFLDORXQDDFWLYLGDGSDUDSURYRFDUODLQGDJDFLyQ
(VWDSURSXHVWDVXSRQHXQDHVFRJHQFLDDSURSLDGDFRQEDVHHQHO OXJDUTXHRFXSDHOFRQWHQLGR \
ODVH[SHFWDWLYDVGHDSUHQGL]DMHGHQWURGHODSURJUDPDFLyQGHOFXUVR\ODVFRQGLFLRQHVHVSHFtILFDV
GHOJUXSRGHHVWXGLDQWHVFRQHOTXHVHWUDEDMD
7UDEDMRHVWXGLDQWLOLQGHSHQGLHQWH
(QHVWDIDVHVHRIUHFHWLHPSRVSDUDHOWUDEDMRLQGLYLGXDOHQSDUHMDVRHQVXEJUXSRV
(QODPLVPDVHGDQYDULDVVXEIDVHV
x DSURSLDFLyQGHOSUREOHPD
x IRUPXODFLyQGHHVWUDWHJLDVKLSyWHVLVSURFHGLPLHQWRV
x UHVROXFLyQGHOSUREOHPDRLQYHVWLJDFLyQHVWXGLDQWLO
(VWD IDVH VH FRQVLJQD FRPR XQD ³IDVH LQGHSHQGLHQWH´ HQ FXDQWR TXH QR KD\ XQD LQWHUYHQFLyQ
GRFHQWHGLUHFWDPHQWH\VHGHMDDODSHUVRQDHQIUHQWDUHOSUREOHPDSRUVtPLVPD1RKD\DSUHQGL
]DMH VLJQLILFDWLYR VLQ HVWD HWDSD GH FRQIURQWDFLyQ FRQ HO SUREOHPD $O UHDOL]DUVH HQ HO DXOD VLQ
HPEDUJRHVQHFHVDULDXQDDFFLyQGRFHQWHDSURSLDGDSUHFLVD\DFWLYD
(QHVWDIDVHODSHUVRQDGHEHFRQRFHUDOJXQDHVWUDWHJLDTXHOHSHUPLWDUHVROYHUHOSUREOHPDSHUR
QRDTXHOODTXHVHEDVHHQHOFRQRFLPLHQWRTXHVHGHVHDHQVHxDU 3RURWUDSDUWHFRQYLHQHTXHHO
SUREOHPDSXHGDSHUPLWLUHOXVRGHYDULDVHVWUDWHJLDV
'LVFXVLyQLQWHUDFWLYD\FRPXQLFDWLYD
&RQODJXtDGRFHQWHHVWHWHUFHUPRPHQWRSHUPLWHHVSDFLRVSDUDODYDORUDFLyQ \FRQWUDVWDFLyQGH
UHVXOWDGRVVROXFLRQHVRHODERUDFLRQHVDSRUWDGDVHQWUDQGRHQMXHJRODDUJXPHQWDFLyQ\ODFRPX
QLFDFLyQ
&ODXVXUDRFLHUUH
(VWD FODXVXUD R FLHUUH SHUPLWH XQD DFWLYLGDG TXH ³FRQFOX\H´ SHGDJyJLFDPHQWH HO WHPD R ORV
FRQWHQLGRVWUDEDMDGRV6HWUDWDGHXQDVtQWHVLVFRJQRVFLWLYDIXQGDPHQWDOSDUDHODSUHQGL]DMH SRU
PHGLRGHHVWDDFFLyQGRFHQWHVHRIUHFHXQ³YtQFXOR´FRQHOVDEHUPDWHPiWLFRTXHKDFRQVWUXLGR
OD FRPXQLGDG SURIHVLRQDO GH PDWHPiWLFDV (V LPSRUWDQWH TXH HVWD FODXVXUD QR VHD DUWLILFLDO R
DOHMDGDGHOSURFHVRUHFLpQYLYLGR
6HWUDWD GH OD DGTXLVLFLyQ \ HVWUXFWXUDFLyQ GH FRQRFLPLHQWRV FRQFHSWRV SURFHGLPLHQWRV PpWR
GRVTXHVHXVDURQDORODUJRGHOSURFHVR6HFRQIURQWDFRQHOVDEHU FRQRFLGRDXQTXHGHPDQHUD
DFFHVLEOH $TXt VH SXHGH LQFLGLU VREUH ODV HVWUDWHJLDV VL KXELHUD YDULDV LQWURGXFLU XQ DQiOLVLV
FUtWLFR GH ODV DFFLRQHV UHDOL]DGDV \ SURSRQHU DFWLYLGDGHV FRPSOHPHQWDULDV TXH IRUWDOH]FDQ OD
FRPSUHQVLyQGHORVFRQRFLPLHQWRVWUDEDMDGRV5HVXOWDFRQYHQLHQWHTXHVHUHIRUPXOHQSRUHVFULWR
ORVQXHYRVFRQRFLPLHQWRVDGTXLULGRVVLHPSUHFRQODD\XGDGRFHQWH
Gestión y planeamiento pedagógicos
La organización de las lecciones
(QODHWDSDGHPRYLOL]DFLyQ\DSOLFDFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRVDSUHQGLGRVVHWUDWDGHREWHQHU
TXH VH WUDEDMHQ GH IRUPD PHFiQLFD DOJXQRV GH ORV SURFHGLPLHQWRV DSUHQGLGRV TXH DPSOtHQ VX
GRPLQLRGHODVIRUPDVGHH[SUHVLyQRUHSUHVHQWDFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRVFRPRIyUPXODVVtP
ERORV JUiILFDV \ GLDJUDPDV < WDPELpQ LQFOX\H OD DSOLFDFLyQ GH ORV QXHYRV FRQRFLPLHQWRV HQ
FRQWH[WRVGLIHUHQWHV(VXQDHWDSDHQODTXHVHSXHGHUHDOL]DUFRQH[LyQFRQRWUDViUHDV\DOJXQD
UHIOH[LyQ DGLFLRQDO (Q HVWD HWDSD VH SODQWHD OD HYDOXDFLyQ GH ORV FRQRFLPLHQWRV DSUHQGLGRV (V
LPSRUWDQWH TXH QR VH LQFXUUD HQ UHSHWLFLRQHV H[FHVLYDV \ GHVDUUROOR GH DFWLYLGDGHV VLQ LQWHUpV
GHEHQ VHU WDUHDV SDUD UHIRU]DU XQ FRQRFLPLHQWR DSUHQGLGR \D TXH VLHPSUH HV SRVLEOH HQFRQWUDU
SUREOHPDV \ DFFLRQHV TXH FRPSOHPHQWHQ VHxDODQGR DVSHFWRV SRFR GHVDUUROODGRV R PRVWUDQGR
FDPLQRVPRWLYDGRUHVGHDSOLFDFLyQGHHVWRVFRQRFLPLHQWRV
(OGHVDUUROOR\ODFRPELQDFLyQGHHVWDVHWDSDV\HLQFOXVRODVFXDWURIDVHVGHODSULPHUDHWDSD
VRQ SDUWH GHO SODQHDPLHQWR GRFHQWH 1R GHEHQ YHUVH GH PDQHUD OLQHDO QL FRPR XQD VHFXHQFLD
REOLJDWRULD(VFRQYHQLHQWHFRPHQ]DUXQD OHFFLyQSRUPHGLRGHXQSUREOHPDSHURDQWHVGHLUD
XQWHPD QXHYRSXHGHHPSH]DUVHFRQ OD PRYLOL]DFLyQ \DSOLFDFLyQGHFRQRFLPLHQWRVDSUHQGLGRV
TXHVH MX]JXHQ QHFHVDULRVSDUDDYDQ]DUHQ ORVQXHYRVDSUHQGL]DMHV6LHPSUHVHGHSHQGHUiGH OD
QDWXUDOH]DGHORVWySLFRV\GHODVFRQGLFLRQHVHQHODXOD
(VWHHVWLORGHRUJDQL]DFLyQGHODVOHFFLRQHVHVWUDQVYHUVDOHQODHQVHxDQ]DGHORVWHPDVPDWHPiWL
FRVTXHFRPSRQHQHOSURJUDPDHVFRODU3HURHVPiVTXHHVRVHSXHGHGHVDUUROODUHQRWUDVPDWH
ULDV(OHQWUHQDPLHQWRHQOD PHWRGRORJtDSURSXHVWDSURPXHYHDGHPiVHOGHVDUUROORGHFDSDFLGD
GHVSDUDUHDOL]DULQYHVWLJDFLyQHQRWUDV&LHQFLDVQDWXUDOHVRVRFLDOHV\HQODVKXPDQLGDGHV(VRHV
DVt SRUTXH HO PpWRGR VHJXLGR HV VLPLODU DO TXH GRPLQD HQ OD FRQVWUXFFLyQ GH FRQRFLPLHQWR HV
GHFLU HQ OD LQYHVWLJDFLyQ SUREOHPD SODQWHRKLSyWHVLVFRQMHWXUD UHVROXFLyQ FRQWUDVWDFLyQ GH
VROXFLRQHVFRQVLJQDFLyQGHUHVXOWDGRVHQUHODFLyQFRQHOVDEHU
Consideraciones sobre el estilo para organizar las lecciones
(Q HVWH HQIRTXH ORV SUREOHPDV GHELGDPHQWH FRQWH[WXDOL]DGRV FRQVWLWX\HQ XQD IXHQWH GH OD TXH
SDUWH HO SURFHVR GH DSUHQGL]DMH (VWRV SUREOHPDV VLUYHQ FRPR VLWXDFLRQHV QR VyOR SDUD DSOLFDU
FRQFHSWRVRSURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRVVLQRWDPELpQSDUDFRQVWUXLUORV'HORTXHVHWUDWDHVTXH
VHSXHGDQGHVDUUROODUODV0DWHPiWLFDVQHFHVDULDVHQHOSUREOHPDDGHPiVGHODFRPSUHQVLyQGHODV
DFFLRQHV TXH UHDOL]DQ 6H UHDOL]D XQD DFWLYLGDG HQ OD FXDO VH SDVD GH HVWDEOHFHU HVWUDWHJLDV PX\
FHUFDQDV DO FRQWH[WR HVSHFtILFR XVDGR KDFLD RWUDVGH PD\RU JHQHUDOLGDG &XDQGR HVWR VXFHGH VH
DSHODDXQPRGHORTXHSXHGHVHUXVDGRHQRWUDVVLWXDFLRQHVSDUDUHVROYHURWURVSUREOHPDVGLIH
UHQWHVDXQTXHSDUHFLGRV0D\RUHVQLYHOHVGHJHQHUDOL]DFLyQ \DEVWUDFFLyQRIUHFHUiQSRVLELOLGD
GHVPDWHPiWLFDVPiVDPSOLDV
(Q HVWH HVWLOR GH RUJDQL]DFLyQ GH ODV OHFFLRQHV VH GDQ LQWHUDFFLRQHV WDQWR HQWUH HVWXGLDQWHV \
GRFHQWHVFRPRHQWUHHVWXGLDQWHVVHSUHVHQWDQGLiORJRVPDWHPiWLFRV(VUHOHYDQWHSURSRUFLRQDUOD
LQIRUPDFLyQ VXILFLHQWH SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH WHQJD D VX GLVSRVLFLyQ ORV DQWHFHGHQWHV \ OD
LQGDJDFLyQTXHSODQWHDHOSUREOHPDSDUDOXHJRFODVLILFDULQWHUSUHWDU\FRQVWUXLU
(V PHGXODUXQD LQWHUYHQFLyQGRFHQWHHQWpUPLQRVGHJXtDDVHVRUDPLHQWR\ IRUPXODFLyQGHSUH
JXQWDVDSURSLDGDVSHURFRQSOHQDFRQFLHQFLDGHOPRPHQWRHQTXHGHEHDFWXDU\HQHOTXHVHGHEH
GHMDUFRQIURQWDUHOSUREOHPD1RFRQYLHQHRIUHFHUODUHVSXHVWDRODUXWDGHVROXFLyQDOSUREOHPD
SXHV VH TXLWD OD SRVLELOLGDG GH DFWLYDU ODV DFFLRQHV FRJQLWLYDV TXH VRQ ODV TXH YDQ D SURYRFDU
Gestión y planeamiento pedagógicos
La organización de las lecciones
DSUHQGL]DMH\GHVDUUROORGHFDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDV6LQHPEDUJRHQFLHUWRVFDVRVVHWHQGUiTXH
RIUHFHUVROXFLRQHV\UHVSXHVWDVFXDQGRODRHOHVWXGLDQWHQRSXHGDDFWXDUGHPDQHUDDXWyQRPD
'HORTXHVHWUDWDHVGHWHQHUXQDSHUVSHFWLYDJHQHUDOGRQGHVHEXVTXHJHQHUDUHVWDDFFLyQLQGH
SHQGLHQWH
&RQYLHQH TXH ODV LQGLFDFLRQHV VHDQ DSHQDV ODV QHFHVDULDV SDUD TXH VH VLJD OD DFWLYLGDG HVWDV
LQGLFDFLRQHVGHEHQVHUDMXVWDGDVLQGLYLGXDOPHQWH6HEXVFDFUHDUXQDFXOWXUDGLIHUHQWHDODTXHHV
IUHFXHQWHHQWUHHVWXGLDQWHVGRFHQWHV\SDGUHVGHIDPLOLDHOWUDEDMRGRFHQWHQRVHGHEHYHUFRPR
HOGH³UHVROYHUOH´ORVSUREOHPDVDFDGDHVWXGLDQWH(VWHHVWLORSURPXHYHX³REOLJD´DFRPSURPH
WHUVHHQHODSUHQGL]DMH\DWHQHUXQDDFWLWXGSDUWLFLSDWLYD
8Q DVXQWR LPSRUWDQWH XQ PLVPR SUREOHPD SXHGH VHUYLU D ILQHV GLVWLQWRV VHJ~Q ODV FRQGLFLRQHV
HVWXGLDQWLOHV VL \D VH GRPLQDQ ORV FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV PDWHPiWLFRV TXH LQYROXFUD HO
SUREOHPD VH WUDWD PiV ELHQ GH XQ HMHUFLFLR GH UHIRU]DPLHQWR R GH OD DSOLFDFLyQ VHQFLOOD GH XQ
FRQWHQLGR /RV SUREOHPDV HQ OD DILUPDFLyQ GH DSUHQGL]DMHV SRQHQ HQ PRYLPLHQWR DSUHQGL]DMHV
ORJUDGRVSUHYLDPHQWH3RUHVRHVIXQGDPHQWDOXQDDFFLyQGRFHQWHTXHLGHQWLILTXHFRQSUHFLVLyQ
HOSDSHOTXHXQSUREOHPDSXHGHMXJDUFRQEDVHHQHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLO
/RV SUREOHPDV TXH VH SUHVHQWDQ GHEHQ WHQHU FLHUWD FRPSOHMLGDG VXSRQLHQGR TXH QR VH SRVHHQ
WRGRV ORV PHGLRV FRQFHSWRV R SURFHGLPLHQWRV SDUD UHVROYHUOD 3UHFLVDPHQWH HQ HVD FRQIURQWD
FLyQVHSRGUiDFFHGHURHODERUDUORVUHFXUVRVWHyULFRVTXHGHQVROXFLyQDOSUREOHPDSODQWHDGR
(QHVWHHVWLORODVSHUVRQDVVHYHQFRQIURQWDGDVDGLVWLQWRVWLSRVGHWDUHDV\H[SORUDFLRQHVFRQOD
DFFLyQGRFHQWHVHYHQPRWLYDGDVSDUDHQFRQWUDUUHVSXHVWDVRFRQGHQVDUVXVDSRUWHVUHDOL]DQGRORV
SURFHVRVPDWHPiWLFRVGH5HSUHVHQWDU5D]RQDU\DUJXPHQWDU&RPXQLFDUR&RQHFWDU'HHQWUD
GDVHWUDEDMDGLUHFWDPHQWHFRQHOSODQWHDPLHQWR\UHVROXFLyQGHSUREOHPDVTXHFRQXQpQIDVLVHQ
ORVFRQWH[WXDOL]DGRVSURPXHYHODLGHQWLILFDFLyQXVR\GLVHxRGHPRGHORVPDWHPiWLFRVVHQFLOORV
ORTXHDSR\DHOGHVDUUROORGHODVFDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDV
(VWH HVWLOR REOLJD D XQD SUHSDUDFLyQ FXLGDGRVD GH OD OHFFLyQ LQYROXFUDQGR OD HVFRJHQFLD GH ORV
SUREOHPDVORVWLHPSRVDGHVWLQDUSDUDFDGDSDVR\ODDFFLyQGRFHQWHHQFDGDPRPHQWRTXHQRHV
VRODPHQWHJXtDJHQHUDOSDUDODFRQVWUXFFLyQGHDSUHQGL]DMHVDXWRPiWLFRVVLQRTXHSRVHHXQFDUiF
WHUFHQWUDOHQODLQWHUDFFLyQVRFLDO\FRJQLWLYDGHDXOD
(VWHGHVDUUROORGHODOHFFLyQVXSRQH
x PHWRGRORJtDVSHGDJyJLFDVRGLGiFWLFDVHVSHFtILFDV
x JHVWLyQDSURSLDGDGHOSURJUDPDGHHVWXGLRVVXSODQHDPLHQWR\UHDOL]DFLyQHQWLHPSRV \
FRQGLFLRQHVSUHFLVDV
x XQDHYDOXDFLyQDGDSWDGDDOHVWLORGHRUJDQL]DFLyQGHODVOHFFLRQHV
+DVLGRFRP~QHVWDEOHFHUORVFRQWHQLGRVHVFRODUHVGLYLGLHQGRFDGDXQRHQSHTXHxDVSDUWHVSDUD
ODV TXH VH RIUHFHQ SURFHGLPLHQWRV PHFiQLFRV \ FDVL VLQ VHQWLGR /D HQVHxDQ]D HQ HVH HVTXHPD
FRQVLVWH HQ UHSURGXFLU HVWRV SURFHGLPLHQWRV VLQ PXFKD FRPSUHQVLyQ GHO VLJQLILFDGR GH ORV PLV
PRV(QHOHVWLORTXHVHSURSRQHDTXtODLGHDHVRWUDTXHVHSODQWHHQSUREOHPDVGHFLHUWDFRPSOH
MLGDG\TXHODVSHUVRQDVQRVyORVHDQUHFHSWRUHVSDVLYRVVLQRSDUWLFLSDQWHVDFWLYRVHQHODXOD'H
LJXDO PDQHUD VH SURSXOVD XQD DFWLYLGDG HQ ODV OHFFLRQHV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH FRQWUDVWH \
FRPXQLTXHVXVLGHDV\VROXFLRQHVDFWLYDQGRDVtSURFHVRVPDWHPiWLFRVUHOHYDQWHV
Gestión y planeamiento pedagógicos
La organización de las lecciones
'HEHH[LVWLUXQDJUDQIOH[LELOLGDGHQHOXVRGHHVWHHVWLORORTXHGHSHQGHUiGHODVFRQGLFLRQHV \
GHOFRQWH[WRGHDXODDVtFRPRGHOQLYHOHGXFDWLYRHQTXHVHHQVHxDSHURRUJDQL]DUODDFFLyQGH
DXODGHHVWDPDQHUDSXHGHRIUHFHUXQDHVWUDWHJLDJHQHUDO PRWLYDQWHSDUDOD PD\RUtDGHGRFHQWHV
HQHOSDtV(VXQDHVWUDWHJLDTXHDXQDGDDODIRUPDFLyQFRQWLQXD\DODSRUWHGHPDWHULDOHVHVSHFLD
OHVSHUPLWLUtDDYDQ]DUHQORVDSUHQGL]DMHVVLJQLILFDWLYRVODSRWHQFLDFLyQGHFDSDFLGDGHVPDWHPi
WLFDV\ODFRQVWUXFFLyQGHULFDVH[SHULHQFLDVGHDXOD
2WURDVXQWRQRVHWUDWDGHXVDUPXFKRVSUREOHPDVHQXQDOHFFLyQPiVELHQXQRVSRFRVDSDUWLU
GHORVFXDOHVFRQVWUXLUFRQSURIXQGLGDGORVDSUHQGL]DMHV
)LQDOPHQWH HV XQ HVWLOR TXH SHUPLWH HQULTXHFHU OD ODERU HGXFDWLYD FRQ HO FRUUHU GHO WLHPSR GH
PDQHUDSUHFLVDHVFRJHQFLDGH PHMRUHVSUREOHPDVDQWLFLSDFLyQGHSRVLEOHVVROXFLRQHVRHUURUHV
UHFXUUHQWHV LQYHVWLJDFLyQ GRFHQWH SDUD PHMRUDU OD SUHVHQWDFLyQ GH ORV SUREOHPDV \ OD RUJDQL]D
FLyQGHODOHFFLyQ
La pregunta dirigida
(QVLQWRQtDFRQHVWHHVWLORJHQHUDOVHSXHGHGHVDUUROODUXQDHVWUDWHJLDGHFRQGXFFLyQGHODOHFFLy Q
PHGLDQWHXQDLQGDJDFLyQGLULJLGDKDFLDWRGDODFODVH
x IRUPXODFLyQGHSUHJXQWDVDSURSLDGDVVREUHXQWySLFR
x WLHPSRGHHVSHUDSDUDTXHVHRIUH]FDQUHVSXHVWDV
x UHIRUPXODFLyQGHODVSUHJXQWDVSDUDDYDQ]DUHQORVGLVWLQWRVDVSHFWRVGHOWySLFR\
x UHSHWLFLyQGHOSURFHVRKDVWDOOHJDUDXQFLHUUHFRJQRVFLWLYR\SHGDJyJLFRGHOWHPD
(VWDPHWRGRORJtDSHGDJyJLFDH[LJHXQSDSHOGRFHQWHPX\DFWLYR\DWHQWRDFXGHDORVSDVRVGHO
HVWLOR VXJHULGR SUREOHPD WUDEDMR HVWXGLDQWLO FRPXQLFDFLyQ \ FRQWUDVWDFLyQ GH UHVSXHVWDV \
FODXVXUDSHURGHXQDPDQHUDPiVGLQiPLFDTXHSXHGHUHLWHUDUODVHFXHQFLDGHORVSDVRVHQSRFR
WLHPSR(VXQPpWRGRTXHVHSXHGHXVDUHQFLHUWRVPRPHQWRVHQHODXODGHILQLGRV\DVHDSRUHO
WySLFRRSRUODVFRQGLFLRQHVGHODFODVHSRUHMHPSORFODVHVQXPHURVDV
/RVHOHPHQWRVFODYHODVSUHJXQWDVGHEHQFDSWXUDUHOLQWHUpVHVWXGLDQWLOODVHFXHQFLDGHEHJHQHUDU
YDULDFLRQHVFUHFLHQWHVHQHOWUDWDPLHQWRGHOWHPD\HQODFRPSUHQVLyQGHORVGLVWLQWRVHOHPHQWRV
GHOWySLFRFRQVLGHUDGR/DVSUHJXQWDVVLHPSUHGHEHQ IRUPXODUVHWRPDQGRFRPRSDUWLGD ODVUHV
SXHVWDVHVWXGLDQWLOHV
Gestión y planeamiento pedagógicos
Indicaciones generales
Indicaciones generales
(QHVWDVHFFLyQVHWUDWDGHRIUHFHUDOJXQDVVXJHUHQFLDVJHQHUDOHVSDUD ODHODERUDFLyQGHSODQHD
PLHQWRGLGiFWLFR\HOGHVDUUROORGHODVOHFFLRQHV
Integrar habilidades
8QD GH ODV RULHQWDFLRQHV UHOHYDQWHV SDUD HO GHVDUUROOR GH OD DFFLyQ GH DXOD FRQ HVWH FXUUtFXOR
UHILHUHDOPDQHMRGHORVFRQWHQLGRV\ODVKDELOLGDGHVHVSHFtILFDV/DVKDELOLGDGHVQRGHEHQYHUVH
GHPDQHUDGHVDJUHJDGD1RVHWUDWDGHREMHWLYRVRSHUDWLYRVTXHGHEHQWUDEDMDUVHHQHODXODQHFH
VDULDPHQWH SRU VHSDUDGR 3RU HO FRQWUDULR OR FRQYHQLHQWH HV WUDWDU GH LQWHJUDU ODV KDELOLGDGHV
HVSHFtILFDVHQWRGDVODVDFWLYLGDGHVGHDSUHQGL]DMHSODQHDPLHQWRGHVDUUROORGHODOHFFLyQ\HYD
OXDFLyQ3RUPHGLRGHXQVRORSUREOHPDHVSRVLEOHDERUGDUYDULDVKDELOLGDGHV
Plazos educativos
'H PDQHUD FRQVFLHQWH R LQFRQVFLHQWH FDGD GRFHQWH DGRSWD XQD HVWUDWHJLD GH LPSOHPHQWDFLyQ
VHJ~Q OD FXDO GHEH WRPDU HQ FXHQWD YDULRV SOD]RV FRUWR PHGLDQR \ ODUJR \ ORV VLJXLHQWHV HOH
PHQWRV
x /DVFRQGLFLRQHVJHQHUDOHVGRQGHVHGHVHQYROYHUiODOHFFLyQFRQWH[WRVRFLRHGXFDWLYROR
FDOLGDGUHFXUVRV\PDWHULDOHVGLVSRQLEOHVQLYHOHGXFDWLYRFDQWLGDGGHHVWXGLDQWHVHWF
TXHLQWHUYLHQHQGHGLIHUHQWHVPDQHUDVHQODFRQVWUXFFLyQ\HOGHVDUUROORGHODOHFFLyQ
x (OOXJDUTXHRFXSDFDGDOHFFLyQHQHOGHVDUUROORGHORVILQHVFXUULFXODUHV/DOHFFLyQGHEH
HQWHQGHUVHLQFOXLGDHQVHFXHQFLDVGHOHFFLRQHVVREUHXQRRYDULRVWHPDVHVGHFLUHOFUR
QRJUDPDFXUULFXODUGRQGHVHFRORFDQORVWySLFRV\WLHPSRVDVLJQDGRVHQHODxRHVFRODU \
TXHH[LJHQXQDYLVLyQHVWUDWpJLFD
x 8QSODQHDPLHQWRGHORVGLVWLQWRVPRPHQWRVGHODVHFXHQFLDGHIDVHVTXHVHYD\DDGHVD
UUROODU
Variables de la lección
+D\YDULRVDVXQWRVPX\LPSRUWDQWHVSDUDHOGLVHxRGHODOHFFLyQ\TXHVXHOHQOODPDUVHHYHQWRVGH
ODOHFFLyQ
Gestión y planeamiento pedagógicos
Indicaciones generales
7DEOD(YHQWRVGHODOHFFLyQ
&RPLHQ]R GH OD OHFFLyQ H LQWURGXFFLyQ GH
FRQWHQLGR
/RVSUREOHPDVTXHVHSODQWHDQHQODOHFFLyQ
/DV DFFLRQHV GRFHQWHV FXDQGR HVWXGLDQWHV
WUDEDMDQ GH PDQHUD LQGLYLGXDO HQ SDUHMDV R HQ
VXEJUXSRV
3DUWLFLSDFLyQGHHVWXGLDQWHVHQODSL]DUUD
)LQDOGHODOHFFLyQ
(OSDSHOGHODVtQWHVLVFRJQRVFLWLYD
)XHQWHHODERUDFLyQSURSLD
(OFRPLHQ]RGHODOHFFLyQHVGHFLVLYR6HGHEHHVFRJHUFRQPX
FKRFXLGDGRHOSUREOHPDTXHGDUiLQLFLRDODOHFFLyQORTXHHVWi
DVRFLDGRDODIRUPDGHLQWURGXFLUHOFRQWHQLGR6HGHEHLGHQWLIL
FDUODQDWXUDOH]DGHORVSUREOHPDVTXHVHDQPiVFRQYHQLHQWHVHQ
IXQFLyQ GHO iUHD PDWHPiWLFD GHO QLYHO HGXFDWLYR GHO WySLFR D
WUDWDU DVt FRPR GH ODV FDSDFLGDGHV \ SURFHVRV TXH VH TXLHUD
IDYRUHFHU1RVyORHVLPSRUWDQWHVHOHFFLRQDUXQSUREOHPDDSUR
SLDGRDORVFRQWHQLGRVVLQRODIRUPDPLVPDFRQTXHVHSODQWHD
XQ HQXQFLDGR HV ORPiV VLPSOH SHUR SXHGHQ XVDUVHLPiJHQHV R
PHGLRVWHFQROyJLFRV
(VQHFHVDULRLGHQWLILFDURWURVSUREOHPDVTXHVHSUHWHQGHLQWURGX
FLU GXUDQWH HO FXUVR GH OD OHFFLyQ \ GHWHUPLQDU ORV ILQHV TXH VH
EXVFDQ FRQ HOORV SXHV WHQGUiQ XQD IXQFLyQ GLVWLQWD D DTXHOORV
TXHVLUYHQSDUDLQLFLDUODOHFFLyQ
(VWDVDFFLRQHVGHEHQSUHYHUVHRDOPHQRVFRQYLHQHGLVHxDUXQD
DFWLWXG JHQHUDO SRU HMHPSOR FXiQGR GDU VXJHUHQFLDV \ GH TXp
WLSR
/D SDUWLFLSDFLyQ HQ OD SL]DUUD IUHQWH DO FRQMXQWR GHO JUXSR UH
IXHU]DODFRPSHWHQFLDGHFRPXQLFDFLyQPDWHPiWLFD\ODVHJXUL
GDG \ FRQILDQ]D GH FDGD HVWXGLDQWH VLQ HPEDUJR GHEH KDFHUVH
FRQFXLGDGRSDUDQRRIUHFHUXQDYLVLyQHTXLYRFDGDGHORVFRQWH
QLGRV WUDWDGRV 6LHPSUH HV QHFHVDULR TXH FDGD GRFHQWH KDJD HO
FLHUUH SHGDJyJLFR SDUD PRVWUDU ORV FRQWHQLGRV PDWHPiWLFRV FRQ
SUHFLVLyQ
7DPELpQHVFUXFLDOODIRUPDFRPRVHKDFHHOILQDOGHODOHFFLyQ
6H GHEH GHFLGLU VL VHKDFH XQD VtQWHVLV FRJQRVFLWLYD HQ HVH PR
PHQWRRVLVHHVSHUDDKDFHUODHQRWUDOHFFLyQ
/DVtQWHVLVRFLHUUHGHORVFRQWHQLGRVSXHGHKDFHUVHHQIDWL]DQGR
VX FRQVLVWHQFLD FRQ ORV HOHPHQWRV TXH VH GHVDUUROODURQ HQ HVWD
OHFFLyQVXEUD\DQGRODFRQH[LyQGHORVPLVPRVFRQRWURVWHPDV
TXHVHYHUiQHQRWUDVOHFFLRQHV(VWRGHSHQGHGHOWySLFRDHQVH
xDU \ GHO OXJDU TXH RFXSH HQ OD VHFXHQFLD GH OHFFLRQHV (VWD
VtQWHVLV UHVXOWD LPSUHVFLQGLEOH TXH VH KDJD \D VHD HQ OD PLVPD
OHFFLyQRHQXQDQRPX\GLVWDQWHGHDTXHOODHQODTXHVHWUDEDMy
\DTXHVHSRGUtDSHUGHUHO³DPDUUH´FRJQRVFLWLYRTXHVHUHTXLHUH
SDUDSURYRFDUHODSUHQGL]DMH
(QHVWRVHYHQWRVVHGHEHWRPDUHQFXHQWDHQHOSODQHDPLHQWRSHGDJyJLFR
/DHYDOXDFLyQHQHOSODQHDPLHQWR7DPELpQODVFDUDFWHUtVWLFDVGHODDSUR[LPDFLyQPHWRGROyJLFD
GHEHQVHUFRQVLVWHQWHVFRQ OD PDQHUDHQTXHVHSUHWHQGHHYDOXDUHOUHQGLPLHQWRHVWXGLDQWLO KD\
TXHSHQVDUGHVGHXQSULQFLSLRHQFyPRVHHYDOXDUiHOWySLFR
7RPDUHQFXHQWDODGLYHUVLGDG&RPRH[LVWHQGLVWLQWRVWDOHQWRVHLQWHOLJHQFLDVHVPX\LPSRUWDQ
WHTXHVHXVHHOWLHPSRGHPDQHUDGLVWLQWDSDUDFDGDVXEJUXSRGHHVWXGLDQWHVRGLIHUHQWHVLQGLYL
GXRV(VRVHSXHGHKDFHUSRUPHGLRGHXQDPRGXODFLyQHVSHFtILFDGHODVVXJHUHQFLDVRLQGLFDFLR
QHV TXH SXHGH GDU $TXt DO PHQRV GRV GLPHQVLRQHV VRQ UHOHYDQWHV ODV GLIHUHQFLDV FRJQLWLYDV
DVRFLDGDV D ODV GLYHUVDV DSUR[LPDFLRQHV TXH ODV \ ORV HVWXGLDQWHV SXHGHQ WHQHU SDUD DSUHQGHU
PDWHPiWLFDV\SRURWURODGRODVUHODFLRQDGDVFRQHOWDOHQWR\ODGHGLFDFLyQDOHVWXGLRQRWRGRV
SRVHHQ ORV PLVPRV WDOHQWRV HQ ODV 0DWHPiWLFDV R OD GLVSRVLFLyQ SDUD GHGLFDUOH PXFKR WLHPSR
$OJXQDVSHUVRQDVWLHQHQ PD\RUIDFLOLGDGSDUDUHSUHVHQWDFLRQHV YLVXDOHVGH ORVFRQFHSWRV\SUR
Gestión y planeamiento pedagógicos
Indicaciones generales
FHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRVRWUDVSRVHHQPD\RUIDFLOLGDGSDUDDSUR[LPDFLRQHVVHFXHQFLDOHV VLVWH
PDVQXPpULFRVHWF1RHVVHQFLOORLGHQWLILFDUHQODVSHUVRQDVHVDVGLIHUHQFLDVFRJQLWLYDVSHURHV
YLWDOWHQHUSUHVHQWHHODVXQWRSXHVSXHGHSHUPLWLUXQPHMRUDSURYHFKDPLHQWRGHODDFFLyQGHDXOD
SDUDWRGRV5HVSRQGHUDHVWRVHYHIDYRUHFLGRGHQWURGHODOHFFLyQ FXDQGRVHVHOHFFLRQDQSURFH
VRVUHODFLRQDGRVFRQREMHWRVPDWHPiWLFRVTXHSRVHHQGLYHUVDVUHSUHVHQWDFLRQHVPDWHPiWLFDV (O
WUDWDPLHQWRGHODVGLIHUHQFLDVHQWDOHQWRV\GLVSRVLFLyQDOHVWXGLRHVXQDVXQWRPiVFRPSOHMR
,QFOXLU FRPSUHQVLyQ FRQFHSWXDO \ GHVWUH]D SURFHGLPHQWDO (Q HO SODQHDPLHQWR SHGDJyJLFR HV
LPSUHVFLQGLEOHUHIOH[LRQDUVREUHORVPHFDQLVPRVSDUDTXHHOSUREOHPDSHUPLWDJHQHUDUFRPSUHQ
VLyQFRQFHSWXDODODYH]TXHHOGRPLQLRGHSURFHGLPLHQWRV3URFHGLPLHQWRV\FRPSUHQVLyQFRQ
FHSWXDOVRQGHFLVLYRVSDUDHOGHVDUUROORGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDVLQHPEDUJRODFRPSUHQ
VLyQGHFRQFHSWRVSHUPLWHDVLPLODUPHMRUORVSURFHGLPLHQWRV'HLJXDOPDQHUDHVSRVLEOHIRUWDOH
FHU OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD D SDUWLU GH SURFHGLPLHQWRV FRQ PRGLILFDFLRQHV RSRUWXQDV GH VXV
GLVWLQWRVHOHPHQWRV
Interacciones en la institución
6LELHQVHHIHFW~DODLPSOHPHQWDFLyQGHOFXUUtFXORGHIRUPDLQGLYLGXDOHVRSRUWXQRTXHYDULDVGH
HVWDVGLPHQVLRQHVVHUHDOLFHQFRQODFRODERUDFLyQGHPiVGRFHQWHVGHODLQVWLWXFLyQTXHHQVHxDQ
PDWHPiWLFDV/DSODQLILFDFLyQSHGDJyJLFDHOGLVHxRGHOHFFLRQHVODYDORUDFLyQGHORVUHVXOWDGRV
\H[SHULHQFLDVREWHQLGDVHQHOGHVDUUROORGHODOHFFLyQDVtFRPRODLQFRUSRUDFLyQGHFRQRFLPLHQ
WRVQXHYRVSXHGHQVHUWHPDVSDUDVHVLRQHVUHJXODUHVHQFDGDLQVWLWXFLyQ(VWDVDFWLYLGDGHVSHUPL
WHQDPSOLDU \SURIXQGL]DU ODDFFLyQHQHODXODTXHUHDOL]DFDGD GRFHQWHHVXQPHGLRSDUDOOHYDU
KDFLDDGHODQWHXQSURJUDPDFRQWLQXRGHLQYHVWLJDFLyQSDUDODDFFLyQGHDXOD
IV. Metodología
Metodología
Sobre áreas matemáticas
En la Educación Matemática, metodología y gestión han tenido un gigantesco progreso, en gran
parte por la consolidación de la misma como una disciplina científica independiente de las Matemáticas y de la pedagogía general. Más allá de esto, muchas estrategias metodológicas y de
labor de aula se han replanteado gracias a las tecnologías digitales.
En este capítulo se ofrecerán indicaciones generales sobre varios componentes del currículo y la
acción de aula. Se presentan en seis secciones:
x
x
x
x
x
x
Sobre áreas matemáticas
Sobre procesos matemáticos
Sobre la diversidad de estudiantes
Sobre el uso de tecnologías
Sobre actitudes y creencias
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
La amplia colección de sugerencias e indicaciones que se consigna aquí es una guía y un reservorio de recursos. No se pretende sustituir la labor profesional en el diseño educativo, ni ofrecer un
nivel inadecuadamente específico de las acciones metodológicas. En algunos casos, solamente se
dan lineamientos muy generales. En los planes de estudio se ofrecen indicaciones más específicas
pero siempre deberán verse como sugerencias y como una orientación a usar de forma flexible y
creativa.
Sobre áreas matemáticas
Resulta adecuado comenzar con orientaciones sobre las áreas matemáticas, pues éstas son las que
organizan los planes de estudio. En primer lugar, es relevante visualizar el lugar que ocupan
relativamente en los programas, y ofrecer seguidamente algunas indicaciones en cada una.
Las cinco áreas matemáticas seleccionadas participan con distinta intensidad. La siguiente gráfica
de estos programas de estudios ha sido construida tomando en cuenta los lugares relativos que se
pueden calcular con base en los tiempos que se espera sean dedicados a los tópicos integrados en
las mismas.
100%
Números
80%
Medidas
60%
40%
Geometría
20%
Relaciones y álgebra
0%
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10
11
I.
II.
III.
IV.
Estadística y
probabilidad
Figura 2. Las cinco áreas matemáticas en los cuatro ciclos educativos.
56
Metodología
Sobre áreas matemáticas
5HODFLRQHV\ÈOJHEUDHVFRQVWDQWHHQORVGRVSULPHURVFLFORVVHGXSOLFDHQHOWHUFHUR\SRVHHHO
PD\RU HVSDFLR HQ HO &LFOR GLYHUVLILFDGR *HRPHWUtD HV FRQVWDQWH HQ OD 3ULPDULD \ DXPHQWD XQ
SRFRHQORVVLJXLHQWHVFLFORV1~PHURVRFXSDXQOXJDUPX\JUDQGHHQORVGRVSULPHURVFLFORVHV
UHOHYDQWH HQ HO WHUFHUR \ GLVPLQX\H PXFKR HQ HO GLYHUVLILFDGR (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG HV
FRQVWDQWHHQORVFLFORV,\,,DXPHQWDHQHO,,,\HO'LYHUVLILFDGRVLQOOHJDUDVXSHUDUHOOXJDUGH
5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD 1~PHURV 0HGLGDV \ *HRPHWUtD RFXSDQ HO GH OD IRUPDFLyQ HQ OD
3ULPDULD
$GHPiV GH XQD LQWHJUDFLyQ HQWUH ORV GLIHUHQWHV QLYHOHV \ FLFORV HGXFDWLYRV SRU PHGLR GH iUHDV
PDWHPiWLFDVFRPXQHVDTXtVHRIUHFHQDOJXQDVSHUVSHFWLYDVTXHVHVHSDUDQKDVWDFLHUWRSXQWRGH
ORVSURJUDPDVGHHVWXGLRVDQWHULRUHV
x ,QWHJUDFLyQ GH ORV WHPDV GH Q~PHURV \ RSHUDFLRQHV FRQ XQ pQIDVLV HQ OD UHDOL]DFLyQ GH
FiOFXORV\IRUWDOHFLPLHQWRGHOVHQWLGRQXPpULFR
x 8QHQIRTXHVREUHHOiUHDGH0HGLGDVTXHEXVFDIXQGDPHQWDUDSUHQGL]DMHVPDWHPiWLFRV\
HVWDEOHFHUFRQH[LRQHVHQWRGRVORVQLYHOHVHGXFDWLYRV
x 8QHQIRTXHHQ*HRPHWUtDTXH LQFOX\HpQIDVLVHQ HOVHQWLGRHVSDFLDOHO PRYLPLHQWR\HO
XVRGHFRRUGHQDGDV\XQDUHODFLyQHVSHFLDOFRQHOÈOJHEUD
x ,QWHJUDFLyQGHORVWHPDVGHiOJHEUDUHODFLRQHV\IXQFLRQHV\VXLQVHUFLyQGHVGHOD3ULPD
ULDHQXQSURFHVRJUDGXDO
x 3RWHQFLDFLyQGHOOXJDUGH(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGGHVGHHO3ULPHUFLFORKDVWDHOGLYHU
VLILFDGR
(QORTXHVLJXHVHRIUHFHQDOJXQDVLQGLFDFLRQHVJHQHUDOHVVREUHFDGDiUHD
Números
6H EXVFD XQ HQIRTXH PiV LQWHJUDGR GH HVRV Q~PHURV RSHUDFLRQHV \ FiOFXORV XQD SHUVSHFWLYD
HVSHFLDOGHHVWUHFKDFRQH[LyQHQWUH ODVRSHUDFLRQHV \ ODVUHSUHVHQWDFLRQHV QXPpULFDV(Q OD 6H
FXQGDULDDYHFHV ORVJUDQGHVFRQMXQWRVQXPpULFRV = 4 5 VHKDQFRORFDGRGHXQD PDQHUD
DEVWUDFWDTXHDSHODPiVDODPHPRUL]DFLyQGHSURSLHGDGHVTXHDODXWLOLGDGGHORVQ~PHURV\VXV
RSHUDFLRQHV6HGHVHDHQIDWL]DUXQVHQWLGRPX\SUiFWLFRGHORVQ~PHURV\VXVSURSLHGDGHVHVSH
FLDOPHQWHPHGLDQWHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVH[WUDtGRVGHOHQWRUQR8QWUDWDPLHQWRFRQMXQWLVWD
VH JXDUGD SDUD ž $xR \ VH LQFOXLUi HQ HO iUHD GH 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD DXQTXH FRQ XWLOLGDG
WDPELpQHQ(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
6HSUHWHQGHGDUOHPD\RUUHOHYDQFLDDORVFiOFXORVTXHSHUPLWHQGHVDUUROODUKDELOLGDGHVRGHVWUH
]DVQXPpULFDV(QHVHVHQWLGRVHSURSRQHIRUWDOHFHUHOFiOFXORPHQWDO\ODHVWLPDFLyQ(VWDYLVLyQ
VH DVRFLD FRQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV \ OD FRQWH[WXDOL]DFLyQ DFWLYD (O FiOFXOR PHQWDO SRU
HMHPSORVHSXHGHFXOWLYDUGHVGHXQSULPHUPRPHQWRFRPRXQPHFDQLVPRHVSHFLDOSDUDHOGRPL
QLR GH SURSLHGDGHV QXPpULFDV \ FRPR HQWUHQDPLHQWR GH GHVWUH]DV PHQWDOHV VLQ HPEDUJR QR
FRQYLHQHFDHUHQODWHQWDFLyQGHVREUHGLPHQVLRQDUHOYDORUGHORVSURFHGLPLHQWRVSRUHQFLPDGH
OD FRPSUHQVLyQ FRQFHSWXDO 6LQ XQ GRPLQLR GH SURFHGLPLHQWRV VH DIHFWDQ ODV SRVLELOLGDGHV SDUD
UHVROYHUSUREOHPDVDODYH]VLQXQDFRPSUHQVLyQFRQFHSWXDOORVSURFHGLPLHQWRVVHROYLGDQFRQ
PD\RU UDSLGH] \ QR VH ORJUDQ DSUHQGL]DMHV VLJQLILFDWLYRV 'H LJXDO PDQHUD ODV DFWLYLGDGHV GH
FiOFXORHQHODXODSHUPLWHQIRUWDOHFHUODE~VTXHGDGHVROXFLRQHVGLVWLQWDV(OUHJLVWURH[SOLFDFLyQ
Metodología
Sobre áreas matemáticas
FUtWLFD\FRPXQLFDFLyQGHHVWUDWHJLDVGHFyPSXWRSHUPLWHQIDYRUHFHUSURFHVRVFRJQLWLYRVLPSRU
WDQWHVTXHD\XGDQHQHOGHVDUUROORGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD
1~PHURVMXHJDXQSDSHOFHQWUDOHQHO3ULPHU\6HJXQGRFLFORHVQRWDEOHHQHO7HUFHUFLFOR\VH
GHVDUUROODWUDQVYHUVDOPHQWHDRWUDViUHDVPDWHPiWLFDVHQHO&LFORGLYHUVLILFDGR(Qž\ž$xRVH
LQWURGXFHQ ORV Q~PHURV HQWHURV \ UDFLRQDOHV \ VH GD FLHUWR YDORU D ODV GLYHUVDV UHSUHVHQWDFLRQHV
GHFLPDOHVGHORVUDFLRQDOHVDEULHQGRHOFDPLQRDODLQWURGXFFLyQGHORVQ~PHURVLUUDFLRQDOHV(O
FRQFHSWR GH LUUDFLRQDO HV FRPSOHMR GHVGH PXFKRV SXQWRV GH YLVWD HSLVWHPROyJLFR FRJQLWLYR
SHGDJyJLFR\VXLQWURGXFFLyQGHEHKDFHUVHFRQFDXWHOD
6HEXVFDUREXVWHFHUXQVHQWLGRQXPpULFRPHGLDQWHXQDDSURSLDFLyQGHOYDORUDEVROXWR\UHODWLYR
GHORVQ~PHURVHVWRUHILHUHSRUHMHPSORDOXVRGHORVQ~PHURVSDUDUHSUHVHQWDUGLPHQVLRQHVR
HQWLGDGHVGHODUHDOLGDGDODHVWLPDFLyQQXPpULFDGHYDORUHV\GHODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDVDOD
³UD]RQDELOLGDG´GHFiOFXORV(OVHQWLGRQXPpULFRVHIRUWDOHFHFRQXQGRPLQLRGHODVRSHUDFLRQHV
\GHODVSURSLHGDGHVTXHpVWDVWLHQHQSRUHMHPSORFRQODGHVFRPSRVLFLyQGHQ~PHURVXVDQGRODV
SURSLHGDGHV GHO VLVWHPD SRVLFLRQDO \ GHFLPDO 5 = 10 + 5 8Q VHQWLGR QXPpULFR SHUPLWH YHU
TXH XQD VXPD FRPR + VH DSUR[LPD D VLQ QHFHVLGDG GH KDFHU ORV FiOFXORV 2WUR HMHPSOR
DFHSWDUTXHODPHGLDGHSHVRVGHODJHQWHVHDNLORJUDPRVPRVWUDUtDIDOWDGHVHQWLGRQXPpULFR
'HLJXDOPDQHUDHOVHQWLGRQXPpULFRHVWUHFKDPHQWHDVRFLDGRDRSHUDFLRQHV\FiOFXORVHVHOTXH
SHUPLWH GHFLGLU VREUH FXiO HV OD HVWUDWHJLD PiV DGHFXDGD SDUD HQIUHQWDU XQ SUREOHPD FiOFXOR
PHQWDO HVWLPDFLyQ DSUR[LPDGD WUDEDMR VLVWHPiWLFR FRQ SDSHO \ OiSL] HO XVR GH FDOFXODGRUD R
LQFOXVRODFRPSXWDGRUD
8QRGHORVSURSyVLWRVFHQWUDOHVSDUDHVWDiUHDHVSRWHQFLDUODUHSUHVHQWDFLyQP~OWLSOHGHQ~PHURV
FRPR RFRPSUHQGHUSRUHMHPSORTXHORVUDFLRQDOHVVHSXHGHQUHSUHVHQWDU
FRPRIUDFFLRQHVGHFLPDOHVSRUFHQWDMHV\
6HTXLHUHTXHVHGLVWLQJDQSURJUHVLYDPHQWH ODVSURSLHGDGHVGHFLHUWRVQ~PHURVSDUHVLPSDUHV
SULPRVFXDGUDGRVHWF$ODYDQ]DU\DHQOD6HFXQGDULDGHEHUiQLGHQWLILFDU\DSOLFDUODVSURSLH
GDGHVGHGLVWLQWRVVLVWHPDVQXPpULFRVGHPDQHUDDEVWUDFWD3RUHMHPSORTXHDOJXQDVSURSLHGDGHV
VHSUHVHUYDQHQXQRVVLVWHPDVQXPpULFRVSHURQRHQRWURVFRPRVXFHGHFRQODPXOWLSOLFDFLyQGH
QDWXUDOHVTXHDTXtVLHPSUHHVPD\RURLJXDODORVQ~PHURVTXHVHPXOWLSOLFDQSHURQRVXFHGHDVt
QHFHVDULDPHQWHFXDQGRHVWRVQ~PHURVVRQUDFLRQDOHVSRUHMHPSORQ~PHURVHQWUH\
2WURHOHPHQWRTXHVHGHVHDHQIDWL]DUDTXtGHVGHHO3ULPHUFLFORHVHODSUHQGL]DMHGHODVUHODFLRQHV
HQWUHODVGLVWLQWDVRSHUDFLRQHVORTXHSUHSDUDHOFDPLQRSDUDHODSUHQGL]DMHGHSURSLHGDGHVPiV
DEVWUDFWDVTXHVHHVWXGLDUiQHQHOÈOJHEUD
/DLQWURGXFFLyQGHODVRSHUDFLRQHVWRPDHQFXHQWDFULWHULRVFRJQLWLYRVSRUHVRODGLYLVLyQTXHHV
PiVFRPSOHMDTXHODVXPD\ODPXOWLSOLFDFLyQVHGHEHLQWURGXFLUGHPDQHUDDGHFXDGDHQGLVWLQWRV
DxRV(QHOHU$xRVHGDXQpQIDVLVDODVXPD\ODUHVWDDVRFLDGDVHQHOžDODPXOWLSOLFDFLyQ\
HQ HO ž VH LQLFLD OD GLYLVLyQ 6L ELHQ VH SURSRQH XQD DSUR[LPDFLyQ HVSLUDO HQ OD LQWURGXFFLyQ \
WUDWDPLHQWR GH WySLFRV PDWHPiWLFRV WDPELpQ VH EXVFD HQ DOJXQRV PRPHQWRV WUDWDU FRQ PD\RU
DPSOLWXG \ FRQH[LyQ FLHUWRV FRQWHQLGRV HYLWDQGR UHSHWLFLRQHV LQDGHFXDGDV HQ GLVWLQWRV DxRV
OHFWLYRV TXH QR SURYRFDQ DSUHQGL]DMHV VLJQLILFDWLYRV \ D PHQXGR VREUHFDUJDQ GH FRQWHQLGRV
DOJXQRVQLYHOHVGHOSURJUDPDGHHVWXGLRV
Metodología
Sobre áreas matemáticas
(QHOSODQGHHVWXGLRVVHWUDVODGyHO0&0\HO0&'KDFLDžLQWURGXFLGRVSRUODWHRUtDGHQ~PH
URVSDUDIDYRUHFHUXQWUDWDPLHQWRPiVDPSOLR
8QDVXQWRLPSRUWDQWHHQHO3ULPHUFLFORVHLQFOX\HDKRUDHOWUDWDPLHQWRFRQQ~PHURVPHQRUHVGH
SDUDVLQWRQL]DUFRQORVUHFODPRVGHXQHVFHQDULRHQTXHORVQ~PHURVPiVJUDQGHVRFX
SDQXQOXJDUFRWLGLDQR
3RURWURODGRHOWUDWDPLHQWRGHIUDFFLRQHV\GHFLPDOHVVHFRQFHQWUDHQHO 6HJXQGRFLFOR(O3UL
PHUFLFORVHGHVWLQDSDUDXQIXHUWHHQWUHQDPLHQWRHQQ~PHURVQDWXUDOHV
(QORVSODQHVGHHVWXGLRVHXVDUiHOFRQMXQWRGHQ~PHURVQDWXUDOHVLQFOX\HQGRHOFHURHVGHFLUVH
XVDUi 1 ^«`(VWRKDVLGRORWUDGLFLRQDOHQ&RVWD5LFD
Geometría
6H FRQVLGHUD OD *HRPHWUtD FRPR RUJDQL]DGRUD GH ORV IHQyPHQRV GHO HVSDFLR \ OD IRUPD \ HQ
SDUWLFXODUVHYHQORVREMHWRVJHRPpWULFRVFRPRSDWURQHVRPRGHORVGHPXFKRVIHQyPHQRVGHOR
UHDO(VGHFLUQRVHSULYLOHJLDXQDDSUR[LPDFLyQD OD*HRPHWUtDEDVDGDHQHOHVWXGLRGHREMHWRV
LGHDOHV\DEVWUDFWRVVLQRPiVELHQXQDTXHDVXPDODUHODFLyQJHRPpWULFDFRQORVHQWRUQRVHVSD
FLDOHV(VWREXVFDIRUWDOHFHUXQDPD\RUYLVXDOL]DFLyQHQOD*HRPHWUtDHVWDEOHFHUFRQWDFWRVHVWUH
FKRVHQWUHUHSUHVHQWDFLRQHVYLVXDOHV\ODVIRUPDVJHRPpWULFDV6HDSHOD GHHVWDIRUPDDODFRQV
WUXFFLyQGHORVDSUHQGL]DMHVJHRPpWULFRVHQIDVHVFUHFLHQWHVTXHYDQGHVGHORLQWXLWLYRPDQLSX
ODEOH SLFWyULFR \ YLVXDO KDFLD ODV UHSUHVHQWDFLRQHV PiV JHQHUDOHV \ DEVWUDFWDV 6H UHIXHU]D OD
QHFHVLGDGGHDVFHQGHUSRUPHGLRGHGLVWLQWRVQLYHOHVHQORVDSUHQGL]DMHVJHRPpWULFRV
/RDQWHULRUHVWiDVRFLDGRFRQXQHQIRTXHTXHEXVFDGDUOHPD\RUSUHVHQFLDDO³VHQWLGRHVSDFLDO´
HVGHFLUODLGHQWLILFDFLyQYLVXDOL]DFLyQ\PDQLSXODFLyQGHODVIRUPDVHQHOHVSDFLR 'HHVWDPD
QHUDDUUDQFDHOVHQWLGRGHILJXUDVFXHUSRV\VyOLGRVGHVGHORVSULPHURVDxRVFRQODVUHSUHVHQWD
FLRQHVItVLFDV\REMHWRVGHOHQWRUQRTXHVHSXHGHQDFRPSDxDUSRUPHGLRGHOXVRGHWHFQRORJtDV
3RUHMHPSORODUHSUHVHQWDFLyQGHILJXUDVWULGLPHQVLRQDOHVVXWUDVODFLyQHOXVRGHOFRORUWH[WX
UDVVRQLGRV\WRGDVODVSRVLELOLGDGHVTXHHOUHFXUVRPXOWLPHGLDSXHGHSURSRUFLRQDUHQFDPLQRV
UDGLFDOPHQWH QXHYRV SDUD DERUGDU OD HQVHxDQ]D \ DSUHQGL]DMH GH OD *HRPHWUtD WULGLPHQVLRQDO
(VWRVHKDFHGHPDQHUDJUDGXDOHQWRGRVORVSURJUDPDVGHVGHHO3ULPHUFLFOR1RHVFRQYHQLHQWH
HQIDWL]DUHOXVRGHIyUPXODVVLQRPiVELHQODYLVXDOL]DFLyQGHODVIRUPDVHQHOHVSDFLR
6HSUHWHQGHXQDLQWURGXFFLyQGHODJHRPHWUtDGHFRRUGHQDGDV\DQDOtWLFDDGHFXDGDDORVGLVWLQWRV
QLYHOHVFRJQLWLYRV/DJHRPHWUtDDQDOtWLFDSUHVHQWHHQHVWDiUHD VHUHGXFHDODUHSUHVHQWDFLyQHQ
VLVWHPDVFRRUGHQDGRVGHSXQWRV\GHDOJXQDV ILJXUDVJHRPpWULFDVFRPRHOFtUFXOR6HHVWXGLD OD
VLPHWUtDD[LDOTXHSRVHHPXFKRVHMHPSORVLQWHUHVDQWHVHQODUHDOLGDG\VHLQWURGXFHQHQHO&LFOR
GLYHUVLILFDGR DOJXQDV WUDQVIRUPDFLRQHV HQ HO SODQR WUDVODFLRQHV \ URWDFLRQHV /D LQWURGXFFLyQ
GHHVWRVWySLFRV IDYRUHFHORVYtQFXORVHQWUH*HRPHWUtD \ ÈOJHEUDXQDGLPHQVLyQ LPSRUWDQWHGH
ODV0DWHPiWLFDVFRQWHPSRUiQHDV
6H SURSRQH LQWURGXFLU HO PRYLPLHQWR GH ODV IRUPDV JHRPpWULFDV XQR GH ORV WHPDV LPSRUWDQWHV
TXHVHGHVDUUROOyGHVGHORVVLJORV;9,,\;9,,,DEULHQGRXQDQXHYDRULHQWDFLyQHQOD*HRPHWUtD
DPSOLDQGR UHYROXFLRQDULDPHQWH ORV UHVXOWDGRV GH OD $QWLJHGDG (O PRYLPLHQWR GH SXQWRV \
HQWLGDGHV JHRPpWULFDV SHUPLWH FRQVWUXLU QXHYDV HQWLGDGHV FXUYDV SRU HMHPSOR \ YLVXDOL]DU ODV
XVXDOHV GH RWUDV PDQHUDV XQ VHQWLGR GLQiPLFR GH DOJXQDV SURSLHGDGHV JHRPpWULFDV FRPR ODV
Metodología
Sobre áreas matemáticas
SRVLFLRQHV UHODWLYDV \ WUDQVIRUPDFLRQHV GH SXQWRV \ IRUPDV (O WUDWDPLHQWR GHO PRYLPLHQWR HQ
*HRPHWUtDKDEtDVLGRGLItFLOGHLQFRUSRUDUHQORVSURJUDPDVHVFRODUHVSRUODVOLPLWDFLRQHVSDUDHO
WUD]DGR \ VX SUHVHQWDFLyQ JUiILFD &RQ ODV WHFQRORJtDV GLJLWDOHV HVWR FDPELy UDGLFDOPHQWH /D
SUHVHQFLDGHVRIWZDUHGLYHUVRGHJHRPHWUtDGLQiPLFD\GHUHSUHVHQWDFLyQJHRPpWULFDGHVGHKDFH
EDVWDQWHV DxRV SHUPLWH DSUR[LPDUVH D ORV IHQyPHQRV JHRPpWULFRV LQFOX\HQGR HVWD SURSLHGDG
HVHQFLDO3HURHVPiVTXHHVRODWHFQRORJtDSHUPLWHUHSODQWHDUODOyJLFDGHOSODQGHHVWXGLRV\GH
PXFKRVGHVXVFRQWHQLGRVHQOD*HRPHWUtD\HQRWUDViUHDV(VWHVHQWLGRGLQiPLFRVHSXHGHLQWUR
GXFLUHQFRQJUXHQFLDVVHPHMDQ]DV\VLPHWUtDOLQHDORURWDFLRQDOGHREMHWRVTXHVHWUDQVIRUPDQOR
TXHSHUPLWHFRQH[LRQHVHVWUHFKDVFRQHOSHQVDPLHQWRIXQFLRQDO
8Q WUDWDPLHQWR FRQ FRRUGHQDGDV TXH VH DSR\D HQ HO XVR GH WHFQRORJtDV SHUPLWH RSRUWXQLGDGHV
PX\ ULFDV SDUD OD UHSUHVHQWDFLyQ P~OWLSOH GH VXV REMHWRV JHRPpWULFRV XQD GH ODV FDUDFWHUtVWLFDV
LPSRUWDQWHVGHODV0DWHPiWLFDV3RUPHGLRGHODVFRRUGHQDGDVVHSXHGHQUHSUHVHQWDU\PDQLSXODU
SURFHGLPLHQWRVDOJHEUDLFRVREMHWRV\SURSLHGDGHVPDWHPiWLFDVGHPDQHUDVTXHVRQPX\GLItFLOHV
GHORJUDUVLQODVFRRUGHQDGDV3RURWURODGRODVDFWXDOHVSHUVSHFWLYDVGHOD*HRPHWUtDVHFRORFDQ
FRQIXHU]DGHQWURGHOÈOJHEUD\ODVIXQFLRQHV\HVRPLVPRSHUPLWHPRVWUDUODYLVLyQPRGHUQDGH
HVWDGLVFLSOLQDPDWHPiWLFDORTXHDOPLVPRWLHPSRVHUiGHJUDQXWLOLGDGSDUDPXFKRVHVWXGLDQWHV
DOFXUVDUHVWXGLRVVXSHULRUHV
(QOD3ULPDULDVHSURSRQHWUDEDMDUOD*HRPHWUtDPHGLDQWHDSUR[LPDFLRQHVPX\LQWXLWLYDV\FRQ
WH[WXDOL]DGDV TXH VH GHEHQ IRUPDOL]DU HQ OD 6HFXQGDULD HQ FLHUWRVWHPDV /D JHRPHWUtD VLQWpWLFD
VLQFRRUGHQDGDVVLJXHVLHQGRFODYHHQFXDQWRDODJHQHUDFLyQGHFDSDFLGDGHVGHUD]RQDPLHQWR\
SUXHED6HGHVWDFDHQ ORVSULPHURVFLFORVHOUHFRQRFLPLHQWRGHILJXUDV \SURSLHGDGHVJHRPpWUL
FDVVHFXOWLYDHOVHQWLGRHVSDFLDO\HOHVWXGLRHQHOSODQRGHILJXUDVVyOLGDV(VWHWUDWDPLHQWRVH
SURIXQGL]DHQHO7HUFHUFLFORHVSHFLDOPHQWHHQž$xRVHRIUHFHXQpQIDVLVDORVDVSHFWRVOyJLFRV
\ GHGXFWLYRV HV GHFLU DO UD]RQDPLHQWR DUJXPHQWDFLyQ \ SUXHED %DMR HVWD YLVLyQ VH SUHWHQGH
WUDWDU ORV WySLFRV GH FRQJUXHQFLD \ VHPHMDQ]D GH ILJXUDV JHRPpWULFDV LQWURGXFLGRV GH PDQHUD
VHQFLOODSRUPHGLRGHOFRQFHSWRGHKRPRWHFLDORTXHHVQRYHGRVRFRQORTXHGHQXHYRVHORJUD
XQDFRQH[LyQFRQODJHRPHWUtDGHFRRUGHQDGDV
(QHOSODQGHHVWXGLRV ORVWHPDVGH HVWDiUHDVREUHWRGRHQ OD6HFXQGDULDVH KDQVHOHFFLRQDGR
FRQEDVHHQHOFULWHULR GHSHUVHJXLUHOGHVDUUROORGH ODFRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD \ D OD YH]HOGH
SURSRUFLRQDU ORV FRQWHQLGRV \ KDELOLGDGHV LQVWUXPHQWDOHV SDUD XQD IRUPDFLyQ SURIHVLRQDO SRVWH
ULRU6HH[FOX\HURQGHODSURSXHVWDDTXHOORVFRQWHQLGRVFX\RDSRUWHQRIDYRUHFtDDQLQJXQDGHODV
GRV
/DWULJRQRPHWUtDVHLQWURGXFHHQž$xRIDYRUHFLHQGRODFRQH[LyQFRQOD*HRPHWUtD(VSULPRU
GLDOHQIDWL]DUHOXVRGHPRGHORVGRQGHSDUWLFLSDODWULJRQRPHWUtD
Medidas
/D PHGLGDHVXQDFDUDFWHUtVWLFDGHDOJXQRVREMHWRV ItVLFRVRPDWHPiWLFRV1RWRGRDWULEXWRHV
PHGLEOHFXDQWLWDWLYDPHQWH\HQHOFDVRGHORVTXHDGPLWHQODPHGLFLyQVLHPSUHKD\XQVHQWLGRGH
DSUR[LPDFLyQ7DQWRSRUHOVXMHWRTXHODKDJDFRPRSRUHOLQVWUXPHQWRTXHVHXWLOLFHDSDUHFHXQ
SRUFHQWDMHGHHUURU(VWHHVXQRGHORVDVXQWRVFODYHGHHVWDiUHD/DVPHGLGDVHVWiQHPSDUHQWD
GDVFRQHOVHQWLGRQXPpULFRFRQODHVWLPDFLyQHQSDUWLFXODU8QPLVPRDWULEXWRTXHHVFRP~QD
YDULRVREMHWRVSHUPLWHODFRPSDUDFLyQGHPHGLFLRQHV\SRU HQGHDSUHFLDUVHPHMDQ]DV\GLIHUHQ
Metodología
Sobre áreas matemáticas
FLDV HQWUH ORV REMHWRV (Q XQ PLVPR REMHWR VXV DWULEXWRV VRQ VXVFHSWLEOHV GH SRVHHU UHODFLRQHV
FX\RHVWXGLRSXHGHKDFHUVHDWUDYpVGHPHGLGDV3RUHMHPSORXQWULiQJXORGLEXMDGRHVXQREMHWR
TXH SRVHH SHUtPHWUR \ iUHD H[LVWH XQD UHODFLyQ HQWUH DPERV < PiV D~Q FXDQGR VH LQWURGXFHQ
FDPELRV HQ XQ DWULEXWR SXHGH VHU TXH RWURV SHUPDQH]FDQ LQYDULDQWHV R TXH FDPELHQ GH FLHUWD
PDQHUDSRUHMHPSORSXHGHKDEHUYDULRVUHFWiQJXORVFRQiUHDGHFHQWtPHWURVFXDGUDGRVSHUR
FRQSHUtPHWURVGLVWLQWRVVHFDPELDQORVYDORUHVGHODQFKR\HOODUJRSHURHOiUHDVLJXHLJXDO
6HSURSRQHHOiUHDGH ODV PHGLGDVFRPRXQD IXHQWH PX\ULFDSDUD LQWURGXFLUREMHWRV\SURFHGL
PLHQWRVPDWHPiWLFRVSDUDKDFHUFRQH[LRQHVFRQRWUDViUHDVPDWHPiWLFDV\QRPDWHPiWLFDV\FRQ
PXFKDVVLWXDFLRQHVGHOHQWRUQR/DV PHGLGDVSXHGHQDSR\DUHOHVWXGLRGHYDULRVFRQFHSWRVPD
WHPiWLFRV FRPR HO FDPELR \ OD LQYDULDQFLD EDMR DOJXQDV WUDQVIRUPDFLRQHV 'H OD PLVPD IRUPD
ODV XQLGDGHV GH PHGLGDV VH SXHGHQ PDQLSXODU FRPR YDULDEOHV HVSHFLDOPHQWH FXDQGR VH KDFHQ
FRQYHUVLRQHV GH XQLGDGHV \ SRU OR WDQWR VHU FDSDFHV GH PRWLYDU XQ WUDWDPLHQWR SRU PHGLR GH
SURFHGLPLHQWRV DOJHEUDLFRV PiV JHQHUDOHV 7HPDV FRPR OD SURSRUFLRQDOLGDG PDWHPiWLFD R OD
VHPHMDQ]D GH ILJXUDV VH SXHGHQ JHQHUDU XVDQGR PDSDV TXH H[SUHVDQ UHODFLRQHV GH PHGLGDV GH
SRVLFLRQHV PHGLDQWH HVFDODV GLYHUVDV (O XVR GH HVFDODV QR OLQHDOHV SRU HMHPSOR ORJDUtWPLFDV
SXHGHQXVDUVHSDUDFUHDUPRGHORVUHDOHVHQORVQLYHOHVILQDOHVGHODHGXFDFLyQ6HFXQGDULD
/DVPHGLGDVVHDVRFLDQHQHO3ULPHUFLFORPiVDOiUHDGH1~PHURV\HQHO6HJXQGRFLFORD*HR
PHWUtDSHURWDPELpQVHUHTXLHUHSDUDDOJXQRVWySLFRVGH(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG(QHO7HUFHU
FLFOR\HO&LFORGLYHUVLILFDGR0HGLGDVVHLQWURGXFHGHPDQHUDWUDQVYHUVDODODVRWUDViUHDVPDWH
PiWLFDV (VWD SUHVHQFLD WUDQVYHUVDO GH PHGLGDV HQ OD 6HFXQGDULD FRQWULEX\H D XQ WUDWDPLHQWR
FRQWH[WXDOL]DGR GH YDULRV WHPDV PDWHPiWLFRV \ D XQ VHQWLGR GH UHDOLGDG TXH GHEHQ SRVHHU ODV
0DWHPiWLFDVHVFRODUHV
$TXtVHKDQLQFRUSRUDGRPHGLGDVUHODWLYDVDGLPHQVLRQHVGHODLQIRUPiWLFDFRPRODFDSDFLGDGGH
DOPDFHQDPLHQWR\GH YHORFLGDGGH WUDQVPLVLyQGH ORVGDWRVORTXHVLQWRQL]DFRQHOHQWRUQRLQ
IRUPDWL]DGR\OOHQRGHWHFQRORJtDTXHYLYLPRV
Relaciones y Álgebra
+D\YDULDVLQGLFDFLRQHVUHOHYDQWHVVREUHHVWDiUHD /DVIXQFLRQHVTXHXVXDOPHQWHKDQWHQLGRHQ
HOSDVDGRVyORXQWUDWDPLHQWRPX\DEVWUDFWRGHUHODFLRQHVHQWUHHOHPHQWRVGHFRQMXQWRVFRUUHV
SRQGHQFLDV GRPLQLRV FRQGRPLQLRV iPELWRV HWF VH FRORFDQ DTXt HQ RWUD SHUVSHFWLYD PiV
FRQFUHWDUHODFLRQHVGHFDPELRHQWUHYDULDEOHVTXHGHSHQGHQHQWUHVt/DVIXQFLRQHVYLVWDVDVt
HVWiQ DVRFLDGDV D UHODFLRQHV PiV JHQHUDOHV FRPR SXHGHQ VHU ODV UHODFLRQHV GH RUGHQ PHQRU R
PD\RUTXHRODVUHODFLRQHVGHGLYLVLELOLGDGHWF$VXQWRVFRPRODSURSRUFLRQDOLGDGORVSRUFHQWD
MHVODVYHORFLGDGHVRUD]RQHVGHFDPELRIRUPDQSDUWHGHHVWDiUHD
(OFRQFHSWRGHFDPELRRYDULDFLyQTXHWDPELpQHVFRP~QDODQiOLVLVGHGDWRVIRUPDSDUWHFHQ
WUDOGHORVWHPDVGHHVWDiUHD6HSRGUtDGHFLUTXHORVSURFHVRVGHFDPELRSXHGHQVHUPRGHODGRV
SRUODVUHODFLRQHV\IXQFLRQHVPDWHPiWLFDV\pVWDVSXHGHQWHQHUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiIL
FDVWDEXODUHVVLPEyOLFDV
2WURDVXQWRLPSRUWDQWHVHIDYRUHFHXQWUDWDPLHQWR³IXQFLRQDO´ GH OD PDQLSXODFLyQGHH[SUHVLR
QHV VLPEyOLFDV SRU HMHPSOR ODV HFXDFLRQHV OD IDFWRUL]DFLyQ \ OD VLPSOLILFDFLyQ OR TXH SHUPLWH
GDUOHVLJQLILFDGRDYDULRVWHPDVGHHVHWLSR\HPSH]DUODIRUPDFLyQHQHVWHSHQVDPLHQWRIXQFLR
QDOGHVGHOD3ULPDULDDXQTXHGHPDQHUDJUDGXDO
Metodología
Sobre áreas matemáticas
/DDVRFLDFLyQHQWUHIXQFLRQHV\iOJHEUDSHUPLWHGDUOHFRKHUHQFLDDPXFKRVFRQWHQLGRVTXHVXHOHQ
HVWDUGLVSHUVRVHQORVSODQHVGHHVWXGLRXVXDOHV
/RVWHPDVGHHVWDiUHDSRUHMHPSORHQHO&LFORGLYHUVLILFDGRSRVHHQHVWUHFKDFRQH[LyQ\FRQWL
QXLGDGFRQODIRUPDFLyQSURIHVLRQDOHQPXFKDVFDUUHUDVTXHUHTXLHUHQPDWHPiWLFDV3RUHVRHQ
ORV~OWLPRVDxRVGHOD6HFXQGDULDVHLQVLVWHHQFRQWHQLGRV\KDELOLGDGHVGHODVIXQFLRQHVFRQXQD
IXHUWHRULHQWDFLyQKDFLDODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\ODPRGHOL]DFLyQ3RUHMHPSORODVIXQFLRQHV
WUDVFHQGHQWHVH[SRQHQFLDOHV ORJDUtWPLFDVVHWUDWDQFRQHVWDYLVLyQ QRYHGRVD \HVWLPXODQWH(O
DSUHQGL]DMH \ XWLOL]DFLyQ GH ODV IXQFLRQHV HQ GLYHUVRV FRQWH[WRV FLHUUD OD IRUPDFLyQ PDWHPiWLFD
TXHDSRUWDHVWDiUHD
6HKDFRQVLGHUDGRUHOHYDQWHHOXVRGHWHFQRORJtDVGHFyPSXWRDOJHEUDLFRHQWHPDVFRPRODIDFWR
UL]DFLyQRHOPDQHMRGHSROLQRPLRV\DTXHGDQFDELGDQDWXUDODODSDUWLFLSDFLyQGHQXHYRVVLVWH
PDVGHVRIWZDUHRKDUGZDUH\HVWRHQWRQFHVVHFRQVLJQDHQHOUHSODQWHDPLHQWRGHDOJXQRVGHORV
FRQWHQLGRVFXUULFXODUHV\VREUHWRGRHOHQIRTXHFRQHOTXHVHLQWURGXFHQ
6HLQWHJUDQ\FRQFHQWUDQORVWySLFRVDOJHEUDLFRVSRUHMHPSORVHFRQFHQWUDHOHVWXGLRGHOROLQHDO
HFXDFLRQHV\IXQFLRQHVHQHOž$xR\ORFXDGUiWLFRHFXDFLRQHV\IXQFLRQHVHQHOž$xR(VWR
SUHSDUDODLQWURGXFFLyQHQž$xRGHOHVWXGLRDEVWUDFWRGHODVIXQFLRQHV&RQHVWDYLVLyQTXHKD
SHUPHDGRORVSURJUDPDVFRQUHODFLRQHV\IXQFLRQHVGHVGHHO3ULPHUFLFOR\TXHVHSURIXQGL]DHQ
HO7HUFHU&LFORVHORJUDFRQPD\RUIDFLOLGDGHODSUHQGL]DMHGHORVDVSHFWRVPiVDEVWUDFWRVGHODV
IXQFLRQHV
(VWDiUHDPDWHPiWLFDHQFRQH[LyQFRQRWUDViUHDVHQHVWHSURJUDPDGHHVWXGLRV\FRQXQDEXHQD
SUHSDUDFLyQGHVGHOD3ULPDULDVHFRQYLHUWHHQHOFRUD]yQGHODHGXFDFLyQ6HFXQGDULD
Estadística y Probabilidad
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDGTXLHUHXQUHOLHYHPXFKRPD\RUHQHVWHSODQGHHVWXGLRVTXHHQORV
DQWHULRUHV$QWHVDOGHVYDQHFHUVHHQHO&LFORGLYHUVLILFDGR\DOQRLQFOXLUVHSUREDELOLGDGDSOLFDGD
RHVWDGtVWLFDTXHGDQGRSRUIXHUDGH ODVSUXHEDV GHO%DFKLOOHUDWRVHTXLWDEDQSRGHURVRVPHGLRV
SDUDODFRPSUHQVLyQ\RUJDQL]DFLyQGHODLQIRUPDFLyQ$SDUWLUGHORVDxRV1RYHQWDVHKDJHQHUD
OL]DGRVXXVR\SRWHQFLDGRVXOXJDUHQ ORV SURJUDPDVGHORVGLVWLQWRVSDtVHVSRUVX QRWDEOHSUH
VHQFLDHQODYLGDFRWLGLDQD(VWDHVXQiUHDTXHSHUPLWHYLVXDOL]DUPHMRUHOSDSHOGHODV0DWHPi
WLFDV\FRQWULEXLUFRQDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVHQWRUQRDHVWDGLVFLSOLQD 3RUHVRHVWDiUHD
SRVHH XQ OXJDU HVWUDWpJLFR TXH DOLPHQWD GLUHFWDPHQWH HO VHQWLGR GH OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD
DOUHGHGRUGHODGHVFULSFLyQGHODUHDOLGDG\HOFXOWLYRGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQFRQWH[WRV
GLYHUVRV
/D DGLFLyQ GH PiV WySLFRV GH SUREDELOLGDG HQ HO SUHVHQWH SURJUDPD EXVFD IRUPDU HQ HO SHQVD
PLHQWRDOHDWRULR\HQHOGHVDUUROORGHFDSDFLGDGHVSDUDDERUGDUHOD]DUORLPSUHGHFLEOHODLQFHU
WLGXPEUHFDUDFWHUtVWLFDVTXHSDUWLFLSDQHQHOFRQRFLPLHQWR\HQODYLGDGHP~OWLSOHVPDQHUDV/D
SUREDELOLGDGFRQHFWD PXFKRFRQ1~PHURV \*HRPHWUtD \VHGHEHWUDWDUGHPDQHUD LQIRUPDOHQ
ORVSULPHURVDxRVSDUDLUDYDQ]DQGRHQVXDEVWUDFFLyQHQOD6HFXQGDULD
Metodología
Sobre áreas matemáticas
(OOXJDUUHOHYDQWHTXHVHGDDHVWDiUHDREHGHFHDOSDSHOTXHMXHJDODLQIRUPDFLyQ\HOPDQHMRGHO
D]DU HQ OD VRFLHGDG PRGHUQD (Q HO VLJOR ;;, VH UHTXLHUH GH SHUVRQDV FDSDFHV GH FRPSUHQGHU
LQWHUSUHWDU\XVDU OD LQIRUPDFLyQSDUDHQWHQGHU ODUHDOLGDGUHVROYHUGLVWLQWRVSUREOHPDV \WRPDU
GHFLVLRQHV LQWHOLJHQWHV /RV WHPDV GH OD (VWDGtVWLFD \ OD 3UREDELOLGDG VRQ FDGD GtD XQ UHTXLVLWR
SDUDSRGHUFRPSUHQGHUORTXHSDVDHQHOPXQGR\SRGHUDFWXDU/RVWySLFRVGHHVWDiUHDVHLQWUR
GXFHQ GH IRUPD SDXODWLQD LQWXLWLYD \ SUiFWLFD GHVGH HO 3ULPHU FLFOR \ SUHVHUYDQGR HVH WRQR HQ
WRGDODHGXFDFLyQ3ULPDULD<DHQHO7HUFHU&LFORVHUHSDVDQ\IRUPDOL]DQORVFRQFHSWRV\WpFQL
FDVLQWURGXFLGDVTXHVHUHVXPHQ\FRPSOHWDQHQHO&LFORGLYHUVLILFDGR(QWRGRPRPHQWRORTXH
HVDSHQDVQDWXUDOHQHVWDiUHDODVWHPiWLFDVVHSUHVHQWDQDWUDYpVGHSUREOHPDVUHDOHVTXHJHQH
UDQFRQH[LRQHVFRQRWUDVPDWHULDVFRPR&LHQFLDV\(VWXGLRV6RFLDOHV\TXHSHUPLWHQ IDYRUHFHU
DFWLWXGHVSRVLWLYDVVREUHODV0DWHPiWLFDV
$OJXQDV FRQVLGHUDFLRQHV VREUH HVWD iUHD UHVXOWDQ LOXPLQDGRUDV SRU XQ ODGR XQR GH ORV WHPDV
IXQGDPHQWDOHV TXH VH GHVDUUROOD SHUVLVWHQWHPHQWH HV HO GH OD YDULDELOLGDG GH ORV GDWRV (V PX\
LPSRUWDQWH LQVLVWLU HQ TXH OD UHSUHVHQWDFLyQ \ PRGHOL]DFLyQ GH PXFKRV IHQyPHQRV VH KDFH SRU
PHGLR GH GDWRV \ TXH ORV GLIHUHQWHV FRQMXQWRV GH GDWRV VH SXHGHQ FRPSDUDU \ DVt EULQGDU PiV
FRQRFLPLHQWRGHORVIHQyPHQRVGHSDUWLGD'HLJXDO PDQHUDXQFRQMXQWRGHGDWRVUHTXLHUH LQV
WUXPHQWRV SDUD VX GHVFULSFLyQ PHGLD PHGLDQD PRGD UDQJR GHVYLDFLyQ VX HQVHxDQ]D GHEH
KDFHUVHHQEXHQDSDUWHHQIXQFLyQGHVXDSOLFDFLyQHQHODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQ\UHVROXFLyQ
GHSUREOHPDV\QRFRPRREMHWRVHQVtPLVPRV(VWRHVUHOHYDQWHSXHVDYHFHVVHYHHTXLYRFDGD
PHQWH OD (VWDGtVWLFD HVFRODU FRPR FROHFFLRQHV GH IyUPXODV \ XQ PDQHMR PHFiQLFR GH HVRV LQV
WUXPHQWRV
/DVUHSUHVHQWDFLRQHVGHIHQyPHQRVHVWDGtVWLFRVGHEHQSDVDUGHIRUPDVVLPSOHVDPiVFRPSOHMDV
HQORVGLVWLQWRVQLYHOHVGHHVFRODULGDGVLHPSUHGHORPiVLQWXLWLYRHQORVSULPHURVDxRVDORPiV
WpFQLFRHQORV~OWLPRVDxRVVLQROYLGDUTXHXQPLVPRFRQMXQWRGHGDWRVSHUPLWHUHDOL]DUGLVWLQWDV
UHSUHVHQWDFLRQHV
8Q GHWDOOH VXVWDQFLDO D WRPDU HQ FXHQWD HQ OD HQVHxDQ]D GH OD 3UREDELOLGDG HVSHFLDOPHQWH HQ OD
3ULPDULD HV OD HQVHxDQ]D GH OD GLIHUHQFLD HQWUH ORV Q~PHURV TXH UHSUHVHQWDQ YDORUHV GH GDWRV \
DTXHOORVYDORUHVGHIUHFXHQFLDFRQTXHRFXUUHQHVRVSULPHURVYDORUHV6HHQFXHQWUDHQODHVHQFLD
GHHVWDGLVFLSOLQDODGLVWLQFLyQHQWUHSRUHMHPSORTXHQRVHSXHGDSUHGHFLUTXHVHREWHQJDHVFX
GR R FRURQD DO ODQ]DUVH XQD PRQHGD PLHQWUDV TXH Vt VH SXHGD GHWHUPLQDU OD WHQGHQFLD GH XQ
Q~PHURJUDQGHGHODQ]DPLHQWRV
6HVXJLHUHXQDUHODFLyQHVWUHFKDFRQHOXVRGHDOJXQDVWHFQRORJtDVGLJLWDOHVSXHVWRTXHPXFKRV
GHORVGDWRVSXHGHQ\GHEHQ³SURFHVDUVH´SRUPHGLRGHHVHWLSRGHLQVWUXPHQWRV(VWRHVUHOHYDQ
WHSXHVH[LVWHXQDXPHQWRYLJRURVRHQLQVWUXPHQWRVWHFQROyJLFRVGHDQiOLVLVGHGDWRV\PRGHOD
FLyQPDWHPiWLFD,QWHUQHWSURSRUFLRQDKR\DFFHVRDXQDYDULHGDGGHGDWRVTXHSXHGHQVHUH[SOR
UDGRVHQODFODVHGH(VWDGtVWLFD
8QHJUHVDGRGHODHGXFDFLyQ6HFXQGDULDFRVWDUULFHQVHGHEHVHUFDSD]GHFRPSDUDU\MX]JDUHQOD
YLGD FRWLGLDQD OD YDOLGH] GH DUJXPHQWRV EDVDGRV HQ GDWRV LGHQWLILFDU ORV HUURUHV \ GLVWRUVLRQHV
FRPXQHVHQORVPHGLRVGHLQIRUPDFLyQGHVFXEULUODUDFLRQDOLGDGGHDILUPDFLRQHVVREUHODSURED
ELOLGDGGHHYHQWRVDVtFRPRPDQHMDUODVLGHDVEiVLFDVGHPXHVWUHR\UHDOL]DUHVWDGtVWLFDVDSOLFD
GDVVLPSOHV$OLJXDOTXHODOHFWXUD\HVFULWXUDHOPDQHMRGHOD$ULWPpWLFDOD*HRPHWUtDHOÈOJH
EUD \ RWUDV IRUPDV GH PDWHPiWLFDV KDQ VLGR SDUWH GH OD DOIDEHWL]DFLyQ GH OD FLXGDGDQtD GXUDQWH
pSRFDVOD(VWDGtVWLFD\OD3UREDELOLGDGGHEHQFRQFHELUVHFRPRSDUWHGHODDOIDEHWL]DFLyQFLXGD
GDQDHQHODFWXDOHVFHQDULRKLVWyULFR
Metodología
Sobre procesos matemáticos
Sobre procesos matemáticos
(QFRQJUXHQFLDFRQORVIXQGDPHQWRVWHyULFRVGHHVWHFXUUtFXORXQDYH]RIUHFLGDVDOJXQDVRULHQ
WDFLRQHVGHPpWRGRVREUHORVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVTXHRUJDQL]DQORVSODQHVGHHVWXGLRHV
UHOHYDQWH EULQGDU VXJHUHQFLDV VREUH ORV SURFHVRV PDWHPiWLFRV HV GHFLU IRUPDV GH FRPSUHQGHU
DSUHQGHU \ XVDU ORV FRQRFLPLHQWRV TXH SURPXHYHQ FDSDFLGDGHV FRJQLWLYDV WUDQVYHUVDOHV \ OD
FRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD
Indicaciones para cada proceso
Razonar y argumentar
(OSURFHVRVHDFWLYDHQWRGDVODViUHDVGHP~OWLSOHVPDQHUDVSRUHMHPSORHQHOHVWXGLRGHUHJXOD
ULGDGHV \SDWURQHVHQ OD MXVWLILFDFLyQGH ODFRQJUXHQFLDGHWULiQJXORV ODHOHFFLyQGHXQDUHSUH
VHQWDFLyQ PDWHPiWLFD \VX PDQLSXODFLyQHQ ODVROXFLyQGHHFXDFLRQHV HQWUHRWURV/DMXVWLILFD
FLyQ \SUXHEDVRQSDUWHHVHQFLDOGH ORVTXHKDFHUHV PDWHPiWLFRV \SRUORWDQWRGHEHQRFXSDUXQ
OXJDUHVSHFLDOHQODIRUPDFLyQHVFRODU
8QOXJDUUHOHYDQWHORRFXSDODDFFLyQGHFRQMHWXUDUSXHVHVXQFDPLQRFHQWUDOSDUDHOGHVFXEUL
PLHQWR 6H WUDWD HQ JHQHUDO GH SODQWHDU XQD FRQMHWXUD \ EXVFDU ORV PHGLRV SDUD MXVWLILFDUOD HQ
DGHFXDFLyQDFDGDQLYHOHGXFDWLYR\DVHDSRUPHGLRGHPDWHULDOHVFRQFUHWRVGLDJUDPDVFDOFX
ODGRUDVXRWURVLQVWUXPHQWRV/DVFRQMHWXUDVGHEHUiQKDFHUVHVREUHWySLFRVPiVJHQHUDOHVRDEV
WUDFWRV FRQIRUPH VH SURJUHVH HQ OD IRUPDFLyQ HVFRODU \ GH PRGR FUHFLHQWH VH GHEHUiQ XVDU ODV
IRUPDV PDWHPiWLFDV PiV SUHFLVDV RWpFQLFDV /D DUJXPHQWDFLyQ WDPELpQ GHEH FXOWLYDUVH GH XQD
PDQHUDJUDGXDOSULPHURDFXGLHQGRDIRUPDVYHUEDOHVOXHJRHVFULWDV\PiVWDUGHVLPEyOLFDV $Vt
PLVPR VH GHEHQ LU LQWURGXFLHQGR SRFR D SRFR ODV IRUPDV GH UD]RQDPLHQWR SRU FRQWUDGLFFLyQ
LQGXFFLyQXVRGHFRQWUDHMHPSORV\ODVGLIHUHQWHVIRUPDVGHODGHGXFFLyQ
(VWH SURFHVR VH SXHGH UHIRU]DU SRU PHGLR GH OD DFWLYLGDG GH JUXSR HQ OD TXH VH FRQWUDVWHQ ODV
DUJXPHQWDFLRQHV R MXVWLILFDFLRQHV TXH DSRUWD FDGD HVWXGLDQWH VLHPSUH FRQ OD JXtD GRFHQWH 'H
LJXDOPDQHUDORVHUURUHVTXHVHFRPHWHQVRQRSRUWXQLGDGHVPX\~WLOHVSDUDPHMRUDUORVSURFHVRV
GHUD]RQDPLHQWRPDWHPiWLFR\KDFHUSURJUHVDUODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDJHQHUDODVRFLDGD
Plantear y resolver problemas
+D\DOJXQRVHOHPHQWRVTXHYDOHODSHQDVXEUD\DU(QSULPHUOXJDUTXHQRWRGRSUREOHPDSHUPLWH
FRQGXFLU D LGHDV PDWHPiWLFDV DXQTXH VHD LQWHUHVDQWH R GLYHUWLGR SRU HVR OD DFFLyQ GRFHQWH HV
GHFLVLYDSDUDHOGLVHxRGHSUREOHPDVDSURSLDGRV(QVHJXQGROXJDUHQFDGDiUHDPDWHPiWLFDHV
SRVLEOH UHDOL]DU HVWH SURFHVR GH GLVWLQWDV PDQHUDV SHUR VLHPSUH JUDGXDOPHQWH /DV HVWUDWHJLDV
SDUDODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVGHEHQVHULQWURGXFLGDVQRGHPDQHUDDEVWUDFWDVLQRHQODVLQVWDQ
FLDVHVSHFtILFDVHQ ORVSUREOHPDVHVFRJLGRVDYHFHVVHUiSRWHQFLDUHOXVRGHGLDJUDPDVRWUDVHO
UHFRQRFLPLHQWR GH SDWURQHV R OD SUXHED FRQ OD H[KLELFLyQ GH FDVRV HWF 'H LJXDO PDQHUD HV
QHFHVDULRHQWUHQDU D ODV \ ORVHVWXGLDQWHVHQ ODVGLIHUHQWHVHWDSDVGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
Metodología
Sobre procesos matemáticos
FRPRODFRPSUHQVLyQGHORVPLVPRVHOWUD]DGRGHSODQHVGHDFFLyQ\ODHYDOXDFLyQRPRQLWRUHR
GHODVDFFLRQHV
(O XVR GH PRGHORV SRU RWUD SDUWH GHEH KDFHUVH GH IRUPD HVFDORQDGD FRQ OD HQVHxDQ]D GH ODV
GLYHUVDV HVWUDWHJLDV /DV DFWLYLGDGHV GH PRGHOL]DFLyQ VyOR VH SXHGHQ GDU FRQ XQ FRPSURPLVR
HVWXGLDQWLODFWLYRTXHHVYLWDOSDUDTXHODFRQWH[WXDOL]DFLyQWHQJDp[LWRHQODHQVHxDQ]D/DPRGH
OL]DFLyQHVXQDDFFLyQTXHVHGHVDUUROODGHXQDPDQHUDQDWXUDO\SULYLOHJLDGDFXDQGRVHLQVFULEH
HQXQPDUFRHGXFDWLYRGRQGHHVFHQWUDOODRUJDQL]DFLyQGHODVOHFFLRQHVSRUPHGLRGHSUREOHPDV
Comunicar
(VWHSURFHVRHVWiDVRFLDGRDXQDFDUDFWHUtVWLFDHVHQFLDO GHORVTXHKDFHUHVPDWHPiWLFRVXQDLGHD
PDWHPiWLFDSDUDVHU³FRUUHFWD´GHEHVHUDFHSWDGDSRUXQDFRPXQLGDGSURIHVLRQDOGHPDWHPiWLFRV
([LVWHQUHJODVHVSHFtILFDVSDUDKDFHUHVWRORFXDOHVLPSRUWDQWHGHLQFOXLUHQORVSURJUDPDVHVFR
ODUHV (O SURFHVR VXJLHUH OD FRPXQLFDFLyQ HQ GLVWLQWRV QLYHOHV \ IRUPDV GHVGH ODV PiV VLPSOHV
FRPRYHUEDOHVRHVFULWDVKDVWDJUiILFDVVLPEyOLFDV\IRUPDOHV
'HEHVHxDODUVHTXHQRWRGRWySLFRVHSUHVWDSDUDUHDOL]DUDFWLYLGDGHVULFDVGHFRPXQLFDFLyQ3RU
HMHPSORORVDOJRULWPRVVRQHQHVHVHQWLGRPHQRV~WLOHVTXHORVFRQFHSWRVVLQHPEDUJRPHGLDQWH
XQD DFFLyQ GRFHQWH DGHFXDGD HV SRVLEOH GHVHQFDGHQDU FRPXQLFDFLyQ PDWHPiWLFD /D FRPXQLFD
FLyQ \ HO SHQVDPLHQWR PDWHPiWLFR HQ SDUWLFXODU OD DUJXPHQWDFLyQ HVWiQ HQWUHOD]DGRV HQ ORV
TXHKDFHUHVPDWHPiWLFRV&RPXQLFDUREOLJDDSUHFLVDUHOSHQVDPLHQWR
(QHODXODSRUHMHPSORVHSXHGHXVDUODFRPXQLFDFLyQ PDWHPiWLFDSDUDLQWURGXFLUQXHYRVFRQ
FHSWRVSLGLHQGRODHODERUDFLyQGHGLDJUDPDVGHH[SUHVLyQGHLGHDVGHFRORFDFLyQGHVtPERORV\
H[SUHVLRQHV\WDPELpQVROLGLILFDUHOSURSLRSHQVDPLHQWRHVWXGLDQWLOVREUHODVLGHDVTXHVHLQWUR
GXFHQHQODFODVH(OGHVDUUROORGHHVWHSURFHVRSHUPLWHFRQRFHURWURVSXQWRVGHYLVWDTXHSXHGHQ
PRVWUDUDVSHFWRVGLVWLQWRVGHXQDHQWLGDGPDWHPiWLFD<GHLJXDOPDQHUDHQODVDFWLYLGDGHVDVR
FLDGDV DO SURFHVR &RPXQLFDU HV SRVLEOH HQVDQFKDU OD FULWLFLGDG D WUDYpV GHO QDWXUDO FXHVWLRQD
PLHQWRUDFLRQDOGHODVDILUPDFLRQHV\DUJXPHQWDFLRQHVH[SUHVDGDV
(O OHQJXDMH PDWHPiWLFRHVSHFtILFRDYHFHVDEVWUDFWR\ PX\WpFQLFRHVHOYHKtFXORDWUDYpVGHO
FXDOYLDMDQ ODVFRPXQLFDFLRQHV PDWHPiWLFDV\SRUHVRGHEHHQWUHQDUVH+D\XQDVLPLOLWXGHQWUH
ODFRPXQLFDFLyQPDWHPiWLFD\DTXHOODTXHVHUHDOL]DHQRWUDViUHDVHVQHFHVDULDODSUiFWLFDFRQV
WDQWH\ ODJXtDGRFHQWH3HURSUHFLVDPHQWHSRUVXWHFQLFLVPR \DEVWUDFFLyQHVQHFHVDULRUHDOL]DU
HVWHSURFHVRGHIRUPDSDXODWLQDHQWRGRVORVQLYHOHVHGXFDWLYRV
Conectar
(VQHFHVDULRWHQHUXQD YLVLyQDPSOLDGH ORTXHHVWHSURFHVRVXSRQHHQHO PHGLRHGXFDWLYR/DV
FRQH[LRQHV VH SXHGHQ GHVDUUROODU HQ PXFKRV FRQWH[WRV SRU HMHPSOR GHQWUR GH FDGD iUHD PDWH
PiWLFD FRPR FXDQGR VH DSOLFDQ ORV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV GH ORV Q~PHURV QDWXUDOHV HQ
ORVUDFLRQDOHVRUHDOHV3HURWDPELpQHQWUHODVGLVWLQWDViUHDV PDWHPiWLFDV \GH PDQHUDJHQHUDO
FRQ RWUDV PDWHULDV /DV 0DWHPiWLFDV SRU VX PLVPD QDWXUDOH]D SRVHHQ ODV SRWHQFLDOLGDGHV SDUD
DSR\DU ORVSURFHVRVWUDQVGLVFLSOLQDULRVTXHGHVGH ORVSULPHURVDxRVHVFRODUHVVHGHEHQFXOWLYDU
(OFRQRFLPLHQWRGHEHYLVXDOL]DUVHFRPRXQDUHDOLGDGLQWHUFRQHFWDGDOOHQDGHHQODFHV
Metodología
Sobre procesos matemáticos
(VWH WLSR GH IRUPDFLyQ HVFRODU SHUPLWH ORJUDU XQD FRPSUHQVLyQ PiV SURIXQGD \ SUHFLVD GH ORV
REMHWRVPDWHPiWLFRVSHURDGHPiVSHUPLWHFXOWLYDUODDEVWUDFFLyQHVWXGLDQWLOSXHVODJHQHUDOL]D
FLyQ\XQLYHUVDOL]DFLyQGHPpWRGRVHLGHDVREOLJDDPD\RUHVDEVWUDFFLRQHV2EVHUYDUODDSOLFDEL
OLGDGHLQWHUFRQHFWLYLGDGGHODV0DWHPiWLFDVUHIXHU]DVXDSUHFLR\GLVIUXWH
6LQHPEDUJRQRHVWDQVHQFLOOR LQWURGXFLU ODVFRQH[LRQHVHQHODXOD6HUHTXLHUHGRPLQLRGHODV
GLVWLQWDViUHDVPDWHPiWLFDVDVtFRPRGHDOJXQRVFRQRFLPLHQWRVSUHFLVRVSDUDDSR\DUHVWDVFRQH
[LRQHV FRQ SUREOHPDV HVSHFLDOHV (V LPSRUWDQWH SODQHDU DQWLFLSDGDPHQWH OD LQWURGXFFLyQ HQ HO
DXODGHODVFRQH[LRQHVGHORVWySLFRVGHXQDOHFFLyQ
Representar
/D UHSUHVHQWDFLyQ \ PDQLSXODFLyQ GH REMHWRV PDWHPiWLFRV QR GHEHQ YHUVH FRPR XQ ILQ HQ Vt
PLVPRGHEHHQWHQGHUVHTXHHVWDVUHSUHVHQWDFLRQHV\VXVOH\HVH[SUHVDQDODYH]DFFLRQHVPHQWD
OHV \ FDUDFWHUtVWLFDV GH ORV REMHWRV PDWHPiWLFRV 5HSUHVHQWDU GHEH HVWDU HVWUHFKDPHQWH OLJDGR D
&RPXQLFDU5D]RQDU\DUJXPHQWDU\3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVGHORFRQWUDULRVHGLVWRUVLR
QDVXVHQWLGRKDFLDXQXVRPHUDPHQWHPHFiQLFRVLQUHDOPHQWHSRGHUDOFDQ]DUODFRPSUHQVLyQ
/DV UHSUHVHQWDFLRQHV PDWHPiWLFDV SRU VtPERORV H[SUHVLRQHV GLDJUDPDV JUiILFRV R SRU PHGLRV
WHFQROyJLFRVVRQSURGXFWRVHODERUDGRVKLVWyULFDPHQWHSRUORTXHFDPELDQ \H[LJHQDFFLRQHVGH
HQVHxDQ]D\DSUHQGL]DMH6LELHQDOSULQFLSLRGHODHVFRODULGDGVRQSRVLEOHVIRUPDVQRFRQYHQFLR
QDOHVRLQFOXVR LQWXLWLYDV \SHUVRQDOHVSDUDUHSUHVHQWDU LGHDV PDWHPiWLFDVHV LPSRUWDQWHTXHVH
YD\DQ HQVHxDQGR JUDGXDOPHQWH IRUPDV PiV FRQYHQFLRQDOHV \ WpFQLFDV (O DSUHQGL]DMH GH ODV
UHSUHVHQWDFLRQHV PDWHPiWLFDV IRUPDOHV SHUPLWH TXH VH SXHGD UHDOL]DU OD FRPXQLFDFLyQ SXHV
RIUHFHHOOHQJXDMH\ORVREMHWRVSDUDHQWHQGHUVHVLFDGDTXLHQIXQFLRQDUDFRQVXVSURSLDVUHSUH
VHQWDFLRQHVLQGLYLGXDOHVQRKDEUtDOXJDUSDUDODFRPXQLFDFLyQ
(VWR HV PX\ UHOHYDQWH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV GH LGHDV \ REMHWRV PDWHPiWLFRV SXHGHQ IiFLOPHQWH
RVFXUHFHUODFRPSOHMLGDGGHODVLGHDV\REMHWRVTXHUHSUHVHQWDQ3RUHMHPSORFXDQGRVHHVFULEH[
SDUD UHSUHVHQWDU XQD YDULDEOH FRQ PXFKD VHQFLOOH] \ XWLOLGDG VH SXHGH SHUGHU GH YLVWD TXH HO
VLJQLILFDGRPDWHPiWLFRGHORTXHHVXQDYDULDEOHHVFRPSOHMR\GLItFLOGHFRPSUHQGHU\UHTXLHUH
DFFLRQHVHGXFDWLYDVSDUDVXDSUHQGL]DMH6XFHGHORPLVPRFRQHOVLVWHPDSRVLFLRQDOGHFLPDOHO
FXDO QRV SHUPLWH XQ XVR IiFLO HQ OD UHDOL]DFLyQ GH RSHUDFLRQHV DULWPpWLFDV TXH SXHGH RFXOWDU OD
FRPSOHMLGDGGHODVDFFLRQHVPHQWDOHV\PDWHPiWLFDVTXHUHSUHVHQWD
(OFXOWLYRGHODVUHSUHVHQWDFLRQHVGLYHUVDVSHUPLWHXQDRUJDQL]DFLyQPHMRUGHODVLGHDVPDWHPiWL
FDVSDUDDVtDYDQ]DUHQVXFRPSUHQVLyQ\HOGHVDUUROORGHQXHYDVIRUPDVPDWHPiWLFDV(VWRHVOR
PLVPRTXHKDVXFHGLGRHQORVDVXQWRVPDWHPiWLFRVPiVJHQHUDOHVQRDVRFLDGRVFRQODHGXFDFLyQ
VLQODVUHSUHVHQWDFLRQHVVLPEyOLFDV\JUiILFDVTXHFRQVWUX\HURQORVPDWHPiWLFRVQRKXELHUDVLGR
SRVLEOHHOSURJUHVRGHQXHYDVHWDSDVHQODV0DWHPiWLFDV
(V HVHQFLDO LQVLVWLU HQ ODV UHSUHVHQWDFLRQHV GLYHUVDV SDUD ORV REMHWRV PDWHPiWLFRV 6H WUDWD GH
PRVWUDUGHVGHODVHQFLOOH]GHH[SUHVDUGHGLIHUHQWHVPDQHUDVXQQ~PHURRH[SUHVLyQ
>[[@KDVWDRWUDVUHSUHVHQWDFLRQHVPiVFRPSOHMDV\DEVWUDFWDV&DGDUHSUHVHQWDFLyQGH
XQREMHWRPDWHPiWLFRSXHGHUHYHODUXQDVSHFWRRSURSLHGDGGHXQDPDQHUDHVSHFLDO3RUHMHPSOR
H[SUHVDXQQ~PHURSRUPHGLRGHXQDRSHUDFLyQRXQDUHODFLyQORTXHQRKDFHHOPLVPRQ~PHUR
Metodología
Sobre procesos matemáticos
(VFRJHU OD UHSUHVHQWDFLyQ PDWHPiWLFD RSRUWXQD SDUD UHVROYHU XQ SUREOHPD R FRQVWUXLU XQ
PRGHORHVXQRGHORVWySLFRVPiVUHOHYDQWHVHQODHQVHxDQ]DGHODV0DWHPiWLFDVSUiFWLFDTXHVH
KDYLVWRIDYRUHFLGDSRUHOXVRGHWHFQRORJtDVGLJLWDOHV
/DUHSUHVHQWDFLyQPDWHPiWLFD LQFRUSRUDDOPLVPRWLHPSRXQDDEVWUDFFLyQGHSURSLHGDGHVSHU
PLWLHQGRVXPDQLSXODFLyQHILFD] \DVHDSDUDFRQVWUXLUQXHYRVFRQFHSWRVRWHRUtDVSDUDUHVROYHU
SUREOHPDVFRQVWUXLUPRGHORVRELHQSDUDH[SUHVDUHQWLGDGHVPiVFRPSOHMDVHQGLVWLQWRVFRQWH[
WRV
(VPX\LPSRUWDQWHTXHGHPDQHUDHVFDORQDGDVHSXHGDDYDQ]DUHQODDEVWUDFFLyQGHODVUHSUHVHQ
WDFLRQHV PDWHPiWLFDVSDUDSRWHQFLDUHOFRQMXQWRGHPDWHPiWLFDVTXHVHSXHGHQDSUHQGHU \XVDU
&RQHOSURJUHVRGHGLVWLQWDVIRUPDVGHUHSUHVHQWDFLyQFDGDYH]FRQPD\RUDEVWUDFFLyQVHRIUH
FHQPiVRSRUWXQLGDGHVSDUDFRQVWUXLUPRGHORVPiVLQWHUHVDQWHV\FRPSOHMRVHQGLVWLQWDVVLWXDFLR
QHV
Otras sugerencias sobre procesos
$GDSWDFLyQDOQLYHOHGXFDWLYR\DOiUHDPDWHPiWLFD(VWRVSURFHVRVVHGHEHQLGHQWLILFDU\DGDSWDU
DSURSLDGDPHQWHHQFDGDQLYHOHGXFDWLYRDGHPiVVXSDUWLFLSDFLyQHVGLVWLQWDHQFDGDXQDGHODV
iUHDV PDWHPiWLFDV/DFRPXQLFDFLyQHQQ~PHURVRSHUDFLRQHV \FiOFXORVHVWDOYH] PiV IiFLOGH
UHDOL]DUHQODHGXFDFLyQ3ULPDULDTXHHQODVRWUDViUHDV(QDOJXQRVDxRVOHFWLYRVFLHUWRVWySLFRV\
iUHDV IDYRUHFHQ XQ SURFHVR PiV TXH RWUR3RU HMHPSOR HQ ž $xR FRQJUXHQFLD \ VHPHMDQ]D GH
ILJXUDVHQ*HRPHWUtDRODLQWURGXFFLyQGH ORVLUUDFLRQDOHVHQž$xRHQ1~PHURVSURPXHYHQ
HOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDU/DVFRQH[LRQHVFRQHOHQWRUQR\RWUDVPDWHULDVVRQIiFLOHVGH
UHDOL]DU HQ (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG HQ WRGR PRPHQWR \ ODV FRQH[LRQHV HQWUH *HRPHWUtD \
ÈOJHEUDVLHPSUHVHYHQIDYRUHFLGDV/DDFFLyQGRFHQWHGHOLEHUDGDHVODTXHSURSLFLDTXHVHDFWLYH
XQSURFHVR\SRUHVRODSODQLILFDFLyQSHGDJyJLFD\HOGLVHxRGHWDUHDVPDWHPiWLFDVGHEHQHIHF
WXDUVHFXLGDGRVDPHQWH
'LVHxDUSUREOHPDVHVSHFLDOHV+D\SUREOHPDVHVSHFLDOHVPiVULFRVTXHHVWLPXODQPiVSURFHVRV
TXHRWURV8QSUREOHPDQRGHEHGLVHxDUVHRULHQWDGR³H[FOXVLYDPHQWHDSURFHVRV´VLQRPiVELHQ
pVWRVGHEHQHPHUJHUGHSUREOHPDVRULHQWDGRVDODSUHQGL]DMHGHKDELOLGDGHV
(QULTXHFHU SUREOHPDV SDUD ORJUDU XQD PD\RU DFWLYDFLyQ GH SURFHVRV 8Q PLVPR SUREOHPD
SXHGHVHUPRGLILFDGRHQVXVYDULDEOHVGLGiFWLFDVSDUDTXHUHVXOWHPiVULFR(QULTXHFHUSUREOHPDV
HVXQDGHODVWDUHDVPiVLPSRUWDQWHVHQODHQVHxDQ]DGHODV0DWHPiWLFDV
,PSOHPHQWDU YDULRV SURFHVRV PDWHPiWLFRV HQ XQSUREOHPD 1R VLHPSUH VHUi SRVLEOH GHVDUUROODU
ORVFLQFRSURFHVRVFHQWUDOHVHQXQDOHFFLyQ(QDOJXQDVVHSRGUiSURSRQHUXQRVSURFHVRVXRWURV
RXQRVRORSHURHVLPSRUWDQWHWRPDUHVWRHQFXHQWDDODKRUDGHOSODQHDPLHQWR\GHOGHVDUUROORGH
OD OHFFLyQ $O HVFRJHUVH XQ SUREOHPD FRQWH[WXDOL]DGR FRPR FHQWUR JHQHUDGRU GH XQD OHFFLyQ VH
DSHODD3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVSHURWDPELpQHVSRVLEOHDFWLYDUDOOt5D]RQDU\DUJXPHQ
WDU &RQHFWDU \ &RPXQLFDU 1R WRGR SUREOHPD VH SUHVWD SDUD HOOR SHUR VH GHEHQ GLVHxDU
Metodología
Sobre la diversidad de estudiantes
WDUHDVGRQGHVHDSRVLEOHDFWLYDUHVRVSURFHVRV8QDYHQWDMDGHRUJDQL]DUODOHFFLyQSRUPHGLRGH
SUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRVHV ODSRVLELOLGDGGH TXHFDVLWRGRVORVSURFHVRVPDWHPiWLFRVHQWUHQ
HQMXHJR3HURWRGRGHSHQGHGHFyPRVHSODQLILTXH\FyPRVHGHVDUUROOHODOHFFLyQ
3URSLFLDUODUHGDFFLyQ\ODFRPXQLFDFLyQGHUHVSXHVWDV8QDDFWLYLGDGSULYLOHJLDGDTXHFRQYRFD
HVWRV~OWLPRVSURFHVRVPDWHPiWLFRVHV ODUHGDFFLyQFXLGDGRVDGH ODVVROXFLRQHV \ VXFRPXQLFD
FLyQRUDORHVFULWDHQHOVXEJUXSRRHQODFODVHFRPSOHWD
Sobre la diversidad de estudiantes
/DVFLUFXQVWDQFLDVHGXFDWLYDVHQ&RVWD5LFDQRVRQLJXDOHVHQWRGDVODVLQVWLWXFLRQHV\UHJLRQHV
KD\GLIHUHQFLDVHQWUHORXUEDQR\ ORUXUDOHQWUHODV]RQDVGHPD\RUGHVDUUROORVRFLRHFRQyPLFR\
ODVXUEDQRPDUJLQDOHV$HVWDGLYHUVLGDGGHUHDOLGDGHVTXHJHQHUDGLVWLQWRVQLYHOHVHQORVDSUR
YHFKDPLHQWRVHVFRODUHVVHVXPDWDPELpQODGLYHUVLGDGGHFRQGLFLRQHVLQGLYLGXDOHVGHVGHFRJQL
WLYDV\SHUVRQDOHVKDVWDFXOWXUDOHVHQUHODFLyQFRQORVDSUHQGL]DMHV
'HDOJXQDIRUPDVHGHEHRIUHFHURSRUWXQLGDGHVDGHFXDGDVDWRGDV\WRGRV\FXPSOLUFRQHOILQGH
ODHGXFDFLyQQDFLRQDOTXHSURPXHYHXQDSHUVSHFWLYD LQFOXVLYD \GHPRFUiWLFD6LVHUHVWULQJHQR
PLQLPL]DQORVSURJUDPDVDORFDOLGDGHVRVHFWRUHVVRFLDOHVSRUUD]RQHVGHFRQGLFLyQVRFLRHFRQy
PLFDRJHRJUiILFDVHSURIXQGL]DHQODVGHVLJXDOGDGHVVRFLDOHV/DLGHDDTXt KDVLGRSURSRQHUXQ
FXUUtFXOR JHQHUDO EDVH SDUD WRGRV FRQ ORV FRQWHQLGRV QHFHVDULRV \ VXILFLHQWHV SDUD JHQHUDU ORV
FRQRFLPLHQWRV\VREUHWRGRODVGHVWUH]DV\FDSDFLGDGHVPDWHPiWLFDVTXHUHTXLHUHHOFRQWH[WRHQ
TXHYLYLPRV
(V IXQGDPHQWDO FRPSUHQGHU VLQ HPEDUJR TXH ODV DFFLRQHV SDUD OD DWHQFLyQ GH OD GLYHUVLGDG VH
HQFXHQWUDQHQ PDQRV GHGRFHQWHV\GHDXWRULGDGHVHGXFDWLYDV \QRHQORVSODQHVGHHVWXGLR/R
TXHHOFXUUtFXORSXHGHKDFHUHVRIUHFHUDOJXQRVPHGLRVJHQHUDOHVTXHSXHGHQDGRSWDUVH
(VQHFHVDULRXQHQIRTXHLQFOXVLYRHQHODXOD(VLPSRUWDQWHRIUHFHURSFLRQHVDORVGLYHUVRVVHJ
PHQWRVGHHVWXGLDQWHVHQORVGLVWLQWRVQLYHOHVHGXFDWLYRV(QHOSODQRLQWHUQDFLRQDOODVRSFLRQHV
SDUD FDQDOL]DU DOWHUQDWLYDV D ORV VHFWRUHV GH HVWXGLDQWHV VRQ PX\ YDULDGDV (Q DOJXQRV FDVRV VH
KDFHSRUPHGLRGHVHJUHJDFLRQHVSRUUHQGLPLHQWRTXHLQFOXVRSXHGHQHPSH]DUHQOD3ULPDULD(Q
HOFRQWH[WRGH&RVWD5LFDDSDUWHGH IDFWRUHV PDWHULDOHV \ ORJtVWLFRV \HQSDUWLFXODUSRUUD]RQHV
FXOWXUDOHV H KLVWyULFDV QR VH SRGUtD LQWURGXFLU VHJPHQWDFLRQHV HQ OD HGXFDFLyQ $SDUWH GH HVR
KD\UD]RQHVSHGDJyJLFDV\HGXFDWLYDVGHIRQGRSRUODVTXHQRUHVXOWDDGHFXDGRXQHQIRTXHTXH
KDJDVHJUHJDFLRQHV\PiVELHQHVQHFHVDULRXQHQIRTXHLQFOXVLYRTXHIRPHQWHDFWLWXGHVFRODER
UDWLYDVHQODDFFLyQGHDXOD
7RPDU HQ FXHQWD D HVWXGLDQWHV FRQ UH]DJR (Q XQ HQIRTXH LQFOXVLYR HV QHFHVDULR GDU DWHQFLyQ
SDUWLFXODUDHVWXGLDQWHVUH]DJDGRVDILQDQGRODVWDUHDVPDWHPiWLFDVTXHVHSURSRQHQ\GLVHxDQGR
OD LQWHUYHQFLyQHVSHFtILFDGRFHQWHHQ ODVGLIHUHQWHV IDVHVGH OD OHFFLyQ/RVUH]DJRVSXHGHQUHV
SRQGHU D PXFKDV FLUFXQVWDQFLDV \ SXHGHQ VHU VXSHUDGRV VL VH OHV GD OD DWHQFLyQ DGHFXDGD (V
QHFHVDULRTXHVHWRPHHQFXHQWDHVWHVHJPHQWRGHODSREODFLyQHVWXGLDQWLOHQHOSODQHDPLHQWRGH
VXOHFFLyQ\HQJHQHUDOHQVXDFFLyQHGXFDWLYDSDUDSRGHUGHVDUUROODUORVILQHVGHDSUHQGL]DMHTXH
VHSURSRQH(QORVFDVRVGHDGHFXDFLyQFXUULFXODUVHJ~QODUHJODPHQWDFLyQRILFLDOHVUHVSRQVDEL
OLGDG GRFHQWH FXPSOLU FRQ ODV LQGLFDFLRQHV TXH HPDQDQ GHO PDUFR MXUtGLFR TXH ULJH HVWDV VLWXD
FLRQHV
Metodología
Sobre el uso de tecnologías
(OWUDWDPLHQWRGHODFRPSOHMLGDGVLUYHSDUDDWHQGHUODGLYHUVLGDG8QDPDQHUDGHGDUUHVSXHVWDD
ODV QHFHVLGDGHV \ FXDOLGDGHV GLVWLQWDV GH OD SREODFLyQ HVWXGLDQWLO HV SRU PHGLR GH XQ DGHFXDGR
WUDWDPLHQWRGHODFRPSOHMLGDGGHORVSUREOHPDVPDWHPiWLFRVHQHODXOD(ODVXQWRVHYXHOYHPH
WRGROyJLFR5HVXOWD LPSRUWDQWHLGHQWLILFDU ODVDSWLWXGHV\ ODGLVSRVLFLyQKDFLD ODV0DWHPiWLFDV \
RIUHFHUDFFLRQHVGHDXODDGHFXDGDVDODVGLVWLQWDVQHFHVLGDGHV 'RFHQWHVFRQPXFKDH[SHULHQFLD
\DVXHOHQKDFHUHVWRGHPDQHUDUHJXODU6HWUDWDUtDGHHVWDEOHFHUDFFLRQHVFRQGLVWLQWRSHVRHQORV
QLYHOHVGHFRPSOHMLGDGGHORVSUREOHPDVSDUDDOJXQDVSHUVRQDVXQSHVRPD\RUHQSUREOHPDVGH
UHSURGXFFLyQ \GHFRQH[LyQ SDUDRWUDVXQSHVRPD\RUHQ ORVGHFRQH[LyQ \UHIOH[LyQ \SDUD OD
PD\RUtDSUREDEOHPHQWHXQDGLVWULEXFLyQ³HTXLOLEUDGD´(VXQDGHFLVLyQTXHGHEHUHFDHUHQPDQRV
GHORV\ODVGRFHQWHV7DPELpQHVWRSXHGHGDUOXJDUDDFFLRQHVH[WUDFODVHDGLFLRQDOHV
'HEHH[LVWLUDWHQFLyQHVSHFLDOGHHVWXGLDQWHVFRQPD\RUWDOHQWRRGLVSRVLFLyQKDFLDODV0DWHPi
WLFDV+DVLGRLQVXILFLHQWHHODSR\RSDUDHVWXGLDQWHVFRQWDOHQWRRFRQPD\RUGLVSRVLFLyQKDFLDHO
DSUHQGL]DMH GH HVWD PDWHULD $FFLRQHV FRPR 2OLPSLDGDV 0DWHPiWLFDV R SURJUDPDV HQ HO &LFOR
GLYHUVLILFDGRFRPR0$7(0RUJDQL]DGRSRUODVXQLYHUVLGDGHVS~EOLFDVVRQ~WLOHVHQHVDGLUHF
FLyQSHURQRVRQVXILFLHQWHV\HVWHVHJPHQWRGHHVWXGLDQWHVWDPELpQGHEHUHFLELUDWHQFLyQHVSHFt
ILFD
(VWR VH SXHGH KDFHU FRQ PDWHPiWLFDV GH PD\RU SURIXQGLGDG OR TXH DGHPiV SXHGH LPSDFWDU OD
FODVH \ ORV DSUHQGL]DMHV GH PDQHUD SRVLWLYD 1R VyOR VH GD UHVSXHVWD MXVWD D ODV QHFHVLGDGHV GH
DSUHQGL]DMHGHHVWDVSHUVRQDVVLQRTXHVXDFFLyQVHSXHGHLQWURGXFLUHQHODXODGHIRUPDFRODER
UDWLYD SDUD EHQHILFLDU D WRGRV ORV VHJPHQWRV HVWXGLDQWLOHV 4XLHQHV WHQJDQ PiV WDOHQWRR PD\RU
GLVSRVLFLyQDOHVWXGLRSXHGHQDSR\DU\D\XGDUDHVWXGLDQWHVFRQPHQRVDYDQFHVHQORVDSUHQGL]D
MHV \ HVWR VH DVRFLD FRQ YDORUHV JHQHUDOHV TXH OD HGXFDFLyQ GHEH SRWHQFLDU FRPR OD HTXLGDG
LQFOXVLYLGDG\ODVROLGDULGDG
Sobre el uso de tecnologías
(OXVRGHWHFQRORJtDVHVFHQWUDOSDUDHQULTXHFHU\UHGLPHQVLRQDUODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\ODV
HVWUDWHJLDVHGXFDWLYDV(QHVWRVSODQHVGHHVWXGLRVHLQFRUSRUDQPHGLDQWHHOWUDWDPLHQWRGHYDULRV
WySLFRVDXPHQWDQGRVXXVRFRQHODYDQFHHQORVDxRVOHFWLYRV(VWRVHKDFHSRUPHGLRGHLQGLFD
FLRQHVSXQWXDOHVDVtFRPRRWUDVTXHVHFRORFDQDOILQDOGHFDGDiUHDHQFDGDFLFOR/DVHOHFFLyQ
GH DOJXQRV FRQWHQLGRV DVXPH HVWH HQIRTXH FRPR ODV URWDFLRQHV HQ HO &LFOR GLYHUVLILFDGR 1R
REVWDQWH ODV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV TXH VH LQFOX\HQ VRQ UHODWLYDPHQWH SRFDV (VWR HV DVt SUHFL
VDPHQWH SRUTXH HO SDtV QR SRVHH WRGDV ODV FRQGLFLRQHV IRUPDWLYDV SDUD XQD LQWURGXFFLyQ PiV
LQWHQVD /D IRUPD HQ TXH VH FRORFD HQ ORV SODQHV VLQ HPEDUJR SHUPLWH TXH VH SXHGDQ XVDU ODV
WHFQRORJtDV HQ GLYHUVDV FRQGLFLRQHV &RQ HO WLHPSR VH GHEHUi LQWHQVLILFDU HO XVR GH ODV WHFQROR
JtDV
,GHQWLILFDUHOVHQWLGRSHGDJyJLFRQRXVDUWHFQRORJtDSRUODWHFQRORJtDPLVPD(OXVRGHWHFQROR
JtDHQHODXODGHEHKDFHUVHGHPDQHUDDSURSLDGD([LVWHQGLIHUHQFLDVHQORV ILQHV\SRVLELOLGDGHV
GHFDGDWHFQRORJtD(VQHFHVDULRWHQHUPX\FODURTXHHOXVRGHWHFQRORJtDVGHEHKDFHUVHHQIXQ
FLyQHVWULFWDGHODSRUWHTXHRIUH]FDDO ORJURGH ILQHVGHDSUHQGL]DMHFRQVLJQDGRVQRGHEHDGRS
WDUVHVXXVRSRUHOYDORULQWUtQVHFRGHODWHFQRORJtDVHDFXDOVHDpVWH
Metodología
Sobre el uso de tecnologías
/DFDOFXODGRUDGHEHVHUXQDX[LOLDU'HEHLQVLVWLUVHHQXQXVRGHODVFDOFXODGRUDVGHVGHOD3ULPD
ULDSDUDFRUURERUDURSHUDFLRQHVFiOFXORPHQWDOHVWLPDFLyQ\FRPRXQDX[LOLDUHQODUHVROXFLyQ
GHSUREOHPDV\VLWXDFLRQHVFRQWH[WXDOL]DGDV
8VDU OD FRPSXWDGRUD SDUD YLVXDOL]DU \ H[SHULPHQWDU ODV 0DWHPiWLFDV /D FRPSXWDGRUD HV XQ
UHFXUVR PX\ SRGHURVR SDUD XWLOL]DU HQ OD HQVHxDQ]D GH ODV 0DWHPiWLFDV VLHPSUH \ FXDQGR UHV
SRQGDDORVILQHVSHGDJyJLFRV/RVOODPDGRVLQVWUXPHQWRVGLQiPLFRVSRUHMHPSORVRQHVSHFLDO
PHQWH UHOHYDQWHV GHO WLSR *HRPHWHU¶V 6NHWFKSDG &DEUL )DWKRP R *HRJHEUD SXHV WLHQGHQ D
UHGXFLU ODV IURQWHUDV HQWUH HVWXGLDQWHV \ TXLHQHV KDQ HODERUDGR ODV DFWLYLGDGHV $OJXQRV LQVWUX
PHQWRV FRPR ORV SDTXHWHV VHxDODGRV GRQGH VH DILUPDQ DFWLYLGDGHV DELHUWDV TXH QR WHUPLQDQ
HVWiQ PiV FHUFD GHO SXQWR GH YLVWD HVWXGLDQWLO TXH GHO GRFHQWH FRPR SRU HMHPSOR -DYD
6NHWFKSDG6RQLQVWUXPHQWRVSDUDIDFLOLWDUFyPSXWRVSDUDDSR\DUODYLVXDOL]DFLyQGHHQWLGDGHV\
UHODFLRQHV PDWHPiWLFDV SDUD IDYRUHFHU OD H[SHULPHQWDFLyQ PDWHPiWLFD RUTXHVWDU FRPXQLFDFLR
QHVIRUPDUUHGHV\PDWHPDWL]DUORUHDOH[WHUQR
8VDUDOJXQRVSDTXHWHVLQIRUPiWLFRVHVSHFLDOHV(QHODFWXDOPRPHQWRKLVWyULFRHODFFHVRGHODV
SHUVRQDVDXQDFRPSXWDGRUDHVDPSOLRHQHOSDtVWDQWRHQHOHQWRUQRVRFLDOH[WHUQRFRPRLQWHUQR
D ODHQWLGDGHGXFDWLYD6HSURSRQHDTXtGH PDQHUDDSURSLDGDD ORV QLYHOHVHGXFDWLYRVHOXVRGH
SDTXHWHVLQIRUPiWLFRVGHWUHVWLSRV
x *HRPHWUtDGLQiPLFD
x &iOFXOR\UHSUHVHQWDFLyQJUiILFD&$6
x 6LPXODFLyQGHH[SHULPHQWRVHVWDGtVWLFRVGLQiPLFRV
(QWRGRVHOORVH[LVWHH[FHOHQWHVRIWZDUHOLEUH IiFLOGHXVDUTXHSXHGHSHUPLWLUHOGHVDUUROORGH
YDULRVWySLFRVGHPDWHPiWLFDVFRQPD\RUIDFLOLGDGSUR\HFFLyQ\H[SHULPHQWDFLyQ
(VLPSRUWDQWHHOSDSHOGH,QWHUQHW2IUHFHDODV0DWHPiWLFDV \VXHQVHxDQ]D P~OWLSOHVYtQFXORV
FRQHOHQWRUQRHVWXGLDQWLO\DGHPiVFRQODVSULQFLSDOHVWHQGHQFLDVVRFLDOHVFXOWXUDOHV\HGXFDWL
YDVHQHOSODQHWD'LPHQVLRQHVTXHVHLQFRUSRUDQ
x ,QGDJDFLyQ YDORUDFLyQ \ VHOHFFLyQ GH LQIRUPDFLyQ SHUWLQHQWH SDUD WySLFRV PDWHPiWLFRV
SRUHMHPSORSiJLQDVZHEFRQLQIRUPDFLyQGHVLWXDFLRQHV PDWHPDWL]DEOHVFHQVRVPDSDV
*RRJOHILJXUDVHWF
x 5HIRU]DPLHQWR GH DSUHQGL]DMHV GH PDWHPiWLFDV PHGLDQWH VLWLRV HVSHFLDOL]DGRV FRQ SODWD
IRUPDVLQWHUDFWLYDV
x $SUHQGL]DMHVLQWHUDFWLYRV\FRODERUDWLYRVHQUHGHVYLUWXDOHVHGXFDWLYDVWDPELpQPHGLDQWH
SODWDIRUPDVHVSHFLDOHV
0XOWLPHGLRV VRQ PX\ ~WLOHV /RV PHGLRV DXGLRYLVXDOHV VRQ KR\ XQ H[WUDRUGLQDULR LQVWUXPHQWR
SDUDJHQHUDUPRWLYDFLyQHQHODXODSDUDFRQVLJQDUSDVRVGHODOHFFLyQHLQFRUSRUDUHOHPHQWRVGHO
HQWRUQR(QSDUWLFXODUWDQWRSDUDSURSLFLDUHOWUDWDPLHQWRGHWHPDVFRPRSDUDUHYLVDURDQDOL]DU
ORVSURFHVRVHGXFDWLYRVHQHODXODORVYLGHRVVHKDQFRQYHUWLGRHQXQLQVWUXPHQWRPX\~WLO
/DHYDOXDFLyQGHOXVRGHWHFQRORJtDV6HSURSRQHTXHHOXVRGHODWHFQRORJtDVHHYDO~HSRUPHGLR
GH ORV SUREOHPDV R HMHUFLFLRV SODQWHDGRV GRQGH VX XWLOL]DFLyQ UHSUHVHQWD XQ FRPSRQHQWH RSRU
WXQR3RUHMHPSORVLHQXQSUREOHPDHOXVRGHODFDOFXODGRUDHVVLJQLILFDWLYRSDUDVXWUDWDPLHQWR
R VROXFLyQ FiOFXORV PX\ JUDQGHV TXH VLQ FDOFXODGRUD WRPDUtDQ PXFKtVLPR WLHPSR R
Metodología
Sobre actitudes y creencias
HOYDORUGHXQDIXQFLyQHQXQSXQWRTXHUHVXOWDQHFHVDULRSDUDHOHMHUFLFLRHVHHOHPHQWRGHEHVHU
WRPDGRHQFXHQWD(QWRQFHVQRVHWUDWDGHHYDOXDUODPDQLSXODFLyQWHFQROyJLFDHQVtPLVPDVLQR
HQIXQFLyQGHSUREOHPDVDGHFXDGRV
Sobre actitudes y creencias
(V IXQGDPHQWDO TXH VH DSURYHFKHQ ODV RSRUWXQLGDGHV TXH VH WLHQHQ HQ HO DXOD SDUD DUUDLJDU ODV
DFWLWXGHV TXH VH KDQ VHOHFFLRQDGR FRPR FHQWUDOHV(VWR HVWUDVFHQGHQWDO SXHV SXHGH H[LVWLU XQD
tQWLPDFRQH[LyQHQWUHODDFWLWXG\HOUHQGLPLHQWRHQODV0DWHPiWLFDVVLVHUHGXFHQODVVHQVDFLRQHV
QHJDWLYDVTXHPXFKDVYHFHVH[LVWHQHQWUHHVWXGLDQWHV\SDGUHVGHIDPLOLD VREUHODV0DWHPiWLFDV
4XH VH WHQJD SUHVHQWH QR VLJQLILFD TXH HQ FDGD WySLFR VHD SRVLEOH QL FRQYHQLHQWH LQWURGXFLUOR
FRPR REMHWLYR D GHVDUUROODU SXHV SXHGH GLVWRUVLRQDU HO VLJQLILFDGR \ HO p[LWR GH OD OHFFLyQ /D
SRWHQFLDFLyQGHDFWLWXGHVSRVLWLYDVKDFLD ODV0DWHPiWLFDVVHGHULYDDTXtGHYDULDVRULHQWDFLRQHV
JOREDOHV3RUHMHPSORODHVFRJHQFLDGHORVHMHVDUWLFXODGRUHVWUDEDMDHQHVDGLUHFFLyQDSHODQGRDO
LQWHUpVHVWXGLDQWLO\DXQLQYROXFUDPLHQWRHQHODSUHQGL]DMH2WUDHOXVRFRUUHFWRGHWHFQRORJtDV
HVXQSRGHURVRUHFXUVRGHPRWLYDFLyQSXHVDGHPiVGHDVRFLDUVHFRQODUHDOLGDGDFWXDOGHQXHVWUD
MXYHQWXGLQPHUVDHQXQPXQGROOHQRGHWHFQRORJtDVHUHIXHU]DQGLQiPLFDVDFWLYDVHLQWHUDFWLYDV
TXHSXHGHQIDFLOLWDUODDWHQFLyQHVWXGLDQWLO
$TXtVHSURSRQHQDOJXQDVLGHDVSDUDUREXVWHFHUDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVVREUHODV0DWHPi
WLFDV
3RQHU DWHQFLyQ D ODV FUHHQFLDV SXHV VRQ EDVH GH DFWLWXGHV /D PD\RUtD GH ODV DFWLWXGHV HVWiQ
DVRFLDGDVDFUHHQFLDVTXHDYHFHVVRQPX\GLItFLOHVGHFDPELDUSRUTXHSXHGHQHVWDU LQFUXVWDGDV
HQODFXOWXUDORFDO3HURVLVHVDEHFXiOHVVRQHVDVFUHHQFLDV\VHGLVSRQHGHDSR\RSHGDJyJLFRHV
SRVLEOHFXOWLYDUHQODVSHUVRQDVQXHYDVFUHHQFLDV\ODJHQHUDFLyQGHDFWLWXGHVSRVLWLYDVDVRFLDGDV
DHOODV&XDQGRDOJXLHQSLHQVDTXHDOGHGLFDUPiVGHPLQXWRVDXQSUREOHPDVHSLHUGHHOWLHP
SRSHQVDQGRTXHHVWiPDOIRUPXODGRRSRUTXHHVSDUDJHQLRV\QRSXHGHKDFHUORVHHVWiIUHQWHD
XQDFUHHQFLDWtSLFDHQODFXOWXUDORFDO(VXQDFUHHQFLDVHJ~QODFXDOHOGRPLQLRGHODV0DWHPiWL
FDVUHTXLHUHXQWDOHQWRTXHVHWUDHDO QDFHU \TXHVL QRVHWLHQHSXHV ³QRKD\ QDGDTXH KDFHU´
)UHQWHDHVDFUHHQFLDIDOVDHVQHFHVDULRFXOWLYDUDTXHOODTXHDILUPDTXHHOGRPLQLRGHODV0DWH
PiWLFDVVHORJUDFRQHOWUDEDMR\ODSHUVHYHUDQFLD$OWUDEDMDUFRQXQSUREOHPDPiVGHPLQX
WRVPHGLDKRUDRXQDKRUDDXQTXHQRVDOJD ODVROXFLyQVHORJUDDSUHQGL]DMHSXHVVHHQWUHQDOD
PHQWH VH UHSDVD WHRUtD VH H[SORUDQ DOWHUQDWLYDV IDOOLGDV \ VH DSUHQGH VREUH ORV OtPLWHV GH ORV
PpWRGRV (VWR HV IXQGDPHQWDO SXHV SUHFLVDPHQWH ORV SUREOHPDV TXH SHUPLWHQ UHDOL]DU SURFHVRV
PDWHPiWLFRV IXQGDPHQWDOHV \ RULJLQDU FDSDFLGDGHV PDWHPiWLFDV H[LJHQ GHGLFDFLyQ WLHPSR
HVIXHU]R\SHUVHYHUDQFLD6LVyORVHHVWiHQGLVSRVLFLyQGHUHDOL]DUHVIXHU]RVPtQLPRVGLItFLOPHQ
WH VH SRGUi SDVDU GH SUREOHPDV GHO QLYHO GH UHSURGXFFLyQ \ FRQ HOOR VH OLPLWDUi IXHUWHPHQWH HO
SURJUHVRGHVXFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFD
,QYROXFUDUDORVIDPLOLDUHV(VSHFLDOPHQWHHQORVGRVSULPHURVFLFORVHVHOHPHQWDOLQYROXFUDUHQ
HOGHVDUUROORGHDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVDORVIDPLOLDUHV FRQWDOGHIRPHQWDUHOGHVDUUROOR
PDWHPiWLFRGHOQLxRRODQLxDSURSRUFLRQDUXQDPELHQWHULFRHQ OHQJXDMHHVWLPXODU ODH[SORUD
FLyQ\YDORUDUODRULJLQDOLGDG(VQHFHVDULRDERUGDUHOWHPDFRQHOORVGHIRUPDH[SOtFLWD
5HDOL]DUXQGLDJQyVWLFR\OOHYDUXQUHJLVWURHVFULWRGHDFWLWXGHV\FUHHQFLDV$OLJXDOTXHVHOOHYD
XQUHJLVWURGHORVUHQGLPLHQWRVHVFRODUHVVHGHEHOOHYDUXQRVREUHODVDFWLWXGHV\FUHHQFLDVTXHVH
Metodología
Sobre actitudes y creencias
SHUFLEHQHQHODXOD(VXQDWDUHDPX\ UHOHYDQWHTXHVHGHEHDGHFXDUDFDGDFLFORHGXFDWLYR(Q
ORVSULPHURVGRVFLFORVVHSXHGHREWHQHUODLQIRUPDFLyQSRUPHGLRGHDOJXQDVSUHJXQWDVHVSHFtIL
FDV ¢OH JXVWD FRQWDU" ¢4Xp SLHQVD TXH VRQ ODV 0DWHPiWLFDV" (Q RWURV QLYHOHV VH SXHGH KDFHU
DOJXQDDFWLYLGDGVREUHHOXVRGHODV0DWHPiWLFDVHQODVRFLHGDGXQDFLUFXQVWDQFLDKLVWyULFDRXQ
UHFRUWH GH SHULyGLFR FRQ XQD QRWLFLD VREUH PDWHPiWLFDV SRU HMHPSOR SHUPLWLHQGRREWHQHU HVWD
LQIRUPDFLyQ
7DPELpQVHSXHGHKDFHUXQDSHTXHxDHQFXHVWDFXLGDGRVDPHQWHHODERUDGD(QHO7HUFHUFLFORHV
PiVSURYHFKRVRHVWHUHJLVWURGHODVDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSXHVVHWUDWDGHXQFRQWH[WRHVFRODUFRQ
SREODFLRQHVSRUORJHQHUDOPX\KHWHURJpQHDVGHELGRDTXHSURYLHQHQGHGLIHUHQWHVHVFXHODV8QD
YH] TXH VH LGHQWLILTXH TXLHQHV H[SUHVDQ DFWLWXGHV R FUHHQFLDV QHJDWLYDV OR TXH D PHQXGR VH
DVRFLDDPDORVUHQGLPLHQWRVVHGHEHLQVLVWLUSDUDTXHDOFDQFHQORVQLYHOHVGHSDUWLFLSDFLyQFRQ
ILDQ]DUHVSHWRDXWRHVWLPD\SHUVHYHUDQFLDGHVHDGRV/R GHVHDEOHHVTXHHVWHWLSRGHDFWLWXGHVR
FUHHQFLDVQHJDWLYDVQRTXHGHQLQDGYHUWLGDV\VHSXHGDQLQWHQWDUDFFLRQHVSDUDUHYHUWLUODV
6H UHTXLHUH SODQLILFDU PX\ ELHQ HO WLHPSR 7DQWR SDUD GLVIUXWDU GH ODV 0DWHPiWLFDV FRPR SDUD
WHQHU XQD PHMRU FRPSUHQVLyQ GH VXV LGHDV \ SURFHGLPLHQWRV IXQGDPHQWDOHV VH UHTXLHUH WHQHU
VXILFLHQWHWLHPSRSDUDSUREDUH[SHULPHQWDUFRQVWUXLUHTXLYRFDUVHUHIOH[LRQDU(VRLPSOLFDTXH
GHEHH[LVWLUXQSODQHDPLHQWRPX\PHWyGLFRGHOWLHPSRHQODVOHFFLRQHV
(OOHQJXDMHTXHVHXWLOL]DHVLPSRUWDQWH+D\TXHHVWDUDWHQWRDIUDVHVFRPR³TXpIHDHVOD0DWH
PiWLFD´ ³HVWR QXQFD PH YD D VDOLU´ ³QXQFD YR\ D SRGHU´ ³ODV PDWHV VRQ GHPDVLDGR GLItFLOHV´
³ODV0DWHPiWLFDVQRVLUYHQSDUDQDGD´³DPtODV0DWHPiWLFDVVLHPSUHPHKDQFRVWDGR´HWF1R
HVSHUWLQHQWHH[SUHVDUIUDVHVFRPR³HVWHWHPDVtHVPX\FRPSOHMR´³HQHVWHDxRODV0DWHPiWLFDV
VRQELHQGLItFLOHV´³DTXt QRYDDSUREDUFDVLQDGLH´(O OHQJXDMHTXHVHXVDHVFODYHSDUDTXHVH
DSUHFLHQ \ GLVIUXWHQ ODV 0DWHPiWLFDV SDUD LPSHGLU VHQVDFLRQHV QHJDWLYDV \ SDUD SRWHQFLDU OD
DXWRHVWLPD
0RQLWRUHDUHOUHQGLPLHQWRLQGLYLGXDO8QRGHORVGHVHQFDGHQDQWHVPiVIXHUWHVGHDFWLWXGHVQHJD
WLYDV VRQ ODV GLILFXOWDGHV HQ ODV WDUHDV R SUREOHPDV PDWHPiWLFRV (V FRQYHQLHQWH PRQLWRUHDU HO
WUDEDMR GH FDGD HVWXGLDQWH H LQWHUYHQLU RSRUWXQDPHQWH FXDQGR REVHUYD TXH DOJXLHQ HVWi SUHVHQ
WDQGRGLILFXOWDGHVSDUDDYDQ]DUFRQODVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDV
/D LQWHUDFFLyQ GRFHQWHHVWXGLDQWH HV HVHQFLDO (V UHOHYDQWH WHQHU HQ HO DXOD XQD DFWLWXG DFWLYD
EULQGDQGR HVSHFLDO DWHQFLyQ D HVWXGLDQWHV HQ GLILFXOWDGHV H LJXDOPHQWH D TXLHQHV WLHQHQ WDOHQWR
6H SXHGH LQWHUURJDU DFHUWDGDPHQWH SDUD LQGDJDU VL UHDOPHQWH HVD SHUVRQD HVWi DSUHQGLHQGR ORV
FRQFHSWRV &DGD HVWXGLDQWH GHEH VHQWLU TXH VXV DSRUWHV VRQ QHFHVDULRV SDUD HO GHVDUUROOR GH ODV
OHFFLRQHV (V VXVWDQFLDO TXH VH YDORUHQ FRQ FXLGDGR ODV GLIHUHQWHV DSUR[LPDFLRQHV TXH DSRUWDQ
SDUDGHWHFWDUDTXHOORVHOHPHQWRVTXHSXHGHQUHFRQRFHUVH\XVDUVHSDUDIRUWDOHFHUODDXWRHVWLPD
3URPRYHUFRQH[LRQHVFRQRWUDVPDWHULDV/DV P~OWLSOHVFRQH[LRQHVTXH ODV0DWHPiWLFDVWLHQHQ
FRQ ODV GLVWLQWDV GLVFLSOLQDV \ iUHDV GHO VDEHU HV RWUR HOHPHQWR TXH GHEH VHU DSURYHFKDGR SDUD
PRVWUDU OD XWLOLGDG GH ODV 0DWHPiWLFDV (Q OD HVFXHOD SULPDULD KD\ EXHQDV RSRUWXQLGDGHV SDUD
KDFHUHVWRSXHVXQDSHUVRQDVHHQFDUJDGH LPSDUWLUFDVLWRGDVODV PDWHULDV(Q OD 6HFXQGDULDVH
SXHGHFRRUGLQDUFRQFROHJDVGHRWUDVPDWHULDV
Metodología
Sobre actitudes y creencias
$FWLWXG
3HUVHYHUDQFLD
7DEOD$OJXQDVLQGLFDFLRQHVSDUDDFWLWXGHVFUHHQFLDV
,QGLFDFLyQ
7UDWDU DGHFXDGDPHQWH ORV HUURUHV 6L XQD SHUVRQD VH HTXLYRFD QR VH GHEH SHUPLWLU TXH VH Gp SRU
YHQFLGDGHEHLQVLVWLUVHSDUDTXHFRQWLQ~HEXVFDQGRHVWUDWHJLDVTXHOHSHUPLWDQHQFRQWUDUODUHVSXHVWD
SDUDHQIUHQWDU\UHVROYHUORVSUREOHPDV/RVHUURUHVGHEHQYHUVHFRPRRSRUWXQLGDGHVSDUDUHYLVDUOD
WHRUtDH[SORUDUGLIHUHQWHVDSUR[LPDFLRQHV\PHMRUDUORVSURFHVRVGHUD]RQDPLHQWR'HEHWUDQVPLWLUVH
ODLGHDGH TXH DO FRPHWHUXQ HUURUQR VH SLHUGH HO WLHPSRVLQR TXHPiV ELHQ VHDSUHQGH VREUH XQD
VROXFLyQTXHQRHUDODDGHFXDGDSDUDHVDVLWXDFLyQ(TXLYRFDUVHHVWDPELpQDSUHQGHU
&RQILDQ]DHQ
ODXWLOLGDGGH
ODV0DWHPiWL
FDV
8VDUHOHQWRUQR(OXVRGHHOHPHQWRVGHOD]RQDJHRJUiILFD HQHOHQWRUQRIDYRUHFHODSHUFHSFLyQGH
XWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDVSDUDUHVROYHUSUREOHPDV
(QIDWL]DUTXHODV0DWHPiWLFDVVLUYHQSDUDUHVROYHUWRGRWLSRGHSUREOHPDV'HVGHORVSULPHURVDxRV
HQ SULPDULD HV HVHQFLDO TXH VH H[SOLTXH HO SDSHO IXQGDPHQWDO TXH ODV 0DWHPiWLFDV MXHJDQ HQ OD
UHVROXFLyQGHXQDPSOLRQ~PHURGHSUREOHPDV6HGHEHYLVXDOL]DUODV0DWHPiWLFDVFRPRDOJRSUiFWL
FR\VHQWLUTXHORTXHHVWiDSUHQGLHQGRHVPX\LPSRUWDQWH
3DUWLFLSDFLyQ 6LHPSUHSURSLFLDUXQHVSDFLRSDUDORO~GLFR(OMXHJRSURYRFDXQHQWRUQRQDWXUDOGRQGHVHFRODERUD
DFWLYD\
\FRPSDUWHFROHFWLYDPHQWH(VXQDPHWRGRORJtDPX\~WLOSDUDLQYROXFUDUODSDUWLFLSDFLyQ\HOGLVIUXWH
GH ODV 0DWHPiWLFDV -XHJRV GHO WLSR FRPSHWHQFLDV FRPR ³$QWRUFKD´ R ³-XVWDV GH OD VDELGXUtD´ HO
FRODERUDWLYD
FXER5XELNFXDWURHQILODEDWDOODQDYDODMHGUH]\RWURVIDYRUHFHQHOGHVDUUROORGHDFWLWXGHVGHVDQD
FRPSHWHQFLD\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
(O WUDEDMR HQ JUXSR $ WUDYpV GHO WUDEDMR HQ JUXSR VH SXHGH IRPHQWDU OD SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD (VWH
FRQVXPH PiVWLHPSR GH ODVOHFFLRQHV SHUR ELHQUHDOL]DGRSHUPLWH TXHKD\D XQD DGHFXDGD DSURSLD
FLyQ GH ORV DSUHQGL]DMHV(VWH WLSR GH DFWLYLGDGHV FRQYLHQH TXH FRQFOX\DQ FRQ H[SRVLFLRQHV RUDOHV
$VtVHLQYROXFUDDWRGRV\WRGDV\VHDFWLYDQRWURVSURFHVRVPDWHPiWLFRV(VWDVH[SRVLFLRQHVSHUPL
WHQGHVDItRVREOLJDQDDILQDU\UHIRU]DUDUJXPHQWRV
$XWRHVWLPDHQ 3RQHUDWHQFLyQDFRPHQWDULRVQHJDWLYRV(VLPSRUWDQWHLPSHGLUTXHHQHODXODVHKDJDQFRPHQWDULRV
UHODFLyQFRQ
GHVSHFWLYRVVREUHORVDSRUWHVGHXQDSHUVRQDFXDQGRFRPHWHHUURUHV
HOGRPLQLRGH 8VDU SRVLWLYDPHQWH ODV GLVWLQWDV IRUPDV GH UD]RQDU\DERUGDU ORV SUREOHPDV 6H SXHGHQLGHQWLILFDU
ODV0DWHPiWL HQHODXODODVGLVWLQWDVPDQHUDVGHDSUHQGHU\DVtLPSXOVDUODE~VTXHGDGHP~OWLSOHVIRUPDVGHUD]R
FDV
QDPLHQWR\DSUR[LPDFLRQHVDORVSUREOHPDV
0RGXODU ODV H[LJHQFLDV /DV DFWLYLGDGHV GHEHQ VHU DSURSLDGDV DO QLYHO HPRFLRQDO \ FRJQLWLYR HVWX
GLDQWLO(VWRHVLPSUHVFLQGLEOH
8VRGHDSOLFDFLRQHVHKLVWRULD$XQTXHVyORVHDQHMHPSORVSRFRHODERUDGRVVREUHDSOLFDFLRQHVGHODV
0DWHPiWLFDVQRWLFLDVVDFDGDVGHODSUHQVDRDQpFGRWDVVREUHODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVpVWRVVH
FRQYLHUWHQHQSRGHURVRVLQVWUXPHQWRVSDUDLUFXOWLYDQGRHOUHVSHWR\DSUHFLRSRUODV0DWHPiWLFDV
5HVSHWR
DSUHFLR\
GLVIUXWHGHODV
0DWHPiWLFDV
)XHQWHHODERUDFLyQSURSLD
Metodología
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
(O SDSHO GH OD +LVWRULD GH ODV 0DWHPiWLFDV GHEH FRQFHELUVH FRPR XQ UHFXUVR SDUD SURSRUFLRQDU
RSRUWXQLGDGHVGLGiFWLFDVHVSHFLDOHVSDUDRIUHFHULQVXPRVDODOyJLFDGHODOHFFLyQ\SDUDODJHQH
UDFLyQ GH DFWLWXGHV \ FUHHQFLDV SRVLWLYDV VREUH ODV 0DWHPiWLFDV 6H SXHGHQ FLWDU DOJXQRV GH VXV
XVRV
0RVWUDUGLVWLQWDVIRUPDVGHSHQVDPLHQWR\DFFLyQPDWHPiWLFD3RUHMHPSORFXDQGRVHFRPSDUD
HOHVTXHPDGHGXFWLYRHQORV(OHPHQWRVGH(XFOLGHVFRQHOXVRGHUHFXUVRVLQWXLWLYRV\KHXUtVWLFRV
FRPRHQ(O0pWRGRGH$UTXtPHGHVGRQGHXVDPHGLRVGHItVLFDHLQJHQLHUtD$TXtKDEUtDRSRU
WXQLGDGSDUDPRVWUDUHOVHQWLGRGHORTXHHV\ORTXHQRHVXQDSUXHEDPDWHPiWLFD
3RWHQFLDFLyQ GH ODV FRQH[LRQHV HQWUH ODV GLIHUHQWHV iUHDV PDWHPiWLFDV $O HVWXGLDU FRQWH[WRV
VRFLRFXOWXUDOHV GH FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV PDWHPiWLFRV HV SRVLEOH HQFRQWUDU FRQ IUHFXHQFLD
PXFKDVFRQH[LRQHVHQWUHODViUHDVPDWHPiWLFDVSRUHMHPSOR ODJHRPHWUtDDQDOtWLFDHQ'HVFDUWHV
\)HUPDW
)DYRUHFH FRQH[LRQHV HQWUH PDWHPiWLFDV (GXFDFLyQ 0DWHPiWLFD \ FRQFHSFLRQHV JHQHUDOHV GH
HVWXGLDQWHV\GRFHQWHV/D+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVHVHOPHMRUPHGLRSDUDHVWDEOHFHUYtQFXORV
HQWUHPDWHPiWLFDV (GXFDFLyQ0DWHPiWLFD \ ODFXOWXUDJOREDOGHXQDVRFLHGDG\SRUHVRPLVPR
FRQ ODV FRQFHSFLRQHV JHQHUDOHV GH ORV LQGLYLGXRV (VWR HV PX\ LPSRUWDQWH SDUD WUD]DU SXHQWHV
HQWUHHQVHxDQ]DGHODV0DWHPiWLFDV\HVWXGLDQWHV
(QULTXHFLPLHQWR GH OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV $O SURSRQHUVH XQ SUREOHPD PDWHPiWLFR GH XQ
SHULRGRKLVWyULFRQRVyORVHRIUHFHODRSRUWXQLGDGSDUDLGHQWLILFDUHVDVUHODFLRQHVHQWUHPDWHPiWL
FDV \ RWUDV &LHQFLDV R GLPHQVLRQHV FXOWXUDOHV VLQR SDUD XVDU GHVDItRV LQWHUHVDQWHV TXH SXHGHQ
SRQHUHQPRYLPLHQWRSURFHVRV+D\XQDHVWLPXODQWHLQWHUVHFFLyQHQWUHXVRGH+LVWRULD\UHVROX
FLyQGHSUREOHPDV
3RWHQFLDFLyQ GH OD FRQWH[WXDOL]DFLyQ DFWLYD 2IUHFH RSRUWXQLGDGHV SDUD GHVDUUROODU ODV FRQH[LR
QHVGHXQDPDQHUDQDWXUDOUHDOLVWDORTXHDYHFHVVHLQWHQWDKDFHUGHXQDIRUPDDUWLILFLDOTXHQR
SURYRFDHOLQWHUpV3XHVWRHQRWUDPDQHUDOD+LVWRULDHVXQLQVWUXPHQWRSDUDSRWHQFLDUODFRQWH[
WXDOL]DFLyQDFWLYD
)RUWDOHFLPLHQWRGHODPXOWLFXOWXUDOLGDG6HSXHGHQLQWURGXFLUGLVWLQWDVDSUR[LPDFLRQHVFXOWXUDOHV
DFRQFHSWRVPDWHPiWLFRVFRORFiQGRORVHQFRQWH[WRVKLVWyULFRV/DV0DWHPiWLFDVFRQWHPSRUiQHDV
VH WLHQGHQ D YLVXDOL]DU FRPR XQ SURGXFWR RFFLGHQWDO OD +LVWRULD SXHGH SHUPLWLU LGHQWLILFDU ORV
DSRUWHVGHGLVWLQWDVFLYLOL]DFLRQHVHQORVTXHKDFHUHVPDWHPiWLFRV&KLQD,QGLDORV0D\DV\SRU
ORWDQWRFXOWLYDUXQDYLVLyQPiVDPSOLDGHODV&LHQFLDV\ODFXOWXUD
$WHQGHU JUXSRV FRQ SDUWLFXODULGDGHV VRFLRFXOWXUDOHV /D +LVWRULD HV XQ SRGHURVR YHKtFXOR SDUD
LQWURGXFLU FLUFXQVWDQFLDV FXOWXUDOHV SUHFLVDV ORFDOHV TXH SXHGHQ XVDUVH SDUD OD HQVHxDQ]D \
DSUHQGL]DMHHQDPELHQWHVUXUDOHVRFRQSDUWLFXODULGDGHVpWQLFDVRFXOWXUDOHV+D\PXFKDVUHIHUHQ
FLDV GH VLWXDFLRQHV GH HQVHxDQ]D HQ PHGLRV FXOWXUDOHV R VRFLDOHV HVSHFtILFRV 3RU HMHPSOR HQ
OHQJXDVSROLQHVLDVODQRFLyQGHGLVWDQFLDHVWiDVRFLDGDDOWLHPSRTXHVHWRPDHQOOHJDUDXQOXJDU
\QRDODQRFLyQOLQHDOTXHVHPDQHMDHQ2FFLGHQWHFDPELDQGRHOVLJQLILFDGRGHODPHGLFLyQ\GH
ODVIRUPDVGHDSUR[LPDUVHDOD*HRPHWUtD/DFXOWXUDFRQGLFLRQDHODSUHQGL]DMHPDWHPiWLFR
Metodología
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
$WHQGHUHVWXGLDQWHVFRQWDOHQWR(VXQPHGLRSULYLOHJLDGRSDUDDWHQGHUDHVWXGLDQWHVFRQWDOHQWR
TXH SXHGHQ GLVIUXWDU GH OD HYROXFLyQ GH WySLFRV PDWHPiWLFRV GRQGH KD LQWHUYHQLGR OD KDELOLGDG
SURFHGLPHQWDOODSHUVSLFDFLDLQWHOHFWXDOODHVWpWLFDRODVYDULDEOHVVRFLRFXOWXUDOHV
&RQH[LRQHVHQWUHPDWHPiWLFDV\RWUDVGLVFLSOLQDVODLQWHUGLVFLSOLQD (VWRVHIXQGDPHQWDSUHFL
VDPHQWH HQ TXH HQ ORV FRQWH[WRV VRFLRKLVWyULFRV KD\ P~OWLSOHV FRQH[LRQHV HQWUH ODV SUiFWLFDV
FLHQWtILFDV\FXOWXUDOHV8QDUHODFLyQHVSHFLDOTXHVHSXHGHLQWURGXFLUGHVGHODKLVWRULDHVODTXH
H[LVWH HQWUH PDWHPiWLFD \ WH[WRV OLWHUDULRV (VWR VH SXHGH ORJUDU GH XQD PDQHUD PX\ SUiFWLFD
OHFWXUDGHWH[WRVRULJLQDOHV\VXWUDGXFFLyQDOHQJXDMHPDWHPiWLFR\YLFHYHUVDHVFULELUHQOHQJXD
MHQDWXUDOUHDOLGDGHVPDWHPiWLFDV$OKDFHUVHHVWRVHIDYRUHFHODFRPXQLFDFLyQ\RWUDVFDSDFLGD
GHVQRQHFHVDULDPHQWHPDWHPiWLFDVSHURTXHVRQUHOHYDQWHVSDUDORVDSUHQGL]DMHVFRPRODOHFWX
UDODE~VTXHGDGHUHIHUHQFLDVODE~VTXHGDGHGRFXPHQWDFLyQHWF/DOHFWXUDGHWH[WRVOLWHUDULRV
TXHDSHODQDXQPRPHQWRKLVWyULFRSXHGHVHUXQDH[FHOHQWHIRUPDSDUDLQWURGXFLUODQDWXUDOH]D\
IURQWHUDV GH ORV REMHWRV PDWHPiWLFRV GH HVH PRPHQWR(VWRV SXHGHQ VHU SUREOHPDV SDUD LQLFLDU
XQDOHFFLyQ(ODUWHHQJHQHUDOSOiVWLFRGUDPiWLFROLWHUDULRPXVLFDOHVXQUHFXUVRPHWRGROyJLFR
YDOLRVRTXHSXHGHXVDUVHPX\ELHQGHQWURGHVLWXDFLRQHVKLVWyULFDVUHODFLRQDGDVFRQODV0DWHPi
WLFDV
$SR\RSDUDHOGHVDUUROORGHDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVVREUHODV0DWHPiWLFDV$OFRQFHELUVH
ODV FRQVWUXFFLRQHV PDWHPiWLFDV FRPR DFWLYLGDGHV GLQiPLFDV VH ORJUD PRWLYDU HO GHVDUUROOR GH
DFWLWXGHV FRPR SRU HMHPSOR OD SHUVLVWHQFLD TXH VH SXHGH QXWULU DO FRPSUHQGHU ORV HVIXHU]RV
QHFHVDULRVGXUDQWHpSRFDVSDUDORJUDUHOGHVDUUROORGHODV0DWHPiWLFDV(QODPLVPDGLUHFFLyQVH
SXHGH PRWLYDU PD\RU DXWRHVWLPD SXHV OD KLVWRULD GH HUURUHV IUDFDVRV \ PDORV HQWHQGLGRV HQ OD
KLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVHVXQDGHVXVFDUDFWHUtVWLFDVDVtFRPRGHWRGDFRQVWUXFFLyQ LQWHOHF
WXDO KXPDQD 6H SXHGHQ XVDU SUREOHPDV QR UHVXHOWRV R UHVXHOWRV FRQ JUDQ GLILFXOWDG SUXHEDV
HUUyQHDV\GLYHUVDVVROXFLRQHVGHSUREOHPDVFRQHOILQGHPRVWUDUODVGLILFXOWDGHVGHODFRQVWUXF
FLyQPDWHPiWLFD+D\PXFKRVSUREOHPDVUHFUHDWLYRVSODQWHDGRVHQGLVWLQWRVPRPHQWRVKLVWyULFRV
TXHSXHGHQIRPHQWDUHOGLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV$OPLVPRWLHPSRUHVHxDUUHVXOWDGRVPDWH
PiWLFRVTXHKDQHVWDGRSUHVHQWHVHQHOSURJUHVRWHFQROyJLFRDSRUWDUtDHQDFWLWXGHVSRVLWLYDVKDFLD
ODV0DWHPiWLFDV
6HSXHGHPRVWUDUSRUHMHPSORTXHPXFKRGHOPXQGRGHODLQIRUPiWLFDWLHQHVXVRUtJHQHVHQODV
0DWHPiWLFDVTXHODPRGHOL]DFLyQGHOXQLYHUVRVHKDKHFKRFRQPDWHPiWLFDVTXHKD\PDWHPiWL
FDVHQHOGLVHxR\FRQVWUXFFLyQGHSXHQWHV\HGLILFLRVTXHODVQDYHVDHURHVSDFLDOHVWLHQHQHQVXV
HQWUDxDVPDWHPiWLFDV(VWRIRPHQWDHOUHVSHWRHOSUHVWLJLR\HOGLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
([LVWHQYDULDVRSFLRQHVGLGiFWLFDVSDUDHOXVRGHOD+LVWRULDHQOD(GXFDFLyQ0DWHPiWLFD
x &RPRXQUHVHUYRULRGHDQpFGRWDVSDUD PRWLYDU \VHQVLELOL]DU8QDDQpFGRWDSXHGHVHUOD
UHIHUHQFLDTXHSHUPLWDDXQVXMHWRUHFRUGDUXQREMHWRRUHVXOWDGRPDWHPiWLFR
x 'HVFULSFLyQ GH VLWXDFLRQHV PDWHPiWLFDV TXH VLW~DQ XQ FRQWH[WR \ FLUFXQVWDQFLDV LQGLYL
GXDOHV\VRFLRFXOWXUDOHV
x 3DUDGHWHUPLQDUODVHFXHQFLDROyJLFDGHODSUHVHQWDFLyQGHDOJXQRVWySLFRVSXHVODOyJLFD
KLVWyULFDSXHGHVXJHULUFDPLQRVVHPHMDQWHVHQORVDSUHQGL]DMHV
x 8VRGHIXHQWHVSULPDULDVSUREOHPDVRWH[WRVGHPDWHPiWLFRVTXHSXHGHQSHUPLWLUHOWUD
WDPLHQWRGHFLHUWRVWySLFRVFRQODVKHUUDPLHQWDVWHyULFDVTXHVHGLVSRQtDQHQHOPRPHQWR
KLVWyULFR
Metodología
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
(QFXDQWRDODVGRVSULPHUDVQRVHVXVFLWDQPXFKDVGLILFXOWDGHVSDUDFRPSUHQGHUVXXWLOLGDG(O
WHUFHUXVRSXHGHSDUHFHUPiVVRILVWLFDGR5HILHUHDXQDWHPiWLFDTXHVHKDSODQWHDGRGHVGHKDFH
PXFKRVDxRVODUHODFLyQHQWUHODKLVWRULDGHODVLGHDV\HODSUHQGL]DMHGHHOODV6LQGXGDHQFXDQ
WR D OD HGXFDFLyQ VH GHEHQ WHQHU VLHPSUH HQ PHQWH ODV JUDQGHV WUDQVIRUPDFLRQHV GH ODV LGHDV
FLHQWtILFDV \ PDWHPiWLFDV SDUD VX LQVHUFLyQ HQ OD DFFLyQ SHGDJyJLFD 3RU HVR OD OyJLFD KLVWyULFD
SURSRUFLRQD RSRUWXQLGDGHV SDUD HO WUDWDPLHQWR GH WySLFRV FRPR SRU HMHPSOR FXDQGR VH GHFLGH
HPSH]DUSRUORJDULWPRVSDUDSDVDUOXHJRDH[SRQHQFLDOHVGHELGRDODPDQHUDFRPRVHGHVDUUROOy
HVWRHQODKLVWRULD(OFXDUWRXVRTXHVHFRQVLJQDHVHOGLVHxRGHSUREOHPDVFRQEDVHHQIXHQWHV
SULPDULDV R TXH DSDUHFLHURQ WDO FXDO HQ VX PRPHQWR KLVWyULFR 6RQ H[WUDRUGLQDULDPHQWH ~WLOHV
SXHVEULQGDQDODYH]HOFRQWH[WR\ODVIURQWHUDVFRJQRVFLWLYDVSHUPLWHQKDFHUFRPSDUDFLRQHVTXH
DFODUDQVREUHODVLGHDVJHQHUDOHV\VREUHODHIHFWLYLGDGGHORVPpWRGRVSURSLDPHQWHPDWHPiWLFRV
D OD OX] GHO SUHVHQWH 3RU HMHPSOR VH KDQ WHQLGR FRQFHSFLRQHV VREUH HO ULJRU \ HO VHQWLGR GH OD
SUXHEDRSUHMXLFLRVFRPRODLGHDGHTXHVyORVHGHEHQXVDUFtUFXORV\UHFWDVHQODVFRQVWUXFFLR
QHVJHRPpWULFDVSRUTXHVRQILJXUDVSHUIHFWDV
&RORFDUSUREOHPDVWDOFXDODSDUHFLHURQHQODKLVWRULD\DORVTXHVHHQIUHQWDURQORVFLHQWtILFRV \
PDWHPiWLFRVGHXQDpSRFDFRQPHGLRV HVSHFtILFRVSXHGHVHUXQUHFXUVRFRQWH[WXDOL]DGRHVSH
FLDOSDUDUHDOL]DUSURFHVRVPDWHPiWLFRV IXQGDPHQWDOHVSDUDGHVDUUROODUKDELOLGDGHV \SDUDGDUOH
ODSHUVSHFWLYDDGHFXDGDDORVTXHKDFHUHVPDWHPiWLFRV
0X\OLJDGRDORDQWHULRUHQXQDFLUFXQVWDQFLDKLVWyULFDHVSRVLEOHLGHQWLILFDUREVWiFXORVRGLILFXO
WDGHV HSLVWHPROyJLFDV TXH SRGUtDQ SRVHHU XQ SDUDOHOR FRQ DTXHOODV TXH VH SRGUtDQ HQFRQWUDU HQ
ORVDSUHQGL]DMHVSRUHMHPSORHOPDQHMRGHOLQILQLWRORVLQFRQPHQVXUDEOHVHWF
3DUDHVWDVGLIHUHQWHVRSFLRQHVGLGiFWLFDVVHSXHGHQXVDUGRFXPHQWRVRIXHQWHVSULPDULDVWH[WRV
GHPDWHPiWLFRV(XFOLGHV'LRIDQWR'HVFDUWHV)HUPDW*DXVVHQWUHRWURVOLEURVGH+LVWRULDGH
ODV0DWHPiWLFDVTXHQDUUDQRKDFHQXQUHFXHQWRGHIDVHVRiUHDVGHODV0DWHPiWLFDVSHUVRQDMHV
PRPHQWRVR OLEURV GLGiFWLFRV TXH FRQWLHQHQ RULHQWDFLRQHV SDUD OD DFFLyQ GH DXOD (VWRV ~OWLPRV
VRQ PiV GLItFLOHV GH FRQVHJXLU SHUR HQ ORV ~OWLPRV DxRV KDQ DXPHQWDGR FRQVLGHUDEOHPHQWH ODV
SiJLQDV HQ ,QWHUQHW FRQ XVRV \ UHFXUVRV GLGiFWLFRV GH OD +LVWRULD GH ODV 0DWHPiWLFDV $TXt KD\
FRQIOXHQFLDUHFtSURFDFRQXVRGHWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQVHSRWHQFLDHOXVRGHOD+LVWRULD
\FRQpVWDVHD\XGDDFRQILJXUDUDOJXQRVXVRVSHUWLQHQWHVGHDTXHOODV
,QVLVWLUHQHOFDUiFWHUGHODV0DWHPiWLFDVFRPRFRQVWUXFFLRQHV(VXQDFUHHQFLDDUUDLJDGDTXHODV
0DWHPiWLFDV VRQH[DFWDV \ VXV YHUGDGHVHVWiQFRORFDGDVHQXQ PXQGRSODWyQLFRDOTXHVyOR ODV
PHMRUHVPHQWHVSXHGHQDFFHGHU\GHVFULELU(VRHVIDOVR7RGDVODV0DWHPiWLFDVKDQVLGRSURGXF
WRGHFRQVWUXFFLRQHV KXPDQDV \ VRFLDOHVHQFRQWH[WRVFRQUHJODVQRXQLYHUVDOHV \ PRGLILFDEOHV
(Q OD PD\RUtD GH ODV RFDVLRQHV VH KDQ GDGR HUURUHV \ DSUR[LPDFLRQHV GLYHUVDV KDVWD OOHJDU D OR
TXH DKRUD H[LVWH /DV 0DWHPiWLFDV QR HVWiQ WDQ DOHMDGDV GH RWUDV &LHQFLDV QDWXUDOHV < HVWR HV
LPSRUWDQWHH[SUHVDUORHQHODXOD
Metodología
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
9DULDVHVWUDWHJLDVSDUDHOXVRGH+LVWRULDGHODV0DWHPiWLFDV
x HODERUDFLyQGHFDUWHOHVVREUHPDWHPiWLFRVRUHVXOWDGRVPDWHPiWLFRVSRUHMHPSORQ~PH
URVILJXUDGRVSUXHEDV LQWHUHVDQWHVFRPRODDWULEXLGDD7KDOHVGH0LOHWRVREUHHOiQJXOR
UHFWR GH XQ WULiQJXOR FRQ XQ YpUWLFH HQ OD FLUFXQIHUHQFLD \ WHQLHQGR SRU ODGR RSXHVWR HO
GLiPHWURHOFiOFXORGH OD PHGLGDGHOGLiPHWURWHUUHVWUHSRU(UDWyVWHQHVHMHPSORVGH ODV
GLIHUHQWHVQRWDFLRQHVPDWHPiWLFDVHQWUHRWURV
x SUR\HFWRV H[WUD FODVH SXHGH VHU VREUH OD KLVWRULD GH S SL R GH OD ~OWLPD FRQMHWXUD GH
)HUPDWVREUHORVLQVWUXPHQWRVGHPHGLFLyQVREUHODKLVWRULDGHOVLVWHPDPpWULFRGHFLPDO
VREUHORVRUtJHQHVGHOD3UREDELOLGDGHWF
x UHFUHDFLyQGUDPDWL]DGDSRUHMHPSORGHXQDGLVFXVLyQPDWHPiWLFDVREUHHOXVRGHFtUFX
ORVYHUVXVHOLSVHVHQODFRVPRORJtDHQ3WRORPHR+LSDWLDR.HSOHU
x YLGHRVVREUHWHPDVFLHQWtILFRV\PDWHPiWLFRVVREUH&RSpUQLFRR*DOLOHRDFHUFDGHOKHOLR
FHQWULVPR
x FRPSDUDFLyQPXOWLFXOWXUDOSRUHMHPSORGHYDULDVSUXHEDVVREUHXQPLVPRUHVXOWDGRSR
GUtDVHUHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVHQ(XFOLGHVRHQODFLYLOL]DFLyQFKLQD
x WUDGXFFLyQGHSDVDMHVGHWH[WRVPDWHPiWLFRVDOHQJXDMHPRGHUQRHWF
8QDGLGiFWLFDUHOHYDQWHLGHQWLILFDUSUREOHPDVLQWHUHVDQWHVHQIXHQWHVSULPDULDVRVHFXQGDULDV
SDUDUHVROYHUXVDQGRORVFRQRFLPLHQWRVGHODpSRFD(VWRVHSXHGHKDFHUHQYDULRVSDVRVORTXH
VHFRQVLJQDHQODVLJXLHQWHWDEOD
7DEOD8VRGHSUREOHPDVKLVWyULFRVRULJLQDOHV
8ELFDUHOFRQWH[WRVRFLDOJHRJUiILFR\FXOWXUDO
x 6HSXHGHQXVDUPDSDVSDVDMHVGHOLEURVKLVWyULFRVSHOtFXODVHWF
3ODQWHDUHOSUREOHPD\HOVLJQLILFDGRGHOPLVPRHQODV0DWHPiWLFDVGHHVDpSRFD
6HJXQGRSDVR
x 6H SXHGH HPSH]DU SRU SRQHU HVWXGLDQWHV D WUDEDMDU SURFHGLPLHQWRV VHQFLOORVUHODFLRQD
GRVFRQHOSUREOHPD
x ,GHQWLILFDUHOSUREOHPDHQIRUPDPDWHPiWLFDSUHFLVD
5HVROYHUHOSUREOHPD
7HUFHUSDVR
x 3RUPHGLRGHODVKHXUtVWLFDVDQDORJtDV\HVWUDWHJLDVGLVSRQLEOHVHQODpSRFDHWF
$QDOL]DU\FRPSDUDUODVVROXFLRQHV
&XDUWRSDVR
x (VWXGLDUDTXHOODV TXH VH GLHURQKLVWyULFDPHQWH \ FRPSDUDUODV FRQ ODV VROXFLRQHV HQ HO
FRQWH[WRDFWXDO
)XHQWHHODERUDFLyQSURSLD
3ULPHUSDVR
8QHMHPSORORVORJDULWPRV(VWRVVHSXHGHQFRORFDUHQHOFRQWH[WRGHODQDYHJDFLyQHQDOWDPDU
VLJOR ;9 GH OD FRQTXLVWD GH $PpULFD TXH SURPRYtD HO HVWXGLR DVWURQyPLFR SXHV UHTXHUtD
DPSOLRVFiOFXORVQXPpULFRV\HOXVRGHODVVHULHVDULWPpWLFDV\JHRPpWULFDVGHGRQGHHPHUJtDOD
LGHDGHORJDULWPR6HSXHGHHVWXGLDUODIRUPDFRPRORVWUDEDMDURQ%ULJJV1DSLHU\%UJLRELHQ
VH SXHGH DFXGLU D WDEODV ORJDUtWPLFDV \ WDPELpQ DO XVR GH VRIWZDUH SDUD VX FRQVLGHUDFLyQ 6H
SXHGHQXVDUSDVDMHVGHOLEURVYLHMRVTXHFRQWLHQHQODVWDEODV
2WURHMHPSORFRQVWUXFFLRQHVFRQUHJODQRJUDGXDGD\FRPSiV(VWRSHUPLWLUtDHVWXGLDUHOFRQWH[
WR GH OD *UHFLD DQWLJXD FRPR OD SUHVHQFLD GH SUHMXLFLRV VREUH ORV LUUDFLRQDOHV XVDU ORV LQVWUX
PHQWRVSDUDXQDSUXHEDHVSHFtILFDSODQWHDUHODVXQWRHQWpUPLQRVPRGHUQRV\FRQRWURVUHFXUVRV
\FRQWUDVWDUODVGLVWLQWDVFRQFHSFLRQHV
Metodología
Sobre el uso de la Historia de las Matemáticas
7DPELpQVHSXHGHFLWDUHOXVRGHUHVWDVVXFHVLYDVSDUDFDOFXODUHOFRP~QGLYLVRUGHGRVQ~PHURV
FXDQGRVHDSOLFDDOODGR\DODGLDJRQDOGHXQSHQWiJRQRUHJXODUUHVXOWDTXHDOQRVHUpVWRVFRQ
PHQVXUDEOHVHOSURFHVRVLJXH LQGHILQLGDPHQWH \GHHVWDIRUPD VHGDXQDRSRUWXQLGDGSDUDHVWX
GLDUXQRGHORVLUUDFLRQDOHVPiVIDPRVRVODUD]yQGRUDGD
V. Evaluación
Evaluación
(QHVWHFDStWXORVHUHVXPHQSULQFLSLRVHLQGLFDFLRQHVJHQHUDOHVSDUDHOGHVDUUROORGHXQDHYDOXD
FLyQHIHFWLYDHQODHQVHxDQ]DGHODV0DWHPiWLFDV
Evaluación de los aprendizajes
/DHYDOXDFLyQFRPRSDUWHLQWHJUDOGHOSURFHVRGHHQVHxDQ]D\DSUHQGL]DMHWLHQHFRPRSURSyVLWR
UHFRSLODU LQIRUPDFLyQ YiOLGD \ FRQILDEOH TXH SHUPLWD GHWHUPLQDU KDVWD TXp SXQWR VH ORJUDQ ODV
KDELOLGDGHVGHVWUH]DVRFRPSHWHQFLDVSURSXHVWDVHQORVSURJUDPDVGHHVWXGLR
(QHVWHVHQWLGRVHIDFLOLWDODDFFLyQGRFHQWHHQODWRPDGHGHFLVLRQHVSURQWDV\RSRUWXQDVRULHQWD
GDVDOPHMRUDPLHQWRGHOGHVHPSHxRHVWXGLDQWLO'HODPLVPDIRUPDEULQGDLQIRUPDFLyQDFHUFDGH
HVWHGHVHPSHxRODFRPSUHQVLyQ\DSOLFDFLyQFRQFHSWXDO\ODUHIOH[LyQDFHUFDGHODUHVROXFLyQGH
SUREOHPDV
'HVGH HVWD SHUVSHFWLYD OD HYDOXDFLyQ QR VH GHEH YLVXDOL]DU FRPR XQD DFWLYLGDG DLVODGD FRQ XQ
VHQWLGR SXQLWLYR VLQR FRPR XQ SURFHVR LQKHUHQWH D OD PHGLDFLyQ SHGDJyJLFD TXH OH SHUPLWH D
FDGDHVWXGLDQWHFRQVWUXLUDSUHQGL]DMHVDSDUWLUGHVXVH[SHULHQFLDVWUDVFHQGLHQGRGHHVWDIRUPDOD
LGHDGHODHYDOXDFLyQFRPRPHFDQLVPRGHVDQFLyQ
Principios
3DUD HO DERUGDMH GH HVWRV SURJUDPDV GH HVWXGLR HV LPSRUWDQWH SODQHDU OD HYDOXDFLyQ GH ORV
DSUHQGL]DMHVDSDUWLUGHORVVLJXLHQWHVSULQFLSLRV
x Es parte integral del proceso de enseñanza y aprendizaje./DHYDOXDFLyQQRGHEHFRQVL
GHUDUVHXQSURFHVRVHSDUDGRGHODPHGLDFLyQSHGDJyJLFDRFRPRXQFRQMXQWRGHSUXHEDV
DSOLFDGDVDOILQDOL]DUXQDXQLGDGRXQWHPD'HEHFRQVWLWXLUVHHQSDUWHQDWXUDOGHOSURFHVR
GHDSUHQGL]DMHTXHWLHQHOXJDUGXUDQWHODVDFWLYLGDGHVTXHVHSODQWHDQHQODFODVHFXDQGR
FDGD HVWXGLDQWH SDUWLFLSD HVFXFKD DQDOL]D VLWXDFLRQHV GHO HQWRUQR \ SURSRQH HVWUDWHJLDV
SDUDVXVROXFLyQFRQVLGHUDQGRORVGLIHUHQWHVQLYHOHVGHFRPSOHMLGDG
x Constituye un proceso colaborativo. &DGD HVWXGLDQWH DSUHQGH GH VXV FRPSDxHURV \ GHO
GRFHQWH\pVWHDSUHQGHGH\FRQVXVHVWXGLDQWHV/DIRUPXODFLyQGHDFWLYLGDGHVTXHLPSOL
TXHQODSXHVWDHQSUiFWLFDGHODVKDELOLGDGHVGHVWUH]DV\FRPSHWHQFLDVGH HVWXGLDQWHVID
YRUHFH HO GHVDUUROOR GH VX DXWRHVWLPD YDORUHV \ DFWLWXGHV DVt FRPR OD SURPRFLyQ GH
FUHHQFLDVSRVLWLYDVUHVSHFWRGHODDVLJQDWXUD
x Pertinencia con las actividades de mediación. 'XUDQWHHOGHVDUUROORGHODVDFWLYLGDGHVGH
PHGLDFLyQHVQHFHVDULRUHFRSLODULQIRUPDFLyQFXDOLWDWLYD\FXDQWLWDWLYDDFHUFDGHOGHVHP
SHxR HVWXGLDQWLO HQ ODV GLVWLQWDV iUHDV PDWHPiWLFDV /D LQIRUPDFLyQ UHFRSLODGD PHGLDQWH
LQVWUXPHQWRV WpFQLFDPHQWH HODERUDGRV OH SHUPLWLUi HYDOXDU VXV KDELOLGDGHV GHVWUH]DV \
FRPSHWHQFLDV\ODWRPDGHGHFLVLRQHV
x Congruencia de las técnicas e instrumentos/DVWpFQLFDVHLQVWUXPHQWRVTXHVHXWLOLFHQ
HQHOSURFHVRGHHYDOXDFLyQGHEHQVHUYDULDGRV\DGHFXDGRVDOQLYHOTXHSUHWHQGHHYDOXDU
GHEHQVHUYLUSDUDUHIOHMDUHOQLYHOGHFRQRFLPLHQWR\ODVKDELOLGDGHVHVSHFtILFDVORJUDGDV
Evaluación
x
Permite la toma de decisiones(ODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQUHFRSLODGDSHUPLWHODUHIOH
[LyQVREUHODSUiFWLFDSHGDJyJLFD\ODWRPDGHGHFLVLRQHVRULHQWDGDVDODUHDOLPHQWDFLyQR
UHRULHQWDFLyQGHODPLVPD$GHPiVSHUPLWHLGHQWLILFDUODVIRUWDOH]DVHQHODSUHQGL]DMHGH
FDGDHVWXGLDQWH\VXJHULUFyPRGHVDUUROODUODVDXQPiVFRQFODULGDG\DFWLWXGFRQVWUXFWLYD
UHVSHFWRDHYHQWXDOHVGHELOLGDGHV\ODVIRUPDVFRPRSRGUtDQHQIUHQWDUODV
$FDGDHVWXGLDQWHSRUVXSDUWHOHSHUPLWHUHIOH[LRQDUHQWRUQRDVXGHVHPSHxR\DXWRHYD
OXDUVHFRQHO ILQGHTXHDWUDYpVGHOWLHPSRVHDUHVSRQVDEOHGHVXSURSLRDSUHQGL]DMH \
VROLFLWDUHQFDVRQHFHVDULR ORVDSR\RVTXH OH IDFLOLWHQHOGHVDUUROORGH ODVKDELOLGDGHV \
GHVWUH]DVSURSXHVWDVHQHVWRVSURJUDPDV
x
Promueve el compromiso hacia el aprendizaje. 3DUD JDUDQWL]DU XQ DSUHQGL]DMH HIHFWLYR
GHEHH[LVWLUFRPSUHQVLyQHVWXGLDQWLOVREUHORTXHVRQORVREMHWLYRVGHDSUHQGL]DMH\DGH
PiVHOGHVHRGHUHDOL]DUORV(VWDFRPSUHQVLyQ\FRPSURPLVRKDFLDVXSURSLRDSUHQGL]DMH
VXUJH FXDQGR WLHQHQ FRQRFLPLHQWR GH ORV REMHWLYRV \ ORV FULWHULRV TXH VH XWLOL]DUiQ SDUD
HYDOXDUVXSURJUHVR/DFRPXQLFDFLyQFODUDGHHVWRVFULWHULRVLPSOLFDIRUPXODUORVGHPD
QHUDTXHVHSXHGDHQWHQGHUORTXHVHHVSHUDGHOGHVHPSHxRHVWXGLDQWLO
La evaluación en la resolución de problemas
/D HYDOXDFLyQ GHEH LQVFULELUVH GHQWUR GH VLWXDFLRQHV SRUWDGRUDV GH VHQWLGR \ TXH SURYRTXHQ HO
GHVHTXLOLEULRFRJQLWLYRDSDUWLUGHOFXDOVH IDYRUH]FDHOGHVDUUROORGHQXHYDVKDELOLGDGHV \GHV
WUH]DVHVWXGLDQWLOHV
8QSUREOHPDVHRUJDQL]DDOUHGHGRUGHXQREVWiFXORDVXSHUDUTXHKDVLGRLGHQWLILFDGR\SODQHDGR
SUHYLDPHQWH(VWDVLWXDFLyQGHEHUHSUHVHQWDUXQGHVDItRTXHSURYRTXHHOHVIXHU]RHVWXGLDQWLOSDUD
GDUOHUHVSXHVWDSRQLHQGRHQSUiFWLFDFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHVGHVWUH]DV\FRPSHWHQFLDV
$OSODQWHDUVHXQSUREOHPDFRPRSDUWHGHODHYDOXDFLyQGHORVDSUHQGL]DMHVVHGHEHQLGHQWLILFDU\
YDORUDUQRVRODPHQWHORVUHVXOWDGRVSXHVVHSHUGHUtDVXVLJQLILFDGRHVRSRUWXQRFRQVLGHUDUDGH
PiVODVVLJXLHQWHVIDVHV
x /DH[SORUDFLyQGHOSUREOHPD
x (OHVWDEOHFLPLHQWRGHODHVWUDWHJLD
x (OGHVDUUROORGHODHVWUDWHJLD
x /DDXWRUHIOH[LyQVREUHODHVWUDWHJLD
x (ODQiOLVLVGHORVUHVXOWDGRV
x /DFRQFOXVLyQ
6HGHEHFRQVLGHUDUTXHHODSUHQGL]DMHGH ODV0DWHPiWLFDVHVSURJUHVLYRHQ OD PHGLGDGHTXHVH
GHVDUUROOD FRQ EDVH HQ HO ORJUR GH XQRV FRQRFLPLHQWRV TXH VRQ IXQGDPHQWDOHV SDUD HO ORJUR GH
RWURVPiVFRPSOHMRV<HVRSHUDWLYRHQWDQWRQRHVVXILFLHQWHHOFRQRFLPLHQWRGHORVFRQFHSWRV
VLQRVXDSOLFDFLyQHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVFRQGLIHUHQWHQLYHOGHFRPSOHMLGDG
$O WUDWDUVH GLIHUHQWHV QLYHOHV GH FRPSOHMLGDG HQ ORV SUREOHPDV PDWHPiWLFRV D GHVDUUROODU HQ HO
DXODHVFRQYHQLHQWHLGHQWLILFDUODVSRVLEOHVDFFLRQHVGHFDGDJUXSRGHHVWXGLDQWHV1RWRGRVORV
Evaluación
SUREOHPDVSODQWHDGRVVHSXHGHQHYDOXDUGH OD PLVPD PDQHUD6LVHWUDWDGHXQSUREOHPDGHUH
SURGXFFLyQHVPiVIiFLOPHGLUHOGHVHPSHxRHQFXDQWRDORVUHVXOWDGRV6LQHPEDUJRVLVHWUDWD
GHXQSUREOHPDGHUHIOH[LyQQRHVVXILFLHQWHFRQHOOR8QWpUPLQR³PHGLR´ SXHGHQVHU ORVSUR
EOHPDV GH FRQH[LyQ &XDQGR VH WUDWD GH SUREOHPDV PiV FRPSOHMRV SRU HMHPSOR GH FRQH[LyQ \
UHIOH[LyQHVQHFHVDULRGLYHUVLILFDUORVLQVWUXPHQWRV\WpFQLFDVGHHYDOXDFLyQFRQHOSURSyVLWRGH
REWHQHULQIRUPDFLyQDFHUFDGHORVSURFHVRVPDWHPiWLFRVGHVDUUROODGRVORVSURGXFWRVREWHQLGRV
FRQHOSURSyVLWRGHEULQGDUDFRPSDxDPLHQWRHQHOGHVDUUROORGHODVKDELOLGDGHV\FRPSHWHQFLDV
/DV HVWUDWHJLDV GH HYDOXDFLyQ GHEHQ VHU FRQJUXHQWHV FRQ HO QLYHO GH FRPSOHMLGDG GH ORV SUREOH
PDV 3DUD HO FDVR GH OD HYDOXDFLyQ VXPDWLYD VHUtDWRWDOPHQWH HUUyQHR SRU HMHPSOR GLVHxDU XQD
SUXHEDHQODTXHSUHGRPLQHQORVSUREOHPDVGHOJUXSRGHUHIOH[LyQ3RUHVRPLVPRSDUDVXGLVH
xRVHGHEHJDUDQWL]DUHOHTXLOLEULRHQWUHORVGLVWLQWRVQLYHOHVGHORVSUREOHPDVLQFOXLGRVFRQVLGH
UDQGRSDUDHOORHODERUGDMHUHDOL]DGRGXUDQWHHOSURFHVRGHPHGLDFLyQSHGDJyJLFD
VI. Programas de cada ciclo
educativo
Programas de cada ciclo educativo
Introducción
Introducción
/RVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVVHRUJDQL]DQSRUPHGLRGH ODVFLQFRiUHDV PDWHPiWLFDVTXH VH
KDQVHOHFFLRQDGR(VWDRUJDQL]DFLyQGHFRQWHQLGRVVHUHDOL]DSDUDWRGRVORVDxRVGHODHGXFDFLyQ
SUHXQLYHUVLWDULD
(QFDGDFLFORHGXFDWLYRVHLQFOX\HQORVSURJUDPDVGHFDGDiUHDPDWHPiWLFDFRQVLJQDGRVDxRSRU
DxR
&LFORHGXFDWLYR
7DEOD(VWUXFWXUDGHFDGDFLFORHGXFDWLYR
(VWUXFWXUD
,QWURGXFFLyQ
1~PHURV
0HGLGDV
*HRPHWUtD
5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
6HFFLRQHVGHFDGDiUHD
x ,QWURGXFFLyQ
x 3URSyVLWRGHODHQVHxDQ]D
x +DELOLGDGHVJHQHUDOHV
x &RQRFLPLHQWRV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV
HLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVSRUDxR
x ,QGLFDFLRQHVPHWRGROyJLFDV
x ,QGLFDFLRQHVGHHYDOXDFLyQ
(Q FDGD iUHD GH FDGD FLFOR VH LQFOX\H XQD LQWURGXFFLyQ TXH SODQWHD LGHDV JHQHUDOHV GHO iUHD \
KDFH UHIHUHQFLD D ORV RWURV FLFORV ³3URSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D´ UHVXPH OR TXH VH SUHWHQGH HQ HO
iUHDGXUDQWHHOFLFORTXHVHFRPSOHWDFRQ³+DELOLGDGHVJHQHUDOHV´TXHVHGHVHDSURPRYHUHQHO
FLFORVHWUDWDGHXQDVtQWHVLVGHODVKDELOLGDGHVHVSHFtILFDVGHOiUHD
La presentación de conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
/D VHFFLyQ ³&RQRFLPLHQWRV KDELOLGDGHV HVSHFtILFDV H LQGLFDFLRQHV SXQWXDOHV´ VH RUJDQL]D HQ
IRUPD WDEXODU HQ WUHV FROXPQDV OD SULPHUD FRQ ORV FRQFHSWRV OD VHJXQGD FRQ ODV KDELOLGDGHV
HVSHFtILFDVDVRFLDGDVDORVFRQRFLPLHQWRV\HQXQDWHUFHUDFROXPQDVHGDQLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
VREUHORVDOFDQFHVGHORVFRQWHQLGRVFRQODLQFOXVLyQGHHMHPSORVRVXJHUHQFLDVGHPpWRGR /DV
KDELOLGDGHVHVSHFtILFDVVHQXPHUDQSDUDFDGDDxROHFWLYR
(QFDGDiUHDGHFDGDFLFORVHLQWURGXFHQGRVVHFFLRQHV,QGLFDFLRQHVPHWRGROyJLFDVH,QGLFDFLR
QHVGHHYDOXDFLyQ(QHOSULPHUFDVRVHLQFOX\HQRULHQWDFLRQHV\VXJHUHQFLDVSDUDWRGRHOFLFOR\
RWUDVSDUDFDGDDxRGHHVHFLFOR(QHOVHJXQGRFDVRVHRIUHFHQVXJHUHQFLDVSDUDWRGRHOFLFORHQ
RFDVLRQHV VH SURSRQH FyPR LQWHJUDU KDELOLGDGHV SDUD VX GHVDUUROOR \ HYDOXDFLyQ VH VXJLHUHQ
LQVWUXPHQWRVGHHYDOXDFLyQ\VHRIUHFHQHMHPSORV
(VWDVVHFFLRQHVQRSUHWHQGHQVXVWLWXLUODLGHQWLILFDFLyQUHIOH[LyQ\VHOHFFLyQGHORVPpWRGRVGHOD
OHFFLyQ R GH ORV SURFHGLPLHQWRV GH HYDOXDFLyQ TXH OH FRUUHVSRQGHQ DO GRFHQWH 6RODPHQWH VH
EXVFDDSRUWDUHOHPHQWRVTXHSXHGHQXVDUHVWRVSURIHVLRQDOHVHQVXDFFLyQGHDXOD
Programas de cada ciclo educativo
Introducción
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
,QPHGLDWDPHQWHGHVSXpVGHHVWDVHFFLyQVHLQFOX\HQDOJXQDVLQGLFDFLRQHVHVSHFtILFDVVREUHHYD
OXDFLyQ
/DVHOHFFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRV\ODVKDELOLGDGHVOOHYDLPSOtFLWDXQDFROHFFLyQDPSOLDGHGHFL
VLRQHVFXUULFXODUHVTXHQRVHSXHGHQH[SOLFLWDUFRQGHWDOOHHQHOFXUUtFXOR/DSUHVHQFLDRDXVHQ
FLD GH XQ FRQWHQLGR HV XQD SULPHUD VLWXDFLyQ SRU HMHPSOR TXLWDU EDVHV GLVWLQWDV GH OD GHO LQWURGXFLUJHRPHWUtDDQDOtWLFDTXLWDULGHQWLGDGHVWULJRQRPpWULFDV\DOJXQRVPpWRGRVGHIDFWRUL]D
FLyQ(OQ~PHURGHFRQWHQLGRVHVRWUD6HWUDWDGHGHFLVLRQHVTXHVHWRPDQFRQEDVHHQHOSDSHO
TXH VH TXLHUH GDU D XQ iUHD PDWHPiWLFD R D FLHUWRV WySLFRV 2WUR HMHPSOR HV HO OXJDU GRQGH VH
FRORFDHOFRQWHQLGRSXHVHVRH[SUHVDYDULDVFRVDVHOVHQWLGRGHQWURGHODGLVFLSOLQDQRVHSXHGH
HPSH]DUSRUHQWHURV\OXHJRYHUORVQDWXUDOHVODHSLVWHPRORJtD\FRJQLFLyQHVSHFtILFDSULPHUR
VXPDV \ UHVWDV OXHJR PXOWLSOLFDFLyQ SULPHUR QDWXUDOHV OXHJR GHFLPDOHV \ IUDFFLRQHV ODV RSHUD
FLRQHV FRQ IUDFFLRQHV HQ ƒ $xR HWF OD OyJLFD GH DXOD FRORFDFLyQ GH SUREOHPDV HQ XQ OXJDU
HVSHFtILFR TXH IDYRUH]FD HO HVWLOR GH RUJDQL]DFLyQ GH ODV OHFFLRQHV TXH VH SURSRQH < HQ WRGR
HVWRKD\PDWLFHV
(OOXJDUWDPELpQLPSOLFDXQDGHFLVLyQVXE\DFHQWHVREUHDVXQWRVFRPRHO VLJQLILFDGRSUHFLVRTXH
VH OH GD DO HQIRTXH HVSLUDO HQ OD FRORFDFLyQ GH FRQWHQLGRV FXUULFXODUHV D OD FRQFHQWUDFLyQ GH
WySLFRVSRUDxRHGXFDWLYRSRUHMHPSOR ODFRQFHQWUDFLyQGHHFXDFLyQGHSULPHUJUDGR\ IXQFLyQ
OLQHDO HQ XQ DxR \ OR FXDGUiWLFR HQ RWUR R VL HQ OD VHFXHQFLD VH HVSHUD TXH VH SURYRTXH XQD
PD\RURPHQRUSDUWLFLSDFLyQGHORVSURFHVRV
El papel de las indicaciones puntuales
(VQHFHVDULRVXEUD\DUHOSDSHOGHODFROXPQDGH³,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV´(VXQDIRUPDQRYHGR
VDHQ&RVWD5LFDGHRIUHFHUQRVyOREUHYHVVXJHUHQFLDVGHPpWRGRDVRFLDGDVDFRQFHSWRV\KDELOL
GDGHVVLQRGHHVSHFLILFDUORTXHVHGHVHDTXHVHLPSOHPHQWHHQFDGDFDVRYLVXDOL]DQGRHOVLJQL
ILFDGRGHODVKDELOLGDGHVSURSXHVWDV1RHVXQDFROXPQDVXSHUIOXDHQODPD\RUtDGHODVRFDVLR
QHVVHUtDGLItFLOFRPSUHQGHUHOSURSyVLWRFXUULFXODUVLQDFXGLUDHVWDVLQGLFDFLRQHV1RH[LVWHXQD
UHODFLyQPHFiQLFDHQWUHKDELOLGDGHVHVSHFtILFDVHLQGLFDFLyQHQPXFKDVRFDVLRQHVXQDLQGLFDFLyQ
UHILHUHDYDULDVKDELOLGDGHVHQRWUDVQRKD\LQGLFDFLyQSDUDXQJUXSRGHKDELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(Q HVWDV LQGLFDFLRQHV SXQWXDOHV VH LQFOX\HQ VXJHUHQFLDV VREUH OD UHDOL]DFLyQ GH ORV SURFHVRV
PDWHPiWLFRVSHUWLQHQFLDROXJDUGHORVPLVPRVHMHPSORVPpWRGRVSRVLEOHV\WDPELpQVREUHODV
DFWLWXGHVFUHHQFLDVDVtFRPRVREUHHOXVRGHWHFQRORJtDV\GHODKLVWRULDGH ODV0DWHPiWLFDV3RU
PHGLRGHHVWDVLQGLFDFLRQHVVHSURPXHYHXQSURJUHVRGHODFRPSHWHQFLDPDWHPiWLFDDSDUWLUGHO
ORJURGHODVKDELOLGDGHVDTXtVHVXEUD\DHVDUHODFLyQSRUPHGLRGHHVWUDWHJLDVSHGDJyJLFDV3HUR
HVWDVLQGLFDFLRQHVQRSXHGHQVHULQDSURSLDGDPHQWHGHPDVLDGDV
/DSUHVHQWDFLyQSRUPHGLRGHHVWDVWUHVFROXPQDVSHUPLWHYLVXDOL]DUPHMRUHOFXUUtFXORHQSULPHU
OXJDUHQFXDQWRDFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHV
Programas de cada ciclo educativo
Introducción
Simbología empleada en la columna de indicaciones puntuales
Se usará la siguiente simbología para indicar la presencia de algunos de los elementos del currículo en el plan de estudios:
Tabla 7. Simbología empleada en la columna de indicaciones puntuales
Elemento
Símbolo
Indicación puntual
c
Problema
Proceso
Actitud y creencia
Elemento de historia de las Matemáticas
Uso de tecnología
Eje transversal
86
Primer ciclo
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Introducción
Introducción al Primer ciclo
(O3ULPHUFLFORGHOD(GXFDFLyQ*HQHUDO%iVLFDHVHVHQFLDOSDUDODHQVHxDQ]DGHODV0DWHPiWLFDV
SXHVHVHOSULPHUFRQWDFWRTXHWLHQHQORVHVWXGLDQWHVFRQXQDPDWHULDIUHQWHDODTXHH[LVWHQFRQ
IUHFXHQFLD DFWLWXGHV QHJDWLYDV LQFOXVR DQWHV GH LQLFLDUVH OD HVFRODULGDG (VWH SULPHU PRPHQWR
GHEH VHU FDSD] GH JHQHUDU XQD SHUFHSFLyQ LQLFLDO SRVLWLYD GH ORV HVWXGLDQWHV XQD EDVH DIHFWLYD
SDUDSURIXQGL]DUVXVFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVHQHOVLJXLHQWHFLFOR
3DUDLQLFLDUHVWHFLFORVHSUHVHQWDODVHFFLyQ&RQRFLPLHQWRV%iVLFRVODFXDOSUHWHQGHGHVDUUROODU
KDELOLGDGHV QHFHVDULDV SDUD OD WUDQVLFLyQ GH HGXFDFLyQ SUHHVFRODU D HGXFDFLyQ 3ULPDULD (VWD
VHFFLyQLQYROXFUDFRQRFLPLHQWRVLQWXLWLYRVFRPRODXELFDFLyQHVSDFLDOFRPSDUDFLyQGHWDPDxRV
ORQJLWXGHVHVSHVRUHV \FDQWLGDGHVGHXQPRGRFXDOLWDWLYRPXFKRSRFRHQWUHRWURV/XHJRGH
SUHSDUDUDODV\ORVHVWXGLDQWHVFRQORHVWDEOHFLGRHQHVWDVHFFLyQVHSRGUiDERUGDUODViUHDVPD
WHPiWLFDVFRUUHVSRQGLHQWHVDHVWHFLFOR
(QHVWHFLFOR*HRPHWUtD0HGLGDV\(VWDGtVWLFD\SUREDELOLGDGRFXSDQXQWDPDxRVLPLODUPLHQ
WUDV TXH 1~PHURV FRQVWLWX\H OD PD\RU SDUWH 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD SRU VX SDUWH SUHVHQWD XQD
H[WHQVLyQPHQRUTXHODVGHPiViUHDV
0XFKR GH OR TXH VH SUHWHQGD SDUD DILDQ]DU FRQRFLPLHQWRV SURFHVRV PDWHPiWLFRV \ DFWLWXGHV
SRVLWLYDV JLUD DOUHGHGRU GH OR TXH VH KDJD HQ 1~PHURV (VWH FLFOR GHEH RIUHFHU GRPLQLR GH ORV
FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV PDWHPiWLFRV IXQGDPHQWDOHV Q~PHURV QDWXUDOHV \ ODV RSHUDFLRQHV
VXPDUHVWDPXOWLSOLFDFLyQ\GLYLVLyQDXQTXHVLQHODOJRULWPRHXFOLGLDQRFRQXQDIXHUWHLQFOL
QDFLyQKDFLDHOFiOFXOR(QHU$xRVHWUDEDMDUiFRQQ~PHURVPHQRUHVDHQƒFRQQ~PHURV
PHQRUHVDSDUDDILUPDUODVRSHUDFLRQHV\OXHJRHQHO HU$xRVHDPSOLDUiHOGRPLQLRKDVWD
FRQ RSHUDFLRQHV EiVLFDV HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV XELFDGRV HQ FRQWH[WRV UHDOHV
FHUFDQRVDOHVWXGLDQWH'HVGHXQSULPHU PRPHQWRVHGHEHFRQHFWDUHOFRQFHSWRLQWXLWLYRGHQ~
PHURFRQHOVHQWLGRQXPpULFRODSRVLFLyQDEVROXWD\UHODWLYDGHORVQ~PHURVGRQGHHVUHOHYDQWH
SRWHQFLDUHOFiOFXORPHQWDO\ODHVWLPDFLyQSXHVDFWLYDQSURFHVRVFRJQLWLYRVTXHDYDQ]DQKDFLDOD
FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD (V LPSRUWDQWH TXH KD\D PHPRUL]DFLyQ GH DOJXQRV SURFHGLPLHQWRV
FRPR ODV WDEODV GH PXOWLSOLFDFLyQ SXHV HVWR FUHD XQD EDVH SDUD HO DSUHQGL]DMH FRQFHSWXDO (Q
HVWDHWDSDKD\XQDUHODFLyQPX\HVWUHFKDGHHVWDiUHDFRQODGH 5HODFLRQHV\ÈOJHEUDTXHEXVFD
JHQHUDU FRPSUHQVLyQ GH SDWURQHV \ UHODFLRQHV DVt FRPR HPSH]DU D PDQLSXODU OHHU \ HVFULELU
VtPERORVEiVLFRVGHODVRSHUDFLRQHV \FRPHQ]DUDLGHQWLILFDU \XELFDUQ~PHURVHQODUHFWDQX
PpULFD
0HGLGDVWDPELpQVHDVRFLDIXHUWHPHQWHD1~PHURV$XQTXHODDFFLyQGHPHGLUHVGLVWLQWDDODGH
RSHUDU\KDFHUFiOFXORVVHUHTXLHUHGHQ~PHURV\DSHODDXQVHQWLGRGHORQXPpULFR
$VLPLVPR(VWDGtVWLFD\SUREDELOLGDGXWLOL]DQ~PHURVDOLQWURGXFLUODQRFLyQGHGDWRTXHFRGLIL
FD LQIRUPDFLyQ FXDOLWDWLYD \ FXDQWLWDWLYD DO ILQDO GHO FLFOR VH HVSHUD TXH HO HVWXGLDQWH HVWp HQ
FDSDFLGDG GH XVDU HVWUDWHJLDV SDUD SURFHVRV GH UHFROHFFLyQ UHVXPHQ SUHVHQWDFLyQ \ DQiOLVLV GH
LQIRUPDFLyQDXQTXHVHDDXQQLYHOPX\EiVLFR7DPELpQWLHQHTXHHVWDUHQFDSDFLGDGGHLGHQWL
ILFDUHQWUHHYHQWRVPiVRPHQRVSUREDEOHV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Introducción
(Q*HRPHWUtDVHEXVFDGHVDUUROODUODYLVXDOL]DFLyQXELFDFLyQUHFRQRFHUIRUPDVJHRPpWULFDVHQ
HOHQWRUQRPDQLSXODFLyQ\GHVFULSFLyQGHILJXUDVJHRPpWULFDVGHODVUHODFLRQHVHQWUHHOODV\GH
ORV HOHPHQWRV TXH FRQVWLWX\HQ FDGD ILJXUD DGHPiV GHO DSUHQGL]DMH GH YRFDEXODULR JHRPpWULFR
HOHPHQWDO (Q SULPHUD LQVWDQFLD VH GHEH SURPRYHU OD UHSURGXFFLyQ GH ILJXUDV FRQ SDWURQHV
FDOFDQGRFRQSDSHOFXDGULFXODGRHWF\HOWUD]DGRGHHVDVILJXUDVDPDQRDO]DGDRFRQD\XGDGH
LQVWUXPHQWRV 6H EULQGD HVSHFLDO DWHQFLyQ DO WULiQJXOR UHFWiQJXOR FtUFXOR FDMD FXER \ HVIHUD
VLHPSUHGHXQD PDQHUD LQWXLWLYDVyORUHFRQRFHUPDQLSXODU(VWDiUHDSHUPLWHHVWDEOHFHUHVSH
FLDOHV FRQH[LRQHV FRQ ODV SHUFHSFLRQHV H LQWXLFLRQHV GHO HQWRUQR SUHFLVDPHQWH SRU VX UHODFLyQ
FRQORYLVXDO\ODPDQLSXODFLyQItVLFDGHREMHWRV(OPRYLPLHQWRVHSXHGHLQWURGXFLUSRUPHGLRGH
FURTXLVVHQFLOORVTXHFRQVLJQHQLQLFLR\ILQDOGHXQUHFRUULGR\FDPELRHQODSRVLFLyQGHREMHWRV
/DHQVHxDQ]DHQHVWHFLFORGHEHRIUHFHUXQVHQWLGRVLHPSUHLQWXLWLYRDSHJDGRDUHIHUHQWHVItVLFRV
\ VRFLDOHV D OR VHQVRULDO OR SLFWyULFR SDUD SRFR D SRFR LU LQWURGXFLHQGR PD\RUHV QLYHOHV GH
UHSUHVHQWDFLyQVLPEROL]DFLyQ\DEVWUDFFLyQPDWHPiWLFDV
(VSRVLEOHSURPRYHUORVSURFHVRVPDWHPiWLFRVFHQWUDOHVPHGLDQWHXQVHQWLGRLQWXLWLYR\VHQVRULDO
HQODVDSUR[LPDFLRQHVDORVREMHWRVPDWHPiWLFRV
/RV PRGHORV PDWHPiWLFRV TXH VH SODQWHDQ SULQFLSDOPHQWH HQ HVWH FLFOR VRQ ORV Q~PHURV \ VXV
RSHUDFLRQHVDVtFRPRORVPLVPRVREMHWRVJHRPpWULFRVTXHVHLQWURGXFHQHOORVUHSUHVHQWDQVLWXD
FLRQHVGHOHQWRUQRGHXQDPDQHUDPX\GLUHFWDSRUORTXHQRGHEHQFRQVLGHUDUVHFRPRDOJRFRP
SOHMR 3RU HMHPSOR HV XQ WLSR GH UHSUHVHQWDFLyQ VLPEyOLFD \ SXHGH VHU XQ PRGHOR VL
UHVSRQGH D XQ FRQWH[WRUHDO /D UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV SRURWUR ODGR VH LQWURGXFH LPSOtFLWD
PHQWHFRQHOHVWLORGHRUJDQL]DFLyQGHOHFFLRQHVTXHVHKDSURSXHVWRFRPRFHQWUDO
/DVFRQH[LRQHVVHHQIDWL]DQHQUHODFLyQFRQHOFRQWH[WR\ODVLQWXLFLRQHVTXHGHEHQSUHGRPLQDU\
HQORVSUREOHPDVTXHXVDQDODYH]Q~PHURVRSHUDFLRQHVFiOFXORVPHGLGDVUHODFLRQHV\UHSUH
VHQWDFLyQ\PDQLSXODFLyQVLPEyOLFD
5HDOL]DU ODV RSHUDFLRQHV \ FiOFXORV PHGLU XVDU SDWURQHV RUGHQDU GDWRV HQ WDEODV \ VLPEROL]DU
FRQORVVLJQRVQXPpULFRVEiVLFRVLQGXFHQDOUD]RQDPLHQWRPDWHPiWLFR
Conocimientos Básicos
Introducción
6HVXSRQHTXHDO LQJUHVDUDOFLFOR ODVQLxDV \ ORV QLxRVWLHQHQGLYHUVDV KDELOLGDGHVUHODFLRQDGDV
FRQFRQRFLPLHQWRVPDWHPiWLFRVDGTXLULGDVHQODHGXFDFLyQSUHHVFRODURHQVXHQWRUQR
(O HU $xR GH HVWH FLFOR GHEHUi UHIRU]DU HVWDV KDELOLGDGHV GDGR TXH SHUPLWHQ HO GHVDUUROOR GH
GHVWUH]DV\ODDGTXLVLFLyQGHDFWLWXGHVSRVLWLYDVTXHSUHSDUDQSDUDHODSUHQGL]DMH
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DGHHVWRV&RQRFLPLHQWRVEiVLFRVHVGHVDUUROODUODFDSDFLGDGGHXEL
FDFLyQHVSDFLDOFRPSDUDFLyQGHWDPDxRVORQJLWXGHVHVSHVRUHV\FDQWLGDGHVGHXQPRGRFXDOLWD
WLYRPXFKRSRFRHQWUHRWURV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHVHSUHWHQGHQVRQ
x 7HQHUXQDQRFLyQFODUDGHODXELFDFLyQHQHOHVSDFLR\GHODUHODFLyQHVSDFLDOHQWUHREMHWRV
x 5HDOL]DU GLIHUHQWHV WLSRV GH FRPSDUDFLRQHV WDOHV FRPR WDPDxRV GLVWDQFLDV ORQJLWXGHV
HVSHVRUHVFDQWLGDGHVLQWHUYDORVGHWLHPSR
6HIRUWDOHFHQDFWLWXGHV \FUHHQFLDVSRVLWLYDVKDFLD ODV0DWHPiWLFDVSULQFLSDOPHQWHHQ ORTXHVH
UHILHUH D SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ FRODERUDWLYD \ UHVSHWR DSUHFLR \ GLVIUXWH GH ODV 0DWHPiWLFDV
JUDFLDVDORVUHFXUVRVYLVXDOHVTXHVHSURSRQHQGXUDQWHHOGHVDUUROORGHODVDFWLYLGDGHV
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
HU$xR
&RQRFLPLHQWRV
7DPDxR
x 0iVJUDQGH
x 0iV
SHTXHxR
x ,JXDOTXH
x 7DQJUDQGH
FRPR
x 7DQ
SHTXHxR
FRPR
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
&RPSDUDU GH DFXHUGR FRQ
HOWDPDxRPiVJUDQGHTXH
PiV SHTXHxR TXH WDQ
JUDQGH FRPR WDQ SHTXHxR
FRPRHLJXDOTXH
2UGHQDU VHJ~Q HO WDPDxR
REMHWRV GHO HQWRUQR R WUD
]DGRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c /D PDQLSXODFLyQ GH PDWHULDO FRQFUHWR H LPSUHVR HV PX\
QHFHVDULD SDUD TXH VH SXHGD LGHQWLILFDU \ FRPSDUDU HVWRV FRQ
FHSWRV VHSDUDU \ FODVLILFDU REMHWRV R ELHQ HQFHUUDU PDUFDU
UHSLQWDU GLEXMDU UHFRUWDU R UHDOL]DU RWUDV DFWLYLGDGHV 3RU
HMHPSORHQFHUUDUHOUHFLSLHQWHPiVJUDQGH
Programas de cada ciclo Educativo
Conocimientos básicos
1RFLyQGH
ORQJLWXG±
DQFKXUD±
HVSHVRU
&RPSDUDU REMHWRV R WUD]RV c6HSXHGHXWLOL]DUPDWHULDOFRQFUHWRFRPR EORTXHVSLH]DVGH
VHJ~QVXORQJLWXGRDQFKX PDGHUDXWHQVLOLRVHVFRODUHVHWF
UDRHVSHVRU
2UGHQDU REMHWRV VHJ~Q VX
ORQJLWXG DQFKXUD R HVSH
VRU
8ELFDFLyQ
HVSDFLDO
'HWHUPLQDU OD SRVLFLyQ UH c /RV FRQFHSWRV VH GHVDUUROODUiQ SULPHUR FRQ OD XELFDFLyQ GH
ODWLYD HQWUH REMHWRV DGH ODVQLxDV\ORVQLxRVHQODFODVHVLWXDUVHHQUHODFLyQFRQRWURR
ODQWH DWUiV DUULED GHEDMR FRQXQREMHWR
GHQWUR IXHUD GHUHFKD L] TXLHUGD MXQWR D HQ PHGLR
GHDOODGR
7RPDGRGH
KWWSZZZIDFHERRNFRPSDJHV0(3HQ
LP&$JHQHVSKRWRSKS"IELG VHW DW\SH WKH
DWHU
'LVWDQFLD
x /HMRV
x &HUFD
&RPSDUDU OD SRVLFLyQ GH
REMHWRV FRVDV R SHUVRQDV
VHJ~Q ODGLVWDQFLDD TXH VH
HQFXHQWUDQ D SDUWLU GH XQD
SRVLFLyQGDGDOHMRVFHUFD
PiV OHMRV PiV FHUFD WDQ
OHMRV FRPR WDQ FHUFD FR
PR
7DPELpQSRUPHGLRGHMXHJRVFRPRSRUHMHPSOR
D 6LPyQGLFHWRGRVXQSDVRDGHODQWH
E 4XHVHOHYDQWHHOTXHHVWiDODGHUHFKDGH$QD
c 8QD DFWLYLGDG UHODFLRQDGD FRQ HVWR SXHGH VHU H[SUHVDU
RUDOPHQWHHORUGHQGHDOJXQRVGHVXVFRPSDxHUDVRFRPSDxHURV
GHFODVHVHJ~QVHHQFXHQWUHQPiVRPHQRVOHMRVGHXQSXQWRGH
UHIHUHQFLDGDGR
Programas de cada ciclo Educativo
Conocimientos básicos
2UGHQDU REMHWRV VHJ~Q VX
GLVWDQFLDDXQSXQWRGDGR
,PDJHQUHFXSHUDGDGHKWWSZZZIDFHERRNFRPSDJHV0(3HQ
LP&$JHQHVSKRWRSKS"IELG VHW DW\SH WKH
DWHU
&DQWLGDG
x 0XFKR
x 3RFR
x ,JXDO
x 8QR
x 1LQJXQR
x 7RGRV
x $OJXQR
x 0iVTXH
5HDOL]DU FRPSDUDFLRQHV GH
FDQWLGDG XWLOL]DQGR ODV QR
FLRQHV GH PXFKR SRFR
LJXDO FDQWLGDG XQR QLQ
JXQRWRGRV DOJXQR WDQWRV
FRPR PiV TXH PHQRV
TXH
(VWDEOHFHU FRUUHVSRQGHQ
FLDVXQRDXQRHQWUHFROHF
FLRQHV GH REMHWRV R GLEX
MRV
c6HSXHGHQRUGHQDUUHFLSLHQWHVVHJ~QFRQWHQJDQPiVRPHQRV
EROLWDV 'HEH VHU HYLGHQWH ODGLIHUHQFLD HQ HO FRQWHQLGR SRUTXH
DTXt QR VH WUDWD QHFHVDULDPHQWH GH FRQWDU VLQR GH HVWLPDU YL
VXDOPHQWH
c'DGRXQDFDQWLGDGGHPDWHULDOHVSRUHMHPSORXQDVSLH]DVGH
PDGHUDYHUVLKD\XQDSDUDFDGDXQRVLVREUDQRIDOWDQ
x 0HQRVTXH
x &RUUHVSRQ
GHQFLDXQRD
XQR
Programas de cada ciclo Educativo
Conocimientos básicos
Indicaciones metodológicas
/DV KDELOLGDGHV SURSXHVWDV SDUD HVWH SHULRGR GHEHQ DERUGDUVH HQ HVWUHFKD UHODFLyQ FRQ OR
FRQFUHWRYDOLpQGRVHWDQWRGHOHQWRUQRFRPRGHPDWHULDOSUHSDUDGRHVSHFLDOPHQWHSDUDODHQ
VHxDQ]DDSUHQGL]DMHGHORVFRQFHSWRVRHOGHVDUUROORGHODVKDELOLGDGHV\SURFHVRV
&XDQGRVHWUDWDGHODVQRFLRQHVGHHVSHVRUORQJLWXGDQFKXUDRWDPDxR\FDQWLGDGHVLPSUHV
FLQGLEOHHOXVRGHREMHWRVFRQORVTXHODVQLxDV\ORVQLxRV HVWpQIDPLOLDUL]DGRV\TXHSXHGDQ
OOHYDURHVWpQSUHVHQWHVHQHODXODRODLQVWLWXFLyQ
(QFXDQWRDODVQRFLRQHVUHODFLRQDGDVFRQODXELFDFLyQHVSDFLDO\ODGLVWDQFLDpVWDVSXHGHQVHU
DERUGDGDVPHGLDQWHMXHJRVTXHSHUPLWDQODSDUWLFLSDFLyQGHWRGRHOJUXSR
Indicaciones de evaluación
/DVKDELOLGDGHVHVWDEOHFLGDVSDUDORVFRQRFLPLHQWRVEiVLFRVSXHGHQHYDOXDUVHPHGLDQWHODREVHU
YDFLyQGXUDQWHHOWUDEDMRFRWLGLDQR
(Q FXDQWR D OD QRFLyQ GH WDPDxR HV LPSRUWDQWHPRVWUDU TXH VH SXHGH FRPSDUDU REMHWRV GHO HQ
WRUQRRLOXVWUDFLRQHV\GHWHUPLQDUFXiOHVPiVJUDQGH\FXiOHVPiVSHTXHxRRVLVRQGHOPLVPR
WDPDxRWDPELpQVHSXHGHQRUJDQL]DUFROHFFLRQHVGHREMHWRVRLOXVWUDFLRQHVSRURUGHQGHWDPDxR
3RUHMHPSORHQODVLJXLHQWHLOXVWUDFLyQVHSXHGHSHGLUTXHVHxDOHFRQzODILJXUDPiVSHTXHxD\
FRQ­ODPiVJUDQGHRELHQTXHVHRUGHQHODVILJXUDVGHODPiVSHTXHxDDODPiVJUDQGH
$OJRVHPHMDQWHSRGUiKDFHUVHHQFXDQWRDORQJLWXGHVHVSHVRUHV\GLVWDQFLDV
(QFXDQWRDODXELFDFLyQHVSDFLDOVHGHEHHYDOXDUVLVHFRQRFHODSRVLFLyQUHODWLYDHQWUHSHUVRQDV
XREMHWRV3RUHMHPSORHQXQDIRWRJUDItDRXQDLOXVWUDFLyQVHxDODUVLXQREMHWRGHWHUPLQDGRHVWi
GHODQWHRGHWUiVDODL]TXLHUGDRDODGHUHFKDDUULEDRGHEDMRGHRWUR
6HGHEHUiHYDOXDUVL ODRHOHVWXGLDQWHSXHGHGHWHUPLQDUVLXQREMHWRRSHUVRQDHVWiPiV OHMRVR
PiVFHUFDTXHRWURFRQUHVSHFWRDXQSXQWRGDGRWDQWRHQVLWXDFLRQHVGHOHQWRUQRFRPRHQLOXV
WUDFLRQHVRIRWRJUDItDV
'DGDVGLYHUVDVFROHFFLRQHVGHREMHWRVGHEHUiGHWHUPLQDUFXiOWLHQHPiVREMHWRVFXiOWLHQHPH
QRVRVLVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDUHODFLyQXQRDXQRHQWUHORVREMHWRVGHHVDVFROHFFLRQHV
6H SXHGHQ HYDOXDU GRV R PiV DFWLYLGDGHV HQ XQ VROR SUREOHPD SRU HMHPSOR VH SUHVHQWD XQD
IRWRJUDItDFRPRODVLJXLHQWH
Programas de cada ciclo Educativo
Conocimientos básicos
Se pueden plantear preguntas como éstas: ¿hay más tubos amarillos que grises?, ¿hay tantos
tubos amarillos como grises?, ¿cuántos tubos son verdes?, ¿cuántos tubos son amarillos? Con
esto se evalúan las nociones de uno, ninguno, tantos como. También se puede pedir que señale el
tubo que está más alejado del amarillo, los que están más cerca, el que está en medio, etc.
94
Primer ciclo, Números
Introducción
$OLQJUHVDUDO3ULPHUFLFORORVQLxRV\QLxDVhan desarrolladoODKDELOLGDGGHFRQWDUKDVWDHO$
HVWDHGDGFRPSLWHQSDUD YHUTXLpQFXHQWD PiV \WLHQHQXQFRQRFLPLHQWREiVLFRGH ORVQ~PHURV
RUGLQDOHVSULPHURVHJXQGR\WHUFHUR
(OFRQFHSWRGHQ~PHURD~QQRVHWLHQHFODURSXHVHOPDQHMRGHORVQ~PHURVHVWiUHODFLRQDGRHQ
VXV FRQWH[WRV DWUDYpV GHO MXHJR R FRPR XQ OHQJXDMH FRWLGLDQR WHQJR XQD ELFLFOHWD HQ PL FDVD
KD\WUHVJDWRVWHQJRFXDWURKHUPDQRV
(O3ULPHUFLFOREXVFDUHIRU]DUTXHHVRTXHODV\ORVQLxRVXVDQFRPRQ~PHURVWLHQHVXVtPEROR
JtDHVFULWXUD\H[SUHVLyQRUDOSHURDGLFLRQDOPHQWHVHGHEHQ HQVHxDUODVRSHUDFLRQHVEiVLFDVGH
XQDIRUPDQDWXUDOGHVDUUROODGDVPHGLDQWHVLWXDFLRQHVGHODYLGDFRWLGLDQD
6HDEDUFDQORVQ~PHURVQDWXUDOHVPHQRUHVTXH\VXVUHODFLRQHVODVRSHUDFLRQHVGHVXPD
UHVWDPXOWLSOLFDFLyQ\GLYLVLyQ\KDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVDOFiOFXOR\ODHVWLPDFLyQ
1~PHURVHVLPSRUWDQWHSXHVWLHQHXQDUHODFLyQGLUHFWDFRQODVRWUDViUHDVPDWHPiWLFDV0HGLGDV
*HRPHWUtD5HODFLRQHV\ÈOJHEUD\(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDVtFRPRFRQODVRWUDVDVLJQDWX
UDVTXHVHLPSDUWHQDHVWHQLYHOXQDPXHVWUDGHHOORHVODOtQHDGHOWLHPSRXWLOL]DGDHQ(VWXGLRV
6RFLDOHV
(OXVRGHSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV HVIXQGDPHQWDOSDUDpVWH\ ORVSUy[LPRVFLFORV\DTXH
SHUPLWH UHODFLRQDU ODV 0DWHPiWLFDV FRQ HO HQWRUQR \ XWLOL]DU ORV Q~PHURV FRPR UHIHUHQFLD GH
VLWXDFLRQHVFRWLGLDQDVGRQGHHVSRVLEOHXVDUODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDV
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQ1~PHURVHVGHVDUUROODUHOFRQFHSWRGHQ~PHURSDUDSRGHUXWLOL
]DUORHQGLIHUHQWHVVLWXDFLRQHVFRPSUHQGHU ORVVLJQLILFDGRVGHODVRSHUDFLRQHVEiVLFDVGHVDUUR
OODU\XWLOL]DUHVWUDWHJLDVSDUDHOFiOFXOR\ODHVWLPDFLyQ
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiQWHQHUORVHVWXGLDQWHVHQHOiUHDGH 1~PHURVDOILQDOL]DUHO
3ULPHUFLFORVRQ
x (VFULELUOHHU\FRQRFHUORVQ~PHURVPHQRUHVTXHHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
x (VWDEOHFHUUHODFLRQHVQXPpULFDVFRQFDQWLGDGHVPHQRUHVTXH
x ,GHQWLILFDUHOYDORUSRVLFLRQDOGHORVGtJLWRVTXHFRQIRUPDQXQQ~PHURPHQRUTXH
x ,GHQWLILFDUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHXQPLVPRQ~PHUR
Programas de cada ciclo educativo
x
x
x
x
x
Primer ciclo, Números
Desarrollar y utilizar estrategias para el cálculo y la estimación.
Utilizar números ordinales en diferentes contextos.
Resolver y proponer problemas del entorno en los que se haga uso de las operaciones básicas.
Establecer relaciones entre operaciones.
Escribir sucesiones numéricas de 10 en 10, de 100 en 100 y de 1000 en 1000.
Se puede fortalecer actitudes y creencias positivas hacia las Matemáticas con facilidad mostrando
la utilidad de los números en la vida cotidiana, mediante los diferentes problemas que se les
proponga, así como desarrollar el disfrute de las Matemáticas acudiendo sistemáticamente al
juego como metodología de aula.
En Números, los procesos Conectar y Representar adquieren relevancia. Se empieza a manipular
las primeras representaciones numéricas, por ejemplo por medio de la descomposición de números o por la utilización de otros signos o figuras para representarlos. Se iniciará la participación
en el proceso Plantear y resolver problemas durante el 2° y el 3er Año.
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
1erAño
Conocimientos
Números
naturales
x Relaciones
numéricas
x Sistema de
numeración
decimal
x Valor
posicional
x Relaciones
de orden
x Números
ordinales
Habilidades específicas
1. Identificar varias utilidades
de los números en diferentes contextos cotidianos.
Indicaciones puntuales
c Usar situaciones que permitan la utilización del número, para
que éste surja de forma natural en la respuesta que brindan las y
los estudiantes. Preguntar por otras situaciones en las que se
usen.
2. Trazar los números del 0 al
9.
c Estar atento a que la o el estudiante trace correctamente los
números (sentido del trazado).
3. Identificar y aportar ejemplos de representaciones
distintas de un número.
c Se pueden LPSOHPHQWDU MXHJRV FRPR ³(O EDUFR VH KXQGH´
donde DOJXLHQ H[FODPD ³£(O EDUFR VH KXQGH \ para salvarse
KD\ TXH IRUPDU JUXSRV GH«´ \ HQ HVH PRPHQWR WRGRV FRUUHQ
para formar el grupo con la cantidad que se especificó. Se
recomienda utilizar valores menores que 10.
4. Establecer correspondencias entre las diferentes
formas de representación
de un número natural menor que 100 aplicando los
conceptos de unidad y decena.
Hay que aprovechar este tipo de actividades para conversar acerca del compañerismo y la solidaridad, así como la
importancia de trabajar en equipo.
Un número natural tiene varias representaciones entre las
cuales se pueden citar:
a. La gráfica:
œœœœœ
b. El numeral:
5
c.
Concreta: en la que se utilizan colecciones de objetos
del entorno.
96
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
2SHUDFLRQHV
FRQQ~PHURV
QDWXUDOHV
x 6XPD
x 5HVWD
G 9HUEDOODIRUPDFRPRVHGLFHHOQ~PHURUHVSHFWLYR
H /LWHUDOODIRUPDFRPRVHHVFULEHFRQSDODEUDVHOQ~PH
UR
&LQFR
I 3RUFRPSRVLFLyQ\GHVFRPSRVLFLyQDGLWLYD
c6HSXHGHQUHDOL]DUELQJRVRMXHJRVGHPHPRULDSDUDUHIRU]DU
HVWD KDELOLGDG 3RU HMHPSOR OD FRQIRUPDFLyQ GH SDUHMDV PH
GLDQWHODXWLOL]DFLyQGHWDUMHWDV(QXQDVHLQFOX\HHOQXPHUDO\
HQODRWUDODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDTXHOHFRUUHVSRQGH
&RPSDUDU Q~PHURV PHQR c 6H VROLFLWD UHDOL]DU FRPSDUDFLRQHV FRQ PDWHULDO FRQFUHWR
UHV TXH XWLOL]DQGR ODV SDUDFRQWDUORVHOHPHQWRV\VHxDODUHOJUXSRFRQPHQRUPD\RU
UHODFLRQHV GH RUGHQ VLQ R LJXDO FDQWLGDG /XHJR VH SLGHUHSUHVHQWDU HVWDV FDQWLGDGHV HQ
IRUPDQXPpULFD\KDFHUFRPSDUDFLRQHVHPSH]DQGRSRUHOGtJLWR
XWLOL]DUVtPERORV! GHODVGHFHQDV
'HVFULELU OD SRVLFLyQ GH c &RPR XQDDFWLYLGDG LQWURGXFWRULD VH SXHGHQ IRUPDU JUXSRV
RUGHQ HQ REMHWRV \ SHU GH HVWXGLDQWHV \ VROLFLWDU TXH VH RUGHQHQ HQ ILODV VLJXLHQGR
VRQDV XWLOL]DQGRORVQ~PH DOJ~QFULWHULR
URV RUGLQDOHV KDVWD HO Gp
D 6HJ~QVXWDPDxR
FLPR
E 6HJ~QVXHGDG
/XHJRVHSXHGHSUHJXQWDU
¢4XLpQHVWiGHSULPHUR"¢4XLpQHVWiGHVHJXQGR"<DVtVXFHVL
YDPHQWH
,GHQWLILFDUODVXPDGH
c 6H SODQWHDXQR R YDULRV SUREOHPDV GRQGH VH HQIDWLFH HQ ORV
Q~PHURVQDWXUDOHVFRPR VHQWLGRV GH OD VXPD DJUHJDU \ UHXQLU FROHFFLRQHV GH REMHWRV
FRPELQDFLyQ\DJUHJD
3RUHMHPSOR
FLyQGHHOHPHQWRVXREMH WRV
5HSUHVHQWHPHGLDQWHXQQ~PHURODFDQWLGDGGHHVWXGLDQWHV
TXHVHREWLHQHDOXQLUODHUDILODFRQODHUDILOD
¢&XiQWDVOiSLFHVGHFRORUWLHQHQ-XDQ\-LPHQD"
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
,GHQWLILFDU OD UHVWD GH c 6H SODQWHDQ SUREOHPDV TXH SHUPLWDQ PRGHOL]DU VLWXDFLRQHV
Q~PHURV QDWXUDOHV FRPR XWLOL]DQGRORVVHQWLGRVGHODUHVWDSRUHMHPSOR
VXVWUDHU TXLWDU \ FRP SOHWDU
6H VROLFLWD D XQ HVWXGLDQWH -XDQ TXH FRORTXH VREUH HO
HVFULWRULRXQDGHWHUPLQDGDFDQWLGDGGHOiSLFHVODFXDOH[SUHVDUi
D VXV FRPSDxHURV \ FRPSDxHUDV /XHJR OH VROLFLWDD RWUR 0D
ULDQHOD TXH GH HOORV UHWLUH \ RFXOWH UiSLGDPHQWH XQD FDQWLGDG
PHQRU D OD TXH FRORFy VX FRPSDxHUR 6H SLGH DODV \ ORV HVWX
GLDQWHV YHULILFDU FXiQWRV OiSLFHV KD\ VREUH HO HVFULWRULR \ VH
IRUPXOD OD SUHJXQWD ¢FXiQWRV OiSLFHV FUHHQ TXH WLHQH 0DULDQH
OD"
'XUDQWH OD DFWLYLGDG HV LPSRUWDQWH TXH VH FRPLHQFHQ D
SURSLFLDU HVSDFLRV SDUD OD MXVWLILFDFLyQ GH ODV UHVSXHVWDV \ OD
FRPXQLFDFLyQGHODVHVWUDWHJLDVDORVGHPiV
(VWDEOHFHU OD UHODFLyQ GH c6HSXHGHSURSRQHUXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
ODV RSHUDFLRQHV VXPD \ UHVWD
(Q HO JUXSR %KD\ HVWXGLDQWHV 6L VH FRQRFH TXH HQ
GLFKRJUXSRKD\QLxDV¢FXiQWRVQLxRVKD\"
$O EULQGDUODUHVSXHVWD VHSLGHD FDGD HVWXGLDQWH FRPSUREDUOD
6H HVSHUD TXH UHDOLFHQ GLVFXVLRQHV \ DSRUWHV TXH SHUPLWDQ
DSUR[LPDUVHKDFLDODHVWUDWHJLDGHVXPDUODFDQWLGDGGHQLxRV \
QLxDVSDUDYHUVLHOUHVXOWDGRFRUUHVSRQGHDOWRWDOHVSHFLILFDGR
(VWR SHUPLWH IRPHQWDU ORV SURFHVRV 5D]RQDU \
DUJXPHQWDU\&RPXQLFDU\JHQHUDUFRQILDQ]DHQODXWLOLGDGGH
ODV0DWHPiWLFDV
,GHQWLILFDU HO GREOH GH XQ c3DUDWUDEDMDUHVWDVQRFLRQHVHVFRQYHQLHQWHLPSOHPHQWDUODV
Q~PHURPHQRUTXH
DFWLYLGDGHV FRPR HO XVR GH MXHJRV \ HO SODQWHR GH SUREOHPDV
3RUHMHPSOR
,GHQWLILFDU OD PLWDG GH XQ -XHJR FRQ GDGRV HQ JUXSRV GH GRV SHUVRQDV VH ODQ]DQ ORV
Q~PHUR SDU PHQRU R LJXDO GDGRV\JDQDHOTXHREWLHQHGRVFDUDVLJXDOHVHLQGLFDHOUHVXO
WDGRFRUUHFWRGHODVXPD
D
6ROLFLWDU WUDHU IUXWDV HQ WURFLWRV SDSD\D PHOyQ VDQGtD
EDQDQR HWF R ELHQ XQDPDQGDULQD RXQDQDUDQMD XQPi[LPR
GHJDMRV/XHJRVHIRUPDQSDUHMDV\VHOHVLQGLFDTXHGHEHQ
FRPSDUWLU VXV IUXWDVWUR]RV R JDMRV FRQ VX FRPSDxHUR R FRP
SDxHUDGHIRUPDWDOTXHDPERVWHQJDQODPLVPDFDQWLGDG
c6HGHEHEXVFDUUHODFLRQDUHOGREOHRODPLWDGGHXQQ~PHUR
FRQODVRSHUDFLRQHVVXPD\UHVWDUHVSHFWLYDPHQWH
6H SLGH TXH VHGHVFULED HQ IRUPD RUDOORV UHVXOWDGRV (Q
ODHWDSDGHFODXVXUDRFLHUUHHVLPSRUWDQWHIRUPDOL]DUODQRFLyQ
GHPLWDGGHXQQ~PHUR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Actividades análogas a la anterior promueven una participación activa y colaborativa.
c No introducir o formalizar la noción de número par en este
momento.
La actividad anterior permite fomentar el consumo de
alimentos saludables y el valor del compartir con los demás.
Cálculos y
estimaciones
x Sumas
12. Resolver problemas y operaciones con sumas y restas de números naturales
cuyos resultados sean menores que 100.
x Restas
c Es necesario proponer problemas como los siguientes:
Para realizar un proyecto de Artes Plásticas, se requiere la
elaboración de bodoquitos de papel china para pegarlos en
ciertas regiones de un dibujo. Alicia y Saúl trabajan juntos y han
hecho 26 y 19 bodoquitos respectivamente. ¿Cuántos bodoquitos han confeccionado entre ambos?
Si del aula el conserje se lleva 12 sillas, ¿cuántas sillas
quedan? (Es importante que el estudiante investigue o determine
el total de sillas existente).
c Es conveniente utilizar diversos procedimientos para el
cálculo de la suma. Se puede utilizar la composición y descomposición de números, bloques multibase, entre otros.
Es importante permitir la participación en la pizarra para
verificar que todos dominan esta habilidad y así elevar la
autoestima estudiantil en relación con su dominio de las Matemáticas.
13. Utilizar correctamente los
símbolos =, + y ±.
14. Representar en forma literal números menores
que 100.
15. Representar números menores que 100 mediante
composición y descomposición aditiva.
c El uso de estos símbolos debe ir no sólo en función de
representar un número mediante la composición y descomposición aditiva, sino para modelizar problemas que se resuelven
mediante el planteo de las operaciones de suma y resta.
c Es conveniente utilizar estos símbolos desde el momento en
que la o el estudiante establece las primeras representaciones
numéricas por descomposición.
c Es importante trabajar la correspondencia entre la representación gráfica, la verbal y la representación literal en expresiones
como:
24 = 20 + 4
24 = 30 ± 6
para dar continuidad al uso de diversas formas de representación.
99
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
c&DGDHVWXGLDQWHGHEHUHODFLRQDUODH[SUHVLyQ
\ ±
FRQODIRUPDYHUEDO³YHLQWLFXDWURHVLJXDODYHLQWHPiVFXDWUR´
RELHQ³YHLQWLFXDWURHVLJXDODWUHLQWDPHQRVVHLV´5HIRU]DUHVWR
FRQVXVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVUHVSHFWLYDV
±
c 3DUD UHSUHVHQWDU Q~PHURV HQ VX IRUPD OLWHUDO HV QHFHVDULR
HVFRJHU HO PRPHQWR DGHFXDGR HQ HO TXH ODV \ ORV HVWXGLDQWHV
KD\DQ GHVDUUROODGRKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDV FRQ OD HVFULWXUD GH
SDODEUDV\RUDFLRQHV
&DOFXODUPHQWDOPHQWHVX c&RQYLHQHKDELOLWDUHVSDFLRVSDUDUHVROYHURSHUDFLRQHVVXPD
PDVRUHVWDVPHGLDQWHGL RUHVWDXWLOL]DQGRHOFiOFXORPHQWDORODHVWLPDFLyQ(VQHFHVD
YHUVDVHVWUDWHJLDV
ULR LQGDJDU DO HVWXGLDQWH DFHUFDGHOSURFHVR GHUHVROXFLyQ \ DVt
SURSRUFLRQDUHVWUDWHJLDVDOFRPSDxHURRFRPSDxHUDTXHSUHVHQ
WDGLILFXOWDGHV
c 6H GHEH PRVWUDU OD FRQYHQLHQFLD GH OD GHVFRPSRVLFLyQ GH
Q~PHURV FRQ GHFHQDV SDUD IDYRUHFHU HO FiOFXOR 3RU HMHPSOR
VXPDUSULPHURODVGHFHQDV\OXHJRODVXQLGDGHV
5HDOL]DU HVWLPDFLRQHV GH c6HSUHVHQWDXQJUXSRGHHOHPHQWRVFRPRPHGLRGHFRP
XQD FDQWLGDG GDGD GH RE SDUDFLyQ \ DO ODGR VH FRORFD XQ JUXSR FRQ PiV HOHPHQWRV 6H
MHWRV
SLGH DGLYLQDU OD FDQWLGDG DSUR[LPDGD TXH KD\ HQ HVWH ~OWLPR
JUXSR *DQD TXLHQ DGLYLQD R HVWXYR PiV FHUFD GH OD FDQWLGDG
UHDOODFXDOVyORFRQRFHODRHOGRFHQWH
c3URPRYHUODYLVXDOL]DFLyQGHSDTXHWHVGHREMHWRV
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HSUHVHQWDU Q~PHURV PH
1~PHURV
QRUHV TXH DSOLFDQGR
QDWXUDOHV
ORV FRQFHSWRV GH FHQWHQD
GHFHQD XQLGDGHV \ VXV UH
x 5HODFLRQHV
ODFLRQHV
QXPpULFDV
x 6LVWHPDGH
QXPHUDFLyQ
GHFLPDO
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H GHEH XWLOL]DU PDWHULDO UHFRUWDEOH SDSHO FXDGULFXODGR R
EORTXHV PXOWLEDVH SDUD WUDEDMDU HVWH WHPD \ UHDOL]DU HTXLYDOHQ
FLDV
c6HSXHGHQSURSRQHUDGLYLQDQ]DVMXHJRVGHPHPRULDFRQFXU
VRV \ UHFRUWHV GHQRWLFLDV SDUDUHDOL]DU ODOHFWXUD \ HVFULWXUD GH
FDQWLGDGHVPHQRUHVTXH3RUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
x &HQWHQD
x 5HFWD
QXPpULFD
x 5HODFLRQHV
GHRUGHQ
x 6XFHVRU\
DQWHFHVRU
x 1~PHURV
RUGLQDOHV
6HSURSRUFLRQDODVLJXLHQWHQRWLFLD
5HFXSHUDGRGHKWWSZZZQDFLRQFRP(O3DLVSDVDMHVGH
DXWREXVHVVXELUDQHQWUH\HQWRGRHOSDLVDVS[
/DLGHDHVHYDOXDUODOHFWXUDGHODVFDQWLGDGHVTXHDKtVHHVSHFL
ILFDQ 3RVWHULRUPHQWH HV QHFHVDULR HVFULELUODV XWLOL]DQGR OD
IRUPDOLWHUDOFRUUHVSRQGLHQWH
(VWDDFWLYLGDGSHUPLWHHVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQ0HGLGDV
\ODDVLJQDWXUDGH(VSDxRO
,GHQWLILFDU HO YDORU SRVL
&RQYLHQHDTXtDSURYHFKDUODVGLIHUHQWHVIRUPDVGHUHSUH
FLRQDO GH ORV GtJLWRV GH XQ
VHQWDFLyQSDUDFRPSUHQGHUHOYDORUSRVLFLRQDOGHODVFLIUDVTXH
Q~PHURPHQRUTXH
WLHQH XQ Q~PHUR PHQRU TXH 3RU HMHPSOR SURSRQHU OD
VLJXLHQWHDFWLYLGDG
&DGDILJXUDWLHQHXQQ~PHURTXHUHSUHVHQWDODFDQWLGDGGH
XQLGDGHV TXH FRQWLHQH ¢&XiO Q~PHUR SHUPLWH UHSUHVHQWDU OD
WRWDOLGDGGHODILJXUD"
c$OILQDOVHSURFHGHDIRUPDOL]DUODQRFLyQGHYDORUSRVLFLRQDO
GHODVFLIUDVTXHFRPSRQHQXQQ~PHUR (VFULELU VXFHVLRQHV GH Q~ c(V~WLOSURSRQHUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
PHURV GH HQ R GH HQ
¢&XiOHV Q~PHURV KDFHQ IDOWD SDUD FRPSOHWDU ODV VXFHVLR
QHVQXPpULFDVPRVWUDGDVDFRQWLQXDFLyQ"
«
««
««
Programas de cada ciclo educativo
&RPSDUDU Q~PHURV PHQR
UHVTXHXWLOL]DQGRORV
VtPERORV!R Primer ciclo, Números
(VWD DFWLYLGDG SHUPLWH HVWDEOHFHU FRQH[LRQHV FRQ HO iUHD
GH5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
2EVHUYH HQ FDGD ILOD ORV JUXSRV GH REMHWRV TXH VH OH
SUHVHQWDQ SRQLHQGR HVSHFLDO DWHQFLyQ D ORV VtPERORV TXH VH
XELFDQHQHOFHQWURGHWDOHVDJUXSDFLRQHV'HVFLIUHHOVLJQLILFD
GRTXHHOORVWLHQHQ
! ! c $O ILQDOL]DU OD DFWLYLGDG VH UHDOL]DUi XQD GLVFXVLyQ SOHQDULD
GRQGH VH GHGXFLUi HO VLJQLILFDGR GH ORV PLVPRV /D LGHD HV
DSOLFDUHVWRVVtPERORVHQFRPSDUDFLRQHVFRQQ~PHURVPHQRUHV
TXH
(V LPSRUWDQWH IRPHQWDU XQD DFWLWXG SHUVHYHUDQWH SDUD
GHVFLIUDU HO VLJQLILFDGR GH ORV VtPERORV TXH UHODFLRQDQ ORV GRV
FRQMXQWRVGHREMHWRV
(VWD DFWLYLGDG SHUPLWH HVWDEOHFHU FRQH[LRQHV FRQ HO iUHD
GH5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
5HSUHVHQWDUQ~PHURVHQOD c&RPRDFWLYLGDGLQLFLDOVHSXHGHSURSRQHUORVLJXLHQWH
UHFWDQXPpULFD
D 'LEXMDUXQDOtQHDUHFWDFRQXQDUHJODVREUH SDSHOSDUD
UHFLFODUGHIRUPDWDOTXHVHPDUTXHQORVHVSDFLRVTXH
RFXSDUiQ ORVQ~PHURV TXH VHUiQ RUGHQDGRV /RV HVSD
FLRVHQWUHXQDPDUFD\RWUDGHEHQVHUXQLIRUPHV
E (VFULELUGH L]TXLHUGD D GHUHFKD ORVQ~PHURV QDWXUDOHV
PHQRUHVTXH
c +D\ TXH VXSHUYLVDU GXUDQWH HO WUDEDMR HVWXGLDQWLO HO XVR
FRUUHFWRGHODUHJOD\TXHORVQ~PHURVTXHVHFRORFDQHVWpQHQHO
RUGHQDGHFXDGR
$TXtVHSXHGHHVWDEOHFHUXQDFRQH[LyQFRQ0HGLGDVSXHV
VHSXHGHVROLFLWDUTXHHOHVSDFLRHQWUHXQQ~PHUR\RWURPLGD
FPRELHQFPHWF
,GHQWLILFDUHODQWHFHVRU\HO c/DVUHFWDVQXPpULFDVFRQVWUXLGDVHQODDFWLYLGDGGHVFULWDSDUD
VXFHVRU GH XQQ~PHUR PD ODKDELOLGDGDQWHULRUVLUYHQSDUDUHVSRQGHUSUHJXQWDVFRPR
\RURLJXDODFHUR\PHQRU ¢&XiO Q~PHUR HVWi DQWHV GH " ¢&XiO HVWi GHVSXpV GH "
TXH
¢&XiOQ~PHURHVWiDQWHVGH"
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
'H HVH PRGR HQ OD HWDSD GH FODXVXUD VH GHILQH HO FRQFHSWR GH
VXFHVRU \ DQWHFHVRU GH XQQ~PHURQDWXUDO \ VH HVWDEOHFH TXH QRWLHQHDQWHFHVRUHQHVWHQLYHOHGXFDWLYR
c3DUDUHDILUPDUHVWRVFRQRFLPLHQWRVVHSXHGHXWLOL]DUHOMXHJR
GRQGH DOJXLHQ PHQFLRQD XQD FDQWLGDG \ RWUR PHQFLRQD HO
DQWHFHVRU\HOVXFHVRUGHHOOD
'HWHUPLQDU HO GREOH GH XQ c6HSODQWHDQSUREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWH
Q~PHUR QDWXUDO \ OD PLWDG GH Q~PHURV SDUHV PHQRUHV
(OSDSiGH0LJXHOWLHQHHOGREOHGHVXHGDG\VXKHUPDQD
TXH
WLHQHODPLWDG0LJXHOWLHQHDxRV¢FXiOHVODHGDGGHOSDSi\
GHODKHUPDQDGH0LJXHO"
c 8WLOL]DU MXHJRV TXH IDYRUH]FDQ HO FiOFXOR PHQWDO GRQGH VH
SXHGDREWHQHUODPLWDGRHOGREOHGHXQQ~PHUR
,GHQWLILFDU HO OXJDU TXH c 6H SXHGH GDU XQD KRMD FRQ FXDGULWRV WUD]DGRV HQ IRUPD
RFXSDQ REMHWRV R SHUVRQDV KRUL]RQWDO SDUD UHDOL]DU SHTXHxRV GLEXMRV VHJ~Q ODV LQGLFDFLR
HQ XQ RUGHQ GHILQLGR X QHVGHODRHOGRFHQWH3RUHMHPSORHQHOWHUFHUFXDGURGLEXMDU
WLOL]DQGR Q~PHURV RUGL XQFtUFXORHQHOQRYHQRXQDHTXLVHWF
QDOHVKDVWDHOYLJpVLPR
c 7DPELpQ VH SXHGH WUDEDMDU FRQ DFWLYLGDGHV HQ XQ FRQWH[WR
UHDOEXVFDUHQXQSHULyGLFRHOOXJDUTXHRFXSDXQGHWHUPLQDGR
HTXLSR HQ HO I~WERO LQYHVWLJDU HQ TXp OXJDU VH HQFXHQWUD &RVWD
5LFD DQLYHO LQWHUQDFLRQDO HQ OR TXH UHVSHFWD D OD HVSHUDQ]D GH
YLGDHWF
7RPDGRGH
KWWSSHULRGLFRQDFLRQFRPGRFQDFLRQODBQDFLRQ
PDU]R"NH\ FDDDHIEFIIEG
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Esto permite establecer conexiones con Estadística y
Probabilidad, por cuanto se fomentan habilidades relacionadas
con la lectura y descripción de la información que generan las
tablas.
Operaciones
con números
naturales
9. Aplicar la relación entre
las operaciones suma y
resta para la verificación
de respuestas o resultados.
x Suma
x Resta
10. Efectuar sumas y restas en
columnas.
x Multiplicación
c Se plantea un problema como el siguiente:
En la escuela se realizaron las votaciones estudiantiles. Se
conformaron dos partidos políticos: PAN y POE. No hubo votos
nulos y todas y todos votaron. PAN ganó las elecciones por un
margen de 134 votos y la escuela tiene un total de 251 estudiantes. ¿Cuántos votos obtuvo el partido PAN? ¿Cómo comprobar
que no hubo fraude electoral?
Se espera que existan discusiones y aportes que permitan
converger hacia la estrategia de sumar la cantidad de niños y
niñas para ver si el resultado corresponde al total especificado.
Esto permite fomentar procesos relacionados con la
argumentación y se da una oportunidad para mostrar la utilidad
de las Matemáticas.
El problema anterior recuerda el compromiso que tenemos como costarricenses por prestar atención a los procesos de
elección de nuestros gobernantes, para que se desarrollen dentro
del marco de la legalidad.
c En el caso de las operaciones de suma y resta de números
naturales, es necesario comenzar a utilizar el agrupamiento o
desagrupamiento de las cantidades, empleando números de
hasta 3 dígitos.
c En la acción docente se deben proponer diferentes problemas
con los sentidos de la reVWD VDFDU FRPSOHWDU KDVWD« Oo que
falta para teQHU« SDUDOOHJDUD«
11. Identificar la multiplicación como la adición repetida de grupos de igual tamaño.
c Se puede plantear problemas similares al siguiente:
Como parte del proyecto de reciclaje que se desarrolla en
una escuela, se ha solicitado a cada estudiante traer 5 latas de
aluminio. Si hay 23 estudiantes en total, ¿cuántas latas se
recogieron en el grupo?
Se espera que cada estudiante elabore sus propias estrategias de
resolución, las cuales conviene compartir con sus compañeros.
En la etapa de clausura se procede a establecer la multiplicación
como la suma sucesiva de sumandos iguales.
c Trabajar la representación de la multiplicación con material
concreto como papel cuadriculado:
5u3=3+3+3+3+3
104
Programas de cada ciclo educativo
12. Aplicar diversas estrategias para conocer los resultados de las tablas del 1, 2,
3, 4 y 5.
Primer ciclo, Números
c Es importante utilizar estrategias que permitan conocer los
resultados de las tablas:
a.
Contar de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4 y de 5 en 5.
b.
El contar las articulaciones de los falanges en los dedos
para la tabla del tres:
c.
Reconocimiento de patrones en los dígitos de los resultados. En el caso de la tabla del 5 las últimas cifras siguen la secuencia 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, 0 y las primeras siguen la secuencia 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5,
5.
5×0
00
5×1
05
5×2
10
5×3
15
5×4
20
5×5
25
5×6
30
5×7
35
5×8
40
5×9
45
5 × 10 50
d.
Memorización.
c Estas estrategias deben enfocarse hacia la memorización de
las tablas de multiplicar. El uso de concursos, juegos o canciones puede contribuir a reafirmarlas.
Cálculos y
estimaciones
x Suma
x Resta
x Multiplicación
x División
13. Resolver problemas y operaciones con sumas y restas de números naturales
menores que 1000.
c Mediante bloques multibase, papel cuadriculado o
recortes con material reciclable, se pueden representar las
unidades, decenas y centenas de los números presentes en el
problema siguiente:
La selección de fútbol de la Escuela El Alto jugará un
partido de fútbol sala contra la Escuela Proyecto Social en el
gimnasio. La Dirección de la primera autorizó a dos grupos de
segundo año (69 estudiantes entre ambos) y dos de tercero (65
entre ambos) para que fueran a brindar apoyo. ¿Cuántos estudiantes brindaron su apoyo a la Escuela El Alto?
105
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
c&RQHOORVHSUHWHQGHTXHVHDJUXSHQODVXQLGDGHVSDUDIRUPDU
GHFHQDVRELHQGHFHQDVSDUDIRUPDUFHQWHQDV\GHHVDIRUPDGDU
VHQWLGRHODOJRULWPRTXHSHUPLWHVXPDUDJUXSDQGRSRUFROXPQD
c'HIRUPDDQiORJDHVQHFHVDULRSURSLFLDUXQDVLWXDFLyQFRPR
ODVLJXLHQWHSDUDGHGXFLUHOSURFHVRGHGHVDJUXSDUHQHOFDVRGH
ODUHVWDFRPRPHGLRSDUDMXVWLILFDUHODOJRULWPRSRUFROXPQDV
3DUD HOHJLU OD GLUHFWLYD GH OD VHFFLyQ VH SRVWXODURQ GRV
FDQGLGDWRV SDUD OD SUHVLGHQFLD (O SULPHU FDQGLGDWR REWXYR YRWRV 6L HQ WRWDO YRWDURQ HVWXGLDQWHV ¢FXiQWRV HVWXGLDQWHV
YRWDURQSRUHOVHJXQGRFDQGLGDWR"
5HVROYHUSUREOHPDV\RSH c(OSULPHUIDFWRUGHEHSRVHHUWUHVGtJLWRV\ HOVHJXQGRIDFWRU
UDFLRQHV TXH LQYROXFUHQ HO XQR/RVUHVXOWDGRVGHEHQVHUFDQWLGDGHVPHQRUHVTXH6H
FiOFXOR GH PXOWLSOLFDFLR UHVXHOYHHVWDRSHUDFLyQSRUFROXPQDVVLQDJUXSDPLHQWR
QHVGHQ~PHURVQDWXUDOHV c 3URSRQHU ODUHVROXFLyQ GH SUREOHPDVDQiORJRV D ORVPRVWUD
'LYLGLU SRU Q~PHURV SD GRVDFRQWLQXDFLyQ
UHVPHQRUHVTXH
3RUGtD0DUtDFRQVXPHYDVRVGHDJXD¢&XiQWRVYDVRV
FRQVXPHHQGRVVHPDQDV"
¢&XiQWDVSDWDVWLHQHXQJUXSRGHFDEDOORV"
(QHOJUXSRKD\HVWXGLDQWHVGHORVFXDOHVODPLWDGXVD
HO DXWRE~V FRPR PHGLR GH WUDQVSRUWH ¢&XiQWRV HVWXGLDQWHV
YLDMDQHQDXWRE~V"
c 6H SXHGHDSURYHFKDU ODQRFLyQ GH PLWDGGH XQQ~PHURSDUD
UHODFLRQDUORFRQODGLYLVLyQGHQ~PHURVSDUHVSRU
c 1RLQWURGXFLU R IRUPDOL]DU ODQRFLyQGHQ~PHUR SDU HQ HVWH
PRPHQWR
&DOFXODUVXPDVFRQQ~PH c(VQHFHVDULRSURSRQHUSUREOHPDVGRQGHVHSXHGDDUJXPHQWDU
URV QDWXUDOHV DSOLFDQGR VLHORUGHQGHORVVXPDQGRVLQIOX\HHQHOUHVXOWDGRGHXQDVXPD
FRPR HVWUDWHJLD ODV SUR 3RUHMHPSOR
SLHGDGHVDVRFLDWLYD \ FRQ PXWDWLYD
5D~O OH FRPHQWD D VX KHUPDQD (VWHU TXH TXLHUH VDEHU
FXiQWRV DxRV VXPDQ ODV HGDGHV GH VXV SULPRV 5D~ODYHULJXD
GLFKDV HGDGHV \ DPERV GHFLGHQ KDFHU ORV FiOFXORV UHVSHFWLYRV
5D~O GHFLGH SULPHUR UHDOL]DU OD RSHUDFLyQ OXHJR
\DOILQDOVXPDUDPERVUHVXOWDGRV
3RU VX SDUWH (VWHU GHFLGLy UHDOL]DU SULPHUR \ OXHJR
SDUDVXPDUDOILQDODPERVUHVXOWDGRV
D ¢&XiOIXHHOUHVXOWDGRTXHREWXYLHURQ"
E ¢4XLpQFUHHTXHSODQWHyODRSHUDFLyQGHXQDIRUPDPiV
IiFLO\SRUTXp"
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
8QDYH]GLVFXWLGRVORVUHVXOWDGRV VHSXHGHUHDOL]DUODFODXVXUD
GH OD OHFFLyQ IRUPDOL]DQGR ORV FRQFHSWRV GH DVRFLDWLYLGDG \
FRQPXWDWLYLGDGGHODVXPDGHQ~PHURVQDWXUDOHV
c(VWDVSURSLHGDGHVGHEHQRULHQWDUVHSDUDIDFLOLWDUORVFiOFXORV
GHWLSRPHQWDO\HVFULWR
&DOFXODU VXPDV UHVWDV \ c3RUHMHPSORVHOHSUHJXQWDDODFODVH
PXOWLSOLFDFLRQHV XWLOL]DQGR GLYHUVDV HVWUDWHJLDV GH FiO
¢&XiOHVHOSURGXFWRGHî"
FXORPHQWDO\HVWLPDFLyQ
9DULDVHVWUDWHJLDVSXHGHQVHUHIHFWXDGDV3RUHMHPSOR
D î SXHV î \ î HQWRQFHV
E îHVORPLVPRTXHSRUORFXDO
FRPR \ HQ
WRQFHV F î \VHVXPDXQJUXSRGHHQWRQFHVGD
/XHJR VH H[SOLFD SRU TXp HV FRUUHFWD OD HVWUDWHJLD HVWXGLDQWLO
XVDGD
c $FWLYLGDGHV FRPR ORV UHWRV PDWHPiWLFRV SURPXHYHQ HO
FiOFXOR PHQWDO \ VRQ XQ HOHPHQWR GLGiFWLFR PX\ HQULTXHFHGRU
SDUD ORJUDU HVWDV KDELOLGDGHV 3RU HMHPSOR VH EULQGD DO JUXSR
RSHUDFLRQHVHVFULWDVHQVREUHVGHSDSHO$OJXLHQORDEUHREVHU
YD OD RSHUDFLyQ \ HQ XQ WLHPSR SUXGHQFLDO EULQGD HO UHVXOWDGR
SRUPHGLRGHOFiOFXORPHQWDO/XHJRVHFRPHQWDHQHOJUXSROD
HVWUDWHJLDHPSOHDGD
(YDOXDU OD SHUWLQHQFLD GH c8WLOL]DUSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRVTXHSHUPLWDQSRUPHGLR
ORV UHVXOWDGRV TXH VH RE GHO FiOFXOR PHQWDO R OD HVWLPDFLyQ GLVFHUQLU VL HO UHVXOWDGR HV
WLHQHQDOUHDOL]DUXQFiOFX FRUUHFWRRQR3RUHMHPSORVHSXHGHOHHURSODQWHDUSRUHVFULWR
ORRXQDHVWLPDFLyQ
SUREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWH
8Q MRYHQ WLHQH „ \ FRPSUy XQ FKRFRODWH GH „ (O
SXOSHUR OH HQWUHJy „ GH YXHOWR ¢5HDOPHQWH HO SXOSHUR
HQWUHJyODFDQWLGDGGHGLQHURFRUUHFWD"
(YDOXDUODSHUWLQHQFLDGHORVUHVXOWDGRVHVWiDVRFLDGRFRQ
ORVSURFHVRVGH$UJXPHQWDU\5D]RQDU&RPXQLFDU\&RQHFWDU
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
HU$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HSUHVHQWDU Q~PHURV PH
1~PHURV
QRUHV TXH DSOL
QDWXUDOHV
FDQGR ORV FRQFHSWRV GH
GHFHQD GH PLOODU \ XQLGDG
x 5HODFLRQHV
GHPLOODU
QXPpULFDV
x 6LVWHPDGH
QXPHUDFLyQ
GHFLPDO
x 8QLGDGGH
PLOODU
x 5HODFLRQHV
GHRUGHQ
,GHQWLILFDU HO YDORU SRVL
FLRQDO GH ORV GtJLWRV GH XQ
x 1~PHURV
Q~PHURPHQRUD
RUGLQDOHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c8WLOL]DU QRWLFLDV GH ORV PHGLRV GH FRPXQLFDFLyQ \ GDWRV
QXPpULFRV GH RWUDV iUHDV GHO VDEHU SDUD HO UHFRQRFLPLHQWR \
SUHVHQWDFLyQGHHVWRVQ~PHURV3RUHMHPSOR
7RPDGRGH
KWWSZZZDFLSUHQVDFRPQRWLFLDSKS"Q (VFULEDHQIRUPDOLWHUDOHOQ~PHURTXHUHSUHVHQWDODFDQWLGDGGH
SHUVRQDVTXHYLHURQDOSDSD-XDQ3DEOR,,
6H SXHGH LQWURGXFLU D PDQHUD GH MXHJR FyPR HV TXH VH
UHSUHVHQWDEDQ DOJXQRV Q~PHURV HQ RWURV VLVWHPDV GH QXPHUD
FLyQ 3RU HMHPSOR HO VLVWHPD GH QXPHUDFLyQ HJLSFLR XWLOL]DED
MHURJOtILFRVSDUDUHSUHVHQWDUORVQ~PHURVHQEDVHGLH]
7RPDGRGH
KWWSWKDOHVFLFDHVUG5HFXUVRVUG2WURV6,67180KWPO(
c6HSXHGHVROLFLWDUDODFODVHIRUPDUYDULRVQ~PHURVFRQHVWD
VLPERORJtD 9HU OD GLIHUHQFLD HQWUH OD QXPHUDFLyQ GHFLPDO
SRVLFLRQDO\ODQRSRVLFLRQDOFRPRODGH(JLSWR
c (VLPSRUWDQWH HO XVR GHO iEDFR YHUWLFDO SDUDOD FRPSUHQVLyQ
GHO YDORU SRVLFLRQDO GH ODV FLIUDV TXH FRQIRUPDQ XQ Q~PHUR
PHQRUTXH
(VFULELU VXFHVLRQHV GH Q~ c 3URSRQHU VXFHVLRQHV QXPpULFDV SDUD RUGHQDUODV HQ IRUPD
PHURVGHHQGH DVFHQGHQWH R GHVFHQGHQWH FRQ WDO GH IRUWDOHFHU HO GRPLQLR GH
HQRGHHQ HVWHWLSRGHFRQWHRV3RUHMHPSOR
D BBBBBBBBBBBBBBBBBB
E BBBBBBBBBBBBBB
&RPSDUDU Q~PHURV PHQR
UHV TXH XWLOL]DQGR
,QFOXLU OD E~VTXHGD GH QRWLFLDV R DUWtFXORV D QLYHO
ORVVtPERORV!R QDFLRQDO R LQWHUQDFLRQDO TXH LQYROXFUHQ IRUPDV GH UHSUHVHQWD
FLyQ WDEXODU R JUiILFD SDUD FRPSDUDU FDQWLGDGHV PHQRUHV TXH
(VWRIDYRUHFHUtDHOHVWDEOHFLPLHQWRGHFRQH[LRQHVFRQ
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDVtFRPRODFRQILDQ]DGHOHVWXGLDQWH
HQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV$FRQWLQXDFLyQXQHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Cuadro I. Istmo Centroamericano: causística del dengue (2007)
País
Belice
Guatemala
Honduras
El Salvador
Nicaragua
Costa Rica
Panamá
Total
Casos clínicos
40
5886
33 508
12 476
1415
26 440
3402
83 167
Tasa de incidencia
(por 100 000
habitantes)
Casos de
dengue
hemorrágico
Muertes por
dengue
hemorrágico
0
21
4180
100
151
318
3
4773
0
4
16
0
12
8
0
40
17,32
50,36
444,58
196,03
27,17
815,04a/
117,35
a/ Incidencia calculada a partir de la población en riesgo.
Fuente: OPS, 2008.
Tomado de:
http://www.estadonacion.or.cr/index.php/apoyo-educativo/materialesdidacticos
De acuerdo con el cuadro anterior, escriba sobre la línea los
símbolos >, < o = según corresponda y luego describa con sus
propias palabras su significado.
26 440 _____ 33 508.
El estudiante deberá llegar a que
26 440 _<__ 33 508
y decir que Costa Rica registra una cantidad menor de casos de
dengue con respecto a Honduras.
Esta actividad en particular puede ser de utilidad para
crear conciencia sobre la necesidad de eliminar los criaderos de
mosquitos y minimizar así el número de casos de dengue en
nuestro país.
Operaciones
x Multiplicación
x División
-
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo
5. Identificar los números ordinales hasta el centésimo
como la unión de vocablos
asociados.
c Se le reparte a cada estudiante un sobre con prefijos y raíces
de los números ordinales (vigésimo, trigésimo, cuadragésimo,
hasta el centésimo), se les pide que las armen y que por último
escriban al lado de cada una el número en forma simbólica. Se
comparten las respuestas para verificar los aciertos y corregir
los errores.
6. Determinar el resultado de
las tablas del 1 al 10 aplicando diversas estrategias.
c Se propone el siguiente problema:
7. Efectuar multiplicaciones
en columna donde el segundo factor sea de uno o
dos dígitos agrupando y
sin agrupar y donde el resultado sea un número
menor que 100 000.
El aula de la maestra Flor tiene 7 filas de 4 estudiantes
cada una. La del maestro Daniel tiene 4 filas de 7 estudiantes.
¿Cuál de los dos maestros tiene más estudiantes?
Es necesario estar pendiente de que se argumenten las respuestas:
a. Verbalmente.
b. Utilizando representaciones gráficas.
c. Mediante el uso de la multiplicación.
109
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
(IHFWXDU PXOWLSOLFDFLRQHV 3URGXFWR GH OD GLVFXVLyQ H LQWHUFDPELR GH LGHDV VH GHEH FRQ
HQOtQHD GRQGH XQR GH VXV FOXLU TXH HO RUGHQ GH ORV IDFWRUHV QR DOWHUD HO UHVXOWDGR 6H
IDFWRUHVHVR FRQFUHWDODQRFLyQGHSURSLHGDGFRQPXWDWLYDGHOSURGXFWR\VX
XWLOLGDGSDUDHOGRPLQLRGHODVWDEODVGHPXOWLSOLFDU
c (VWUDWHJLDV TXH VH SXHGHQ LPSOHPHQWDU SDUD REWHQHU HO
UHVXOWDGRGHODVWDEODVGHPXOWLSOLFDU XVRGHORVGHGRVFDQFLR
QHV ELQJRV FRQWHR \ XVR GH OD SURSLHGDG FRQPXWDWLYD GHO
SURGXFWR
c6HEXVFDJHQHUDOL]DUODVLGHDVGHVDUUROODGDVHQORVDOJRULWPRV
GHVXPDVSRUDJUXSDFLyQHQODPXOWLSOLFDFLyQ
c(QHOFDVRGRQGHHOVHJXQGRIDFWRUWLHQHGRVGtJLWRVUHFDOFDU
HO SRUTXp VH GHMD XQ HVSDFLR GHVSXpV GH HIHFWXDU OD PXOWLSOLFD
FLyQSRUODFLIUDGHODVXQLGDGHV
c (V LPSRUWDQWH TXH HQOD FODVH VH SXHGD GHGXFLU OD HVWUDWHJLD
TXHSHUPLWHUHVROYHUPXOWLSOLFDFLRQHVGHQ~PHURVSRU\
PiV UiSLGDPHQWH D SDUWLU GH OD UHDOL]DFLyQ GH YDULDV
RSHUDFLRQHV GH HVWH WLSR &RQYLHQH SHUPLWLUOHV TXH GLVFXWDQ
DFHUFDGHOSDWUyQSUHVHQWHHQHOUHVXOWDGRGHHVWDVRSHUDFLRQHV
,GHQWLILFDUODGLYLVLyQFRPR c 6H SURSRQHQ SUREOHPDV TXH SHUPLWDQ LU FRQVROLGDQGR WpFQL
UHSDUWR HTXLWDWLYR R FRPR FDVHPStULFDVSDUDODUHDOL]DFLyQGHGLYLVLRQHV
DJUXSDPLHQWR
6L HQ PL DXOD KD\ HVWXGLDQWHV ¢FXiQWRV JUXSRV GH SHUVRQDVSXHGRIRUPDU"
6L SRU FDGD VDOWR XQ FRQHMR DYDQ]D DSUR[LPDGDPHQWH GP¢HQFXiQWRVVDOWRVSRGUiUHFRUUHUGP"
&iOFXORV\
HVWLPDFLRQHV
x 6XPD
x 5HVWD
x 0XOWLSOLFD
FLyQ
x 'LYLVLyQ
3HGUR WUDH GH VX ILQFDPDQGDULQDV SDUD FRPSDUWLU FRQ
VXVFRPSDxHURV¢&XiQWDVPDQGDULQDVOHFRUUHVSRQGHQDFDGD
FRPSDxHUR"
(Q OD HWDSD GH FODXVXUD VH VLVWHPDWL]D HO FRQFHSWR GH GLYLVLyQ
VXVLPERORJtD\VXVSDUWHV1RHODOJRULWPRWUDGLFLRQDO
c6HSXHGHQUHVROYHUSUREOHPDVFRPRORVVLJXLHQWHV
5HVROYHU \ SODQWHDU SUR
EOHPDV HQORV TXH VH XWLOL
FHQ ODV RSHUDFLRQHV VXPD
'HWHUPLQDU HO YDORU GHORV VtPERORV # \ GH IRUPDWDO
UHVWD PXOWLSOLFDFLyQ \ GL TXHODVRSHUDFLRQHVWHQJDQUHVXOWDGRFRUUHFWR
YLVLyQ
#
± /XLVWLHQHHQHOEROVLOORGHVXSDQWDOyQPRQHGDVGH₡ ₡ \ ₡ 6L /XLV VDFD WUHV PRQHGDV ¢FXiQWR GLQHUR SXGR
KDEHUVDFDGR"
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Este problema permite establecer conexiones con el área
de Estadística y Probabilidad, ya que se hace referencia al
manejo de la incertidumbre.
Se insiste en el planteo de problemas a partir de datos de
diferentes fuentes de información (televisión, periódicos, libros,
internet, el entorno, etc.), y que permitan hacer uso de las
operaciones básicas. Estos problemas pueden ser intercambiados para su resolución. La información obtenida por los estudiantes brinda oportunidades para crear conciencia en temáticas
afines a los ejes transversales.
Proponer al estudiantado plantear un problema con las
siguientes operaciones:
3 u 1500 = 4500
10000 ± 4500 = 5500
Posible planteo: Jorge compra 3 entradas de cine a ₡ 1500 cada
una y paga con un billete de ₡ 10 000. ¿Cuánto dinero le quedará?
c En este año no se trabajará la división con el algoritmo
tradicional, sino con técnicas como el reparto equitativo y el
agrupamiento. Se trabajarán problemas y ejercicios donde el
dividendo sea menor que 100 y el divisor sea de un dígito.
11. Determinar el triple o el
quíntuple de números menores que 100.
c Se plantean problemas que permitan la introducción de
dichas nociones. Por ejemplo:
Un banano en la soda de la escuela cuesta ₡ 40. ¿Cuánto
dinero necesito para comprar cinco bananos?
El precio del kilogramo de manga es tres veces superior al
de maracuyá. Si el kilogramo de este último es de ₡ 225, ¿cuál
es el precio por kilogramo de manga?
Después de la actividad, en la etapa de clausura se define la
noción de triple o quíntuple de un número a partir de lo estudiado.
12. Calcular sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones aplicando diversas estrategias de cálculo mental
y estimación.
c Para la estimación se deben utilizar operaciones como:
30 u 40
1500 y 3
c Proponga espacios para establecer características en los
resultados de operaciones por medio de la estimación. Por
ejemplo, plantear preguntas como:
111
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
¢&XiQWDVFLIUDVWLHQHHOUHVXOWDGRGHODVVLJXLHQWHVRSHUD
FLRQHV"
u
y
(VWDV DFWLYLGDGHV SHUPLWHQ MX]JDU GH PDQHUD FUtWLFD OD
VLWXDFLyQ\MXVWLILFDUYHUEDOPHQWHODHVWUDWHJLDXWLOL]DGD
(YDOXDU OD SHUWLQHQFLD GH
3HUPLWLUHVSDFLRVSDUDFRPXQLFDU\GLVFXWLUODVHVWUDWHJLDV
ORV UHVXOWDGRV TXH VH RE
XWLOL]DGDV
WLHQHQDOUHDOL]DUXQFiOFXOR
RXQDHVWLPDFLyQ
6HOHFFLRQDU PpWRGRV \ KH c8VRGH
UUDPLHQWDV DGHFXDGRV SDUD &iOFXORPHQWDO
OD UHVROXFLyQ GH FiOFXORV
3DSHO\OiSL]
u
VHJ~QHOSUREOHPDGDGR
&DOFXODGRUD
y
VHJ~QODFRPSOHMLGDGGHODRSHUDFLyQ
3DUDORJUDUTXHVHDSUHQGDDVHOHFFLRQDUHOPHGLRDGHFXDGR
SDUDUHDOL]DUXQFiOFXORUHVXOWDFRQYHQLHQWHTXHVHH[SUHVHQODV
UD]RQHV GH HVD VHOHFFLyQ 3RU HMHPSOR FXDQGR HO SUREOHPD
UHTXLHUH KDFHU XQ FiOFXOR FRQ XQD JUDQ FDQWLGDG GH GDWRV VH
SXHGHUHFXUULUDODFDOFXODGRUDRELHQHQHOSUREOHPD¢FXiQWRV
ELOOHWHV GH FRORQHV VRQ QHFHVDULRV SDUD FRPSUDU XQ GLVFR
TXHFXHVWDFRORQHV"PHQWDOPHQWHVHSXHGHGHFLUTXH
Indicaciones metodológicas
Generales del ciclo
3DUD LQWURGXFLU ORV QRPEUHV GH ORV Q~PHURV \ VX XWLOLGDG HQ ORV GLIHUHQWHV DxRV VH SXHGHQ
VROLFLWDUUHFRUWHVGHQRWLFLDVDSURSLDGDVSDUDPRGHOL]DUFRQQ~PHURV
(O XVR GH DFWLYLGDGHV O~GLFDV FRQVWLWX\H XQD KHUUDPLHQWD LQGLVSHQVDEOH SDUD GHVDUUROODU HO
FiOFXORPHQWDO(VWRSHUPLWHIRPHQWDUXQDDFWLWXGGHDSUHFLR\GLVIUXWHGH ODV0DWHPiWLFDV
$GHPiVODVPLVPDVSHUPLWHQKDELOLWDUHVSDFLRVSDUDH[SRQHUODHVWUDWHJLDGHFiOFXORXVDGD\
FRQWULEXLUDODSUHQGL]DMHGHORVGHPiV
3DUDHOHVWDEOHFLPLHQWRGHUHODFLRQHV QXPpULFDV \HOWUDWDPLHQWRGHODVRSHUDFLRQHVVHSXH
GHQ XVDU GLIHUHQWHV UHFXUVRV REMHWRV GHO HQWRUQR PDWHULDO UHFRUWDEOH HO iEDFR ORV EORTXHV
PXOWLEDVHDUWtFXORVGHSHULyGLFRV\UHYLVWDV\DOJXQRVUHFXUVRVWHFQROyJLFRVFRPRHO,QWHUQHW
\ODFDOFXODGRUD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
(QUHODFLyQDOWHPDGH YDORUSRVLFLRQDO KD\TXHFRQVLGHUDUTXHDO LQLFLR ORV QLxRV \ QLxDV
DSUHQGHQDHVFULELUORVQ~PHURVVLQWHQHUFRQFLHQFLDVREUHHOYDORUTXHUHSUHVHQWDFDGDFLIUD
(VFRQYHQLHQWHXWLOL]DU PDWHULDOHVFRPRHOSDSHO FXDGULFXODGRiEDFRV\ EORTXHV PXOWLEDVH
SDUDUHIRU]DUHVWDQRFLyQTXHHVLPSRUWDQWHSDUDFRPSUHQGHUHOVLJQLILFDGRGHORVSULQFLSD
OHVDOJRULWPRVTXHSHUPLWHQUHVROYHUODVRSHUDFLRQHVEiVLFDV
/DUHVROXFLyQGHSUREOHPDVTXHLQYROXFUHHOXVRGHODVRSHUDFLRQHVEiVLFDVGHEHUHIHULUVHD
YDULHGDGGHFRQWH[WRVUHDOHVTXHVHH[SHULPHQWDHQHOGLDULRYLYLU¢FXiQWRVGtDVIDOWDQSDUD
ODV YDFDFLRQHV GH PHGLR SHULRGR" ¢FXiQWRV HVWXGLDQWHV HVWiQ SUHVHQWHV KR\ VL IDOWDURQ "
HWF
(OXVRGHUHFXUVRVWHFQROyJLFRVSXHGHSRWHQFLDUVHSDUDGHVDUUROODUKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDV
FRQHOVHQWLGRQXPpULFR\HOFiOFXORGHRSHUDFLRQHV3RUHMHPSORDOLQJUHVDUDOVLWLRZHE
KWWSZZZZLNLVDEHUHV&RQWHQLGRVL%RDUGDVS["REM VHSXHGHQGHVDUUROODUDFWLYLGDGHVFRPRODVLJXLHQWH
'HWHUPLQDUGRVRPiVVXPDQGRVTXHGHQFRPRUHVXOWDGRHOWRWDOGDGR
Primer año
(O HVWXGLR GHO YDORU SRVLFLRQDO VH OLPLWD D FRPSUHQGHU HO VLJQLILFDGR GH ORV Q~PHURV SDUD
HVWDEOHFHU GLIHUHQWHV UHSUHVHQWDFLRQHV $XQTXH QR VH KDFH H[SOtFLWR HQ OD KDELOLGDG HO GH
WHUPLQDUHO YDORUSRVLFLRQDOGHFDQWLGDGHV PHQRUHVTXHHVLPSRUWDQWHTXH VHH[SUHVH
YHUEDOPHQWH TXH XQ Q~PHUR FRPR HO HTXLYDOH D GHFHQDV \ XQLGDGHV &DEH DFODUDU
TXH SUHYLDPHQWH HO QLxR R OD QLxD GHEH VDEHU H[SUHVDU YHUEDOPHQWH HTXLYDOHQFLDV TXH VH
IRUPDQDODJUHJDUGHFHQDVPiVHVYHLQWHYHLQWHPiVHVHWF
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
3DUDUHIRU]DUODQRFLyQGHOYDORUSRVLFLRQDOHQHOHVWXGLDQWDGRVHSXHGHQSURSRQHUDFWLYL
GDGHVFRPRODVLJXLHQWH
6HxDOHODFDQWLGDGGHJORERVTXHUHSUHVHQWD
HOHQHOQ~PHUR
(OWUDWDPLHQWRGHORVQ~PHURVRUGLQDOHVGHEHLURULHQWDGRDGLDJQRVWLFDUTXpWDQWRFRQRFHQ
DFHUFDGHODQRFLyQGHHVWDURUGHQDGRVSULPHURVHJXQGRHWF(VSUREDEOHTXH\DVHKD
\DQIDPLOLDUL]DGRFRQHVWDVQRFLRQHVGHELGRDTXHVHSXHGHQREVHUYDUHQGLYHUVDVVLWXDFLR
QHVGHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLOORVJUDGRVGHODHVFXHODDOKDFHUILODSDUDLUDOFRPHGRUHWF
(VWRSXHGHVHUDSURYHFKDGRSDUDGHVDUUROODUDFWLYLGDGHVHQHODXODGHIRUPDQDWXUDO
3DUDSURJUHVDUKDFLDHOFiOFXORHQOtQHD\GHVSXpVHOFiOFXORPHQWDOHVQHFHVDULRUHSUHVHQWDU
FROHFFLRQHVRUJDQL]DGDV\YLVXDOL]DUODVVLQFRQWDU3RUHMHPSOR
-XHJRVFRQODVPDQRV
'RFHQWH¢FXiQWRVGHGRVWHQJRDTXt"
(VWXGLDQWHVVLHWH
'RFHQWH¢FXiQWRVGHGRVIDOWDQSDUDOOHJDUD"
(VWXGLDQWHVWUHV
6HxDOHODFDQWLGDGGHJORERVTXHUHSUHVHQWD
HOHQHOQ~PHUR
2ELHQVHQRPEUDXQQ~PHURPHQRUTXH\FDGD
HVWXGLDQWHPXHVWUDORVGHGRVFRUUHVSRQGLHQWHV3RU
HMHPSOR
'RFHQWH£VLHWH
(VWXGLDQWHVPXHVWUDQODFDQWLGDGGHGHGRVFRUUHV
SRQGLHQWH
Programas de cada ciclo educativo
-XHJRVFRQORVGDGRV
'RVHVWXGLDQWHVMXHJDQDWLUDUGRVGDGRV&XDQGRXQRWLUDHORWURGDXQWLHPSRSUXGHQFLDO
DQWHVGHWDSDUORV/XHJROHVROLFLWDDORWURXRWUDGHFLUFXiQWRVXPDQ ORVQ~PHURVUHSUH
VHQWDGRVHQHOORVRELHQ¢FXiQWDVXQLGDGHVPD\RUHVXQRUHVSHFWRDORWUR"
(V QHFHVDULR TXH VH UHVXHOYDQ SUREOHPDV GHO FRQWH[WR UHDO LQPHGLDWR DQWHV GH KDEODU GH
VXPDV\UHVWDV8VDULQLFLDOPHQWHFDQWLGDGHVPHQRUHVTXHDXPHQWDQGRSURJUHVLYDPHQWH
ORVQ~PHURVTXHVHSURSRQHQ6HEXVFDHYROXFLRQDUGHOFRQWHRVLPSOHUHFXHQWRGHODWRWD
OLGDGRGHODFDQWLGDGIDOWDQWHDHVWUDWHJLDVPiVHODERUDGDVFRPRHODJUXSDPLHQWR\FRQWHR
GHODVGHFHQDV\XQLGDGHV
(OXVRGHODWDEODGHVXPDVSHUPLWHLGHQWLILFDUODUHODFLyQHQWUHODVXPD\ODUHVWDUHVXOWDGR
EDVWDQWH~WLOSDUDHOFiOFXORPHQWDO
Primer ciclo, Números
'HHVWHPRGRVHSXHGHDSUHFLDUTXHVL HQWRQFHV± \± (Q HO FDVR GH ODV RSHUDFLRQHV VXPD \ UHVWD GH Q~PHURV QDWXUDOHV QR VH XWLOL]D OD FDMD GH
YDORUHVQLHODOJRULWPRFOiVLFRSRVLFLRQDOSRUFROXPQDV'HDKtTXHHQGLFKDVRSHUDFLRQHV
QRVHHPSOHDODWpFQLFDGHDJUXSDURGHVDJUXSDUODVFDQWLGDGHVVLQRPiVELHQHVQHFHVDULR
IDYRUHFHUODWpFQLFDSDUWLFXODUTXHXWLOL]yFDGDHVWXGLDQWH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Segundo año
/DVKDELOLGDGHV\SXHGHQVHUWUDEDMDGDVHQIRUPDVLPXOWiQHD(VIXQGDPHQWDOUHFRQRFHU
TXHXQDFHQWHQDVRQGHFHQDVRXQLGDGHVDQWHVGHSURFHGHUDUHDOL]DUUHSUHVHQWDFLR
QHV SDUD FDQWLGDGHV PHQRUHV TXH 3DUD GHVDUUROODU OD QRFLyQ GH YDORU SRVLFLRQDO VH
SXHGHXWLOL]DUXQiEDFRYHUWLFDOItVLFRRGLEXMDGR3RUHMHPSORSUHJXQWDUFyPRUHSUHVHQWD
UtDHOQ~PHUR
$VtSXHGHGHGXFLUFyPRVHUHSUHVHQWDUtDQ RWURVQ~PHURVGHWUHVFLIUDV7DPELpQVHSXHGH
DSURYHFKDUHOPDWHULDOSDUDGHVDUUROODUODVKDELOLGDGHVGHVXPD\UHVWDGHQ~PHURVQDWXUD
OHV
6H GHEH WUDEDMDU VLPXOWiQHDPHQWH ODV GLYHUVDV IRUPDV GH UHSUHVHQWDFLyQ FXDQGR VHD SHUWL
QHQWH
Representación gráfica
Representación
simbólica
Literal
Por composición o
descomposición
aditiva
234
Doscientos treinta
y cuatro
200 + 30 + 4
&RQ UHVSHFWR D ORV Q~PHURV RUGLQDOHV HV UHOHYDQWH PHQFLRQDU TXH ORV WpUPLQRV RQFHDYR
GRFHDYR\WUHFHDYRHVWiQPDOHPSOHDGRVSXHVVHJ~QOD5HDO$FDGHPLD(VSDxRODRQFHDYR
HVXQDGHODVRQFHSDUWHVHQTXHVHGLYLGHXQWRGR(VWDGHILQLFLyQHVVLPLODUSDUDGRFHDYR\
WUHFHDYR/DIRUPDFRUUHFWDHVGpFLPRSULPHURGpFLPRVHJXQGRGpFLPRWHUFHURUHVSHFWL
YDPHQWH
3DUD DQDOL]DU OD UHODFLyQ H[LVWHQWH HQWUH OD VXPD \ OD UHVWD FRPR RSHUDFLRQHV LQYHUVDV VH
SXHGHQSURSRQHUGLYHUVRVSUREOHPDVGRQGHVHXWLOLFHQORVPLVPRVQ~PHURVSDUDYLVXDOL]DU
ODUHODFLyQTXHH[LVWHHQWUHHOORV3RUHMHPSOR
5RVDKDUHFRJLGRIORUHVHQXQMDUGtQPLHQWUDVTXHVXHVSRVRKDUHFRJLGR¢&XiQWDV
IORUHVUHFRJLHURQHQWRWDO"
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
(QWUH5RVD\VXHVSRVRKDQUHFRJLGRXQWRWDOGHIORUHV6LHOHVSRVRGH5RVDKDUHFRJL
GR¢FXiQWDVIORUHVUHFRJLyHOOD"
5RVD\VXHVSRVRKDQUHFRJLGRIORUHV(OODKDUHFRJLGRIORUHVHQWRQFHV¢FXiQWDVKD
UHFRJLGRVXHVSRVR"
(VLPSRUWDQWHSUHVWDUDWHQFLyQDSRVLEOHVHUURUHVTXHSXHGHQSUHVHQWDUVHGXUDQWHODDSOLFD
FLyQGHODOJRULWPRSRVLFLRQDOFRPRODFRORFDFLyQLQFRUUHFWDGHORVQ~PHURVVXPDURUHVWDU
SDUWLHQGRGHODFROXPQDGHODL]TXLHUGDHUURUHVGHFiOFXORDXQDFLIUDPD\RUVHOHUHVWDXQD
PHQRUROYLGDU³TXHOOHYR«´R³SLGRSUHVWDGR´
(VFRQYHQLHQWHTXHVHSXHGDHVFULELUXQDVXPDGHQ~PHURVLJXDOHVFRPRPXOWLSOLFDFLyQ \
YLFHYHUVDSDUDTXHHODSUHQGL]DMHVHDPiVVLJQLILFDWLYR$GHPiVTXHVHFRPSUHQGDHOVLJ
QLILFDGRGHFDGDXQRGHORVQ~PHURVTXHFRQIRUPDQHVWDRSHUDFLyQSXHVORVIDFWRUHVSXH
GHQ KDFHU UHIHUHQFLD D XQLGDGHV GLIHUHQWHV 0RGHOL]DU ORV SUREOHPDV FDUDFWHUtVWLFRV GH OD
PXOWLSOLFDFLyQFRQGLDJUDPDVRPDWHULDOHVFRQFUHWRVD\XGD DODFRPSUHQVLyQGHORTXHUH
SUHVHQWDQORVIDFWRUHV\VXSURGXFWR(OXVRGHUHFWiQJXORVHVXQDKHUUDPLHQWDVLPSOHTXH
SHUPLWLUtDHQWHQGHUSRUTXpODPXOWLSOLFDFLyQHVPiVUiSLGDTXHHOFRQWHRGHFXDGULWRVROD
VXPDGHpVWRV$GHPiVSHUPLWHFRPSUHQGHUSURSLHGDGHVFRPRODFRQPXWDWLYLGDG\ODGLV
WULEXWLYLGDGGHOSURGXFWRUHVSHFWRDODVXPD
u u (VSURYHFKRVRSURPRYHUODGLVFXVLyQDFHUFDGHGLIHUHQWHVWLSRVGHSUREOHPDVTXHSXHGHQ
VHUUHVXHOWRVSRUPHGLRGHODPXOWLSOLFDFLyQ
(V FRQYHQLHQWH RIUHFHU HVSDFLRV SDUD GLVFXWLU HVWUDWHJLDV GH FiOFXOR PHQWDO (O XVR GH OD
GHVFRPSRVLFLyQ \ FRPSRVLFLyQ DGLWLYD SHUPLWH HVWDEOHFHU YDULDV HVWUDWHJLDV SDUD FDOFXODU
PHQWDOPHQWH VXPDV \ UHVWDV SRU HMHPSOR SDUD FDOFXODU OD RSHUDFLyQ VH SXHGHQ
DSURYHFKDUODVVLJXLHQWHVLGHDV
x 6XPDUGHFHQDV\XQLGDGHVSRUDSDUWH/XHJRVXPDUGLFKRVUHVXOWDGRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
x 7RPDU XQLGDGHV GHO SDUD FRPSOHWDU HO D $Vt VH IRUPD OD RSHUDFLyQ
(OFiOFXORPHQWDO\ODHVWLPDFLyQGHEHQVHUXWLOL]DGRVHQODYDOLGDFLyQGHORVUHVXOWDGRVGH
FLHUWDVVLWXDFLRQHV3RUHMHPSORVHSODQWHDHOVLJXLHQWHSUREOHPDSDUDYDORUDUVLODUHVSXHVWD
HVFRUUHFWD
3DUDFRPSOHWDUXQiOEXP-RUJHFRPSUDSRUGtDGRVSDTXHWHVTXHFRQWLHQHQWUHVSRVWDOHV
/XHJRHQIRUPDRUDOVHSLGHDORVHVWXGLDQWHVTXHMX]JXHQVLHVFRUUHFWDRQRODVLJXLHQWH
DILUPDFLyQ³-RUJHFRPSUDSRVWDOHVSRUVHPDQD´
6HHVSHUDTXHDOJXLHQUHVSRQGDTXHHVRQRHVFRUUHFWRSXHVSRUGtD-RUJHFRPSUDSRVWD
OHVSRUORTXHSRUVHPDQDKDEUiFRPSUDGRu SRVWDOHV2ELHQTXH-RUJHFRPSUD
SDTXHWHVSRUVHPDQD\HQFRQVHFXHQFLDFRPSUyu SRVWDOHV
Tercer año
/DVKDELOLGDGHV\SXHGHQGHVDUUROODUVHVLPXOWiQHDPHQWHSXHVHVSRUPHGLRGHODVUHSUH
VHQWDFLRQHVGHXQQ~PHURTXHVHFRPSUHQGHHOVLJQLILFDGRTXHWLHQHQODVFLIUDVGHXQQ~PH
URGHDFXHUGRFRQVXSRVLFLyQHQpO (V LPSRUWDQWHUHFRQRFHUTXHXQDXQLGDG GH PLOODUFR
UUHVSRQGH D FHQWHQDV R XQLGDGHV \ FRPSUHQGHU VX PDJQLWXG HQ FRPSDUDFLyQ FRQ
RWUDVFDQWLGDGHV3DUDHOORVHSXHGHQGHVDUUROODUDFWLYLGDGHVFRPRFRQIHFFLRQDUWLUDVGHSD
SHOGHFPRFPSDUDOXHJRXQLUODV\IRUPDUXQDWLUDTXHPLGDFPRFRQVWUXLUXQ
PRGHORGHEORTXHVGHFHQWHQDV6HSXHGHQUHDOL]DUDFWLYLGDGHVVLPLODUHVSDUDFRPSUHQGHU
ODLGHDGHODGHFHQDGHPLOODU6HGHEHXWLOL]DUHOiEDFRYHUWLFDOSDUDFODULILFDUHOYDORUSRVL
FLRQDOGHODVFLIUDVGHXQQ~PHUR
(QFXDQWRDORVQ~PHURVRUGLQDOHVKD\TXHKDFHUpQIDVLVHQODIRUPDHQTXHVHHVWDEOHFHUiOD
UHSUHVHQWDFLyQOLWHUDO\RUDOGHHOORV6HSXHGHUHDOL]DUXQELQJRGRQGHDOH[FODPDUVH³TXLQ
FXDJpVLPRVH[WR´FDGDHVWXGLDQWHGHEHUtDPDUFDUODFDVLOODFRUUHVSRQGLHQWHDOQ~PHURƒ
6HSXHGHQXWLOL]DUDUWtFXORVGHSHULyGLFRVRUHYLVWDVSDUDUHSUHVHQWDUVLPEyOLFDPHQWHGLYHUVDV
VLWXDFLRQHVPHGLDQWHHOXVRGHORVVtPERORVGH!R 7RPDGRGHKWWSSHULRGLFRQDFLRQFRPGRFQDFLRQODBQDFLRQ
PDU]RKWPO"NH\ EFFEDDFEHFF
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
3URSRQHULOXVWUDFLRQHVSDUDTXHVHSODQWHHQSUREOHPDVPHGLDQWHODVRSHUDFLRQHVEiVLFDV3RU
HMHPSOR
3RVLEOHVSUREOHPDVDSODQWHDU¢FXiQWRVKXHYRVKD\HQSDTXHWHVGHXQDGRFHQDFDGDXQR"
6LUHFRJtKXHYRVHQODJUDQMDGHPLDEXHOR\GHVHRDFRPRGDUORVHQSDTXHWHVGHXQDGR
FHQD¢FXiQWRVSDTXHWHVSXHGRIRUPDU"
(QHVWHDxRVHFRPLHQ]DDWUDEDMDUHODOJRULWPRGHODPXOWLSOLFDFLyQSRUFROXPQDVFRQDJUX
SDPLHQWR(VLPSRUWDQWHTXHVHGpODRSRUWXQLGDGGHKDOODUHVWUDWHJLDVSURSLDVSRUHMHPSOR
VXPDQGRVXFHVLYDPHQWHSDUDGDUVHQWLGRDODVRSHUDFLRQHV3RVWHULRUPHQWHVH SXHGHQXVDU
UHFXUVRVFRPRiEDFRVEORTXHVSDSHOFXDGULFXODGRHWFSDUDIDFLOLWDUODFRPSUHQVLyQGHODO
JRULWPRSRUFROXPQDV
(QHOFDVRGHODGLYLVLyQGHEHQFRQVLGHUDUVHGRVVHQWLGRVODGLYLVLyQFRPRDJUXSDPLHQWR\
FRPRGLVWULEXFLyQRUHSDUWR,QLFLDOPHQWHVHGHEHSODQWHDUSUREOHPDVGHOFRQWH[WRUHDOGRQ
GH VH KDJD DOXVLyQ D UHSDUWLU HQ SDUWHV LJXDOHV KDFHU JUXSRV LJXDOHV UHVWDU UHLWHUDGDPHQWH
GLVWULEXLUHTXLWDWLYDPHQWHFRPSDUWLUSDUWLUHWF3RUHMHPSOR
D ¢&XiQWRVJUXSRVGHSHUVRQDV SXHGRIRUPDUHQPLVHFFLyQVLpVWDWLHQHHVWXGLDQ
WHV"
E /LGLDHVPDHVWUDGHO%HOFXDOWLHQHHVWXGLDQWHV&RPRSDUWHGHODFDPSDxDGHYD
FXQDFLyQFRQWUDODJULSHVHOHVROLFLWDDHOODOOHYDUJUXSRVGHHVWXGLDQWHVSDUDVHUYD
FXQDGRVGHVSXpVGHORFXDOHVSHUDUiQHQHOJLPQDVLRGHODHVFXHODXQWLHPSRSUXGHQ
FLDOSDUDSUHYHQLUDOJ~QWLSRGHUHDFFLyQ¢FXiQWRVYLDMHVGHEHUHDOL]DUODPDHVWUD"
(QODKDELOLGDGGRQGHVHHYDO~DODSHUWLQHQFLDGHORVUHVXOWDGRVHVLPSRUWDQWHSURSRQHUHV
SDFLRVSDUDTXHODRHOHVWXGLDQWHSXHGDHVWDEOHFHUFDUDFWHUtVWLFDVHQORVUHVXOWDGRVGHRSHUD
FLRQHVSRUPHGLRGH ODHVWLPDFLyQ3RUHMHPSORGHFXiQWDVFLIUDVHVHOUHVXOWDGRGHRSHUD
FLRQHVFRPR
±
u
±
$GHPiVHVWLPDUVLHOUHVXOWDGRHVVXSHULRURLQIHULRUDXQDGHWHUPLQDGDFDQWLGDG
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
Indicaciones de evaluación
(QHVWHFLFORHOWUDEDMRFRWLGLDQRHVIXQGDPHQWDOSXHVVHGDQODVEDVHVSDUDHOFiOFXORRSHUDFLR
QDO GH ORV Q~PHURV (V IXQGDPHQWDO TXH H[LVWDQ LQVWUXPHQWRV DGHFXDGRV SDUD GRFXPHQWDU HO
SURJUHVRHVWXGLDQWLOHQHOGRPLQLRGHODVRSHUDFLRQHVEiVLFDVHOFiOFXORODHVWLPDFLyQ\ODUHVR
OXFLyQGHSUREOHPDV
3DUD HO WUDEDMR H[WUDFODVH VH UHFRPLHQGD UHIRU]DU ORV FRQRFLPLHQWRV PHGLDQWH WDUHDV FRUWDV (Q
HU$xRVHSXHGHDVLJQDUXQDWDUHDGRQGHVHLQYHVWLJXHVREUHORVGLYHUVRVVLVWHPDVGHQXPHUDFLyQ
TXHVHKDQXWLOL]DGRHQFLYLOL]DFLRQHVDQWLJXDVHVWRFRQHOREMHWLYRGHUHIOH[LRQDUVREUHODLPSRU
WDQFLDGHOVLVWHPDGHQXPHUDFLyQGHFLPDO
3DUDHVWHFLFORODHYDOXDFLyQHQHOiUHDGH1~PHURVGHEHWHQHUSUHVHQWHVODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLR
QHV
9 /DHVWLPDFLyQ\HOFiOFXORPHQWDOVRQKDELOLGDGHVTXHQRQHFHVDULDPHQWHVHHYDOXDUtDQHQ
XQDSUXHEDHVFULWDSHURVtVHSXHGHQHYDOXDUGHIRUPDRUDOFRQSURSyVLWRVIRUPDWLYRVSD
UD GRFXPHQWDU HO SURJUHVR \ DQDOL]DU VL ORV SURFHGLPLHQWRV \ HVWUDWHJLDV TXH ORV QLxRV \
QLxDVKDFHQDOHVWLPDURFDOFXODUVRQFRUUHFWRV
9 3DUDHYDOXDUODHVFULWXUD\OHFWXUDGHORVQ~PHURVVHSXHGHQUHDOL]DUGLFWDGRVGHFDQWLGD
GHVHVWRFRQHOILQGHLGHQWLILFDUSRVLEOHVHUURUHVGHLQWHUSUHWDFLyQTXHSXHGDWHQHUHOHV
WXGLDQWH 3RU HMHPSOR DO GLFWDU GRVFLHQWRV WUHLQWD \ RFKR XQ HVWXGLDQWH SXHGH HVFULELU
(VWRVHSRGUtDUHDOL]DUFRPRSDUWHGHODFRPSDxDPLHQWRTXHEULQGDHOGRFHQWHDORV
HVWXGLDQWHVGXUDQWHODPHGLDFLyQSHGDJyJLFD
9 (QORVQ~PHURVRUGLQDOHVORLPSRUWDQWHDHYDOXDUHVODKDELOLGDGGHFRPSUHQGHUHLGHQWLIL
FDUORVQRPEUHVUHVSHFWLYRV
9 (QODVSUXHEDVHVFULWDVVHDEDUFDUiQHQODSDUWHGHGHVDUUROORtWHPVFRUUHVSRQGLHQWHVDUH
VROXFLyQGHRSHUDFLRQHVEiVLFDVDVtFRPRHOSODQWHR\UHVROXFLyQGHSUREOHPDV(VQHFH
VDULRTXHFDGDGRFHQWHFRQVLGHUH ODVHVWUDWHJLDVTXHODV \ ORVHVWXGLDQWHVXWLOL]DQSDUD OD
UHVROXFLyQGHXQDRSHUDFLyQRXQSUREOHPDDVt FRPRODVUHSUHVHQWDFLRQHVTXHVHHODER
UDQ
9 /DFRPSDUDFLyQGHQ~PHURVQDWXUDOHVHQHU$xRVHSXHGHUHDOL]DUVROLFLWDQGRDFDGDHV
WXGLDQWHTXHHQFLHUUHRPDUTXHHOQ~PHURPD\RURPHQRUGHXQDOLVWDSRUHMHPSOR
'HDFXHUGRDODVLJXLHQWHOLVWDGHQ~PHURVHQFLHUUHHQXQFtUFXORODFDQWLGDGPD\RU\HQ
XQWULiQJXORODFDQWLGDGPHQRU
(VWDPLVPDKDELOLGDGSHURHQƒ$xRVHSXHGHSODQWHDUGHODVLJXLHQWHPDQHUD3RU
HMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Números
$QDOLFHHOVLJXLHQWHFXDGUR
Cantidad de ausencias injustificadas según grupo de Primer ciclo.
Abril, 2011. Escuela Carlos Bendetti
Grupo
1- A
1-B
1-C
2-A
2-B
3-A
3-B
Cantidad de
ausencias
injustificadas.
11
17
21
36
29
25
38
2UGHQH GH PHQRU D PD\RU ORV JUXSRV TXH SUHVHQWDQ DXVHQFLDV LQMXVWLILFDGDV LQGLFDQGR
ODFDQWLGDGUHVSHFWLYD
9 6HSXHGHQHYDOXDUYDULDVKDELOLGDGHVHQXQPLVPRtWHPFRPRSRUHMHPSORHQHOSUREOH
PDDQWHULRUVHSXHGHSUHJXQWDU
2UGHQHGHPHQRUDPD\RUORVQLYHOHVTXHSUHVHQWDQDXVHQFLDVLQMXVWLILFDGDVLQGLFDQGROD
FDQWLGDGUHVSHFWLYD
Primer ciclo, Geometría
Introducción
6HVXSRQHTXHDOLQJUHVDUDO3ULPHUFLFORFDGDHVWXGLDQWHWLHQHODKDELOLGDGGHLGHQWLILFDUILJXUDV
JHRPpWULFDVWDOHVFRPRHOFtUFXORHOWULiQJXOR\HOUHFWiQJXOR\DVHDHQVXHQWRUQRRHQPDWHULD
OHVFRQFUHWRVDVtFRPRUHFRUWDUODVHQSDSHORFDUWyQ\DVRFLDUODVFRQVXVQRPEUHV
(O3ULPHUFLFORGHEHUiUHIRU]DUHVWDVKDELOLGDGHV\DYDQ]DUHQHOUHFRQRFLPLHQWRGHODVILJXUDVHQ
VLWXDFLRQHV HQ ODV TXH HOODV DSDUH]FDQ GH IRUPD PHQRV HYLGHQWH DVt FRPR DPSOLDU HO UDQJR GH
ILJXUDVDUHFRQRFHU6HHVSHUDTXHFDGDHVWXGLDQWHSXHGDWUD]DUILJXUDVTXHFXPSODQFRQFDUDFWH
UtVWLFDVGDGDV3RURWUDSDUWHVHUHIRU]DUiODXELFDFLyQHQHOHVSDFLRODYLVXDOL]DFLyQHVSDFLDOOD
QRFLyQGHSRVLFLyQUHODWLYDHQWUHREMHWRV\VHLQLFLDUiHQHOXVRGHOYRFDEXODULRJHRPpWULFR
7RGRHVWRSUHSDUDSDUDODDGTXLVLFLyQGHXQVHQWLGRPpWULFR\ODH[SORUDFLyQGHQXHYDVUHODFLRQHV
HQ*HRPHWUtD
Propósito de la enseñanza
(O SURSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D HQ *HRPHWUtD HV GHVDUUROODU OD FDSDFLGDG GH YLVXDOL]DU ODV IRUPDV
JHRPpWULFDV\DOJXQDVUHODFLRQHVEiVLFDVHQWUHHOODVHQHOHQWRUQRHQHOTXHVHGHVHQYXHOYHQDVt
FRPRLQLFLDUXQSURFHVRGHDEVWUDFFLyQJHRPpWULFD
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVDGHVDUUROODUHQ*HRPHWUtDDOILQDOL]DUHO3ULPHUFLFORVRQ
x 9LVXDOL]DU\UHFRQRFHUILJXUDVJHRPpWULFDVSODQDVEiVLFDVWULiQJXORVFXDGULOiWHURVFLUFXQIH
UHQFLDVHQHOHQWRUQR\HQGLYHUVRVREMHWRV
x 5HFRQRFHUOtQHDVUHFWDV\FXUYDVHQHOHQWRUQR\HQGLYHUVRVREMHWRV
x 9LVXDOL]DU \ UHFRQRFHU VyOLGRV EiVLFRV HVIHUDV FXERV FDMDV HQ HO HQWRUQR \ HQ GLYHUVRV
REMHWRV
x 8WLOL]DUYRFDEXODULRJHRPpWULFRHOHPHQWDO
x 5HSURGXFLU\WUD]DUILJXUDVJHRPpWULFDVEiVLFDVDPDQRDO]DGDRXWLOL]DQGRLQVWUXPHQWRV
6HIRUWDOHFHQDFWLWXGHV \FUHHQFLDVSRVLWLYDVKDFLD ODV0DWHPiWLFDVSULQFLSDOPHQWHHQ ORTXHVH
UHILHUH D SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ FRODERUDWLYD \ UHVSHWR DSUHFLR \ GLVIUXWH GH ODV 0DWHPiWLFDV
JUDFLDVDORVUHFXUVRVYLVXDOHVTXHVHSURSRQHQGXUDQWHHOGHVDUUROORGHODVDFWLYLGDGHV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
En cuanto a los procesos, se desarrollarán principalmente Conectar y Representar.
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
1er Año
Conocimientos
Conocimientos
básicos
Habilidades específicas
1. Identificar y trazar líneas
rectas y curvas.
x Líneas
rectas
Indicaciones puntuales
c Mediante una breve excursión por la escuela o dentro del
aula pedirles que identifiquen líneas rectas y curvas. Se les
provee de papel construcción y lana, se les pide que corten
pedacitos y los peguen en el papel formando los diferentes tipos
de líneas que observaron en su excursión. Ejemplo:
x Líneas
curvas
x Nociones de
posición con
respecto a
una línea
cerrada
(borde, interior, exterior)
Con actividades como ésta se propicia el proceso Representar.
2. Distinguir el interior, el
exterior y el borde referidos a líneas cerradas tanto en el entorno como en
dibujos y trazos elaborados
por sí mismo y por otros.
c Para introducir el concepto de interior y exterior de una línea
cerrada se puede proponer un problema como éste:
Se les presenta un dibujo como el siguiente.
Se les pide clasificar los objetos en dos grupos y que justifiquen
su clasificación. Pueden dar varias estrategias de clasificación,
al final se realizará la etapa de clausura definiendo los conceptos de interior y exterior de una línea cerrada.
Estos conceptos pueden ser introducidos mediante juegos
con líneas sobre el suelo o cuerdas, con ello se propicia el
aprecio y disfrute de las Matemáticas.
Figuras planas
x Trazo
3. Identificar figuras planas
en cuerpos sólidos.
c En objetos tridimensionales, se pide señalar figuras planas
(las caras de los cubos o de prismas y pirámides). Se facilitan
materiales como plastilina y pajillas para que construyan objetos
como cajas y pirámides. Con la plastilina se forman bolitas que
serán las uniones (vértices) de los segmentos de las pajillas.
123
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
x &ODVLILFD
FLyQ
(MHPSOR
7UD]DUILJXUDVSODQDVGH
GLYHUVRVWLSRVFRPRWULiQ
JXORVFXDGULOiWHURVSROt
JRQRVXWLOL]DQGRUHJOD
HVFXDGUDSDSHOFXDGULFX
ODGR
&ODVLILFDUILJXUDVSODQDVGH
DFXHUGRFRQVXIRUPD
&XHUSRV
VyOLGRV
x &DMDV
,GHQWLILFDUREMHWRVTXHWHQ
JDQIRUPDGHFDMD
c 6HOHVIDFLOLWDSDSHOFRQVWUXFFLyQSDUDSHJDUHQpOSDOHWDVGH
KHODGRV \ DVt IRUPDU ILJXUDV SODQDV /XHJR VH UHFRUWDQ \ VH
SXHGHQSHJDUHQFDUWHOHVFODVLILFiQGRODVVHJ~QVXIRUPD(MHP
SOR
c5HODFLRQDUHVWDVIRUPDVFRQHOHPHQWRVTXHVHORFDOL]DQHQHO
DXODRHQHOHQWRUQRGHODLQVWLWXFLyQXREMHWRVTXHSRUWHQODV\
ORVHVWXGLDQWHV
c (O QRPEUH FRUUHFWR GH OD IRUPD GH XQD FDMD FRPR OD TXH
DSDUHFHDEDMRHV³SDUDOHOHStSHGR´VLQHPEDUJRHQHVWHQLYHOQR
HVQHFHVDULRSURSRUFLRQDUGLFKRQRPEUH\SDUDHVWDUPiVDFRUGH
FRQHOHQWRUQRLQPHGLDWRVHSXHGHHPSOHDUHOGH³FDMD´
Programas de cada ciclo educativo
2° Año
Conocimientos
Líneas
x Horizontal
x Vertical
x Oblicua
Habilidades específicas
1. Identificar en dibujos y en
el entorno posiciones de
líneas rectas: horizontal,
vertical, oblicua.
Primer ciclo, Geometría
Indicaciones puntuales
c Los conceptos se seguirán manejando de forma intuitiva (no
hay definiciones formales).
c En objetos como cajas puede identificarse segmentos horizontales y verticales. En otros, se pueden ver líneas oblicuas.
2. Trazar líneas rectas en posiciones horizontal, vertical y oblicua.
c Para el trazo de estas figuras se pide colocar paletas, lana,
pajillas, entre otros, en forma vertical, horizontal y oblicua.
También, utilizar la regla para realizar trazos en estas posiciones. Se debe tener cuidado con las nociones horizontal y vertical
cuando se refieren a líneas en el plano.
Es conveniente reutilizar materiales, esto irá fomentando una cultura ambiental.
Figuras planas
3. Reconocer triángulos y
cuadriláteros.
c Las habilidades aquí se refieren a un nivel de reconocimiento
y trazado básico.
4. Trazar triángulos y cuadriláteros utilizando intrumentos geométricos.
c Se les pide que identifiquen en objetos de su entorno triángulos y cuadriláteros, para luego trazarlos con ayuda de la regla.
x Triángulo
x Cuadrilátero
x Cuadrado
x Rectángulo
x Vértice
x Lado
5. Reconocer si un cuadrilátero es un rectángulo.
6. Reconocer si un rectángulo
es un cuadrado.
c Para introducir el reconocimiento de rectángulos se puede
proponer el siguiente problema:
En el dibujo, pinte con un mismo color tres figuras que se
parezcan.
7. Identificar elementos de una figura plana (vértice,
lado).
8. Identificar semejanzas y
diferencias en triángulos,
cuadrados, rectángulos y
cuadriláteros en general.
9. Componer figuras utilizando cuadriláteros y
triángulos.
Se les solicita explicar el porqué de sus respuestas. Se dirige el
proceso mediante preguntas apropiadas. Por último se define el
WpUPLQR³UHFWiQJXOR´\HOUHFRQRFLPLHQWRGHHVWDVILJXUDV
c Pedirles que clasifiquen varias figuras hechas de cartulina en:
a.
b.
Triángulos y rectángulos.
Triángulos y cuadrados.
125
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
Las figuras de cartulina representan diferentes tipos de triángulos, rectángulos de diversas formas y cuadrados. Se les pide
justificar la clasificación realizada. Se les puede brindar el
tangrama para que identifiquen estas figuras en sus piezas.
Con ayuda de las mismas figuras de cartulina, que cuenten sus
lados y esquinas (vértices) y que comenten las semejanzas y
diferencias que observan. Al final de las observaciones tendrán
claro que una figura poligonal tiene el mismo número de lados
que de vértices.
Las observaciones se pueden hacer en equipos y luego
exponerlas al resto del grupo. Al final se les pide componer una
figura con las figuras de cartulina para exponerlas o pegarlas en
algún espacio del aula.
También podrán, por ejemplo, dibujar un plano del aula.
Esta actividad se presta para insistir en una participación activa
y colaborativa.
c En cuanto al trazado de figuras (triángulos y cuadriláteros),
se trata solamente de utilizar la regla. Se les puede pedir, por
ejemplo, que tracen un segmento, luego otro que inicie donde
termina el primero y finalmente cerrar la figura con otro segmento, para producir un triángulo. Esto permitirá que tengan
una noción más clara de cómo están constituidas estas figuras.
c Para la parte de composición de figuras se puede hacer uso
del tangrama. Se plantea una figura para intentar descomponerla
en triángulos y cuadriláteros.
se descompone en
La historia de los números figurados puede servir de
elemento motivador. Estos números llamaron la atención de los
primeros pitagóricos, ya que servían para representar formas
geométricas por medio de puntos o piedras. Por ejemplo, el
número 6 es triangular y el 9 es cuadrado:
El estudio más completo de estos números lo dio el griego
Nicómaco de Gerasa alrededor del año 100 d.C.
126
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
&XHUSRV
VyOLGRV
x &DMDV
x (VIHUDV
HU$xR
&RQRFLPLHQWRV
ÈQJXORV
x /DGR
x 9pUWLFH
x $JXGR
x 5HFWR
x 2EWXVR
5HFWDV
x 3DUDOHODV
x 3HUSHQGLFX
ODUHV
(VPX\LPSRUWDQWHTXHHVWHWLSRGHDFWLYLGDGHVFRQFOX\DQ
FRQ XQD H[SRVLFLyQ GH ORV UHVXOWDGRV SRU SDUWH GH ODV \ ORV
HVWXGLDQWHV'HHVWDIRUPDVHSRGUiHYDOXDUVLKD\FRPSUHQVLyQ
GHORVFRQFHSWRV\SXHGHQH[SUHVDUVHDSURSLDGDPHQWH&RQHVWR
VHSRWHQFLDHOSURFHVR&RPXQLFDU
,GHQWLILFDUREMHWRVTXHWHQ c5HODFLRQDUHVWDVIRUPDVFRQHOHPHQWRVTXHVHORFDOL]DQHQHO
JDQ IRUPD GH FDMD R IRUPD DXODRHQHOHQWRUQRGHODLQVWLWXFLyQXREMHWRVTXHWUDLJDQODV\
HVIpULFD
ORVHVWXGLDQWHV
c 6H VROLFLWD PHQFLRQDU GLIHUHQWHV REMHWRV TXH WLHQHQ IRUPD
HVIpULFDRGHFDMDHQHODXOD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HFRQRFHU iQJXORV HQ GL
EXMRV \ REMHWRV GHO HQ
WRUQR
7UD]DUiQJXORV\UHFRQRFHU
VXV HOHPHQWRV ODGR YpU
WLFH
(VWLPDU OD PHGLGD GH iQ
JXORV HQ REMHWRV GHO HQ
WRUQR
&ODVLILFDUiQJXORVGH
DFXHUGRFRQVXPHGLGD
DJXGRUHFWRREWXVR
(VWLPDU SRU REVHUYDFLyQ
HQ GLEXMRV \ REMHWRV GHO
HQWRUQR VL XQ iQJXOR HV
UHFWRDJXGRXREWXVR
0HGLUiQJXORVFRQHO
WUDQVSRUWDGRU
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOH
PDV TXH LQYROXFUHQ ORV
FRQFHSWRV GH ODGR YpUWLFH
iQJXOR UHFWR iQJXOR REWX
VRiQJXORDJXGR
'LIHUHQFLDU UHFWDV \ VHJ
PHQWRV
5HFRQRFHU UHFWDV \ VHJ
PHQWRV SDUDOHORV HQ GLEX
MRV\REMHWRVGHOHQWRUQR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c (O FRQFHSWR GH iQJXOR TXHGD D QLYHO GH LGHQWLILFDFLyQ HQ
HOHPHQWRVGHOHQWRUQR
c 6H OHV SLGH FODVLILFDU GLEXMRV GH iQJXORV \ FRPXQLFDU VX
FODVLILFDFLyQ
c6HOOHJDDORVFRQFHSWRVGHiQJXORUHFWRDJXGR\REWXVR
c6HOHVSLGHPDUFDUFRQVXVEUD]RVORVGLIHUHQWHViQJXORV
c2EVHUYDU\UHFRQRFHUHQHOHQWRUQRGLIHUHQWHViQJXORV
c &RQGRV WLUDV GH SDSHO FDUWXOLQD XQLGDV HQ XQD GH VXV H[WUH
PLGDGHVVHDEUHQ\VHFLHUUDQGHPDQHUDTXHVHIRUPHQGLVWLQ
WRV iQJXORV 'H HVWD IRUPD VH SXHGH HVWDEOHFHU XQD DQDORJtD
SDUD LQWURGXFLU SRVWHULRUPHQWH HO XVR GHO WUDQVSRUWDGRU \ OD
HVFXDGUD
c 6H SODQWHD UHFRQRFHU HQ HO DXOD GLVWLQWRV WLSRV GH OtQHDV
IRUPDGDVSRUODVSDUHGHVODSL]DUUDODVPHVDVODVYHQWDQDV
c 2WUR HMHPSOR GDGD XQD IRWRJUDItD GH XQ HGLILFLR R XQD
LPDJHQVHVROLFLWDLGHQWLILFDUHQHOODUHFWDVSDUDOHODV\SHUSHQ
GLFXODUHV UHSDVDQGR FRQ DOJ~Q FRORU SDUD LGHQWLILFDU FDGD
VHJPHQWR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
6HJPHQWRV
x 3DUDOHORV
x 3HUSHQGLFX
ODUHV
3RVLFLyQ±
ORFDOL]DFLyQ
3ROtJRQRV
x 3HQWiJRQR
x +H[iJRQR
&LUFXQIHUHQ
FLDV
5HFRQRFHU UHFWDV \ VHJ
PHQWRV SHUSHQGLFXODUHV HQ
GLEXMRV \ REMHWRV GHO HQ
WRUQR
7UD]DUVHJPHQWRVSDUDOHORV
\SHUSHQGLFXODUHV
8ELFDU REMHWRV D SDUWLU GH
XQSXQWRGHUHIHUHQFLD
c6HSURSRQHGLEXMDUSDUDOHODVXWLOL]DQGRORVERUGHVGHODUHJOD
\SHUSHQGLFXODUHVFRQODHVFXDGUD
c6HOHVSLGHTXHWUDFHQXQGLEXMRXWLOL]DQGRVHJPHQWRVSDUDOH
ORV\SHUSHQGLFXODUHV\TXHORH[SRQJDQDOUHVWRGHODFODVH
c3RUPHGLRGHXQMXHJRRUDOO\VHOHVUHILHUHDXQPDSDHQHO
FXDO VH GHEHQ HQFRQWUDUSLVWDV TXH OOHYHQDXQWHVRUR R SUHPLR
HVFRQGLGR
&ODVLILFDUSROtJRQRVVHJ~Q c$TXtVHFRQVLGHUDQSROtJRQRVFRQPD\RUQ~PHURGHODGRV
HOQ~PHURGHVXVODGRV
WULiQJXORFXDGULOiWHUR
c6HEXVFDTXHVHVHxDOHQORVYpUWLFHV \ODGRVGHODVILJXUDV\
SHQWiJRQRKH[iJRQR
TXH LQGLTXHQ FXiQWRV SRVHHQ SDUD SRGHU FODVLILFDUODV VHJ~Q HO
Q~PHUR GH ODGRV 'HEHQ WHQHU FODUR TXH XQD ILJXUD SROLJRQDO
7UD]DU SROtJRQRV GH GL WLHQHHOPLVPRQ~PHURGHODGRVTXHGHYpUWLFHV
IHUHQWH Q~PHUR GH ODGRV XWLOL]DQGRUHJOD\FRPSiV c 6H OH SLGH D FDGD HVWXGLDQWH TXH WUDFH XQ SROtJRQR SXHGH
HVFRJHUGHDODGRVVLQFRPHQWDUFXiOYDDWUD]DU6HGLEXMD
HQ OD SL]DUUD XQD WDEOD GH FODVLILFDFLyQ FRQ HO QRPEUH GH ORV
SROtJRQRV \ FDGD HVWXGLDQWH SDVD \ OR SHJD HQ HO HVSDFLR TXH
FUHH TXH FRUUHVSRQGH &RQ OD SDUWLFLSDFLyQ GH WRGD OD FODVH VH
UHYLVDODFODVLILFDFLyQ
,GHQWLILFDU \ WUD]DU FLUFXQ c 6H GHEH H[SOLFDU SDVR D SDVR HO XVR FRUUHFWR GHO FRPSiV \
IHUHQFLDV
VXSHUYLVDUTXHVHDXWLOL]DGRFRUUHFWDPHQWHSDUDWUD]DUFLUFXQIH
UHQFLDV
5HFRQRFHU HO UDGLR \ HO
GLiPHWUR GH FLUFXQIHUHQ
FLDV
c 3DUD DSUHQGHU D XVDU HO FRPSiV VH SURSRQH HO WUD]R GH OD
URViFHDIORUHVHWF6HSLQWD\VHH[SRQH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
&XHUSRV
VyOLGRV
x (VIHUD
5DGLR
'LiPHWUR
x &DMD
x &XER
$ULVWD
&DUD
5HFRQRFHU HO UDGLR \ GLi
PHWURGHHVIHUDV
5HFRQRFHUFXiOHVFDMDVFR
UUHVSRQGHQDFXERV
5HFRQRFHU ORV HOHPHQWRV
GH FDMDV \ FXERV FDUDV \
DULVWDV
5HFRQRFHU GLIHUHQFLDV \
VHPHMDQ]DV HQWUH FDMDV \
FXERV
3ODQWHDUSUREOHPDVFRQED
VH HQ LPiJHQHV GH FXHUSRV
VyOLGRV
c 'DGRV YDULRV REMHWRV FRQ IRUPD GH FDMD VH SLGH GHWHUPLQDU
FXiORFXiOHVVRQFXERV,GHQWLILFDUWDPELpQVXVFDUDV\DULVWDV
c6HOHVSXHGHVROLFLWDUTXHIRUPHQJUXSRV\UHDOLFHQXQDOLVWD
GH REMHWRV FRQRFLGRV \ FRQ VX UHVSHFWLYD FODVLILFDFLyQ VHJ~Q
VHDQHVIHUDVRFXERV$GHPiVTXHLGHQWLILTXHQORVHOHPHQWRVGH
GLFKRVREMHWRV
c (V LPSRUWDQWH TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH ORV FRQRFLPLHQWRV
DGTXLULGRV HQ HO SODQWHDPLHQWR GH SUREOHPDV 6H OH GHEH SUR
SRUFLRQDU FLHUWD LQIRUPDFLyQ SDUD TXH GH IRUPD FUHDWLYD SUR
SRQJD DOJ~Q SUREOHPD R HMHUFLFLR TXH XWLOLFH OD LQIRUPDFLyQ
GDGD3RUHMHPSOR
6H RIUHFHQ ODV VLJXLHQWHV LPiJHQHV GH REMHWRV WDPELpQ
SRGUtDQVHUREMHWRVItVLFRV
/XHJR VH SLGH IRUPXODU XQ SUREOHPD R HMHUFLFLR GRQGH VH
LQYROXFUH XQR R PiV GH ORV DQWHULRUHV REMHWRV 3RU HMHPSOR VH
SRGUtDQHQXQFLDUODVVLJXLHQWHVVLWXDFLRQHV
D &RQEDVHHQODVDQWHULRUHVLPiJHQHV¢FXiORFXiOHVUH
SUHVHQWDQFXERV"
E &RQEDVHHQODLPDJHQGHOREMHWRVHxDOHXQDDULVWD\
SLQWHGHFRORUQHJURXQDFDUD
F 6HxDOHHQODHVIHUDXQUDGLR\ HQODHVIHUDXQGLi
PHWUR
PDV
&RQHVWRVHDFWLYDHOSURFHVR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
/RDQWHULRULPSOLFDDFWLYLGDGHVFRPRHOUHFRUWHGHILJXUDVHQSDSHORFDUWyQRELHQMXHJRV
TXHWHQJDQXQDLQWHQFLRQDOLGDGJHRPpWULFD
6HGHEHSURSRUFLRQDU OD PD\RUFDQWLGDGSRVLEOHGHRSRUWXQLGDGHVSDUDTXH VHFRQVWUX\DQ
GLEXMHQFRPSRQJDQRGHVFRPSRQJDQIRUPDVGLYHUVDV
(Q XQ SULPHU PRPHQWR ORV FRQRFLPLHQWRV \ KDELOLGDGHV JHRPpWULFDV HQ HVWH FLFOR GHEHQ
DERUGDUVHHQHVWUHFKDUHODFLyQFRQORFRQFUHWRYDOLpQGRVHWDQWRGHOHQWRUQRFRPRGHPDWH
ULDOSUHSDUDGRHVSHFLDOPHQWHSDUDODHQVHxDQ]DDSUHQGL]DMHGHORVFRQFHSWRVRHOGHVDUUROOR
GHODVKDELOLGDGHV\SURFHVRV
$OJXQRVUHFXUVRVTXHVHSXHGHQXWLOL]DUWDQJUDPDGREODGRGHSDSHOSDSHOFXDGULFXODGR
FDUWXOLQDSDSHOSDUDFDOFDUFXHUGDFXERVRPDJHRSODQRPDWHULDOHVLPSUHVRVSHULyGLFRV
UHYLVWDVYRODQWHVGHSURSDJDQGDFDMDVUROORGHSDSHOKLJLpQLFRGLYHUVRVREMHWRV
$OXVDUPDWHULDOHVKD\TXHWHQHUHQFXHQWDTXHFDGDHVWXGLDQWHUHTXLHUHGHXQFLHUWRWLHPSR
SDUDH[SORUDU\IDPLOLDUL]DUVHFRQHOPDWHULDODQWHVGHOOHYDUDFDERWDUHDVHVSHFtILFDV
Primer año
(QFXDQWRDODFODVLILFDFLyQGHREMHWRVVHJ~QVXIRUPDVHSXHGHKDFHUREVHUYDQGRORVREMH
WRV TXH DSDUHFHQ HQ HO HQWRUQR HVFRODU R VROLFLWDQGR TXH WUDLJDQ REMHWRV GH VXV FDVDV 6H
SXHGHQHVWDEOHFHUFULWHULRVGHFODVLILFDFLyQGHDFXHUGRFRQ OD IRUPDVHJ~QGLUHFWULFHV GR
FHQWHVRLQGLFDFLRQHVHVWXGLDQWLOHV3RUHMHPSORKDFHUGRVJUXSRVGHREMHWRVORVTXHWLHQHQ
IRUPDUHGRQGHDGD\ORVTXHWLHQHQ³HVTXLQDV´&XDQGRVHWUDWDGHUHFRQRFHUFDMDVORVREMH
WRVTXHWLHQHQHVWDIRUPDVHFODVLILFDQHQXQJUXSR\WRGRVORVGHPiVREMHWRVHQRWURJUXSR
(Q XQD VHJXQGD HWDSD VH SXHGH XWLOL]DU PDWHULDO LPSUHVR FRQ GLEXMRV R IRWRJUDItDV SDUD
LGHQWLILFDU\FODVLILFDUILJXUDV
/D LGHQWLILFDFLyQGH OtQHDV VH KDUiHQSULPHUD LQVWDQFLDREVHUYiQGRODVHQ ODQDWXUDOH]DX
REMHWRVGHOHQWRUQR7DPELpQHV~WLOHOXVRGHFXHUGDVSDUDVLPXODU OtQHDVFXUYDV \UHFWDV
ORVQLxRV\ODVQLxDVODVFRORFDQVREUHHOSLVRRODVVRVWLHQHQHQWUHGRVRPiVSDUDPRGHODU
GLYHUVRVWLSRVGHFXUYD
/DRHOHVWXGLDQWHSRGUiXELFDUVHHQHOLQWHULRURH[WHULRUGHFXUYDVFHUUDGDVGLEXMDGDVVREUH
HOVXHORRPRGHODGDFRQXQDFXHUGD7DPELpQSRGUiSLQWDUHOLQWHULRU\HOH[WHULRUGHILJX
UDVSODQDV/DVFODVHVGH(GXFDFLyQ)tVLFDSXHGHQD\XGDUDGHVDUUROODUHVWRVFRQFHSWRV
(QFXDQWRDOWUD]DGRGHILJXUDVODVDFWLYLGDGHVGHEHUiQOOHYDUDODUHSURGXFFLyQDSDUWLUGH
XQPRGHORGDGRRDFRQVWUXLUILJXUDVFRQEDVHHQGDWRVEULQGDGRVRUDOPHQWHRSRUHVFULWR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
(VWRVHSXHGHKDFHUVREUHSDSHOSUHIHULEOHPHQWHFXDGULFXODGRXWLOL]DQGRUHJOD\HVFXDGUD
7DPELpQVHSXHGHKDFHUVREUHHOSLVRXVDQGRGLYHUVRVPDWHULDOHVYDULOODVFXHUGDVHWF
/DVKDELOLGDGHV\SXHGHQWUDEDMDUVHHQXQDVRODDFWLYLGDGFRQHOXVRGHOJHRSODQR3RU
HMHPSORVHOHVGDLQGLFDFLRQHVSDUDTXHGHOLPLWHQXQDILJXUDHQHOJHRSODQRWUD]DGROXH
JR VH OHV SUHJXQWD ¢FXiQWRV FODYLWRV WRFD OD OLJD" ERUGH ¢FXiQWRV FODYLWRV TXHGDQ SRU
GHQWUR GH OD OLJD" LQWHULRU ¢FXiQWRV TXHGDQ SRU IXHUD" H[WHULRU /XHJR VH OHV SLGH TXH
KDJDQ SRU HMHPSOR XQ WULiQJXOR GH PRGR TXH OD OLJD WRTXH FLQFR FODYRV 6H OHV SUHJXQWD
¢SXHGHKDFHUXQWULiQJXORTXHWRTXHPiVGHFLQFRFODYRV"HWF8QDDFWLYLGDGGHHVWHWLSR
DGHPiVFRQHFWDFRQHOiUHDGH1~PHURV
6H SXHGHQ DSURYHFKDU REMHWRV WDQWR SDUD FODVLILFDUORV SRU VX IRUPD FRPR SDUD LGHQWLILFDU
ILJXUDVSODQDVTXHHVWpQPRGHODGDVHQHOORV6HSXHGHQLGHDUDFWLYLGDGHVTXHLQYROXFUHQODV
KDELOLGDGHV
Segundo año
,JXDOTXHHQHOHU$xRVHVLJXHQXWLOL]DQGRPRGHORVFRQFUHWRVVLQHPEDUJRHVWRVPRGHORV
GHEHQSHUPLWLUODH[SORUDFLyQGHGLYHUVDVSURSLHGDGHVGHODVILJXUDV/DLGHDHVTXHVHFR
PLHQFHDFHQWUDUPiVODDWHQFLyQVREUHODVSURSLHGDGHVGHODVILJXUDVTXHHQODVLPSOHLGHQ
WLILFDFLyQ
8QDDFWLYLGDGLPSRUWDQWHSXHGHFRQVLVWLUHQTXH FDGDHVWXGLDQWHFRQODJXtDGRFHQWHHOD
ERUHXQDOLVWDPtQLPDGHSURSLHGDGHVSDUDFDGDILJXUD3RUHMHPSORHVWDEOHFHUTXHXQFXD
GULOiWHURTXHSRVHHVXViQJXORVLQWHUQRVUHFWRVHVXQUHFWiQJXOR\VLDGHPiVSRVHHVXVODGRV
FRQJUXHQWHV HQWRQFHV WDPELpQ FRUUHVSRQGHUtD D XQ FXDGUDGR 6H GLVFXWH OD OLVWD \ VH YH VL
VREUDQRIDOWDQHOHPHQWRV1RVHWUDWDGHGDUWRGD OD OLVWDGHSURSLHGDGHVSRVLEOHVVLQRGH
DOJXQDVFX\RFXPSOLPLHQWRJDUDQWLFHTXHXQDILJXUDHVRQRORTXHVHTXLHUH
8QDDFWLYLGDGTXHSHUPLWHIDPLOLDUL]DUVHFRQODVILJXUDVFRQVLVWHHQTXHSXHGDQFRPSRQHU
RGHVFRPSRQHUIRUPDVGLYHUVDV(OWDQJUDPDHVXQUHFXUVRPX\~WLOHQHVWHFDVR3RUHMHP
SOR FRPSRQHU OD ILJXUD TXH DSDUHFH D FRQWLQXDFLyQ D OD GHUHFKD XWLOL]DQGR ODV SLH]DV GHO
WDQJUDPDL]TXLHUGDRFRQVWUXLUXQUHFWiQJXORXVDQGRWUHVSLH]DVGHOWDQJUDPDHWF
(QODVDFWLYLGDGHVGHFODVLILFDFLyQGHILJXUDVGHEHQXVDUVHODVSURSLHGDGHVGHODVIRUPDVDVt
FRPR VXV QRPEUHV 3RU HMHPSOR HQFRQWUDU SURSLHGDGHV GH ORV WULiQJXORV TXH KDJDQ TXH
XQRV VHDQ VLPLODUHV \ RWURV GLIHUHQWHV HQWUH Vt (VWDV DFWLYLGDGHV WDPELpQ SHUPLWHQ TXH VH
WRPH FRQFLHQFLD GH TXH HQ ODV IRUPDV JHRPpWULFDV VH SXHGHQ GLVWLQJXLU FLHUWRV HOHPHQWRV
TXHSHUPLWHQFODVLILFDUODVSRUHMHPSORYpUWLFHVODGRVFDUDVDULVWDV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
3DUDODLGHQWLILFDFLyQGHREMHWRVFRQIRUPDGHFDMDRHVIpULFDSXHGHXWLOL]DUVHXQDEROVDTXH
FRQWHQJDREMHWRVSHTXHxRVFRQGLIHUHQWHVIRUPDV6HSODQWHDUiDGLYLQDUDOWDFWRVLXQREMHWR
WLHQHIRUPDHVIpULFDRGHFDMDRQLQJXQRGHHVWRV/XHJRVHVDFDHOREMHWRGHODEROVDSDUD
YHULILFDUOR6HSRGUiQFODVLILFDUHQWUHVJUXSRVFDMDVHVIHUDVRWURV
Tercer año
(OFRQFHSWRGHiQJXORHVEDVWDQWHFRPSOHMRSRUHVRHVQHFHVDULRDERUGDUORGHVGHXQDSHUV
SHFWLYD DPSOLD (V LPSRUWDQWH TXH VH SXHGDQ PDQLSXODU PRGHORV ItVLFRV GH iQJXORV SDUD
TXHVHGHVDUUROOHODKDELOLGDGGHUHFRQRFHUORVHQHOFRQWH[WRSRUHMHPSORHQXQDIRWRJUDItD
SHURHQHVWHFDVRGHEHSUHVWDUVHDWHQFLyQDODSHUVSHFWLYDTXHSXHGHGLVWRUVLRQDUORViQJX
ORV
(OXVRGHWLUDVGHFDUWXOLQDRGHUHJODVGHPDGHUDXQLGDVSRUVXVH[WUHPRVGHPDQHUDTXHVH
SXHGDQDEULU\FHUUDUSHUPLWHIDPLOLDUL]DUVHFRQiQJXORVDJXGRVUHFWRV\REWXVRV\D\XGDD
GHVDUUROODUODKDELOLGDGGHHVWLPDUSRUREVHUYDFLyQHVWHWLSRGHiQJXORVHQRWUDVVLWXDFLRQHV
(OUHFRQRFLPLHQWRGHVHJPHQWRVSHUSHQGLFXODUHVGHEHUHODFLRQDUVHFRPRFRUUHVSRQGHFRQ
ORV iQJXORV UHFWRV 6H SUHWHQGH UHFRQRFHU OD SHUSHQGLFXODULGDG VLQ LPSRUWDU FRPR HVWpQ
XELFDGRVORVVHJPHQWRV(VPiVIiFLOUHFRQRFHUTXHORVGRVVHJPHQWRVDODL]TXLHUGDHQOD
VLJXLHQWHILJXUDVRQSHUSHQGLFXODUHVSHURUHVXOWDPiVGLItFLOUHFRQRFHUTXHORVTXHHVWiQD
ODGHUHFKDWDPELpQORVRQ
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
$QWHVGHPHGLUiQJXORVFRQHOWUDQVSRUWDGRUHVLPSRUWDQWHTXHVHFRPSUHQGDORTXHVLJQLIL
FDPHGLUiQJXORV3DUDHVWRVHSXHGHSRUHMHPSORFRQVWUXLUXQ³iQJXORSDWUyQ´FRQFDUWX
OLQD\YHUFXiQWDVYHFHVFDEHHVHiQJXORSDWUyQHQiQJXORVWUD]DGRVHQSDSHORHQHOSLVR
HWF
(VWDU SHQGLHQWH GHO XVR FRUUHFWR GHO WUDQVSRUWDGRU(QRFDVLRQHV VH OHHQ HUUyQHDPHQWH ORV
JUDGRV DO UHYpV (Q JHQHUDO KD\ TXH DVHJXUDUVH TXH ORV GLYHUVRV LQVWUXPHQWRV VH XWLOL]DQ
FRUUHFWDPHQWH
3DUDHOGHVDUUROORGHODVKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQSROtJRQRVVHSXHGHQSURSRQHUDFWLYL
GDGHVTXHSHUPLWDQDODV\ORVHVWXGLDQWHVHQFRQWUDUVHPHMDQ]DV\GLIHUHQFLDVHQWUHIRUPDV
TXH DSDUHFHQ HQ VX HQWRUQR R TXH VH WUD]DQ 6H SXHGH SURSRUFLRQDU XQD IRUPD SROLJRQDO
SRU HMHPSOR XQ SHQWiJRQR VLQ GDUOHV HO QRPEUH \ VH OHV SLGH TXH EXVTXHQ RWUDV IRUPDV
TXHVHDQSDUHFLGDVDODIRUPDGDGDOXHJRGHEHUiQDUJXPHQWDUSRUTXpODIRUPDTXHHQFRQ
WUDURQVHSDUHFHDHOODHQTXpVHSDUHFH\HQTXpQRVHSDUHFH$VtVHSXHGHDGTXLULUHOFR
QRFLPLHQWR GH HVD ILJXUD VLQ GDU XQD GHILQLFLyQ H[SUHVD 'HVSXpV VH OH GDUi QRPEUH D OD
IRUPD OD LGHD HV TXH HO QRPEUH VH SURSRUFLRQH XQD YH] TXH HO FRQFHSWR GH OD IRUPD HVWp
GHVDUUROODGR
8QDLQGLFDFLyQDQiORJDDODDQWHULRUVHSXHGHKDFHUHQFXDQWRDOUHFRQRFLPLHQWRGHIRUPDV
WULGLPHQVLRQDOHV 6H SURSRUFLRQDQ IRUPDV VH FODVLILFDQ VHJ~Q VHPHMDQ]DV \ GLIHUHQFLDV \
SRVWHULRUPHQWH VH SURSRQH REVHUYDU FDUDFWHUtVWLFDV SDUWLFXODUHV GH FDGD JUXSR GH IRUPDV
HVIHUDVFDMDVFXERV
8QD DFWLYLGDG TXH SHUPLWH IDPLOLDUL]DUVH FRQ HO UHFRQRFLPLHQWR GH ORV VyOLGRV \ VXV HOH
PHQWRVHVUHDOL]DUVXGHVDUUROORSODQRHQFDUWXOLQD\OXHJRGREODU\SHJDUSDUDREWHQHUODIL
JXUD3RUHMHPSORODVVLJXLHQWHVLPiJHQHVUHSUHVHQWDQHOGHVDUUROORSODQRGHXQFXER\HO
GHXQDFDMDUHFWDQJXODUUHVSHFWLYDPHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
Indicaciones de evaluación
Es fundamental que se observe durante el trabajo cotidiano, que cada estudiante pueda identificar
figuras y elementos geométricos en el entorno escolar y en los materiales que se preparen para tal
efecto.
Los trabajos extraclase deberán estar orientados a evaluar el reconocimiento de figuras, por parte
de cada estudiante, en el contexto de su hogar o de su comunidad. Un posible trabajo para 3er Año
consiste en la elaboración de una lista de objetos de sus casas cuyas formas sean cajas, cubos o
esferas, incluyendo un bosquejo de algunas de ellas y donde se señale el radio y el diámetro en el
caso de las esferas.
Para este ciclo la evaluación en el área de Geometría, debe tener presentes las siguientes indicaciones.
9 En cuanto a la ubicación espacial se debe evaluar si se conoce la posición relativa entre
personas u objetos y los conceptos de interior y exterior de una figura plana. Por ejemplo,
en una fotografía de periódico señalar si un objeto determinado está delante o detrás, a la
izquierda o a la derecha, arriba o abajo de otro. Pintar el interior y el exterior de una figura dada; por ejemplo, dado un dibujo de un rectángulo que contiene en su interior un
triángulo, pintar la región interior al rectángulo y exterior al triángulo. Esta evaluación se
puede hacer de forma oral o escrita durante el trabajo cotidiano.
9 El reconocimiento y clasificación de figuras se puede solicitar en objetos presentes en el
entorno, objetos que la o el docente lleve para realizar la prueba, fotografías, etc. Por
ejemplo, puede llevar figuras geométricas de cartón de diferentes colores y pedir que se
asocie el color con el nombre de la figura. La clasificación de figuras promueve el uso de
vocabulario geométrico básico. Esta es una evaluación que se puede realizar de manera
oral en el trabajo cotidiano. Pueden utilizarse ítems como el siguiente:
Observe la fotografía, escriba cuántos objetos tienen forma de caja ______.
134
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Geometría
8QtWHPFRPRHOVLJXLHQWHSHUPLWHDGHPiVKDFHUFRQH[LyQFRQHOiUHDGH5HODFLRQHV\ÈO
JHEUDHQORTXHUHVSHFWDDOUHFRQRFLPLHQWRGHSDWURQHV
&LHUWDVHULHGHILJXUDVFRQVWDGHILJXUDV/DVSULPHUDVFLQFRVRQODVVLJXLHQWHV
¢&XiOHVODTXHVLJXH"¢FXiOHVODQ~PHUR"¢FXiOHVOD~OWLPD"
9 /D HYDOXDFLyQ GHO WUD]DGR GH ILJXUDV \ OtQHDV SXHGH KDFHUVH PHGLDQWH OD LQGLFDFLyQ GH
SURSLHGDGHVTXHGHEHFXPSOLUHOWUD]DGR3RUHMHPSORSHGLUHOGLEXMRGHXQVHJPHQWRSD
UDOHOR R SHUSHQGLFXODU D XQ VHJPHQWR GDGR 6H SXHGH HYDOXDU HO WUD]DGR GH ILJXUDV PH
GLDQWHHOXVRGHOJHRSODQRRHQSUXHEDVHVFULWDV(VLPSRUWDQWHWRPDUHQFXHQWDHQODHYD
OXDFLyQODH[DFWLWXG\QLWLGH]GHOWUD]R
9 3DUDLGHQWLILFDUORVHOHPHQWRVTXHFRQVWLWX\HQXQDILJXUDVHSXHGHGDUXQDILJXUDSROLJR
QDO\SHGLUTXHVHVHxDOHQVXVODGRVYpUWLFHV\iQJXORV(QODPLVPDILJXUDVHSXHGHHVWL
PDUVXViQJXORVSLGLHQGRTXHVHxDOHQFXiOPLGHPiVFXiOPLGHPHQRVHWF(QXQVyOLGR
VHxDODUORVYpUWLFHVDULVWDV\FDUDVGHWHUPLQDUFXiQWRVGHHVWRVHOHPHQWRVWLHQHHOVyOLGR
GDGR(VWDVKDELOLGDGHVSXHGHQHYDOXDUVHHQSUXHEDVHVFULWDVXRUDOHV
Primer ciclo, Medidas
Introducción
$OLQJUHVDUDO3ULPHUFLFORODVQLxDV\ORVQLxRVSRVHHQLGHDVLQWXLWLYDVUHODFLRQDGDVFRQHOFRQ
FHSWRGHPHGLFLyQ(VSRVLEOHTXHHVWDVLGHDVHVWpQPiVDVRFLDGDVFRQHOVHQWLGRGHFRPSDUDFLyQ
GHPHGLGDVDGTXLULGDVDWUDYpVGHVXUHODFLyQFRQHOHQWRUQR 6LQHPEDUJROHVIDOWDLQWHJUDUODV
QRFLRQHVGHXQLGDGHVGHPHGLGD\GHHVWLPDFLyQ
(VWHFLFORGHEHUiSURYHHUODVKHUUDPLHQWDVFRJQLWLYDVTXHOHVSHUPLWDQDGTXLULUXQDQRFLyQDSUR
SLDGDGHOVHQWLGRGHODPHGLFLyQGHEHUiQFRPSUHQGHUTXHODPHGLFLyQQRHVVyORXQGDWRQXPp
ULFRDVRFLDGRDDOJXQDFDUDFWHUtVWLFDVLQRTXHWLHQHXQVLJQLILFDGR~WLOGHVGHGLYHUVRVSXQWRVGH
YLVWD$O ILQDOHOORV \HOODVWHQGUiQXQD QRFLyQ PiVFODUDGHOVLJQLILFDGRGHOD PHGLFLyQSRGUiQ
UHDOL]DU PHGLFLRQHV KDFHU HVWLPDFLRQHV \ FRPSDUDFLRQHV GH GLYHUVDV PHGLGDV \ XWLOL]DUODV HQ
GLVWLQWRVFRQWH[WRV
7RGRHVWRSUHSDUDSDUDODDGTXLVLFLyQGHXQVHQWLGRGHODPHGLGDPiVGHVDUUROODGR\PiVSUiFWLFR
HQDxRVSRVWHULRUHV
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQ0HGLGDVHQHVWHFLFORHVGDULQLFLRDODFRPSUHQVLyQGHOFRQFHSWR
GHPHGLGD\TXHVHFDOFXOHHVWLPHFRPSDUH\DSOLTXHDOJXQDVGHHOODV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiQVHUDGTXLULGDVHQHOiUHDGH0HGLGDVDOILQDOL]DUHO3ULPHU
FLFORVRQ
x &RQVWUXLUODQRFLyQGHPHGLFLyQORQJLWXGPRQHGDSHVRWLHPSRFDSDFLGDG
x 8WLOL]DULQVWUXPHQWRVGHPHGLFLyQ
x 5HDOL]DUPHGLFLRQHVORQJLWXGPRQHGDSHVRWLHPSR
x (VWLPDUPHGLGDVORQJLWXGPRQHGDSHVRWLHPSRFDSDFLGDG
x $SOLFDUODPHGLFLyQHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
/DPHGLGDHVXQDFDUDFWHUtVWLFDFHQWUDOGHORVIHQyPHQRVGHOHQWRUQR(VSRVLEOHPRWLYDUDFWLWX
GHVGHIXHUWHFRPSURPLVRDFWLYR\HOUHFRQRFLPLHQWRGHODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
/DVGLVWLQWDVSRVLELOLGDGHVGHH[SUHVDU ODVXQLGDGHVGHPHGLGDRIUHFHQRFDVLRQHVSDUDDSR\DUHO
SURFHVR5HSUHVHQWDU(VVHQFLOORHQHVWHFLFORIDYRUHFHUODFRPXQLFDFLyQGHODVDFFLRQHV\UHVXO
WDGRVREWHQLGRVHQ OD PHGLFLyQ(OSODQWHDPLHQWR \UHVROXFLyQGHSUREOHPDV VHSUHVHQWDGHXQD
PDQHUDPX\VHQFLOOD\QDWXUDO
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
(VLPSRUWDQWHSDUWLUVLHPSUHGHORVFRQRFLPLHQWRVTXHFDGDHVWXGLDQWHSRVHD¢FRQTXpSXHGR
SHVDUXQREMHWR"¢FRQTXpSXHGRPHGLUODDOWXUDGHXQDSHUVRQD"¢FyPRSXHGRPHGLUODGLVWDQ
FLDHQWUH6DQ-RVp\/LPyQ"¢FRQRFHQXVWHGHVPRQHGDVGHVXSDtVGHRWURVSDtVHV" Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
HU$xR
&RQRFLPLHQWRV
/RQJLWXG
x 8QLGDGGH
PHGLGD
x 0HWUR
x &HQWtPHWUR
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(VWLPDU PHGLGDV XWLOL
]DQGR XQLGDGHV GH PHGL
GDV DUELWUDULDV FRPR OD
FXDUWD R XQLGDGHV GHILQL
GDVSRUODV\ORVHVWXGLDQ
WHV
(VWLPDUPHGLGDVXWLOL]DQ
GRHOPHWURRHOFHQWtPH
WUR FRPR XQLGDGHV GH
PHGLGDFRQYHQFLRQDOHV
0RQHGD
x 8QLGDG
PRQHWDULD
x &ROyQ
x 0RQHGDVGH
&RVWD5LFD
3HVR
x 8QLGDGGH
SHVR
x &RPSDUD
FLyQGHSH
VRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SXHGH SHGLU TXH GLJDQ FRQ TXp VH SXHGH PHGLU HO ERUGH
GHOSXSLWUHODDOWXUDGHODSDUHGGHODXODHWF
c 6H SLGH FRPSDUDU GLYHUVRV REMHWRV HV PiV ODUJRPiV FRUWR
HWF /DV \ ORV HVWXGLDQWHV SXHGHQ FRPSDUDU VX WDPDxR HV PiV
JUDQGHTXH«HVPiVEDMLWRTXH«
c 3XHGHQ XWLOL]DU SRU HMHPSOR XQD FXHUGD HO ERUGH GH XQD
KRMDXQOiSL]RGLIHUHQWHVSDUWHVGHVXFXHUSRSLHFRGRFXDUWD
MHPH FRPR XQLGDGHV SDUD HVWLPDU OD PHGLGD GH VX SXSLWUH
FXDGHUQR SL]DUUD YHQWDQDV X RWUDV SDUWHV GHO DXOD /XHJR
UHDOL]DQ ODV PHGLFLRQHV FRQ HO PHWUR R OD UHJOD \ FRPSDUDQ
UHVXOWDGRVFRQORVGHPiV
(VWRV FRQRFLPLHQWRV VH SXHGHQ FRQHFWDU FRQ *HRPHWUtD
SRU HMHPSOR VROLFLWDQGR TXH LGHQWLILTXHQ OtQHDV UHFWDV \ TXH
HVWLPHQRUHDOLFHQPHGLFLRQHVGHHOODV
&RQVWUXLU HO FRQRFLPLHQ c6HVROLFLWDWUDHUPRQHGDVGHODFDVDFRORFDUODVGHEDMRGHXQD
WRGHXQLGDGPRQHWDULD
KRMD GH SDSHO EODQFR \ UHSLQWDU FRQ FRORU VREUH HOODVKDVWDTXH
DSDUHFHQORVGHWDOOHVGHODPRQHGD/XHJR VHSLGHUHFRUWDUODV\
5HFRQRFHU HO FROyQ FR FUHDU VX SURSLR GLQHUR SDUD FRQWDUOR UHDOL]DU HTXLYDOHQFLDV \
PR OD XQLGDG PRQHWDULD KDVWD FRPSUDV ILFWLFLDV GH ORV PLVPRV PDWHULDOHV TXH HOORV
GH&RVWD5LFD
XWLOL]DQ
c 3ODQWHDUOHV SUREOHPDV TXH UHTXLHUHQ HO XVR GHO GLQHUR WDOHV
,GHQWLILFDUODUHODFLyQ HQ FRPR
WUH ODV PRQHGDV GH GHQR PLQDFLRQHVKDVWD₡ 3DEOR FRPSUy FXDWUR FKLFOHV HQ ₡ FDGD XQR VL SDJy
FRQ₡ ¢FXiQWRGLQHUROHVREUy"
c 'HEH DFODUiUVHOHV TXH ODV GHQRPLQDFLRQHV GH ODV PRQHGDV
KDQFDPELDGRFRQHOWLHPSR\TXHSRGUtDQFDPELDUHQHOIXWXUR
(VWLPDU HO SHVR GH REMH c 6H SXHGHWRPDU XQ REMHWR FRPR XQLGDG GH SHVR \ FRPSDUDU
WRV XWLOL]DQGR XQLGDGHV SHVRVFRQpOPHGLDQWHPDQLSXODFLyQGHREMHWRV
DUELWUDULDV
c6LKD\VXELEDMDVHQODHVFXHODVHSXHGHXWLOL]DUSDUDFRPSD
&RPSDUDU ORV SHVRV GH UDUHOSHVRGHGRVHVWXGLDQWHV
GLYHUVRVREMHWRVHQIRUPD
LQWXLWLYD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
7LHPSR
x 'tD
x 1RFKH
x 0HV
x $xR
x $QWHV
x 'HVSXpV
x $KRUD
x 0DxDQD
x 3DVDGR
x 3UHVHQWH
x )XWXUR
x +RUDV
PLQXWRV
&DSDFLGDG
x 8QLGDGGH
FDSDFLGDG
x &RPSDUD
FLyQ GH FD
SDFLGDGHV
,GHQWLILFDU OD QHFHVLGDG
GHPHGLUHOWLHPSR
8WLOL]DU OD QRFLyQ GH
WLHPSRGtDQRFKHVHPD
QD PHV DxR DQWHV DKR
UD GHVSXpV D\HU KR\
PDxDQD SDVDGR SUHVHQ
WH IXWXUR HQ VLWXDFLRQHV
GH OD YLGD FRWLGLDQD R
LPDJLQDULDV
(VWLPDU HO LQWHUYDOR GH
WLHPSR WUDQVFXUULGR HQWUH
GRVHYHQWRV
c3UHJXQWDUDFHUFDGHORVLQVWUXPHQWRVTXHFRQRFHQSDUDPHGLU
HOWLHPSR
c &RQD\XGD GHLPiJHQHV IRWRFRSLDGDV GH GLIHUHQWHV DFWLYLGD
GHVGLDULDVGHXQQLxRRQLxDHQHGDG HVFRODUVHVROLFLWDUHFRU
WDU RUGHQDU \ SHJDU ODV LPiJHQHV VHJ~Q XQD VHFXHQFLD OyJLFD
,GHQWLILFDU ODV GLIHUHQWHV PDQHUDV TXH FRQRFHQ GH PHGLU HO
WLHPSRPLQXWRVKRUDV GtDV VHPDQDVPHVHV DxRV X RWURV 6H
SXHGHWUDHUXQUHORMGHDUHQD\TXHHVWLPHQHOWLHPSRTXHWDUGD
HQ FDHU OD DUHQD (VWLPDU FXiQWR WLHPSR SHUPDQHFHQ HQ OD
HVFXHODRFXiQWDVKRUDVGXHUPHQ
c 3XHGHQ QDUUDU KHFKRV UHDOHV R ILFWLFLRV QRWLFLDV R GLEXMDU
DFWLYLGDGHVVHJ~QHOWLHPSRVROLFLWDGR
c(ODERUDUXQiOEXPFRQIRWRVGHOSDVDGR\SUHVHQWH\GLEXMRV
R LPiJHQHV GH OR TXH OHV JXVWDUtD OOHJDU D KDFHU 6H SXHGH
WUDEDMDU FRQMXQWDPHQWH FRQ OD QRFLyQ GHO WLHPSR HQ (VWXGLRV
6RFLDOHV
'LYHUVDV DFWLYLGDGHV GH MXHJRV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH
VH IDPLOLDULFH FRQ HO XVR GH ODV PHGLGDV SXHGHQ SURSLFLDU HO
UHVSHWRDSUHFLR\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
(VWLPDU OD FDSDFLGDG GH
GLYHUVRV UHFLSLHQWHV XWLOL
]DQGR XQLGDGHV GH FDSD
FLGDGDUELWUDULDV
&RPSDUDU ODV FDSDFLGD
GHV GH GLYHUVRV UHFLSLHQ
WHVHQIRUPDLQWXLWLYD
c 3DUD LQLFLDU VH OHV SXHGH SUHVHQWDU XQ SUREOHPD FRPR HO
VLJXLHQWH
/D GRFHQWH GH SULPHU JUDGR $ YD D UHSDUWLU XQD FDMD GH
OHFKHHQYDULRVYDVRVSHTXHxRV\ODGHSULPHUJUDGR%HQYDULRV
YDVRV JUDQGHV ¢&XiQWRV YDVRV SHTXHxRV FUHH TXH OOHQDUi OD
GRFHQWH GH SULPHUR $" ¢&XiQWRV YDVRV JUDQGHV OOHQDUi OD GH
SULPHUR%"
(O DQiOLVLV GH ODV UHVSXHVWDV HVWXGLDQWLOHV SHUPLWLUi OOHYDU D OD
QRFLyQ GH XQLGDG GH FDSDFLGDG \ D OD FRPSDUDFLyQ GH FDQWLGD
GHV
c3UHJXQWDUOHVFyPRVHSXHGHPHGLUXQDFDQWLGDGGHDJXDGH
KDULQDGHOHFKHSDUDKDFHUXQTXHTXH
c 6H SXHGHQ KDFHU FRPSDUDFLRQHV GH FDSDFLGDG OOHQDQGR
UHFLSLHQWHV GH DOJ~Q OtTXLGR XVDQGR XQ YDVR R XQD WD]D FRPR
XQLGDGGHPHGLGD
Programas de cada ciclo educativo
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
/RQJLWXG
x 0HWUR
x &HQWtPHWUR
x 5HODFLRQHV
x 6tPERORV
0RQHGD
x (VWLPDFLyQ
x &RPSDUD
FLyQ
3HVR
x .LORJUDPR
x *UDPR
x 6tPEROR
x (VWLPDFLyQ
x &RPSDUD
FLyQ
7LHPSR
x +RUDV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
&RPSDUDU ORQJLWXGHV VLQ
XVDUODUHJOD
5HDOL]DU PHGLFLRQHV XWLOL
]DQGR HO PHWUR \ HO FHQ
WtPHWUR
(VWDEOHFHU UHODFLRQHV HQ
WUHPHWUR\FHQWtPHWUR
5HFRQRFHU ORV VtPERORV
SDUDPHWUR\FHQWtPHWUR
(VWDEOHFHU OD UHODFLyQ HQ
WUH ODV PRQHGDV GH GHQR
PLQDFLRQHVKDVWD₡ (VWLPDU FDQWLGDGHV PRQH
WDULDV
&RPSDUDU FDQWLGDGHV PR
QHWDULDV
8WLOL]DU HO NLORJUDPR FR
PRXQLGDGGHPDVD
5HFRQRFHU HO VtPEROR SD
UDNLORJUDPRV
Primer ciclo, Medidas
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c &RPSDUDU ORQJLWXGHV D VLPSOH YLVWD FRQ XQD FXHUGD \ PH
GLDQWH FRPSDUDFLyQ GH VHJPHQWRV FRQ WLUDV GH SDSHO XVDQGR HO
FRPSiV
c3UHVHQWDUOHVSUREOHPDVFRPR
'RxD&DUROLQDFRPSUyPGHWHODSDUDXQVDFR\FP
SDUD XQD EOXVD ¢FXiQWRV PHWURV GH WHOD FRPSUy HQ WRWDO" (VWR
SHUPLWH DSOLFDU HTXLYDOHQFLDV HQWUH PHGLGDV \ XWLOL]DU VXV
VtPERORV
c &RQVWUXLU FRQ FDUWXOLQD XQ PHWUR SDUD TXH SXHGDQ DGTXLULU
PHMRUODUHODFLyQHQWUHFHQWtPHWUR\PHWUR
/DFRQVWUXFFLyQGHLQVWUXPHQWRVSURPXHYHODSHUVHYHUDQ
FLD
c3URSRQHUOHVSUREOHPDVGRQGHDSOLFDQODVUHODFLRQHVHQWUHODV
PRQHGDV\ELOOHWHVSRUHMHPSOR
¢&yPR SDJDU OD VXPD GH ₡ FRQ PRQHGDV GH ₡ ₡ \₡ "
5R[DQD FRPSUy XQ SDTXHWH GH WRUWLOODV HQ ₡ \ XQ
KHODGR GH SDOLOOR HQ ₡ 6L SDJy FRQ XQ ELOOHWH GH ₡ UHSUHVHQWHPHGLDQWHFtUFXORVHOGLQHURHQPRQHGDVTXHOHVREUy
c 3XHGHQ UHDOL]DU HVWLPDFLRQHV GHO GLQHUR TXH HOODV \ HOORV
WUDHQSDUDFRPSUDUHQODVRGDGHODHVFXHOD
c6HSXHGHSHGLUSRUHMHPSORHVWLPDUHOSHVRGHXQFROLEUtGH
XQSHUURGHXQDSHUVRQDDGXOWD
c6HSODQWHDQSUREOHPDVFRPRHOPRVWUDGRDFRQWLQXDFLyQ
3DUD XQD UHFHWD VH QHFHVLWDQ NJ GH FDUQH GH FHUGR \
(VWLPDUPHGLGDVGHSHVR
JGHFDUQHGHUHV¢&XiOWLSRGHFDUQHVHQHFHVLWDPiV"
&RPSDUDUPHGLGDV GH SH c 6H SXHGHQ WUDHU GLIHUHQWHV IUXWDV GH OD FDVD R ODV TXH WUDHQ
VR
SDUDPHUHQGDU\FRPSDUDUODPHGLGDGHOSHVR
c(VLPSRUWDQWHDFODUDUTXHHONJHVXQDXQLGDGGHPDVDSHUR
VH XVD FRUULHQWHPHQWH FRPR XQLGDG GH SHVR $O GHFLU TXH XQ
REMHWRSHVDNJHQUHDOLGDGHVNJINLORJUDPRIXHU]D
0HGLU LQWHUYDORV GH WLHP c8VRGHOUHORMDQDOyJLFR&RQD\XGDGHPDWHULDOLPSUHVRFRQ
SR XWLOL]DQGR KRUDV PL LPiJHQHV GHUHORMHV VLQ ODVPDQHFLOODV VH SXHGH VROLFLWDU WUD]DU
QXWRV\ODSVRVGHR ODKRUD
PLQXWRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
x 0LQXWRV
x ,QWHUYDORV
&RPSDUDU LQWHUYDORV GH
WLHPSR PHGLGRV HQ PLQX
WRV
/HHUHOUHORMDQDOyJLFR
c5HVROYHUSUREOHPDVWDOHVFRPR
(OH[DPHQHPSH]yDODVDP\WHUPLQyPLQXWRV
GHVSXpV¢&XiQWDVKRUDVWUDQVFXUULHURQ"¢$TXpKRUDWHUPLQyHO
H[DPHQ"
(V UHOHYDQWH DSURYHFKDU ORV UHFXUVRV TXH H[LVWHQ HQ
,QWHUQHW3RUHMHPSORHQHOVLWLR
KWWSFRQFXUVRFQLFHPHFHVFQLFHBHOBUHORMLQGH[KWPO
VH SXHGHQ HQFRQWUDU GLIHUHQWHV DFWLYLGDGHV SDUD OD OHFWXUD GHO
UHORM
&DSDFLGDG
x /LWUR
x (VWLPDFLyQ
x &RPSDUD
FLyQ
(VWLPDU OD FDSDFLGDG GH c6HSXHGHQSODQWHDUSUREOHPDVFRPR
GLYHUVRV UHFLSLHQWHV XWLOL ]DQGR HO OLWUR FRPR XQL
$OHMDQGUDFRPSUySDUDVXILHVWDGHFXPSOHDxRVHQYDVHV
GDGGHFDSDFLGDG
GH MXJR GH IUXWD FDGD XQR FRQ FDSDFLGDG GHXQ OLWUR ¢&XiQWRV
&RPSDUDU PHGLFLRQHV GH YDVRVSHTXHxRVSXHGHOOHQDUFRQFDGDOLWURGHUHIUHVFR"3DUDHO
WUDEDMRFRQHVWHSUREOHPDVHOHVSURSRUFLRQDYDVRVGHGLIHUHQWHV
FDSDFLGDG
FDSDFLGDGHV\VHSLGHTXHUHVSRQGDQDODSUHJXQWDHQFDGDFDVR
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR EOHPDVTXHLQYROXFUHQGL c5HDOL]DUHVWLPDFLRQHVGHFDSDFLGDGFRPSDUDQGRHOFRQWHQLGR
GHUHFLSLHQWHVFRQHOFRQWHQLGRGHOOLWUR6HOHVSXHGHSHGLUTXH
IHUHQWHVPHGLGDV
WUDLJDQ GH OD FDVD HQYDVHV YDFtRV GH MXJRV OHFKH \ UHIUHVFRV
SDUDKDFHUHTXLYDOHQFLDVHQWUHORVPLVPRV
(QHVWHQLYHOVHHVSHUDTXHHOHVWXGLDQWDGRSXHGDFRPXQL
FDUVXVLGHDVFRQUHVSHFWRDODUHVROXFLyQGHORVSUREOHPDV
Programas de cada ciclo educativo
3er Año
Conocimientos
Longitud
x Metro
x Múltiplos
x Submúltiplos
x Conversiones
Moneda
x Monedas
x Billetes
x Comparación
x Estimación
Habilidades específicas
1. Estimar mediciones.
Primer ciclo, Medidas
Indicaciones puntuales
c Se propone usar un metro para realizar estimaciones y
mediciones de diferentes objetos del entorno.
2. Realizar mediciones utilizando el metro, sus múltiplos y submúltiplos.
c Proponer problemas donde aplican las conversiones; por
ejemplo:
3. Realizar conversiones de
medida entre el metro, sus
múltiplos y submúltiplos.
Mónica recorre su comunidad en bicicleta todos los días.
Al día recorre 8 km. ¿Cuántos metros recorre en un día?
4. Establecer la relación entre
las monedas de denominaciones hasta ₡ 500 y
billetes de hasta ₡ 10 000
para utilizarlas en situaciones prácticas.
5. Estimar y comparar cantidades monetarias.
c Se pueden proponer problemas para desarrollar estas habilidades; por ejemplo:
Luisa tiene ahorrado cinco monedas de ₡ 500, trece
monedas de ₡ 100, veinte de ₡ 50 y ocho de ₡ 25. Ella quiere
cambiar su dinero por billetes. ¿Por cuáles y cuántos billetes
podría cambiar su dinero?
c Recuerde que la respuesta no es única.
Se puede comentar una noticia como la siguiente, desde
el punto de vista de su contenido matemático (en lo que concierne al nivel de conocimiento de las y los estudiantes) y su
relación con el medio ambiente.
«Ortíz diseñó con experimentación y de forma autodidacta un prototipo de calentador de agua que redujo su factura de electricidad y le dio beneficios
adicionales, además del agua caliente de la ducha,
ahora también tenía agua caliente para lavar los platos y la ropa.
Su idea no terminó allí sino que creció a un ámbito
empresarial para conformar el emprendimiento familiar ³+62/´ HQ GRQGH SXVR D GLVSRVLFLyQ GH ODV
empresas su diseño por 300 mil colones, monto que
para ella es más bajo y accesible que los que se encuentran en el mercado actual.
Sin embargo, Ortíz no es la única que redujo su consumo de electricidad con un calentador. Roque Corrales, vecino de Naranjo, mencionó que en su hogar
la factura bajó aproximadamente en 6000 colones
por mes gracias al uso de un calentador. Estos equivalGUtDQDFRORQHVDODxR«
Tomado de:
http://www.crhoy.com/ 19 de febrero de 2012.
141
Programas de cada ciclo educativo
3HVR
x .LORJUDPR
x &XDUWRV
x 0HGLRV
x 7UHVFXDUWRV
x (VWLPDU
x &RPSDUDU
7LHPSR
x $xR
x 0HV
x 6HPDQD
x +RUD
x 0LQXWR
x 6HJXQGR
x &RQYHUVLR
QHV
&DSDFLGDG
x /LWUR
x 0~OWLSORV
x 6XEP~OWL
SORV
x &RQYHUVLR
QHV
0HGLU SHVRV XWLOL]DQGR HO
NLORJUDPR \ VXV GLYLVLRQHV
HQóò\ôGHNJ
(VWLPDUSHVRVXWLOL]DQGRHO
NLORJUDPR \ VXV GLYLVLRQHV
HQóò\ôGHNJ
(VWLPDU \ FRPSDUDU PHGL
GDVGHSHVR
(VWLPDUHOWLHPSR
0HGLU HOWLHPSRXWLOL]DQGR
DxR PHVHV VHPDQDV KR
UDVPLQXWRV\VHJXQGRV
5HDOL]DU FRQYHUVLRQHV HQ
WUHHVWDVPHGLGDV
(VWLPDU \ PHGLU OD FDSD
FLGDGGHGLYHUVRVUHFLSLHQ
WHV XWLOL]DQGR HO OLWUR VXV
P~OWLSORV\VXEP~OWLSORV
5HDOL]DU FRQYHUVLRQHV HQ
WUH HO OLWUR VXVP~OWLSORV \
VXEP~OWLSORV
5HVROYHU SUREOHPDV TXH
LQYROXFUHQ GLIHUHQWHV PH
GLGDV
Primer ciclo, Medidas
c6HSXHGHQLPSOHPHQWDUSUREOHPDVWDOHVFRPR
0LDEXHODQRVSUHSDUDHPSDQDGDVGHTXHVRWRGRVORVGtDV
6LHOOXQHVJDVWyóNJGHTXHVRHOPDUWHVòNJ\HOPLpUFROHVó
NJ¢FXiQWRVNLORJUDPRVJDVWyHQWRWDO"
c8WLOL]DQGRXQREMHWRTXHSHVHXQNJFRPRSDWUyQHVWLPDUHO
SHVRGHREMHWRVWUDtGRVSRUODV\ORVHVWXGLDQWHV
c6HSXHGHLQLFLDUHOWHPDSURSRQLHQGRXQSUREOHPDWDOFRPR
6LPLSHUULWRWLHQHVHPDQDVGHQDFLGR\HOSHUURGHPL
YHFLQRWLHQHPHVHV¢FXiOWLHQHPiVHGDG"
c 6H SXHGH SUHJXQWDU FRQ TXp XQLGDG GH PHGLGD VH SXHGH
PHGLUODFDQWLGDGGHDJXDHQXQYDVRHQXQWDQTXHGHDJXDHQ
XQDSLVFLQDHQXQDMHULQJD
c5HVROYHUSUREOHPDVWDOHVFRPR
6L XQD FDMD GH OHFKH WLHQH PO ¢FXiQWRV YDVRV FRQ
FDSDFLGDGSDUDFOSXHGROOHQDU"
3UREOHPDV TXH WLHQHQ TXH YHU FRQ HO HQWRUQR HVWXGLDQWLO
SURSLFLDQODFRQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
(VWH HV XQ PRPHQWR DGHFXDGR SDUD XVDU OD DQpFGRWD GH
$UTXtPHGHV GH 6LUDFXVD PDWHPiWLFR GHO VLJOR ,,, D& \ VX
JULWR £(XUHND £OR HQFRQWUp 3XHGH VHUYLU SDUD OODPDU MRFRVD
PHQWH OD DWHQFLyQ GHODV \ ORV HVWXGLDQWHV DFHUFD GHORV GHVFX
EULPLHQWRVUHODFLRQDGRV D ODKLGURVWiWLFDKHFKRV SRU HVWHPDWH
PiWLFRGHODDQWLJHGDG
$UTXtPHGHV GHVFXEULy XQ SULQFLSLR TXH OOHYD VX QRPEUH TXH
GLFH TXH VL VH VXPHUJH XQ REMHWR HQ XQ OtTXLGR HQWRQFHV HO
YROXPHQ GHO REMHWR HV LJXDO DO YROXPHQ GHO OtTXLGR TXH VH
GHVSOD]DDOVHUVXPHUJLGR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
6H FXHQWD TXH FXDQGR GHVFXEULy HVWH SULQFLSLR $UTXtPHGHV VH
HQFRQWUDED HQ VX WLQD EDxiQGRVH \ IXH WDO VX DOHJUtD TXH VDOLy
GHVQXGRSRUODVFDOOHVGH6LUDFXVDKR\6LFLOLDHQ,WDOLDJULWDQ
GR£(XUHND£(XUHND
0HGLGDV
x /RQJLWXG
x 0RQHGD
x 0DVD
x 7LHPSR
x &DSDFLGDG
(Q HVWH QLYHO FDGD HVWXGLDQWH GHEH FRPSUHQGHU HO SUR
EOHPD FRQVLGHUDU DOPHQRV XQD IRUPDGHUHVROYHUORUHYLVDU HO
SURFHVR GH VROXFLyQ \ HYDOXDU OD UHVSXHVWD REWHQLGD HVWR HV
SRGUiUHDOL]DUDFDEDOLGDGORVSDVRV\\SDUFLDOPHQWHHOSDVR
GHOSURFHVRGHUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
3ODQWHDU SUREOHPDV TXH c 3DUD HVWR FDGD HVWXGLDQWH GHEH LQWHJUDU ORV FRQRFLPLHQWRV
XWLOLFHQ GLIHUHQWHV WLSRV GH DGTXLULGRV HQ HO iUHD GH 0HGLGDV 8QD HVWUDWHJLD SXHGH VHU
EULQGDULQIRUPDFLyQUHDOGHOXVRGHDOJ~QWLSRGHPHGLGDVSDUD
PHGLGDV
TXH FRQ HVWD LQIRUPDFLyQ SXHGDQ FRQVWUXLU XQ HMHUFLFLR R SUR
EOHPD3RUHMHPSOR
3URSRUFLRQDU OD VLJXLHQWH LQIRUPDFLyQ GHO FDOHQGDULR
D 2FWXEUHWLHQHKRUDV
E )HEUHURWLHQHPLQXWRV
F $JRVWRWLHQHVHPDQDVFRPSOHWDV\WUHVGtDV
/XHJRVHSLGHIRUPXODUXQSUREOHPDRHMHUFLFLRGRQGHVH
LQYROXFUH XQR R PiV GH ORV GDWRV SURSRUFLRQDGRV 3URFHVR
LQYROXFUDGR3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
3RUHMHPSORSRGUtDHQXQFLDUSUREOHPDVFRPRORVVLJXLHQWHV
D 6LHQHOHOPHVGHDJRVWRWLHQHVHPDQDVFRPSOHWDV
\ WUHV GtDV HQWRQFHV ¢FXiQWRV PLQXWRV WLHQH HO PHV GH
DJRVWR"
E 6LHQHOHOPHVGHRFWXEUHWLHQHKRUDV\HOPHV
GH IHEUHUR WLHQH PLQXWRV ¢FXiO PHV WLHQH PD\RU
FDQWLGDGGHGtDV"¢&XiQWRVGtDVWLHQHQGHGLIHUHQFLD"
c 7DPELpQ VH GHEHQ SURSRUFLRQDU GDWRV SDUD SODQWHDU SUREOH
PDV TXH LQYROXFUHQ D OD YH] GRV WLSRV GH PHGLGDV SHVR \
PRQHGDORQJLWXG\PRQHGDFDSDFLGDG\PDVDHWF
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
/DV DFWLYLGDGHV TXH VH SURSRQHQ HQ HVWD iUHD WLHQHQ TXH HVWDU UHODFLRQDGDV FRQ DFFLRQHV
FRWLGLDQDVRVLWXDFLRQHVGHOHQWRUQR\FRQHOXVRGHGLYHUVRVPDWHULDOHV(VWDHVXQiUHDHV
WUHFKDPHQWHOLJDGDFRQODXWLOLGDGGH ODV0DWHPiWLFDV\HVWRGHEHHYLGHQFLDUVHDWUDYpVGH
VLWXDFLRQHVHQODVTXHVHXVHQGDWRV\PHGLFLRQHVUHDOLVWDV
(VQHFHVDULRWHQHUSUHVHQWHTXHODVQLxDV\ORVQLxRVSXHGHQFRQIXQGLUDOJXQRVDWULEXWRVGH
ORVREMHWRVFRQDWULEXWRVPHGLEOHVTXHQRQHFHVDULDPHQWHHVWiQUHODFLRQDGRV3RUHMHPSOR
DOREVHUYDUGRVREMHWRVGHGLIHUHQWHWDPDxRWLHQGHQDSHQVDUTXHHO PiVJUDQGHWLHQH PiV
SHVR/DVDFWLYLGDGHVTXHVHSURJUDPHQSURFXUDUiQWRPDUHQFRQVLGHUDFLyQHVWRFRQHOSUR
SyVLWRGHLUHOLPLQDQGRHVWDVGLILFXOWDGHV
/DVDFWLYLGDGHVGHFRPSDUDFLyQHVWiQHVWUHFKDPHQWHOLJDGDVFRQODRSHUDFLyQGHWUDQVLWLYL
GDG$TXtVHVXJLHUHSRUHMHPSORRUGHQDUREMHWRVVHJ~QVXSHVRRVHJ~QVXWDPDxRRVH
J~QODFDUDFWHUtVWLFDTXHVHHVWpFRQVLGHUDQGR
$OJXQDVDFWLYLGDGHVWLHQHQTXHHQIDWL]DUODFRQVHUYDFLyQGHODFDQWLGDG3RUHMHPSORPHGLU
XQFRUGHOOXHJRSDUWLUORHQGRVRWUHVSHGD]RVPHGLUFDGDXQRGHHOORV\VXPDUODVPHGL
GDVHVWRSHUPLWHYHUTXHHOFRUGHORULJLQDO\ORVSHGD]RVMXQWRVWLHQHQODPLVPDORQJLWXG
/DFDQWLGDGGHDJXDVHFRQVHUYDFXDQGRVHSDVDGHXQHQYDVHDRWURDXQTXHODIRUPD\HO
WDPDxRGHORVHQYDVHVVHDQGLIHUHQWHV
/DPDVD\HOSHVRVRQPDJQLWXGHVGLIHUHQWHV/DPDVDGHXQFXHUSRUHILHUHDO³FRQWHQLGRGH
PDWHULDGHGLFKRFXHUSR´HOSHVRHQFDPELRHVODIXHU]DFRQTXHOD7LHUUDXRWURFXHUSR
DWUDHDXQREMHWR5HVXOWDTXHORVREMHWRVGHLJXDOPDVDHQXQPLVPROXJDUGHOD7LHUUDWLH
QHQHO PLVPRSHVR'HDKtTXHSRSXODUPHQWHDPEDV PDJQLWXGHVVH LGHQWLILFDQ(VWRKDFH
FDVL LPSRVLEOH TXH HQ ORV SULPHURV DxRV HVFRODUHV HVWDV GRV FDUDFWHUtVWLFDV GH ORV FXHUSRV
SXHGDQVHUGLVWLQJXLGDV3RURWUDSDUWHORVLQVWUXPHQWRVXVDGRVSDUDPHGLUPDVDVHQUHDOL
GDG PLGHQ SHVRV GH PDQHUD TXH QR SDUHFHRSRUWXQR KDFHU OD GLVWLQFLyQ HQ ORV QLYHOHV GH
HGXFDFLyQ3ULPDULD(ONLORJUDPRNJHVXQDXQLGDGGHPDVDHONLORJUDPRIXHU]DNJIHV
XQD XQLGDG GH SHVR OR PLVPR TXH HO 1HZWRQ NLORJUDPR IXHU]D HTXLYDOH D 1HZ
WRQV
(VLPSRUWDQWHTXHVHXWLOLFHHOOHQJXDMHQDWXUDO\HYHQWXDOPHQWHHOOHQJXDMHPDWHPiWLFRHQ
ODVH[SOLFDFLRQHVHVWXGLDQWLOHV
(VIXQGDPHQWDOHOXVRGHPDWHULDO FRQFUHWRSDUD SURPRYHU ODV KDELOLGDGHVSURSXHVWDV$O
JXQRVUHFXUVRVTXHVHSXHGHQXWLOL]DUFXHUGDFDUWXOLQDSDOLOORVGLYHUVRVREMHWRVSLHGUDV
IULMROHVIUXWDVHWFLQVWUXPHQWRVFRPRSHVDVFLQWDPpWULFD\UHORMDQDOyJLFRHQYDVHVER
WHOODVGHYDULDVFDSDFLGDGHV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
Primer año
'XUDQWHHOHU$xRVHFRPLHQ]DDFRQVWUXLUHOFRQFHSWRGHPHGLFLyQODVDFWLYLGDGHVTXHVH
UHDOLFHQGHEHQHVWDUGLULJLGDVDHVWHSURSyVLWR'HDKtODLPSRUWDQFLDGHTXHODVPHGLFLRQHV
TXHVHDERUGHQVHKDJDQHQSULQFLSLRFRQHOXVRGHXQLGDGHVGHPHGLGDQRFRQYHQFLRQDOHV
$O ILQDO GHEH TXHGDU FODUR TXH PHGLU LQYROXFUD XQD FRPSDUDFLyQ GH XQ DWULEXWR FRQ XQD
XQLGDGTXHSRVHHHOPLVPRDWULEXWR
/DV QLxDV \ ORV QLxRV DGRSWDUiQ VXV SURSLDV XQLGDGHV GH PHGLGD SDUD KDFHU HVWLPDFLRQHV
,QFOXVRHOFRQFHSWRGHXQLGDGPRQHWDULDSXHGHVHUDERUGDGRHQSULQFLSLRGHHVWDPDQHUD
3RUHMHPSORVHSRGUtDQXWLOL]DUFXDGURVGHSDSHOGHGLIHUHQWHVFRORUHVSDUDVLPXODU LQWHU
FDPELRVGHWLSRFRPHUFLDO
+D\TXHWHQHUFODURTXHODFDSDFLGDGUHILHUHDODFXDOLGDGGHXQUHFLSLHQWHGHSRGHUFRQWH
QHUOtTXLGRVXRWURVPDWHULDOHV
Segundo año
(OWLSRGHPHGLGDVTXHVHHVWXGLDQHQHVWHDxRHVHOPLVPRTXHHOGHHU$xR6LQHPEDUJR
DKRUDVHLQLFLDHOXVRGHXQLGDGHVGHPHGLGDFRQYHQFLRQDOHV
3RURWUDSDUWHGHEHDYDQ]DUVHHQHOVHQWLGRGHODPHGLFLyQDWUDYpVGHHVWLPDFLRQHV\FRP
SDUDFLRQHVGHPHGLGDV
'HEH TXHGDU FODUR TXH ORV LQVWUXPHQWRV GH PHGLFLyQ UHHPSOD]DQ XQLGDGHV GH PHGLGD
UHDOHV (V LPSRUWDQWH TXH VH HQWLHQGD FyPR IXQFLRQD XQ LQVWUXPHQWR GH PHGLGD SDUD TXH
SXHGDVHUXVDGRFRUUHFWDPHQWH
8QDDFWLYLGDGFRP~Q\TXHVHSXHGHLPSOHPHQWDUHVODFRQVWUXFFLyQGHXQUHORMXWLOL]DQGR
FDUWXOLQDRSDSHO\SDOLOORVRSDOHWDVSDUDTXHVHSUDFWLTXHHOUHSUHVHQWDUODKRUDFRUUHFWD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
Tercer año
6H HVWXGLDQ ODV PLVPDV PHGLGDV TXH HQ ORV DxRV DQWHULRUHV SHUR VH DYDQ]D HQ HO QLYHO GH
FRPSOHMLGDG6HXWLOL]DQPiVXQLGDGHVGHPHGLGD\ODVPHGLFLRQHVVRQGHPD\RUPDJQLWXG
GDGRHODYDQFHHQHOFRQRFLPLHQWRGHORVQ~PHURV
'LGiFWLFDPHQWHSDUDWUDEDMDUFRQODVPHGLFLRQHVGHEHVHJXLUVHHQJHQHUDOXQHVTXHPDFR
PRHOVLJXLHQWHFRPSDUDU\RUGHQDUHVWLPDUDQWHVGHUHDOL]DUODPHGLFLyQHOHJLUHOLQVWUX
PHQWRDSURSLDGRSDUDUHDOL]DUODPHGLFLyQHOHJLUODXQLGDGGHPHGLGDPiVDGHFXDGDUHDOL
]DUODPHGLFLyQFRPSDUDUODPHGLFLyQREWHQLGDFRQODHVWLPDFLyQ\YDORUDUODGLVFUHSDQFLD
HQWUHDPEDV
Indicaciones de evaluación
/DV KDELOLGDGHV TXH WLHQHQ TXH YHU FRQ HVWLPDFLRQHV \ FRPSDUDFLRQHV GH PHGLGDV SXHGHQ VHU
HYDOXDGDVGHPDQHUDQDWXUDOHQHO WUDEDMRFRWLGLDQR6HGHEHUiREVHUYDU TXpJUDGRGHSUHFLVLyQ
ORJUDFDGDHVWXGLDQWHHQODHVWLPDFLyQGHODVPHGLGDV7DPELpQHVQHFHVDULRLQGDJDUVLLGHQWLILFD
DSURSLDGDPHQWH HO WLSR GH PHGLFLyQ TXH UHTXLHUH HO DWULEXWR D VHU PHGLGR SRU HMHPSOR VL QR
FRQIXQGHORQJLWXGHVFRQSHVRV
(QHOWUDEDMRH[WUDFODVHVHGHEHHYDOXDUODHVWLPDFLyQODFRPSDUDFLyQ\HOFiOFXORGHPHGLGDVHQ
FRQWH[WRVQRHVFRODUHV3RUHMHPSORHQHU$xRVHSXHGHHODERUDUXQDOLVWDGHUHFLSLHQWHV\SDUD
FDGDXQRHVFULELUVXFDSDFLGDGXWLOL]DQGRHOOLWURFRPRXQLGDG\GHVDUUROODUODFRQYHUVLyQFRUUHV
SRQGLHQWHDGHFLOLWURVFHQWLOLWURVRPLOLOLWURV
3DUDHVWHFLFORODHYDOXDFLyQHQHOiUHDGH0HGLGDVGHEHWHQHUSUHVHQWHVODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLR
QHV
9 3DUDHYDOXDUHOFiOFXORGHPHGLGDVVHSHGLUiHOXVRGHLQVWUXPHQWRVFRPRUHJODJUDGXDGD
FRPSiVUHORMHVEDODQ]DVHWF7DPELpQHQHOFDVRGHODVPRQHGDVVHSHGLUiODREWHQFLyQ
GHO UHVXOWDGR GHWUDQVDFFLRQHV VHQFLOODV TXH LQYROXFUHQ OD FRPSUD \ YHQWD GHREMHWRV (O
FiOFXORGHPHGLGDVVHSXHGHHYDOXDUPHGLDQWHH[iPHQHVHVFULWRVXRUDOHVHQHVWH~OWLPR
FDVRHVSHFLDOPHQWHFXDQGRVHWUDWHGHHVWLPDFLRQHV
9 /DHVWLPDFLyQGH PHGLGDVHVXQDKDELOLGDG PX\ LPSRUWDQWHSXHVWRTXHSHUPLWHDODSHU
VRQD WHQHU XQD UHIHUHQFLD DSURSLDGD GH OD PHGLGD VLQ HO XVR GH LQVWUXPHQWRV $O HYDOXDU
ORQJLWXGHV VH OHV SXHGH SHGLU TXH HVWLPHQ OD ORQJLWXG GH XQ FRUGHO VH DFHSWDUi XQD UHV
SXHVWD FRPR FRUUHFWD VL HO YDORU SURSRUFLRQDGR VH HQFXHQWUD GHQWUR GH FLHUWR UDQJR SUH
YLDPHQWHHVWDEOHFLGR
9 3DUD HYDOXDU OD KDELOLGDG GH FRPSDUDU PHGLGDV VH OHV SXHGH VROLFLWDU TXH FRPSDUHQ GRV
SHVRV\TXHVHHVWLPHFXiOHVODUD]yQHQWUHHOORVXQRDSUR[LPDGDPHQWHHOGREOHGHORWUR
RVLVRQFDVLLJXDOHVHWF(VWRVHSXHGHKDFHUGHPDQHUDRUDOHQHOWUDEDMRFRWLGLDQR
9 3DUDODHYDOXDFLyQGHODDSOLFDFLyQGHODPHGLFLyQHQGLYHUVRVFRQWH[WRVVHSXHGHSURSR
QHUXQDHQRUPHFDQWLGDGGHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV'RVHMHPSORV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Medidas
8QDEROVDGHDUUR]FRQWLHQHNJXQDEROVDGHD]~FDUSHVDNJ6L/XLVDOOHYDEROVDV
GHDUUR]\5REHUWROOHYDEROVDVGHD]~FDU¢TXLpQOOHYDPiVSHVR"
3DUDLUGHVXFDVDDODHVFXHOD$QGUpV\&HOLQDUHFRUUHQHOFDPLQRTXHLQGLFDODILJXUD
'HODFDVDGH$QGUpVKD\KPKDVWDODLJOHVLDGHODLJOHVLDDODOPDFpQKD\P\GH
DKt KDVWD OD HVFXHOD KD\ P 'H OD FDVD GH &HOLQD KDVWD HO DOPDFpQ KD\ XQ NP
¢4XLpQGHEHFDPLQDUPiV&HOLQDR$QGUpV"
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Introducción
$OLQJUHVDUDHVWHFLFORFDGDHVWXGLDQWHKDGHVDUUROODGRFLHUWDVKDELOLGDGHVSDUDUHODFLRQDUSHUVR
QDVSDODEUDV \REMHWRVFODVLILFDU \RUGHQDUREMHWRV\GHGHVFULELUYHUEDOPHQWHFLHUWDVUHJXODUL
GDGHV HQ SDWURQHV OR TXH HV IXQGDPHQWDO SDUD HO GHVDUUROOR GH OD UHFXUVLYLGDG 2WUD KDELOLGDG
LPSRUWDQWHSDUDHOGHVDUUROORGHOFRQFHSWRGHIXQFLyQXQFDVRSDUWLFXODUGHUHODFLyQHVODUHOD
FLRQDGDFRQHOFDPELRODV\ORVQLxRVSXHGHQSRUORJHQHUDOGHVFULELUYHUEDOPHQWHFLHUWRVFDP
ELRVFXDOLWDWLYRVWDOHVFRPRHOFUHFLPLHQWRGHXQDSODQWDRGHXQDSHUVRQD
5HODFLRQHV\ÈOJHEUDLQLFLDHQHVWHFLFORHOWUDEDMRFRQVXFHVLRQHVDOHVWDEOHFHUUHODFLRQHVHQWUH
Q~PHURVQDWXUDOHV\ODE~VTXHGDGHOYDORUIDOWDQWHHQXQDH[SUHVLyQ
/D LQWURGXFFLyQ WHPSUDQD GH UHODFLRQHV SDWURQHV \ PDQLSXODFLyQ VLPEyOLFD SRVLELOLWDUi XQD
PD\RUDUWLFXODFLyQFRQORVFLFORVTXHVLJXHQ\GHVDUUROODUiXQDIRUPDGHSHQVDPLHQWRPDWHPiW L
FR QHFHVDULD SDUD OD FRQVWUXFFLyQ GH FRQFHSWRV UHODFLRQDGRV FRQ ODV IXQFLRQHV \ OD JHRPHWUtD
IDYRUHFLHQGRORVSURFHVRVGH&RQHFWDU5D]RQDU\DUJXPHQWDU\5HSUHVHQWDU
(V LPSRUWDQWH IRPHQWDU HO GHVDUUROOR GH ODV KDELOLGDGHV UHODFLRQDGDV FRQ HO UHFRQRFLPLHQWR GH
SDWURQHV OD FRPSUHQVLyQ GHO FDPELR OD GHWHUPLQDFLyQ GHO YDORU IDOWDQWH HQ XQD H[SUHVLyQ OD
UHSUHVHQWDFLyQ\FRPSDUDFLyQGHQ~PHURVHQODUHFWDQXPpULFD(VWRWDPELpQIDYRUHFHHOSURFHVR
PDWHPiWLFRGH5D]RQDU\DUJXPHQWDU
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQHOiUHDGH5HODFLRQHV\ÈOJHEUDSDUDHVWHFLFORHVGHVDUUROODUHQ
FDGDHVWXGLDQWHODFRPSUHQVLyQGHSDWURQHV\UHODFLRQHVODFDSDFLGDGSDUDUHSUHVHQWDU\DQDOL]DU
VLWXDFLRQHV PDWHPiWLFDV GDGDV \ OD KDELOLGDG SDUD XWLOL]DU HVWRV FRQRFLPLHQWRV FRQ HO ILQ GH UH
VROYHUSUREOHPDVHQYDULRVFRQWH[WRV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVDGHVDUUROODUHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDDOILQDOL]DUHO3ULPHUFLFORVRQ
x &RQVWUXLUVXFHVLRQHVFRQQ~PHURV\FRQILJXUDV
x ,GHQWLILFDUSDWURQHVHQXQDVHFXHQFLDGHILJXUDVRGHQ~PHURV
x 2UGHQDUQ~PHURVHQIRUPDDVFHQGHQWHRGHVFHQGHQWH
x (VFULELUHLQWHUSUHWDUH[SUHVLRQHVPDWHPiWLFDVTXHUHSUHVHQWDQFDQWLGDGHVGDGDV
x ,GHQWLILFDU\VXVWLWXLUHOQ~PHURTXHIDOWDHQXQDWDEODRHQXQDH[SUHVLyQPDWHPiWLFD
x 3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVDSDUWLUGHXQDVLWXDFLyQGDGD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
1er Año
Conocimientos
Sucesiones
x Patrones
Habilidades específicas
1. Identificar patrones o regularidades en sucesiones
con números menores que
100, con figuras o con representaciones geométricas.
Indicaciones puntuales
c Una estrategia consiste en proponer sucesiones numéricas en
forma de juegos, oralmente (pasándose una bola) o en forma
escrita.
c Se pueden proponer sucesiones que requieran la suma, la
resta, el doble, o bien sucesiones numéricas de términos que se
obtengan mediante la adición, donde el término inicial sea un
número natural y el término final sea menor que 100.
c Proponga que cada estudiante marque en una tabla que
contiene números naturales menores que 100 aquellos números
que se obtienen de añadir 5 sucesivamente a partir del cero.
Verificar si las unidades de los números marcados obedecen a
un patrón (el cual corresponde a que la cifra de las unidades es 0
o 5).
c Proponga sucesiones con figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales (sólidos). En las figuras geométricas
bidimensionales se pueden utilizar rectas paralelas y rectas
perpendiculares.
Esto favorece la conexión entre Geometría y Relaciones y
Álgebra.
2. Construir sucesiones con
figuras o con números naturales menores que 100
que obedecen a una ley
dada de formación o patrón.
c Proponga una secuencia numérica, por ejemplo 5, 7, «
en la que empieza con un número natural y le va agregando un
número natural fijo a cada número sucesivo.
Ÿ (V LPSRUWDQWH XWLOL]DU PDWHULDO FRQFUHWR SDUD LQWURGXFLU HO
tema de sucesiones. Por ejemplo, cortar rectángulos de distintos
colores y ubicarlos en fila, color 1, color 2, color 3, color 1,
color 2, color 3 y preguntar, si el patrón continúa, el color que
sigue o el color que ocuparía la posición número 10.
Se recomienda la utilización de materiales concretos
reciclables, con tal de proveer una cultura ambiental para el
desarrollo sostenible.
Motive a cada estudiante para que formule su propia
sucesión manteniendo una actitud perseverante y que lo comparta con otros compañeros o compañeras en un ambiente de
respeto mutuo.
Lo anterior favorece los procesos Razonar y argumentar y
Comunicar.
Ÿ(V fundamental que cada estudiante haga cálculos mentales
para identificar patrones o regularidades.
149
Programas de cada ciclo educativo
([SUHVLRQHV
PDWHPiWLFDV
x 6LJQRGH
,JXDOGDG
x 5HSUHVHQWD
FLyQGHFDQ
WLGDGHV
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
6XFHVLRQHV
x 3DWURQHV
x 7DEODV
QXPpULFDV
x 6XFHVLRQHV
DVFHQGHQWHV
x 6XFHVLRQHV
GHVFHQGHQ
WHV
,GHQWLILFDU GRV H[SUHVLRQHV
PDWHPiWLFDV TXH VRQ LJXD
OHV
5HFRQRFHU HO VLJQLILFDGR
GH³ ´
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
c6HSXHGHQSODQWHDUSUREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWH
0DULDQWLHQHEROVDVFRQJDOOHWDVGHDYHQDFDGDXQD \
VXSULPD,VDEHOWLHQHEROVDVFRQJDOOHWDVFDGDXQD¢&XiOGH
ODVGRVWLHQHPiVJDOOHWDV"
Ÿ3URSRQJDSRUHMHPSOR ±GRQGHFDGDHVWXGLDQWH
LGHQWLILTXHTXHORTXHVHFRORFDDODL]TXLHUGD\DODGHUHFKDGHO
VLJQR³ ´VRQLJXDOHVHQYDORURFDQWLGDG
Ÿ(VLPSRUWDQWHYHUHOVLJQRGHLJXDOGDGFRPRXQVtPERORGH
HTXLYDOHQFLD\HTXLOLEULR
5HSUHVHQWDU FDQWLGDGHV HQ
(Q HO EROVLOOR GHO SDQWDOyQ PH HQFRQWUp GRV PRQHGDV GH
VLWXDFLRQHV GLYHUVDV XWLOL
]DQGR OD HVFULWXUD GH H[ YHLQWLFLQFR FRORQHV \ WUHV PRQHGDV GH GLH] FRORQHV (VWDV
FDQWLGDGHVSXHGHQH[SUHVDUVHPDWHPiWLFDPHQWHSRU
SUHVLRQHVPDWHPiWLFDV
₡ ₡ ₡ ₡ ₡ ₡ ODPXOWLSOLFDFLyQQRVHWUDEDMDHQHOHU$xR
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR Ÿ 3RU HMHPSOR TXH FDGD HVWXGLDQWH SODQWHH \ UHVXHOYD XQ
EOHPDV FRQWH[WXDOL]DGRV SUREOHPD TXH FRUUHVSRQGD D OD VLJXLHQWH UHSUHVHQWDFLyQ GH
DSOLFDQGR OD UHSUHVHQWD FDQWLGDGHV
FLyQGHFDQWLGDGHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
&RQVWUXLU VXFHVLRQHV FRQ
ILJXUDV R FRQ Q~PHURV QD
WXUDOHVPHQRUHVDTXH
REHGHFHQ XQ SDWUyQ GDGR
GHIRUPDFLyQ
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c&DGDHVWXGLDQWHSURSRQHXQDVXFHVLyQSDUDTXHODUHVXHOYDQ
VXV FRPSDxHURV \ FRPSDxHUDV 0RWLYH D XWLOL]DU GLIHUHQWHV
SDWURQHV SDUD DVt ORJUDU REWHQHU XQ EDQFR GH HMHUFLFLRV ~WLOHV
SDUDUHIRU]DUHOFRQWHQLGR3HUPLWDTXHFDGDHVWXGLDQWHFRPSDU
WDODVHVWUDWHJLDVXWLOL]DGDVHQODFRQVWUXFFLyQ
(VWRIDYRUHFHHOSURFHVRGH5D]RQDU\DUJXPHQWDU
c 3URSRQJD OD FRQVWUXFFLyQ GH VXFHVLRQHV TXH UHTXLHUHQ GRV
RSHUDFLRQHVDORVXPR
6HUi PRWLYDGRU FRQWDU OD KLVWRULD GHO PDWHPiWLFR DOHPiQ
-RKDQQ &DUO )ULHGULFK *DXVV HO FXDO D ORV DxRV
GH HGDG EXVFy XQD IRUPD LQJHQLRVD GH VXPDUORV SULPHURV
Q~PHURV QDWXUDOHV XVDQGR VX JUDQ KDELOLGDG SDUD HO UHFRQRFL
PLHQWRGHSDWURQHVQXPpULFRV(QHIHFWRVXSURIHVRUGHDULWPp
WLFD - * %WWQHU SURSXVR GLFKR SUREOHPD SDUD YHU VL ORJUDED
PDQWHQHUDVXVHVWXGLDQWHVRFXSDGRVSRUXQEXHQUDWR*DXVVVH
GLR FXHQWD GH TXHOD VXPD VROLFLWDGD VLPSOHPHQWH HUD YHFHV
Q~PHURIRUPDGRSRUODVXPDGHODVSDUHMDV\\
\\DVtVXFHVLYDPHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
c Se podría proponer a cada estudiante calcular la suma de los
10 primeros números naturales.
2.
Identificar patrones o regularidades en sucesiones
o en tablas de números
naturales menores que
1000, con figuras o con
representaciones geométricas.
c Proponga sucesiones que requieren dos operaciones para que
cada estudiante explore e identifique el patrón en la sucesión.
Por ejemplo: 1, 3, 7, 15, « Una estrategia sería: sumarle al
número su sucesor. Otra más compleja sería duplicar el número
y sumar 1 al resultado.
Este tipo de ejercicio requiere de un mayor esfuerzo, por
esta razón la actividad puede ser presentada como un desafío.
La búsqueda de patrones es una herramienta muy importante.
Que cada estudiante comparta la estrategia utilizada para identificar el patrón en un ambiente de respeto mutuo.
c Es recomendable utilizar representación tabular. Por ejemplo,
que cada estudiante complete la tabla:
No. Manzanas
de agua
Precio de las
manzanas de
agua (en
colones)
1
2
3
4
5
60
120
180
?
?
Que cada estudiante comparta las estrategias utilizadas para el
resultado de 5 manzanas de agua. Por ejemplo,
60 u 5 o bien 120 180.
Se puede permitir el uso de las tablas de multiplicar o calculadoras para que los cálculos no sean un obstáculo para el aprendizaje.
3. Ordenar números ascendente o descendentemente.
c
Introduzca situaciones donde cada estudiante ordene
cantidades, como por ejemplo las notas obtenidas durante la
semana de evaluación, ya sea de forma ascendente o descendente. Esto permite establecer conexiones con el área de Estadística
y Probabilidad.
4. Identificar y construir
sucesiones ascendentes o
descendentes.
151
Programas de cada ciclo educativo
3er Año
Conocimientos
Sucesiones
x Patrones
x Sucesiones
ascendentes
Habilidades específicas
1. Identificar y construir sucesiones con figuras, representaciones geométricas
o con números naturales
menores a 100 000 que
obedecen a un patrón dado
de formación.
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Indicaciones puntuales
c Se sugiere proponer en forma de juegos y desafíos sucesiones
numéricas y no numéricas con un secreto escondido (patrón)
que cada estudiante debe explorar e identificar a través del
análisis de las mismas. Puede ser con figuras geométricas,
operaciones, símbolos, múltiplos u otros.
Se escribe en la pizarra una sucesión cuyos primeros
términos son 2, 6 y 18, y se pide a cada estudiante que proponga
un problema cuya respuesta corresponda con la sucesión brindada. Un posible problema puede ser:
x Sucesiones
descendentes
Determine los primeros tres términos de la siguiente sucesión:
BBBBBBBBBBBB«
El problema planteado tiene un alto nivel de dificultad para el
nivel. Una propuesta más sencilla sería: encuentre el siguiente
WpUPLQRHQODVXFHVLyQ«
Sucesión con puntos (números triangulares)
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x
x
x x x
x x x x
Se solicita a cada estudiante dibujar el término siguiente de la
sucesión.
c Cada estudiante construye y resuelve una sucesión donde
puede utilizar una o dos operaciones en el patrón.
Para la construcción de sucesiones con figuras se recomienda la utilización de materiales concretos, principalmente
los que son reciclables, para desarrollar una cultura ambiental.
Se puede compartir la historia de los números poligonales,
en particular los números triangulares, construidos por los
pitagóricos.
2. Ordenar números ascendente o descendentemente.
c Se sugiere proponer que comparen y ordenen cantidades
obtenidas de un contexto en forma creciente o decreciente. Por
ejemplo comparar y ordenar alturas de cerros o de volcanes de
Costa Rica, o comparar y ordenar el número de estudiantes de
cada sección de la escuela.
152
Programas de cada ciclo educativo
5HODFLRQHV
x 7DEODV
x 9DORU
IDOWDQWH
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
+D\ TXH VHOHFFLRQDU ODV FDQWLGDGHV D FRPSDUDU SDUD TXH ORV
Q~PHURVFRUUHVSRQGLHQWHVQRVXSHUHQ
,GHQWLILFDU\FRQVWUXLU
VXFHVLRQHVDVFHQGHQWHVR
GHVFHQGHQWHV
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOH
PDV DSOLFDQGR VXFHVLRQHV
\SDWURQHV
5HSUHVHQWDU WDEXODUPHQWH
UHODFLRQHVHQWUHQ~PHURV\
RSHUDFLRQHV
,GHQWLILFDU HO Q~PHUR TXH
IDOWDHQXQDWDEOD
(VWD HV XQD RSRUWXQLGDG SDUD PRVWUDU OD XWLOLGDG GH
ODV0DWHPiWLFDV\IDYRUHFHUHOSURFHVR&RQHFWDU
c9HUSRUHMHPSORHOSUREOHPDGHPLQ~PHURSUHIHULGRHQODV
LQGLFDFLRQHVGHHYDOXDFLyQ
c 6H SXHGH SURSRQHU XQD WDEOD SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH OD
FRPSOHWH
3UHFLRHQFRORQHVGHXQMXJRHQYDVDGR
Cantidad
1
2
Precio
350
700
3
4
5
1750
6
4XHFDGDHVWXGLDQWHH[SOLTXHYHUEDOPHQWHODHVWUDWHJLDXWLOL]DGD
SDUDFRPSOHWDUODWDEOD3XHGHKDEHUGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDV
(QHVWHHMHPSORFDGDHVWXGLDQWHGHEH HQWHQGHUODLPSRU
WDQFLDTXHWLHQHODUHSUHVHQWDFLyQGHODLQIRUPDFLyQPDWHPiWLFD
D WUDYpV GH WDEODV FRQ HO SURSyVLWR GH UHVXPLU R HYLGHQFLDU
LQIRUPDFLyQ UHOHYDQWH SDUD OD VROXFLyQ GH XQ SUREOHPD (VWR
FRQHFWDFRQHOiUHDGH(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
5HSUHVHQWHHQXQDWDEODHOWULSOHGHXQQ~PHUR
Número
)
Triple del
número
4
13
17
24
39
Programas de cada ciclo educativo
7. Plantear y resolver problemas que involucran valores
faltantes en una tabla o expresión matemática.
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Es importante que cada estudiante argumente la
estrategia utilizada en el planteo o en la resolución del problema. Esto favorece el proceso de Razonar y argumentar. Además, es fundamental que el proceso de comunicación ocurra en
un ambiente de respeto a las ideas de las otras personas, lo que
favorece la Vivencia de los Derechos Humanos para la Democracia y la Paz.
¿Cuál es el número que cubre cada delfín, suponiendo
que cada uno de ellos cubre un mismo número en la figura que
sigue?
Representaciones
x
8. Representar sumas y restas
en la recta numérica.
c Se puede proponer ejemplos donde cada estudiante localice
diferentes representaciones de cantidades:
550 + 20 =
Recta
numérica
950 ± 75 =
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
1.
Es fundamental dedicar suficiente tiempo para que cada estudiante trabaje en la identificación de patrones o regularidades en sucesiones con figuras, dibujos, representaciones geométricas, números. Los patrones constituyen una herramienta muy importante en el desarrollo del pensamiento matemático.
2.
Para lograr habilidades relacionadas con la identificación, construcción y aplicación de patrones es recomendable utilizar recursos variados como recortes de revistas, periódicos, papel cuadriculado, cartulina, geoplano, papel de construcción y objetos que se encuentran en
el entorno.
3.
Se debe proporcionar la mayor cantidad posible de oportunidades para que cada estudiante
construya sus propios ejemplos de patrones, conjeture y argumente su estrategia.
4.
Para la comunicación de las estrategias utilizadas, hay que crear un ambiente de respeto y
tolerancia por las ideas de las otras personas, y de esta forma favorecer la Vivencia de los
derechos humanos para la democracia y la paz, además de activar el proceso de Razonar y
argumentar.
154
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
$ HVWH QLYHO HV UHFRPHQGDEOH TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH HO OHQJXDMH QDWXUDO HQ VXV DUJX
PHQWDFLRQHV
Primer año
3DUDHOGHVDUUROORGH KDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQVXFHVLRQHVSURSRQJDVXFHVLRQHVFRQ IL
JXUDVSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHLGHQWLILTXHHOWpUPLQRTXHVLJXH3RUHMHPSORHQODVLJXLHQ
WHVXFHVLyQ
««
VXSRQLHQGRTXHFRQWLQ~DHOSDWUyQGDGR¢FXiOHVHOVLJXLHQWHWpUPLQR"
7DPELpQHVLPSRUWDQWHXWLOL]DUGLEXMRVRUHFRUWHVGHUHYLVWDVTXHFRQOOHYHQDOUHFRQRFLPLHQWR
YLVXDO\DODVLQWHUSUHWDFLRQHV
3RUHMHPSORFRQVLGHUHHOVLJXLHQWHSDWUyQGHURERWV
6LHOSDWUyQGHODILJXUDFRQWLQ~D¢FXiQWRVERWRQHVWHQGUiHOURERWHQVXFKDOHFR"
6H GHEHQ XWLOL]DU VXFHVLRQHV QXPpULFDV TXH LQYROXFUHQ XQD ~QLFD RSHUDFLyQ SRU HMHPSOR
TXHFDGDHVWXGLDQWHFRPSOHWHHOQ~PHURTXHRFXSDHOHVSDFLRVLJXLHQWHDO~OWLPRWpUPLQRGH
ODVXFHVLyQGDGD BBBBB
/DVKDELOLGDGHV\SXHGHQVHUWUDEDMDGDVHQXQDVRODDFWLYLGDGVLXWLOL]DPRVODPHWiIRUD
GH OD EDODQ]D /RV GRV ODGRV GH OD LJXDOGDG VRQ SHVRV TXH HTXLOLEUDQ OD EDODQ]D 'H HVWD
IRUPDODLJXDOGDGHVXQVtPERORGHHTXLYDOHQFLD\GHHTXLOLEULR Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Segundo año
"
"
"
"
(MHPSORFRQILJXUDVFRQVLGHUHHOVLJXLHQWHSDWUyQGHURERWV
3DUDHOGHVDUUROORGHKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQVXFHVLRQHVSURSRQJDVXFHVLRQHVFRQXQ
QLYHOGHGLILFXOWDGPiVHOHYDGRTXHHOXWLOL]DGRHQHOHU$xR3RUHMHPSORXWLOLFHVXFHVLR
QHVTXHUHTXLHUDQGRVRSHUDFLRQHVPDWHPiWLFDVWDEODVRTXHVROLFLWHXQHOHPHQWRVXSHULRU
DOVLJXLHQWHGHODVXFHVLyQ(MHPSORTXHFDGDHVWXGLDQWHFRPSOHWHORVHOHPHQWRVGHVFRQR
FLGRVXRFXOWRVHQODVLJXLHQWHWDEOD
6LHOSDWUyQGHODILJXUDFRQWLQ~D¢FXiQWRVERWRQHVWHQGUiHOURERWHQVXFKDOHFR"
(MHPSORVQXPpULFRVFRPSOHWDUHOQ~PHURTXHRFXSDHOHVSDFLRVLJXLHQWHDO~OWLPRWpUPLQR
GHODVXFHVLyQGDGDBBBBBBVXPHHOQ~PHURDVXDQWHFHVRURELHQPXOWLSOL
TXHFDGDWpUPLQRSRU\UHVWH
/DV KDELOLGDGHV \ SXHGHQ VHU WUDEDMDGDV HQ XQD VROD DFWLYLGDG 3URSRQJD XQD OLVWD GH
Q~PHURVSRUHMHPSORSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHORVRUGHQHHQIRU
PDDVFHQGHQWH\SRVWHULRUPHQWHHQIRUPDGHVFHQGHQWH
$ORUGHQDUVXFHVLRQHVHVSHUWLQHQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHXWLOLFHORVVtPERORVR!HVWXGLD
GRVHQHOiUHDGHQ~PHURV
(OXVRGHWHFQRORJtDGLJLWDOSXHGHD\XGDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHEXVTXHSDWURQHV3RUHMHP
SORHQHOVLWLR:HE http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/a/1/ca1_08.htmlVHSURSRQHD
ODSHUVRQDFRPSOHWDUORVQ~PHURVHQXQDVHFXHQFLDTXHDSDUHFHHQHOFDUDFROSDUDTXHpVWH
ORJUHDYDQ]DUKDFLDVXFRPLGD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Tercer año
3DUD ODV VXFHVLRQHV ORV Q~PHURV XWLOL]DGRV \ HO QLYHO GH FRPSOHMLGDG VHUiQ PiV HOHYDGRV
TXHHQ ORVDxRVDQWHULRUHV3RUHMHPSORFRPSOHWDUORVGRVWpUPLQRVTXHIDOWDQHQ ODVXFH
VLyQQXPpULFDTXHVLJXHBBBBBBBBB(QHVWHFDVRVHXWLOL]DXQWpU
PLQRVXGREOHHOVXFHVRUGHOWpUPLQRDQWHULRUVXGREOHFRQWLQXDQGRFRQHOSDWUyQ
(VLPSRUWDQWHXWLOL]DUUHSUHVHQWDFLRQHVJHRPpWULFDVHQODVVXFHVLRQHV3RUHMHPSOR HQFRQ
WUDUHOVLJXLHQWHWpUPLQRGHODVXFHVLyQGHSXQWRVTXHIRUPDQODVXFHVLyQ
BBBBBBBBBBBBBBBB
(VWHHMHPSORVHFRQHFWDFRQ*HRPHWUtD\SHUPLWHDSHODUDODKLVWRULDGHORVQ~PHURVSHQWD
JRQDOHVGHVDUUROODGRVSRUORVSLWDJyULFRV
6HUHFRPLHQGDUHFRUWDUILJXUDVGHGLVWLQWRVFRORUHVXELFDUODVHQ ILODVRFROXPQDV \VXSR
QLHQGRTXHHOSDWUyQFRQWLQ~DSUHJXQWDUSRUHOFRORUTXHRFXSDUtDFLHUWDSRVLFLyQ
¢4XpFRORURFXSDUtDODSRVLFLyQ"
«
Indicaciones de evaluación
3DUDODHYDOXDFLyQGHOWUDEDMRFRWLGLDQRGHEHREVHUYDUVHODIRUPD\HOJUDGRGHSDUWLFLSDFLyQGH
FDGDHVWXGLDQWHHQODVDFWLYLGDGHVTXHVHSURSRQHQ\TXHODLQIRUPDFLyQTXHGHUHJLVWUDGDHQORV
LQVWUXPHQWRVXWLOL]DGRV(QSDUWLFXODUHVIXQGDPHQWDOTXHFDGDHVWXGLDQWHORJUHLGHQWLILFDUVXFH
VLRQHV QXPpULFDV \ SDWURQHV PDWHPiWLFRV HQ REMHWRV GHO HQWRUQR HVFRODU \ HQ PDWHULDOHV TXH VH
SUHSDUHQSDUDWDOHIHFWR
/RV WUDEDMRV H[WUDFODVH GHEHUiQ HVWDU RULHQWDGRV D HYDOXDU HO UHFRQRFLPLHQWR GH SDWURQHV HQ HO
FRQWH[WR GHO KRJDUR GH OD FRPXQLGDG GH FDGD HVWXGLDQWH \ VRQ UHFRPHQGDGRV SDUD UHIRU]DU \
SURIXQGL]DU ORV FRQRFLPLHQWRV DGTXLULGRV 8Q HMHPSOR SDUD ƒ $xR FRQVLVWH HQ TXH FDGD HVWX
GLDQWHREVHUYH\FRQVWUX\DXQDOLVWDGHREMHWRVGHGLVWLQWDVIRUPDVJHRPpWULFDVTXHHQFXHQWUDHQ
VXHQWRUQR\TXHIRUPHSDWURQHVDORUGHQDUDTXHOORVREMHWRVTXHWLHQHQXQDPLVPDIRUPDVHJ~Q
DOJ~QFULWHULRGDGR3RUHMHPSORHQXQJUXSRSXHGHQLUORVREMHWRVTXHWLHQHQIRUPDFLUFXODUHQ
RWURORVTXHWLHQHQ IRUPDUHFWDQJXODURWURFRQIRUPDWULDQJXODUHWF3RGUtDQ EULQGDUVHFULWHULRV
SDUDREMHWRVVyOLGRVHVIHUDVFXERVFDMDV (VWHWLSRGHWUDEDMRFRQHFWD5HODFLRQHV\ÈOJHEUDFRQ
*HRPHWUtD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
3DUD OD HYDOXDFLyQ PHGLDQWH WDUHDV FRUWDV WUDEDMR H[WUDFODVH \ SUXHEDV WHQJD SUHVHQWH ODV VL
JXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 3DUDHYDOXDUODLGHQWLILFDFLyQGHSDWURQHVFRQILJXUDVRFRQUHSUHVHQWDFLRQHVJHRPpWULFDV
SURSRQJDDFDGDHVWXGLDQWHXWLOL]DUORVREMHWRVTXHVRQSDUWHGHVXHQWRUQRRELHQIDFLOLWH
XQDIRWRFRQGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVJHRPpWULFDV\SURSRQJDDOJ~QFULWHULRSDUDTXHVH
IRUPHQSDWURQHVDORUGHQDUORVREMHWRVTXHWLHQHQXQDPLVPDIRUPD
9 3DUDHYDOXDUODFRQVWUXFFLyQGHVXFHVLRQHVFRQILJXUDVVHSXHGHGDUXQDOH\GHIRUPDFLyQ
RSDWUyQFRPRHOVLJXLHQWHHOSULPHUHOHPHQWRHVFLUFXODUHOVHJXQGRWULDQJXODUHOWHUFH
URUHFWDQJXODU(OSDWUyQVLJXHHVWHRUGHQ'LEXMHORVSULPHURVRFKRHOHPHQWRVGHODVXFH
VLyQ\HVFULEDTXpHOHPHQWRRFXSDUiODSRVLFLyQQ~PHURYHLQWH\RFKR
9 3DUDHYDOXDUODFRQVWUXFFLyQGHVXFHVLRQHVFRQQ~PHURVVHSXHGHGLFWDUXQDOH\GHIRUPD
FLyQRSDWUyQFRPRHOVLJXLHQWHHOSULPHUHOHPHQWRHVGRV\FDGDHOHPHQWRTXHVLJXHHV
HOHOHPHQWRDQWHULRUPiVVLHWHSDUD HU$xR3DUDƒ \HU $xRVHSXHGHGDUXQFULWHULR
TXHLPSOLTXHGRVRSHUDFLRQHV(VFULEDORVSULPHURVFLQFRHOHPHQWRVGHODVXFHVLyQ
9 (QODLGHQWLILFDFLyQGHH[SUHVLRQHVPDWHPiWLFDVTXHVRQLJXDOHVVHSXHGHHYDOXDUXQDSR
VLEOHLJXDOGDGH[SUHVDQGRXQODGRGHODLJXDOGDGHQIRUPDYHUEDO\HORWURODGRHQIRUPD
QXPpULFD3RUHMHPSOR¢VRQLJXDOHVGRVFLHQWRVWUHLQWD\RFKR\ ±"-XVWLILTXHVX
UHVSXHVWD
9 (QFXDQWRDODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRQVXFHVLRQHVHVLPSRUWDQWHHYDOXDUVLFDGDHV
WXGLDQWH FRPSUHQGLy HO SUREOHPD OD HVWUDWHJLD XWLOL]DGD SDUD UHVROYHUOR \ HO SURFHVR GH
FRPXQLFDFLyQGHODVROXFLyQVREUHWRGRYHUEDOPHQWH
9 3DUDHYDOXDUUHSUHVHQWDFLyQWDEXODUHQWUHQ~PHURV\RSHUDFLRQHVVHSXHGHGDUXQDOLVWDGH
SUHFLRVGHFLHUWRVSURGXFWRV\VROLFLWDUHOSUHFLRGHFRPELQDFLRQHVGHHOORV3RUHMHPSOR
SDUDHU$xRODOLVWDTXHVLJXHFRQWLHQHORVSUHFLRVGHIUXWDV\YHUGXUDVVXJHULGRVSRUHO
&RQVHMR1DFLRQDOGH3URGXFFLyQSDUDODVIHULDVGHODJULFXOWRU&RPSOHWHODWDEODGHODGH
UHFKD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
Precio total
(colones)
Cantidad
2 kg cebolla seca y 5 plátanos
3 kg de brócoli, 3 remolachas, medio kilo de huevos
9 8QWLSRGHSUREOHPDUHODFLRQDGRFRQVXFHVLRQHV\SDWURQHVFRQVLVWHHQLGHQWLILFDUHOQ~
PHURIDYRULWRGHDOJ~QSHUVRQDMH3RUHMHPSORHU$xRHOQ~PHURIDYRULWRGH1HU\%UH
QHVHVHO~OWLPR Q~PHURGHODGpFLPDILODHQODVLJXLHQWHWDEODVXSRQLHQGRTXHFRQWLQ~D
HOSDWUyQGHQ~PHURV
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
7RPDGRGHhttp://wwwFQSJRFU
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
10
10
10
12
12
14
14
16
18
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Relaciones y Álgebra
9 (VLPSRUWDQWHXWLOL]DUHOGLFWDGRSDUDHYDOXDUHOFRUUHFWRXVRGHODHVFULWXUDGHH[SUHVLRQHV
PDWHPiWLFDVFRQQ~PHURV\VtPERORVGHVXPDUHVWDLJXDOGDGHWF
9 (Q FXDQWR D OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HV LPSRUWDQWH HYDOXDU VL FDGD HVWXGLDQWH FRP
SUHQGLyHOSUREOHPDODHVWUDWHJLDXWLOL]DGDSDUDUHVROYHUOR\HOSURFHVRGHFRPXQLFDFLyQ
GHODVROXFLyQTXHHVSULRULWDULDPHQWHYHUEDOHQ HU$xRSHURTXHHYHQWXDOPHQWHLQFOX\D
HOOHQJXDMHPDWHPiWLFRDSDUWLUGHOƒ$xR
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
Introducción
'HVGH VXV SULPHURV DxRV QLxRV \ QLxDV HVWiQ H[SXHVWRV D XQ ERPEDUGHR FRQVWDQWH GH LQIRUPD
FLyQTXHHQJHQHUDOOOHJDHQIRUPDGHVRUGHQDGDSRUORTXHQRVLHPSUHHVFRPSUHQGLGD$QWHVGH
LQJUHVDU D OD HVFXHOD KDQ DGTXLULGR FLHUWDV GHVWUH]DV SDUD DJUXSDU FODVLILFDU \ FXDQWLILFDU LQIRU
PDFLyQODVFXDOHVGHEHQVHUDSURYHFKDGDVHQ3ULPDULD
(QHVWH3ULPHUFLFORGHHGXFDFLyQIRUPDOVHGHEHQFUHDUODVFRQGLFLRQHVSDUDIRUWDOHFHU\DPSOLDU
ODV KDELOLGDGHV YLQFXODGDV FRQ OD LQWHUSUHWDFLyQ GH ORV GDWRV TXH VH JHQHUDQ HQ VX HQWRUQR GH
PRGR TXH FRPSUHQGDQ VX LPSRUWDQFLD \ FULWLTXHQ DTXHOORV TXH GLUHFWD R LQGLUHFWDPHQWH WLHQHQ
UHODFLyQFRQHOORV
$O PLVPR WLHPSR GHEHQ LQFXUVLRQDU HQ OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV YLQFXODGRV HQ SURFHVRV GH
UHFROHFFLyQUHVXPHQSUHVHQWDFLyQ\DQiOLVLVGHLQIRUPDFLyQDXQTXHVHDDXQQLYHOPX\EiVLFR
3RURWURODGRORVSULQFLSLRVGH LQFHUWLGXPEUH \DOHDWRULHGDGTXHHVWiQSUHVHQWHVHQHOFRQWH[WR
HVWXGLDQWLO GHEHQ WDPELpQ VHU RULHQWDGRV SRVLWLYDPHQWH KDFLD XQD LQWHUSUHWDFLyQ DGHFXDGD 6H
HVSHUDTXHSXHGDQGLIHUHQFLDUHQWUHXQDVLWXDFLyQDOHDWRULD\XQDGHWHUPLQLVWDRVHJXUDTXHVHDQ
FDSDFHVGHLQWXLUKHFKRVTXHWLHQHQXQDPD\RUSUREDELOLGDGGHRFXUUHQFLD\GHHVWHPRGRIDYRUH
FHUVXVGHFLVLRQHV
(QWpUPLQRVJHQHUDOHVHQHVWHFLFORVHLQLFLDXQSURFHVRKDFLDODFUHDFLyQGHXQDFXOWXUDSDUDHO
PDQHMRHLQWHUSUHWDFLyQGHLQIRUPDFLyQ
Propósito de la enseñanza
(O SURSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D GH (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG HQ HVWH FLFOR FRQVLVWH HQ LQLFLDU OD
LGHQWLILFDFLyQGHLQIRUPDFLyQFXDQWLWDWLYD\FXDOLWDWLYDHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV \YDORUDUVXXWLOL
GDGSDUDXQDPHMRUFRPSUHQVLyQGHOHQWRUQR$OPLVPRWLHPSRVHEXVFDIDYRUHFHUORVSURFHVRV
GH UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV YLQFXODGRV FRQ HO DQiOLVLV GH GDWRV \ HO PDQHMR GH OD DOHDWRULHGDG
GHQWURGHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLO
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHWHQHUFDGDHVWXGLDQWHHQ(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDOILQDOL
]DUHO3ULPHUFLFORVRQ
x ,GHQWLILFDULQIRUPDFLyQFXDQWLWDWLYD\FXDOLWDWLYDTXHVHJHQHUDSRUPHGLRGHGLVWLQWDVIXHQWHV
HQODVRFLHGDGHLQWHUSUHWDUHOPHQVDMHTXHVXPLQLVWUDQ
x 5HFRQRFHUHOSDSHOGHOGDWRFRPRXQLGDGEiVLFDSDUDHOWUDWDPLHQWRGHLQIRUPDFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
x
x
x
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
,GHQWLILFDU OD YDULDELOLGDG HQ ORV GDWRV FRPR OD SULQFLSDO IXHQWH GH DQiOLVLV GHQWUR GH ORV
HVWXGLRVHVWDGtVWLFRV
8WLOL]DUGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVSDUDHOSURFHVRGHUHFROHFFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQGHLQIRUPDFLyQ
TXHVHREWLHQHDSDUWLUGHXQFRQMXQWRGHGDWRV
5HVSRQGHULQWHUURJDQWHVGHOFRQWH[WRTXHUHTXLHUDQGHUHFROHFFLyQRUGHQDPLHQWRSUHVHQWD
FLyQ\DQiOLVLVGHGDWRV
,GHQWLILFDUVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVGHQWURGHODFRWLGLDQLGDG\HYHQWRVDVRFLDGRVFRQHOODV
,GHQWLILFDUHYHQWRVDOHDWRULRVHQPiVRPHQRVSUREDEOHVVHJ~QFRUUHVSRQGD
3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVYLQFXODGRVFRQHOiUHDGH(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
x
x
x
/DPD\RUtDGHHVWDVKDELOLGDGHVHVWiGLUHFWDPHQWHYLQFXODGDFRQODDFWLYLGDGHVWXGLDQWLOPHGLDQWH
ODLGHQWLILFDFLyQYLVXDOL]DFLyQHLQWXLFLyQSDUDHODQiOLVLV\GLVFXVLyQGHSUREOHPDVFRQFUHWRVTXH
GHEHQVHUVHOHFFLRQDGRVFXLGDGRVDPHQWH
0HGLDQWHHOGHVDUUROORWHPiWLFRVHSUHWHQGHIDYRUHFHUODPRWLYDFLyQ\HOLQWHUpVSRUODV0DWHPi
WLFDV/DXWLOLGDGGH ORVFRQFHSWRVGHVDUUROODGRVTXHGDLPSOtFLWDGHELGRDTXHHQOD PD\RUtDGH
FDVRVVHSURSRQHHPSOHDUGDWRVJHQHUDGRVGHQWURGHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLO\TXHGHEHQVHUUHFD
EDGRVGXUDQWHODPLVPDDFWLYLGDGHVWRIDYRUHFHVXLQWHJUDFLyQDOSURFHVRHGXFDWLYR\VXYLQFXOD
FLyQDOWUDEDMRHQHTXLSR /DDFWLYLGDGHVWXGLDQWLO QRVyORHVWiRULHQWDGDKDFLD ODUHFROHFFLyQGH
ORV GDWRV FRQ ORV TXH VH WUDEDMD VLQR WDPELpQ D VX DQiOLVLV SDUD UHVSRQGHU SUHJXQWDV FRQFUHWDV
IDYRUHFLHQGRODFRQVWUXFFLyQGHDSUHQGL]DMHV3RUHOORVHHVSHUDDXPHQWDUODDXWRHVWLPD\JHQHUDU
DSUHFLR\GLVIUXWHKDFLDODGLVFLSOLQD
7DO FRPR VH KD YHQLGR SODQWHDQGR HQ OD JHQHUDFLyQ GH HVWDV KDELOLGDGHV LQWHUYLHQHQ GLIHUHQWHV
SURFHVRV3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVFRPRHVWUDWHJLDPHWRGROyJLFDTXHHQIUHQWDDQWHXQUHWR
TXHOHGHEHOOHYDUDODE~VTXHGDDODLGHQWLILFDFLyQ\UHFROHFFLyQGHGDWRVFXDQWLWDWLYRVRFXDOLWD
WLYRVRDODLQWHUSUHWDFLyQGHXQDVLWXDFLyQDOHDWRULDSDUWLFXODU(VWRVSUREOHPDVGHEHQ&RQHFWDU
FRQRWUDViUHDVGHOFXUUtFXORRFRQVXSURSLRFRQWH[WR(OSURFHVRGH5HSUHVHQWDUODLQIRUPDFLyQ
TXH SURSRUFLRQDQ ORV GDWRV SRU PHGLR GH FXDGURV JUiILFRV R PHGLGDV YD GLULJLGR D HQFRQWUDU
SDWURQHVTXHSHUPLWDQUD]RQDUVREUHODVSULQFLSDOHVLQWHUURJDQWHVTXHKDJHQHUDGRHOSUREOHPD\
&RPXQLFDUPHGLDQWHXQDDGHFXDGDDUJXPHQWDFLyQODVUHVSXHVWDVDGLFKDVLQWHUURJDQWHV
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
HU$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
,GHQWLILFDUGDWRVGHQWURGHO c6HSXHGHLQLFLDUHOWHPDSODQWHDQGRSUHJXQWDVFRPR
(O'DWR
D ¢&XiQWRVJUXSRVGHSULPHUDxRWLHQHODHVFXHOD"
FRQWH[WR HVWXGLDQWLO DXOD
E ¢&XiQWRFXHVWDXQWLSRSDUWLFXODUGHIUXWDXRWURVSUR
HVFXHODKRJDUFRPXQLGDG
x 8VR
HWF
GXFWRV"
F ¢(QTXpFDQWyQ\GLVWULWRVHHQFXHQWUDODHVFXHOD"
x 'DWRV
G ¢&XiOHVVRQORVPHGLRVGHWUDQVSRUWHXWLOL]DGRVSRUODV
FXDQWLWDWLYRV &ODVLILFDU GDWRV HQ FXDQWL
WDWLYRVRFXDOLWDWLYRV
\ORVHVWXGLDQWHV"
x 'DWRV
FXDOLWDWLYRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
/DYDULDELOL
GDGGHORV
GDWRV
&RQ OR DQWHULRU VH SUHWHQGH IDPLOLDUL]DU HQ HO XVR GH GDWRV
FXDQWLWDWLYRV \ FXDOLWDWLYRV TXH VH JHQHUDQ FRWLGLDQDPHQWH 6H
VXJLHUH HQIDWL]DU HQ OD LPSRUWDQFLD GH FRPSUHQGHU OD LQIRUPD
FLyQTXHSURSRUFLRQDQHVRVGDWRV
c6HSUHWHQGHLGHQWLILFDUGHTXpPDQHUDFDGDHVWXGLDQWHSHUFLEH
OD LQIRUPDFLyQ TXH OHVURGHD $ SDUWLU GH HVWDV SHUFHSFLRQHV VH
GHEHQSODQWHDULQWHUURJDQWHVSDUDPRWLYDUODLPSRUWDQFLDGHORV
GDWRV\HOPHQVDMHTXHFRPXQLFDQ
9DORUDU OD LPSRUWDQFLD GH c3DUDLGHQWLILFDUODYDULDELOLGDGGHORVGDWRVVHUHTXLHUHTXHOD
ODYDULDELOLGDGSDUDHODQi DFWLYLGDGHVWXGLDQWLOHVWpYLQFXODGDFRQORVGDWRVGHPDQHUDTXH
OLVLVGHGDWRV
LGHQWLILTXHODYDULDELOLGDGTXHVHSUHVHQWD\ORVHIHFWRVTXHHOOD
SURGXFHHQHOSURFHVRGHDQiOLVLVGHORVGDWRV
6XSRQJD TXH VH GHVHD FRQRFHU SDUD ORV PLHPEURV GHO
JUXSR
D ¢&XiQWRVKHUPDQRVWLHQHFDGDXQR"
E ¢&XiOHVODPDVFRWDSUHIHULGD"
F ¢&XiOHVHOFRORUGHOSDQWDOyQRHQDJXDTXHXWLOL]DQSD
UDDVLVWLUDODHVFXHOD"
c3DUDGHWHUPLQDUORVGDWRVTXHD\XGDQDUHVSRQGHUODVLQWHUUR
JDQWHV VH SXHGH SDVDU XQD OLVWD GH FODVH FRQ WUHV FROXPQDV
DGLFLRQDOHV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH DSRUWH OD LQIRUPDFLyQ
SHUVRQDOUHODFLRQDGDFRQODVUHVSXHVWDV
Nombre
No. de
hermanos
Mascota
preferida
Color de
Pantalón o
enagua
c &RQ OD LQIRUPDFLyQ UHFDEDGD VH SODQWHDQ ODV VLJXLHQWHV
LQWHUURJDQWHV
D ¢6HREWLHQHODPLVPDUHVSXHVWDHQWRGRVORVFDVRVSDUD
FDGDSUHJXQWD"
E ¢&XiOHV GH ORV GDWRV JHQHUDGRV VH SDUHFHQ PiV HQWUH
Vt"
F ¢(Q FXiO GH ORV JUXSRV GH GDWRV HV PiV IiFLO GDU UHV
SXHVWDDODSUHJXQWDRULJLQDO"
c(QHOSURFHVRGHFODXVXUDVHGHEHLQGLFDUTXHHVWDYDULDELOL
GDGTXHSUHVHQWDQODVUHVSXHVWDV\TXHJHQHUDQGDWRVGLIHUHQWHV
KDFH QHFHVDULR HVWDEOHFHU HVWUDWHJLDV SDUD FODVLILFDU \ UHVXPLU
HVWRV GDWRV SDUDWHQHU DVt XQD PHMRU FRPSUHQVLyQ GH HVD YDULD
FLyQGHDFXHUGRFRQODLQWHUURJDQWHTXHRULJLQyHOSUREOHPD
c 6H SUHWHQGH TXH SXHGDQ LGHQWLILFDU OD YDULDELOLGDG GH ORV
GDWRVFRPRDTXHOODFDUDFWHUtVWLFDTXHORVKDFHGLVWLQWRVXQRVGH
RWURV YLQFXODQGR HVWH FRQFHSWR FRQ VXV FUHHQFLDV VREUH HO
SULQFLSLRGHODVGLIHUHQFLDVHQWUHREMHWRVODVSODQWDVORVDQLPD
OHV\ODVSHUVRQDV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
5HFROHFWDU GDWRV PHGLDQWH
5HFROHFFLyQ
ODREVHUYDFLyQ\ODLQWHUUR
GHLQIRUPDFLyQ
JDFLyQ
x 2EVHUYDFLyQ
x ,QWHUURJD
FLyQ
3UHVHQWDFLyQ
GHLQIRUPDFLyQ
x )UHFXHQFLD
(QWRGR HO FLFOR ODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV UHTXLHUHQ VHU
PX\GLQiPLFDVSDUDIRUWDOHFHUHOSURFHVR&RPXQLFDU7DPELpQ
HV GHVHDEOH SURPRYHU OD JHQHUDFLyQ GH HVWUDWHJLDV SDUD OD
FODVLILFDFLyQ\FDUDFWHUL]DFLyQGHODLQIRUPDFLyQGHVSHUWDQGRHO
LQWHUpVSRUUHSUHVHQWDUORVGDWRV
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
6LWXDFLRQHV
x $OHDWRULDV
x 6HJXUDV
(Q HVWH SURFHVR FRQYLHQH LQLFLDU UHFROHFWDQGR GDWRV SRU
PHGLRGHODREVHUYDFLyQVLPSOHRODLQWHUURJDFLyQ3DUDHOORVH
SXHGHSODQWHDUVLWXDFLRQHVUHIHULGDVDODV\ORVHVWXGLDQWHV
D ¢&XiOHVHOFRORUSUHGRPLQDQWHGHORVEROVRVXWLOL]DGRV
SDUDOOHYDUVXVLPSOHPHQWRVHVFRODUHV"
E ¢&XiOHVHOQ~PHURGHOHWUDVTXHPiVVHUHSLWH"
F ¢&XiOHVVRQORVGHSRUWHVSUHIHULGRV"
c 3DUD FRQWDU FRQ LQIRUPDFLyQ TXH SHUPLWD UHVSRQGHU HVWDV
SUHJXQWDV SODQWHH TXH VH IRUPXOHQ HVWUDWHJLDV TXH SHUPLWDQ
UHFROHFWDUORVGDWRV
3DUD ODV SULPHUDV GRV LQWHUURJDQWHV GHEHQ KDFHU XVR GH OD
REVHUYDFLyQSDUDUHFDEDUORVGDWRVGHFDGD TXLpQPLHQWUDVTXH
HQODSUHJXQWDFGHEHQSUHJXQWDUFXiOHVVXGHSRUWHSUHIHULGR
c8QDYH]DJUXSDGRV\RUGHQDGRVORVGDWRVVHSLGHRIUHFHUODV
UHVSXHVWDV FRUUHVSRQGLHQWHV D ORV SUREOHPDV TXH RULJLQDURQ HO
HVWXGLRHPSOHDQGRDUJXPHQWRVTXHMXVWLILTXHQVXVUHVSXHVWDV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU GLIHUHQFLDV HQ
WUH VLWXDFLRQHV FX\R UHVXO
WDGRVHDDOHDWRULRGHDTXH
OODV FX\R UHVXOWDGR HV FR
QRFLGRRVHJXUR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
6HUHFRPLHQGDIRUPXODUVLWXDFLRQHVXRUJDQL]DUMXHJRVHQ
ORVFXDOHVVHSXHGDQHVWDEOHFHUGLIHUHQFLDVFODUDVHQWUHVLWXDFLR
QHVDOHDWRULDV\VHJXUDV3RUHMHPSOR
D 6ROLFLWDU TXH GRV HVWXGLDQWHV MXHJXHQ ³=DSDWLWR FRFKL
QLWRFDPELDGHSLHFLWR´YDULDVYHFHV\ VLHPSUHLQLFLDQ
GRFRQODPLVPDSHUVRQD
E 5HSHWLUODH[SHULHQFLDSHURDKRUDFRQHOMXHJR³3LHGUD
SDSHOWLMHUD´
3UHJXQWDU ¢FXiO GH ORV MXHJRV SUHVHQWD PiV YDULDFLyQ HQ HO
JDQDGRU"¢SRUTXpVHUiTXHVHSUHVHQWDHVWDYDULDFLyQ"¢DTXp
FRQFOXVLRQHVVHSXHGHOOHJDU"
6HHVSHUDTXHORJUHQLGHQWLILFDUTXHHQHOSULPHUFDVRVLHPSUHOD
SHUVRQD TXH JDQD HV OD PLVPD \ HQ HO VHJXQGR SUHVHQWD YDULD
FLRQHV
c6HSUHWHQGHGHWHUPLQDUODSUHVHQFLDGHVLWXDFLRQHVVHJXUDV\
DOHDWRULDV HQ OD FRWLGLDQLGDG HVWXGLDQWLO 6H SXHGHQ SODQWHDU
SUREOHPDV GH UHSURGXFFLyQ GHO FRQRFLPLHQWR DGTXLULGR SRU
HMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU GDWRV FXDQWLWD
(OGDWR
WLYRV\FXDOLWDWLYRVHQGLIH
UHQWHVFRQWH[WRV
x 8VR
,QWHUSUHWDULQIRUPDFLyQ
x 'DWRV
TXHKDVLGRUHVXPLGDHQ
FXDQWLWDWLYRV
GLEXMRVGLDJUDPDVFXD
GURV\JUiILFRV
x 'DWRV
FXDOLWDWLYRV
6HHOLJHXQDSHUVRQDFXDOTXLHUDGHODOLVWD\VHGHVHD
D 'HWHUPLQDUHOFRORUGHVXEROVRHVFRODU
E 'HWHUPLQDUHOFRORUGHVXFDPLVDREOXVD
¢&XiOGHODVVLWXDFLRQHVHVDOHDWRULD"+D\TXHWRPDUHQFXHQWD
TXHHOHMHPSORHVYiOLGRVLHOFRORUGHWRGDVODVFDPLVDVREOXVDV
HVHOPLVPR
c &RQYLHQH SODQWHDU PiV SUREOHPDV YLQFXODGRV FRQ HO WHPD
SDUD TXH ORJUHQ GLIHUHQFLDU HQWUH XQD VLWXDFLyQ VHJXUD \ XQD
DOHDWRULD
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c $GHPiV GH VLWXDFLRQHV YLQFXODGDV FRQ OD FRWLGLDQLGDG
FRQYLHQHSODQWHDUVLWXDFLRQHVTXHLQFRUSRUHQGDWRVUHODFLRQDGRV
FRQ ODLQIRUPDFLyQ TXHDSDUHFH HQ SHULyGLFRV UHYLVWDV R ,QWHU
QHW3RUHMHPSORFRPSDUDUHOSUHFLRGHDOJXQRVSURGXFWRVGHOD
IHULD GHO DJULFXOWRU HQ GRV ILQHV GH VHPDQD 6H UHFRPLHQGD
HQIDWL]DUHQHOPHQVDMHTXHORVGDWRVSURSRUFLRQDQSRUHMHPSOR
LGHQWLILFDU VL HO SUHFLR GH ODV SDSDV VXELy R EDMy GXUDQWH HVWD
VHPDQDDVtWDPELpQRWURVSURGXFWRV
c6HUHFRPLHQGDWDPELpQLQFOXLUHMHPSORVFRPRHOVLJXLHQWHHQ
HOFXDOVHSLGHTXHDQDOLFHQHOJUiILFR
Número de ausencias de estudiantes por día,
ocurridos la semana anterior
en cierto grupo de 2° Año
c6HSXHGHQSODQWHDUGLIHUHQWHVSUHJXQWDV3RUHMHPSOR¢FXiQ
WDVDXVHQFLDVVHSUHVHQWDURQODVHPDQDDQWHULRU"¢HQTXpGtDGH
ODVHPDQDVHDXVHQWDURQPiVHVWXGLDQWHV"HQWUHRWUDV6HxDODUOD
LPSRUWDQFLD GH XWLOL]DU HVWRV UHFXUVRV SDUD SUHVHQWDU LQIRUPD
FLyQTXHVXPLQLVWUDQORVGDWRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
/DYDULDELOL
GDGGHORV
GDWRV
(VLPSRUWDQWHHQIDWL]DUTXHORVFXDGURVJUiILFRVGLDJUD
PDVHQWUHRWURVVRQIRUPDVGHUHVXPLU\UHSUHVHQWDUORVGDWRV
6HUHTXLHUHUHDOL]DUXQDDGHFXDGDOHFWXUDGHODLQIRUPDFLyQTXH
FRPXQLFDQ
,GHQWLILFDU OD YDULDELOLGDG
6ROLFLWDU TXH PHGLDQWH XQ SURFHVR GH UHFROHFFLyQ \
GH ORV GDWRV FRPR FRP
SRQHQWH EiVLFR GHQWUR GH DQiOLVLV GH GDWRV VH EXVTXHQ UHVSXHVWDV SDUD ODV VLJXLHQWHV
ORV DQiOLVLV GH OD LQIRUPD LQWHUURJDQWHVYLQFXODGDVFRQHOJUXSR
FLyQ
D ¢&XiOHVVRQODVIUXWDVSUHIHULGDV"
E ¢&XiOHVVRQORVFRORUHVGH]DSDWRVTXHPiVVHXWLOL]DQ"
c &RQVXOWDUOHV VREUH OD IRUPD HQ TXH OD YDULDELOLGDG GH ODV
UHVSXHVWDVREWHQLGDVKDDIHFWDGRHODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQ
&RQVLGHUHODVLJXLHQWHLPDJHQ
D
¢4Xp FDUDFWHUtVWLFDV R HOHPHQWRV VRQ YDULDEOHV R GLIH
UHQWHVHQWUHHVWRVVHLVQLxRV"
¢4XpHOHPHQWRVWLHQHQHQFRP~Q"
E
$KRUDOHDHOVLJXLHQWHSiUUDIR
Aprender a ser respetuoso en la diversidad
/RV QLxRV GHEHQ DSUHQGHU DDPDUD VXV FRPSDxHURV
\ D ORV GHPiV LQGHSHQGLHQWHPHQWH GH VX FRORU GH
SLHO GH VXVUDVJRV GH FyPR HV VXSHOR VL HV FKLQR
iUDEH R LQGtJHQD VL KDEOD RWUR LGLRPD \ D UHVSHWDU
VXFXOWXUD\VXVWUDGLFLRQHV
/RVQLxRVGHEHQVDEHUTXHODGLYHUVLGDGQRVWUDHUL
TXH]DVGHLQIRUPDFLRQHV\GHH[SHULHQFLDV4XHSR
GHPRVDSUHQGHUPXFKRFRQODVGLIHUHQFLDV(QOXJDU
GHFULWLFDUODVGHEHPRVDSUHQGHUFRQHOODV\GDUOHVVX
YDORU
7RPDGRGH
KWWSZZZJXLDLQIDQWLOFRPHGXFDUHQYDORUHVUHVSHWRDOD
GLYHUVLGDGKWPO
¢4XpSXHGHFRQFOXLUGHHVWDOHFWXUD"
Programas de cada ciclo educativo
5HFROHFFLyQ
GHLQIRUPDFLyQ
x 2EVHUYDFLyQ
x ,QWHUURJD
FLyQ
5HSUHVHQWD
FLyQ
x 7DEXODU
FXDGURVGH
IUHFXHQFLD
0HGLGDV
GHUHVXPHQ
x 0RGD
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
(OSUREOHPDDQWHULRUPXHVWUDODLPSRUWDQFLDTXHWLHQHHO
FRPSUHQGHUODYDULDELOLGDGGHQWURGHOPXQGRDFWXDO/DGLYHUVL
GDGFXOWXUDOHVXQHMHPSORGHYDULDELOLGDGHQWUHSHUVRQDV(VGH
HVSHUDUTXHDQWHODSULPHUDSUHJXQWDVHLGHQWLILTXHQGLIHUHQFLDV
HQ HO FRORU GH OD SLHO HQ OD YHVWLPHQWD HO FRORU GHO FDEHOOR HO
WLSRGH]DSDWRVHQWUHPXFKDVRWUDV(QFXDQWRDODVVHPHMDQ]DV
KD\ GRV FODUDPHQWH PDUFDGDV WRGRV HVWiQ DOHJUHV \ WRGRV VRQ
QLxDVRQLxRV'HDOOtODLPSRUWDQFLDGHLQVLVWLUHQHOFRQWHQLGR
GHOWH[WR(VWHHVXQHMHPSORGHFyPRLQWURGXFLUHOWHPD9LYHQ
FLDGHORV'HUHFKRV+XPDQRVSDUDOD'HPRFUDFLD\OD3D]
5HFROHFWDU GDWRV PHGLDQWH c/RVSURFHVRVGHUHFROHFFLyQGHLQIRUPDFLyQFRQVWLWX\HQXQD
ODREVHUYDFLyQ\ODLQWHUUR GHODVSULQFLSDOHVHWDSDVGHORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVSRUHOORVH
JDFLyQ
GHEHQ JHQHUDU SUREOHPDV TXH SHUPLWDQ EXVFDU HVWUDWHJLDV SDUD
UHFDEDUORVGDWRV(OVLJXLHQWHSUREOHPDSXHGHSRQHUHQSUiFWLFD
$JUXSDU GDWRV SRU PHGLR ODLQWHUURJDFLyQ
GH OD IUHFXHQFLD GHUHSHWL FLRQHV
'HWHUPLQHORVGHSRUWHVSUHIHULGRVGHOJUXSR
5HVXPLU ORV GDWRV SRU PHGLR GH FXDGURV TXH LQ c(QHVWHFDVRGHEHQHVWDEOHFHUXQDHVWUDWHJLDSDUDODUHFROHF
FOX\DQIUHFXHQFLDVDEVROX FLyQTXHOHVYDDLPSOLFDUFRQVXOWDUDVXVFRPSDxHURV\DQRWDU
ODV UHVSXHVWDV (VWR LPSOLFD JHQHUDU XQD EDVH GH GDWRV GH OD
WDV
VLJXLHQWHIRUPD
8WLOL]DU OD PRGD GH XQ No.
Nombre de cada estudiante
Deporte preferido
JUXSR GH GDWRV SDUD UHVX
1
Abarca Lewis Manolín
Ciclismo
PLU H LQWHUSUHWDU LQIRUPD
FLyQ
2
Álvarez Moín Libertad
Baloncesto
8WLOL]DU ORV DQiOLVLV HV WDGtVWLFRV SDUD FRPXQLFDU c /RV GDWRV UHFDEDGRV GHEHQ VHU RUGHQDGRV \ FODVLILFDGRV
\ DUJXPHQWDU UHVSXHVWDV D WRPDQGRHQFRQVLGHUDFLyQODIUHFXHQFLDRQ~PHURGHUHSHWLFLR
LQWHUURJDQWHV TXH VXUJHQ QHVSDUDFDGDXQDGHODVUHVSXHVWDVXREVHUYDFLRQHVUHDOL]DGDV
GH ORV SUREOHPDV SODQ $TXtVHUHFRPLHQGDHOHPSOHRGHFXDGURVWDOFRPRVHPXHVWUD
WHDGRV
VHJXLGDPHQWH
Deporte preferido
Deporte
No. de estudiantes
Natación
3
Ciclismo
5
Total
6H SXHGH SUHJXQWDU ¢FXiO R FXiOHV VRQ ORV YDORUHV TXH PiV VH
UHSLWHQHQFDGDFDVR"$HVWHFRQFHSWRVHOHFRQRFHFRPRPRGD
c (O SURFHVR GHEH FRQFOXLU FRQ XQ DQiOLVLV GH OD LQIRUPDFLyQ
UHVXPLGDHQHOFXDGUR\HOVLJQLILFDGRGHODPRGDHQSURFXUDGH
RIUHFHUDUJXPHQWRVVyOLGRVTXHGHQUHVSXHVWDDFDGDXQDGHODV
LQWHUURJDQWHVGHOSUREOHPD
(VFRQYHQLHQWHFRPELQDUSUREOHPDVTXHLQFOX\DQGDWRVFXDQWL
WDWLYRVFRPRHOVLJXLHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
6LWXDFLRQHVR
H[SHULPHQWRV
x $OHDWRULDV
x 6HJXUDV
(YHQWRV
x 6HJXUR
x 3UREDEOH
x ,PSRVLEOH
x 0iVSURED
EOH\PHQRV
SUREDEOH
'HWHUPLQHVLHOQ~PHURGHOHWUDVGHOSULPHUQRPEUHGHOD
PD\RUtD GH HVWXGLDQWHV GHO JUXSR HVWi HQWUH FLQFR \ RFKR OD
PD\RUtDVLJQLILFDPiVGHODPLWDG
c 6H HVSHUD TXH UHDOLFHQ XQ DQiOLVLV SDUHFLGR DO HIHFWXDGR
SUHYLDPHQWH
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU GLIHUHQFLDV HQ
WUH VLWXDFLRQHV FX\R UHVXO
WDGR VHD LQFLHUWR GH DTXH
OODV FX\R UHVXOWDGR HV FR
QRFLGRRVHJXUR
'HVFULELU UHVXOWDGRV VHJX
URVSUREDEOHVRLPSRVLEOHV
VHJ~Q FRUUHVSRQGD D XQD
VLWXDFLyQSDUWLFXODU
,GHQWLILFDU UHVXOWDGRV R
HYHQWRV PiV SUREDEOHV R
PHQRV SUREDEOHV HQ VLWXD
FLRQHV DOHDWRULDV SHUWH
QHFLHQWHV D GLIHUHQWHV FRQ
WH[WRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c (V UHOHYDQWH LGHQWLILFDU ODV GLIHUHQFLDV HQWUH VLWXDFLRQHV
DOHDWRULDV\VLWXDFLRQHVVHJXUDVDGHPiVLQFRUSRUDUHMHPSORVGH
ODFRWLGLDQLGDG
'HWHUPLQHFXiOHVGHODVVLJXLHQWHVVLWXDFLRQHVVRQDOHDWR
ULDV\FXiOHVVRQVHJXUDV-XVWLILTXHVXUHVSXHVWD
D ORVUHVXOWDGRVGHOD/RWHUtD1DFLRQDORORV&KDQFHV
E HOFRVWRGHOSDVDMHGHOEXV
F ODFRQGLFLyQGHOOXYLDHOGtDGHOSUy[LPRFXPSOHDxRV
G ODKRUDDODTXHVXHQDHOWLPEUHSDUDVDOLUDUHFUHR
c6HHVSHUDTXHVHLGHQWLILTXHQODVDFWLYLGDGHVDOHDWRULDVFRPR
DTXHOODVFX\DUHVSXHVWDHVLQFLHUWD
c 6H SXHGHQ XWLOL]DU ORV FRQFHSWRV GH VLWXDFLyQ R H[SHULPHQWR
FRPRVLQyQLPRV
c 'HELGR D OD LPSRUWDQFLDTXH WLHQH HO FRQFHSWR GH SUREDELOL
GDG HV QHFHVDULR LQLFLDU HVWD HWDSD FRQ OD LGHQWLILFDFLyQ GH ODV
FUHHQFLDV3ULPHUDPHQWHVHUHFRPLHQGDLQLFLDUFRQHODQiOLVLVGH
ORV WpUPLQRV SUREDEOH LPSRVLEOH \ VHJXUR 6H SXHGH UHDOL]DU
XQDOOXYLDGHLGHDVSDUDJHQHUDOL]DUHOFRQRFLPLHQWRVREUHHVRV
WpUPLQRV
3DUD IDPLOLDUL]DU VREUH HO FRQFHSWR GH SUREDEOH VH SXHGH SODQ
WHDUODVLJXLHQWHVLWXDFLyQ
&RQVLGHUHODVLJXLHQWHIUDVH
&LHQWtILFRVKDQGHWHUPLQDGRTXHORVIXPDGRUHVWLHQHQPiV
SUREDELOLGDGGHHQIHUPDUVHTXHORVQRIXPDGRUHV
¢&XiO HV HO VLJQLILFDGR GH HVD IUDVH" ¢4Xp PHQVDMH VH SXHGH
H[WUDHU"
(Q HVWH WLSR GH VLWXDFLRQHV HV LPSRUWDQWH QR VRODPHQWH
HQIRFDUVH HQ GLVFXWLU HO WpUPLQR SUREDEOH VLQR WDPELpQ HO
PHQVDMHTXHSUR\HFWDHOSiUUDIRHQIXQFLyQGHOWHPD(GXFDFLyQ
SDUDOD6DOXG
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
c(QHOSURFHVRGHFODXVXUDGHODDFWLYLGDGVHGHEHJHQHUDOL]DU
OD LGHD GH TXH XQD VLWXDFLyQ HV PiV SUREDEOH TXH RWUD VL WLHQH
PiVSRVLELOLGDGGHRFXUULURVHDRFXUUHFRQPD\RUUHJXODULGDG
c/XHJRTXHVHKDORJUDGRXQDSXHVWDHQFRP~QHQHOJUXSRVH
SXHGHHMHPSOLILFDUVXXVRHQVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV3RUHMHPSOR
WUDEDMDQGR HQ VXEJUXSRV SHGLUOHV TXH H[SHULPHQWHQ ODQ]DQGR
YDULDVYHFHVXQGDGRQXPHUDGRGHDWDOFRPRVHLQGLFD
/DQ]DUYDULDVYHFHVHOGDGR\DQRWDUHOQ~PHURGHSXQWRV
TXHVHREWLHQHHQFDGDFDVR$OFRQVLGHUDUHOQ~PHURGHSXQWRV
REWHQLGRGHWHUPLQDU
D 8QHYHQWRVHJXUR
E 8QHYHQWRLPSRVLEOH
F 8QHYHQWRSUREDEOH
c 3DUD FRPSOHPHQWDU HO SURFHVR HV LPSRUWDQWH DSURYHFKDU HO
DSUHQGL]DMHDGTXLULGRSDUDLGHQWLILFDUVLWXDFLRQHVPiVSUREDEOHV
RPHQRVSUREDEOHVGHQWURGHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLO3RUHMHPSOR
SDUD XWLOL]DU HO FRQRFLPLHQWR TXH WLHQHQ VREUH pSRFD VHFD \
pSRFDOOXYLRVDVHSXHGHFRQVXOWDU
HU$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV
(OGDWR
x 8VR
x 'DWRV
FXDQWLWDWLYRV
x 'DWRV
FXDOLWDWLYRV
¢(Q TXpPHV HVPiV SUREDEOH TXHOOXHYD HO GtD GHO FXP
SOHDxRV GH XQD SHUVRQD HQ PDU]R R HQ RFWXEUH" -XVWLILTXH OD
UHVSXHVWD
c /D UHVSXHVWD YD D GHSHQGHU GH OD UHJLyQ GHO SDtV GRQGH VH
YLYD SHUR FRQ OD UHVSXHVWD FRUUHFWD VH SXHGH RULHQWDU VREUH OD
QRFLyQGHSUREDELOLGDG(VRSRUWXQRSODQWHDUHMHPSORVVLPLODUHV
SDUDTXHLGHQWLILTXHQHYHQWRVPiVSUREDEOHVRPHQRVSUREDEOHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
,GHQWLILFDU GDWRV FXDQWLWD c6HSXHGHDQDOL]DUHOVLJXLHQWHSiUUDIR
WLYRV \ FXDOLWDWLYRV HQ GL IHUHQWHVFRQWH[WRV
3DUDPXFKRVMyYHQHVHOHVWXGLDUQRUHSUHVHQWDPXFKR
HQVXYLGDVyORODFRQVLGHUDQFRPRXQDUXWLQDLUDOD
,QWHUSUHWDULQIRUPDFLyQ
HVFXHOD KDFHU H[iPHQHV PHWHUVH GH OOHQR D ORV OL
TXHKDVLGRUHVXPLGDHQ
EURV OLGLDU FRQ ODV PDWHULDV KDFHU WDUHDV \ GHPiV
+D\ TXLHQHV OOHJDQ DO PiV H[WUHPR \ VyOR FRQFLEHQ
WH[WRVGLEXMRVGLDJUDPDV
FXDGURV\JUiILFRV
DOHVWXGLRGHXQDPDQHUDPX\VLPSOHPHWHUVHHQOD
FDEH]DPXFKRVFRQFHSWRVTXHD\XGHQDREWHQHUEXH
QDVFDOLILFDFLRQHVSDVDUGHJUDGR\OLVWR
7RPDGRGH
ZZZYLYLUGLDULRFRP
D
E
¢&XiOHVHOPHQVDMHSULQFLSDOTXHVHSXHGHH[WUDHU"
¢'H TXp PDQHUD HO DSUHQGL]DMH GH ODV 0DWHPiWLFDV OH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
SXHGH D\XGDU D PHMRUDU VX FRQGLFLyQ GH HVWXGLDQWH \
SHUVRQD"
5HIOH[LRQHV GH HVWH WLSR IDYRUHFHQ OD LQWHUDFFLyQ HQWUH
HVWXGLDQWHV \ GRFHQWH DGHPiV PHMRUDQ OD DFWLWXG KDFLD OD
GLVFLSOLQD\DXPHQWDQODPRWLYDFLyQ
c6HJXLGDPHQWHFRQYLHQHHQIDWL]DUHQORVGDWRVTXHVHSXEOLFDQ
HQORVPHGLRVGHFRPXQLFDFLyQSRUHMHPSORHVWDGRGHOFOLPD\
WHPSHUDWXUD SRUUHJLyQLQIRUPDFLyQ VREUH GHSRUWHV SUHFLRV GH
SURGXFWRVSUHFLRVGHFRPSUD\YHQWDGHOGyODURHOHXURQ~PH
UR GH DFFLGHQWHV GH WUiQVLWR UHVXOWDGRV GH OD /RWHUtD 1DFLRQDO
UHVXOWDGRVGHHQFXHVWDVHQWUHRWURV
c6HSXHGHVROLFLWDUXQDQiOLVLVGHOVLJXLHQWHFDUWHO
c 'HELGR D TXH ORV FHQVRV GH SREODFLyQ \ YLYLHQGD VRQ XQD
IXHQWH LQYDOXDEOH GH LQIRUPDFLyQ HVWDGtVWLFD FRQYLHQH UHDOL]DU
XQD UHIOH[LyQ VREUH HO WHPD &DGD HVWXGLDQWH GHEH WHQHU OD
SUHSDUDFLyQSDUDDQDOL]DUHLQWHUSUHWDUODLQIRUPDFLyQSXEOLFDGD
PHGLDQWH GLEXMRV GLDJUDPDV FXDGURV R JUiILFRV TXH OH VHDQ
SURSRUFLRQDGRV
3ODQWHDU SUREOHPDV GHO c 6H GHEH RULHQWDU KDFLD OD IRUPXODFLyQ GH SUREOHPDV FX\D
5HFROHFFLyQ
FRQWH[WR HVWXGLDQWLO TXH VROXFLyQ UHTXLHUD GH UHFROHFFLyQ \ DQiOLVLV GH GDWRV 3URSRQHU
GHLQIRUPDFLyQ
SXHGDQ DERUGDUVH SRU PH DQDOL]DUFDGDXQRGHORVSUREOHPDVSODQWHDGRVHQIXQFLyQGHVX
GLRGHUHFROHFFLyQ\DQiOL IDFWLELOLGDG GH LPSOHPHQWDFLyQ \ ODV WpFQLFDV TXH GHEHQ VHU
x 2EVHUYDFLyQ
VLVGHGDWRV
HPSOHDGDVSDUDOOHYDUORVDODSUiFWLFD
x ,QWHUURJDFLyQ
5HSUHVHQWDFLyQ 5HVROYHU SUREOHPDV GHO c (V LPSRUWDQWH TXH DOJXQRV GH ORV SUREOHPDV SODQWHDGRV SRU
FRQWH[WR HVWXGLDQWLO XWL HOHVWXGLDQWDGRVHGHVDUUROOHQFRQODVDGHFXDFLRQHVGHOFDVRGH
OL]DQGR OD WpFQLFD GH LQWH PRGRTXHLGHQWLILTXHQTXHVXVLGHDVVHSXHGHQLPSOHPHQWDUHQ
x 7DEXODU
UURJDFLyQ SDUD OD UHFROHF ODSUiFWLFD
FXDGURVGH
FLyQGHGDWRV
IUHFXHQFLD
c1RREVWDQWHFRQYLHQHSODQWHDUSUREOHPDVTXHFRPSOHPHQWHQ
ODDFWLYLGDGSUHYLD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
x *UiILFD
EDUUDV
0HGLGDV
GHUHVXPHQ
x 0RGD
x 0i[LPR
x 0tQLPR
5HVXPLU ORV GDWRV SRU
PHGLR GH FXDGURV TXH LQ
FOX\DQ IUHFXHQFLDV DEVR
OXWDVRJUiILFRVGHEDUUDV
5HVXPLU H LQWHUSUHWDU LQ
IRUPDFLyQ XWLOL]DQGR OD
PRGDHOPi[LPR\HOPt
QLPR GH XQ JUXSR GH GD
WRV
8WLOL]DU ORV DQiOLVLV HV
WDGtVWLFRV SDUD FRPXQLFDU
HQ IRUPD YHUEDO \ HVFULWD
ORV DUJXPHQWRV TXH GDQ
UHVSXHVWDVDORVSUREOHPDV
FRQWH[WXDOHV
'HWHUPLQDU D TXLHQHV HQ HO JUXSR OHV DJUDGD FRQVXPLU
UHJXODUPHQWHIUXWDV'HILQLUHODJUDGRHQWUHVFDWHJRUtDVPXFKR
PHGLDQR\SRFR
6H KD DILUPDGR TXH OD PD\RUtD GH ORV KRJDUHV GHO SDtV
WLHQHPHQRVGHFLQFRSHUVRQDV&RPSUXHEHVLODPD\RUtDGHORV
KRJDUHV GH VXV FRPSDxHUDV \ FRPSDxHURV FXPSOHQ R QR FRQ
HVWDDILUPDFLyQ
c3DUDHODQiOLVLVGHODPRGDHOPi[LPR\HOPtQLPRGXUDQWHHO
SURFHVR GH FODXVXUD YLQFXODGR FRQ HO Q~PHUR GH SHUVRQDV SRU
KRJDUVHSXHGHQSODQWHDUODVVLJXLHQWHVSUHJXQWDV
D ¢&XiOHVHOQ~PHURGHKDELWDQWHVTXHPiVVHUHSLWHHQ
WUHORVKRJDUHV"
E ¢&XiOHVHOQ~PHURPHQRUGHKDELWDQWHVSRUKRJDU"
F ¢&XiOHVHOQ~PHURPD\RUGHKDELWDQWHVSRUKRJDU"
&RQ ODV UHVSXHVWDV TXH VH JHQHUHQ HV SRVLEOH HQWRQFHV GHILQLU
ORV FRQFHSWRV GH Pi[LPR \ PtQLPR DGHPiVSURIXQGL]DU HQ VX
LQWHUSUHWDFLyQDVtFRPRHQHOGHODPRGD
c0RWLYDUHOXVRGHUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVSDUWLFXODUPHQWH
HO JUiILFR GH EDUUDV /DV VLJXLHQWHV JUiILFDV SXHGHQ VHU XWLOL]D
GDVSDUDDQDOL]DUORVSUREOHPDVSODQWHDGRVDUULED
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
/RVGLEXMRVFRUUHVSRQGHQDXQDIRUPDGHH[SUHVLyQTXHHO
VHU KXPDQR XWLOL]y DQWHV GH FRPXQLFDUVH PHGLDQWH SDODEUDV
(VWDV LPiJHQHV ODV XWLOL]DED FRPR UHSUHVHQWDFLRQHV GH OR TXH
YHtD \ OH VHUYtDQ FRPR XQ PHGLR GH FRPXQLFDFLyQ )XH SRU
PHGLR GH GLEXMRV TXH VH LQLFLy HO SURFHVR GH DUWLFXODFLyQ GH
LPiJHQHVSDUDIRUPDUORVSULPHURVDOIDEHWRV$FRQWLQXDFLyQVH
SUHVHQWDQ DOJXQRV GH ORV GLEXMRV TXH VH KDQ HQFRQWUDGR HQ
FXHYDV SRU PHGLR GH ORV FXDOHV ODV DQWLJXDV FLYLOL]DFLRQHV
SURFXUDEDQ GHMDU XQ PHQVDMH VREUH VXV DFWLYLGDGHV \ OR TXH
REVHUYDEDQHQODQDWXUDOH]D
7RPDGRGH
KWWSZZZJRRJOHFRP
(VWH DQiOLVLV GHEH SHUPLWLU DSUHFLDU OD LPSRUWDQFLD TXH
WLHQHQODVGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV'HDOOtTXHVHYDORUHHOURO
TXH MXHJDQ ODV UHSUHVHQWDFLRQHV JUiILFDV GHQWUR GH ORV DQiOLVLV
GHGDWRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
6LWXDFLRQHVR
H[SHULPHQWRV
x 5HVXOWDGRV
VLPSOHVGH
XQH[SHUL
PHQWRDOHD
WRULR
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU WRGRV ORV SR
VLEOHVUHVXOWDGRVDOUHDOL]DU
H[SHULPHQWRVVLPSOHV
5HSUHVHQWDU ORV SRVLEOHV
UHVXOWDGRV SRU HQXPHUD
FLyQ R PHGLDQWH GLDJUD
PDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c5HSHWLUYDULDVYHFHVORVVLJXLHQWHVH[SHULPHQWRV
D /DQ]DUXQGDGR\GHWHUPLQDUHOQ~PHURGHSXQWRVTXHVH
SXHGHREWHQHU
6H SLGH TXH GHWHUPLQHQ ORV UHVXOWDGRV SRVLEOHV %XVFDU
IRUPDVGHUHSUHVHQWDUORVSRVLEOHVUHVXOWDGRV
R
E /DQ]DUXQDPRQHGDGRVYHFHV\GHWHUPLQDUORVUHVXOWDGRV
SRVLEOHV\HOQ~PHURGHHVFXGRVREWHQLGRV
(UHSUHVHQWDXQUHVXOWDGRGH(VFXGR\&XQUHVXOWDGRGH
&RURQD /RV UHVXOWDGRV VLPSOHV HVWiQ FRQVWLWXLGRV SRU
GRVOHWUDVHOSULPHURUHSUHVHQWDHOSULPHUUHVXOWDGR\OD
VHJXQGD OHWUD HO VHJXQGR UHVXOWDGR &RQ HOOR HO HVSDFLR
PXHVWUDOVHSXHGHUHSUHVHQWDUSRU
(((&&(&&
RSRU
(YHQWRV
x 6HJXUR
x 3UREDEOH
x ,PSRVLEOH
x 0iVSURED
EOHLJXDO
PHQWHSUR
EDEOH\PH
QRVSURED
EOH
'HVFULELU HYHQWRV VHJXURV
SUREDEOHV R LPSRVLEOHV VH
J~Q FRUUHVSRQGD D XQD VL
WXDFLyQSDUWLFXODU
,QWHUSUHWDU ORV FRQFHSWRV
GH HYHQWRV PiV SUREDEOHV
LJXDOPHQWH SUREDEOHV R
PHQRVSUREDEOHV
QDU
D
E
F
3DUD HO ODQ]DPLHQWR GH XQD PRQHGD GRV YHFHV GHWHUPL
8QHYHQWRVHJXUR\XQHYHQWRLPSRVLEOH
¢&XiO HYHQWR HV PiV SUREDEOH REWHQHU GRV HVFXGRV X
REWHQHU~QLFDPHQWHXQHVFXGR"
¢&XiOHYHQWRHVPiVSUREDEOHREWHQHUXQHVFXGRXRE
WHQHUXQDFRURQD"
(QIDWLFHHQODMXVWLILFDFLyQGHODVUHVSXHVWDV
c3ODQWHDUHOVLJXLHQWHSiUUDIRSDUDTXHVHDOHtGR\GLVFXWLGRHQ
VXEJUXSRV
&RVWDUULFHQVHVSLGHQDPELHQWHVOLEUHVGHKXPR
GHWDEDFR
,UHQH5RGUtJXH]SP'LDULR/D1DFLyQ
6DQ -RVp 5HGDFFLyQ 5HSUHVHQWDQWHV GH OD &DMD
&RVWDUULFHQVHGH6HJXUR6RFLDOHO0LQLVWHULRGH6D
OXG OD 8QLYHUVLGDG GH &RVWD 5LFD PpGLFRV H[ IX
PDGRUHV \ FLXGDGDQRV HQ JHQHUDO VH UH~QHQ HQ OD
3OD]DGHODV*DUDQWtDV6RFLDOHVSDUDDERJDUSRUXQD
OH\TXHSURKtEDHOIXPDGRHQVLWLRVS~EOLFRV
«
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
³(O FLJDUULOOR PDWDD XQD GH FDGDGRV SHUVRQDV TXH
IXPDQ\SXHGHSURGXFLUGDxRVPX\JUDYHVHQODVD
OXG GH TXLHQHV HVWiQ DOUHGHGRU GH ORV IXPDGRUHV
7HQHPRVGHUHFKRDYLYLUHQDPELHQWHVOLEUHVGHKX
PR \ TXH QR SHUMXGLTXHQ QXHVWUD VDOXG´ H[SOLFy
:LQJ &KLQJ &KDQ &KHQJ MHID GH QHXPRORJtD GHO
+RVSLWDO0p[LFR
8QDYH]TXHHQFDGDVXEJUXSRKD\DOHtGRHVWHDUWtFXORVROLFLWH
TXH H[WUDLJDQ LQIRUPDFLyQ UHOHYDQWH SRU HMHPSOR SODQWHH ODV
VLJXLHQWHVLQWHUURJDQWHV
D ¢&RQ TXp SURSyVLWR VHUHDOL]y HVWDUHXQLyQ HQOD 3OD]D
GHODV*DUDQWtDV6RFLDOHVHQ6DQ-RVp"
E ¢4Xp VLJQLILFD OD IUDVH ³(O FLJDUURPDWDD XQD GH FDGD
GRVSHUVRQDVTXHIXPDQ´"
F ¢3RUTXpHVLPSRUWDQWHTXHDXQTXHQRIXPHPRVQRHV
WHPRVFHUFDGHSHUVRQDVTXHHVWpQIXPDQGR"
3DUD ILQDOL]DU OD DFWLYLGDG VH UHFRPLHQGD UHDOL]DU XQ
GHEDWHHQIXQFLyQGHORVSUREOHPDVTXHDFDUUHDHOIXPDGRSDUD
OD VDOXG FRQ HVWR VH YLHQH D LPSOHPHQWDU HO WHPD WUDQVYHUVDO
(GXFDFLyQSDUDODVDOXG
c$OLJXDOTXHHQORVQLYHOHVSUHYLRVVHSUHWHQGHDSURYHFKDUHO
FRQRFLPLHQWR VREUH ORV HYHQWRV TXH VRQ SUREDEOHV SDUD TXH
H[LVWDSRVLELOLGDGTXHODVLWXDFLyQRFXUUD
Indicaciones metodológicas
Generales del ciclo
&DGDXQRGHORVWUHVDxRVGHOFLFORVHLQLFLDFRQODLGHQWLILFDFLyQGHLQIRUPDFLyQGHQWURGH
ODFRWLGLDQLGDG(QHOHU$xRVHHPSOHDQGDWRVPX\VLPSOHVYLQFXODGRVFRQHOHQWRUQRLQ
PHGLDWR \ D PHGLGD TXH DYDQ]D VH UHTXLHUH LQFRUSRUDU LQIRUPDFLyQ PiV FRPSOHMD PXFKD
GHHOODSURYHQLHQWHGHPHGLRVGHFRPXQLFDFLyQ\RWUDVIXHQWHVGHODVRFLHGDG6HGHEHSUR
SLFLDUHVSDFLRVGHDQiOLVLVQRVRODPHQWHHQUHODFLyQFRQODLGHQWLILFDFLyQGHOGDWRVLQRFRQ
HO PHQVDMH TXH SUR\HFWD 0HGLDQWH HVWH SURFHVR VH SURSLFLD OD FUtWLFD DQWH OD LQIRUPDFLyQ
TXHOHURGHD
3DUD HO ƒ \ HO HU $xR DGHPiV GH OD LQIRUPDFLyQ GRFXPHQWDO VH LQFOX\HQ GLDJUDPDV HV
TXHPDVFXDGURV\JUiILFRVFRQLQIRUPDFLyQTXHSXHGHVHULQWHUSUHWDGDGHQWURGHOFRQWH[WR
&RQHOORVHSUHWHQGHTXHODV\ORVHVWXGLDQWHVSXHGDQLQLFLDUVHHQODOHFWXUDGHLQIRUPDFLyQ
UHVXPLGDPHGLDQWHHVWDVKHUUDPLHQWDVDVtFRPRHQLGHQWLILFDUODQHFHVLGDGGH UHVXPLUGD
WRV
Programas de cada ciclo educativo
'HVSXpVGHHVWDHWDSDVHUHDOL]DXQWUDEDMRPiVLQWHUDFWLYR6HSURSRQHHOGHVDUUROORGHODV
KDELOLGDGHVSRUPHGLRGHXQDSDUWLFLSDFLyQ HVWXGLDQWLO HQ ODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVVLP
SOHVSUHYLDPHQWHGLVHxDGRV$VtVHJHQHUDQLQWHUURJDQWHVTXHSHUPLWHQTXHFDGDHVWXGLDQWH
VHRFXSHGHODE~VTXHGDGHODVUHVSXHVWDVSDUDORFXDOUHTXLHUHGHODUHFROHFFLyQ\DQiOLVLV
GHGDWRVYLQFXODGRVFRQHQWRUQRVFHUFDQRV1RREVWDQWHVLODVFLUFXQVWDQFLDVORDPHULWDQVH
SXHGHQ VLPXODU SUREOHPDV FRQ HO SURSyVLWR GH ORJUDU XQ PD\RU SRWHQFLDO SDUD JHQHUDU ODV
KDELOLGDGHVSURSXHVWDV(QHVWDHWDSDHOpQIDVLVVHFHQWUDHQGHVWDFDUFyPROD YDULDELOLGDG
TXHSUHVHQWDQORVGDWRVREOLJDDUHFROHFWDU\DQDOL]DUJUDQFDQWLGDGGHHOORVSDUDFRPSUHQ
GHUVXFRPSRUWDPLHQWR\UHVSRQGHUSUHJXQWDVFRQFUHWDV
(QUHODFLyQFRQHOPDQHMRGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV\ODSUREDELOLGDGGHUHVXOWDGRVRHYHQ
WRVSDUDHVWHFLFOR~QLFDPHQWHVHGHVHDJHQHUDUQRFLRQHVLQWXLWLYDV(VFRQYHQLHQWHTXHODV
LQWHUURJDQWHVVHDQPX\SXQWXDOHV\VHHQIRTXHQGLUHFWDPHQWHKDFLDODVKDELOLGDGHVHVSHFt
ILFDVHQFDGDDxR7RGDYtDQRVHFXDQWLILFDQQXPpULFDPHQWHODVSUREDELOLGDGHV~QLFDPHQWH
VHKDEODGHHYHQWRVPiVRPHQRVSUREDEOHVHQUHODFLyQFRQHVWDVLGHDVLQWXLWLYDV
(Q WRGR PRPHQWR VH SUHWHQGH TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH OD (VWDGtVWLFD SDUD PRGHODU UH
SUHVHQWDUHLQWHUSUHWDUODUHDOLGDG
(OFRQFHSWRGHGDWRFRPRXQLGDGSULPDULDSDUDHODQiOLVLVGHEHTXHGDUPX\FODUR6HDFXD
OLWDWLYRRFXDQWLWDWLYRVHYDORUDHOUROTXHMXHJDGHQWURGHOSURFHVR1RREVWDQWHHOGDWRFR
UUHVSRQGHDXQDWULEXWRRFDUDFWHUtVWLFDGHXQHQWH\SRUHVRQRWLHQHVHQWLGRHQVtPLVPR
(QHO PRPHQWRGHVGHXQSXQWRGHYLVWDHVWDGtVWLFRVHDJUXSDQ \VHSURFHVDQGDWRVGHOD
PLVPDQDWXUDOH]DVHJHQHUDYDOLRVDLQIRUPDFLyQSDUDODFRPSUHQVLyQGHXQIHQyPHQRRSD
UDODWRPDGHGHFLVLRQHV
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
/D YDULDELOLGDG VH FRQFLEH FRPR IXHQWH SULQFLSDO GH ORV DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV $XQTXH HO
GDWRUHVXOWDGHYLWDOLPSRUWDQFLDGHEHTXHGDUFODURTXHSDUDSRVLELOLWDUDQiOLVLVHVWDGtVWLFRV
XQGDWRDLVODGRQRHVXQDIXHQWHGHDQiOLVLVVLQRODYDULDELOLGDGTXHSUHVHQWHQ ORVYDORUHV
GHXQGDWRDRWUR(VQHFHVDULRDFODUDUTXHVLWRGRVORVGDWRVIXHUDQLJXDOHVRVHDVLQRH[LV
WLHUDYDULDELOLGDGHQODVUHVSXHVWDVXREVHUYDFLRQHVUHDOL]DGDVORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVFDUH
FHUtDQGH LPSRUWDQFLD(QODV LQGLFDFLRQHVVHRIUHFHQDOJXQRVHMHPSORVTXHSRQHQHQHYL
GHQFLDODUHOHYDQFLDGHODYDULDELOLGDG
$XQTXHVHHVWDEOHFHQKDELOLGDGHVSDUDLQLFLDUHQODFRQVWUXFFLyQGHFXDGURV\JUiILFRV\HQ
ODGHWHUPLQDFLyQGHDOJXQDVPHGLGDVGHUHVXPHQVHSXQWXDOL]DTXHVHWUDWD~QLFDPHQWHGH
KHUUDPLHQWDV/RIXQGDPHQWDOGHQWURGHOD(VWDGtVWLFDUDGLFDHQHOPHQVDMHJHQHUDO\HVSH
FtILFRTXHVHGHVHDVXPLQLVWUDUFRQFDGDUHSUHVHQWDFLyQ(VWRVHOHPHQWRVSXHGHQYHUVHFR
PRXQYHKtFXORSDUDSURSRUFLRQDUHVHPHQVDMH\RIUHFHUXQDUHVSXHVWDFRQFUHWDDOSUREOHPD
RULJLQDO
(VYDOLRVRSUHVWDUHVSHFLDODWHQFLyQDODLQIRUPDFLyQTXHVXPLQLVWUDFDGDWpFQLFDXWLOL]DGD\
ODIRUPDHQTXHVHLQWHUSUHWD$PDQHUDGHHMHPSORHVFRP~QTXHDOLQWHUSUHWDUODPRGDVH
GLJDTXHOD PD\RUtDGH ODVREVHUYDFLRQHVWRPDHVWHYDORUORFXDOHQ PXFKRVFDVRVHVXQD
DILUPDFLyQIDOVD/DPRGDHVHOYDORUTXHPiVVHUHSLWHRTXHWLHQHPD\RUIUHFXHQFLDGHQWUR
GHXQJUXSRGHGDWRV0D\RUtDVHUHILHUHDPiVGHODPLWDGGHORVGDWRVHYLGHQWHPHQWHVRQ
FRQFHSWRVGLIHUHQWHV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
3DUDIDFLOLWDUODLQWHUSUHWDFLyQWDQWRORVFXDGURVFRPRORVJUiILFRVGHEHQOOHYDUXQWtWXOROR
VXILFLHQWHPHQWHFRPSUHQVLEOH \TXHSHUPLWD KDFHUXQD OHFWXUDVLQ QHFHVLGDGGH EXVFDU LQ
IRUPDFLyQDGLFLRQDO
(QHVWH3ULPHUFLFORHVLPSRUWDQWHTXHVHFRQFLEDQODVVLWXDFLRQHVH[SHULPHQWRVRMXHJRV
DOHDWRULRVFRPRDTXHOORVHQORVTXHQRVHSXHGHSUHGHFLUGHDQWHPDQRVXUHVXOWDGRDGLIH
UHQFLDGHODVVLWXDFLRQHVVHJXUDV$GHPiVGHMXHJRVFRQPRQHGDVGDGRVUXOHWDV\RWURVVH
SXHGHQ LQFOXLU VLWXDFLRQHV FRWLGLDQDV TXH HVWpQ YLQFXODGDV D OD LQFHUWLGXPEUH OR TXH YD D
IDYRUHFHUXQPD\RUDFHUFDPLHQWRFRQHVWDVH[SHULHQFLDV\VXVGHFLVLRQHV7DPELpQHVRSRU
WXQR URPSHU DOJXQDV LGHDV HTXLYRFDGDV VREUH HVWRV FRQFHSWRV SRU HMHPSOR OD FUHHQFLD
HUUyQHDGHTXHMXHJRVGHOWLSR³]DSDWLWRFRFKLQLWR´R³GHWLQPDUtQGHGRSLQJp´VRQDOHD
WRULRVFXDQGRUHDOPHQWHVHSXHGHGHWHUPLQDUTXLpQYDDVHUHOJDQDGRUVLPSOHPHQWHGHWHU
PLQDQGRXQDVHFXHQFLD$OFRQWUDULRDOMXJDU³SLHGUDSDSHOWLMHUD´QRVHWLHQHFODULGDGVR
EUHTXLpQYDDJDQDUSDUDVDEHUORKD\TXHMXJDU
(V IXQGDPHQWDO HVWDEOHFHU YtQFXORV HQWUH ORV FRQFHSWRV HVWDGtVWLFRV \ ORV SUREDELOtVWLFRV
SRUHMHPSORODYDULDELOLGDGGHORVGDWRVSXHGHFRQHFWDUVHFRQORVFRQFHSWRVGHHYHQWRVVH
JXURV\HYHQWRVDOHDWRULRV/RVVLJXLHQWHVSUREOHPDVPXHVWUDQHVWHYtQFXOR
D 'LH]SHUVRQDVOOHJDQDOVXSHUPHUFDGRDFRPSUDUXQNLORGHDUUR]FX\RSUHFLRHVGH
₡ SRUNLOR¢&XiQWRGLQHURSDJDURQHQWRWDO"
E 'LH]SHUVRQDVOOHJDQDOVXSHUPHUFDGRDFRPSUDUDUUR]FX\RSUHFLRHVGH₡ SRU
NLOR¢&XiQWRGLQHURSDJDURQHQWRWDO"
(QHOSULPHUSUREOHPDQRKD\YDULDELOLGDGSXHVODVGLH]SHUVRQDVFRPSUDURQXQNLORSRUOR
TXHFDGDXQRJDVWy₡ HQWRQFHVHQWRWDOJDVWDURQ₡ u ₡ 2EVHUYHTXH
DOSRGHUVHGHWHUPLQDU ODUHVSXHVWDFRQOD LQIRUPDFLyQSURSRUFLRQDGDVHFRQYLHUWHHQ XQDVL
WXDFLyQVHJXUD
(QHOVHJXQGRSUREOHPDQRHVSRVLEOHGHWHUPLQDUHOUHVXOWDGRSXHVQRVHVDEHFXiQWRVNLORV
GHDUUR]FRPSUDFDGDXQRGHHVWHPRGRHOJDVWRTXHUHDOL]DFDGDFOLHQWHHVYDULDEOH\GHVFR
QRFLGR3RUHOORODVLWXDFLyQSODQWHDGDHVDOHDWRULDGHELGRDTXHOD~QLFDIRUPDGHUHVSRQGHU
DOSUREOHPDVHUtDREVHUYDQGRFXiQWRVNLORVGHDUUR]FRPSUyFDGDXQDGHODVGLH]SHUVRQDV
(QHOSURFHVRGHFODXVXUDRFLHUUHGHFDGDDFWLYLGDGSODQWHDGDVHGHEHQUHVXPLUORVKDOOD]
JRVHQFXDQWRDODVHVWUDWHJLDVXWLOL]DGDVFRUUHJLUSRVLEOHVHUURUHVTXHVHKD\DQFRPHWLGR\
YHULILFDU TXH HO FRQFHSWR KD\D VLGR FRPSUHQGLGR DGHFXDGDPHQWH 3RU HMHPSOR FRQFHSWRV
FRPRIUHFXHQFLD QR SHUWHQHFHQ DO OHQJXDMH FRP~Q GHO HVWXGLDQWDGR SRU OR TXH GXUDQWH HO
GHVDUUROORGHODVOHFFLRQHVVHHPSOHDQ~PHURGHUHSHWLFLRQHV6LPLODUPHQWHHOFRQFHSWRGH
HYHQWR QR VXUJH HVSRQWiQHDPHQWH VLQR TXH VH HPSOHD UHVXOWDGR X DOJ~Q VLQyQLPR &RQ HO
SURSyVLWRGHDPSOLDUHOOHQJXDMHKDFLDXQDPD\RUHVSHFLDOL]DFLyQHVQHFHVDULRTXHGXUDQWH
ODFODXVXUDORVFRQFHSWRVGHIUHFXHQFLD\HYHQWRYD\DQVLHQGRLQWURGXFLGRVOHQWDPHQWHGH
PRGR TXH VH SXHGD UHFRQRFHU OD LQIRUPDFLyQ TXH FRPXQLFDQ $O LJXDO TXH HOORV VXUJHQ
PXFKRVRWURVFRPRPRGDPi[LPRPtQLPRHWF
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
Primer año
3DUD GHWHUPLQDU GLIHUHQFLDV HQWUH GDWRV FXDQWLWDWLYRV \ FXDOLWDWLYRV VH UHTXLHUH LGHQWLILFDU
TXHDOJXQRVGHORVGDWRVTXHVHJHQHUDQDOSODQWHDULQWHUURJDQWHVDVXVFRPSDxHURV \FRP
SDxHUDVSURGXFHQQ~PHURV\RWURVSURGXFHQYDORUHVQRQXPpULFRV/RVWpUPLQRVQXPpULFR
\QRQXPpULFRVHSXHGHQXWLOL]DUFRPRVLQyQLPRVGHFXDQWLWDWLYR\FXDOLWDWLYRUHVSHFWLYD
PHQWH3DUDSURSLFLDUXQPHMRUDSUHQGL]DMHGHHVWRVFRQFHSWRVVHUHFRPLHQGDTXHPHGLDQWH
HOWUDEDMRHQJUXSRVVHSODQWHHQHMHPSORVGHGDWRV\ORVFODVLILTXHQHQFXDQWLWDWLYRVRFXD
OLWDWLYRV VHJ~Q FRUUHVSRQGD $GHPiV GHEHQ LQGLFDU GHVGH VX SURSLD H[SHULHQFLD SRU TXp
FUHHQTXHHVLPSRUWDQWHDQDOL]DUFDGDXQRGHHVRVGDWRV
6HUHTXLHUHHYLGHQFLDUTXHODYDULDELOLGDGGHODVUHVSXHVWDVJHQHUDGDVSURYRFDTXHQRH[LVWD
XQD~QLFDUHVSXHVWDDODVSUHJXQWDVSODQWHDGDVVREUHHO Q~PHURGHKHUPDQRVROD PDVFRWD
SUHIHULGDSXHVQRKD\VRODPHQWHXQGDWRSDUDUHVSRQGHUGHELGRDTXHHOQ~PHURGHKLMRV
GHXQDIDPLOLDHVPX\YDULDEOH\WDPELpQORHVODSUHIHUHQFLDSRUXQWLSRSDUWLFXODUGHPDV
FRWD3HURHVWDVLWXDFLyQQRVHSUHVHQWDFRQODGHWHUPLQDFLyQGHOFRORUGHOSDQWDOyQRHQD
JXDTXHXWLOL]DQHQODHVFXHODSXHVWRGRVOOHYDQXQLIRUPH 1XHYDPHQWHVHGHEHLQVLVWLUHQ
HYLGHQFLDUTXHODSUHVHQFLDGHYDULDELOLGDGHQORVGDWRVSURYRFDODQHFHVLGDGGHHPSOHDUDO
JXQDVHVWUDWHJLDVSDUDUHVXPLU\FODVLILFDUODLQIRUPDFLyQ(VWDVLWXDFLyQQRRFXUUHFXDQGR
WRGRVORVGDWRVVRQLJXDOHVSXHVH[LVWHXQD~QLFDUHVSXHVWD
(QODVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVVHLQFOX\HQSUHJXQWDVPX\VLPSOHVSDUDHODQiOLVLVGHODYD
ULDELOLGDG GH ORV GDWRV QR REVWDQWH OD GLVFXVLyQ TXH VH SXHGD JHQHUDU DOUHGHGRU GH HOODV
SHUPLWHYDORUDUODLPSRUWDQFLDGHOFRQFHSWRHQIXQFLyQGHORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRV
'HQWURGHODVHVWUDWHJLDVTXHFRQYLHQHXWLOL]DUHQHVWHDxRSDUD UHVXPLUXQJUXSRGHGDWRV
HVWi OD GHWHUPLQDFLyQ GHO Q~PHUR GH UHSHWLFLRQHV GH FDGD GDWR IUHFXHQFLD GH FDGD GDWR
SHURWDPELpQVHSXHGHQLGHQWLILFDURWUDVFDUDFWHUtVWLFDVFRPRORVYDORUHVTXHPiVVHUHSLWHQ
\ORVTXHPHQRVVHUHSLWHQHQWUHRWUDVSRVLELOLGDGHV(VUHFRPHQGDEOHPDQWHQHUHORUGHQGH
ORVGDWRVSDUDORVFDVRVGHLQIRUPDFLyQFXDQWLWDWLYD
Segundo año
$XQTXHWRGDYtDQRVHKDDERUGDGRODHODERUDFLyQGHJUiILFDVHVFRQYHQLHQWHTXHFDGDHV
WXGLDQWHSXHGDUHDOL]DUXQDOHFWXUDVLPSOHGHODLQIRUPDFLyQTXHSURSRUFLRQDQHVWDVUHSUH
VHQWDFLRQHV6HGHEHWRPDUHQFXHQWDLQIRUPDFLyQFRPXQLFDGDSRUPHGLRGHRWUDVWpFQLFDV
YLVXDOHVFRPRGLEXMRVGLDJUDPDVFXDGURV \JUiILFRVVHQFLOORVTXH KD\DQVLGRSXEOLFDGRV
HQ OLEURVSHULyGLFRV,QWHUQHWXRWURVRTXHVHHODERUHQH[FOXVLYDPHQWHSDUDD\XGDUD LQ
WHUSUHWDU OD LQIRUPDFLyQ TXH VXPLQLVWUDQ 6H SUHWHQGH JHQHUDU OD FDSDFLGDG GH H[WUDHU LQ
IRUPDFLyQDXQTXHQRVHDHVWDGtVWLFDGHHVDVUHSUHVHQWDFLRQHV
$OLJXDOTXHVHUHDOL]yHQHOHU$xRVHGHEHHYLGHQFLDUODUHOHYDQFLDTXHWLHQHHOFRQFHSWR
GH YDULDELOLGDG GHQWUR GH ORV DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV 6H HVSHUD IDYRUHFHU OD FRPSUHQVLyQ GH
TXHHQWUHPiVYDULDEOHVVHDQORVGDWRVFRQTXHVHWUDEDMDPiVFRPSOHMRVHYXHOYHHODQiOLVLV
HVWDGtVWLFRSRUORTXHODXWLOL]DFLyQGHFXDGURVIDFLOLWDODFRPSUHQVLyQGHODLQIRUPDFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
(QHVWHDxRVHUHTXLHUHRULHQWDUKDFLDODVLVWHPDWL]DFLyQGHODLQIRUPDFLyQTXHVHUHFROHFWD
HQFXDGURVRWDEODVGRQGHVHOLVWDQWRGRVORVLQGLYLGXRVTXHSDUWLFLSDURQHQHOHVWXGLR&RQ
HOORVHSUHWHQGHLQLFLDUDOHVWXGLDQWDGRHQODHODERUDFLyQGHEDVHVGHGDWRV(OHMHPSORTXH
VHLQFOX\HHVPX\VLPSOH
No.
1
2
.
:
Nombre de cada estudiante
Abarca Lewis Manolín
Álvarez Moín Libertad
Deporte preferido
Ciclismo
Baloncesto
SHURHYLGHQFLDXQDIRUPDHOHPHQWDOGHFRQVWUXLUEDVHVGHGDWRVGHPRGRTXHSHUPLWDSRVWH
ULRUPHQWHUHVXPLUODLQIRUPDFLyQHQIRUPDVHQFLOOD
(QHVWHDxRVHLQWURGXFHODPRGD(VWHFRQFHSWRIRUPDSDUWHGHOOHQJXDMHFRP~QGHODVSHU
VRQDVFRQODIUDVH³HVRHVWiGHPRGD´ODFXDOVHXWLOL]DSDUDLQGLFDUTXHHOREMHWRHQFXHV
WLyQVHHVWiXWLOL]DQGRPXFKR(OFRQFHSWRHVWDGtVWLFRGHPRGDQRHVPX\GLIHUHQWHSXHVOD
PRGDHVHOGDWRRFRQMXQWRGHGDWRVPiVFRP~QSXHVHVHOTXHWLHQHPD\RUIUHFXHQFLD(V
LPSRUWDQWH TXH VH LGHQWLILTXH TXH OD PRGD VH XWLOL]D WDQWR SDUD GDWRV FXDQWLWDWLYRV FRPR
FXDOLWDWLYRV\WDPELpQTXHSXHGHH[LVWLUPiVGHXQDPRGDSDUDXQJUXSRGHGDWRV
$OLJXDOTXHHOFRQFHSWRGHPRGDSDUDLQLFLDUDOHVWXGLDQWDGRHQHOFDPSRGHODVSUREDELOL
GDGHV VH XWLOL]y HO FRQRFLPLHQWR R FUHHQFLDV VREUH ODV VLWXDFLRQHV SRVLEOHV H LPSRVLEOHV
$XQTXHKD\GLIHUHQFLDVHQWUHORSUREDEOH\ORSRVLEOHODHVWUDWHJLDSHUPLWHTXH FDGDHVWX
GLDQWH SDXODWLQDPHQWH YD\D FRPSUHQGLHQGR HO VLJQLILFDGR GH OR SUREDEOH HQ VX UHODFLyQ
FRQODUHDOLGDG'HOPLVPRPRGRWDPELpQVHDQDOL]DQORVFRQFHSWRVGHVLWXDFLyQLPSRVLEOH
\VLWXDFLyQVHJXUD(VGHHVSHUDUTXHDOIRUPDUSDUWHGHOOHQJXDMHGHODVQLxDV\QLxRVSDUD
HVRVWpUPLQRVQRVHDQHFHVDULRXQDQiOLVLVPX\SURIXQGRVLQHPEDUJRHVQHFHVDULRYHULIL
FDUTXHODVLGHDVTXHVHWLHQHQVREUHHVRVSULQFLSLRVHVWpQHQDUPRQtDFRQORVUHTXHULPLHQ
WRVGHODGLVFLSOLQD
Tercer año
$GLIHUHQFLDGH ORV DxRVDQWHULRUHVHQHVWHDxRVHSODQWHD OD KDELOLGDGGH IRUPXODFLyQGH
SUREOHPDV6HHVSHUDTXHVHGHVDUUROOHODFDSDFLGDGGHSODQWHDUSUREOHPDVVLPSOHVTXHUH
TXLHUDQGHUHFROHFFLyQ\DQiOLVLVGHGDWRV3HURDGHPiV ODGHDQDOL]DUODYLDELOLGDGGHLP
SOHPHQWDU HO SUREOHPD GH OD VLJXLHQWH IRUPD HVWDEOHFHU ODV SULQFLSDOHV LQWHUURJDQWHV TXH
GHEHQUHVSRQGHU \GHILQLUXQDHVWUDWHJLDGHUHFROHFFLyQ \UHVXPHQGHGDWRVTXHVHDGHF~H
FRQODVQHFHVLGDGHVGHOSUREOHPDSDUDILQDOPHQWHORJUDUXQDVROXFLyQVDWLVIDFWRULD
(QODVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVVHVXJLHUHHOGHVDUUROORGHGRVVLWXDFLRQHVTXHLQYROXFUDQXQD
FDUDFWHUtVWLFD FXDOLWDWLYD DJUDGR SRU HO FRQVXPR GH IUXWDV TXH FRQWLHQH WUHV FDWHJRUtDV
PXFKRUHJXODURSRFR\XQDFDUDFWHUtVWLFDFXDQWLWDWLYDQ~PHURGHPLHPEURVSRUKRJDU/D
HVWUDWHJLD GH UHFROHFFLyQ GH LQIRUPDFLyQ HV OD LQWHUURJDFLyQ SRU OR TXH VH SXHGH VXJHULU
TXHVHUHFROHFWHODLQIRUPDFLyQUHDOL]DQGRODVGRVFRQVXOWDVDOPLVPRWLHPSR(VWRSHUPLWH
DPSOLDUHOFRQRFLPLHQWRVREUHODHODERUDFLyQGHXQDEDVHGHGDWRV
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
No.
1
2
.
:
Nombre de cada estudiante
Abarca Lewis Manolín
Álvarez Moín Libertad
Agrado por las frutas
Mucho
Poco
No. de miembros en el hogar
4
6
&RQ HVWD LQIRUPDFLyQ VH SXHGH SURFHGHU D OD RUJDQL]DFLyQ GH OD PLVPD \ VX UHVXPHQ SRU
PHGLRGHFXDGURVGHIUHFXHQFLDDEVROXWDRLQFOXVRJUiILFRV3RUHMHPSORHQUHODFLyQFRQHO
Q~PHURGHPLHPEURVGHOKRJDUODLQIRUPDFLyQVHSRGUtDUHVXPLUHQXQFXDGURVLPLODUDOVL
JXLHQWH
Número de personas por hogar para las y
los estudiantes de la sección ____
Número de
personas
2
3
4
5
6
7
10
Total
Número de
estudiantes
1
3
9
6
2
1
1
23
(O SUREOHPD SODQWHDED TXH VH GHWHUPLQDUD VL OD PD\RUtD GH ORV KRJDUHV HVWXGLDQWLOHV WHQtD
PHQRVGHFLQFRSHUVRQDV'HDFXHUGRDOFXDGURHQGHKRJDUHVKDELWDQPHQRVGHFLQ
FRSHUVRQDV&RQGLFKDLQIRUPDFLyQVHSRGUtDDUJXPHQWDUTXHHIHFWLYDPHQWHHQODPD\RUtD
GHORVKRJDUHVKD\PHQRVGHFLQFRKDELWDQWHV
(OJUiILFRGHEDUUDVWDPELpQHVXQLQVWUXPHQWRYLVXDOPX\LPSRUWDQWHSDUDUHVXPLUORVGD
WRVSRUHOORVHGHEHHVWLPXODUVXXVR\ODLQWHUSUHWDFLyQGHODLQIRUPDFLyQTXHSURSRUFLRQD
1RREVWDQWHGHELGRDTXHHVWHWLSRGHUHSUHVHQWDFLRQHVHVQRYHGRVRORLGHDOHVUHFXUULUD
VXHODERUDFLyQPHGLDQWHEORTXHVVHJ~QODIUHFXHQFLDGHFDGDFDWHJRUtDWDOFRPRVHPXHV
WUD
&XDOTXLHUDGHODVGRVUHSUHVHQWDFLRQHVDQWHULRUHVSHUPLWHUHVXPLUORVGDWRVUHFROHFWDGRV6H
SXHGHXWLOL]DUODPRGDGHOJUXSRGHGDWRVSDUDFRPSOHPHQWDUHODQiOLVLV'HODVJUiILFDVDQWH
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
ULRUHVVHGHGXFHTXHFRPRHOYDORUGHPRGDHV³PXFKR´VLJQLILFDTXHORPiVFRP~QHVTXH
HQHOJUXSRWHQJDQPXFKRDJUDGRSRUHOFRQVXPRGHIUXWDV
3DUDDOJXQDVGHHVWDVKHUUDPLHQWDVKD\LQGLFDFLRQHVTXHQRVRQUHJODVVLQRTXHVHXWLOL]DQ
SDUDIDYRUHFHUXQDPHMRUSUHVHQWDFLyQ3RUHMHPSORHQORVJUiILFRVGHEDUUDVSDUDHOFDVR
GHGDWRVFXDQWLWDWLYRVVHDFRVWXPEUDHPSOHDUEDUUDVYHUWLFDOHV\HQHOFDVRGHGDWRVFXDOLWD
WLYRVVHXVDQEDUUDVKRUL]RQWDOHVHVWRVLPSOHPHQWHHVXQDVXJHUHQFLDSDUDIDFLOLWDUODOHFWX
UDGHOJUiILFRSHURORVGRVWLSRVGHJUiILFRVVXPLQLVWUDQHOPLVPRPHQVDMH
(Q HVWH WLSR GH UHSUHVHQWDFLRQHV JUiILFDV VH LQFOX\H XQ HMH FRRUGHQDGR GH PRGR TXH VH
FRQHFWD HO FRQRFLPLHQWR GH (VWDGtVWLFD FRQ 1~PHURV \ 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD 3RU HOOR HV
LPSRUWDQWHTXHVHUHVSHWHODHVFDODXWLOL]DGD\TXHHVWRVJUiILFRVVLPSOHVLQLFLHQHQFHUR
0XFKRVGHORVSUREOHPDVTXHVHKDQVXJHULGRKDVWDDKRUDVHUHODFLRQDQFRQFDUDFWHUtVWLFDV
HVWXGLDQWLOHVSHURpVWDQRGHEHVHUODQRUPDVLQRTXHGHQWURGHOFRQWH[WRHVFRODUIDPLOLDU
RFRPXQDOHVSRVLEOHSODQWHDUSUREOHPDVTXHLQYROXFUHQRWUDVFDUDFWHUtVWLFDV
3RUHMHPSORLGHQWLILFDUTXpFDUDFWHUtVWLFDHVPiVYDULDEOHODFDQWLGDGGHJDMRVRODFDQWLGDG
GHVHPLOODVGHXQJUXSRGHRPiVPDQGDULQDV
&RQODLQIRUPDFLyQGHODVPDQGDULQDVODVIUXWDVGHEHQSHODUVH\VHGHEHFRQWDUODFDQWLGDG
GHJDMRVGHFDGDXQDOXHJRUHVXPLUHVWDLQIRUPDFLyQDQRWDQGRODIUHFXHQFLDGHYHFHVTXHVH
UHSLWHFDGDQ~PHURGHJDMRV\HOQ~PHURGHVHPLOODV(VWRVGDWRVSXHGHQVHUUHSUHVHQWDGRV
PHGLDQWHXQFXDGURRXQJUiILFR
(VLPSRUWDQWHKDFHUQRWDUTXHODVUHSUHVHQWDFLRQHVWDEXODUHVRJUiILFDVSHUPLWHQUHVXPLUHO
SDWUyQGHYDULDELOLGDGGHORVGDWRVGHPRGRTXHODLQIRUPDFLyQTXHJHQHUDQHVFRPSUHQVL
EOHSDUDFXDOTXLHUOHFWRU$GHPiVODHODERUDFLyQGHJUiILFDVFRQHFWDFRQ1~PHURVPHGLDQ
WHHOXVRGHOFRQFHSWRGHUHFWDQXPpULFD
(Q HVWH DxR VH PHQFLRQDQ HYHQWRV LJXDOPHQWH SUREDEOHV 1RREVWDQWH HVWH SULQFLSLR GHEH
LQWURGXFLUVHHQ IRUPD LQWXLWLYDSXHVVHUiKDVWDHO6HJXQGRFLFORTXHVHSRWHQFLHQ PD\RUHV
GHVWUH]DVSDUDLGHQWLILFDUODVFDUDFWHUtVWLFDVGHORVHYHQWRVLJXDOPHQWHSUREDEOHV3RUHMHP
SORVHHVSHUDTXHODV \ ORVHVWXGLDQWHVSXHGDQ LQGXFLUTXHHV LJXDOPHQWHSUREDEOHREWHQHU
XQHVFXGR(RXQDFRURQD&DOODQ]DUXQDPRQHGDSRUHQGHTXHORVHYHQWRVREWHQHUXQ
(&RXQ&(DOODQ]DUGRVPRQHGDVVRQLJXDOPHQWHSUREDEOHV
$QWHODIUDVH³(OFLJDUULOORPDWDDXQDGHFDGDGRVSHUVRQDVTXHIXPDQ´VHUHTXLHUHVHxDODU
TXHH[LVWHXQDDOWDSUREDELOLGDGTXHXQIXPDGRUPXHUDSRUXQDHQIHUPHGDGRFDVLRQDGDSRU
HOFRQVXPRGHOFLJDUULOORHVWRTXLHUHGHFLUTXHVHHVWLPDTXHODPLWDGGHORVIXPDGRUHVYDQ
DPRULUGHDOJXQDHQIHUPHGDGTXHHVFRQVHFXHQFLDGHHVWHYLFLR
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
Indicaciones de evaluación
(QHO3ULPHUFLFORDGHPiVGHEXVFDUHOORJURGHKDELOLGDGHVJHQHUDOHVHVSHFtILFDVHQ(VWDGtVWLFD
\3UREDELOLGDGVHUHTXLHUHTXHPHGLDQWHODDFWLYLGDGHVWXGLDQWLOVHGHWHUPLQHODLPSRUWDQFLDGH
OD HYDOXDFLyQ GH ORV SURFHVRV GH DSUHQGL]DMH FRPR XQ PHGLR SDUD IRUWDOHFHU HVWRV SURFHVRV /D
HYDOXDFLyQGHEHIDYRUHFHUJUDGXDOPHQWHHVWDYDORUDFLyQSRUPHGLRGHHVWUDWHJLDVTXHVHDQPRWL
YDGRUDV\IRUPDWLYDV
/DVHVWUDWHJLDVXWLOL]DGDVGHEHQLQYROXFUDUDFDGDHVWXGLDQWHKDFLDODLQIRUPDFLyQHOHPHQWDOTXH
VH JHQHUD HQ VX FRQWH[WR (VWD LQIRUPDFLyQ SXHGH VHU SUHVHQWDGD HQ XQ GRFXPHQWR R HQ IRUPD
WDEXODUJUiILFDRGHGLDJUDPD(OpQIDVLVGHODHYDOXDFLyQVHGHEHFHQWUDUHQHODQiOLVLV\ODLQWHU
SUHWDFLyQ GHVGH OD SHUVSHFWLYD FRQWH[WXDO 3HUR DGHPiV GHEH LQFOXLU OD LGHQWLILFDFLyQ GH XQD
DGHFXDGD HVWUDWHJLD SDUD UHFROHFWDU GDWRV GHO HQWRUQR FRQ OD LQWHQFLyQ GH JHQHUDU ORV LQVXPRV
QHFHVDULRVSDUDUHVSRQGHULQWHUURJDQWHVFRQFUHWDVDVtFRPRODE~VTXHGDGHHVWUDWHJLDVSDUDRUGH
QDUUHVXPLUSUHVHQWDU\DQDOL]DUORVGDWRVUHFROHFWDGRVFRQODLQWHQFLyQGHJHQHUDULQIRUPDFLyQ
TXHOHD\XGHDUHVROYHUORVSUREOHPDV3RUHVWDUD]yQODSDUWLFLSDFLyQSHUPDQHQWHHQODUHVROXFLyQ
GHFDGDDFWLYLGDGHVIXQGDPHQWDO
(QFXDQWRDOPDQHMRGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVODHYDOXDFLyQGHEHUtDLUGLULJLGDDODLGHQWLILFDFLyQ
GHHVWDVVLWXDFLRQHV\VXVGLIHUHQFLDVFRQUHVSHFWRDODVGHWHUPLQLVWDVDVtFRPRLGHQWLILFDUHYHQ
WRV PiV SUREDEOHV \ PHQRV SUREDEOHV \ DGHPiV YHULILFDU TXH VH FRPSUHQGH VX VLJQLILFDGR HQ
VLWXDFLRQHVSDUWLFXODUHV
3DUD HVWH FLFOR OD HYDOXDFLyQ HQ HO iUHD GH (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG GHEH WHQHU SUHVHQWHV ODV
VLJXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 3DUDHOWUDEDMRFRWLGLDQRGHEHLGHQWLILFDUVHODIRUPDHQTXHFDGDHVWXGLDQWHSDUWLFLSDHQHO
DQiOLVLVGHORVGLIHUHQWHVSUREOHPDVTXHVHSODQWHDQ\ODVUHIOH[LRQHVVREUHODVHVWUDWHJLDV
HPSOHDGDV SDUD OD UHFROHFFLyQ FODVLILFDFLyQ \ UHVXPHQ GH GDWRV 3HUR DGHPiV GHEHQ LQ
FOXLUVHORVSURFHVRVGHFODXVXUDGRQGHVHRUJDQLFHQODFRUUHFFLyQGHHUURUHVFRPHWLGRV \
HO UHVXPHQ GH ORV QXHYRV FRQRFLPLHQWRV DGTXLULGRV 8Q DQiOLVLV VLPLODU GHEH UHDOL]DUVH
SDUDODHYDOXDFLyQGHOiUHDGH3UREDELOLGDG
9 (QUHODFLyQFRQORVWUDEDMRVH[WUDFODVHVHSURSRQHSODQWHDUHVWUDWHJLDVVHQFLOODVSRUPH
GLRGHODVFXDOHVPHGLDQWHHOWUDEDMR LQGLYLGXDORHQVXEJUXSRVVHUHVXHOYDQSUREOHPDV
YLQFXODGRVFRQORVHODQiOLVLVGHGDWRVGHQWURGHXQFRQWH[WRFHUFDQR(QODHYDOXDFLyQVH
GHEHSUHVWDUHVSHFLDODWHQFLyQDODIRUPDHQTXHVHUHDOL]DFDGDXQRGHORVSDVRVTXHYDQ
GHVGHHODQiOLVLVGHOSUREOHPDKDVWDODFRQFOXVLyQ(Q (VWDGtVWLFDVHGHEHUtDHVWDEOHFHUH
LPSOHPHQWDU HVWUDWHJLDV SDUD OD UHFROHFFLyQ GH GDWRV VX RUJDQL]DFLyQ UHSUHVHQWDFLyQ \
DQiOLVLVGH OD LQIRUPDFLyQTXHFRPXQLFDQ3DUDHOFDVRGH 3UREDELOLGDGHQHVWHFLFORVH
UHTXLHUHHQIRFDUORVDQiOLVLVEiVLFDPHQWHKDFLDGHLGHQWLILFDFLyQGHVLWXDFLRQHVPiVRPH
QRV SUREDEOHV (Q DPEDV iUHDV ODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV GHEHQ SHUPLWLU GHVDUUROODU ORV
SURFHVRV3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV5D]RQDU\DUJXPHQWDU&RQHFWDU5HSUHVHQWDU\
&RPXQLFDU
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
/RVSUREOHPDVSURSXHVWRVSXHGHQVHUVLPLODUHVDORVTXHVHLQFOX\HQHQODVLQGLFDFLRQHV
SXQWXDOHV\HQHVWHVHQWLGRVHGHEHUtDQFRPELQDUORVWUHVQLYHOHVUHSURGXFFLyQFRQH[LyQ
\UHIOH[LyQ
9 3RU ~OWLPR ODV SUXHEDV HVFULWDV GHEHQ VHU LQWURGXFLGDV SDXODWLQDPHQWH FRPR XQD IRUPD
HQ OD FXDO VH SXHGHQ SRQHU HQ SUiFWLFD ODV KDELOLGDGHV DGTXLULGDV \ OD LGHQWLILFDFLyQ GH
DTXHOODVTXHUHTXLHUHQVHUUHIRU]DGDV'HELGRDTXHHVWDVSUXHEDVGHEHQYHUVHFRPRXQD
HWDSDPiVGHOSURFHVRHGXFDWLYRORVtWHPVRSUHJXQWDVTXHVHLQFOX\DQHQHOiUHDGH(VWD
GtVWLFDGHEHUtDQHVWDURULHQWDGRVKDFLDODLGHQWLILFDFLyQGHWLSRVGHGDWRVFXDQWLWDWLYRVR
FXDOLWDWLYRVVXDJUXSDPLHQWR\FODVLILFDFLyQVXUHSUHVHQWDFLyQHQFXDGURVGHIUHFXHQFLD
RJUiILFRVGHEDUUDV3HURVREUHWRGRODLQIRUPDFLyQTXHFRPXQLFDQGLFKRVGDWRV$FRQ
WLQXDFLyQVHSUHVHQWHXQHMHPSORGHXQtWHP
&RQVLGHUHODVVLJXLHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVTXHFRUUHVSRQGHQDOQ~PHURGHOHWUDV
TXHWLHQHQORVQRPEUHVGHORVHVWXGLDQWHV GHODVVHFFLRQHV7HUFHUR$\7HUFHUR%GH
FLHUWDHVFXHOD
Programas de cada ciclo educativo
Primer ciclo, Estadística y Probabilidad
'HDFXHUGRFRQODLQIRUPDFLyQTXHSURSRUFLRQDQHVWRVJUiILFRV¢FXiOGHODVDOWHUQDWLYDV
VLJXLHQWHVHVODFRUUHFWD"
D +D\PiVYDULDELOLGDGHQHOQ~PHURGHOHWUDVGHORVQRPEUHVGHHVWXGLDQWHVGHO
7HUFHUR$FRQUHVSHFWRDO7HUFHUR%
E +D\PHQRVYDULDELOLGDGHQHOQ~PHURGHOHWUDVGHORVQRPEUHVGHHVWXGLDQWHVGHO
7HUFHUR$FRQUHVSHFWRDO7HUFHUR%
F /DYDULDELOLGDGHQHOQ~PHURGHOHWUDVGHORVQRPEUHVGHODV\ORVHVWXGLDQWHVHV
VLPLODUHQORVGRVJUXSRV
/RV PLVPRV SULQFLSLRV TXH VH DSOLFDQ HQ (VWDGtVWLFD GHEHQ VHU RULHQWDGRUHV SDUD OD HYD
OXDFLyQ HQ 3UREDELOLGDGHV 6H UHTXLHUH JHQHUDU OD FDSDFLGDG GH SDUD LGHQWLILFDU HYHQWRV
VHJXURVRDOHDWRULRV\GHQWURGHODVVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVDTXHOODVTXHVRQPiVRPHQRV
SUREDEOHVGHDFXHUGRFRQQRFLRQHVLQWXLWLYDV8QHMHPSORGHXQtWHPTXHWLHQHHVWHSUR
SyVLWRHVHOVLJXLHQWH
6XSRQJDTXHVHGHEHVHOHFFLRQDUDXQRGHFXDWURHVWXGLDQWHVSDUDTXHH[SRQJDVREUHXQ
WHPD3DUDUHDOL]DUODVHOHFFLyQVHFXHQWDFRQORVVLJXLHQWHVFULWHULRV
, 6HOHFFLRQDUDOSULPHURGHORVFXDWURHVWXGLDQWHVTXHDSDUHFHQHQODOLVWDGHFODVH
,, 'DUXQQ~PHURDFDGDXQRGHXQRDFXDWUR\OXHJRODQ]DUHOVLJXLHQWHWURPSR
SDUDVHOHFFLRQDUTXLpQGHEHH[SRQHU
,GHQWLILFDUFXiOGHHVWDVVLWXDFLRQHVHVDOHDWRULDBBBBBBBBBBBBBBBB
Segundo ciclo
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Introducción
Introducción al Segundo ciclo
(QHO6HJXQGRFLFORODV0DWHPiWLFDVVHFRORFDQHQXQDGREOHSHUVSHFWLYDSRUXQODGRDILUPDQ\
DPSOtDQORVFRQFHSWRV\SURFHGLPLHQWRVIXQGDPHQWDOHVTXHVHKDQDSUHQGLGRHQHO3ULPHUFLFOR
SRURWURODGRKDFLDHO ILQDOGHOFLFORVH LQWURGXFHQFRQFHSWRV\KDELOLGDGHVTXHFRQHFWDQFRQOD
HGXFDFLyQ6HFXQGDULDFRQFDUDFWHUtVWLFDVGLVWLQWDVDODVTXHSUHGRPLQDQHQODHGXFDFLyQ 3ULPD
ULD(VLPSRUWDQWHFXLGDUODVDFWLWXGHVSXHVKD\XQDLPSRUWDQWHH[WHQVLyQGHOGRPLQLRGHDFFLyQ
FRQREMHWRVPDWHPiWLFRVTXHVRQFRJQLWLYDPHQWHPiVFRPSOHMRVIUDFFLRQHVGHFLPDOHVSURSLH
GDGHVJHRPpWULFDVDEVWUDFWDVRPiVDPSOLRVQ~PHURVPiVJUDQGHVPiVPHGLGDVGDWRVREMHWRV
JHRPpWULFRV VyOLGRV 6H GHEH LQVLVWLU HQ OD XWLOLGDG GH ODV 0DWHPiWLFDV HQ VX UHODFLyQ FRQ HO
HQWRUQR\DSR\DUODSHUVHYHUDQFLDHQORVHVWXGLDQWHV
(QHVWHFLFOR1~PHURVRFXSDHOPD\RUHVSDFLRGHOFXUUtFXOR0HGLGDV*HRPHWUtD5HODFLRQHV\
iOJHEUD\(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGRFXSDQXQHVSDFLRVLPLODUTXHHQHO3ULPHUFLFOR
(Q1~PHURVFRQODEDVHREWHQLGDHQHO3ULPHUFLFORHQRSHUDFLRQHV\FiOFXORVHDPSOtDHOGRPL
QLRGHDFFLyQ PHGLDQWHQ~PHURVQDWXUDOHV PD\RUHVTXH\ OD LQFRUSRUDFLyQGHQ~PHURV
GHFLPDOHV \ IUDFFLRQHVDVtFRPRGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHREMHWRVPDWHPiWLFRV6HLQWURGX
FHQ QXHYRVSURFHGLPLHQWRVRSHUDWRULRV VHGHVDUUROODHODOJRULWPRHXFOLGLDQRGHODGLYLVLyQ \VH
UHIXHU]D HO VHQWLGR QXPpULFR (O pQIDVLV HQ FiOFXORV GHEH VHJXLU SUHGRPLQDQGR DXQTXH FRQ OD
SUHVHQFLDGHPiVSURSLHGDGHV\REMHWRVDEVWUDFWRVPDWHPiWLFRV
5HODFLRQHV\ÈOJHEUDSURVLJXHFRQSDWURQHVQXPpULFRVSHURLQFOX\HUHSUHVHQWDFLyQGHSXQWRVHQ
HOSODQRFDUWHVLDQR\GHUHODFLRQHVHQWUHFDQWLGDGHVTXHYDUtDQ \DOJRPX\ LPSRUWDQWHHOUD]R
QDPLHQWRSURSRUFLRQDOTXHFRQHFWDFRQODVIXQFLRQHV
(Q(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGVRODPHQWHVHSURIXQGL]DQ ORVFRQFHSWRV\ KDELOLGDGHVGHO 3ULPHU
FLFOR (V XQ WHPD TXH SXHGH SHUPLWLU IiFLOPHQWH FRQH[LRQHV FRQ PHGLGDV REWHQFLyQ GH GDWRV
Q~PHURVUHODFLRQHVQXPpULFDVWDEODV\JHRPHWUtDJUiILFDV
0HGLGDVDGTXLHUHHQHVWHFLFORXQPD\RUUHOLHYHSXHVVHLQWURGXFHHOVLVWHPDPpWULFRGHFLPDOTXH
VHHQOD]DFRQSURSLHGDGHVGHORVQ~PHURVVHRIUHFHHQHVHVHQWLGRXQpQIDVLVDODHVWLPDFLyQHQ
ODVPHGLFLRQHVTXHHVXQDVXQWRPX\LPSRUWDQWHSDUDHODSUHQGL]DMHGHODVPHGLGDV<DHQHVWH
FLFORGRQGHVHGLVSRQHGHFDVLWRGRVORVHOHPHQWRVUHODFLRQDGRVFRQODPHGLGDVHGDODSRVLELOL
GDGGHHQULTXHFHUORVSUREOHPDVFRQPXFKRVPiVHOHPHQWRVGHOHQWRUQRItVLFR\VRFLDOGHOHVWX
GLDQWH
(Q *HRPHWUtD VH SURIXQGL]D HQ OR TXH VH UHILHUH D XELFDFLyQ HVSDFLDO \ D YLVXDOL]DFLyQ GH ODV
IRUPDVJHRPpWULFDVHQHOSODQR\HOHVSDFLRDPSOLiQGRVHODLGHQWLILFDFLyQ\HVWXGLRGHSURSLHGD
GHV GH ORV HOHPHQWRV TXH ODV FRPSRQHQ 6L ELHQ VLHPSUH GHEH KDEHU UHSURGXFFLyQ \ WUD]DGR GH
ILJXUDVGHEHGDUVHUHOLHYHDODVSURSLHGDGHV\UHODFLRQHVTXHODVLGHQWLILFDQ3RUHMHPSORHQHVWH
FLFORKD\XQLPSRUWDQWHVDOWRHQODGHILQLFLyQGHFULWHULRVGHFODVLILFDFLyQGHILJXUDVQ~PHURGH
ODGRV UHODFLRQHV GH SRVLFLyQ PpWULFD 6H DXPHQWD HO YRFDEXODULR JHRPpWULFR \ VH DxDGH HO
FiOFXOR GH SHUtPHWURV \ iUHDV GH ILJXUDV SROLJRQDOHV \ FLUFXODUHV TXH HVWi PX\ DVRFLDGR FRQ HO
iUHD GH 0HGLGDV 6H LQLFLD HO WHPD GH VLPHWUtDV FDUDFWHUtVWLFD LPSRUWDQWH GH DOJXQDV IRUPDV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Introducción
JHRPpWULFDV TXH SXHGH LOXVWUDUVH FRQ EHOOH]D SRU PHGLR GH IULVRV \ PRVDLFRV 6H HVWDEOHFH XQD
FRQH[LyQ HVSHFLDO FRQ 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD HQ HO PDQHMR GH SXQWRV \ ILJXUDV VHQFLOODV HQ HO
SODQR
6LHPSUHGHEHSUHGRPLQDU ORLQWXLWLYR\VHQVRULDO HQHVWH FLFORSHURVHGHEHLQWURGXFLU PiVHOH
PHQWRVPDWHPiWLFRVDEVWUDFWRV\VXVUHODFLRQHVSDUDDYDQ]DUHQHOGHVDUUROORGHODVFDSDFLGDGHV
FRJQLWLYDVGH ORVHVWXGLDQWHV/DSUHVHQFLDGH PiVVtPERORVFRPR PRGHORGHVLWXDFLRQHVWDP
ELpQGHEHDEULUSDVRDXQD PD\RU PDQLSXODFLyQGH ORV PLVPRV3RUHMHPSOR ORVSDWURQHVUHOD
FLRQHV\ODWHRUtDGHQ~PHURVTXHVHLQWURGXFHHQƒ$xRVRQUHFXUVRVYDOLRVRVSDUDSURPRYHU
HOSHQVDPLHQWRDEVWUDFWR
Segundo ciclo, Números
Introducción
$O LQJUHVDU DO 6HJXQGR FLFOR FDGD HVWXGLDQWH WUDH OD KDELOLGDG GH FRPSDUDU \ RSHUDU Q~PHURV
QDWXUDOHVFX\RVWRWDOHVVRQPHQRUHVTXH7RGRVHVWRVFRQFHSWRVIXHURQGHVDUUROODGRVSRU
PHGLRGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
/RIXQGDPHQWDOHQHOiUHDGH 1~PHURVHQHVWHFLFORHVHO IRUWDOHFLPLHQWRGHOFiOFXORRSHUDWRULR
GHORVQ~PHURVQDWXUDOHVIUDFFLRQHV\GHFLPDOHV
6HDEDUFDQORVQ~PHURVQDWXUDOHVPD\RUHVTXHFRQFRQFHSWRVGHODWHRUtDGHQ~PHURVHO
FRQFHSWRGHIUDFFLyQ \VXVUHSUHVHQWDFLRQHV7DPELpQVH LQFOX\HQ Q~PHURVFRQH[SDQVLyQGHFL
PDO
1~PHURVVLJXHVLHQGRHOiUHDSULQFLSDOGH3ULPDULDSRUORTXHHVQHFHVDULRDERUGDUORWRPDQGRHQ
FXHQWD ORV GLIHUHQWHV HVWLORV GH DSUHQGL]DMH 6X LPSRUWDQFLD UDGLFD HQ TXH HVWD iUHD WLHQH XQD
FRQH[LyQ GLUHFWD FRQ ODV RWUDV iUHDV PDWHPiWLFDV 0HGLGDV *HRPHWUtD5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD \
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDVtFRPRFRQODVRWUDVPDWHULDVTXHVHLPSDUWHQDHVWHQLYHO
&RPRGHVGHHO3ULPHUFLFORVHKDWUDEDMDGRODFRQWH[WXDOL]DFLyQDFWLYDGHORVFRQFHSWRVDWUDYpV
GH SUREOHPDV HQWRQFHV HQ HO 6HJXQGR FLFOR OD FRQVWUXFFLyQ GH ORV QXHYRV FRQFHSWRV VHUi PiV
VLJQLILFDWLYD
7RGR HVWR SUHSDUD HO FDPLQR SDUD TXH VH ORJUH OD LGHQWLILFDFLyQ OHFWXUD FRPSUHQVLyQ \ XWLOL]D
FLyQGHORVQ~PHURVHQODUHDOLGDGFLUFXQGDQWH
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQHVWDiUHDHVTXHFDGDHVWXGLDQWHDGTXLHUDKDELOLGDGHVSDUDLGHQWL
ILFDUOHHUFRPSUHQGHU\XWLOL]DUODVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHVGHORVQ~PHURVSDUDHOFiOFXOR\
ODHVWLPDFLyQHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHVHSUHWHQGHQJHQHUDUDOILQDOL]DUHO6HJXQGRFLFORVRQ
x &RQVWUXLU\DSOLFDUORVQ~PHURVPD\RUHVRLJXDOHVTXHHQFRQWH[WRVUHDOHV
x &RPSDUDUFDQWLGDGHV\XWLOL]DUFRUUHFWDPHQWHORVVtPERORV!R x ,GHQWLILFDUHOYDORUSRVLFLRQDOGHORVGtJLWRVTXHFRQIRUPDQXQQ~PHURQDWXUDO\FRQGHFLPD
OHV
x ,GHQWLILFDUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHXQPLVPRQ~PHUR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
x
x
x
x
x
x
/HHU\HVFULELUQ~PHURVHQVXVGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV
$SOLFDUODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDVHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
$SOLFDUHOFRQFHSWRGHIUDFFLyQVXVWLSRV\UHSUHVHQWDFLRQHVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
$SOLFDUHOFRQFHSWRGHQ~PHURVGHFLPDOHVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
(IHFWXDURSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQVXVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV
'HVDUUROODU \ XWLOL]DU HVWUDWHJLDV GH FiOFXOR PHQWDO \ OD HVWLPDFLyQ HQ OD UHVROXFLyQ GH SUR
EOHPDV
(VWDEOHFHUUHODFLRQHVHQWUHRSHUDFLRQHV
8WLOL]DUORVFRQFHSWRVEiVLFRVGHODWHRUtDGHQ~PHURVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
x
x
(OVHQWLGRQXPpULFRVHIRUWDOHFHHQHVWHFLFORFRQORTXHVHSXHGHSURIXQGL]DUODSHUFHSFLyQGHOD
XWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
(QHVWHFLFORVHDERUGDQFRQPD\RUSURIXQGLGDGDOJXQRVHOHPHQWRVGHODWHRUtDGHQ~PHURVORV
FXDOHVEULQGDQYDOLRVDVRSRUWXQLGDGHVSDUDIRUWDOHFHUHOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDU/DLQWUR
GXFFLyQVXVWDQWLYDGHGHFLPDOHV\IUDFFLRQHVHQHVWHFLFORSHUPLWHIDYRUHFHUHOSURFHVR5HSUHVHQ
WDU
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
/HHU \ HVFULELU Q~PHURV c &RPR DFWLYLGDGLQWURGXFWRULD VH SXHGHQ SURSRUFLRQDUUHFRU
1~PHURV
QDWXUDOHVPHQRUHVTXHXQ WHV GH QRWLFLDV TXH XVHQ Q~PHURV QDWXUDOHV PHQRUHV TXH XQ
QDWXUDOHV
PLOOyQ
PLOOyQ(OREMHWLYRHVLGHQWLILFDUTXpWDQWR VHFRQRFHDFHUFDGH
HVWRVQ~PHURV
x 5HODFLRQHV QXPpULFDV
c (V LPSRUWDQWH GDU HVWUDWHJLDV SDUD OD OHFWXUD \ HVFULWXUD GH
PHQRUHV TXH 8Q HMHPSOR HQ HO Q~PHUR
FDQWLGDGHV
x 6LVWHPDGH
DJUXSDUORVGtJLWRVHQWHUQDVGHGHUHFKDDL]TXLHUGD
QXPHUDFLyQ
PLOHV
GHFLPDO
x 5HODFLRQHV
I
GHRUGHQ
&RPSDUDU Q~PHURV QDWX c6HSURSRUFLRQDQSUREOHPDVGRQGHXWLOL]DORVVtPERORV!R
UDOHV PHQRUHV TXH XQ SDUDFRPSDUDUORVQ~PHURV6HVROLFLWDFRPXQLFDUFXiOIXHOD
x 1~PHURV
PLOOyQXWLOL]DQGRORVVtP HVWUDWHJLDXVDGDSDUDYDORUDUODDUJXPHQWDFLyQ
SDUHV
ERORV!R 5HFRQRFHUQ~PHURVSDUHV
x 1~PHURV
(QHVWHSHULRGRORVJUXSRV$\%UHFLELUiQFODVHVGH
HLPSDUHV
LPSDUHV
GHIHQVDSHUVRQDO(QHOORVVHGHEHQIRUPDUSDUHMDVGHHVWXGLDQ
WHV SDUDUHDOL]DU ODVGLQiPLFDVTXH VH SURSRQHQ(OLQVWUXFWRUD
x 0~OWLSORV
FDUJR QHFHVLWD LGHQWLILFDU HQ FXiOHV VHFFLRQHV TXHGD DOJ~Q
HVWXGLDQWH VLQ SDUHMD SDUD D\XGDUOR GXUDQWH HO GHVDUUROOR GH
GLFKDVOHFFLRQHV
c(VLPSRUWDQWHTXHVHGpXQDGLVFXVLyQHVWXGLDQWLODFHUFDGH
ODVSRVLELOLGDGHVTXHVHSXHGHQGDU3RUHMHPSORTXHHQORVGRV
JUXSRV VH SXHGDQ IRUPDU SDUHMDV VLQ TXH VREUH DOJXQR R ELHQ
TXH HQ ORV GRV JUXSRV VREUH XQD SHUVRQD R TXH HQ XQR GH ORV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
grupos sobre una persona. La acción docente debe ir dirigida a
utilizar estos elementos para que sus estudiantes identifiquen la
noción de número par e impar.
Razonar y argumentar y Comunicar son procesos involucrados en este problema.
c El estudiantado identifica los números pares como aquellos
que se pueden dividir por 2 con residuo cero. Además, debe
reconocer en qué dígito debe terminar un número para ser par o
impar.
4.
Reconocer los múltiplos
de un número.
cEs importante que cada estudiante reconozca los múltiplos de
un número como los resultados de las multiplicaciones entre dos
números. Así si 7 u 8 = 56 entonces 56 es múltiplo de 7 y de 8.
c Es necesario que se identifiquen estrategias que permitan el
reconocimiento de los múltiplos de un número. Entre ellas:
a.
b.
c.
Operaciones
5.
Resolver problemas utilizando el algoritmo de la
división de números naturales.
6.
Comprender la relación
entre la multiplicación y
la división.
x Multiplicación
x División
Los números cuya última cifra es un número par son
múltiplos de 2.
Los números cuya última cifra termina en 0 o 5 son
múltiplos de 5.
Los números de dos cifras cuyas cifras suman 9 son
múltiplos de 9.
c Proponer problemas para relacionar la división de dos números con situaciones de reparto equitativo y agrupamiento.
Analizar casos donde el residuo sea cero o no. Por ejemplo:
a.
Reparto
Ernesto desea repartir entre sus 12 primos 132 jocotes
que recolectó. ¿Cuántos jocotes le corresponden a cada uno?
b. Agrupamiento
En una fábrica deben empacar equitativamente 825
lápices en 10 cajas. ¿Cuántos lápices se empacaron en cada
caja?
c. ¢&XiQWDVYHFHVFDEH«"
¿Cuántas veces un segmento de 5 cm cabe en otro segmento de 75 cm?
La utilización de problemas que utilizan la noción de
división como reparto equitativo permite sensibilizar sobre la
necesidad de ofrecer un trato igualitario a los demás.
c Para el algoritmo de la división se debe utilizar el dividendo
menor a 1 000 y divisor de hasta 2 cifras.
190
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
c Para la comprensión de la relación entre el producto y la
división, se pueden aprovechar problemas similares a los
anteriores (los que tienen residuo cero), para preguntar cómo
puede verificar si el resultado de la división es correcto. Se
espera que se pueda visualizar que la multiplicación permite
verificar los resultados de divisiones con residuo cero.
Fracciones
7.
x Concepto
Identificar las fracciones
como parte de la unidad o
parte de una colección de
objetos.
x Escritura
x Lectura
x Fracción
propia
Se solicita llevar a la clase una mandarina o una naranja.
Se indica que se tiene que anotar en el cuaderno la cantidad total
de gajos que tiene su fruta, así como la cantidad de gajos que se
comerán (indicar que no se la coman toda). Luego, se solicita
representar gráficamente o por escrito la situación vivida durante la actividad.
Coloque sobre la mesa todos los lápices de color que tiene
y proceda a pintar el siguiente dibujo:
x Representaciones
Represente gráficamente o por escrito la cantidad de lápices que
usó para pintarlo.
c En la etapa de clausura, se define la fracción como una forma
de representación para este tipo de situaciones.
Es importante implementar actividades que permitan
crear conciencia sobre las ventajas que ofrece el consumir
alimentos saludables. Además con esta actividad de las frutas se
promueve el valor de compartir.
8.
Analizar las fracciones
propias.
c Se pretende reconocer fracciones propias y establecer correspondencias entre diversas formas de representación.
Se proponen ejemplos en forma simbólica, para que sean
representados gráficamente (identificando claramente el concepto de numerador y denominador). Luego, se identifican las tres
formas de escribir fracciones: con palabras, simbólica y gráfica.
Esta es una oportunidad para prestar atención al proceso Representar.
c Proponer problemas donde pueda escribir fracciones en la
representación que se solicite. Por ejemplo:
191
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Gráfica
Literal
Simbólica
Cinco
novenos
s
9.
Comparar las fracciones
propias utilizando los
símbolos <, > o =.
Marta, Mario y Nancy salen a caminar por las mañanas y
siempre llevan una botella de 250 ml de agua cada uno. Después
de haber caminado durante una hora, Marta se ha bebido tres
cuartas partes de su botella, Nancy la mitad y Mario dos cuartas
partes. ¿Quién ha tomado más agua? ¿Quién ha tomado menos
cantidad de agua?
Se espera que se use en primer lugar una representación gráfica
o modelo que ilustre la situación (pueden ser dibujos). A continuación, se propone realizar una representación simbólica a
partir de la representación gráfica. Una vez hecho esto se pide
usar los símbolos <, > o = para realizar las comparaciones.
Este problema corresponde con el eje transversal Educación para la Salud.
Este problema muestra la conexión existente con el área
de Medidas.
10. Plantear y resolver problemas que involucren
fracciones propias.
c Proponer problemas relacionados con un contexto de la vida
cotidiana. Por ejemplo:
Rita dividió un pastel en 8 partes iguales. Sus amigas se
comieron 4 partes del queque. ¿Qué fracción representa lo que
se comieron sus amigas?
Decimales
x Lectura
x Escritura
11. Leer y escribir números
en su representación decimal hasta la milésima.
c Para introducir los números decimales se puede plantear el
siguiente problema:
¿Cómo representaría los números señalados por las
flechas en la siguiente figura?
x Ubicación
en la recta
numérica
x Relaciones
de orden
192
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
(V LPSRUWDQWH TXH HO HVWXGLDQWDGR REVHUYH TXHODV XQLGD
GHVHVWiQGLYLGLGDVHQSDUWHVLJXDOHV3XHGHXVDUODUHSUHVHQ
WDFLyQSRUIUDFFLRQHVHLQWHQWDUGHFLURUDOPHQWHFyPRVHOODPD
UtD HOQ~PHUR 3RU HMHPSOR SDUD HOQ~PHUR VHxDODGRD ODGHUH
FKDSRGUtDUHSUHVHQWDUORDVt
³7UHV\FLQFRGpFLPDV´RELHQ\ $ SDUWLU GH DTXt VH SXHGH SUHFLVDU OD UHSUHVHQWDFLyQ GH HVWDV
FDQWLGDGHVPHGLDQWHQ~PHURVGHFLPDOHV
c (VWDEOHFHU VLWXDFLRQHV SDUD JHQHUDOL]DU HO WUDEDMR FRQ FHQWp
VLPDV\PLOpVLPDV
(VWDEOHFHU HQWUH FXiOHV c 3DUD GDU VHFXHQFLD DO WUDEDMR UHDOL]DGR DQWHULRUPHQWH VH
Q~PHURV QDWXUDOHV FRQVH SXHGHSURSRQHUXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
FXWLYRV VH HQFXHQWUD XQ Q~PHUR GHFLPDO DO ORFD
&RQVWUX\D XQD UHFWD QXPpULFD FRQ VX UHJOD ¢'yQGH
OL]DUOR HQ OD UHFWD QXPp
XELFDUtDDSUR[LPDGDPHQWHORVVLJXLHQWHVQ~PHURV"
ULFD
c 8QD YH] WHUPLQDGD OD DFWLYLGDG VH SLGH D YDULRV HVWXGLDQWHV
TXH XELTXHQ GLFKRV Q~PHURV HQ XQD UHFWD QXPpULFD GLEXMDGD
SUHYLDPHQWH HQ OD SL]DUUD DUJXPHQWDQGR VX GHFLVLyQ (VWH
SUREOHPD SHUPLWH GHVPHQWLU XQD FUHHQFLD GH TXH FXDQWRV PiV
GHFLPDOHVWHQJDXQQ~PHURPD\RUHVpVWH
&RPSDUDU \ RUGHQDU Q~ c$SDUWLUGHLQIRUPDFLyQQXPpULFDHQXQFRQWH[WRUHDOUHSUH
PHURV HQ VX UHSUHVHQ VHQWDU ORV GDWRV HQ OD UHFWD QXPpULFD FRPSDUDUORV PHGLDQWH OD
WDFLyQGHFLPDO
XWLOL]DFLyQ GH ORV VtPERORV ! R \ RUGHQDUORV HQ IRUPD
DVFHQGHQWHRGHVFHQGHQWH
/D VLJXLHQWHWDEODPXHVWUD ORV VLVPRV VHQWLGRV HQ IHEUHUR
GHO
7RPDGRGH
KWWSZZZRYVLFRULXQDDFFUVLVPRORJLDVHQWLGRVVVHQWLGR6LVPRV0HV
SKS
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
D
E
F
¢(QTXpORFDOL]DFLyQVHVLQWLyHOPD\RUVLVPR"
¢4XpGtDWHPEOyFRQPHQRUPDJQLWXG"
¢(QTXpOXJDUWHPEOyPiVYHFHV"HVWDSUHJXQWDSXHGH
D\XGDUDFRQHFWDUFRQRWUDVPDWHULDV
&iOFXORV\
HVWLPDFLRQHV
x 6XPDV
x 5HVWDV
x 0XOWLSOLFD
FLRQHV
x 'LYLVLRQHV
5HVROYHU \ SODQWHDU SUR
EOHPDV GRQGH VHUHTXLHUD
HO XVR GH OD VXPD OD
UHVWD OD PXOWLSOLFDFLyQ \
OD GLYLVLyQ GH Q~PHURV
QDWXUDOHV
5HVROYHU \ SODQWHDU SUR
EOHPDV GRQGH VHUHTXLHUD
HOXVRGHODVXPDODUHVWD
\ODPXOWLSOLFDFLyQGHQ~
PHURVFRQGHFLPDOHV
c5HDOL]DUFRPSDUDFLRQHVXWLOL]DQGRGHFLPDOHV\XWLOL]DQGR
IUDFFLRQHV
c(IHFWXDUPXOWLSOLFDFLRQHVGRQGH
D (OVHJXQGRIDFWRUVHDDORVXPRGHGRVGtJLWRV
E $PERV IDFWRUHV FRQWHQJDQ GHFLPDOHV GH IRUPD TXH HO
UHVXOWDGRQRVREUHSDVHODVPLOpVLPDV
F 8QIDFWRUVHDQDWXUDO\RWURFRQGHFLPDOHVFX\RUHVXO
WDGRQRH[FHGDODVPLOpVLPDV
c (QODV GLYLVLRQHV VH GHEH HPSH]DU FRQ GLYLGHQGRPHQRUTXH
SRUXQGLYLVRUGHRGtJLWRV
c3DUDHYLWDUHUURUHVHQODFRORFDFLyQGHORVQ~PHURVGHFLPDOHV
TXHVHVXPDQRTXHVHUHVWDQVHGHEHUHWRPDUODLGHDGHYDORU
SRVLFLRQDO/XHJRVHJHQHUDOL]DHVWRDOFDVRGHORVGHFLPDOHV
c 3URSRQHU HOHPHQWRV TXH OHSHUPLWDQ D FDGD HVWXGLDQWHSODQ
WHDU\UHVROYHUXQSUREOHPD3RUHMHPSOR
Extensión de las provincias de Costa Rica
Provincia
San José
Alajuela
Cartago
Heredia
Guanacaste
Puntarenas
Limón
Extensión
(km2)
4965,9
9757,5
3124,6
2657,9
10 140,7
11 265,6
9 188,2
&DGD HVWXGLDQWH SRGUtD SODQWHDU YDULDV SUHJXQWDV FRPR SRU
HMHPSOR
D ¢&XiQWRV NP DEDUFDQ ODV SURYLQFLDV TXH OLPLWDQ FRQ
ODVFRVWDV"
E ¢&XiQWRVNPGHGLIHUHQFLDWLHQH3XQWDUHQDVUHVSHFWRD
+HUHGLD"
(VWDDFWLYLGDGSHUPLWHHVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQ0HGLGDV
\(VWXGLRV6RFLDOHV
0XOWLSOLFDU XQ Q~PHUR c 6H SURSRQHQ YDULDVPXOWLSOLFDFLRQHV FRQ HVWH WLSR GH Q~PH
FRQ R VLQ H[SDQVLyQ GH URV SDUD TXH VHDQ UHVXHOWDV SRU HO PpWRGR KDELWXDO GH FiOFXOR
FLPDO SRU \ SRU /XHJR VH SODQWHD OD LQTXLHWXG VREUH VL SXHGH HVWDEOHFHU XQD
HVWUDWHJLDGHFiOFXORPiVUiSLGDSDUDHVWHWLSRGHRSHUDFLRQHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
6H VROLFLWD FRPXQLFDU VXV HVWUDWHJLDV DO JUXSR (Q XQD
VHVLyQSOHQDULDVHH[SRQHQODVLGHDV\VH YDORUDVXSHUWLQHQFLD
/DDFFLyQGRFHQWHGHEHLUGLULJLGDDSUHVHQWDUXQDHVWUDWHJLDTXH
SHUPLWDUHVROYHUPiVUiSLGDPHQWHHVWDVRSHUDFLRQHV
8WLOL]DUODFDOFXODGRUD
SDUDUHVROYHUSUREOHPDV\
(QHOPDSDDGMXQWRVHPXHVWUDODFDQWLGDGGHWRQHODGDVGH
RSHUDFLRQHVQXPpULFDV
GLy[LGR GH FDUERQR HPLWLGDV SRU ORV SDtVHV FHQWURDPHULFDQRV
FRQFiOFXORVFRPSOHMRV
GXUDQWH ORV DxRV \ 'HWHUPLQH VL KD DXPHQWDGR R
GLVPLQXLGR GH XQ DxR D RWUR HO QLYHO GH GLy[LGR GH FDUERQR D
QLYHOFHQWURDPHULFDQR6HGHEHXVDUODFDOFXODGRUD
7RPDGRGH
KWWSZZZHVWDGRQDFLRQRUFULQGH[SKSDSR\RHGXFDWLYRPDWHULDOHV
GLGDFWLFRV
6HOHFFLRQDU ORV PpWRGRV c 8VR GH FiOFXOR PHQWDO OiSL] \ SDSHO R FDOFXODGRUD VHJ~Q HO
\ ODV KHUUDPLHQWDV PiV WLSRGHRSHUDFLyQFRPRSRUHMHPSOR
DGHFXDGRV SDUDODUHVROX FLyQGHFiOFXORV
Cálculo mental:
48 × 10 000
Papel y lápiz:
350,5 × 98
Calculadora:
3454,84 × 19,4
I
&DOFXODUPHQWDOPHQWH ORV
UHVXOWDGRV GH VXPDV UHV
(O XVR GH MXHJRV \ FRPSHWHQFLDV SHUPLWH GH XQD IRUPD
WDVPXOWLSOLFDFLRQHV\GL GLYHUWLGDHOGHVDUUROORGHHVWDGHVWUH]D3RUHMHPSORVHSXHGHQ
YLVLRQHV
HQFRQWUDUDFWLYLGDGHVHQ,QWHUQHWSDUDSRQHUDSUXHEDODVKDELOL
GDGHVHQHOFiOFXORPHQWDOSRUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
7RPDGRGHKWWSFOLF[WHFFDWGEDFWBHVMVS"LG (YDOXDU OD SHUWLQHQFLD GH
(O DXWR GH 9DOHULD UHFRUUH DSUR[LPDGDPHQWH NP SRU
ORV UHVXOWDGRV TXH VH RE
WLHQHQ DO UHDOL]DU XQ OLWURGHJDVROLQD(OWDQTXHGHOFDUURWLHQHXQDFDSDFLGDGGH
FiOFXORRXQDHVWLPDFLyQ OLWURVDSUR[LPDGDPHQWH(OODGHVHDUHDOL]DUXQYLDMHGH6DQ-RVp
D/LPyQNPDSUR[LPDGDPHQWH\REVHUYDTXHGLVSRQHGH
WUHVFXDUWRVGHWDQTXH¢&RQVLGHUDQHFHVDULRTXH9DOHULDOOHQHHO
WDQTXHSDUDUHDOL]DUHOUHFRUULGRGHLGD"
(V LPSRUWDQWH TXH FDGD HVWXGLDQWHDUJXPHQWH VXUHVSXHV
WD(VSRVLEOHJHQHUDUXQDGLVFXVLyQHQODFODVH\FRQWUDVWDUODV
GLIHUHQWHVRSLQLRQHV
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
1~PHURV
QDWXUDOHV
x 5HODFLRQHV
QXPpULFDV
x 2SHUDFLRQHV
FRPELQDGDV
x 3URSLHGDG
GLVWULEXWLYD
GHODPXOWL
SOLFDFLyQ
FRQUHVSHFWR
DODVXPD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
&RQWDU UHFRQRFHU \ HVFUL
ELUORVQ~PHURVQDWXUDOHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c (V LPSRUWDQWH EULQGDU HVWUDWHJLDV SDUD OD OHFWXUD \ HVFULWXUD
GHFDQWLGDGHVPD\RUHVGHGtJLWRVXQHMHPSORVHUtDVHSDUDUODV
FDQWLGDGHVHQFODVHVPLOHVPLOORQHVPLOHVGHPLOORQHV
0LOPLOORQHVPLO
6H SXHGH WUDEDMDU FRQQRWLFLDV SXHGH VHUTXH FRQWHQJDQ
JUiILFRVGRQGHVHXWLOL]DQFDQWLGDGHVJUDQGHVFRPRSRUHMHP
SOR
(QHOVLJXLHQWHJUiILFRVHPXHVWUDODGHXGDH[WHUQDGH&RVWD
5LFDHQHOSHULRGR
7RPDGRGH
KWWSZZZLQGH[PXQGLFRPHVFRVWDBULFDGHXGDBH[WHUQDKWPO
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
$SDUWLUGHOJUiILFRVHUHDOL]DQSUHJXQWDVFRPR
D ¢(Q TXp DxR &RVWD 5LFDKD WHQLGRODPD\RU GHXGD H[WHUQD"
¢'HFXiQWRHVDSUR[LPDGDPHQWH"
E ¢&XiO IXH OD GHXGD H[WHUQD DSUR[LPDGDPHQWH HQ HO DxR
"
/RV GDWRV H[DFWRV VH HQFXHQWUDQ HQ OD VLJXLHQWH WDEOD TXH
WDPELpQVHSXHGHXWLOL]DUSDUDDOJXQDVSUHJXQWDV
(VWHWLSRGHSUREOHPDVSHUPLWHODFRQH[LyQFRQ(VWDGtVWL
FD\3UREDELOLGDGSDUWLFXODUPHQWHHQHODQiOLVLVGHLQIRUPDFLyQ
SUHVHQWDGDDWUDYpVGHJUiILFRV\WDEODV
5HVROYHU SUREOHPDV DSOL c6HSXHGHFRQWH[WXDOL]DUODSULRULGDGHQHOXVRGHRSHUDFLRQHV
FDQGR ORV FRQFHSWRV GH FRQQ~PHURVQDWXUDOHV PHGLDQWH HO SODQWHR GH SUREOHPDV FRPR
P~OWLSOR GH XQ Q~PHUR HOVLJXLHQWH
QDWXUDO Q~PHURV SDUHV H LPSDUHV
(OSDSiGH0HODQLHYDDODYHUGXOHUtD\FRPSUDPDQ]D
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR QDVSHUDV\EDQDQRV/RVSUHFLRVDSDJDUSRUFDGDSURGXF
EOHPDV XWLOL]DQGR OD SUR WR VRQ ₡ ₡ \ ₡ UHVSHFWLYDPHQWH 'HWHUPLQH OD
SLHGDG GLVWULEXWLYD GH OD FDQWLGDGGHGLQHURTXHSDJyHOSDSiGH0HODQLH
PXOWLSOLFDFLyQ UHVSHFWR D c$OJXQDVYHFHVODXWLOL]DFLyQGHORVSDUpQWHVLVHVQHFHVDULDHQ
ODVXPD
OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV $ PHQXGR HO DJUXSDPLHQWR VH
UHDOL]D GH IRUPD LQWXLWLYD (O VLJXLHQWH SUREOHPD VH SXHGH
UHVROYHU FRQ HO XVR RQR GHORV SDUpQWHVLV VLQ HPEDUJR VXXVR
RUGHQDODVRSHUDFLRQHVDUHVROYHU
8Q OiSL] \ XQ ODSLFHUR WLHQHQ HO PLVPR SUHFLR HQ OD
OLEUHUtDGHGRQ3DEOR3RURWUDSDUWHXQERUUDGRUXQDPDTXLQL
OOD \ XQ SLQFHO WLHQHQ LJXDO SUHFLR 6DQGUD YD \ FRPSUD OiSLFHVODSLFHURVERUUDGRUHVPDTXLQLOODV\SLQFHOHV
6LHOSUHFLRGHXQOiSL]\XQERUUDGRUHVGH₡ \₡ UHV
SHFWLYDPHQWH¢FXiQWRGLQHURGHEHSDJDU6DQGUDSRUODOLVWDGH
PDWHULDOHV"
2SHUDFLyQDSODQWHDU
îî Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
'HVSXpV GH VX UHVROXFLyQ VH SUHFLVD HO XVR GH OD SURSLHGDG
GLVWULEXWLYDGHOSURGXFWRUHVSHFWRDODVXPD
7HRUtDGH
Q~PHURV
x 1~PHURSDU
x 1~PHUR
LPSDU
x 0~OWLSORV
x 'LYLVRUHV
x 5HJODVGH
GLYLVLELOLGDG
$SOLFDU ORV FRQFHSWRV GH
P~OWLSORGHXQQ~PHURQD
WXUDO Q~PHURV SDUHV H LP
SDUHV HQ OD UHVROXFLyQ GH
SUREOHPDV
,GHQWLILFDU GLYLVRUHV GH XQ
Q~PHURQDWXUDO
/DSURSLHGDGGLVWULEXWLYDGHODPXOWLSOLFDFLyQFRQUHVSHF
WRDODVXPDSHUPLWHHOXVRGHGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV
3URSRQHUDGLYLQDQ]DVGRQGHVHGHEHDSOLFDUHVWRVFRQFHS
WRVSDUDHQFRQWUDUODFDQWLGDG3RUHMHPSOR
D 6R\XQQ~PHURGHGtJLWRV6R\P~OWLSORGH0LGtJLWR
HQODVGHFHQDVGHPLOODUHVIDFWRUGH¢4XpQ~PHURVR\"
E 6R\XQQ~PHURGHGtJLWRVP~OWLSORGH0LGtJLWRGHODV
GHFHQDV HV LPSDU \ HO GH ODV FHQWHQDV HV HOGREOH TXH HO GH
ODVGHFHQDV¢4XpQ~PHURVR\"
c 6H SXHGHQ SODQWHDU SUREOHPDV FX\D VROXFLyQ QR VHD ~QLFD
SRUHMHPSOR
/DPDHVWUD$QGUHDWLHQHDFDUJRXQJUXSRGHHVWXGLDQ
WHV (OOD SODQHD UHDOL]DU XQ WUDEDMR FRQ HOORV \ HOODV HQ HO FXDO
IRUPDUiQVXEJUXSRVFRQLJXDOFDQWLGDGGHHVWXGLDQWHVSDUDFDGD
XQR GH HOORV ¢&XiOHV RSFLRQHV WLHQH $QGUHD" 6LQ HPEDUJR HO
GtD TXH LED D UHDOL]DU OD DFWLYLGDG IDOWDURQ GRV HVWXGLDQWHV
¢&yPRSRGUiUHDOL]DUODGLVWULEXFLyQODPDHVWUD"
'HGXFLU ODV UHJODV GH GL
YLVLELOLGDGGHO\
(VWDEOHFHU VL XQ Q~PHUR
QDWXUDO HV GLYLVLEOH SRU R DSOLFDQGR ODVUH
JODVGHGLYLVLELOLGDG
8Q FRPHUFLDQWH WLHQH PDQ]DQDV ODV FXDOHV GHVHD
HPSDFDUGHIRUPDWDOTXHFDGDSDTXHWHWHQJDODPLVPDFDQWLGDG
GH PDQ]DQDV TXH FDGD XQR QR H[FHGD GH \ TXH WRGDV ODV
PDQ]DQDV VHDQ HPSDFDGDV ¢&XiQWDV PDQ]DQDV SRGUtD WHQHU
FDGDSDTXHWH"
8QD HPSUHVD UHFRJLy FXDGHUQRV SDUD UHJDODU D GLIHUHQWHV
HVFXHODVGH+HUHGLD'HVSXpVGHODUHFROHFFLyQUHDOL]ySDTXHWHV
GH FXDGHUQRV FDGD XQR /DV HVFXHODVUHFLELHURQ OD VLJXLHQWH
FDQWLGDGGHFXDGHUQRV
San José
80
Escuelas
Los
Laboratorio
Ángeles
40
20
¢&XiQWRVSDTXHWHVUHFLELyFDGDLQVWLWXFLyQ"
Montecito
70
3HGUR)ORU\-XOLDIRUPDQSDUWHGHXQFDPSDPHQWRHQHO
TXHDVLVWHQMyYHQHV-XOLDSURSRQHSDUDHOGHVDUUROORGHODV
DFWLYLGDGHV\FRQHOREMHWLYRGHQRGHMDUDQLQJXQDSHUVRQDSRU
IXHUD TXH VH IRUPHQ HTXLSRV GH WUHV SHUVRQDV )ORU FRQ OD
PLVPD SUHRFXSDFLyQ SURSRQH PiV ELHQ FUHDU JUXSRV GH SHUVRQDV \ 3HGUR FUHH TXH GHEHQ IRUPDUVH SDUHMDV ¢4Xp RSLQD
VREUHODSURSXHVWDGHHVWDVWUHVSHUVRQDV"5HGDFWHXQDMXVWLILFD
FLyQTXHUHVSDOGHVXSRVLFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Nótese que este problema contempla no sólo la
parte operatoria o de representación, sino que se pide explícitamente argumentar su posición. Además, se puede discutir sobre
la conveniencia de buscar la integración de las personas como
una forma de establecer relaciones de convivencia pacífica y
respetuosa de la diversidad.
Fracciones
x Fracción
propia e
impropia
x Representación mixta
x Homogéneas
x Heterogéneas
8. Identificar fracciones impropias.
9. Representar una fracción
impropia como la suma de
un número natural y una
fracción propia.
10. Expresar una fracción impropia en notación mixta y
viceversa.
c Proponer problemas que involucren fracciones impropias,
por ejemplo:
La sección 5-A de una escuela se propuso pintar su aula,
por lo que se dividieron en tres subgrupos. Un subgrupo llevó
tres cuartos de galón de pintura, otro llevó dos cuartos y el
último subgrupo (que era el más pequeño) llevó sólo un cuarto
de pintura. ¿Cuántos galones llevaron en total?
Se espera que las y los estudiantes se apoyen en formas de
representación gráfica para dar solución al problema.
Subgrupo 1
Subgrupo 2
Subgrupo 3
3
2
1
x Ubicación
en la recta
numérica
Se llena uno de los galones con parte del contenido del otro,
resultando:
Así, se recogió en total un galón y dos cuartos. Algo importante
en este problema es que la respuesta se obtuvo sin necesidad de
realizar operaciones con fracciones.
c Se debe explicar la importancia de la representación mixta de
una fracción impropia para la interpretación de algunas situaciones específicas. Por ejemplo:
Para la elaboración de un pastel, Andrés lee en la receta
que se necesitan cucharadas de azúcar. Éste se siente confundido y desconoce realmente la cantidad de azúcar que debe
agregar. Indíquele a Andrés realmente cuántas cucharadas
necesita para su receta.
199
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Después de entender el concepto e importancia del uso de
números mixtos, se debe utilizar el algoritmo para pasar de una
representación a otra.
11. Identificar fracciones homogéneas y heterogéneas.
c Proponer grupos de fracciones homogéneas y grupos de
fracciones heterogéneas y que cada estudiante deduzca las
diferencias entre ellas.
12. Comparar fracciones utilizando los símbolos <, > o
=.
c Es importante que se argumenten los resultados de las comparaciones realizadas con base en el sentido numérico. Por
ejemplo:
Argumentación
es una fracción
3
2
5
>
4
7
propia por lo que
no es mayor que la
unidad.
El primer número
tiene menos unidades que el otro.
La fracción de la
izquierda es impropia y la de la
derecha es propia.
5, 67>7 53
9
4
> 119
e
13. Ubicar fracciones en la
recta numérica.
A continuación se brinda una lista de objetos peligrosos
para niños menores de tres años (debido a su tamaño) y sus
medidas aproximadas:
a) Diámetro de una moneda de 100 colones: 3 cm.
b) Clavo de una pulgada:
c)
Una tuerca:
d) Una grapa:
cm.
cm.
cm.
Elabore un pequeño cartel donde se dibuje una recta numérica
(escala de un centímetro) que permita representar las medidas
de estos objetos peligrosos y sus respectivas ilustraciones.
Esta actividad permite crear conciencia sobre la
necesidad de alejar este tipo de objetos del alcance de los niños
pequeños y es una forma de valorar la utilidad que tienen las
Matemáticas en la vida cotidiana.
Al finalizar la actividad, se presentan los diseños elaborados, enfatizando el porqué de la ubicación de dichos números y
los criterios que mediaron para hacerlo de esa forma.
c Use fracciones cuyo denominador sea 2, 3, 4, 5 o 10.
200
Programas de cada ciclo educativo
'HWHUPLQDUIUDFFLRQHVHQ
WUHGRVQ~PHURVQDWXUDOHV
FRQVHFXWLYRV
Segundo ciclo, Números
c 6H SUHVHQWDQ SUREOHPDV GRQGH VH UHTXLHUD LGHQWLILFDU IUDF
FLRQHVHQWUHQ~PHURVQDWXUDOHVSRUHMHPSOR
1XHYH DPLJRV FRPSUDQ SL]]DV \ TXLHUHQ FRPHU GH
SL]]DFDGDXQR¢&XiQWDVSL]]DVHQWHUDVWLHQHQTXHFRPSUDU"
$SURYHFKDU OD QRWDFLyQ PL[WD GH XQD IUDFFLyQ LPSURSLD
SDUD HVWDEOHFHU HQWUH FXiOHVQ~PHURVQDWXUDOHV FRQVHFXWLYRV VH
XELFDGLFKDIUDFFLyQ
'HFLPDOHV
x /HFWXUD
x (VFULWXUD
x 1RWDFLyQ
GHVDUUROOD
GD
x 5HGRQGHR
(V QHFHVDULR HVWDU SHQGLHQWH GH TXH HO HVWXGLDQWDGR
DSUHQGD D FXHVWLRQDUVH ORV UHVXOWDGRV REWHQLGRV DVt FRPR VX
FRKHUHQFLD (VWR SHUPLWH GHVDUUROODU HO SURFHVR 5D]RQDU \
DUJXPHQWDU
/HHU\HVFULELUQ~PHURVHQ c6HSXHGHXWLOL]DUHVWDKDELOLGDGSDUDUHIRU]DUODXELFDFLyQGH
VX UHSUHVHQWDFLyQ GHFLPDO IUDFFLRQHVHQODUHFWDQXPpULFD
KDVWDODGLH]PLOpVLPD
c$OSDVDUGHXQDUHSUHVHQWDFLyQIUDFFLRQDULDDXQQ~PHURFRQ
H[SDQVLyQ GHFLPDO HVQHFHVDULR LPSOHPHQWDU HODOJRULWPR GH OD
(VWDEOHFHU OD FRUUHVSRQ
GLYLVLyQGHIRUPDWDOTXHORVUHVXOWDGRVQRH[FHGDQODVGLH]PL
GHQFLD HQWUH IUDFFLyQ GH
OpVLPDV 3RU HMHPSOR WUHV RFWDYRV VH UHSUHVHQWD GH OD IRUPD
FLPDO\Q~PHURGHFLPDO
VLJXLHQWH
5HSUHVHQWDUIUDFFLRQHVPH
± GLDQWH XQ Q~PHUR FRQ H[
SDQVLyQ GHFLPDO ILQLWD \
±
YLFHYHUVD
±
5HSUHVHQWDUXQQ~PHURGH c 3URSRQHU DO HVWXGLDQWH LQWHUURJDQWHV GH FyPR UHDOL]DU OD
FLPDO HQ VX QRWDFLyQ GH QRWDFLyQ GHVDUUROODGD GH FDQWLGDGHV FRPR \ VDUUROODGD
'DUOHXQHVSDFLRGHWLHPSRSDUDVXSURSXHVWD\OXHJRUHSUHVHQ
WDURWURVHMHPSORVHQODSL]DUUDFRPR
5HGRQGHDU XQ Q~PHUR GH
FLPDO
c 5HGRQGHR D OD PLOpVLPD FHQWpVLPD GpFLPD R DO Q~PHUR
QDWXUDOPiVFHUFDQR
c (O JUDGR GH SUHFLVLyQ GH ODV HVWLPDFLRQHV GHSHQGH GHO FRQ
WH[WRHQTXHVHUHDOLFH3RUHMHPSORDPRGRGHFRPSDUDFLyQHQ
HOI~WEROHOiUELWURSXHGHSLWDUHOILQDOGHOSDUWLGRXQRVVHJXQGRV
DQWHVRGHVSXpVGHOWLHPSRUHDOVLQHPEDUJRHQXQDFDUUHUDGH
PHWURV FDGD VHJXQGR \ PLOpVLPD GH VHJXQGR FXHQWD \ HO
FiOFXORGHEHVHUPX\SUHFLVR
(VWRPLVPRVXFHGHFRQORVQ~PHURVGHSHQGLHQGRGHOFRQWH[WR
VHKDFHQHFHVDULRUHGRQGHDUDODPLOpVLPDFHQWpVLPDGpFLPDR
Q~PHUR QDWXUDO PiV FHUFDQR 3RU HMHPSOR DO UHGRQGHDU π HO
FiOFXORGHOiUHDGHXQFtUFXORSXHGHYDULDUPXFKR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
π
Área de círculo de radio
15 cm
Milésima
π=3,142
706,95 cm2
Centésima
π=3,14
706,5 cm 2
Décima
π=3,1
697,5 cm 2
π=3
675 cm2
Redondeo a
Número natural
Cálculos y
estimaciones
x Suma
x Resta
x Multiplicación
x División
20. Multiplicar y dividir un
número con o sin expansión decimal por 10, 100,
1000 y 10 000.
l
c Es necesario que se obtenga un procedimiento para multiplicar y dividir un número natural o con decimales por 10, 100 y
10 000.
21. Analizar el resultado de
multiplicar y dividir por
números mayores o menores que uno.
c Se pueden plantear problemas como el siguiente:
22. Resolver y plantear problemas donde se requiera
el uso de la suma, la resta,
la multiplicación y división de números naturales
y con decimales.
c Se puede plantear un problema como el siguiente para
repasar el algoritmo de la división:
Pedro tiene 5 litros de agua que va a repartir a sus amigos y
cada uno tiene un recipiente cuya capacidad es de medio litro.
¿Cuántos recipientes puede llenar Pedro?
Para el desfile del 15 de setiembre, la maestra Grace tiene
planeado que sus 35 estudiantes asistan con un pequeño lazo
tricolor adherido a su brazo izquierdo. Para ello, compró un
listón de 6,5 m de longitud. ¿Cuántos centímetros de cinta se
requieren para elaborar el lazo de cada estudiante, si cada uno
tendrá la misma longitud?
El problema anterior promueve la Vivencia de los
Derechos Humanos para la Democracia y la Paz.
c Efectuar multiplicaciones donde el segundo factor sea a lo
sumo de tres dígitos agrupando y sin agrupar.
23. Utilizar la calculadora para
resolver problemas y ejercicios numéricos con cálculos complejos.
Una finca de forma rectangular colinda con un río en uno
de sus lados. Se desea implementar una cerca con tres filas de
alambre de púas para evitar que el ganado salga de la finca. El
costo del alambre se estima en unos ₡ 535 el metro. Si la finca
tiene por dimensiones 17,331 dam por 1,563 hm, ¿cuánto dinero
se gasta por la compra del alambre?
c Aquí es importante estar vigilantes de que se realice el
planteo, el procedimiento y las conversiones en forma correcta.
La calculadora es un medio para facilitar los cálculos.
Este problema permite conexión con el área de Medidas.
202
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
6HOHFFLRQDU PpWRGRV \ KH c8VRGHFiOFXORPHQWDOOiSL]\SDSHORFDOFXODGRUDVHJ~QHO
UUDPLHQWDV DGHFXDGRV SDUD WLSRGHSUREOHPDFRPRSRUHMHPSOR
ODUHVROXFLyQGHFiOFXORV
Si un videojuego cuesta $500 y el dólar
Cálculo mental tiene un valor de ₡ 500, ¿cuánto cuesta el
videojuego en colones?
Papel y lápiz
Calculadora
'
6HSXHGHREVHUYDUTXHFDGDXQRGHHVWRVSUREOHPDVWLHQHXQ
QLYHOGHGLILFXOWDGGLIHUHQWHSRUORTXHHVQHFHVDULRXWLOL]DUHO
PpWRGRDGHFXDGR&DGDXQR
ƒ$xR
&RQFHSWRV
7HRUtD
GHQ~PHURV
x 'LYLVLELOL
GDG
x )DFWRUHV
x 1~PHURV
SULPRV
x 1~PHURV
FRPSXHVWRV
Si un videojuego cuesta $582 y el dólar
tiene un valor de ₡ 500, ¿cuánto cuesta el
videojuego en colones?
Si un videojuego cuesta $582 y el dólar
tiene un valor de ₡ 506,7, ¿cuánto cuesta
el videojuego en colones?
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
$SOLFDUORVFRQFHSWRVGHGL
YLVLELOLGDG GLYLVRU IDFWRU \
P~OWLSORGHXQQ~PHURQDWX
UDO HQ OD UHVROXFLyQ GH SUR
EOHPDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H OH SXHGHQ SURSRQHU SUREOHPDV WLSR DGLYLQDQ]DV GRQGH
GHEHQ DSOLFDUVH HVWRV FRQFHSWRV SDUD HQFRQWUDU OD FDQWLGDG
FRPRSRUHMHPSOR
+DOOHXQQ~PHURTXHVHDGLYLVLEOHSRU\
c (V LPSRUWDQWHOD DSOLFDFLyQGH HVWRV FRQFHSWRV D ODKRUD GH
DEDUFDU ORV SURFHVRV GH DPSOLILFDFLyQ \ VLPSOLILFDFLyQ GH
IUDFFLRQHV
,GHQWLILFDU Q~PHURV SULPRV c6HVROLFLWDDFDGDHVWXGLDQWHTXHHQFXHQWUHWRGRVORVIDFWRUHV
\FRPSXHVWRV
R GLYLVRUHV GH XQD VHULH GH Q~PHURV SULPRV \ FRPSXHVWRV VLQ
PHQFLRQDU HVWRV FRQFHSWRV /XHJR VH FODVLILFDQ VHJ~Q OD
FDQWLGDG GH GLYLVRUHV 'HVSXpV VH IRUPDOL]D ORV FRQFHSWRV GH
Q~PHURVSULPRV\FRPSXHVWRV
6HVXJLHUHXWLOL]DUOD&ULEDGH(UDWyVWHQHVD&
SDUDUHIRU]DUHOWHPD\YDORUDUVXFRQWH[WRKLVWyULFR
1~PHURV
QDWXUDOHV
x 3RWHQFLDV
x &XDGUDGRV
SHUIHFWRV
x &XERV
5HSUHVHQWDUSURGXFWRVFRQ
IDFWRUHVLJXDOHVFRPRSR
WHQFLD\YLFHYHUVD
&DOFXODU SRWHQFLDV FX\D ED
VH \ H[SRQHQWH VHDQ Q~PH
URV QDWXUDOHV QR LJXDOHV D
FHURVLPXOWiQHDPHQWH
$ HVWH QLYHO DXPHQWDOD FRPSOHMLGDG GHORV FiOFXORV SRU
HOOR VH GHEH HVWDU DWHQWR D PRWLYDU SDUD UHVROYHU SUREOHPDV
HQIUHQWiQGRORV QR GHEH RFXUULU TXH VH FRSLH VLPSOHPHQWH OD
UHVSXHVWDVLQFRPSUHQGHUVHHOUD]RQDPLHQWRXWLOL]DGR
8QDIRUPDLQWHUHVDQWHGHLQWURGXFLUHOFRQFHSWRGHSRWHQ
FLD \ OD QHFHVLGDG GH VX QRWDFLyQ HV PHGLDQWH OD KLVWRULD GHO
DMHGUH]TXHVHHQFXHQWUDHQHOOLEUR(OKRPEUHTXHFDOFXODEDGH
0DOED 7DKDQ (Q HO FDStWXOR ;9, VH UHODWD OD KLVWRULD GH XQ
MRYHQ OODPDGR /DKXU 6HVVD TXLHQ REVHTXLy DO UH\ ,DGDYD XQ
MXHJRHODMHGUH]TXHOHSHUPLWLUtDVDOLUGHOGRORUTXHOHHPEDU
JDEDSRUODPXHUWHGHVXKLMRHOSUtQFLSH$GMDPLU(OUH\FRPR
PXHVWUDGHDJUDGHFLPLHQWROHPDQLIHVWyD6HVVDTXHOHGDUtDOR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
SHUIHFWRV
x 3RWHQFLDVGH
EDVH
TXHpOGHVHDUDeVWHVLQHPEDUJRQRTXHUtDUHFRPSHQVDDOJXQD
SHURDQWHODLQVLVWHQFLDGH,DGDYDDFFHGLyDUHFLELUXQJUDQRGH
WULJR SRU OD SULPHUD FDVLOOD GHO WDEOHUR GRV SRU OD VHJXQGD
FXDWUR SRU OD WHUFHUD \ DVt GREODQGR OD FDQWLGDG GH JUDQRV
VXFHVLYDPHQWH SRU FDGD XQD GH ODV FDVLOODV VLJXLHQWHV (O UH\
FUH\yULGtFXODVXSHWLFLyQSHURGHVSXpVGHUHDOL]DGRVORVFiOFX
ORVOHFRPXQLFDURQTXHGLFKDFDQWLGDGGHJUDQRVHUDLPSRVLEOH
GHSDJDU
c 6H VROLFLWD UHSUHVHQWDU R GHVFULELU OD RSHUDFLyQ TXH VH GHEH
UHDOL]DU SDUD REWHQHU GLFKR UHVXOWDGR 'HVSXpV UHDOL]DU XQD
GLVFXVLyQ VREUH OD QHFHVLGDG GH OD QRWDFLyQ GH SRWHQFLD \ ORV
LQFRQYHQLHQWHV TXH VH SUHVHQWDQ D OD KRUD GH UHDOL]DU HVWRV
FiOFXORV 6H IRUPDOL]D DVt OD QRFLyQ GH SRWHQFLD FRPR HO SUR
GXFWRVXFHVLYRGHIDFWRUHVLJXDOHV
&RQHVWDUHVHxDKLVWyULFDVHSXHGHIRUWDOHFHUHODSUHFLR\
UHVSHWRSRUODV0DWHPiWLFDV
,GHQWLILFDU FXDGUDGRV \ FX
(OVLJXLHQWHFXDGUDGRWLHQHXQiUHDHTXLYDOHQWHDPP ERV SHUIHFWRV GH Q~PHURV
¢&XiQWRPLGHVXODGR"
QDWXUDOHV
6H SUHWHQGH TXH FDGD HVWXGLDQWH GHWHUPLQH TXH HOODGR PLGH PP \ HQ FRQVHFXHQFLD HO iUHD VH SXHGH H[SUHVDU FRPR XQD
SRWHQFLDGHH[SRQHQWH
$FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDXQDLPDJHQGHOFXER5XELN
D
E
¢'HFXiQWRVFXELWRVHVWiIRUPDGR"
¢4Xp UHODFLyQ WLHQH OD PHGLGD GH OD DULVWD VH SXHGH
VXSRQHUTXHFDGDDULVWDPLGHFPFRQODFDQWLGDGGH
FXELWRV"
6H SUHWHQGH TXH HO HVWXGLDQWDGR GHWHUPLQH TXH HO FXER JUDQGH
VH FRPSOHWD FRQ FXELWRV HQ FRQVHFXHQFLD HVWD FDQWLGDG VH
SXHGHH[SUHVDUFRPRXQDSRWHQFLDGHH[SRQHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
([SUHVDUP~OWLSORVGH
FRPRSRWHQFLDVGHEDVH
([SUHVDUQ~PHURVQDWXUDOHV
HQQRWDFLyQGHVDUUROODGD
XWLOL]DQGRSRWHQFLDVGHEDVH
GLH]
)UDFFLRQHV
x )UDFFLRQHV
HTXLYDOHQWHV
x 6LPSOLILFD
FLyQ\DP
SOLILFDFLyQ
x 0XOWLSOLFD
FLyQ
x 'LYLVLyQ
x ,QYHUVR
PXOWLSOLFDWL
YR
x 6XPD
x 5HVWD
,GHQWLILFDU IUDFFLRQHV HTXL
YDOHQWHV
6LPSOLILFDU\DPSOLILFDU
IUDFFLRQHV
(VWRVSUREOHPDVSURPXHYHQODFRQH[LyQFRQ*HRPHWUtD\
0HGLGDV
c3URSRQHUXQDFDQWLGDGHQQRWDFLyQGHVDUUROODGDSRUHMHP
SOR
îîîî
\SHGLUOHVTXHODHVFULEDQXWLOL]DQGRSRWHQFLDVGHEDVH
îîî
c 6H SXHGHQ XWLOL]DU SUREOHPDV VLPLODUHV DO VLJXLHQWH FRQ HO
REMHWLYR GH MXVWLILFDU HO DOJRULWPR TXH SHUPLWH VLPSOLILFDU \
DPSOLILFDUIUDFFLRQHV
(QHOVLWLRZHE
KWWSFOLF[WHFFDWGEMFOLF$SSOHWMVS"SURMHFW KWWSFOLF[WHFFDW
SURMHFWVGLYIUDFHMFOLFGLYIUDFHMFOLF]LSODQJ HVWLWOH )UDFFLR
QHVP~OWLSORV\GLYLVRUHV
VHHQFXHQWUDQDOJXQDVDFWLYLGDGHVFRQIUDFFLRQHVSRUORTXHVH
SXHGH DSURYHFKDU SDUD XQ UHSDVR \ SDUD HVWXGLDU OD QRFLyQ GH
IUDFFLRQHVHTXLYDOHQWHVDWUDYpVGHJUiILFRVFRPRODVLJXLHQWH
0XOWLSOLFDU \ GLYLGLU IUDF
FLRQHV
c 3DUD HO SURFHVR GH VLPSOLILFDFLyQ HV QHFHVDULR SUHVHQWDU
IUDFFLRQHV FX\R QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU VHDQ Q~PHURV TXH
WHQJDQ DOR VXPRWUHV GtJLWRV(QIDWL]DU HO XVR GHODVUHJODV GH
GLYLVLELOLGDGYLVWDVFRQDQWHULRULGDG
c (V QHFHVDULR HQIDWL]DU TXH ODV IUDFFLRQHV VRQ VLPSOHPHQWH
XQDIRUPDSDUDUHSUHVHQWDUORVQ~PHURV\TXHVHXWLOL]DQSRUTXH
QRVD\XGDQDVLPSOLILFDUORVFiOFXORV
Programas de cada ciclo educativo
11. Identificar el inverso multiplicativo de un número
natural y/o fraccionario.
Segundo ciclo, Números
c Se propone el siguiente problema:
¿Qué valores hacen verdaderas las siguientes igualdades?
¿Qué características presentan dichos valores con respecto al
primer valor?
c Después de que se ha realizado la comunicación de respuestas y su pertinencia, es importante precisar el concepto de
inverso multiplicativo de un número. Aprovechar la actividad
anterior para concluir que cero no tiene inverso multiplicativo.
12. Sumar y restar fracciones
homogéneas y heterogéneas.
c Iniciar sumando y restando fracciones homogéneas, para lo
cual se plantean problemas semejantes al siguiente:
Hugo es un veterinario que tiene un terreno cerca de la
playa, el cual está constituido por zonas boscosas. Él ha decidipartes del mismo las utilizará para construir una casa
do que
lo dedicará a la construcen armonía con el medio ambiente,
ción de un lugar donde se atenderá animales nativos del lugar
que estén enfermos o hayan sido objeto de maltrato. El resto lo
conservará como área protegida para preservar las especies del
lugar.
a.
b.
Determine la fracción de terreno que abarcará la casa y
la estancia para animales enfermos o maltratados.
Determine la fracción de terreno que corresponde al
área protegida.
Es importante que la acción docente esté dirigida a
discutir y crear conciencia en el estudiantado acerca de la
importancia de conservar nuestra biodiversidad y vivir una
Cultura Ambiental para el Desarrollo Sostenible.
Para introducir el concepto de suma o resta de fracciones
heterogéneas se puede trabajar gráficamente. Se puede proponer
un problema que permita potenciar las representaciones numéricas.
Después se formaliza el algoritmo para la homogenización de
las fracciones por medio de la amplificación o simplificación de
fracciones.
206
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
c $QDOL]DUHMHPSORVFRPR
\UHODFLRQDUORFRQODQRWDFLyQPL[WDGHXQDIUDFFLyQ
c3DUDWUDEDMDUODVXPDRUHVWDGHIRUPDDOJRUtWPLFDVHWUDEDMD
Ui VLQ XWLOL]DU HO FRQFHSWR GH 0tQLPR &RP~Q 0~OWLSOR SRU OR
TXHVHUHFRPLHQGDGHVSXpVGHTXHVHKD\DHQWHQGLGRHOFRQFHS
WRUHDOL]DUVXPDVRUHVWDVFRPRHOVLJXLHQWHHMHPSOR
2SHUDFLRQHV
x 3ULRULGDG
x &RPELQD
FLyQ
&iOFXORV\
HVWLPDFLRQHV
x 6XPD
x 5HVWD
x 0XOWLSOLFD
FLyQ
x 'LYLVLyQ
x 3RWHQFLDV
5HVROYHU SUREOHPDV GRQGH
VH UHTXLHUD HO XVR GH OD
FRPELQDFLyQ GH RSHUDFLR
QHV VXPD UHVWD PXOWLSOL
FDFLyQ\GLYLVLyQGHQ~PH
URV QDWXUDOHV \ FRQ GHFL
PDOHV
5HVROYHU \ SODQWHDU SUR
EOHPDV GRQGH VH UHTXLHUD
HOXVRGHODVXPDODUHVWD
OD PXOWLSOLFDFLyQ \ OD GLYL
VLyQGHIUDFFLRQHV\Q~PH
URVFRQGHFLPDOHV
c 6H SURSRQH XQD FRPELQDFLyQ GH RSHUDFLRQHV SDUD TXH VH
JHQHUDOLFHQ ORV FRQRFLPLHQWRV HVWDEOHFLGRV HQ ƒ $xR 3RU
HMHPSOR
D y±u E u±u c /RV SUREOHPDV SURSXHVWRV GHEHQ VHU VLPLODUHV D ORV
HVWXGLDGRV FXDQGR VH IRUPDOL]y HVWH WLSR GH RSHUDFLRQHV HQ
KDELOLGDGHVDQWHULRUHV
3DUD HVWDEOHFHU FRQH[LRQHV FRQ 0HGLGDV VH SXHGHQ
XWLOL]DUSUREOHPDVYLQFXODGRVDODREWHQFLyQGHGLVWDQFLDVHQWUH
YDULDVFLXGDGHVHQXQPDSDKDFLHQGRXVRGHVXHVFDODLQGLFDQ
GR DO HVWXGLDQWDGR TXH VXVPHGLFLRQHV VHKDJDQ FRQ XQD SUHFL
VLyQGHKDVWDPLOtPHWURV
6H EULQGD DOJXQD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH XQD VXPD GH
IUDFFLRQHV
&DOFXODUPHQWDOPHQWH
SRWHQFLDVPHGLDQWHGLIH
UHQWHVHVWUDWHJLDV
u u $ SDUWLU GH HVWRV GDWRV FDGD HVWXGLDQWH GHEH SODQWHDU DOJ~Q
SUREOHPDRVLWXDFLyQGRQGHORVXWLOLFH
c (V LPSRUWDQWH TXH FDGD HVWXGLDQWH WUDEDMH PHQWDOPHQWH ODV
SRWHQFLDVGH\ORVFXDGUDGRVSHUIHFWRV
6H SXHGH EXVFDU XQD FRQH[LyQ FRQ 0HGLGDV \ VLUYH GH
UHSDVRSDUDDOJXQRVWHPDVGHHVWDiUHDSRUHMHPSOR
NP P GP FP PP
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
$SOLFDU HO FiOFXOR PHQWDO c3URSRQHUMXHJRVUDOO\HV\RWUDVDFWLYLGDGHVTXHSHUPLWDQ
GHORVUHVXOWDGRVGHVXPDV IDYRUHFHUHOFiOFXORPHQWDO
UHVWDV PXOWLSOLFDFLRQHV \
GLYLVLRQHV
'HWHUPLQDU HO UHVXOWDGR GH c 'HEHQXVDUVHHMHUFLFLRVVLPSOHVFRPRSRUHMHPSOR
RSHUDFLRQHVFRQIUDFFLRQHV
PHGLDQWHHOFiOFXORPHQWDO
XWLOL]DQGR GLIHUHQWHV HVWUD
WHJLDV
(QWUHODVSRVLEOHVHVWUDWHJLDVTXHFDGDHVWXGLDQWHGHEHPDQLIHV
WDUGXUDQWHODUHVROXFLyQGHHVWDVRSHUDFLRQHVVHFLWDQ
D (OUHVXOWDGRGHVXPDURUHVWDUXQDIUDFFLyQ\XQQ~PH
URQDWXUDO VH REWLHQH DO PXOWLSOLFDU HO GHQRPLQDGRU GH
OD IUDFFLyQ \ HO Q~PHUR QDWXUDO VXPDQGR R UHVWDQGR
GLFKRUHVXOWDGRDOQXPHUDGRU\FRQVHUYDQGRHQHOSUR
FHVRHOGHQRPLQDGRURULJLQDO
E 6XPDU R UHVWDU ORV QXPHUDGRUHV \ FRQVHUYDU HO GHQR
PLQDGRUSDUDHOFDVRGHIUDFFLRQHVKRPRJpQHDV
F $O PXOWLSOLFDU XQD IUDFFLyQ SRU HO UHVXOWDGR FRUUHV
SRQGHDODPLVPDIUDFFLyQ
8WLOL]DUODFDOFXODGRUDSDUD
UHVROYHU SUREOHPDV \ HMHU
6HSXHGHSURSRQHUSUREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWH
FLFLRV QXPpULFRV FRQ FiO FXORVFRPSOHMRV
'HWHUPLQHODFLIUDGHODVXQLGDGHVGHOUHVXOWDGRGHOD
RSHUDFLyQ
$TXtODFDOFXODGRUDFRQWULEX\HDDJLOL]DUHOUHFRQRFLPLHQ
WR GH XQ SDWUyQ SUHVHQWH HQ OD FLIUD GH ODV XQLGDGHV TXH VH
REWLHQHQDOGHVDUUROODUDOJXQDVSRWHQFLDV(VWHSUREOHPDSHUPLWH
HVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(VLPSRUWDQWHVHJXLUODJHQHUDOL]DFLyQGHORVDOJRULWPRVSDUDODVXPDODUHVWD\ODPXOWLSOL
FDFLyQGH Q~PHURVQDWXUDOHVWUDEDMDGRVGXUDQWHHO3ULPHUFLFORDVtFRPRODUHVROXFLyQGH
SUREOHPDV PHGLDQWH HVWDVRSHUDFLRQHV 1R VH SUHWHQGH TXH ORV SUREOHPDV VH YHDQ DO ILQDO
GHOWUDWDPLHQWRGHODVRSHUDFLRQHVVLQRTXHDPERVYD\DQGHODPDQR
(OWUDEDMRHQHTXLSRUHVXOWDEHQHILFLRVRSXHVXQDPELHQWHFRODERUDWLYRRIUHFHODRSRUWXQL
GDGGHTXHFDGDHVWXGLDQWHPDQLILHVWHODVKDELOLGDGHV\GHVWUH]DVTXHGRPLQD7DPELpQOD
FRPSHWHQFLDHVFDUDFWHUtVWLFDGH ODVSHUVRQDVGHHVWDHGDGSRUORTXHHVWUDWHJLDVWLSR³DQ
WRUFKD´R³UDOO\´UHVXOWDQHQULTXHFHGRUDV\OODPDWLYDVSDUDDSUHQGHUPDWHPiWLFDV
(OXVRGH MXHJRVGH PHVDUHDOL]DGRVSRUORV PLVPRVHVWXGLDQWHVFRPRELQJRVRFUXFLJUD
PDVVHSXHGHQDSURYHFKDUSDUDUHSDVDUODVWDEODVGHPXOWLSOLFDFLyQ
(QHVWHFLFORVHWUDEDMDFRQFDQWLGDGHVPD\RUHVRLJXDOHVTXHDOJXQRVSURFHVRVVH
SXHGHQWUDEDMDUGHPDQHUDDEVWUDFWDQRFRQWH[WXDOL]DGDSXHVODDEVWUDFFLyQHVSLH]DPH
GXODUHQHVWDGLVFLSOLQD3RUHMHPSORVLHQHO3ULPHUFLFORVHXWLOL]yHOiEDFRYHUWLFDORORV
EORTXHVPXOWLEDVHSDUDODDGTXLVLFLyQGHOFRQFHSWRGHGHFHQDRFHQWHQDHQHO6HJXQGRFL
FORORVFRQFHSWRVGHGHFHQDVFHQWHQDVGHPLOODUHWFVHSXHGHQWUDEDMDUGHIRUPDDEVWUDF
WD
(OXVRGHODFDOFXODGRUDGXUDQWHHVWHFLFORGHEHLURULHQWDGRHQGRVGLUHFFLRQHV
D &RPRXQDKHUUDPLHQWDTXHSHUPLWHVLPSOLILFDUODUHDOL]DFLyQGHFiOFXORVFRPSOH
MRVHQSUREOHPDVGRQGHORSULPRUGLDOHVHYDOXDUHOSODQWHRGHORVGDWRVODHVWUDWH
JLDHPSOHDGD\ODDUJXPHQWDFLyQSURSXHVWDSRUFDGDHVWXGLDQWH
E &RPRXQDKHUUDPLHQWDTXHD\XGDHQODYHULILFDFLyQGHORVUHVXOWDGRVILQDOHVGHODV
RSHUDFLRQHVSDUDGHWHFWDUSRVLEOHVIXHQWHVGHHUURUHQORVSURFHGLPLHQWRVGHVDUUR
OODGRV
1XQFDVHGHEHXWLOL]DUODFDOFXODGRUDFRPRVXVWLWXWRGHODVRSHUDFLRQHVTXHGHEHUHVROYHUFD
GDHVWXGLDQWH\DVHDDWUDYpVGHFiOFXORPHQWDORFRQSDSHO\OiSL]
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Cuarto año
6HSURSRQHODVLJXLHQWHDFWLYLGDG
BENEFICIOS DEL SECTOR PÚBLICO
Variación salarial según pluses
Otros pluses
Categoría
Salario base con
alza de ₡ 5000
14
anualidades
Carrera
profesional
Dedicación
exclusiva
Incentivo
didáctico
Dosificación
adicional 17%
Dedicación carrera
hospitalaria 22%
Misceláneo 1
₡ 209.050
Secretario 1
₡ 265.700
₡ 76.090
Profesional del Servicio civil 1-B
₡ 505.350
₡ 137.256
₡ 65.860
₡ 252.350
₡ 75.404
₡ 52.497
₡ 31.575
₡ 411.826
₡ 497.400
₡ 136.100
₡ 52.497
₡ 57.060
₡ 742.057
₡ 506.350
₡ 137.256
₡ 52.497
₡ 57.902
₡ 732.527
₡ 564.046
₡ 65.950
Profesor de Enseñanza
General Básica 1 (aspirante)
Profesor de Enseñanza
General Básica 1 (licenciado)
Profesor de Enseñanza
Media MT5 (licenciado)
Médico G-1
₡ 74.926
Salario
total
₡ 283.976
₡ 341.790
FUENTE: MINISTERIO DE TRABAJO, CON DATOS DEL SERVICIO CIVIL.
₡ 277.942
₡ 986.408
₡ 753.006
₡ 124.530
₡ 327.132
₡ 1.814.185
7RPDGRGHKWWSQDFLRQGRFSLWFRP"W\SH SXEOLFDWLRQ FXUVRU PRGH VLPSOHT SXEBGDWH WRSLF OLPLW UHVXOWVHW &RORTXH HO VtPEROR GH ! R VHJ~Q FRUUHVSRQGD $GHPiV GHVFULED HO VLJQLILFDGR GH GLFKD
SURSRVLFLyQGHDFXHUGRFRQODLQIRUPDFLyQGHVFULWDHQHOFXDGURDQWHULRU
Proposición
252 350 _____ 506 360
283 978 _____ 209 050
Descripción
$O WUDEDMDU OD GLYLVLyQ HV LPSRUWDQWH TXH HO HVWXGLDQWDGR LQLFLH HVWDEOHFLHQGR HVWUDWHJLDV
LQWXLWLYDVYLVWDVHQHOFLFORDQWHULRUFRQD\XGDGHEORTXHVPXOWLEDVHRSDSHOFXDGULFXODGR
SDUDTXHHODOJRULWPRTXHVHLPSOHPHQWHWHQJDXQPD\RUVHQWLGR3RUHMHPSORVHSURSRQHHO
VLJXLHQWHSUREOHPD 3URGXFWR GH XQD UHFROHFWD VH ORJUDURQ FRQIRUPDU FDQDVWDV GH YtYHUHV ODV FXDOHV VH
SLHQVDQUHSDUWLUHTXLWDWLYDPHQWHDIDPLOLDVQHFHVLWDGDVHQEDUULRVGHOD]RQD¢&XiQWDV
FDQDVWDVVHGHEHQUHSDUWLUHQFDGDEDUULR"
6H HVSHUD TXH FDGD HVWXGLDQWH UHSUHVHQWH HO Q~PHUR FRQ GHFHQDV \ XQLGDGHV \ TXH
GHFLGDUHSDUWLUSULPHURHTXLWDWLYDPHQWHODVGHFHQDV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Así a cada barrio le corresponde una cantidad de canastas equivalente a 2 decenas. Al sobrar una y agregando las tres unidades pendientes, se forman 13 unidades las cuales también se reparten equitativamente:
Con esto, a cada barrio le corresponde 3 canastas más. Como ya se tenían 20, a cada barrio le corresponde 23 canastas de víveres, sobrando una.
Al formalizar las partes de la división y el algoritmo, es importante plasmar la secuencia
de pasos seguida:
±
Decena sobrante o
13 unidades
9 3 4
8 p 2
1 3
Decenas
repartidas
Se repite el proceso:
±
±
Unidad sobrante o
9
8
1
1
3 4
p 23
3
2
1
Unidades
repartidas
211
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
(VLPSRUWDQWHLULQWURGXFLHQGRHOWpUPLQR³GLYLVLEOH´SDUDGHQRWDUFXiQGRODGLYLVLyQGHXQ
Q~PHURQDWXUDOSRURWURWLHQHUHVLGXRFHUR3RUHMHPSORODRSHUDFLyQ yWLHQHUHVLGXR
FHURSRUORFXDOHVGLYLVLEOHSRU-XVWLILFDUDGHFXDGDPHQWHTXHODGLYLVLyQFRQGLYLVRU
FHURQRHVWiGHILQLGD\DTXHQRKD\XQQ~PHURTXHPXOWLSOLFDGRSRUFHURGpFRPRUHVXOWDGR
XQQ~PHURGLIHUHQWHGHFHUR3RUHMHPSOR· "HVWiLQGHILQLGR\DTXH"î 3DUD LQWURGXFLU HO FRQFHSWR GH IUDFFLyQ HV LPSRUWDQWH SURSRQHU DO HVWXGLDQWH DFWLYLGDGHV
GRQGHVHYHDHQODQHFHVLGDGGHH[SUHVDUYHUEDOPHQWHVLWXDFLRQHVGRQGHVHWRPDQSDUWHVGH
XQD FROHFFLyQ GH REMHWRV R H[LVWHQ FDUDFWHUtVWLFDV HVSHFLDOHV HQ FLHUWDV SDUWHV GH XQ WRGR
'HVSXpVVHSURSRQHODIUDFFLyQFRPRXQDIRUPDGHUHSUHVHQWDUHVWHWLSRGHVLWXDFLRQHV\VH
LQWURGXFHQDVSHFWRVUHODFLRQDGRVFRQVXHVFULWXUD
$OJXLHQFRPLyFXDWUREDQDQRVGHRQFHTXH
KDEtDQ
³&XDWURRQFHDYRV´
)DOWDQVLHWHWULiQJXORVSRUSLQWDUGHOWRWDO
3DUDPRWLYDUHOWHPD\ORJUDUGHXQDPDQHUDVLJQLILFDWLYDODKDELOLGDGVHUHDOL]DQMXHJRVGH
PHPRULDGRQGHVHIRUPDQSDUHMDVHQWUHIUDFFLRQHVUHSUHVHQWDGDVHQIRUPDVJUiILFDVYDULDGDV
FLUFXODUHVFRPRSL]]DVUHFWDQJXODUHVFRPRXQTXHTXHRHQ OtQHDFRPRXQSDQ EDJXHWWHR
FROHFFLRQHVGHREMHWRVFRPRXQJUXSRGHOiSLFHVGHFRORU\IUDFFLRQHVHVFULWDVHQSDODEUDV
&DEHUHVDOWDUTXHGXUDQWHHOƒ$xRVyORVHWUDEDMDUiQIUDFFLRQHVSURSLDV
DSDUWLU
6HSURSRQHDFDGDHVWXGLDQWHKDFHUFDUWHOHVFRQHMHPSORVGH IUDFFLRQHV
GH FROHFFLRQHV GH REMHWRV FtUFXORV FXDGUDGRVUHFWiQJXORV GRQGH ODV UHSUHVHQWDQ HQ IRUPD
SUHFLVDXVRGHODHVFXDGUD\GHOFRPSiV
(QHODQiOLVLVGHIUDFFLRQHVSURSLDVHVUHOHYDQWHTXHVHXWLOLFHQSDUDODFRPSUHQVLyQGHWH[
WRV\QRWLFLDV3RUHMHPSORFRPSUHQGHUODPDJQLWXGGHORTXHH[SUHVDHOWtWXORVLJXLHQWH\
FRQFLHQWL]DUDFHUFDGHODQHFHVLGDGGHDFDWDUODVGLVSRVLFLRQHVVDQLWDULDVTXHFRUUHVSRQGHQ
SDUDSUHYHQLUHVWDHQIHUPHGDG
7RPDGRGHKWWSZZZHOPXQGRHVHOPXQGRVDOXGPHGLFLQDKWPO Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
$O FRPSDUDU IUDFFLRQHV SURSLDV PHGLDQWH ORV VtPERORV ! R FRPHQ]DU FRPSDUDQGR
IUDFFLRQHV FRQ LJXDO GHQRPLQDGRU 3DUD HO FDVR HQ TXH ODV IUDFFLRQHV WLHQHQ GLIHUHQWH GH
QRPLQDGRUDSHODUDOVHQWLGRQXPpULFRGHOHVWXGLDQWHHOFXDOVHGHEHLUUHIRU]DQGRPHGLDQWH
HOXVRGHUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDV6HSURSRQHHODOJRULWPRTXHSHUPLWHHVWDEOHFHUODUHOD
FLyQGHRUGHQH[LVWHQWHDOFRPSDUDUGRVIUDFFLRQHV(QHOFDVRGHQ~PHURVFRQH[SDQVLyQ
GHFLPDOVHGHEHWUDEDMDU \HYDOXDUODFRPSDUDFLyQGHFDQWLGDGHVFRPR\R \
Quinto año
(VQHFHVDULRUHWRPDUODQRFLyQGHP~OWLSORGHXQQ~PHURQDWXUDOSDUDUHODFLRQDUORGLUHFWD
PHQWHFRQODREWHQFLyQGHVXVGLYLVRUHV$VtFXDQGRVHKDEODGHTXHHVP~OWLSORGH\
SXHV uVHSXHGHDILUPDUWDPELpQTXH\VRQGLYLVRUHVGH
(V LPSRUWDQWH TXH GXUDQWH HO WUDEDMR HVWXGLDQWLO VH XWLOLFHQ GLIHUHQWHV UHSUHVHQWDFLRQHV GH
XQDIUDFFLyQLPSURSLD
5HSUHVHQWDFLyQJUiILFD
)UDFFLyQSURSLD
1~PHUR
PL[WR
1RPHQFODWXUD
7UHVXQLGDGHV
\WUHVTXLQWRV
3DUDODRSHUDWRULDFRQGLYLVLRQHVVHGHEHQFRQWHPSODUORVVLJXLHQWHVFDVRV
F 3DUDGLYLVLyQGHQ~PHURVQDWXUDOHVGLYLGHQGRPHQRUD\GLYLVRUGHKDVWD
FLIUDV
G 3DUDGLYLVLyQGH Q~PHURVGHFLPDOHVGLYLGHQGR \GLYLVRUFRQQ~PHURVGHFLPDOHV
KDVWDODGLH]PLOpVLPD
H 3DUDGLYLVLyQGHXQQ~PHURGHFLPDOSRURWURQDWXUDOHOGLYLGHQGRPHQRUD
FRQGHFLPDOHVKDVWDODGLH]PLOpVLPD\HOGLYLVRUGHKDVWDWUHVFLIUDV
I 3DUDGLYLVLyQGHXQQ~PHURQDWXUDOSRURWURGHFLPDOHOGLYLGHQGRPHQRUD
\HOGLYLVRUFRQGHFLPDOHVKDVWDODGLH]PLOpVLPD
/RVUHVXOWDGRVGHGLFKDVGLYLVLRQHVQRGHEHQJHQHUDUXQDH[SDQVLyQGHFLPDOLQILQLWDSHULy
GLFDSXHVGLFKDQRFLyQVHHVWXGLDUiHQƒ$xR6yORVHWUDEDMDFRQUHVXOWDGRVFRQH[SDQ
VLyQGHFLPDOILQLWD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Sexto año
(QODWHRUtDGHQ~PHURVSDUWLFXODUPHQWHORVQ~PHURVSULPRV\FRPSXHVWRVVHSXHGHQHYD
OXDUKDVWDHOSHURQRFRQYLHQHYDORUDUODPHPRUL]DFLyQGHORVPLVPRVVLQRHOSURFHVR
SDUDREWHQHUVLXQQ~PHURHVSULPRRQR'HKHFKRVHSXHGHUHVXPLUSDUDHOFDVRGHQ~PH
URVPHQRUHVTXHHQTXHXQQ~PHURSULPRHVDTXHOTXHQRVHDGLYLVLEOHSRUH[FHSWR
HOTXHHVHO~QLFRSULPRFRQHVWDFDUDFWHUtVWLFDSRUSRU\SRU
(VWXGLDUHOFDVRGHSRWHQFLDVFX\DEDVHVHDFHURRXQR8QHUURUWtSLFRHQHOWUDWDPLHQWRGH
ODV SRWHQFLDV HV FUHHU TXH SDUD UHVROYHUOD EDVWD PXOWLSOLFDU OD EDVH SRU HO H[SRQHQWH 3RU
HMHPSOR u LQFRUUHFWRSXHV uuu 'HFODUDUDOHVWXGLDQWH
TXHFXDOTXLHUSRWHQFLDFX\DEDVHHVGLIHUHQWHGHFHUR\H[SRQHQWHQXORHTXLYDOHDXQRDVH
YHUDFLyQTXHVHMXVWLILFDUiRSRUWXQDPHQWHHQ6HFXQGDULD
3DUD UHSUHVHQWDU IUDFFLRQHV HQ VX IRUPD GHFLPDO VH GHEHQ SURSRQHU HMHPSORV TXH QR VHDQ
HTXLYDOHQWHVDQ~PHURVFRQH[SDQVLyQGHFLPDO LQILQLWDSHULyGLFD6HWUDEDMDUi~QLFDPHQWH
FRQUHSUHVHQWDFLRQHVFRQH[SDQVLyQGHFLPDOILQLWD
8QDYH]FRPSUHQGLGRHODOJRULWPRSDUDODVLPSOLILFDFLyQGHIUDFFLRQHVDOWHUQDWLYDPHQWHVH
SXHGHDSURYHFKDUHOUHSUHVHQWDUHOQXPHUDGRU\HOGHQRPLQDGRUGHODIUDFFLyQFRPRHOSUR
GXFWRGHYDULRVIDFWRUHV\SURFHGHUDDSOLFDUODVLPSOLILFDFLyQGHORVPLVPRV3RUHMHPSOR
VLVHGHVHDVLPSOLILFDUODIUDFFLyQ
3DUD HO FDVR GH ODV RSHUDFLRQHV FRQ IUDFFLRQHV VH GHEHQ SURSRQHU SUREOHPDV DO HVWXGLDQWH
SDUDTXHVHDQUHVXHOWRVXWLOL]DQGRPHGLRVHPStULFRV\RUHSUHVHQWDFLRQHV3RVWHULRUPHQWHVH
IRUPDOL]DQORVDOJRULWPRVFRUUHVSRQGLHQWHVSDUDODUHVROXFLyQGHORVVLJXLHQWHVFDVRV
x 0XOWLSOLFDFLyQGHIUDFFLRQHV
¢&yPRUHSUHVHQWDU GH "
6ROXFLyQJUiILFDPHQWH
2SHUDFLyQDIRUPDOL]DU
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
x 0XOWLSOLFDUXQQ~PHURQDWXUDOSRUXQDIUDFFLyQ
9DOHULDWLHQHXQWDQTXHGHDJXDGHUHVHUYDFRQXQDFDSDFLGDGGHOLWURV3RUPRWL
YRVGHUHSDUDFLyQGHODWXEHUtDSULQFLSDOODFRPSDxtDGHDJXDKDVXVSHQGLGRODGLVWULEX
FLyQGHHVWHSUHFLDGROtTXLGRHQHOYHFLQGDULR$Vt9DOHULDUHFXUUHDOXVRGHGLFKRWDQ
TXHSDUDUHDOL]DUVXVODERUHVGLDULDV\DOILQDOL]DUHOGtDHVWLPDTXHKDJDVWDGR HQ GH
VX FDSDFLGDG ¢&XiQWRV OLWURV GH DJXD GLVSRQH HO WDQTXH SDUD VHU XWLOL]DGR DO GtD VL
JXLHQWHVLVHSUHVHQWDQXHYDPHQWHHVWHLQFRQYHQLHQWH"
6ROXFLyQFRPRVHKDQFRQVXPLGR GHVXFDSDFLGDGTXHGDQWRGDYtDWUHVTXLQWDVSDUWHV
GHFRQWHQLGR
6HSURFHGHDGLYLGLUOLWURVSRU\VXUHVXOWDGRVHPXOWLSOLFDSRUREWHQLHQGR
OLWURV
2SHUDFLyQDIRUPDOL]DU
x 'LYLGLUXQQ~PHURQDWXUDOSRUXQDIUDFFLyQ
/XLVDWLHQHTXHUHFRUWDUORVPGHWHODTXHFRPSUyHQSHGDFLWRVGHXQWHUFLRGHPHWUR
¢&XiQWRVSHGD]RVGH PORJUDUiWHQHU"
6ROXFLyQJUiILFDPHQWH
&DGDHVWXGLDQWHWLHQHTXHHQFRQWUDUHOUHVXOWDGRGHPGLYLGLGRHQ GHPHWUR/XLVDWHQ
GUiWHUFLRVGHPHWURUHFRUWDQGRORVPHQWHUFLRVGHPHWURV
2SHUDFLyQDIRUPDOL]DU
Programas de cada ciclo educativo
x 'LYLGLUXQDIUDFFLyQSRUXQDIUDFFLyQ
3DUDXQDFDUUHUDYDULRVMyYHQHVHODERUDQEROVLWDVFRQOtTXLGRKLGUDWDQWHSDUDORVFRPSH
WLGRUHV(OFRPLWpRUJDQL]DGRUOHVSURSRUFLRQD OLWURV\PHGLRGHOtTXLGRHLQGLFDQTXH
FDGDEROVLWDGHEHWHQHUHOHTXLYDOHQWHDXQFXDUWRGHOLWUR¢&XiQWDVEROVLWDVHODERUDUiQ"
6ROXFLyQVLSRUFDGDOLWURVHSXHGHQHODERUDUFXDWUREROVLWDVHQWRQFHVFRQOLWURVVHRE
WLHQHQEROVLWDV&RQHOPHGLROLWURUHVWDQWHVHHODERUDQEROVLWDVPiVFRQORTXHHQWRWDO
VHREWLHQHQEROVLWDVSDUDUHSDUWLUHQWUHORVFRPSHWLGRUHV
2SHUDFLyQDIRUPDOL]DU
3DUD LQWURGXFLU HO FRQFHSWR GH VXPD R UHVWD GH IUDFFLRQHV KHWHURJpQHDV VH SXHGH WUDEDMDU
JUiILFDPHQWH 6H SXHGH SURSRQHU XQ SUREOHPD TXH SHUPLWD SRWHQFLDU ODV UHSUHVHQWDFLRQHV
QXPpULFDV3RUHMHPSOR
/XLVVHFRPLyODPLWDGGHXQDFDMHWDTXHWHQtDIRUPDUHFWDQJXODU\;LQLDVHFRPLyWUHVFXDU
WDVSDUWHVGHXQDFDMHWDVLPLODU¢&XiOIUDFFLyQUHSUHVHQWDODFDQWLGDGGHFDMHWDTXHFRQVX
PLHURQORVGRV"
Segundo ciclo, Números
/DV\ORVHVWXGLDQWHVSXHGHQHVWDEOHFHUODVVLJXLHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV
\FRQYHUWLUHQFXDUWRVODSRUFLyQTXHFRQVXPLy/XLV
'HHVHPRGRVXPDQGRHVWDVSDUWHVVHREWLHQH
'HVSXpV VH SUHFLVD HO DOJRULWPR SDUD OD KRPRJHQL]DFLyQ GH ODV IUDFFLRQHV SRU PHGLR GH OD
DPSOLILFDFLyQRVLPSOLILFDFLyQGHIUDFFLRQHV
(VLPSRUWDQWHSURPRYHUODVLPSOLILFDFLyQGHORVUHVXOWDGRVGHODVRSHUDFLRQHVTXHUHDOL]DQ
FRQIUDFFLRQHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Números
Indicaciones de evaluación
(QHVWH6HJXQGRFLFORVHVHJXLUiHYDOXDQGRODDSOLFDFLyQGH ODVRSHUDFLRQHVHQ ODUHVROXFLyQGH
SUREOHPDVJHQHUDOL]DQGRDQ~PHURVPD\RUHVTXHFRQH[SDQVLyQGHFLPDO\IUDFFLRQHV
(VGHVXPDLPSRUWDQFLDHYDOXDUHQWRGRVORVDxRVHOXVRGHODVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHVGHORV
Q~PHURV\HOFiOFXORGHVXPDVUHVWDVPXOWLSOLFDFLRQHVGLYLVLRQHV\HQƒ$xRODSRWHQFLDFLyQ
3DUDHYDOXDUHOXVRFRUUHFWRGHODFDOFXODGRUDVHWUDEDMDHQFODVHVSURJUDPDGDVGRQGHODVDFWLYL
GDGHVMXVWLILTXHQHOXVRGHODPLVPDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\DQiOLVLVGHUHVXOWDGRV
(O 'HSDUWDPHQWR GH(YDOXDFLyQ GHO 0LQLVWHULR GH (GXFDFLyQ 3~EOLFD SURSRQH GLIHUHQWHV LQVWUX
PHQWRV SDUD OD HYDOXDFLyQ GHO WUDEDMR FRWLGLDQR TXH SHUPLWHQ GRFXPHQWDU SDUWLFXODUPHQWH HO
SURJUHVR HQ HO GRPLQLR GH ODV RSHUDFLRQHV EiVLFDV HO FiOFXOR OD HVWLPDFLyQ \ OD UHVROXFLyQ GH
SUREOHPDVTXHXWLOLFHQQ~PHURVQDWXUDOHVFRQGHFLPDOHV\IUDFFLRQHV
3DUDHOWUDEDMRH[WUDFODVHVHUHFRPLHQGDTXHFRQIRUPHVHDYDQFHHQORVGLIHUHQWHVFRQRFLPLHQ
WRVVHDVLJQHQWDUHDVTXHSHUPLWDQUHIRU]DUORVDQLYHOGHUHSURGXFFLyQ6LQHPEDUJRWDPELpQHV
FRQYHQLHQWHGHMDUWDUHDVTXHSHUPLWDQDOHVWXGLDQWHDOFDQ]DUHOQLYHOGHFRQH[LyQ\UHIOH[LyQSRU
OR TXH VH SXHGH LQFOXLU HQ pVWDV OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV SRU PHGLR GH RSHUDFLRQHV EiVLFDV
$OWHUQDWLYDPHQWH VH SXHGHQ SURSRQHU WDUHDV FRQ XQ PD\RU QLYHO GH FRPSOHMLGDG SHUPLWLHQGR
HVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQRWUDViUHDVPDWHPiWLFDV\GHOVDEHU3RUHMHPSORKDFHUXQSUHVXSXHVWR
SDUD FDOFXODU HO FRVWR GH SLQWDU XQR GH ORV SDEHOORQHV GH OD HVFXHOD FRQH[LyQ FRQ 0HGLGDV \
*HRPHWUtDRELHQKDFHUXQHVWXGLRHVWDGtVWLFRTXHSHUPLWDGHWHUPLQDUFXiOGHORVJUXSRVGHOD
HVFXHOD WLHQH PHMRU SURPHGLR HQ DOJXQD GH ODV PDWHULDV \ DUJXPHQWDU SRVLEOHV UD]RQHV SRU ODV
FXDOHVVHSLHQVDTXHHOORRFXUUH
/DVSUXHEDVHVFULWDVGHEHQLUHQIXQFLyQGHOWUDEDMRTXHVHUHDOL]DHQODFODVH(QHVWHFLFORWRGRV
ORV FRQRFLPLHQWRV SXHGHQ VHU HYDOXDGRV PHGLDQWH HMHUFLFLRV FRUUHVSRQGLHQWHV DO QLYHO GH UHSUR
GXFFLyQ\FRQH[LyQ3DUDORVFRQRFLPLHQWRVUHODFLRQDGRVDOFiOFXORRHVWLPDFLyQGHOUHVXOWDGRGH
XQD RSHUDFLyQ VH GHEH HODERUDU SUHYLDPHQWH XQD HVFDOD TXH SHUPLWD YDORUDU OD SUHFLVLyQ GH ORV
UHVXOWDGRV /D UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV TXH LQYROXFUD OD XWLOL]DFLyQ GH RSHUDFLRQHV EiVLFDV VH
SXHGHQHYDOXDUPHGLDQWHSUREOHPDVSURSXHVWRVHQODSDUWHGHGHVDUUROOR\TXHDOFDQFHQORVQLYH
OHVGHFRQH[LyQ\UHIOH[LyQ3RUHMHPSOR
8QDPDUDWyQFRQVLVWHHQFRUUHUNP(OUpFRUGPXQGLDOORWLHQHXQHWtRSHTXHODFRPSOHWy
HQDSUR[LPDGDPHQWHKRUDV\PLQXWRV'HWHUPLQHFXiQWRVPHWURVSRUPLQXWRUHFRUULyDSUR
[LPDGDPHQWH
6HJ~Q ORV GDWRV TXH VH VXPLQLVWUDQ D FRQWLQXDFLyQ ¢FXiQWDV SHUVRQDV SRVHHQ HGDGHV TXH YDQ
GHVGHORVKDVWDORVDxRVHQODSURYLQFLDGH$ODMXHOD"
Programas de cada ciclo educativo
7RPDGRGHKWWSZZZLQHFJRFU:HE+RPHSDJ3ULQFLSDODVS[
Segundo ciclo, Números
Segundo ciclo, Geometría
Introducción
'XUDQWHHO3ULPHUFLFORVHDGTXLHUHQGLYHUVDVKDELOLGDGHVJHRPpWULFDVTXHVHSXHGHQUHVXPLUHQ
HO FRQRFLPLHQWR LQWXLWLYR GH ODV ILJXUDV OD LGHQWLILFDFLyQ GH VXV HOHPHQWRV FRQVWLWX\HQWHV HO
WUD]DGRGHDOJXQDVIRUPDVEiVLFDV\QRFLRQHVGHXELFDFLyQHVSDFLDO
(O6HJXQGRFLFORGHEHUiUHIRU]DUHVWDVKDELOLGDGHV \DYDQ]DUHQHOUHFRQRFLPLHQWRGHPiV ILJX
UDV 3RURWUD SDUWH VH GHEHUi SURIXQGL]DU HQ HO HVWXGLR GHO WULiQJXOR \ GH ORV FXDGULOiWHURV HVWR
LQFOX\HODHVWLPDFLyQGHSHUtPHWURV\iUHDV
6HKDUiXQHVWXGLRHOHPHQWDOGHOFtUFXOR\VHDYDQ]DUiHQHOFRQRFLPLHQWRGHRWURVFXHUSRVVyOL
GRVDGHPiVGHORV\DYLVWRVHQHOFLFORDQWHULRU
(VWRSUHSDUDSDUDXQHVWXGLRSRVWHULRUPiVIRUPDOGHODJHRPHWUtD
Propósito de la enseñanza
(O SURSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D GH OD *HRPHWUtD HQ HVWH FLFOR HV FRQWLQXDU FRQ HO GHVDUUROOR GH OD
FDSDFLGDG GH YLVXDOL]DU ODV IRUPDV JHRPpWULFDV \ HO HVWDEOHFLPLHQWR GH UHODFLRQHV EiVLFDV HQWUH
HOODV$GHPiVVHGHGXFLUiQIyUPXODVEiVLFDVSDUDFDOFXODUSHUtPHWURV\iUHDVGHILJXUDVSODQDV
(QHVWHFLFORVHVHJXLUiGHVDUUROODQGRODLQWXLFLyQ\ODH[SHULPHQWDFLyQSDUDDPSOLDUORVFRQRFL
PLHQWRVJHRPpWULFRV
Habilidades generales
/DV KDELOLGDGHV JHQHUDOHV TXH GHEHUiQ VHU GHVDUUROODGDV HQ *HRPHWUtD DO ILQDOL]DU HO 6HJXQGR
FLFORVRQ
x ,GHQWLILFDUILJXUDVJHRPpWULFDVSODQDVHQHOHQWRUQR\HQGLYHUVRVREMHWRV
x ,GHQWLILFDUVyOLGRVHQHOHQWRUQR\HQGLYHUVRVREMHWRV
x &ODVLILFDU ILJXUDV JHRPpWULFDV FRQVLGHUDQGR HO Q~PHUR GH VXV ODGRV ODV UHODFLRQHV GH SRVL
FLyQHQWUHHOORV\VXVDVSHFWRVPpWULFRViQJXORVODGRV
x 5HSURGXFLU\WUD]DUILJXUDVJHRPpWULFDV
x $EVWUDHUDOJXQDVSURSLHGDGHVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDV
x $SOLFDUHOFiOFXORGHSHUtPHWURV\iUHDVGHILJXUDVSROLJRQDOHV\FLUFXODUHVHQGLYHUVRVFRQ
WH[WRV
x ,GHQWLILFDUILJXUDVVLPpWULFDV
x ,GHQWLILFDUUHODFLRQHVHQWUHILJXUDVPHGLDQWHJLURV\WUDVODFLRQHV
x 8WLOL]DUYRFDEXODULRJHRPpWULFREiVLFR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Geometría
6H IRUWDOHFHQ DFWLWXGHV \ FUHHQFLDV SRVLWLYDV KDFLD ODV 0DWHPiWLFDV SULQFLSDOPHQWH HQ OR TXH VH
UHILHUHDVXXWLOLGDGSXHVHQHVWHFLFORHOFiOFXORGHiUHDV\SHUtPHWURVPXHVWUDXQDDSOLFDELOLGDG
LQPHGLDWD D VLWXDFLRQHV GH UHSDUWLFLyQ GH WHUUHQRV HO iUHD GH FRQVWUXFFLyQ GH XQ SUR\HFWR HWF
7DPELpQ VH GHVDUUROOD OD SHUVHYHUDQFLD OD SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ FRODERUDWLYD \ HO UHVSHWR DVt
FRPRHODSUHFLR\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
(QFXDQWRDORVSURFHVRVVHGHVDUUROODUiXQFLHUWRJUDGRGHDUJXPHQWDFLyQSXHVGHEHGLVWLQJXLU
ODVILJXUDVJHRPpWULFDV\VXVSURSLHGDGHV6HPDQLILHVWDQDGHPiVSURFHVRVUHIHUHQWHVD &RPXQL
FDU&RQHFWDU\5HSUHVHQWDU
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
7ULiQJXORV
x /DGR
x 9pUWLFH
x ÈQJXOR
x %DVH
x $OWXUD
x &ODVLILFD
FLyQVHJ~Q
ODPHGLGDGH
VXVODGRV
(TXLOiWHUR
,VyVFHOHV
(VFDOHQR
x &ODVLILFD
FLyQVHJ~Q
ODPHGLGDGH
VXViQJXORV
$FXWiQJXOR
5HFWiQJXOR
2EWXViQJXOR
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU GLYHUVRV HOPHQ
WRV GH ORV WULiQJXORV ODGR
YpUWLFH iQJXOR EDVH DOWX
UD
&ODVLILFDU WULiQJXORV GH D
FXHUGR FRQ ODVPHGLGDV GH
VXViQJXORV
&ODVLILFDU WULiQJXORV GH D
FXHUGR FRQ ODVPHGLGDV GH
VXVODGRV
(VWLPDU SRU REVHUYDFLyQ
VL XQ WULiQJXOR HV DFXWiQ
JXOR UHFWiQJXOR X REWX
ViQJXOR
(VWLPDU SRU REVHUYDFLyQ
VL XQWULiQJXOR HV HTXLOiWH
URLVyVFHOHVRHVFDOHQR
7UD]DU WULiQJXORV XWLOL]DQ
GR LQVWUXPHQWRV WDOHV FR
PR UHJOD FRPSiV WUDQV
SRUWDGRU
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SLGH WUD]DU WUHV UHFWDV TXH VH FRUWDQ HQ WUHV SXQWRV 6H
FRORUHDODILJXUDIRUPDGD\VHREVHUYD
¢&XiQWRVODGRVFXiQWRVYpUWLFHV\FXiQWRViQJXORV"
c&RQD\XGDGHORVWULiQJXORVGHOWDQJUDPDSXHGHQLGHQWLILFDU
ORVGLIHUHQWHVHOHPHQWRVTXHWLHQH\ODFDQWLGDGGHFDGDXQR
c %ULQGDUOHV XQD IRWRFRSLD FRQ WULiQJXORV GH GLIHUHQWHV WDPD
xRV \ SRVLFLRQHV 6H OHV SLGH TXH PLGDQ FRQ UHJOD VXV ODGRV
/XHJR VH SLGH TXH UHFRUWHQ \ TXH ORV FODVLILTXHQ VHJ~Q ODV
PHGLGDVTXHREWXYLHURQHQORVTXHWRGRVVXVODGRVPLGHQLJXDO
ORVTXHWLHQHQGRVPHGLGDVLJXDOHV\ORVTXHQRWLHQHQQLQJXQD
PHGLGD LJXDO 6H OOHYD D FDER OD HWDSD GH FODXVXUD FRQ ORV
FRQFHSWRVGHWULiQJXORHTXLOiWHURLVyVFHOHV\HVFDOHQR
c 8WLOL]DQGR ORV PLVPRV WULiQJXORV UHFRUWDGRV VH VROLFLWD TXH
PLGDQ ORV iQJXORV \ TXH ORV FODVLILTXHQ VHJ~Q ODV PHGLGDV
REWHQLGDV6HUHDOL]DODFODXVXUDFRQORVFRQFHSWRVGHWULiQJXOR
DFXWiQJXORUHFWiQJXOR\REWXViQJXOR
c ,GHQWLILFDU HQ ORV REMHWRV GH VX HQWRUQR WULiQJXORV \ FODVLIL
FDUORVSRUODPHGLGDGHVXVODGRV\SRUODPHGLGDGHVXViQJXORV
XWLOL]DQGRODREVHUYDFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
&XDGULOiWHURV
x /DGR
x 9pUWLFH
x ÈQJXOR
x %DVH
x $OWXUD
x 'LDJRQDO
x 3DUDOHOR
JUDPRV
5HFWiQJXOR
5RPER
5RPERLGH
&XDGUDGR
x 1R
3DUDOHOR
JUDPRV
7UDSHFLR
7UDSH]RLGH
Segundo ciclo, Medidas
c7UD]DUWULiQJXORVFRQODD\XGDGHOFRPSiV\ODUHJODVLJXLHQ
GRORVSDVRVTXHODRHOGRFHQWHOHLQGLFDSDUDTXHVHDQHTXLOiWH
URVLVyVFHOHVRHVFDOHQRV
,GHQWLILFDUGLYHUVRVHOH
c3DUDDYDQ]DUHQHOORJURGHHVWDVKDELOLGDGHVSXHGHQWUDEDMDU
PHQWRVGHORVFXDGULOiWHURV FRQ ODV SLH]DV GHO WDQJUDPD SDUD LGHQWLILFDU HQWUH HOODV FXiOHV
ODGRYpUWLFHiQJXORED
VRQ FXDGULOiWHURV R ELHQ IRUPDU FRQ HOODV RWURV FXDGULOiWHURV H
VHDOWXUDGLDJRQDO
LGHQWLILFDUVXVHOHPHQWRV8WLOL]DQGRODVSLH]DVSDUDODFRQVWUXF
FLyQGHRWUDVILJXUDVLGHQWLILFDUFXDGULOiWHURVSDUDOHORJUDPRV \
&ODVLILFDUFXDGULOiWHURVHQ QRSDUDOHORJUDPRV
SDUDOHORJUDPRV\QRSDUD
OHORJUDPRV
c&RQD\XGDGHSDSHOFXDGULFXODGRWUD]DUFXDGULOiWHURVSDUDOH
ORJUDPRV UHFRUWDU \ WUD]DU ORV GLIHUHQWHV HOHPHQWRV SDUD OXHJR
&ODVLILFDUSDUDOHORJUDPRV
SHJDUORVHQHOFXDGHUQR
HQFXDGUDGRUHFWiQJXOR
URPER\URPERLGH
c 6H REVHUYDQ \ VH YHULILFDQ SRU PHGLR GH LQVWUXPHQWRV GH
PHGLFLyQODVSURSLHGDGHVGHORVODGRVSDUDOHORVSHUSHQGLFXOD
7UD]DUFXDGULOiWHURVTXH
UHVLJXDOHV\GHODVGLDJRQDOHVVHFRUWDQHQHOPHGLRLJXDOHV
FXPSODQFDUDFWHUtVWLFDVGD SHUSHQGLFXODUHV
GDV
c7UD]DUFRQODD\XGDGHOFRPSiV\GHODHVFXDGUDFXDGUDGRV\
5HFRQRFHUSURSLHGDGHVGH UHFWiQJXORVXVDQGRVXVSURSLHGDGHV
FXDGULOiWHURVUHIHULGDVD
ORVODGRVORViQJXORV\ODV c (O GREODGR GH SDSHO HV XQD HVWUDWHJLD ~WLO SDUD UHDOL]DU
GLDJRQDOHV
FRQVWUXFFLRQHVJHRPpWULFDV\HVWDEOHFHUSURSLHGDGHV
$FWLYLGDGHV FRPR HO GREODGR GH SDSHO SXHGHQ SURSLFLDU
HODSUHFLR\GLVIUXWHSRUODV0DWHPiWLFDV
&ODVLILFDU ORV FXDGULOiWHURV
QR SDUDOHORJUDPRV HQ WUD
SHFLRV\WUDSH]RLGHV
,GHQWLILFDUHVWDVILJXUDV\
VXVHOHPHQWRVYpUWLFHV
ODGRViQJXORVHQREMHWRV
GHOHQWRUQR
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQHOWUD]DGRGH
GLYHUVRVWLSRVGHFXDGULOi
WHUR
c 6H OHV SXHGH EULQGDU WUDSHFLRV \ WUDSH]RLGHV GH FDUWXOLQD HQ
XQ VREUH VLQ PHQFLRQDU HVWRV FRQFHSWRV \ VH OHV SLGH IRUPDU
GRV JUXSRV /XHJR VH KDFH OD FODXVXUD FRQ ORV FRQFHSWRV GH
WUDSHFLR\WUDSH]RLGH
c 6H HVSHUD TXH HQFXHQWUHQ ORV FULWHULRV GH FODVLILFDFLyQ ORV
TXHWLHQHQODGRVSDUDOHORV\ORVTXHQR
c6HOHVSLGHTXHPHQFLRQHQREMHWRVTXHWLHQHQHVWDVIRUPDVR
TXHLGHQWLILTXHQHVWDVILJXUDVHQHOHQWRUQR
Programas de cada ciclo educativo
Polígonos
x Regulares
x Irregulares
Cuerpos
sólidos
15. Reconocer en dibujos u
objetos del entorno si una
línea corresponde o no a
un polígono.
16. Reconocer en dibujos u
objetos del entorno polígonos regulares e irregulares.
x Planos
x Planos
paralelos
x Planos
perpendiculares
c Se pretende que el estudiantado pueda determinar si una línea
corresponde o no a un polígono, o bien si un polígono dado
(dibujado o presente en un objeto) es regular o no.
c Puede ampliar el tema con ilustraciones de mosaicos y
trazando hexágonos regulares con la ayuda del compás. Por
ejemplo, identificar polígonos regulares e irregulares en la
siguiente figura:
18. Identificar segmentos paralelos y perpendiculares en
conexión con prismas rectangulares.
c Tanto aquí como en los niveles anteriores, el estudio de los
cuerpos sólidos pretende una familiarización con ellos como
forma general tridimensional, con sus nombres y con los elementos que los definen. Esto implica trabajar con material
concreto que permita explorar e identificar las características de
cada cuerpo. Este tipo de actividades se pueden hacer en equipos donde se le da un sólido diferente a cada grupo para que
determine sus características y las exponga a los demás grupos.
19. Identificar planos en
conexión con las caras de
los prismas rectangulares.
c La identificación de cuadriláteros en un cuerpo sólido está
ligada al reconocimiento de las caras y cortes del sólido mediante planos.
17. Identificar cubos y prismas
rectangulares en objetos
del entorno.
x Cubos
x Prismas
rectangulares
Segundo ciclo, Medidas
20. Aplicar el concepto de
paralelismo y perpendicularidad de planos en conexión con prismas rectangulares.
21. Identificar diversos cuadriláteros en conexión con
cubos y prismas en general.
Simetría
x
x
Figura
simétrica
Eje de
simetría
x
Puntos
homólogos
x
Distancia
de un punto
al eje de
simetría
22. Identificar los ejes de simetría de una figura.
23. Ubicar un punto homólogo
a otro respecto a una recta.
24. Trazar una figura simétrica
a otra respecto a una recta.
Se puede presentar un dibujo como el siguiente y pedir a
las y los estudiantes que coloreen las partes que faltan por
colorear y que den una explicación de por qué utilizaron esos
colores. Esto permitirá introducir el concepto de figura simétrica, eje de simetría y puntos homólogos.
25. Estimar la distancia de un
punto al eje de simetría.
222
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
(O SURFHVR &RPXQLFDU VH DFWLYD FXDQGR VH SLGH TXH VH
H[SOLTXHHOSRUTXpGHORVFRORUHVXWLOL]DGRV
c 0DQLSXODFLyQ FRQ SDSHO FRQ OD PLWDG GH XQD ILJXUD SRU
HMHPSORXQDPDULSRVDVHGREOD\VHGLEXMDODVHJXQGDPLWDGSRU
WUDQVSDUHQFLD 6H EXVFDQ SXQWRV KRPyORJRV HQ ODV GRV PLWDGHV
VLPpWULFDV
c &RQ SDSHO FXDGULFXODGR WUD]DU OD LPDJHQ VLPpWULFD GH XQD
ILJXUDVHQFLOODFRQUHVSHFWRDXQDUHFWDKRUL]RQWDORYHUWLFDO
c 6H SUHWHQGH TXH VH SXHGDQ LGHQWLILFDU ILJXUDV VLPpWULFDV
VLPSOHV FRQ VyOR XQ HMH GH VLPHWUtD 7DPELpQ FRQYLHQH XVDU
ILJXUDVPX\VLPSOHVFRQPiVGHXQHMHGHVLPHWUtDSRUHMHPSOR
XQ FXDGUDGR OR TXH SHUPLWH WUDEDMDU FRQ HMHV GH VLPHWUtD
KRUL]RQWDOHVYHUWLFDOHV\REOLFXRV
c /D GLVWDQFLD GH XQ SXQWRDO HMH GH VLPHWUtD GH XQD ILJXUD VH
HVWLPDUi SRU PHGLFLyQ FRQ XQD UHJOD JUDGXDGD R PHGLDQWH HO
WUD]DGRHQSDSHOFXDGULFXODGR/DGLVWDQFLDGHXQSXQWR$DXQD
UHFWD HV OD PHGLGD GHO VHJPHQWR SHUSHQGLFXODU FX\RV H[WUHPRV
VRQ HO SXQWR $ \ HO SXQWR GH LQWHUVHFFLyQ GH ODUHFWD \ HO VHJ
PHQWR
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
3HUtPHWUR
x 7ULiQJXORV
x 3DUDOHOR
JUDPRV
x 7UDSHFLRV
ÈUHD
x 7ULiQJXORV
x 3DUDOHOR
JUDPRV
x 7UDSHFLRV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(VWLPDU SHUtPHWURV \ iUHDV
GHILJXUDVHQFRQH[LyQFRQ
REMHWRVGHOHQWRUQR
&DOFXODU XWLOL]DQGR IyU
PXODV HO SHUtPHWUR \ HO
iUHD GH WULiQJXORV SDUDOH
ORJUDPRV\WUDSHFLRV
5HFRQRFHU ILJXUDV VLPSOHV
GHQWURGHXQDPiVFRPSOH
MD
&DOFXODU SHUtPHWURV \ i
UHDVGHILJXUDVSODQDVFRP
SXHVWDV SRU WULiQJXORV SD
UDOHORJUDPRV\WUDSHFLRV
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQHOFiOFXORGH
SHUtPHWURV\iUHDVGH
WULiQJXORV\FXDGULOiWHURV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD LQWURGXFLU OD QRFLyQ GH iUHD VH SXHGH SURSRQHU XQ
SUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
(OVLJXLHQWHHVXQGLEXMRGHOSLVRGHOFXDUWRGH-XDQLWD
/RVSDSiVOHYDQDSRQHUPRVDLFRVGHOVLJXLHQWHWDPDxR
¢&XiQWRVQHFHVLWDQSDUDFXEULUHOSLVR"
/DV \ ORV HVWXGLDQWHV HVWDEOHFHUiQ HVWUDWHJLDV SDUD UHDOL]DU HO
FRQWHR OR TXH SHUPLWH OOHYDU DO FRQFHSWR GH iUHD WRPDQGR HQ
HVWHFDVRHOFXDGULWRFRPRXQLGDGGHPHGLGD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
c 3DUD GLIHUHQFLDU ODV QRFLRQHV GH SHUtPHWUR \ iUHD VH SLGH
WUD]DUXQUHFWiQJXORFRORUHDUHQYHUGHHOFRQWRUQRSHUtPHWUR\
UHOOHQDUHOUHFWiQJXORGHFXDGULWRVGHFP$VtVHFRQVWUX\HHO
FRQFHSWR GH iUHD \ OD IyUPXOD GHO iUHD GHO UHFWiQJXOR 6H OHV
SLGHTXHKDJDQORPLVPRFRQODILJXUDGHXQFXDGUDGR
c6HWUDEDMDODQRFLyQGHiUHDFRQHOJHRSODQRFDGDHVWXGLDQWH
SXHGH FRQVWUXLU HO VX\R HQ OD FDVD 7RPDQGR FRPR XQLGDG GH
PHGLGDHOiUHDGHOHVSDFLRHQWUHFODYLWRVVHRUGHQDFDOFXODUHO
iUHDGHILJXUDVGHVSOD]DQGRODVOLJDV
c3DUDFRQVWUXLU\HVWDEOHFHUODIyUPXODGHFiOFXORGHOiUHDGHO
SDUDOHORJUDPR VH WUDEDMD FRQ HO JHRSODQR GHVSOD]DQGR OLJDV R
FRQSDSHOFXDGULFXODGRUHFRUWiQGRORSDUDIRUPDUXQUHFWiQJXOR
c3DUDFRQVWUXLU\HVWDEOHFHUODIyUPXODGHFiOFXORGHOiUHDGHO
WULiQJXORVHFRORFDpVWHGHQWURGHXQUHFWiQJXOR\VHLQWURGXFH
OD QRFLyQ GH DOWXUD (O iUHD GHO WULiQJXOR PHGLUi OD PLWDG GHO
iUHDGHOUHFWiQJXOR
c %ULQGDU SUREOHPDV GRQGH VH UHTXLHUH HO iUHD WRWDO GH XQD
ILJXUDSDUDTXHDSOLTXHQODVGLIHUHQWHVIyUPXODV3RUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
3ODQWHDUSUREOHPDVXWLOL
]DQGRORVFRQRFLPLHQWRV
DGTXLULGRVGHiUHDV\SH
UtPHWURVGHILJXUDV
&RQ HO HVWXGLR GH ODV iUHDV GHEH TXHGDU FODUD OD HVWUHFKD
UHODFLyQ H[LVWHQWH HQWUH *HRPHWUtD \ 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD \
HQWUH*HRPHWUtD\1~PHURV
6H DFWLYD HO SURFHVR 3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOHPDV
FXDQGRVHOHVVROLFLWDTXHFRQVWUX\DQXQSUREOHPDFRQGHWHUPL
QDGD LQIRUPDFLyQ R UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH FRQRFLPLHQWRV
DGTXLULGRVDFHUFDGHSHUtPHWURV \GHiUHDVGHSROtJRQRVWULiQ
JXORVSDUDOHORJUDPRV\WUDSHFLRV
6H SXHGH IDFLOLWDU OD VLJXLHQWH ILJXUD HQ XQD KRMD IRWRFR
SLDGD OD FXDO FRUUHVSRQGH DO FXDGUDGR TXH VH IRUPD FRQ ODV
SDUWHVGHOWDQJUDPD
3RVWHULRUPHQWH VH SURSRQH IRUPXODU XQ SUREOHPD TXH XWLOLFH
HVWDILJXUDRODVTXHODFRPSRQHQ
3RU HMHPSOR VH SRGUtDQ HQXQFLDU ODV VLJXLHQWHV LQWHUURJDQWHV
FRQEDVHHQODILJXUD
D ¢&XiO HV HOiUHD GHO FXDGUDGR PD\RU \ FXiO HV HO iUHD
GHO FXDGUDGR PHQRU" ¢&XiQWR PiV JUDQGH HV HO FXD
GUDGR PD\RU FRQ UHVSHFWR DO PHQRU GH DFXHUGR D VX
iUHD"
E &RQVWUX\DXWLOL]DQGRWRGDVODVSDUWHVGHOWDQJUDPDGRV
ILJXUDVTXHWHQJDQLJXDOiUHD
F &RQVWUX\DXWLOL]DQGRWRGDVODVSDUWHVGHO WDQJUDPDGRV
ILJXUDVTXHWHQJDQLJXDOSHUtPHWUR
Programas de cada ciclo educativo
*HRPHWUtD
$QDOtWLFD
x 3XQWRV
x )LJXUDV
Segundo ciclo, Medidas
/D E~VTXHGD GH XQ SUREOHPD EDVDGR HQ XQD VLWXDFLyQ
GDGD SXHGH UHTXHULU WLHPSR GH UHIOH[LyQ SRU SDUWH GH ODV \ ORV
HVWXGLDQWHVHVWRHVWLPXODODSHUVHYHUDQFLD
5HSUHVHQWDU SXQWRV \ IL
6H XWLOL]D XQ VLVWHPD GHUHIHUHQFLD FRQ LQGLFDFLRQHV GH
JXUDV XWLOL]DQGR FRRUGHQD c
GDVHQHOSULPHUFXDGUDQWH ORV SXQWRV FDUGLQDOHV (VWR SHUPLWLUtD ORFDOL]DU SXQWRV HQ HO
SODQR 3RU HMHPSOR VH SXHGH UHDOL]DU XQD DFWLYLGDG GRQGH HO
SLVR FHUiPLFR GHO DXOD UHSUHVHQWH XQD FXDGUtFXOD \ XQR GH VXV
YpUWLFHVVHDHOSXQWRGHUHIHUHQFLDWDOTXHDODGHUHFKDGHpOHVWi
HO(VWHVLQRVHFXHQWDFRQXQSLVRFHUiPLFRVHSXHGHXWLOL]DU
XQLGDGHV GHPHGLGD HVSHFtILFDV SDUDUHDOL]DUORV GHVSOD]DPLHQ
WRV/XHJRVHVROLFLWDDYDULDVSHUVRQDVFDPLQDUXQDGHWHUPLQD
GD GLVWDQFLDDO(VWH \ RWUD DO 1RUWH \ TXH VH SRVLFLRQHDKt3RU
HMHPSOR
D 8QD SHUVRQD $ TXH FDPLQH FXDGURV DO (VWH \ DO
1RUWH
E 2WUD SHUVRQD % TXH FDPLQH FXDGURV DO (VWH \ DO
1RUWH
F 8QD SHUVRQD & TXH FDPLQH FXDGURV DO (VWH \ DO
1RUWH
G 8QD SHUVRQD ' TXH FDPLQH FXDGURV DO (VWH \ DO
1RUWH
3RVWHULRUPHQWH VH VROLFLWD D ODV GHPiV GHWHUPLQDU HO WLSR GH
ILJXUDTXH HOODV IRUPDURQ /XHJR VH SXHGH SURSRQHUTXH LQWHQ
WHQ IRUPDU XQ UHFWiQJXOR \ TXH GHVFULEDQ ODV FRRUGHQDGDV
QHFHVDULDVSDUDHOOR
(VWD DFWLYLGDG HV XQ HMHPSOR GH SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \
FRODERUDWLYDSDUDORJUDUXQDSUHQGL]DMHPiVVLJQLILFDWLYR
5HFRQRFHU ILJXUDV TXH VH c6HSXHGHFRPHQ]DUFRQHOGHVSOD]DPLHQWRGH XQDSHUVRQDR
7UDQVIRUPD
REWLHQHQ PHGLDQWH WUDVOD GHVOL]DQGRREMHWRVRILJXUDVVREUHHOSLVRRVREUHHOHVFULWRULR
FLRQHV
FLyQGHRWUDV
c 'DGD XQD ILJXUD FDGD HVWXGLDQWH SRGUi WUD]DU RWUD TXH VH
x 7UDVODFLRQHV
WUDVODGD D RWUD SRVLFLyQ XWLOL]DQGR SDSHO FXDGULFXODGR 6H OH
SXHGHSHGLUTXHWUDVODGHHOFXDGULOiWHURTXHVHGDHQODILJXUDDO
FXDGULFXODGRGHPRGRTXHXQRGHORVYpUWLFHVVHDHOSXQWRURMR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
&XHUSRV
VyOLGRV
x 3ULVPDV
x &LOLQGURV
x $OWXUD
/XHJRVHOHSUHJXQWDVREUHTXpHOHPHQWRVGHOFXDGULOiWHUR
SHUPDQHFHQLQYDULDQWHV VHGHEHUi H[SUHVDU HQ VX SURSLR YRFD
EXODULRTXHODVPHGLGDVGHORViQJXORV\GHORVODGRVSHUPDQH
FHQFRQVWDQWHV3URFHVRLQYROXFUDGR&RPXQLFDU
5HFRQRFHU SULVPDV \ FL c0XFKRVREMHWRVWLHQHQHVWDVIRUPDV6HSXHGHVROLFLWDUFRPR
OLQGURV \ DOJXQRV GH VXV WDUHDOOHYDUDODFODVHREMHWRVTXHWHQJDQHVDVIRUPDV
HOHPHQWRV \ SURSLHGDGHV FDUDVEDVHV
$WUDYpVGHXQVRIWZDUHVHSXHGHQPRVWUDUYDULDVYLVWDVGH
XQFXHUSRVyOLGR
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
&LUFXQIHUHQFLD
x 'LiPHWUR
x 5DGLR
x &HQWUR
x &XHUGD
x ÈQJXOR
FHQWUDO
x &XDGUDQWH
x 1~PHURS
x /RQJLWXG
x ÈUHD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQHOFiOFXORGH
SHUtPHWURV\iUHDVGHGL
YHUVDVILJXUDV
,GHQWLILFDUFLUFXQIHUHQFLDV
HQGLEXMRV\REMHWRVGHO
HQWRUQR
,GHQWLILFDUHOHPHQWRVGH
XQDFLUFXQIHUHQFLDGLiPH
WURUDGLRFHQWURFXHUGD
iQJXORFHQWUDOFXDGUDQWH
(VWLPDU OD PHGLGD GH OD
FLUFXQIHUHQFLD FRQRFLHQGR
VXGLiPHWUR
,GHQWLILFDUʌFRPRODUD]yQ
HQWUH OD ORQJLWXG GH OD FLU
FXQIHUHQFLD\VXGLiPHWUR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 8WLOL]DQGR ODQD FLQWDV GH SDSHO \ REMHWRV FLOtQGULFRV SXHGH
GDUVHXQDLGHDGHOVLJQLILFDGRGH SDVtFRPRGHVXYDORUDSUR
[LPDGR 6H VROLFLWD SUHYLDPHQWH D FDGD HVWXGLDQWH WUDHU XQ
REMHWR GH IRUPD FLUFXODU R FLOtQGULFD \ YDULDV WLUDV ODUJDV GH
SDSHO&DGD TXLHQWRPDUiOD FLQWD GH SDSHO \ OD FRORFDUi GH WDO
PRGRTXHFRLQFLGDFRQODFLUFXQIHUHQFLDTXHVHSXHGHLGHQWLIL
FDUHQHOREMHWR(VSUREDEOHTXHGHEDFRUWDURDxDGLUSDUWHGHOD
FLQWD FRQ HO SURSyVLWR GH TXH pVWD VH DMXVWHOR PHMRU SRVLEOH DO
ERUGH R IRUPD FLUFXODU +HFKR OR DQWHULRU VH UHWLUD PRPHQWi
QHDPHQWHOD FLQWD \ VH SURFHGH D WRPDU RWUD TXH VH H[WLHQGDOR
FRUUHVSRQGLHQWH DO GLiPHWUR GH OD IRUPD FLUFXODU XWLOL]DGD FRQ
DQWHULRULGDG6HSLGHDODFODVHTXHFRPSDUHQODORQJLWXGGHODV
GRV FLQWDV SDUD EXVFDU XQDUHODFLyQ 6H HVSHUD TXH PDQLILHVWHQ
TXH VLQ LPSRUWDU VX ORQJLWXG OD FLUFXQIHUHQFLD HV HO WULSOH GHO
GLiPHWURUHVSHFWLYR/XHJRVHEXVFDUHIOH[LRQDUVREUHTXHGLFKD
DILUPDFLyQ QR HV WDQ H[DFWD \ VH SURFHGH D OD FODXVXUD FRQ OD
VLVWHPDWL]DFLyQGHOFRQFHSWRGHOQ~PHURS \GHODIyUPXODTXH
SHUPLWHHOFiOFXORGHODFLUFXQIHUHQFLD
c3URSRQHUSUREOHPDVSDUDKDOODUODPHGLGDGHODFLUFXQIHUHQ
FLDXWLOL]DQGRHOGLiPHWURFRPRSRUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
6. Utilizar el número S para
calcular la medida de circunferencias.
7. Calcular el área de círculos.
Segundo ciclo, Medidas
El fondo de un plato tiene un radio de 6 cm. Si el diámetro de todo el plato es de 30 cm, ¿cuál es la circunferencia del
fondo del plato y la del borde del plato?
8. Calcular el área de figuras
compuestas por círculos,
triángulos y cuadriláteros.
c Se puede estimar el área de círculos y luego proporcionar la
fórmula.
c Proponer problemas para hallar la medida del área de diferentes figuras, como por ejemplo:
Carlos dibujó un círculo del tamaño exacto de una hoja
cuadrada de 28 cm de lado, luego lo recortó. ¿Cuál es el área del
sobrante de la hoja y el área del círculo recortado?
Se puede solicitar que construyan un problema con
base en el siguiente artículo del Reglamento de la Ley
No. 7600 sobre la igualdad de oportunidades para la persona
con discapacidad:
ARTICULO 110.- Dormitorio principal
El dormitorio principal de la vivienda deberá disponer de por lo menos un espacio libre de maniobra
con un diámetro mínimo de 1,50 m.
Idealmente, esta área debería estar ubicada enfrente
de los armarios de los dormitorios. Un espacio libre
con un ancho mínimo de 0,90 m debe proporcionarse
por lo menos a un lado de la cama. Un pasadizo de
1,20 m de ancho debe proporcionarse entre los pies
de la cama y la pared opuesta.
Este tema está relacionado con el eje transversal Vivencia de los
Derechos Humanos para la Democracia y la Paz.
Un detalle histórico que puede introducirse como medio
para conectar Geometría con Geografía es la forma como
Eratóstenes realizó una medida aproximada del radio terrestre.
228
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
3ROtJRQRV
UHJXODUHV
x ÈQJXOR
FHQWUDO
x 5DGLR
x $SRWHPD
x ÈUHD
x 3HUtPHWUR
,GHQWLILFDU GLYHUVRV HOH
PHQWRV HQ XQ SROtJRQR UH
JXODU
7UD]DU SROtJRQRV UHJXODUHV
XWLOL]DQGR UHJOD FRPSiV
WUDQVSRUWDGRU
,GHQWLILFDUHOHPHQWRVGHXQ
SROtJRQR LQVFULWR HQ XQD
FLUFXQIHUHQFLD
iQJXORV
FHQWUDOHVUDGLRDSRWHPD
&DOFXODU HO SHUtPHWUR GH
SROtJRQRVUHJXODUHV
5HVROYHU SUREOHPDV TXH
LQYROXFUHQ HO FiOFXOR GH
SHUtPHWURV \ iUHDV GH GL
YHUVDV ILJXUDVUHODFLRQDGDV
FRQ SROtJRQRV \ FLUFXQIH
UHQFLDV
(V PX\ LPSRUWDQWH TXH VH JHQHUHQORV HVSDFLRV DSURSLD
GRVSDUDHVFXFKDUODVUHVSXHVWDV\ORVUD]RQDPLHQWRVXWLOL]DGRV
SRUODV\ORVHVWXGLDQWHV6yORGHHVWDIRUPDVHSRGUiFRUUHJLUD
WLHPSRORVHUURUHVGHDSUHQGL]DMH\DSOLFDUODVPHGLGDVFRUUHF
WLYDV 3URFHVRV LQYROXFUDGRV GLUHFWDPHQWH &RPXQLFDU 5D]R
QDU\DUJXPHQWDU
c3DUDLQLFLDUHOHVWXGLRGHORVSROtJRQRVUHJXODUHV\VXViUHDV
VHSXHGHSURSRQHULQLFLDOPHQWHXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
8QPXURWLHQHHOVLJXLHQWHGLVHxR
6HYDDSLQWDUXWLOL]DQGRGRVFRORUHVYHUGH\DPDULOORWDOFRPR
VH LQGLFD HQ HO GLEXMR FDGD FXDGULWR PLGH XQ PHWUR GH ODGR
*HQHUDOPHQWHODSLQWXUDVHYHQGHSRUJDORQHVFDGDJDOyQFXEUH
DSUR[LPDGDPHQWHPHWURVFXDGUDGRV5HDOLFHXQHVWLPDGRGH
ODFDQWLGDGGHSLQWXUDGHFDGDFRORUTXHVHUHTXLHUHVLVHOHYDD
GDUXQDVRODPDQRGHSLQWXUDDOPXUR
c6HHVWXGLDUiQSROtJRQRVUHJXODUHVGHPi[LPRGLH]ODGRV
c&RQUHJOD\FRPSiVVHSXHGHFRQVWUXLUIiFLOPHQWHHOWULiQJXOR
HTXLOiWHUR \ HO KH[iJRQR UHJXODU 2WURV SROtJRQRV SXHGHQ VHU
WUD]DGRVXWLOL]DQGRUHJOD\WUDQVSRUWDGRU
c $O FRQVWUXLU SROtJRQRV LQVFULWRV HQ XQD FLUFXQIHUHQFLD VH OHV
SXHGH LQGLFDU TXH LGHQWLILTXHQ FRQ FRORUHV GLIHUHQWHV OD DSRWH
PDORViQJXORVFHQWUDOHV\HOUDGLR
c 3URSRQHU SUREOHPDV GRQGH VH GHEH HQFRQWUDU HO iUHD GH
SROtJRQRVUHJXODUHVFRPRSRUHMHPSOR
8QDSXHUWDPLGHFPGHDQFKR\
FPGHDOWR(QODSDUWHVXSHULRUWLHQHXQYLGULR
HQ IRUPDKH[DJRQDO GH FPGH ODGR ¢&XiO
HVHOiUHDGHODSXHUWDVLQHOYLGULR"
/RVSUREOHPDVUHIHULGRVDVLWXDFLRQHVFRWLGLDQDVGHVDUUR
OODQ HQ OD R HO HVWXGLDQWH OD FRQILDQ]D HQ OD XWLOLGDG GH ODV
0DWHPiWLFDV
3UREOHPDVFRPRHODQWHULRUKDFHQFRQH[LRQHVFRQHOiUHD
GH0HGLGDV\FRQVLWXDFLRQHVFRWLGLDQDV
Programas de cada ciclo educativo
&XHUSRVVyOL
GRV
x &XER
x 3ULVPDV
x &LOLQGURV
x &RQRV
x 3LUiPLGHV
x (VIHUD
Segundo ciclo, Medidas
&ODVLILFDU FXHUSRV VyOLGRV c %ULQGDU PDWHULDO IRWRFRSLDGR FRQ ILJXUDV TXH UHSUHVHQWDQ
SRUVXIRUPD
SDUWHV GH FLHUWRV FXHUSRV SDUD TXH HOORV ORV SXHGDQ REVHUYDU
UHFRQRFHUUHFRUWDU\SHJDUSDUDIRUPDUFXHUSRVJHRPpWULFRV
6HSXHGHSHGLUDOJUXSRTXHHODERUHXQDWDEODTXHLQGLTXH
OD FDQWLGDG GH REMHWRV GH HVDV IRUPDV KD\ HQ HO DXOD R HQ OD
LQVWLWXFLyQ\RUJDQLFHODLQIRUPDFLyQGHDFXHUGRFRQVXVFDUDF
WHUtVWLFDV (VWR FRQHFWD FRQ HO iUHD GH (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOL
GDG
/RV WUDEDMRV \ GHVFXEULPLHQWRV GH $UTXtPHGHV FRQFHU
QLHQWHV D OD FRPSUHQVLyQ GH ODV UHODFLRQHV HQWUH ORV FXHUSRV
VyOLGRV SXHGHQ FRQVWLWXLU XQ HOHPHQWR PRWLYDGRU SDUD OD R HO
HVWXGLDQWHeOGHPRVWUyTXHVLVHWLHQHXQFLOLQGUR\XQDHVIHUD
LQVFULWDHQpOHQWRQFHVWDQWRODVVXSHUILFLHVFRPRORVYRO~PHQHV
GH HVWRV FXHUSRV VyOLGRV HVWiQ HQ UD]yQ &RPR GHWDOOH
FXULRVRXQGtD$UTXtPHGHVHVWDEDPX\FRQFHQWUDGRHVWXGLDQGR
XQD ILJXUD JHRPpWULFD TXH KDEtD GLEXMDGR HQ OD DUHQD FXDQGR
XQR GH ORV VROGDGRV URPDQRV TXH KDEtDQ LQYDGLGR 6LUDFXVD OH
SLGLyYDULDVYHFHVTXHORDFRPSDxDUDVLQHPEDUJR$UTXtPHGHV
QROHKL]RFDVRSRUORTXHHOVROGDGRVDFyVXHVSDGD\ORPDWy
$WUDYpVGHXQVRIWZDUHVHSXHGHQPRVWUDUYDULDVYLVWDVGH
XQFXHUSRVyOLGR
&DOFXODUHOYROXPHQGHORV
FXHUSRVVyOLGRVVLPSOHV
FXERSULVPDVFLOLQGURV
FRQRSLUiPLGH\HVIHUD
c6HSXHGHLQWURGXFLUHOWHPDGHYRO~PHQHVFRQHOFDVRSDUWL
FXODU GHO FXER GH XQD XQLGDG GH DULVWD \ DVt SRGHU FRQVWUXLU HO
FRQFHSWRGHXQLGDGF~ELFD3RUHMHPSOR
(QXQ³NLQGHU´VHWLHQHQFXERVGHPDGHUDGHGLIHUHQ
WH FRORU \ GH XQD SXOJDGD GH DULVWD 6L VH GHVHD JXDUGDUORV HQ
XQDFDMDGHPDGHUDHQWRQFHV¢FXiOHVSRGUtDQVHUODVGLPHQVLR
QHVGHODFDMD"
/R LQWHUHVDQWH GH HVWH SUREOHPD HV TXH KD\ YDULDV VROXFLRQHV
FRUUHFWDV3RUHMHPSORXQDGHHOODVSXHGHVHUXQDFDMDHQIRUPD
GH FXER GH SXOJDGDV GH DULVWD RWUD VROXFLyQ SXHGH VHU XQD
FDMDGHSXOJDGDVGHODUJRSXOJDGDVGHDQFKR\SXOJDGDV
GHDOWXUD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Es importante en este problema poder llevar al concepto de
volumen de un cuerpo sólido por medio de la unidad cúbica.
Además con este ejemplo se puede construir la fórmula del
volumen de un prisma.
cSobre el volumen de cilindros, conos, pirámides y esferas se
hacen algunas observaciones en la sección de indicaciones
metodológicas.
La siguiente situación refiere a los ejes transversales de
todas las asignaturas:
El compostaje es el procesamiento controlado de residuos orgánicos para que sean descompuestos por
microorganismos aeróbicos y se obtenga un producto
llamado compost que se puede utilizar como abono
orgánico. Es una práctica utilizada tanto para reducir
el efecto contaminante de residuos orgánicos de la
actividad agropecuaria como para aprovechar materiales orgánicos tales como vegetales y boñiga de
animales, los cuales se transforman rápidamente en
abono orgánico, mejorando así la fertilidad del suelo.
La siguiente es una forma sencilla y práctica de hacer compost. Se escoge un lugar lo suficientemente
despejado, plano y limpio, de manera que facilite la
preparación de la mezcla.
Primero se coloca una capa de 10 centímetros de espesor de estiércol (boñiga) ya sea de vaca, caballo,
conejo, cabra, oveja o gallina. Esta capa se humedece con agua de melaza proveniente de la mezcla de 1
parte de melaza con 5 partes de agua. Luego se coloca encima una capa de 20 cm de espesor de material
vegetal picado en pequeños trozos, pueden ser residuos de frutas, ramas, etc. Esta segunda capa también se riega con agua de melaza. Se pueden ir colocando varias capas alternativamente de estiércol y
material vegetal, una sobre otra sin que la altura total
sobrepase un metro.
Tomado de Ministerio de Agricultura y Ganadería:
http://www.mag.go.cr/bibliotecavirtual/index.html#HERMES_TABS_
6_1)
c Esta lectura tiene un contenido matemático importante que
puede ser utilizado para redactar diversos problemas. Por
ejemplo, ¿cuál es el volumen de la mezcla si se ponen 2 capas
de estiércol y dos de material vegetal sobre una superficie
rectangular de 5 dm por 1,2 m? Esto conecta con el área de
Medidas y está relacionado con los ejes transversales del MEP.
También se puede hacer una conexión con Relaciones y
Álgebra en la parte de proporciones (melaza/agua).
231
Programas de cada ciclo educativo
6LPHWUtD
5HSURGXFLU\WUD]DUILJXUDV
VLPpWULFDV
3ODQWHDU SUREOHPDV UHIHUL
GRVDODVLPHWUtDGHILJXUDV
\DVXUHSURGXFFLyQ
Segundo ciclo, Medidas
c 6H WUDWD GHO UHFRQRFLPLHQWR GH ILJXUDV VLPpWULFDV FRQ XQ
PD\RU QLYHO GH FRPSOHMLGDG TXH HQ HO ƒ $xR DGHPiV GH OD
UHSURGXFFLyQ GH ILJXUDV VLPpWULFDV \ HO WUD]DGR GH ILJXUDV
VLPpWULFDVFRQFDUDFWHUtVWLFDVGDGDV
c8QDDFWLYLGDGTXHSXHGHPHMRUDUODFRPSUHQVLyQGHOFRQFHS
WR HV GDU XQ HMH \ DOJXQDV SDUWHV GH XQD ILJXUD VLPpWULFD SDUD
TXHODRHOHVWXGLDQWHFRPSOHWHODILJXUD
6HSXHGHSHGLUTXHVHGLEXMHXQDILJXUDHQSDSHOFXDGUL
FXODGR \ VH SURSRQJD FRPR HMHUFLFLR VX UHSURGXFFLyQWRPDQGR
HQ FXHQWD XQ HMH GH VLPHWUtD SUHYLDPHQWH HVFRJLGR 3URFHVR
3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
3RUHMHPSORDOJXLHQSXHGHSURSRQHUHOVLJXLHQWHHMHUFLFLR
5HSURGX]FDODVLJXLHQWHILJXUDDORWURODGRGHOHMHKRUL]RQWDOGH
WDO IRUPD TXH FDGD SXQWR GH OD QXHYD LPDJHQ HVWp D OD PLVPD
GLVWDQFLDGHOHMHGHVLPHWUtDTXHORVSXQWRVGHODILJXUDRULJLQDO
(QWRQFHVORVGRVSHFHVIRUPDQXQDILJXUDVLPpWULFDFRQUHVSHF
WRDOHMHKRUL]RQWDO
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(QHVWHFLFORHVVLJQLILFDWLYRLPSOHPHQWDUDFWLYLGDGHVTXHSHUPLWDQODH[SHULPHQWDFLyQFRQ
FRQWHQLGRVJHRPpWULFRV3RUHMHPSORSDUDLQYHVWLJDUUHODFLRQHVFRQiUHDVSXHGHXWLOL]DUVH
PDWHULDO UHFRUWDEOH \ WDPELpQ VRIWZDUH GH JHRPHWUtD GLQiPLFD FRPR XQD KHUUDPLHQWD ~WLO
SDUDODH[SHULPHQWDFLyQJHRPpWULFD
(V PHGXODU HO VHQWLGR HVSDFLDO HVWR LPSOLFD OD PDQLSXODFLyQ OD FRQVWUXFFLyQ \ HO WUD]DGR
GHILJXUDVYLVXDOL]iQGRODVHQGLIHUHQWHVSHUVSHFWLYDVRSRVLFLRQHV(VWRHVGHVXPDLPSRU
WDQFLDSRUTXHODV\ORVHVWXGLDQWHVSXHGHQWHQHUGLILFXOWDGHVSDUDUHFRQRFHUODVILJXUDVVLpV
WDVVHWUD]DQVLHPSUHHQODPLVPDSRVLFLyQ3RUHMHPSORHVXVXDOTXHXQFXDGUDGRVHUHSUH
VHQWHHQODSRVLFLyQTXHVHGDDEDMRDODL]TXLHUGDGHHVWDIRUPDWLHQHQGLILFXOWDGHVSDUDUH
FRQRFHUTXHHOTXHDSDUHFHDODGHUHFKDHVWDPELpQXQFXDGUDGRHQJHQHUDOORYHQFRPRXQ
URPER\QRFRPRXQFXDGUDGR(VWRWLHQHTXHYHUWDPELpQFRQHOFRQRFLPLHQWRGHODVSUR
SLHGDGHVGHODILJXUDHQFXHVWLyQ
(VSULPRUGLDOUHSDVDU ORVFRQFHSWRV\KDELOLGDGHVDGTXLULGRVHQHOFLFORDQWHULRUPHGLDQWH
SUREOHPDVTXHVHUHODFLRQHQFRQORVQXHYRVFRQRFLPLHQWRV
,JXDOTXHHQHO3ULPHUFLFORVHGHEHQXWLOL]DUUHFXUVRVYDULDGRVWDOHVFRPRWDQJUDPDGR
EODGR GH SDSHO SDSHO FXDGULFXODGR FDUWXOLQD SDSHO SDUD FDOFDU FXHUGD FXER VRPD JHR
SODQR PDWHULDOHV LPSUHVRV SHULyGLFRV UHYLVWDV YRODQWHV GH SURSDJDQGD FDMDV UROOR GH
SDSHOKLJLpQLFRGLYHUVRVREMHWRV
$OXVDUPDWHULDOHVKD\TXHWHQHUHQFXHQWDTXHVHUHTXLHUHGHXQFLHUWRWLHPSRSDUDH[SORUDU
\IDPLOLDUL]DUVHFRQHOORVDQWHVGHOOHYDUDFDERWDUHDVHVSHFtILFDV
3URJUHVLYDPHQWH HQ VX DUJXPHQWDFLyQ FDGD HVWXGLDQWH LUi SDVDQGR GHO OHQJXDMH QDWXUDO DO
OHQJXDMHPDWHPiWLFR\ODVLPERORJtDDSURSLDGD
Cuarto año
(QHO3ULPHUFLFORODDWHQFLyQVHFHQWUyHQHOUHFRQRFLPLHQWR\FODVLILFDFLyQGHILJXUDV(Q
HOFDVRGHODVILJXUDVSODQDVODFODVLILFDFLyQEiVLFDHVWiUHODFLRQDGDFRQHOQ~PHURGHODGRV
(Qƒ$xRVHYDXQSRFRPiVDOOiXQWULiQJXORQRVyORHVXQDILJXUDSROLJRQDOGHWUHVOD
GRV TXH HV XQD FDUDFWHUtVWLFD FRP~Q D WRGRV ORV WULiQJXORV VLQR TXH HQWUH ORV PLVPRV
WULiQJXORVKD\RWUDVGLIHUHQFLDVTXHFRUUHVSRQGHQDSDWURQHVTXHSXHGHQVHUREVHUYDGRV \
TXHSHUPLWHQFODVLILFDUORVHQVXEFDWHJRUtDVVHJ~QFLHUWRVFULWHULRV'HEHUiSRUORWDQWRSODQ
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
WHDUVHDFWLYLGDGHVTXHSHUPLWDQYLVXDOL]DUGLFKDVFODVLILFDFLRQHV6HGDXQDVHULHGHWULiQJX
ORV\VHSLGHTXHVHLGHQWLILTXHQTXpFRVDVWLHQHQHQFRP~Q\TXpFDUDFWHUtVWLFDVORVGLIH
UHQFLDQREVHUYDQGRVXViQJXORVXREVHUYDQGRUHODFLRQHVHQWUHODVPHGLGDVGHVXVODGRV(V
WRVWHPDV LQLFLDUiQ PHGLDQWHSUREOHPDVTXHSHUPLWDQUHSDVDU ORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRV \
OOHYHQDORVQXHYRVFRQRFLPLHQWRV
'HO PLVPR PRGRODRHOHVWXGLDQWHGHEHUiFODVLILFDU ORVFXDGULOiWHURVGHDFXHUGRFRQFD
UDFWHUtVWLFDV HVSHFtILFDV TXH pVWRV FXPSODQ ,QLFLDOPHQWH VH FODVLILFDUiQ VHJ~Q ODV SURSLH
GDGHVSRUHMHPSORVLVHTXLHUHHOUHFRQRFLPLHQWRGHSDUDOHORJUDPRVVHOHSUHVHQWDQYDULRV
FXDGULOiWHURV\VHSLGHHQFRQWUDUWRGRVORVTXHWHQJDQXQSDUGHODGRVSDUDOHORVOXHJRHQ
FRQWUDU ORV TXHWDPELpQ WLHQHQ ORV RWURV GRV ODGRV SDUDOHORV /D DVLJQDFLyQ GH XQ QRPEUH
YHQGUiFXDQGRVHKD\DQFDSWDGRODVSURSLHGDGHVTXHSHUPLWHQFODVLILFDUHVHWLSRGHIRUPDV
6HSXHGHSURFHGHUGHPRGRVHPHMDQWHSDUDIRUWDOHFHUHOUHFRQRFLPLHQWRGHSROtJRQRVUHJX
ODUHVHLUUHJXODUHV
3DUDUHIRU]DUHOUHFRQRFLPLHQWRGHVLPHWUtDVVHSXHGHQEULQGDUGLYHUVDVILJXUDVWUD]DGDVHQ
SDSHORHQFDUWXOLQD6HEXVFDTXHORV\ODVHVWXGLDQWHVLGHQWLILTXHQFXiOHVVRQVLPpWULFDV\
TXHWUDFHQXQHMHGHVLPHWUtD/XHJRTXHUHFRUWHQODVILJXUDV\ODVGREOHQSRUHOHMHGHVL
PHWUtDWUD]DGRSDUDYHULILFDUVLHIHFWLYDPHQWHODILJXUDHVVLPpWULFD
Quinto año
3URSRQHUDFWLYLGDGHVTXHUHIXHUFHQORVFRQFHSWRVGHiUHD\SHUtPHWUR\TXHDOPLVPRWLHP
SRDFODUHQODGLIHUHQFLDHQWUHDPERV3RUHMHPSORVHSXHGHQRIUHFHUODVVLJXLHQWHVILJXUDV
6H SLGH GHWHUPLQDU HO iUHD \ HO SHUtPHWUR GH FDGD ILJXUD FHOHVWH VL FDGD FXDGULWR PLGH XQ
FHQWtPHWURGHODGR/XHJRVHSXHGHQSURSRUFLRQDUILJXUDVFRQRWUDViUHDV
/DVIyUPXODVSDUDHOFiOFXORGHiUHDVGHEHQVHUGHGXFLGDVSRUODV\ORVHVWXGLDQWHVPHGLDQ
WHDFWLYLGDGHVTXHORVOOHYHQDHOOR3DUDHVWRHVPX\~WLOHOXVRGHPDWHULDOFRQFUHWRRVRIW
ZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFD3RUHMHPSORSXHGHQLQYHVWLJDUSRUGLIHUHQWHVPHGLRVODUHOD
FLyQHQWUHODViUHDVGHXQUHFWiQJXOR\XQSDUDOHORJUDPRQRUHFWiQJXORTXHWHQJDQODPLVPD
EDVH\ODPLVPDDOWXUD8WLOL]DQGRGLYHUVDVPHGLGDVSDUDODEDVH\ODDOWXUDSXHGHQOOHJDUD
FRQMHWXUDUTXHDPERVWLHQHQODPLVPDiUHD
(QFXDQWRDODUHSUHVHQWDFLyQGHSXQWRV\ILJXUDVXWLOL]DQGRFRRUGHQDGDVVHSXHGHHPSH]DU
FRQGLUHFFLRQHVSDUDPRYHUVHGHXQOXJDUDRWURGHQWURGHVXFODVHRHQVXHVFXHODDSDUWLU
GH XQ SXQWR GH UHIHUHQFLD 3RU HMHPSOR KDFHU XQ FURTXLV HQ SDSHO FXDGULFXODGR WRPDQGR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
como punto referencia la entrada principal de la escuela y los puntos cardinales. Luego
ubicar edificios o lugares de la comunidad como: la plaza de futbol, el parque, el salón comunal, etc.
4.
Otra actividad que puede reforzar el uso de coordenadas puede consistir en presentar una
lámina como la siguiente:
Se les pide idear un sistema que permita dar una localización de los animales en la lámina.
Luego, utilizando dicho sistema, dar la ubicación del perro o del gato, etc.
La misma lámina pero sin las letras y los números indicadores puede servir como un problema inicial para introducir las coordenadas.
5.
En cuanto a las traslaciones, se busca que estén en capacidad de predecir la figura que se
obtendrá mediante traslación de una figura previamente trazada. También, dadas varias figuras planas podrán determinar cuáles son traslaciones de una u otras.
6.
Es relevante ligar las traslaciones con las coordenadas. Por ejemplo, en papel cuadriculado
se da una figura y se puede pedir dibujar la traslación que se obtiene al trasladarla 4 unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.
Sexto año
1.
Un uso correcto del compás y el conocimiento del significado del radio de una circunferencia pueden potenciar actividades de construcción de polígonos.
Actividad de construcción del triángulo equilátero. Se dan las siguientes instrucciones:
a. Trace un segmento.
b. Apoyando la punta metálica del compás en un extremo del segmento dibuje un arco de circunferencia.
c. Apoyando la punta metálica del compás en el otro extremo del segmento dibuje un
arco de circunferencia.
d. Marque el punto donde se cortan ambos arcos.
235
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
H 7UDFH HO WULiQJXOR FX\RV YpUWLFHV VRQ ORV GRV H[WUHPRV GHO VHJPHQWR \ HO SXQWR
GRQGHVHFRUWDQORVDUFRVGHFLUFXQIHUHQFLD
/XHJR VH SLGH TXH MXVWLILTXH SRU TXp HO WULiQJXOR TXH VH REWLHQH HV HTXLOiWHUR(VWR GD OD
RSRUWXQLGDGGHTXHDUJXPHQWHQ\FRPXQLTXHQODVLGHDVDOUHVSHFWR
2WUDDFWLYLGDGHVODFRQVWUXFFLyQGHXQKH[iJRQRUHJXODUDSDUWLUGHXQFtUFXORGHUDGLRSRU
HMHPSORGHFP
6HWUD]DXQVHJPHQWRGHFPFRQODUHJOD
&RQ HO FRPSiV VH WUD]D XQ FtUFXOR FX\R UDGLR
PLGDODPLVPDORQJLWXGGHOVHJPHQWRDQWHULRU
6H SURFHGH DUHDOL]DU WUD]RV VREUH OD FLUFXQIH
UHQFLDFRQHOFRPSiVVLQYDULDUVXDEHUWXUD
6H IRUPDQ ORV VHJPHQWRV GHO KH[iJRQR FRQ OD
UHJOD6XVH[WUHPRVVRQODVPDUFDVUHDOL]DGDVHQ
HOSDVRDQWHULRU
)LQDOPHQWHVHSXHGHH[SORUDUSRUPHGLRGHOWUDQVSRUWDGRURODUHJODODVPHGLGDVGHORVGL
YHUVRViQJXORV\VHJPHQWRVSUHVHQWHVHQODILJXUD\OXHJRVLVWHPDWL]DUDOJXQDVFDUDFWHUtVWL
FDV (VWD DFWLYLGDG SHUPLWH LQWURGXFLU WDPELpQ FRQFHSWRV FRPR HO GH SROtJRQR LQVFULWR HQ
XQDFLUFXQIHUHQFLD\VXVHOHPHQWRVFRPRiQJXORFHQWUDOUDGLR\DSRWHPD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
(OXVRGHVRIWZDUHFRQHQIRTXHJHRPpWULFRVHSXHGHFRQYHUWLUHQXQDKHUUDPLHQWDSRGHURVD
SDUDGHVDUUROODU ODYLVXDOL]DFLyQGH ODVSURSLHGDGHV \WUDQVIRUPDFLRQHVGH ODV ILJXUDVJHR
PpWULFDV6HSXHGHSRUHMHPSORUHDOL]DUDFWLYLGDGHVGHFRQVWUXFFLyQGHILJXUDVJHRPpWUL
FDVGDGRVXQHMHGHVLPHWUtD\XQDSDUWHGHODILJXUDFRPRODVLJXLHQWH
2WURXVRGHODWHFQRORJtDFRPRKHUUDPLHQWDGLGiFWLFDHVWiUHODFLRQDGRFRQORVYLGHRV3RU
HMHPSOR VH SXHGHQ HQFRQWUDU PXFKRV YLGHRV HQ ,QWHUQHW VREUH HO VLJQLILFDGR \ OD KLVWRULD
GHOQ~PHURSL(VWRVSXHGHQXWLOL]DUVHHQ ODFODVHFRPRHOHPHQWRH[SOLFDWLYR\ PRWLYDGRU
GHOWHPD$FRQWLQXDFLyQVHSURSRUFLRQDQGRVGLUHFFLRQHVHQ,QWHUQHWFRQYLGHRVDFHUFDGHO
Q~PHURSL
KWWSZZZ\RXWXEHFRPZDWFK"Y +(-0:*7H&K8IHDWXUH UHODWHG
KWWSZZZ\RXWXEHFRPZDWFK"Y )*;:/,1PSNIHDWXUH UHOPIX
$OJXQDVDFWLYLGDGHVSDUDHVWLPDUiUHDVSXHGHQHVWDUOLJDGDVFRQVLWXDFLRQHVGHLQWHUpVSDUD
ODV\ORVHVWXGLDQWHV3RUHMHPSORHQODVLJXLHQWHWRPDDSDUHFHHOHVWDGLRQDFLRQDO*RRJOH
PDSV'DGDODHVFDODTXHVHLQGLFDVHEXVFDHVWLPDUHOiUHDGHODFDQFKDGHI~WERO\HOiUHD
GHODSLVWDDWOpWLFD3RUHVRVHGHEHUiQRIUHFHULQGLFDFLRQHVVREUHTXpVXSHUILFLHFRUUHVSRQ
GHDODSLVWDRDODFDQFKD\KDFHURWURWLSRGHFRQVLGHUDFLRQHVSRVLEOHVVRPEUDVHWF
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
(OFiOFXORGHOiUHDGHOKH[iJRQRUHJXODUUHTXLHUHGHOFRQRFLPLHQWRGHODDSRWHPDGHOPLV
PRORTXHSUHVHQWDXQDGLILFXOWDGFRQFHSWXDOHQHVWHQLYHOGDGRTXHODUD]yQHQWUHODPH
GLGD GH OD DSRWHPD \ OD PHGLGD GHO ODGR GHO KH[iJRQR HV HO Q~PHUR LUUDFLRQDO ¥ /D
DSUR[LPDFLyQGHHVWHQ~PHURFRQGRVGHFLPDOHVHV(VWRVLJQLILFDTXH QRVHSXHGH
GHFLU SRU HMHPSOR TXH XQ KH[iJRQR WLHQH ODGR \ DSRWHPD SDUD JHQHUDU XQ SUREOHPD
SXHVWRTXHHVWDUtDDOHMDGRGH ODUHDOLGDG(QHOFDVRGHXQKH[iJRQRUHJXODUGH ODGROD
DSRWHPD DSUR[LPDGD FRQ GRV GHFLPDOHV HV (Q FRQFOXVLyQ SDUD REWHQHU XQD DSUR[L
PDFLyQDFHSWDEOHGHODDSRWHPDGHXQKH[iJRQRUHJXODUGHEHPXOWLSOLFDUVHHOODGRSRU
3DUDFDGDSROtJRQRUHJXODUKD\XQYDORUSRUHOTXHKD\TXHPXOWLSOLFDUODPHGLGDGHVXODGR
SDUDREWHQHU OD PHGLGDGH ODDSRWHPDSDUDHOSHQWiJRQRUHJXODU ODDSRWHPDHVDSUR[LPD
GDPHQWHSRUHO ODGRSDUDHO KHSWiJRQRUHJXODU ODDSRWHPDHVDSUR[LPDGDPHQWH
SRUHOODGRHWF
&RPRHOHPHQWRPRWLYDGRUVHSXHGHFRQWDUODKLVWRULDGHFyPRHQODDQWLJHGDG(UDWyVWH
QHVORJUyHVWLPDUHOUDGLRGHOD7LHUUDVLQQLQJ~QLQVWUXPHQWRVRILVWLFDGR(UDWyVWHQHVQDFLy
FHUFD GHO DxR D & \ PXULy FHUFD GHO DxR D &(V IDPRVR SRUTXH ORJUy GDU XQD
PHGLGDEDVWDQWHDFHUWDGDGHOUDGLRGHOD7LHUUD8VyGHVGHOXHJR XQPpWRGRLQGLUHFWReO
VH GLR FXHQWD GH TXH D PHGLRGtD GHO GtD GH VROVWLFLR GH YHUDQR HO 6RO DOXPEUDED GLUHFWD
PHQWHHQYHUWLFDOHOIRQGRGHXQSR]RPX\SURIXQGRHQODORFDOLGDGGH6\HQDHQHODFWXDO
(JLSWR
A
A= 7 grados 12 minutos
Syena
Alejandría
$OPLVPRWLHPSRHQODFLXGDGGH$OHMDQGUtDORFDOL]DGDDSUR[LPDGDPHQWHHQHOPLVPRPHUL
GLDQR\DHVWDGLRVXQHVWDGLRHVDSUR[LPDGDPHQWHPDO1RUWHGH6\HQDODVRPEUD
TXHSUR\HFWDEDHO VRO LQGLFDEDTXH ODGLVWDQFLDDQJXODUGHO6RODOFHQLWHUDGHXQGHXQ
FtUFXOR FRPSOHWR DSUR[LPDGDPHQWH JUDGRV FRQ PLQXWRV (VWR OH SHUPLWLy VDEHU TXH OD
FLUFXQIHUHQFLDGHOD7LHUUDHVYHFHVODGLVWDQFLDHQWUH6\HQD\$OHMDQGUtD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
8. La fórmula para determinar el volumen de un paralelepípedo (caja) es igual al área de la base
por la altura; esto puede ser deducido por las y los estudiantes utilizando cubitos de una unidad
de arista, tal como se consiguió en las indicaciones puntuales. A partir de aquí, cada estudiante
puede deducir que también el volumen de un cilindro se calcula multiplicando el área de la base (círculo) por la altura. El volumen de la esfera puede deducirse por experimentación, introduciendo objetos esféricos en un recipiente cilíndrico con agua y midiendo el cambio en la altura del nivel del agua; el cambio en el nivel multiplicado por el área de la base del cilindro da
el volumen de la esfera.
Si se hace con esferas de diferentes diámetros se puede observar un patrón y deducir la fórmula para el volumen de la esfera.
Cuenta la historia que Blas Pascal (1623 ± 1662) realizó un experimento que le permitió deducir el volumen de un cono. Construyó un cono y un cilindro con el mismo radio de la base y la
misma altura que el cono. Llenó el cono de arena y lo vació en el cilindro, hizo esto tres veces
y el cilindro quedó completamente lleno, descubriendo así que el volumen del cono es un tercio del área de su base por la altura. Se puede realizar este experimento y otro análogo con
prismas y pirámides para ver que el volumen de la pirámide es un tercio del área de su base
por la altura.
Indicaciones de evaluación
Las habilidades que tienen que ver con estimaciones por observación pueden ser evaluadas de
manera natural en el trabajo cotidiano. Es conveniente observar con qué frecuencia cada estudiante acierta al realizar observaciones sobre las figuras. Es importante evaluar el uso correcto de
los instrumentos, así como la manera y la frecuencia con la que se participa en las actividades
propuestas. La evaluación del reconocimiento y clasificación de figuras se puede realizar de
forma oral, utilizando objetos presentes en el entorno o bien aquellos que la o el docente aporte
(fotografías, ilustraciones, etc.).
En el trabajo extraclase se pretende reconocer las figuras geométricas en contextos diferentes a
los del entorno escolar. Por ejemplo, para 6º Año una tarea puede consistir en que las y los estudiantes elaboren una lista de objetos que tienen en sus casas cuyas formas sean cajas, cubos,
esferas, cilindros; que hagan un bosquejo de ellas y calculen sus volúmenes.
Para este ciclo la evaluación en el área de Geometría, debe tener presentes las siguientes indicaciones.
239
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
9 (Q FXDQWR DO UHFRQRFLPLHQWR GH ILJXUDV GHEHUiQ UHFRQRFHUODV HQ GLEXMRV R IRWRJUDItDV
SRUHMHPSORHQXQSODQRUHFRQRFHUFXiQWRVWULiQJXORVDSDUHFHQ
9 6H GHEH HYDOXDU OD LGHQWLILFDFLyQ GH GLYHUVRV HOHPHQWRV GH ODV ILJXUDV SODQDV \ GH ORV
FXHUSRVVyOLGRV
9 'DGRVGLYHUVRVWULiQJXORVFRQPHGLGDVGHODGRV\iQJXORVSRGUiQFODVLILFDUORVVHJ~QORV
FULWHULRVGHPHGLGDGHiQJXORV\PHGLGDGHODGRV'HOPLVPRPRGRSRGUiQFODVLILFDUORV
FXDGULOiWHURV XWLOL]DQGR ORV FULWHULRV HVWXGLDGRV VL VRQ FXDGUDGRV UHFWiQJXORV SDUDOHOR
JUDPRVURPERVWUDSHFLRVWUDSH]RLGHV
9 /DHYDOXDFLyQGHOFiOFXOR\DSOLFDFLyQGHSHUtPHWURV\iUHDVSXHGHKDFHUVHGHIRUPDHV
FULWDSDUDHOORVHSXHGHEULQGDUXQDILJXUDFRQFLHUWDLQIRUPDFLyQ\SHGLUORVFiOFXORVSHU
WLQHQWHV(VUHFRPHQGDEOHHQHVWDSDUWHODHYDOXDFLyQPHGLDQWHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]D
GRVTXHSHUPLWDQHVWDEOHFHUFRQH[LRQHVVHQFLOODVFRQRWUDViUHDVPDWHPiWLFDVRDVLJQDWX
UDV
9 (VPX\LPSRUWDQWHHYDOXDUHOWUD]DGRGHILJXUDVFRQVLGHUDQGR~QLFDPHQWHHOXVRDSURSLD
GRGHLQVWUXPHQWRVGHMDQGRGHODGRODGHVWUH]DGHOHVWXGLDQWH\ODSUHFLVLyQGHODILJXUD
(VWRSXHGHGHVDUUROODUVHGXUDQWHHOWUDEDMRFRWLGLDQR
9 3DUDHYDOXDUODXELFDFLyQHQHOSODQRPHGLDQWHFRRUGHQDGDVHQXQD SUXHEDHVFULWDXRUDO
VHSXHGHEULQGDUXQSODQRSRUHMHPSORGHXQDFLXGDGFRQODVLQGLFDFLRQHVGHO1RUWH\HO
(VWH \ XQ SXQWR GH UHIHUHQFLD TXH SXHGH VHU HO SDUTXH XRWUR SXQWR LPSRUWDQWH 6H SLGH
TXHXELTXHTXpVHHQFXHQWUDSRUHMHPSORPDO(VWH\PDO1RUWHGHOSXQWRGDGR
RSHGLUVHODVFRRUGHQDGDVGHXQQHJRFLRXRWURSXQWR
9 /DVVLPHWUtDVVHSXHGHQHYDOXDUSURSRUFLRQDQGRGLEXMRV \SUHJXQWDQGRFXiOHVVRQVLPp
WULFRVHQXQQLYHOGHHYDOXDFLyQVXSHULRUVHSXHGHGDUXQDUHFWD\SHGLUTXHVHGLEXMHXQD
ILJXUDVLPpWULFDFRQHMHGHVLPHWUtDHQODUHFWDGDGD(QFXDQWRDWUDVODFLRQHVVHSXHGHSH
GLUTXHVHUHSURGX]FDXQDILJXUDWUDVODGDGDDXQDSRVLFLyQGHWHUPLQDGD(VWRVHSXHGHKD
FHUHQSUXHEDVHVFULWDV
3RUHMHPSORHOVLJXLHQWHtWHPVLUYHSDUDHYDOXDUVLVHWLHQHFODURHOFRQFHSWRGHiUHD
/DVGRVFXDGUtFXODVWLHQHQODVPLVPDVGLPHQVLRQHV¢FXiOGHODViUHDVHVPHQRUODD]XO
RODURMD"
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
(OVLJXLHQWHtWHPSHUPLWHHYDOXDUHOFRQFHSWRGHSROtJRQR\DGHPiVWLHQHTXHYHUFRQORV
SURFHVRV&RPXQLFDU\5D]RQDU\DUJXPHQWDU
([SOLTXHSRUTXpODVLJXLHQWHILJXUDQRHVXQSROtJRQR
Segundo ciclo, Medidas
Introducción
(QHO6HJXQGRFLFORVHSUHWHQGHXQDLGHDPiVFODUDGHORTXHHVODPHGLFLyQVXLPSRUWDQFLD\VX
XWLOLGDGHQDVXQWRVTXHWLHQHQTXHYHUFRQODYLGDFRWLGLDQDSDUWLFXODUPHQWHHQPHGLGDVGHORQJL
WXGPRQHGDSHVRWLHPSR\FDSDFLGDG
(VWHFLFORGHEHUiDILUPDUHOFRQFHSWRGHPHGLFLyQDVtFRPR DPSOLDUOHHOSDQRUDPDHQFXDQWRD
ODVVLWXDFLRQHVHQODVTXHVHDSOLFDQODVPHGLGDV6HSURIXQGL]DUiHQODVPHGLGDVHVWXGLDGDVHQHO
FLFORDQWHULRU\VHHVWXGLDUiQRWUDVVXSHUILFLHYROXPHQ\WHPSHUDWXUD3RURWUDSDUWHVHHVWXGLDUi
FRQGHWDOOHHOVLVWHPDPpWULFRGHFLPDO
/R DQWHULRU GHEH SUHSDUDU SDUD UHFRQRFHU OD SUHVHQFLD GH OD PHGLFLyQ HQ GLIHUHQWHV FRQWH[WRV \
SDUDVXXVRHQVLWXDFLRQHVFRWLGLDQDVHQGLYHUVDViUHDVGHODV0DWHPiWLFDV\HQRWUDVGLVFLSOLQDV
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQ0HGLGDVSDUDHVWHFLFORHVDPSOLDUHOFRQRFLPLHQWRTXHWUDHQODV
\ORVHVWXGLDQWHVHQHVWDiUHD\SUHSDUDUORHQODFRPSUHQVLyQ\ODDSOLFDFLyQGHOVLVWHPDPpWULFR
GHFLPDO
Habilidades generales
/DV KDELOLGDGHV JHQHUDOHV TXH VH GHEHUiQ ORJUDU HQ HO iUHD GH 0HGLGDV DO ILQDOL]DU HO 6HJXQGR
FLFORVRQ
x 5HDOL]DU PHGLFLRQHV ORQJLWXG PRQHGD SHVRWLHPSR FDSDFLGDG VXSHUILFLH YROXPHQ WHP
SHUDWXUD
x (VWLPDU PHGLGDVORQJLWXGPRQHGDSHVRWLHPSRFDSDFLGDGVXSHUILFLHYROXPHQWHPSHUD
WXUD
x $SOLFDUHOVLVWHPDPpWULFRGHFLPDO
x $SOLFDUODPHGLFLyQHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
/DV PHGLGDV SHUPLWHQ DPSOLDU OD FRQWH[WXDOL]DFLyQ GH ORV REMHWRV PDWHPiWLFRV \ YLVXDOL]DU OD
XWLOLGDGGHHVWDPDWHULDHQGLIHUHQWHVGLPHQVLRQHVGHODYLGDHVWXGLDQWLO
/DVGLVWLQWDVSRVLELOLGDGHVGHH[SUHVDU ODVXQLGDGHVGHPHGLGDRIUHFHQRFDVLRQHVSDUDDSR\DUHO
SURFHVR5HSUHVHQWDU
(QHVWHFLFORSXHGHQFRPXQLFDUIiFLOPHQWHORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVHQODPHGLFLyQ/DUHVROXFLyQ
GHSUREOHPDV\PRGHOL]DFLyQVHSODQWHDHQXQDPDQHUDPX\VHQFLOOD\QDWXUDO
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
6XSHUILFLH
x 0HWUR
FXDGUDGR
x 0~OWLSORV
x 6XEP~OWL
SORV
x (VWLPDFLyQ
x &RQYHUVLR
QHV
0RQHGD
x 0RQHGDV
x %LOOHWHV
x 5HODFLRQHV
7HPSHUDWXUD
x *UDGRV
&HOVLXV
x *UDGRV
)DKUHQKHLW
x &RQYHUVLR
QHV
7LHPSR
x $xR
x 0HV
x 6HPDQD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(VWLPDU iUHDV XWLOL]DQGR HO
PHWURFXDGUDGRVXVP~OWL
SORV\VXEP~OWLSORV
5HDOL]DU FRQYHUVLRQHV HQ
WUHHVWHWLSRGHPHGLGDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c6HSXHGHLQLFLDUFRQXQSUREOHPDSRUHMHPSOR
6HTXLHUHXQDPDOODDOUHGHGRUGHXQSDWLRGHPGHDQFKR
\PGHODUJRVLODDOWXUDGHODPDOODHVGHP¢FXiOHVHOiUHD
GHODPDOODTXHVHTXLHUHFRORFDU"
$OSURSRQHUPiVVLWXDFLRQHVFHUFDQDVDOHQWRUQRHVWXGLDQ
WLOVHGHVDUUROODODFRQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
(VWDEOHFHU OD UHODFLyQ EDQ
FDULD HQWUH ODV PRQHGDV \
ELOOHWHV GH WRGDV ODV GHQR
PLQDFLRQHV
$SOLFDU HO XVR GH FDQWLGD
GHV PRQHWDULDV HQ GLYHUVDV
VLWXDFLRQHV UHDOHV R ILFWL
FLDV
c3URSRQJDSUREOHPDVGHOVLJXLHQWHWLSR
(Q XQ FDMHUR HOHFWUyQLFR 5DQGDOO UHFLELy HO VLJXLHQWH
GLQHUR HQ HIHFWLYR WUHV ELOOHWHV GH ₡ XQR GH ₡ GRV GH ₡ FXDWUR GH ₡ \ GH ₡ ¢&XiO IXH HO
PRQWRWRWDOTXHGHVSDFKyHOFDMHURDXWRPiWLFR"
¢&XiQWDVPRQHGDVGH₡ RGH₡ GH₡ GH₡ VHQHFHVLWDQSDUDWHQHU₡ "6HWUDEDMDGHPDQHUDLPSOtFL
WDODSURSRUFLRQDOLGDG
8WLOL]DUODFDOFXODGRUDHQORVFiOFXORVFRPSOHMRV
0HGLU WHPSHUDWXUDV HQ ODV c 8WLOL]DU ODV GLIHUHQWHV HVFDODV HQ OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV
HVFDODV &HOVLXV \ )DKUHQ FRPRSRUHMHPSOR
KHLW XWLOL]DQGR LQVWUXPHQ WRVDSURSLDGRV
(O SXQWR GH HEXOOLFLyQ GHO DJXD DO QLYHO GHO PDU HV
5HDOL]DU FRQYHUVLRQHV GH ž&¢&XiOHVVXSXQWRGHHEXOOLFLyQHQJUDGRV)DKUHQKHLW"
PHGLFLRQHV GHWHPSHUDWXUD HQWUHHVWDVGRVHVFDODV
(VWH HMHPSOR PXHVWUD OD LPSRUWDQWH FRQH[LyQ TXH H[LVWH
HQWUH1~PHURV\0HGLGDV\DTXHHOSUREOHPDQRSRGUtDUHVRO
$SOLFDUODPHGLFLyQGH
YHUVH VL FDGD HVWXGLDQWH QR WLHQH ORV FRQRFLPLHQWRV TXH OH
WHPSHUDWXUDDVLWXDFLRQHV
SHUPLWDQ PDQLSXODU H[SUHVLRQHV QXPpULFDV $GHPiV PXHVWUD
UHDOHVRILFWLFLDV
XQDHVHQFLDOFRQH[LyQHQWUH0DWHPiWLFDV\&LHQFLDV
(VWLPDUHOWLHPSRXWLOL]DQ c6HSXHGHQSODQWHDUUHWRVGRQGHVHDSOLTXHHOFiOFXORPHQWDO
GRDxRVPHVHVVHPDQDV
6H GD XQ DxR \ VH SLGH HVWLPDU OD HGDG TXH WHQGUtD OD SHUVRQD
KRUDVPLQXWRV\VHJXQGRV TXHQDFLyHQHVHDxR7DPELpQXQDSHUVRQDGDVXHGDGHQDxRV
\ PHVHV FXPSOLGRV RWUD X RWUR HVWLPD HO DxR \ HO PHV HQ TXH
0HGLU HO WLHPSR XWLOL]DQGR QDFLy
DxRV PHVHV VHPDQDV KR UDVPLQXWRV\VHJXQGRV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
x
x
x
x
+RUD
5HDOL]DU FRQYHUVLRQHV HQ
WUHHVWDVPHGLGDV
0LQXWR
6HJXQGR
0LJXHO HQ HVWH PRPHQWR WLHQH DSUR[LPDGDPHQWH PHVHV\VXHVSRVDWLHQHGtDV¢&XiOGHORVGRVWLHQHPiV
HGDG"
&RQYHUVLR
QHV
6LVWHPD
PpWULFR
GHFLPDO
x /RQJLWXG
x 3HVR
x &DSDFLGDG
x 6XSHUILFLH
ÈQJXORV
x *UDGRV
6HSODQWHDQSUREOHPDVTXHSHUPLWDQYDORUDUVyORODHVWUD
WHJLDHPSOHDGD/RVFiOFXORVVHUHDOL]DQSRUPHGLRGHODFDOFX
ODGRUD3RUHMHPSOR
$SOLFDU HO VLVWHPD PpWULFR
GHFLPDO HQ VLWXDFLRQHV
UHDOHVRILFWLFLDV
5HDOL]DUFRQYHUVLRQHV
HQWUHGLYHUVDVXQLGDGHVGH
PHGLGD
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQGLYHUVDVPHGL
GDV
&RPSDUDU iQJXORV D VLP
SOHYLVWDXVDQGRXQPRGH
OR
0HGLUiQJXORVHQJUDGRV
5HVROYHU SUREOHPDV HQ ORV
TXH VH XWLOLFH OD PHGLFLyQ
HQJUDGRV
(OHVWXGLRGHOVLVWHPDPpWULFRGHFLPDOSXHGHLQWURGXFLUVH
PHGLDQWHHOXVRGHODKLVWRULDGHVXLPSODQWDFLyQHQ&RVWD5LFD
c+D\TXHPDQLSXODULQVWUXPHQWRVGHPHGLGDVPHWURGHFtPH
WUR GHFiPHWURV 7UDEDMDU FRQ SHVDV \ UHFLSLHQWHV SDUD ORV
OtTXLGRV
c ,QWURGXFLU ORV FXDGURV GH FRQYHUVLRQHV VLQ GHMDU GH ODGR HO
FiOFXORPHQWDOP FPP «FP
c &DGD HVWXGLDQWH SXHGH FRQVWUXLU XQ WUDQVSRUWDGRU YXHOWD
FRPSOHWD GHO FtUFXOR JUDGRV 6H GLYLGH HQ ž HQ žHQHQ
c (QFRQWUDU HQ HO DXOD iQJXORV LQIHULRUHV D ž VXSHULRUHV D
žVXSHULRUHVDž
c (VWLPDU HO YDORU GH XQ iQJXOR $YHULJXDU FRQ HO WUDQVSRUWD
GRU
c 3ODQWHDU SUREOHPDV TXH KDJDQ FRQH[LyQ HQWUH IUDFFLRQHV \
PHGLGDGHiQJXORV
(O JUDGR WLHQH VX RULJHQ HQ OD DQWLJHGDG JUDFLDV D ORV
%DELORQLRVTXHFRQWDEDQHQEDVH
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
0RQHGD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(VWHWLSRGHSUREOHPDFRQHFWDFRQHOiUHDGH*HRPHWUtD
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
$SOLFDU HO XVR GHO VLVWHPD c6HSXHGHQSODQWHDUSUREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWH
PRQHWDULR QDFLRQDO HQ VL WXDFLRQHV ILFWLFLDV R GHO
8QD HQVDODGD UHTXLHUH GH ò NJ GH SHSLQR J GH
HQWRUQR
WRPDWHOHFKXJDFULROODJGH]DQDKRULDUDOODGD\JGH
FHEROOD/DVLJXLHQWHWDEODSURSRUFLRQDORVSUHFLRVHQFRORQHVGH
HVWRVLQJUHGLHQWHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Ingrediente
Tomate
Cebolla
Lechuga
Zanahoria
Pepino
Precio
650 el kg
1000 el kg
250 la unidad
350 el kg
700 el kg
¿Cuánto cuesta el total de los ingredientes de la ensalada?
Con este tipo de problemas se pueden abordar
temas como la salud y la buena nutrición, enfatizando en la
riqueza de las frutas y vegetales para el buen funcionamiento
del cuerpo humano. Además, tiene conexión con Números.
Diversas
medidas
x Longitud
x Peso
x Capacidad
2. Aplicar las diversas medidas en la resolución de
problemas que se presenten en situaciones ficticias
y del entorno.
3. Realizar estimaciones de
diversas medidas.
Se puede trabajar con los mapas digitales de Internet para
la creación de actividades como calcular la distancia entre dos
pueblos, lo cual se puede aprovechar para insistir en la importancia de la escala.
Aquí se establece una conexión con Números y con la
asignatura Estudios Sociales.
x Superficie
Diversas actividades relacionadas con medidas pueden
potenciar el respeto, aprecio y disfrute de las Matemáticas.
x Tiempo
x Ángulos
6° Año
Conocimientos
Volumen
x Metro
cúbico
x Múltiplos
x Submúltiplos
x Conversiones
x Relación
decímetro
cúbico - litro
Habilidades específicas
1. Utilizar el metro cúbico,
sus múltiplos y submúltiplos en diversas situaciones ficticias o del entorno.
2. Realizar conversiones de
unidades cúbicas.
3. Establecer relaciones entre el decímetro cúbico y el
litro, así como múltiplos y
submúltiplos de ellos.
4. Aplicar esas relaciones en
situaciones ficticias o del
entorno.
Indicaciones puntuales
c Plantear problemas como:
En la comunidad en que vive Francisco se está racionando
el agua todos los lunes, por lo que su mamá el día anterior llena
3 envases de 2 dm3 cada uno. ¿Cuántos litros de agua recoge en
total la mamá de Francisco?
Este ejemplo muestra cómo utilizamos las Matemáticas
en situaciones cotidianas. Se puede llevar el problema aun más
allá y poner a cada estudiante a razonar sobre cuánta cantidad de
agua necesita su familia diariamente y de esta forma concientizar sobre la importancia de racionar.
245
Programas de cada ciclo educativo
Diversas
medidas
x Longitud
- Nanómetro
x Masa
x Capacidad
x Superficie
x Tiempo
5. Aplicar las diversas medidas en la resolución de
problemas dados en situaciones ficticias o del entorno.
6. Realizar estimaciones de
diversas medidas.
7. Realizar conversiones monetarias: colones a dólares,
colones a euros y viceversa.
x Temperatura
Segundo ciclo, Medidas
cSe introduce la unidad de medida de longitud denominada
nanómetro, y se repasan las demás, utilizando problemas de
mayor complejidad, con conversiones entre nanómetros (nm) y
milímetros (mm). Por ejemplo, si un chip actualmente puede
medir 30 nm, ¿cuál sería la medida de ese chip en mm? Se pide
investigar los tipos de cambio y realizar conversiones en situaciones reales o ficticias; por ejemplo, de precios de artículos que
aparecen en Internet, en periódicos u otros medios.
El 23 de diciembre de 2011, el periódico La Nación
SXEOLFy XQDQRWLFLD TXH GHFtD ³(Q HVWH VH GLR XQDUHGXcción del 50% del área afectada por incendios forestales en el
país. En otras palabras, el área quemada pasó de 18 683 hectáreas en el 2010 a 9 HQHO´
Esta información puede servir para redactar un problema que
conecta con situaciones de la vida real y que además puede
conectar con el área de Relaciones y Álgebra. Puede utilizarse
para explicar que existe otro tipo de unidades para medir superficie e indicar la relación entre esta unidad y el kilómetro
cuadrado.
x Moneda:
colones, dólares, euros
Lo anterior conecta con uno de los ejes transversales:
Cultura Ambiental para el Desarrollo Sostenible.
Se plantean problemas como el siguiente, de forma tal que
la atención se centre en la estrategia de resolución y no en la
labor de cálculo:
Una pequeña empresa tiene una cuenta en colones en la
que hay ₡ 6 568 535. Para realizar transacciones en el extranjero
necesita abrir una cuenta en dólares, para ello decide tomar una
octava parte del monto depositado en la primera cuenta. Además, debe transferir a otra empresa la suma de 1370 euros.
¿Cuánto dinero le queda a la empresa en su cuenta en colones?
(Es importante que cada estudiante investigue el tipo de cambio
del dólar y el euro con respecto al colón en ese día o semana).
8. Plantear problemas contextualizados que involucren
para su solución diversos
tipos de medidas y sus respectivas conversiones.
c Se busca el planteo de problemas contextualizados que
requieran el uso de diferentes tipos de medidas. Se puede
presentar a la clase una información determinada para que la
contextualicen y puedan así enunciar un problema.
Se les proporciona el siguiente cuadro de información
acerca de la capacidad de tres recipientes:
246
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Recipiente
Capacidad
1,7 litros
1600 cm3
1,8 dm3
/XHJRVHOHVSURSRQHIRUPXODUXQSUREOHPDGRQGHVHWRPHHQ
FXHQWDXQRRPiVGHORVGDWRVSURSRUFLRQDGRVHQHOFXDGUR
8QHMHPSORGHSUREOHPD
3HGUR LUi GHJLUD HGXFDWLYD FRQ VXV FRPSDxHURVD XQD HPSUHVD
TXHIDEULFDFRQILWHVSDUDHVWRVHSLGHTXHFDGDHVWXGLDQWHOOHYH
D OD JLUD XQ UHFLSLHQWH YDFtR SDUD JXDUGDU ORV FRQILWHV TXH
UHJDODUiODHPSUHVD3HGURWLHQHWUHVUHFLSLHQWHVGRVFLOtQGULFRV
\ XQR F~ELFR ODV LQGLFDFLRQHV GH ORV UHFLSLHQWHV PXHVWUDQ TXH
WLHQHQ UHVSHFWLYDPHQWH ODV VLJXLHQWHV FDSDFLGDGHV OLWURV
FP \ GP ¢&XiOUHFLSLHQWH GHEH HVFRJHU 3HGURSDUD
SRGHUUHFRJHUPiVFRQILWHV"
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
/RVPpWRGRVTXHVHXWLOL]DQHQHVWHFLFORVHUiQVHPHMDQWHVD ORVGHOFLFORDQWHULRUSHURVH
GHEHDPSOLDUODFRPSOHMLGDGGHODVDFWLYLGDGHV
(QHVWHFLFORVHSUHWHQGHUHWRPDUHOVHQWLGRGHODVRSHUDFLRQHVGHFRQVHUYDFLyQ\GHWUDQVL
WLYLGDGFRQORFXDOHVQHFHVDULRSURSRQHUDFWLYLGDGHVTXHUHIXHUFHQORHVWXGLDGRHQHOFLFOR
DQWHULRU
(VQHFHVDULRTXHHOHGXFDGRURHGXFDGRUDHQIDWLFHTXHPHGLUHVFRPSDUDUFRQUHVSHFWRDXQ
SDWUyQ XQLGDG GH PHGLGD \ TXH HVWH SDWUyQ SXHGH VHU DUELWUDULR /D KLVWRULD GHO VLVWHPD
PpWULFRGHFLPDOHV~WLOSDUDHYLGHQFLDUHOFDUiFWHUVRFLDOGHODPHGLFLyQ
$ HVWH QLYHO SXHGHQ UHDOL]DUVH HQ HO WUDEDMR H[WUDFODVH DOJXQDV DFWLYLGDGHV GH PHGLFLyQ
SDUDVHUUHDOL]DGRVHQODFDVD3RUHMHPSORHODERUDUODUHFHWDGHXQSDVWHO\HOSUHVXSXHVWR
SDUD KDFHUOR LPSOLFD GDWRV GH SHVR WHPSHUDWXUD PRQHGD YROXPHQ WLHPSR \ UHODFLRQHV
HQWUH HOORV 2WUD DFWLYLGDG ~WLO HV LQYHVWLJDU TXp XQLGDGHV GH PHGLGD VH KDQ XWLOL]DGR HQ
&RVWD5LFD
6H SXHGH SHGLU D OD FODVH IDEULFDU GLIHUHQWHV LQVWUXPHQWRV GH PHGLFLyQ FLQWD PpWULFD GH
FDUWXOLQDPHGLGDGHXQOLWURUHORMGHDUHQDHWF
(QHVWHFLFORGHEHDSUHQGHUVHTXHDPHQXGRODVPHGLGDVSXHGHQFDOFXODUVHPHGLDQWHHOXVR
GHIyUPXODV \TXHQRVLHPSUHVHUHTXLHUHREWHQHUODVGHPDQHUDGLUHFWDXVDQGRLQVWUXPHQ
WRVSRUHMHPSORiUHDVFDQWLGDGHVGHGLQHURHWF
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
6HSXHGHXWLOL]DUODFDOFXODGRUDFRPRXQDKHUUDPLHQWDSDUDVLPSOLILFDUHOWUDEDMRGHFiOFX
OR
/DPHGLFLyQGHDOJXQRVDWULEXWRVORQJLWXGiUHDYROXPHQWLHQHFRQH[LyQHYLGHQWHFRQOD
JHRPHWUtDHVWRGHEHHYLGHQFLDUVHHQODVDFWLYLGDGHVGHDSUHQGL]DMHTXHVHUHDOLFHQHQHODX
OD
(VUHOHYDQWHWHQHUSUHVHQWHTXHOD PHGLFLyQ LPSOLFDRSHUDFLRQHVGHRUGHQSVLFROyJLFR ODV
PiV LPSRUWDQWHVVRQ ODFRQVHUYDFLyQGH ODFDQWLGDG \ ODWUDQVLWLYLGDGHQWUHFDQWLGDGHV/D
SULPHUDVHUHILHUHD OD LQYDULDQFLDGHODFDQWLGDG DPHGLUSRUHMHPSORXQDYDULOOD PLGH OR
PLVPRVLHVWiVREUHHOVXHORRVLVHODOHYDQWD\VHODOOHYDDRWUDSDUWHORVQLxRV\ODVQLxDV
GH PHQRU HGDG SXHGHQ WHQHU GLILFXOWDGHV FRQ OD FRQVHUYDFLyQ HQ OD PHGLFLyQ GH DOJXQRV
DWULEXWRV /DWUDQVLWLYLGDG SHUPLWH FRPSDUDU FDQWLGDGHV \ RUGHQDUODV 3RU HMHPSOR VL /XLV
PLGHPiVTXH0LJXHO\0LJXHOPLGHPiVTXH$QDVDEUHPRVTXH/XLVPLGHPiVTXH$QD
WUDQVLWLYLGDGGHODGHVLJXDOGDGRVLXQREMHWRSHVDORPLVPRTXHRWUR\pVWHDVXYH]SHVD
ORPLVPRTXHXQWHUFHURHQWRQFHVHOSULPHUR\HOWHUFHURSHVDQORPLVPRWUDQVLWLYLGDGGH
ODLJXDOGDG
Cuarto año
(Q HVWH DxR VH UHSDVDQ ODV PHGLGDV HVWXGLDGDV HQ HO 3ULPHU FLFOR SHUR FRQ SUREOHPDV GH
PD\RUFRPSOHMLGDGGHDFXHUGRFRQHOGHVDUUROORGHORVQLxRV\ODVQLxDV\VXFRQRFLPLHQWR
GHORVQ~PHURV
6HLQWURGXFHODPHGLGDGHVXSHUILFLHV$OUHVSHFWRGHEHDVLPLODUVHTXHDXQTXHDPHQXGRVH
XVDQORVWpUPLQRVVXSHUILFLH\iUHDFRPRVLQyQLPRVHQUHDOLGDGQRVRQODPLVPDFRVDDXQ
TXHHVWiQUHODFLRQDGRV(OiUHDHVODPHGLGDH[WHQVLyQGHODVXSHUILFLHGHXQDILJXUD
'HEHTXHGDUFODURTXHODVIyUPXODVSDUDFDOFXODUiUHDVSURSRUFLRQDQXQDPDQHUDGHPHGLU
iUHDVDWUDYpVGHPHGLGDVGHORQJLWXG
3DUDLQLFLDUFRQODPHGLFLyQGHWHPSHUDWXUDVSULPHURGHEHQUHDOL]DUVHDFWLYLGDGHVGRQGHVH
SXHGDQ FRPSDUDU VLQ QHFHVLGDG GH PHGLU 3RU HMHPSOR VH SXHGHQ FRORFDU UHFLSLHQWHV FRQ
DJXDFRQGLIHUHQWHVWHPSHUDWXUDVKD\TXHFXLGDUTXHQRVHDDOWDSDUDHYLWDUOHVLRQHV\VH
SLGHTXHWRTXHQHODJXDGHORVGLVWLQWRVUHFLSLHQWHV(VWRSHUPLWLUi SHUFDWDUVHTXHXQRHVWi
³PiVIUtR´R³PiVFDOLHQWH´R³PiVIUtRTXHXQRSHURPiVFDOLHQWHTXHRWUR´HWF
(QFXDQWRDOVLVWHPD PpWULFRGHFLPDODGHPiVGHSRGHUUHDOL]DUFRQYHUVLRQHVHQWUHXQLGD
GHVHVFRQYHQLHQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHFRQR]FDHQTXpFLUFXQVWDQFLDVVHXWLOL]DXQDXRWUD
XQLGDGGH PHGLGD3RUHMHPSORFXDQGRVHWUDWDGH ORQJLWXG ¢FXiOHV ODXQLGDG PiVDSUR
SLDGDSDUDPHGLUODGLVWDQFLDHQWUHGRVFLXGDGHVHOPHWURHOFHQWtPHWURRHONLOyPHWUR"¢<
SDUDPHGLUHODQFKRGHODWDSDGHXQOLEUR"¢<SDUDPHGLUODORQJLWXGGHOODGRGHVXDXOD"
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
Quinto año
(QHOiUHDGHPHGLGDVHVWHDxRFRQVWLWX\HXQUHSDVRGHODVPHGLGDVHVWXGLDGDVHQORVDxRV
DQWHULRUHV/RVSUREOHPDVDWUDWDUDTXtVHUiQGHPD\RUFRPSOHMLGDGGHDFXHUGRFRQHODYDQ
FHGHOFRQRFLPLHQWRHQODVRWUDViUHDV
(VSULPRUGLDOVHJXLUIRPHQWDQGRODHVWLPDFLyQGHPHGLGDV/DHVWLPDFLyQD\XGDDHQIRFDU
VHHQHODWULEXWRTXHGHEHVHUPHGLGRWDPELpQD\XGDDIDPLOLDUL]DUVHFRQODVXQLGDGHVGH
PHGLGD\SURPXHYHHOFiOFXORPHQWDO
3XHGHQ SODQWHDUVH SUREOHPDV FRQ EDVH HQ LQIRUPDFLyQ REWHQLGD HQ FRQWH[WRV UHDOHV 3RU
HMHPSORODLPDJHQDEDMRHVSDUWHGHXQFDUWHOSXEOLFLWDULRHOSUHFLRGHODSLxDHVSRUXQL
GDG\HOGHORVGHPiVSURGXFWRVVHGDSRUNLORJUDPR
(PLOLDFRPSUyXQDSLxD½ NJGHSDSD\DNJGHDJXDFDWH\JGHWRPDWH¢&XiOHV
HOSUHFLRGHODFRPSUDDQWHVGHDJUHJDUHOLPSXHVWRGHYHQWDV"(VWHSUREOHPDFRQHFWDFRQ
1~PHURV
Sexto año
/RPLVPRTXHHQORVDxRVDQWHULRUHVGHEHHMHUFLWDUVHODHVWLPDFLyQGHPHGLGDVDVtFRPRHO
XVRGHLQVWUXPHQWRV3RURWUDSDUWHGHEHHQIDWL]DUVHTXHXVXDOPHQWHFXDQGRVHXVDQLQVWUX
PHQWRV SDUD PHGLU VH FRPHQWHQ HUURUHV HVWR SXHGH VHU LQGXFLGR SRU SUREOHPDV HQ HO LQV
WUXPHQWR R SRU OD SURSLD SHUVRQD TXH KDFH OD PHGLFLyQ 6H SXHGH VROLFLWDU PHGLU DOJXQD
ORQJLWXG \DQRWDUWRGDVODV PHGLGDVSRVWHULRUPHQWHVHSXHGH HYLGHQFLDUODYDULDELOLGDGGH
ODPHGLFLRQHV\DQDOL]DUORVGDWRVFRQPHGLGDVGHSRVLFLyQ(VWRFRQHFWDFRQ(VWDGtVWLFD\
3UREDELOLGDG
$GHPiVGHOUHSDVRGHODVGLIHUHQWHVPHGLGDVDXPHQWDQGRHOQLYHO GHORVSUREOHPDVVHLQ
WURGXFHODPHGLFLyQGHYRO~PHQHV9ROXPHQHVODFDUDFWHUtVWLFDGHORVFXHUSRVDORFXSDUXQ
HVSDFLRODFDSDFLGDGHVWiUHODFLRQDGDFRQHOYROXPHQODFDSDFLGDGGHXQUHFLSLHQWHFRLQ
FLGHFRQHOYROXPHQGHOHVSDFLRLQWHULRUGHOLPLWDGRSRUODVSDUHGHVGHOPLVPR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
'HEHTXHGDUFODURTXHODV IyUPXODVSDUDFDOFXODUYRO~PHQHVSURSRUFLRQDQXQD PDQHUDGH
PHGLUORVDWUDYpVGHPHGLGDVGHORQJLWXG
8QSUREOHPDFRPRHOTXHVHSURSRQHHQODWHUFHUDLQGLFDFLyQSDUDƒ$xRSXHGHVHUUHDOL
]DGRDTXtDPSOLiQGRORFRQHOFiOFXORGHOSDJRWRWDOVLVHFRQVLGHUDDGHPiVHOLPSXHVWRGH
YHQWDVDFWXDOPHQWH
(QHVWHQLYHOHVLPSRUWDQWHYLQFXODUORVFRQRFLPLHQWRVGH0HGLGDVFRQRWUDVPDWHULDVGHOD
PDOODFXUULFXODU3RUHMHPSORHQODHODERUDFLyQGHSUR\HFWRVSDUDIHULDFLHQWtILFDFRQH[LyQ
FRQ OD PDWHULD GH &LHQFLDV \ HQ OD XELFDFLyQ GH OXJDUHV JHRJUiILFRV HQ PDSDV FRQH[LyQ
FRQ(VWXGLRV6RFLDOHV
Indicaciones de evaluación
/DHVWLPDFLyQ\ODFRPSDUDFLyQGHPHGLGDVDVtFRPRHOXVRGHLQVWUXPHQWRVGHPHGLFLyQSXHGHQ
VHU HYDOXDGDV GH PDQHUD QDWXUDO HQ HO WUDEDMR FRWLGLDQR (V LPSRUWDQWH SRQHU DWHQFLyQ DO XVR
FRUUHFWRGHORVLQVWUXPHQWRV\HODQiOLVLVGHORVUHVXOWDGRVGHODVPHGLFLRQHV7DPELpQFRQYLHQH
HYDOXDUVLVHLGHQWLILFDDSURSLDGDPHQWHHOWLSRGHPHGLFLyQTXHUHTXLHUHHODWULEXWRDVHUPHGLGR
\HOLQVWUXPHQWRTXHSHUPLWHUHDOL]DUWDOPHGLFLyQ
&RPRWUDEDMRH[WUDFODVHVHUHFRPLHQGDQWDUHDVFRUWDV TXHSHUPLWDQ ODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
GRQGHVHDSOLTXHODHVWLPDFLyQODFRPSDUDFLyQ\HOFiOFXORGHPHGLGDVHQFRQWH[WRVUHDOHV3RU
HMHPSORSURSRQHUHQR$xRODHODERUDFLyQGHXQDWDEODGHSURGXFWRVTXHYHQGHQHQ ORVQHJR
FLRVXWLOL]DQGRGLYHUVRVWLSRVGHPHGLGDVFRQODLQGLFDFLyQGHORVSUHFLRVSRUXQLGDG6HFRPSOH
WDUtDXQDWDEODFRPRODVLJXLHQWH
Producto
Unidad de medida
Precio
&RQHVWDLQIRUPDFLyQFDGDHVWXGLDQWHSODQWHDUiDOPHQRVGRVSUREOHPDV
3DUDODHYDOXDFLyQPHGLDQWHWDUHDVFRUWDVWUDEDMRH[WUDFODVH\SUXHEDVVHGHEHQWHQHUSUHVHQWHV
ODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 3DUDHYDOXDUHOFiOFXORGHPHGLGDVVHSHGLUiHOXVRGHLQVWUXPHQWRVFRPRUHJODJUDGXDGD
FRPSiVUHORMHVEDODQ]DVHWF7DPELpQHQHOFDVRGHODVPRQHGDVVHSHGLUiODREWHQFLyQ
GHOUHVXOWDGRGHWUDQVDFFLRQHVVHQFLOODVTXHLQYROXFUHQODFRPSUD\YHQWDGHREMHWRV
9 /RPLVPRTXHHQHO3ULPHUFLFORODHYDOXDFLyQGHEHSHUPLWLUSRWHQFLDUHOFiOFXOR\ODHV
WLPDFLyQ GH PHGLGDV DVt FRPR OD FRPSDUDFLyQ HQWUH HOODV \ VX DSOLFDFLyQ HQ GLIHUHQWHV
FRQWH[WRV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Medidas
9 3DUD HYDOXDU OD KDELOLGDG GH FRPSDUDU PHGLGDV VH OHV SXHGH VROLFLWDU TXH FRPSDUHQ GRV
SHVRV\TXHHVWLPHQFXiOHVODUD]yQHQWUHHOORVXQRDSUR[LPDGDPHQWHHOGREOHGHORWURR
VLVRQFDVLLJXDOHVHWF(VWRVHSXHGHKDFHUGHPDQHUDRUDOHQHOWUDEDMRFRWLGLDQR
9 (OWLSRGHHYDOXDFLyQ \ ORV PHFDQLVPRVXWLOL]DGRVVHUiQDQiORJRVDORVGHO3ULPHUFLFOR
VyORTXHVHDXPHQWDHOQLYHOGHFRPSOHMLGDG\VHDJUHJDODPHGLFLyQGHiUHDVYRO~PHQHV
\WHPSHUDWXUD(VLPSRUWDQWHHYDOXDUHOXVRGHODVPHGLGDVHQHOFRQWH[WRGHODVFRQH[LR
QHVFRQRWUDViUHDV\GLVFLSOLQDVDVtFRPRODFRQYHUVLyQHQWUHPHGLGDV
9 8QtWHPFRPRHOVLJXLHQWHSHUPLWHHYDOXDUYDULDVKDELOLGDGHVHVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQ
RWUDViUHDV\DGHPiVSURPXHYHHMHVWUDQVYHUVDOHVGHWRGDVODVDVLJQDWXUDV
8QQLxRHQWUH\DxRVQHFHVLWDFRQVXPLUPJGHYLWDPLQD%1LDFLQDDOGtD(QOD
VLJXLHQWHWDEODVHSUHVHQWDQDOJXQRVDOLPHQWRV\ODFDQWLGDGGH1LDFLQDTXHFRQWLHQHQ
Alimento
Arroz blanco común, cocido
Aguacate
Huevo entero, crudo
Maní
Papa horneada
Cantidad de
alimento
1 taza
30 gr
1
30 gr
1 (150gr)
Niacina (en mg)
2,32
0,54
0,03
3,80
2,17
(ODERUHGRVPHQ~VTXHWHQJDQDOPHQRVWUHVGHHVWRVDOLPHQWRV\TXHFXEUDQFDGDXQROD
FDQWLGDGGH1LDFLQDTXHQHFHVLWDXQQLxRGHDxRVGLDULDPHQWH(OPHQ~SXHGHFRQWH
QHUXQSRFRPiVGHODQLDFLQDQHFHVDULDDORVXPRPJGHH[FHVR
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Introducción
(QHO3ULPHUFLFORFDGDHVWXGLDQWHGHVDUUROOyHOVHQWLGRGHQ~PHUR\DOJXQDVKDELOLGDGHVUHODFLR
QDGDVFRQHOXVRGHVtPERORV\UHODFLRQHVWDOHVFRPRUHFRQRFHUSDWURQHVQXPpULFRV\QRQXPp
ULFRV FRQMHWXUDU FRPSDUDU \ RUGHQDU Q~PHURV QDWXUDOHV XWLOL]DU GLVWLQWDV UHSUHVHQWDFLRQHV SDUD
ORV Q~PHURV QDWXUDOHV LGHQWLILFDU H[SUHVLRQHV PDWHPiWLFDV TXH UHSUHVHQWDQ UHODFLRQHV HQWUH
FDQWLGDGHV \ SURFHVRV DVt FRPR OD DSOLFDFLyQ GH GLVWLQWDV HVWUDWHJLDV SDUD UHVROYHU SUREOHPDV
PDWHPiWLFRV\GHFRPXQLFDFLyQ
(QHO6HJXQGRFLFORVHEXVFDODSURIXQGL]DFLyQGHHVWRVDSUHQGL]DMHVFRPRSRUHMHPSORGHWHUPL
QDUWpUPLQRVGHXQDVXFHVLyQDSDUWLUGHVXOH\GHIRUPDFLyQRELHQGHWHUPLQDUOD OH\GHIRUPD
FLyQDODQDOL]DUODUHODFLyQHQWUHORVWpUPLQRVGHODVXFHVLyQ
6H DPSOtD HO FRQMXQWR GH Q~PHURV DO FRQVLGHUDU IUDFFLRQHV QR QHJDWLYDV \ VH XWLOL]DQ QXHYRV
VtPERORV PDWHPiWLFRV FRPR ODV GHVLJXDOGDGHV SDUD KDFHU FRPSDUDFLRQHV HQWUH H[SUHVLRQHV
QXPpULFDVRVLPEyOLFDV
6HLQWURGXFHQQXHYRVFRQFHSWRVHVWUHFKDPHQWHUHODFLRQDGRVFRQHOOHQJXDMHDOJHEUDLFR\HOIXQ
FLRQDOFRPRSRUHMHPSORODUHODFLyQGHSURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWD\ODLQYHUVDUD]yQ\SURSRUFLyQ
$GHPiV DXPHQWD HO JUDGR GH DEVWUDFFLyQ DO LQLFLDU OD UHSUHVHQWDFLyQ VLPEyOLFD GH FDQWLGDGHV
PDWHPiWLFDVTXHYDUtDQ
(O XVR GH PDSDV FRQ HVFDOD FRDG\XYD DO GHVDUUROOR GH ORV FRQFHSWRV GH UD]yQSURSRUFLyQ DVt
FRPRHOGHGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV
7DPELpQ VH XWLOL]D HO SULPHU FXDGUDQWH GHO SODQR GH FRRUGHQDGDV FDUWHVLDQDV SDUD UHSUHVHQWDU
SDUHVRUGHQDGRVGHQ~PHURVTXHVDWLVIDFHQFLHUWDUHODFLyQPDWHPiWLFD
)LQDOPHQWH VH HVSHUD VHJXLU WUDEDMDQGR ODV DFWLWXGHV \ FUHHQFLDV DFHUFD GH ODV 0DWHPiWLFDV
GHVDUUROODGDVHQHOFLFORDQWHULRU
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDSDUDHVWHFLFORHVGHVDUUROODUHQFDGDHVWX
GLDQWH KDELOLGDGHV SDUD OD FRPSUHQVLyQ \ XWLOL]DFLyQ GH H[SUHVLRQHV PDWHPiWLFDV DVt FRPR VX
FDSDFLGDG SDUD SODQWHDU UHSUHVHQWDU VLPEyOLFDPHQWH \ UHVROYHU SUREOHPDV GDGRV HQ GLYHUVRV
FRQWH[WRV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiWHQHUFDGDHVWXGLDQWHHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDDOILQDOL]DUHO
6HJXQGRFLFORVRQ
x $QDOL]DUSDWURQHVQXPpULFRV\QRQXPpULFRV
x 3DVDUGHUHSUHVHQWDFLRQHVYHUEDOHVDQXPpULFDV
x 5HSUHVHQWDUUHODFLRQHVHQWUHFDQWLGDGHVYDULDEOHV
x 'HWHUPLQDUHOYDORUGHVFRQRFLGRHQXQDH[SUHVLyQQXPpULFD
x $QDOL]DUJUiILFDVGHILJXUDVFRQHVFDOD
x ,GHQWLILFDUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHXQDSURSRUFLyQQXPpULFD
x 8WLOL]DUOHWUDVSDUDUHSUHVHQWDUFDQWLGDGHVYDULDEOHV
x $SOLFDUUHJODGHWUHV\SRUFHQWDMHHQODVROXFLyQGHSUREOHPDV
x 3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVDSDUWLUGHXQDVLWXDFLyQGDGD
(Q HVWH FLFOR VH IRUWDOHFHUiQ ODV DFWLWXGHV GH SDUWLFLSDFLyQ DFWLYD \ FRODERUDWLYD DXWRHVWLPD HQ
UHODFLyQFRQHOGRPLQLRGHODV0DWHPiWLFDV\UHVSHWRDSUHFLR\GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV6LQ
HPEDUJRGDGRTXHHVWHFLFORWLHQHXQPDQHMRPiVDEVWUDFWRHVQHFHVDULRWUDEDMDUODSHUVHYHUDQ
FLD
(QFXDQWRDORVSURFHVRVVHH[LJHXQDPD\RUDUJXPHQWDFLyQSRUSDUWHGHOHVWXGLDQWDGR6HSRQ
GUiDWHQFLyQDODH[SORUDFLyQGHSDWURQHVODIRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDVHOUD]RQDPLHQWRPDWHPi
WLFR\HOXVRFRUUHFWRGHOOHQJXDMHPDWHPiWLFRHQODFRPXQLFDFLyQRUDO\HVFULWD(VWRVSURFHVRV
IRUWDOHFHQODXWLOL]DFLyQGHODUHSUHVHQWDFLyQGHP~OWLSOHVHQWLGDGHVPDWHPiWLFDVGHRWUDViUHDV
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
6XFHVLRQHV
x 3DWURQHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
$QDOL]DU SDWURQHV HQ VXFH
VLRQHV FRQ ILJXUDV UHSUH
VHQWDFLRQHV JHRPpWULFDV \
HQWDEODVGHQ~PHURVQDWX
UDOHV PHQRUHV TXH XQ PL
OOyQ
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SXHGHQ SURSRQHU VXFHVLRQHV UHFXUVLYDV \ VXFHVLRQHV TXH
UHTXLHUHQ GRV RSHUDFLRQHV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH H[SORUH
FRQMHWXUHHLGHQWLILTXHVXSDWUyQ
3RU HMHPSOR « FXDGUXSOLFDU HO Q~PHUR \
UHVWDUDOUHVXOWDGR
2WURHMHPSORHVODVXFHVLyQGH)LERQDFFL
«FDGDWpUPLQRHVODVXPDGHORVGRV
WpUPLQRVDQWHULRUHV
(VWHWLSRGHHMHUFLFLRVUHTXLHUHGHXQPD\RUHVIXHU]RSRU
HVWDUD]yQVHSXHGHSUHVHQWDUODDFWLYLGDGFRPRXQGHVDItRTXH
LPSOLFD VHU SHUVHYHUDQWH /D E~VTXHGD GH SDWURQHV HV XQD
KHUUDPLHQWDPX\LPSRUWDQWH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Cada estudiante puede compartir la estrategia
utilizada para identificar el patrón en un ambiente de respeto
mutuo. Para la construcción de sucesiones con figuras se recomienda la utilización de materiales concretos, principalmente
los que son reciclables, para desarrollar una Cultura ambiental
para el desarrollo sostenible.
c Las sucesiones de Fibonacci resultan muy interesantes
porque fortalecen el cálculo mental.
Al introducir el tema de sucesiones, resulta motivador dar
una breve reseña de los aportes del matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonnacci, en su obra
Libro del Ábaco publicada en el año 1202. Un problema famoso
planteado por él es el de la reproducción de conejos: suponga
que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja
de conejos procrea una nueva pareja, que es fértil a los dos
meses. Si comenzamos con una pareja de recién nacidos, ¿cuántas parejas de conejos tendremos al final de 1 año?
Los primeros números de Fibonacci son:
1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55.
Se observa que cada término, a partir del tercero, es la suma de
los dos anteriores. La sucesión anterior se conoce como sucesión de Fibonacci mientras que los números que aparecen en
ella se llaman números de Fibonacci. Esta sucesión tiene aplicaciones en las artes, la arquitectura, el mercado financiero y con
la razón áurea. Realmente un tema interesante para un trabajo de
investigación.
2. Aplicar sucesiones y patrones para resolver problemas contextualizados.
Representaciones
3. Construir tablas que cumplan las especificaciones
dadas en forma verbal.
c Se solicita al estudiantado construir una tabla con dos columnas de tal forma que la segunda columna dependa de la primera.
254
Programas de cada ciclo educativo
4. Plantear y resolver problemas formulados verbalmente.
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
La primera columna contiene los números impares menores que quince, ordenados en forma ascendente. Coloque en la
segunda columna números que sean cuatro veces los de la
primera columna, menos diez.
Pedro tiene el doble de la edad de su hermana Alicia.
Hace cinco años Alicia tenía dos años de edad. ¿Cuántos años
tiene Pedro actualmente?
Se estimula a cada estudiante para que comparta la estrategia utilizada para plantear y resolver el problema.
Relaciones
5. Identificar el número que
falta en una expresión matemática, una figura o en
una tabla.
Complete la tabla:
9
7
18
14
27
21
45
35
63
49
81
Cada uno de los delfines cubre un mismo número. ¿Cuál
es este número?
Propiedades de
las operaciones
6. Resolver problemas aplicando las propiedades de
conmutatividad y asociatividad de la suma y la multiplicación y la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma.
Proponga ejercicios donde cada estudiante decida qué
propiedad debe aplicar y logre explicar a los demás su decisión.
Con esto se pretende apoyar el proceso Comunicar.
Patricia compró 10 naranjas y 15 bananos para compartir
con sus amigos. Cada fruta tiene un costo de ₡ 60. Determine la
cantidad de dinero que pagó Patricia por la compra.
Si se utiliza la propiedad distributiva:
60 u (10 + 15) = 60 u 10 + 60 u 15 = 600 + 900 = 1500
c Permita que cada estudiante proponga sus propios
ejemplos y que comparta sus estrategias de solución en un
ambiente de respeto y cordialidad, favoreciendo la Vivencia de
los Derechos Humanos para la Democracia y la Paz.
255
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
5HODFLRQHV
x &DQWLGDGHV
FRQVWDQWHV
x &DQWLGDGHV
YDULDEOHV
x 'HSHQGHQ
FLD
x ,QGHSHQGHQ
FLD
x (VFDODV
x (FXDFLRQHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
'LVWLQJXLU HQWUH FDQWLGDGHV
YDULDEOHV\FRQVWDQWHV
Ÿ &RPR HMHPSOR HQ XQD VLWXDFLyQ GH FRPSUD GH XQ DUWtFXOR
HVWDEOH]FD HO SUHFLR FRPR FRQVWDQWH HO Q~PHUR GH XQLGDGHV
FRPSUDGDV\ODFDQWLGDGGHGLQHURSDJDGDFRPRYDULDEOHV
,GHQWLILFDU \ DSOLFDU UHOD
FLRQHVHQWUHGRVFDQWLGDGHV
YDULDEOHV HQ XQD H[SUHVLyQ
PDWHPiWLFD
(O FRVWR GH ò NJ GH TXHVR HV GH ₡ HO GH NJ
₡ HO GH ò NJ ₡ ¢4Xp UHODFLyQ H[LVWH HQWUH ORV
NLORJUDPRVGHTXHVR\VXFRVWR"
1RWD(ONLORJUDPRVtPERORNJHVODXQLGDGEiVLFDGHPDVDGHO
6LVWHPD,QWHUQDFLRQDOGH8QLGDGHV6,TXHHTXLYDOHDODPDVD
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WHPDFRQDOJXQDVGHODVIyUPXODVGHiUHDVGHILJXUDVJHRPpWUL
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YDULDEOHGHSHQGLHQWH\ODLQGHSHQGLHQWHORFXDOSHUPLWHHVWDEOH
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YHUEDO 8WLOLFH YDORUHV PD\RUHV R LJXDOHV D SDUD JUDGRV
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GHSHQGLHQWHHQODH[SUHVLyQPDWHPiWLFDGDGDHQODWDEOD
Ÿ8WLOL]DUIUDFFLRQHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
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8WLOL]DU XQ PDSD FRQ XQD HVFDOD GDGD \ VROLFLWH TXH
FDOFXOHQ OD GLVWDQFLD HQWUH GRV SXQWRV ORFDOLGDGHV GHO PDSD
8VDU LQLFLDOPHQWH XQ PDSD VLPSOH FDVL OLQHDO (VWR SHUPLWH
HVWDEOHFHUFRQH[LRQHVFRQ(VWXGLRV6RFLDOHV
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FRQYHQLHQFLD GH HVFRJHU OD XQLGDG GH PHGLGD $GHPiV HV
LPSRUWDQWH TXH VH XWLOLFHQ LQVWUXPHQWRV FRPR WHUPyPHWUR
UHJODWUDQVSRUWDGRUSDUDTXHLGHQWLILTXHQODVHVFDODVXWLOL]DGDV
HQHOORV(VWRSURSLFLDODFRQH[LyQFRQ0HGLGDV
'HWHUPLQDU UHODFLRQHV GH c 3DUD GHWHUPLQDU XQD UHODFLyQ GH GHSHQGHQFLD HQWUH FDQWLGD
GHSHQGHQFLD HQWUH FDQWLGD GHV VH SXHGH SODQWHDU XQ SUREOHPD GRQGH FDGD HVWXGLDQWH
GHV
GHGX]FDTXHDOGXSOLFDUVHRWULSOLFDUVHOD YDULDEOHLQGHSHQGLHQ
WHODRWUDWDPELpQVHGXSOLFDRWULSOLFD'HIRUPDDQiORJDSDUD
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c2WURHMHPSORGHGHSHQGHQFLDHOSHUtPHWURGHXQFXDGUDGRHQ
IXQFLyQGHODPHGLGDGHVXODGR
c(QJHQHUDOHVLPSRUWDQWHXVDUODVIyUPXODVGHiUHDVTXHVRQ
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5HSUHVHQWD
FLRQHV
x 7DEODV
x $OJHEUDL
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5HSUHVHQWDU PHGLDQWH WD
EODV UHODFLRQHV HQWUH GRV
FDQWLGDGHV TXH YDUtDQ VL
PXOWiQHDPHQWH
c %ULQGDU WDEODV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH FRPSOHWH FRQ HO
Q~PHURLQGLFDGRDOHQFRQWUDUODUHODFLyQODPLWDGWULSOHGREOH
XRWUDRSHUDFLyQHQWUHODVFDQWLGDGHV
3HUtPHWUR
GHO FXDGUDGRFP
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¢4XpODGRFRUUHVSRQGHUtDDXQSHUtPHWURGHFP"
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
5HSUHVHQWDU XQD H[SUHVLyQ
PDWHPiWLFD GDGD HQ IRUPD
YHUEDO XWLOL]DQGR Q~PHURV
\OHWUDV
c 6H SXHGH SURSRQHU OD FRQVWUXFFLyQ GH XQ GLFFLRQDULR PDWH
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c 6H VXJLHUH QR FRQWHPSODU HO XVR GH OD OHWUD [ GHELGR D TXH
SXHGHFRQIXQGLUFRQHOVtPERORGHODPXOWLSOLFDFLyQ
c'LFWDUDOJXQDVIUDVHVFRPRODVVXJHULGDVDEDMRSDUDTXHFDGD
HVWXGLDQWHODVHVFULEDXWLOL]DQGRQ~PHURVVtPERORVPDWHPiWLFRV
\OHWUDVTXHUHSUHVHQWHQODVYDULDEOHV
D (O WULSOH GH XQ Q~PHUR DXPHQWDGR HQ GRV VH HVSHUD
TXHHVFULED[
E &LQFRPiVWUHVYHFHVXQQ~PHUR
F /DGLIHUHQFLDHQWUHGRVQ~PHURVGLVWLQWRV
G 8QQ~PHURHVDOPHQRVLJXDODFLQFRSHURQRHVPD\RU
TXHYHLQWH
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$QDOL]DU OD SURSRUFLyQ HQ
WUHFDQWLGDGHVQXPpULFDV
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
EOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRVD
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JODGHWUHV
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c ,OXVWUDU HO WHPD FRQ HMHPSORV GRQGH VH FRPSDUD FDQWLGDGHV
SRUFHQWXDOHV
$OEHUWR GHVHD FRPSUDUVH XQ FHOXODU 6X FRVWR VLQ HO
LPSXHVWR GH YHQWDV HV GH₡ HQ OD WLHQGD 6~SHU
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GHGHVFXHQWR ¢&XiO GH ODV GRV WLHQGDV OH RIUHFH XQPHMRU
SUHFLR"
c3DUDIRUPXODUORVSUREOHPDVVHSXHGHQXWLOL]DUGDWRVREWHQL
GRVHQSHULyGLFRVRHQORVLQIRUPHVGHO(VWDGRGHOD1DFLyQ
8WLOLFH OD VLJXLHQWH OLVWD GH SUHFLRV GHO DEDVWHFHGRU
3RSXODUSDUDUHVSRQGHUDODSUHJXQWD¢FXiOHVHOSRUFHQ
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ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
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x 5D]yQ
x 3URSRUFLyQ
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x 3RUFHQWDMH
x 5HJOD
GHWUHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
c Es pertinente enfatizar una fracción propia como una proporción.
c Puede ilustrar el tema con una representación gráfica donde
cada estudiante deduzca la representación fraccionaria de un
porcentaje.
Es deseable escribir porcentajes en diferentes notaciones
y presentar tablas para que sean completadas con la
notación que falta. Esto favorece el proceso Representar.
c Para reforzar esta idea de totalidad, utilice material
reciclable. Esto favorecerá el desarrollo de una cultura
ambiental para el desarrollo sostenible.
En el año 2003 Costa Rica emitió 6474,64 toneladas de
dióxido de carbono a la atmósfera y en el 2004 fue de
6405,10. ¿Qué porcentaje de la emisión de toneladas de dióxido
de carbono disminuyó Costa Rica en el año 2004?
Se recomienda aprovechar la oportunidad para hablar
acerca de las consecuencias del dióxido de carbono en
la salud. Esto favorece una educación para la salud y
una cultura ambiental para el desarrollo sostenible.
El impuesto general sobre las ventas es un impuesto
sobre el valor agregado en la venta de mercancías y en la
prestación de algunos servicios específicamente indicados en la
Ley No. 6826 del 8 de noviembre de 1982 y sus reformas. El
monto del impuesto se determina sobre el precio neto de la
venta y actualmente es de 13%. Que cada estudiante plantee un
problema utilizando esta situación.
3. Plantear y resolver problemas aplicando proporcionalidad directa.
c Proponer ejemplos donde cada estudiante establezca la razón
entre dos cantidades. Por ejemplo, comparar el área de un
rectángulo dado con su altura, o la calificación obtenida en
Matemática con la calificación en Español.
Fernando por cada 8 horas diarias de trabajo gana ₡ 16
650. Si hasta el momento ha ganado ₡ 333 000, ¿cuántas
horas ha trabajado?
c Sugerir ejemplos relacionados con un contexto donde el
estudiante deduce la proporcionalidad directa al observar que si
una cantidad aumenta la otra aumenta o si disminuye la otra
disminuye proporcionalmente.
En la taquería ³Coma Bien´ una familia de 6 personas
gastó ₡ 9645 en tacos. ¿Cuánto dinero gastaría una familia de 4
personas si consumen la misma proporción y el mismo tipo de
tacos que la primera familia?
259
Programas de cada ciclo educativo
Sucesiones
4. Analizar sucesiones y patrones con números, figuras y representaciones
geométricas.
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
c Para este nivel, las sucesiones deben llevar un grado mayor
de complejidad donde la ley de formación (o patrón) puede
incluir dos operaciones además del simbolismo matemático
apropiado.
Por ejemplo:
a.
Para la sucesión
b.
a ( n)
1 2 3
, , ,
2 3 4
solicitar el término número 15.
n2
es el término número n de una sucesión.
2
n
Solicite a cada estudiante construir una tabla con los primeros 10 términos. ¿Cuál es el término número 35?
Use la calculadora para la parte b.
Este tipo de actividades son poco frecuentes, ya que
implican un mayor esfuerzo cognitivo. El educador debe insistir
en la importancia de que cada estudiante enfrente el problema
que se le plantea, dado que esto le ayuda a reforzar la manipulación de instrumentos matemáticos y promueve el razonamiento,
lo cual favorece la perseverancia y aumenta la autoestima en
relación con el dominio de las matemáticas.
5.
Plantear y resolver
problemas aplicando sucesiones y patrones.
Una colonia de bacterias cuenta inicialmente con 8 bacterias. Si la cantidad de bacterias es duplicada cada 24 horas,
¿cuántas bacterias tendrá la colonia al final de 1 semana?
260
Programas de cada ciclo educativo
5HSUHVHQWD
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x $OJHEUDLFD
x 3ODQRGH
FRRUGHQD
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(FXDFLRQHV
x (FXDFLRQHV
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x ,QHFXDFLyQ
GHSULPHU
JUDGR
5HSUHVHQWDUDOJHEUDLFD
PHQWHXQDH[SUHVLyQPD
WHPiWLFDGDGDYHUEDOPHQ
WH
,GHQWLILFDU\UHSUHVHQWDUHQ
XQ SODQR GH FRRUGHQDGDV
SXQWRV TXH VDWLVIDFHQ XQD
UHODFLyQ HQWUH GRV FDQWLGD
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QHDPHQWH
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Ÿ3XHGHGLFWDUIUDVHVFRPR
D (OGREOHGHODVXPDGHXQQ~PHUR\WUHVHVFLHQWRWUHLQ
WD\WUHV
E (OWULSOHGHODGLIHUHQFLDGHXQQ~PHUR\FLQFRHVTXLQ
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F (OWUHFHSRUFLHQWRGHXQQ~PHURHVUHVWDGRGHFLHQ
G (O VLHWH SRU FLHQWR GH XQQ~PHUR HV DGLFLRQDGR DOQ~
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H /DYHORFLGDGGHXQREMHWRHV FLQFRYHFHVVXGHVSOD]D
PLHQWR
4XHFDGDHVWXGLDQWHODVHVFULEDXWLOL]DQGRQ~PHURVRSHUDFLRQHV
\VtPERORVPDWHPiWLFRV
c3UHVHQWHSDUHVRUGHQDGRVFRQXQDOH\GHIRUPDFLyQRSDWUyQ
RFXOWRTXHFDGDHVWXGLDQWHGHEHHQFRQWUDUFRQIRUPHORFDOL]DORV
SXQWRVHQHOSODQR
3RUHMHPSOR
c 6H SRGUtD XWLOL]DU XQ JHRSODQR HQ OXJDU GH XQ SODQR GH
FRRUGHQDGDV
,GHQWLILFDUVLXQQ~PHURHV VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ
&DUORVWLHQHTXHHPSDFDUPDQGDULQDVHQEROVDVGH
GDGD
XQLGDGHV¢&XiQWRVSDTXHWHVORJUyIRUPDU"
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR c 6H EXVFD TXH FDGD HVWXGLDQWH GHGX]FD HO FRQFHSWR GH HFXD
EOHPDV DSOLFDQGR HFXDFLR FLyQ \ GH LQFyJQLWD \ FRPSDUWD FRQ VX FODVH OD HVWUDWHJLD TXH
QHVGHSULPHUJUDGR
XWLOL]ySDUDUHVROYHUOR
c/DVHFXDFLRQHVVRQGHOWLSR
D DuP E
E QyD E
F DyP E
G PD E
H D±Q E
I P±D E
FRQD\EQ~PHURVGDGRVPQLQFyJQLWDV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
c 7DPELpQ HV FRQYHQLHQWHPDQHMDU ODUHVROXFLyQGH XQD HFXD
FLyQ FRPR XQD HVSHFLH GH DGLYLQDQ]D PDWHPiWLFD HQ OD TXH VH
SUHWHQGH HQFRQWUDU XQ Q~PHUR GHVFRQRFLGR (VWR SHUPLWH LU
DILQDQGRXQDOJRULWPR
c 6ROLFLWH D FDGD HVWXGLDQWH HMHPSORV TXH LQYROXFUHQ HFXDFLR
QHVGHOWLSRPHQFLRQDGR
0RGHOH PDWHPiWLFDPHQWH VLWXDFLRQHV VHQFLOODV TXH VHDQ DGH
FXDGDVSDUDHOQLYHO
(OWLSRGHFDPELRGHOGyODUSXHGHVHUPRGHODGRPHGLDQWH
OD UHODFLyQ & G u S GRQGH & HV OD FDQWLGDG GH FRORQHV G
UHSUHVHQWDODFDQWLGDGGHGyODUHV\SHVHOSUHFLRHQFRORQHVGHO
GyODU
(O&LQH9LVWD%HOODFREUD₡SRUFDGDHQWUDGDORVGtDV
PDUWHV \ PLpUFROHV OR TXH FRUUHVSRQGH D OD PLWDG GHO SUHFLR
QRUPDO3URSRQJDTXHFDGDHVWXGLDQWHSODQWHHXQSUREOHPDFRQ
HVWDVLWXDFLyQ
$TXt FDEH UHVDOWDU ORV DSRUWHV GHO PDWHPiWLFR JULHJR
'LRIDQWRGH$OHMDQGUtDDSUR[LPDGDPHQWHG&
FRQVLGHUDGRHOSDGUHGHOiOJHEUDHQUHODFLyQFRQHOWUDWDPLHQWR
GHODVHFXDFLRQHV(QHIHFWR'LRIDQWRLQWURGXMRXQVLPEROLVPR
DOJHEUDLFR SDUD ODV HFXDFLRQHV QRWDFLyQ VLQFRSDGD SRU FLHUWR
XQ VLPEROLVPR EDVWDQWH FRPSOLFDGR VL OR FRPSDUDPRV FRQ HO
DFWXDO3HURpOWDPELpQHVWDEOHFLyUHJODVSDUDPXOWLSOLFDUH[SUH
VLRQHV DOJHEUDLFDV ODV OH\HV GH VLJQRV PiV SRU PHQRV HV
PHQRV HWF \ UHJODV SDUD PXOWLSOLFDU SRWHQFLDV DGHPiV GH
SURSRQHU\UHVROYHUYDULRVSUREOHPDV
,GHQWLILFDU VL XQ Q~PHUR c 6H SXHGH YLQFXODU ODV UHODFLRQHV GH GHSHQGHQFLD HQWUH ODV
HV VROXFLyQ GH XQD YDULDEOHV \ ODV HFXDFLRQHV PHGLDQWH HO SODQWHR GH SUREOHPDV
LQHFXDFLyQGDGD
GRQGHKD\DXQDVLWXDFLyQGHFRPSUDGHXQDUWtFXORDXQSUHFLR
GDGR\FRQHOORGHWHUPLQDUFXiQWDVXQLGDGHVVHSXHGHQFRPSUDU
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR FRQFLHUWDFDQWLGDGGHGLQHURRELHQ¢FXiOHVODPD\RUFDQWLGDG
EOHPDV DSOLFDQGR LQHFXD GH XQLGDGHV TXH VH SXHGHQ FRPSUDU FRQ FLHUWD FDQWLGDG GH
FLRQHVGHSULPHUJUDGR
GLQHUR"
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(VIXQGDPHQWDOUHSDVDU ORVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHV ORJUDGRVHQHOFLFORDQWHULRUPH
GLDQWHSUREOHPDVTXHVHUHODFLRQHQFRQORVQXHYRV
(VFRQYHQLHQWHGDUWLHPSRSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHDQDOLFHVXFHVLRQHV\SDWURQHV(ODQiOL
VLV FRQWHPSOD LGHQWLILFDU FRQMHWXUDU XWLOL]DU HQVD\R \ HUURU FRPSDUDU VROXFLRQHV \ DUJX
PHQWDUODVHVWUDWHJLDVXWLOL]DGDV
6H HVSHUD TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH VtPERORV PDWHPiWLFRV HQ VXV DUJXPHQWDFLRQHV SRU
HMHPSORORVVtPERORVGH±uy !DODQDOL]DUVXFHVLRQHVRSDWURQHVQXPpULFRV
3DUDORJUDUKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQHODQiOLVLV\DSOLFDFLyQGHSDWURQHVHVUHFRPHQGD
EOHXWLOL]DUUHFXUVRVYDULDGRVWDOHVFRPRUHFRUWHVGHUHYLVWDVSHULyGLFRVSDSHOFXDGULFXOD
GRFDUWXOLQDJHRSODQRVRPDSDSHOGHFRQVWUXFFLyQ\REMHWRVTXHVHHQFXHQWUDQHQHOHQ
WRUQRGHODV\ORVHVWXGLDQWHV
&XDQGRVHXWLOL]DQUHFXUVRVFRPRHOJHRSODQRRHOFXERVRPDKD\TXHGDUWLHPSRSDUDTXH
HOHVWXGLDQWDGRVHIDPLOLDULFHFRQHOORVDQWHVGHSURFHGHUDUHDOL]DU ODVWDUHDVHVSHFtILFDV
(OFXERVRPDHVXQURPSHFDEH]DVJHRPpWULFRFRQVLHWHSLH]DVIRUPDGDVFRQFXERV$OXQLU
ODVSLH]DVVHIRUPDXQFXERPD\RU)XHFUHDGRSRU3LHW+HLQHQ\VXVSLH]DVVHSXH
GHQLGHQWLILFDUFRQQ~PHURVRELHQFRQOHWUDVORTXHSHUPLWHFRQHFWDU5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
FRQ*HRPHWUtD
/D LGHD FHQWUDO GHO FLFOR HV OD GH YDULDEOH &DGD HVWXGLDQWH GHEH HPSH]DU D DVLJQDU OHWUDV
TXH UHSUHVHQWHQ QRPEUHV GH REMHWRV PDWHPiWLFRV (VWR SHUPLWH DEVWUDHU \ JHQHUDOL]DU ORV
FDVRVSDUWLFXODUHVHVWXGLDGRV
7DPELpQHVLPSRUWDQWHIRPHQWDUXQDPELHQWHGHUHVSHWRSRUODVLGHDVSUHVHQWDGDVSRUFDGD
HVWXGLDQWHHQVXVUD]RQDPLHQWRV\DUJXPHQWDFLRQHV\DVtSURPRYHU OD9LYHQFLDGHORV'H
UHFKRV+XPDQRVSDUDOD'HPRFUDFLD\OD3D]
Cuarto año
(Q HO 3ULPHU FLFOR SDUD ORV SDWURQHV \ VXFHVLRQHV OD DWHQFLyQ VH FHQWUy HQ KDELOLGDGHV GH
LGHQWLILFDFLyQ\FRQVWUXFFLyQGHVXFHVLRQHV(QHVWHFLFORDGHPiVGHDXPHQWDUODFRPSOHML
GDGGHODVVXFHVLRQHVGDGDVVHHVSHUDTXHFDGDHVWXGLDQWHFRQMHWXUHFRPSDUHODVVROXFLR
QHVREWHQLGDV\FRPXQLTXHODVHVWUDWHJLDVXWLOL]DQGRORVVtPERORVGHVXPDUHVWDPXOWLSOL
FDFLyQGLYLVLyQPHQRUTXHPD\RUTXH
3DUDODVVXFHVLRQHVORVQ~PHURVXWLOL]DGRV\HOQLYHOGHFRPSOHMLGDGVHUiQPD\RUHVTXHHQ
ORVDxRVDQWHULRUHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
3DUD OD KDELOLGDG GH LGHQWLILFDU OR IDOWDQWH HQ XQD H[SUHVLyQ PDWHPiWLFD XQD ILJXUD R XQD
WDEODKD\TXHWHQHUHQFXHQWDSRVLEOHVHUURUHVSULQFLSDOPHQWHHQUHSUHVHQWDFLRQHVQXPpUL
FDV3RUHMHPSORDOJXQRVSRGUtDQUHVSRQGHUTXHHOQ~PHURTXHIDOWDHQODH[SUHVLyQPDWH
PiWLFD HVHQOXJDUGHSXHVHVLJXDOD+D\TXHGHWHFWDU
\ FRUUHJLU HVWH WLSR GH HUURUHV XWLOL]DQGR OD LJXDOGDG FRPR XQ HTXLOLEULR HQ XQD EDODQ]D
FRPRVHUHFRPHQGyHQHOFLFORDQWHULRU$GHPiVHVHOHPHQWDOTXHFDGDHVWXGLDQWHHYDO~HOD
SHUWLQHQFLDGHOUHVXOWDGRHQFRQWUDGR
8WLOLFHODFDMLWDYDORUIDOWDQWHHQFXDOTXLHUDGHORVPLHPEURVGHODLJXDOGDG3RUHMHPSOR
&RPRODV\ORVHVWXGLDQWHVDSUHQGLHURQGLYLVLyQHQ1~PHURVGHHU\ƒ$xRVHSXHGHXWLOL
]DUHOYDORUIDOWDQWHFRQODPXOWLSOLFDFLyQRODGLYLVLyQ3RUHMHPSORu
y
7DPELpQHVDGHFXDGRXWLOL]DURWUDVILJXUDVHQOXJDUGHODVFDMLWDVFRPRHQHOHMHPSORGDGR
HQODLQGLFDFLyQSXQWXDOFRUUHVSRQGLHQWHDODKDELOLGDG
/DKDELOLGDGFRQHFWDHOiUHDFRQODDVLJQDWXUDGH(VSDxROSRUORFXDOUHVXOWDSURYHFKRVR
VROLFLWDUDFDGDHVWXGLDQWHTXHFRPXQLTXHODVUHSUHVHQWDFLRQHVQXPpULFDVREWHQLGDV3XHGH
GLFWDUH[SUHVLRQHVFRPRTXLQFH PHQRVTXHHOGREOHGHGRVFLHQWRVWUHLQWD \RFKR(QHVWH
FDVRKD\TXHUHYLVDUVLHORSHUDGRUGHUHVWDIXHXWLOL]DGRFRUUHFWDPHQWH\VLHOQ~PHURGRV
FLHQWRVWUHLQWD\RFKRIXHHVFULWRFRUUHFWDPHQWHHQOXJDUGH
3DUDODKDELOLGDGYHULILFDUVLHVWiQXWLOL]DQGRFRUUHFWDPHQWHODSURSLHGDGGLVWULEXWLYDGH
ODPXOWLSOLFDFLyQUHVSHFWRDODVXPD(VFRP~QHQFRQWUDULQFOXVLYHHQODHQVHxDQ]D6HFXQ
GDULDODDSOLFDFLyQLQFRUUHFWDGHHVWDSURSLHGDG3RUHMHPSORHQuVHPXOWLSOLFDHO
SRUSHURQRVHPXOWLSOLFDHOSRU+D\TXHWUDWDUHVWHWLSRGHHUURUFRQODPHWiIRUD
TXHVXJLHUHHOHTXLOLEULRHQORVGRV³ODGRV´GHODEDODQ]D
Quinto año
3URSRQHUDFWLYLGDGHVHQODVTXHODFDMLWDDQWHVXWLOL]DGDSDUDYDORUIDOWDQWHVHDUHPSOD]DGD
SRUXQDOHWUD
'LFWDU H[SUHVLRQHV PDWHPiWLFDV HQ IRUPD YHUEDO SDUD VHU HVFULWDV XWLOL]DQGR FRQVWDQWHV
YDULDEOHV\ORVVtPERORVGHVXPDUHVWDGLYLVLyQPXOWLSOLFDFLyQ LJXDOGDGPD\RUTXHPH
QRUTXHPD\RURLJXDOTXHPHQRURLJXDOTXH3RUHMHPSORODHGDGGH3HGURHVHOGREOHGH
ODHGDGGHVXKHUPDQD$QD-XDQHVDO PHQRVFLQFRDxRVPD\RUTXHVXSULPR5LFDUGRHO
YROXPHQGHXQFRQRHVODWHUFHUDSDUWHGHOYROXPHQGHOFLOLQGURGHLJXDOEDVH\DOWXUDTXH
HOFRQR
/DV IyUPXODVFRQRFLGDVSDUDFDOFXODUiUHDVRYRO~PHQHVGHILJXUDVJHRPpWULFDVVRQSHUWL
QHQWHVSDUDGLVWLQJXLUHQWUHFDQWLGDGHVYDULDEOHV\FDQWLGDGHVFRQVWDQWHV3RUHMHPSORVL P
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
UHSUHVHQWDHOODUJRGHXQUHFWiQJXOR\QUHSUHVHQWDVXDQFKRHQWRQFHVHOQ~PHURHVXQD
FDQWLGDG FRQVWDQWH HQ OD LJXDOGDG TXH SHUPLWH FDOFXODU HO SHUtPHWUR S GHO UHFWiQJXOR
S uPuQPLHQWUDVTXHPQ\SVRQFDQWLGDGHVYDULDEOHV(QHVWHFDVRPQVRQYD
ULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV PLHQWUDV TXH S HV YDULDEOH GHSHQGLHQWH 3DUD IyUPXODV GH FiOFXOR
GRQGH DSDUHFHQ Q~PHURV LUUDFLRQDOHV VH SXHGH XWLOL]DU VX YDORU DSUR[LPDGR 3RU HMHPSOR
XWLOL]DUFRPRDSUR[LPDFLyQSDUDS
3DUD OD KDELOLGDG XWLOL]DU HFXDFLRQHV VHQFLOODV SDUD TXH FDOFXOHQ HO YDORU GHVFRQRFLGR
UHSUHVHQWDGRSRUXQDOHWUD3RUHMHPSORSODQWHDUSUREOHPDVTXHLPSOLTXHQFDOFXODUDEF
GHQD Ey Fu G± 3DUD OD KDELOLGDG VH VXJLHUH GDU XQ PDSD FRQ HVFDOD SDUD TXH FDOFXOHQ GLVWDQFLDV HQWUH
GLVWLQWRVSXQWRVGHOPDSD3RUHMHPSORVHVROLFLWDXWLOL]DUHOPDSDTXHVLJXHSDUDFDOFXODU
ODGLVWDQFLDDSUR[LPDGDHQWUH6DQWD&ODUD\+RUTXHWDV/DHVFDODGDGDHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
Sexto año
1.
En 6° Año, para las habilidades relacionadas con sucesiones y patrones (habilidades 4 y 5),
se espera que cada estudiante conjeture, compare las soluciones obtenidas y comunique sus
estrategias utilizando los símbolos de suma, resta, multiplicación, división, menor que, mayor que y letras para representar las variables que correspondan.
2.
Para las sucesiones, el nivel de complejidad será mayor que en años anteriores. Se recomienda la utilización del criterio general para el enésimo término de una sucesión numérica. Por ejemplo: dada la sucesión cuyo enésimo término es a ( n)
n2
n
2
, construya una tabla
con los primeros 5 términos. ¿Cuál es el término número 57? Para esta última pregunta sería conveniente utilizar una calculadora. También se puede preguntar por el enésimo término de una sucesión, si son dados algunos de sus términos. Por ejemplo: encontrar el
enésimo término de la sucesión
2 3 4 5
, , , ,
5 6 7 8
3.
Para la habilidad 2 es notable resaltar que un porcentaje es un caso particular de una proporción.
4.
Para la proporcionalidad, porcentajes y regla de tres es recomendable utilizar recortes de
revistas, periódicos y datos estadísticos obtenidos, por ejemplo, del Instituto Nacional de
Estadística y Censos (INEC) o del Estado de la Nación, para contextualizar los problemas
planteados.
5.
Se deben proponer actividades de análisis de noticias en donde aparecen usos incorrectos
de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, la siguiente publicidad que apareció en el periódico La Nación el domingo 11 de marzo de 2012.
266
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
6HSXHGHVROLFLWDUDFDGDHVWXGLDQWHTXHDQDOLFHODSXEOLFLGDGSDUDYHUVLORJUDGHWHFWDUTXH
GHFRORQHVQRHVFRORQHV2WUDVQRWLFLDVVHUHODFLRQDQFRQHOXVRGHHV
FDODVFRQYHQLHQWHVHQUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVFRQHOILQGHPDQLSXODUDOOHFWRU
/DV H[SUHVLRQHV PDWHPiWLFDV HQ IRUPD YHUEDO TXH VHUiQ GLFWDGDV FRQWHQGUiQ PiV HOHPHQWRV
TXHODVGHƒ$xRSXHVVHDJUHJDQORVSRUFHQWDMHV\ODVSURSRUFLRQHVHQJHQHUDO
3DUDODKDELOLGDGODUHODFLyQSXHGHVHUGDGDHQIRUPDVLPEyOLFDRYHUEDO(VSHUWLQHQWHTXH
FDGDHVWXGLDQWHFRQVWUX\DXQDWDEOD \TXHSRVWHULRUPHQWHJUDILTXH ORVSXQWRVHQHOSODQRGH
FRRUGHQDGDV /DV HVFDODV GH ORV HMHV SULQFLSDOPHQWH ODV GHO HMH GH ODV RUGHQDGDV GHEHQ VHU
HVFRJLGDVFRQFXLGDGR3RUHMHPSORSDUDODUHODFLyQ³ODGLVWDQFLDUHFRUULGDSRUXQDXWRHVGL
UHFWDPHQWH SURSRUFLRQDO DO FXDGUDGR GHO WLHPSR GH YLDMH FRQ FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG
LJXDOD´SRGHPRVXWLOL]DUODVLJXLHQWHHVFDODFDGDFHQWtPHWURHQHOHMHGHODVDEVFLVDVUH
SUHVHQWDKRUDPLHQWUDVTXHFDGDFHQWtPHWURHQHOHMHGHODVRUGHQDGDVUHSUHVHQWDNLOy
PHWURV
Indicaciones de evaluación
3DUDHYDOXDUHOWUDEDMRFRWLGLDQRLJXDOTXHHQHOFLFORDQWHULRUHVLPSRUWDQWHREVHUYDU\UHJLVWUDU
ODIRUPD\HOJUDGRGHSDUWLFLSDFLyQGHFDGDHVWXGLDQWHHQODVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDV
/RV WUDEDMRV H[WUDFODVH GHEHUiQ HVWDU RULHQWDGRV DO DQiOLVLV GH SDWURQHV OD LGHQWLILFDFLyQ GHO
Q~PHURTXHIDOWDHQXQDH[SUHVLyQ PDWHPiWLFDOD UHSUHVHQWDFLyQWDEXODU \JUiILFDGHGRVFDQWL
GDGHV HQ TXH XQD GHSHQGH GH OD RWUD \ D OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV UHODFLRQDGDV FRQ LQWHUpV
SRUFHQWDMHUHJODGHWUHV\SURSRUFLRQDOLGDG
8QSRVLEOHWUDEDMRH[WUDFODVHSDUDƒ$xRFRQVLVWHHQTXHFDGDHVWXGLDQWHFRQVLJDOLVWDVGHSUH
FLRVGHSURGXFWRVGHODFDQDVWDEiVLFDTXHVHHQFXHQWUDQHQRIHUWD3RVWHULRUPHQWHTXHXWLOLFHQ
ODVOLVWDVSDUDKDFHUXQDQXHYDOLVWDFRQHOWLSR\ODFDQWLGDGGHSURGXFWRVDFRPSUDU\TXHFDOFX
OHQ HO DKRUUR DEVROXWR \ SRUFHQWXDO FRQ OD FRPSUD 6L ORV SURGXFWRV VRQ IUXWDV \ YHUGXUDV FDGD
HVWXGLDQWH SXHGH FRPSDUDU ORV SUHFLRV HQ RIHUWD FRQ ORV VXJHULGRV SRU HO &RQVHMR 1DFLRQDO GH
3URGXFFLyQSDUDODVIHULDVGHODJULFXOWRUKWWSZZZFQSJRFUFRQWDOGHDQDOL]DUVLORVSUHFLRV
GHODVRIHUWDVVRQUHDOPHQWHFRQILDEOHV
3DUD OD HYDOXDFLyQ PHGLDQWH WDUHDV FRUWDV WUDEDMR H[WUDFODVH \ SUXHEDV WHQJD SUHVHQWH ODV VL
JXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 3DUD HYDOXDU HO DQiOLVLV GH SDWURQHV VROLFLWH TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH REMHWRV TXH VRQ
SDUWHGHVXHQWRUQR\SURSRQJDDOJ~QFULWHULRSDUDTXHIRUPHQSDWURQHVDORUGHQDUDTXH
OORVREMHWRVTXHWLHQHQXQDPLVPDIRUPDRSURSLHGDG
9 (QODLGHQWLILFDFLyQGHOQ~PHURTXHIDOWDHQXQDH[SUHVLyQPDWHPiWLFDHVFRQYHQLHQWHXWL
OL]DU GLVWLQWDV UHSUHVHQWDFLRQHV SDUD OD H[SUHVLyQ 3RU HMHPSOR VL ORV GHOILQHV FXEUHQ XQ
PLVPRQ~PHURHQODILJXUDTXHVLJXH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Relaciones y Álgebra
¢FXiO HV HO Q~PHUR TXH IDOWD HQ OD ILJXUD DEDMR VXSRQLHQGR TXH ORV GHOILQHV VLJXHQ FX
EULHQGRHOPLVPRQ~PHURDQWHULRU"
9 3DUD HYDOXDU ODV SURSRUFLRQHV HV YDOLRVR FRPELQDU FRQ OD PHWiIRUD GH OD EDODQ]D 3RU
HMHPSORVLORVVLJXLHQWHVEORTXHVSHVDQORPLVPR¢FXiQWRVEORTXHVF~ELFRVVRQQHFHVD
ULRVSDUDHTXLOLEUDUFRQRV"6LFDGDEORTXHF~ELFRSHVDNLORJUDPRVSHVR¢FXiQWRSH
VDQORVFRQRV"
9 (QODVUHSUHVHQWDFLRQHVHQXQSODQRGHFRRUGHQDGDVGHUHODFLRQHVHQWUHGRVFDQWLGDGHVYD
ULDEOHV HV LPSRUWDQWH TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH Q~PHURV IUDFFLRQDULRV SDUD FRQVWUXLU OD
WDEOD$GHPiVVHSXHGHHYDOXDUHOXVRFRUUHFWRGHODVHVFDODVVHOHFFLRQDGDVSDUDORVHMHV
9 (Q HO ƒ $xR HV VLJQLILFDWLYR HYDOXDU UHSUHVHQWDFLRQHV YHUEDOHV VLPEyOLFDV \ WDEXODUHV
DVtFRPRHOSDVRGHXQDUHSUHVHQWDFLyQDRWUD
9 (QODVSUXHEDVHVFULWDVODVKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQLQWHUpVSRUFHQWDMHUHJODGHWUHV
\SURSRUFLRQDOLGDGGHEHQHYDOXDUVHXWLOL]DQGRSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV
9 (Q FXDQWR D OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HV LPSRUWDQWH HYDOXDU OD FRPSUHQVLyQ GHO SUR
EOHPD ODHVWUDWHJLD XWLOL]DGDSDUDUHVROYHUOR \ ODFRPXQLFDFLyQGH ODVROXFLyQXWLOL]DQGR
ORVVtPERORVPDWHPiWLFRVDGHFXDGRV
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
Introducción
(Q ORV QLYHOHV DQWHULRUHV VH KD VHQVLELOL]DGR DO HVWXGLDQWDGR VREUH OD LPSRUWDQFLD GH DQDOL]DU H
LQWHUSUHWDU GDWRV JHQHUDGRV HQ VX HQWRUQR \ GH HVWD PDQHUD WHQHU XQ PHMRU HQWHQGLPLHQWR GH OD
UHDOLGDG(QHOSUHVHQWHFLFORGHEHQWRPDUVHHQFXHQWDHVWRVDQWHFHGHQWHVFRPRXQDRSRUWXQLGDG
SDUD SURIXQGL]DU \ DPSOLDU ODV H[SHFWDWLYDV HQ PDWHULD GHO DQiOLVLV GH GDWRV GH PRGR TXH VH
SXHGDJHQHUDUXQDFXOWXUDVREUHODWHPiWLFD\VXUROHQODVRFLHGDG
3RUORDQWHULRUVHLQFOX\HQSURFHGLPLHQWRVPiVVRILVWLFDGRVSDUDODUHFROHFFLyQGHLQIRUPDFLyQ
DVtFRPRHOXVRGHIUHFXHQFLDVDEVROXWDV\SRUFHQWDMHVHQFXDGURV\JUiILFRVDSURSLDGRV7DPELpQ
VHDPSOtDHOXVRGHPHGLGDVHVWDGtVWLFDVFRQODLQFRUSRUDFLyQGHODPHGLDDULWPpWLFDSDUDDQDOL]DU
ODWHQGHQFLDFHQWUDOGHORVGDWRV\HOUHFRUULGRFRPRXQDSULPHUDDSUR[LPDFLyQSDUDODPHGLFLyQ
GHVXYDULDELOLGDG
(QUHODFLyQFRQORVFRQFHSWRVYLQFXODGRVDOD]DUVHDSURYHFKDODLQWXLFLyQJHQHUDGDHQHO3ULPHU
FLFOR SDUD SURIXQGL]DU HQ FRQFHSWRV FRQFUHWRV UHODFLRQDGRV FRQ HYHQWRV \ VXV UHSUHVHQWDFLRQHV
6HLQWURGXFHHOFRQFHSWRGHSUREDELOLGDGGHWHUPLQDGRFRPRXQDSURSRUFLyQGHUHVXOWDGRVHQXQ
H[SHULPHQWR\DOJXQDVGHVXVSURSLHGDGHVEiVLFDV'HHVWHPRGRVHJHQHUDXQPD\RUSRWHQFLDO
SDUDODWRPDGHGHFLVLRQHVDOHQIUHQWDUVLWXDFLRQHVGHLQFHUWLGXPEUH
Propósito de la enseñanza
(O SURSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D HQ (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG SDUD HVWH FLFOR HV SURSLFLDU HQ FDGD
HVWXGLDQWHODFDSDFLGDGGHUHFROHFWDUGDWRVPHGLDQWHODPHGLFLyQRODLQWHUURJDFLyQSRUPHGLRGH
XQ FXHVWLRQDULR \ UHVXPLUORV PHGLDQWH FXDGURV JUiILFRV R PHGLGDV HVWDGtVWLFDV TXH OH D\XGHQ D
UHVSRQGHULQWHUURJDQWHV\UHVROYHUSUREOHPDV
$GHPiVVHLQWURGXFHDOHVWXGLDQWDGRHQHOFiOFXOREiVLFRGHSUREDELOLGDGHVHQIXQFLyQGHMXHJRV
DOHDWRULRV\SUREOHPDVVHQFLOORV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHWHQHUFDGDHVWXGLDQWHDOILQDOL]DUHO6HJXQGRFLFORVRQ
x 8WLOL]DUGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVSDUDHOSURFHVRGHUHFROHFFLyQGHGDWRV
x &RPELQDUHOXVRGHHVWUDWHJLDVSDUDUHVXPLUGDWRVWDEXODUJUiILFDRPHGLGDVGHUHVXPHQ
x 5HVSRQGHULQWHUURJDQWHVTXHUHTXLHUDQGHUHFROHFFLyQRUGHQDPLHQWRSUHVHQWDFLyQ\DQiOLVLV
GHGDWRV
x 'HWHUPLQDUSUREDELOLGDGHVHOHPHQWDOHVYLQFXODGDVFRQHYHQWRVSDUWLFXODUHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
x
x
3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVYLQFXODGRVFRQVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOHPDV TXH UHTXLHUDQ GH UHFROHFFLyQ RUGHQDPLHQWR SUHVHQWDFLyQ \
DQiOLVLVGHGDWRVYLQFXODGRVFRQGLYHUVRVFRQWH[WRV
6H HVSHUD GHVDUUROODU XQD IXHUWH PRWLYDFLyQ H LQWHUpV KDFLD ODV 0DWHPiWLFDV SRU PHGLR GH OD
XWLOLGDGTXHVHSXHGHLGHQWLILFDUHQODDSOLFDFLyQGHORVFRQFHSWRVSURSXHVWRVORFXDOIDYRUHFHVX
LQWHJUDFLyQDOSURFHVRHGXFDWLYR\VXYLQFXODFLyQDOWUDEDMRHQHTXLSR$OPLVPRWLHPSRGHELGR
D TXH OD UHVROXFLyQ GH ORV SUREOHPDV TXH VH SURSRQHQ LPSOLFD XQD JUDQ LQYHUVLyQ GH WLHPSR \
HVIXHU]RHQODUHFROHFFLyQ\DQiOLVLVGHORVGDWRVVHHVWLPXODODSHUVHYHUDQFLDKDFLDODE~VTXHGD
GHUHVSXHVWDV$GHPiVVHFRQVLJXHDXPHQWDUVXDXWRHVWLPDDOFRQVWUXLUVXSURSLRFRQRFLPLHQWR
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QWHUSUHWDULQIRUPDFLyQ
'DWRV
TXHKDVLGRUHVXPLGDHQ
GLEXMRVGLDJUDPDVFXD
x 8VR
GURV\JUiILFRVHQGLIHUHQ
WHVFRQWH[WRV
x 7LSRVGH
GDWRVFXDQ
WLWDWLYRV
REWHQLGRV
SRUFRQWHRR
SRUPHGL
FLyQ
x )XHQWHVGH
HUURUHQ
ORVGDWRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SURSRQH SODQWHDU DOJ~Q WLSR GH UHSUHVHQWDFLyQ GH PRGR
TXH VH UHDOLFH XQD OHFWXUD GH VX FRQWHQLGR 8Q HMHPSOR SRGUtD
VHUHOVLJXLHQWH
2EVHUYH OD VLJXLHQWH UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD DQDOLFH OD
LQIRUPDFLyQTXHVXPLQLVWUD\UHVXPDHQXQSiUUDIRORVSULQFLSD
OHVHOHPHQWRVTXHVHREVHUYDQ
c8QDYH]TXHVHKDHIHFWXDGRHODQiOLVLVFRQYLHQHUHDOL]DUXQD
VHVLyQ GH GLVFXVLyQ VREUH OD LQIRUPDFLyQ TXH VH JHQHUD VH OHV
SXHGH SHGLU TXH UHVSRQGDQ SUHJXQWDV UHODFLRQDGDV FRQ HVWD
LQIRUPDFLyQ
$GHPiVGHODQiOLVLVHVWDGtVWLFRFRUUHVSRQGLHQWHVHGHEH
DSURYHFKDU OD LQIRUPDFLyQ GHO JUiILFR SDUD DQDOL]DU HO WHPD
(GXFDFLyQ,QWHJUDO\6H[XDOLGDG
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
5HFROHFFLyQ
GHLQIRUPDFLyQ
x ([SHULPHQ
WDFLyQSRU
PHGLFLyQ
5HSUHVHQWD
FLyQ
x *UiILFD
GLDJUDPDV
GHSXQWRV
0HGLGDV
GHSRVLFLyQ
x 0RGD
x 0HGLD
DULWPpWLFD
x 0i[LPR
x 0tQLPR
,GHQWLILFDUGLIHUHQFLDV
HQWUHGDWRVFXDQWLWDWLYRV
VHJ~QODVHVWUDWHJLDVGH
UHFROHFFLyQGHLQIRUPD
FLyQSRUFRQWHRRSRUPH
GLFLyQ
,GHQWLILFDU SRVLEOHV HUURUHV
HQORVGDWRVUHFROHFWDGRV
5HFROHFWDUGDWRVGHOHQ
WRUQRSRUPHGLRGHODPH
GLFLyQ
(PSOHDUORVGLDJUDPDVGH
SXQWRVSDUDUHSUHVHQWDU
JUXSRVGHGDWRVFXDQWLWDWL
YRV
5HVXPLUXQJUXSRGHGDWRV
PHGLDQWH HO HPSOHR GH OD
PRGD OD PHGLD DULWPpWLFD
RSURPHGLRHOPi[LPR\
HO PtQLPR GH XQ JUXSR GH
GDWRV H LQWHUSUHWDU HVWDV
PHGLGDVHQUHODFLyQFRQOD
LQIRUPDFLyQUHFDEDGD
,GHQWLILFDU HO UHFRUULGR GH
XQJUXSRGHGDWRVFRPROD
GLIHUHQFLDHQWUHHOPi[LPR
\HOPtQLPR
c6HVXJLHUHSODQWHDUDOJXQDVLQWHUURJDQWHVTXHLQYROXFUHQOD
UHFROHFFLyQGHGDWRVFRUUHVSRQGLHQWHVDFDUDFWHUtVWLFDVFXDQWLWD
WLYDVSRUHMHPSOR
'HILQDXQDHVWUDWHJLDSDUDUHFROHFWDULQIRUPDFLyQTXH
D\XGHDUHVSRQGHUFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVLQWHUURJDQWHV
D ¢4XpHVPiVSUREDEOHTXHXQDSHUVRQDGHOJUXSRWHQ
JDXQSHVRGHNJRPiVRTXHVXSHVRVHDPHQRUGH
NJ"
E ¢&XiO HVOD PRGD R VHD HOQ~PHUR GH HVWXGLDQWHV PiV
FRP~QSRUJUXSRHQODHVFXHOD"
F 'HWHUPLQDUTXpHVPiVYDULDEOHHOQ~PHURGHJDMRVR
HOQ~PHURGHVHPLOODVGHXQJUXSRGHPDQGDULQDV
G 'HWHUPLQDUVLHODQFKRGHODVSXHUWDVGHODVDXODVGHOD
HVFXHODHVHOPLVPRSDUDWRGDVHOODV
c(OSURSyVLWRGHODDFWLYLGDGHVTXHLGHQWLILTXHQTXHDOJXQRV
GDWRVFXDQWLWDWLYRVVHREWLHQHQSRUFRQWHRPLHQWUDVTXHRWURVVH
REWLHQHQSRUPHGLFLyQSRUORTXHVHUHTXLHUHXQLQVWUXPHQWRGH
PHGLFLyQSDUDGHWHUPLQDUORVYDORUHV
c(VQHFHVDULRGLVFXWLUVREUHORVHUURUHVTXHVHSXHGHQJHQHUDU
HQORVSURFHVRVGHUHFROHFFLyQGHLQIRUPDFLyQTXHVHXWLOL]DUtDQ
SDUDORVHMHPSORVDQWHULRUHV
3URSRQJDODVLJXLHQWHOHFWXUD
/DV SULPHUDV XQLGDGHV GH ORQJLWXG TXH XVy HO
KRPEUHHVWDEDQHQUHODFLyQFRQVXFXHUSRFRPRHO
SDVRHOSDOPRODEUD]DODSXOJDGDHOSLHHWF
(VWDVXQLGDGHV WLHQHQ HQWUH RWURV HO JUDYH LQFRQ
YHQLHQWHGHTXHQRVRQODVPLVPDVSDUDWRGRV
$VtODORQJLWXG GHXQ SDVR YDUtD GH XQKRPEUHD
RWUR
3RUHVWDUD]yQHOKRPEUHLGHyXQDVXQLGDGHVLQYD
ULDEOHV $O SULQFLSLR HVWDV XQLGDGHV QR HUDQ XQL
YHUVDOHVFDGDSDtVWHQtDVXVSURSLDVXQLGDGHVHLQ
FOXVRGHQWURGHXQPLVPRSDtVODVXQLGDGHVGHPH
GLGDHUDQGLIHUHQWHVVHJ~QODVUHJLRQHV
&RPR FRQVHFXHQFLD GHO DXPHQWR GH ORV LQWHUFDP
ELRVFRPHUFLDOHVDXPHQWyWDPELpQODQHFHVLGDGGH
GLVSRQHU GH XQDV XQLGDGHV GH PHGLGD TXH IXHUDQ
ILMDVLQYDULDEOHV\XQLYHUVDOHV
7RPDGRGH
KWWSZZZFHLEDOHGXX\FRQWHQLGRVDUHDVBFRQRFLPLHQWRPDWPLGLHQG
RORQJLWXGHVSULPHUDVBXQLGDGHVBGHBPHGLGDKWPO
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
0HGLGDV
GHYDULDELOLGDG
x (OUHFRUULGR
c3ODQWHHHOVLJXLHQWHSUREOHPD\SURSRUFLRQHORVLQVWUXPHQWRV
TXHVHUHTXLHUDQSDUDUHVROYHUOR
3URFHGD D UHVXPLU OD ORQJLWXG GHO SDVR GH XQ JUXSR GH
FRPSDxHURVRPiV\XWLOLFHODLQIRUPDFLyQSDUDLGHQWLILFDU
XQYDORUTXHSXGLHUDVHUXWLOL]DGRFRPRXQLGDGGHPHGLGD
c 'HVSXpV TXH KD\DQ HQIUHQWDGR HO SUREOHPD \ HQFRQWUDGR
DOJXQD DOWHUQDWLYD SDUD UHVXPLU OD LQIRUPDFLyQ UHFDEDGD HQ HO
SURFHVR GH FODXVXUD VH GHEHQ EULQGDU HVWUDWHJLDV TXH SHUPLWDQ
UHVXPLUPHMRUHOSDWUyQGHYDULDFLyQGHORVGDWRVSRUPHGLRGH
XQD PHGLGD HVWDGtVWLFD $QWH OD SRFD HIHFWLYLGDG GH OD PRGD
¢FyPR KDFHU SDUD UHSUHVHQWDU WRGRV ORV GDWRV SRU PHGLR GH XQ
YDORUTXHVLPEROLFHVXSRVLFLyQHQODUHFWD"6HVXJLHUHSURSRQHU
HOHPSOHRGHODPHGLDDULWPpWLFDRSURPHGLRODFXDOHTXLYDOHD
VXPDU WRGRV ORV YDORUHV \ GLYLGLU HVD VXPD HQWUH HO WRWDO GH
GDWRVpVWDSRGUtDXWLOL]DUVHFRPRXQLGDGGHPHGLGDGHOSDVR
'HQWUR GHO PLVPR SURFHVR GH FODXVXUD VH SXHGHQ SODQWHDU ODV
VLJXLHQWHLQWHUURJDQWHV
D ¢'H TXp PDQHUD VH SXHGHQ UHSUHVHQWDU ORV GDWRV SDUD
HYLGHQFLDUPHMRUVXFRPSRUWDPLHQWRYDULDEOH"
E ¢&XiOHVODPD\RUGLIHUHQFLDHQWUHODVORQJLWXGHVGHORV
SDVRVREWHQLGRV"
'HVSXpV GH UHDOL]DU XQD SOHQDULD FRQ ODV UHVSXHVWDV TXH VH
SXGLHUDQ REWHQHU VH GHEHQ SURSRUFLRQDUODV VLJXLHQWHV WpFQLFDV
SDUDUHVSRQGHUHVWDVLQWHUURJDQWHV
D /DFRQVWUXFFLyQ\HODQiOLVLVGHORVGLDJUDPDVGHSXQ
WRV SDUDSUHVHQWDU GLFKD LQIRUPDFLyQ \ GHWHUPLQDU YL
VXDOPHQWH VX XELFDFLyQ \ GLVSHUVLyQ 3DUD HO HMHPSOR
HOJUiILFRVHUtDGHODIRUPD
/RQJLWXGGHOSDVRGHHVWXGLDQWHV
E
'HWHUPLQDFLyQ GHO UHFRUULGR JHQHUDO GH ORV GDWRV FR
PR OD GLIHUHQFLD HQWUH HO PtQLPR \ HO Pi[LPR 5HFR
UULGR 0i[LPR±0tQLPR
1RHVQHFHVDULRHQIDWL]DUHQODVGLIHUHQFLDVHQWUHODVPHGLGDVGH
SRVLFLyQ \ ODV GH YDULDELOLGDG OR SULQFLSDO HV OD LQWHUSUHWDFLyQ
TXHVHRIUH]FDDFDGDXQDGHHVDVPHGLGDV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
(VWD VLWXDFLyQ PXHVWUD OD SULPRUGLDO FRQH[LyQ TXH H[LVWH
HQWUHODViUHDVGH0HGLGDV1~PHURV\5HODFLRQHV\ÈOJHEUDFRQ
(VWDGtVWLFD\DTXHVHGHEHQUHDOL]DUPHGLFLRQHVSDUDUHFROHFWDU
ORVGDWRV\UHSUHVHQWDUHVDVPHGLFLRQHVHQXQDUHFWDQXPpULFD
$ SDUWLU GH HVWH DxR HV DGHFXDGR XWLOL]DU KHUUDPLHQWDV
WHFQROyJLFDV SDUD VLPSOLILFDU ORVDQiOLVLV TXH VH GHEHQUHDOL]DU
3RU HMHPSOR PHGLDQWH HO XVR GH XQD FDOFXODGRUD IiFLOPHQWH VH
SXHGHGHWHUPLQDUHOSURPHGLRRPHGLDDULWPpWLFD3HURDGHPiV
VLVHWLHQHDFFHVRDFRPSXWDGRUDVVHSXHGHHPSOHDUXQDKRMDGH
FiOFXORSDUDIDYRUHFHUHOSURFHVR
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
6LWXDFLRQHV
RHYHQWRV
DOHDWRULRV
(YHQWRV
5HVXOWDGRV
D IDYRU GH
XQHYHQWR
5HSUHVHQ
WDFLyQ GH
HYHQWRV
(YHQWRV
PiV SUR
EDEOHV
LJXDOPHQ
WH SURED
EOHV
\
HYHQWRV
PHQRV
SUREDEOHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HFRQRFHU VLWXDFLRQHV D
OHDWRULDV HQ GLIHUHQWHV VL
WXDFLRQHVGHOFRQWH[WR
,GHQWLILFDU ORV GLVWLQWRV UH
VXOWDGRV VLPSOHV GH XQ H[
SHULPHQWRDOHDWRULR
,GHQWLILFDUORVUHVXOWDGRVD
IDYRUGHODRFXUUHQFLDGH
XQHYHQWR
5HSUHVHQWDUHYHQWRV
PHGLDQWHODLGHQWLILFDFLyQ
GHVXVSXQWRVPXHVWUDOHV
'HWHUPLQDUHYHQWRVPiV
SUREDEOHVLJXDOPHQWHSUR
EDEOHV\PHQRVSUREDEOHV
GHDFXHUGRFRQODIUHFXHQ
FLDGHVXVSXQWRVPXHVWUD
OHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SXHGH SHGLU DO JUXSR RIUHFHU HMHPSORV GH VLWXDFLRQHV
DOHDWRULDV
6L VH SODQWHD HO H[SHULPHQWR GH VHOHFFLRQDU XQD SHUVRQD
GHO JUXSR HQ IRUPD DOHDWRULD SRU PHGLR GH XQD ULID ¢FXiOHV
VHUtDQ ORV SRVLEOHV UHVXOWDGRV GH HVWD VHOHFFLyQ" ¢&XiQWRV
UHVXOWDGRVVRQ"
c6HSUHWHQGHFRQWLQXDUFRQODLGHQWLILFDFLyQGHORVHOHPHQWRV
TXHFRQVWLWX\HQORVUHVXOWDGRVVLPSOHVGHXQH[SHULPHQWR\TXH
VHSXHGHQUHVXPLUSRUPHGLRGHGLDJUDPDVRGHOFRQWHRVLPSOH
$GHPiV GH MXHJRV FRQ GDGRV R PRQHGDV VH SXHGHQ SODQWHDU
SUREOHPDVTXHSXGLHUDQVLPXODUKHFKRVUHDOHV
&RVWD5LFDHVXQSDtVSULYLOHJLDGRHQFXDQWRDODYDULHGDG
GHVXIORUD\IDXQD(VSHFtILFDPHQWHHQDYHVHVSRVLEOHHQFRQ
WUDU YHUGDGHUDV MR\DV GH OD ELRGLYHUVLGDG &XDWUR GH ODV PiV
LPSRQHQWHV \ TXH VH HQFXHQWUDQ HQ SHOLJUR GH H[WLQFLyQ VRQOD
ODSDYHUGHHOTXHW]DOODODSDURMD\HOWXFiQ
/DSDYHUGH
4XHW]DO
7RPDGRGHZZZJRRJOHFRP
/DSD5RMD
7XFiQ
6XSRQJD TXH HQ XQD UHVHUYD ELROyJLFD FRQYLYHQ HVWDV FXDWUR
HVSHFLHV GH DYHV VH KDQ PDUFDGR SDUD VX HVWXGLR HVSHFtPHQHV
KHPEUDGHFXDWURODSDVYHUGHVVHLVTXHW]DOHVVHLVODSDVFRORUD
GDV \ GLH]WXFDQHV FDGD XQD GH ODV HVSHFLHV VHQXPHUy GHXQR
HQ DGHODQWH 8Q ]RyORJR FRORFD XQD WUDPSD SDUD HVFRJHU
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
DOHDWRULDPHQWH XQD GH ODV DYHV GHO UHIXJLR SDUD DQDOL]DU VX
HVWDGR GH VDOXG &RQ HVWD LQIRUPDFLyQ UHDOLFH ODV DFFLRQHV TXH
VHVROLFLWDQ
D 'HWHUPLQH HO Q~PHUR WRWDO GH SRVLEOHV UHVXOWDGRV HQ OD
VHOHFFLyQGHXQDGHODVDYHV
E ,QGLTXH ¢TXp HVSHFLH GH DYH WLHQH PD\RU SUREDELOLGDG GH
VHUVHOHFFLRQDGD"¢&XiOWLHQHPHQRUSUREDELOLGDG"
F ¢&XiOGHORVVLJXLHQWHVHYHQWRVHVPiVSUREDEOH"$HODYH
VHOHFFLRQDGDHVXQTXHW]DOR%HODYHVHOHFFLRQDGDHVXQD
ODSDURMD-XVWLILTXHODUHVSXHVWD
G ¢(V PiV SUREDEOH TXH HO DYH VHOHFFLRQDGD VHD XQD ODSD
YHUGHRFRORUDGDDTXHVHDXQWXFiQ"
c 6HGHEHHQIDWL]DUHQODIRUPDHQODDUJXPHQWDFLyQGDGDSDUD
FDGDXQDGHODVUHVSXHVWDV
0HGLDQWH HO SUREOHPD DQWHULRU VH SUHWHQGH VHQVLELOL]DU
VREUH ORV UHFXUVRV HQ IDXQD FRQ TXH FXHQWD HO SDtV \ OD LPSRU
WDQFLD GH FRQVHUYDUORV (VWR YLHQH D FRQWULEXLU FRQ HO WHPD
WUDQVYHUVDO&XOWXUD$PELHQWDOSDUDHO'HVDUUROOR6RVWHQLEOH6H
GHEHDSURYHFKDUHOHMHUFLFLRSDUDVHQVLELOL]DUVREUHODLPSRUWDQ
FLDGHODFRQVHUYDFLyQGHODIORUD\ODIDXQD
(Q ORV GRV SUREOHPDV SODQWHDGRV SUHYLDPHQWH OD DUJX
PHQWDFLyQ GH ODVUHVSXHVWDV HV XQ HOHPHQWR IXQGDPHQWDO VREUH
HO TXH GHEH UHJLU HO DQiOLVLV HQ ORV SURFHVRV GH FODXVXUD 6H
HVSHUD TXH OD DFWLYLGDG HVWXGLDQWLO JHQHUH OD KDELOLGDG SDUD
LGHQWLILFDUTXHVRQPiVSUREDEOHVDTXHOORVHYHQWRVTXHLQFOX\HQ
PiVUHVXOWDGRVVLPSOHV
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV
3REODFLyQ
\PXHVWUD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDUORVFRQFHSWRVGH
SREODFLyQ\PXHVWUD
5HFRQRFHU OD LPSRUWDQFLD
GHO PXHVWUHR HQ HODQiOLVLV
GHGDWRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD LQWURGXFLU ORV FRQFHSWRV GH SREODFLyQ \ PXHVWUD FRQ
YLHQHSODQWHDUSUREOHPDVVLPLODUHVDORVVLJXLHQWHV
6H GHVHD UHDOL]DU XQ HVWXGLR SDUD GHWHUPLQDU VL HQ OD
HVFXHODVHSUHILHUHQODVIUXWDVVREUHRWURVWLSRVGHFRPLGDV¢TXp
HVWUDWHJLDVHSRGUtDXWLOL]DUSDUDUHVROYHUHOSUREOHPD"
(Q XQD EROVD GH DUUR] GH GRV NLORJUDPRV VH LQGLFD TXH
FRQWLHQHHOGHJUDQRVHQWHURVSHURQRHVWDPRVVHJXURVGH
TXHVHDDVt¢4XpHVWUDWHJLDSRGHPRVXWLOL]DUSDUDDYHULJXDUVLOD
DILUPDFLyQHVFLHUWD"
c(QHOSURFHVRGHFODXVXUDVHUHTXLHUHHYLGHQFLDUODGLILFXOWDG
TXHFRQOOHYDWUDEDMDUFRQWRGRVORVHOHPHQWRVHVSHFLDOPHQWHHQ
HOFDVRGHODUUR]0LHQWUDVWDQWRVLVHVHOHFFLRQDXQDSDUWHGHOD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
5HFROHFFLyQ GH
LQIRUPDFLyQ
x (OFXHVWLR
QDULR\
IXHQWHVGH
HUURU
x %DVHGH
GDWRV
x *UiILFD
EDUUDV\FLU
FXODUHV
WRWDOLGDG GH ORV HOHPHQWRV VH GHEH WHQHU FHUWH]D TXH OD SDUWH
VHOHFFLRQDGD HV XQD EXHQD UHSUHVHQWDFLyQ GHO JUXSR WRWDO 8QD
YH] UHDOL]DGD HVWD UHIOH[LyQ VH GHEHQ GHILQLU ORV FRQFHSWRV GH
SREODFLyQ\PXHVWUD
c(Q HVWDV LQWHUURJDQWHV VH HVSHUD TXH ODV \ ORV HVWXGLDQWHV
DILDQFHQVXFRQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
5HFRQRFHU OD LPSRUWDQFLD c (O XVR GH FXHVWLRQDULRV HV EiVLFR GHQWUR GH ORV SURFHVRV GH
GHO FXHVWLRQDULR HQ ORV UHFROHFFLyQ GH LQIRUPDFLyQ 3DUD SRWHQFLDUORV VH SXHGHQ SODQ
SURFHVRV GH VHOHFFLyQ GH WHDU SUREOHPDV TXH UHTXLHUDQ UHFROHFWDU LQIRUPDFLyQ GH YDULDV
LQIRUPDFLyQ
FDUDFWHUtVWLFDVDOPLVPRWLHPSR3RUHMHPSOR
,GHQWLILFDU IXHQWHV SRWHQ
6H EXVFD GHWHUPLQDU ODV SUHIHUHQFLDV DOLPHQWLFLDV GHO
FLDOHV GH HUURUHV HQ OD UH
FRSLODFLyQ GH GDWRV SRU HVWXGLDQWDGR FRQ UHVSHFWR D FXDWUR DOLPHQWRV SDUWLFXODUHV
IUXWDV HQVDODGDV GH KRUWDOL]DV KDPEXUJXHVDV \ SDSDV IULWDV
PHGLRGHOFXHVWLRQDULR
6H GHEH UHDOL]DU XQ DQiOLVLV HVWDGtVWLFR TXH SHUPLWD FODVLILFDU
'LVHxDU FXHVWLRQDULRV VLP HVWRV SURGXFWRV GH DFXHUGR FRQ OD SUHIHUHQFLD GH ODV \ ORV
SOHV HQIRFDGRV KDFLD OD HVWXGLDQWHVGHOJUXSR6HUHFRPLHQGDPHGLUODSUHIHUHQFLDSRUHO
E~VTXHGDGHLQIRUPDFLyQ FRQVXPR GH FDGD SURGXFWR SRU PHGLR GH ORV WpUPLQRV 0XFKR
5HJXODU \ 3RFR DGHPiVLQFOXLU HO VH[R GH FDGD HVWXGLDQWHTXH
5HFROHFWDUGDWRVSRUPHGLR UHVSRQGH ODV SUHJXQWDV 'LVHxH XQD HVWUDWHJLD TXH SHUPLWD
GH OD DSOLFDFLyQ GH XQ UHFROHFWDU OD LQIRUPDFLyQ QHFHVDULD LPSOHPpQWHOD UHVXPD OD
FXHVWLRQDULR \ UHVXPLU OD LQIRUPDFLyQ\OOHYHDFDERHODQiOLVLVFRUUHVSRQGLHQWH
LQIRUPDFLyQ
FRUUHVSRQ GLHQWHHQXQDEDVHGHGDWRV c $XQTXH VH GHEH EXVFDU XQD HVWUDWHJLD \ VH HVSHUD TXH VH
SXHGD VXJHULU HOSODQWHR GH YDULDV SUHJXQWDVD OD FODVH GXUDQWH
FRGLILFDGD
HOSURFHVRGHFODXVXUDVHGHEH RULHQWDUHQODHODERUDFLyQGHXQ
$QDOL]DU OD LQIRUPDFLyQ FXHVWLRQDULRVLVWHPDWL]DGRVLPLODUDOVLJXLHQWH
UHFROHFWDGD SRU PHGLR GH &XHVWLRQDULRVREUHODSUHIHUHQFLDDOLPHQWLFLD
XQ FXHVWLRQDULR PHGLDQWH
1RPEUHBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
OD HODERUDFLyQ GH FXDGURV
JUiILFRV FRQ IUHFXHQFLDV
6H[R0DVFXOLQRBBBBB)HPHQLQRBBBBBBBBBBB
DEVROXWDV \ HO FiOFXOR GH
,QGLTXH VX SUHIHUHQFLD SRU FRQVXPLU FDGD XQR GH ORV
PHGLGDV GH SRVLFLyQ \ GH
VLJXLHQWHVSURGXFWRVPDUTXHFRQXQD;GHQWURGHOFXDGUR
YDULDELOLGDG
Producto
Frutas
Ensaladas
Hamburguesas
Papas fritas
Mucho
Regular
Poco
0XFKDVJUDFLDV
3DUD HVWH WLSR GH SUREOHPDV HO XVR GH OD FRPSXWDGRUD
D\XGD D VLPSOLILFDU HO SURFHVR \D VHD SDUD OD HODERUDFLyQ GH
FXDGURVRUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVWDOFRPRVHLOXVWUD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
c 'LVFXWLU VREUH ORV SRVLEOHV HUURUHV TXH VH SRGUtDQ HVWDU
JHQHUDQGRDOXWLOL]DUHOFXHVWLRQDULRHQODUHFROHFFLyQGHGDWRV\
SURSRQHUHVWUDWHJLDVSDUDUHGXFLUORV
c 3DUD ILQDOL]DU OD DFWLYLGDG VH SURSRQH OD VLJXLHQWH OHFWXUD
VREUHXQDHQFXHVWDDSOLFDGDDHVWXGLDQWHVGH3ULPDULD
«$WRGRVHOORVVHOHVFRQVXOWyVREUHORVSULQFL
SDOHVSURGXFWRV TXH LQJHUtDQ HQ OD FRODFLyQ VL HV
WDEDQ DFRVWXPEUDGRV D FRPHU D GHVKRUD TXp SUR
GXFWRVOHVJXVWDEDPiV\FXiOHVHUDQVXVDOLPHQWRV
FRPHUFLDOHVSUHIHULGRV$OSUHJXQWDUOHVDORVQLxRV
TXp DOLPHQWRV DGTXLUtDQ FRQ VX GLQHUR PiV GH OD
PLWDGGLMRSUHIHULUODVSDSDVIULWDVJDOOHWDVFKRFR
ODWHVKHODGRV\RWURVDOLPHQWRVULFRVHQJUDVDVVD
WXUDGDV /XHJR YHQtDQ ODV EHELGDV JDVHRVDV \ MX
JRV UHFLpQ HQ WHUFHU OXJDU HVWDEDQ HO \RJXUW \ OD
OHFKH (VWRV GDWRV D\XGDQ D H[SOLFDU OD FUHFLHQWH
HSLGHPLDGHREHVLGDGLQIDQWLO
(OFRQVXPRGHIUXWDVHVFDGDYH]PHQRVIUHFXHQWH
SRU OR TXH FUHHPRV TXH HQ SRFRV DxRV PiV WHQ
GUHPRV QLxRV FRQ SUREOHPDV GH DUWLFXODFLRQHV \
FROXPQD $GHPiV VH DGHODQWDUi OD HGDG GH DSDUL
FLyQ GH ODV HQIHUPHGDGHV FDUGLRYDVFXODUHV \
VXELUiQORVQLYHOHVGHFROHVWHURO
7RPDGRGH
KWWSWULXQYLUDWXPOWGDEORJVSRWFRPDOLPHQWDFLQVDQDYV
FRPLGDFKDWDUUDKWPO
3URFHGDDJHQHUDUXQGHEDWHVREUHORVUHVXOWDGRVGHHVWH
HVWXGLR FRQ UHVSHFWR D ORV TXH REWXYLHURQ HQ HO DQiOLVLV GHO
JUXSR $SURYHFKH SDUD PRWLYDU VREUH OD LPSRUWDQFLD GH XQD
VDQD DOLPHQWDFLyQWDO FRPR VH HVWDEOHFH HQ HOWHPD (GXFDFLyQ
SDUDOD6DOXG
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
6HUHTXLHUH HYLGHQFLDU HO SDSHO IXQGDPHQWDO TXH WLHQH OD
(VWDGtVWLFDSDUDODUHSUHVHQWDFLyQGHORVGDWRVHQFXDGURVWDEODV
\JUiILFRV$GHPiVHVWRVLQVWUXPHQWRVFRQVWLWX\HQXQDIRUPDGH
PRGHODU HO QLYHO GH DJUDGR SRU FRQVXPLU HVWRV SURGXFWRV /D
LQIRUPDFLyQ UHVXPLGD SRU HVWRV PHGLRV FRQVWLWX\H XQ YDOLRVR
LQVWUXPHQWR TXH VH SXHGHXWLOL]DUSDUD DUJXPHQWDU VXVUHVSXHV
WDV
c(QRWURVHMHPSORVGHFXHVWLRQDULRVVHSXHGHLQFOXLULQIRUPD
FLyQ FXDQWLWDWLYD TXH SHUPLWH XWLOL]DU PHGLGDV SDUD UHVXPLU OD
LQIRUPDFLyQ
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
(YHQWRV
x 5HVXOWDGRVD
IDYRU GH XQ
HYHQWR
x (YHQWRV
VHJXURV
SUREDEOHV R
LPSRVLEOHV
x (YHQWRVPiV
SUREDEOHV
LJXDOPHQWH
SUREDEOHV \
HYHQWRV PH
QRV SURED
EOHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU HO Q~PHUR GH
UHVXOWDGRVIDYRUDEOHVGHXQ
HYHQWRGDGR
'HWHUPLQDU HYHQWRV VHJX
URVSUREDEOHVRLPSRVLEOHV
HQ VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV
SDUWLFXODUHV
,QWHUSUHWDU ORV FRQFHSWRV
GH HYHQWRV PiV SUREDEOHV
LJXDOPHQWH SUREDEOHV \
PHQRV SUREDEOHV GH DFXHU
GRFRQODIUHFXHQFLDGHVXV
SXQWRVPXHVWUDOHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H UHFRPLHQGD LQLFLDU HVWD VHFFLyQ FRQ HO HPSOHR GH ORV
UHVXOWDGRVTXHVHJHQHUDURQSUHYLDPHQWHFRQSUREOHPDVVLPLOD
UHVDOVLJXLHQWH
&RQVLGHUH QXHYDPHQWH ORV UHVXOWDGRV GH OD HQFXHVWD DOL
PHQWDULDTXHVHUHDOL]yDQWHULRUPHQWH6LXQDRXQHVWXGLDQWHGHO
JUXSR HV VHOHFFLRQDGR DOHDWRULDPHQWH GH DFXHUGR FRQ ORV UH
VXOWDGRV VREUH HO QLYHO GH DJUDGR SRU HO FRQVXPR GH HQVDODGD
GHWHUPLQH
D (OQ~PHURGHUHVXOWDGRVDIDYRUGHTXHOHDJUDGHQPX
FKRODVHQVDODGDV
E ¢4Xp HV PiV SUREDEOH TXH OH DJUDGHQ SRFR R TXH OH
DJUDGHQPXFKRODVHQVDODGDV"
c 6H UHTXLHUH TXH LGHQWLILTXHQ ORV UHVXOWDGRV D IDYRU GH FDGD
HYHQWRGHDFXHUGRFRQORVUHVXOWDGRVGHODHQFXHVWD
3RUPHGLRGHHVWHSUREOHPDVHFRQHFWDQORVUHVXOWDGRVGH
ORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVFRQORVFRQWHQLGRVVREUHSUREDELOLGDGHV
c 3RU PHGLR GH WUDEDMRV HQ VXEJUXSRV VH HQWUHJD XQ SDU GH
GDGRV GH GLIHUHQWHV FRORUHV D FDGD VXEJUXSR \ VH OHV SLGH TXH
H[SHULPHQWHQ FRQ HOORV SDUD UHVROYHU LQWHUURJDQWHV YLQFXODGDV
FRQHOODQ]DPLHQWRGHORVGRVGDGRV
$OODQ]DUGRVGDGRV
D
E
'HWHUPLQH HOQ~PHUR GHUHVXOWDGRV SRVLEOHV 3DUD HOOR
VH OHV UHFRPLHQGD TXH FDGD UHVXOWDGR OR UHSUHVHQWHQ
FRQXQSDUGHQ~PHURVGHODIRUPDGRQGHHOUH
SUHVHQWDHOUHVXOWDGRGHOSULPHUGDGR\HOHOUHVXOWD
GRGHOVHJXQGRGDGR
6L VH VXPDQ ORV SXQWRV REWHQLGRV FRQ ORV GRV GDGRV
GHWHUPLQHHOQ~PHURGHUHVXOWDGRVIDYRUDEOHVYLQFXOD
GRVFRQORVVLJXLHQWHVHYHQWRV
x 2EWHQHUXQWUHV
x 2EWHQHUXQVHLV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
F
G
H
x 2EWHQHUXQXQR
x 2EWHQHUXQQ~PHURPHQRUTXH
x 2EWHQHUXQQ~PHURPHQRUTXH
&ODVLILTXH ORV HYHQWRV DQWHULRUHV HQ HYHQWR VHJXUR
SUREDEOHRLPSRVLEOHVHJ~QHOQ~PHURGHUHVXOWDGRVD
IDYRU
3DUD ORV VLJXLHQWHV FDVRV LQGLTXH FXiO HYHQWR HV PiV
SUREDEOH
x 2EWHQHUXQWUHVXREWHQHUXQRQFH
x 2EWHQHUXQFXDWURXREWHQHUXQVHLV
$OVXPDUORVSXQWRV¢FXiOQ~PHURWLHQHPD\RUSURED
ELOLGDGGHVDOLU"
(Q JHQHUDO HQ HVWHDxR VH GHEHQ IRUPXODU VLWXDFLRQHV GH
DSUHQGL]DMHMXHJRVRVLWXDFLRQHVGHODFRWLGLDQLGDGTXHSHUPL
WDQ LGHQWLILFDU HO Q~PHUR GH UHVXOWDGRV D IDYRU GH XQ HYHQWR
GHWHUPLQDGR \ FRQ EDVH HQ HVH FRQRFLPLHQWRWRPDU GHFLVLRQHV
8QD DFWLYD SDUWLFLSDFLyQ HVWXGLDQWLO HQ HVWH FLFOR VHUi XQ IDFWRU
IXQGDPHQWDO HQ VX GHVDUUROOR FRJQLWLYR \ HQ OD DGTXLVLFLyQ GH
ODVKDELOLGDGHVSURSXHVWDV
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HVXPLU\FODVLILFDUJUXSRV
3RUFHQWDMHV
GH GDWRV XWLOL]DQGR OD IUH
FXHQFLDSRUFHQWXDO
x )UHFXHQFLDV
SRUFHQWXDOHV
,GHQWLILFDUODIUHFXHQFLD
SRUFHQWXDOFRPRKHUUD
x &RPSDUD
PLHQWDIXQGDPHQWDOSDUD
FLRQHV HQWUH
ORVDQiOLVLVFRPSDUDWLYRV
JUXSRV
HQWUHGRVRPiVJUXSRVGH
GDWRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c /D IUHFXHQFLD DEVROXWD QR VLHPSUH HV XQD EXHQD HVWUDWHJLD
SDUDDQDOL]DUORVGDWRV3ODQWHHHOVLJXLHQWHSUREOHPD
6XSRQJD TXH VH UHDOL]y XQD HQFXHVWD SDUD GHWHUPLQDU HO
QLYHOGHDJUDGRSRUHOFRQVXPRGHIUXWDVPXFKRUHJXODUSRFR
HQWUH ORV KRPEUHV \ PXMHUHV GH XQ JUXSR GH VH[WR JUDGR \ ORV
UHVXOWDGRVVHUHVXPHQHQHOVLJXLHQWHFXDGUR
Relación con el agrado de las y los estudiantes
por las frutas según el sexo
Agrado
Mucho
Regular
Poco
Total
Hombres
9
5
4
18
Mujeres
7
3
2
12
Total
16
8
6
30
'HDFXHUGRFRQHVWDLQIRUPDFLyQ¢TXLpQHVWLHQHQPiVSUHIHUHQ
FLDSRUHOFRQVXPRGHIUXWDVORVKRPEUHVRODVPXMHUHV"
&RQVLGHUDQGRORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRVVHHVSHUDTXHSHUFLEDQ
TXH ORV KRPEUHV WLHQHQ XQD PD\RU SUHGLOHFFLyQ SRU ODV IUXWDV
SXHV HV PD\RU HO Q~PHUR GH KRPEUHV TXH SUHILHUHQ ODV IUXWDV
1RREVWDQWHGLFKDDILUPDFLyQHVIDOVDSXHVHOQ~PHURWRWDOGH
KRPEUHVHQHOJUXSRHVPX\VXSHULRUDOGHPXMHUHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
+D\TXHRULHQWDUHOSURFHVR3DUDHOORVHSRGUtDFRQVXOWDU¢TXLpQ
WLHQH PHQRV SUHIHUHQFLD SRU HO FRQVXPR GH IUXWDV" (Q HVWH
VHQWLGR VH SLGH UHIOH[LRQDU TXH ORV KRPEUHV WLHQHQ PHQRV
SUHIHUHQFLD OR FXDOOHV OOHYD D XQD FRQWUDGLFFLyQ \ DODQHFHVL
GDGGHUHSODQWHDUHOSUREOHPD
(V QHFHVDULR RULHQWDU KDFLD OD QHFHVLGDG GH TXH FRQVLGHUHQ HO
FiOFXORGHSRUFHQWDMHVSDUDFDGDVH[RWDOFRPRVHLQGLFD
Distribución absoluta y porcentual en relación con el agrado de
las y los estudiantes por las frutas según el sexo
Hombres
Agrado
Mucho
Regular
Poco
Total
Mujeres
Absoluto
%
Absoluto
%
9
5
4
18
50,0
27,8
22,2
100,0
7
3
2
12
58,3
25,0
16,7
100,0
Total
16
8
6
30
&RQ HVWD LQIRUPDFLyQ VH GHEH SRGHU FRQFOXLU TXH ODV PXMHUHV
WLHQHQ XQD PD\RU SUHIHUHQFLD SRU HO FRQVXPR GH IUXWDV (Q OD
HWDSD GH FODXVXUD VH GHEH VHxDODU OD LPSRUWDQFLD GH XVDU ORV
SRUFHQWDMHVHQORVDQiOLVLVFRPSDUDWLYRVHQWUHODVIUHFXHQFLDVGH
GRV R PiV JUXSRV GH GDWRV SXHV ORV YDORUHV DEVROXWRV SXHGHQ
HQJDxDU
'LDJUDPDV
OLQHDOHV
3DUD HVWH SUREOHPD HO XVRGH OD FDOFXODGRUD SHUPLWH GHWHU
PLQDUORVSRUFHQWDMHVGHXQDPDQHUDPX\VLPSOH\UiSLGD+D\
TXHUHFRUGDUTXHHQHVWHWLSRGHSUREOHPDVORVFiOFXORVQRVRQ
HOILQVLQRHOPHGLRSDUDUHVROYHUHOSUREOHPD\DUJXPHQWDUODV
UHVSXHVWDV
8WLOL]DU GLDJUDPDV OLQHDOHV c /RV JUiILFRV OLQHDOHV VH XWLOL]DQ IXQGDPHQWDOPHQWH SDUD
SDUDUHSUHVHQWDUWHQGHQFLDV UHSUHVHQWDUVHULHVGHWLHPSRODVFXDOHVFRQVWLWX\HQXQJUXSRGH
HQVHULHVGHWLHPSR
GDWRVRUGHQDGRVGHDFXHUGRFRQHOWLHPSRGHRFXUUHQFLD
8WLOLFH ORV GDWRVTXH VHSURSRUFLRQDQSDUDUHVXPLUJUiIL
FDPHQWH OD LQIRUPDFLyQ FRUUHVSRQGLHQWH D OD FDQWLGDG GH QDFL
PLHQWRVGHKRPEUHV\PXMHUHVHQHOSDtVHQWUHHODxR\HO
HPSOHDQGRXQDHVFDODDSURSLDGDXQDXQLGDGSRUGLH]PLO
QDFLPLHQWRV&RPHQWHORVUHVXOWDGRV
1DFLPLHQWRVHQ&RVWD5LFD
$xR
7RWDO
$xR
7RWDO
7RPDGRGH&HQWUR&HQWURDPHULFDQRGH3REODFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
$XQTXH HVWRV JUiILFRV VH SXHGHQ FRQVWUXLU HQ IRUPD PD
QXDOVLVHWLHQHDFFHVRDFRPSXWDGRUDVHOSURFHVRVHVLPSOLILFD
\ FDGD HVWXGLDQWH SXHGH FRQFHQWUDUVH HQ HO PHQVDMH TXH ORV
GDWRVSURSRUFLRQDQ
c(VHVHQFLDOTXHHODQiOLVLVTXHVHUHDOLFHHVWpFHQWUDGRHQOD
WHQGHQFLDGHORVGDWRVGHPRGRTXHLGHQWLILTXHQHOGHVFHQVRGH
ORVQDFLPLHQWRVTXHVHH[SHULPHQWyHQWUHORVDxRV\
\ TXH GHVSXpV GH HVH DxR HO Q~PHUR GH QDFLPLHQWRV QR YDULy
PXFKRHQWUHXQDxR\RWUR
6H GHEH HYLGHQFLDU OD LPSRUWDQWH FRQH[LyQ TXH H[LVWH
HQWUH OD (VWDGtVWLFD 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD SODQR FDUWHVLDQR \
ODV&LHQFLDV6RFLDOHV(VWHYtQFXORQRVyORFRQWULEX\HDIDFLOLWDU
HO HQWHQGLPLHQWR GH ODV IRUPDV GH UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH OD
LQIRUPDFLyQVLQRTXHSHUPLWHOOHQDUGHVLJQLILFDGRORVFRQFHS
WRVDSUHQGLGRVHQODVOHFFLRQHV
5HVROXFLyQ
GHSUREOHPDV
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUREOH
PDV YLQFXODGRV FRQ GLIH
UHQWHV FRQWH[WRV XWLOL]DQGR
DQiOLVLVHVWDGtVWLFRV
c 6H EXVFD TXH VH SXHGDQ SODQWHDU SUREOHPDV GHQWUR GHO FRQ
WH[WR GHO FROHJLR R GH OD FRPXQLGDG \ GLVHxDU HVWUDWHJLDV TXH
SRGUtDQ VHU LPSOHPHQWDGDV SDUD UHVROYHU OD SUREOHPiWLFD DXQ
TXHQRHVQHFHVDULROOHYDUODVDODSUiFWLFD
(Q HVWH FLFOR HV IXQGDPHQWDO HQIDWL]DU HQ ODV GLVWLQWDV
IDVHVTXHFRPSUHQGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
3UREDELOLGDGHV 'HWHUPLQDUODSUREDELOLGDG
GH XQ HYHQWR FRPR OD SUR
SRUFLyQGHUHVXOWDGRVIDYR
x 'HILQLFLyQ
UDEOHV GHO HYHQWR HQWUH HO
WRWDOGHUHVXOWDGRV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD JHQHUDU ODV FRQGLFLRQHV QHFHVDULDV SDUD GHILQLU HO FRQ
FHSWR GH SUREDELOLGDG SXHGH OOHYDU D FDER OD VLJXLHQWH DFWLYL
GDG ,QWURGX]FD HQ XQD FDMD R HQ XQD WyPEROD FXDWUR ERODV GH
FRORU URMR WUHV D]XOHV \ WUHV EODQFDV R FXDOHVTXLHUD RWURV
FRORUHVSHURWUDWHGHPDQWHQHUODUHODFLyQ/XHJRSURSRQJDHO
VLJXLHQWHSUREOHPD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
'HWHUPLQDUFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVYDORUHV
D
E
F
3URSRUFLyQGHERODVURMDVHTXLYDOHDODUD]yQGHERODV
URMDVHQWUHHOWRWDOGHERODV
3URSRUFLyQGHERODVD]XOHVHTXLYDOHDODUD]yQGHERODV
D]XOHVHQWUHHOWRWDOGHERODV
3URSRUFLyQGHERODVEODQFDVHTXLYDOHDODUD]yQGHER
ODVEODQFDVHQWUHHOWRWDOGHERODV
6LVHH[WUDHXQDERODDOHDWRULDPHQWH¢TXpHYHQWRHVPiVSURED
EOHSDUDFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVSDUHMDV"
D /DERODH[WUDtGDHVURMDODERODH[WUDtGDHVD]XO
E /DERODH[WUDtGDHVEODQFDODERODH[WUDtGDHVD]XO
&RPSDUHORVUHVXOWDGRVGHODVSURSRUFLRQHVFRQORVHYHQWRVPiV
SUREDEOHV \ PHQRV SUREDEOHV DQWHULRUHV ¢4Xp FRQFOXVLyQ VH
SXHGHH[WUDHU"
c(QHOSURFHVRGHFODXVXUDRFLHUUHGHHVWDDFWLYLGDGVHSURSR
QH UHDOL]DU XQ IRUR GH GLVFXVLyQ GRQGH VH H[SRQJDQ ODV LGHDV
PiVLPSRUWDQWHV
'HVSXpVGHHVWDDFWLYLGDGVHGHEHGHILQLUHOFRQFHSWRGHSURED
ELOLGDG FRPR OD SURSRUFLyQ GH FDVRV IDYRUDEOHV GH XQ HYHQWR
HQWUH HOWRWDO GH FDVRV $TXt GHEH TXHGDU FODUR TXH HVWD GHILQL
FLyQHVYiOLGDVLHPSUHTXHWRGRVORVUHVXOWDGRVVHDQLJXDOPHQWH
SUREDEOHV 3UHVHQWDU QXHYDV VLWXDFLRQHV TXH OHV D\XGHQ D UH
DILUPDUHOFRQFHSWR
3URSLHGDGHVGH 'HGXFLU PHGLDQWH VLWXD c 3DUD OD PLVPD VLWXDFLyQ HVWDEOHFLGD DO LQLFLR GHO WHPD
FLRQHV FRQFUHWDV ORV YDOR PHGLDQWHWUDEDMRHQVXEJUXSRVSHGLUTXHVHUHVXHOYDHOVLJXLHQWH
ODVSUREDELOL
UHV TXH SXHGH WRPDU OD SUREOHPD
GDGHV
SUREDELOLGDG GH XQ HYHQWR FXDOTXLHUD GH XQ HYHQWR x /DSUREDEL
'HWHUPLQH XQ HYHQWR LPSRVLEOH \ XQ HYHQWR VHJXUR \
VHJXUR \ GH XQ HYHQWR LP UHVSRQGDODVVLJXLHQWHSUHJXQWDV
OLGDGGH
SRVLEOH
FXDOTXLHU
HYHQWRHVXQ
D ¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRVHJXUR"
YDORUQXPp 8WLOL]DU SUREDELOLGDGHV SD
E ¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRLPSRVLEOH"
UDIDYRUHFHUODWRPDGHGH
ULFRHQWUH
F 6LVHVXPDQODVSUREDELOLGDGHVGHREWHQHUXQDERODUR
FLVLRQHV
\LQFOXVLYH
MD GH REWHQHU XQD EROD D]XO \ GH REWHQHU XQD EROD
EODQFD¢FXiOHVHOUHVXOWDGR"
x /DSUREDEL
G ¢3RGUtD RFXUULU TXH XQ HYHQWR FXDOTXLHUD WHQJD XQD
OLGDGGHXQ
SUREDELOLGDGPD\RUTXHODXQLGDG"
HYHQWRVHJX
H ¢&XiOHVHOPHQRUYDORUTXHSXHGHWRPDUODSUREDELOL
URHV\GH
GDGGHXQHYHQWR"
XQHYHQWR
LPSRVLEOHHV
c&RQORVUHVXOWDGRVJHQHUDGRVHQFDGDVXEJUXSRSODQWHDUXQD
OOXYLD GH LGHDV SDUD GHWHUPLQDU ODV SULQFLSDOHV FRQFOXVLRQHV
VREUHHOHVWXGLR
)LQDOPHQWH VH UHTXLHUH SUHFLVDU ODV SURSLHGDGHV EiVLFDV HQ HO
VHQWLGR TXH XQD SUREDELOLGDG HV XQ YDORU HQWUH FHUR \ XQR
DGHPiVTXHODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRVHJXURHVXQR\ODGH
XQHYHQWRLPSRVLEOHHVFHUR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
6HJXLGDPHQWHSDUDUHIRU]DUHOFRQRFLPLHQWRDGTXLULGRSURSRU
FLRQHDOJXQRVSUREOHPDVDGLFLRQDOHV
/DV SUREDELOLGDGHV VH SXHGHQ XWLOL]DU SDUD UHSUHVHQWDU
VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV $O ILQDO GHO FLFORGHEH TXHGDU FODURTXH
HQ ODV VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV QR HV SRVLEOH FRQRFHU HO UHVXOWDGR
TXHVHYDDREWHQHUFDVRFRQWUDULRGHODVVLWXDFLRQHVGHWHUPLQLV
WDV 1R REVWDQWH SRU PHGLR GH ODV SUREDELOLGDGHV VH SXHGH
PRGHODUFXiOHVUHVXOWDGRVWLHQHQPD\RUSRVLELOLGDGGHRFXUUHQ
FLDORFXDOIDFLOLWDODWRPDGHGHFLVLRQHV
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(Q HVWH FLFOR HV GHFLVLYR FRPSOHPHQWDU ODV KDELOLGDGHV DGTXLULGDV SUHYLDPHQWH FRQ OD DG
TXLVLFLyQGHQXHYDVHVWUDWHJLDVGHUHFROHFFLyQUHVXPHQ\DQiOLVLVGHGDWRV3RUHVWDUD]yQ
VHUHTXLHUHSHUILODUVLWXDFLRQHVYLQFXODGDVFRQODVUHDOLGDGHVFRQFUHWDVTXHLPSOLTXHQQXH
YRVUHWRVSDUDHODQiOLVLVGHORVGDWRV/DVKDELOLGDGHVGHOHFWXUDGHLQIRUPDFLyQGHVDUUROOD
GDVHQHO3ULPHUFLFORGHEHQVHUGLULJLGDVKDFLDXQDQiOLVLVFUtWLFR\REMHWLYRGHODLQIRUPD
FLyQTXHSURSRUFLRQDQORVGDWRV
(QUHODFLyQFRQHOPDQHMRGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV\GHODSUREDELOLGDGHVWHFLFORSHUPLWH
GDU XQ VDOWR FXDOLWDWLYR SXHV GH XQD LGHD LQWXLWLYD VREUH SUREDELOLGDG VH OOHJD D FDOFXODU
SUREDELOLGDGHVFRPRXQDSURSRUFLyQGHUHVXOWDGRVIDYRUDEOHVHQWUHHOWRWDOGHSRVLEOHVUH
VXOWDGRV(VWRSRVLELOLWDTXHFDGDHVWXGLDQWHSXHGDWHQHUXQDPHMRUFRPSUHQVLyQGHODVVL
WXDFLRQHVDOHDWRULDVSRUHOORHVLPSRUWDQWHHVWUXFWXUDUSUREOHPDVVLPSOHVYLQFXODGRVFRQOD
WRPDGHGHFLVLRQHV
$XQTXHVHLQFRUSRUDQHVWUDWHJLDVTXHSXHGHQOOHYDUDVLWXDFLRQHVPX\FRPSOHMDVSDUDHVWH
QLYHOHVFRODUFRQYLHQHTXHFDGDGRFHQWHODVGRVLILTXHSXHV~QLFDPHQWHVHSUHWHQGHLQWUR
GXFLU KDFLD HO XVR GH ODV WpFQLFDV SDUD UHFROHFWDU \ UHVXPLU LQIRUPDFLyQ 3RU HMHPSOR OD
HODERUDFLyQ\DSOLFDFLyQDGHFXDGDGHXQFXHVWLRQDULRHVXQWUDEDMRSDUDHVSHFLDOLVWDVHQHO
WHPDSRUORTXHVHEXVFDDHVWHQLYHODFHUFDUDOHVWXGLDQWDGRKDFLDHOFRQRFLPLHQWRGHOUH
FXUVR\HOWLSRGHGDWRVTXHSURSRUFLRQD
6HGHEHLGHQWLILFDUDTXHOODLQIRUPDFLyQGHOHQWRUQRTXHWLHQHPD\RUSRWHQFLDOSDUDVHUXWL
OL]DGDHQORVDQiOLVLVGHPRGRTXHSHUPLWDH[SORUDUODDQDOL]DUODLQWHUSUHWDUOD\FULWLFDUOD
(OULWPRGHDYDQFHHQPDWHULDGHORVDQiOLVLVDOHDWRULRV\SUREDELOtVWLFRVHVSDXVDGRSXHVOD
WHPiWLFDDVtORREOLJD3HURHVIXQGDPHQWDOJHQHUDUVLWXDFLRQHVTXHSURSLFLHQODVKDELOLGD
GHVSODQWHDGDV(VFRQYHQLHQWHFRQVLGHUDUVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVFRQXQQ~PHURSHTXHxRGH
UHVXOWDGRVSXHVORTXHVHSUHWHQGHHVJHQHUDU ODFRPSUHQVLyQGHFLHUWDVSURSLHGDGHVHLQ
WHUUHODFLRQHVEiVLFDV\TXHSXHGDQSRQHUVHHQSUiFWLFD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
$OLJXDOTXHVHUHDOL]yHQHO3ULPHUFLFORHOFRQFHSWRGHGDWRFRPRXQLGDGSULPDULD\HOGH
YDULDELOLGDG FRPR IXHQWH SULQFLSDO GH ORV DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV GHEHQ WHQHU XQ URO WUDVFHQ
GHQWHGHQWURGHODGLVFXVLyQJHQHUDO3RUODFRPSOHMLGDGTXHLPSOLFDODPHGLFLyQGHODYD
ULDELOLGDG~QLFDPHQWHVHGHWHUPLQDHOUHFRUULGRGHORVGDWRVFRPRXQDSULPHUDDSUR[LPD
FLyQPHGLGDVGHYDULDELOLGDGPiVSUHFLVDVVHDERUGDUiQHQOD6HFXQGDULD1RREVWDQWHGH
ELGRDTXHODYDULDELOLGDGIRUPDSDUWHGHWRGRVORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVHVFRQYHQLHQWHSUR
SRQHUVLWXDFLRQHVHQODVFXDOHVVHFRPSDUHQJUXSRVGHGDWRVFRQYDULDELOLGDGHVGLIHUHQWHV
ORTXHSHUPLWLUtDORJUDUXQDPHMRUFRPSUHQVLyQVREUHODUHOHYDQFLDGHOFRQFHSWR
$XQTXHVHWUDEDMDHQ ODFRQVWUXFFLyQGHFXDGURV\JUiILFRVDVtFRPRHQ ODGHWHUPLQDFLyQ
GHDOJXQDVPHGLGDVGHUHVXPHQVHHQIDWL]DQXHYDPHQWHHQTXHVRQ~QLFDPHQWHKHUUDPLHQ
WDV\TXHORIXQGDPHQWDOUDGLFDHQHOPHQVDMHJHQHUDO\HVSHFtILFRTXHVHGHVHDVXPLQLVWUDU
(VQHFHVDULRYLVXDOL]DUHVWRVHOHPHQWRVFRPRXQYHKtFXORSDUDSURSRUFLRQDUHVHPHQVDMH\
RIUHFHUXQDUHVSXHVWDFRQFUHWDDOSUREOHPDRULJLQDO3RUHVWDUD]yQKD\TXHEXVFDUHVWUDWH
JLDVTXHSHUPLWDQIDYRUHFHUXQDDGHFXDGDUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\WDEXODU\HQHVWHVHQWLGR
ODV FRPSXWDGRUDV VRQ XQ UHFXUVR PX\ YDOLRVR $Fi VH SXHGH HPSOHDU OD FDOFXODGRUD SDUD
VLPSOLILFDUFiOFXORVDVtFRPRODFRPSXWDGRUDSRUPHGLRGHXQDKRMDGHFiOFXOR
(Q UHODFLyQ FRQ HO SXQWR DQWHULRU DXQTXH ORV JUiILFRV HQ WUHV GLPHQVLRQHV WLHQHQ PXFKD
DFHSWDFLyQHQGLYHUVRVVHFWRUHVQRVHGHEHUHFRPHQGDUVXXVR\DTXHHQDOJXQDVRFDVLRQHV
VHSUHVWDQSDUDODFRQIXVLyQ+D\TXHUHFRUGDUTXHHOSURSyVLWRGHXQJUiILFRHVVXPLQLVWUDU
XQD LQIRUPDFLyQGH OD IRUPD PiVVLPSOHSRVLEOH \SRUHOORFXDOTXLHUHOHPHQWRTXHSXHGD
FRQIXQGLURGLVWRUVLRQDUODLQIRUPDFLyQGHEHGHVFDUWDUVH
2WURHUURUFRP~QHVODGHQRPLQDGD³IDODFLDGHOMXJDGRU´SRUPHGLRGHODFXDOVHFUHHTXH
HQXQDVLWXDFLyQGHSUREDELOLGDGHVILMDVXQHYHQWRTXHKDRFXUULGRSXHGHDIHFWDUODVSURED
ELOLGDGHV IXWXUDV GH RFXUUHQFLD 3RU HMHPSOR VH FUHH TXH XQ Q~PHUR TXH KD\D ORJUDGR HO
SUHPLRPD\RUGHOD/RWHUtD1DFLRQDOHQXQVRUWHRWLHQHPHQRVSUREDELOLGDGGHREWHQHUHVH
PLVPRSUHPLRHQHOVRUWHRVLJXLHQWH(VWRHVIDOVRSXHVVLQWRPDUHQFXHQWDODVVHULHVHQ
FDGDVRUWHRGHOD/RWHUtD1DFLRQDOKD\Q~PHURVWRGRVHOORVLJXDOPHQWHSUREDEOHVSRU
ORTXHODSUREDELOLGDGGHTXHXQQ~PHURSDUWLFXODUVDOJDIDYRUHFLGRHQFDGDVRUWHRHVLQGH
SHQGLHQWHGHOVRUWHR
3RUORDQWHULRUHQODVVLWXDFLRQHVHQTXHVHLGHQWLILTXHQHUURUHVHQODXWLOL]DFLyQGHUHFXUVRV
HVWDGtVWLFRVRSUREDELOtVWLFRVHVQHFHVDULRSUHVHQWDUFRQWUDHMHPSORVTXHSRQJDQHQHYLGHQ
FLD ODV LQFRQJUXHQFLDV VREUH LQWHUSUHWDFLRQHV D ODV TXH GLFKR HUURU SRGUtD FRQGXFLU 3RU
HMHPSORHVHOFDVRGHOVLJXLHQWHFXDGURGRQGHVHGHVHDLGHQWLILFDUTXLpQHVWLHQHQXQPD\RU
DJUDGRSRUODVIUXWDV
5HODFLyQFRQHODJUDGRGHODV\ORVHVWXGLDQWHVSRUODVIUXWDVVHJ~QHOVH[R
$JUDGR +RPEUHV 0XMHUHV
7RWDO
0XFKR
5HJXODU
3RFR
7RWDO
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
3XHGHVXUJLUODLGHDHTXLYRFDGDGHTXHORVKRPEUHVSUHVHQWDQXQPD\RUDJUDGRSRUODVIUX
WDVTXHODVPXMHUHVQXHYHKRPEUHVFRQWUDVLHWHPXMHUHVVHxDODQTXHOHVDJUDGDPXFKRODV
IUXWDV8QDIRUPDGHFRUUHJLUHVDLGHDHTXLYRFDGDFRQVLVWHHQSUHJXQWDUOHVTXHLQGLTXHQD
TXLpQHVOHVDJUDGDPHQRVODVIUXWDVSXHVVLXWLOL]DQHOPLVPRUD]RQDPLHQWROOHJDUiQDXQD
FRQWUDGLFFLyQ\DTXHDFXDWURKRPEUHVFRQWUDGRVPXMHUHVOHVDJUDGDSRFRODVIUXWDV(VWR
SURYRFDOD QHFHVLGDGGH UHSODQWHDUVHHOSUREOHPD SRUPHGLRGHOFiOFXORGHSRUFHQWDMHVWDO
FRPRVHVHxDOyHQODVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
8QDIRUPDGHHQIRFDUHVWDPLVPDVLWXDFLyQ\FRQHFWDUODFRQHOWHPDGHSUREDELOLGDGHVFRQ
VLVWHHQSODQWHDU
D 6LVHVHOHFFLRQDDXQDHVWXGLDQWHGHOJUXSR¢FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHOHDJUDGHQ
PXFKRODVIUXWDV"
E 6LVHVHOHFFLRQDDXQHVWXGLDQWHGHOJUXSR¢FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHOHDJUDGHQ
PXFKRODVIUXWDV"
'HELGRDTXHODUHVSXHVWDDODSUHJXQWDDHV\ODUHVSXHVWDDODSUHJXQWDEHVDSUR
[LPDGDPHQWHHVFODURTXHHVPiVSUREDEOHTXHDODVPXMHUHVOHVDJUDGHODVIUXWDV
(VFRQYHQLHQWHUHFRUGDUTXHSDUDIDFLOLWDUODLQWHUSUHWDFLyQWDQWRORVFXDGURVFRPRORVJUi
ILFRVGHEHQOOHYDUXQWtWXORVXILFLHQWHPHQWHH[SOtFLWRTXHSHUPLWDKDFHUXQDOHFWXUDVLQQH
FHVLGDGGHEXVFDUPiVLQIRUPDFLyQ
(Q HO DQiOLVLV GH ODV SUREDELOLGDGHV ORV MXHJRV GH D]DU SHUPLWHQ HVWDEOHFHU HMHPSORV TXH
IDYRUHFHQ OD FRPSUHQVLyQ 3RU HOOR GHEHQ HVWDU SUHVHQWHV HQ WRGR PRPHQWR PDQWHQLHQGR
VLHPSUH VX FDUiFWHU O~GLFR 1RREVWDQWH HV SHUWLQHQWH FRPSOHPHQWDU FRQ RWURV SUREOHPDV
GHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLOSDUDYLVXDOL]DUODXWLOLGDGSUiFWLFDGHODGLVFLSOLQD
/RV SUREOHPDV HVWDEOHFLGRV GHEHQ WHQHU XQ QLYHO GH GLILFXOWDG DFRUGH FRQ ODV KDELOLGDGHV
TXHVHGHVHDQJHQHUDUSDUDLQFUHPHQWDUSDXODWLQDPHQWHVXQLYHOGHGLILFXOWDG$OLJXDOTXH
HQHO3ULPHUFLFORODVVLWXDFLRQHVGHDSUHQGL]DMHQRSXHGHQVHUVLPSOHPHQWH ODUHSHWLFLyQ
GHODVDFWLYLGDGHVSUHYLDVVLQRPiVELHQLQFRUSRUDUXQUHWRDGLFLRQDO
'HELGRDTXHOD(VWDGtVWLFD\OD3UREDELOLGDGVRQiUHDVTXHSURSRUFLRQDQLQIRUPDFLyQYD
OLRVDSDUDODWRPDGHGHFLVLRQHVHVPX\LPSRUWDQWHLQFOXLUSUREOHPDVTXHSHUPLWDQTXHFD
GDHVWXGLDQWHSXHGDGHFLGLUVREUHXQDVLWXDFLyQSDUWLFXODU(QHVWHVHQWLGRORVMXHJRVVRQXQ
DWUDFWLYR8QHMHPSORGHXQSUREOHPDGHHVWHWLSRVHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQ
/$&$55(5$
5HJODVGHOMXHJR
x &DGDMXJDGRUDYDQ]DSRUVXSURSLR³FDUULO´7RGRVORVFDUULOHVWLHQHQODPLVPDFDQWL
GDGGHFDVLOODV*DQDHOMXHJRTXLHQORJUDSDVDUODOtQHDGH³OOHJDGD´SULPHUR
x 6HMXHJDFRQXQGDGRTXHLQGLVWLQWDPHQWHSRGUiVHUWLUDGRSRUXQRGHORVMXJDGRUHVR
HVWDEOHFHUVHWXUQRVDFULWHULRGHORVSDUWLFLSDQWHV
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
x
Cada jugador deberá escoger uno de los carriles por el cual avanzar. Se avanza una
casilla a la vez. Para saber quién puede avanzar en cada ocasión, deberá observarse
en el tablero la inscripción que aparece junto a cada uno de los carriles.
x
Se sugiere jugar en tríos (a pesar de que en el tablero hay más de tres carriles) ya que
de este modo todos los participantes tendrán oportunidad de elegir algún carril y no
quedarse con la última opción. También servirá para que en el posterior análisis del
juego se observe qué carriles quedaron sin elegir.
El tablero del juego:
CARRERA
Se avanza cada vez que en
el dado sale un 5.
Se avanza cada vez que en
el dado sale un número
impar.
Se avanza cada vez que en
el dado sale un número
mayor a 1.
LLEGADA
Se avanza cada vez que en
el dado sale un número
par.
Se avanza cada vez que en
el dado sale el número 1 o
6.
Si a usted le toca jugar primero, ¿en cuál de las casillas se ubicaría? Justifique su respuesta.
(Este problema fue tomado de la página http://www.uruguayeduca.edu.uy.)
Para responder la interrogante, deberá comparar las probabilidades de cada una de las celdas y escoger aquella de mayor probabilidad.
15. Por las características que tiene esta área, se deben incluir diversas situaciones que ayuden
a crear conciencia sobre tópicos transversales del plan de estudios.
Cuarto año
1.
El análisis de diversos tipos de representaciones (dibujos, diagramas, cuadros o gráficos)
que han sido publicadas en diversos medios de comunicación, aunque su construcción no
haya sido analizada, permite favorecer la lectura de la información estadística. Para ello se
recomienda que se propicie la participación estudiantil mediante preguntas concretas sobre
el mensaje que transmite la representación.
2.
Al incorporar la experimentación empleando mediciones dentro de los procesos de recolección de información cuantitativa, también genera un nuevo tipo de dato. Se recomienda en285
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
IDWL]DUODVGLIHUHQFLDVHQODIRUPDHQTXHVHUHFROHFWDQXQRVVHREWLHQHQSRUFRQWHR\RWURV
SRU PHGLFLyQ 6H FDUDFWHUL]DQ GH HVWD PDQHUD SXHV HQ OD 3ULPDULD QR VH SUHWHQGH UHDOL]DU
XQDDPSOLDGLVFXVLyQVREUHHOWHPDGHGDWRVFRQWLQXRVHVWHFRQFHSWRQRVHGHEH PHQFLR
QDUVLQRJHQHUDUXQDLGHDLQWXLWLYD(VLPSRUWDQWHKDFHUHVWDGLIHUHQFLDSXHVHOHPSOHRGH
GDWRVFXDQWLWDWLYRVREWHQLGRVSRUPHGLFLyQJHQHUDODQHFHVLGDGGHXWLOL]DURWUDVKHUUDPLHQ
WDVSDUDUHVXPLUORVRFODVLILFDUORV(VWRVHGHEHDTXHQRUPDOPHQWHVRQPX\GLIHUHQWHVXQRV
GHRWURVVREUHWRGRFXDQGRODVPHGLFLRQHVVHGDQFRQGHFLPDOHVORFXDOQRRFXUUHDVtFRQ
ORVGDWRVREWHQLGRVSRUFRQWHR3RUORTXHQRUHVXOWDHILFLHQWHFRQVWUXLUFXDGURVGHIUHFXHQ
FLDVRJUiILFRVGHEDUUDVVLPSOHV
$O WUDEDMDU FRQ PHGLFLRQHV VH UHTXLHUH HYLGHQFLDU ORV SRVLEOHV HUURUHV HQ ORV SURFHVRV GH
UHFROHFFLyQGHGDWRV&RQYLHQHGDUpQIDVLVHQODSUHFLVLyQGHORV LQVWUXPHQWRVTXHVHXWLOL
]DQSDUDPHGLU\HOHUURUKXPDQRTXHVHSXHGHSURGXFLUDOUHDOL]DUODREVHUYDFLyQ
5HVSHFWRDOSUREOHPDUHODFLRQDGRFRQOD PHGLFLyQGHOSDVRRFXDOTXLHURWURH[SHULPHQWR
VLPLODUORLGHDOHVTXHVHDQODV\ORVHVWXGLDQWHVTXLHQHVOOHYHQDFDERODH[SHULPHQWDFLyQ\
SURSRQJDQXQDHVWUDWHJLDSDUDUHFROHFWDUODLQIRUPDFLyQ\UHVROYHUHOSUREOHPD6HUHTXLHUH
HVWDUDWHQWRSDUDRULHQWDUHOSURFHVR/RUHFRPHQGDEOHVHUtDTXHXWLOL]DUDQXQDFLQWDPpWULFD
SDUDGHWHUPLQDUODVPHGLFLRQHVHQPHWURV\FHQWtPHWURVSHURSRGUtDQXWLOL]DURWURVLQVWUX
PHQWRVFRPRUHJODVHOPHWURGHOGRFHQWHXQFRUGyQGHO]DSDWRHWF
3DUDHODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQUHVXOWDQWHGHDFXHUGRFRQHOFRQRFLPLHQWRSUHYLRTXHVH
WLHQHVHHVSHUDTXHEXVTXHQHVWUDWHJLDVGHUHSUHVHQWDFLyQGHORVGDWRVSRUPHGLRGHXQFXD
GURGHIUHFXHQFLDVRXQJUiILFRGHEDUUDV$FiGHEHUiQHQIUHQWDUQXHYRVUHWRVSXHVGHELGR
DODYDULDELOLGDGGHPHGLFLRQHVQRHVDGHFXDGRUHVXPLUORVPHGLDQWHHVDVUHSUHVHQWDFLRQHV
\ SRVLEOHPHQWH OD PRGD WDPSRFR SURSRUFLRQH LQIRUPDFLyQ GH LQWHUpV \D TXH ODV IUHFXHQ
FLDVGHORVGDWRVHQHVWRVFDVRVUHJXODUPHQWHVRQPX\EDMDVORTXHQRSHUPLWHYHUXQSD
WUyQ FODUR (Q HO FDVR GH OD PRGD SRGUtDQ H[LVWLU YDULRV YDORUHV PRGDOHV 'H DOOt TXH ORV
GLDJUDPDVGHSXQWRV\HOFiOFXORGHODPHGLDDULWPpWLFDVRQHVWUDWHJLDVTXHSHUPLWHQUHVX
PLUGHXQDPHMRUPDQHUDORVGDWRV
$ODQDOL]DUODPHGLDDULWPpWLFDRSURPHGLRHVFRQYHQLHQWHKDFHUKLQFDSLpHQODLPSRUWDQFLD
TXHWLHQHHVWDPHGLGDSDUDORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVGHELGRDTXHHVXQDGHODVPHGLGDVTXH
PiVVHXWLOL]DSDUDUHVXPLUFRQMXQWRVGHGDWRV
(QHODQiOLVLVGHODVPHGLGDVGHODORQJLWXGGHOSDVRVHHVSHUDTXHDGHPiVGHODUHSUHVHQWD
FLyQJUiILFDHVWpQHQFDSDFLGDGGHFRPSOHWDUHLQWHUSUHWDUODLQIRUPDFLyQGHOVLJXLHQWHFXD
GUR
Medidas
Longitud del
paso
Moda(s)
Promedio
Mínimo
Máximo
Recorrido
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
&RQYLHQH LQWHJUDU ODV GLIHUHQWHV WpFQLFDV TXH VH YD\DQ XWLOL]DQGR SRU HMHPSOR HV YDOLRVR
LGHQWLILFDUHQXQJUiILFRODVSULQFLSDOHVPHGLGDVGHSRVLFLyQSXHVGLFKDVPHGLGDVWLHQHQVX
LQWHUSUHWDFLyQ JUiILFD WDO FRPR PXHVWUD OD VLJXLHQWH LOXVWUDFLyQ 2EVHUYH HO VLJXLHQWH GLD
JUDPDSDUDUHVXPLUORVGDWRVGHXQDPXHVWUDGHGtDVHQORVTXHVHPLGLyODWHPSHUDWXUDHQ
FLHUWDFLXGDG
(QHVWHDxRVHGHEHLQLFLDUFRQHOXVRGHODWHFQRORJtDFRPRXQDKHUUDPLHQWDSDUDIDYRUH
FHUORVFiOFXORV \ ODVUHSUHVHQWDFLRQHV/DFDOFXODGRUD\ ODFRPSXWDGRUD VRQLQVWUXPHQWRV
GHPXFKRYDORUSUiFWLFRTXHOHSHUPLWHQDFDGDHVWXGLDQWHFRQFHQWUDUVHHQORVDQiOLVLV\OD
DUJXPHQWDFLyQ
3DUDFRPSOHPHQWDUHOSUREOHPDGHODVDYHVSODQWHDGRHQHOiUHDGH 3UREDELOLGDGVHSXHGH
SODQWHDURWURSUREOHPDVLPLODUDOVLJXLHQWH
8QDFDMDFRQWLHQHFXDWURERODVD]XOHVGRVERODVURMDV \XQDEROD EODQFD6LVHFRQFLEH HO
H[SHULPHQWRGHH[WUDHUXQDERODVLQYHUVXFRORUDOHDWRULDPHQWH
D 'HWHUPLQHHOQ~PHURGHUHVXOWDGRVVLPSOHVTXHVHSXHGHQREWHQHU
E 'HWRGRVHVWRVUHVXOWDGRV¢FXiQWRVVRQIDYRUDEOHVSDUDHOUHVXOWDGRGHREWHQHUXQDEROD
D]XO"
F ¢4XpRWURVUHVXOWDGRVSRVLEOHVSXHGHQSUHVHQWDUVH"
G ¢4XpHVPiVSUREDEOHREWHQHUXQDERODEODQFDXREWHQHUXQDERODURMD"¢3RUTXp"
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
Quinto año
3DUDIDYRUHFHUODVKDELOLGDGHVFRUUHVSRQGLHQWHVDORVFRQFHSWRVGHSREODFLyQ\PXHVWUDVH
UHTXLHUH JHQHUDU SUREOHPDV GRQGH VH SXHGD LGHQWLILFDU VLQ PXFKD FRPSOLFDFLyQ OD SREOD
FLyQ WRWDO (Q ODV LQGLFDFLRQHV SXQWXDOHV VH LQFOX\HQ GRV SUREOHPDV PX\ LOXVWUDWLYRV (O
SULPHURVHUHODFLRQDFRQODWRWDOLGDGGHHVWXGLDQWHVGHODHVFXHODGRQGHVHSRGUtDQHVWDEOH
FHUGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVSDUDPXHVWUDVSRUHMHPSORVHOHFFLRQDUFLQFRHVWXGLDQWHVGHFDGD
JUXSRSRUPHGLRGHULIDVVHOHFFLRQDUXQJUXSRSRUQLYHOVLODHVFXHODIXHUDPX\JUDQGH
HQWUHRWURV(OVHJXQGRVHUHILHUHDODWRWDOLGDGGHJUDQRVGHDUUR]GHXQDEROVD$QWHODLP
SRVLELOLGDGGHDQDOL]DUWRGRVORVJUDQRVODQHFHVLGDGGHXQDPXHVWUDTXHGDPX\FODUD8QD
IRUPDGHVHOHFFLyQGHXQDPXHVWUDHVVHOHFFLRQDUSHTXHxDVFDQWLGDGHVGHDUUR]GHGLVWLQWDV
SDUWHVGHODEROVDKDVWDFRPSOHWDUXQSHTXHxRUHFLSLHQWHFX\DFDQWLGDGGHJUDQRVSXHGDVHU
DQDOL]DGD
(QHOSURFHVRGHGLVHxDU \DSOLFDUHOFXHVWLRQDULRSDUDUHFROHFWDUGDWRVHV QHFHVDULRWHQHU
FODURTXHHVXQDLQWURGXFFLyQDOHPSOHRGHHVWHUHFXUVR3RUHVWDUD]yQKD\TXHVLPSOLILFDU
VXXVRSDUDUHVROYHUVLWXDFLRQHVPX\FRQFUHWDVGRQGHVHSXHGDQERVTXHMDUXQDVSRFDVSUH
JXQWDVSUHIHULEOHPHQWHFHUUDGDVTXHLQFOX\DQHVFDODVVLPSOHVRDELHUWDVGHUHVSXHVWDEUHYH
1RREVWDQWHKD\TXHSURFXUDUTXHFXPSODQFLHUWDVQRUPDVEiVLFDVHQHOHPSOHRGHHVWHUH
FXUVRFRPRODLQWURGXFFLyQHORUGHQGHODVSUHJXQWDVODUHGDFFLyQHQWUHRWUDV
(Q UHODFLyQ FRQ HO SUREOHPD VXJHULGR HQ ODV LQGLFDFLRQHV SXQWXDOHV VREUH OD SUHIHUHQFLD
DOLPHQWLFLDXQDYH]UHFROHFWDGD OD LQIRUPDFLyQ PHGLDQWH ODDSOLFDFLyQGHOFXHVWLRQDULRVH
UHTXLHUH RUGHQDUOD DGHFXDGDPHQWH SDUD SRGHUUHDOL]DU HO DQiOLVLV SRVWHULRU $TXt FRQYLHQH
VXJHULUQXHYDPHQWHODFRQVWUXFFLyQGHXQDEDVHGHGDWRVVLPLODUDODVTXHVHXWLOL]DURQHQ
HO3ULPHUFLFORVyORTXHSDUDHVWHSUREOHPDVHLQFOX\HQYDULDVFDUDFWHUtVWLFDV6HSXHGHXWL
OL]DUXQDKRMDGHFiOFXORSDUDIDFLOLWDUODFRQVWUXFFLyQGHHVWDEDVHGHGDWRV
Número
1
2
Nombre de cada estudiante
Abarca Lewis Manolín
Álvarez Moín Libertad
Sexo
M
F
Frutas
P
R
Nivel de preferencia por
Ensal. Hamb. Papas fritas
P
M
M
P
R
M
(VLPSRUWDQWHTXHDGTXLHUDQODKDELOLGDGGHXWLOL]DUFyGLJRVSDUDQRSRQHUWRGDODSDODEUD
GHQWURGHOFXDGUR$TXtVHSXHGHQXWLOL]DUFyGLJRVSDUDUHSUHVHQWDUORVGDWRV(OVH[R) \
0 UHSUHVHQWDQ IHPHQLQR \ PDVFXOLQR UHVSHFWLYDPHQWH \ HO DJUDGR 0 5 \ 3 UHSUHVHQWDQ
UHVSHFWLYDPHQWHPXFKRUHJXODU\SRFR3HURWDPELpQVHSXHGHQXWLOL]DUQ~PHURVSDUDFRGL
ILFDUSRUHMHPSORPDVFXOLQR\IHPHQLQRSRFRUHJXODU\PXFKR3RUORTXHOD
EDVHVHUtDGHODIRUPDVLJXLHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
Nombre de cada estudiante
Frutas
Nivel de preferencia por
Ensal. Hamb. Papas fritas
Abarca Lewis Manolín
0
0
0
2
2
Álvarez Moín Libertad
1
1
0
1
2
&RQODLQIRUPDFLyQUHFDEDGD\UHVXPLGDHQODEDVHGHGDWRVGHEHQSURFHGHUDUHVXPLUODLQ
IRUPDFLyQ\DH[WUDHUODVFRQFOXVLRQHVFRUUHVSRQGLHQWHVSUHVHQWDQGRDUJXPHQWRVSDUDFOD
VLILFDU OD SUHIHUHQFLD DOLPHQWLFLD HQ HO JUXSR 1XHYDPHQWH HO XVR GH OD FRPSXWDGRUD VH
FRQVWLWX\HHQXQDKHUUDPLHQWDIXQGDPHQWDOSDUDUHDOL]DUHVWDODERU
3DUDFRPSOHPHQWDUODLGHQWLILFDFLyQGHORVFRQFHSWRVGHSREODFLyQ\PXHVWUDDVtFRPRHO
XVR GHO FXHVWLRQDULR HV FRQYHQLHQWH TXH VH KDJD UHIHUHQFLD D GLVWLQWRV WLSRV GH HQFXHVWDV
TXHVHDSOLFDQHQHOSDtVHQFXHVWDVGHKRJDUHVHQFXHVWDVSROtWLFDVHQFXHVWDVGHPHUFDGHR
HQWUHRWUDV3DUDVXLPSOHPHQWDFLyQHVSULPRUGLDOHOPXHVWUHRSXHVUHVXOWDPX\GLItFLOFRQ
VXOWDUWRGDODSREODFLyQGHLQWHUpVDGHPiVODLQIRUPDFLyQHQHVWDVHQFXHVWDVHVUHFROHFWDGD
PHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHXQFXHVWLRQDULRTXHLQFOX\HXQDJUDQFDQWLGDGGHSUHJXQWDV(VWD
LQIRUPDFLyQVHSXHGHFRQVXOWDUHQODGLUHFFLyQHOHFWUyQLFDZZZLQHFJRFU
(QUHODFLyQFRQ ORVJUiILFRVFLUFXODUHVRGHSDVWHOVHSUHWHQGH~QLFDPHQWHTXHFDGDHVWX
GLDQWHHVWpHQFDSDFLGDGGH LQWHUSUHWDUOD LQIRUPDFLyQTXH VHVXPLQLVWUD6L VHFXHQWDFRQ
XQD FRPSXWDGRUD HV SRVLEOH GLVFXWLU VX HODERUDFLyQ SHUR QR VH UHFRPLHQGD HQWUDU HQ XQD
FRQVWUXFFLyQPDQXDOSXHVUHTXLHUHGHJUDQLQYHUVLyQGHWLHPSR\HVIXHU]R
Sexo
+D\TXHKDFHUQRWDUTXHHQORVJUiILFRVFLUFXODUHVHVGLItFLOLGHQWLILFDUHORUGHQDPLHQWRGH
ODVFDWHJRUtDVDQRVHUTXHVHDQPX\GLIHUHQWHVHQWUHVt(QHOHMHPSORGHODJUiILFDDQWHULRU
FXHVWDLGHQWLILFDUFXDOVHJPHQWRWLHQHPD\RUiUHDVLHOTXHFRUUHVSRQGHD0XFKRRHOTXH
FRUUHVSRQGHD5HJXODU3RUHOORORVJUiILFRVGHEDUUDVVRQXQPHMRULQVWUXPHQWRGHUHSUH
VHQWDFLyQGHLQIRUPDFLyQ(ODOFDQFHGHORVJUiILFRVFLUFXODUHVVHHYLGHQFLDHQODFRQH[LyQ
TXHVHUHDOL]DFRQOD*HRPHWUtD
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
(QHOiUHDGH3UREDELOLGDGUHVSHFWRDOSUREOHPDYLQFXODGRFRQHOODQ]DPLHQWRGHGRVGD
GRVVHGHEHHYLGHQFLDUTXHHQWRWDOKD\UHVXOWDGRVSRVLEOHVSDUHVDOODQ]DUGRVGD
GRV
$GHPiV GH OD HQXPHUDFLyQ HQ SDUHV GH OD IRUPD « ORV UHVXOWDGRV VH
SXHGHQUHSUHVHQWDUGHODVLJXLHQWHIRUPD
Resultados posibles al lanzar dos dados
Primer
dado
1
2
3
4
5
6
1
2
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
Segundo dado
3
4
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
6
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
$OVXPDUORVSXQWRVVHREWLHQHQQ~PHURVHQWUH\'HEHQ LGHQWLILFDUTXHXQHYHQWRVH
JXUR LQFOX\H D WRGRV ORV UHVXOWDGRV GHO H[SHULPHQWR PLHQWUDV TXH XQ HYHQWR LPSRVLEOH QR
WLHQHUHVXOWDGRVDIDYRU/DIRUPDHQTXHUD]RQDQRDUJXPHQWDQ ODVUHVSXHVWDV PHUHFHHV
SHFLDODWHQFLyQGHQWURGHODDFFLyQGRFHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
Sexto año
3ODQWHDUSUREOHPDVSDUDTXHVHDQUHVXHOWRVHQVXEJUXSRV/DV\ORVHVWXGLDQWHVWLHQHQTXH
GLVHxDU \ HMHFXWDU XQD LQYHVWLJDFLyQ TXH UHTXLHUD GH OD UHFROHFFLyQ \ DQiOLVLV GH LQIRUPD
FLyQ1HFHVLWDQIRUPXODUODVSUHJXQWDVTXHVHGHEHQUHVSRQGHUROOHYDUDFDERSURFHVRVSD
UDODUHFROHFFLyQHOUHVXPHQODSUHVHQWDFLyQGHGDWRV\HODQiOLVLVGHVFULSWLYRGHODLQIRU
PDFLyQ FXDQWLWDWLYD \ FXDOLWDWLYD DGHPiV GH JHQHUDU ODV FRQFOXVLRQHV FRUUHVSRQGLHQWHV
+D\TXHFHUFLRUDUVHTXHVHSRQJDQHQSUiFWLFDODVKDELOLGDGHVSURSXHVWDV
(VLPSUHVFLQGLEOHSUHVWDUDWHQFLyQDORVHUURUHVFRPXQHVGHQWURGHORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRV
3RU HMHPSOR XQ HUURU FRP~Q HV HO HPSOHR GH IUHFXHQFLDV DEVROXWDV SDUD UHDOL]DU DQiOLVLV
FRPSDUDWLYRVHQWUHJUXSRV3RUHMHPSORGHDFXHUGRFRQODLQIRUPDFLyQGHXQFROHJLRSDUD
XQ DxR SDUWLFXODU GHVHUWDURQ HVWXGLDQWHV GH ƒ $xR \ ~QLFDPHQWH GH ƒ $xR (VWR
SRGUtDHTXLYRFDGDPHQWHKDFHUSHQVDUTXHORVQLYHOHVGHGHVHUFLyQVRQ PD\RUHVHQ ƒTXH
HQƒORFXDOQRUHVXOWyFLHUWRSXHVODPDWUtFXODLQLFLDOSDUDƒ$xRIXHGHHVWXGLDQWHV
\SDUDƒGH ORVSRUFHQWDMHVGHGHVHUFLyQ IXHURQGH\UHVSHFWLYDPHQWH
(VWH HMHPSOR SHUPLWH LGHQWLILFDU TXH DXQTXH HQ PXFKRV DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV VH XWLOL]D OD
IUHFXHQFLDDEVROXWDQRHVXQDKHUUDPLHQWDDGHFXDGDFXDQGRVHUHDOL]DQFRPSDUDFLRQHVHQ
WUHJUXSRV3DUDHVWRVFDVRVHVSUHIHULEOHXWLOL]DUODIUHFXHQFLDSRUFHQWXDO
(QUHODFLyQFRQHOSXQWRDQWHULRUHVPX\LPSRUWDQWHJHQHUDUODFDSDFLGDGGHUHDOL]DUDQiOL
VLVFRPSDUDWLYRVFRQLQIRUPDFLyQTXHKDVLGRSXEOLFDGDHQDOJ~QPHGLRGHFRPXQLFDFLyQ
3RUHMHPSORFRQVLGHUHODVLJXLHQWHUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DQDOLFHORVSRUFHQWDMHVGHDQDO
IDEHWLVPRSDUDGHWHUPLQDUVL
D ¢([LVWHQGLIHUHQFLDVHQORVSRUFHQWDMHVGHDFXHUGRFRQODHGDG"-XVWLILTXH
E ¢([LVWHQGLIHUHQFLDVHQORVSRUFHQWDMHVGHDFXHUGRFRQHOVH[R"-XVWLILTXH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
6HHVSHUDUtDTXHVHSXHGDLGHQWLILFDUTXHORVSRUFHQWDMHVGHDQDOIDEHWLVPRDXPHQWDQDPH
GLGDTXHODVSHUVRQDVWLHQHQPiVHGDG<TXHSDUDWRGRVORVJUXSRVGHHGDGORVSRUFHQWDMHV
GHDQDOIDEHWLVPRVRQPD\RUHVHQWUHKRPEUHVTXHHQWUHPXMHUHV(VWRVKHFKRVGHEHQVHUUH
VDOWDGRVHQHOVHQWLGRGHGLVWLQJXLUODLPSRUWDQFLDGHTXHHOVLVWHPDHGXFDWLYROOHJXHDWR
GRV ORV VHFWRUHV \ SRU LJXDO HQWUH KRPEUHV \ PXMHUHV (VWR D\XGD D GHVWDFDU ORVWHPDV GH
(GXFDFLyQLQWHJUDO\VH[XDOLGDG\9LYHQFLDGHORVGHUHFKRVKXPDQRVSDUDODGHPRFUDFLD\
ODSD]
(VLPSRUWDQWHHVER]DUSUREOHPDVHQORVFXDOHVDGHPiVGHDSUHQGHUHQHOSURFHVRGHUHVR
OXFLyQSXHGDQHQWUHWHQHUVH8QHMHPSORTXHSHUPLWHGHWHUPLQDUVLKDQDGTXLULGRHOFRQFHS
WRFOiVLFRGHSUREDELOLGDGHVHOVLJXLHQWH
6HXELFDXQUDWyQHQHOLQLFLRGHOODEHULQWRSDUDHOFXDOKD\WUHVSXHUWDVTXHFRQGXFHQDGRV
UHFLQWRV $ \ % HQ ORV TXH VH HQFXHQWUDQ WUR]RV GH TXHVR 6H VXSRQH TXH HO UDWyQ HOHJLUi
DOHDWRULDPHQWHODSXHUWD\HV LJXDOPHQWHSUREDEOHTXHHOLMDFXDOTXLHUDGHODVWUHVSXHUWDV
SHURXQDYH]TXHKD\DLQJUHVDGRSRUXQDGHHOODVQRSXHGHVDOLU\GHEHFRQWLQXDUVXFDPLQR
KDVWDHOUHFLQWRFRUUHVSRQGLHQWH'HDFXHUGRFRQHVWDVLWXDFLyQXWLOLFHSUREDELOLGDGHVSDUD
GHWHUPLQDUFXiOGHORVUHFLQWRVWLHQHPiVSUREDELOLGDGGHTXHHOUDWyQLQJUHVHHQpO
0HGLDQWH OD GHILQLFLyQ FOiVLFD GH SUREDELOLGDG TXH HVWDEOHFH TXH OD SUREDELOLGDG GH XQ
HYHQWRVHGHWHUPLQDFRPRODUD]yQRSURSRUFLyQGHFDVRVIDYRUDEOHVHQWUHHOWRWDOGHFD
VRV VH SUHWHQGH IDYRUHFHU OD FDSDFLGDG SDUD GHGXFLU DOJXQDV SURSLHGDGHV LPSRUWDQWHV (Q
ODVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVVHLQFOX\HXQSUREOHPDSDUDHOFXDOVHGHEHQGHGXFLUHVWDVSUR
SLHGDGHV HO FXDO FRUUHVSRQGH D OD VHOHFFLyQ GH ERODV GH GLIHUHQWHV FRORUHV 8Q SUREOHPD
FRQWH[WXDOL]DGRTXHSHUPLWHUHDOL]DUODPLVPDDFWLYLGDGHVHOVLJXLHQWH
&RQVLGHUH OD LQIRUPDFLyQ GHO FXDGUR SXHGH XWLOL]DU LQIRUPDFLyQ UHFROHFWDGD HQ HO PLVPR
JUXSR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
Número de personas por hogar para las y los estudiantes
de la sección ____
Número de personas
2
3
4
5
6
7
10
Total
Número de estudiantes
1
3
9
6
2
1
1
23
6XSRQJDTXHVHVHOHFFLRQDDOHDWRULDPHQWHXQDRXQHVWXGLDQWH
D 'HWHUPLQHXQHYHQWRVHJXURXQHYHQWRLPSRVLEOH\XQHYHQWRSUREDEOH
E 'HWHUPLQHODSUREDELOLGDGGHFDGDXQRGHORVHYHQWRVDQWHULRUHV
F 'HDFXHUGRFRQORDQWHULRU¢FXiOHVHOPD\RUYDORU\FXiOHOPHQRUYDORUTXHSXHGHWR
PDUODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRFXDOTXLHUD"
3RUHMHPSORXQHYHQWRLPSRVLEOHVHUtDTXHHQHO KRJDUGHODRHOHVWXGLDQWHVHOHFFLRQDGR
YLYDQSHUVRQDV'HELGRDTXHQRKD\HVWXGLDQWHVGHQWURGHHVWHJUXSRTXHFXPSODQHVWD
FRQGLFLyQODSUREDELOLGDGHVFHURORFXDOYDDRFXUULUSDUDWRGRHYHQWRLPSRVLEOH
8QHYHQWRVHJXURSRGUtDVHUTXHHQHOKRJDUGHODRHOHVWXGLDQWHVHOHFFLRQDGRYLYDQPHQRV
GHSHUVRQDV3RUVHUXQHYHQWRVHJXURWRGRHO HVWXGLDQWDGRFXPSOHHVWDFRQGLFLyQHQ
WRQFHVODSUREDELOLGDGHVXQRORFXDOVHUtDYiOLGRSDUDWRGRHYHQWRVHJXUR
)LQDOPHQWHXQHYHQWRSUREDEOHSRGUtDVHUTXHHQHOKRJDUGHFDGDHVWXGLDQWHVHOHFFLRQDGR
YLYDQPHQRVGHFLQFRSHUVRQDV'HELGRDTXHHVWXGLDQWHVFXPSOHQFRQHVWDFRQGLFLyQOD
SUREDELOLGDGVHUtD
'HDFXHUGRFRQORDQWHULRUVHGHGXFHTXHHOPHQRUYDORUTXHSXHGHWRPDUODSUREDELOLGDG
GHXQHYHQWRHVFHURHOPD\RUYDORUHVXQRSRUORTXHODSUREDELOLGDGGHFXDOTXLHUHYHQWR
HVXQQ~PHURHQWUHFHUR\XQR
Indicaciones de evaluación
$OLJXDOTXHHQHO3ULPHUFLFORODVGLIHUHQWHVDFWLYLGDGHVGHHYDOXDFLyQHVWiQGLUHFWDPHQWHYLQFX
ODGDVFRQODV LQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVTXHVH LQFOX\HQHQ ORVSURJUDPDV'HDFXHUGRFRQORDQWH
ULRU VH GHEHQ SURSRQHU SUREOHPDV TXH LQYROXFUHQ SURFHVRV GH UHFROHFFLyQ RUJDQL]DFLyQ UHVX
PHQUHSUHVHQWDFLyQ\DQiOLVLVGHGDWRVRHQVXGHIHFWRHODQiOLVLVGHODVVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV\
VX YtQFXOR FRQ ODV SUREDELOLGDGHV 3RU HVWD UD]yQ ODV HVWUDWHJLDV TXH VH YD\DQ D HPSOHDU GHEHQ
SRWHQFLDUHOWUDEDMRHVWXGLDQWLOKDFLDHVWRVSURFHVRV
'HDFXHUGRFRQORDQWHULRUGHQWURGHOPDUFRUHJXODWRULRHVWDEOHFLGRSRUHO0LQLVWHULRGH(GXFD
FLyQ3~EOLFDVHSURSRQH
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
9 3DUDHYDOXDUHOWUDEDMRFRWLGLDQRVHUHTXLHUHHVWDEOHFHUHVWUDWHJLDVTXHSHUPLWDQFXDQWLIL
FDUHOWUDEDMRTXHFDGDHVWXGLDQWHGXUDQWHODVGLVWLQWDVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDV(Q(VWDGtV
WLFDHVIXQGDPHQWDOHYDOXDUODIRUPDHQTXHVHLPSOHPHQWDQODVWpFQLFDVSDUDODUHFROHF
FLyQ GH GDWRVREVHUYDFLyQ H[SHULPHQWDFLyQ R LQWHUURJDFLyQ RUGHQDPLHQWR GH OD LQIRU
PDFLyQSRUPHGLRGHODJHQHUDFLyQGHEDVHVGHGDWRVHOXVRIUHFXHQFLDVDEVROXWDV\SRU
FHQWXDOHV ODUHSUHVHQWDFLyQ \D VHDHQ IRUPDWDEXODURJUiILFD \HOXVRGH PHGLGDV3HUR
DQWHWRGRVHUHTXLHUHHYDOXDUODIRUPDHQTXHVHLQWHUSUHWDODLQIRUPDFLyQTXHFRPXQLFDQ
ORVGDWRVHQIXQFLyQGHXQSUREOHPDSDUWLFXODU(Q3UREDELOLGDGODHYDOXDFLyQGHEHHQIR
FDUVHKDFLD OD IRUPDHQTXHFDGDHVWXGLDQWHFODVLILFD ORVHYHQWRVHQ PiVRPHQRVSURED
EOHVGHDFXHUGRFRQHOQ~PHURGHUHVXOWDGRVVLPSOHVGHFDGDXQRDGHPiVODIRUPDHQTXH
VHXWLOL]DQHVWRVUHVXOWDGRVSDUDGHWHUPLQDODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWR
9 (Q ORV WUDEDMRV H[WUDFODVH SURSRQHU SUREOHPDV TXH SHUPLWDQ HYDOXDU OD FDSDFLGDG HVWX
GLDQWLO SDUD HVWDEOHFHU HO WLSR GH DQiOLVLV HVWDGtVWLFR TXH VH UHTXLHUH 3DUD (VWDGtVWLFD HV
FRQYHQLHQWHREVHUYDUVLFDGDHVWXGLDQWHXWLOL]DODLQIRUPDFLyQREWHQLGDSDUDDUJXPHQWDU\
FRPXQLFDU VXV LGHDV HQ IXQFLyQ GH ODV LQWHUURJDQWHV GHO SUREOHPD (Q 3UREDELOLGDG ORV
SUREOHPDVGHEHQGLUHFFLRQDUVHKDFLDODUHVSXHVWDDLQWHUURJDQWHVVREUHVLWXDFLRQHVDOHDWR
ULDVRDODWRPDGHFLVLRQHVEDVDGDVHQSUREDELOLGDGHV
9 6REUHORVPLVPRVSULQFLSLRVDQWHULRUHVODVSUXHEDVHVFULWDVXRUDOHVDOLJXDOTXHVHLQGL
FyHQHO3ULPHUFLFORGHEHQLQFOXLUtWHPVRSUHJXQWDVTXHGHEHQHVWDUHQHOPLVPRQLYHO
GHODVDFWLYLGDGHVGHFODVHFRQHODMXVWHDGHFXDGRSDUDXQDSUXHEDHQIXQFLyQGHOWLHPSR
TXHVHSXHGHRWRUJDU3RUHMHPSORHQtWHPDGHFXDGRSDUDHOiUHDGH (VWDGtVWLFDHVHOVL
JXLHQWH
2EVHUYHODVLJXLHQWHUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD
7RPDGRGHKWWSZZZHVWDGRQDFLRQRUFULQGH[SKSHVWDGLVWLFDVFRVWDULFDFRPSHQGLRHVWDGLVWLFRHVWDGDPELHQWDOHV
&RQVLGHUHODVVLJXLHQWHVDILUPDFLRQHV
, (QVHSUHVHQWyHOFRQVXPRSURPHGLRPtQLPRGHHOHFWULFLGDGSRUYLYLHQGDHQ
HVWHSHUtRGR
,, $ SDUWLU GHO HO FRQVXPR SURPHGLR GH HOHFWULFLGDG SRU YLYLHQGD KD YHQLGR
GLVPLQX\HQGR
Programas de cada ciclo educativo
Segundo ciclo, Estadística y Probabilidad
,,, (QJHQHUDOVHFRQVXPLyPiVHOHFWULFLGDGHQHOTXHHQFXDOTXLHUDGHORVRWURV
DxRV
'HODVDILUPDFLRQHVDQWHULRUHVHVVRQYHUGDGHUDV
D
E
F
G
6ROR,,
6ROR,\,,
6ROR,,\,,,
7RGDV
3RUVXSDUWHHOVLJXLHQWHHVXQHMHPSORGHXQtWHPTXHVHSXHGHXWLOL]DUHQ3UREDELOLGDGVH
ODQ]DXQDPRQHGDGH₡ \XQWURPSRGHFXDWURFDUDVQXPHUDGDVGHXQRDFXDWURWDO
FRPRVHPXHVWUDHQODILJXUD
$OUHDOL]DUHVWHH[SHULPHQWRHOQ~PHURWRWDOGHUHVXOWDGRVSRVLEOHVHV
D E F G Tercer ciclo
Programas de cada ciclo Educativo
Tercer ciclo, Introducción
Introducción al Tercer ciclo
(O7HUFHUFLFORUHVXPH\DPSOtDWySLFRVTXHVHYLHURQHQODHGXFDFLyQ 3ULPDULD\ORTXHHVFHQ
WUDO ORV SUHFLVD PDWHPiWLFDPHQWH HV GHFLU ORV LQFRUSRUD HQ WpUPLQRV PiV DEVWUDFWRV \ GRQGH VH
RIUHFHMXVWLILFDFLyQPDWHPiWLFD7DPELpQFRPRFDUDFWHUtVWLFDHVHQFLDOLQWURGXFHQXHYRVFRQFHS
WRV\KDELOLGDGHVHQXQQLYHOFRJQRVFLWLYRVXSHULRU'HEHSUHVWDUVHPXFKDDWHQFLyQDODDXWRHVWL
PDTXHWLHQHHOHVWXGLDQWDGRHQVXGRPLQLRGHODV0DWHPiWLFDVSXHVHVWHQXHYRVDOWRHQDEVWUDF
FLyQ\FRPSOHMLGDGHQXQHQWRUQRTXHUHVXOWDPX\GLVWLQWRSDUDHOORVSRUPXFKDUD]RQHVSXHGH
DIHFWDUVXUHQGLPLHQWR3RUHVRPLVPRWDPELpQHVFUXFLDOHVWLPXODUODSHUVHYHUDQFLD
0HGLGDVVHGHVDUUROODUiGHXQD IRUPDWUDQVYHUVDO FRPRSDUWHGHORVSUREOHPDVTXHDSDUHFHQHQ
ODV RWUDV iUHDV HV GHFLU VH EXVFD VX SUHVHQFLD FRPR XQD GLPHQVLyQ TXH VXVWHQWH REMHWLYRV GH
FRQWH[WXDOL]DFLyQORVREMHWRVPHGLEOHVDVtFRPRHOUHIXHU]RGHRSRUWXQLGDGHVSDUDHOGHVDUUROOR
GHREMHWLYRVFXUULFXODUHVHQHVDViUHDV
0LHQWUDV 1~PHURV GLVPLQX\H VX YDORU UHODWLYR IUHQWH D ODV RWUDV iUHDV 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD
RFXSDXQOXJDUVLJQLILFDWLYDPHQWHPD\RUTXHHOTXHWXYRHQ 3ULPDULDORTXHHVFDUDFWHUtVWLFDGH
WRGDODHGXFDFLyQ6HFXQGDULD
(Q HO FDVR GH 1~PHURV VH LQFOX\HQ ORV Q~PHURV HQWHURV UDFLRQDOHV LUUDFLRQDOHV \ UHDOHV FDGD
XQRGHHVWRVVLVWHPDVQXPpULFRVSRVHHHVSHFLDOHVFRQGLFLRQHVHSLVWHPROyJLFDVSRUHMHPSORHQ
ORVHQWHURVHOQ~PHURQHJDWLYRHQ ORVUHDOHVVXQDWXUDOH]DWDQGLVWLQWDGHORVRWURVQ~PHURV6H
LQVLVWHHQVXVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV \WDPELpQHQVXFDSDFLGDGGH LQWHUYHQLUHQSUREOHPDV
GHO HQWRUQR &RQ XQD EXHQD DSUR[LPDFLyQ D ORV LUUDFLRQDOHV VH SXHGH IRUWDOHFHU HO SURFHVR GH
5D]RQDU\DUJXPHQWDUSRUHMHPSORDOPRVWUDUTXH QRHVUDFLRQDO
(Q*HRPHWUtDVHEXVFDXQHQIRTXHPiVIRUPDOGHORVFRQFHSWRV\SURSLHGDGHVDSUHQGLGDVLQWXLWL
YDPHQWHHQOD3ULPDULD\VHUREXVWHFHQORVDVSHFWRVGHGXFWLYRVTXHVXSRQH(QHVWHFLFORVHVLJXH
FRQHOWUDWDPLHQWRGHOVHQWLGRHVSDFLDOPHGLDQWHODYLVXDOL]DFLyQ\DSOLFDFLyQGHFDUDFWHUtVWLFDV\
SURSLHGDGHVGHILJXUDVJHRPpWULFDVWULGLPHQVLRQDOHV(OWHPDGHVHPHMDQ]DV\FRQJUXHQFLDVTXH
VHLQWURGXFHDSDUWLUGHKRPRWHFLDVVLHPSUHKDVLGRXQWHUUHQRIpUWLOSDUDPRVWUDUODDUJXPHQWD
FLyQPDWHPiWLFD(Qƒ$xRVHLQWURGXFHHOHVWXGLREiVLFRGHODWULJRQRPHWUtDFRQSUREOHPDVHQ
FRQWH[WRVUHDOHV(QHVWHFLFORVHSURIXQGL]DODFRQH[LyQHQWUH*HRPHWUtD\5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
(Q5HODFLRQHV\ÈOJHEUDVHLQWURGXFHQODVHFXDFLRQHVGHSULPHU\VHJXQGRJUDGRVWySLFRVTXHVH
DVRFLDQDODIXQFLyQOLQHDO\FXDGUiWLFDUHVSHFWLYDPHQWHHQƒ\ƒ$xRVHEXVFDHOGRPLQLRGH
YDULDVUHSUHVHQWDFLRQHVPDWHPiWLFDVGHODVUHODFLRQHVHVWXGLDGDV6LELHQHQODHGXFDFLyQ 3ULPD
ULDVHEXVFyLGHQWLILFDU\XVDUPRGHORVPDWHPiWLFRVVHQFLOORVSRUPHGLRGHORVFRQFHSWRV\SUR
FHGLPLHQWRVSUHVHQWHVHQHVRVQLYHOHVHGXFDWLYRVDKRUDVHGDXQVDOWRFXDOLWDWLYRHQHVRVREMHWL
YRVGHELGRDODVSRVLELOLGDGHVTXHEULQGDQORVQXHYRVREMHWRVPDWHPiWLFRVTXHVHLQWURGXFHQ(Q
HVWHFLFORVHSHUVLJXHSRWHQFLDUHOUHFRQRFLPLHQWRGHPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHHVWiQSUHVHQWHVHQ
GLYHUVRVFRQWH[WRV6HHVWDEOHFHDGHPiVXQHQIRTXHTXHIRPHQWDODVFRQH[LRQHVHQWUHODVIXQFLR
QHVHVWXGLDGDV\ODVUHODFLRQHVDOJHEUDLFDVVLPEyOLFDV\VXPDQLSXODFLyQ
(Q(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGVHSODQWHDXQHQIRTXHPiVIRUPDOGHORVFRQFHSWRV\SURSLHGDGHV
GHVDUUROODGDVHQODHGXFDFLyQ3ULPDULD\VHUHIXHU]DQODVKDELOLGDGHVSDUDODUHFROHFFLyQGHGDWRV
Programas de cada ciclo Educativo
Tercer ciclo, Introducción
LQWHUSUHWDFLyQ GH OD LQIRUPDFLyQ \ OD PHGLFLyQ HVWDGtVWLFD HQ GLYHUVDV VLWXDFLRQHV 7DPELpQ VH
SURIXQGL]DHQHOHVWXGLR\FiOFXORGH ODVSUREDELOLGDGHVFRQOD LQWURGXFFLyQGHQXHYRVFRQFHS
WRV (VWD iUHD SHUPLWH LQVLVWLU HQ OD XWLOLGDG GH ODV 0DWHPiWLFDV HQ GLIHUHQWHV iUHDV GHO FRQRFL
PLHQWR\HVPX\VHQFLOORPRWLYDUDFFLRQHVFRODERUDWLYDVHQHOGHVDUUROORGHPXFKDVGHODVWDUHDV
PDWHPiWLFDVTXHSODQWHD
Tercer ciclo, Números
Introducción
$OLQJUHVDUDO7HUFHUFLFORFDGDHVWXGLDQWHWUDHODKDELOLGDGGHFRPSDUDU\RSHUDUWDQWRQ~PHURV
QDWXUDOHVFRPRQ~PHURVFRQH[SDQVLyQGHFLPDOKDVWDODGLH]PLOpVLPD/DSRWHQFLDFLyQVHWUDEDMD
HQƒ$xRSHURFRQHMHPSORVPX\EiVLFRVSULQFLSDOPHQWHGHFXDGUDGRV\FXERVSHUIHFWRV&RQ
UHVSHFWRDODVIUDFFLRQHVGRPLQDVXVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV\VXRSHUDWRULD&RQRFHDOJXQRV
FRQFHSWRVGHODWHRUtDGHQ~PHURVFRPRSRUHMHPSORQ~PHURSULPRFRPSXHVWRGLYLVRUHVP~O
WLSORVHQWUHRWURV
/DFRQFHSWXDOL]DFLyQGHORVQ~PHURVHQWHURVUDFLRQDOHVLUUDFLRQDOHV\UHDOHVMXQWRFRQVXRSHUD
WRULDVRQWHPDVIXQGDPHQWDOHVHQHVWHFLFOR\HQWRGDODHQVHxDQ]D6HFXQGDULD
(Q HVWH FLFOR VH DERUGD HO FiOFXOR GH VXPDV UHVWDV PXOWLSOLFDFLRQHV GLYLVLRQHV SRWHQFLDFLyQ \
UDGLFDFLyQSDUDORVQ~PHURVHQWHURVUDFLRQDOHVHLUUDFLRQDOHVGDQGRXQHVSHFLDOpQIDVLVDOFiOFX
ORRSHUDWRULR\DODVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHVGHORVQ~PHURVUHDOHV6HLQWURGXFHQORVQ~PHURV
HQWHURVQHJDWLYRVHQƒ$xRORVUDFLRQDOHVHQž$xR\ORVLUUDFLRQDOHV\UHDOHVHQž$xR
(VWDiUHDWLHQHXQDFRQH[LyQGLUHFWDFRQODVRWUDViUHDVPDWHPiWLFDV0HGLGDV*HRPHWUtD5HOD
FLRQHV\ÈOJHEUD\(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDVtFRPRFRQODVRWUDVPDWHULDVTXHVHLPSDUWHQD
HVWHQLYHOSRUORTXHHVIXQGDPHQWDOVHJXLUWUDEDMDQGR ORVFRQRFLPLHQWRVUHVSHFWLYRVDWUDYpVGH
ODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV
7RGRHVWRSUHSDUDDOHVWXGLDQWHSDUDTXHSXHGDXWLOL]DUORVQ~PHURVUHDOHVHQVXVGLIHUHQWHVUHSUH
VHQWDFLRQHV\ORVDSOLTXHWDQWRHQHOFiOFXORRSHUDWRULRFRPRHQHOSODQWHDPLHQWR\UHVROXFLyQGH
SUREOHPDVHQFRQWH[WRVYDULDGRV
Propósito de la enseñanza
(O SURSyVLWR GH OD HQVHxDQ]D GH ORV 1~PHURV HQ HVWH FLFOR HV TXH HO HVWXGLDQWDGR DGTXLHUD OD
KDELOLGDGGHXWLOL]DUORVQ~PHURVUHDOHVHQFXDOTXLHUDGHVXVUHSUHVHQWDFLRQHVTXHHODERUHHVWUD
WHJLDVSDUDUHDOL]DUFiOFXORVFRQHOORV \TXHSODQWHH \UHVXHOYDSUREOHPDVHQGLYHUVRVFRQWH[WRV
HQORVTXHVHLQYROXFUHQHVWRVQ~PHURV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiQDGTXLULUVHHQ1~PHURVDOILQDOL]DUHO7HUFHUFLFORVRQ
x 5HDOL]DUFiOFXORVXVDQGRQ~PHURVUHDOHVHQVXVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV
x 8WLOL]DUFRQRFLPLHQWRVGHWHRUtDGHQ~PHURVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV
RSURSLRVGHHVWDUDPD
x 8WLOL]DU GLIHUHQWHV UHSUHVHQWDFLRQHV SDUD LGHQWLILFDU \ UHSUHVHQWDU Q~PHURV UDFLRQDOHV H LUUD
FLRQDOHV
x ,GHQWLILFDU\XWLOL]DUODSRWHQFLDFLyQ\UDGLFDFLyQHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV
x &RPSDUDUQ~PHURVUHDOHVHQVXVGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHV
x 6HOHFFLRQDU\DSOLFDUPpWRGRV\KHUUDPLHQWDVSDUDFDOFXODU\RSHUDUFRQQ~PHURVUHDOHV
x 8WLOL]DUODHVWLPDFLyQHOFiOFXORPHQWDOHOSDSHO\OiSL]RODFDOFXODGRUDVHJ~QVHDHOFDVR
SDUDHOFiOFXORGHRSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURVUDFLRQDOHV\UHDOHV
x 3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRVGRQGHVHUHTXLHUDHOXVRGHODVRSHUD
FLRQHV\UHSUHVHQWDFLRQHVQXPpULFDV
6HIRUWDOHFHUiQDFWLWXGHV\FUHHQFLDVSRVLWLYDVKDFLD ODV0DWHPiWLFDVSXHVHQHVWDiUHDVHSXHGH
HYLGHQFLDUGHPDQHUDQDWXUDOODXWLOLGDGGHODVPLVPDVPHGLDQWHSUREOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV
6HGHEHKDFHUpQIDVLVHQTXHHOWUDEDMRRSHUDWRULRFRQORVQ~PHURVXWLOL]DQGRGLIHUHQWHVUHSUHVHQ
WDFLRQHV SHUPLWH GHVDUUROODU HO SURFHVR 5HSUHVHQWDU $GHPiV DO WUDEDMDU FRQ QXHYRV Q~PHURV
QHJDWLYRVUDFLRQDOHVHLUUDFLRQDOHVVHDPSOtDODFDQWLGDGGHRSFLRQHVSDUDFRQHFWDUORVFRQRWUDV
iUHDVGHODV0DWHPiWLFDVXRWUDV&LHQFLDV3RUHMHPSORDOUHVROYHUDOJXQDVHFXDFLRQHVHQž$xR
VyOR VH SXHGH FRQVLGHUDU OD SRVLELOLGDG GH VROXFLRQHV UDFLRQDOHV PLHQWUDV TXH HQ ƒ VH SXHGHQ
FRQVLGHUDUWDPELpQODVSRVLEOHVVROXFLRQHVLUUDFLRQDOHV
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
&DOFXODU H[SUHVLRQHV XQ
1~PHURV
PpULFDV DSOLFDQGR HO FRQ
1DWXUDOHV
FHSWR GH SRWHQFLD \ OD QR
WDFLyQH[SRQHQFLDO
x 2SHUDFLR
QHV
6XPD
5HVWD
0XOWLSOL
FDFLyQ
'LYLVLyQ
3RWHQFLDV
x &RPELQD
$SOLFDU OD SULRULGDG GH ODV
FLyQGHRSH
RSHUDFLRQHVHQH[SUHVLRQHV
UDFLRQHV
TXHSUHVHQWHQFRPELQDFLyQ
GH RSHUDFLRQHV FRQ SDUpQ
WHVLVRVLQHOORV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SXHGH LQWURGXFLU HO WHPD H[SUHVDQGR FRPR UHSDVR
P~OWLSORVGHFRPRSRWHQFLDVGHEDVH/XHJRVHUHDOL]DOD
UHSUHVHQWDFLyQGHSURGXFWRVFRQIDFWRUHVLJXDOHVFRPRSRWHQFLD
\YLFHYHUVDSDUDLGHQWLILFDUOXHJRFXDGUDGRV\FXERVSHUIHFWRV
3RVWHULRUPHQWHVHWUDEDMDFRQHMHUFLFLRVEiVLFRVGHRSHUDFLRQHV
SRUHMHPSORYHULILFDUVLODVVLJXLHQWHVDILUPDFLRQHVVRQIDOVDVR
YHUGDGHUDV
± ±
˜ ˜
y y
c(VQHFHVDULRUHWRPDUORVDOJRULWPRVTXHSHUPLWHQRSHUDUFRQ
Q~PHURVQDWXUDOHV1RVHGHEHSHUGHUGHYLVWDTXHODKDELOLGDG
GH UHDOL]DU RSHUDFLRQHV FRQ HVWRV Q~PHURV VHUi QHFHVDULD SDUD
DERUGDU FRQ p[LWR HO WUDEDMR FRQ Q~PHURV HQWHURV (VWH UHSDVR
GHEH LU GLULJLGR D FRUUHJLU HUURUHV WtSLFRV TXH SXHGHQ VXUJLU
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
FXDQGRODV\ORVHVWXGLDQWHVUHVXHOYHQRSHUDFLRQHVFRPELQDGDV
(O SODQWHR GH SUREOHPDV HQ HVWH VHQWLGR SXHGH VHU XQD KHUUD
PLHQWD TXHOH SHUPLWD D FDGD HVWXGLDQWH MXVWLILFDU SURFHGLPLHQ
WRV3RUHMHPSORVHFRQVLGHUDHOVLJXLHQWHSUREOHPD
0LULDPYDDODIHULDFRQVXSDGUHSDUDFRPSUDUODVIUXWDV
TXHOOHYDUiQFRPRPHULHQGDGXUDQWHODVHPDQD(QFXHQWUDQTXH
HO &13 VXJLHUH SDUD HVD VHPDQD ORV SUHFLRV TXH EULQGD HQ OD
VLJXLHQWHWDEOD
7RPDGRGH
KWWSZHEFQSJRFULQGH[SKSLQIRUPDFLRQGHPHUFDGRVSUHFLRV
QDFLRQDOHVVHPDQDOHVVHPDQDOHVIHULDVGHODJULFXOWRU
(OORV FRPSUDQ SLxD NLORJUDPRV GH SDSD\D QDUDQMDV \
PHGLRNLORJUDPRGHPRUDV3ODQWHHXQDFRPELQDFLyQGHRSHUD
FLRQHV TXH SHUPLWD REWHQHU HO WRWDOD SDJDU VL SDJDQ VHJ~Q ORV
SUHFLRV TXH VXJLHUH HO &13 /XHJR UHVXpOYDOD 6H HVSHUD TXH
FDGDHVWXGLDQWHHVFULEDODRSHUDFLyQ
˜˜· c 8QHUURUFRP~QHVUHDOL]DUODSULPHUDRSHUDFLyQTXHDSDUHFH
GHL]TXLHUGDDGHUHFKDHQHVWHFDVRODVXPD\DGLFKRUHVXOWDGR
DSOLFDUODRSHUDFLyQVLJXLHQWH
$TXt HO PLVPR FRQWH[WR GHO SUREOHPD GHEH SURSLFLDU GH
IRUPDQDWXUDOODQHFHVLGDGGHUHDOL]DU SULPHUR ORV SURGXFWRV \
FRFLHQWHV FRUUHVSRQGLHQWHV \ ILQDOPHQWH VXPDU ORV UHVXOWDGRV
'HHVHPRGRVHSURSLFLDQRSRUWXQLGDGHVSDUDDGTXLULUFRQILDQ]D
HQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
c 'HEH LQGLFDUVH HO FDPELR GH VLPERORJtD SDUD OD PXOWLSOLFD
FLyQDKRUDVHXWLOL]DUiHOSXQWR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
Un problema como el anterior permite discutir las ventajas para la salud de una alimentación sana.
c Las operaciones combinadas no deben exceder de cuatro
términos, donde en cada uno de ellos sólo se haga uso de un
paréntesis. En el interior de cada paréntesis incluir a lo sumo
dos diferentes tipos de operaciones. Por ejemplo:
a.
b.
c.
d.
Teoría
de números
x Algoritmo
de la
división
x Divisibilidad
3. Aplicar el algoritmo de la
división en la resolución
de problemas.
24 y 8 + 5 ˜ 3 =
7 ± (5 ± 2 ˜ 2 ) =
5 (23 ± 5) ± 8 y (7 ± 2 ˜ 3) =
32 (10 y 2 + 9) ± 3 ( 12 ˜ 3) + 23(7 ± 3 ˜ 2) =
c Para trabajar con el algoritmo de la división, se puede plantear un problema como el siguiente:
Don Manuel va a poner losetas en el piso de una habitación que mide 4 metros por 3 metros, las losetas miden 30 cm
por 15 cm. Se van a colocar de forma análoga a lo que se ve en
la figura, con el lado mayor de la loseta paralelo al lado mayor
de la habitación.
x Factor
x Múltiplo
x Números
primos
x Números
compuestos
x Descomposición prima
x Mínimo
Común
Múltiplo
x Máximo
Común
Divisor
Las losetas pueden cortarse para que encajen en los extremos de
cada fila de ellas. Don Manuel le dio las dimensiones a su hijo y
éste compró 135 losetas. Si no se quiebra ninguna, ¿le alcanzarán estas losetas a don Manuel?, ¿le sobrarán?, si es así, ¿cuántas? ¿Cuántas filas de losetas habrá que colocar?, ¿cuántas
losetas por fila?
Se pide trabajar en el problema y exponer las estrategias usadas.
En todo caso, para responder a las dos últimas preguntas se
deberá emplear la división y analizar lo que sucede.
El algoritmo de la división se puede utilizar para demostraciones muy sencillas, como por ejemplo probar que todo
número natural es par o es impar. Esto permite fortalecer el
proceso Razonar y argumentar.
303
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
$SOLFDU ORV FRQFHSWRV GH
GLYLVLELOLGDG GLYLVRU IDF
WRU\P~OWLSORGHXQQ~PH
UR QDWXUDO HQ OD UHVROXFLyQ
GHSUREOHPDVHQGLIHUHQWHV
FRQWH[WRV
c /D WHRUtD GH Q~PHURV SHUPLWH UHWRPDU ORV FRQFHSWRV \ SUR
SLHGDGHVQXPpULFDVHVWXGLDGDVHQODHGXFDFLyQ3ULPDULD\GDUOHV
XQPD\RUQLYHOGHSURIXQGLGDG
c $ WUDYpV GHO XVR GH OD SUHJXQWD GLULJLGD VH SXHGHQ UHSDVDU
HVWRV FRQFHSWRV 3RU HMHPSOR HO R OD GRFHQWH ' HVFULEH HQ OD
SL]DUUD HOQ~PHUR \ SXHGH GLULJLU XQ GLiORJR FRQ VXV HVWX
GLDQWHVGHODVLJXLHQWHIRUPD
'¢4XpQ~PHURVGLYLGHQDO\SRUTXp"
(VWHU'RVSURIH\DTXHHVXQQ~PHURSDU
'&RUUHFWR¢'LFKRQ~PHURWLHQHPiVGLYLVRUHV"
$OODQ 6tHOWUHVGDGRTXHVXVFLIUDVVXPDQXQQ~PHURTXHHV
P~OWLSORGHWUHV7DPELpQHOFLQFRSXHVWHUPLQDHQFHUR
'¢(VWHQ~PHURHVP~OWLSORGH"
0HOYLQ6tSRUTXH˜ '0X\ELHQ(ORODGRFHQWHHVFULEHORVLJXLHQWH
D ˜
E ˜˜˜˜
F ˜˜
G ˜˜
' ¢&XiO GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV DQWHULRUHV FRUUHVSRQGH D OD
GHVFRPSRVLFLyQHQIDFWRUHVSULPRVGHOQ~PHUR"
;LQLD /D RSFLyQ E \ F \D TXH ODV RWUDV FRQWLHQHQ FDQWLGDGHV
TXHQRFRUUHVSRQGHQDQ~PHURVSULPRV
(O XVR GH OD SUHJXQWD GLULJLGD HQ IRUPD DGHFXDGD DFWLYD
ORV SURFHVRV &RPXQLFDU \ 5D]RQDU \ DUJXPHQWDU 3RU RWUD
SDUWHSHUPLWHIRPHQWDUXQDSUHQGL]DMHSDUWLFLSDWLYR\FRODERUD
WLYR
c /XHJR VH SXHGHQ UHVROYHU SUREOHPDV GH QLYHO GH UHIOH[LyQ
FRPR ORV SURSXHVWRV D FRQWLQXDFLyQSDUDUHIRU]DU HO PDQHMR GH
ORVFRQFHSWRV
+DOODU ORV GtJLWRV D \ E WDOHV TXH HO Q~PHUR GH FLIUDV
DEHVP~OWLSORGH'DUWRGDVODVSRVLELOLGDGHV
¢&XiQWDVFLIUDVWLHQHHOQ~PHURu"
(VFULED WRGRV ORV Q~PHURV PD\RUHV TXH \ PHQRUHV
TXHTXHWLHQHQHOSURGXFWRGHVXVGtJLWRVLJXDOD
7RPDGRGH
)XHQWHKWWSZZZPDWXVRQP[HGXDUGRHQWUVSUHVHOSGI
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
,GHQWLILFDUQ~PHURVSULPRV
\FRPSXHVWRV
6HSXHGHGHVDUUROODUHVWHWHPDSRUPHGLRGHOFRPSRQHQWH
KLVWyULFR SURSRQLHQGR LQYHVWLJDFLRQHV DFHUFD GHO XVR GH OD
&ULED GH (UDWyVWHQHV R ELHQ ORV PpWRGRV XWLOL]DGRV SRU ORV
PDWHPiWLFRVGHODDQWLJHGDGSDUDJHQHUDUQ~PHURVSULPRV3RU
HMHPSOR HO PDWHPiWLFR VXL]R (XOHU SURSXVR XQD
IyUPXODTXHVLUYHSDUDREWHQHUQ~PHURVSULPRV
() = − + 41
6LQHPEDUJRSDUDQ HOUHVXOWDGRHVXQQ~PHURFRPSXHVWR
'HVFRPSRQHU XQ Q~PHUR c Se puede plantear el siguiente problema:
FRPSXHVWR HQ VXV IDFWRUHV
SULPRV
(VFULEDWRGRVORVQ~PHURVPHQRUHVTXHHQORVTXHHO
SURGXFWRGHVXVGtJLWRVVHD
c (V LPSRUWDQWH TXH FDGD HVWXGLDQWH WHQJD FODUR FyPR GHV
FRPSRQHUXQQ~PHURHQVXVIDFWRUHVSULPRVSXHVVRQFRPXQHV
HUURUHVFRPRHOVLJXLHQWH
'HVFRPSRVLFLyQGHOQ~PHUR
)RUPDFRUUHFWD
)RUPDLQFRUUHFWD
˜˜
'RQGHQRHVXQIDFWRU
SULPR
˜
2EWHQHU HO PtQLPR FRP~Q
P~OWLSOR GH GRV Q~PHURV
DSOLFDQGR HO DOJRULWPR FR
UUHVSRQGLHQWH
2EWHQHU HOPi[LPR FRP~Q
GLYLVRU GH GRV Q~PHURV
DSOLFDQGR HO DOJRULWPR FR
UUHVSRQGLHQWH
c6HSXHGHLQWURGXFLUHOWHPDDWUDYpVGHSUREOHPDVFRPRORV
VLJXLHQWHV
/RUHQDHVXQDHVWXGLDQWHTXHXWLOL]DXQDUHGVRFLDOFDGD
GtDV6XDPLJR/XLVDFFHGHFDGDFLQFRGtDV\VXKHUPDQR$OH[
LQJUHVDFDGDGtDV6LHOORVFRLQFLGLHURQHQVXYLVLWDDHVWDUHG
VRFLDOHOGtDGHMXOLR¢HQTXpIHFKDYXHOYHQORVWUHVDFRLQFL
GLU"
'DPDULV GHVDUUROOD XQ SUR\HFWR GH ELHQ VRFLDO EULQGDQGR
D\XGD D IDPLOLDV QHFHVLWDGDV (Q VX EDUULR HOOD UHFRJLy SDTXHWHV GH IULMROHV SDTXHWHV GH DUUR] \ WLSRV GLIHUHQWHV
GH SDVWDV ILGHRV FDUDFROLWRV ODVDxD HWF (OORV TXLHUHQ KDFHU
XQSHTXHxRGLDULRTXHFRQWHQJDODPLVPDFDQWLGDGGHSURGXFWRV
FRQHOPD\RUQ~PHURGHHOORVSRVLEOHVLQTXHVREUHDOJXQR
D ¢&XiQWRV SDTXHWHV SRGUiQKDFHU FRQ HVWDV FDUDFWHUtVWL
FDV"
E ¢&XiQWRV SURGXFWRV GH FDGDWLSRDUUR] IULMROHV \ SDV
WDVWHQGUiGLFKRGLDULR"
c(VQHFHVDULRTXHVHFRPSDUWDQODVGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVTXH
XVDURQ SDUD UHVROYHU HVWD VLWXDFLyQ /XHJR VH HVWDEOHFHQ ORV
FRQFHSWRV\ORVDOJRULWPRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
1~PHURV
HQWHURV
x (QWHURV
QHJDWLYRV
x &RQFHSWR
GHQ~PHUR
HQWHUR
x 5HODFLRQHV
GHRUGHQ
x 5HFWD
QXPpULFD
x 9DORU
DEVROXWR
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
EOHPDV GRQGH VH XWLOLFH HO
PtQLPR FRP~Q P~OWLSOR \
HOPi[LPRFRP~QGLYLVRU
,GHQWLILFDU Q~PHURV HQ
WHURV QHJDWLYRV HQ FRQWH[
WRVUHDOHV
c6HSXHGHSURSRQHUSUREOHPDVDQiORJRVDORVTXHSHUPLWLHURQ
LQWURGXFLUORVSUREOHPDVGHODKDELOLGDGDQWHULRU
c 0XFKDV VLWXDFLRQHV HQ FRQWH[WRV UHDOHV SURSRUFLRQDQ LQIRU
PDFLyQTXHWLHQHTXHYHUFRQORVQ~PHURVQHJDWLYRVWHPSHUDWX
UDVXELFDFLyQVREUHREDMRHOQLYHOGHOPDU GpILFLWHFRQyPLFR
HWF$XQTXHHQPXFKDVRFDVLRQHVHVWDVVLWXDFLRQHVQRSUHVHQWDQ
H[SOtFLWDPHQWHHOVLJQRPHQRV±VHSXHGHQPRGHODUPDWHPi
WLFDPHQWH XWLOL]DQGR GLFKR VLJQR 6H SXHGH SURSRQHU LQIRUPD
FLyQFRPRODVLJXLHQWHSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHGpXQPRGHOR
Para iniciar el ascenso, se debe inspirar lentamente o
dejar entrar un poco de aire en el chaleco para comenzar a ascender. Es necesario estar de cara al compañero
para comprobar el ritmo de ascenso y el estado del
otro. Se debe controlar la cantidad de aire que entra en
el chaleco ya que la expansión de éste hará que se acelere la ascensión. Un cálculo adecuado consiste en ascender 15 metros por minuto hasta 5 metros de profundidad. En este punto muchos buceadores realizan
una parada de seguridad de 3 minutos por precaución.
Los últimos 5 metros hasta la superficie deben recorrerse en 1 minuto. Si se realiza una inmersión de descompresión, debe asegurarse que se realizan todas las
paradas de seguridad establecidas.
7RPDGRGH
KWWSEXFHDFRQPLJRFRP(ODVFHQVRGXUDQWHHOEXFHR&VDOLUGH
ODJXDBBBBBHVKWPO
3RVWHULRUPHQWHVHLPSOHPHQWDQSUREOHPDVGRQGHVHDSURYHFKH
ODVIRUPDVJUiILFDVGHUHSUHVHQWDFLyQSDUDVXVROXFLyQ
(O\DNHVXQDQLPDOTXHKDELWDHQODVPRQWDxDVGHO7LEHWD
XQRVPVREUHHOQLYHOGHOPDU\HOFDFKDORWHYLYHP
PiVDEDMR'HWHUPLQHODDOWXUDHQODTXHVXHOHYLYLUHVWH~OWLPR
5HVSXHVWDPEDMRHOQLYHOGHOPDU
/D WHPSHUDWXUDSURPHGLR HQOD FLXGDG GH 6DQ -RVp HV GH
ƒ&GXUDQWHODHVWDFLyQOOXYLRVD&LXGDGHVFRPR1XHYD<RUN
SXHGHQH[SHULPHQWDUKDVWDƒ&PHQRV'HVFULEDDTXpWHPSH
UDWXUDSXHGHHVWDUGLFKDFLXGDG5HVSXHVWDSRGUtDH[SHULPHQWDU
WHPSHUDWXUDVGHKDVWDƒ&EDMRFHUR
(VWD DFWLYLGDG SHUPLWH XVDU ODV IRUPDV GH UHSUHVHQWDFLyQ
JUiILFDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV6HGHEHXWLOL]DUHVWRSDUD
HVWDEOHFHUODH[LVWHQFLD\UHSUHVHQWDFLyQGHORVQ~PHURVHQWHURV
QHJDWLYRVDVtFRPR otros contextos reales donde suelen
ser usados.
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
3ODQWHDU \ UHVROYHU RSHUD
FLRQHV \ SUREOHPDV XWLOL
]DQGR ODV UHODFLRQHV GH
RUGHQ HQ ORV Q~PHURV HQ
WHURV
8ELFDUQ~PHURVHQWHURVHQ
ODUHFWDQXPpULFD
c6HSXHGHSODQWHDUSUREOHPDVGRQGHVHDSHOHLQWXLWLYDPHQWHDO
RUGHQDPLHQWRGHFDQWLGDGHVOXHJRHVWDEOHFHUiODVUHODFLRQHVGH
RUGHQHQORVQ~PHURVHQWHURV3RUHMHPSOR
(Q 6DQWLDJR GH &KLOH VH KD UHJLVWUDGR HO SURPHGLR PHQ
VXDO UHGRQGHDGR DO HQWHUR PiV FHUFDQR GH ODV WHPSHUDWXUDV
GXUDQWHHO~OWLPRDxRFRPRVHPXHVWUDHQODVLJXLHQWHWDEOD
0HV
7HPSHUDWXUD
(QHUR
)HEUHUR
0DU]R
$EULO
0D\R
-XQLR
-XOLR
$JRVWR
6HWLHPEUH
2FWXEUH
1RYLHPEUH
'LFLHPEUH
D
E
F
G
H
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
ƒ&
¢&XiOIXHHOPHVGRQGHKXERPHQRUWHPSHUDWXUD"
¢&XiOIXHHOPHVGRQGHKXERPD\RUWHPSHUDWXUD"
¢&XiQGR KXER PD\RU WHPSHUDWXUD HQ MXOLR R HQ QR
YLHPEUH"
2UGHQHODVWHPSHUDWXUDVGHPHQRUDPD\RU
'LEXMHXQWHUPyPHWURGRQGHVHUHSUHVHQWHQODVWHPSH
UDWXUDVFRUUHVSRQGLHQWHVDFDGDPHV
(VWH WLSR GH SUREOHPDV HVWDEOHFH FRQH[LRQHV FRQ RWUDV
iUHDV\DVLJQDWXUDV3RUHMHPSORVHSRGUtDHODERUDUXQDOtQHDGH
WLHPSR FRQ ORV DxRV HQ TXH RFXUULHURQ KHFKRV KLVWyULFRV UHOH
YDQWHVDQWHV\GHVSXpVGHQXHVWUDHUD7DPELpQXQDUHSUHVHQWD
FLyQ GH ODV WHPSHUDWXUDV SURPHGLR FDUDFWHUtVWLFD GH ORV FOLPDV
TXH VH SUHVHQWDQ HQ HO PXQGR 'HVSXpV VH SXHGH HVWDEOHFHU OD
QRFLyQGHUHFWDQXPpULFDDSDUWLUGHGLFKDVUHSUHVHQWDFLRQHV
c 3RVWHULRUPHQWH VH SXHGHQ SODQWHDU SUREOHPDV SDUD UHIRU]DU
OD FRPSUHQVLyQ GH HVWDV UHODFLRQHV HQ OD UHFWD QXPpULFD 3RU
HMHPSOR HQ OD LQWHUSUHWDFLyQ GH OD LQIRUPDFLyQ TXH RIUHFHQ
FLHUWRVJUiILFRVHVWDGtVWLFRV
(Q HO VLJXLHQWH FXDGURDSDUHFHQ ODV JDQDQFLDV R SpUGLGDV
HQFDGDPHVGHODxRGHXQDHPSUHVD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
D
E
F
G
H
I
¢(QTXpPHVHVODHPSUHVDWXYRSpUGLGDV"
¢(QTXpPHVHVODHPSUHVDWXYRJDQDQFLDV"
¢(QTXpPHVHVQRKXERQLJDQDQFLDVQLSpUGLGDV"
¢&XiOHVODJDQDQFLDWRWDOHQORVSULPHURVVHLVPHVHV"
¢&XiOHVODJDQDQFLDWRWDOHQHOVHJXQGRVHPHVWUH"
¢&XiO IXH OD VLWXDFLyQ GH OD HPSUHVD HQ ORV PHVHV GH
PD\RMXQLRMXOLR\DJRVWR"
(VWH SUREOHPD SHUPLWH HVWDEOHFHU FRQH[LRQHV FRQ
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
'HWHUPLQDU HO RSXHVWR \ HO c 6H SXHGH LQLFLDU FRQ XQ SUREOHPD TXH SHUPLWD HVWDEOHFHU OD
YDORUDEVROXWRGHXQQ~PH GLIHUHQFLD HQWUH HO YDORU UHODWLYR \ HO YDORU DEVROXWR GH XQ
URHQWHUR
Q~PHURHQWHUR3RUHMHPSOR
&DUROLQDVDOHGHVXFDVD\VHGLULJHDOKRJDUGHVXPDPi
TXHVHXELFDNPDO6XUGHOVX\R/XHJRGHVDOXGDUOD\FRQYHU
VDUFRQHOODOHLQIRUPDQTXHVXKHUPDQR$QGUpVTXLHQHVWXGLD
HQ HO H[WUDQMHUR \ OOHYDED PiV GH DxRV GH QR YLVLWDU D VX
IDPLOLD OOHJy D &RVWD 5LFD \ TXH VH HQFXHQWUD HQ VX FDVD GH
KDELWDFLyQ D P 1RUWH GH OD FDVD GH VX PDPi SRU OR TXH
HOODV VH GLULJHQ SDUD GDUOH OD ELHQYHQLGD &RQVLGHUDQGR FRPR
SXQWRGHUHIHUHQFLDODFDVDGH&DUROLQD
D 'HWHUPLQHVXXELFDFLyQDFWXDOHQPHWURV
E 'HWHUPLQHODGLVWDQFLDHQPHWURVTXHKD\HQWUHODFDVD
GH&DUROLQD\ODGHVXKHUPDQR
c 6H GHILQLUi HO YDORU DEVROXWR GH XQ Q~PHUR HQWHUR FRPR OD
GLVWDQFLDTXHH[LVWHHQWUHHOQ~PHUR\HOFHURHQODUHFWDQXPp
ULFD
c (V QHFHVDULR XWLOL]DU HO VtPEROR ³±´ VtPEROR GH UHVWDSDUD
GHQRWDUHOFiOFXORGHORSXHVWRGHXQQ~PHURGDGR$VtHORSXHV
WRGHVHGHQRWDUtDVLPEyOLFDPHQWH
± \HORSXHVWRGH
± RELHQ± Programas de cada ciclo educativo
2SHUDFLRQHV
FiOFXORV\
HVWLPDFLRQHV
x 6XPD
x 5HVWD
x 0XOWLSOLFD
FLyQ
x 'LYLVLyQ
x 3RWHQFLDV
x 5DtFHV
x &RPELQD
FLyQ GH RSH
UDFLRQHV
Tercer ciclo, Números
c (V FRQYHQLHQWH YHULILFDU ODV SURSLHGDGHV FRQ HMHPSORV
QXPpULFRV WDO FRPR XQ Q~PHUR HQWHUR \ VX RSXHVWR WLHQHQ HO
PLVPRYDORUDEVROXWR
__ __
'HVSXpV GH DVLPLODU ODV RSHUDFLRQHV FRQ Q~PHURV HQWHURV VH
SXHGHSURSRQHUODYHULILFDFLyQGHODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHV
_D˜E_ _D_˜_E_
_DE_d_D__E_
5HVROYHU SUREOHPDV DSOL c 3DUD HO FDVR GH OD VXPD \ OD UHVWD VH SXHGH HVFODUHFHU HO
FDQGR VXPDV UHVWDV PXO FRQFHSWRPHGLDQWHHOSODQWHRGHSUREOHPDV3RUHMHPSOR
WLSOLFDFLRQHV \ GLYLVLRQHV GHQ~PHURVHQWHURV
%XFHDQGR(GZLQVHHQFRQWUDEDDPEDMRHOQLYHOGHO
PDU6L(GZLQGHVFHQGLyPPiV¢DTXpSURIXQGLGDGHVWDED"
3HGURGHEHD-XDQ₡ \OHFDQFHOD₡ ¢&XiQWROHTXHGDGHELHQGR3HGURD-XDQ"
c$XQTXHSDUDUHVROYHUORVSUREOHPDVDQWHULRUHVQRVHUHTXLHUH
HVWULFWDPHQWH HO XVR GH Q~PHURV QHJDWLYRV VH GHEHUi XWLOL]DU
FRPRXQDIRUPDGHPRGHOL]DUTXHVHUi~WLOHQGLYHUVDVFLUFXQV
WDQFLDV$VtHQODHWDSDGHGLVFXVLyQVHUHSUHVHQWDUiQORVGDWRV
FRQ Q~PHURV HQWHURV SRVLWLYRV R QHJDWLYRV GH PDQHUD TXH VH
SXHGDQHQXQFLDUHVWUDWHJLDVTXHSHUPLWDQHVWDEOHFHUORVDOJRULW
PRVFRUUHVSRQGLHQWHV
c(QHOFDVRGHOSURGXFWRVHGHEHHQIDWL]DUODUD]yQGHODOH\
GHVLJQRV3DUDHOORHOGRFHQWHSXHGHSODQWHDUSUREOHPDVFRPR
HOVLJXLHQWH
'HWHUPLQHHOUHVXOWDGRGHODRSHUDFLyQ˜
6H HVSHUD TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH OD QRFLyQ GH SURGXFWR
FRPRVXPDVXFHVLYD\TXHYHULILTXHFRQRSHUDFLRQHVVLPLODUHV
TXHVHVLJXHFXPSOLHQGRODWHQGHQFLDHQHOVLJQRGHOUHVXOWDGR
˜ 6HUtD LQWHUHVDQWH LQWURGXFLU OD KLVWRULD GH ORV Q~PHURV
QHJDWLYRVDOFRPHQ]DUVXHVWXGLR
c &XDQGR VH WUDWD HO SURGXFWR GH GRV Q~PHURV HQWHURVQHJDWL
YRVVHSXHGHXWLOL]DUODQRFLyQGHQ~PHURRSXHVWRSDUDMXVWLIL
FDUHOVLJQRTXHSRVHHHOUHVXOWDGR2EVHUYH
˜ ±˜ ± ± c/DGLYLVLyQHVFRQFRFLHQWHHQWHUR\UHVLGXRFHUR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
6LPSOLILFDUFiOFXORVPH
GLDQWHHOXVRGHODVSURSLH
GDGHVGHFRQPXWDWLYLGDG\
DVRFLDWLYLGDGGHODDGLFLyQ
\PXOWLSOLFDFLyQ
c3RUHMHPSORVLVHGHVHDUHVROYHUODRSHUDFLyQ
XQHVWXGLDQWHSXHGHUHVROYHUSULPHUR
OXHJR
\ ILQDOPHQWH VH VXPDQ ORV UHVXOWDGRV (VWR VH MXVWLILFD SRU OD
FRQPXWDWLYLGDG\ODDVRFLDWLYLGDGGHODVXPD\SHUPLWHVLPSOLIL
FDUORVFiOFXORV
&DOFXODU SRWHQFLDV FX\D c(VLPSRUWDQWHODGHGXFFLyQGHODVSURSLHGDGHVGHSRWHQFLDVD
EDVH VHD XQQ~PHUR HQWHUR SDUWLU GH VX GHILQLFLyQ (VWR VH SXHGH ORJUDU SRU PHGLR GHO
\ HO H[SRQHQWH VHD XQ Q~ SODQWHRGHSUREOHPDVDQiORJRVDOVLJXLHQWH
PHURQDWXUDO
5HSUHVHQWHHOUHVXOWDGRGHODRSHUDFLyQ˜
8WLOL]DU ODV SURSLHGDGHV GH
SRWHQFLDV SDUD UHSUHVHQWDU
$TXt VH SUHWHQGH TXH DQWH OD LPSRVLELOLGDG GH EULQGDU XQ
HOUHVXOWDGRGHRSHUDFLRQHV
UHVXOWDGR VH EXVTXH XQD UHSUHVHQWDFLyQ DOWHUQDWLYD GHO UHVXOWD
FRQ SRWHQFLDV GH LJXDO ED
GR $GHPiV HV LPSRUWDQWH TXH VH FRPXQLTXHQ ODV HVWUDWH
VH
JLDVXWLOL]DGDVFRQHOILQGHORJUDUXQDSUHQGL]DMHPiVDFWLYR \
FRODERUDWLYR
/DVSURSLHGDGHVDGHGXFLUVRQ
D DP˜DQ DPQ
E
F
DPyDQ DP±Q
DPQ DP˜Q
G D Dz
c+DFHUKLQFDSLpHQODGLIHUHQFLDHQWUHODVH[SUHVLRQHVGHOWLSR
±\
\DTXHODSULPHUDUHSUHVHQWDHORSXHVWRGHUHVXOWDGRQHJDWL
YR\ODVHJXQGDTXHVHHOHYDDODGRVUHVXOWDGRSRVLWLYR
,GHQWLILFDUODUHODFLyQHQWUH c6HSXHGHQSURSRQHUSUREOHPDVWLSRUHWRPDWHPiWLFR3RU
SRWHQFLDV \ UDtFHV FRPR HMHPSOR
RSHUDFLRQHVLQYHUVDV
¢4XpQ~PHURPXOWLSOLFDGRSRUVtPLVPRYHFHVGDFRPR
UHVXOWDGR"
¢4XpQ~PHURPXOWLSOLFDGRSRUVtPLVPRYHFHVGDFRPR
UHVXOWDGR"
c/XHJRVHHVWDEOHFHODUHODFLyQH[LVWHQWHHQWUHODSRWHQFLDFLyQ
\ODUDGLFDFLyQDVtFRPRODVLPERORJtDXWLOL]DGD
(−7) = −343 ↔ √−343 = −7
c7DPELpQVHGHEHUHIRU]DUHOFRQFHSWRFRQHMHPSORVGHOWLSR
(−5) = 25 ↔ √25 = |−5| = 5
c (V LPSRUWDQWH SURSRQHU D FDGD HVWXGLDQWH HMHPSORV TXH
JHQHUHQ GLVFXVLyQ DFHUFD GH OD YHUDFLGDG GH FLHUWDV SURSRVLFLR
QHV3RUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
¢6RQFRUUHFWDVODVVLJXLHQWHVLJXDOGDGHV"
√−4 = −2, √−8 = −2
&DOFXODU OD UDt] GH XQ Q~
PHURHQWHURFX\RUHVXOWDGR
VHDHQWHUR
&DOFXODUUHVXOWDGRVGHRSH
UDFLRQHV FRQ Q~PHURV HQ
WHURV HQ H[SUHVLRQHV TXH
LQFRUSRUHQ OD FRPELQDFLyQ
GH RSHUDFLRQHV FRQ SDUpQ
WHVLVRVLQHOORV
5HVROYHUSUREOHPDVHQORV
TXH VH DSOLTXHQ ODV RSHUD
FLRQHV FRQ Q~PHURV HQWH
URV
6REUH HVWR VH SUHWHQGH TXH VH DUJXPHQWHQODVSRVLFLRQHV
WRPDQGRFRPREDVHODUHODFLyQH[LVWHQWHHQWUHODSRWHQFLDFLyQ\
ODUDGLFDFLyQ
c (Q HVWD KDELOLGDG HV IXQGDPHQWDO HO SURFHVR GH REWHQHU OD
UDt]VLQHOXVRGHODFDOFXODGRUDPHGLDQWHODGHVFRPSRVLFLyQHQ
IDFWRUHVSULPRV\HOXVRGHODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHVGHUDGLFD
OHV
|| para par
√ = para impar
= √ c/DVRSHUDFLRQHVFRPELQDGDVQRGHEHQH[FHGHUGHGRVWpUPL
QRV HQ FDGD XQR GH HOORV VyOR VH KDUi XVR GH D OR VXPR XQ
SDUpQWHVLV (Q HO LQWHULRU GH FDGD SDUpQWHVLV VyOR LQFOXLU D OR
VXPRGRVGLIHUHQWHVWLSRVGHRSHUDFLRQHV(QDOJXQRVHMHPSORV
LQFOXLU SRWHQFLDV \ UDtFHV H[DFWDV $ FRQWLQXDFLyQ DOJXQRV
HMHPSORV
D 32−√49 + 5 =
E 3(−4 + 5 ∙ −3) + 5−27 ÷ −9 − √25 =
F ((−2) + 11) − 3(16 − 9 ∙ −2) =
3RUHMHPSOR
+HUQiQ UHFLELy KR\ GH VX PDGUH ₡ DGHPiV D\HU
KDEtD SUHVWDGR D WUHV FRPSDxHURV ₡ D FDGD XQR SDUD TXH
FRPSUDUDQXQUHIUHVFRORVWUHVOHSDJDURQKR\ORTXHOHGHEtDQ
&RQ HO GLQHUR TXH DKRUD WLHQH SUHWHQGH FRPSUDU WUHV QDUDQMDV
TXHOHFXHVWDQ₡ FDGDXQD\TXLHUHWDPELpQFRPSUDUXQ&'
TXH FXHVWD ₡ 0RGHOH PHGLDQWH XQD FRPELQDFLyQ GH
RSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURVODVLWXDFLyQSURSXHVWD2EWHQ
JD HO UHVXOWDGR GH HIHFWXDU ODV RSHUDFLRQHV ¢/H DOFDQ]D D
+HUQiQHOGLQHURTXHWLHQHSDUDFRPSUDUODVQDUDQMDV\HO&'"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU Q~PHURV UDFLR
1~PHURV
QDOHV HQ GLYHUVRV FRQWH[
UDFLRQDOHV
WRV
x &RQFHSWRGH
Q~PHUR
UDFLRQDO
x 5HSUHVHQWD
FLRQHV
x 5HODFLRQHV
GHRUGHQ
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c Se pueden proponer problemas como el siguiente.
$TXtDSDUHFHQORVSUHFLRVGHORVFRPEXVWLEOHV
7RPDGRGH
KWWSZZZUHFRSHJRFULQIRBFOLHQWHVSUHFLRVBSURGXFWRV
6L HQ OD JDVROLQHUD SLGR TXH PH YHQGDQ ₡ HQ JDVROLQD
3OXV¢FXiQWRVOLWURVPHGDQ"
c 3UREOHPDV FRPR pVWH SHUPLWHQ LQWURGXFLU OD QHFHVLGDG GH
XWLOL]DURWURVQ~PHURVGLIHUHQWHVDORVHQWHURV
c &DGD HVWXGLDQWH GHEH WHQHU FODUR TXH ORV Q~PHURV HQWHURV
WDPELpQVRQQ~PHURVUDFLRQDOHV
c(VLPSRUWDQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHSXHGDUHVROYHUVLWXDFLRQHV
HQ FRQWH[WR HQ ODV TXH VHLQYROXFUH ODQRFLyQ GH GLYLVLyQ(VWR
SHUPLWLUi HQ OD HWDSD GH FODXVXUD HVWDEOHFHU VX UHSUHVHQWDFLyQ
SRU PHGLR GH IUDFFLRQHV 6H GHEHQ LPSOHPHQWDU HMHPSORV TXH
RULJLQHQ Q~PHURV HQWHURV \ QR HQWHURV QR VH GHEH ROYLGDU
FRQWHPSODUVLWXDFLRQHVTXHLQYROXFUHQQ~PHURVQHJDWLYRV3RU
HMHPSOR
6L FDPLQR P HQ GLUHFFLyQ 2HVWH \ PH GHYXHOYR XQD
FXDUWD SDUWH GH GLFKR UHFRUULGR ¢FXiQWR PH GHVSODFp FRQ UHV
SHFWRDOOXJDUGHOTXHVDOt"
-XDQ FRQWUDMR XQD GHXGD GH ₡ 6X SDGUH XQ KHU
PDQR \ XQ DPLJR GHFLGHQ D\XGDUOH D SDJDUOD SRU OR TXH VH
UHSDUWHQODGHXGDHTXLWDWLYDPHQWHHQWUHHOORVWUHV¢&XiQWRGHEH
SDJDUFDGDXQR"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
5HDOL]DUDSUR[LPDFLRQHV
GHFLPDOHVGHQ~PHURVUD
FLRQDOHV
,GHQWLILFDUORVQ~PHURVUD
FLRQDOHVUHSUHVHQWDGRVFRQ
H[SDQVLyQ GHFLPDO H[DFWD
\ FRQ H[SDQVLyQ GHFLPDO
SHULyGLFD
,GHQWLILFDU\DSRUWDU
HMHPSORVGHUHSUHVHQWD
FLRQHVGLVWLQWDVGHXQ
PLVPRQ~PHURUDFLRQDO
c ,QLFLDOPHQWH VH GHEH SURFXUDU TXH HO HVWXGLDQWH HIHFW~H
GLYLVLRQHV VLQ HO XVR GH OD FDOFXODGRUD (VWR SHUPLWH HQIDWL]DU
FyPR HV TXH VH REWLHQHQODVUHSUHVHQWDFLRQHV GHFLPDOHV GH ORV
Q~PHURVUDFLRQDOHV'HSDVRVHSXHGHYLVXDOL]DUODLQILQLWXGGH
ORVGHFLPDOHVGHDOJXQRVQ~PHURVUDFLRQDOHV
21
= 21 ÷ 4 = 5,25
4
4
= 4 ÷ 3 = 1,33333 … = 1, 3
3
9
= 9 ÷ 11 = 0,818181 … = 0, 81
11
7
= 7 ÷ 6 = 1,166666 … = 1,16
6
c (VWD QRFLyQ GH LQILQLWXG HV IXQGDPHQWDO HQ ORV Q~PHURV
UDFLRQDOHVHLUUDFLRQDOHVTXHVHWUDWDQHQHOSUy[LPRDxRHVFRODU
c$ODSUR[LPDUIUDFFLRQHVSRUPHGLRGHVXH[SDQVLyQGHFLPDO
VH GHEH DFODUDU TXH OD FDOFXODGRUD GD XQD DSUR[LPDFLyQ HQ HO
FDVR GH ORV GHFLPDOHV SHULyGLFRV SRU OR TXH OD QRWDFLyQ PH
GLDQWHHOXVRGHODUD\DGHOSHULRGRRELHQODQRWDFLyQIUDFFLRQD
ULD DVHJXUD OD H[DFWLWXG HQ OD UHSUHVHQWDFLyQ GHO Q~PHUR UDFLR
QDO
c3RUHMHPSOR = 1,4 = 1 = 1 + c6HSXHGHQLGHDUSUREOHPDVGRQGHVHKDJDXVRGHUHSUHVHQWD
FLRQHV QXPpULFDV DGHFXDGDV SDUD HO GHVDUUROOR GH DFWLYLGDGHV
FRWLGLDQDV3RUHMHPSOR
$QD HQFRQWUy HQ ,QWHUQHW XQD UHFHWD FX\RV LQJUHGLHQWHV
DSDUHFHQDFRQWLQXDFLyQ
7RPDGRGHKWWSZZZDUHFHWDVFRP
$QD PDQLILHVWD TXH QR FRPSUHQGH OD IRUPD HQ TXH DSDUHFH OD
LQIRUPDFLyQSXHVQRHVWiGHVFULWDHQODIRUPDWUDGLFLRQDO
¢'HTXpIRUPDVHSXHGHD\XGDUD$QDSDUDTXHFRPSUHQGDORV
GDWRVGHODUHFHWD"
Programas de cada ciclo educativo
5.
Comparar y ordenar números racionales en notación decimal y fraccionaria.
Tercer ciclo, Números
Usar la estimación mental y la calculadora para realizar tal
representación.
6.
Representar números racionales en la recta numérica, en cualquiera de sus
representaciones.
c Para ubicar en la recta numérica se pueden utilizar algunas
de sus representaciones:
7
= 1,4 = 1
5
0
Operaciones,
cálculos
y
estimaciones
7. Aplicar la suma y resta de
números racionales en diversos contextos.
x Suma
8.
x Resta
x Multiplicación
x División
x Potencias
x Raíces
x Combinación de
operaciones
Aplicar la multiplicación y
división de números racionales en diversos contextos.
9. Utilizar las propiedades de
conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación para simplificar
cálculos con números racionales.
10. Calcular el resultado de
sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales en cualquiera de sus representaciones.
1
7
5
3
2
c Se puede formular problemas como el siguiente:
Ademar compró 3 metros de plástico para forrar cuadernos. El necesitó 1 m para forrar algunos, su hermano Randall
utilizó 0,6 m y su hermana Hellen usó m.
a) ¿Cuánto plástico utilizaron para forrar los cuadernos?
b) ¿Cuánto plástico sobró?
c Es importante retomar lo trabajado respecto al uso de diversas representaciones de un número, así como la amplificación y
simplificación de fracciones para justificar el empleo del mínimo común múltiplo en el desarrollo de estas operaciones:
Representaciones:
6
6
1 = , 0,6 =
5
10
Operación:
6 6 1
+
+ =
5 10 3
Mínimo Común Múltiplo de 5, 10 y 3 es 30.
Amplificación de las fracciones por 6, por 3 y por 10 respectivamente:
36 18 10 64
+
+
=
30 30 30 30
Simplificación:
64 32
=
30 15
Así ellos gastaron m (aproximadamente 2,13 m).
c En la etapa de clausura o cierre, se detalla el algoritmo que
permite sumar y restar fracciones heterogéneas por medio del
Mínimo Común Múltiplo de sus denominadores.
c Se debe trabajar con suma y resta de números racionales en
cualquiera de sus notaciones.
314
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
(IHFWXDURSHUDFLRQHVFRQ
SRWHQFLDVGHEDVHUDFLRQDO
\H[SRQHQWHHQWHUR
c *HQHUDOL]DFLyQGH ODVSURSLHGDGHV YHULILFDGDV HQ ƒ$xR (V
QHFHVDULRIRUPDOL]DUODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHV
D z DQ
DD Q
§D·
E ¨ ¸
©E¹
§D·
F ¨ ¸
©E¹
&DOFXODUUDtFHVQpVLPDV
GHXQQ~PHURUDFLRQDO
Q
Q
DQ
E z EQ
Q
§E·
¨ ¸ D z E z ©D¹
c /DV UDtFHV FDOFXODGDV GHEHQ GDU FRPR UHVXOWDGR XQ Q~PHUR
UDFLRQDO
c6LHOQ~PHURUDFLRQDOHVWiUHSUHVHQWDGRHQVXIRUPDIUDFFLR
QDULDHVIXQGDPHQWDOHOSURFHVRGHREWHQHUODUDt]VLQHOXVRGH
OD FDOFXODGRUD PHGLDQWH OD GHVFRPSRVLFLyQ HQ IDFWRUHV SULPRV
GHOQXPHUDGRU\HOGHQRPLQDGRU(OGRFHQWHGHEHLQWURGXFLUHO
XVRGHODVLJXLHQWHSURSLHGDG
√
= &DOFXODUUHVXOWDGRVGHR
SHUDFLRQHVFRQQ~PHURV
UDFLRQDOHVGHH[SUHVLRQHV
GRQGHKD\DFRPELQDFLyQ
GHRSHUDFLRQHVFRQSDUpQ
WHVLVRVLQHOORV
c(QODSULRULGDGGHRSHUDFLRQHVSODQWHDURSHUDFLRQHVTXHQR
H[FHGDQORVGRVWpUPLQRV3RUHMHPSOR
3
− + 5 ÷ −1,3 =
4
c6LVHFRQWHPSODHOXVRGHSDUpQWHVLVODVH[SUHVLRQHVGHEHUiQ
FRQWHQHU FRPR Pi[LPR GRV \ TXH FDGD XQR GH HOORV FRQWHQJD
VRODPHQWHGRVWpUPLQRVGRVIDFWRUHVDORVXPRFDGDWpUPLQR
$FRQWLQXDFLyQDOJXQRVHMHPSORV
−5
1 −2 +5∙ 3
2
1
−2 −1
2 !−1,4 − 2 ÷ " − 5 ∙
− 1
4
3 4
'HVDUUROODUHVWUDWHJLDVSDUD c 'HEHQXVDUVHHMHUFLFLRVDSURSLDGRVSRUHMHPSOR
HO FiOFXOR PHQWDO GHUHVXO
−8 5
− WDGRV GH RSHUDFLRQHV FRQ
7
7
UDFLRQDOHV
−9 3
+ 4
4
1 5
− + −3
6 6
−1
∙ −4
5
6ROLFLWDU D FDGD HVWXGLDQWH MX]JDU VL ORV UHVXOWDGRV GH ODV
HVWLPDFLRQHVVRQUD]RQDEOHV\TXHDUJXPHQWHVXSRVLFLyQ .
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
6HOHFFLRQDUPpWRGRV\KH
UUDPLHQWDV DGHFXDGRV SDUD
OD UHVROXFLyQ GH FiOFXORV
VHJ~QHOSUREOHPDGDGR
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
EOHPDV HQ ORV TXH VH UH
TXLHUD GH OD DSOLFDFLyQ GH
RSHUDFLRQHV FRQ Q~PHURV
UDFLRQDOHV
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU Q~PHURV LUUD
1~PHURV
FLRQDOHV HQ GLYHUVRV FRQ
UHDOHV
WH[WRV
x 1~PHURV
LUUDFLRQDOHV
x &RQFHSWRGH
Q~PHURUHDO
x 5HSUHVHQWD
FLRQHV
x &RPSDUD
FLyQ
x 5HODFLRQHV
GHRUGHQ
x 5HFWD
QXPpULFD
c 'HSHQGLHQGR GHO SUREOHPD VH SXHGHQ XWLOL]DU GLIHUHQWHV
HVWUDWHJLDVGHFiOFXORSRUHMHPSOR
NJD₡ FDGDNLORJUDPR
&iOFXORPHQWDO
NJD₡ FDGDNLORJUDPR
3DSHO\OiSL]
&DOFXODGRUD
NJD₡ FDGDNLORJUDPR
c &RQYLHQH SURSRQHU RSHUDFLRQHV SDUD TXH ORV HVWXGLDQWHV
SODQWHHQSUREOHPDV3RUHMHPSOR
6HSLGHDODV\ORVHVWXGLDQWHVTXHSODQWHHQXQSUREOHPD
HQ HO TXH VH LQYROXFUH OD VLJXLHQWH FRPELQDFLyQ GH
RSHUDFLRQHV
2 3
∙5− ∙3
3
2
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD LQWURGXFLU ORV Q~PHURV UDFLRQDOHV VH SXHGH FRPHQ]DU
FRQHOVLJXLHQWHSUREOHPD
6XSRQJDTXHHQODVLJXLHQWHILJXUDHOVHJPHQWR%&PLGH
P¢FXiQWRPLGHHOiUHDGHOFXDGUDGR$&'("
c/DGLVFXVLyQOOHYDUiGHPDQHUDQDWXUDODFRQFOXLUTXHHOiUHD
HV P YLHQGR TXH HO FXDGUDGR HVWi FRQVWLWXLGR SRU FXDWUR
WULiQJXORVFRQJUXHQWHVGHiUHDP6LQRVHFRQRFHHOWHRUH
PDGH3LWiJRUDVQRVHVDEUiGHDQWHPDQRFXiQWRHV[ODPHGLGD
GHOODGRGHOFXDGUDGRSHURGHELGRDTXHHOiUHDHV\HOODGRHV
[HQWRQFHV[ = 2.
$FRQWLQXDFLyQVHSUHJXQWDDOJUXSRTXpWLSRGHQ~PHURHV [\
pVWHGHEHUiFRQFOXLUTXHQRHVXQQ~PHURHQWHURSXHVWRTXHQR
KD\XQHQWHURTXHPXOWLSOLFDGRFRQVLJRPLVPRGp
¢6HUiXQUDFLRQDO"(VWDSRVLELOLGDGSXHGHGHVFDUWDUVHUHDOL]DQGR
XQDGHPRVWUDFLyQTXHVHUYLUiDGHPiVSDUDUHSDVDUFRQFHSWRVGH
WHRUtDGHQ~PHURV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
)LQDOPHQWH VH FRQFOX\H TXH ORV Q~PHURV FRPR TXH QR VRQ
UDFLRQDOHV VH OODPDQ LUUDFLRQDOHV TXH VH GHQRWD SRU √2 6H
LQGLFDTXHʌHVRWURQ~PHURLUUDFLRQDO\TXHKD\PXFKRVRWURV
,GHQWLILFDU Q~PHURV GHFL
PDOHV FRQ H[SDQVLyQ GH
FLPDO LQILQLWD QR SHULyGL
FD
5HDOL]DUDSUR[LPDFLRQHV
GHFLPDOHVGHQ~PHURVLUUD
FLRQDOHV
5HFRQRFHUQ~PHURVLUUD
FLRQDOHVHQQRWDFLyQGHFL
PDOHQQRWDFLyQUDGLFDO\
RWUDVQRWDFLRQHVSDUWLFXOD
UHV
6H SXHGH LOXVWUDUSRU PHGLRGHUHVHxDVKLVWyULFDV TXH HO
VXUJLPLHQWR GH HVWH WLSR GH Q~PHURV DSDUHFH HQ OD VROXFLyQ GH
SUREOHPDVHQORVTXHORVQ~PHURVUDFLRQDOHVQRVRQVXILFLHQWHV
c /R TXH VH GHVHD HV PRVWUDU Q~PHURV GHFLPDOHV GLIHUHQWHV D
ORVQ~PHURVQDWXUDOHVHQWHURV\UDFLRQDOHV
(V LPSRUWDQWH FRQVLGHUDU HO UHFRQRFLPLHQWR GH SDWURQHV
GHFRQVWUXFFLyQTXHJHQHUHQQ~PHURVGHFLPDOHVFRQH[SDQVLyQ
LQILQLWDQR SHULyGLFDSRU HMHPSOR ³« FDGDYH]
DJUHJDUXQFHURPiVDQWHVGHHVFULELU´(VWRSHUPLWHHVWDEOH
FHUFRQH[LRQHVFRQHOiUHDGH5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
/DFDOFXODGRUDGHEHXVDUVHSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHSXHGD
REVHUYDU PiV UiSLGDPHQWH HO GHVDUUROOR VLQ HPEDUJR VH GHEH
DFODUDUTXHODFDOFXODGRUDWDQVRORRIUHFHXQDDSUR[LPDFLyQ
c6HLPSOHPHQWDUiHOSURFHGLPLHQWRGHFiOFXORGHUDtFHVYLVWR
HQ DxRV DQWHULRUHV SDUD LGHQWLILFDU DTXHOODV UDtFHV TXH FRUUHV
SRQGHQDQ~PHURVLUUDFLRQDOHV
c 6H SXHGH GHVDUUROODUXQD DFWLYLGDG SDUD REWHQHU XQDDSUR[L
PDFLyQGHH6HSLGHDFDGDHVWXGLDQWHTXHFRPSOHWHODVLJXLHQWH
WDEODFRQD\XGDGHODFDOFXODGRUD6HSXHGHH[SORUDUFRQYDORUHV
GHQPD\RUHVDORVVXPLQLVWUDGRV
Q
Q
§ ·
¨ ¸ © Q¹
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
Luego, se pueden realizar preguntas como por ejemplo,
a. ¿qué sucede conforme aumenta el valor de n?
b. ¿los resultados obtenidos son números racionales?
Finalmente, en el cierre se menciona que la actividad desarrollada es una forma de aproximar el número irracional e por
medio de números racionales y el o la docente puede proponer
la realización de una pequeña investigación acerca de sus
orígenes.
El trabajo con números irracionales puede ofrecer oportunidades para activar el proceso Razonar y argumentar. Por
ejemplo, al mostrar que √3 no es un número racional.
5. Comparar y ordenar
números irracionales representados en notación
decimal y radical.
6. Identificar números reales
(racionales e irracionales)
y no reales en cualquiera
de sus representaciones y
en diversos contextos.
c Plantear ejemplos del tipo:
a. Determine entre qué par de números enteros consecutivos se encuentra √29.
b. Determine tres números irracionales representados con
radicales que se encuentran entre los números 7 y 8.
Se puede utilizar la calculadora. Se debe hacer énfasis en
las diferentes representaciones de un número real, por ejemplo:
a.
b.
c.
1
√2
=
√2
2
= 0,707106 …
Verificar que 52 − 72 ≠ 5 − 7
Al resolver la operación 5 y 23 en la calculadora da
como UHVXOWDGR«HOFXDOVHSXHGHPalinterpretar como un número irracional, de ahí la importancia de las diferentes representaciones de un número real.
c También es importante comentar que hay números, como por
ejemplo
√−1 y √−25
que no son reales.
Se debe realizar un análisis de posibles errores que se pueden
cometer al calcular ciertas expresiones. Por ejemplo, analizar lo
incorrecto en el siguiente procedimiento:
√25 = (−5) = −5.
7. Representar números reales en la recta numérica,
con aproximaciones apropiadas.
c Usar la estimación mental o la calculadora para realizar tal
representación. Por ejemplo:
Dadas las coordenadas a, b, c, como se muestra en la
figura:
-1
$
0
%
1
2
&
318
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
coloque un punto en un lugar aproximado a
a. |a|
b. b + 1
'
c.
Cálculos y
estimaciones
8. Estimar el valor de la raíz
de un número entero.
x Suma
9. Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros consecutivos.
x Resta
x Multiplicación
c Trabajar ejemplos del tipo:
$
9
10
12
11
Un posible valor de $ es
( ) √101
( ) √10
( ) √95
( ) √80
$
x División
-4
-3
x Potencias
Un posible valor de $ es
x Radicales
( ) √−10
10. Utilizar la calculadora para
resolver operaciones con
radicales.
( ) √−6
-1
-2
( ) *
( ) √−10
c Este es uno de los usos adecuados para la calculadora, en un
tema en que no tiene sentido la realización de cálculos sin ese
tipo de soporte.
Se debe aprovechar la calculadora científica para trabajar
con expresiones con radicales. La respuesta puede darse en
cualquier representación. Además, se pueden resolver problemas como:
Hallar el valor de x en la ecuación
= 5 o - = 5
Calcule el valor de m tal que
:
5/ ∙ 5: = √3125
Cantidades
muy grandes y
muy pequeñas
11. Utilizar los prefijos del
Sistema Internacional de
Medidas para representar
cantidades muy grandes y
muy pequeñas.
12. Utilizar la calculadora o
software de cálculo simbólico como recurso en la
resolución de problemas
que involucren las unidades.
c Se muestra a continuación los prefijos del sistema internacional de medidas a utilizar:
mega (106)
micro (10- ),
giga (109)
nano (10> ),
(10 ) pico (10 ),
tera
peta(10 )
femto (10 ),
;
exa (10 )
atto (10; ),
zeta (10 )
zepto (10 ).
<
yota (10 )
c Un problema que puede ser utilizado en relación con este
tema es el siguiente:
319
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
*PDLO HV XQ VHUYLFLR GH FRUUHR HOHFWUyQLFR JUDWXLWR TXH
RIUHFH XQD FDSDFLGDG GH DOPDFHQDPLHQWR GH PiV GH *E \
*RRJOH DILUPD TXH HVWD FLIUD VHJXLUi HQ DXPHQWR 6L XQ GLVFR
FRPSDFWR&'WLHQHXQDFDSDFLGDGGHDOPDFHQDPLHQWRGH
0E ¢FXiQWRV GLVFRV FRPSDFWRV &' HTXLYDOGUtDQD OD FDSDFL
GDGGHDOPDFHQDPLHQWRGH*PDLO"
c 3DUD UHVROYHU HVWH SUREOHPD KD\ UHFRUGDU TXH XQ *LJDE\WH
HTXLYDOHD
2 = 1 073 741 824 bytes
\XQ0HJDE\WHHTXLYDOHD
2 = 1 048 576 bytes
3RU OR WDQWR OD FDSDFLGDG GH DOPDFHQDPLHQWR GH *PDLO HV GH
PiVGHGLVFRVFRPSDFWRV
c1RLQWURGXFLUHOXVRGHQRWDFLyQFLHQWtILFD
/DVQDQRPHGLGDVSXHGHQLQWURGXFLUVHDTXtPHGLDQWHXQD
EUHYHKLVWRULD\VXFRQH[LyQFRQHOXVRGH1DQRWHFQRORJtDV
/D QDQRWHFQRORJtD HV HO HVWXGLR GLVHxR FUHDFLyQ
VtQWHVLV PDQLSXODFLyQ \ DSOLFDFLyQ GH PDWHULDOHV
DSDUDWRV \ VLVWHPDV IXQFLRQDOHV D WUDYpV GHO FRQWURO
GH OD PDWHULD D QDQR HVFDOD \ OD H[SORWDFLyQ GH IH
QyPHQRV \ SURSLHGDGHV GH ODPDWHULDDQDQR HVFDOD
&XDQGR VHPDQLSXODODPDWHULD D XQD HVFDODWDQ PL
Q~VFXOD GH iWRPRV \ PROpFXODV VH GHPXHVWUDQ IH
QyPHQRV \ SURSLHGDGHV WRWDOPHQWH QXHYDV 3RU OR
WDQWR FLHQWtILFRV XWLOL]DQ OD QDQRWHFQRORJtD SDUD
FUHDU PDWHULDOHV DSDUDWRV \ VLVWHPDV QRYHGRVRV \
SRFRFRVWRVRVFRQSURSLHGDGHV~QLFDV
«
/D QDQRFLHQFLD HVWi XQLGD HQ JUDQ PHGLGD GHVGH OD
GpFDGDGHORVFRQ'UH[OHU\VXVDSRUWDFLRQHVDOD
QDQRWHFQRORJtDPROHFXODU HVWR HV OD FRQVWUXFFLyQ
GHQDQRPiTXLQDVKHFKDVGHiWRPRV \TXHVRQFDSD
FHVGHFRQVWUXLUHOODVPLVPDVRWURVFRPSRQHQWHVPR
OHFXODUHV
5LFKDUG)H\QPDQSUHPLR1REHOGH)tVLFDHVFRQVL
GHUDGRHOSDGUHGHODQDQRFLHQFLD(QSURSX
VRIDEULFDUSURGXFWRVFRQEDVHHQXQUHRUGHQDPLHQWR
GH iWRPRV \ PROpFXODV (Q HVH DxR HVFULELy XQ DU
WtFXOR TXH DQDOL]DED FyPR ORV RUGHQDGRUHV WUDEDMDQ
GRFRQiWRPRVLQGLYLGXDOHVSRGUtDQFRQVXPLUSRTXt
VLPDHQHUJtD\FRQVHJXLUYHORFLGDGHVDVRPEURVDV
«
3RGHPRV GHFLU TXH PXFKRV SURJUHVRV GH OD
QDQRFLHQFLDHVWDUiQHQWUHORVJUDQGHVDYDQFHVWHFQR
OyJLFRVTXHFDPELDUiQHOPXQGR
7RPDGRGH
KWWSZZZHXURUHVLGHQWHVFRPIXWXURQDQRWHFQRORJLDQDQRWHFQRORJLDBTXHBHVK
WP
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
Indicaciones metodológicas
Generales del ciclo
/RVFiOFXORVRSHUDWRULRVSHUPLWHQGHVDUUROODUKDELOLGDGHVRGHVWUH]DVQXPpULFDV\PD\RUHV
SRVLELOLGDGHVGHUHDOL]DUSURFHVRVGHSODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVHQFRQWH[WR'HDKtTXH
VHDYDOLRVRGDUpQIDVLVDOFiOFXORPHQWDO\DODHVWLPDFLyQ
(QHO7HUFHUFLFORHOVHQWLGRQXPpULFRHVWiHVWUHFKDPHQWHDVRFLDGRDRSHUDFLRQHV\FiOFX
ORV HVWH SHUPLWH GHFLGLU FXiO HV OD HVWUDWHJLD PiV DGHFXDGD SDUD HQIUHQWDU XQ SUREOHPD
FiOFXOR PHQWDO HVWLPDFLyQ DSUR[LPDGD WUDEDMR VLVWHPiWLFR FRQ SDSHO \ OiSL] R HO XVR GH
FDOFXODGRUDRLQFOXVRODFRPSXWDGRUD7DPELpQHVIXQGDPHQWDOODUHSUHVHQWDFLyQP~OWLSOH
GHORVQ~PHURVIUDFFLRQHVUD]RQHVRSRUFHQWDMHVHWF
(O XVR GH ORV Q~PHURV PX\ JUDQGHV R PX\ SHTXHxRV GHEH DQDOL]DUVH GHVGH VLWXDFLRQHV
FLHQWtILFDVWHFQROyJLFDVRHFRQyPLFDV3RUHMHPSORVHSXHGHQEXVFDUQRWLFLDVFRPRODVL
JXLHQWH
)XHQWHZZZQDFLRQFRP
$WUDYpVGHHVWDQRWLFLDVHSXHGHQUHDOL]DUSUHJXQWDVJHQHUDGRUDVFRPRSRUHMHPSOR
D ¢$FXiQWRHTXLYDOH0:"
E ¢$FXiQWDVFDVDV VH OHSXHGHGDUHQHUJtDHOpFWULFDFRQHVWHSUR\HFWRLQYHVWLJDUFXDQWR
FRQVXPHXQDFDVDHQSURPHGLR"
F ¢&XiOHVHOFRVWRGHOSUR\HFWRHQFRORQHV"
3DUD LQWURGXFLU ORV GLIHUHQWHV Q~PHURV VH GHEHQ SURSRQHU SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ VL
WXDFLRQHVHQFRQWH[WR(QDOJXQRVFDVRVHVWRSXHGHVHUGLItFLOHQWRQFHVXQSUREOHPD PD
WHPiWLFRLQWHUHVDQWHRXQDVSHFWRGHODKLVWRULDGHODV0DWHPiWLFDVSXHGHVHU~WLO
&XDQGRVHVXJLHUHXQSUREOHPDHVLPSRUWDQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHWHQJDHOWLHPSRVXILFLHQ
WH SDUD H[SHULPHQWDU \ FRQMHWXUDU DVt FRPR SDUDSRGHU GHVFULELU ORV UHVXOWDGRVREWHQLGRV
(QODHWDSDGHFODXVXUDGHEHFXLGDUVHTXHORVGDWRVEULQGDGRV\ODUHVSXHVWDWHQJDQVHQWLGR
UHDO
$XQTXHVHKDFHXQpQIDVLVHQORVFiOFXORVRSHUDWRULRVQRWLHQHVHQWLGRSURSRQHURSHUDFLR
QHVHQRUPHV\FRQPXFKRVSDUpQWHVLV$GHPiVHVWRQRDSRUWDPXFKRDOFRQRFLPLHQWRUHDO
GHODV\ORVHVWXGLDQWHV\SXHGHFDXVDUGLVWUDFFLRQHV\IRELDKDFLDODV0DWHPiWLFDVSXHVQR
HQFXHQWUDQHQHVWDVRSHUDFLRQHVQLSUDFWLFLGDGQLDSOLFDELOLGDGHQFRQWH[WRVUHDOHVQLLQWH
UpVPDWHPiWLFR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
/DFDOFXODGRUDFLHQWtILFDVHSXHGHXWLOL]DUDSDUWLUGH ƒ$xR(VWDHVXQDKHUUDPLHQWDTXH
SXHGHXWLOL]DUVHFXDQGRDSDUHFHQQ~PHURVPX\JUDQGHVHQORVFiOFXORVSDUDTXHODRHOHV
WXGLDQWHVHFRQFHQWUHHQORVDVSHFWRVFODYHGHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRPRODHODERUD
FLyQGHHVWUDWHJLDVODFRPXQLFDFLyQ\HODERUDFLyQGHFRQMHWXUDV7DPELpQSXHGHVHULQGLV
SHQVDEOHSDUDODFRPSUREDFLyQGHUHVXOWDGRVHQODVRSHUDFLRQHV
Sétimo año
&XDQGRVHLQWURGXFHHOFRQFHSWRGHQ~PHURQHJDWLYRVHGHEHWHQHUHQFXHQWDTXHpVWHHQ
WUDxDGLILFXOWDGHVGHWLSRFRJQLWLYR'HKHFKRODKLVWRULDDVtORUHIOHMD/DVLJXLHQWHHVXQD
EUHYHUHVHxDKLVWyULFDUHODFLRQDGDFRQHVWRVQ~PHURV
1LORVFDOFXOLVWDVEDELOyQLFRVRHJLSFLRVQLORVSHQVDGRUHVJULHJRV\QLORVPDWHPiWL
FRViUDEHVGLVSXVLHURQGHODQRFLyQJHQHUDOGHQ~PHURVQHJDWLYRV
/RVSULPHURVHQXWLOL]DUFDQWLGDGHVQHJDWLYDVIXHURQORVPDWHPiWLFRVLQGLRVTXLHQHV
GHVGHORVVLJORV9,\9,,GHQXHVWUDHUDORVHPSOHDEDQSDUDQHFHVLGDGHVFRQWDEOHV(Q
FRQWUDSRVLFLyQDORVELHQHVUHSUHVHQWDGRVFRQQ~PHURVSRVLWLYRVODVGHXGDVVHDQR
WDEDQ FRPR FDQWLGDGHV QHJDWLYDV ODV FXDOHV VH GHVYLQFXODEDQ GH OR ³FRQFUHWR´ \ GH
ODV FLUFXQVWDQFLDV TXH KDEtDQ RFDVLRQDGR VX DSDULFLyQ FRQ OR TXH VH HVWDEOHFtD DVt
XQDXWLOL]DFLyQJHQHUDOGHODVFDQWLGDGHVQHJDWLYDV
&XDOTXLHUDQRWDFLyQGHGHXGDV\GHELHQHVVyORVHSXHGHHIHFWXDUVLH[LVWHXQDVLWXD
FLyQGHHTXLOLEULRXQDVLWXDFLyQHQODTXHORVELHQHVFRPSHQVDQODVGHXGDV'LFKRGH
PDQHUDPiVJHQHUDOQRSXHGHKDEHUQ~PHURVQHJDWLYRVVLQODSUHVHQFLDGHOFHUR
8Q PLOHQLR GHVSXpV GH ORV PDWHPiWLFRV LQGLRV ODV FDQWLGDGHV QHJDWLYDV QR KDEtDQ
SRGLGRIRU]DUODVSXHUWDVGHOLPSHULRGHORVQ~PHURVHQ2FFLGHQWH3RGHPRVSUHJXQ
WDUQRVSRUTXpORVPDWHPiWLFRVRORVFDOFXOLVWDVFRQWDEOHVGH(XURSDRFFLGHQWDOTXH
GLVSRQtDQ GHO FHUR GHVGH HO VLJOR ;,9 QR SURGXMHURQ GHVGH HVWD pSRFD ORV Q~PHURV
QHJDWLYRVDOLJXDOTXHVXVKRPyORJRVLQGLRV
6HUtDQHFHVDULRHVSHUDUKDVWDILQDOHVGHOVLJOR;9SDUDYHUDSDUHFHUHQ2FFLGHQWHHQ
WHVQXPpULFRVQRSRVLWLYRVHQWHVFX\DVUHJODVGHHPSOHRVHHVWDEOHFHQ±ODVUHJODVGH
ORVVLJQRV±SHURFX\DH[LVWHQFLDFRPRFDQWLGDGHVUHDOHVHVGHFLUFRPRQ~PHURVVH
QLHJD'HVLJQDGRVFRPRQXPHULDEVXUGLGXUDQWHPXFKRWLHPSRVHUHFKD]DUiVXFRQ
VDJUDFLyQVHUFRQVLGHUDGRFRPRVROXFLRQHVSRVLEOHVGHXQDHFXDFLyQ3DUDHOSURSLR
'HVFDUWHVODUDt]GHXQDHFXDFLyQTXHQRHUDSRVLWLYDVHFRQVLGHUDEDFRPRXQD³UDt]
IDOVD´
(QFXDQWRDODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDGHXQDIXQFLyQKXERTXHHVSHUDUKDVWDPHGLD
GRVGHOVLJOR;9,,SDUDTXHHO PDWHPiWLFR LQJOpV-RKQ:DOOLVRVDUDDWULEXLUFRRUGH
QDGDVQHJDWLYDVDORVSXQWRVGHXQDFXUYD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
7H[WRHLPiJHQHVWRPDGRVGH*XHGM'(OLPSHULRGHORVQ~PHURV%OXPH%DUFHORQD
$OH[WUDSRODUHODUWH
GHODFRQWDELOLGDG
ORVFDOFXOLVWDVLQGLRV
HVWDEOHFLHURQORTXH
ORVHVFRODUHVFRQR
FtDQFRPROD³UHJOD
GHORVVLJQRV´
x 8QELHQUHVWDGR
GHHVXQDGHX
GD
D!±D ±D
x XQDGHXGD
UHVWDGDGHHV
XQELHQ
±±D D
x HOSURGXFWRRHO
FRFLHQWHGHGRV
ELHQHVRGHGRV
GHXGDVHVXQ
ELHQ
x HOSURGXFWRRHO
FRFLHQWHGHXQ
ELHQ\XQDGHXGD
HVXQDGHXGD
3URSRQHUXQDDFWLYLGDGGRQGHVHLQWURGX]FDODH[LVWHQFLDGHRWURVWLSRVGHQ~PHURVGLIHUHQ
WHV D ORV FRQRFLGRV 3RU HMHPSOR HQ HO SODQWHR GHRSHUDFLRQHV FRPR ± R ± VH
SXHGHGLVFXWLUODVUD]RQHVSDUDFRQVLGHUDUTXHGLFKDRSHUDFLyQQRWLHQHVHQWLGR\GHMDUOD
WHQWH OD LQTXLHWXG GH TXH HO UHVXOWDGR GH HVWDVRSHUDFLRQHV SXHGH VHU UHSUHVHQWDGR SRU XQ
QXHYRWLSRGHQ~PHUR
$OJXQRVSUREOHPDVSXHGHQD\XGDUHQODFRQFHSWXDOL]DFLyQGHQ~PHURQHJDWLYRSRUHMHP
SOR
$QDFRPSUyXQFHOXODUHQ ₡ \XQGLVFRHQ₡ $OOOHJDUDODFDMDVHGDFXHQWD
TXH OOHYD ₡ SDUD SDJDU ¢(V VXILFLHQWH ODFDQWLGDG GH GLQHUR TXH SRVHH $QD SDUD
SDJDU"6LQRHVVXILFLHQWH¢FXiQWRGLQHUROHKDUtDIDOWD"5HVSXHVWDQROOHYDGLQHURVXIL
FLHQWHSXHVOHKDFHQIDOWD₡ /XLVVHGLULJHDODSXOSHUtDTXHVHXELFDDPDO(VWHGHVXFDVD/XHJRYLVLWDDXQDWtD
TXHVHHQFXHQWUDDPDO6XUGHODSXOSHUtD6LVHWRPDFRPRUHIHUHQFLDODFDVDGH/XLV
GHWHUPLQHODGLUHFFLyQGHODFDVDGHODWtD5HVSXHVWDVHXELFDP2HVWHGHODFDVDGH
/XLV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
(ODOJRULWPRGHODGLYLVLyQHVWDEOHFHTXHVLDEVRQHQWHURVSRVLWLYRVHQWRQFHVH[LVWHQ~QL
FRVTUHQWHURVSRVLWLYRVWDOHVTXHE D˜TUFRQdUD$TVHOHOODPDFRFLHQWH\DU
VHOHOODPDUHVLGXR3RUHMHPSORHQODH[SUHVLyQ ˜ORVYDORUHV\VHSXHGHQ
KDOODUUHDOL]DQGRHOSURFHGLPLHQWRGHGLYLVLyQKDELWXDOy
&RQYLHQHXWLOL]DUODUHSUHVHQWDFLyQGHODVXPD\ODUHVWDGHQ~PHURVHQWHURVHQODUHFWDQX
PpULFDSDUDDILDQ]DUGHVGHRWUDSHUVSHFWLYDHVWRVDOJRULWPRV3RUHMHPSOR
D /DRSHUDFLyQVHSXHGHUHSUHVHQWDU
E /DRSHUDFLyQ±VHSXHGHUHSUHVHQWDU
GRQGHHOVtPERORGHUHVWDUHSUHVHQWDXQFDPELRGHGLUHFFLyQHQHOGHVSOD]DPLHQWRTXHVX
JLHUHHOVHJXQGRWpUPLQR(QHVWHFDVRVHGHVSOD]yKDVWD \OXHJRQRVHVLJXLyHOGHVSOD
]DPLHQWRKDFLDODL]TXLHUGDFRPRORVXJHULUtDHOQ~PHURVLQRTXHVHPRYLyHQODGLUHF
FLyQFRQWUDULD
Octavo año
(QJHQHUDOODLQWURGXFFLyQGHORVQ~PHURVUDFLRQDOHVHQž$xRUHSUHVHQWDPHQRVGLILFXO
WDGHVTXHODGHORVHQWHURVQHJDWLYRVHQž$xR(VWRVHGHEHDTXH\DVHKDQWUDEDMDGRORV
Q~PHURVIUDFFLRQDULRVDXQTXHSRVLWLYRVHQ ODHQVHxDQ]D 3ULPDULD,QWURGXFLUORVUDFLRQD
OHVQHJDWLYRVQRHVPiVTXHXQDDPSOLDFLyQGHOWLSRGHQ~PHURVDORVTXHVHOHSXHGHDVLJ
QDUXQYDORUQHJDWLYR
(VFRQYHQLHQWHSODQWHDUSUREOHPDVTXHSHUPLWDQUHVROYHUSUREOHPDVDWUDYpVGHOXVRGHODV
RSHUDFLRQHV FRQ Q~PHURV UDFLRQDOHV HVWDEOHFLHQGR FRQH[LRQHV FRQ RWUDV iUHDV 3RU HMHP
SORHVWHSUREOHPDFRQHFWDFRQHOiUHDGH*HRPHWUtD
8QWHUUHQRFXDGUDQJXODUGHYpUWLFHV$%&'VHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQ*RRJOHPDSV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
D
C
A
B
6LODTXLQWDSDUWHGHGLFKRWHUUHQRVHGHGLFDUiD]RQDVYHUGHV\WUHVRFWDYRVDXQD]RQDGH
SDUTXHR¢TXpH[WHQVLyQGHWHUUHQRTXHGDOLEUHSDUDRWURVXVRV"
3RUHMHPSORVLVHGHVHDUHVROYHUODRSHUDFLyQ
1 3 2
+ + 3 5 3
DOXWLOL]DUODDVRFLDWLYLGDG\FRQPXWDWLYLGDGVHSXHGHUHVROYHUSULPHUR
1 2
+ 3 3
ORTXHSHUPLWHVLPSOLILFDUORVFiOFXORV
8QpQIDVLVHVSHFLDOGHEHGiUVHOHDODVP~OWLSOHVUHSUHVHQWDFLRQHVSDUDORVQ~PHURVUDFLRQD
OHV(QHVWHVHQWLGRHVLPSRUWDQWHSURSRQHUSUREOHPDVTXHFRQWHQJDQLQIRUPDFLyQQXPpULFD
FRQP~OWLSOHVUHSUHVHQWDFLRQHV
Noveno año
$O FRPHQ]DU HO HVWXGLR GH ORV Q~PHURV LUUDFLRQDOHV HV DSURSLDGR SUREDU TXH√2QR HV XQ
Q~PHURUDFLRQDO(VXQDGHPRVWUDFLyQVHQFLOODTXHSXHGHVHUVHJXLGDSRUODV\ORVHVWXGLDQ
WHV\TXHUHSDVDFRQRFLPLHQWRVGHODWHRUtDGHQ~PHURV3DUDODGHPRVWUDFLyQGHTXHUDt]
FXDGUDGDGHQRHVUDFLRQDOSULPHURVHUHSDVDODGHVFRPSRVLFLyQGHORVQ~PHURVHQWHURV
HQQ~PHURVSULPRV6HSXHGHGHGXFLUTXHVLHVXQIDFWRUGHXQQ~PHURHQWHURPHQWRQFHV
P2WLHQHFRPRIDFWRUXQQ~PHURSDUGHYHFHV$KRUD
/
x 6L√2IXHUDUDFLRQDOHQWRQFHV√2 = FRQP\QHQWHURV
x (OHYDQGRDOFXDGUDGR2 =
/
x 0XOWLSOLFDQGRSRU 2 = ? x 3RU OR GLFKR DUULED P WLHQH XQ Q~PHUR SDU GH YHFHV D FRPR IDFWRU R QR OR WLHQH
PLHQWUDVTXHQWLHQHXQQ~PHURLPSDUGHYHFHVDFRPRIDFWRU
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
x &RQFOXVLyQ√2QRSXHGHVHUUDFLRQDO
(OWUDEDMRFRQQ~PHURVLUUDFLRQDOHVSXHGHSHUPLWLUDOJXQDVGHPRVWUDFLRQHVSDUDDFWLYDUHO
SURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDU3RUHMHPSORVHSXHGHUHSOLFDUORVDUJXPHQWRVGHODSUXHED
GHODLUUDFLRQDOLGDGGH√2SDUDSUREDUTXH√3WDPELpQHVLUUDFLRQDO/DFODYHGHODSUXHED
HVWi HQ HO KHFKR GH TXH OD LJXDOGDG3 = ? QR VH SXHGH FXPSOLU VL P \ Q VRQ HQWHURV
SXHVWRTXHHQHOODGRGHUHFKRKD\XQQ~PHURSDUTXHSXHGHVHUFHURGHIDFWRUHVLJXDOHVD
PLHQWUDVTXHHQHOODGRL]TXLHUGRKD\XQQ~PHURLPSDUGHIDFWRUHVLJXDOHVD
&RQ UHVSHFWR D OD UHSUHVHQWDFLyQ HQ OD UHFWD QXPpULFD GH XQ Q~PHUR LUUDFLRQDO VH SXHGH
XWLOL]DUODFDOFXODGRUDSDUDGHWHUPLQDUXQDDSUR[LPDFLyQGHOQ~PHUR\OXHJRXELFDUORHQOD
UHFWDQXPpULFD/XHJRGHHVWXGLDUHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVVHSXHGHSURSRQHUFRPRXQSUR
EOHPD HQ GRQGH VH WHQJD TXH XWLOL]DU OD UHJOD \ HO FRPSiV SDUD UHSUHVHQWDU√2\√3HQ OD
UHFWDQXPpULFDHVWRSHUPLWHFRQH[LyQFRQ*HRPHWUtDFRPRVHPXHVWUDHQODVLJXLHQWHIL
JXUDHODUFRD]XOFRUWDDOHMHHQ√2\HODUFRURMRHQ√3
(QOD$QWLJHGDGORVPDWHPiWLFRVEXVFDEDQH[SUHVDUFDQWLGDGHVGDGDVFRPRHOFRFLHQWHGH
GRVQ~PHURVQDWXUDOHV3LWDJyULFRV\DQWHLQFRQVLVWHQFLDVHQFRQWUDGDVSDUDFDVRVSDUWLFX
ODUHVKXERTXHGHVDUUROODUXQDQXHYDWHRUtDTXHLQYROXFUDEDODPDQLSXODFLyQGHRWURVWLSRV
GHQ~PHURV6HSXHGHPHQFLRQDUXQDEUHYHKLVWRULDGHDOJXQRVQ~PHURVLUUDFLRQDOHVFRPR
SRUHMHPSOR
D /DOH\HQGDVREUH+LSDVRGH0HWDSRQWRD&TXLHQVHFUHHIXHHOSULPHURHQGHV
FXEULUODH[LVWHQFLDGHQ~PHURVLUUDFLRQDOHVDOGHVFXEULUTXHQRVHSRGtDH[SUHVDUODUD
]yQHQWUHODGLDJRQDO\HOODGRGHXQFXDGUDGRODFXDOFRUUHVSRQGHDOQ~PHURGHQRWDGR
DFWXDOPHQWH FRPR√2 (VWH KHFKR JHQHUy VX H[SXOVLyQ GH OD (VFXHOD 3LWDJyULFD \ VX
FRQGHQDDPXHUWH
E +XERQXPHURVRVLQWHQWRVIDOOLGRVHQOD$QWLJHGDGSRUH[SUHVDUODUD]yQHQWUHODPHGLGD
GHODFLUFXQIHUHQFLD\VXGLiPHWURFRPRXQDPHGLGDUDFLRQDOKDVWDTXHHQHOPD
WHPiWLFRDOHPiQ -RKDQQ+/DPEHUW ±GHWHUPLQy OD LUUDFLRQDOLGDGGHO Q~
PHUR@
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
F 8QQ~PHURLUUDFLRQDOTXHDSDUHFHHQODQDWXUDOH]DHQHODUWH\HOGLVHxRHVHOGHQRPLQD
GRQ~PHURiXUHRTXHVHUHSUHVHQWDFRQODOHWUDJULHJDI (fi) HQKRQRUD)LGLDV
D&HVFXOWRUJULHJRGHOD$QWLJHGDGTXLHQORXVyHQVXVREUDV
Indicaciones de evaluación
(QFXDQWRDOWUDEDMRFRWLGLDQRHVLPSRUWDQWHHYLGHQFLDUHOSURJUHVRHVWXGLDQWLODOWUDEDMDUWySLFRV
UHODFLRQDGRVFRQODVRSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURVUDFLRQDOHVHLUUDFLRQDOHVSDUWLFXODUPHQWH
HQORFRQFHUQLHQWHDVXGHVHQYROYLPLHQWRHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVGHOHQWRUQR(VUHFRPHQ
GDEOH TXH ODV RSHUDFLRQHV HVWpQ DVRFLDGDV D SUREOHPDV FRQ XQ FRQWH[WR FHUFDQR D OD UHDOLGDG
HVWXGLDQWLO SDUD DVt HYDOXDU GLIHUHQWHV QLYHOHV GH FRPSOHMLGDG UHSURGXFFLyQ FRQH[LyQ \ UHIOH
[LyQ\QRVyORRSHUDFLRQHVUHSUHVHQWDGDVVLPEyOLFDPHQWH
3DUDHOWUDEDMRH[WUDFODVHVHSXHGHQDVLJQDUWDUHDVTXHSHUPLWDQVHJXLUDFWLYDQGRORVSURFHVRVGH
5D]RQDU \ DUJXPHQWDU \ 5HSUHVHQWDU HQ WHPiWLFDV FRPR OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV SRU PHGLR
GHO XVR GH ODV RSHUDFLRQHV EiVLFDV \ ORV FRQFHSWRV GH WHRUtD GH Q~PHURV 3DUD DOJXQDV GH ODV
KDELOLGDGHVTXHVXJLHUHQHQVXVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHVXQDERUGDMHSRUPHGLRGHOXVRGHOD+LV
WRULD GH ODV 0DWHPiWLFDV VH SXHGH HODERUDU XQD SHTXHxD LQYHVWLJDFLyQ FX\R DOFDQFH VH GHILQD
SUHYLDPHQWH3RUHMHPSOR DOHVWXGLDUVH ODFULEDGH(UDWyVWHQHV VHSXHGHSURSRQHULQYHVWLJDUVX
RULJHQ\UHFRSLODURWURVDSRUWHVUHDOL]DGRVSRUHVWHPDWHPiWLFR
3DUDHVWHFLFORODHYDOXDFLyQHQHOiUHDGH1~PHURVGHEHWHQHUSUHVHQWHVODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLR
QHV
9 (QHOFiOFXORGHRSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURVUDFLRQDOHV\UDGLFDOHVODVRSHUDFLRQHV
GHEHQVHUVHQFLOODV\FRQODFDQWLGDGGHSDUpQWHVLVTXHVHHVWDEOHFHQHQODVLQGLFDFLRQHV
(OQLYHOGHODVRSHUDFLRQHVGHEHVHUFRKHUHQWHFRQORWUDEDMDGRHQHODXOD
9 (Q HVWH FLFOR VH VHJXLUi HYDOXDQGR OD DSOLFDFLyQ GH ODV RSHUDFLRQHV HQ OD UHVROXFLyQ GH
SUREOHPDV JHQHUDOL]DQGR D Q~PHURV HQWHURV UDFLRQDOHV H LUUDFLRQDOHV HQ FXDOTXLHUD GH
VXVUHSUHVHQWDFLRQHV
9 /DFDOFXODGRUDHV~WLOHQODVLPSOLILFDFLyQGHFiOFXORVFRPSOHMRVRH[WHQVRV\QR VHGHEH
XVDU SDUD UHVROYHU HMHUFLFLRV EiVLFRV GH RSHUDFLRQHV 3DUD HYDOXDU HO XVR FRUUHFWR GH OD
FDOFXODGRUDVHSXHGHUHDOL]DUXQDVHFFLyQHQHOH[DPHQXQSUREOHPDRYDULRVGRQGHHO
XVRGHHVWHLQVWUXPHQWRIDFLOLWHVXUHVROXFLyQ
9 (QODVSUXHEDVHVFULWDVHVPX\LPSRUWDQWHLPSOHPHQWDUtWHPVTXHLQWHJUHQYDULDVKDELOL
GDGHV /D PD\RUtD GH FRQRFLPLHQWRV VH SXHGHQ HYDOXDU D XQ QLYHO GH UHSURGXFFLyQ 6LQ
HPEDUJRFRQRFLPLHQWRVDOXVLYRVDUHVROXFLyQGHSUREOHPDVGRQGHVHDSOLTXHQODVRSHUD
FLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURV\UDFLRQDOHV0i[LPR&RP~Q'LYLVRU\0tQLPR&RP~Q0~O
WLSORDVtFRPRODFRPELQDFLyQGHRSHUDFLRQHVFRQQ~PHURVHQWHURV\UDFLRQDOHVGHEHQVHU
HYDOXDGRV HQ OD SDUWH GH GHVDUUROOR XWLOL]DQGR tWHPV FRQ XQ QLYHO GH GLILFXOWDG GH FRQH
[LyQ\UHIOH[LyQ$FRQWLQXDFLyQDOJXQRVHMHPSORV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Números
6LQXWLOL]DUODFDOFXODGRUDRUGHQHGHPD\RUDPHQRUORVVLJXLHQWHVQ~PHURV
(QVHJXLGDVHRIUHFHXQFXDGURTXHPXHVWUDODH[WHQVLyQHQNPTXHWLHQHFDGDXQDGHODV
SURYLQFLDVGH&RVWD5LFD
Provincia
Extensión
(km2)
San José
4965,9
Alajuela
9757,5
Heredia
2657,9
Cartago
3124,6
Limón
9188,2
Guanacaste 10 140,7
Puntarenas 11265,6
&RQEDVHHQHVDLQIRUPDFLyQUHVSRQGDORVLJXLHQWH
D¢&XiOHVODUD]yQHQWUHODVXSHUILFLHGHODVSURYLQFLDVTXHWLHQHQFRVWDVFRQUHVSHFWRD
ODVTXHQRODVWLHQHQ"
E ¢&XiO HV OD UD]yQ HQWUH OD VXSHUILFLH GH ODV SURYLQFLDV TXH OLPLWDQ FRQ 1LFDUDJXD FRQ
UHVSHFWRDODVTXHOLPLWDQFRQHO2FpDQR3DFtILFR"
Tercer ciclo, Geometría
Introducción
$OLQJUHVDUDHVWHFLFORODV\ORVHVWXGLDQWHVWLHQHQODKDELOLGDGGHUHFRQRFHUILJXUDVJHRPpWULFDV
LGHQWLILFDUVXVHOHPHQWRVFRQVWLWX\HQWHV\UHDOL]DUDOJXQDVFRQVWUXFFLRQHVVHQFLOODVDGHPiV VRQ
FDSDFHV GH UHFRQRFHU \ DSOLFDU GLIHUHQWHV FDUDFWHUtVWLFDV GH ORV WULiQJXORV \ ORV FXDGULOiWHURV
LQFOX\HQGRHOFiOFXORGHVXVSHUtPHWURV\iUHDV'HEHQWHQHUXQFRQRFLPLHQWREiVLFRGHGLYHUVRV
SROtJRQRV\GHODFLUFXQIHUHQFLDUHFRQRFHUORVFXHUSRVVyOLGRV\SRGHUHVWDEOHFHUDOJXQDVFRQH
[LRQHVHOHPHQWDOHVHQWUHHOORV\ODVILJXUDVSODQDVSRUPHGLRGHSUREOHPDV
(QHVWHFLFORVHUHIRU]DUiQHVWDVKDELOLGDGHV\VHDYDQ]DUiHQSURIXQGLGDGHQHOFRQRFLPLHQWRGH
FDUDFWHUtVWLFDV \ SURSLHGDGHV GH ODV ILJXUDV JHRPpWULFDV 3DUWLFXODUPHQWH VH SURIXQGL]DUi HQ OD
DEVWUDFFLyQ \DXQTXHQRVHSUHWHQGHXQHVWXGLRD[LRPiWLFRGHOD PLVPDVt VHGDUipQIDVLVD OD
DUJXPHQWDFLyQ GHGXFWLYD 7DPELpQ VH LQWURGXFLUiQ QRFLRQHV GH JHRPHWUtD DQDOtWLFD \ OD QRFLyQ
GHWUDQVIRUPDFLyQJHRPpWULFDHQHOSODQRPHGLDQWHODKRPRWHFLDGHSXQWRV\ILJXUDVSROLJRQDOHV
(VWHWHPD HV GH VXPD WUDVFHQGHQFLD QR VyOR SDUD LQWURGXFLU ODV QRFLRQHV EiVLFDV GH VHPHMDQ]D
FRPRSXQWRViQJXORV\VHJPHQWRVKRPyORJRVVLQRWDPELpQSDUDYLVXDOL]DUORV³PRYLPLHQWRVGH
REMHWRV´HQHOSODQR$GHPiVHOGHVDUUROORGHKDELOLGDGHVUHIHULGDVDHVWHWHPD WLHQHJUDQUHOH
YDQFLDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVGHGLIHUHQWHtQGROH\HQDFWLYLGDGHVFRPRHODUWH\HOGLEXMR
WpFQLFRHQWUHRWUDV
&RQUHVSHFWRDOGHVDUUROORGH ODFRQJUXHQFLD \ ODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORVQRVHTXLHUHSDUWLUHO
WHPD HQ GRV VLQR PiV ELHQ KDFHU XQ YtQFXOR FRQ HO WHPD GH OD KRPRWHFLD SDUD DVt HQWHQGHU OD
FRQJUXHQFLDGHWULiQJXORVFRPRODKRPRWHFLDGHUD]yQRDSOLFDGDDXQGHWHUPLQDGRWULiQJXOR
\ODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORVFRPRODKRPRWHFLDGHUD]yQGLIHUHQWHGHR /DLPSRUWDQFLDGH
ORVFULWHULRVGHFRQJUXHQFLD\VHPHMDQ]DUDGLFDHQTXHVHUYLUiQFRPRKHUUDPLHQWDVSDUDODDUJX
PHQWDFLyQGHORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVSRUODV\ORVHVWXGLDQWHVHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHV
SRUHVWRTXHVHGHEHHQIDWL]DUHQHOYRFDEXODULR\ODVLPERORJtDPDWHPiWLFD
$VLPLVPRHVIXQGDPHQWDOODDSOLFDFLyQGHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV\HVSD
FLRVFRPRSRUHMHPSORHQHOFiOFXORGHODGLDJRQDOGHXQDFDMDWUHVGLPHQVLRQHVRHQILJXUDVHQ
HOSODQRGHFRRUGHQDGDV$GHPiVODXWLOL]DFLyQGHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVHQHOSODQRFRRUGHQDGR
ORJUDUi LQWURGXFLU GH IRUPD QDWXUDO OD IyUPXOD GH OD GLVWDQFLD HQWUH GRV SXQWRV FRQRFLHQGR VXV
FRRUGHQDGDVDOYLVXDOL]DUVHFRPRXQFDVRSDUWLFXODUGHpVWH
/RDQWHULRUSUHSDUDSDUDXQHVWXGLRHQPD\RUSURIXQGLGDGGHRWUDVWUDQVIRUPDFLRQHVHQHOSODQR
TXHVHUHDOL]DUiHQHO&LFORGLYHUVLILFDGR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRHQ*HRPHWUtDSDUDHVWHFLFORHVSURIXQGL]DUHOFRQRFLPLHQWRGHSURSLHGDGHVGH ODV
ILJXUDV JHRPpWULFDV LQWURGXFLU HO HVWXGLR EiVLFR GH OD WULJRQRPHWUtD \ DPSOLDU OD FDSDFLGDG GH
DEVWUDFFLyQ\UD]RQDPLHQWRPDWHPiWLFR
Habilidades generales
/DV KDELOLGDGHV JHQHUDOHV TXH GHEHUiQ VHU DGTXLULGDV HQ *HRPHWUtD DO ILQDOL]DU HO 7HUFHU FLFOR
VRQ
x ,GHQWLILFDUUHODFLRQHVHQWUHORVFRQFHSWRVEiVLFRVGHODJHRPHWUtDSXQWRVUHFWDVVHJPHQWRV
UD\RViQJXORV
x $SOLFDUGLYHUVDVSURSLHGDGHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDV
x 8WLOL]DUQRFLRQHVEiVLFDVGHJHRPHWUtDDQDOtWLFD
x $SOLFDU ODV UD]RQHV WULJRQRPpWULFDV EiVLFDV VHQR FRVHQR WDQJHQWH \ ODV UHODFLRQHV HQWUH
HOODVHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV
x 9LVXDOL]DU\DSOLFDUFDUDFWHUtVWLFDV\SURSLHGDGHVGHILJXUDVJHRPpWULFDVWULGLPHQVLRQDOHV 6H IRUWDOHFHUiQ ODV FLQFR DFWLWXGHV FHQWUDOHV TXH SODQWHD HVWH FXUUtFXOR (Q OD UHVROXFLyQ GH ORV
SUREOHPDV VH EXVFD HO XVR GH OD LQWXLFLyQ \ OD SXHVWD HQ SUiFWLFD GH KDELOLGDGHV DGTXLULGDV VLQ
HPEDUJRWDPELpQVHTXLHUHLUPiVDOOiGHORDOFDQ]DGRSRUODLQWXLFLyQLQWURGXFLHQGRFRQFHSWRV\
GHVDUUROODQGRKDELOLGDGHVQXHYDV(VYLWDOHOIRPHQWDUODSHUVHYHUDQFLDDOHQIUHQWDUSUREOHPDVHQ
ORVTXHVHUHTXLHUDXQD LQWHJUDFLyQGHKDELOLGDGHV\XQ PD\RUDQiOLVLV3DUDHQIUHQWDUFRQp[LWR
HVWDVFRQGLFLRQHVHVIXQGDPHQWDOODSDUWLFLSDFLyQDFWLYD\FRODERUDWLYD
+LVWyULFDPHQWHOD*HRPHWUtDKDHVWDGRDVRFLDGDDILQHVSUiFWLFRV\DODVQHFHVLGDGHVWpFQLFDVGH
OD pSRFD GHVDUUROODQGR FRQRFLPLHQWRV FRQFUHWRV \ SUiFWLFRV HQ GLVWLQWDV iUHDV \ HQ GLYHUVRV
RILFLRV8QDDFWLWXGGHFRQILDQ]DHQODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDVVHSXHGHUHDOL]DUFRQIDFLOLGDG
SRUPHGLRGHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV\UHODFLRQDGRVFRQHOHQWRUQR&RQHVWRVHORJUDUiXQD
PD\RUDXWRHVWLPDHQUHODFLyQFRQHOGRPLQLRGH ODV0DWHPiWLFDV\HOUHVSHWRDSUHFLR\GLVIUXWH
GHODVPLVPDV
(QFXDQWRDORVSURFHVRV3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVVHGHVDUUROODUiHQtQWLPDFRQH[LyQFRQ
0HGLGDV\FRQRWUDViUHDVFRPRHOÈOJHEUDOD)tVLFDODV&LHQFLDV6RFLDOHVHQWUHRWURVSRUTXHVH
EXVFD TXH ORV SUREOHPDV SURSXHVWRV QR HVWpQ DLVODGRV GH OD UHDOLGDG VLQR PiV ELHQ TXH HVWpQ
LQWUtQVHFDPHQWHFRQHFWDGRVFRQDFWLYLGDGHVKXPDQDVGRQGHVHQHFHVLWHQORVFRQRFLPLHQWRVJHR
PpWULFRV/D PD\RUtDGHREMHWRVJHRPpWULFRVVRQPHGLEOHV \SRUHVROD PD\RUFDQWLGDGGHSUR
EOHPDVSXHGHQXWLOL]DUXQLGDGHVGHPHGLGDSDUDDVtWUDEDMDUWUDQVYHUVDOPHQWHHOiUHDGH0HGLGDV
7DPELpQVHIRUWDOHFHUiHOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDUHQXQQLYHOEiVLFR/DV\ORVHVWXGLDQWHV
SRGUiQ UHVSDOGDU VXV UD]RQDPLHQWRV \ FRQFOXVLRQHV FRQ DUJXPHQWRV PDWHPiWLFRV YiOLGRV \ SR
GUiQKDFHUDOJXQDVGHPRVWUDFLRQHVVHQFLOODV3RUHMHPSORSRGUiQSUREDUTXHGRVWULiQJXORVVRQ
VHPHMDQWHVFRQDOJ~QFULWHULRGHVHPHMDQ]DYiOLGRRXVDQGRODVFRRUGHQDGDVGHORVYpUWLFHVGHXQ
WULiQJXOR SRGUiQ FODVLILFDUORV GH DFXHUGR FRQ OD PHGLGD GH VXV iQJXORV \ FRQ OD PHGLGD GH VXV
ODGRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
&RQRFLPLHQWRV
EiVLFRV
x 3XQWR
3XQWRV
FROLQHDOHV\
QRFROLQHD
OHV
3XQWRV
FRSODQDUHV\
QRFRSODQD
UHV
3XQWRPHGLR
x 5HFWD
6HJPHQWR
6HPLUUHFWD
5D\R
5HFWDV
FRQFXUUHQWHV
5HFWDV
SDUDOHODV HQ
HOSODQR
5HFWDV
SHUSHQGLFX
ODUHV HQ HO
SODQR
x 3ODQR
9LVXDOL]DFLyQ
HVSDFLDO
x &DUDV
x $ULVWDV
x 9pUWLFHV
x 5HFWDV \
VHJPHQWRV
SDUDOHORV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU HQ GLEXMRV \
REMHWRVGHOHQWRUQRSXQWRV
VHJPHQWRV UHFWDV VHPL
UUHFWDVUD\RVSODQRVSXQ
WRVFROLQHDOHV\QRFROLQHD
OHVSXQWRVFRSODQDUHV\QR
FRSODQDUHV
,GHQWLILFDU \ ORFDOL]DU HO
SXQWR PHGLR GH XQ VHJ
PHQWR
,GHQWLILFDU \ WUD]DU UHFWDV
SDUDOHODV SHUSHQGLFXODUHV
FRQFXUUHQWHV HQ GLIHUHQWHV
FRQWH[WRV
8WLOL]DUODQRWDFLyQVLPEy
OLFDGHFDGDFRQFHSWRHVWD
EOHFLHQGR UHODFLyQ FRQ VX
UHSUHVHQWDFLyQJUiILFD
(QXQFLDU UHODFLRQHV HQWUH
ORV FRQFHSWRV JHRPpWULFRV
PHGLDQWH QRWDFLyQ VLPEy
OLFD
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c$OJXQRVGHHVWRVFRQFHSWRVIXHURQYLVWRVHQ3ULPHU\6HJXQ
GR FLFORV ORTXH VHSUHWHQGHDKRUD HV SURIXQGL]DU HQ HOORV YHU
VX UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD \ HVWDEOHFHU VX QRWDFLyQ /XHJR TXH
VH LQWHUSUHWH OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH ORV FRQFHSWRV HQ
REMHWRV GHO HQWRUQR VH SXHGH WDPELpQLGHQWLILFDUORV HQ GLEXMRV
SURSXHVWRVFRPRHOVLJXLHQWH
6L HO SHQWiJRQR TXH PXHVWUD OD ILJXUD HV UHJXODU LGHQWLILFDU \
HVFULELUODQRWDFLyQGH
D 8QVHJPHQWR
E 8QDUHFWD
F 8QDVHPLUUHFWD
G 8QUD\R
H 7UHVSXQWRVFROLQHDOHV
I 7UHVSXQWRVQRFROLQHDOHV
J 'RVUHFWDVFRQFXUUHQWHV
K 'RVUHFWDVSHUSHQGLFXODUHV
L 'RVUHFWDVSDUDOHODV
5HFRQRFHU HQ ILJXUDV WUL c(VWRVLJXHDORHVWXGLDGRSUHYLDPHQWHLQFOXVRSXHGHLGHDUVH
GLPHQVLRQDOHV GLYHUVRV H XQDDFWLYLGDGTXHSHUPLWDLQWURGXFLUORVFRQFHSWRVEiVLFRVGHOD
OHPHQWRV FRPR FDUDV D JHRPHWUtDSODQD HQ HO FRQWH[WR GHOUHSDVR GHORV HOHPHQWRV GHO
ULVWDVYpUWLFHV
FXERTXHIXHURQHVWXGLDGRVHQFLFORVDQWHULRUHV
(VWDEOHFHU UHODFLRQHV HQWUH c$SDUWLUGHXQFXERFRPRHOVLJXLHQWH
ORV GLYHUVRV HOHPHQWRV GH
ILJXUDV WULGLPHQVLRQDOHV
YpUWLFHV FDUDV \ DULVWDV
UHFWDV \ VHJPHQWRV SDUDOH
ORV \ SHUSHQGLFXODUHV SOD
QRV SDUDOHORV \ SHUSHQGL
FXODUHV
Programas de cada ciclo educativo
x
x
x
Tercer ciclo, Geometría
5HFWDV\
VHJPHQWRV
SHUSHQGL
FXODUHV
3ODQRV
SDUDOHORV
3ODQRV
SHUSHQGL
FXODUHV
VHSXHGHQUHDOL]DUSUHJXQWDVFRPRpVWDV
D ¢4XpDULVWDVFRPSDUWHQHOSXQWRYpUWLFH&"
E ¢4XpSDUHVGHSODQRVVRQSDUDOHORV"
F ¢4XpSDUHVGHSODQRVVRQSHUSHQGLFXODUHV"
G 6HxDOHXQSDUGHUHFWDVSDUDOHODV
H 6HxDOHXQSDUGHUHFWDVSHUSHQGLFXODUHV
(VWDV SUHJXQWDV SXHGHQ UHVSRQGHUVH GH PDQHUD LQWXLWLYD \
SHUPLWLUiQ HVWDEOHFHU ORV FRQFHSWRV DSURSLDGRV \ OD QRWDFLyQ
FRUUHVSRQGLHQWH
5HFRQRFHUHQGLIHUHQWHV
c6HGHEHQDSURYHFKDUHVWRVFRQWHQLGRVSDUDUHSDVDUHOFRQFHS
ÈQJXORV
FRQWH[WRViQJXORVOODQRV
WR GH iQJXOR \ OD FODVLILFDFLyQ GHORV PLVPRV \D HVWXGLDGRV HQ
DG\DFHQWHVORVTXHIRUPDQ SULPDULD6HDJUHJDUiHOiQJXOROODQR
x /ODQR
SDUOLQHDO\ORVRSXHVWRV
SRUHOYpUWLFH
c6HSXHGHQXWLOL]DUDOJXQRVFRQFHSWRVGHVDUUROODGRVHQSULPD
x $G\DFHQWHV
ULDSROtJRQRVUHJXODUHVSDUDSURSRQHUSUREOHPDV3RUHMHPSOR
,GHQWLILFDUiQJXORVFRQ
x 3DUOLQHDO
JUXHQWHVFRPSOHPHQWD
6LHOKH[iJRQRTXHVHOHSUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQHVUHJX
ULRVVXSOHPHQWDULRVHQGL
x 2SXHVWRV
ODUHQWRQFHVGHWHUPLQHODVPHGLGDVGHORViQJXORV(+%(+'
IHUHQWHVFRQWH[WRV
SRU HO YpUWL
'$%$%&&%*
FH
'HWHUPLQDUPHGLGDVGHiQ
JXORVVDELHQGRTXHVRQ
x &RQJUXHQWHV
FRQJUXHQWHVFRPSOHPHQ
WDULRVRVXSOHPHQWDULRV
x &RPSOH
FRQRWURViQJXORVGDGRV
PHQWDULRV
$SOLFDUODUHODFLyQHQWUH
x 6XSOHPHQWD
ODVPHGLGDVGHiQJXORVGH
ULRV
WHUPLQDGRVSRUWUHVUHFWDV
FRSODQDUHVGDGDV
2EWHQHU\DSOLFDUPHGLGDV
GHiQJXORVGHWHUPLQDGRV
SRUGRVUHFWDVSDUDOHODV\
XQDWUDQVYHUVDODHOODVFR
QRFLHQGRODPHGLGDGHXQR
GHHOORV
c3XHGHWDPELpQLGHQWLILFDUXQDSDUHMDGHiQJXORVDG\DFHQWHV
XQD SDUHMD GH iQJXORV RSXHVWRV SRU HO YpUWLFH \ XQ SDU OLQHDO
$VLPLVPR VH SRGUtD SUHJXQWDU FXiO HV OD UHODFLyQ GH PHGLGD
HQWUH ORV iQJXORV∡BCD\∡CDE DVt FRPR∡CBE\∡BED \
\ ED
VRQ
DVt EXVFDU XQD FRUUHVSRQGHQFLD VHJ~Q OD FXDO CB
VHJPHQWRVSDUDOHORV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
$VLPLVPRVHSXHGHXWLOL]DUODWHFQRORJtDFRQHOXVRGHXQ
VRIWZDUH DGHFXDGR SDUD REWHQHU GH IRUPD GLQiPLFD PRYLHQGR
XQODGRGHOiQJXORODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDGHYDULRViQJXORV\
GH VXV PHGLGDV JUDGRV VH[DJHVLPDOHV (VWR FRQ HO ILQ GH
HVWDEOHFHUFODVLILFDFLRQHV\UHODFLRQHVHQWUHORVPLVPRV
$SOLFDUODGHVLJXDOGDG
c /D GHVLJXDOGDG WULDQJXODU VH SXHGH LQWURGXFLU SRU PHGLR GH
7ULiQJXORV
WULDQJXODU
XQ SUREOHPD FRPR HO VLJXLHQWH TXH WDPELpQ SXHGH VHUYLUSDUD
LQWURGXFLUORV FRQRFLPLHQWRVUHODFLRQDGRV FRQiQJXORV LQWHUQRV
x 'HVLJXDOGDG
$SOLFDU OD SURSLHGDG GH OD \FRQiQJXORVH[WHUQRV
WULDQJXODU
VXPDGHODVPHGLGDVGHORV iQJXORV LQWHUQRV GH XQ
x ÈQJXORV
(QODFDVDGH&ULVWLDQOXHJRGHXQDUHPRGHODFLyQVREUDURQ
WULiQJXOR
LQWHUQRV
FXDWURSHGD]RVGHFHUFDGHPPP\P&ULVWLDQ
'HWHUPLQDUPHGLGDVGHiQ GHVHD XWLOL]DU HVH PDWHULDO TXH VREUy SDUD KDFHU XQD FHUFD
x ÈQJXORV
JXORV LQWHUQRV \ H[WHUQRV WULDQJXODU SDUD VX SHUUR &ROLWDV SHURQR VDEH FXiOHV WUHVSHGD
H[WHUQRV
GH XQ WULiQJXOR FRQRFLHQ ]RV HVFRJHU SDUD IRUPDU XQ WULiQJXOR ,QWHQWH D\XGDUOH D &ULV
GR PHGLGDV GH ORV RWURV WLDQ
iQJXORV
6H SLGH UHDOL]DU GLEXMRV WRPDQGR FRPR HVFDOD DO FHQWtPHWUR
FRPRPHWUR/XHJRVHSXHGHQSODQWHDUYDULDVLQWHUURJDQWHV
D ¢&XiOHVHVFRJHQFLDVVLUYHQ\FXiOHVQR"
E ¢3RUTXpDOJXQDVVLUYHQ\RWUDVQR"
'HODVRSFLRQHVGHHVFRJHQFLDTXHVLUYHQVHVROLFLWDPHGLUORV
iQJXORVLQWHUQRV\VXPDUORV
¢&XiOKDVLGRODVXPDDSUR[LPDGDGHORViQJXORVLQWHUQRVGHORV
WULiQJXORV"
&RPR HMHUFLFLR VH SXHGHQ SURSRQHU WULSOHWDV GH Q~PHURV SDUD
GHWHUPLQDUVLFRUUHVSRQGHQDORVODGRVGHXQWULiQJXOR
c/XHJRVHSLGHSURSRQHUXQDHVWUDWHJLDSDUDVDEHUFXiOGHORV
WULiQJXORVHQFRQWUDGRVOHSURSRUFLRQDUtDPiViUHDD&ROLWDV
3RU~OWLPRVHUHDOL]DODHWDSDGHFODXVXUDRFLHUUHSDUDHVWDEOH
FHU ODV SURSLHGDGHV GH GHVLJXDOGDG WULDQJXODU VXPD GH ORV
iQJXORVLQWHUQRV\VXPDGHORViQJXORVH[WHUQRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
&RQ HVWH WLSR GH SUREOHPDV VH EXVFD OD FRQH[LyQ FRQ HO
iUHDGH0HGLGDV\ HQIDWL]DUHQHOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQ
WDU
c 3DUD YHULILFDU TXH OD VXPD GH ORV iQJXORV LQWHUQRV GH XQ
WULiQJXOR HV LJXDO DƒiQJXOR OODQR VH SXHGH SHGLUTXH VH
FRQVWUX\D HQ FDUWyQ XQ WULiQJXOR FXDOTXLHUD \ VH UHFRUWH VXV
HVTXLQDV
/XHJRSXHGHQFRPSUREDUHOWHRUHPDXQLHQGRODVHVTXLQDVGHOD
VLJXLHQWHPDQHUD
&XDGULOiWHURV
x ÈUHDV
x 6XPDGH
PHGLGDVGH
iQJXORVLQ
WHUQRV
x 6XPDGH
PHGLGDVGH
iQJXORVH[
WHUQRV
$TXtHVLPSRUWDQWHTXHVHFRPXQLTXHQODVFRQFOXVLRQHVDO
UHVWRGHODFODVH
$SOLFDU OD SURSLHGDG GH OD VXPD GH ORV iQJXORV LQWHU c'HEHLQLFLDUVHFRQXQUHSDVRGHOFiOFXORGHiUHDVGHFXDGULOi
QRVGHXQFXDGULOiWHURFRQ WHURVPHGLDQWHXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
YH[R
&DOFXOHHOiUHDDSUR[LPDGDGHOD,VODGHO&RFRGHDFXHU
$SOLFDU OD SURSLHGDG GH OD VXPDGHORViQJXORVH[WHU GRDOVLJXLHQWHPDSD
QRVGHXQFXDGULOiWHURFRQ YH[R
5HVROYHU SUREOHPDV TXH
LQYROXFUHQ iQJXORV WULiQ
JXORV FXDGULOiWHURV VXV
SURSLHGDGHV \ FiOFXOR GH
iUHDV
7RPDGRGHKWWSZZZYLYDFRVWDULFDFRPFRVWDULFDPDSVFRVWDULFD
PDSVLVODGHOFRFRKWPO
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
/DLGHDHVTXHVHYLVXDOLFHOD,VODGHO&RFRFRPRXQFXDGULOiWH
UR SRU HMHPSORUHFWiQJXOR \ WRPDQGR HQ FXHQWD OD HVFDOD GHO
PDSDVHDSUR[LPHVXiUHD7DPELpQSDUDXQDPHMRUHVWLPDFLyQ
VH SRGUtD GLYLGLU HO PDSD HQ YDULDV ILJXUDV GH iUHDV FRQRFLGDV
WULiQJXORV WUDSHFLRV FXDGUDGRV UHFWiQJXORV HWF \ FRPSDUDU
ORVGLIHUHQWHVUHVXOWDGRVGHOJUXSR&RQHVWHHMHUFLFLRVHHVWLPX
ODODFUHDWLYLGDG
c 6H SXHGH WUDEDMDU HQ VXEJUXSRV GH OD FODVH \ FRPSDUDU ODV
PHGLGDVSDUDYHUTXLpQHVGDQODPHMRUDSUR[LPDFLyQ
1RWD /DLVODGHO&RFRWLHQHDSUR[LPDGDPHQWHNP GHODUJR
\ NP GH DQFKR SRU OR WDQWR VX iUHD HV DSUR[LPDGDPHQWH
NP
3UREOHPDV FRPR pVWH VH UHODFLRQDQ GHPRGR QDWXUDO FRQ
XQLGDGHV GHPHGLGD \ HVFDOD $GHPiV SHUPLWHQ GHVDUUROODU ORV
SURFHVRV&RPXQLFDU\5D]RQDU\DUJXPHQWDU
(VWH WLSR GH DFWLYLGDGHV UHTXLHUH GH OD SDUWLFLSDFLyQ
HVWXGLDQWLO DFWLYD HV IXQGDPHQWDO IRPHQWDU H[SHULHQFLDV GH
DSUHQGL]DMHSDUDDSUHQGHUGHORVSURSLRVHUURUHV\FRPSDUWLUODV
GLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVFRQWRGDODFODVH
c 5HODFLRQDU OD SURSLHGDG GH OD VXPD GH ORViQJXORV LQWHUQRV
GH XQ FXDGULOiWHUR FRQYH[R FRQ OD SURSLHGDG GH OD VXPD GH ORV
iQJXORVLQWHUQRVGHXQWULiQJXOR
8WLOL]DU VRIWZDUH GH JHR
PHWUtD GLQiPLFD SDUD OD
$ WUDYpV GH OD WHFQRORJtD \ XQD JXtD VH SURSRQH TXH VH
YLVXDOL]DFLyQ \ OD YHULILFD ³FRQMHWXUH´VREUHDOJXQDVSURSLHGDGHVGHORVFXDGULOiWHURV3RU
FLyQ GH SURSLHGDGHV JHR HMHPSOR GDGR FXDOTXLHU FXDGULOiWHUR ORV SXQWRV PHGLRV GHWHU
PpWULFDV
PLQDQXQSDUDOHORJUDPR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
*HRPHWUtD
DQDOtWLFD
x (MHV
FDUWHVLDQRV
x 5HSUHVHQWD
FLyQGHSXQ
WRV
x 5HSUHVHQWD
FLyQGHILJX
UDV
8QDYH]KHFKDODFRQMHWXUDGHEHUiVHUFRPXQLFDGDDWRGD
OD FODVH \ DUJXPHQWDU VREUH VX YDOLGH] (V LPSRUWDQWH JHQHUDU
FRPHQWDULRVVREUHORVSRVLEOHVHUURUHVTXHVHFRPHWDQHLQGDJDU
HOSRUTXpGHORVPLVPRV
5HSUHVHQWDU SXQWRV \ IL c (Q SULPHU OXJDU VH SXHGH LQWURGXFLU OD UHSUHVHQWDFLyQ GH
JXUDV JHRPpWULFDV HQ XQ SXQWRV HQ HO SODQR SRU PHGLR GH XQ SUREOHPD FRPR HO TXH VH
SODQR FRQ XQ VLVWHPD GH SUHVHQWDDFRQWLQXDFLyQ
HMHVFDUWHVLDQRV
(O VLJXLHQWH FURTXLVPXHVWUD OD FRPXQLGDG HQ GRQGH YLYH
'HWHUPLQDUDOJHEUDLFD
,YHWWH/DVFXDGUDVPLGHQDSUR[LPDGDPHQWHPHWURVGH(VWH
PHQWHHOSXQWRPHGLRGH
D2HVWH\PHWURVGH1RUWHD6XU
XQVHJPHQWR
8ELFDU SXQWRV HQ HO LQWH
ULRU \ HQ HO H[WHULRU GH IL
JXUDVFHUUDGDVHQXQSODQR
FRQXQVLVWHPDGHHMHVFDU
WHVLDQRV
6L,YHWWHDVLVWHDOFROHJLRGHVXFRPXQLGDG
¢&XiOHVHOWUD\HFWRPiVFRUWRGHVXFDVDDOFROHJLRDWUDYpVGH
ODVFDOOHV"¢(VHO~QLFRWUD\HFWRFRQLJXDOORQJLWXG"
¢&yPRGDUXQDGLUHFFLyQGHOFROHJLRWRPDQGRFRPRUHIHUHQFLD
ODFDVDGH,YHWWH"
c2WUDPDQHUDGHLQWURGXFLUHOWHPDGHIRUPDQDWXUDOHVFRQOD
XELFDFLyQ GH OXJDUHV HQ HOPDSD PHGLDQWH SDUDOHORV \ PHULGLD
QRV3RUHMHPSOROD,VODGHO&RFRHVWiXELFDGDHQWUHORVSDUDOH
ORVƒ´\ƒ´GHODWLWXG1RUWH\HQWUHORVPHULGLDQRVƒ´
\ƒ´ORQJLWXG2HVWH
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
c7DPELpQVHSXHGHQSURSRQHUGLIHUHQWHVWLSRVGHWULiQJXORV\
FXDGULOiWHURVXELFDQGRSXQWRVFRQFRRUGHQDGDVHQXQVLVWHPDGH
HMHVFDUWHVLDQRV3RUHMHPSORXELFDUORVSXQWRVTXHUHSUHVHQWDQ
ORV YpUWLFHV GHO SROtJRQR XQLU ORV SXQWRV FRQ VHJPHQWRV \ GH
HVWDPDQHUDLGHQWLILFDUODILJXUD\FDOFXODUVXiUHD
&RRUGHQDGDV E(−8, −2) D(−6, −4) F(−11, −4) B(−12, −6)C(−8, −6)
c/RVLJXLHQWHHVWUDVODGDUSXQWRVHVSHFtILFRVPHGLDQWHODVXPD
R OD UHVWD GH FRQVWDQWHV HQWHUDV HQ ODV UHVSHFWLYDV FRRUGHQDGDV
GHORVSXQWRV
E(−8, −2)VHWUDVODGDDE(−8 + 2, −2 + 3)
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
c,GHQWLILFDUWDPELpQHOPRYLPLHQWRGHWUDVODFLyQDOVXPDU\DO
UHVWDUXQDFRQVWDQWHDXQDFRRUGHQDGD[R\GHXQSXQWR&RQVL
GHUDU VL XQ SXQWR GDGDV VXV FRRUGHQDGDV \ HO WUD]R GH XQD
ILJXUD VH HQFXHQWUD HQ HO LQWHULRU HO H[WHULRU R OD IURQWHUD GH
GLFKDILJXUD
3RU HMHPSOR HO SXQWR E(−10, −2) HVWi HQ HO H[WHULRU GH OD
ILJXUD\HOSXQWRE(−9, −5)HVWiHQHOLQWHULRU
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
7UDQVIRUPD
FLRQHVHQHO
SODQR
x +RPRWHFLDV
x 3XQWRV
KRPyORJRV
x 6HJPHQWRV
KRPyORJRV
7UD]DU HQ XQ SODQR FDUWH c3DUDLQLFLDUVHSXHGHSODQWHDUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
VLDQR OD ILJXUD TXH VH RE WLHQH DO VRPHWHU XQ SROt
8Q IRFR DOXPEUD OD ILJXUD GH XQ EDUFR \ SUR\HFWD XQD
JRQR GDGR D XQD KRPRWH
VRPEUDGHPD\RUWDPDxRVREUHODSDUHG
FLD
5HFRQRFHUSXQWRViQJXORV
\ ODGRV KRPyORJRV GH XQ
SROtJRQR\HOSROtJRQRTXH
UHVXOWD DO DSOLFDU XQD KR
PRWHFLD
6HSURSRQHQODVVLJXLHQWHVLQWHUURJDQWHV
D ¢4XpHOHPHQWRVSHUPDQHFHQLQYDULDQWHV"
E ¢+D\UHODFLRQHVPpWULFDVHQWUHORVODGRV\iQJXORVGH
ORVGRVEDUFRV"
F ¢+D\UHODFLRQHVPpWULFDVHQWUHODVGLVWDQFLDVGHOIRFR
DODILJXUD\GHODILJXUDDODVRPEUD"
c 3RU ~OWLPR VH UHDOL]D OD HWDSD GH FLHUUH FRQ HO FRQFHSWR GH
KRPRWHFLDXWLOL]DQGRXQIRFRSDUDDOXPEUDUXQREMHWRODPDQR
XQ EDVXUHUR HWF HQ OD SDUHG GHO DXOD 6H FRORFD HO REMHWR D
FLHUWDGLVWDQFLDGHOIRFRSRUHMHPSORDPGHGLVWDQFLDHQOtQHD
UHFWD GHWDO IRUPD TXH VH SUR\HFWH OD VRPEUD GHO REMHWR HQOD
SDUHG /XHJR VH FDPELD OD GLVWDQFLD SRU HMHPSOR D FP GH
GLVWDQFLD GH pO \ DVt VXFHVLYDPHQWH VH DFHUFD \ VH DOHMD HO
REMHWRHQOtQHDUHFWD
(V LPSRUWDQWH TXH VH GLDORJXH DFHUFD GH FXiOHV HOHPHQWRV
SHUPDQHFHQLQYDULDQWHV\FXiOHVQR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
7DPELpQ HV LPSRUWDQWH TXH VH PLGDQ ODV GLVWDQFLDV HQWUH OD
OiPSDUD \ HO REMHWR \ HQWUH OD OiPSDUD \ OD VRPEUD 6H SXHGH
PHGLUODORQJLWXGGHOREMHWR\ODGHODVRPEUDSDUDYHULILFDUTXH
ODUD]yQHQWUHODVGLVWDQFLDVHVLJXDODODUD]yQHQWUHODVORQJLWX
GHV
c6HGHEHUiQUHFRQRFHUORVSXQWRViQJXORV\ODGRVKRPyORJRV
GH XQ SROtJRQR \ VX KRPRWHFLD 3RU HMHPSOR HQ OD VLJXLHQWH
ILJXUD -,+*) HV OD LPDJHQ EDMR XQD KRPRWHFLD GHO SHQWiJRQR
$%&'( $ \ - VRQ SXQWRV KRPyORJRV HO iQJXOR $%& HV
KRPyORJRDOiQJXOR-)*\HOODGR('HVKRPyORJRDOODGR,+
c6HGHEHQGHVDUUROODUWDQWRKRPRWHFLDVGLUHFWDVN!FRPR
KRPRWHFLDVLQYHUVDVN3RUHMHPSOR
+RPRWHFLDGLUHFWD
+RPRWHFLDLQYHUVD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
(VWH WLSR GH SUREOHPDV UHTXLHUH GH XQD DFWLWXG SHUVHYH
UDQWH \ DFWLYD GHO HVWXGLDQWDGR \ OD DSURSLDGD LQWHUYHQFLyQ
GRFHQWH IRUPXODQGR SUHJXQWDV JHQHUDGRUDV TXH HQFDPLQHQD OD
FRPSUHQVLyQGHORVFRQFHSWRV
5HFRQRFHU XQD KRPRWHFLD c &RPR \D VH KD HVWXGLDGR HO WHPD GH KRPRWHFLD VH SXHGH
DSDUWLUGHXQDILJXUDHQHO SODQWHDUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
SODQRGHFRRUGHQDGDV
&RQ EDVH HQ OD VLJXLHQWH ILJXUD LGHQWLILTXH FXiO R FXiOHV
VRQKRPRWHFLDVGHOFXDGULOiWHUR$%&'
&RQVWUXLU XQD ILJXUD VH
7ULiQJXORV
PHMDQWH VRPHWLpQGROD D X
QDKRPRWHFLDGHUD]yQPH
x 6HPHMDQ]D
QRURPD\RUTXH
x &RQJUXHQ
&RQVWUXLU XQD ILJXUD FRQ
FLDV
JUXHQWH VRPHWLpQGROD D X
QD KRPRWHFLD GH UD]yQ L
x 7HRUHPDGH
JXDOD
7KDOHV
,GHQWLILFDU ILJXUDV VHPH
MDQWHV HQ GLIHUHQWHV FRQ
WH[WRV
,GHQWLILFDUILJXUDVFRQ
JUXHQWHVHQGLIHUHQWHVFRQ
WH[WRV
'HWHUPLQDU VL GRV WULiQJX
ORV VRQ VHPHMDQWHV XWLOL
]DQGR ORV FULWHULRV ODGR
ODGR ODGR ODGR iQJXOR OD
GR \ iQJXOR iQJXOR iQ
JXOR
'HWHUPLQDU VL GRV WULiQJX
ORV VRQ FRQJUXHQWHV XVDQ
GR ORV FULWHULRV ODGR ODGR
ODGR ODGR iQJXOR ODGR \
iQJXORODGRiQJXOR
3DUDLQWURGXFLUHVWHWHPDVHSXHGHXWLOL]DUFRPRHOHPHQWR
PRWLYDGRUXQDEUHYHUHVHxDVREUH7KDOHVGH0LOHWRVLJOR9,D
&6HOHFRQVLGHUDFRPRHOSULPHUILOyVRIR \FRPRHOSULPHUR
GH ORV 6LHWH 6DELRV JULHJRV $XQTXH QR H[LVWHQ HYLGHQFLDV
FODUDVVHKDGLFKRTXH7KDOHVIXHHOSULPHUPDWHPiWLFRDXWpQWL
FR HQ HO VHQWLGR GH TXH IXH HO SULPHUR HQ SUHRFXSDUVH SRU OD
GHPRVWUDFLyQGHODVSURSLHGDGHVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDV6H
FXHQWD TXH 7KDOHV PLGLy OD DOWXUD GH ODV SLUiPLGHV GH (JLSWR
REVHUYDQGRODVORQJLWXGHVGHVXVVRPEUDVHQHOPRPHQWRHQTXH
OD VRPEUD SUR\HFWDGD SRU XQ SDOR FODYDGR YHUWLFDOPHQWH HUD
LJXDODVXDOWXUDXVRGHODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORV
c3ULPHURHVLPSRUWDQWHFRQVWUXLUHOFRQFHSWRGHFRQJUXHQFLD
\ VHPHMDQ]D GH ILJXUDV GH IRUPD LQWXLWLYD 3RU HMHPSOR VH
SXHGH SHGLU TXH VH GLEXMH HQ SDSHO FXDGULFXODGR XQ WULiQJXOR
UHFWiQJXORGRQGHVXDOWXUDVHDHOGREOHTXHVXEDVH
Programas de cada ciclo educativo
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQODVHPHMDQ]D\
FRQJUXHQFLDGHWULiQJXORV
8WLOL]DU VRIWZDUH GH JHR
PHWUtD GLQiPLFD SDUD YL
VXDOL]DU SURSLHGDGHV UHOD
FLRQDGDV FRQ OD FRQJUXHQ
FLD\VHPHMDQ]DGHWULiQJX
ORV
Tercer ciclo, Geometría
6HSLGHDFDGDHVWXGLDQWHFRPSDUDUXQWULiQJXORFRQHOGHOUHVWR
GH OD FODVH SDUD EXVFDU TXLpQHV FRQVWUX\HURQ WULiQJXORV ³LJXD
OHV´ FRQ ODV PLVPDV GLPHQVLRQHV 7RPDQGR HQ FXHQWD TXH
KD\DQGLYHUVDVUHVSXHVWDVFRUUHFWDVVHSXHGHSUHJXQWDU
D ¢3XHGHKDEHUYDULRVWULiQJXORVTXHFXPSODQHVWDVFRQ
GLFLRQHV"
E 6LHVDVt¢FyPRVHSRGUtDQDJUXSDUGHDFXHUGRFRQVXV
FDUDFWHUtVWLFDV"
F ¢&XiOHVHOHPHQWRVGHORVWULiQJXORVFRQVWUXLGRVYDUtDQ
\FXiOHVQRYDUtDQ"
c /XHJR VH LQWURGXFHQ ORV FRQFHSWRV GH FRQJUXHQFLD \ VHPH
MDQ]DPHGLDQWHKRPRWHFLDV
6HSURSRUFLRQDXQWULiQJXOR$%&
6H SLGH TXH FRQVWUX\DQ GRV WULiQJXORV VRPHWLHQGR DO WULiQJXOR
$%&DXQDKRPRWHFLDGHVGH'GHUD]yQ\RWUDGHUD]yQ
/XHJRVHSURSRQHQODVVLJXLHQWHVLQWHUURJDQWHV
D ¢&XiOHV HOHPHQWRV SHUPDQHFHQ LQYDULDQWHV \ FXiOHV
QR"
E ¢4Xp UD]yQ H[LVWH HQWUH ODV PHGLGDV GH ORV ODGRV GH
DPERVWULiQJXORV"
F ¢4XpUD]yQH[LVWHHQWUHODVPHGLGDVGHORViQJXORVGH
DPERVWULiQJXORV"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
3RVWHULRUPHQWH VH SLGH DSOLFDUOH GRV KRPRWHFLDV XQD GH UD]yQ
LJXDO D \ RWUD GH UD]yQ LJXDO D 7RPDU FRPR FHQWUR SDUD
DPEDVKRPRWHFLDVHOSXQWR'
/XHJRVHUHDOL]DQODVPLVPDVSUHJXQWDVDQWHULRUHV
c (V LPSRUWDQWH TXH PHGLDQWH OD REVHUYDFLyQ GH ODV PHGLGDV
GHORVODGRV\GHORViQJXORVVHSXHGDQLQIHULUODVFRQGLFLRQHV
QHFHVDULDV\VXILFLHQWHVSDUDTXHGRVWULiQJXORVVHDQFRQJUXHQ
WHV\SDUDTXHGRVWULiQJXORVVHDQVHPHMDQWHV
c 3RU ~OWLPR VH KDFH OD FODXVXUD FRQ ORV FRQFHSWRV GH FRQ
JUXHQFLD \ VHPHMDQ]D GH WULiQJXORV DVt FRPR VXV UHVSHFWLYRV
FULWHULRV
c /D LGHD HV KDFHU OD UHODFLyQ \ OD GLIHUHQFLDFLyQ HQWUH OD
FRQJUXHQFLD\ODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORV1RVHTXLHUHSDUWLUHO
WHPD HQ GRV 6H GHEH HQWHQGHU OD FRQJUXHQFLD GH WULiQJXORV
FRPR OD KRPRWHFLD GH UD]yQ D XQR GH ORV WULiQJXORV \ OD
VHPHMDQ]D GH WULiQJXORV FRPR OD KRPRWHFLD GH UD]yQ GLIHUHQWH
GHDXQRGHORVWULiQJXORV
&DGDHVWXGLDQWHGHEHXWLOL]DUORVFULWHULRVGHFRQJUXHQFLD\
VHPHMDQ]D SDUDDUJXPHQWDU VXV FRQFOXVLRQHV FRQUHVSHFWR D XQ
SDUGHWULiQJXORV
6L'(\)VRQORVSXQWRVPHGLRVGHORVODGRVGHOWULiQJX
OR $%& \ $()' HV XQ UHFWiQJXOR HQFXHQWUH XQ WULiQJXOR
VHPHMDQWHDOWULiQJXOR $%& \ XQ WULiQJXOR FRQJUXHQWHDOWULiQ
JXOR'()
([LVWHQ YDULDV DOWHUQDWLYDV FRUUHFWDV SHUR OR LPSRUWDQWH HV OD
MXVWLILFDFLyQTXHVHUHDOLFHSDUDODVROXFLyQ(VLPSRUWDQWHTXHVH
XWLOLFH YRFDEXODULR \ VLPERORJtD PDWHPiWLFD HQ HO SURFHVR GH
DUJXPHQWDFLyQSRUHMHPSOR
D (O¨$%&a¨$'(SRUFULWHULRODGRiQJXORODGR\DTXH
ED EF
=
= 2
EB EC
\FRPSDUWHQHOiQJXOR$TXHPLGHƒ
E (O ∆BCH~∆CBE SRU FULWHULR ODGRODGRODGR \D TXH
$' ()$( ')SRUVHU$()'XQUHFWiQJXOR\FRPSDUWHQ
HOVHJPHQWR'(GLDJRQDOGHOUHFWiQJXOR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
$SOLFDUHOWHRUHPDGH7KD
OHVHQODUHVROXFLyQGHSUR
EOHPDVGHGLYHUVRVFRQWH[
WRV
(VFRQYHQLHQWHXWLOL]DUXQVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFD
R WpFQLFDV GH GREODGR GH SDSHO RULJDPL SDUD YLVXDOL]DUPHMRU
HVWRVFRQFHSWRV
c3DUDHPSH]DUVHSXHGHSURSRQHUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
8QDSLVFLQDWLHQHXQPi[LPRGHPGHSURIXQGLGDG(O
GtDGHKR\VHLQGLFDTXHKD\DSHQDVPGHDOWXUDGHODJXDHQ
OD SDUWH PiV SURIXQGD $QD TXLHUH HQWUDU D OD SLVFLQD SHUR QR
VDEHQDGDUDVtTXHQRTXLHUHOOHJDUDODSDUWHPiVSURIXQGD(OOD
FDOFXOD TXH PLGH DSUR[LPDGDPHQWH P GH ORV SLHV D ORV
KRPEURV/D]RQDSDUDEDMDUSRFRDSRFRHVODSDUWHLQFOLQDGD\
HOODEDMDKDVWDDSHQDVWRFDUHODJXDFRQORVSLHV\FDOFXODTXHHV
DSUR[LPDGDPHQWHGHP¢&XiQWRPiVGHEHUiEDMDU$QDSDUD
TXHHODJXDOHOOHJXHDORVKRPEURV"
6H GHEH UHDOL]DU OD HWDSD GH FODXVXUD FRQ HO HQXQFLDGR GHO
WHRUHPDGHVSXpVGHHQIUHQWDUHOSUREOHPD
(VWH SUREOHPD SXHGH GHVWDFDU OD LPSRUWDQWH UHODFLyQ TXH
H[LVWHHQWUH*HRPHWUtD\0HGLGDV
7DPELpQ XWLOL]DQGR OD WHFQRORJtD VH SXHGH SUHVHQWDU XQD
DFWLYLGDG GRQGH OD R HO HVWXGLDQWH FRPSUXHEH PHGLDQWH OD
PDQLSXODFLyQ GLQiPLFD GH ODV GRV UHFWDV WUDQVYHUVDOHV ODV
SURSRUFLRQHV HQWUH ODV ORQJLWXGHV GH ORV VHJPHQWRV TXH VH
IRUPDQ HQWUH GRV R PiV UHFWDV SDUDOHODV FRUWDGDV SRU HVWDV
WUDQVYHUVDOHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
2WUR SUREOHPD HV DSOLFDU ORV FRQFHSWRV DGTXLULGRV SDUD
GHGXFLUHOWHRUHPDGHODSDUDOHODPHGLDFRPRXQFDVRSDUWLFX
ODUGHOWHRUHPDGH7KDOHV
9LVXDOL]DFLyQ ,GHQWLILFDU OD EDVH ODV FD c3DUDLQWURGXFLUHOWHPDVHSXHGHSURSRQHUXQSUREOHPDFRPR
UDV ODWHUDOHV OD DOWXUD ODV HOVLJXLHQWH
HVSDFLDO
DSRWHPDV \ HO iSLFH R F~V SLGHGHXQDSLUiPLGH
x 3LUiPLGH
8QDSLUiPLGHUHFWDGHEDVHFXDGUDGDGHFPGHODGRWLHQH
UHFWD
,GHQWLILFDU ODV FDUDV ODWHUD XQDDOWXUD GH FP 6L VH KDFH XQ FRUWH FRQ XQ SODQR SDUDOHOR
OHVODVEDVHV\ODDOWXUDGH ¢VH SXHGH REWHQHU XQ WULiQJXOR FRPR VHFFLyQ SODQD" ¢XQ
&DUDV
UHFWiQJXORQRFXDGUDGR"¢TXpILJXUDVVHSXHGHQREWHQHU"
XQSULVPDUHFWR
ODWHUDOHV
'HWHUPLQDUTXpILJXUDVVH
%DVH
REWLHQHQPHGLDQWHVHFFLR
QHVSODQDVGHXQDSLUiPLGH
$SRWHPDV
UHFWDGHEDVHFXDGUDGD
UHFWDQJXODURWULDQJXODU
ÈSLFH
F~VSLGH
'HWHUPLQDU TXp ILJXUDV VH
REWLHQHQ PHGLDQWH VHFFLR
$OWXUD
QHV SODQDV GH XQ SULVPD UHFWR GH EDVH FXDGUDGD /D GLVFXVLyQ GH HVWH SUREOHPD SHUPLWH VLVWHPDWL]DU ORV FRQRFL
x 6HFFLyQ
PLHQWRV SURSXHVWRV DVt FRPR UHODFLRQDUORV FRQ RWURV YLVWRV
UHFWDQJXODURWULDQJXODU
SODQD
DQWHULRUPHQWH
x 3ULVPDUHFWR ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV +DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
$SOLFDUHOWHRUHPDGH
c6HSXHGHSURSRQHUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
7ULiQJXORV
3LWiJRUDVHQODUHVROXFLyQ GHSUREOHPDVGHGLIHUHQWHV
x 7HRUHPD GH
'LHJRQHFHVLWDFRPSUDUXQDHVFDOHUDSDUDVXELUVHDOWHFKR
FRQWH[WRV
3LWiJRUDV
GHVXFDVD(OWHFKRHVWiDXQDDOWXUDGHSXOJDGDV3DUDSRGHU
(QFRQWUDU OD GLVWDQFLD HQ WHQHU XQD EXHQD HVWDELOLGDG HQ OD HVFDOHUD DO DSR\DUVH HQ OD
WUH GRV SXQWRV HQ HO SODQR SDUHG ODV SDWDV GH OD HVFDOHUD GHEHQ HVWDU D XQD GLVWDQFLD GH
FDUWHVLDQRDSOLFDQGRHOWH HQWUH\SXOJDGDV¢&XiOSRGUtDVHUODPHGLGDDSUR[LPDGD
GHODHVFDOHUD"
RUHPDGH3LWiJRUDV
(O SUREOHPD SHUPLWH HO XVR GH YDULDV HVWUDWHJLDV FRPR
KDFHU XQ GLEXMR D HVFDOD HQ VX FXDGHUQR XWLOL]DU XQD FLQWD
PpWULFD \ UHDOL]DUXQD VLPXODFLyQ GHOD VLWXDFLyQ (VWR SHUPLWH
HVWLPXODUODFUHDWLYLGDGHVWXGLDQWLO
c(VLPSRUWDQWHDQDOL]DUWDQWRODVVROXFLRQHVFRPRODVHVWUDWH
JLDV XWLOL]DGDV $GHPiVKD\ TXH WRPDU HQ FXHQWD TXHKD\ JUDQ
YDULHGDGGHVROXFLRQHVFRUUHFWDV
c/XHJRVHKDFHODFODXVXUDHQXQFLDQGRHO7HRUHPDGH3LWiJR
UDV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
(Q HO SURFHVR GH FODXVXUD \ FRPR HOHPHQWR KLVWyULFR
SHGDJyJLFR VH SXHGH XWLOL]DU HOWH[WR GH (XFOLGHV PDWHPiWLFR
JULHJRGHOVLJOR,9D&HQHOTXHVHSURSRUFLRQDXQDGHPRVWUD
FLyQGHO7HRUHPDGH3LWiJRUDV/DSURSRVLFLyQGHO/LEUR,GH
(OHPHQWRVGH(XFOLGHVHVHOFRQRFLGRWHRUHPDGH3LWiJRUDV6H
WUDQVFULEHDFRQWLQXDFLyQWDOFRPRDSDUHFHHQGLFKRWH[WR
3URSRVLFLyQ(QORVWULiQJXORVUHFWiQJXORVHOFXD
GUDGRGHOODGRTXHVXEWLHQGHHOiQJXORUHFWRHVLJXDO
D ORV FXDGUDGRV GH ORV ODGRV TXH FRPSUHQGHQ HOiQ
JXORUHFWR
3RUHMHPSORVHSXHGHXVDUHVWDUHIHUHQFLDKLVWyULFDSDUDLOXVWUDU
HO WHRUHPD \ DGHPiV FRQWH[WXDOL]DU XQD pSRFD \ FRQRFHU ORV
PpWRGRVTXHVHXVDEDQ
c6HSXHGHFRPHQWDUODGHPRVWUDFLyQGHOWHRUHPDGH3LWiJRUDV
EULQGDGDSRU(XFOLGHV
c 6H SXHGH XWLOL]DU HO WHRUHPD GH 3LWiJRUDV SDUD HQFRQWUDU OD
GLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRVHQHOSODQRFDUWHVLDQR\OXHJRVHKDFH
ODFODXVXUDHQXQFLDQGRODIyUPXOD
8QHMHPSOR
$GULiQ\)DELiQVDOHQGHO FROHJLRSDUDVXFDVD6L$GULiQ
FDPLQD NP KDFLD HO (VWH \ NP KDFLD HO 1RUWH \ )DELiQ
FDPLQD NP DO 2HVWH \ NP DO 1RUWH ¢D TXp GLVWDQFLD VH
HQFXHQWUDODFDVDGH$GULiQGHODGH)DELiQ"
6HSXHGHSURSRQHUXQDUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDHQSODQRFRRUGH
QDGR HQ GRQGH OD FDVD GH )DELiQ HVWp HQ HO SXQWR \ OD
FDVDGH$GULiQHVWpHQHOSXQWRVLHQGRHOFROHJLRHOSXQWR
/XHJRXWLOL]DUHO7HRUHPDGH3LWiJRUDV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
c 7DPELpQ VH SXHGH XWLOL]DU OD UHSUHVHQWDFLyQ FDUWHVLDQD SDUD
GHWHUPLQDU VL XQ WULiQJXOR GDGDV ODV FRRUGHQDGDV GH VXV YpUWL
FHVHVRQRUHFWiQJXOR3DUDHVWRVHSXHGHXWLOL]DUODIyUPXODGH
ODGLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRV3RUHMHPSOR
'DGDV ODV VLJXLHQWHV FRRUGHQDGDV GH ORV YpUWLFHV GH XQ
WULiQJXOR $ % \ & FODVLILTXH HO WULiQJXOR GH
DFXHUGR D OD PHGLGD GH VXV iQJXORV \ OD PHGLGD GH VXV ODGRV
$UJXPHQWHVXUHVSXHVWD
&RQODIyUPXODGHODGLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRVVHREWLHQHTXH
/DGLVWDQFLDGH$D%HV
I = (2 − 6) + (1 − 5) = 4√2
/DGLVWDQFLDGH%D&HV
I = (6 − 9) + (5 − 2) = 3√2
/DGLVWDQFLDGH$D&HV
D I = (2 − 9) + (1 − 2) = 5√2
\ SRU OR WDQWR FRPR (5√2) = (4√2) + (3√2) HQWRQFHV HO
WULiQJXOR HV UHFWiQJXOR \ FRPR ODV PHGLGDV GH VXV ODGRV VRQ
GLIHUHQWHVVHFODVLILFDFRPRHVFDOHQR
Programas de cada ciclo educativo
Trigonometría
x Radianes
x Seno
x Coseno
x Tangente
x Razones
trigonométricas de ángulos complementarios
x Ángulos de
elevación y
depresión
x Ley
de senos
3. Convertir medidas angulares de grados a radianes y
viceversa.
4. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno,
coseno, tangente) en diversos contextos.
5. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios.
6. Aplicar los conceptos de
ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos.
7. Aplicar que la suma de los
cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1.
8. Aplicar la ley de senos en
diversos contextos.
9. Resolver problemas que
involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión.
Tercer ciclo, Geometría
Se deben proponer problemas que utilicen conversiones de
grados a radianes y viceversa, con esto se logra una conexión
con el área de Medidas.
c Para iniciar se puede proponer el siguiente problema:
Se quiere construir una rampa para personas con discapacidad en un colegio. Según la ley 7600 de Costa Rica, el ángulo
adecuado para hacer estas rampas es de 15°. Si la altura que se
quiere alcanzar es de 1,3 m:
a. ¿A qué distancia debe comenzar la rampa?
b. ¿Qué longitud tendría la rampa?
La idea es que por medio de la experimentación y el diálogo se
logre interiorizar la necesidad de aplicar razones trigonométricas básicas y relaciones trigonométricas.
c Luego se presentan formalmente las razones trigonométricas
básicas y su aplicación a diversos contextos.
El problema anterior también está relacionado con el eje
transversal Vivencia de los Derechos Humanos para la Democracia y la Paz, en cuanto a la accesibilidad para personas con
discapacidad.
Es importante distinguir en qué modo (grados, radianes) se
está utilizando la calculadora científica para el cálculo de
razones trigonométricas.
c Se puede, de manera adicional, introducir el círculo trigonométrico y el uso de los radianes para establecer la conexión
entre geometría analítica y trigonometría con el área de Medidas.
10. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para
su solución.
c Es considerable no sólo resolver problemas de trigonometría
sino también plantearlos, puesto que al diseñar problemas de
trigonometría se manejan las condiciones necesarias que se
deben dar para el uso de las razones trigonométricas o ley de
senos. Por ejemplo:
347
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
c6HSURSRQHSODQWHDUXQSUREOHPDFRQWH[WXDOL]DGRTXHQHFHVL
WH SDUD VX VROXFLyQ OD XWLOL]DFLyQ GH OD UD]yQ WULJRQRPpWULFD
VHQR3DUDHVWRVHSXHGHGDUXQFDVRHVSHFtILFRFRPRHOVLJXLHQ
WHJK 30∘ = 3DUDFRQVWUXLUHOSUREOHPDSULPHURVHWLHQHTXHWHQHUFODURTXH
HOHVFHQDULRGHOSUREOHPDGHEHRULJLQDUXQWULiQJXORUHFWiQJXOR
OXHJR VH GHEH VDEHU TXH ODV PHGLGDV TXH LQWHUYLHQHQ HQ HVWH
SUREOHPD VRQ HO FDWHWR RSXHVWR D XQ GHWHUPLQDGR iQJXOR GHO
WULiQJXORODKLSRWHQXVD\HOiQJXORUHVSHFWLYR
c$OJXLHQSRGUtDSODQWHDUHOVLJXLHQWH
(QXQGHWHUPLQDGRPRPHQWRGHOGtDODVRPEUDGHXQSRVWHGH
HOHFWULFLGDG PLGH HO GREOH GH ORQJLWXG TXH OD DOWXUD PLVPD GHO
SRVWH ¢(Q HVHPRPHQWR FXiO HV HOiQJXOR GH GHSUHVLyQ GH ORV
UD\RVGHOVRO"
'HHVWDPDQHUDVHSXHGHDFWLYDUGLUHFWDPHQWHHOSURFHVR
3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV
*HRPHWUtD GHO ,GHQWLILFDU \ FDOFXODU OD
DSRWHPD GH SLUiPLGHV UHF
HVSDFLR
WDV FX\D EDVH VHD XQ FXD
GUDGR R XQ WULiQJXOR HTXL
x 3LUiPLGH
OiWHUR
UHFWD
x $SRWHPD &DOFXODUHOiUHDODWHUDO\HO
iUHD WRWDO GH XQD SLUiPLGH
x 3ULVPD
UHFWD GH EDVH FXDGUDGD
UHFWR
UHFWDQJXODURWULDQJXODU
x ÈUHD
&DOFXODUHOiUHDODWHUDO\HO
ODWHUDO
iUHDWRWDOGHXQSULVPDUHF
WR GH EDVH FXDGUDGD UHF
x ÈUHDWRWDO
WDQJXODURWULDQJXODU
c6HSXHGHSURSRQHUXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
/DSLUiPLGHGH.HIUpQHQ(JLSWRHVUHFWDGHEDVHFXDGUD
GD(OODGRGHVXEDVHPLGHP\VXDOWXUDHVP3DUDOD
FODVHGH(VWXGLRV6RFLDOHVVHTXLHUHFRQVWUXLUHQFDUWXOLQDXQD
PDTXHWD GH GLFKD SLUiPLGH FRQ XQD HVFDOD HQ OD TXH FP
HTXLYDOHDP¢&XiQWRFDUWyQVHUHTXLHUH"'LEXMHHOGHVDUUROOR
SODQRGHODSLUiPLGHTXHSHUPLWHFRQVWUXLUODPDTXHWD
3LUiPLGHGH.HIUpQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
/D VLWXDFLyQUHILHUH DO FiOFXOR GHOiUHDGH XQ WULiQJXOR GHEDVH
\XQDDOWXUDDGHWHUPLQDUDSRWHPDGHODSLUiPLGH$SDUWLU
GHO WUDEDMR HVWXGLDQWLO VHUHDOL]DOD HWDSD GH FODXVXUD VLVWHPDWL
]DQGRHOFRQFHSWRGHDSRWHPDSLUDPLGDO\GHGXFLHQGRDWUDYpV
GHO SUREOHPD XQD IyUPXOD SDUD HO FiOFXOR GHO iUHD ODWHUDO \
OXHJRGHOiUHDWRWDOGHXQDSLUiPLGHUHFWDGHEDVHFXDGUDGD
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
$XQTXHQRVHSUHWHQGHXQDSUHQGL]DMHFRPSOHWDPHQWHIRUPDOGH ODV0DWHPiWLFDVVtHVLP
SRUWDQWHFLHUWRJUDGRGHULJRUSURSLRGHODGLVFLSOLQD\SRUHVRVHGHEHUiKDFHUXQXVRFR
UUHFWRGHODWHUPLQRORJtD\ODQRWDFLyQ
(QHVWHFLFORHVQHFHVDULRTXHODV\ORVHVWXGLDQWHVVHIDPLOLDULFHQFRQHOVHQWLGRGHODGH
PRVWUDFLyQ HQ 0DWHPiWLFDV HVWR VH LUi LQWURGXFLHQGR SDXODWLQDPHQWH D WUDYpV GH ORV WUHV
DxRVGHOFLFOR3DUDHOORVHKDUiQGHPRVWUDFLRQHVGHDOJXQRVGHORVWHRUHPDV\VHOHVVROLFL
WDUiODGHPRVWUDFLyQGHDOJXQDVSURSLHGDGHVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDV
7DPELpQHVSULPRUGLDOHOSDSHOGHODFRQMHWXUD6HFRPHQ]DUiSRUUHDOL]DUFRQMHWXUDVOXHJR
SURFHGHUHQXQDSULPHUDHWDSDDVXYHULILFDFLyQDWUDYpVGHOFXPSOLPLHQWRHQFDVRVSDUWLFX
ODUHVGHEHTXHGDUFRPSOHWDPHQWHFODURTXHODYHULILFDFLyQGHFDVRVSDUWLFXODUHVKDFHPiV
FUHtEOHODFRQMHWXUDSHURTXHQRGHPXHVWUDODSURSLHGDGTXHVHSURSRQHOXHJRGHVDUUROODU
OD DUJXPHQWDFLyQ HQ XQD VHJXQGD HWDSD \ ILQDOPHQWH OD GHPRVWUDFLyQ GH DOJXQDV GH ODV
FRQMHWXUDVHQXQD~OWLPDHWDSD
$OJXQDV GH ODV FRQMHWXUDV TXH UHDOLFHQ QR VHUiQ FRUUHFWDV DTXt MXHJD XQ QRWDEOH SDSHO HO
FRQWUDHMHPSOR 6L DOJXLHQ KDFH XQD FRQMHWXUD TXH QR HV FRUUHFWD RWUDV SHUVRQDV SRGUiQ
EULQGDUFRQWUDHMHPSORVTXHSHUPLWDQGHVHFKDURPRGLILFDUODFRQMHWXUD
(O HUURU WLHQH XQ SDSHO GLGiFWLFR VXVWDQFLDO \D TXH SHUPLWH GHWHFWDU GyQGH KD\ PD\RUHV
GLILFXOWDGHVGHDSUHQGL]DMH \ YLVXDOL]DU PHMRUHV IRUPDVGHDERUGDUXQFRQRFLPLHQWRSDUWL
FXODU
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
(Q PXFKDV RSRUWXQLGDGHV VH SXHGH OLJDU OD JHRPHWUtD VLQWpWLFD FRQ OD DQDOtWLFD HVWR HQUL
TXHFHHOWUDEDMR\D\XGDHQODDGTXLVLFLyQGHODVKDELOLGDGHV
(OXVRGHVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFDHVPX\YDOLRVR6HVDEHTXHDOGLEXMDUFXDOTXLHU
ILJXUD JHRPpWULFD HQ OD SL]DUUD pVWD HV HVWiWLFD $ WUDYpV GH HVWH UHFXUVR VH SXHGH WUD]DU
FXDOTXLHUILJXUD\FDPELDUODFRQVyOR³DUUDVWUDU´RPRYHUXQRGHORVHOHPHQWRVTXHODFRP
SRQHQ(VWRSHUPLWHTXHODYLVXDOL]DFLyQVHDHQULTXHFHGRUD\TXHVHWUDEDMHQSURFHVRVFR
PR OD JHQHUDOL]DFLyQ \ OD PRGHOL]DFLyQ /DV ILJXUDV VLJXLHQWHV IXHURQ JHQHUDGDV SRU XQ
VRIWZDUH VH GLEXMy XQ WULiQJXOR DUELWUDULR \ VH PDUFDURQ ORV SXQWRV PHGLRV GH ORV ODGRV
OXHJRVHWUD]DURQORVGRVVHJPHQWRVLQWHULRUHVTXHDKtVHREVHUYDQ$UUDVWUDQGRORVYpUWLFHV
VHREWLHQHODILJXUDGHODGHUHFKDRFXDOTXLHURWUD2EVHUYDQGRSDUHFHTXHORVGRVWULiQJX
ORV$')\)(&VRQFRQJUXHQWHVHVWDHVXQDFRQMHWXUDTXHSXHGHQKDFHUODV\ORVHVWXGLDQ
WHVSDUDOXHJRGHPRVWUDUOD
Sétimo año
8QRGHORVUHVXOWDGRVTXHGHEHUiQVHUGHPRVWUDGRVHQƒ$xRHVHOWHRUHPDGHODVXPDGH
ODVPHGLGDVGHORViQJXORVLQWHUQRVGHXQWULiQJXOR
/DVXPDGHODVPHGLGDVGHORViQJXORVLQWHUQRVGHXQWULiQJXORHVLJXDOD180°.
(QSULPHU OXJDUSXHGHQKDFHUGREODGRGHSDSHORXWLOL]DUXQVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQi
PLFDSDUDKDFHUODFRQMHWXUDFRUUHVSRQGLHQWH/XHJRVHSURFHGHDODGHPRVWUDFLyQ6HFRQ
VLGHUDHOWULiQJXOR$%&GDGRHQODVLJXLHQWHILJXUD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
⃖NNNN⃗ TXHSDVDSRU&\HVSDUDOHODDED
⃖NNNN⃗ 'DGRTXH∡CFD\∡FDE
6HWUD]D ODUHFWDDX[LOLDUBC
VRQ DOWHUQRV LQWHUQRV HQWUH SDUDOHODV HQWRQFHV?(∡CFD) = ?(∡FDE) 3RU OD PLVPD UD
]yQ?(∡BFE) = ?(∡FED)3HUR∡CFD∡DFE\∡BFEIRUPDQXQiQJXOROODQRHVGHFLU
?(∡CFD) + ?(∡DFE) + ?(∡BFE) = 180°
/XHJR?(∡FED) + ?(∡DFE) + ?(∡FDE) = 180°. (VWR HV OD VXPD GH ODV PHGLGDV GH
ORViQJXORVLQWHUQRVGHOWULiQJXORHVLJXDOD180°
(VFRQYHQLHQWHTXHODGHPRVWUDFLyQVHDUHDOL]DGDSRUODV\ORVHVWXGLDQWHV6HOHVJXLDUiSD
UDTXHODFRPXQLFDFLyQ\ODDUJXPHQWDFLyQTXHSURSRUFLRQHQVHDQDGHFXDGDVDVtFRPRHO
XVRGHODWHUPLQRORJtD\ODVLPERORJtD
6LJXLHQGRHVWHPLVPRSURFHGLPLHQWRFRPRHMHUFLFLRDGLFLRQDOVHSRGUiLQGXFLUODIyUPXOD
GHODVXPDGHORViQJXORVLQWHUQRVGHXQSROtJRQRFRQYH[R
3DUDGHVDUUROODUHOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDUVHSXHGHQSURSRQHUSUREOHPDVFRPRHO
VLJXLHQWHHVFULED\H[SRQJDXQDUJXPHQWROyJLFRSDUDFRQYHQFHUDDOJXLHQTXHODGLVWDQFLD
PiVFRUWDHQWUHXQDUHFWD/\XQSXQWR3IXHUDGHODUHFWDHVODORQJLWXGGHOVHJPHQWR34
HVSHUSHQGLFXODUD/
GRQGH4HVWiHQ/\P
(ODUJXPHQWRJLUDUiHQWRUQRDODGHVLJXDOGDGWULDQJXODUEDVWDWRPDURWURSXQWR5HQ/ \
DQDOL]DUHOWULiQJXOR345
6HSXHGHLQIHULUODVXPDGHORViQJXORVLQWHUQRVGHXQFXDGULOiWHURYLVXDOL]iQGRORFRPRGRV
WULiQJXORVDGKHULGRVHQXQODGRHQFRP~QGLDJRQDOGHOFXDGULOiWHUR
3UREOHPDVFRPRHOVLJXLHQWHSHUPLWHQFRQHFWDUODJHRPHWUtDVLQWpWLFDFRQODJHRPHWUtDDQD
OtWLFD \ UHIXHU]DQ ORV FRQRFLPLHQWRV HQ DPERV FDVRV GDGRV ORV SXQWRV $ % \
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
& GHWHUPLQH XQ SXQWR ' WDO TXH $%&' VHD XQ SDUDOHORJUDPR \ XQ SXQWR ( WDO TXH
WDPELpQ $%(& VHD XQ SDUDOHORJUDPR 'LEXMH DPERV SDUDOHORJUDPRV HQ XQ VLVWHPD GH
FRRUGHQDGDV(VWHHMHUFLFLRSHUPLWH UHIOH[LRQDUVREUH ODVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQSDUDOHORJUD
PR\DGHPiVREVHUYDUHORUGHQFRUUHFWRHQODQRWDFLyQGHODILJXUDVHJ~QVXVYpUWLFHV(QOD
VLJXLHQWHILJXUDVHGDODVROXFLyQ
Octavo año
8QDLGHDFHQWUDOHQHVWHDxRHVLQWURGXFLUHOFRQFHSWRGHKRPRWHFLD\OXHJRXWLOL]DUORSDUD
LQWURGXFLU ORVFRQFHSWRVGHFRQJUXHQFLD \ VHPHMDQ]D&RQYLHQHWDPELpQ OLJDUVHFRQ ODUH
SUHVHQWDFLyQHQHOSODQRPHGLDQWHHOXVRGHFRRUGHQDGDV
&RQUHVSHFWRDODKRPRWHFLDGHEHTXHGDUFODURTXHpVWDHVXQDWUDQVIRUPDFLyQPHGLDQWHOD
FXDOVHREWLHQHXQDILJXUDVHPHMDQWHDODILJXUDDODTXHVHOHDSOLFD(VWDVHPHMDQ]DSUHVHU
YDiQJXORVDXQTXHSXHGHFDPELDUODORQJLWXGGHORVVHJPHQWRVVLQHPEDUJRVL$\%VRQ
ORVH[WUHPRVGHXQVHJPHQWR\E’\%’VRQODVLPiJHQHVGH$\%EDMRXQDKRPRWHFLDHQ
WRQFHVE′D′ = REDGRQGHkHVXQDFRQVWDQWHOODPDGDUD]yQGHODKRPRWHFLD3RURWUDSDU
WHGDGDXQDKRPRWHFLDVLODLPDJHQGHFDGDSXQWR XVHGHQRWDSRU;’HQWRQFHVWRGDVODV
UHFWDV;;’VRQFRQFXUUHQWHVHQXQSXQWR2OODPDGRFHQWURGHODKRPRWHFLD(OSXQWR;’VH
′HVHOKRPyORJRGHED
\∡E′D′F′
OODPDKRPyORJRGHOSXQWR;\GHODPLVPDPDQHUDE′D
HVHOKRPyORJRGH∡EDF(VWRVVRQORVFRQRFLPLHQWRVEiVLFRVTXHGHEHQRULJLQDUODVKDEL
OLGDGHVTXHDOUHVSHFWRVHSURSRQHQSDUDƒ$xR
(OWHPDGH ODVHPHMDQ]DVHSUHVWDSDUDUHIRU]DUHOSURFHVRGH5D]RQDU\DUJXPHQWDUPH
GLDQWHODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVEDVDGRVHQORVFULWHULRVGHVHPHMDQ]D3RUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
(QODVLJXLHQWHILJXUD$%&'HVXQFXDGUDGR¢HV()*+XQFXDGUDGR"
(QHVWHSUREOHPD VHDSOLFDHO FULWHULRGHFRQJUXHQFLD ///SDUDYHUTXH ORVFXDWURODGRV
GHOFXDGULOiWHUR()*+VRQFRQJUXHQWHV6HGHEHHYLGHQFLDUTXHHVWRQRHVVXILFLHQWHSDUD
SUREDUTXHHVXQFXDGUDGRHQHVHFDVRWRGRURPERVHUtDFXDGUDGR'HEHDGHPiVYHULILFDU
TXHORViQJXORVVRQUHFWRV
(QFXDQWRDOHVWXGLRGHODVSLUiPLGHV\SULVPDVUHFWRVVHWUDWDDGHPiVGHODLGHQWLILFDFLyQ
GHVXVHOHPHQWRVGHLGHQWLILFDU ODV ILJXUDVTXHVH IRUPDQFXDQGRVHFRUWDQFRQXQSODQR
3DUD HVWR SXHGHQ D\XGDU PRGHORV FRQ SODVWLOLQD XRWUR PDWHULDO FRUWDGR GH PDQHUD TXH VH
KDJDHYLGHQWHTXpVHFFLyQSODQDVHREWLHQH
/DVLJXLHQWHDFWLYLGDGSXHGHUHDOL]DUVHXWLOL]DQGRVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFD3HUPLWH
HVWDEOHFHU XQD FRQMHWXUD \ GLVFXWLUVH SRVWHULRUPHQWH VX GHPRVWUDFLyQ &RQ D\XGD GH XQ
VRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFDVHOHVVROLFLWD
D 'LEXMHXQWULiQJXORGHPHGLGDV\
E 3RUFDGDYpUWLFHWUDFHXQDSDUDOHODDOODGRRSXHVWR
F 9HULILTXHTXHHOWULiQJXORIRUPDGRSRUORVSXQWRVGHLQWHUVHFFLyQGHHVWDVUHFWDVHVVH
PHMDQWHDOWULiQJXORLQLFLDO
G ¢&XiOHVODUD]yQGHVHPHMDQ]D"
H $UUDVWUHORVYpUWLFHVGHOWULiQJXORLQLFLDOSDUDIRUPDURWURWULiQJXORFXDOTXLHUD
I ¢6HFRQVHUYDODVHPHMDQ]DVLHPSUHRHQDOJXQRVFDVRV"(QFDVRDILUPDWLYR¢FXiOHVOD
UD]yQGHVHPHMDQ]D"
J 3UXHEHODVHPHMDQ]DHQORVFDVRVHQTXHVHGp
(OXVRGHVRIWZDUHSXHGHVHUDSURYHFKDGRSDUDUHDOL]DUHQSULPHUDLQVWDQFLDFRQMHWXUDVVR
EUHORVFULWHULRVGHVHPHMDQ]D\FRQJUXHQFLD/XHJRPHGLDQWHODPDQLSXODFLyQGLQiPLFDGH
ORVWULiQJXORVVHSXHGHQYHULILFDUGLFKDVFRQMHWXUDV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
Noveno año
(O WHRUHPD GH 3LWiJRUDV VH SXHGH LQWURGXFLU WDPELpQ PHGLDQWH XQD DFWLYLGDG FRPR OD VL
JXLHQWHHQ OD ILJXUD PRVWUDGD∆EDFHVUHFWiQJXORFRQiQJXORUHFWRHQ$ \%&'(HVXQ
FXDGUDGR6L$% \$& GHWHUPLQHHOiUHDGHOFXDGUDGR%&'(
6HSXHGHQXWLOL]DUYDULDVHVWUDWHJLDVSDUDUHVROYHUHOSUREOHPDSXHGHDERUGDUVHXWLOL]DQGR
JHRPHWUtDVLQWpWLFDSRUHMHPSORFRQVWUX\HQGRHOVLJXLHQWHGLEXMR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
$SDUWLUGHDTXtVHREWLHQHTXHHOiUHDHV$FRQWLQXDFLyQVHKDFHYHU HQWRQFHVTXHDF
PLGH6HSXHGHSHGLUTXHVHKDJDHOPLVPRWUDEDMRFRQRWUDVPHGLGDVDUELWUDULDV$OILQDO
VHKDFHHOFLHUUHHQXQFLDQGRHOWHRUHPDGH3LWiJRUDV(OWUDEDMRDQWHULRUVHYLVXDOL]DPHMRU
VLVHXWLOL]DXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVDSURSLDGR
3DUDGHVDUUROODUHOSURFHVR5D]RQDU\DUJXPHQWDUXQDEXHQDDFWLYLGDGFRQVLVWHHQSUHVHQ
WDUODGHPRVWUDFLyQGHXQWHRUHPD\VROLFLWDUTXHVHMXVWLILTXHFDGDSDVR
'DGRTXHORVHOHPHQWRVGHWULJRQRPHWUtDTXHVHHVWXGLDQHQHVWHDxRHVWiQOLJDGRVDOWULiQ
JXOR UHFWiQJXOR GHEHQ DSURYHFKDUVH ODV SURSLHGDGHV GH pVWH HQ HO HVWXGLR GH ODV UD]RQHV
WULJRQRPpWULFDV(QSDUWLFXODUODUHODFLyQJK + &SJ = 1HVXQDFRQVHFXHQFLDGHOWHR
UHPD GH 3LWiJRUDV(V XQD LGHQWLGDG TXH SXHGH VHUREWHQLGD PHGLDQWH XQD DFWLYLGDG DSUR
SLDGD/D LGHDHVTXHWDQWRDTXtFRPRHQRWURVWHPDVVHHYLGHQFLHQGRQGHVHDSRVLEOH ODV
FRQH[LRQHVH[LVWHQWHV
/D OH\ GH VHQRV SXHGH LQWURGXFLUVH PHGLDQWH XQ SUREOHPD FRPR HO VLJXLHQWH WUHV WRUUHV
GHQRWDGDVSRU34\ 5HVWiQ VLWXDGDVD ODVRULOODVGHXQULRGRVDXQ ODGR \XQDDORWUR
FRPRHQODILJXUD
6HVDEHTXHODVGRVWRUUHV5\3TXHHVWiQGHOPLVPRODGRVHHQFXHQWUDQDPXQDGHOD
RWUDPHGLDQWHXQLQVWUXPHQWRVHREWLHQHTXH?(∡TP) = 20° \?(∡TP) = 120°6LVH
TXLHUHWHQGHUXQFDEOHGHVGHODWRUUH4KDVWDODWRUUH3¢FXiQWRVPHWURVGHFDEOHVHUHTXLH
UHQ"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
/DV \ ORVHVWXGLDQWHVSURSRQGUiQVXVHVWUDWHJLDVTXHHVWDUiQUHODFLRQDGDVFRQ ODVUD]RQHV
WULJRQRPpWULFDV'HHVWDIRUPDODHWDSDGHFODXVXUDGHEHUiOOHYDUDOHQXQFLDGRGHODOH\GH
VHQRV
$OJXQDVVHFFLRQHVSODQDVGHXQDSLUiPLGHVHSXHGHQYHUHQODVLJXLHQWHILJXUD
Indicaciones de evaluación
(QHOWUDEDMRFRWLGLDQRHVQHFHVDULRHYDOXDUHOXVRDSURSLDGRGHOYRFDEXODULR\ODVLPERORJtD
PDWHPiWLFDDVtFRPRODIRUPDGHFRPXQLFDU\H[SRQHUODVLGHDV7DPELpQHOXVRGHLQVWUXPHQ
WRVSDUDFRQVWUXLUODVILJXUDV\WUDVODFLRQHV
/DVKDELOLGDGHVUHIHULGDVDOXVRGHODWHFQRORJtDGHEHUiQVHUHYDOXDGDVGHIRUPDFXDOLWDWLYD\
OXHJRDQDOL]DUODLQIRUPDFLyQUHFRJLGDHQFDGDDFWLYLGDG(VWDVKDELOLGDGHVQRVHUiQHYDOXDGDV
SRUPHGLRGHSUXHEDVHVFULWDVRGHHMHFXFLyQ\DTXHSRUVXQDWXUDOH]DVRQQHFHVDULRVRWURWLSR
GHWpFQLFDV
6HUHFRPLHQGDSURSRQHUWUDEDMRVH[WUDFODVHGRQGHVHDSOLTXHQORVFRQRFLPLHQWRVDGTXLULGRVSDUD
UHVROYHU\PRGHOL]DUGLYHUVRVWLSRVGHSUREOHPDVJHRPpWULFRV3RUHMHPSORHQž$xRVHSURSRQH
ODHODERUDFLyQGHXQSODQRGHVXFDVD\ODHVWLPDFLyQGHOiUHDGHODPLVPDDVtFRPRGHFDGDXQR
GHORVHVSDFLRVHQORVTXHHVWiGLYLGLGD
3DUDODHYDOXDFLyQPHGLDQWHWDUHDVFRUWDVWUDEDMRH[WUDFODVH\SUXHEDVVHGHEHQWHQHUSUHVHQWHV
ODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 'HEHFRQVLGHUDUVHHOXVRDSURSLDGRGHODVSURSLHGDGHV\WHRUHPDVDVtFRPRGHOYRFDEX
ODULR\ODQRWDFLyQ
9 (QFXDQWRDORVFRQRFLPLHQWRVEiVLFRVVREUHSXQWRVVHJPHQWRVUHFWDV\iQJXORVODHYD
OXDFLyQ VH GD PiV D QLYHO GH UHSURGXFFLyQ PHGLDQWH HO XVR GH tWHPV GH UHFRQRFLPLHQWR
UHVSXHVWDFRUWD\VHOHFFLyQ~QLFD(VLPSRUWDQWHHOUHFRQRFLPLHQWRGHSXQWRVFROLQHDOHVHQ
HOHQWRUQR\HQGLEXMRVDVtFRPRGHOSDUDOHOLVPR\ODSHUSHQGLFXODULGDGWDQWRHQWUHVHJ
PHQWRV\UHFWDVFRPRHQWUHSODQRV
9 3DUD HYDOXDU ODV KDELOLGDGHV UHODFLRQDGDV FRQ ODV PHGLGDV GH iQJXORV VH SXHGHQ XWLOL]DU
GLYHUVRV WLSRV GH tWHPV pVWRV SXHGHQ LQYROXFUDU WDPELpQ iQJXORV LQWHUQRV \ H[WHUQRV GH
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
XQWULiQJXORRGHXQFXDGULOiWHURHVSHFLDOPHQWHHQtWHPVGHWLSRUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
WDOFRPRHOVLJXLHQWH
8QSXQWR%VHHQFXHQWUDD30°DO1RUHVWHGHXQSXQWR$XQSXQWR&VHHQFXHQWUDD60°
DO1RUHVWHGH$\D80°DO1RUHVWHGH%'HWHUPLQDUODPHGLGDGHOiQJXOR%&$
9 /DVKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQWUDVODFLRQHV\JHRPHWUtDDQDOtWLFDSXHGHQVHUHYDOXDGDV
PHGLDQWHtWHPVTXHWHQJDQTXHYHUFRQHOWUD]DGRRHOUHFRQRFLPLHQWRGHILJXUDVXWLOL]DQ
GRVLVWHPDVGHFRRUGHQDGDV0HGLDQWHHOXVRGHODJHRPHWUtDDQDOtWLFDVHSXHGHQHYDOXDU
GLYHUVDVKDELOLGDGHVFRPRODHVWLPDFLyQGHiUHDVRPHGLGDVGHiQJXORVSRUHMHPSOR
De los triángulos que se presentan en la figura los que tienen la misma área que el azul son:
D6yORHODPDULOOR
E6yORHOYHUGH
F6yORHOYHUGH\HODPDULOOR
G(OYHUGHHODPDULOOR\HOURMR
9 3DUDHYDOXDUODVKDELOLGDGHVGHDSOLFDFLyQGHFRQFHSWRV\SURSLHGDGHVSXHGHSUHVHQWDUVH
XQDVLWXDFLyQFRQWH[WXDOL]DGD\VROLFLWDUTXHVHHVTXHPDWLFHJHRPpWULFDPHQWH3DUDHOOROD
RHOHVWXGLDQWHGHEHUiVHOHFFLRQDU\XWLOL]DUGHPDQHUDDSURSLDGDORVFRQFHSWRVSURSLHGD
GHV\DOJRULWPRVTXHFRUUHVSRQGDQDODVLWXDFLyQ
9 (VLPSRUWDQWHHYDOXDU ODXELFDFLyQGHSXQWRV\ ILJXUDVHQHOSODQRFRRUGHQDGRDVtFRPR
FDOFXODUODGLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRVHQPDUFDGRVHQGLYHUVRVFRQWH[WRV\DTXHHVWDVKD
ELOLGDGHVOHVHUiQGHPXFKDD\XGDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHQHO&LFORGLYHUVLILFDGR
9 3DUDHYDOXDUKRPRWHFLDVHV~WLOHOXVRGHFRRUGHQDGDVVHSXHGHSRUHMHPSORGDUXQDKR
PRWHFLD \ SHGLU ODV FRRUGHQDGDV GH ORV YpUWLFHV KRPyORJRV GH XQD ILJXUD DO DSOLFDUOH OD
KRPRWHFLDWDPELpQ ODV ORQJLWXGHVGHORVODGRVGHOD ILJXUDKRPyORJDFRQRFLHQGRORVOD
GRVGHODILJXUDRULJLQDO
9 6H EXVFD IRUWDOHFHU ORV SURFHVRV GH 5D]RQDU \ DUJXPHQWDU \ &RPXQLFDU OD HYDOXDFLyQ
GHEH IDYRUHFHU HVWH SURSyVLWR /RV FULWHULRV GH VHPHMDQ]D \ FRQJUXHQFLD VH SUHVWDQ ELHQ
SDUDUHIRU]DUGLFKRVSURFHVRV6HSHGLUiXWLOL]DUHOYRFDEXODULR\ODVLPERORJtDDGHFXDGD\
UHVSDOGDUODVUHVSXHVWDVFRQFULWHULRVGHVHPHMDQ]DRFRQJUXHQFLDYiOLGRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Geometría
9 (Q FXDQWR D OD YLVXDOL]DFLyQ HVSDFLDO VH SXHGH GHVFULELU XQD GH ODV ILJXUDV HVWXGLDGDV \
SHGLU TXH VH LGHQWLILTXH OD ILJXUD TXH VH IRUPD PHGLDQWH XQ FRUWH FRQ XQ GHWHUPLQDGR
SODQR
9 (QHOFDVRGHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVVHGHEHHYDOXDUQRVyORHQILJXUDVGRQGHDSDUHFHQGH
IRUPDH[SOtFLWDODVPHGLGDVGHGRVODGRVGHXQWULiQJXORUHFWiQJXOR\KD\TXHGHWHUPLQDU
ODPHGLGDGHORWURODGRUHSURGXFFLyQVLQRTXHWDPELpQGHEHUiHYDOXDUVHODKDELOLGDGGH
XWLOL]DUHOWHRUHPDHQUHODFLyQFRQRWURVFRQRFLPLHQWRV7DPELpQGHEHUiHYDOXDUVHFRQHO
XVRGHFRRUGHQDGDVHQHOSODQR
9 /DHYDOXDFLyQGHORVFRQRFLPLHQWRVUHODFLRQDGRVFRQWULJRQRPHWUtDHVSUHIHULEOHUHDOL]DU
ODPHGLDQWHSUREOHPDVFRQWH[WXDOL]DGRV
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
Introducción
$O LQJUHVDU D HVWH FLFOR FDGD HVWXGLDQWH WLHQH OD KDELOLGDG SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV VHQFLOODV GH
SULPHUJUDGRUHFRQRFHUUHODFLRQHVGHGHSHQGHQFLDHQWUHGRVFDQWLGDGHVYDULDEOHVDSOLFDUODUHJOD
GH WUHV SRUFHQWDMHV \ SURSRUFLRQDOLGDG GLUHFWD FRQ HO ILQ GH VROXFLRQDU SUREOHPDV FDOFXODU OD
GLVWDQFLD HQWUH SXQWRV XELFDGRV HQ XQ PDSD FRQ HVFDOD \ UHDOL]DU RSHUDFLRQHV TXH LQYROXFUDQ
VXPD UHVWD PXOWLSOLFDFLyQ \ GLYLVLyQ 7DPELpQ SXHGH FRPSUHQGHU HO FRQFHSWR GH YDULDEOH H
LGHQWLILFDUFXDQWLWDWLYDPHQWHFDPELRVHQODYDULDEOH
(O 7HUFHU FLFOR DPSOLDUi HVWDV KDELOLGDGHV H LQFOXLUi RWUDV TXHWLHQHQ TXH YHU FRQ HO HVWXGLR GH
UHODFLRQHV GH GLYHUVRV WLSRV OLQHDO FXDGUiWLFD SURSRUFLRQDOLGDG LQYHUVD DVt FRPR HO XVR GH
GLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVSDUDODVUHODFLRQHVPHQFLRQDGDVYHUEDOWDEXODUDOJHEUDLFDJUiILFD
(Qž$xRVHHVWXGLDQODVUHODFLRQHVGHSURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWDHLQGLUHFWDFRQXQDRULHQWDFLyQ
TXHSUHSDUDKDFLDHOHVWXGLRGHODVIXQFLRQHV/DUHODFLyQGHSURSRUFLRQDOLGDGHQWUHODVYDULDEOHV
[\GHOWLSR \ D[ HVXQFDVRSDUWLFXODUGHIXQFLRQHVTXHVHUiQDERUGDGDVHQƒ$xR
/DV UHODFLRQHV GH SURSRUFLRQDOLGDG VRQ PX\ LPSRUWDQWHV SDUD OD LGHQWLILFDFLyQ \ XWLOL]DFLyQ GH
PRGHORVHQGLYHUVRVFRQWH[WRV(OXVRGHWHFQRORJtDVDGTXLHUHDTXtXQOXJDUPiVUHOHYDQWHSXHV
SHUPLWLUiYLVXDOL]DUODVJUiILFDVGHODVUHODFLRQHVTXHVHUiQHVWXGLDGDV
6HHVSHUDTXHDOFRQFOXLUž$xRFDGDHVWXGLDQWHXWLOLFHPRGHORVVHQFLOORVGHIHQyPHQRV\VLWXD
FLRQHVGHOFRQWH[WRTXHWLHQHQTXHYHUFRQUHODFLRQHVGHSURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWDRLQYHUVD
/DVIXQFLRQHVFXDGUiWLFDVTXHWDPELpQVRQFDVRVSDUWLFXODUHVGHUHODFLRQHVVHLQWURGXFHQHQž
$xR(OHQIRTXHFRQHOTXHVHDERUGDQODVIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDVSULYLOHJLDODUHODFLyQ
HQWUH YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV H LQGHSHQGLHQWHV \ VXV GLVWLQWDV UHSUHVHQWDFLRQHV SRU PHGLR GH
WDEODV H[SUHVLRQHV DOJHEUDLFDV \ JUiILFDV (V XQ HQIRTXH FRQVLVWHQWH FRQ WRGD OD SUHSDUDFLyQ
UHFLELGDGHVGHODHGXFDFLyQ3ULPDULD
1RVHXVDHQHVWHFLFORXQHQIRTXHDEVWUDFWRSRUPHGLRGHFRQMXQWRVVLQRXQDFHUFDPLHQWRPiV
LQWXLWLYR 1R VH EXVFD LQWURGXFLU QRFLRQHV FRPR GRPLQLR iPELWR QL HO HVWXGLR GH SURSLHGDGHV
FRPRODLQ\HFWLYLGDG(VWHWLSRGHWUDWDPLHQWRPiVIRUPDOVHGHVDUUROODUiHQHO&LFORGLYHUVLILFD
GR
$GLFLRQDOPHQWHVHWUDEDMDUiHQHVWHFLFORFRQWDUHDVTXHHQYXHOYHQDFWLYLGDGHVGHVLPEROL]DFLyQ
\ODPDQLSXODFLyQPDWHPiWLFDFRUUHFWDGHH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
(O HQIRTXH SURSXHVWR IRPHQWD ODV FRQH[LRQHV HQWUH ODV IXQFLRQHV HVWXGLDGDV \ ODV UHODFLRQHV
DOJHEUDLFDVVLPEyOLFDV\VXPDQLSXODFLyQ3RUHMHPSORVHLQWHJUDHOHVWXGLRGHODIXQFLyQOLQHDO
FRQHOXVR\ ODUHVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGHSULPHUJUDGROD IXQFLyQFXDGUiWLFDFRQ ODVHFXDFLR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
QHVGHVHJXQGRJUDGR(VWDLQWHJUDFLyQFRQFHSWXDOSHUPLWH QRVyORYLVXDOL]DU LPSRUWDQWHVFRQH
[LRQHVHQWUHHVWRVWHPDVVLQRGDUOHVLJQLILFDGRDPXFKRVGHORVSURFHGLPLHQWRVTXHGHEHQHVWX
GLDUVHHQHOXVRGHH[SUHVLRQHVVLPEyOLFDV/RPLVPRRFXUUH FRQORVWySLFRVGHODIDFWRUL]DFLyQ
HQORVTXHVHSHUVLJXHPRVWUDUVXYtQFXORFRQODVIXQFLRQHVHVWXGLDGDV
6H HVSHUD TXH DO FRQFOXLU HVWH FLFOR FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH PRGHORV VHQFLOORV GH IHQyPHQRV \
VLWXDFLRQHVGHOFRQWH[WRUHODFLRQDGRVFRQODVIXQFLRQHVOLQHDOHV\RFXDGUiWLFDVDGHPiVGHWHQHU
XQGRPLQLRDSURSLDGRGHODPDQLSXODFLyQGHVtPERORVDOJHEUDLFRV\VXVUHODFLRQHV
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQHOiUHDGH5HODFLRQHV\ÈOJHEUDSDUDHVWHFLFORHVHOGHVDUUROORGH
KDELOLGDGHV SDUD WUDEDMDU FRQ UHODFLRQHV \ IXQFLRQHV PDWHPiWLFDV EiVLFDV SURIXQGL]DU VX FRP
SUHQVLyQGHODQRFLyQGHYDULDEOH\GHOOHQJXDMHDOJHEUDLFRODPDQLSXODFLyQDGHFXDGDGHH[SUH
VLRQHVDOJHEUDLFDVUHFRQRFHU\DSOLFDUPRGHORVPDWHPiWLFRVVHQFLOORVTXHLQYROXFUHQODVUHODFLR
QHVGHSURSRUFLRQDOLGDG\ODVIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
Habilidades generales
/DV KDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiWHQHUFDGD HVWXGLDQWHHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDDO ILQDOL]DU
HVWHFLFORVRQ
x (VWDEOHFHUODOH\GHIRUPDFLyQHQVXFHVLRQHVXWLOL]DQGRGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV
x $QDOL]DUSDWURQHVQXPpULFRV\QRQXPpULFRV
x ,GHQWLILFDU\XWLOL]DUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVSDUDUHODFLRQHVGHSURSRUFLRQDOLGDG
x (IHFWXDURSHUDFLRQHVFRQH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
x 8WLOL]DUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVSDUDODVIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
x 8WLOL]DUODVHFXDFLRQHVGHSULPHU\VHJXQGRJUDGRSDUDUHVROYHUSUREOHPDV
x 3ODQWHDUSUREOHPDVDSDUWLUGHXQDVLWXDFLyQGDGD
x ,GHQWLILFDUORVPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHVHDGDSWDQPHMRUDXQDVLWXDFLyQGDGD
/DVQXHYDVIXQFLRQHVPDWHPiWLFDVTXHVHLQWURGXFHQRIUHFHQPD\RUHVRSRUWXQLGDGHVSDUDLGHQWL
ILFDU\XVDUPRGHORVPDWHPiWLFRVGHOHQWRUQRSRUORTXHVHDPSOtDQODVSRVLELOLGDGHVSDUDPRV
WUDUODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
(OXVRGHIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDVGHQWURGHVLWXDFLRQHVHQFRQWH[WRVUHDOHVIRUWDOHFHUiOD
UHDOL]DFLyQGHOSURFHVRGH5HVROYHU\SODQWHDUSUREOHPDVORTXHDVXYH]SURPRYHUiFRQH[LRQHV
FRQ GLVWLQWDV GLVFLSOLQDV \ FRQ RWUDV iUHDV GH ODV 0DWHPiWLFDV 7DPELpQ VH HQIDWL]DUi HO XVR
FRUUHFWRGHOOHQJXDMHPDWHPiWLFRHQODFRPXQLFDFLyQYHUEDO\HOXVRGHP~OWLSOHVUHSUHVHQWDFLR
QHVPDWHPiWLFDVFRPRWDEODVJUiILFDV\VtPERORVPDWHPiWLFRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
6XFHVLRQHV
x /H\GH
IRUPDFLyQ
x 3DWURQHV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDUODOH\GHIRUPD
FLyQ GH XQD VXFHVLyQ XWLOL
]DQGR OHQJXDMH QDWXUDO
WDEXODU\DOJHEUDLFR
3ODQWHDU\UHVROYHUSUR
EOHPDVUHODFLRQDGRVFRQ
VXFHVLRQHV\SDWURQHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
Ÿ (VWRV FRQFHSWRV VH LQWURGXFHQ DTXt SDUD SURPRYHU XQD
UHFDSLWXODFLyQ GH KDELOLGDGHV GHVDUUROODGDV HQ OD HGXFDFLyQ
3ULPDULDHQUHODFLyQFRQHVWDiUHDPDWHPiWLFD
c 3URSRQHU XQ SUREOHPD FRQWH[WXDOL]DGR TXH UHSDVH WRGDV ODV
KDELOLGDGHV GH VXFHVLRQHV \ UHSUHVHQWDFLRQHV HVWXGLDGDV HQ ORV
FLFORVDQWHULRUHV
$GULDQD UHFLEH VHPDQDOPHQWH ₡ SDUD FXEULU VXV
JDVWRV GH HVWXGLR (OOD GHFLGH DKRUUDU ₡ SRU VHPDQD
SDUDIRUPDUXQIRQGRGHDKRUUR5HSUHVHQWHHQIRUPDWDEXODUOD
FDQWLGDG WRWDO GH GLQHUR TXH HOOD JDVWD VHPDQDOPHQWH GXUDQWH
ODVSULPHUDVVHPDQDV
-XDQ YHQGH SDTXHWHV GH SUHQVDV /D VLJXLHQWH WDEOD FRQ
WLHQHODVJDQDQFLDVJHQHUDGDVSRUODYHQWD
Cantidad
1
2
3
4
5
paquetes
Ganancias
350
600
850
1100 1350
en colones
D ¢&XiOHVHOSUHFLRGHFDGDSDTXHWHGHSUHQVDV"
E 'HWHUPLQHODJDQDQFLDILMDTXHGHVGHXQLQLFLRPXHVWUD
ODLQIRUPDFLyQGHOFXDGURDQWHULRU
F ¢&XiQWRGLQHURJDQD-XDQSRUODYHQWDGHSDTXHWHV
GHSUHQVDV"
Ÿ 'XUDQWHODHWDSDGHFODXVXUDVHSUHVHQWDODQRFLyQGHOH\GH
IRUPDFLyQ XWLOL]DQGR UHSUHVHQWDFLyQ QXPpULFD DOJHEUDLFD \
WDEXODU
6LXVWHGLQYLHUWHLQLFLDOPHQWH₡ HQODFRRSHUDWL
YDGHOFROHJLR\JDQDGHLQWHUpVFRPSXHVWRDQXDOGHVFULED
QXPpULFDPHQWHWDEXODUPHQWH\VLPEyOLFDPHQWHODVXFHVLyQTXH
UHSUHVHQWD OD FDQWLGDG GH GLQHUR DQXDO TXH WHQGUi VL QR KDFH
UHWLURV
1XPpULFDPHQWH «FRORQHV
7DEXODUPHQWH
Año
0
1
2
…
Cantidad
20 000 22 000 24 200
…
(colones)
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
$OJHEUDLFDPHQWH OD FDQWLGDG GH FRORQHV &Q TXH WHQGUp GHV
SXpVGHQDxRVVHPRGHODSRUODH[SUHVLyQ
&Q Q
6HSXHGHVROLFLWDUDOHVWXGLDQWDGRSODQWHDUXQSUREOHPDFRQHVWD
VLWXDFLyQ
3RU HMHPSOR HOORV SRGUtDQ SODQWHDU ¢FXiQWRV FRORQHV WHQGUp
GHVSXpVGHDxRVDxRVDxRV"
5HODFLRQHV
x 3URSRUFLR
QDOLGDG
LQYHUVD
,GHQWLILFDUUHODFLRQHVGH
SURSRUFLRQDOLGDGLQYHUVD
HQGLYHUVRVFRQWH[WRV
UHDOHV
6H UHFRPLHQGD HO XVR GH OD FDOFXODGRUD SDUD KDFHU ORV
FiOFXORVLQGLFDGRVHQODUHSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFD
c6HUHFRPLHQGDSODQWHDUXQSUREOHPDSDUDUHSDVDUHOFRQFHSWR
GHSURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWD
/D ILHVWD GH DQLYHUVDULR GH 5LWD WLHQH XQ FRVWR GH
₡ VLHOODLQYLWDDSHUVRQDV¢&XiQWRFRVWDUiODILHVWD
VLHOODGHFLGHLQYLWDUDSHUVRQDV"6XSRQJDTXHODUHODFLyQHV
GLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDO
c6HSXHGHSODQWHDUXQSUREOHPDTXHLQYROXFUHSURSRUFLRQDOL
GDGLQYHUVDSDUWLFXODUPHQWHUHODFLRQHVTXHSXHGHQVHUH[SUHVD
GDVHQODIRUPD
\
N
[
\
FRQNFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG
5HSUHVHQWD
FLRQHV
x 9HUEDO
x 7DEXODU
x *UiILFD
x $OJHEUDLFD
$QDOL]DUUHODFLRQHVGH
SURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWDH
LQYHUVDGHIRUPDYHUEDO
WDEXODUJUiILFD\DOJHEUDL
FD
N
[
6HJ~Q OD OH\ GH JUDYLWDFLyQ XQLYHUVDO SURSXHVWD SRU
1HZWRQ HO HIHFWR GH OD JUDYHGDG GH OD 7LHUUD VREUH XQ REMHWR
VXSHVRYDUtDLQYHUVDPHQWHFRQHOFXDGUDGRGHVXGLVWDQFLDDO
FHQWUR GHO SODQHWD 6XSRQJD TXH HO UDGLR GH OD 7LHUUD HV NP6LHOSHVRGHXQDVWURQDXWDHQODVXSHUILFLHGHOD7LHUUDHV
GH NJ ¢FXiO VHUi HO SHVR GH HVWH DVWURQDXWD D XQD DOWXUD GH
NPVREUHODVXSHUILFLHGHOD7LHUUD"
/D UHODFLyQDQWHULRU HV XQ PRGHORPDWHPiWLFR TXHUHODFLRQD HO
SHVRGHXQREMHWRFRQVXGLVWDQFLDDOFHQWURGHOD7LHUUD
6H SXHGH VROLFLWDU D FDGD HVWXGLDQWH UHSUHVHQWDU DOJHEUDL
FDPHQWHODVH[SUHVLRQHV
D /DIXHU]DGHDWUDFFLyQHQWUHGRVREMHWRVHVGLUHFWDPHQ
WHSURSRUFLRQDODOSURGXFWRGHVXVPDVDVHLQYHUVDPHQ
WHSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODGLVWDQFLDHQWUHHOORV
E /D LQWHQVLGDG OXPLQRVD HV LQYHUVDPHQWH SURSRUFLRQDO
DOFXDGUDGRGHODGLVWDQFLDGHOREMHWRDODIXHQWHGHOX]
F /D HQHUJtD FLQpWLFD GH XQ REMHWR HV GLUHFWDPHQWH SUR
SRUFLRQDODODPDVDGHOREMHWR \DOFXDGUDGRGHVXYH
ORFLGDG
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
/DV H[SUHVLRQHV DQWHULRUHV VRQ PRGHORV PDWHPiWLFRV GH VLWXD
FLRQHVUHDOHVUHODFLRQDGDVFRQOD)tVLFD
c'DGDXQDUHODFLyQPDWHPiWLFDGHSURSRUFLRQDOLGDGHQIRUPD
YHUEDOUHSUHVHQWDUODHQIRUPDDOJHEUDLFDRWDEXODU
&YDUtDGLUHFWDPHQWHFRQ5HLQYHUVDPHQWHFRQHOFXDGUD
GRGH66L& FXDQGR5 \6 FRPSOHWHODWDEODTXH
VLJXH
R
S
C
120
22,5
200
12,5
15
10,5
c 'DGD XQD UHSUHVHQWDFLyQ WDEXODU SDVDUOD D DOJHEUDLFD \
H[WUDHUFRQFOXVLRQHVVREUHFDQWLGDGHVTXHQRHVWiQHQODWDEOD
c 8WLOLFH IyUPXODV SDUD GHWHUPLQDU HO iUHD GH VXSHUILFLHV \ HO
YROXPHQGHIRUPDVWULGLPHQVLRQDOHV
3RUHMHPSOR
D
ÈUHDGHXQFXDGUDGRGHODGR[ $ [ HOiUHD$GH
SHQGHGHODPHGLGDGHOODGR[2EVHUYHTXHHOiUHDHV
GLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHODPHGLGDGHO
ODGRFRQFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGLJXDOD
E
9ROXPHQGHXQFXERGHODGR[ 9 [ $QiORJDPHQ
WHHOYROXPHQHVGLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDODOFXERGH
OD PHGLGD GH VX ODGR DULVWD FRQ FRQVWDQWH GH SURSRU
FLRQDOLGDG
/D ORQJLWXG GH XQD FLUFXQIHUHQFLD GH UDGLR U
& S U /DFRQVWDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDGHV S $HVWHQLYHOVHXWLOL]DFRPRDSUR[LPDFLyQSDUDS
F
6H SXHGHQ XWLOL]DU WDPELpQ iUHDV GH UHFWiQJXORV WUDSHFLRV \
SHUtPHWURVGHILJXUDVSODQDV
/DVH[SUHVLRQHVDQWHULRUHVFRQHFWDQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
FRQ*HRPHWUtD\VRQPRGHORVPDWHPiWLFRVSDUDFDOFXODUiUHDVR
YRO~PHQHVGHREMHWRVJHRPpWULFRV
c $ HVWH QLYHO OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH XQD UHODFLyQ GH
SURSRUFLRQDOLGDG LQYHUVD FRQVLVWLUi GH SXQWRV HQ HO SODQR GH
FRRUGHQDGDV UHFWDQJXODUHV SXHV QR VH KDQ LQWURGXFLGR WRGDYtD
ORVQ~PHURVLUUDFLRQDOHV
6H UHFRPLHQGD HO XVR GH VRIWZDUH SDUD OD UHSUHVHQWDFLyQ
JUiILFD/DJUiILFDREWHQLGDFRQHOVRIWZDUHDSDUHFHUiHQIRUPD
FRQWLQXDHQOXJDUGHGLVFUHWD
Programas de cada ciclo educativo
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
)XQFLRQHV
x )XQFLyQ
OLQHDO
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU VLWXDFLRQHV GD
GDV TXH SXHGHQ VHU H[SUH
VDGDV DOJHEUDLFDPHQWH HQ
ODIRUPD \ D[ E Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
Ÿ 3URSRQHU XQ SUREOHPD FRQWH[WXDOL]DGR TXH LPSOLTXH XQD
UHODFLyQGHOWLSR \ D[ E (QHODxRSDUDWUDVODGDUVHHQXQWD[LODWDULIDHUDGH
₡ SDUD HO SULPHU NLOyPHWUR \ ₡ SDUD FDGD NLOyPHWUR
DGLFLRQDO
D 5HSUHVHQWH PHGLDQWHXQD WDEODOD FDQWLGDG GH GLQHUR D
SDJDUSRUODGLVWDQFLDUHFRUULGDHQNLOyPHWURV8WLOLFHFR
PRYDORULQLFLDOHOSULPHUNLOyPHWUR
E 3ODQWHHXQDUHSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDTXHVLUYDGHPR
GHORSDUDHVWDVLWXDFLyQ
F 5HSUHVHQWHHQXQVLVWHPDGHHMHVFDUWHVLDQRVODIXQFLyQ
GHVFULWDHQHOSUREOHPDDQWHULRU
c /D UHSUHVHQWDFLyQ VLPEyOLFD HQFRQWUDGD HQ HO SUREOHPD
DQWHULRU HV XQ PRGHOR GHO FRPSRUWDPLHQWRUHDO GHO FRVWR GH XQ
VHUYLFLRGHWD[L
8VHQ~PHURVUDFLRQDOHVSDUDODUHSUHVHQWDFLyQWDEXODU
c 3DUD OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GHO SUREOHPD DQWHULRU HV
LPSRUWDQWHXWLOL]DUHVFDODVGLIHUHQWHVHQHOHMHKRUL]RQWDODEVFL
VDV \ HO YHUWLFDO RUGHQDGDV 3RU HMHPSOR FDGD FHQWtPHWUR
SXHGHUHSUHVHQWDUXQNLOyPHWURHQHOHMHGHODVDEVFLVDVPLHQWUDV
TXH FDGD FHQWtPHWUR SXHGH UHSUHVHQWDU ₡ HQ HO HMH GH ODV
RUGHQDGDV
$O WUDEDMDU FRQ UHSUHVHQWDFLRQHV WDEXODUHV HQ YDULDV RFDVLRQHV
VHXWLOL]DQGDWRVQXPpULFRVSHTXHxRVSDUDXQDGHODVYDULDEOHV\
GDWRV PX\ JUDQGHV SDUD OD RWUD YDULDEOH (Q WDOHV FDVRV VH
VXJLHUHXWLOL]DUGLIHUHQWHVHVFDODVHQORVHMHV
/D SREODFLyQ GH DVDODULDGRV FXELHUWRV SRU HO VHJXUR GH
VDOXGGHOD&DMD&RVWDUULFHQVHGH6HJXUR6RFLDODSDUHFHLQGLFD
GDHQODVLJXLHQWHWDEOD
Número de
Año
asalariados
2000
726 048
2001
727 603
2002
754 731
2003
770 032
2004
800 123
2005
842 139
2006
896 419
2007
972 208
2008
1 054 497
2009
1 038 237
2010
1 075 528
7RPDGRGH3URJUDPD(VWDGRGHOD1DFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
La cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de salud
puede ser aproximada por la función
A(t ) 39908 t 678420
en donde t representa el año, con t 0 correspondiente al año
2000. En este caso la gráfica correspondiente no pasa por los
puntos que representan los datos de la tabla. La función anterior
es un modelo lineal que aproxima los datos de la tabla.
¿En qué año la cantidad de asalariados cubiertos por el seguro
de salud será aproximadamente 1 500 000?
Esta pregunta plantea la necesidad de introducir las ecuaciones
lineales y de trabajar con expresiones algebraicas.
En particular, una ecuación de primer grado de la forma
ax b c se relaciona con la función lineal con representación algebraica y = ax + b.
Resolver la ecuación ax + b = c corresponde a determinar el
valor de x para el cual el valor de la variable dependiente y en
y = ax + b sea igual a c. Esto debe quedar claro a cada estudiante.
Se recomienda desarrollar un diálogo acerca de la
importancia de la seguridad social y la solidaridad.
2. Representar de forma tabular, algebraica y gráfica
una función lineal.
c La variable independiente x asume valores racionales pues
estos son los números que se estudian en este año (no utilice
números irracionales). La representación gráfica consistirá de
puntos en el plano cartesiano.
c Al trabajar con representaciones gráficas, en varias ocasiones
se utilizan datos numéricos pequeños para una de las variables y
datos muy grandes para la otra variable. En tales casos se
sugiere utilizar diferentes escalas en los ejes.
365
Programas de cada ciclo educativo
Expresiones
algebraicas
3. Identificar una expresión
algebraica.
x Concepto de
expresión
algebraica
4. Utilizar leyes de potencias
para la simplificación de
expresiones algebraicas.
x Valor
numérico
5. Determinar el valor numérico de una expresión algebraica.
x Monomios
-
Monomios
Semejantes
-
Operaciones
con monomios
-
Factor
numérico y
factor literal
Operaciones
con polinomios
-
Productos
notables
c Conviene repasar las leyes de potencias para simplificar
expresiones algebraicas y de variables. Se pueden implementar
ejemplos numéricos para generalizar la idea con variables.
Numérico
7
1
11
4
5
5
3 7
4
5
7 4
3
Algebraico
7
y
y11
28
3
x 7
1
y4
4
x
si y z 0
7 4
x
28
Cada estudiante debe tener claro que una variable es un símbolo
o letra que se utiliza para representar un número desconocido, y
que una expresión algebraica es una colección de variables y
constantes (números) que son combinadas con operaciones de
suma, resta, división, multiplicación y potenciación. Ejemplos:
3 x
2
5 x 1, 3 x 5 y ,
3
1 2x
c Se pueden aprovechar las relaciones ya estudiadas para
reforzar la noción de valor numérico de una expresión algebraica.
x Polinomios
-
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
El área A de un rectángulo de base b y altura h es modelada por la ecuación A = b ˜ h. Calcule el valor de A cuando b =
2,75; h = 1,39.
La ley de Boyle establece que en un recipiente
cerrado con temperatura constante la presión de un gas es
k
inversamente proporcional a su volumen. El modelo es: P
,
V
siendo P la presión en atmósfera y V el volumen en litros, k la
constante de proporcionalidad. Calcule la presión cuando V =
0,75 L, k = 30 L˜atm.
Nota: Una atmósfera es una unidad equivalente a la presión que
ejerce la atmosfera a nivel del mar. Es una unidad de presión
que no pertenece al Sistema Internacional de Unidades.
Este modelo tiene conexión con Química y Física. Por ejemplo,
se utiliza para medir la presión en los neumáticos de los vehículos o en un cilindro que contiene gas.
6. Reconocer monomios semejantes.
c Para reconocer los monomios semejantes es necesario identificar su coeficiente numérico y su factor literal.
7. Efectuar operaciones con
monomios: suma, resta,
multiplicación y división.
c Muestre que las operaciones estudiadas son una generalización de las propiedades conocidas para los números naturales.
8. Clasificar expresiones en
monomios, binomios, trinomios y polinomios de
más de tres términos.
Un terreno tiene la forma de la siguiente figura, con las
medidas de los lados indicadas. Calcule el área total del terreno.
366
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
6XPDUUHVWDU\PXOWLSOLFDU
SROLQRPLRV
c (O HMHPSOR DQWHULRU VH SXHGH DSURYHFKDU SDUD KDEODU GH OD
SURSLHGDGGLVWULEXWLYDGHODPXOWLSOLFDFLyQUHVSHFWRDODVXPD
(O FRVWR WRWDO GH XQD SHTXHxD HPSUHVD TXH SURGXFH
ODSLFHURV HV OD VXPD GH ORV FRVWRV ILMRV \ ORV FRVWRV YDULDEOHV
6XSRQJD TXH FDGD ODSLFHUR OH FXHVWD D OD HPSUHVD ₡ \
TXH HV YHQGLGR SRU ₡ 6L [ HV OD FDQWLGDG GH ODSLFHURV
SURGXFLGRV \ YHQGLGRV HVFULED OD H[SUHVLyQ TXH UHSUHVHQWD HO
FRVWRWRWDOFRUUHVSRQGLHQWHVLORVFRVWRVILMRVGHODHPSUHVDVRQ
GH₡ ([SUHVHORVLQJUHVRVGHELGRVDODVYHQWDV
HQWpUPLQRVGH[\FDOFXOHODJDQDQFLDGHODHPSUHVDJDQDQFLD
LQJUHVRVSRUYHQWDV±FRVWRWRWDOGHSURGXFFLyQ
c(Q OD HWDSD GH FODXVXUD VH IRUPDOL]DQ ODV RSHUDFLRQHV FRQ
SROLQRPLRV
8WLOL]DUSURGXFWRVQRWDEOHV c&RQVLGHUH~QLFDPHQWHORVWUHVSULPHURVSURGXFWRVQRWDEOHV
DED±EDED±E
SDUD GHVDUUROODU H[SUHVLR
QHVDOJHEUDLFDV
(VLPSRUWDQWHHYLWDUXWLOL]DUH[SUHVLRQHVFRPSOLFDGDVFXDQGRVH
XWLOL]DQ ORV SURGXFWRV QRWDEOHV 8WLOLFH D OR VXPR GRV GLVWLQWDV
RSHUDFLRQHV GH VXPD \R UHVWDGHQWUR GHO SDUpQWHVLV 3RU HMHP
SOR
D E F /D H[SUHVLyQ GHQWUR GHO SDUpQWHVLV SXHGH VHU DJUXSDGD GH
GLVWLQWDVIRUPDV
D E F D F
WURV
(FXDFLRQHV
x (FXDFLRQHV
GHSULPHU
JUDGRFRQ
XQDLQFyJQL
WD
E D E F &DOFXOHHOiUHDGHOFXDGUDGRGHODGRDEFHQWtPH
(V UHOHYDQWH XVDU ILJXUDV JHRPpWULFDV SDUD MXVWLILFDU ORV
GHVDUUROORVFRQIRUPHVHSURSRQHHQODVLQGLFDFLRQHVPHWRGROy
JLFDV (VWR SHUPLWH KDFHU FRQH[LyQ FRQ *HRPHWUtD \ DEUH
HVSDFLRSDUDPHQFLRQDUODKLVWRULDGHOÈOJHEUD
c6HSXHGHFRPHQ]DUHVWHWHPDSURSRQLHQGRSUREOHPDVHQORV
TXH QHFHVDULDPHQWH XQD HFXDFLyQ VHD HO PHGLR SRU HO FXDO VH
SODQWHHQ\UHVXHOYDQ
,GHQWLILFDUODGLIHUHQFLDHQ
WUH XQD H[SUHVLyQDOJHEUDL
FD\XQDHFXDFLyQ
&RPSUREDU VL XQ Q~PHUR
(O PRQWH (YHUHVW OD PRQWDxD PiV DOWD GHO PXQGR HV
GDGR HV VROXFLyQ GH XQD
PHWURVPiVDOWRTXHHOFHUUR&KLUULSyHOSXQWRPiVDOWRGH
HFXDFLyQ
&RVWD5LFD6LODVXPDGHVXVDOWXUDVHVPHWURVSODQWHH
XQDHFXDFLyQTXHSHUPLWDFDOFXODUODDOWXUDGHFDGDXQRGHHOORV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
6ROXFLyQGH 5HGXFLUXQDHFXDFLyQD
XQD HFXD
RWUDTXHHVHTXLYDOHQWHD
FLyQ
HOOD
&HURGHXQD 3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
IXQFLyQ
EOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV
XWLOL]DQGR HFXDFLRQHV GH
5Dt]GHXQD
SULPHU JUDGR FRQ XQD LQ
HFXDFLyQ
FyJQLWD
x (FXDFLRQHV
OLWHUDOHV
&HUUR&KLUULSy
0RQWH(YHUHVW
c 3DUD UHGXFLU XQD HFXDFLyQ D RWUD IRUPD HTXLYDOHQWH XWLOLFH
RSHUDFLRQHVDULWPpWLFDV/DKDELOLGDGLPSOLFDHOUHFRQRFLPLHQWR
GHTXHDPEDVHFXDFLRQHVWLHQHQODPLVPDVROXFLyQ
/D LQIODFLyQ HV XQD VLWXDFLyQ HFRQyPLFD HQ OD FXDO VH
LQFUHPHQWDORVSUHFLRVGHORVELHQHV \VHUYLFLRV6XSRQ
JD TXH OD JDVROLQD DXPHQWD OD PLVPD FDQWLGDG , GH
FRORQHVFDGDDxR6LHOFRVWRGHODJDVROLQDHQFLHUWRDxRHV & HQWRQFHV HO FRVWR & GHVSXpV GH W DxRV HV GDGR SRU OD VLJXLHQWH
UHSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFD
& & , W 6ROLFLWDU D FDGD HVWXGLDQWH TXH SODQWHH XQ SUREOHPD FRQ HVWD
VLWXDFLyQ/DHFXDFLyQDQWHULRUHVXQPRGHORGHFRVWRV
8Q SRVLEOH SUREOHPD VHUtD VL OD JDVROLQD DXPHQWD FDGD
DxR¢FXiQWRVFRORQHVFRVWDUiDOILQDOGHDxRV"
2WUD SRVLELOLGDG HV VL OD JDVROLQD DXPHQWD FDGD DxR
¢FXiQWRWLHPSRVHUiQHFHVDULRSDUDTXHVHGXSOLTXHHOSUHFLR"
8QDSLQWXUDPX\IDPRVDHV/D*LRFRQGDFRQRFLGRFRPR
OD0RQD/LVDGHODUWLVWD/HRQDUGRGD9LQFL(VWDSLQWXUD
VHHQFXHQWUDHQHO0XVHRGH/RXYUHHQ3DULV)UDQFLD(OFXDGUR
WLHQHIRUPDUHFWDQJXODU\VXDOWXUDHVFHQWtPHWURVPiVTXHVX
DQFKR(OSHUtPHWURGHOFXDGURHVGHFHQWtPHWURV&DOFXOHOD
DOWXUD\HODQFKRGHOFXDGUR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
5HODFLRQDU XQD HFXDFLyQ
GH SULPHU JUDGR FRQ XQD
LQFyJQLWD GH OD IRUPD
D[ E F FRQ OD IXQFLyQ
OLQHDO FX\D UHSUHVHQWDFLyQ
DOJHEUDLFDHV\ D[E
5HVROYHUHFXDFLRQHVGH
SULPHUJUDGRFRQXQDLQ
FyJQLWD
5HVROYHU HFXDFLRQHV DO
JHEUDLFDVIUDFFLRQDULDVTXH
VHUHGXFHQDHFXDFLRQHVGH
SULPHU JUDGR FRQ XQD LQ
FyJQLWD
5HVROYHUHFXDFLRQHV
OLWHUDOHVSDUDXQDGHODV
OHWUDV
(VWH WLSR GH SUREOHPD WLHQH FRQH[LyQ FRQ
*HRPHWUtD UD]yQ iXUHD HO DUWH OD +LVWRULD \ FRQILUPD OD
XWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDVHQGLYHUVRViPELWRVGHODYLGD
c5HVROYHUODHFXDFLyQD[E FFRUUHVSRQGHDGHWHUPLQDUHO
YDORU GH [ SDUD HO FXDO HO YDORU GH OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH \ HQ
\ D[EVHDLJXDODF(VWHYDORUGH[VHFRQRFHFRPRUDt]GH
ODHFXDFLyQ
&DGDHVWXGLDQWHGHEHWHQHUFODURTXHFXDQGRF ODUDt]GHOD
HFXDFLyQD[E WDPELpQVHFRQRFHFRPRFHURGHODIXQFLyQ
UHSUHVHQWDGDDOJHEUDLFDPHQWHSRU\ D[E
/D HFXDFLyQ D[ E F HV HTXLYDOHQWH D OD HFXDFLyQ
D[E±F HVGHFLUTXHODUDt]GHD[E FFRLQFLGHFRQHO
FHURGH\ D[E±F
c /DV HFXDFLRQHV OLQHDOHV D GHVDUUROODU GHEHQ VHU GH OD IRUPD
TXHVLJXHVXSRQLHQGRTXHODVH[SUHVLRQHVHVWiQELHQGHILQLGDV
D[
F D[ E
F D[ E
F[ G
D[ r F[ r E G D E[ r F D[ r E[ r F G[ r H[ r I [
F
rD
D[ r E
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G F[ r G
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G H[ r I H
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I
c 6H UHFRPLHQGD LPSOHPHQWDU HMHPSORV GRQGH VH FRQWHPSOHQ
ORV FDVRV HQ TXH OD HFXDFLyQ WHQJD VROXFLyQ YDFtD R TXH WHQJD
LQILQLWDVVROXFLRQHV
Programas de cada ciclo educativo
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
)XQFLRQHV
x )XQFLyQ
FXDGUiWLFD
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
1. ,GHQWLILFDU VLWXDFLRQHV GD
GDV TXH SXHGHQ VHU H[SUH
VDGDV DOJHEUDLFDPHQWH HQ
ODIRUPD\ D[E[F
2. 5HSUHVHQWDU WDEXODU DOJH
EUDLFD \ JUiILFDPHQWH XQD
IXQFLyQFXDGUiWLFD
Ÿ 6H VXJLHUH SURSRQHU XQ SUREOHPD HQ XQ FRQWH[WR UHDO TXH
LPSOLTXHXQDUHODFLyQGHOWLSR\ D[E[F
6H FRUWDQODV HVTXLQDV GH XQDOiPLQD GH FDUWyQ TXHPLGH
FP GH ODUJR SRU FP GH DQFKR SDUD KDFHU XQD FDMD
UHFWDQJXODU VLQ WDSD ¢&XiOHV VRQ ORV YDORUHV SRVLEOHV SDUD OD
DOWXUD[GHODFDMDSDUDTXHVXYROXPHQVHDLJXDOD [ " /D SREODFLyQ GH DVDODULDGRV FXELHUWRV SRU HO VHJXUR GH
VDOXG GH OD &DMD &RVWDUULFHQVH GH 6HJXUR 6RFLDODSDUHFH
LQGLFDGDHQODVLJXLHQWHWDEOD
Número de
Año
asalariados
2000
726 048
2001
727 603
2002
754 731
2003
770 032
2004
800 123
2005
842 139
2006
896 419
2007
972 208
2008
1 054 497
2009
1 038 237
2010
1 075 528
7RPDGRGH3URJUDPD(VWDGRGHOD1DFLyQ
/D FDQWLGDG GH DVDODULDGRV $ FXELHUWRV SRU HO VHJXUR GH VDOXG
SXHGHVHUDSUR[LPDGDSRUHOPRGHOR
$W WW
HQ GRQGH W UHSUHVHQWD HO DxR FRQ W FRUUHVSRQGLHQWH DO DxR
HVWHPRGHORDSUR[LPDPHMRUORVYDORUHVGHODWDEODTXHHO
PRGHOR OLQHDO SODQWHDGR HQ ƒ $xR (Q HVWH FDVR OD JUiILFD
FRUUHVSRQGLHQWH QR SDVD SRU ORV SXQWRV TXH UHSUHVHQWDQ ORV
GDWRVGHODWDEODHVXQDFXUYDTXHDSUR[LPDORVGDWRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
¿En qué año la cantidad de asalariados cubiertos por el seguro
de salud será aproximadamente 1 500 000?
Este tipo de pregunta plantea la necesidad de introducir las
ecuaciones de segundo grado y de trabajar con expresiones
algebraicas, como por ejemplo la factorización. En particular,
una ecuación de segundo grado de la forma ax bx c d
se relaciona con la función cuadrática con representación
algebraica
2
y
ax 2 bx c .
Cada estudiante debe tener claro que resolver la ecuación
ax 2 bx c
el
d corresponde a determinar el valor de x para
valor de la variable dependiente y en
el
cual
y
ax 2 bx c sea igual a d.
Se recomienda generar un diálogo en la clase acerca de
la importancia de la salud y de la cobertura del seguro social.
c La idea es introducir la función cuadrática como relación
entre variables. No se debe tener un enfoque abstracto en 9º Año
en cuanto a funciones, sino un enfoque más intuitivo.
La representación tabular es más apropiada para realizar el paso
hacia la representación gráfica. Al trabajar con representaciones
tabulares, en varias ocasiones se utilizan datos numéricos
pequeños para una de las variables y datos muy grandes para la
otra variable. En tales casos se sugiere utilizar diferentes escalas
en los ejes.
Aspectos como dominio, ámbito, inyectividad, entre otros,
tendrán un tratamiento más formal en 10º Año.
2
Ejemplos de funciones cuyo criterio es y ax :
a. El área de un cuadrado de lado x cm es A = x2 cm2.
b.
c.
El área de un círculo de radio r cm es A S r cm2.
En el instante t 0 segundos se deja caer una bola
desde cierta altura. La distancia recorrida por la bola
2
después de t segundos es dada por y
4.9t 2
Todos estos son modelos de distintas situaciones que se
conectan con Geometría y Física.
371
Programas de cada ciclo educativo
([SUHVLRQHV
DOJHEUDLFDV
x )DFWRUL]D
FLyQ
x 'LYLVLyQGH
SROLQRPLRV
x 2SHUDFLRQHV
FRQH[SUH
VLRQHVDOJH
EUDLFDVIUDF
FLRQDULDV
x 5DFLRQDOL
]DFLyQ
3. )DFWRUL]DU\VLPSOLILFDU
H[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
4. ([SUHVDU[S[TFRPR
[KN
5. (IHFWXDU GLYLVLyQ GH SROL
QRPLRV
6. (IHFWXDURSHUDFLRQHVFRQ
H[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
IUDFFLRQDULDV
7. 5DFLRQDOL]DU GHQRPLQDGRU
R QXPHUDGRU GH H[SUHVLR
QHVDOJHEUDLFDV
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
Ÿ 3DUD OD IDFWRUL]DFLyQ FRPSOHWD XWLOLFH SROLQRPLRV HQ XQD R
GRV YDULDEOHV FRQ QR PiV GH FXDWUR WpUPLQRV /DV WpFQLFDV D
XWLOL]DUVRQ
D )DFWRUFRP~Q\IyUPXODQRWDEOH
E *UXSRV\IDFWRUFRP~Q
F *UXSRV\GLIHUHQFLDGHFXDGUDGRV
G 7ULQRPLRFXDGUDGRSHUIHFWR
)DFWRUL]DFLyQ SRU LQVSHFFLyQ GHO WULQRPLR [ E[ F FRPR XQ SURGXFWR GH OD IRUPD [ S [ T FRQ
H
ST
E ST
F /DVIyUPXODVQRWDEOHVDXWLOL]DUVRQ
D E
D E D E D E
D E
D DE E
D DE E
c /D WpFQLFD GH H[SUHVDU HO WULQRPLR [ S[ T FRPR
[ K
N VH FRQRFH FRPR FRPSOHWDU FXDGUDGRV \ HV PX\
LPSRUWDQWHSDUDGHGXFLUODIyUPXODJHQHUDOFRQWDOGHHQFRQWUDU
UDtFHVGHXQDHFXDFLyQGHVHJXQGRJUDGR\WDPELpQSDUDJUDIL
FDU
Ÿ3DUDODGLYLVLyQGHSROLQRPLRVFRQVLGHUHODGLYLVLyQGH
D %LQRPLRSRUPRQRPLR
E 7ULQRPLRSRUPRQRPLRHQXQDRGRVYDULDEOHV
F %LQRPLRSRUELQRPLR
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D E
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D DE E
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
SDUD FRPSOHWDU FXDGUDGRV HQ H[SUHVLRQHV DOJHEUDLFDV GH OD
IRUPD [ S[ T (MHPSORV
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SDUDFDOFXODUODVUDtFHVGHXQDHFXDFLyQFXDGUiWLFD
(OSURFHGLPLHQWRDQWHULRUUHTXLHUHSDUDVXDVLPLODFLyQ
XQDDFWLWXGSHUVHYHUDQWH
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8. 3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
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9. 5HVROYHU HFXDFLRQHV TXH
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FyJQLWD
c 6H SXHGH IRUPXODU XQ SUREOHPD FX\D VROXFLyQ LPSOLTXHXQD
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6H FRUWDQODV HVTXLQDV GH XQDOiPLQD GH FDUWyQ TXHPLGH
FP GH ODUJR SRU FP GH DQFKR SDUD KDFHU XQD FDMD
UHFWDQJXODU VLQ WDSD ¢&XiOHV VRQ ORV YDORUHV SRVLEOHV SDUD OD
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9 [ ± [ ± [ $O PXOWLSOLFDU VH REWLHQH OD HFXDFLyQ
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[±[ c3DUDUHVROYHUXQDHFXDFLyQGHVHJXQGRJUDGRVHGHEHH[SOL
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PHQWDUORHQHODOJRULWPRGHUHVROXFLyQGHHVWHWLSRGHHFXDFLyQ
DE VL\VyORVLD RE Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
/D XWLOL]DFLyQ GH HVWH SULQFLSLR OH GD UHOHYDQFLD D OD IDFWRUL]D
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(VLPSRUWDQWHDFODUDUTXHVLVHIDFWRUL]DHOWULQRPLRSRULQVSHF
FLyQGHODVLJXLHQWHIRUPD
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[ E[ F VRQODV VROXFLRQHV GHODV HFXDFLRQHV GH SULPHU
JUDGR [ S [ T HVGHFLU [ S [ T 3DUD HFXDFLRQHV GH VHJXQGR JUDGR VRQ ~WLOHV ORV VLJXLHQWHV
SULQFLSLRV
D 6L[ N N t HQWRQFHV[
N R [ N F c6HSXHGHGHGXFLUODIyUPXODJHQHUDOSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHV
GHVHJXQGRJUDGRFRQXQDLQFyJQLWD
c (V FRQYHQLHQWH UHODFLRQDU HO VLJQR GHO GLVFULPLQDQWH FRQ HO
Q~PHUR GH UDtFHV GH OD HFXDFLyQ GH VHJXQGR JUDGR FRQ XQD
LQFyJQLWDD[E[F 10. 7UD]DU OD JUiILFD GH XQD c/DJUiILFDGHODIXQFLyQFRQFULWHULR\ D[±KVHREWLHQH
IXQFLyQ FXDGUiWLFD FX\R GH\ D[DOWUDVODGDUKRUL]RQWDOPHQWHHORULJHQGHFRRUGHQDGDV
FULWHULRHV\ D[E[F DO SXQWR FX\D DEVFLVD HV [ K 'H HVWD IRUPD HO YpUWLFH GH OD
SDUiERODVHXELFDHQ[ K\ /D JUiILFD GH \ D [ ± K F VH REWLHQH GH \ D [ ± K
PHGLDQWH WUDVODFLyQ YHUWLFDO GH F XQLGDGHV KDFLD DUULED VL F HV
SRVLWLYRRKDFLDDEDMRVLFHVQHJDWLYR(QHVWHFDVRHOYpUWLFH
GHODSDUiERODVHHQFXHQWUDHQ[ K\ F
$TXt VH REVHUYD OD LPSRUWDQFLD GH FRPSOHWDU FXDGUDGRV SXHV
PHGLDQWH WUDQVIRUPDFLRQHV WUDQVODFLRQHV \ KRPRWHFLDV VH
SXHGHJUDILFDU\ D[E[FDSDUWLUGHODJUiILFDGH\ [
$GHPiV HVWH WLSR GH HVWUDWHJLD FRQHFWD 5HODFLRQHV \
ÈOJHEUDFRQ*HRPHWUtD
11. $QDOL]DU OD LQIOXHQFLD GH
ORVSDUiPHWURVDEFHQOD
c /DV FDOFXODGRUDV JUDILFDGRUDV \ VRIWZDUH FRQ FDSDFLGDG
JUiILFDGH\ D[E[F SDUDJUDILFDUVRQPX\LPSRUWDQWHVSDUDYLVXDOL]DUODVJUiILFDVGH
XWLOL]DQGRVRIWZDUH
IXQFLRQHV
E
)XQFLRQHV
x )XQFLyQ
FXDGUiWLFD
6LF HVUHDO HQWRQFHV F
Programas de cada ciclo educativo
12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con
una incógnita.
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
La tabla que sigue muestra la población de Costa Rica (en
millones) en el periodo 1960-2009 (Banco Mundial. Indicadores
de desarrollo mundial).
Año
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2009
Población
(millones)
1,334
1,583
1,822
2,052
2.349
2,699
3,078
3,479
3,931
4,396
4,579
Un modelo cuadrático para la población aproximada de Costa
Rica es P = 11 418t2 +225 697t + 1 317 503 donde P representa
el tamaño de la población y t el tiempo en años, con t = 0
representando el año de 1960. Que cada estudiante plantee y
resuelva un problema con la situación dada.
Se recomienda hablar acerca del aumento poblacional y
sus consecuencias para el ser humano y el ambiente. Esto
favorece la concientización acerca de una Cultura ambiental
para el desarrollo sostenible y la Educación para la salud.
Un fabricante de componentes de computadoras produce
un disco duro externo de 2.5 pulgadas. La capacidad de los
discos duros varía de 20 GB a 200 GB. Un modelo de costo de
producción de una unidad de disco duro puede ser la función
1 2 8
680
s s
, donde s es la
con criterio dado por C ( s )
180
9
9
capacidad de la unidad de disco duro, en gigabytes. Que cada
estudiante plantee un problema con la situación.
Ejemplo: encuentre la capacidad del disco duro que tiene el
menor costo de producción. ¿Cuál es el costo mínimo de producción?
c Es importante que cada estudiante utilice distintos métodos
para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita:
factorización por inspección, completando cuadrados, por
fórmula general, gráficamente y utilizando calculadora.
La solución de una ecuación de segundo grado que es más
reconocida y aplicada hoy es el número de oro, cuya historia
podrá estimular al estudiantado.
375
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
(QHOOLEUR9,GHORV(OHPHQWRVGH(XFOLGHVDSDUHFHSRUSULPHUD
YH]XQHVWXGLRIRUPDOVREUHORTXHKR\VHFRQRFHFRPRQ~PHUR
iXUHR (VWH Q~PHUR HV OD VROXFLyQ SRVLWLYD GH OD HFXDFLyQ
FXDGUiWLFD
[ [ (VWDUDt]HVHOQ~PHURLUUDFLRQDO
TXHDSDUHFHHQFRQWH[
WRVEDVWDQWHYDULDGRVREUDVDUTXLWHFWyQLFDVFRPRHO3DUWHQyQ
HQ OD QDWXUDOH]D FDUDFROHV HQ ODV SLQWXUDV REUDV GH 0LJXHO
ÈQJHO'XUHUR\/HRQDUGR'D9LQFLHQHOSHQWDJUDPDVtPER
ORPtVWLFRXWLOL]DGRSRUORVSLWDJyULFRV\KDVWDHQODP~VLFD
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(VDGHFXDGRGDUWLHPSRDFDGDHVWXGLDQWHSDUDTXHDQDOLFHVXFHVLRQHV\SDWURQHV(ODQiOL
VLV FRQWHPSOD LGHQWLILFDU FRQMHWXUDU XWLOL]DU HQVD\R \ HUURU FRPSDUDU VROXFLRQHV \ DUJX
PHQWDUODVHVWUDWHJLDVXWLOL]DGDV
6H HVSHUD TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH VtPERORV PDWHPiWLFRV HQ VXV DUJXPHQWDFLRQHV SRU
HMHPSORORVVtPERORV±˜y !dtDODQDOL]DUVXFHVLRQHVRSDWURQHVQXPpULFRV
'HEH LQGLFDUVH DO HVWXGLDQWDGR HO FDPELR GH VLPERORJtD SDUD OD PXOWLSOLFDFLyQ $KRUD VH
XWLOL]DUiHOSXQWRHQOXJDUGHOVtPERORu
3DUD ORJUDU KDELOLGDGHV UHODFLRQDGDV FRQ VXFHVLRQHV \ SDWURQHV HV UHFRPHQGDEOH XWLOL]DU
UHFXUVRVYDULDGRVWDOHVFRPRUHFRUWHVGHUHYLVWDVSHULyGLFRVSDSHOFXDGULFXODGRFDUWXOLQD
JHRSODQRVRPDSDSHOGHFRQVWUXFFLyQ\REMHWRVTXHVHHQFXHQWUDQHQHOHQWRUQRHVWXGLDQWLO
TXHFRQWHQJDQSDWURQHVRELHQSDUDFRQVWUXLUSDWURQHV
&XDQGRVHXWLOL]DQUHFXUVRVFRPRHOJHRSODQRRHOVRPDKD\TXHGDUWLHPSRSDUDTXHFDGD
HVWXGLDQWHVHIDPLOLDULFHFRQHOORVDQWHVGHSURFHGHUDUHDOL]DUODVWDUHDVHVSHFtILFDV
(V UHFRPHQGDEOH TXH ORV PDWHULDOHV FRQFUHWRV XWLOL]DGRV VHDQ UHFLFODEOHV SDUD IRPHQWDU XQD
FXOWXUDDPELHQWDOSDUDHOGHVDUUROORVRVWHQLEOH
(OIRFRFHQWUDOGHHVWHFLFORFRQVLVWHHQXQDFHUFDPLHQWRPiVLQWXLWLYRDODVIXQFLRQHVOLQHDOHV
\ FXDGUiWLFDV HQ VXV GLVWLQWDV UHSUHVHQWDFLRQHV XWLOL]DQGR ORV FRQRFLPLHQWRV GH UHODFLRQHV
GHVDUUROODGRVHQORVFLFORVDQWHULRUHV
(VLPSRUWDQWHIRPHQWDUXQDPELHQWHGHUHVSHWRSRUODVLGHDVSUHVHQWDGDVSRUFDGDHVWXGLDQWH
HQVXVUD]RQDPLHQWRV\DUJXPHQWDFLRQHV\DVtSURPRYHUOD 9LYHQFLDGHORV'HUHFKRV+XPD
QRVSDUDOD'HPRFUDFLD\OD3D]
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
Sétimo año
3DUDODVVXFHVLRQHV\SDWURQHVVHHVSHUDQYDULDVDFFLRQHVHQHOWUDEDMRHVWXGLDQWLOODFRQMH
WXUDHOHQVD\R\HUURUODFRPSDUDFLyQGHODVVROXFLRQHVREWHQLGDV\FRPXQLFDFLyQODVHV
WUDWHJLDVXWLOL]DGDVPHGLDQWHVtPERORVPDWHPiWLFRV\OHWUDVSDUDUHSUHVHQWDUODVYDULDEOHV
FRUUHVSRQGLHQWHV
3DUDODVVXFHVLRQHVHVUHOHYDQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHKDJDFDPELRVHQWUHUHSUHVHQWDFLRQHV
SULQFLSDOPHQWHODDOJHEUDLFDXWLOL]DQGROHWUDVSDUDUHSUHVHQWDUHOWpUPLQRHQpVLPRGHODVX
FHVLyQ3RUHMHPSORVHSXHGHGDUXQDUHSUHVHQWDFLyQYHUEDOGHODSURSRUFLyQ\SHGLUDFDGD
HVWXGLDQWHTXHFRPSOHWHXQDWDEOD6LODHQHUJtDFLQpWLFD(GHXQREMHWRTXHVHPXHYHHVGL
UHFWDPHQWHSURSRUFLRQDODOFXDGUDGRGHVXYHORFLGDGY\VL( -FXDQGRY PV
FRPSOHWHODVLJXLHQWHWDEOD
v
40
E
99
115
3DUD GRWDU GH FRQWH[WR UHDO D ODV UHODFLRQHV GH SURSRUFLRQDOLGDG HV UHFRPHQGDEOH XWLOL]DU
UHFRUWHV GH UHYLVWDV SHULyGLFRV \ GDWRV HVWDGtVWLFRV REWHQLGRV SRU HMHPSOR GHO ,QVWLWXWR
1DFLRQDOGH(VWDGtVWLFD\&HQVRV,1(&RGHO(VWDGRGHOD1DFLyQ
(QODVUHSUHVHQWDFLRQHVGHODVSURSRUFLRQHVHVQHFHVDULRFRPELQDUSURSRUFLRQHVGLUHFWDVH
LQYHUVDV3RUHMHPSORVLODSUHVLyQ3GHXQJDVLGHDOYDUtDGLUHFWDPHQWHFRQODWHPSHUDWXUD
7HLQYHUVDPHQWHFRQHOYROXPHQ9GHOUHFLSLHQWHTXHORRFXSD\VL 3 DWPFXDQGROD
WHPSHUDWXUDHV7 R&\HOYROXPHQHV9 OLWURVFRPSOHWDUODVLJXLHQWHWDEOD
T (oC)
15
20
V (l)
0,75
0,4
P (atm)
45
58
Octavo año
/D LGHDHV LQWURGXFLU OD IXQFLyQ OLQHDOFRPRXQDUHODFLyQHQWUHYDULDEOHV(QSDUWLFXODU OD
IXQFLyQOLQHDOFRQFULWHULRGHODIRUPD\ D[FRQDFRQVWDQWHHVXQFDVRSDUWLFXODUGHSUR
SRUFLyQGLUHFWDYLVWDHQ ƒ$xR(Qƒ$xRVHGDUiXQWUDWDPLHQWRPiV IRUPDOD ODV IXQ
FLRQHV
(QDOJXQRVSDtVHVFRPR(VSDxD)UDQFLD\3RUWXJDOODIXQFLyQOLQHDO\ D[EFRQ E z VH
FRQRFHFRPRIXQFLyQDItQ(OWpUPLQROLQHDOVHUHVHUYDDOFDVRGHIXQFLRQHVFRQFULWHULR GH
OD IRUPD \ D[ HQ FRQFRUGDQFLD FRQ OD WHUPLQRORJtD XWLOL]DGD HQ PDWHPiWLFD SDUD WUDQV
IRUPDFLRQHV OLQHDOHV 7RGD WUDQVIRUPDFLyQ OLQHDO OOHYD HO FHUR GHO GRPLQLR HQ HO FHUR GHO
iPELWRHVGHFLUODLPDJHQGHOFHURHVFHUR(QHVWHSURJUDPDXWLOL]DUHPRVHOWpUPLQROLQHDO
SDUD DPERV FDVRV 'H HVD PDQHUD VH VHJXLUi OD WHUPLQRORJtD XVDGD WUDGLFLRQDOPHQWH HQ
&RVWD5LFD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
/DUHSUHVHQWDFLyQWDEXODUHVODPiVDSURSLDGDSDUDUHDOL]DUHOSDVRKDFLDODUHSUHVHQWDFLyQ
JUiILFD$SDUWLUGHXQDWDEODFRQ ORVSDUHVRUGHQDGRVTXHVDWLVIDFHQ ODHFXDFLyQ OLQHDO VH
SURFHGHDODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDFRPRSXQWRVHQHOSODQRGHFRRUGHQDGDVUHFWDQJXODUHV
'LFWDUH[SUHVLRQHV PDWHPiWLFDVHQ IRUPDYHUEDOSDUDTXHFDGDHVWXGLDQWHODVHVFULEDXWLOL
]DQGR FRQVWDQWHV YDULDEOHV \ ORV VtPERORV GH VXPD UHVWD GLYLVLyQ PXOWLSOLFDFLyQ LJXDO
GDGPD\RUTXHPHQRUTXHPD\RURLJXDOTXHPHQRURLJXDOTXH
+D\TXHDFODUDUHOVLJQLILFDGRGHORVWpUPLQRVH[SUHVLyQDOJHEUDLFDHFXDFLyQLGHQWLGDG
D 8QDHFXDFLyQHVXQHQXQFLDGRPDWHPiWLFRTXHDILUPDTXHGRVH[SUHVLRQHVPDWHPiWLFDV
VRQLJXDOHV3RUHMHPSOR
[ [ [ [ [ [ [ [ [ E 8QD LGHQWLGDGHVXQDHFXDFLyQTXHHVYHUGDGHUDSDUDWRGRVORVYDORUHVGH ODVYDULDEOHV
UHDOHVFRQWHQLGDVHQHOOD(MHPSORV
[ [ [ [ [ F 8QDH[SUHVLyQDOJHEUDLFDHVXQDFROHFFLyQGHYDULDEOHV\FRQVWDQWHVQ~PHURVTXHVRQ
FRPELQDGDV FRQ RSHUDFLRQHV GH VXPD UHVWD GLYLVLyQ PXOWLSOLFDFLyQ \ SRWHQFLDFLyQ
(MHPSORV
[E
[ \ DE D \
7DPELpQHVIXQGDPHQWDOTXHFDGDHVWXGLDQWHFRPSUHQGDTXHXQDHFXDFLyQSXHGHWHQHUYD
ULDVVROXFLRQHVXQD~QLFDVROXFLyQRELHQQLQJXQD
(MHPSORVGHHFXDFLRQHVTXHVHUHGXFHQDHFXDFLRQHVGHOVHJXQGRJUDGRKDELOLGDG
D]E]F KDFLHQGR[ ]
DV E V F KDFLHQGR [
V
3DUDODKDELOLGDGHVSHUWLQHQWHGDUXQDUHSUHVHQWDFLyQJHRPpWULFDGHODVIyUPXODVQRWD
EOHVFRQVLGHUDGDVVXSRQLHQGRTXHORVQ~PHURVXWLOL]DGRVVRQWRGRVSRVLWLYRV3RUHMHPSOR
DE DDEE Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
(VWDHVWUDWHJLDSHUPLWH ODFRQH[LyQFRQ *HRPHWUtD6HSXHGHVXJHULUKDFHU ORPLVPRSDUD
ODVRWUDVGRVIyUPXODVQRWDEOHVD±E D±DEEDED±E D±E
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ODGRL]TXLHUGR\GHOGHUHFKRGHODPLVPD(VWRVHGHEHDTXHODLJXDOGDGHVXQDUHODFLyQGH
HTXLYDOHQFLD\HQSDUWLFXODUHVVLPpWULFDD EVL\VyORVLE D3RUORWDQWR
DDEE DED±DEE D±ED±E DED±E
(IHFWXDUHVWRHQHVWDGLUHFFLyQVHFRQRFHFRPRIDFWRUL]DFLyQ
(OWUDWDPLHQWRGHHUURUHVDOJHEUDLFRVHVIXQGDPHQWDOHQHVWDHWDSD8QHUURUPX\IUHFXHQWH
HVKDFHUDE DE(VLPSRUWDQWHDVLJQDUVXILFLHQWHWLHPSRSDUDSRWHQFLDUODFRQMH
WXUD\HODQiOLVLVGHODVH[SUHVLRQHVFRQGLVWLQWRVYDORUHVQXPpULFRVHVWRD\XGDUiDODWRPD
GHGHFLVLRQHV\DVLPLODFLyQGHODVSURSLHGDGHV
Noveno año
/DLGHDHVLQWURGXFLUODIXQFLyQFXDGUiWLFDFRPRXQDUHODFLyQHQWUHYDULDEOHV(QSDUWLFXODU
ODIXQFLyQFXDGUiWLFDFRQFULWHULRGHODIRUPD\ D[FRQDFRQVWDQWHHVXQFDVRSDUWLFXODU
GHSURSRUFLyQGLUHFWDYLVWDHQƒ$xR\HVGLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDOD[VLHQGRDODFRQV
WDQWHGHSURSRUFLRQDOLGDG(Qƒ$xRVHGDUiXQWUDWDPLHQWRPiVIRUPDODODVIXQFLRQHV
$ HVWH QLYHO VLJXH VLHQGR UHFRPHQGDEOH HO WUDWDPLHQWR GH ORV GDWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWD
FLRQHVWDEXODUHVSDUDOXHJRSDVDUDUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDV$SDUWLUGHXQDWDEODFRQORV
SDUHV RUGHQDGRV TXH VDWLVIDFHQ OD HFXDFLyQ OLQHDO VH SURFHGH D OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD
FRPRSXQWRVHQHOSODQRGHFRRUGHQDGDVUHFWDQJXODUHV \VHXQH ORVSXQWRVFRQXQDFXUYD
TXHHVODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDGHODIXQFLyQFXDGUiWLFD
3DUDFRQWH[WXDOL]DUORVSUREOHPDVSODQWHDGRVUHODFLRQDGRVFRQHFXDFLRQHVGHVHJXQGRJUD
GRRFRQIXQFLRQHVFXDGUiWLFDVHVUHFRPHQGDEOH XWLOL]DUUHFRUWHVGHUHYLVWDVSHULyGLFRV \
GDWRV HVWDGtVWLFRV REWHQLGRV SRU HMHPSOR GHO ,QVWLWXWR 1DFLRQDO GH (VWDGtVWLFD \ &HQVRV
,1(&GHO(VWDGRGHOD1DFLyQRGHVLWLRVZHEFRPRHOHMHPSORTXHDSDUHFHHQODVLQGL
FDFLRQHVSXQWXDOHV
(VEDVWDQWH~WLOSDUWLUGH ODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDGHOD IXQFLyQ I[ [SDUDFRQVWUXLU OD
JUiILFDGH ODFXDGUiWLFDJHQHUDO3DUD OD IXQFLyQ SURWRWLSR I[ [TXHVHUYLUiGH PRGHOR
SDUDUHSUHVHQWDUODIXQFLyQFXDGUiWLFDJHQHUDOTXHFDGDHVWXGLDQWHWHQJDFODURORVLJXLHQWH
6LFDPELDPRV[SRU±[VHREWLHQHHO PLVPRYDORUGH\ I[SXHVI±[ ±[ [(VWR
LPSOLFDTXHODJUiILFDGHODIXQFLyQSURWRWLSRHVVLPpWULFDUHVSHFWRDOHMHYHUWLFDO³\´RVHD
[ \SRUORWDQWREDVWDJUDILFDUODSDUWHFRUUHVSRQGLHQWHD[t/DRWUDSDUWHVDOHSRUVL
PHWUtDUHVSHFWRDOHMHYHUWLFDO\
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FXDQGR[ /DJUiILFDHVXQDSDUiERODTXHVHDEUHKDFLDDUULED\HORULJHQHVHOYpUWLFHGH
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
ODSDUiEROD/DIXQFLyQID[ D[HVXQDKRPRWHFLDGHODIXQFLyQSURWRWLSR6LD!ODSD
UiERODVHDEUHKDFLDDUULEDVLDODSDUiERODVHDEUHKDFLDDEDMR/DIXQFLyQJ[
D[FHVXQDWUDQVODFLyQYHUWLFDOGHID[ D[KDFLDDUULEDGHFXQLGDGHVVLF!\KDFLD
DEDMRVLF
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ODSDUiEROD\VXYpUWLFHVHHQFXHQWUDHQHOSXQWRK
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GLDQWHODWpFQLFDGHFRPSOHWDUFXDGUDGRV
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QDVLODHFXDFLyQWLHQHGRVUDtFHVXQDUDt]RQLQJXQDUDt]UHDO
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6HSXHGHQHVWDEOHFHUDQDORJtDVDULWPpWLFDVSDUDGHGXFLUORVSURFHGLPLHQWRVFRUUHVSRQGLHQ
WHV\UHVROYHURSHUDFLRQHVFRQH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVIUDFFLRQDULDV3RUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
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Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
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[ [ 3DUDODVRSHUDFLRQHVFRQH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVIUDFFLRQDULDVVXPDUHVWDPXOWLSOLFDFLyQ
GLYLVLyQ XWLOLFH VRODPHQWH GRV H[SUHVLRQHV FX\R QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU VHDQ PRQR
PLRVELQRPLRVRSROLQRPLRVGHQRPiVGHFXDWURWpUPLQRVFRQXQDRGRVYDULDEOHV3RU
HMHPSOR
[
x
[ [ [ x
[ [
x
[ [ x
[ [
y
[ [ [
[ [ [ 3DUD ODV HFXDFLRQHV GH VHJXQGR JUDGR FDGD HVWXGLDQWH GHEH WHQHU FODUR TXH UHVROYHU OD
HFXDFLyQ D[ E[ F G FRUUHVSRQGHDGHWHUPLQDUHO YDORUGH [SDUDHOFXDOHO YDORUGH OD
YDULDEOHGHSHQGLHQWH\HQ \ D[ E[ F VHDLJXDODG(VWHYDORUGH[VHFRQRFHFRPRXQD
VROXFLyQ R UDt] GH OD HFXDFLyQ D[ E[ F G &XDQGR G OD UDt] GH OD HFXDFLyQ
D[ E[ F WDPELpQ VH FRQRFH FRPR FHUR GH OD IXQFLyQ UHSUHVHQWDGD DOJHEUDLFDPHQWH
SRU \ D[ E[ F \ JHRPpWULFDPHQWH UHSUHVHQWD D OD DEVFLVD GHO SXQWR HQ GRQGH OD FXUYD
FRUUHVSRQGLHQWH FRUWD HO HMH [ /D HFXDFLyQ D[ E[ F G HV HTXLYDOHQWH D OD HFXDFLyQ
D[ E[ F G HV GHFLU OD UDt] GH D[ E[ F G FRLQFLGH FRQ ORV FHURV GH
\ D[ E[ F G 3DUDODKDELOLGDGVHUHFRPLHQGDHOXVRGHVRIWZDUHJUDILFDGRU3RUHMHPSORDWUDYpVGH
OD YDULDFLyQ GHO SDUiPHWUR % HQ OD UHSUHVHQWDFLyQ DOJHEUDLFD GH OD IXQFLyQ FXDGUiWLFD
I [ D[ E[ F VH SXHGH REVHUYDU \ FRQMHWXUDU DFHUFD GHO PRYLPLHQWR GHO YpUWLFH GH OD
SDUiEROD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
Indicaciones de evaluación
(Q HO WUDEDMR FRWLGLDQR HV LPSRUWDQWH HYDOXDU HO XVR DSURSLDGR GHO YRFDEXODULR \ OD VLPERORJtD
PDWHPiWLFDHOJUDGRGHSDUWLFLSDFLyQGHFDGDHVWXGLDQWHHQODVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDVDVtFRPR
ODIRUPDGHFRPXQLFDU\H[SRQHUVXVDUJXPHQWRV
/RVWUDEDMRVH[WUDFODVHGHEHUiQHVWDURULHQWDGRVDODQiOLVLVGHUHODFLRQHVGHSURSRUFLRQDOLGDGOD
PDQLSXODFLyQFRUUHFWDGHH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVORVGLYHUVRVFDPELRVGHUHSUHVHQWDFLRQHVSDUD
ODVIXQFLRQHVOLQHDOHVRFXDGUiWLFDV\ODUHVROXFLyQGHHFXDFLRQHVGHULYDGDVGHFRQWH[WRVUHDOHV
8QSRVLEOHWUDEDMRH[WUDFODVHSDUDHOƒ$xRFRQVLVWHHQTXHFDGDHVWXGLDQWHLQYHVWLJXHDFHUFDGH
VLWXDFLRQHVTXHSXHGHQVHUPRGHODGDVSRUIXQFLRQHVOLQHDOHVRFXDGUiWLFDV$GHPiVVHOHVVROLFL
WDUtD XWLOL]DU GLVWLQWDV UHSUHVHQWDFLRQHV SDUD ORV PRGHORV HQFRQWUDGRV \ SURSRQHU XQ SUREOHPD
SDUDXQRGHpVWRV
3DUDODHYDOXDFLyQPHGLDQWHWDUHDVFRUWDVWUDEDMRH[WUDFODVH\SUXHEDVVHGHEHQWHQHUSUHVHQWHV
ODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 3DUDHYDOXDUODVKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQVXFHVLRQHVSURSRQJDXQDVXFHVLyQHQIRUPD
WDEXODU\VROLFLWHODH[SUHVLyQDOJHEUDLFDTXHUHSUHVHQWDODOH\GHIRUPDFLyQSDUDODVXFH
VLyQGDGD
9 3DUDODKDELOLGDGGHDQDOL]DUUHODFLRQHVGHSURSRUFLRQDOLGDGGLFWHXQDVLWXDFLyQTXHWLHQH
TXHYHUFRQSURSRUFLRQDOLGDGGLUHFWDLQYHUVDRFRPELQDGD&DGDHVWXGLDQWHHVFULEHODUH
SUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDFRUUHVSRQGLHQWH\SODQWHDXQSUREOHPDSDUDODVLWXDFLyQSODQWHD
GD
9 3DUD ODV H[SUHVLRQHV DOJHEUDLFDV HV LPSRUWDQWH HYDOXDU SRVLEOHV HUURUHV DOJHEUDLFRV TXH
VRQ FRPXQHV FRPR SRU HMHPSOR D Q HV SRVLWLYR VL Q HV SDU \ D HV QR QXOR
D E D E D E D E D D HQWUH RWURV (VWRV DVSHFWRV GHEHQ VHU HYD
OXDGRVGHIRUPDFRQWLQXD\VLVWHPiWLFDHQHOWUDEDMRFRWLGLDQR
9 /DHYDOXDFLyQGHODVIXQFLRQHVOLQHDOHVGHEHFRQWHPSODUFDPELRVGHUHSUHVHQWDFLRQHV3RU
HMHPSORGDGRXQSUREOHPDHQIRUPDYHUEDO³ODHGDGGH$QDHVRFKRDxRVPHQRVTXHHO
WULSOHGH ODHGDGGH-RVp´HVFULED ODUHSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDFRUUHVSRQGLHQWHVL\HV OD
HGDGGH$QD\[HVODHGDGGH-RVp3DUDODVLWXDFLyQSODQWHHXQSUREOHPDFX\DVROXFLyQ
WHQJDVHQWLGR2WUDSRVLELOLGDGHVSODQWHDUHOSUREOHPDHQ IRUPD YHUEDO \TXHFDGD HVWX
GLDQWHFRPSOHWHXQDWDEOD³H[LVWHQRFKRSiMDURVHQFDGDiUERO\RQFHSiMDURVHQHOSLVR´
6L[UHSUHVHQWDHOQ~PHURGHiUEROHV\SHOQ~PHURGHSiMDURVFRPSOHWHODWDEOD
[
S
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Relaciones y Álgebra
9 3DUD ODV IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV WDPELpQ HV LPSRUWDQWH HYDOXDU FDPELRV GH UHSUHVHQWDFLR
QHV 3RU HMHPSOR HO PRYLPLHQWR GH XQ REMHWR HV GHVFULWR SRU OD HFXDFLyQ
\ D [ K E [UHSUHVHQWDHOWLHPSR\UHSUHVHQWDODGLVWDQFLDUHFRUULGDSRUHOREMHWR
*UDILTXHODWUD\HFWRULDGHOREMHWRHQHOVLJXLHQWHFXDGULFXODGRVLHOYpUWLFHGHODSDUiEROD
HV\SHUWHQHFHDODFXUYD
(OSURFHVRLQYHUVRVHUtDGDUXQDJUiILFDHQHOSODQRFXDGULFXODGR\ VROLFLWDUHOFULWHULRGH
ODSDUiEROD
9 8Q WLSR GH HYDOXDFLyQ GH UHSUHVHQWDFLRQHV IXQFLRQDOHV FRQVLVWH HQ KDFHU SDUHR HQWUH XQ
FRQMXQWR GDGR GH JUiILFDV FRQWUD XQ FRQMXQWR GDGR GH WDEODV R ELHQ GH FULWHULRV
DOJHEUDLFRV
9 3DUDODVHFXDFLRQHVLQFOX\DDTXHOODVTXHQRWLHQHQVROXFLyQODVTXHWLHQHQVROXFLyQ~QLFD
\ODVTXHWLHQHQLQILQLWDVVROXFLRQHVFRPRSRUHMHPSOR
[ [ [ [ [ Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
Introducción
(Q OD3ULPDULDVHFXOWLYyODDGTXLVLFLyQGH LPSRUWDQWHVGHVWUH]DVUHODFLRQDGDVFRQHO DQiOLVLVGH
GDWRV\KDELOLGDGHVSDUDUHFROHFWDUUHVXPLU\SUHVHQWDUODLQIRUPDFLyQ7DPELpQVHLQWURGXMRHO
DQiOLVLVLQWXLWLYRGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDV\ODGHWHUPLQDFLyQGHSUREDELOLGDGHVDXQQLYHOEiVLFR
(VWRVHOHPHQWRVFRQVWLWX\HQXQ LQVXPR IXQGDPHQWDOSDUDDUWLFXODUXQWUDEDMR PiVHVSHFLDOL]DGR
GXUDQWHHVWHFLFOR
(VFRQYHQLHQWHWHQHUSUHVHQWHTXHODV\ORVHVWXGLDQWHVSURYLHQHQGHFRQWH[WRVHGXFDWLYRVGLYHU
VRV SRU OR WDQWR HV QHFHVDULR HVWDEOHFHU XQD EDVH FRP~Q HQ FXDQWR D FRQFHSWRV \ KDELOLGDGHV
EiVLFDV 3RU HVWD UD]yQ HVWH FLFOR FRPLHQ]D FRQ XQD HVWDQGDUL]DFLyQ R QLYHODFLyQ HO HVWDEOHFL
PLHQWRGHXQ OHQJXDMHFRP~QVREUH ORVFRQFHSWRVEiVLFRV \ OD IRUPDOL]DFLyQGHDOJXQDVGHILQL
FLRQHV
$VtVHUi YLDEOH IRUWDOHFHU LQWHJUDOPHQWHODVKDELOLGDGHVSUHYLDVVREUHUHFROHFFLyQUHVXPHQSUH
VHQWDFLyQ\DQiOLVLVGHLQIRUPDFLyQ$OPLVPRWLHPSRVHSURIXQGL]DUiHQHOHVWXGLRGHODVVLWXD
FLRQHVDOHDWRULDV\HOFiOFXORGHSUREDELOLGDGHVFRQQXHYRVFRQFHSWRV\HOIRUWDOHFLPLHQWRGHORV
DGTXLULGRV
1R VH SUHWHQGH IRUPDU HVSHFLDOLVWDV HQ HO DQiOLVLV HVWRFiVWLFR (VWDGtVWLFD \ 3UREDELOLGDG VLQR
SURSLFLDUXQDFXOWXUDHQODFRPSUHQVLyQODYDORUDFLyQ\HOXVRDGHFXDGRGHODLQIRUPDFLyQ
Propósito de enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQHVWHFLFORSUHWHQGHUHIRU]DUODVKDELOLGDGHVDGTXLULGDVHQ3ULPD
ULDSDUDLGHQWLILFDUHLQWHUSUHWDUODLQIRUPDFLyQTXHVHJHQHUDHQHOHQWRUQR\DVtWHQHUHYLGHQFLD
TXHSHUPLWDUHVROYHUXQSUREOHPD\MXVWLILFDUHVDUHVSXHVWDDQWHODFODVH
3RURWURODGRVHSURPXHYHXWLOL]DUORVSULQFLSLRVEiVLFRVGHSUREDELOLGDGSDUDFRQWURODUODVLQWXL
FLRQHVVREUHHOD]DU\UHVROYHUSUREOHPDVDVRFLDGRVFRQpVWRV
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiGHVDUUROODUFDGDHVWXGLDQWHHQ(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGDO
ILQDOL]DUHO7HUFHUFLFORVRQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
x
,QWHUSUHWDULQIRUPDFLyQTXHKDVLGRJHQHUDGDSRUPHGLRGHDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVRSUREDEL
OtVWLFRVSURYHQLHQWHVGHGLYHUVDVIXHQWHV
x 8WLOL]DUWpFQLFDVVLPSOHVSDUDODUHFROHFFLyQGHGDWRVTXHVHDQLQVXPRSDUDXQDQiOLVLVGH
LQIRUPDFLyQUHODFLRQDGRFRQSUREOHPDVFRQFUHWRV
x 8WLOL]DUGLIHUHQWHVHVWUDWHJLDVSDUDUHVXPLUJUXSRVGHGDWRVHQIRUPDWDEXODUJUiILFDRFRQ
PHGLGDVHVWDGtVWLFDV
x 5HVSRQGHULQWHUURJDQWHVTXHUHTXLHUDQGHUHFROHFFLyQRUGHQDPLHQWRSUHVHQWDFLyQ\DQi
OLVLVGHGDWRV
x ,GHQWLILFDUHYHQWRVSURYHQLHQWHVGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVSDUWLFXODUHV\GHWHUPLQDUSURED
ELOLGDGHVDVRFLDGDVDHOORV
x 8WLOL]DU ODGHILQLFLyQ ODSODFLDQDGHSUREDELOLGDGSDUDGHGXFLU ODVSURSLHGDGHVGH ODVSUR
EDELOLGDGHVYLQFXODGDVFRQHOWLSRGHHYHQWRVHJXURSUREDEOHHLPSRVLEOH
x 8WLOL]DUODGHILQLFLyQIUHFXHQFLDORHPStULFDGHSUREDELOLGDGSDUDUHVROYHUSUREOHPDVYLQ
FXODGRVFRQIHQyPHQRVDOHDWRULRV
x 8WLOL]DUSUREDELOLGDGHVSDUDIDYRUHFHUODWRPDGHGHFLVLRQHVHQFRQGLFLyQGHLQFHUWLGXP
EUH
x 9DORUDUODLPSRUWDQFLDGHODKLVWRULDHQHOGHVDUUROORGHOD(VWDGtVWLFD\OD3UREDELOLGDG
x 8WLOL]DUWpFQLFDVGHDQiOLVLVHVWDGtVWLFRRSUREDELOtVWLFRSDUDODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV
3RUPHGLRGHODDGTXLVLFLyQGHODVDQWHULRUHVKDELOLGDGHVVHSUHWHQGHIDYRUHFHUXQDFXOWXUD HQOD
FRPSUHQVLyQGHODLQIRUPDFLyQTXHURGHDDFDGDHVWXGLDQWHHVWROHSHUPLWLUiDSUHFLDUODXWLOLGDG
GHODGLVFLSOLQD\HOGLVIUXWHGHSODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVHQHVWDiUHD7DPELpQVHRIUHFHOD
RSRUWXQLGDGGHLGHQWLILFDU\XVDUPRGHORVVLPXODUVLWXDFLRQHVGHODYLGDFRWLGLDQDSRUPHGLRGH
UHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVRWDEXODUHVRODGHWHUPLQDFLyQGHPHGLGDVGHHVWDGtVWLFDVSDUDOOHYDUD
FDERXQDDGHFXDGDLQWHUSUHWDFLyQGHOIHQyPHQRHQHVWXGLR
$GHPiVHOWUDEDMRHQHTXLSRSHUPLWLUiGHVDUUROODUGHVWUH]DVFRODERUDWLYDV\ODSHUVHYHUDQFLD
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV
/D(VWDGtVWLFD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HFRQRFHU OD (VWDGtVWLFD
FRPR XQD KHUUDPLHQWD LP
SUHVFLQGLEOH SDUD HO DQiOL
VLVGHGDWRVGHQWURGHGLIH
UHQWHV FRQWH[WRV \ iUHDV
FLHQWtILFDV
$QDOL]DU HO GHVDUUROOR KLV
WyULFRGHODGLVFLSOLQD
$QDOL]DU LQIRUPDFLyQ HV
WDGtVWLFD TXH KD VLGR UHVX
PLGD \ SUHVHQWDGD HQ FXD
GURV JUiILFDV X RWUDV UH
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD IDYRUHFHU HVWDV KDELOLGDGHV VH GHEH PRWLYDU VREUH OD
LPSRUWDQFLDGHOD(VWDGtVWLFDHQHOGHVDUUROORFLHQWtILFRGHRWUDV
GLVFLSOLQDV3DUDHOORVHUHTXLHUHSURSRUFLRQDUHMHPSORVGHXVRV
GHOD(VWDGtVWLFDHQiUHDVFRPR%LRORJtD0HGLFLQD(FRQRPtD
(GXFDFLyQHQWUHRWUDV3DUDHOORVHSXHGHUHFXUULUDHMHPSORVGH
UHSUHVHQWDFLRQHV WDEXODUHV JUiILFDV R GH RWUD QDWXUDOH]D TXH
HYLGHQFLHHVWDVDSOLFDFLRQHV6HJXLGDPHQWHVHPXHVWUDQDOJXQRV
HMHPSORV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
SUHVHQWDFLRQHV YLQFXODGDV
FRQGLYHUVDViUHDV
7RPDGRGH
KWWSZZZHVWDGRQDFLRQRUFULPDJHVVWRULHVLQIRUPHVUHJLRQB
FDSBGHPRJUDILFRSGI
7RPDGRGH
KWWSZZZHVWDGRQDFLRQRUFULPDJHVVWRULHVLQIRUPHVUHJLRQB
FDSBDPELHQWDOSGI
c3DUDFRPSOHPHQWDUORDQWHULRUVHSXHGHVXJHULUXQDVLWXDFLyQ
FRPRODVLJXLHQWH
(Q HOGRFXPHQWR VREUH ODV SHUVRQDV FRQ GLVFDSDFLGDG HQ
$PpULFD/DWLQDVHLQFOX\HHOVLJXLHQWHSiUUDIR
/D SHUVSHFWLYD GH GHUHFKRV KXPDQRV SHUPLWH FRQVL
GHUDU D ODV SHUVRQDV FRQ GLVFDSDFLGDG FRPR LQGLYL
GXRVTXHQHFHVLWDQGLIHUHQWHVVHUYLFLRVSDUDJR]DUGH
XQD VLWXDFLyQ TXH ORV KDELOLWH SDUD GHVHPSHxDUVH
FRPRFLXGDGDQRVDFWLYRV \SDUWLFLSDQWHV(VWRVLJQL
ILFDFUHFHUGHQWURGHXQDIDPLOLDDVLVWLUDODHVFXHOD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
FRQ FRPSDxHURV WUDEDMDU \ SDUWLFLSDU HQ OD WRPD GH
GHFLVLRQHV VREUH DTXHOODV SROtWLFDV \ SURJUDPDV TXH
PiVORVDIHFWDQ
$GHPiVVHLQFOX\HHOVLJXLHQWHFXDGURVLQWtWXOR
País
Población
Prevalencia de la discapacidad
Estimación de personas con discapacidad
237,546
Costa Rica
4,399,000
5.4
El Salvador
6,999,000
1.5
104,985
Guatemala
12,911,000
3.7
477,707
Honduras
7,362,000
2.7
196,774
Nicaragua
5,600,000
10.3
576,800
Panamá
3,288,000
11.3
37,154
Total
40,834,000
1,623,966
Fuente: Situación de salud en las Américas. Indicadores básicos 2006 OPS-OMS y División de Población de Naciones Unidas.
7RPDGRGH
KWWSZZZPLQVDJREQLEQVGLVFDSDFLGDGGRFVHSLGHPLLRO/DGLVF
DSDFLGDGHQ&HQWUR$PHULFDSGI
&RPHQWH OD LQIRUPDFLyQ GHO FXDGUR GH DFXHUGR FRQ OR
TXHHVWDEOHFHHOWHPD9LYHQFLDGHORV'HUHFKRV+XPDQRVSDUD
OD 'HPRFUDFLD \ OD 3D] TXH VH LQFOX\H HQ ORV SURJUDPDV GH
HVWXGLR6HQHFHVLWDHYLGHQFLDUTXHFHUFDGHOGHODSREOD
FLyQWLHQHDOJ~QWLSRGHGLVFDSDFLGDGSRUORTXHVHUHTXLHUHTXH
HOSDtVRIUH]FDODVFRQGLFLRQHVDGHFXDGDVSDUDTXH HVWDVSHUVR
QDVSXHGDQLQFRUSRUDUVHDODVRFLHGDGGHPDQHUDHIHFWLYD
/DV DFWLYLGDGHV DQWHULRUHV SRVLELOLWDQ HQIRFDU OD DFFLyQ
GRFHQWH KDFLD OD LPSRUWDQFLD TXH WLHQH OD (VWDGtVWLFD FRPR
KHUUDPLHQWDSDUDHODQiOLVLVGHLQIRUPDFLyQGHGLIHUHQWHVWHPi
WLFDV OR TXH FRUUHVSRQGH DO SURFHVR &RQHFWDU $GHPiV HVWDV
UHSUHVHQWDFLRQHV JUiILFDV WDPELpQ VH DVRFLDQ FRQ *HRPHWUtD \
5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
3DUDFRPSOHPHQWDUHVWHDVSHFWRVHSRGUtDKDFHUXQSHTXH
xR UHFXHQWR KLVWyULFR VREUH DOJXQRV FRQFHSWRV SRU HMHPSOR
SRGUtDDQDOL]DUVHGHGyQGHSURYLHQHHOWpUPLQRHVWDGtVWLFD
/DSDODEUD(VWDGtVWLFDSURFHGHGHOYRFDEOR³(VWDGR´
SXHV HUD IXQFLyQ SULQFLSDO GH ORV *RELHUQRV GH ORV
(VWDGRV HVWDEOHFHUUHJLVWURV GH SREODFLyQQDFLPLHQ
WRVGHIXQFLRQHVLPSXHVWRVFRVHFKDV/DQHFHVLGDG
GH SRVHHU GDWRV FLIUDGRV VREUH OD SREODFLyQ \ VXV
FRQGLFLRQHV PDWHULDOHV GH H[LVWHQFLD KDQ GHELGR KD
FHUVH VHQWLU GHVGH TXH VH HVWDEOHFLHURQ VRFLHGDGHV
KXPDQDVRUJDQL]DGDV
7RPDGRGH
KWWSZZZHVWDGLVWLFDSDUDWRGRVHVKLVWRULDKLVWRBHVWDKWPO
Programas de cada ciclo educativo
&RQRFLPLHQWRV ,GHQWLILFDUORVFRQFHSWRV
XQLGDGHVWDGtVWLFDFDUDFWH
EiVLFRV
UtVWLFDVRYDULDEOHVREVHU
YDFLRQHVRGDWRVSREOD
x 8QLGDG
FLyQ\PXHVWUDSDUDSUR
HVWDGtVWLFD
EOHPDVHVWDGtVWLFRVYLQFX
ODGRVFRQGLIHUHQWHVFRQ
x &DUDFWHUtVWL
WH[WRV
FDV
,GHQWLILFDU
HO WLSR GH GDWR
x 'DWRVX
FXDQWLWDWLYR
R FXDOLWDWLYR
REVHUYDFLR
FRUUHVSRQGLHQWH D XQD FD
QHV
UDFWHUtVWLFDRYDULDEOH
x 3REODFLyQ
,GHQWLILFDU OD LPSRUWDQFLD
GH OD YDULDELOLGDG SDUD HO
x 0XHVWUD
DQiOLVLVGHGDWRV
x 9DULDELOLGDG
GHORVGDWRV
x 9DULDEOHV
FXDQWLWDWLYDV
\ FXDOLWDWL
YDV
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
c(QHVWDVHFFLyQVHEXVFDGHILQLUORVFRQFHSWRVIXQGDPHQWDOHV
GHQWUR GH ORV DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV 6H UHFRPLHQGD SODQWHDU
DOJXQRVSUREOHPDVTXHSHUPLWDQLGHQWLILFDUHVRVFRQFHSWRV3RU
HMHPSOR
6HGHVHDUHDOL]DUGRVLQYHVWLJDFLRQHVTXHSUHWHQGHQ
D 'HWHUPLQDUHOHVWDGRGHVDOXGGHODV\ORVHVWXGLDQWHVGH
ORVFROHJLRVGHODFRPXQLGDGSRUORTXHVHGHEHLGHQWL
ILFDUVH[RHGDGHVWDWXUDSHVRSUHVLyQDUWHULDOWLSRGH
VDQJUHFRQGLFLyQGHIXPDGRUHQWUHRWURV
E &DUDFWHUL]DU ODV YLYLHQGDV GH OD FRPXQLGDG GH DFXHUGR
FRQ iUHD GH FRQVWUXFFLyQ P iUHD GHO ORWH P WLSR
GH PDWHULDO GH FRQVWUXFFLyQ EORFN PDGHUD ODGULOOR
HWFQ~PHURGHGRUPLWRULRVQ~PHURGHEDxRVFRORUGH
SLQWXUDHQWUHRWURV
'H DFXHUGR FRQ HVWD FDUDFWHUL]DFLyQ UHVSRQGD ODV VLJXLHQWHV
LQWHUURJDQWHV
D ¢&XiOHVHOVXMHWRXREMHWRGHHVWXGLRXQLGDGGHHVWXGLR
HQFDGDFDVR"
E ¢4XpFDUDFWHUtVWLFDVGHFDGDXQRGHHVRVVXMHWRVXREMH
WRVVHYDQDDQDOL]DU"
F ¢&XiOHV GH HVDV FDUDFWHUtVWLFDV SURSRUFLRQDQ GDWRV QX
PpULFRV"
G ¢&XiOHV GH HVDV FDUDFWHUtVWLFDV SURSRUFLRQDQ GDWRV QR
QXPpULFRV"
H ¢&XiO HV OD LPSRUWDQFLD GH ORV GDWRV SDUD DWHQGHU FDGD
SUREOHPD"
I ¢4XLpQHVFRQVWLWX\HQODWRWDOLGDGGHXQLGDGHVGHHVWXGLR
SDUDFDGDLQYHVWLJDFLyQ"
J ¢(VIDFWLEOHFRQVHJXLUODLQIRUPDFLyQGHWRGDVHVWDVXQL
GDGHVHQSRFRWLHPSR"
K ¢4Xp RWUDDOWHUQDWLYDSRGUtD XWLOL]DUVHSDUDQR FRQVXOWDU
DWRGDVODVXQLGDGHVGHHVWXGLR"
6H HVSHUD SRGHU GDU UHVSXHVWD D HVWDV LQWHUURJDQWHV 3DUD FRP
SOHPHQWDU HVWH WUDEDMR VH GHEH UHDOL]DU XQD DFWLYLGDG SOHQDULD
SDUDVLVWHPDWL]DUFDGDXQRGHORVFRQFHSWRV \GHILQLUORVWpUPL
QRVHQFDGDFDVR$GHPiVSODQWHDUSUREOHPDVGHUHSURGXFFLyQ
SDUDUDWLILFDUHODSUHQGL]DMHDOFDQ]DGR
c 3DUD YDORUDU OD LPSRUWDQFLD GH OD YDULDELOLGDG GHQWUR GH ORV
DQiOLVLV HVWDGtVWLFRV VH UHFRPLHQGD SURSRQHU XQ SUREOHPD TXH
LOXVWUH HO HIHFWR TXH VH SURGXFH FXDQGR HVWp SUHVHQWH R DXVHQWH
ODYDULDELOLGDGHQXQJUXSRGHGDWRV3RUHMHPSOR
$QDOLFH FDGD XQD GHODV VLJXLHQWHV VLWXDFLRQHV \ UHVXHOYD
HOSUREOHPDTXHVHJHQHUDHQFDGDFDVR
D &DUDFWHUL]DUDODV\ORVHVWXGLDQWHVGHOJUXSRGHDFXHUGR
FRQODYDULDEOHQ~PHURGHPLHPEURVGHOKRJDU
E &DUDFWHUL]DUDODV\ORVHVWXGLDQWHVGHDFXHUGRFRQODYD
ULDEOH FRORU GHO SDQWDOyQ R HQDJXD TXH XWLOL]D UHJXODU
PHQWHSDUDDVLVWLUDOFROHJLR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
5HFROHFFLyQ
GHLQIRUPDFLyQ
x /D
H[SHULPHQ
WDFLyQ
x ,QWHUURJD
FLyQ
)UHFXHQFLD
x $EVROXWD
x SRUFHQWXDO
5HSUHVHQWD
FLyQ
x 7DEXODU
FXDGURVGH
IUHFXHQFLD
DEVROXWD\
SRUFHQWXDO
0HGLGDVGH
SRVLFLyQ
x 0RGD
x 0HGLD
DULWPpWLFD
x 0tQLPR
x 0i[LPR
5HFROHFWDU GDWRV GHO HQ
WRUQR SRU PHGLR GH H[SH
ULPHQWDFLyQ R LQWHUURJD
FLyQ
8WLOL]DUUHSUHVHQWDFLRQHV
WDEXODUHVSDUDUHVXPLUXQ
FRQMXQWRGHGDWRV
'HWHUPLQDUPHGLGDV
HVWDGtVWLFDVGHUHVXPHQ
PRGDPHGLDDULWPpWLFD
Pi[LPRPtQLPR\UHFR
UULGRSDUDFDUDFWHUL]DUXQ
JUXSRGHGDWRV
c 6H GHEHQ LGHQWLILFDU ODV GLIHUHQFLDV HQ FXDQWR DOD YDULDELOL
GDGGHORVGDWRVHQFDGDFDVRGHPRGRTXHVHSXHGDLGHQWLILFDU
TXHHOJUXSRGHGDWRVPiVYDULDEOHJHQHUDXQDPD\RUFRPSOHML
GDGSDUDUHVXPLU\DQDOL]DUORVGDWRVREWHQLGRV
c 0HGLDQWH HVWH WLSR GH DFWLYLGDGHV VH GHVHD LGHQWLILFDU ODV
FUHHQFLDV GH FDGD HVWXGLDQWH HQ UHODFLyQ FRQ HO HIHFWR GH OD
YDULDELOLGDGGHORVGDWRVSDUDORVHVWXGLRVHVWDGtVWLFRV
c /RV VLJXLHQWHV SUREOHPDV SXHGHQ VHU DERUGDGRV SDUD SRWHQ
FLDUHVWDVKDELOLGDGHV
¢&XiOHV VRQORV PHVHV HQORV TXH VH SUHVHQWD HOPD\RU \
PHQRUQ~PHURGHFXPSOHDxRVHQHOJUXSR"
6XSRQJD TXH OD LQIRUPDFLyQ VLJXLHQWH FRUUHVSRQGH DO
Q~PHUR GH PLHPEURV GH ORV KRJDUHV GH XQD PXHVWUD GH IDPLOLDV
5
2
4
9
7
4
5
6
5
7
7
5
5
2
10
5
6
5
4
5
8
8
4
2
8
4
8
6
6
3
6
7
3
6
7
6
7
3
5
6
9
6
3
4
6
3
5
5
6
7
5HDOLFH XQ DQiOLVLV FRPSDUDWLYR HQWUH OD LQIRUPDFLyQ DQWHULRU
FRQUHVSHFWRDORVKRJDUHVGHODV\ORVHVWXGLDQWHVGHOJUXSR
2EVHUYH TXH FRQ HVWH WLSR GH DFWLYLGDGHV VH SURPXHYHQ
ORVSURFHVRV5HSUHVHQWDU&RPXQLFDU\5D]RQDU\DUJXPHQWDU
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV
5HFROHFFLyQ
GHLQIRUPDFLyQ
x /DH[SHUL
PHQWDFLyQ
x ,QWHUURJD
FLyQ
)UHFXHQFLD
x $EVROXWD
x 3RUFHQWXDO
5HSUHVHQWDFLyQ
x 7DEXODU
FXDGURVGH
IUHFXHQFLD
DEVROXWD\
SRUFHQWXDO
x *UiILFD
EDUUDVFLUFX
ODUHVOLQHD
OHV\GLD
JUDPDVGH
SXQWRV
0HGLGDV
GHSRVLFLyQ
x 0RGD
x 0HGLD
DULWPpWLFD
x 0tQLPR
x 0i[LPR
x 5HFRUULGR
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HFROHFWDU GDWRV GHO HQ
WRUQR SRU PHGLR GH H[SH
ULPHQWDFLyQ R LQWHUURJD
FLyQ
8WLOL]DU UHSUHVHQWDFLRQHV
WDEXODUHV R JUiILFDV FRQ
IUHFXHQFLDV DEVROXWDV R
SRUFHQWXDOHV VLPSOHV R
FRPSDUDWLYDV
8WLOL]DU XQ VRIWZDUH HV
SHFLDOL]DGR R XQD KRMD GH
FiOFXOR SDUD IDYRUHFHU OD
FRQVWUXFFLyQ GH FXDGURV \
JUiILFRV
&DUDFWHUL]DU XQ JUXSR GH
GDWRV XWLOL]DQGR PHGLGDV
HVWDGtVWLFDV GH UHVXPHQ
PRGD PHGLD DULWPpWLFD
Pi[LPR PtQLPR \ UHFR
UULGR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H UHFRPLHQGD LQLFLDU FRQ HO SODQWHDPLHQWR GH SUREOHPDV
VLPLODUHVDORVVLJXLHQWHV
,GHQWLILFDU VL H[LVWHQ GLIHUHQFLDV HQ ODV HVWDWXUDV HQWUH
KRPEUHV\PXMHUHVGHQWURGHOJUXSR
¢&XiOHVHOQLYHOGHDJUDGRTXHWLHQHQ ODV\ORVHVWXGLDQ
WHVSRUODVIUXWDVPXFKRUHJXODUSRFRQDGD"¢+D\GLIHUHQFLDV
SRUVH[R"
c 3DUD UHVROYHU HO SULPHU SUREOHPD KD\ TXH REVHUYDU TXH OD
FDUDFWHUtVWLFD GH LQWHUpV HV OD HVWDWXUD VH UHTXLHUH UHDOL]DU ODV
PHGLFLRQHV 3DUD HOOR VH SXHGH XWLOL]DU XQD FLQWD PpWULFD \ XQD
HVFXDGUDWDOFRPRVHPXHVWUD
/RVGDWRVREWHQLGRVGHEHUiQVHUGLYLGLGRVHQGRVJUXSRVVHJ~Q
HO VH[R \ OXHJR UHVXPLGRV 3RU OD JUDQ YDULDELOLGDG QR HV DGH
FXDGRXWLOL]DUXQFXDGURGHIUHFXHQFLDVVLPSOHVLQRPiVELHQHV
QHFHVDULRRULHQWDUKDFLDODFRQVWUXFFLyQGHGLDJUDPDVGHSXQWRV
c(QHVWHSUREOHPDVHSXHGHUHFXUULUDOHPSOHRGHPHGLGDVGH
SRVLFLyQSDUDUHVXPLUORVGDWRVHQWUHHOODVODPHGLDDULWPpWLFD
HOPtQLPR\HOPi[LPR
c3DUDHOVHJXQGRSUREOHPDODXQLGDGHVWDGtVWLFDWDPELpQHVWi
FRQVWUXLGDSRUFDGDHVWXGLDQWH\ODFDUDFWHUtVWLFDGHLQWHUpVHVHO
DJUDGR SRU ODV IUXWDV TXH VH FDWHJRUL]D HQ FXDWUR YDORUHV
PXFKRUHJXODUSRFRRQDGD/RVGDWRVSXHGHQVHUUHFROHFWDGRV
SRU PHGLR GH OD LQWHUURJDFLyQ R XQ FXHVWLRQDULR SHTXHxR &RQ
HOORVHWHQGUiLQIRUPDFLyQSDUDWRGRHOJUXSR3DUDUHVSRQGHUOD
SULPHUD LQWHUURJDQWH GHO SUREOHPD VH SXHGHQ XWLOL]DU WpFQLFDV
VLPLODUHVDODVHPSOHDGDVHQHOSULPHUSUREOHPD3DUDUHVSRQGHU
OD VHJXQGD LQWHUURJDQWH VH KDFH QHFHVDULR UHDOL]DU XQ DQiOLVLV
FRPSDUDWLYR HQWUH KRPEUHV \ PXMHUHV (VWR VH SXHGH HIHFWXDU
PHGLDQWH FXDGURV R JUiILFRV SHUR GHEH VHU PHGLDQWH ODV IUH
FXHQFLDVSRUFHQWXDOHVSXHVODVIUHFXHQFLDVDEVROXWDVVRODPHQWH
VRQ FRPSDUDEOHV VL OD FDQWLGDG GH KRPEUHV \ GH PXMHUHV VRQ
LJXDOHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
2EVHUYH TXH FRQ HVWH WLSR GH DFWLYLGDGHV VH SURPXHYHQ
YDULRV SURFHVRV (Q SULPHU OXJDU HO XVR GH UHSUHVHQWDFLRQHV
WDEXODUHVJUiILFDVRPHGLDQWHGDWRVFRQFUHWRVODFRPXQLFDFLyQ
GHLGHDVPHGLDQWHHODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQ\OD DUJXPHQWD
FLyQ DO PRPHQWR GH RIUHFHU XQD UHVSXHVWD D XQ SUREOHPD HQ
IXQFLyQGHOFRPSRUWDPLHQWRGHORVGDWRVUHFROHFWDGRV
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
(OD]DU
x $OHDWRULH
GDG
\GHWHUPL
QLVPR
3DUDHOFiOFXORGHODPHGLDDULWPpWLFDVHSXHGHUHFXUULUDO
XVR GH OD FDOFXODGRUD 3HUR DGHPiV GHELGR D TXH HO XVR GH
FXDGURV \ JUiILFRV FRQVWLWX\H XQD KHUUDPLHQWD SDUD UHVXPLU \
SUHVHQWDU GDWRV SDUD VXSRVWHULRUDQiOLVLV VX HODERUDFLyQSXHGH
VHUVLPSOLILFDGDPHGLDQWHHOXVRGHODFRPSXWDGRUD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU OD SUHVHQFLD GHO
D]DU HQ VLWXDFLRQHV DOHD
WRULDV
,GHQWLILFDU GLIHUHQFLDV HQ
WUH VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV \
GHWHUPLQLVWDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3DUD LQLFLDU OD GLVFXVLyQ VREUH HO URO GHO D]DU FRQYLHQH
XWLOL]DUDOJXQDWpFQLFDTXHSHUPLWDLGHQWLILFDUODVLGHDVRFUHHQ
FLDV GHO JUXSR 3RU HMHPSOR VH SRGUtD JHQHUDU XQD OOXYLD GH
LGHDV SDUD FXPSOLU HVWH SURSyVLWR (VWDV FUHHQFLDV GHEHQ VHUYLU
FRPRSXQWRGHUHIHUHQFLDSDUDORVDQiOLVLVVLJXLHQWHV
c 6HJXLGDPHQWH FRQYLHQH SODQWHDU LQWHUURJDQWHV SDUD LGHQWLIL
FDU IHQyPHQRV DOHDWRULRV \ GHWHUPLQLVWDV GHQWUR GHO FRQWH[WR
HVWXGLDQWLO 6H GHEHQ LGHQWLILFDU ODV GLIHUHQFLDV HQWUH HOORV \
SODQWHDU RWURV HMHPSORV 6H SXHGH GLVHxDU XQD DFWLYLGDG HQ OD
TXHVHSODQWHDQGRVMXHJRVRVLWXDFLRQHVXQDGHWHUPLQLVWD\XQD
DOHDWRULD TXH VH UHSLWHQ UHLWHUDGDPHQWH FRQ HO SURSyVLWR GH
LGHQWLILFDUHOGHWHUPLQLVPRRODDOHDWRULHGDGVHJ~QFRUUHVSRQGD
3RUHMHPSOR
'LVFXWDMXQWRFRQVXVFRPSDxHURVFXiOHVGHODVVLJXLHQWHV
RSFLRQHV UHSUHVHQWDQ VLWXDFLRQHV GHWHUPLQLVWDV \ FXiOHV UHSUH
VHQWDQ VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV DUJXPHQWH ODV UD]RQHV SRU OD TXH
FODVLILFDFDGDVLWXDFLyQ
D ¢(QTXpGtDGHODVHPDQDQDFLyHOSURIHVRUGH0DWHPi
WLFDV"
E ¢4XpGtDGHODVHPDQDVHUiSDVDGRPDxDQD"
F (OSUy[LPREHEpTXHQD]FDHQHO+RVSLWDOGHOD0XMHU
VHUiXQDPXMHU
G ,GHQWLILFDU HO OXJDU H[DFWR GRQGH FDHUi XQD SLHGUD DO
ODQ]DUODIXHUWHPHQWHKDFLDDUULED
H 6DFDU XQD EROD QHJUD GH XQD FDMD TXH FRQWLHQH FLQFR
ERODVQHJUDV
I (Q HO SUy[LPR DxROORYHUi PHQRV HQ HO PHV GHDJRVWR
TXHHQHOSUHVHQWHDxR
J 'HWHUPLQDUHOJDQDGRUHQHOMXHJR³=DSDWLWRFRFKLQLWR
FDPELDGHSLHFLWR´
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
,GHQWLILFDUHOHVSDFLR
(VSDFLRPXHV
PXHVWUDO\VXVSXQWRV
WUDO
PXHVWUDOHVFRPRUHVXOWD
GRVVLPSOHVHQXQDVLWXD
x (VSDFLR
FLyQRH[SHULPHQWRDOHDWR
PXHVWUDO
ULR\UHSUHVHQWDUORVSRU
SXQWRV
PHGLRGHODHQXPHUDFLyQ
PXHVWUDOHV \
GHVXVHOHPHQWRVRGHGLD
VX UHSUHVHQ
JUDPDV
WDFLyQ
(YHQWRV
x 5HVXOWDGRV
IDYRUDEOHVD
XQHYHQWR
x (YHQWRV
VLPSOHV\
FRPSXHVWRV
x (YHQWR
VHJXUR
HYHQWRSUR
EDEOHHYHQ
WRLPSRVLEOH
(VWR VH SXHGH FRPSOHPHQWDU FRQ DOJXQDV VLWXDFLRQHV
KLVWyULFDV
c 3URSRQHU VLWXDFLRQHV DOHDWRULDV SDUD TXH VHDQ DQDOL]DGDV HQ
IXQFLyQGHODVKDELOLGDGHVTXHVHGHVHDQGHVDUUROODU3RUHMHP
SOR
&RQVLGHUH XQ MXHJR HQ HO TXH VH ODQ]D XQD PRQHGD WUHV
YHFHV'HWHUPLQHWRGRVORVSRVLEOHVUHVXOWDGRVGHOH[SHULPHQWR
3DUD LGHQWLILFDU FDGD UHVXOWDGR SXHGH HPSOHDU WHUQD GH GDWRV
SRU HMHPSOR (&& VLJQLILFD TXH VH REWXYR HVFXGR HQ HO SULPHU
ODQ]DPLHQWR\FRURQDHQORVRWURVGRV
c6HGHEHFDUDFWHUL]DUFDGDWHUQDFRPRXQHOHPHQWRLQGLYLGXDO
R UHVXOWDGR VLPSOH TXH VH OH OODPD SXQWR PXHVWUDO \ ODUHXQLyQ
GH WRGRV ORV UHVXOWDGRV R SXQWRV PXHVWUDOHV FRQ HO QRPEUH GH
HVSDFLRPXHVWUDO/RVHVSDFLRVPXHVWUDOHVGHH[SHULPHQWRVTXH
WLHQHQ XQQ~PHUR SHTXHxR GHUHVXOWDGRV VH SXHGHQUHSUHVHQWDU
HQWUHOODYHV^`RPHGLDQWHGLDJUDPDVGHRWURWLSR3RUHMHPSOR
^(((((&(&((&&&((&(&&&(&&&`
'HWHUPLQDU HYHQWRV \ VXV
/DVDJUXSDFLRQHVGHSXQWRVPXHVWUDOHVHQXQGHWHUPLQDGR
UHVXOWDGRV D IDYRU GHQWUR
GHXQDVLWXDFLyQDOHDWRULD HVSDFLR PXHVWUDO VH OODPDQ HYHQWRV R VXFHVRV 5HVXHOYD OR
VLJXLHQWH
&ODVLILFDU HYHQWRV HQ VLP D ,GHQWLILTXH ORV HYHQWRV GH DFXHUGR FRQ HO Q~PHUR GH
SOHVRFRPSXHVWRV
UHVXOWDGRVRSXQWRVPXHVWUDOHVDIDYRUTXHLQFOX\HQ
,GHQWLILFDU HYHQWRV VHJX
$2EWHQHUDOPHQRVXQHVFXGRXQHVFXGRRPiV
URVSUREDEOHVHLPSRVLEOHV
%2EWHQHUWUHVFRURQDV
HQ XQD VLWXDFLyQ DOHDWRULD
&2EWHQHUPHQRVGHGRVFRURQDV
GHWHUPLQDGD
E ,GHQWLILTXHORVSXQWRVPXHVWUDOHVTXHLQFOX\HFDGDXQR
GHORVVLJXLHQWHVHYHQWRV
'2EWHQHUPiVGHWUHVHVFXGRV
(2EWHQHUWUHVRPHQRVFRURQDV
F 'H DFXHUGR FRQ ODV SRVLELOLGDGHV GH RFXUUHQFLD GHORV
HYHQWRV$%&'\(DQWHULRUHVGHWHUPLQH
L ¢&XiO R FXiOHV VH SXHGHQ FRQVLGHUDU FRPR VLWXDFLR
QHVGHWHUPLQLVWDVRVHJXUDV"
LL ¢&XiORFXiOHVVHSXHGHQFRQVLGHUDULPSRVLEOHV"
Programas de cada ciclo educativo
3UREDELOLGDG
x (YHQWRVPiV
SUREDEOHV
PHQRVSUR
EDEOHVH
LJXDOPHQWH
SUREDEOHV
x 'HILQLFLyQ
FOiVLFDR
ODSODFLDQD
'LIHUHQFLDUHQWUHHYHQWRV
PiVSUREDEOHVPHQRVSUR
EDEOHVHLJXDOPHQWHSURED
EOHVGHDFXHUGRFRQORV
SXQWRVPXHVWUDOHVDIDYRU
GHFDGDHYHQWR
'HWHUPLQDUODSUREDELOLGDG
GH XQ HYHQWR FRPR OD UD
]yQ HQWUH HOQ~PHUR GHUH
VXOWDGRVIDYRUDEOHVHQWUHHO
Q~PHURWRWDOGHUHVXOWDGRV
9DORUDU OD LPSRUWDQFLD GH
OD KLVWRULD HQ HO GHVDUUROOR
GH OD WHRUtD GH SUREDELOL
GDG
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
c 6H UHTXLHUH SUHFLVDU ORV FRQFHSWRV GH HYHQWRV VHJXUR
SUREDEOH R LPSRVLEOH GH DFXHUGR FRQ ODV SRVLELOLGDGHV GH
RFXUUHQFLD DO UHDOL]DU XQ H[SHULPHQWR $GHPiV TXH VH SXHGD
GLIHUHQFLDU HQWUH XQ HYHQWR VLPSOH SDUD HO FXDO VRODPHQWH
LQFOX\H XQ SXQWR PXHVWUDO \ XQ HYHQWR FRPSXHVWR TXH LQFOX\H
GRVRPiVSXQWRVPXHVWUDOHV
c 3DUD HODQiOLVLV GHO FRQFHSWR GH SUREDELOLGDG VHUHFRPLHQGD
SODQWHDU XQ SUREOHPD TXH SHUPLWD YDORUDU ODV SHUFHSFLRQHV R
FUHHQFLDVTXHVHWUDHQ$VtVHSXHGHQQLYHODUORVFRQRFLPLHQWRV
EiVLFRVGHOJUXSR
8Q MXHJR WUDWD GHKDFHU FDHU XQD SLHGUD VREUH XQD ILJXUD
JHRPpWULFD GHVGH XQD GLVWDQFLD GH PHWURV /DV ILJXUDV
JHRPpWULFDVVRQXQFtUFXORGHGLiPHWURFPXQFXDGUDGRGH
FPGHODGR\XQWULiQJXORHTXLOiWHURGHFPGHODGR6LOD
SLHGUD SXHGH FDHU DOHDWRULDPHQWH HQ FXDOTXLHU OXJDU ¢HQ FXiO
ILJXUDWLHQHPiVSUREDELOLGDGGHTXHFDLJDODSLHGUD"
(VWHSUREOHPDSHUPLWHFRQHFWDUORVFRQFHSWRVGH3UREDEL
OLGDGFRQHOFiOFXORGHiUHDVHQ*HRPHWUtD6HSXHGHLGHQWLILFDU
TXHHVPiVSUREDEOHODILJXUDTXHWLHQHPD\RUiUHD
c &RQYLHQH UHDOL]DU XQ DQiOLVLV VREUH ODV LGHDV GHO JUXSR
DOUHGHGRU GH ORV WpUPLQRV PiV SUREDEOH R PHQRV SUREDEOH (V
LPSRUWDQWH TXH VH YLQFXOHQ HVWRVWpUPLQRV FRQOD IUHFXHQFLD GH
SXQWRVPXHVWUDOHVDIDYRUGHORVHYHQWRV(VWRSHUPLWHVHQWDUODV
EDVHV SDUD UHSDVDU HO FRQFHSWR FOiVLFR GH SUREDELOLGDG (O
VLJXLHQWH HMHPSOR HV PX\ LOXVWUDWLYR SDUD FRQWLQXDU FRQ OD
GLVFXVLyQGDGD
$O ODQ]DU GRV GDGRV &LQG\ \ .DUOD UHDOL]DQ HO VLJXLHQWH
MXHJR&LQG\JDQDVLODVXPDGHORVSXQWRVHV\
PLHQWUDVTXH.DUODJDQDVLODVXPDGHORVSXQWRVHVR
.DUOD UHFODPD TXH DO WRFDUOH PHQRV Q~PHURV &LQG\ YD D
JDQDUHOPD\RUQ~PHURGHYHFHVQRREVWDQWHSURFHGHQDMXJDU
'HVSXpV GH MXJDU YHFHV &LQG\ ~QLFDPHQWH KD JDQDGR HQ RSRUWXQLGDGHV'HDFXHUGRFRQORDQWHULRUUHVSRQGDODVVLJXLHQ
WHVLQWHUURJDQWHV
D 3DUDXQMXHJRSDUWLFXODUHVGHFLUXQODQ]DPLHQWRGHORV
GDGRV ¢FXiQWRV SXQWRV WLHQH HO HVSDFLR PXHVWUDO" 6H
FRQVLGHUDSXQWRPXHVWUDOXQUHVXOWDGRVLPSOHDOODQ]DU
ORVGDGRVSRUHMHPSORVLJQLILFDTXHHQHOSULPHU
GDGRVHREWXYRXQWUHV\HQHOVHJXQGRXQFLQFR
E ¢6HUiQ ORV SXQWRV PXHVWUDOHV LJXDOPHQWH SUREDEOHV"
¢2 H[LVWH GXGD GH TXH XQRV UHVXOWDGRV VRQ PiV
SUREDEOHVTXHRWURV"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
F
G
H
¢&XiQWRVSXQWRVPXHVWUDOHVHVWiQDIDYRUGHOHYHQWR$
&LQG\ JDQD HO MXHJR \ GHO HYHQWR % .DUOD JDQD HO
MXHJR"
'HWHUPLQH OD SURSRUFLyQ GH UHVXOWDGRV D IDYRU GHO
HYHQWR $ HV GHFLU OD UD]yQ HQWUH HO Q~PHUR GH
UHVXOWDGRVDIDYRUGH$HQWUHHOWRWDOGHUHVXOWDGRV\OD
SURSRUFLyQ GH UHVXOWDGRV D IDYRU GH % &RQ EDVH HQ
HVWRV YDORUHV LQGLTXH TXLpQ WLHQH PiV SUREDELOLGDG GH
JDQDU&LQG\R.DUOD
¢$ TXp FRQFOXVLRQHV VH OOHJD UHVSHFWR D OD LQTXLHWXG
SODQWHDGD SRU .DUOD VREUH TXH &LQG\ WLHQH PiV
SUREDELOLGDG GH JDQDU HO MXHJR SRUTXH VH OH DVLJQDURQ
PiVQ~PHURV"
c
6H UHTXLHUH UHDOL]DU XQ GHEDWH GRQGH VH GLVFXWDQ ORV
UHVXOWDGRV REWHQLGRV HQ IXQFLyQ GH ORV DUJXPHQWRV HPSOHDGRV
SDUDMXVWLILFDUODVUHVSXHVWDV$GHPiVDSURYHFKDUODVVLWXDFLRQHV
SDUDSUHFLVDUHOFRQFHSWRGHSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRFRPROD
SURSRUFLyQGHFDVRVDIDYRUGHOHYHQWRRVHDODUD]yQGHSXQWRV
PXHVWUDOHV D IDYRU GHO HYHQWR HQWUH HO WRWDO GH SXQWRV PXHVWUD
OHV (V LPSRUWDQWH KDFHU OD LQGLFDFLyQ TXH SDUD SRGHU XWLOL]DU
HVWD GHILQLFLyQ VH GHEH FXPSOLU TXH ORV UHVXOWDGRV GHO H[SHUL
PHQWRRSXQWRVPXHVWUDOHVGHEHQVHULJXDOPHQWHSUREDEOHV
3DUD YDORUDUODLPSRUWDQFLD GH ODKLVWRULD HQ HO GHVDUUROOR
GH OD SUREDELOLGDG VH SXHGHPHQFLRQDU HOUROGH /DSODFH HQ OD
GHILQLFLyQGHOFRQFHSWR
5HJODVEiVLFDV 'HGXFLUODVSURSLHGDGHVGH c$SDUWLUGHODGHILQLFLyQODSODFLDQDRFOiVLFDGHSUREDELOLGDG
ODV SUREDELOLGDGHV TXH HV \ GH ORV FRQFHSWRV GH HYHQWR SUREDEOH LPSRVLEOH \ VHJXUR HV
GHSUREDELOL
WiQ YLQFXODGDV FRQ YDORUHV FRQYHQLHQWH TXH OD DFFLyQ HVWXGLDQWLO HVWp GLULJLGD KDFLD OD
GDG
TXH SXHGH WRPDU OD SURED GHGXFFLyQ GH DOJXQDV GH ODV SURSLHGDGHV EiVLFDV TXH FXPSOHQ
ELOLGDGSDUDHYHQWRVHJXUR ODV SUREDELOLGDGHV 8Q SUREOHPD TXH SXHGH RULHQWDU HO DQiOLVLV
x /DSUREDEL
SUREDEOHHLPSRVLEOH
HVHOVLJXLHQWH
OLGDGGH
FXDOTXLHU
HYHQWRHVXQ 3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
&RQVLGHUHHOMXHJRHQHOTXHVHODQ]DQGRVGDGRVQXPHUD
EOHPDV YLQFXODGRV FRQ HO GRV GH XQR D VHLV 6H FRQVLGHUD OD GLIHUHQFLD DEVROXWD HQWUH ORV
YDORUQXPp
FiOFXORGHSUREDELOLGDGHV UHVXOWDGRVGHORVGDGRV'HWHUPLQH
ULFRHQWUH
\
8WLOL]DUSUREDELOLGDGHV
D (O Q~PHUR GH SXQWRV PXHVWUDOHV YLQFXODGRV FRQ HO
SDUDIDYRUHFHUODWRPDGH
x /DSUREDEL
HYHQWR$REWHQHUXQQ~PHURPHQRUGHVHLV
GHFLVLRQHVHQSUREOHPDV
OLGDGGHXQ
E (O Q~PHUR GH SXQWRV PXHVWUDOHV YLQFXODGRV FRQ HO
YLQFXODGRVFRQIHQyPHQRV
HYHQWRVHJX
HYHQWR%HOUHVXOWDGRHVFHUR
DOHDWRULRV
URHV\GH
F (OQ~PHURGHSXQWRVPXHVWUDOHVDIDYRUGHOHYHQWR&
XQHYHQWR
REWHQHUXQVHLV
LPSRVLEOHHV
G ¢&XiOGHORVSRVLEOHVUHVXOWDGRVGHODGLIHUHQFLDDEVR
OXWDGHSXQWRVHVHOPiVSUREDEOH"
&RQEDVHHQORVUHVXOWDGRVGHHVWHHMHUFLFLRUHVSRQGD
D ¢&XiO HV ODSUREDELOLGDG GH RFXUUHQFLD GH ORV HYHQWRV
$%R&FLWDGRVDQWHULRUPHQWH"
E (QJHQHUDO¢FXiOHVODSUREDELOLGDGGHXQHYHQWRVHJX
UR"
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
F (QJHQHUDO ¢FXiO HV OD SUREDELOLGDG GH XQ HYHQWR LP
SRVLEOH"
G 3DUD XQ HYHQWR TXH UHVXOWD SUREDEOH ¢HQ TXp UDQJR
QXPpULFR VH SXHGH GHFLU TXH VH HQFXHQWUD VX YDORU
SUREDELOtVWLFR"
c$SDUWLUGHODVUHVSXHVWDVVHGHEHQVLVWHPDWL]DUODVSURSLHGD
GHV EiVLFDV HV GHFLU TXH OD SUREDELOLGDG GH XQ HYHQWR HV XQ
YDORU HQWUH FHUR \ XQROD SUREDELOLGDG GHO HYHQWR LPSRVLEOH HV
FHUR\GHOHYHQWRVHJXURHVXQR
c 6H UHTXLHUH GLULJLU OD DFFLyQ HVWXGLDQWLO KDFLD HO SODQWHR GH
SUREOHPDV YLQFXODGRV FRQ HO FiOFXOR GH SUREDELOLGDGHV SDUD
HOOR OD DFFLyQ GRFHQWH GHEH PRWLYDU HO SODQWHDPLHQWR GH VLWXD
FLRQHV JHQpULFDV FRPR OD ORWHUtDQDFLRQDOORV MXHJRV GH GDGRV
HO 7LFR%LQJR HQWUH RWURV 3HUR DGHPiV SURSRQHU SUREOHPDV
GHOFRQWH[WRGRQGHHODQiOLVLVGHSUREDELOLGDGHVSHUPLWDODWRPD
GHGHFLVLRQHV3RUHMHPSOR
6H GHVHD GHWHUPLQDU FXiO GH WUHV FDQGLGDWRV WLHQH PiV
SUREDELOLGDGGHVDOLUJDQDGRUHQODVHOHFFLRQHVHVWXGLDQWLOHVGHO
FROHJLR6HUHDOL]DXQDHQFXHVWDXQDVHPDQDDQWHVGHUHDOL]DUODV
HOHFFLRQHV SDUD FRQRFHU OD LQWHQFLyQ GHO YRWR DSOLFiQGRVH XQD
PXHVWUDGHHVWXGLDQWHVSRUQLYHO/RVUHVXOWDGRVVHPXHVWUDQ
HQHOVLJXLHQWHFXDGUR
Intención de voto para las elecciones estudiantiles de una
muestra de 10 estudiantes por nivel
Nivel
Sétimo
Octavo
Noveno
Décimo
Undécimo
A
4
2
6
1
0
Candidatos
B
3
5
2
5
0
C
3
3
2
4
10
6HVLJXHHOVXSXHVWRGHTXHODPXHVWUDHVUHSUHVHQWDWLYDGHWRGD
OD SREODFLyQ WRWDO GH HVWXGLDQWHV \ GH FDGD XQR GH ORV QLYHOHV
$GHPiVODLQWHQFLyQGHYRWRVHPDQWHQGUiSDUDODHOHFFLyQ'H
DFXHUGR FRQ HVWD LQIRUPDFLyQ UHVSRQGD ODV VLJXLHQWHV LQWHUUR
JDQWHV
D ¢&XiO FDQGLGDWR WHQGUtD XQD PD\RU SUREDELOLGDG GH
JDQDUODVHOHFFLRQHV"
E ¢&XiORFXiOHVFDQGLGDWRVWHQGUtDQPD\RUSUREDELOLGDG
GH JDQDU ODV HOHFFLRQHV VL ~QLFDPHQWH YRWDUDQ HVWX
GLDQWHVGHO7HUFHUFLFOR"
c3DUDHVWHSUREOHPDHVPX\LPSRUWDQWHHQIDWL]DUORVVXSXHVWRV
TXH VH UHDOL]DURQ SXHV SDUD SRGHU JHQHUDOL]DU XQ UHVXOWDGR GH
XQD PXHVWUD KDFLD OD SREODFLyQ VH UHTXLHUHQ PXFKRV PiV HOH
PHQWRVGHORVTXHVHKDQDQDOL]DGRKDVWDDKRUD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
(OSUREOHPDWDPELpQHVXQEXHQHMHPSORGHODIRUPDHQ
TXHVHSXHGHQFRPELQDUWpFQLFDVHVWDGtVWLFDVFRPRHOPXHVWUHR
\ODDSOLFDFLyQGHXQFXHVWLRQDULRSDUDGHVDUUROODUSUREDELOLGD
GHV3URFHVRLQYROXFUDGR&RQHFWDU
3UREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ HOHFFLRQHV HVWXGLDQWLOHV
PRWLYDQ D LQYROXFUDUVH HQ HVWRV SURFHVRV FRPR XQD IRUPD GH
UHDOL]DU XQD YLGD HVWXGLDQWLO PiV DOOi GHO UHFLELU OHFFLRQHV $Vt
VH SURPXHYH OD 9LYHQFLD GH ORV 'HUHFKRV +XPDQRV SDUD OD
'HPRFUDFLD\OD3D]
ƒ$xR
(VWDGtVWLFD
&RQRFLPLHQWRV
9DULDEOHV
FXDQWLWDWLYDV
x 'LVFUHWDV
x &RQWLQXDV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
(VWDEOHFHU GLIHUHQFLDV HQ
WUH YDULDEOHV FXDQWLWDWLYDV
GLVFUHWDV\FRQWLQXDV
&ODVLILFDU YDULDEOHV FXDQ
WLWDWLYDVHQGLVFUHWDVRFRQ
WLQXDV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 3URSRQHU SUREOHPDV TXH LQYROXFUHQ HO DQiOLVLV GH YDULDEOHV
FXDQWLWDWLYDVGLVFUHWDV\FRQWLQXDV3RUHMHPSOR
6XSRQJD TXH VH UHDOL]D XQD HQFXHVWD D XQD PXHVWUD GH
KRJDUHV GH OD FRPXQLGDG HQ OD TXH VH ORFDOL]D HO FROHJLR /D
HQFXHVWD LQFOX\H ODV VLJXLHQWHV SUHJXQWDV UHODFLRQDGDV FRQ OD
YLYLHQGD
¢&XiOHVHOiUHDGHFRQVWUXFFLyQ"
¢&XiQWRVGRUPLWRULRV"
¢&XiOHVHOPDWHULDOSUHGRPLQDQWHHQODVSDUHGHV"
¢+DFHFXiQWRWLHPSRVHFRQVWUX\y"
¢&XiQWRVVHUYLFLRVVDQLWDULRVSRVHH"
¢&XiO HV HO HVWDGR JHQHUDO GH OD YLYLHQGD EXHQR UHJXODU
PDOR"
¢&XiQWRPLGHGHIUHQWHHOORWH"
¢&XiQWDVSHUVRQDVKDELWDQHQHOOD"
D 'HWHUPLQH OD XQLGDG HVWDGtVWLFD \ ODV FDUDFWHUtVWLFDV
TXHLQYROXFUDHOHVWXGLR
E ,GHQWLILTXH ODV FDUDFWHUtVWLFDV FXDQWLWDWLYDV \ ODV FXDOL
WDWLYDV
F $JUXSHODVFDUDFWHUtVWLFDVFXDQWLWDWLYDVGHDFXHUGRFRQ
OD HVWUDWHJLD GH UHFROHFFLyQ HPSOHDGD FRQWHR R PHGL
FLyQ
c (O SUREOHPD DQWHULRU HV HPLQHQWHPHQWH GHVFULSWLYR WLHQH
FRPR SURSyVLWR GLIHUHQFLDU HQWUH ORV GLVWLQWRV WLSRV GH FDUDFWH
UtVWLFDVGHSHQGLHQGRGHOWLSRGHGDWRVTXHSXHGHQJHQHUDU3DUD
ODV FDUDFWHUtVWLFDV FXDQWLWDWLYDV VH GHEH REVHUYDU TXH XQDV GH
HOODV VH REWLHQHQ SRU FRQWHR \ QRUPDOPHQWH JHQHUDQ Q~PHURV
HQWHURV PLHQWUDV TXH ODV RWUDV FRUUHVSRQGHQ D PHGLFLRQHV TXH
WHyULFDPHQWH SRGUtDQ WRPDU FXDOTXLHU YDORU UHDO DXQTXH QRU
PDOPHQWHVHUHSUHVHQWDQFRQDSUR[LPDFLRQHVGHFLPDOHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
'LVWULEXFLRQHV
GHIUHFXHQFLD
x &ODVHVR
LQWHUYDORV
x )UHFXHQFLD
DEVROXWD
x )UHFXHQFLD
UHODWLYD\
SRUFHQWXDO
x 5HSUHVHQWD
FLyQWDEXODU
x 5HSUHVHQWD
FLyQJUiILFD
+LVWRJUDPDV
3ROtJRQRV
GH IUHFXHQ
FLD
/D GHWHUPLQDFLyQ GH GDWRV SRU PHGLR GH PHGLFLRQHV
PXHVWUD XQD FODUD FRQH[LyQ HQWUH ODV iUHDV GH (VWDGtVWLFD \
0HGLGDV3HURDGHPiVGHELGRDTXHORVGDWRVFRUUHVSRQGLHQWHV
D HVWDV PHGLFLRQHV DQWHULRUHV VH H[SUHVDQ HQ IRUPD GHFLPDO
WDPELpQ VH SXHGH HYLGHQFLDU OD FRQH[LyQ HQWUH (VWDGtVWLFD \
1~PHURV
5HFRQRFHU OD LPSRUWDQFLD c 3DUD FRQWLQXDU FRQ HO DQiOLVLV GH ODV YDULDEOHV FRQWLQXDV VH
GH DJUXSDU GDWRV FXDQ UHFRPLHQGDSODQWHDUODVLJXLHQWHVLWXDFLyQ
WLWDWLYRV HQ FODVHV R LQWHU YDORV
(Q OD $QWLJHGDG VH XWLOL]DEDQ XQLGDGHV GH PHGLGD TXH
5HVXPLUXQJUXSRGHGDWRV HVWDEDQUHODFLRQDGDVFRQHOFXHUSRKXPDQRGRVGHHOODVVRQHO
FXDQWLWDWLYRV SRU PHGLR GH SDOPR TXH HV OD ORQJLWXG HQWUH HO SXOJDU \ HO PHxLTXH FRQ OD
OD HODERUDFLyQ GH XQ FXD PDQRDELHUWDWDPELpQFRQRFLGDFRPRFXDUWD
GUR GH GLVWULEXFLRQHV GH IUHFXHQFLD DEVROXWD \ UHOD
WLYDRSRUFHQWXDO
,QWHUSUHWDU OD LQIRUPDFLyQ
TXHSURSRUFLRQDXQFXDGUR
GHGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQ
FLDVDOUHVXPLUXQJUXSRGH
GDWRVFXDQWLWDWLYRV
\ HOFRGRTXHFRUUHVSRQGtDDODORQJLWXGGHVGHHOFRGRKDVWDHO
H[WUHPRGHORVGHGRV
5HVXPLU OD LQIRUPDFLyQ
SURSRUFLRQDGDSRUXQDGLV
WULEXFLyQ GH IUHFXHQFLDV
PHGLDQWH XQ KLVWRJUDPD R
XQSROtJRQRGHIUHFXHQFLDV
DEVROXWDV R UHODWLYDV H
LQWHUSUHWDU OD LQIRUPDFLyQ
TXH SURSRUFLRQDQ HVWDV UH
SUHVHQWDFLRQHVJUiILFDV
3URFHGD DUHDOL]DU XQ DQiOLVLV HVWDGtVWLFR SDUDGHWHUPLQDU
8WLOL]DU DOJ~Q VRIWZDUH VL H[LVWHQ GLIHUHQFLDV HQWUH KRPEUHV \ PXMHUHV UHVSHFWR D OD
HVSHFLDOL]DGR R XQD KRMD ORQJLWXG GHO FRGR \ GHO SDOPR FXDUWD HQWUH HVWXGLDQWHV GHO
GH FiOFXOR SDUD DSR\DU OD
JUXSR
FRQVWUXFFLyQ GH ODV GLVWUL EXFLRQHV GH IUHFXHQFLD \ c 6H GHEH RULHQWDU VREUH ODQHFHVLGDG GH DJUXSDU ORV GDWRV HQ
VXV UHSUHVHQWDFLRQHV JUi FODVHV SXHV ODV PHGLFLRQHV TXH VH SXGLHUDQ JHQHUDU SUHVHQWDQ
ILFDV
PXFKDYDULDELOLGDGSRUORTXHQRHVYLDEOHUHVXPLUHVWRVGDWRV
HPSOHDQGR FXDGURV R JUiILFRV GH IUHFXHQFLD VLPSOH /RV SUR
EOHPDV TXH VH HQIUHQWHQ DO UHVXPLU HVWD LQIRUPDFLyQ SHUPLWHQ
TXH VH LQWURGX]FDQ ODV GLVWULEXFLRQHV GH IUHFXHQFLD GH FODVHV
SDUDDJUXSDUHVWDLQIRUPDFLyQ
(Q HVWH WLSR GH SUREOHPDV LQWHUYLHQHQ GLIHUHQWHV SURFH
VRV 3ULPHUDPHQWH ODUHVROXFLyQ GH SUREOHPDV HVWi SUHVHQWH DO
PRPHQWRGHHVWUXFWXUDUODVLWXDFLyQ\HQODIRUPDGHDERUGDUORV
SRU SDUWH GHO HVWXGLDQWDGR /XHJR OD UHSUHVHQWDFLyQ SRU PHGLR
GH FXDGURV R JUiILFRV SDUD UHVXPLU ORV GDWRV UHFROHFWDGRV
$GHPiV VH HVWDEOHFHQ FRQH[LRQHV FRQ RWUDV iUHDV PDWHPiWLFDV
Programas de cada ciclo educativo
FRPR 0HGLGDV \ 1~PHURV HQ FXDQWR D ODV PHGLFLRQHV \ FRQ
*HRPHWUtD \ 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD FRQ ODV UHSUHVHQWDFLRQHV
JUiILFDV 3RU ~OWLPR VH GHVDUUROOD OD DUJXPHQWDFLyQ GHELGR D
TXH OD LQIRUPDFLyQ TXH SURSRUFLRQDQ ODV UHSUHVHQWDFLRQHV
SHUPLWHDUJXPHQWDUODVUHVSXHVWDVDORVSUREOHPDV
3UREDELOLGDG
&RQRFLPLHQWRV
0XHVWUDV
DOHDWRULDV
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU OD LPSRUWDQFLD
GHOD]DUHQORVSURFHVRVGH
PXHVWUHRHVWDGtVWLFR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c6HSXHGHQFRQVLGHUDUDOJXQRVSUREOHPDVVLPLODUHVDOVLJXLHQ
WH
6HGHVHDUHDOL]DUXQDVHOHFFLyQGHHVWXGLDQWHVHQWUHHO
WRWDOGHHVWXGLDQWHVGHƒ$xRSDUDTXHSDUWLFLSHQHQXQQXHYR
SURJUDPDGHVDOXGLQWHJUDO/DFRQGLFLyQTXHSRQHODRUJDQL]D
FLyQSDWURFLQDGRUDGHOSURJUDPDHVTXHODVHOHFFLyQVHDDOHDWR
ULD3URSRUFLRQHXQDHVWUDWHJLDGHVHOHFFLyQDOHDWRULD
c $OJXQDV GH ODV SRVLEOHV VROXFLRQHV TXH VH SRGUtDQ DSRUWDU
SRGUtDQVHU
D
5HDOL]DU XQ OLVWDGR FRQ FDGD HVWXGLDQWH GH QRYHQR \
UHDOL]DUXQDULIDSDUDVHOHFFLRQDUGHHOORV
E 6HOHFFLRQDU SRU PHGLR GH XQD ULID XQD GHWHUPLQDGD
FDQWLGDG GH HVWXGLDQWHV GH FDGD JUXSR GH ƒ $xR GH
PRGRTXHHQWUHWRGRVORVVHOHFFLRQDGRVVXPHQHV
WXGLDQWHV
1R REVWDQWH SRGUtDQ GDUVH VROXFLRQHV PXFKR PiV LQJHQLRVDV
6H UHTXLHUH HVWDU DOHUWD GH TXH HIHFWLYDPHQWH OD VROXFLyQ SUR
SXHVWDVHDDOHDWRULDFDGDHVWXGLDQWHGHƒ$xRWLHQHXQDSURED
ELOLGDGGHVHUVHOHFFLRQDGR
c6HGHEHUHDOL]DUXQDQiOLVLVGHODVVROXFLRQHVDSRUWDGDVHQOD
FODVH \ FRQ EDVH HQ HOODV VLVWHPDWL]DU HO FRQFHSWR GH PXHVWUHR
DOHDWRULR FRPR DTXHO SURFHVR GH VHOHFFLyQ GH XQD PXHVWUD
VREUHXQDSREODFLyQSRUPHGLRGHOFXDOWRGRVORVJUXSRVWLHQHQ
XQDSUREDELOLGDGQRQXODGHVHUVHOHFFLRQDGRV
(O D]DU MXHJD XQ URO IXQGDPHQWDO HQ HO SURFHVR GH FRQH
[LyQHQWUHOD3UREDELOLGDG\OD(VWDGtVWLFD8QHMHPSORGHHOOR
OR FRQVWLWX\H OD VHOHFFLyQ GH PXHVWUDV HVWDGtVWLFDV DOHDWRULDV
$XQTXH UHDOL]DU XQ DQiOLVLV FRPSOHWR GHO PXHVWUHR HVWDGtVWLFR
DOHDWRULR HV PX\ FRPSOHMR SDUD GLVFXWLUOR HQ VHFXQGDULD HV
SRVLEOH SODQWHDU SUREOHPDV VHQFLOORV SDUDPRWLYDU VX LPSRUWDQ
FLD
c(QHODQiOLVLVGHODVPXHVWUDVDOHDWRULDVHVLPSRUWDQWHHQIDWL
]DU HQ HO XVR GHO PXHVWUHRDOHDWRULR SDUD ODLPSOHPHQWDFLyQ GH
HQFXHVWDVDQLYHOQDFLRQDO
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
(VPX\YDOLRVRTXHORVMyYHQHVFRQR]FDQGHODH[LVWHQ
FLDGHHQFXHVWDVGHHVWHWLSRGHELGRDTXHDSRUWDQGDWRVHVWDGtV
WLFRV TXH GHEHQ HVWDU GHQWURGHODQiOLVLVGH WHPDV WUDQVYHUVDOHV
SODQWHDGRVSDUDWRGDVODVDVLJQDWXUDV
,GHQWLILFDUHYHQWRVSDUDORV c/RHVWDEOHFLGRKDVWDHVWHSXQWRHQPDWHULDGHSUREDELOLGDGHV
3UREDELOLGDG
FXDOHV VX SUREDELOLGDG QR OLPLWDHODQiOLVLVGHVLWXDFLRQHVHQODVTXHVHFRQRFHFRQGHWDOOH
IUHFXHQFLDO
SXHGHVHUGHWHUPLQDGDHP HOHVSDFLRPXHVWUDO'HVDIRUWXQDGDPHQWHHVRQRVLHPSUHRFXUUH
SOHDQGR HO FRQFHSWR FOiVL SXHVHQPXFKDVRFDVLRQHVHOHVSDFLRPXHVWUDOHVPX\JUDQGHHV
FR
LQGHILQLGRRLQFOXVRHVLQILQLWR
8WLOL]DU HO FRQFHSWR GH x (VWLPDFLyQ
IUHFXHQFLD UHODWLYD FRPR
GH SUREDELOL
$QDOLFHFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVSUREOHPDV\SURSRQJD
XQD DSUR[LPDFLyQ DO FRQ
GDG HPSOHR
FHSWR GH 3UREDELOLGDG HQ XQDHVWUDWHJLDSDUDHQFRQWUDUXQDVROXFLyQ
GH OD IUH
HYHQWRV HQ ORV FXDOHV HO FXHQFLD UHOD
D 8QDSHUVRQDVHGLULJHDXQVXSHUPHUFDGRDFRPSUDUXQ
HVSDFLRPXHVWUDOHVLQILQLWR
WLYDFRQFHS
OLWURGHDFHLWH\DXQTXHHOFRQWHQLGRGHOUHFLSLHQWHGLFH
RLQGHWHUPLQDGR
WR IUHFXHQ
PO VH WLHQH OD GXGD TXH HIHFWLYDPHQWH HVWRV UHFL
FLDO R HPSt
SLHQWHVFRQWHQJDQHVWDFDQWLGDGSRUORTXHVHGHVHDGH
,GHQWLILFDU TXH ODV SURSLH
ULFR
WHUPLQDU OD SUREDELOLGDG GH TXH HOUHFLSLHQWH WHQJD PH
GDGHVGHODVSUREDELOLGDGHV
QRVGHXQOLWURWDOFRPRGLFHODHWLTXHWD¢&yPRVHSR
TXH HVWiQ YLQFXODGDV FRQ
x ,QWURGXFFLyQ
GUtDHQIUHQWDUHVWHSUREOHPD"
HYHQWR VHJXUR SUREDEOH H
D OD OH\ GH
([LVWHODFUHHQFLDHQWUHODSREODFLyQTXHHQXQHPEDUD
E
LPSRVLEOH
WDPELpQ
VRQ
ORV JUDQGHV
]RFXDOTXLHUDHVLJXDOPHQWHSUREDEOHTXHODFULDWXUDVHD
YiOLGDV SDUD OD GHILQLFLyQ
Q~PHURV
QLxR R QLxD QR REVWDQWH ORV GDWRV LQGLFDQ TXH HQ XQD
IUHFXHQFLDO
SREODFLyQKD\ PiV PXMHUHV TXHKRPEUHV ¢&yPR FRP
SUREDUVLHIHFWLYDPHQWHVRQLJXDOPHQWHSUREDEOHV"
F 6HKDDILUPDGRTXHODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSHUVRQD
IXPDGRUD PXHUD GH XQD HQIHUPHGDG DVRFLDGD FRQ HO
FRQVXPR GHO FLJDUULOOR HV GH DSUR[LPDGDPHQWH XQ PH
GLR ¢'HTXpPDQHUD VH SRGUtD HVWLPDU GLFKD SUREDELOL
GDG"
c 6H GHEH UHIOH[LRQDU VREUH HVWDV LQWHUURJDQWHV SDUD REWHQHU
UHVSXHVWDV SRVLEOHV $O DQDOL]DUODV OD DFFLyQ GRFHQWH GHEH
RULHQWDUVH D OD VLVWHPDWL]DFLyQ GHO FRQFHSWR GH SUREDELOLGDG
IUHFXHQFLVWD R SUREDELOLGDG HPStULFD FRPR OD IUHFXHQFLD
UHODWLYDGHOHYHQWRHQUHODFLyQFRQXQDPXHVWUDDOHDWRULDTXHVH
GHWHUPLQD SRU OD UD]yQ HQWUH ORV UHVXOWDGRV IDYRUDEOHV HQ OD
PXHVWUDHQWUHHOWRWDOGHHOHPHQWRVPXHVWUHDGRV
c3DUDFRPSOHPHQWDUHODQiOLVLVVHVXJLHUHJHQHUDUVLWXDFLRQHV
DOHDWRULDV HQ ODV TXH HO HVSDFLR PXHVWUDO VHD LQGHWHUPLQDGR R
LQILQLWR3RUHMHPSOR
'LIHUHQWHV HVWXGLRV KDQ GHPRVWUDGR TXH ODV PDGUHV TXH
IXPDQ FXDQGR HVWiQ HPEDUD]DGDV WLHQHQ XQD PD\RU SUREDELOL
GDGGHWHQHUKLMRVFRQEDMRSHVR\SRUHQGHFRQPD\RUSUREDEL
OLGDGGHWHQHUFRPSOLFDFLRQHVGHVDOXG7RPDQGRFRPRUHIHUHQ
WHODLQIRUPDFLyQGHODUWtFXOR)DFWRUHVGHULHVJRHQHOEDMRSHVR
DO QDFHU SXEOLFDGR HQ 5HYLVWD &XEDQD GH 0HGLFLQD *HQHUDO
,QWHJUDO MXOLRVHSWLHPEUH VHJXLGDPHQWH VH VLPXOy XQ
HVFHQDULR EDVDGR HQ HVWDUHODFLyQ FRQ XQDPXHVWUD DOHDWRULD GH
SDUWRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
Relación entre fumar durante el embarazo y el bajo
peso al nacer en los niños
Bajo peso al nacer
Sí
No
46
307
39
608
85
915
Madres
Fumadoras
No fumadoras
Total
Total
353
647
1000
7RPDQGRFRPRUHIHUHQWHHVWDLQIRUPDFLyQHVWLPH
D /D SUREDELOLGDG TXH XQD PDGUH TXH IXPy GXUDQWH HO
HPEDUD]RWHQJDXQQLxRFRQEDMRSHVR
E /D SUREDELOLGDG TXH XQD PDGUHQR IXPDGRUD WHQJD XQ
QLxRFRQEDMRSHVR
F ¢&XiQWDV YHFHV PiV SUREDEOH HV TXH XQD PXMHU TXH
IXPyGXUDQWHHOHPEDUD]RWHQJDXQQLxRFRQEDMRSHVR
UHVSHFWRDXQDPDGUHTXHQRIXPyHQHVHSHUtRGR"
(VWH SUREOHPD GHEH VHUYLU GH UHIOH[LyQ SXHV DXQTXH OD
PXHVWUDIXHVLPXODGDFLHQWtILFDPHQWHVHKDFRPSUREDGRTXHODV
PDGUHVIXPDGRUDVWLHQHQXQDPD\RUSUREDELOLGDGGHWHQHUQLxRV
FRQ EDMR SHVR UHVSHFWR D ODV PDGUHV QR IXPDGRUDV (VWR VH
YLQFXODFRQHOWHPD(GXFDFLyQSDUDOD6DOXG
c (V LPSRUWDQWHKDFHUQRWDU TXH HO YDORU GH HVWDV SUREDELOLGD
GHV FRUUHVSRQGH D XQD DSUR[LPDFLyQ VXMHWD D XQD VLWXDFLyQ
SDUWLFXODUSXHVQRVHSXHGHDSOLFDUDTXtODGHILQLFLyQFOiVLFDGH
SUREDELOLGDG VLQR TXH VH DSUR[LPD SRU PHGLR GH OD IUHFXHQFLD
UHODWLYDGHRFXUUHQFLDVHQHOFDVRHVWXGLDGR
,GHQWLILFDU TXH SDUD XQ c 3DUD HMHPSOLILFDU OD OH\ GH ORV JUDQGHV Q~PHURV VH SXHGH
HYHQWR SDUWLFXODU VX IUH SHGLUTXHUHVXHOYDQHOVLJXLHQWHSUREOHPD
FXHQFLD UHODWLYD GH RFX UUHQFLD VH DSUR[LPD KDFLD
7UDGLFLRQDOPHQWH VH KD FUHtGR TXH GHQWUR GH XQ SDUWR
OD SUREDELOLGDG FOiVLFD
FRQIRUPHHOQ~PHURGHRE VLPSOH HV LJXDOPHQWH SUREDEOH TXH QD]FD XQD QLxD R XQ QLxR
6XSRQJDTXHHQHOSHUtRGRHQHOFDQWyQFHQWUDOGHOD
VHUYDFLRQHVDXPHQWD
SURYLQFLDGH+HUHGLDVHSUHVHQWDURQORVVLJXLHQWHVGDWRVUHVSHF
5HVROYHU SUREOHPDV YLQ WRDOVH[RGHORVQLxRVTXHQDFLHURQ
FXODGRV FRQ IHQyPHQRV Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
DOHDWRULRV GHQWUR GHO FRQ
WH[WRHVWXGLDQWLO
Hombres
963
1102
959
988
988
978
Mujeres
969
988
924
1009
927
924
Total
1932
2090
1883
1997
1915
1902
Año
2006
2007
2008
2009
2010
Hombres
925
939
958
951
944
Mujeres
859
917
979
982
915
Total
3790
3863
3945
3942
3869
7RPDGRGHZZZFFSXFUDFFU
D
'HWHUPLQHSDUDFDGDXQRGHORVDxRVODSUREDELOLGDGGH
TXHHOSURGXFWRGHXQSDUWRFXDOTXLHUDVHDXQDQLxD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
E
/RV GDWRV DQWHULRUHV ¢FRQILUPDQ R FRQWUDGLFHQ OD
FUHHQFLD RULJLQDO GH TXH OD SUREDELOLGDG GH TXH QD]FD
XQDQLxD HV ò" 3XHGH GLEXMDU XQJUiILFR GHOtQHD SDUD
YLVXDOL]DUPHMRUHOSDWUyQGHYDULDELOLGDGGHORVGDWRV
6L ORV GDWRV QR DSR\DQ GLFKD FUHHQFLD ¢FXiO VHUtD OD
PHMRUDSUR[LPDFLyQTXHXVWHGSXHGHGDUSDUDHVWDSUR
EDELOLGDG"
c &RQYLHQH DTXt TXH VH UHDOLFH XQD DFWLYLGDG SOHQDULD GRQGH
FDGD VXEJUXSR SUHVHQWH ORV UHVXOWDGRV REWHQLGRV \ ODV FRQFOX
VLRQHV D ODV TXH KDQ OOHJDGR 6H GHEH DQDOL]DU OD WHQGHQFLD
REVHUYDGDODFXDOVHPXHVWUDHQHOVLJXLHQWHJUiILFR
&RPR XQD VHJXQGD SDUWH GHO SUREOHPD StGDOHV TXH
UHVXHOYDQ QXHYDPHQWH ODV LQWHUURJDQWHV DQWHULRUHV SHUR FRQ ORV
GDWRVGHWRGRHOSDtV
$xR
+RPEUHV
0XMHUHV
7RWDO
+RPEUHV
0XMHUHV
7RWDO
$xR
$QDOL]DU ODV FRQFOXVLRQHV GH ODV \ ORV HVWXGLDQWHV FRQ HVWRV
QXHYRVGDWRV(QIDWL]DUHQODVGLIHUHQFLDVHQWUHORTXHRFXUULyHQ
HO FDQWyQ FHQWUDO GH +HUHGLD \ OR TXH RFXUULy HQ WRGR HO SDtV
(QIDWL]DU HQ HO YDORU GH OD SUREDELOLGDG GH TXHQD]FDXQDQLxD
HQXQSDUWRDOHDWRULDPHQWHVHOHFFLRQDGR
6H PXHVWUD DVt OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH ODV SURSRUFLRQHV
FRUUHVSRQGLHQWHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
3DUDFRQFOXLUSURSRUFLRQHODVLJXLHQWHLQIRUPDFLyQGHDFXHUGR
FRQ OD LQIRUPDFLyQ TXH DSDUHFH HQ OD SiJLQD ZHE GHO &HQWUR
&HQWURDPHULFDQR GH 3REODFLyQ HQWUH ORV DxRV \ VH
WLHQHQUHJLVWUDGRVHQHOSDtVXQWRWDOGHQDFLPLHQWRV
GHORVFXDOHVIXHURQPXMHUHV¢4XpSURSRUFLyQGHORV
QDFLPLHQWRV RFXUULGRV HQWUH \ IXHURQ PXMHUHV" ¢$
TXp FRQFOXVLyQ OOHJD VREUH OD FUHHQFLD GH TXH HV LJXDOPHQWH
SUREDEOHHOQDFLPLHQWRGHXQDQLxDTXHGHXQQLxR"
c3DUDHOSURFHVRGHFODXVXUDODDFFLyQGRFHQWHGHEHFHQWUDUVH
HQ OD DUWLFXODFLyQ GH ODV LGHDV DSRUWDGDV FRQ OD LQWHQFLyQ GH
JHQHUDU OD OH\ GH JUDQGHV Q~PHURV GHVGH XQ SXQWR GH YLVWD
LQWXLWLYRHQHOVHQWLGRTXHHQWUHPiVJUDQGHVHDODPXHVWUDFRQ
ODTXHVHWUDEDMDPiVVHDSUR[LPDODSUREDELOLGDGIUHFXHQFLDOGH
XQ HYHQWR D VX YDORU UHDO 8QD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD FRPR OD
VLJXLHQWHSXHGHD\XGDU
(QHVWHSUREOHPDVHSXHGHDQDOL]DUFODUDPHQWHODLQWHUDF
FLyQFRQORVSURFHVRV3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDV5HSUHVHQ
WDU5D]RQDU\DUJXPHQWDUHLQFOXVRODUHODFLyQFRQHOiUHDGH
1~PHURV
c(VWHHVXQEXHQHMHPSORGHODIRUPDHQTXHSRUPHGLRGHXQ
DQiOLVLVPDWHPiWLFRVHSXHGHYDORUDUODYHUDFLGDGGHXQDFUHHQ
FLDSRSXODU
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
3RU RWUR ODGR HVWH WLSR GH SUREOHPDV SXHGHQ VHU DQDOL]D
GRV PHGLDQWH HO XVR GH ODWHFQRORJtD \D VHD SRUPHGLR GHXQD
FDOFXODGRUD SDUD VLPSOLILFDU ORV FiOFXORV R GH XQD KRMD GH
FiOFXOR FRQ XQD FRPSXWDGRUD SDUD UHDOL]DU WRGR HO DQiOLVLV
$GHPiVPHGLDQWHHOXVRGHXQDFDOFXODGRUDRXQDFRPSXWDGRUD
HVSRVLEOHVLPXODURWUDVVLWXDFLRQHVTXHSHUPLWDQDSUHFLDUODOH\
GH ORV JUDQGHV Q~PHURV 3RU HMHPSOR XWLOL]DQGR XQD KRMD GH
FiOFXOR HV SRVLEOH JHQHUDU Q~PHURV DOHDWRULRV TXH SHUPLWHQ
VLPXODUIHQyPHQRVGHGLVWLQWDQDWXUDOH]D
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(Q HVWH FLFOR VH OOHYD D FDER XQD WUDQVLFLyQ HQWUH OD HVFXHOD \ HO FROHJLR OR TXH REOLJD D
UHDOL]DU XQ SURFHVR GH DFRSODPLHQWR \ HVWDQGDUL]DFLyQ GH EDVHV DFDGpPLFDV 'XUDQWH ƒ
$xRODSULQFLSDODFWLYLGDGFRQVLVWHHQJHQHUDUDFFLRQHVWHQGLHQWHVDUHDOL]DUHVWDODERU\DO
PLVPRWLHPSRIRUPDOL]DUORVFRQFHSWRVWUDWDGRVHQ3ULPDULDTXHQRIXHURQGHILQLGRVQLVLV
WHPDWL]DGRV(VWHSURFHVRSHUPLWLUiJHQHUDUXQOHQJXDMHDSURSLDGRTXHVLUYDFRPRUHIHUHQWH
SDUDHOWUDEDMRGHORVVLJXLHQWHVGRVDxRV3DUDUHDOL]DUHVWDODERUHVIXQGDPHQWDOTXHVHUH
YLVH GHWDOODGDPHQWH ORV SURJUDPDV GH 3ULPDULD \ ODV LQGLFDFLRQHV TXH DSDUHFHQ HQ HOORV
SXHVHVWHPDWHULDOHVODEDVHGHOWUDEDMRDJHQHUDUHQHOFLFOR
6HLQLFLDPHGLDQWHODGLVFXVLyQVREUHXQDVHULHGHFRQFHSWRVYLQFXODGRVFRQOD(VWDGtVWLFD
6HUHFRPLHQGDQRFHQWUDUVHHQGHILQLFLRQHVWHyULFDVVLQRHQODLQWHUSUHWDFLyQSUiFWLFDVREUH
VLWXDFLRQHV FRQWH[WXDOL]DGDV SDUD HOOR VH SXHGHQ SURSRQHU SUREOHPDV HQ ORV TXH ORV FRQ
FHSWRVSXHGDQLGHQWLILFDUVHFODUDPHQWHHQHOFRQWH[WRHVWRD\XGDUiDFRPSUHQGHUHOVLJQL
ILFDGRGHORVPLVPRV\XWLOL]DUORVDGHFXDGDPHQWH3RVWHULRUDHVWRVHUHSDVDQGLIHUHQWHVHV
WUDWHJLDV SDUD OD UHFROHFFLyQ RUGHQDPLHQWRUHVXPHQ \ SUHVHQWDFLyQ GH LQIRUPDFLyQ 3DUD
DILDQ]DU ODVKDELOLGDGHVYLQFXODGDVFRQHOXVRGHHVWDVHVWUDWHJLDVHVUHFRPHQGDEOH UHYLVDU
QXHYDPHQWHODVLQGLFDFLRQHVKHFKDVHQ3ULPDULD'HHVWHPRGRVHIDFLOLWDUiODQLYHODFLyQHQ
FXDQWRDODVKDELOLGDGHVEiVLFDV
3DUDƒ\ƒ$xRVHFRQVLGHUDHOGHVDUUROORGHKDELOLGDGHVYLQFXODGDVFRQHOPDQHMRGHLQ
IRUPDFLyQ FXDQWLWDWLYD $XQTXH HVWH WHPD VH WUDEDMy SUHOLPLQDUPHQWH HQ 3ULPDULD DFi VH
SURIXQGL]D\VHWUDEDMDFRQVXUHVXPHQSRUPHGLRGHGLVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLD\ORVJUi
ILFRV FRUUHVSRQGLHQWHV SDUD ORV FDVRV GH YDULDEOHV FRQWLQXDV 3DUD HOOR VH UHTXLHUH RIUHFHU
SUREOHPDVTXHLPSOLTXHQODQHFHVLGDGGHXWLOL]DUORVQXHYRVFRQFHSWRVGHHVWHPRGRODV\
ORVHVWXGLDQWHVSRGUiQLQWHJUDUORVPiVIiFLOPHQWHDVXYRFDEXODULRDFDGpPLFR\XWLOL]DUORV
SDUDHQIUHQWDUQXHYDVVLWXDFLRQHV
(QUHODFLyQFRQHOPDQHMRGHVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVQXHYDPHQWHVHUHFRPLHQGDDQDOL]DUOD
SURSXHVWDGH3ULPDULDSDUDFRQWLQXDUFRQODGLQiPLFDGHWUDEDMRLQFUHPHQWDQGRHOQLYHOGH
GLILFXOWDGGHORVSUREOHPDVSODQWHDGRVHLQFRUSRUDQGRQXHYRVDVRFLDGRVDORVFRQFHSWRV/D
WHPiWLFDVHFRPLHQ]DDDERUGDUHQƒ$xR\VHOOHYDDFDERHOPLVPRSURFHVRGHWUDQVLFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
\QLYHODFLyQUHDOL]DGRHQƒ$xRFRQ(VWDGtVWLFD(Qƒ$xRVHLQWURGXFHODGHILQLFLyQHP
StULFDGHSUREDELOLGDG\VXUHODFLyQFRQODOH\GHORVJUDQGHVQ~PHURV1RHVUHFRPHQGDEOH
OLPLWDUVH~QLFDPHQWHDORVMXHJRVGHD]DUVHUHTXLHUHDGHFXDUVLWXDFLRQHVDOFRQWH[WRHVWX
GLDQWLOSDUDIDYRUHFHUXQDPD\RUFRPSUHQVLyQGHODLQFHUWLGXPEUHHQODYLGDFRWLGLDQD
(OXVRGHLQIRUPDFLyQUHFROHFWDGDSRUGLYHUVDVIXHQWHVMXHJDXQUROVLJQLILFDWLYRHQHOWUD
EDMR HVWXGLDQWLO 6H UHFRPLHQGD JHQHUDU SUREOHPDV TXH LPSOLTXHQ HO XVR GH HVWD LQIRUPD
FLyQ3DUDHVWR,QWHUQHWEULQGDXQDJUDQD\XGD$SHVDUGHODJUDQFDQWLGDGGHFiOFXORV\OD
FRPSOHMLGDGHQODHODERUDFLyQGHDOJXQRVFXDGURV\JUiILFRVHOpQIDVLVGHORVHVWXGLRVTXH
VHUHDOLFHQHQHODXODVHGHEHFHQWUDUHQHODQiOLVLV\ODLQWHUSUHWDFLyQSURSRUFLRQDGDSRUORV
GDWRVSDUDRIUHFHUUHVSXHVWDDSUHJXQWDVFRQFUHWDVVREUH ORVSUREOHPDV3DUDHOORHOHP
SOHRGHOUHFXUVRWHFQROyJLFRTXHVHWHQJDDGLVSRVLFLyQVHFRQYLHUWHHQXQHOHPHQWRFODYH
GHOSURFHVR
'HELGR D TXH HQ OD 3ULPDULD VH LQWURGXMR HO XVR GH PHGLGDV HVWDGtVWLFDV HQ HVWH FLFOR VH
GHEHPRWLYDUVXXVRSDUDFDUDFWHUL]DUJUXSRVGHGDWRV1RREVWDQWHKD\TXHWHQHUSUHVHQWH
TXH XQ DQiOLVLV PiV GHWDOODGR VREUH HO HPSOHR GH PHGLGDV HVWDGtVWLFDV VH UHDOL]DUi HQ OD
HGXFDFLyQ'LYHUVLILFDGD
6HUHTXLHUHHQIDWL]DUHOSDSHOTXHMXHJDQODVUHSUHVHQWDFLRQHVWDEXODUHV\JUiILFDVGHQWURGH
ORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRV\SUREDELOtVWLFRV3HURDGHPiVODUHOHYDQFLDGHTXHHVWDVUHSUHVHQ
WDFLRQHVFRQWHQJDQVXILFLHQWHVHOHPHQWRVWtWXORJHQHUDOWtWXORVVHFXQGDULRVHQWUHRWURVGH
PRGRTXHXQOHFWRUSXHGDFRPSUHQGHUHOPHQVDMHTXHFRPXQLFDQVLQQHFHVLGDGGHUHFXUULU
DPiVLQIRUPDFLyQ
9LQFXODGRFRQHOSXQWRDQWHULRUVHFRQVLGHUDODSUHVHQWDFLyQGHLQIRUPDFLyQSRUPHGLRGH
FXDGURVGLDJUDPDV\JUiILFRVFRPRXQDHVWUDWHJLDGHJUDQLPSRUWDQFLDSDUDFRPXQLFDUUH
VXOWDGRVGHORVDQiOLVLVHIHFWXDGRV$XQTXH ORVJUiILFRVHQWUHVGLPHQVLRQHVWLHQHQ PXFKD
DFHSWDFLyQ HQ GLYHUVRV VHFWRUHV QR VH UHFRPLHQGD VX XVR SXHV HQ DOJXQDV RFDVLRQHV VH
SUHVWDQSDUDODFRQIXVLyQ(QHVWHVHQWLGRFRQYLHQHUHFRUGDUTXHHOSURSyVLWRGHXQJUiILFR
HVVXPLQLVWUDUXQDLQIRUPDFLyQGHODIRUPDPiVVLPSOHSRVLEOH\SRUHVRFXDOTXLHUHOHPHQ
WRTXHSXHGDFRQIXQGLUGHEHVHUGHVFDUWDGR
/RV SUREOHPDV HVWDGtVWLFRV \ SUREDELOtVWLFRV SXHGHQ VHU GHVDUUROODGRV PHGLDQWH OD LPSOH
PHQWDFLyQGHGLYHUVDVWpFQLFDV1RHVFRQYHQLHQWHHQFDVLOODUODDFWLYLGDGHVWXGLDQWLOHQXQD
VROD IRUPD GH UHVROYHU XQ SUREOHPD 3RU HMHPSOR HQ (VWDGtVWLFD VH SXHGHQ HPSOHDU FXD
GURVJUiILFDVRPHGLGDVGHUHVXPHQSDUDDERUGDUXQSUREOHPDLQFOXVRFRPELQDUWpFQLFDV
3RUHVWDUD]yQHVQHFHVDULRFRQFHQWUDUVHHQHYDOXDUODULJXURVLGDG\HOGHWDOOHFRQTXHVHKD
UHDOL]DGRHODQiOLVLVDVtFRPRODFRKHUHQFLDFRQODH[LJHQFLDGHOSUREOHPD
(VPHQHVWHUSUHVWDUHVSHFLDODWHQFLyQDORVHUURUHVFRPXQHVGHQWURGHORVDQiOLVLVHVWDGtVWL
FRV \ SUREDELOtVWLFRV DVt FRPR HQ LQWHUSUHWDFLRQHV LQDGHFXDGDV (Q DTXHOORV FDVRV HQ ORV
TXH VH LGHQWLILTXHQ HUURUHV HQ OD LPSOHPHQWDFLyQ GH ODV WpFQLFDV R HQ OD LQWHUSUHWDFLyQ GH
ORVUHVXOWDGRVVHSXHGHQRIUHFHUHMHPSORVTXHSRQJDQHQHYLGHQFLDODVLQFRQJUXHQFLDVVR
EUH ODV LQWHUSUHWDFLRQHV D ODV TXH HVRV HUURUHV SRGUtDQ FRQOOHYDU (Q HVWRV FDVRV HO XVR GH
FRQWUDHMHPSORVVHFRQYLHUWHHQXQDKHUUDPLHQWDGHPXFKDXWLOLGDG
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
Sétimo año
6HUHFRPLHQGDTXHFDGDHVWXGLDQWHUHDOLFHXQDDGHFXDGDOHFWXUDGHODVUHSUHVHQWDFLRQHVTXH
VHDSRUWHQHQODOHFFLyQSDUDYDORUDUODLPSRUWDQFLDGHOD(VWDGtVWLFDHQGLIHUHQWHVFDPSRV
3DUDHOORFRQYLHQHIRUPXODUDOJXQDVSUHJXQWDVUHODFLRQDGDVFRQVXFRQWHQLGR6LQHPEDUJR
GHEHGiUVHOHHVSHFLDOLPSRUWDQFLDDODIRUPDHQTXHODHVWDGtVWLFDD\XGDDRWUDVGLVFLSOLQDV
FLHQWtILFDVDUHFROHFWDUUHVXPLUSUHVHQWDU\DQDOL]DUODLQIRUPDFLyQTXHVHJHQHUD
$O LQWURGXFLU FRQFHSWRV FRPR XQLGDG HVWDGtVWLFD FDUDFWHUtVWLFD \ REVHUYDFLyQ R GDWR VH
DPSOtD ODSURSXHVWDSODQWHDGDHQ3ULPDULDSRUORFXDOVHQHFHVLWDTXHODVDFWLYLGDGHVSUR
SXHVWDVHMHPSOLILTXHQGHIRUPDDFHUWDGDHOUROTXHMXHJDFDGDFRQFHSWR\TXHODVUHODFLRQHV
HQWUHHOORVTXHGHQFODUDPHQWHHYLGHQFLDGDV'HEHGHVWDFDUVHHOWLSRGHGDWRTXHJHQHUDQODV
GLIHUHQWHVFDUDFWHUtVWLFDVGHODVXQLGDGHVHVWDGtVWLFDV+D\TXHUHFRUGDUTXHORVGDWRVFRQV
WLWX\HQHOREMHWRGHDQiOLVLVGHOD(VWDGtVWLFD3HURDGHPiVGHEHTXHGDUFODURTXHOD(VWD
GtVWLFDQRWUDEDMDFRQGDWRVDLVODGRVXQVRORGDWRQRHVGHLQWHUpVGHVGHXQSXQWRGHYLVWD
HVWDGtVWLFR SXHV OD GLVFLSOLQD KD VLGR GHVDUUROODGD SDUD GHWHUPLQDU SDWURQHV GH FRPSRUWD
PLHQWRHQJUXSRVGHGDWRV
(Q 3ULPDULD WDPELpQ VH LQVLVWLy HQ IXQGDPHQWDU OD YDULDELOLGDG GH ORV GDWRV FRPR IXHQWH
SULQFLSDOGHORVDQiOLVLVHVWDGtVWLFRVHVWRGHEHUDWLILFDUVHHQHVWHFLFOR3DUDHOORODVFDUDF
WHUtVWLFDVGHODVXQLGDGHVHVWDGtVWLFDVVHFDWDORJDQFRPRYDULDEOHVSXHVVXVREVHUYDFLRQHVR
GDWRVYDUtDQGHXQDXQLGDGHVWDGtVWLFDDRWUD6HGHEHLQVLVWLUHQHOHVWXGLDQWDGRHQTXH HQ
DXVHQFLDGHYDULDELOLGDGHQORVGDWRVQRVHUHTXLHUHQHVWXGLRVHVWDGtVWLFRVDPHGLGDTXHORV
GDWRVSUHVHQWDQYDULDELOLGDGVXUJHODQHFHVLGDGGHEXVFDUHVWUDWHJLDVSDUDUHVXPLUHVWRVSD
WURQHV\FRPSUHQGHUHOPHQVDMHTXHWUDQVPLWHQ
(QHVWHVHQWLGRORVSUREOHPDVSODQWHDGRVVREUHHOQ~PHURGHPLHPEURVGHORVKRJDUHVHV
WXGLDQWLOHV\VREUHHOFRORUGHOSDQWDOyQRHQDJXDTXHVHXWLOL]DSDUDDVLVWLUDOFROHJLRVRQXQ
HMHPSORFODURGHORDQWHULRU'HELGRDTXHODWRWDOLGDGGHHVWXGLDQWHVGHEHDVLVWLUFRQXQL
IRUPH DO FROHJLR WRGRV HPSOHDQ HO PLVPR FRORU GH SDQWDOyQ R HQDJXD SRU HOOR ORV GDWRV
VRQWRGRVLJXDOHV \ ODUHVSXHVWDHV~QLFDQRVHUHTXLHUHGH PiVDQiOLVLV3RURWURODGRHO
Q~PHURGHPLHPEURVGHORVKRJDUHVHVPX\YDULDEOH\SRUHVRSDUDFRPSUHQGHUHVWHSDWUyQ
GHYDULDELOLGDGVHUHTXLHUHFODVLILFDUORVGDWRVDJUXSDUORV\EXVFDUDOJ~QWLSRGHUHSUHVHQ
WDFLyQFRPRHOFXDGURHOJUiILFRRLQFOXVRHOXVRGHPHGLGDVGHUHVXPHQSURPHGLRPRGD
PtQLPRRPi[LPRLQFOXVRSXHGHVHUGHLQWHUpVGHWHUPLQDUHOUHFRUULGRGHELGRDTXHUHSUH
VHQWDODPD\RUGLIHUHQFLDHQHOWDPDxRGHORVKRJDUHV
(QUHODFLyQFRQORVDQiOLVLVSDUDODUHFROHFFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQGHLQIRUPDFLyQHQODVLQ
GLFDFLRQHVSXQWXDOHVVHSODQWHDQGRVSUREOHPDV HOSULPHURUHODFLRQDGRFRQORV PHVHVGHO
DxRHQTXHVHSUHVHQWDODPD\RUIUHFXHQFLDGHFXPSOHDxRV\HOVHJXQGRDFHUFDGHOWDPDxR
GHORVKRJDUHVUHVSHFWRDXQDPXHVWUDKLSRWpWLFDGHKRJDUHV(QODUHVROXFLyQGHHVWRVSUR
EOHPDVVHGHEHXWLOL]DUODLQWHUURJDFLyQSDUDDVtUHFROHFWDUODLQIRUPDFLyQQHFHVDULD/RVGD
WRVREWHQLGRVGHEHQVHURUJDQL]DGRV\FODVLILFDGRVSDUDOOHYDUDFDERXQUHVXPHQGHHOORV\
UHVSRQGHUODVLQWHUURJDQWHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
3DUDHOSULPHUSUREOHPDVHGHEHGHWHUPLQDUODIUHFXHQFLDGHHVWXGLDQWHVRQ~PHURGHHVWX
GLDQWHVSRUPHVWDPELpQSXHGHGHWHUPLQDUHOSRUFHQWDMHGHHVWXGLDQWHVHQFDGDPHV'LFKD
LQIRUPDFLyQSXHGHVHUUHSUHVHQWDGDSRUPHGLRGHXQFXDGURFRPRHOVLJXLHQWH
Mes de cumpleaños de estudiantes
del grupo 7-X
Mes
Enero
Febrero
Marzo
⋮
Total
Número de
estudiantes
4
2
3
⋮
32
3DUDHOVHJXQGRSUREOHPDGHELGRDTXHORVWRWDOHVGHORVJUXSRVVRQGLIHUHQWHVVHUHTXLHUH
UHDOL]DUXQDQiOLVLVFRPSDUDWLYRSRUPHGLRGHSRUFHQWDMHVSRUORTXHVHHVSHUDTXHVHSXH
GDJHQHUDUXQFXDGURVLPLODUDOVLJXLHQWH
Comparación del número de personas por hogar entre una muestra
de 50 hogares y los hogares de estudiantes del grupo
Número de
personas
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total
Muestra
Estudiantes
Total Porc. Total Porc.
3
6,0
2
6,3
5
10,0
6
18,8
6
12,0
8
25,0
11
22,0
7
21,9
11
22,0
4
12,5
7
14,0
3
9,4
4
8,0
2
6,3
2
4,0
1
2,0
50
100,0
32
100,0
&RQORVGDWRVUHVXPLGRVVHGHEHUHVSRQGHUHOSUREOHPDDUJXPHQWDQGRFRQLQIRUPDFLyQHV
WDGtVWLFDODUHVSXHVWD6HSXHGHDSURYHFKDUHVWHWLSRGHSUREOHPDVSDUDDQDOL]DURWURVDVSHF
WRVFRPRHOSDWUyQGHYDULDELOLGDGGHFDGDJUXSRGHGDWRVODWHQGHQFLDFHQWUDOGHORVGDWRV
HLQFOXVRDQDOL]DUHOYDORUGHODVPHGLGDVGHUHVXPHQ
(OVHJXQGRSUREOHPDVHSUHVWDSDUDUHDOL]DUXQDQiOLVLVHQIXQFLyQGHODVPHGLGDVGHUHVX
PHQSDUDFDGDXQRGHORVJUXSRV
Muestra
Estudiantes
Moda(s)
5y6
4
Media aritmética
5,50
4,69
Máximo
10
8
Mínimo
2
2
Recorrido
8
6
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
0iVWUDVFHQGHQWHTXHHOFiOFXORGHODVPHGLGDVORFRQVWLWX\HODLQWHUSUHWDFLyQHQFDGDFDVR
SRUHMHPSORPLHQWUDVTXHHQODPXHVWUDGHKRJDUHVSURSRUFLRQDGDKD\GRVYDORUHVTXHWLH
QHQODPD\RUIUHFXHQFLDTXHVRQ\HQWUHORVKRJDUHVHVWXGLDQWLOHVHOQ~PHURGHPLHP
EURVTXHPiVVHUHSLWHHV(OQ~PHURSURPHGLRGHPLHPEURVSRUKRJDUHQODPXHVWUDHV
\HQWUHORVKRJDUHVHVWXGLDQWLOHVHV6HGHEHKDFHUKLQFDSLpHQTXHHVWRVYDORUHV
QRGHEHQQHFHVDULDPHQWHVHUQ~PHURVHQWHURV(QFXDQWRDOYDORUPi[LPRGHPLHPEURVSRU
KRJDUHQODPXHVWUDIXHGH\HQWUHORVKRJDUHVGHODV\ORVHVWXGLDQWHVGHOPLVPRPR
GRHOQ~PHURPtQLPRGHPLHPEURVSRUKRJDUIXHHQDPERVFDVRV3RU~OWLPRODPD\RU
GLIHUHQFLDHQWUHHOQ~PHURGHPLHPEURVGHORVKRJDUHVGHORVJUXSRVIXHGHHQHOFDVRGH
ORVKRJDUHVGHODPXHVWUD\HQORVKRJDUHVGHODV\ORVHVWXGLDQWHV
$XQTXHODLQWHUSUHWDFLyQGHFDGDPHGLGDVHSXHGHFRQVLGHUDUFRQRWUDVSDODEUDVORIXQGD
PHQWDO UDGLFD HQ TXH HO PHQVDMH TXH FRPXQLFD FDGD PHGLGD TXHGH VXILFLHQWHPHQWH FODUR
3RUHOORHOHPSOHRGHODFDOFXODGRUDRODFRPSXWDGRUDFRQVWLWX\HXQLQVXPRYLWDOSDUDVLP
SOLILFDUHOWUDEDMR
Octavo año
$OFLWDUVHODH[SHULPHQWDFLyQFRPRXQDWpFQLFDGHUHFROHFFLyQGHLQIRUPDFLyQVHKDFHUH
IHUHQFLD D OD LPSOHPHQWDFLyQ GH SHTXHxDV DFWLYLGDGHV SRU PHGLR GH ODV FXDOHV VH JHQHUHQ
GDWRVDWUDYpVGHPHGLFLRQHVXREVHUYDFLRQHV8QHMHPSORGHHOORORFRQVWLWX\HODPHGLFLyQ
GHOFRGRRHOSDOPR
5HVSHFWR D HVWH PLVPR SUREOHPD VH UHTXLHUHQ HPSOHDU WpFQLFDV GLIHUHQWHV GH UHSUHVHQWD
FLyQ D ODV TXH VH HPSOHDURQ HQ R $xR (VWR GHELGR D TXH ORV FXDGURV GH IUHFXHQFLD QR
SHUPLWHQREVHUYDUFODUDPHQWHHOSDWUyQGHYDULDELOLGDGGHORVGDWRV8QDWpFQLFDTXHVHXWL
OL]y HQ 3ULPDULD \ TXH VH SXHGH HPSOHDU QXHYDPHQWH FRQVLVWH HQ HODERUDU GLDJUDPDV GH
SXQWRV
+RPEUHV
0XMHUHV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
&RQHVWDLQIRUPDFLyQ VHSXHGHQLGHQWLILFDUYDULDVFDUDFWHUtVWLFDVGHORVGDWRVSRUHMHPSOR
TXHODVHVWDWXUDVGHODVPXMHUHVVRQPiVYDULDEOHV\VHWLHQGHQDFRQFHQWUDUHQGDWRVPiVDO
WRVTXHORVKRPEUHVSRUORTXHVHSRGUtDIiFLOPHQWHFRQFOXLUVREUHHOSUREOHPD
'HELGRDTXHORVGDWRVDQWHULRUHVIXHURQREWHQLGRVSRUPHGLFLyQ\HPSOHDQGRVGHFLPDOHV
ODVPHGLGDVHVWDGtVWLFDVGHUHVXPHQFRQVWLWX\HQXQDKHUUDPLHQWDIXQGDPHQWDOSDUDUHDOL]DU
ODFRPSDUDFLyQ$OLJXDOTXHVHUHDOL]yHQ R$xRHOpQIDVLVQRGHEHFHQWUDUVHHQHOFiOFXOR
VLQRHQODLQWHUSUHWDFLyQ\HOPHQVDMHTXHHVWDVPHGLGDVSURSRUFLRQDQSDUDUHVROYHUHOSUR
EOHPD
/RVSXQWRV\HYLGHQFLDQTXHORVSUREOHPDVHVWDGtVWLFRVSXHGHQVHUDERUGDGRVSRUGLIH
UHQWHVWpFQLFDVSRUORTXHVHUHTXLHUHYDORUDUODYLDELOLGDGGHODVHVWUDWHJLDVHPSOHDGDVHQ
IXQFLyQGHODVLQWHUURJDQWHVTXHJHQHUDQORVSUREOHPDV
(QHVWHPLVPRVHQWLGRORVGDWRVUHFDEDGRVVREUHHOSUREOHPDYLQFXODGRFRQHODJUDGRSRU
ODV IUXWDV SXHGHQ VHU UHVXPLGRV SRU GLVWLQWDV WpFQLFDV $OJXQDV GH ODV SRVLELOLGDGHV SDUD
UHDOL]DUHODQiOLVLVVHHMHPSOLILFDQDFRQWLQXDFLyQ
Distribución absoluta y porcentual de la relación en el agrado
por las frutas de las y los estudiantes.
Agrado
Mucho
Regular
Poco
Nada
Total
Hombres
Total
Porcen.
8
44,4
4
22,2
4
22,2
2
11,1
18
100,0
Mujeres
Total
Porcen.
7
58,3
3
25,0
1
8,3
1
8,3
12
100,0
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
&XDOTXLHUD GH HVWDVUHSUHVHQWDFLRQHV SURSRUFLRQD OD LQIRUPDFLyQ QHFHVDULD SDUD UHVSRQGHU
TXHVtH[LVWHQGLIHUHQFLDVSRUVH[R
3DUDIDYRUHFHUODVUHSUHVHQWDFLRQHV \ ORVFiOFXORVDGHPiVGHOHPSOHRGHXQDFDOFXODGRUD
HVGHYLWDO LPSRUWDQFLDHPSOHDUSURJUDPDVGHFRPSXWDGRUDSRUHMHPSOR KRMDVGHFiOFXOR
HGLWRUHVGHWH[WRSURJUDPDVJUDILFDGRUHVXRWUDVKHUUDPLHQWDVTXHSXHGHQD\XGDUDPHMRUDU
ODFDOLGDGGHODUHSUHVHQWDFLyQ\UHGXFLUHOWLHPSRHQVXFRQVWUXFFLyQ
'HQWURGHODQiOLVLVSUREDELOtVWLFRVH UHFRPLHQGD LQLFLDUFRQ ODGLVFXVLyQHQWUHODVGLIHUHQ
FLDVGHORDOHDWRULR\ ORGHWHUPLQLVWD6HGHEHLGHQWLILFDUTXHODVVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVFR
UUHVSRQGHQDFRQMHWXUDVTXHSXHGHQRFXUULURQR\TXHVXRFXUUHQFLDHVWiVXMHWDDODLQFHU
WLGXPEUH PLHQWUDVTXHHQ ODVGHWHUPLQLVWDVVXRFXUUHQFLDHVSRVLEOH GHGHGXFLUFRQSUHFL
VLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
'HQWURGHORVHMHPSORVVREUHODIRUPDHQTXHKDHYROXFLRQDGRKLVWyULFDPHQWHHOFRQFHSWR
GHSUREDELOLGDGSXHGHVHUGHLQWHUpVHOFRQRFLPLHQWRVREUHHOHPSOHRTXHORVSXHEORVDQWL
JXRVUHDOL]DEDQGHOKXHVRDVWUiJDORHOFXDOVHSXHGHFRQVLGHUDUFRPRDQWHFHVRUGHOGDGR
/DSUHVHQFLDGHO KXHVRDVWUiJDORGHRYHMDRFLHUYRHQODVH[FDYDFLRQHVDUTXHROyJLFDV PiV
DQWLJXDV SDUHFH FRQILUPDU TXH ORV MXHJRV GH D]DU WLHQHQ XQD DQWLJHGDG GH PiV GH DxRV3DUDPiVLQIRUPDFLyQVHSXHGHFRQVXOWDUODGLUHFFLyQ
KWWSZZZRHLHVFLHQFLD\XQLYHUVLGDGVSLSSKS"DUWLFOH
'HQWURGHORVWpUPLQRVTXHVHWLHQGHQDXWLOL]DUFRQUHJXODULGDGHQHODQiOLVLVGHSUREDELOL
GDGHVVHHQFXHQWUDQ³DOPHQRV´\³DORVXPR´(VFRP~QTXHVHWLHQGDDGDUXQDLQWHUSUH
WDFLyQHTXLYRFDGDSRUHOORVHUHTXLHUHDFODUDUORVHQIXQFLyQGHVXVLJQLILFDGRFRP~Q3RU
HMHPSORVLHQXQHYHQWRVHLQGLFD ³DOPHQRVWUHV´VLJQLILFDTXHWUHVHVXQ OtPLWH LQIHULRU
SRUORTXHVHWHQGUtDTXHHOHYHQWRLQFOX\HGHWUHVHQDGHODQWHPD\RURLJXDODWUHV3RUHO
FRQWUDULR VL SDUD XQ HYHQWR VH LQGLFD ³D OR VXPRWUHV´ DKRUDWUHV HV HO OtPLWH VXSHULRU HO
HYHQWRLQFOX\HGHWUHVKDFLDDEDMRPHQRURLJXDOTXHWUHV
/DGHILQLFLyQGHSUREDELOLGDGXWLOL]DGDDTXtVHGHQRPLQDGHILQLFLyQFOiVLFDRODSODFLDQDHQ
KRQRUDOPDWHPiWLFRIUDQFpV3LHUUH6LPRQ/DSODFH
(QUHODFLyQFRQHOFRQFHSWRGHSUREDELOLGDG/DSODFHFUHyXQDFXULRVDIyUPXODSDUD
H[SUHVDUODSUREDELOLGDGGHTXHHO6ROVDOLHUDSRUHOKRUL]RQWHeOGHFtDTXHODSURED
VW
ELOLGDGHUDGHVWGRQGHGHVHOQ~PHURGHGtDVTXHHOVROKDVDOLGRHQHOSDVDGR
/DSODFHGHFtDTXHHVWDIyUPXODSRGtDDSOLFDUVHHQWRGRVORVFDVRVGRQGHVHGHVFRQR
FtDHOIHQyPHQRRGRQGHORTXHVHFRQRFtDLEDFDPELDQGR
6XGHILQLFLyQLQGLFDTXHSDUDXQHYHQWR$GHXQH[SHULPHQWRFXDOTXLHUDHQGRQGHHO
HVSDFLRPXHVWUDOLQFOX\HORVUHVXOWDGRVSRVLEOHVD DNVLVHVXSRQHTXHFDGDUHVXOWD
GRHVHTXLSUREDEOHTXHQLQJXQRWHQJDPiVRSRUWXQLGDGHVTXHRWURHQWRQFHVODSUR
EDELOLGDGGHFDGDSXQWRPXHVWUDOHV³p = X´
3DUDHOHYHQWR$TXHLQFOX\HUSXQWRVPXHVWUDOHVDVXIDYRUHQWRQFHVVXSUREDELOLGDG
YLHQHGDGDSRU
r Casos favorables A
P(A) = r ∙ p = =
Total de casos
p
7RPDGRGHKWWSHVZLNLSHGLDRUJZLNL3LHUUHB6LPRQB/DSODFH
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
8QHMHPSORGHXQSUREOHPDTXHHMHPSOLILFDODWRPDGHGHFLVLRQHVHQFRQGLFLRQHVGHLQFHU
WLGXPEUHHVHOVLJXLHQWH6HOHSLGHDXQDRXQHVWXGLDQWHVHOHFFLRQDUXQDEROD\VHOHGLFH
TXHVLHVURMDVHOHRWRUJDUiXQSUHPLR3ULPHUDPHQWHGHEHHVFRJHUHQWUHODXUQDDPDULOOD\
ODXUQDYHUGHTXHVHVXSRQHQHVWiQFHUUDGDVSHURVHVDEHTXHHQODXUQDDPDULOODKD\WUHV
ERODVURMDV\VHLVD]XOHVPLHQWUDVTXHHQODYHUGHKD\GRVURMDV\FXDWURD]XOHV/DVHOHF
FLyQGHODERODGHEHUHDOL]DUODHQIRUPDDOHDWRULD¢&XiOGHODVXUQDVGHEHUiVHOHFFLRQDUSD
UDWHQHUODPD\RUSUREDELOLGDGSRVLEOHGHJDQDUGLFKRSUHPLR"-XVWLILTXHVXDQiOLVLV
Noveno año
'HVGHHOSXQWRGHYLVWDHVWDGtVWLFRHOSULQFLSDOHOHPHQWRTXHDSDUHFHHQž$xRHVWiGDGR
SRUODLQFOXVLyQGHYDULDEOHVFRQWLQXDVHQORVDQiOLVLV$XQTXHHQORVDxRVDQWHULRUHVVHWUD
EDMyFRQPHGLFLRQHVTXHFRUUHVSRQGHQDFDUDFWHUtVWLFDVFRQWLQXDVGHODVXQLGDGHVHVWDGtVWL
FDVHVHQž$xRHQTXHHOFRQFHSWRGHFRQWLQXLGDGHVLQWURGXFLGRHQHOiUHDGH1~PHURV
SRUHOORVHSXHGHKDEODUFRQSURSLHGDGGHYDULDEOHVFRQWLQXDV1RREVWDQWHDXQTXHHQWHR
UtD XQD YDULDEOH FRQWLQXD SXHGH WRPDU FXDOTXLHU YDORU UHDO HQ XQ GHWHUPLQDGR UDQJR QRU
PDOPHQWHHQODSUiFWLFDVHWUDEDMDFRQQ~PHURVUDFLRQDOHVFDVLVLHPSUHH[SUHVDGRVHQIRU
PDGHFLPDO3DUDHMHPSOLILFDUXQDQiOLVLVFRQGDWRVFRQWLQXRVHQODVLQGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
VHVXJLHUH PHGLUHOFRGR\HOSDOPRGHODV \ ORVHVWXGLDQWHV3DUDVLVWHPDWL]DU OD LQIRUPD
FLyQVHSURSRQHODFRQVWUXFFLyQGHGLVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLD&RQODDFWLYLGDGSURSXHVWD
VHHVSHUDTXHFRQODRULHQWDFLyQGRFHQWHVHSXHGDUHDOL]DUXQDDJUXSDFLyQGHGDWRV\UH
VXPLUODLQIRUPDFLyQWDOFRPRVHLQGLFDDFRQWLQXDFLyQSDUDHOFDVRGHODYDULDEOH ORQJLWXG
GHOFRGR
Distribución de las longitudes del codo de las y los estudiantes de la sección ___
(en centímetros)
Longitud del codo
De 25 a menos de 30
De 30 a menos de 35
De 35 a menos de 40
De 40 a menos de 45
De 45 a menos de 50
Total
Número de
estudiantes
1
6
8
11
6
32
Porcentaje de
estudiantes
3,13
18,75
25,00
34,38
18,75
100,00
/DVFODVHVGHEHQDGDSWDUVHDORVGDWRVREWHQLGRVSURFXUDQGRXQDDGHFXDGDGLVWULEXFLyQGH
WRGRVORVGDWRVXWLOL]DQGRSUHIHULEOHPHQWHFODVHVGHOPLVPRWDPDxR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
(Q UHODFLyQ FRQ HO SXQWR DQWHULRU SDUD FRPSOHPHQWDU ODV SRVLELOLGDGHV GH UHVXPHQ GH ORV
GDWRV FRQWLQXRV VH UHTXLHUH LQWURGXFLU OD FRQVWUXFFLyQ GH KLVWRJUDPDV R SROtJRQRV GH IUH
FXHQFLDSDUDUHVXPLUODLQIRUPDFLyQ7DOFRPRVHPXHVWUD
$O LJXDOTXHVHKDYHQLGRLQGLFDQGRSUHYLDPHQWH SDUDHIHFWRVGHUHSUHVHQWDUORVGDWRVGH
ODV ORQJLWXGHV GH ORV FRGRV ~QLFDPHQWH VH GHEH XWLOL]DU XQD GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV SXHV
WDQWRHOFXDGURFRPRORVGRVJUiILFRVDQWHULRUHVFRPXQLFDQODPLVPDLQIRUPDFLyQ
3DUDHIHFWRVGHOSUREOHPDRULJLQDOVHGHEHUtDUHDOL]DUXQDQiOLVLVVLPLODUSDUDFDGDVH[R(Q
HVWH FDVR XQ DQiOLVLV PX\ UHSUHVHQWDWLYR OR FRQVWLWX\H OD FRQVWUXFFLyQ GH XQ SROtJRQR GH
IUHFXHQFLDVGHKRPEUHV\GHPXMHUHVHQHOPLVPRSODQRFDUWHVLDQRFRQHOORVHWHQGUtDXQD
DGHFXDGD UHSUHVHQWDFLyQ GHO SUREOHPD SDUD H[WUDHU ODV FRQFOXVLRQHV FRUUHVSRQGLHQWHV WDO
FRPRVHHMHPSOLILFD
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
$OLJXDOTXHVHLQGLFySDUDƒ$xRHOpQIDVLVGHODVGLVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLDVRVXVUH
SUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVGHEHFHQWUDUVHHQHODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQ\QRHQORVSURFHVRV
GHFRQVWUXFFLyQSRUHOORVHUHFRPLHQGDXWLOL]DU ODFRPSXWDGRUDSDUDIDFLOLWDUORVSURFHVRV
GHFRQVWUXFFLyQGHFXDGURV\JUiILFRV
3DUDHQIDWL]DUHQHOXVRGHO PXHVWUHRDOHDWRULRSDUD ODDSOLFDFLyQGHHQFXHVWDVD QLYHO QD
FLRQDOVHJXLGDPHQWHVHSODQWHDQGRVHMHPSORVGHODLPSOHPHQWDFLyQGHPXHVWUDVDOHDWRULDV
FX\RVUHVXOWDGRVSXHGHQVHUFRQVXOWDGRVHQ,QWHUQHW
D (Q HO DxR VH UHDOL]y HQ &RVWD 5LFD OD 3ULPHUD (QFXHVWD 1DFLRQDO GH -XYHQWXG
FRRUGLQDGDSRUHO&RQVHMR1DFLRQDOGH3ROtWLFD3~EOLFDGHOD3HUVRQD-RYHQ,QFOX\yXQD
PXHVWUDDOHDWRULDGHSHUVRQDVGHDDxRV/DLQIRUPDFLyQSXHGHVHUFRQVXOWD
GDHQODGLUHFFLyQHOHFWUyQLFDKWWSFSMJRFUGRFVHQFXHVWDLQIRUPHHQFXHVWDSGI/DLQ
IRUPDFLyQVREUHODHQFXHVWDVHUHVXPHHQHOVLJXLHQWHFXDGUR
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
E (QQRYLHPEUHGHOOD$VRFLDFLyQ'HPRJUiILFD&RVWDUULFHQVHUHDOL]yOD(QFXHVWD1DFLR
QDOGH6DOXG6H[XDO\5HSURGXFWLYDHQHOSDtVDFWXDOL]DQGRGDWRVHQ6DOXG5HSURGXFWLYDD
DxRV GH OD ~OWLPD (QFXHVWD 1DFLRQDO \ VH SXHGH FRQVXOWDU HQ OD GLUHFFLyQ HOHFWUyQLFD
KWWSZZZDGFFURUJDGFBWDVDBSUHYDOHQFLDSKS
(QWUHRWURVUHVXOWDGRVVHSUHVHQWDQORVVLJXLHQWHV
L
&RVWD5LFDFRQWLQ~DWHQLHQGRXQDGHODVWDVDVPiVDOWDVGHSUHYDOHQFLDGHXVRGH
PpWRGRVDQWLFRQFHSWLYRVGH$PpULFD/DWLQDXQGHODVPXMHUHVGHDxRVD
DxRVHQWUHYLVWDGDVLQGLFDURQXVDUDOJ~QPpWRGRSDUDSODQLILFDUODIDPLOLD
LL
(QFXDQWRDORVPpWRGRVDQWLFRQFHSWLYRVXVDGRVVHSUHVHQWDQFDPELRVPX\LPSRU
WDQWHVHQWUH\HO
$XPHQWRHQODVHVWHULOL]DFLRQHVODHVWHULOL]DFLyQIHPHQLQDSDVyGHD\
ODHVWHULOL]DFLyQPDVFXOLQDGHDWDPELpQDXPHQWyHOXVRGHORVJHVWiJH
QRVLQ\HFWDEOHVGHD3RUHOFRQWUDULREDMyHOXVRGHO'LVSRVLWLYR,QWUD
XWHULQR',8GHDHOXVRGHFRQGRQHVSDVyGHD\ORVPpWRGRV
QDWXUDOHVGHD(QFXDQWRDOXVRGHORVJHVWiJHQRVRUDOHVKD\XQDOLJHUD
YDULDFLyQHQVXXVRHUDGHXQ\HQHOGHXQ
LLL &RQUHVSHFWRDODHGDGGHODSULPHUDUHODFLyQVH[XDOH[LVWHQJUDQGHVGLIHUHQFLDV
HQWUHJHQHUDFLRQHVODVPXMHUHVHQWUH\DxRVWXYLHURQVXSULPHUDH[SHULHQ
FLDVH[XDODORVDxRV\ODVPXMHUHVGHDDxRVDORVDxRV
(OFRQFHSWRFOiVLFRGHSUREDELOLGDGVHKDYHQLGRFRQVWUX\HQGRSDXODWLQDPHQWHHQIXQFLyQ
GHODLGHQWLILFDFLyQGHORVSXQWRVPXHVWUDOHVTXHHVWiQDIDYRUGHXQHYHQWRGHQWURGHOHV
SDFLRPXHVWUDO1RREVWDQWHDQWHOROLPLWDGRGHODGHILQLFLyQFOiVLFDRODSODFLDQDVHUHTXLH
UHLQWURGXFLUHODQiOLVLVSUREDELOtVWLFRFRQEDVHHQODGHILQLFLyQIUHFXHQFLVWDRHPStULFDSRU
ODFXDOVHDSUR[LPDQODVSUREDELOLGDGHVPHGLDQWHXQDIUHFXHQFLDUHODWLYDGHWHUPLQDGDDWUD
YpVGHXQDPXHVWUDDOHDWRULD(VQHFHVDULRSXQWXDOL]DUTXHHVWHHQIRTXHJHQHUDXQDDSUR[L
PDFLyQDODVSUREDELOLGDGHVDSURYHFKDQGRODQRFLyQLQWXLWLYDGHODOH\GHORVJUDQGHVQ~
PHURVSDUDLGHQWLILFDU ODHYROXFLyQTXHHVDVSUREDELOLGDGHVYDQH[SHULPHQWDQGRDPHGLGD
TXHVHLQFUHPHQWDHOWDPDxRGHODPXHVWUD
(Q HVWH PLVPR VHQWLGR SDUD DQDOL]DU OD OH\ GH ORV JUDQGHV Q~PHURV HQ ODV LQGLFDFLRQHV
SXQWXDOHV VH VXJLHUH HPSOHDU XQD DFWLYLGDG XQ SRFR H[WHQVD SHUR TXH UHVXOWD VXPDPHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
LOXVWUDWLYD3RUHOORVHUHFRPLHQGDUHDOL]DUODSRUFRPSOHWR\RULHQWDUODDFWLYLGDGHVWXGLDQWLO
GXUDQWHHOSURFHVR3HURDGHPiVVHSXHGHQSURSRQHURWUDVDFWLYLGDGHVSDUDFRPSOHPHQWDU
HODQiOLVLVGHOWHPD
Indicaciones de evaluación
(QHVWHFLFORVHGHEHRULHQWDUODHYDOXDFLyQKDFLDODLGHQWLILFDFLyQGHODFDSDFLGDGGHFDGDHVWX
GLDQWHSDUDHPSOHDUORVFRQFHSWRVHVWDGtVWLFRV\OHHUHLQWHUSUHWDUODVVLWXDFLRQHVTXHVHOHSUHVHQ
WDQ(V HVHQFLDO TXH VH YDORUHQ ODV GHVWUH]DV SDUD HVWDEOHFHU HVWUDWHJLDV TXH SHUPLWDQ SODQWHDU \
UHVROYHU SUREOHPDV SRU PHGLR GH OD UHFROHFFLyQ HO RUGHQDPLHQWR OD UHSUHVHQWDFLyQ FXDGURV
JUiILFRVRPHGLGDVGHUHVXPHQ\HODQiOLVLVGHODLQIRUPDFLyQTXHVHJHQHUDDOYDORUDUORVSDWUR
QHVGHYDULDFLyQGHORVGDWRVDGHPiVGHDTXHOORVIHQyPHQRVDVRFLDGRVFRQHOD]DU
'HDFXHUGRFRQORDQWHULRU
9 3DUD HO WUDEDMR FRWLGLDQR VH UHFRPLHQGD SODQWHDU DFWLYLGDGHV TXH SHUPLWDQ HYDOXDU ORV
SURFHVRVGHUHVROXFLyQGHSUREOHPDVHVWDGtVWLFRV\SUREDELOtVWLFRVGXUDQWHHOWUDEDMRHVWX
GLDQWLO(Q(VWDGtVWLFDVHUHTXLHUHSUHVWDUDWHQFLyQDODIRUPDHQTXHODV\ORVHVWXGLDQWHV
LQWHJUDQHVWRVFRQRFLPLHQWRVSDUDSRVLELOLWDUXQDQiOLVLVJOREDOGHGDWRVTXHJHQHUHFRQ
FOXVLRQHVDODVLQWHUURJDQWHVGHOSUREOHPDSODQWHDGR(Q3UREDELOLGDGVHUHTXLHUHHYDOXDU
ODFDSDFLGDGSDUDLGHQWLILFDUVLWXDFLRQHVDOHDWRULDVGHWHUPLQDUVXHVSDFLRPXHVWUDO\HOH
PHQWRVR HPSOHDU ORV SULQFLSLRV GH SUREDELOLGDG IUHFXHQFLVWD \ OH\ GH JUDQGHV Q~PHURV
SDUD GHWHUPLQDU SUREDELOLGDGHV GH HYHQWRV SDUWLFXODUHV \ DVt IDYRUHFHU OD WRPD GH GHFL
VLRQHV
9 (QUHODFLyQFRQORVWUDEDMRVH[WUDFODVHVHUHTXLHUHLPSOHPHQWDUHVWUDWHJLDVSRUPHGLRGH
ORVFXDOHVPHGLDQWHHOWUDEDMRLQGLYLGXDORHQVXEJUXSRVVHSODQWHHQ\UHVXHOYHQSUREOH
PDV OOHYDQGR D FDER XQD DQiOLVLV OyJLFR GH FDGDXQR GH HOORV (Q SULPHU OXJDU FRQ XQD
DGHFXDGDLQWHUSUHWDFLyQGHODVLWXDFLyQSODQWHDGD\HQVHJXQGROXJDUVLJXLHQGRFRQHOHV
WDEOHFLPLHQWRGHXQDHVWUDWHJLDSDUDVXDERUGDMH\VXUHVSHFWLYRDQiOLVLV/XHJRODSXHVWD
HQSUiFWLFDGHODHVWUDWHJLDTXHSXHGHLPSOLFDUYDULDVHWDSDVGHVGHODUHFROHFFLyQGHGDWRV
KDVWDODLQWHUSUHWDFLyQGHODLQIRUPDFLyQTXHVHGHVSUHQGHGHHOORVORVFXDOHVGHEHSDVDU
SRU SURFHVRV GH RUGHQDPLHQWR FODVLILFDFLyQ \ UHSUHVHQWDFLyQ HQ FXDGURV JUiILFRV R HO
FiOFXORGH PHGLGDV)LQDOPHQWHRIUHFHUUHVSXHVWDVD ODV LQWHUURJDQWHVTXHVHJHQHUDURQ
GHOSUREOHPD8QDQiOLVLVVLPLODUVHGHEHUHDOL]DUSDUDHOWUDEDMRHQ3UREDELOLGDGHVHQODV
FXDOHV ODVHVWUDWHJLDVTXH VHYD\DQDLPSOHPHQWDUGHEHQWRPDUHQFXHQWDORVPLVPRVDV
SHFWRVUHJXODGRVHQODGHVFULSFLyQGHOWUDEDMRFRWLGLDQR/RVSUREOHPDVSODQWHDGRVHQORV
SUR\HFWRVGHEHQSHUPLWLUGHVDUUROODUORVSURFHVRVEiVLFRVTXHVHKDQVXJHULGR5D]RQDU\
DUJXPHQWDU&RQHFWDU5HSUHVHQWDU\&RPXQLFDU
9 3RU~OWLPRSDUDODVSUXHEDVHVFULWDVHQ(VWDGtVWLFDODVSUHJXQWDVTXHVHLQFOX\DQGHEH
UtDQHVWDURULHQWDGDVKDFLDODLGHQWLILFDFLyQGHODVFDUDFWHUtVWLFDVGHORVGDWRV\VXVSURSLH
GDGHV SHUR WDPELpQ D OD GHVWUH]D ORJUDGD SRU FDGD HVWXGLDQWH SDUD OHHU H LQWHUSUHWDU LQ
IRUPDFLyQGHOFRQWH[WRHVWXGLDQWLOFRPXQDORQDFLRQDOUHSUHVHQWDGDSRUGLIHUHQWHVWpFQL
FDVFXDGURVJUiILFRVHVTXHPDV(VWRVtWHPVGHEHQPRWLYDUDOHVWXGLDQWDGRSDUDH[SUH
VDUVXKDELOLGDGSDUDHODJUXSDPLHQWRFODVLILFDFLyQ \ OHFWXUDGHGDWRV\ OD LGHQWLILFDFLyQ
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
GH SDWURQHV SDUD LQWHUSUHWDU OD LQIRUPDFLyQ 3RU HOOR QR LQWHUHVD HYDOXDU GHILQLFLRQHV X
RWURV DVSHFWRVWHyULFRV VLQR OD LPSOHPHQWDFLyQ GH HVRV SULQFLSLRV HQ SUREOHPDV FRQFUH
WRV$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDXQHMHPSOR
&RQVLGHUHODLQIRUPDFLyQGHOFXDGURDGMXQWRTXHFRUUHVSRQGHDORVGDWRVGHXQDHQFXHV
WDDSOLFDGDDHVWXGLDQWHVGH3ULPDULD\6HFXQGDULDGHXQDFRPXQLGDG(VWDHQFXHVWD
WHQtDFRPRSURSyVLWRLGHQWLILFDUHOWUDEDMRLQIDQWLOFRQORVRILFLRVHQVXSURSLRKRJDUWD
OHV FRPR FXLGDU D KHUPDQRV PHQRUHV FRFLQDU ODYDU SODQFKDU OLPSLDU OD FDVD HQWUH
RWURV
Relación entre el sexo y el trabajo infantil para una muestra aleatoria de 400 estudiantes
de educación Primaria y Secundaria de cierta comunidad
Sexo
Trabajo infantil
Niños
100
Niñas
84
Total
184
No hacen oficio en su hogar
150
66
216
Total
250
150
400
Hacen oficio en su hogar
7RPDQGRHQFXHQWDODLQIRUPDFLyQGHOFXDGURVHSXHGHGHFLUTXH
D
E
F
G
(QWpUPLQRVUHODWLYRVORVYDURQHVWLHQHQXQDPD\RUSDUWLFLSDFLyQHQRILFLRVGRPpV
WLFRV
(QWpUPLQRVUHODWLYRVODVPXMHUHVWLHQHQXQDPD\RUSDUWLFLSDFLyQHQRILFLRVGRPpV
WLFRV
(QWpUPLQRVDEVROXWRVORVYDURQHVWLHQHQXQDPHQRUSDUWLFLSDFLyQHQRILFLRVGR
PpVWLFRV
(QWpUPLQRVUHODWLYRVKRPEUHV\PXMHUHVWLHQHQLJXDOSDUWLFLSDFLyQHQRILFLRVGR
PpVWLFRV
$XQTXH ORVSUREOHPDVFRQHODQiOLVLVGH ODVSUREDELOLGDGHVSXHGHQGLIHULUGHORVSUREOH
PDV HPLQHQWHPHQWH HVWDGtVWLFRV ORV SULQFLSLRV EiVLFRV TXH ORV UHJXOHQ GHEHQ VHU ORV
PLVPRV3RUHOOR ODV SUXHEDVHVFULWDVGHEHQRULHQWDUVHKDFLDHODGHFXDGRXVRGHODV KH
UUDPLHQWDVSUREDELOtVWLFDVSDUD LQWHUSUHWDUVLWXDFLRQHVGHOFRQWH[WR3RUHMHPSORREVHUYH
HOVLJXLHQWHtWHP
/XLV&ULVWLDQ(VWHEDQ$OYLQ\$UWXURIRUPDQHOHTXLSRWLWXODUGHEDORQFHVWRGHVXFROH
JLR(OVLJXLHQWHFXDGURSUHVHQWDORVWLURVDQRWDGRV\IDOODGRVSRUHOHTXLSRWLWXODUHQORV
~OWLPRVMXHJRV
Programas de cada ciclo educativo
Tercer ciclo, Estadística y Probabilidad
&DQWLGDGGHWLURVOLEUHVDQRWDGRV\IDOODGRVHQORV~OWLPRV
MXHJRV
-XJDGRUHV
Alvin
Arturo
Esteban
Fallados
Cristian
Anotados
Luis
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
&DQWLGDG GHWLURVOLEUHV
'HDFXHUGRDORVGDWRVDQWHULRUHV\FRQHOSULQFLSLRGHSUREDELOLGDGHPStULFD¢TXLpQ
WLHQHPD\RUSUREDELOLGDGGHDQRWDUVXSULPHUWLUROLEUHHQHOSUy[LPRSDUWLGR"
D
$OYLQ
E
$UWXUR
F
(VWHEDQ
G
/XLV
Ciclo diversificado
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Introducción
Introducción al Ciclo diversificado
(O&LFORGLYHUVLILFDGRSRVHHGRVSHUVSHFWLYDVSRUXQODGRSURIXQGL]DFRPSOHPHQWD\DPSOtDORV
WySLFRV LQWURGXFLGRV HQ HO 7HUFHU FLFOR \ SRU HO RWUR DSRUWD FRQFHSWRV \ SURFHGLPLHQWRV TXH
VHUiQ UHOHYDQWHV SDUD DOJXQRV HVWXGLDQWHV TXH SURVHJXLUiQ HVWXGLRV VXSHULRUHV (Q HVWH FLFOR ORV
HVWXGLDQWHVDVLPLODQFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVPDWHPiWLFDVVXSHULRUHVSRVHHQXQQLYHOFXOWX
UDOySWLPR\SRUHVRHVXQPRPHQWRLGyQHRSDUDFXOWLYDUHOUHVSHWR\DSUHFLRSRUODV0DWHPiWL
FDVSURYRFDUXQVHQWLGRPiVDPSOLRHQODYLVXDOL]DFLyQGHVXXWLOLGDG\SRUORWDQWRDPSOLDUVXV
SRVLELOLGDGHV SDUD GLVIUXWDUODV (V WDPELpQ XQD YDOLRVD RSRUWXQLGDG SDUD KDFHU PiV FRQH[LRQHV
FRQ RWUDV PDWHULDV \ HO HQWRUQR /RV QLYHOHV GH H[SUHVLyQ \ FRPXQLFDFLyQ PDWHPiWLFD TXH VH
SXHGHQORJUDUDKRUDVRQPD\RUHVTXHHQORVDQWHULRUHVFLFORV
(QHVWHFLFOR0HGLGDV\1~PHURVRFXSDQXQWDPDxRPX\SHTXHxRSXHVVRQWUDQVYHUVDOHVD ODV
RWUDV iUHDV PHGLDQWH VX XVR HQ SUREOHPDV HQ FRQWH[WRV UHDOHV PLHQWUDV 5HODFLRQHV \ iOJHEUD \
(VWDGtVWLFD\SUREDELOLGDGDXPHQWDQVLJQLILFDWLYDPHQWHRFXSDQGRPiVGHOSRUFLHQWRGHORV
WySLFRVGHOFLFOR*HRPHWUtDRFXSDXQWDPDxRVLPLODUDOTXHWHQtDHQHO7HUFHUFLFOR
(Q5HODFLRQHV\ÈOJHEUDVHIRUPDOL]DHOFRQFHSWRGHIXQFLyQWUDWDPLHQWRDEVWUDFWRLQWURGXFLHQ
GRDOJXQRVHOHPHQWRVGHOOHQJXDMHGHORVFRQMXQWRVQXPpULFRV$GHPiVVHDPSOtDQODVIXQFLRQHV
HVWXGLDGDVDODVH[SRQHQFLDOHV\ORJDUtWPLFDVHOHQIRTXHTXHVHVLJXHFRQODVIXQFLRQHVHQIDWL]D
VXSDUWLFLSDFLyQHQHOXVR\GLVHxRGHPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHDKRUDSXHGHQVHUPiVDPSOLRV
/D PRGHOL]DFLyQ HV XQR GH ORV UDVJRV LPSRUWDQWHV GH HVWH FLFOR HQ HVWD iUHD \ EXVFD FRPSOHWDU
XQD HGXFDFLyQ PDWHPiWLFD FRQ HVD YRFDFLyQ GHVGH HO HU $xR HVFRODU (O SURFHVR 3ODQWHDU \
UHVROYHUSUREOHPDVVHDFUHFLHQWDSDUDFRPSOHWDUDVtODIRUPDFLyQTXHVHUYLUiSDUDDERUGDUHQOD
YLGDFRWLGLDQDSUREOHPDVHQGLVWLQWRVFRQWH[WRVFRQXQFLHUWRJUDGRGHPDWHPDWL]DFLyQDVtFRPR
VRVWHQHUHVWXGLRVVXSHULRUHVTXHLPSOLTXHQFRQPD\RULQWHQVLGDGHVWHWLSRGHSURFHVR
(Q(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDGVHUHIXHU]DQ\SURIXQGL]DQORVFRQFHSWRVGHVDUUROODGRVHQHO7HU
FHUFLFORHQFXDQWRDODXWLOL]DFLyQGHPHGLGDVHVWDGtVWLFDVGHSRVLFLyQ\VHLQWURGXFHQODVPHGL
GDVGHYDULDELOLGDG6HIRUPDOL]DQODVSURSLHGDGHVEiVLFDVGHOFiOFXORGHSUREDELOLGDGHVXWLOL]DQ
GRDOJXQRVHOHPHQWRVGHOOHQJXDMHGHFRQMXQWRV/RVWySLFRVTXHVHGHVDUUROODQHQHVWDiUHDVRQ
LQVWUXPHQWDOHVSDUDYLVXDOL]DUODXWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV\HOUHVSHWRSRUHVWDGLVFLSOLQDFLHQ
WtILFD
(QHVWHFLFOR OD*HRPHWUtDHVDQDOtWLFDFRQXQHVSHFLDO pQIDVLVHQHOHVWXGLR\UHSUHVHQWDFLyQGH
ILJXUDVJHRPpWULFDVHQHOSODQRFLUFXQIHUHQFLDUHFWDVSROtJRQRVHWF7DPELpQVHSURPRYHUi
HO GHVDUUROOR GH KDELOLGDGHV UHODFLRQDGDV HVWUHFKDPHQWH FRQ HO VHQWLGR HVSDFLDO YLVXDOL]DFLyQ
XELFDFLyQ\PRYLPLHQWR(VWRSHUPLWHFRQFHELUODQDWXUDOH]DGHOD*HRPHWUtDHQODIRUPDFRPR
VHLQVFULEHFRQWHPSRUiQHDPHQWHHQODV0DWHPiWLFDV\GRWDUDFDGDHVWXGLDQWHGHHOHPHQWRVPX\
~WLOHVSDUDFLHUWDViUHDVGHHVWXGLRVVXSHULRUHV
&RQ ORV PD\RUHV QLYHOHV GH DEVWUDFFLyQ HQ TXH VH WUDEDMD HQ HVWH FLFOR HV SRVLEOH DXPHQWDU ORV
SURFHVRVGHUD]RQDPLHQWR\DUJXPHQWDFLyQDVtFRPRPDQHMDUXQDYDULHGDGPD\RUGHUHSUHVHQWD
FLRQHVPDWHPiWLFDV
Ciclo diversificado, Geometría
Introducción
$OLQJUHVDUDHVWHFLFORFDGDHVWXGLDQWHGHEHWHQHUODKDELOLGDGGHDSOLFDUGLYHUVDVSURSLHGDGHVGH
ODVILJXUDVJHRPpWULFDV3RURWUDSDUWH\DSRVHHQRFLRQHVEiVLFDVVREUHWULJRQRPHWUtDJHRPHWUtD
DQDOtWLFD XELFDFLyQ GH SXQWRV \ ILJXUDV HQ HO SODQR FDUWHVLDQR \ WUDQVIRUPDFLRQHV HQ HO SODQR
KRPRWHFLD 7DPELpQ WLHQH OD KDELOLGDG GH DEVWUDHU FXHVWLRQHV JHRPpWULFDV \ GH DUJXPHQWDU
XVDQGRSURSLHGDGHVPDWHPiWLFDV
(Q HO &LFOR GLYHUVLILFDGR VH LQWURGXFLUi HO HVWXGLR GH OD FLUFXQIHUHQFLD GHVGH HO SXQWR GH YLVWD
DQDOtWLFR \ OD VLPHWUtD GH ILJXUDV HQ HO SODQR FDUWHVLDQR 3RU RWUD SDUWH VH SURIXQGL]DUi HQ HO
HVWXGLR GH ORV SROtJRQRV \ GH ODV WUDQVIRUPDFLRQHV HQ HO SODQR URWDFLRQHV WUDVODFLRQHV \ UHIOH
[LRQHV
/RV FRQFHSWRV SURFHGLPLHQWRV \ SURSLHGDGHV HQ HVWRVWHPDV SRVHHQ JUDQGHV DSOLFDFLRQHV HQ OD
YLGD FRWLGLDQD SURYRFDQGR HO GHVDUUROOR GH KDELOLGDGHV \ FRPSHWHQFLDV UHODFLRQDGDV HVWUHFKD
PHQWHFRQODYLVXDOL]DFLyQXELFDFLyQ\PRYLPLHQWRHQHQWRUQRVDOJRPX\~WLOHQDUWHVJUiILFDV
DUTXLWHFWXUDDUWHVDQtDRVLPSOHPHQWHHQODPDQLSXODFLyQRUGLQDULDGHODVFRVDVTXHVHHQFXHQWUDQ
GHQWURGHOHVSDFLRItVLFRHQHOTXHVHPXHYHQODVSHUVRQDV
6HFRPSOHWDHQHVWHFLFORHOFRQRFLPLHQWR\HOGRPLQLRGHSURSLHGDGHVJHRPpWULFDVDVRFLDGDVDO
SURJUHVR GH OD FRPSHWHQFLD PDWHPiWLFD TXH VH LQWURGXFH \ GHVDUUROOD HQ HVWRV SURJUDPDV GH
0DWHPiWLFDVGHVGHXQSULQFLSLR
(VWHFLFORFLHUUD ODHQVHxDQ]D PHGLD \ VHHVSHUDTXH HOHVWXGLDQWDGRWHQJDXQD LGHD FDEDOGH OR
TXHHVOD*HRPHWUtDVXVPpWRGRVGHWUDEDMRVXUHODFLyQFRQRWUDViUHDV\GLVFLSOLQDV\VXLPSRU
WDQFLDGHVGHHOSXQWRGHYLVWDGHODFXOWXUDJHQHUDO
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DGH*HRPHWUtDHQHVWHFLFORHVHVWXGLDUDQDOtWLFDPHQWHODFLUFXQIHUHQ
FLDDOJXQRVFRQRFLPLHQWRVUHODFLRQDGRVFRQSROtJRQRV\DOJXQDVWUDQVIRUPDFLRQHVHQHOSODQR
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHVHUiQGHVDUUROODGDVHQ*HRPHWUtDGXUDQWHHVWHFLFORVRQ
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
x
x
x
x
x
x
5HSUHVHQWDUODVFLUFXQIHUHQFLDVGHPDQHUDDQDOtWLFD\JUiILFD
&DOFXODUiUHDV\SHUtPHWURVGHSROtJRQRV
$SOLFDUHLGHQWLILFDUGLYHUVDVWUDQVIRUPDFLRQHVHQHOSODQRDILJXUDVJHRPpWULFDV
8WLOL]DUODJHRPHWUtDDQDOtWLFDSDUDUHSUHVHQWDUFLUFXQIHUHQFLDV\WUDQVIRUPDFLRQHV
,GHQWLILFDUVLPHWUtDV
9LVXDOL]DU\DSOLFDUFDUDFWHUtVWLFDV\SURSLHGDGHVGHILJXUDVJHRPpWULFDVWULGLPHQVLRQDOHV
(QHVWHQLYHOVRQUHOHYDQWHVORVSURFHVRVGHDUJXPHQWDFLyQ\GHPRVWUDFLyQSXHVWRTXHVHWUDEDMD
FRQ PD\RU JUDGR GH IRUPDOLGDG ORV DVSHFWRV FRQFHSWXDOHV \ DOJRUtWPLFRV $GHPiV VH SRGUi
PRWLYDUHQODVOHFFLRQHVXQPD\RUXVRGHOYRFDEXODULR\VLPERORJtDPDWHPiWLFDHQODDUJXPHQWD
FLyQGHORVUHVXOWDGRV
/RV SUREOHPDV JHRPpWULFRV TXH VH XVDUiQ HVWDUiQ HQ tQWLPD FRQH[LyQ FRQ 0HGLGDV \ FRQ RWUDV
iUHDVGHOFRQRFLPLHQWRFRPRHOÈOJHEUDOD)tVLFDODV&LHQFLDV6RFLDOHV\RWUDVSRUTXHORVSUR
EOHPDVSURSXHVWRVQRHVWDUiQDLVODGRVGHODUHDOLGDGVLQRPiVELHQHVWUHFKDPHQWHYLQFXODGRVFRQ
DFWLYLGDGHVFRWLGLDQDV
$O H[LVWLU XQ JUDGR PD\RU GH GLILFXOWDG GH ORV SUREOHPDV SODQWHDGRV HV IXQGDPHQWDO TXH QR VH
GHVFDUWHGHEXHQDVDSULPHUDVXQDVROXFLyQEULQGDGDSRUXQDRXQHVWXGLDQWHVLQRTXHVHSXHGDQ
UHVFDWDUODVHVWUDWHJLDVRYDULDVQRFLRQHVDFHUWDGDV3RUHVRORVSURFHVRV&RPXQLFDU\5HSUHVHQ
WDUVRQIXQGDPHQWDOHVSDUDHOHQULTXHFLPLHQWRGHODFRQVWUXFFLyQGHODVKDELOLGDGHV\SDUDPRWL
YDUDFWLWXGHVGHDXWRHVWLPDFRQUHVSHFWRDODV0DWHPiWLFDV
(QHVWHQLYHOVHWUDEDMDUiGHOOHQRODUHVROXFLyQGHSUREOHPDVFRQDWHQFLyQHVSHFLDODODHVWUDWHJLD
XWLOL]DGDPiVTXHDOUHVXOWDGRSXHVH[LVWLUiGLYHUVLGDGGHFDPLQRVSDUDOOHJDUDXQDPLVPDVROX
FLyQ
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
*HRPHWUtD
$QDOtWLFD
x &LUFXQIHUHQFLD
&HQWUR
5DGLR
6HFDQWH
5HFWD
WDQJHQWH
x 5HFWDH[WHULRU
x 5HFWDVSDUDOH
ODV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
5HSUHVHQWDU JUiILFDPHQWH
XQDFLUFXQIHUHQFLDGDGRVX
FHQWUR\VXUDGLR
5HSUHVHQWDUDOJHEUDLFD
PHQWHXQDFLUFXQIHUHQFLD
GDGRVXFHQWUR\VXUDGLR
$SOLFDU WUDVODFLRQHV D XQD
FLUFXQIHUHQFLD
5HVROYHU SUREOHPDV UHOD
FLRQDGRV FRQ OD FLUFXQIH
UHQFLD \ VXV UHSUHVHQWDFLR
QHV
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c6HSXHGHLQWURGXFLUODHFXDFLyQGHODFLUFXQIHUHQFLDXWLOL]DQGR
FRPR KHUUDPLHQWD OD IyUPXOD GH GLVWDQFLD HQWUH GRV SXQWRV OD
FXDOVHGHVDUUROOyHQž$xR
I( , ), ( , ) = ( − ) + ( − )
8Q PRYLPLHQWR VtVPLFR HV XQ PRYLPLHQWR YLEUDWRULR
SURGXFLGR SRU OD SpUGLGD GH HVWDELOLGDG GH PDVDV GH FRUWH]D
&XDQGRHOPRYLPLHQWROOHJDDODVXSHUILFLH\VHSURSDJDSRUpVWD
VHOHOODPDWHUUHPRWR
Programas de cada ciclo educativo
x Rectas
perpendiculares
Ciclo diversificado, Geometría
5. Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se
ubica en el interior o en el
exterior de una circunferencia.
6. Determinar si una recta dada es secante, tangente o
exterior a una circunferencia.
7. Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y exteriores
a una circunferencia.
El movimiento sísmico se propaga concéntricamente y de forma
tridimensional a partir de ese punto de la Litósfera al hipocentro.
Cuando las ondas procedentes del hipocentro llegan a la superficie terrestre se convierten en bidimensionales y se propagan de
forma concéntrica a partir del primer punto de contacto con ella.
Este punto se llama epicentro.
Información tomada de
http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/4ESO/MedioNatural2/contenido2.ht
m
Hay un sismo y en tres estaciones se reportan ondas secundarias
de similar intensidad. Tomando como punto de referencia a la
estación central sismológica las tres estaciones se ubican así:
A: 24 millas al Norte y 15 millas al Este
B: 30 millas al Norte y 6 millas al Este
C: 15 millas al Sur y 10 millas al Este
a.
b.
c.
¿Cuál es la ubicación del epicentro con respecto a la estación central?
¿Cuál fue el radio de alcance de la onda sísmica?
¿Cómo se podría representar el comportamiento sísmico mediante una relación algebraica?
Lo que se quiere es que se plantee el problema en un eje de
coordenadas.
423
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
/XHJR VH REWLHQH OD HFXDFLyQ GHOD FLUFXQIHUHQFLD SRUPHGLR GH
ODIyUPXODGHODGLVWDQFLDHQWUHGRVSXQWRV
( − $) + ( − %) = ] c (V LPSRUWDQWH GHVFULELU OD FLUFXQIHUHQFLD FRPR XQD UHODFLyQ
HQWUH ODV FRRUGHQDGDV GH ORV SXQWRV TXH OD IRUPDQ 7DPELpQ
FRQRFLHQGRODVFRRUGHQDGDVGHXQSXQWR VHGHEHUiUHFRQRFHUVL
pVWHVHHQFXHQWUDGHQWURIXHUDRHVSDUWHGHODFLUFXQIHUHQFLD
(V LQWHUHVDQWH VHxDODU HQ HO SUREOHPD DQWHULRU TXH ODV SHUVRQDV
GHO SXHEOR TXH HVWiQ PLOODV DO 6XU \ PLOODV DO (VWH GH OD
HVWDFLyQ FHQWUDO QR GHEHUtDQ KDEHU VHQWLGR HO VLVPR HQ FDPELR
ORV KDELWDQWHV GH XQ SXHEOR TXH HVWi D PLOODV DO 2HVWH GH OD
HVWDFLyQ FHQWUDO Vt OR VLQWLHURQ \D TXH HO SXHEOR HVWi GHQWUR GHO
UDGLRGHODRQGDVtVPLFD
(O SUREOHPD DQWHULRU FRUUHVSRQGH D XQ PRGHOR TXH WLHQH
FRQH[LyQFRQRWUDVGLVFLSOLQDV
8Q PRGHOR FRPR HO DQWHULRU SURSLFLD OD FRQILDQ]D HQ OD
XWLOLGDGGHODV0DWHPiWLFDV
8Q HOHPHQWR KLVWyULFR FRQ ILQHV SHGDJyJLFRV TXH SXHGH
XWLOL]DUVHHVODGHVFULSFLyQUHDOL]DGDSRUHOILOyVRIR\PDWHPiWLFR
IUDQFpV 'HVFDUWHV GH XQ PpWRGR SDUD REWHQHU UDt]
FXDGUDGDXWLOL]DQGRJHRPHWUtD(OVLJXLHQWHWH[WRHVXQIUDJPHQ
WRWRPDGRGH/D*pRPHWULHXQRGHORVWUHVDSpQGLFHVGHVXREUD
ILORVyILFD'LVFRXUVGHODPpWKRGHVREUHODH[WUDFFLyQGHODUDt]
FXDGUDGD
6L KD\ TXH H[WUDHU OD UDt] FXDGUDGD GH *+ VH OH
DJUHJDHQOtQHDUHFWD)*
TXH HV OD XQLGDG \ GLYLGLHQGR )+ HQ GRV SDUWHV
LJXDOHVSRUHOSXQWR.FRQHVHSXQWRFRPRFHQWUR
VH WUD]D HO FtUFXOR ),+ OXHJR HOHYDQGR GHVGH HO
SXQWR * XQD OtQHDUHFWD FRQiQJXORV UHFWRV VREUH
)+KDVWD,HV*,ODUDt]EXVFDGD
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
$QDOL]DU JHRPpWULFD \ DO
JHEUDLFDPHQWH OD SRVLFLyQ
UHODWLYD HQWUH UHFWDV HQ HO
SODQR GHVGH HO SXQWR GH
YLVWD GHO SDUDOHOLVPR \ OD
SHUSHQGLFXODULGDG
8WLOL]DUVRIWZDUHSDUDUH
SUHVHQWDUFLUFXQIHUHQFLDV
FRQFRQGLFLRQHVGDGDVUH
SUHVHQWDUWUDVODFLRQHVGH
FLUFXQIHUHQFLDV\FODVLILFDU
UHFWDVHQVHFDQWHVWDQJHQ
WHV\H[WHULRUHVDODFLUFXQ
IHUHQFLD
c6HSXHGHSURSRQHUXQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
$SDUWLUGHOSXQWRURMRHQODVLJXLHQWHILJXUDHOSXQWRD]XO
VHHQFXHQWUDDPDO(VWH\PDO1RUWH\HOSXQWRDPDULOOR
DP2HVWH\;PDO1RUWHVLODVFDUUHWHUDVVHFRUWDQIRUPDQGR
iQJXORUHFWR¢FXiOHVHOYDORUGH;"
6H SHUVLJXH TXH VH GHVDUUROOH XQD H[SRVLFLyQ GH ODV GLYHUVDV
HVWUDWHJLDV (VWR OOHYDUi D OD PRGHOL]DFLyQ PHGLDQWH XQ VLVWHPD
GH FRRUGHQDGDV FRQ RULJHQ HQ HO SXQWRURMR \ D SDUWLU GH DKt VH
WUDEDMDUiODUHODFLyQHQWUHODVHFXDFLRQHVGHUHFWDVSHUSHQGLFXOD
UHV
c 6H SXHGH SURSRQHU XQ SUREOHPD SDUD LQWURGXFLU OD UHODFLyQ
HQWUHODVHFXDFLRQHVGHUHFWDVSDUDOHODV
8WLOL]DQGR OD WHFQRORJtD VH SXHGH SODQWHDU XQD DFWLYLGDG
GRQGH VH YLVXDOLFH PHGLDQWH OD PDQLSXODFLyQ GLQiPLFD VL XQD
UHFWDHVVHFDQWHWDQJHQWHRH[WHULRUDXQDGHWHUPLQDGDFLUFXQIH
UHQFLD
Programas de cada ciclo educativo
3ROtJRQRV
x /DGR
x 5DGLR
x $SRWHPD
x ÈQJXOR
FHQWUDO
x ÈQJXOR
LQWHUQR
x ÈQJXOR
H[WHUQR
x 'LDJRQDO
x 3HUtPHWUR
x ÈUHD
x 5HODFLRQHV
PpWULFDV
'HWHUPLQDU OD PHGLGD GH
SHUtPHWURV \iUHDVGHSROt
JRQRV HQ GLIHUHQWHV FRQ
WH[WRV
'HWHUPLQDUODV PHGLGDV GH
ORV iQJXORV LQWHUQRV \ H[
WHUQRV GH SROtJRQRV HQ GL
YHUVRVFRQWH[WRV
'HWHUPLQDUODPHGLGDGHOD
DSRWHPD\HOUDGLRGHSROt
JRQRVUHJXODUHV\DSOLFDUOR
HQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV
&DOFXODU SHUtPHWURV \ i
UHDV GHSROtJRQRVQRUHJX
ODUHV XWLOL]DQGR XQ VLVWHPD
GHFRRUGHQDGDVUHFWDQJXOD
UHV
5HVROYHUSUREOHPDVTXH
LQYROXFUHQSROtJRQRV\VXV
GLYHUVRVHOHPHQWRV
Ciclo diversificado, Geometría
c3DUDLQLFLDUHOWHPDVHSXHGHSURSRQHUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
/D VLJXLHQWH ILJXUDUHSUHVHQWD OD FDEH]D GH XQWRUQLOOR GH
IRUPDKH[DJRQDO
'H DFXHUGR FRQ ORV HVWiQGDUHV LQWHUQDFLRQDOHV HO IDEULFDQWH
SUHVHQWDODVLJXLHQWHWDEODGHPHGLGDVHQPLOtPHWURV
6 ( &RQVLGHUDQGRODVPHGLGDVDQWHULRUHV
D ¢6HSXHGHFRQFOXLUTXHODFDEH]DGHOWRUQLOORHVXQKH
[iJRQRUHJXODU"
E 6LIXHUDDVt¢FXiOHVVHUtDQORVYDORUHVDSUR[LPDGRVGH
(SDUD6 6 6 \6 UHVSHFWLYDPHQWH"
F ¢4XpPHGLGDWHQGUtDHOODGRGHODFDEH]DGHOWRUQLOORVL
6 PP"
G ¢&XiOVHUtDVXSHUtPHWURVL( "
H ¢&XiO VHUtD HO iUHD GH OD FDEH]D GHO WRUQLOOR VL ( "
c/DLGHDHVTXHH[SORUHQFLHUWDVUHODFLRQHVPpWULFDV\SURSLH
GDGHV GHO SROtJRQR UHJXODU DQWHV GH OOHYDU D FDER OD HWDSD GH
FODXVXUD
3UREOHPDV FRPR pVWH FRQHFWDQ GH IRUPD QDWXUDO FRQ
XQLGDGHV GH PHGLGD \ VX XWLOLGDG HQ PXFKRV RILFLRV \ FDPSRV
GHOD0HFiQLFD
c(VLPSRUWDQWHTXHSDUDWUDEDMDUFRQSROtJRQRVQRUHJXODUHVVH
UHSDVHODIyUPXODFRQRFLGDGHVGHSULPDULDEDVHSRUDOWXUDHQWUH
SDUDFDOFXODUiUHDVGHWULiQJXORV
c +D\ TXH WHQHU SUHVHQWH TXH HO FiOFXOR GH OD PHGLGD GH OD
DSRWHPD GH XQ SROtJRQR SXHGH UHTXHULU HO XVR GH ODV UD]RQHV
WULJRQRPpWULFDV
8Q SUREOHPD FRPR HO VLJXLHQWH HVWi UHODFLRQDGR FRQ OD
LQGLFDFLyQ DQWHULRU \ DGHPiV KDFH FRQH[LyQ FRQ HO iUHD GH
(VWDGtVWLFD\3UREDELOLGDG
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
8Q REMHWLYR GH WLUR DO EODQFR WLHQH OD IRUPD GH XQ RFWi
JRQR UHJXODU FRQ ODGRV GH FHQWtPHWURV GH ORQJLWXG \ WLHQH
XQDGLDQDFLUFXODUFRQXQGLiPHWURGHFHQWtPHWURV
D
E
¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQGDUGRTXHGDHQHO
EODQFRYD\DDGDUHQODGLDQD"
¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQGDUGRGpHQODGLDQD
VLHOUDGLRGHODGLDQDVHGXSOLFD"
c6HSXHGHQSURSRQHUSUREOHPDVHQGRQGHVHWHQJDTXHFDOFX
ODUHOiUHDGHXQSROtJRQRLUUHJXODUFRQRFLHQGRODVORQJLWXGHVGH
VXVODGRVRVHXELTXHHQXQDFXDGUtFXODTXHLQGLTXHVXVGLPHQ
VLRQHV 6H UHFRPLHQGD GHVFRPSRQHU HO SROtJRQR LUUHJXODU HQ
WULiQJXORV HQ ORV TXH VH FRQR]FD OD PHGLGD GH VXV ODGRV R VH
SXHGD DYHULJXDU SDUD OXHJR XWLOL]DU OD IyUPXOD EiVLFD GHO iUHD
SRUHMHPSOR
(OVLJXLHQWHSDVRVHUtDDYHULJXDUHOiUHDGHXQSROtJRQRLUUHJXODU
HQXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVSRUHMHPSOR
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
(VWLPDU SHUtPHWURV \ iUHDV c3RUHMHPSORHVWLPHHOiUHDGHODVLJXLHQWHILJXUDUHSUHVHQWD
GH ILJXUDV SODQDV QR SROL GDHQHOSODQRFDUWHVLDQR
JRQDOHV XWLOL]DQGR XQ VLV WHPD GH FRRUGHQDGDV UHF
WDQJXODUHV
8QDSULPHUDDSUR[LPDFLyQVHSRGUtDKDFHUXWLOL]DQGRUHFWiQJX
ORV
8QDPHMRUDSUR[LPDFLyQVHKDUtDFRQWUDSHFLRV
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
6HSRGUtDFDOFXODUHOiUHDGHGRVWULiQJXORVUHFWiQJXORV\FXDWUR
WUDSHFLRV UHFWiQJXORV GH XQD XQLGDGGH DOWXUD 3RGUtD VHxDODUVH
LQWXLWLYDPHQWHODVLPHWUtDGHODILJXUD\VyORFDOFXODUHOiUHDGH
XQDSDUWH\PXOWLSOLFDUODSRU
$OILQDOGHODDFWLYLGDGVHSXHGHEULQGDUODHFXDFLyQGHOD
SDUiERODFRQORFXDOVHREWLHQHQODVFRRUGHQDGDVGHORVSXQWRV
\ HO FiOFXOR GHOiUHD SXHGH PHMRUDUVH (VWR SHUPLWH HVWDEOHFHU
FRQH[LRQHVFRQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
8WLOL]DU VRIWZDUH GH JHR
PHWUtD GLQiPLFD SDUD HVWX
GLDU SURSLHGDGHV \ UHDOL]DU
FRQMHWXUDVVREUHODVILJXUDV
JHRPpWULFDV
9LVXDOL]DFLyQ
HVSDFLDO
x (VIHUD
x &LOLQGUR
FLUFXODU
UHFWR
x %DVH
x 6XSHUILFLH
ODWHUDO
x 5DGLR
,GHQWLILFDUHOUDGLR\HO
GLiPHWURGHXQDHVIHUD
,GHQWLILFDU OD VXSHUILFLH OD
WHUDOODVEDVHVODDOWXUDHO
UDGLR \ HO GLiPHWUR GH XQ
FLOLQGURFLUFXODUUHFWR
'HWHUPLQDU TXp ILJXUDV VH
REWLHQHQ PHGLDQWH VHFFLR
QHV SODQDV GH XQD HVIHUD R
XQ FLOLQGUR \ FDUDFWHUtVWL
FDVPpWULFDVGHHOODV
5HFRQRFHU HOLSVHV HQ GLIH
UHQWHVFRQWH[WRV
(VWHWLSRGHUD]RQDPLHQWRVHQHOTXHVHDSUR[LPDQOtQHDV
FXUYDV\iUHDVGHILJXUDVQRSROLJRQDOHVFRQSROtJRQRVGHiUHDV
FRQRFLGDVHVXQPpWRGRTXHKDVLGRDSOLFDGRSRUYDULRVPDWH
PiWLFRVHQGLIHUHQWHVPRPHQWRVGHODKLVWRULD 6HSXHGHYHUHQ
(XGR[R\$UTXtPHGHV
&RQ HO XVR GH XQ VRIWZDUH GH JHRPHWUtD GLQiPLFD VH
SXHGHQ FRPSUREDU YDULDV SURSLHGDGHV GH ORV SROtJRQRV UHJXOD
UHV FRPR SRU HMHPSOR ODV UHODFLRQHV PpWULFDV GHO KH[iJRQR
UHJXODUHQXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDV7DPELpQVHSXHGHDSUR
[LPDU HOiUHD GH XQ FtUFXOR FRQ SROtJRQRV UHJXODUHV \ REVHUYDU
TXHDPD\RUFDQWLGDGGHODGRVPHMRUDSUR[LPDFLyQ
c3DUDLQWURGXFLUHOHVWXGLRGHORVFLOLQGURVVHSXHGHSURSRQHU
XQSUREOHPDFRPRHOVLJXLHQWH
'H XQD WXFD FLOtQGULFD FX\R UDGLR PLGH FP VH TXLHUH
REWHQHU XQD YLJD GH EDVH FXDGUDGD PHGLDQWH FXDWUR VHFFLRQHV
SODQDV¢&XiOHVODPHGLGDPi[LPDGHOODGRGHOFXDGUDGRGHOD
EDVHTXHVHSXHGHREWHQHU"
Programas de cada ciclo educativo
x Diámetro
Ciclo diversificado, Geometría
Luego del trabajo grupal, la etapa de clausura permite establecer
qué figuras se obtienen al realizar secciones planas en un
cilindro. Aquí se indica que la figura que se obtiene cuando se
corta el cilindro con un plano que no es ni perpendicular ni
paralelo al plano de la base se llama elipse (o es un arco de
elipse).
x Sección
plana
x Elipse
No se trata de hacer un estudio detallado de la elipse, solamente
se busca reconocer su forma al realizar cortes de un cilindro y
evidenciar que aparece también en otros contextos.
En cuanto a los rectángulos y circunferencias que se
obtienen al cortar cilindros o esferas, se pueden establecer sus
dimensiones conociendo algunas de las medidas de los sólidos
considerados. Por ejemplo, en una esfera de radio 8 cm, determinar el radio de la circunferencia que se obtiene al cortarla con
un plano que dista 4 cm del centro de la esfera.
El problema anterior sirve para hacer conciencia sobre
el uso apropiado de los árboles como madera, y la necesidad de
privilegiar la utilización de especies como la melina que se
cultivan específicamente para ese uso.
La elipse puede conectarse con varias aplicaciones científicas que pueden al menos ser mencionadas aquí; por ejemplo,
la órbita de los planetas.
11° Año
Conocimientos
Geometría
analítica
x Simetría
axial
x Imagen
x Preimagen
Habilidades específicas
1. Determinar ejes de simetría en figuras simétricas.
2. Identificar elementos
homólogos en figuras que
presentan simetría axial.
Indicaciones puntuales
c Se puede introducir el tema de forma intuitiva, con diferentes
estrategias. Una de ellas es llevando a la clase diferentes imágenes y realizando dobleces de papel, para observar si coinciden
todos los elementos.
3. Trazar figuras simétricas
utilizando un sistema de
ejes coordenados en el
plano.
4. Resolver problemas relacionados con la simetría
axial.
Otra estrategia sería utilizar un espejo para mostrar la simetría
430
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
GHXQDILJXUDSRUHMHPSORFRQODOHWUDPD\~VFXOD<
c2WURWLSRGHDFWLYLGDGSXHGHVHUODVLJXLHQWH
6L OD OtQHD SXQWHDGD HV XQ HVSHMR UHIOHMDU OD LPDJHQ GH OD L]
TXLHUGDDOODGRGHUHFKR
/XHJRVHSXHGHQSODQWHDUODVVLJXLHQWHVLQWHUURJDQWHV
D ¢4XpILJXUDVHIRUPD"
E ¢4XpFDUDFWHUtVWLFDVHQFXHQWUDHQODILJXUD"
F ¢4XpHOHPHQWRVKRPyORJRVKD\HQWUHHOODGRGHUHFKR\
HOL]TXLHUGR"
G ¢(Q OD UHDOLGDG OD PDULSRVD FXPSOH FRQ HVWDV FDUDFWH
UtVWLFDV"
H ¢4XpRWUDVILJXUDVWLHQHQVLPHWUtD"
7RPHXQSXQWRFXDOTXLHUDFRPRRULJHQGHFRRUGHQDGDV(VFULED
ODV FRRUGHQDGDV GH ORV SXQWRV PDUFDGRV HQ OD ILJXUD \ GLJD
FXiOHVVRQODVFRRUGHQDGDVGHORVSXQWRVKRPyORJRVFRUUHVSRQ
GLHQWHV
c /D ~OWLPD SDUWH GH OD DFWLYLGDG WLHQH PXFKDV SRVLELOLGDGHV
GHEHSHUPLWLUVHTXHFDGDHVWXGLDQWHHVFRMDHOSXQWRTXHPiVOH
SDUH]FD
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
c/RTXHVHTXLHUHHVTXHSRFRDSRFRVHYD\DFRQVWUX\HQGRHO
FRQFHSWR GH VLPHWUtD \ OXHJR HO GH VLPHWUtD D[LDO DVt FRPR ORV
FRQFHSWRVGHHMHGHVLPHWUtDSUHLPDJHQHLPDJHQHQWUHRWURV
c 'HVSXpV GH XWLOL]DU SDSHO FXDGULFXODGR SXHGH XWLOL]DU HO
VLVWHPD GH FRRUGHQDGDV SDUD SURIXQGL]DU OD FRPSUHQVLyQ GHO
FRQFHSWRGHVLPHWUtD
/D VLPHWUtD HVWi PX\ OLJDGD DO DUWH \ D OD EHOOH]D GH OD
QDWXUDOH]DHVSRUHVWRTXHORVHMHUFLFLRVGHEHQXWLOL]DULPiJHQHV
TXH PRWLYHQ \ IRUWDOH]FDQ OD DFWLWXG GH UHVSHWR DSUHFLR \
GLVIUXWHGHODV0DWHPiWLFDV
$SOLFDU HO FRQFHSWR GH c 3DUD LQLFLDU FRQ HO WHPD GH WUDQVIRUPDFLRQHV HQ HO SODQR VH
7UDQVIRUPD
WUDVODFLyQ KRPRWHFLD UH SXHGHSODQWHDUHOVLJXLHQWHSUREOHPD
FLRQHVHQHO
IOH[LyQ\URWDFLyQSDUDGH SODQR
WHUPLQDUTXpILJXUDVVHRE
'H DFXHUGR FRQ ORV VLJXLHQWHV WULiQJXORV ¢FXiO HV HO
WLHQHQ D SDUWLU GH ILJXUDV
x 7UDVODFLRQHV
³PRYLPLHQWR´TXHVXIUHHOWULiQJXOR$%&"
GDGDV
8WLOLFH LQGLFDFLRQHV FRPR XQLGDGHV D OD GHUHFKD L]TXLHUGD
x 5HIOH[LRQHV DUULEDDEDMR
,GHQWLILFDUHOHPHQWRVGH
ODVILJXUDVJHRPpWULFDV
x +RPRWHFLDV
TXHDSDUHFHQLQYDULDQWHV
EDMRUHIOH[LRQHVRURWDFLR
x 5RWDFLRQHV
QHV
7UD]DU OD LPDJHQUHIOHMDGD
GH XQD ILJXUD GDGD FRQ
UHVSHFWRDXQDUHFWD
7UD]DU OD LPDJHQ GH XQD
ILJXUDGDGDVLVHODVRPHWH
DXQDURWDFLyQ
7UD]DU HQ XQ SODQR FDUWH
VLDQR OD ILJXUD TXH VH RE WLHQHDOVRPHWHUXQDILJXUD D XQD WUDVODFLyQ URWDFLyQ $TXt QR VH HVWi WUDEDMDQGR FRQ FRRUGHQDGDV SXHV OR TXH VH
X KRPRWHFLD R FRPELQD TXLHUH HV REVHUYDU OD WUDVODFLyQ SULPHUR LQWXLWLYDPHQWH ³
OXJDUHV KDFLD DEDMR \ OXJDUHV KDFLD OD GHUHFKD´ OXHJR VH
FLRQHVGHHOODV
IRUPXODQSUREOHPDVXWLOL]DQGRFRRUGHQDGDV
'HWHUPLQDU HO SXQWR LPD JHQ GH SXQWRV GDGRV PH 3DUD HO FDVR GH UHIOH[LRQHV HV LPSRUWDQWH KDFHU XQD FRQH[LyQ
GLDQWHXQDWUDQVIRUPDFLyQ FRQODVKDELOLGDGHVUHODFLRQDGDVFRQODVLPHWUtDD[LDOWHPDTXH
\D VH DERUGy DQWHULRUPHQWH SRU HMHPSOR GDGR HO WULiQJXOR
$%& \HOHMHGHODVDEVFLVDVFRPR³HVSHMR´VHREWLHQHHOWULiQ
5HVROYHUSUREOHPDV
JXOR$’%’&’
UHODFLRQDGRVFRQGLYHUVDV WUDQVIRUPDFLRQHVHQHO
SODQR
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
(VLPSRUWDQWHQRWDU\GLVFXWLUORVLJXLHQWH
$\$’
%\%’
&\&’
/XHJR VH UHDOL]D OD HWDSD GH FLHUUH GHILQLHQGRORV FRQFHSWRV GH
WUDVODFLyQ\UHIOH[LyQHQHOSODQRFRRUGHQDGRGHPDQHUDIRUPDO
c (Q ƒ $xR VH WUDEDMy FRQ OD KRPRWHFLD GH XQ SXQWR \ XQD
ILJXUDSROLJRQDO(QHVWHDxRVHEXVFDVHJXLUUHVROYLHQGRHMHUFL
FLRV GH HVWH WHPD \ FRPSOHPHQWDUOR FRQ ODV GHPiVWUDQVIRUPD
FLRQHV 3RU HMHPSOR GDGD OD ILJXUD $%&' \ HO SXQWR (
UHDOLFHODVVLJXLHQWHVWUDQVIRUPDFLRQHVVHFXHQFLDOPHQWH
D 7UDVODFLyQ[±\
E $ODILJXUDREWHQLGDHQDUHDOLFHXQDKRPRWHFLDDUD]yQ
GHVGHHOSXQWR*
F $ODILJXUDREWHQLGDHQEUHIOHMDUODFRQUHVSHFWRD\ c6HXWLOL]DUiODQRWDFLyQJ$ $’SDUDLQGLFDUODLPDJHQGHXQ
SXQWR $ EDMR XQD WUDQVIRUPDFLyQ J 3RU HMHPSOR SDUD HO FDVR
GH OD WUDVODFLyQ GHO HMHPSOR DQWHULRU OD LPDJHQ GHE(, )HV
E′( + 2, − 4)
6HSXHGHQWDPELpQSODQWHDUYDULRVSUREOHPDVHQORVFXDOHV
VH QHFHVLWDLQYROXFUDU HO ³VHQWLGR GLQiPLFR´ GH ODVWUDQVIRUPD
FLRQHV3DUDVXUHVROXFLyQVHSXHGHXWLOL]DUODFRPSXWDGRUD\XQ
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
VRIWZDUH LGyQHR TXH SHUPLWD UHDOL]DU GLIHUHQWHV WUDQVIRUPDFLR
QHV*UDFLDVDHVWHVRIWZDUHVHORJUDUiODPDQLSXODFLyQGLQiPLFD
GH OD ILJXUD GDGD JHQHUDQGR FDPELRV WDPELpQ HQ OD ILJXUD
UHVXOWDQWHGHODWUDQVIRUPDFLyQ
(O XVR GH FRRUGHQDGDV SHUPLWHSURIXQGL]DU HQ HVWRV FRQFHSWRV
3RU HMHPSOR HOWHPD GHURWDFLRQHV GH ILJXUDV HVUHFRPHQGDEOH
H[SORUDUORFRQXQVRIWZDUHGLQiPLFR
6HGHEHHQIDWL]DUTXHODVWUDQVIRUPDFLRQHVDSOLFDGDVVREUH
ODV ILJXUDV VRQ VLPSOHPHQWH XQD IRUPD GH UHSUHVHQWDFLyQ D
FRQYHQLHQFLDGHODVPLVPDVIRUPDVJHRPpWULFDV
8QDEUHYHGHVFULSFLyQVREUHODVJHRPHWUtDVQRHXFOLGLDQDV
SXHGH SURSRUFLRQDU XQDLGHD DSURSLDGD GH OR TXH HV XQD WHRUtD
PDWHPiWLFD
8WLOL]DU VRIWZDUH GH JHR
PHWUtD GLQiPLFD SDUD HO
(O VRIWZDUH SHUPLWH OD PDQLSXODFLyQ GLQiPLFD GH XQD
DQiOLVLV GH ODV SURSLHGD ILJXUD GDGD VH SXHGH ³MXJDU´ FRQ ODV WUDQVIRUPDFLRQHV SDUD
GHV GH ODV WUDVODFLRQHV FUHDU ILJXUDV 3RU HMHPSOR D SDUWLU GH OD ILJXUD $ FRQVWUXLU D
KRPRWHFLDV\UHIOH[LRQHV WUDYpVGHWUDQVIRUPDFLRQHVODILJXUD%
)LJXUD$
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
)LJXUD%
3ODQWHDUHMHUFLFLRVRSUR
EOHPDVTXHLQYROXFUHQDO
JXQDWUDQVIRUPDFLyQR
WUDQVIRUPDFLRQHVGHILJX
UDVHQHOSODQR
6HVXJLHUHSODQWHDUXQSURFHGLPLHQWRLQYHUVR(QOXJDUGH
LQGLFDU TXH VH UHDOLFH XQD GHWHUPLQDGD WUDQVIRUPDFLyQ HQ XQD
ILJXUD GHWHUPLQDGD VH SXHGH SUHVHQWDU XQD VHULH GH LPiJHQHV
FRQ YDULDV WUDQVIRUPDFLRQHV GH OD ILJXUD \ VH SLGH SODQWHDU XQ
SUREOHPDTXHWHQJDFRPRVROXFLyQHVDVWUDQVIRUPDFLRQHV
3RU HMHPSOR ORV VLJXLHQWHV SHQWiJRQRV VRQ UHJXODUHV
SODQWHDU XQ HMHUFLFLR TXH WHQJD FRPR VROXFLyQ OD VLJXLHQWH
UHSUHVHQWDFLyQJUiILFD
([LVWHQ YDULRV SRVLEOHV HMHUFLFLRV TXH WLHQHQ FRPR VROXFLyQ OD
DQWHULRULPDJHQSRUHMHPSORVHSRGUtDSURSRQHUORVLJXLHQWH
3ULPHURGDGRHOSHQWiJRQR$UHDOLFHXQDKRPRWHFLDGHUD]yQ
\OOiPHORSHQWiJRQR%
/XHJRDOSHQWiJRQR&UHIOpMHORFRQUHVSHFWRDODUHFWD = \
OOiPHORSHQWiJRQR'
Programas de cada ciclo educativo
9LVXDOL]DFLyQ
HVSDFLDO
x &RQR
FLUFXODU
UHFWR
x 9pUWLFH
x %DVH
x 6XSHUILFLH
ODWHUDO
x 5DGLR
x 'LiPHWUR
x 6HFFLyQ
SODQD
x (OLSVH
x 3DUiEROD
x +LSpUEROD
,GHQWLILFDUODVXSHUILFLHOD
WHUDO OD EDVH OD DOWXUD HO
UDGLR \ HO GLiPHWUR GH OD
EDVH \ HO YpUWLFH GH XQ
FRQRFLUFXODUUHFWR
'HWHUPLQDU TXp ILJXUDV VH
REWLHQHQ PHGLDQWH VHFFLR
QHVSODQDVGHXQFRQRFLU
FXODU UHFWR \ FDUDFWHUtVWL
FDVPpWULFDVGHHOODV
5HFRQRFHUHOLSVHVSDUiER
ODVHKLSpUERODVHQGLIHUHQ
WHVFRQWH[WRV
Ciclo diversificado, Geometría
c3XHGHLQWURGXFLUHOWHPDPHGLDQWHXQDQRWDKLVWyULFDFRPROD
VLJXLHQWH
6HDWULEX\HD0HQHFPRDOUHGHGRUGHDQWHVGHQXHVWUD
HUDHOGHVFXEULPLHQWRGHXQDIDPLOLDGHFXUYDVTXHOHVLUYLHURQ
HQ VXV LQYHVWLJDFLRQHV VREUH HO SUREOHPD GH OD GXSOLFDFLyQ GHO
FXER 7DOHV FXUYDV SXHGHQ VHU REWHQLGDV PHGLDQWH VHFFLRQHV
SODQDVGHXQFRQRSRUHVHPRWLYRUHFLEHQHOQRPEUHGHVHFFLR
QHV FyQLFDV (Q HO VLJOR ,,, DQWHV GH QXHVWUD HUD $SRORQLR
HVFULELyHOWUDWDGR/DV&yQLFDVHQHOTXHVLVWHPDWL]yWRGRORTXH
VH FRQRFtD KDVWD HVH PRPHQWR VREUH HVWDV FXUYDV \ DPSOLy HO
FRQRFLPLHQWRGHHOODV
c /D LGHD HV TXH VH UHFRQR]FDQ FLUFXQIHUHQFLDV SDUiERODV
HOLSVHV H KLSpUERODV HQ HO FRQWH[WR GH VHFFLRQHV SODQDV GH XQ
FRQRFLUFXODUUHFWR
(QFXDQWRDSDUiERODVHOLSVHVHKLSpUERODVQRVHWUDWDGHKDFHU
XQ HVWXGLR GHWDOODGR GH HVWDV ILJXUDV VRODPHQWH VH UHILHUH D
UHFRQRFHU VX IRUPD HQ HO FRQWH[WR GH FRUWHV GH XQ FRQR \
HYLGHQFLDUTXHDSDUHFHQWDPELpQHQRWURVFRQWH[WRV
(QFXDQWRDODUHODFLyQGHODFLUFXQIHUHQFLDFRQHOFRQRVH
SXHGHQ HVWDEOHFHU DOJXQDV UHODFLRQHV PpWULFDV 3RU HMHPSOR
GDGRXQFRQRGHDOWXUDFP\UDGLRGHODEDVHFPGHWHUPLQDU
HOUDGLR GH OD FLUFXQIHUHQFLD TXH VH REWLHQH VL VHKDFH XQ FRUWH
FRQ XQ SODQR SDUDOHOR DO SODQR GH OD EDVH TXH GLVWD FP GHO
SODQRGHODEDVH
(VWH SUREOHPD KDFH XVR GH FRQRFLPLHQWRV SUHYLRV FRPR OD
VHPHMDQ]DGHWULiQJXORV
(V FRQYHQLHQWH SXQWXDOL]DU TXH pVWD HV RWUD IRUPD GH
UHSUHVHQWDFLyQ GH OD SDUiEROD DGHPiV GH ODV HVWXGLDGDV HQ
5HODFLRQHV\ÈOJHEUD
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
(OJUDGRGHULJRUSURSLRGHODGLVFLSOLQDGHEHUiVHUPD\RUTXHHQHO7HUFHUFLFOR
6HOHVVROLFLWDUiDOJXQDVGHPRVWUDFLRQHVMXVWLILFDQGRORVSDVRVVHJXLGRVHQHVWHSURFHVR
/D FRQMHWXUD HO XVR GH FRQWUDHMHPSORV \ HO DSUHQGL]DMH D SDUWLU GHO HUURU MXHJDQ XQ SDSHO
UHOHYDQWHDOLJXDOTXHHQHO7HUFHUFLFOR
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
(QHVWHFLFORVHKDFHPXFKRPiVHYLGHQWHODLPSRUWDQFLDGHUHODFLRQDUODJHRPHWUtDVLQWpWL
FDFRQODDQDOtWLFDWDQWRHQ HOWUDWDPLHQWRGHODFLUFXQIHUHQFLDFRPRHQHOGH ODVWUDQVIRU
PDFLRQHV
(OXVRGHVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFDHVIXQGDPHQWDOHQHOWUDWDPLHQWRGHORVGLIHUHQ
WHVWHPDV
Décimo año
(OSURFHVRPDWHPiWLFR5HSUHVHQWDUVHYHSRWHQFLDGRHQHVWHDxRDOHVWDEOHFHUVHODUHODFLyQ
HVWUHFKDHQWUHODUHSUHVHQWDFLyQJHRPpWULFD \ ODDQDOtWLFDSDUWLFXODUPHQWHHQHOFDVRGHOD
FLUFXQIHUHQFLD
6HGHEHWHQHUFODURTXHDOJHEUDLFDPHQWHVHSXHGHGHWHUPLQDUVLXQDUHFWDGDGDHVWDQJHQWH
RVHFDQWHRH[WHULRUDXQDFLUFXQIHUHQFLDGDGD$WUDYpVGHGLEXMRVGHFLUFXQIHUHQFLDV\UHF
WDVHQHOSODQRVHSUHWHQGHDQDOL]DUVLUHVSHFWLYDPHQWHODUHFWD\ODFLUFXQIHUHQFLDWLHQHQ
VyORXQSXQWRHQFRP~QRGRVRQLQJXQR3DUDSURFHGHUDOJHEUDLFDPHQWH GHEHHQWHQGHUVH
TXH DO VHU XQ SXQWR VHD FRP~Q D DPERV VLJQLILFD TXH VXV FRRUGHQDGDV VDWLVIDFHQ DPEDV
HFXDFLRQHVVLPXOWiQHDPHQWHSRUORTXHVHGHEHWHQHUSUHVHQWH HOFRQFHSWRGHHFXDFLyQGH
XQDILJXUD
&RQVLGHUDQGRORDQWHULRUHODVXQWRVHUHGXFHDGHWHUPLQDUVLXQDHFXDFLyQGHVHJXQGRJUD
GRWLHQHXQDVROXFLyQGRVVROXFLRQHVRQLQJXQDVROXFLyQ
3RU HMHPSOR GDGD OD FLUFXQIHUHQFLD GH HFXDFLyQ( − 1) + ( − 2) = 4\ OD UHFWD GH
HFXDFLyQ = 2 + 3GHWHUPLQDUVLODUHFWDHVH[WHULRUVHFDQWHRWDQJHQWHDODFLUFXQIHUHQ
FLD 6L XQ SXQWR(, )SHUWHQHFH D DPEDV FXUYDV HQWRQFHV GHEH VDWLVIDFHU DPEDV HFXDFLR
QHV SRU OR WDQWR VH VXVWLWX\H = 2 + 3HQ OD HFXDFLyQ GH OD FLUFXQIHUHQFLD( − 1) +
(2 + 3 − 2) = 4(VWROOHYDDDQDOL]DUODHFXDFLyQ5 + 2 − 2 = 0FX\RGLVFULPLQDQ
WHHV\HVSRVLWLYR/DHFXDFLyQWLHQHGRVVROXFLRQHVHVWRTXLHUHGHFLUTXHKD\GRVYDOR
UHVGLVWLQWRVGH[TXHODVDWLVIDFHQ\SRUORWDQWRKD\GRVSXQWRVHQFRP~QHQWUHODUHFWD\OD
FLUFXQIHUHQFLDHVXQDVHFDQWH
(OHVWXGLRGHODViUHDVSXHGHVHUDERUGDGRPHGLDQWHOD+LVWRULD 3RUHMHPSOR$UTXtPHGHV
GH6LUDFXVDDSUR[LPyHOYDORUGHOQ~PHURʌ3DUDHOORGLEXMyXQSROtJRQRUHJXODULQVFULWR\
RWURFLUFXQVFULWRDXQDPLVPDFLUFXQIHUHQFLDGHPDQHUDTXHODORQJLWXGGHODFLUFXQIHUHQ
FLD \ HO iUHD GHO FtUFXOR TXHGDQ DFRWDGDV SRU HVRV PLVPRV YDORUHV GH ODV ORQJLWXGHV \ ODV
iUHDVGHORVGRVSROtJRQRV$PHGLGDTXHVHLQFUHPHQWDHOQ~PHURGHODGRVGHOSROtJRQROD
GLIHUHQFLDVHDFRUWD\VHREWLHQHXQDDSUR[LPDFLyQ PiVH[DFWD3DUWLHQGRGHSROtJRQRVGH
ODGRV FDGD XQR $UTXtPHGHV FDOFXOy TXH HO YDORU GH ʌ GHEtD HQFRQWUDUVH HQWUH
DSUR[LPDGDPHQWH \ DSUR[LPDGDPHQWH OR FXDO HV FRQVLVWHQWH
FRQHOYDORUUHDOGHʌ
$HVWDWpFQLFDVHOHFRQRFHFRQHOQRPEUHGHPpWRGRGHH[KDXFLyQ7DPELpQVHGHPRVWUy
TXHHOiUHDGHOVHJPHQWRSDUDEyOLFRGHODILJXUDTXHDSDUHFHDEDMRDODL]TXLHUGDHVLJXDOD
GHODGHOWULiQJXORLQVFULWRGHODILJXUDGHDEDMRDODGHUHFKD
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
)XHQWH%R\HU&+LVWRULDGHOD0DWHPiWLFD$OLDQ]D(GLWRULDO0DGULG
(QFXDQWRDOHVWXGLRGHODVHVIHUDV\FLOLQGURVVHEXVFDODLGHQWLILFDFLyQGHVXVHOHPHQWRV\
DGHPiVLGHQWLILFDUODVILJXUDVTXHVHIRUPDQFXDQGRVHFRUWDQFRQXQSODQR3DUDHVWRSXH
GHQD\XGDUPRGHORVFRQSODVWLOLQDXRWURPDWHULDOTXHSXHGDQVHUFRUWDGRVSDUDHYLGHQFLDU
TXpVHFFLyQSODQDVHREWLHQH
Undécimo año
(V FRQYHQLHQWH GHVDUUROODU OD KDELOLGDG SDUD GHWHUPLQDU OD LPDJHQ EDMR OD UHIOH[LyQ GH XQ
SXQWRGDGR3RUHMHPSORFXiOHVHOSXQWRLPDJHQGH(−1,2)FXDQGRVHUHIOHMDVREUHODUHFWD
= 6HSXHGHWUD]DUHOSXQWR\ODUHFWDHQXQVLVWHPDGHHMHVFDUWHVLDQRV\YHULILFDUTXH
HOSXQWRLPDJHQHV(2, −1)*UiILFDPHQWHVHSXHGHGHWHUPLQDUTXHODLPDJHQGH(, )EDMR
ODUHIOH[LyQVREUHODUHFWD = HV(, )
7DPELpQVHSRGUiGHWHUPLQDU OD ILJXUDTXHVHREWLHQHFRPR LPDJHQGHRWUDPHGLDQWHXQD
UHIOH[LyQ3DUDHVWRGHEHVHUHYLGHQWHTXHODUHIOH[LyQSUHVHUYD ODVGLVWDQFLDV \ ODUHODFLyQ
GHHVWDUHQWUHHVGHFLUVL&HVWiHQWUH$\%HQWRQFHV&’HVWiHQWUH$’\%’/RDQWHULRULP
SOLFD TXH VL VH TXLHUH GHWHUPLQDU OD LPDJHQ GH XQ VHJPHQWR $% EDVWD FRQ GHWHUPLQDU ODV
′ (MHPSOR GHWHUPLQDU OD LPDJHQ
HVE′D
LPiJHQHV GH $ \ % \ HQWRQFHV OD LPDJHQ GHED
GHOWULiQJXORGHYpUWLFHVE(−1,1), D(0,3), F(1,2)EDMRODUHIOH[LyQVREUHODUHFWD = /DV
LPiJHQHVGHORVYpUWLFHVVRQE′(1, −1), D′(3,0), F′(2,1)GHPRGRTXHODLPDJHQGH∆EDF
HV∆E′D′F’
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
(QFXDQWRDOHVWXGLRGHOFRQRVHEXVFDDGHPiVGHODLGHQWLILFDFLyQGHVXVHOHPHQWRVTXH
VH SXHGDQ LGHQWLILFDU ODV ILJXUDV TXH VH IRUPDQ FXDQGR VH FRUWDQ FRQ XQ SODQR 3DUD HVWR
SXHGHQD\XGDUPRGHORVFRQSODVWLOLQDXRWURPDWHULDOTXHSXHGDVHUFRUWDGR(OHVWXGLRGHO
FRQRVHSXHGHXWLOL]DUSDUDUHSDVDUWHPDVFRPRWULJRQRPHWUtDRHOWHRUHPDGH3LWiJRUDV
3DUD HQULTXHFHU \ IDFLOLWDU HO SURFHVR GH HQVHxDQ]D \ DSUHQGL]DMH GHO WHPD GH WUDQVIRUPD
FLRQHVHQHOSODQRHVPX\UHOHYDQWHTXHORVSUREOHPDVLQLFLDOHVSXHGDQVHUWUDWDGRVPHGLDQ
WHXQVRIWZDUHGHJHRPHWUtDGLQiPLFD\DTXHpVWHSHUPLWHYLVXDOL]DUPRYLPLHQWRV\UHDOL
]DUODVWUDQVIRUPDFLRQHVGHXQDIRUPDVHQFLOOD\UiSLGD +D\TXHWHQHUSUHVHQWHTXHHOXVR
GHJHRPHWUtDGLQiPLFDQRLPSOLFDQHFHVDULDPHQWHHOXVRGHXQODERUDWRULRGHFyPSXWREDV
WDXWLOL]DUXQDFRPSXWDGRUD\XQ YLGHREHDP3RURWUDSDUWHHO XVRGHJHRPHWUtDGLQiPLFD
FRPRPHGLRGLGiFWLFRLPSOLFDTXH ODRHOGRFHQWHHODERUHXQDJXtDGHWUDEDMRTXHSHUPLWD
DOFRQMXQWRGHODFODVHDOFDQ]DUODVKDELOLGDGHVUHVSHFWLYDV
/DVVHFFLRQHVSODQDVGHXQFRQRVRQ
Plano
Nombre de sección
Paralelo al plano de la base del cono
Circunferencia
Oblicuo con respecto a la base del cono (sin
cortarla)
Elipse
Oblicuo con respecto a la base del cono (cortándola)
Parábola
Perpendicular al plano de la base del cono, sin
pasar por el vértice
Hipérbola
Figura
(VWDHVXQDEUHYHUHVHxDKLVWyULFDVREUHODVJHRPHWUtDVQRHXFOLGLDQDV
(O OLEUR(OHPHQWRVGH(XFOLGHVWXYRXQJUDQ LPSDFWRHQ OD KLVWRULD KXPDQD \ IXHHO
UHIHUHQWHSDUDHOHVWXGLRGHOD *HRPHWUtDGXUDQWHPLOHQLRV(OTXLQWRGHORVSRVWXOD
GRVGH(XFOLGHVHQXQFLDHQWpUPLQRVDFWXDOHVTXH³HQHOSODQRSRUXQSXQWRIXHUDGH
XQDUHFWDVHSXHGHWUD]DUXQD\VyORXQDUHFWDSDUDOHODDODUHFWDGDGD´
'HVGH(XFOLGHVKDVWDHOVLJOR;,;PXFKRVPDWHPiWLFRVLQWHQWDURQGHPRVWUDUHOTXLQ
WRSRVWXODGRDSDUWLUGHODVQRFLRQHVFRPXQHV\GHORVRWURVSRVWXODGRV6LQHPEDUJR
WRGRVORVLQWHQWRVIXHURQYDQRVSDUHFtDTXHHOTXLQWRSRVWXODGRVtHUDXQSRVWXODGR
$VtTXHHQODSULPHUDPLWDGGHOVLJOR;,;DDOJXQRVPDWHPiWLFRVVHOHVRFXUULySHQ
VDUTXHDSHVDUGHTXHHOSRVWXODGRSDUHFtDXQDYHUGDGHYLGHQWHSRGtDVHUFDPELDGR
'HHVWDPDQHUDFDPELDQGRHOTXLQWRSRVWXODGR*DXVV/REDFKHYVN\ \%RO\DLFUHD
URQLQGHSHQGLHQWHPHQWHJHRPHWUtDVQRHXFOLGLDQDVHVGHFLUJHRPHWUtDVHQODVTXHHO
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
TXLQWRSRVWXODGRGH(XFOLGHVQRVHFXPSOH8QDGHHVWDVJHRPHWUtDVDVXPHHQVXVWL
WXFLyQGHOTXLQWRSRVWXODGRTXHSRUXQSXQWRH[WHULRUDXQDUHFWDSDVDXQQ~PHURLQ
ILQLWRGHUHFWDVSDUDOHODVDODGDGDHVGHFLUTXHQRODFRUWDQ2WUDDVXPHTXHSRUXQ
SXQWRH[WHULRUDXQDUHFWDQRSDVDQLQJXQDUHFWDSDUDOHOD
(QDPERVFDVRVVHFUHDQWHRUtDVPDWHPiWLFDVFRPSOHWDPHQWHYiOLGDVTXHDGHPiVVRQ
~WLOHVHQGHWHUPLQDGRVFRQWH[WRV
Indicaciones de evaluación
$OLJXDOTXHHQHOFLFORDQWHULRUGXUDQWHHOWUDEDMRFRWLGLDQRVHSXHGHHYDOXDUHOXVRDSURSLDGR
GHO YRFDEXODULR \ OD VLPERORJtD PDWHPiWLFD DVt FRPR OD FRQVWUXFFLyQ GH VyOLGRV \ HO XVR GH OD
WHFQRORJtDSDUDUHDOL]DUWUDQVIRUPDFLRQHV
3DUD HO WUDEDMR H[WUDFODVH VH SXHGHQ SURSRQHUWUDEDMRV GRQGH ODV \ ORV HVWXGLDQWHV DSOLTXHQ ORV
FRQRFLPLHQWRVSDUDUHFRQRFHUODV0DWHPiWLFDVHQVLWXDFLRQHVJHQHUDOHVUHODFLRQDGDVFRQHODUWH
ODV&LHQFLDVRODFXOWXUDHQJHQHUDO3RUHMHPSORHQž$xRLQYHVWLJDUVREUHWHVHODGRV\HODERUDU
XQ GLVHxR SURSLR SDUD WHVHODU HO SODQR 7DPELpQ FRQVWUXLU VyOLGRV R SDUWHV GH XQ VyOLGR R ELHQ
XWLOL]DUVyOLGRVSDUDUHDOL]DUXQDFRQVWUXFFLyQDUTXLWHFWyQLFDRXQDFLXGDG
3DUDODHYDOXDFLyQPHGLDQWHWDUHDVFRUWDVWUDEDMRH[WUDFODVH\SUXHEDVVHGHEHQWHQHUSUHVHQWHV
ODVVLJXLHQWHVLQGLFDFLRQHV
9 'HEHFRQVLGHUDUVHHOXVR FRUUHFWRGHO YRFDEXODULROD QRWDFLyQ \ ODVGLIHUHQWHVSURSLHGD
GHVTXHVHWUDWHQ'HEHH[LJLUVHSUHFLVLyQ\IXQGDPHQWDFLyQGHORVUD]RQDPLHQWRVFXDQGR
VHDUJXPHQWDFRQUHVSHFWRDODVROXFLyQGHXQSUREOHPDGHWHUPLQDGR
9 8QDKDELOLGDGTXHGHEHHYDOXDUVHHVODGHUHDOL]DUWUD]RVHQHOSODQRXWLOL]DQGRXQVLVWHPD
GHFRRUGHQDGDVFDUWHVLDQDV$GHPiVVHGHEHHYDOXDUTXHVHLGHQWLILTXHQORVHMHVGHVLPH
WUtDORVHOHPHQWRVKRPyORJRVHQILJXUDVVLPpWULFDVDVtFRPRHOWUD]RGHILJXUDVVLPpWUL
FDVXWLOL]DQGRXQVLVWHPDGHHMHVFRRUGHQDGRVHQHOSODQR6HGHEHSUHVWDUHVSHFLDODWHQ
FLyQ D HVWH WHPD \D TXH VHUi FODYH HQ OD FRPSUHQVLyQ GH OD UHIOH[LyQ GH ILJXUDV HQ HO
SODQR
9 &RQHOXVRGHXQVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVFDUWHVLDQDVGHEHUiHYDOXDUVHODKDELOLGDGGHWUD
]DUXQDFLUFXQIHUHQFLDGDGRVVXFHQWUR\VXUDGLR6HSXHGHSHGLUSRUHMHPSORGHWHUPLQDU
HO UDGLR GH XQD FLUFXQIHUHQFLD TXH SDVD SRU XQ SXQWR GDGR \ WLHQH XQ FHQWUR GDGR 2WUR
SRVLEOHHMHUFLFLRGHHYDOXDFLyQFRQVLVWHHQSHGLUTXHVHGHWHUPLQHODRUGHQDGDGHXQSXQ
WRHQXQDFLUFXQIHUHQFLDDSDUWLUGHFLHUWDLQIRUPDFLyQVREUHODFLUFXQIHUHQFLDRTXHGDGDV
ODVFRRUGHQDGDVGHXQSXQWRVHGHWHUPLQHVLpVWHHVWiHQODFLUFXQIHUHQFLDRHQHOLQWHULRUR
H[WHULRUGHpVWD
9 (QFXDQWRDODVWUDQVIRUPDFLRQHVHQHOSODQRHVIXQGDPHQWDOTXHSXHGDQWUD]DUOD ILJXUD
TXHVHREWLHQH PHGLDQWHXQDWUDQVIRUPDFLyQGDGDRPHGLDQWHXQDFRPSRVLFLyQGHWUDQV
IRUPDFLRQHV6HGHEHUiQLGHQWLILFDUHOHPHQWRVGHODVILJXUDVJHRPpWULFDVTXHSHUPDQHFHQ
LQYDULDQWHVEDMRXQDWUDVODFLyQUHIOH[LyQXKRPRWHFLD7DPELpQVHSXHGHVROLFLWDUTXHVH
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Geometría
LQGLTXHFXiOHVVRQORVSXQWRVLPDJHQGHSXQWRVGDGRVVLVHDSOLFDQGLIHUHQWHVWUDQVIRUPD
FLRQHV $GHPiV VH EXVFD TXH VH SXHGDQ UHVROYHU SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ GLYHUVDV
WUDQVIRUPDFLRQHVHQHOSODQR8QHMHPSORGHtWHPGHUHSURGXFFLyQ
6HFRQVLGHUDXQWULiQJXORGHYpUWLFHV
D'HWHUPLQHORVYpUWLFHVGHOWULiQJXORTXHVHREWLHQHQDODSOLFDUXQDUHIOH[LyQFRQUHV
SHFWRDODUHFWD\ [\OXHJRXQDKRPRWHFLDGHFHQWUR\UD]yQ
E'HWHUPLQHORVYpUWLFHVGHOWULiQJXORTXHVHREWLHQHQDODSOLFDUSULPHURODKRPRWHFLD\
OXHJRODUHIOH[LyQGDGDVHQD
F&RPHQWHORVUHVXOWDGRVREWHQLGRV
9 (QFXDQWRDODVILJXUDVWULGLPHQVLRQDOHVFDGDHVWXGLDQWHGHEHUiLGHQWLILFDUVXVGLIHUHQWHV
HOHPHQWRV'HEHUiHYDOXDUVHODGHWHUPLQDFLyQGHILJXUDVPHGLDQWHVHFFLRQHVSODQDVGHORV
VyOLGRVHVWXGLDGRV\UHODFLRQHVPpWULFDVHQWUHHOODV8QHMHPSORGHtWHPGHUHIOH[LyQHVHO
VLJXLHQWH
8QDHVIHUDGHUDGLRFPHVFRUWDGDSRUXQSODQR(OUDGLRGHODVHFFLyQREWHQLGDHV
√60¢DTXpGLVWDQFLDVHHQFXHQWUDHOFHQWURGHODHVIHUDGHOUDGLRGHODVHFFLyQ"
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Introducción
$OLQJUHVDUDHVWHFLFORFDGDHVWXGLDQWHGHEHUiKDEHUGHVDUUROODGRODKDELOLGDGSDUDUHVROYHU
HFXDFLRQHVGHSULPHU \GH VHJXQGRJUDGRLGHQWLILFDUXQDUHODFLyQ PDWHPiWLFDHQGLVWLQWDV
UHSUHVHQWDFLRQHV DVt FRPR SDVDU GH XQD UHSUHVHQWDFLyQ D RWUD (Q SDUWLFXODU GHEHUi SRGHU
WUD]DUODJUiILFDGHIXQFLRQHVOLQHDOHV\ODJUiILFDGHIXQFLRQHVFXDGUiWLFDV$OOOHJDUDHVWD
IDVHFDGDHVWXGLDQWHWDPELpQGHEHFRPSUHQGHUHOFRQFHSWRGHYDULDEOHHLGHQWLILFDUFXDQWL
WDWLYDPHQWHFDPELRVHQHOOD
'XUDQWHHO&LFORGLYHUVLILFDGRVHIRUPDOL]DUiHOFRQFHSWRGHIXQFLyQTXHKDVLGRWUDEDMDGR
GHVGH ODHQVHxDQ]D3ULPDULDFRPRUHODFLyQHQWUHYDULDEOHV \ VHDPSOLDUiQ ODV KDELOLGDGHV
GHVDUUROODGDVFRQGLFKDVIXQFLRQHVLQFOX\HQGRRWURVWLSRVHVSHFLDOHVGHIXQFLRQHV3DUDVX
IRUPDOL]DFLyQVHLQWURGXFLUiQDOJXQRVHOHPHQWRVGHOOHQJXDMHGHORVFRQMXQWRVQXPpULFRV
3RUPHGLRGH ORVFRQFHSWRV DEVWUDFWRVGHIXQFLRQHVFDGDHVWXGLDQWHSRGUiDSUHFLDU \DP
SOLDUPHMRUDOJXQDVSURSLHGDGHVPDWHPiWLFDVGHODVIXQFLRQHVTXHIXHURQLQWURGXFLGDVHQž
\ž$xR6HGDXQpQIDVLVYLVXDOSRUPHGLRGHOXVRGHJUiILFDVFX\DFRQVWUXFFLyQVHYHID
YRUHFLGDSRUHOXVRGHWHFQRORJtDVGLJLWDOHV
/DV IXQFLRQHVH[SRQHQFLDO ORJDUtWPLFD \ OD PRGHOL]DFLyQFRQVWLWX\HQHO IRFRGHž$xR
6HHVWXGLDQODVIXQFLRQHVLQYHUVDV\VXVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFD\DOJHEUDLFDDVtFRPRVX
UHODFLyQFRQVLWXDFLRQHVFRQWH[WXDOL]DGDV(VWH~OWLPRDVSHFWRHVFUXFLDOVHEXVFDTXHFDGD
HVWXGLDQWHSXHGDLGHQWLILFDU\DSOLFDUDOJXQRVPRGHORVTXHXWLOL]DQHVWDVIXQFLRQHV
(OXVRGHWHFQRORJtDGLJLWDOFRPRSRUHMHPSORVRIWZDUHJUDILFDGRUSRWHQFLDODFRQVWUXFFLyQGH
UHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVDGHPiVGHVHUYLUGHDSR\RHQFiOFXORVWHGLRVRV\FRPSOHMRV
Propósito de la enseñanza
(OSURSyVLWRGHODHQVHxDQ]DHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDSDUDHVWHFLFORHVGHVDUUROODUHQFDGDHVWX
GLDQWHKDELOLGDGHVSDUD LQWHUSUHWDUUHSUHVHQWDU \UHVROYHUSUREOHPDV XWLOL]DQGRHO OHQJXDMH IXQ
FLRQDOHQVXVGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVFRQHOILQGHH[SORUDU\PRGHODUVLWXDFLRQHVGHOFRQWH[WR
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Habilidades generales
/DVKDELOLGDGHVJHQHUDOHVTXHGHEHUiWHQHUFDGDHVWXGLDQWHHQ5HODFLRQHV\ÈOJHEUDDOILQDOL
]DUHO&LFORGLYHUVLILFDGRVRQ
x 8WLOL]DU HOHPHQWRV GHO OHQJXDMH GH ORV FRQMXQWRV QXPpULFRV SDUD UHSUHVHQWDU GRPLQLR \
UDQJRGHIXQFLRQHVDVtFRPRHOFRQMXQWRVROXFLyQGHHFXDFLRQHV
x $SOLFDUHOFRQFHSWRGHIXQFLyQHQGLYHUVDVVLWXDFLRQHV
x 8WLOL]DUGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHVGHDOJXQDVIXQFLRQHVDOJHEUDLFDV\WUDVFHQGHQWHV
x 3ODQWHDU\UHVROYHUSUREOHPDVDSDUWLUGHXQDVLWXDFLyQGDGD
x 'HWHUPLQDUHOPRGHORPDWHPiWLFRTXHVHDGDSWDPHMRUDXQDVLWXDFLyQGDGD
(O iUHD GH 5HODFLRQHV \ ÈOJHEUD RFXSD SURSRUFLRQDOPHQWH XQ HVSDFLR PiV DPSOLR HQ HVWH
FLFOR 6H SRWHQFLD OD UHVROXFLyQ GH SUREOHPDV OD PRGHOL]DFLyQ ODV IXQFLRQHV H[SRQHQFLDO \
ORJDUtWPLFD VH DSHOD DO XVR GH P~OWLSOHV UHSUHVHQWDFLRQHV WDEXODUHV JUiILFDV DOJHEUDLFDV \
YHUEDOHVVHHVWDEOHFHQFRQH[LRQHVHVWUHFKDVFRQ ODVRWUDViUHDV PDWHPiWLFDVGHOFXUUtFXOR \
FRQRWUDVPDWHULDV(OWUDWDPLHQWRPiVDEVWUDFWRGHODVIXQFLRQHVREOLJDDXQDPD\RUIRUPDOL
]DFLyQHQODDUJXPHQWDFLyQ\ODFRPXQLFDFLyQPDWHPiWLFDGHWDOIRUPDTXH WRGRVORVSURFH
VRVPDWHPiWLFRVVHOHFFLRQDGRVSRUHVWHFXUUtFXORRFXSDQXQOXJDUSULPRUGLDOHQHVWHFLFOR
Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
&RQMXQWRV
QXPpULFRV
x 8QLyQ
x ,QWHUVHFFLyQ
x 3HUWHQHQFLD
x 6XEFRQMXQWR
x &RPSOH
PHQWR
x ,QWHUYDORV
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
$QDOL]DU VXEFRQMXQWRV GH
ORVQ~PHURVUHDOHV
8WLOL]DU FRUUHFWDPHQWH ORV
VtPERORV GH SHUWHQHQFLD \
GHVXEFRQMXQWR
5HSUHVHQWDU LQWHUYDORV XQ
PpULFRV HQ IRUPD JUiILFD
VLPEyOLFD \ SRU FRPSUHQ
VLyQ
'HWHUPLQDU OD XQLyQ \ OD
LQWHUVHFFLyQ GH FRQMXQWRV
QXPpULFRV
'HWHUPLQDU HO FRPSOHPHQ
WR GH XQ FRQMXQWR QXPpUL
FRGDGR
,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 8WLOL]DU VXEFRQMXQWRV ILQLWRV R LQILQLWRV GH ORV Q~PHURV
UHDOHVHQSDUWLFXODUHOFRQMXQWRGHORVQ~PHURVQDWXUDOHV 1 HO
GHORVQ~PHURVHQWHURV = ORVGHFLPDOHV ' ORVUDFLRQDOHV 4 ORV LUUDFLRQDOHV , = = SDUD ORV HQWHURV SRVLWLYRV \ ORV
QHJDWLYRVUHVSHFWLYDPHQWH 4 4 SDUDORVUDFLRQDOHVSRVLWL
YRV \ORVQHJDWLYRVUHVSHFWLYDPHQWH2WURVFRQMXQWRVGHLQWHUpV
VRQHOGHORVQ~PHURVSDUHVHOGHORVLPSDUHV\HOGHORVQ~PH
URVSULPRV
c(ODQiOLVLVGHVXEFRQMXQWRVFRQWHPSODLGHQWLILFDUGHVFULELU\
FDUDFWHUL]DUVXEFRQMXQWRVGHORVQ~PHURVUHDOHV
/R TXH VH EXVFD HV XWLOL]DU HVWRV FRQRFLPLHQWRV FRPR OHQJXDMH
SDUDHOWUDWDPLHQWRGHIXQFLRQHV\HFXDFLRQHV
Programas de cada ciclo educativo
,GHQWLILFDU VL XQD UHODFLyQ
)XQFLRQHV
GDGD HQ IRUPD WDEXODU
VLPEyOLFD R JUiILFD FRUUHV
x &RQFHSWR
SRQGHDXQDIXQFLyQ
GHIXQFLyQ
\GHJUiILFD GHXQDIXQ
FLyQ
x (OHPHQWRV
SDUDHODQi
OLVLVGHXQD
IXQFLyQ
'RPLQLR
,PDJHQ
3UHLPDJHQ
ÈPELWR
,Q\HFWLYLGDG
&UHFLPLHQWR
'HFUHFL
PLHQWR
&HURV
0i[LPR\
PtQLPR
$QiOLVLVGH
JUiILFDVGH
IXQFLRQHV
x &RPSRVL
FLyQGH
IXQFLRQHV
x )XQFLyQ
OLQHDO
x )XQFLyQ
FXDGUiWL
FD
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
c &DGD HVWXGLDQWH \D KD WUDEDMDGR FRQ IXQFLRQHV OLQHDOHV \
FXDGUiWLFDV KD GHVDUUROODGR KDELOLGDGHV UHODFLRQDGDV FRQ OD
LGHQWLILFDFLyQ GH YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV GHSHQGLHQWHV \ VXV
GLYHUVDVUHSUHVHQWDFLRQHV'HORTXHVHWUDWDHVGHDPSOLDUHVWRV
FRQRFLPLHQWRV
c3URSRQHUXQSUREOHPDGRQGHVHHVWDEOH]FDXQDUHODFLyQHQWUH
YDULDEOHV
'XUDQWH XQD KRUD VH PRQLWRUHD OD SRVLFLyQ GH XQ REMHWR
TXHVHPXHYHUHFWLOtQHDPHQWHDUD]yQGHPSRUVHJXQGRHQ
VHQWLGR(VWH2HVWHFRQUHVSHFWRDXQSXQWRGHUHIHUHQFLDGDGR
(OPRQLWRUHRHPSH]yFXDQGRHOREMHWRHVWDEDXELFDGRDP
DO(VWHGHGLFKRSXQWRGHUHIHUHQFLD
D 'HWHUPLQH XQD H[SUHVLyQ PDWHPiWLFD TXH LQGLTXH OD
SRVLFLyQ³3´GHOREMHWRFRQIRUPHWUDQVFXUUHHOWLHPSR
³W´PHGLGRHQVHJXQGRV
E 5HSUHVHQWH JUiILFDPHQWH HQ XQ VLVWHPD GH HMHV FDUWH
VLDQRVGLFKDVLWXDFLyQ
c (Q OD HWDSD GH FLHUUH VH VXJLHUH SUHVHQWDU HO FRQFHSWR GH
IXQFLyQ FRPR XQD UHODFLyQ HQWUH YDULDEOHV PHQFLRQDQGR ORV
HOHPHQWRV LQYROXFUDGRV \ VXV UHSUHVHQWDFLRQHV SDUD OXHJR
IRUPDOL]DU GLFKR FRQFHSWR FRPR XQD FRUUHVSRQGHQFLD XQtYRFD
HQWUH GRV FRQMXQWRV $TXt VH GHEH LQWURGXFLU XQ WUDWDPLHQWR
DEVWUDFWRTXHQRVHKDEtDKHFKRHQORVFLFORVDQWHULRUHV
c /DV IXQFLRQHV HVWDEOHFLGDV HQ HO SURJUDPD VRQ IXQFLRQHV
UHDOHVGHYDULDEOHUHDO&RPRFRGRPLQLRGHODIXQFLyQVHXWLOL]D
UiVXiPELWRRUDQJR(VWDHVWUDWHJLDVLPSOLILFDUiHOWUDWDPLHQWR
GH IXQFLRQHV LQYHUVDV SXHV H[LJLUi ~QLFDPHQWH DQDOL]DU OD
LQ\HFWLYLGDGGHODIXQFLyQ8WLOL]DUXQFRQMXQWRPiVDPSOLRTXH
HO UDQJR H[LJLUtD FRPSUREDU OD VREUH\HFWLYLGDG SDUD JDUDQWL]DU
ODH[LVWHQFLDGHODLQYHUVDGHXQDIXQFLyQ
c 6H UHFRPLHQGDDSRUWDUDOJXQDVWDEODV JUiILFDV \ HFXDFLRQHV
UHODFLRQDQGR D GRV YDULDEOHV SDUD TXH FDGD HVWXGLDQWH LQGLTXH
FRQODUHVSHFWLYDMXVWLILFDFLyQFXiOHVFRUUHVSRQGHQDIXQFLyQ\
FXiOHVQR
¢&XiOHV UHSUHVHQWDFLRQHV JUiILFDV FRUUHVSRQGHQ D XQD
IXQFLyQ" /D YDULDEOH UHSUHVHQWDGD HQ HO HMH KRUL]RQWDO HV OD
LQGHSHQGLHQWH\ODGHOHMHYHUWLFDOHVODGHSHQGLHQWH
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
c /DV JUiILFDV DQWHULRUHV IXHURQ JHQHUDGDV FRQ VRIWZDUHJUDIL
FDGRUDSDUWLUGHORVFULWHULRVGHODVUHODFLRQHV(VUHFRPHQGDEOH
TXH FDGD GRFHQWH XWLOLFH HQ OD PHGLGD GH OR SRVLEOH VRIWZDUH
SDUDJHQHUDUJUiILFDVFRPRODVDQWHULRUHV
(V ~WLO PHQFLRQDU DOJXQRV DVSHFWRV GHO GHVDUUROOR GHO
FRQFHSWRGHIXQFLyQDWUDYpVGHODKLVWRULD
(YDOXDU HO YDORU GH XQD
/DFXUYDHQODJUiILFDVLJXLHQWHUHSUHVHQWDORVLQJUHVRVGHO
IXQFLyQGDGDHQIRUPDJUi
ILFDRDOJHEUDLFDHQGLVWLQ *RELHUQR &HQWUDO GXUDQWH ORV DxRV KDVWD HO OtQHDV
TXHEUDGDVQHJUDV
WRVSXQWRVGHVXGRPLQLR
$QDOL]DU XQD IXQFLyQ D
SDUWLU GH VXV UHSUHVHQWD
FLRQHV
&DOFXODUODFRPSRVLFLyQGH
GRVIXQFLRQHV
D
E
F
G
H
I
J
¢(QTXpLQWHUYDORVODIXQFLyQHVFUHFLHQWH"
¢(QTXpLQWHUYDORVODIXQFLyQHVGHFUHFLHQWH"
¢&XiOHVHOGRPLQLRGHODIXQFLyQ"
¢&XiOHVVXiPELWRDSUR[LPDGR"
¢(VLQ\HFWLYDODIXQFLyQ"
¢&XiOHVVRQORVFHURVDSUR[LPDGRVGHODIXQFLyQ"
¢&XiOHVODLPDJHQDSUR[LPDGDGH"
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
K
L
M
¢(QFXiOHVLQWHUYDORVODIXQFLyQHVQHJDWLYD"
¢&XiOHVHOYDORUPi[LPRDSUR[LPDGRGHODIXQFLyQ"
¢&XiOHVHOYDORUPtQLPRDSUR[LPDGRGHODIXQFLyQ"
7RPDGRGH(VWDGRGHOD1DFLyQFDStWXORSiJLQD
c3DUDHYDOXDUXQDIXQFLyQHQGLVWLQWRVSXQWRVGHVXGRPLQLR
XWLOLFHGLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV
$OJHEUDLFD
6HDI[ [[±FRQGRPLQLR 5 &RPSOHWHOD
WDEOD
[
I [ W
D
3DUDOD~OWLPDHQWUDGDGHODWDEODHOSUREOHPDFRQVLVWHHQUH
VROYHUXQDHFXDFLyQDOJHEUDLFDSDUDHQFRQWUDUODVSUHLPiJH
QHVGH
*UiILFDPHQWH
$ FRQWLQXDFLyQ VH PXHVWUD OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiILFD GH
XQDIXQFLyQ I FX\RGRPLQLRHVHOLQWHUYDOR > @ &RPSOHWHODVLJXLHQWHWDEOD
[
I [ S
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
¿Cuál es el ámbito de la función?
c Para el análisis de la función a partir de su gráfica tome en
cuenta los siguientes elementos: dominio, ceros, signo de la
función, ámbito, inyectividad, crecimiento o decrecimiento,
máximos y mínimos.
c No se utilizarán términos como estrictamente creciente o
estrictamente decreciente, sino conceptos como creciente o
decreciente que incluyen a los anteriores.
Para la inyectividad es pertinente utilizar varias representaciones de una función, para que cada estudiante identifique
cuál es inyectiva y argumente su respuesta.
c La composición de funciones es muy importante pues permite conectar una función invertible con su inversa, tema que será
analizado en 11° Año. Es importante calcular composición de
funciones con distintas representaciones.
Complete la tabla que sigue sin conocer los criterios para
las funciones f1 y f 2 :
x
0
f1 ( x )
3
f2 ( x)
f
1
f
2
f 2 x f1 x 1
2
3
0
1
4
1
2
4
4
3
0
Este es un problema correspondiente al nivel de reflexión.
10. Representar gráficamente
una función lineal.
11. Determinar la pendiente, la
intersección con el eje de
las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en
forma gráfica o algebraica.
12. Determinar la ecuación de
una recta utilizando datos
relacionados con ella.
c Se puede comenzar implementando un problema que involucre función lineal como repaso de lo trabajado en 8° Año o
función cuadrática para repasar lo visto en 9° Año.
La empresa ³3XUD 9LGD 6 $´ produce juegos de mesa
que promueven la conservación del medio ambiente. Dado que
el costo de producir cada juego fue de ₡ 1250 y se hizo una
inversión inicial de ₡ 3 500 000, se proyecta que el precio de
venta para cada juego sea de ₡ 2750.
a. Determine la expresión algebraica que brinda la utilidad
³U´TXHJHQHUDODHPSUHVDHQIXQFLyQGHODFDQWLGDGGH
artículos producidos.
b. Grafique dicha relación en un sistema de ejes cartesianos.
c. Determine cuántos artículos es necesario vender para
que la empresa empiece a generar ganancias.
447
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Un problema como éste favorece una cultura ambiental
para el desarrollo sostenible, un valor transversal en el sistema
educativo costarricense.
Ÿ 0HQFLRQDU TXH la función identidad, expresada algebraicamente por f ( x) x , es un caso particular de la función lineal.
Esta función será muy útil en la definición de la inversa de una
función.
cEn la etapa de cierre desarrolle los conceptos de pendiente de
una recta, intersección con el eje de las abscisas e intersección
con el eje de las ordenadas. Además, se puede solicitar a cada
estudiante que analice el problema anterior desde una perspectiva funcional, determinando su dominio, ceros, signo de la
función, ámbito, inyectividad, crecimiento o decrecimiento,
estableciendo conexiones con el problema y los elementos
anteriores.
c Puede proponerse que se determine la pendiente y la intersección con el eje de las ordenadas de una determinada recta
representada por el criterio y mx b , dados dos puntos de
ella.
La idea es que cada estudiante pueda deducir la fórmula para la
pendiente m de la recta, como la razón entre el cambio de y con
respeto al de x:
y 2 y1
m
x2 x1
y que siga utilizándola para calcular la pendiente de una forma
más fácil.
Se recomienda usar software matemático para conjeturar
acerca de la influencia de los parámetros a, b en la representación gráfica de y = ax + b.
13. Analizar gráfica y algebraicamente la función
cuadrática con criterio
f(x)=ax2 + bx + c, a z 0.
c La función cuadrática ya fue estudiada en 9º Año, de lo que
se trata ahora es de precisar sus propiedades. Se sugiere hacer
un estudio sistemático para la representación gráfica que incluya:
a.
b.
c.
Punto de intersección con el eje de las ordenadas.
Puntos de intersección con el eje de las abscisas.
Intervalos de crecimiento o decrecimiento.
448
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
G
H
I
J
K
L
&RQFDYLGDG
,QWHUYDOR GRQGH OD IXQFLyQ HV SRVLWLYD RQHJDWLYD \ VX
FRQH[LyQFRQODVROXFLyQGHGHVLJXDOGDGHVFXDGUiWLFDV
0i[LPRRPtQLPRGHODIXQFLyQYpUWLFH
ÈPELWRGHODIXQFLyQ
(MHGHVLPHWUtD
,QWHUYDORVPi[LPRVGRQGHODIXQFLyQHVLQ\HFWLYD
/RVSXQWRVDQWHULRUHVGHEHQYHUVHHQFRQMXQWRHQIRUPDDUWLFX
ODGD\QRSRUVHSDUDGR
c&RQYLHQHDQDOL]DUODLQIOXHQFLDGHORVSDUiPHWURVDE\FHQ
HOWLSRGHJUiILFD8QDEXHQDHVWUDWHJLDFRQVLVWHHQODWpFQLFDGH
FRPSOHWDU FXDGUDGR \ XWLOL]DU WUDQVIRUPDFLRQHV HQ HO SODQR
KRPRWHFLDV\WUDVODFLRQHV
(VUHFRPHQGDEOHXVDUVRIWZDUHPDWHPiWLFRSDUDIDFLOLWDUOD
REVHUYDFLyQGHODVFDUDFWHUtVWLFDVGHVFULWDVSDUD\ D[E[
F\SDUDDSUR[LPDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGHVHJXQGRJUDGR
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
8QDERODHVODQ]DGDKDFLDDUULEDFRQXQDYHORFLGDGLQLFLDO
EOHPDV HQ FRQWH[WRV
UHDOHV XWLOL]DQGR ODV IXQ GH Y PHWURVSRUVHJXQGR3DVDGRVWVHJXQGRVODDOWXUDKGHOD
FLRQHVHVWXGLDGDV
ERODVHUHSUHVHQWDDOJHEUDLFDPHQWHSRU
KW Y W JW 5HODFLRQDU OD UHSUHVHQWD
FLyQ JUiILFD FRQ OD DOJH
EUDLFD
FRQ J P V OD DFHOHUDFLyQ GH OD JUDYHGDG 3ODQWHDU XQ
SUREOHPDFRQHVWDVLWXDFLyQ\UHVROYHUOR
Ÿ6HSXHGHGDUXQDVHULHGHUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFDV\RWUD
VHULHGHUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVRELHQXQDPH]FODGHDPEDV
Ÿ6HSXHGHKDFHUORPLVPRXWLOL]DQGRUHSUHVHQWDFLRQHVWDEXOD
UHV\DOJHEUDLFDVRELHQJUiILFDV6HSUHVHQWDQYDULDVWDEODV\
YDULRVFULWHULRV
$QDOL]DUVLVWHPDVGHGRVH
(O GREOH GH OD HGDG GH -XDQ DXPHQWDGR HQ OD HGDG GH
FXDFLRQHV OLQHDOHV FRQ GRV
&LQWKLDHTXLYDOHDDxRV6LODHGDGGH&LQWKLDHVODPLVPD
LQFyJQLWDV
TXHODHGDGGH-XDQGLVPLQXLGDHQDxRV¢FXiOHVODHGDGGH
DPERV"
c3RUVXQDWXUDOH]DHVWHSUREOHPDSXHGHVHUUHVXHOWRXWLOL]DQGR
GRV HFXDFLRQHV GH SULPHU JUDGR OR TXH VLUYH SDUD MXVWLILFDU OD
LPSRUWDQFLDGHOFRQRFLPLHQWR
c 6H VXJLHUH H[SOLFDU EUHYHPHQWH ODV SURSLHGDGHV UHIOH[LYD
VLPpWULFD \ WUDQVLWLYD GH OD LJXDOGDG HQ OD UHVROXFLyQ GHO SUR
EOHPD DQWHULRU 3RU HMHPSOR HQ HO PpWRGR GH LJXDODFLyQ \ I[\ J[HQWRQFHVI[ J[VHXWLOL]DODSURSLHGDGWUDQVLWL
YD
Programas de cada ciclo educativo
6LVWHPDVGH
HFXDFLRQHV
OLQHDOHV
x 6LVWHPDVGH
GRVHFXD
FLRQHVOLQHD
OHVFRQGRV
LQFyJQLWDV
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
c(QODHWDSDGHFLHUUHVHIRUPDOL]DQGLFKRVPpWRGRV
c7UDEDMDUFRQVLVWHPDVGHODIRUPD
D[E\ FD[E\ F
\XWLOL]DUORVPpWRGRVGHVXVWLWXFLyQLJXDODFLyQVXPD\UHVWD\
GHIRUPDJUiILFD
c 6H VXJLHUH SURSRQHU VLVWHPDV FRQ VROXFLyQ ~QLFD VROXFLyQ
YDFtD\FRQLQILQLWDVVROXFLRQHV(QIDWL]DUHOVLJQLILFDGRJUiILFR
GH FDGD XQR GH ORV WUHV FDVRV UHFWDV TXH VH LQWHUVHFDQ HQ XQ
SXQWRUHFWDVSDUDOHODVTXHQRVHLQWHUVHFDQUHFWDVFRLQFLGHQWHV
3ODQWHDU \ UHVROYHU SUR
8VXDOPHQWHHOFRVWRWRWDOGHSURGXFFLyQGH[XQLGDGHVGH
EOHPDVHQFRQWH[WRVUHDOHV
XWLOL]DQGR VLVWHPDV GH GRV XQ SURGXFWR WLHQH GRV FRPSRQHQWHV HO FRVWR LQLFLDO \ HO FRVWR
HFXDFLRQHV FRQ GRV LQFyJ SRU XQLGDG GHO SURGXFWR &XDQGR VH KDQ YHQGLGR VXILFLHQWHV
XQLGDGHVGHWDOIRUPDTXHHOLQJUHVRWRWDOVHDLJXDOTXHHOFRVWR
QLWDV
WRWDO VH GLFH TXH VH OOHJy DO SXQWR GH HTXLOLEULR 6XSRQLHQGR
TXH HO LQJUHVR WRWDO HV LJXDO DO Q~PHUR GH XQLGDGHV YHQGLGDV
PXOWLSOLFDGR SRU HO SUHFLR GH YHQWD GH FDGD XQLGDGSODQWHH XQ
SUREOHPD TXH SHUPLWD HQFRQWUDU HO SXQWR GH HTXLOLEULR SDUD OD
VLWXDFLyQGDGD
ƒ$xR
&RQRFLPLHQWRV
)XQFLRQHV
LQYHUVDV
x )XQFLyQ
UDt]FXD
GUDGD
+DELOLGDGHVHVSHFtILFDV
,GHQWLILFDU ODV FRQGLFLRQHV
SDUDTXHXQDIXQFLyQWHQJD
LQYHUVD
5HODFLRQDU OD JUiILFD GH
XQD IXQFLyQ FRQ OD JUiILFD
GHVXLQYHUVD
'HWHUPLQDU LQWHUYDORV HQ
ORV FXDOHV XQD IXQFLyQ UH
SUHVHQWDGD JUiILFDPHQWH
WLHQHLQYHUVD
'HWHUPLQDU\JUDILFDUOD
IXQFLyQLQYHUVDGH
I[ P[EPz
$QDOL]DUJUiILFD\DOJH
EUDLFDPHQWHODIXQFLyQFRQ
FULWHULRGDGRSRU
I [ D [ E F ,QGLFDFLRQHVSXQWXDOHV
c 6H SXHGH SODQWHDU XQ SUREOHPD HQ GRQGH VH REVHUYH OD
QHFHVLGDGGHHVWXGLDUODLQYHUVDGHXQDIXQFLyQ
8QD HPSUHVD TXLHUH FRQVWUXLU UHFLSLHQWHV FLOtQGULFRV FRQ
YROXPHQ9\DOWXUDKFRQRFLGRV \TXLHUHVDEHUFXiOHVHOUDGLR
GH FDGD UHFLSLHQWH SDUD SRGHU DFRPRGDUORV HQ FDMDV (O YROX
PHQ GH XQ FLOLQGUR GH DOWXUD K GDGD HV IXQFLyQ GHO UDGLR U GHO
FtUFXOR GH OD EDVH R WDSD \ HVWi PRGHODGR SRU OD HFXDFLyQ
9U SUK
(OSUREOHPDFRQVLVWHHQH[SUHVDUUFRPRIXQFLyQGHOYROXPHQ
9(QHVWHFDVRODIXQFLyQU9HVODLQYHUVDGHODIXQFLyQ9U
/D WHPSHUDWXUD HQ JUDGRV )DKUHQKHLW HV IXQFLyQ GH OD
WHPSHUDWXUDHQJUDGRV&HOVLXV\HVWiPRGHODGDSRUODHFXDFLyQ
) & & ([SUHVDU&FRPRIXQFLyQGH)
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
c Dada la gráfica de una función, que cada estudiante grafique
su función inversa (si existe), tomando en cuenta que ambas son
simétricas respecto a la recta con representación y = x.
c Para determinar la inversa de una función cuadrática hay que
seleccionar el dominio que garantice la inyectividad, resolver
una ecuación de segundo grado y seleccionar el signo de acuerdo al dominio seleccionado.
La función f ( x ) x , x  R no es inyectiva, pero si consideramos x t 0 y el codominio como el ámbito, es decir y t 0
2
entonces f tiene inversa. Su inversa es g ( x )
x . Cada estudiante podrá comprobar esto al hacer la composición
g
f ( x)
f ( x)
x
2
x
x
pues x t 0 .
c La gráfica de la función con criterio dado por
f ( x ) a x b c se obtiene de la gráfica de f0 ( x)
x
mediante transformaciones (traslaciones y homotecias).
c Al finalizar la actividad, defina el concepto de función
inversa tomando como referencia lo desarrollado en la actividad
anterior. Al estar utilizando como codominio el ámbito de la
función entonces la condición para que f : DfoRf tenga inversa
es que f sea inyectiva, es decir,
a , b  D f con a z b entonces f ( a ) z f (b ).
Nótese la conexión con el área de Geometría.
Funciones
exponenciales
x La función
a
x
x Ecuaciones
exponenciales
6. Analizar gráfica, tabular y
algebraicamente las funciones exponenciales.
c Para introducir el tema se sugiere proponer la siguiente
situación:
Alberto hereda ₡ 5 000 000. Desea depositar dicho
dinero a plazos en un banco que paga un interés compuesto de un 6% y retirarlo hasta dentro de 10 años como una
forma para solventar sus necesidades futuras. Aunque por lo
general los bancos utilizan plazos anuales y semestrales, Alberto
quisiera saber cuánto ganaría al finalizar dicho periodo, si el
dinero se capitalizará diariamente y compararlo con las ganancias obtenidas si se capitaliza anualmente.
c Una vez abordado el problema se procede a precisar los
conceptos y características de los conceptos concernientes a una
función exponencial.
Se puede construir una tabla de valores para hacer una gráfica
aproximada de una exponencial específica, y así familiarizar al
estudiantado con algunas características de estas funciones.
Se recomienda usar calculadora científica para realizar los
cálculos y software matemático para graficar funciones del tipo
f ( x)
a , a ! 0, a z 1
x
451
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
c 1R HV FRQYHQLHQWH IRUPDOL]DU HO FRQFHSWR GH DVtQWRWD VLQR
WUDWDUOR GH PDQHUD LQWXLWLYD FRPR XQD UHFWD TXH VH DSUR[LPD
DUELWUDULDPHQWH D OD JUiILFD GH OD IXQFLyQ YHU LQGLFDFLRQHV
PHWRGROyJLFDV
c (OFRQFHSWRGHLQILQLWRQRVHLQWURGXFH IRUPDOPHQWHHQHVWH
QLYHO HGXFDWLYR VLQ HPEDUJR SDUD OD FRQVWUXFFLyQ \ HO HVWXGLR
GHJUiILFDVVHSXHGHH[SUHVDUGHPDQHUDLQWXLWLYDVXVHQWLGR
/D EDVH PiV LPSRUWDQWH \ FRQYHQLHQWH SDUD ODV IXQFLRQHV
H[SRQHQFLDOHVHVHOQ~PHURLUUDFLRQDOH(OQ~PHUR HHVFRQRFL
GR D YHFHV FRPR Q~PHUR GH (XOHU R FRQVWDQWH GH 1DSLHU IXH
UHFRQRFLGR \ XWLOL]DGR SRU SULPHUD YH] SRU HO PDWHPiWLFR
HVFRFpV-RKQ1DSLHUTXLHQLQWURGXMRHOFRQFHSWRGHORJDULWPR
(OQ~PHUR H DO LJXDOTXH HOQ~PHUR ʌ HV XQQ~PHUR WUDVFHQ
GHQWHHVGHFLUTXHQRSXHGHVHUREWHQLGRGLUHFWDPHQWHPHGLDQWH
OD UHVROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ DOJHEUDLFD 6X YDORU H[DFWR QR
SXHGHVHUH[SUHVDGRFRPRXQQ~PHURILQLWRGHFLIUDVGHFLPDOHV
RFRQGHFLPDOHVSHULyGLFRV
§
©
/RV Q~PHURV GH OD IRUPD ¨ ·
Q
¸ VH DFHUFDQ DO Q~PHUR H
Q¹
FXDQGR Q DVXPH YDORUHV PX\ JUDQGHV /D VLJXLHQWH WDEOD SUR
SRUFLRQDXQDLGHDGHHVWHDFHUFDPLHQWR
Valor aproximado de
Q
n
§ ·
¨
¸
© Q¹
102
104
105
1010
1012
2.70481382942
2.71814592683
2.71826823717
2.71828182832
2.71828182846
6XYDORUDSUR[LPDGRFRQGHFLPDOHVHV
(V UHFRPHQGDEOH HQIDWL]DU OD LPSRUWDQWH FRQH[LyQ TXH
H[LVWHHQWUHODIXQFLyQH[SRQHQFLDO\OD(FRQRPtDOD%LRORJtD
OD)tVLFD\RWUDVFLHQFLDVFRPRORVHMHPSORVTXHDSDUHFHQHQODV
LQGLFDFLRQHVPHWRGROyJLFDV
5HVROYHU SUREOHPDV HQ c 3DUD OD UHVROXFLyQ GH HFXDFLRQHV H[SRQHQFLDOHV FRQYLHQH
FRQWH[WRV UHDOHV XWLOL]DQGR UHSDVDU ODV OH\HV GH SRWHQFLDV \ XWLOL]DUODQRFLyQGH LQ\HFWLYL
HFXDFLRQHVH[SRQHQFLDOHV GDG SDUD OD MXVWLILFDFLyQ GHO DOJRULWPR TXH UHVXHOYH GLFKDV
HFXDFLRQHV
c/DV HFXDFLRQHV H[SRQHQFLDOHV VH SXHGHQ H[SUHVDU FRPR
DI[ DJ[GRQGH I \J VRQIXQFLRQHVOLQHDOHVRFXDGUiWLFDVGH
[
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
,GHQWLILFDU \ DSOLFDUPRGH
ORV PDWHPiWLFRV TXH LQYR
OXFUDQ ODV IXQFLRQHV H[SR
QHQFLDOHV
Ÿ3DUDHOGHVDUUROORGHHVWDKDELOLGDGQRVHGHEHSHGLUDOJUXSR
FRQVWUXLU ORVPRGHORV 6H WUDWD GH LGHQWLILFDUORV \ XWLOL]DUORV HQ
HO WUDWDPLHQWR GH VLWXDFLRQHV 6H SURSRQH HO SUREOHPD VH SUR
SRUFLRQD HO PRGHOR PDWHPiWLFR HQ IRUPD DOJHEUDLFD JUiILFD
WDEXODU R YHUEDO \ VH VROLFLWD D FDGD HVWXGLDQWH UHVROYHUOR \
DQDOL]DUOR
Ÿ$OWUDEDMDUFRQUHSUHVHQWDFLRQHVJUiILFDVHQYDULDVRFDVLRQHV
VHXWLOL]DQGDWRVQXPpULFRVSHTXHxRVSDUDXQDGHODVYDULDEOHV\
GDWRV PX\ JUDQGHV SDUD OD RWUD YDULDEOH (Q WDOHV FDVRV VH
VXJLHUHXWLOL]DUGLIHUHQWHVHVFDODVHQORVHMHV
,GHQWLILFDU OD IXQFLyQ OR Ÿ3DUDLQWURGXFLUHOWHPDFRQYLHQHXVDUXQSUREOHPDHQHOTXH
)XQFLRQHV
JDUtWPLFD FRPR OD LQYHUVD VXUMDGHIRUPDQDWXUDOODIXQFLyQORJDUtWPLFD
ORJDUtWPLFDV
GHODIXQFLyQH[SRQHQFLDO
/DXUDGHSRVLWD₡ HQVXFXHQWDGHDKRUURVHQXQ
x /DIXQFLyQ
$QDOL]DUJUiILFD\DOJH
EDQFR \ DO ILQDO GH W DxRV UHFLEH XQD QRWLILFDFLyQ GHO
ORJ D [ EUDLFDPHQWHODVIXQFLRQHV EDQFRLQGLFDQGRTXHHQVXFXHQWDWLHQH₡ 6LODWDVDGH
ORJDUtWPLFDV
LQWHUpVHVGHXQFRPSXHVWDPHQVXDOPHQWH\VL/DXUDQRKL]R
x (FXDFLRQHV XQQXHYRGHSyVLWRQLUHWLURGXUDQWHHVRVDxRV¢FXiQWRVDxRVKDQ
ORJDUtWPLFDV WUDQVFXUULGR"
(QHVWHSUREOHPDHVLPSRUWDQWHSURSRUFLRQDUHOPRGHOR
W
§ L·
& W & ¨ ¸ © Q¹
\ D SDUWLU GH pO MXVWLILFDU OD QHFHVLGDG GH LQWURGXFLU OD IXQFLyQ
ORJDUtWPLFD
c'XUDQWH OD HWDSD GH FLHUUH LQWURGX]FD OD IXQFLyQ ORJDULWPR
FRPR LQYHUVD GH OD H[SRQHQFLDO 8WLOLFH OD FRPSRVLFLyQ GH
IXQFLRQHVSDUDMXVWLILFDUHVWDSURSLHGDG
&DGD HVWXGLDQWH GHEH VDEHU TXH VL D ! D z HQWRQFHV
ORJ D \
[
D 3RUORWDQWR ORJ D \ \ ! HVHO
Q~PHURDOTXHVHGHEHHOHYDUODEDVHDSDUDREWHQHU\
c&DPELDUGHODIRUPDH[SRQHQFLDODODIRUPDORJDUtWPLFD\GH
ODORJDUtWPLFDDODH[SRQHQFLDO
6H UHFRPLHQGD XVDU VRIWZDUH PDWHPiWLFR SDUD YLVXDOL]DU
ODUHODFLyQ HQWUH ODV JUiILFDV GH OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO \
OD ORJDUtWPLFD (O XVR GH WDEODV WDPELpQ IDYRUHFHUi OD
FRPSUHQVLyQGHODUHODFLyQHQWUHDPEDVIXQFLRQHV
[
[
(Q OD WDEOD DQWHULRU OD VHJXQGD FROXPQD FRQWLHQHODV SRWHQFLDV
FRQEDVHGHORVQ~PHURVTXHDSDUHFHQHQODSULPHUDFROXPQD
[ VL\VyORVL \
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
PLHQWUDVTXHHQODSULPHUDFROXPQDDSDUHFHQORVORJDULWPRVHQ
EDVHGHORVQ~PHURVTXHDSDUHFHQHQOD VHJXQGDFROXPQDHV
GHFLU
[
ORJ[
(VWRVHREVHUYDPHMRUVLXQLPRVODVGRVWDEODV
[
[
ORJ[
$SOLFDU SURSLHGDGHV GH ORV
ORJDULWPRVSDUDVLPSOLILFDU
H[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV
5HVROYHU SUREOHPDV HQ
FRQWH[WRV UHDOHV XWLOL]DQGR
HFXDFLRQHVORJDUtWPLFDV
8WLOL]DUORJDULWPRVSDUDUH
VROYHU HFXDFLRQHV H[SR
QHQFLDOHV GH OD IRUPD
DI[ EJ[ D E Q~PHURV
UHDOHV SRVLWLYRV \ GLVWLQWRV
GH I J SROLQRPLRV GH
JUDGRPHQRUTXH
,GHQWLILFDU \ DSOLFDUPRGH
ORV PDWHPiWLFRV TXH LQYR
OXFUDQ ODV IXQFLRQHV ORJD
UtWPLFDV
&RPSDUWD DVSHFWRV GHO GHVDUUROOR KLVWyULFR GH ORV
ORJDULWPRV/DKLVWRULDGHODHVFDODORJDUtWPLFDFRQHFWD5HODFLR
QHV\ÈOJHEUDFRQ0HGLGDV
c/DVSURSLHGDGHVVRQ
D /RJDULWPRGHODXQLGDG
E /RJDULWPRGHODEDVH
F /RJDULWPR GH XQD H[SUHVLyQ HQ QRWDFLyQ H[SRQHQ
FLDO
G /RJDULWPRGHXQDPXOWLSOLFDFLyQ
H /RJDULWPRGHXQDGLYLVLyQ
I &DPELRGHEDVH
'HVWiTXHVH OD GHGXFFLyQ GH ODV SURSLHGDGHV GH ORJDULWPRV D
SDUWLUGHODVSURSLHGDGHVGHODVH[SRQHQFLDOHV
c8WLOL]DUHFXDFLRQHVGHODIRUPD
ORJ D I [ ORJ D J [ GRQGHI\JVRQIXQFLRQHVOLQHDOHVRFXDGUiWLFDVGH[
c8VHODQRFLyQGHLQ\HFWLYLGDGGHODIXQFLyQORJDULWPRSDUDOD
MXVWLILFDFLyQGHODOJRULWPRTXHSHUPLWHUHVROYHUGLFKDVHFXDFLR
QHV
Ÿ3DUDHOGHVDUUROORGHHVWDKDELOLGDGQRVHEXVFDFRQVWUXLUORV
PRGHORV 6H WUDWD GH LGHQWLILFDUORV \ XVDUORV 6H SURSRQH HO
SUREOHPD VH GD HO PRGHOR PDWHPiWLFR HQ IRUPD DOJHEUDLFD
JUiILFD WDEXODU R YHUEDO \ VH SLGH UHVROYHUOR LQWHUSUHWDUOR \
DQDOL]DUOR
Programas de cada ciclo educativo
)XQFLRQHV\
PRGHOL]DFLyQ
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Ÿ 6H GHEH GLVFXWLU FXiO HV HO VHQWLGR GHO UHVXOWDGR HQ FDGD
SUREOHPDSODQWHDGR
8WLOL]DUODVIXQFLRQHVHVWX Ÿ(VWDVHFFLyQDUWLFXODHOHVWXGLRGHIXQFLRQHVTXHSHUPHDWRGR
GLDGDV SDUD SODQWHDU \ UH HOFXUUtFXORGHVGHODHQVHxDQ]D3ULPDULD/RTXHVHEXVFDHVXQD
VROYHU SUREOHPDV D SDUWLU LQWHJUDFLyQGHODVGLIHUHQWHVIXQFLRQHVHVWXGLDGDVFRQHOSURSy
GHXQDVLWXDFLyQGDGD
VLWR GH LGHQWLILFDU \ XVDU PRGHORV PDWHPiWLFRV GH VLWXDFLRQHV
UHDOHV
$QDOL]DUHOWLSRGHIXQFLyQ TXH VLUYD GH PRGHOR SDUD Ÿ 6H VXJLHUH TXH OD R HO GRFHQWH SURSRQJD XQ SUREOHPD HQ
XQDVLWXDFLyQGDGD
IRUPD YHUEDO R WDEXODU \ TXH FDGD HVWXGLDQWH LQWHUSUHWH OD
LQIRUPDFLyQ OD VLVWHPDWLFH \ HVWDEOH]FD UHODFLRQHV UHOHYDQWHV
GHO SUREOHPD SDUD GHWHUPLQDU HO PRGHOR TXH PHMRU UHIOHMH OD
VLWXDFLyQ $GHPiV FDGD HVWXGLDQWH GHEH UHVROYHU HO SUREOHPD
DQDOL]DUORVUHVXOWDGRV\YHULILFDUODIDFWLELOLGDGGHOPRGHOR
Ÿ(VLPSRUWDQWHTXHVHDQXWLOL]DGDVFDGDXQDGHODVIXQFLRQHV
HVWXGLDGDVSDUDDOJXQDPRGHOL]DFLyQGHODVLWXDFLyQGDGDOLQHDO
FXDGUiWLFDUDt]FXDGUDGDORJDUtWPLFD\H[SRQHQFLDO
Indicaciones metodológicas
Generales para el ciclo
3RU OD PHWRGRORJtD SUHVHQWDGD HQ HVWRV SURJUDPDV HV QHFHVDULR GDU WLHPSR SDUD TXH FDGD
HVWXGLDQWHSODQWHH\UHVXHOYDSUREOHPDV
6HHVSHUDTXHFDGDHVWXGLDQWHXWLOLFHGHIRUPDDGHFXDGDHOOHQJXDMH\VLPEROLVPRPDWHPiWLFR
HQVXVUD]RQDPLHQWRV\DUJXPHQWDFLRQHV
(O IRFR FHQWUDO GH HVWH FLFOR FRQVLVWH HQ XQ DFHUFDPLHQWR PiV IRUPDO D ODV IXQFLRQHV HQ VXV
GLVWLQWDVUHSUHVHQWDFLRQHV\DODXWLOL]DFLyQGHpVWDVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV
+D\ TXH XWLOL]DU PRGHORV PDWHPiWLFRV TXH IDYRUH]FDQ YDORUHV FRPR OD (GXFDFLyQ SDUD OD
6DOXG(GXFDFLyQ,QWHJUDOGHOD6H[XDOLGDG&XOWXUD$PELHQWDOSDUDHO'HVDUUROOR6RVWHQLEOH
\OD9LYHQFLDGHORV'HUHFKRV+XPDQRVSDUDOD'HPRFUDFLD\OD3D]YDORUHVWUDQVYHUVDOHV
HQHOVLVWHPDHGXFDWLYRFRVWDUULFHQVH
(OXVRGHWHFQRORJtDVGLJLWDOHVIDYRUHFHODYLVXDOL]DFLyQGHODVIXQFLRQHVHVWXGLDGDVDOSHUPL
WLUODPDQLSXODFLyQGHVXVSDUiPHWURV\ORVFDPELRVTXHJHQHUDQHQVXVJUiILFDV6RIWZDUHGH
JUDILFDFLyQGLQiPLFDSRWHQFLDODYLVXDOL]DFLyQGHWUDQVIRUPDFLRQHVHIHFWXDGDVVREUHODVIXQ
FLRQHV(VWRFRQHFWDFRQHOiUHDGH*HRPHWUtD
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Décimo año
(OHVWXGLRGHWHRUtDGHFRQMXQWRVVHGHVDUUROODUiGHPRGRLQVWUXPHQWDOSDUDSUHFLVDUHOHVWXGLR
GH IXQFLRQHV \ DOJXQDV SURSLHGDGHV HQ 3UREDELOLGDG $GHPiV QR VH TXLHUH XQ HVWXGLR H[
KDXVWLYRGHRSHUDFLRQHVFRQFRQMXQWRV\XQHQIRTXHDEVWUDFWR
(V HVHQFLDO TXH FDGD HVWXGLDQWH XWLOLFH FRUUHFWDPHQWH HO OHQJXDMH GH OD WHRUtD GH FRQMXQWRV
SDUDUHSUHVHQWDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHV\GHVLVWHPDVGHHFXDFLRQHVDVtFRPRSDUDUHSUH
VHQWDUGRPLQLR\iPELWRGHIXQFLRQHV6HSXHGHGDUODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDRDOJHEUDLFDGH
XQDIXQFLyQSROLQRPLDORUDFLRQDO\VROLFLWDUODHVFULWXUDSRUFRPSUHQVLyQGHOGRPLQLRGHOD
IXQFLyQ2WUDIRUPDHVGDUXQDHFXDFLyQTXH VHUHGXFHDXQDGHVHJXQGRJUDGR\SUHJXQWDU
SRUHOFRQMXQWRVROXFLyQVXSRQLHQGRSRUHMHPSORTXHDOJXQDVROXFLyQGHODFXDGUiWLFDQRHV
IDFWLEOHSXHVDQXODXQGHQRPLQDGRU
/RVFRQMXQWRVQXPpULFRVFRQVXVQRWDFLRQHVUHVSHFWLYDVVRQ
D (OFRQMXQWRGHORVQ~PHURVQDWXUDOHV 1 HVWiIRUPDGRSRUQ~PHURV«+LVWy
ULFDPHQWHHOQ~PHURFHURIXHLQWURGXFLGRHQ(XURSDHQHOVLJOR;,,SHURQRVHFRQVLGH
UDEDXQQ~PHURQDWXUDO&RQHOGHVDUUROORGHODWHRUtDGHFRQMXQWRVHQHOVLJOR;,;HOFH
UR SDVy D IRUPDU SDUWH GHO FRQMXQWR GH ORV Q~PHURV QDWXUDOHV 3RGHPRV XWLOL]DU = SDUD
ORVQ~PHURVQDWXUDOHVVLQHOFHURRHQWHURVSRVLWLYRV
E (O FRQMXQWR GH ORV Q~PHURV HQWHURV = HVWi IRUPDGR SRU ORV Q~PHURV QDWXUDOHV \ VXV
RSXHVWRV«
F (O FRQMXQWRGHORV Q~PHURVGHFLPDOHV ' HVWiIRUPDGRSRUWRGRV ORVQ~PHURVTXHVHHV
FULEHQFRPR
GH ' D
Q
QQDWXUDO\DHQWHUR3RUHMHPSOR HVXQHOHPHQWR
G (OFRQMXQWRGHORVQ~PHURVUDFLRQDOHV 4 HVWiIRUPDGRSRUWRGRVORVQ~PHURVTXHVHHV
D
FULEHQFRPR FRQD\EHQWHURV\EQRQXOR/DHVFULWXUDGHFLPDOGHXQQ~PHURUDFLRQDO
E
HVRELHQXQQ~PHURGHFLPDOILQLWRRELHQSHULyGLFR
H (O FRQMXQWR GH ORV Q~PHURV LUUDFLRQDOHV , HVWi IRUPDGR SRU ORV Q~PHURV FRQ H[SDQVLyQ
D
GHFLPDOLQILQLWDQRSHULyGLFD7DOHVQ~PHURVQRSXHGHQVHUHVFULWRVHQODIRUPD FRQD
E
\EHQWHURV\EQRQXOR(MHPSORVGHQ~PHURVLUUDFLRQDOHV S H I /RVQ~PHURVUHDOHV 5 HVWiQ IRUPDGRVSRUORVUDFLRQDOHV \ ORV LUUDFLRQDOHV 5 4 ‰ , (V
UHOHYDQWHTXHFDGDHVWXGLDQWHWHQJDFODURTXH 1  =  '  4  5 3DUD FRQWH[WXDOL]DU ORV SUREOHPDV UHODFLRQDGRV FRQ IXQFLRQHV OLQHDOHV R FXDGUiWLFDV \ FRQ
VLVWHPDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHVHVUHFRPHQGDEOHXWLOL]DUUHFRUWHVGHUHYLVWDVSHULyGLFRV\GD
WRV HVWDGtVWLFRV REWHQLGRV SRU HMHPSOR GHO ,QVWLWXWR 1DFLRQDO GH (VWDGtVWLFD \ &HQVRV
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
(INEC), del Estado de la Nación o de sitios Web. Es el caso del problema propuesto en las
indicaciones puntuales relacionadas con la habilidad específica 8.
5. Para la habilidad específica 14 se recomienda el uso de software graficador.
6. Los intervalos son subconjuntos de los números reales y para no confundirlos con la notación
de par ordenado (a,b) se utilizarán las siguientes notaciones: > a, b@ para intervalo cerrado,
@a, b> para intervalo abierto, >a, b> , @a, b@ para intervalos semiabiertos.
Notación de intervalo
> a, b @
@a, b>
> a, b>
@a , b @
Notación de conjunto por
comprensión
Representación gráfica.
^x
x  R, a d x d b`
^x
x  R, a x b`
^x
x  R, a d x b`
a
^x
x  R, a x d b`
a
> a , f>
@a , f>
@f, a @
@f, a>
a
b
a
b
b
b
^x
x  R, x t a`
^x
x  R, x ! a`
^x
x  R, x d a`
a
^x
x  R, x a`
a
a
a
7. Para la habilidad específica 7 cada estudiante debe tener presente que algunas relaciones
pueden ser consideradas como funciones al intercambiar las variables. Lo mismo podrá suceder al efectuar una rotación en ciertas gráficas de relaciones, lo que conecta con el área de
Geometría. Por ejemplo, y 2 x representa una relación que no es una función si consideramos x como variable independiente, y como variable dependiente, pero si y es la variable independiente y x la dependiente (intercambiamos las variables) entonces la ecuación x y 2
representa una función con criterio x
f ( y)
y2.
457
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
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10. Para la habilidad específica 10 puede presentar dos funciones en forma algebraica: f(x) = x2+
1, con dominio {1, 2, 3, 4}, g(x) = x ± 1 con dominio {2, 5, 10, 17}. Es relevante hacer notar
que el ámbito de f coincide con el dominio de g. Se propone representar tabularmente cada
una de las funciones, pues esto facilitará concluir lo anterior.
x
f(x)
1
2
2
5
3
10
x
g(x)
4
17
2
1
5
4
3
10
9
4
17
16
10
9
17
16
Combinando las dos tablas tenemos:
x
f(x)
g(f(x))
1
2
1
2
5
4
Por el patrón de formación se conjetura que g(f(x)) = x2. Debido a que g se evalúa en las imágenes de f tenemos g f x g f x g x 2 1 x 2 1 1 x 2 lo que confirma la
conjetura. También hay que resaltar que no tiene sentido hacer la composición f g ( x)
pues el ámbito de g no coincide con el dominio de f. Una consecuencia es que la composición
de funciones no es conmutativa, aun cuando existan f g y g f . Considerando lo anterior,
en la etapa de clausura se define la composición de funciones.
11. Respecto a las habilidades 10-13, calculada la pendiente m cada estudiante puede utilizar dos
puntos arbitrarios de la recta para calcular el valor de b y el intercepto con el eje y, en y = mx
§ b ·
, 0 ¸.
+ b. La recta interseca el eje x en el punto ¨
© m ¹
Undécimo año
1. Para contextualizar los problemas relacionados con funciones y con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, es recomendable utilizar recortes de revistas, periódicos y datos estadísticos obtenidos, por ejemplo, del Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC), del Estado de la Nación o de sitios Web. Por ejemplo: la tabla que sigue muestra la población de Costa Rica (en millones) en el periodo 1960-2009 (Banco Mundial. Indicadores de desarrollo
mundial).
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Año
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2009
Población
(millones)
1,334
1,583
1,822
2,052
2,349
2,699
3,078
3,479
3,931
4,396
4,579
8QPRGHORH[SRQHQFLDOGHODIRUPD\ D˜E[SDUDODSREODFLyQDSUR[LPDGDGH&RVWD5LFDHV
3 WGRQGH3UHSUHVHQWDHOWDPDxRGHODSREODFLyQ\WHOWLHPSRHQDxRV
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DSURSLDGRV
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I [ ¨ ¸ ©¹
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WRDVLQWyWLFRGHODIXQFLyQ
I [
ORJ [
J [
ORJ [
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6LD!ODIXQFLyQHVFUHFLHQWH\VXJUiILFDVHDFHUFDDVLQWyWLFDPHQWHDOHMH\QHJDWLYRFXDQGR
[WLHQGHDFHUR
6LDODIXQFLyQHVGHFUHFLHQWH\VXJUiILFDVHDFHUFDDVLQWyWLFDPHQWHDOHMH \SRVLWLYR
FXDQGR[WLHQGHDFHUR(QFXDOTXLHUDGHORVGRVFDVRVHOHMHGHODVRUGHQDGDVHVXQDDVtQWRWD
YHUWLFDOGHODJUiILFD
3DUD HO DQiOLVLV GH IXQFLRQHV XWLOL]DUHPRV HO WpUPLQR FUHFLHQWH \ QR XWLOL]DUHPRV HO WpUPLQR
HVWULFWDPHQWHFUHFLHQWH/RPLVPRRFXUUHFRQHOWpUPLQRGHFUHFLHQWH'HFLPRVTXHXQD IXQ
FLyQFRQFULWHULRGDGRSRU\ I[HVFUHFLHQWHFXDQGRRFXUUH I [ d I [ VLHPSUHTXH[ [ ,JXDOPHQWH I HV GHFUHFLHQWH VL I [ t I [ VLHPSUHTXH[ [ 3RU OR WDQWR XQD IXQFLyQ
FRQVWDQWHHVFUHFLHQWH\GHFUHFLHQWHDODYH]HVOD~QLFDTXHFXPSOHODVGRVFRQGLFLRQHV
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WLSRV GH DVtQWRWDV D OD JUiILFD GH XQD IXQFLyQ YHUWLFDOHV [ FRQVWDQWH KRUL]RQWDOHV \ FRQVWDQWH\REOLFXDV\ P[E/DVPiVDSURSLDGDVSDUDHVWHQLYHOVRQODVYHUWLFDOHV\ODV
KRUL]RQWDOHV
8QDDVtQWRWDHVXQDUHFWDTXHVHDSUR[LPDDUELWUDULDPHQWHDODJUiILFDFXUYDGHXQDIXQFLyQ
HVGHFLUODGLVWDQFLDHQWUHORVSXQWRVGHODDVtQWRWD\ORVGHODFXUYDVHKDFHFDGDYH]PHQRUD
PHGLGD HQ TXH UHFWD \ FXUYD VH H[WLHQGHQ LQGHILQLGDPHQWH )RUPDOPHQWH VH GHWHUPLQD OD
HFXDFLyQGHXQDDVtQWRWDDXQDFXUYDFDOFXODQGROtPLWHVORFXDOQRVHEXVFDHQHVWHFXUUtFXOR
Programas de cada ciclo educativo
Ciclo diversificado, Relaciones y Álgebra
Si la función es racional (cociente de dos polinomios) sin factores en común en el numerador
y denominador, entonces las asíntotas verticales se encuentran en los puntos que anulan el
denominador.
ak x k ak 1 x k 1 a1 x a0
Además, si f ( x)
, ai , bp constantes, i 0,1, , k ; p 0,1, , n
bn x n bn1 x n1 b1 x b0
entonces la gráfica de f tendrá asíntota horizontal y = 0 (eje x) si n >k; asíntota horizontal
y = an/bn si n = k; asíntota oblicua si k = n + 1, y ninguna si k >n + 1.
Por ejemplo, la función representada algebraicamente por y
1
, x z 0 tiene como asíntotas
x
los ejes de coordenadas.
y
1
,x z 0
x
Una curva especial que tiene dos asíntotas horizontales y que tiene muchas aplicaciones en
Biología, Física y hasta en Ciencias Sociales es la curva logística. Su gráfica tiene forma de S
y aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades
epidémicas y difusión en redes sociales. Su criterio es
KM 0 ert
M (t )
K M 0 e rt 1
K es la capacidad del sistema, r es la tasa natural de crecimiento, M 0 es el tamaño de la población en el instante t = 0. Una magnitud que crece de acuerdo a esta representación presenta
un crecimiento logístico.
463
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3DUD OD KDELOLGDG HVSHFtILFD H[LVWHQ PXFKRV PRGHORV PDWHPiWLFRV TXH XWLOL]DQ OD IXQFLyQ
H[SRQHQFLDO3RUHMHPSOR
x &XDQGRODVFpOXODVFDQFHURVDVVHVRPHWHQDUDGLDFLyQODSURSRUFLyQGHFpOXODVVREUH
YLYLHQWHVDOWUDWDPLHQWRHVWiGDGRSRUODIyUPXOD3 HNUGRQGHUHVHOQLYHOGHUDGLD
FLyQ\NXQDFRQVWDQWH6HVDEHTXHFXDQGRHOQLYHOGHUDGLDFLyQHV5RHQWJHQVR
EUHYLYHHOGHODVFpOXODVFDQFHURVDV
x 6HHVWiUHDOL]DQGRXQDQiOLVLV VREUHHO LQFUHPHQWRGHXQDEDFWHULDGDxLQDDO FRQWDFWR
FRQXQGHULYDGRDOLPHQWLFLRGHOHFKHGHFDEUD'HODVDPDODVDPHOQ~PHURGH
EDFWHULDVVHLQFUHPHQWyGHD3DUDWKRUDVGHVSXpVGHODVDPHOQ~PHUR
GHIWGHEDFWHULDVHVWiGDGRSRUIW W
3DUD OD KDELOLGDG VH MXVWLILFD TXH OD IXQFLyQ ORJDUtWPLFD I [ ORJ D [ SDUD
[ ! D ! D z HVODLQYHUVDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDO J [ D [ XVDQGRODFRPSRVLFLyQGH
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