Contenido Objetivos Recursos Total de hora s Polígono regular

Contenido
Objetivos
Recursos
Polígono
regular.
Clasificación
, elementos,
áreas.
Identifica las
clasificacione
s
de
los
polígonos
regulares
Power Point: clasificación y elementos de los
polígonos regulares.
Video: área de los polígonos regulares
(http://www.youtube.com/watch?v=B9nIjZgvl
uk)
Total
de
hora
s
Polígono regular
En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y
ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de
tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado,
respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término
regular (pentágono regular, hexágono regular, ...). Solo algunos polígonos
regulares pueden ser construidos con regla y compás.1
Elementos de un polígono regular
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






Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus
vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del
polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un
arco de circunferencia y cuerda.
Ángulo interior
El ángulo interior de un polígono regular de "n"
lados se calcula con la fórmula:
(n-2) × 180° / n
Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8
lados) es:
(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 =
2×180°/4 = 90°
Ángulo exterior
Los ángulos exterior e interior se miden sobre la
misma línea, así que suman 180°.
Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente
180° - ángulo interior
El ángulo interior de este octágono es 135°, así
que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así
que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°
Diagonales
Todos los polígonos (menos los
triángulos) tienen diagonales (líneas
que van de un vértice a otro, pero que
no son lados).
El número de diagonales es n(n - 3) /
2.
Ejemplos:


un cuadrado tiene 4(4-3)/2 =
4×1/2 = 2 diagonales
un octágono tiene 8(8-3)/2 =
8×5/2 = 20 diagonales
(Nota: esto vale para polígonos
regulares e irregulares)
Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema
"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "
Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres
de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar
en un polígono regular, así:
La circunferencia "exterior" se llama
circunscrita (a veces también
"circuncírculo"), y conecta los vértices del
polígono.
La circunferencia "interior" se llama inscrita
(a veces también "incírculo"), y toca cada
lado del polígono en el punto medio.
El radio de la circunferencia circunscrita es
también el radio del polígono.
El radio de la circunferencia inscrita es el
apotema del polígono.
Fórmulas
Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos
por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la
información importante:
(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)
El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y
tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":
sin(π/n) = (Lado/2) / Radio
Lado = 2 × Radio × sin(π/n)
cos(π/n) = Apotema / Radio
Apotema = Radio × cos(π/n)
tan(π/n) = (Lado/2) / Apotema
Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)
Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"),
pero con estas nos vale por ahora.
Área
Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!
El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:
Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)
Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:
Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)
Así
que:
Área del
pequeño
triángulo = ½ × Apotema × (Apotema ×
tan(π/n))
= ½ × Apotema2 × tan(π/n)
Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:
Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n)
¡La verdad es que es una fórmula muy simple!
Tabla de valores
Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y
áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":
Nombre
Triángulo
(o trígono)
Cuadrilátero
(o tetrágono)
Lados
Ángulo
Figura
Radio Lado Apotema
(n)
interior
Área
3
60°
1
1.732...
(√3)
4
90°
1
1.414... 0.707...
(√2)
(1/√2)
2
Pentágono
5
108°
1
1.176... 0.809...
2.378...
Hexágono
6
120°
1
Heptágono
(o septágono)
7
128.571°
1
0.868... 0.901...
2.736...
Octágono
8
135°
1
0.765... 0.924...
2.828...
(2√2)
172.8°
1
0.126... 0.998...
3.133...
...
Pentacontágono 50
1
0.5
1.299...
(¾√3)
0.866... 2.598...
(½√3) ((3/2)√3)
Gráfico
Y este es un gráfico
de la tabla, con el
número de lados
("n") de 3 a 30.
Fíjate en que
cuando "n" crece, el
apotema tiende a 1
(igual al radio) y el
área tiende a π =
3.1416..., como una
circunferencia.
¿A qué tiende el
lado?
Actividad 1
Lee la información de polígonos regulares del PDF y el
pawer point, y luego realiza las siguientes actividades:
1. Define los polígonos regulares.
2. ¿En que se clasifican los polígonos regulares?
3. ¿Cuáles son los elementos de los polígonos
regulares?
4. ¿Clasificación de los ángulos de los polígonos
regulares?
5. ¿Cuáles son las líneas poligonales?
6. Define:
Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema
Actividad 2
Luego de ver el video de la siguiente página:
(http://www.youtube.com/watch?v=B9nIjZgvluk) resuelve
los ejercicios:
1- Hallar el perímetro de un polígono regular de 25
lados, si cada lado mide 8 cm.
2- Hallar el área de un triángulo con una base de 3.5 m
y una altura de 2m.
3- Calcula el área de los siguientes polígonos regulares
expresando el resultado en decámetros, metros,
decímetros, centímetros y milímetros:
Lado: 5 cm
lado: 8m
Evaluación:
Define:
 Polígonos regulares:
 Polígono inscripto y circunscripto:
Cita.
 Elementos de polígono regular
 Clasificación de los polígonos regulares
Parea
A- Cóncavo
Todos sus ángulos interiores son
menores de 180º.
B-convexo
Algunos de sus ángulos
interiores son mayores de 180º
Algunos de sus ángulos
interiores son iguales a 180º
Resuelve
 Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio
con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. El patio es
rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m.
¿Cuántas baldosas se necesitarán?
 Un rollo de tela de 2 m de ancho se ha usado para
cortar 1050 pañuelos cuadrados de 20 cm de lado.
¿Qué longitud de tela había en el rollo si no ha faltado
ni sobrado tela?